隐函数的求导方法

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第6讲隐函数的求导公式

某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并
有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
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例１验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x 0的值. 解令 F(x, y) x2 y2 1
二、设2 sin( x 2 y 3z) x 2 y 3z, 证明：z z 1. x y
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三、如果函数 f ( x, y, z) 对任 t何恒满足关系式
f (tx, ty, tz) t k f ( x, y, z),则称函数 f ( x, y, z)为
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
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例 3 设 x2 y2 z2 4z 0，求x2z2 .
解令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
y) z
1 z
z Fx x Fz x
,
z
y
Fz ( y) ,
x z2
z y

( y)
z Fy
Fz
( y)
z2
,
z
(
y
)
z
x y ( y
)
,
z
z
于是x z y z z . x y
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隐函数求导

f x gyhz f x gxhz f ygzhx . g y hz
七、 dy Ft f x Fx f t . dx Ft F y f t
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0,
dx x0
d2y dx 2
y xy y2
y
x y2
x y
1 y3
,
d2y dx2 x0 1.
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
解令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y , x
解令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的函数 y f ( x)．
函数的一阶和二阶导数为
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并
有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例１验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x 0的值.
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
例 3 设 x2 y2 z2 4z 0，求x2z2 .
解令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
则
Fx ( x, y)

隐函数的求导法则

Fu Fy 1 (F ,G ) v = = Gu G y J ( u, y ) y
例 5
Fu Fv . Gu Gv
设xu yv = 0,yu + xv = 1,
u u v v 求 , , 和 . x y x y
直接代入公式; ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ接代入公式;
解1
运用公式推导的方法, 解2 运用公式推导的方法, 将所给方程的两边对 x 求导并移项
1 = 3 [FxxFz2 2FxzFxFz + FzzFx2 ] Fz
( Fx )Fz Fx ( Fz ) 2 z x = x 2 Fz2
Fx z = , Fz x
2z 2z 类似地可求得 , 2 x y y ②直接法方程两边连续求导两次
z Fx + Fz = 0 x
z z 2 2z Fxx + 2 Fxz + Fzz ( ) + Fz 2 = 0 x x x
dy dz F ( x , y , z ) = 0 两边对 x 求导怎样求 , dx dx
注意左边是复合函数(三个中间变量), 注意左边是复合函数(三个中间变量),
dy dz Fx + Fy + Fz = 0 dx dx
同理
dy dz Φ x + Φ y + Φz = 0 dx dx Fy Fz 若则 J= ≠0 Φy Φz
练习题
一,填空题: 填空题:
y 1 ,设 ln x 2 + y 2 = arctan ,则 x dy = ___________________________. dx 2, 2,设 z x = y z ,则 z = ___________________________, x z = ___________________________. y 二,设 2 sin( x + 2 y 3 z ) = x + 2 y 3 z , z z 证明: + 证明: = 1. x y

隐函数求导

隐函数求导1、隐函数求导隐函数求导是指求解含有未知变量的函数的导数。

主要分为四类：隐函数求导的定义、隐函数求导的基本方法、隐函数求导的解法、隐函数求导的应用。

隐函数求导的定义就是求解含有未知变量的函数的导数的过程，比如函数的一阶导数、二阶导数，以及更高位的导数等。

与函数的求导不同的是，隐函数求导指的是对含有未知变量的函数求导，包括一阶导数、未定系数型函数和未知数函数等。

隐函数求导的基本方法主要有三种，分别是链式法则、暂称法则和零点法则。

1、链式法则：链式法则是指针对含有未知变量的函数进行求导，要先求出未知变量对各变量的偏导，然后明确影响的变量的表达式，接着再由链式法则求出函数的导数。

2、暂称法则：暂称法则是指用若干变量暂称其余变量，变化时有一个变量保持恒定，当变化后，仍在某一点上有极值时，其中含有的暂称变量就可以用来求导了。

3、零点法则：零点法则是指用若干变量的零点可以计算链式法则和暂称法则的结果，可以用求零点的方法来求函数的导数和偏导数。

隐函数求导的解法包括有直接解法和逆函数求导法两部分。

1、直接解法：直接解法是指直接用链式法则、暂称法则和零点法则求解含有未知变量的函数的导数，以及求解未知变量时，以及求解未知变量的偏导数等。

2、逆函数求导法：逆函数求导法是指用逆函数求导来求函数的导数，也就是用逆函数将函数映射到原始空间，然后再求原始函数的导数。

（四）隐函数求导的应用隐函数求导技术的应用非常广泛，主要用在未知参数系统中，如未知函数的拟合、控制问题等，未知函数的求导是解决这些问题所必需的。

另外，隐函数求导的应用还包括在机器学习、深度学习等技术方面，用于有效的模型学习和参数求解，解决复杂的未知参数问题。

隐函数的求导法则

隐函数的求导法则在高等数学中，人们经常要研究使用函数表示不明确的关系的问题。

具有x和y两个自变量的方程通常也称为隐函数。

在这种情况下，求导的方法与单变量函数的情况有所不同。

假设我们有一个方程f(x,y)=0代表一个隐函数。

如果我们将y表示为x的函数，那么我们可以使用求导规则计算dy/dx。

我们用y=f(x)来代表意味着y是x的函数，在这种情况下，我们可以将原始方程看成f(x,f(x))=0。

现在我们需要将它们进行求导：通过链式法则，我们得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0解决方程，我们可以得到dy/dx：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这就是隐函数的求导法则。

