2021届江苏省高三上学期第二次百校联考数学试题

江苏省2021届百校联考高三年级第二次试卷数学2020．12一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{}2340x x x +->，B ＝{}12x x -<，则(RA)B ＝A ．{}11x x -<≤B ．{}13x x -<<C ．{}13x x <<D ．{}11x x -<< 2．已知复数z 满足(2＋i)z ＝5﹣5i ，则z ＝A ．3﹣3iB ．1﹣3iC ．1＋3iD ．3＋3i3．已知a ，b 都是实数，则“2211log log a b<”是“22a b >”的 A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．函数ln ()e e x xx f x -=+的部分图像大致为5．点P 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上一点，直线x ＝2p 交抛物线C 于M ，N 两点，若△PMN 的面积为20，则p ＝A ．1BC ．2D 6．已知sin(θ﹣12π)＝13，则sin(2θ＋3π)＝ A ．29- B ．29 C ．79- D ．797．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点（包含边界），且∠BAD ＝120°，则AP AB ⋅的取值范围是A ．[﹣2，4]B ．(﹣2，4)C ．[﹣2，2]D ．(﹣2，2)8．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，以A 为球心，A 1B 1C 1D 1的交线长为A ．2πB ．2CD ．π二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(﹣2，1)，c ＝(3，﹣5)，则 A ．(a ＋2b )∥c B ．(a ＋2b )⊥cC ．10a c +=+D ．2a c b += 10．已知实数x ，y 满足﹣3＜x ＋2y ＜2，﹣1＜2x ﹣y ＜4，则 A ．x 的取值范围为(﹣1，2)B ．y 的取值范围为(﹣2，1)C ．x ＋y 的取值范围为(﹣3，3)D ．x ﹣y 的取值范围为(﹣1，3)11．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(N ω*∈，2πϕ<)的图象经过点A(0，且()f x 在[0，2π]上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是 A ．ω＝2B ．6πϕ=C ．()f x 在(3π-，0)上单调递增 D ．()f x 在(0，2π)上有3个极小值点12．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()f x ax bx cx d =+++(a ≠0)的图象都只有一个对称中心点(0x ，0()f x )，其中0x 是()0f x ''=的根，()f x '是()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(﹣1，2)，且不等式e e (ln x mx x -1)+≥32e [()3e]f x x x x --+对任意x ∈(1，+∞)恒成立，则A ．a ＝3B ．b ＝1C ．m 的值可能是﹣eD ．m 的值可能是1e-三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．在等差数列{}n a 中，12a =，248a a +=-，则数列{}n a 的公差为 ．14．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为 ．15．已知双曲线C ：22188x y -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，A(0，4)，当△MAF 的周长最小时，△MAF 的面积为 ． 16．已知函数2()1f x x x =--，若关于x 的方程()1f x a x =+恰有两个实数根，则实数a的取值范围 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知B ＝3π． （1）若a ＝4，c ＝3，求sinA 的值；（2）若△ABC的面积为ABC 周长的最小值． 18．（本小题满分12分）在①1120n n n a a a +--+=(n ≥2)且11a =，525S =，②35a =，2n S n tn =+，③11a =，23a =，且2n S -，1n S +，2n S +成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ， ．若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC ⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，△ACD 是边长为1的等边三角形．（1）证明：CD ⊥B 1D ；（2）若BCB —C 1D —B 1的大小．已知函数()Acos()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)的部分图象如图所示． （1）求()f x 的解析式；（2）设()()cos(2)16g x f x x π=+-+．若关于x 的不等式2()(32)()g x m g x m -+--23≤0恒成立，求m 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过点F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点1)在椭圆C 上，且当直线l 垂直于x 轴时，AB ＝2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在实数t ，使得1111AF BF AF BF t +=恒成立，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数121()(1)e 2x f x x a x ax -=---+(x ＞0)． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ≤2时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围．江苏省2021届百校联考高三年级第二次试卷数学2020．12一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{}2340x x x +->，B ＝{}12x x -<，则(RA)B ＝A ．{}11x x -<≤B ．{}13x x -<<C ．{}13x x <<D ．{}11x x -<< 答案：A2．已知复数z 满足(2＋i)z ＝5﹣5i ，则z ＝A ．3﹣3iB ．1﹣3iC ．1＋3iD ．3＋3i 答案：B3．已知a ，b 都是实数，则“2211log log a b<”是“22a b >”的 A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C4．函数ln ()e e x xx f x -=+的部分图像大致为答案：B5．点P 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上一点，直线x ＝2p 交抛物线C 于M ，N 两点，若△PMN 的面积为20，则p ＝A ．1BC ．2D 答案：C 6．已知sin(θ﹣12π)＝13，则sin(2θ＋3π)＝ A ．29- B ．29 C ．79- D ．79答案：D7．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点（包含边界），且∠BAD ＝120°，则AP AB ⋅的取值范围是A ．[﹣2，4]B ．(﹣2，4)C ．[﹣2，2]D ．(﹣2，2) 答案：A8．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，以A 为球心，A 1B 1C 1D 1的交线长为A ．2πB C D ．π答案：D 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(﹣2，1)，c ＝(3，﹣5)，则 A ．(a ＋2b )∥c B ．(a ＋2b )⊥cC ．10a c +=+D ．2a c b +=答案：AD10．已知实数x ，y 满足﹣3＜x ＋2y ＜2，﹣1＜2x ﹣y ＜4，则 A ．x 的取值范围为(﹣1，2) B ．y 的取值范围为(﹣2，1) C ．x ＋y 的取值范围为(﹣3，3) D ．x ﹣y 的取值范围为(﹣1，3) 答案：ABD11．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(N ω*∈，2πϕ<)的图象经过点A(0，且()f x 在[0，2π]上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是 A ．ω＝2B ．6πϕ=C ．()f x 在(3π-，0)上单调递增 D ．()f x 在(0，2π)上有3个极小值点答案：AC12．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()f x ax bx cx d =+++(a ≠0)的图象都只有一个对称中心点(0x ，0()f x )，其中0x 是()0f x ''=的根，()f x '是()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(﹣1，2)，且不等式e e (ln x mx x -1)+≥32e [()3e]f x x x x --+对任意x ∈(1，+∞)恒成立，则A ．a ＝3B ．b ＝1C ．m 的值可能是﹣eD ．m 的值可能是1e-答案：ABC三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．在等差数列{}n a 中，12a =，248a a +=-，则数列{}n a 的公差为 ．答案：﹣3 14．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为 ．答案：(8π+15．已知双曲线C ：22188x y -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，A(0，4)，当△MAF 的周长最小时，△MAF 的面积为 ． 答案：1216．已知函数2()1f x x x =--，若关于x 的方程()1f x a x =+恰有两个实数根，则实数a的取值范围 ． 答案：(1，5){0}四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知B ＝3π． （1）若a ＝4，c ＝3，求sinA 的值；（2）若△ABC的面积为ABC 周长的最小值．解：（1）由余弦定理可得，则，由正弦定理可得，则， （2）因为△ABC 的面积为，所以，则，由余弦定理可得， 则（当且仅当a ＝c 时，等号成立），即因为，所以，所以（当且仅当a ＝c 时，等号成立）， 故，即△ABC 周长的最小值为12． 18．（本小题满分12分）在①1120n n n a a a +--+=(n ≥2)且11a =，525S =，②35a =，2n S n tn =+，③11a =，23a =，且2n S -，1n S +，2n S +成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ， ．若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解：若选①，因为1120n n n a a a +--+=，所以，即数列{}n a 是等差数列，因为11a =，525S =，所以，解得，故，因为，所以，则，若选②，因为2n S n tn =+，所以，，所以，解得，则， 因为满足上式，所以， 以下步骤同①， 若选③，因为2n S -，1n S +，2n S +成等差数列，所以，所以，即，因为，，所以，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，故， 以下步骤同①． 19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC ⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，△ACD 是边长为1的等边三角形．（1）证明：CD ⊥B 1D ；（2）若BC B —C 1D —B 1的大小．解：（1）证明：因为△ACD 是边长为1的等边三角形，所以∠ADC ＝60°，∠DA 1C 1＝120°因为D 是AA 1的中点，所以AD ＝A 1D ＝A 1C 1＝1，即△A 1C 1D 是等腰三角形， 则∠A 1DC 1＝30°，故∠CDC 1＝90°，即CD ⊥C 1D ，因为BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ∥B 1C 1，所以B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ， 因为CD ⊂平面AA 1C 1C ，所以B 1C 1⊥CD ， 因为B 1C 1C 1D ＝C 1，B 1C 1⊂平面B 1C 1D ，C 1D ⊂平面B 1C 1D ，所以CD ⊥平面B 1C 1D ， 因为B 1D ⊂平面B 1C 1D ，所以CD ⊥B 1D ； （2）连接CA 1，则AC ⊥CA 1，以C 为原点，的方向分别为x 轴，y 轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系C —xyz ，则故设平面BDC 1的法向量为，则令，得，故所以二面角B —C 1D —B 1的大小为30°． 20．（本小题满分12分）已知函数()Acos()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)的部分图象如图所示． （1）求()f x 的解析式；（2）设()()cos(2)16g x f x x π=+-+．若关于x 的不等式2()(32)()g x m g x m -+--23≤0恒成立，求m 的取值范围．解：（1）由图可知A ＝2，，则，从而，故，因为的图像过点，所以，所以，因为，所以， 故；（2）由（1）可得，设，因为，所以，因为，即在[﹣3，5]上恒成立，则，即，解得，故m 的取值范围为．21．（本小题满分12分）已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过点F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点1)在椭圆C 上，且当直线l 垂直于x 轴时，AB ＝2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在实数t ，使得1111AF BF AF BF t +=恒成立，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可得解得，故椭圆C 的标准方程为，（2）如图，由（1）可知 当直线l 的斜率不存在时，，则当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则直线l 的方程为，联立整理得，则，，从而，故，由题意可得 则因为，所以，综上，存在实数，使得恒成立．22．（本小题满分12分）已知函数121()(1)e 2x f x x a x ax -=---+(x ＞0)． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ≤2时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围． 解：（1）121()(1)e 2x f x x a x ax -=---+(x ＞0)，时，时，时，在(0，1)递减，在递增；时，时，时，在递增，递减，递增；时，，在递增；时，时，时，在(0，1)递增，在递减，在递增；（2）时，由（1）知：，与题意不符，舍去；时，，由（1）知：要使无最小值，则：；时，由（1）知：无最小值，符合题意；④时，，由（1）知：要使无最小值，则：令，令在递增，故在(1，2)上恰有一个零点，设为时，，时，，即故在递减，递增，因此，时，恒成立，则；综上，．。