现在我们来看几个例子。

例子1：考虑方程x^2+y^2 = 1，代表一个圆形。

假设我们需要求通过点(0.5,0.866)的圆的斜率。

我们可以通过对方程隐式地求导来解决这个问题。

从方程中得到：2x + 2y * dy/dx = 0这个时候，我们用点(0.5,0.866)代入求导公式：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y) = -x/y = -0.577例子2：考虑方程x^2+y^2+z^2 = 1，代表一个球。

假设要求通过点(0.5, 0.866, 0)的球的切平面。

我们如何确定这个平面的法向量？这里我们可以思考什么会构成法向量：从点(0.5, 0.866, 0)向球的中心(0,0,0)所成的向量，然后我们将这个向量投影在切平面上。

我们可以通过隐函数求导的方法来找到它的方向。

从方程中得到：2x + 2y * dy/dx + 2z * dz/dx = 0我们需要知道dz/dx的值，但只有两个自变量，我们该怎么办？我们可以再次隐式地求导。

我们有这样的等式：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx + ∂f/∂z * dz/dx = 0将方程放入这个等式，我们得到：(1) + y * dy/dx + z * dz/dx = 0然后再用我们之前求出的dy/dx代替，得到：(1) + y * (-x/y) + z * dz/dx = 0然后代入我们想要的点，我们得到：dz/dx = -x * z/y = (-0.5) * 0/0.866 = 0现在我们知道了dz/dx = 0。

隐函数的求导公式

隐函数的求导公式首先，我们假设存在一个方程f(x,y)=0，其中y是x的函数，即y=g(x)。

我们希望求解函数g(x)的导数。

为了实现这一目标，我们需要对方程两边同时对x求导。

首先，我们对方程f(x,y)=0两边对x求导，得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0在这个方程中，∂f/∂x 是 f(x, y) 对 x 的偏导数，∂f/∂y 是 f(x, y) 对 y 的偏导数，dy/dx 是 y 对 x 的导数，也就是 g'(x)。

然后，我们将其整理成关于g'(x)的方程：dy/dx = - (∂f/∂x) / (∂f/∂y)最终，我们得到了隐函数的求导公式，即：g'(x)=-(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这个公式告诉我们，要求隐函数的导数，只需对方程中的偏导数进行求解并代入到公式中即可。

我们来看几个求解隐函数导数的例子。

例子1：求解方程x^2+y^2=1的导数。

首先，我们对方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0然后，我们整理得到：dy/dx = -2x / 2y = -x / y所以，方程 x^2 + y^2 = 1 的导数为 dy/dx = -x / y。

例子2：求解方程x^2+y^2-x*y=0的导数。

首先，我们对方程两边求偏导数，得到：2x - y - x * dy/dx + dy/dx = 0然后，我们整理得到：dy/dx = (2x - y) / (y - x)所以，方程 x^2 + y^2 - x * y = 0 的导数为 dy/dx = (2x - y) / (y - x)。

通过这些例子，我们可以看出，在求解隐函数的导数时，我们需要根据具体的方程进行偏导数的计算，然后将其代入到隐函数的求导公式中。

总结起来，隐函数的求导公式为g'(x)=-(∂f/∂x)/(∂f/∂y)，其中f(x,y)=0是隐函数所满足的方程，∂f/∂x和∂f/∂y分别是方程对x和y的偏导数。

关于隐函数的三种求导法

关于隐函数的三种求导法
隐函数的三种求导方法如下：
一、隐函数求导法则
隐函数求导法则和复合函数求导相同。

由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y ²，所以y′=dy/dx=y(e^xy-y0/x(2ye^xy)。

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。

在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

二、隐函数导数的求解一般可以采用以下方法
方法①:先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导;
方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);
方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值;
方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。

如何理解隐函数求导公式

如何理解隐函数求导公式隐函数求导法则和复合函数求导相同。

由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y（e^xy-y0/x(2y-e^xy)。

1求导法则对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。

在方程左右两边都对x进行求导，由于y 其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

2显函数与隐函数显函数解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。

显函数可以用y=f(x)来表示。

隐函数如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

隐函数与显函数的区别1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。

2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。

比如：y=2x+1。

隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。

3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。

隐函数的求导法则__取对数求导法

隐函数的求导法则__取对数求导法隐函数是指用一个或多个自变量与一个或多个函数关系式所定义的函数。

在一般情况下，我们可以通过将隐函数转化为显函数来求导。

然而，有时候转化为显函数非常困难或不可行，这时我们可以使用隐函数求导法则来求解。

在隐函数求导法则中，最常用且重要的方法之一是取对数求导法。

本文将详细介绍隐函数的取对数求导法则，包括基本原理、具体步骤以及一些实际应用。

1.基本原理：隐函数的取对数求导法则基于以下数学原理：如果一些变量随着另一个变量的变化而变化，我们可以通过取对数来将这个关系式转化为线性关系，从而更容易进行求导。

2.取对数求导法的具体步骤：(1)首先，将隐函数表示为等式或方程的形式，用x和y表示自变量和函数变量，记隐函数为f(x,y)=0。

(2) 对等式两边同时取对数，得到ln(f(x, y)) = ln(0)。

(3) 使用链式法则对等式两边进行求导。

对左侧进行求导时，考虑y是x的函数，即y = g(x)，则ln(f(x, y)) = ln(f(x, g(x)))。

根据链式法则，左侧的导数为f'(x, y) / f(x, y)。

对右侧进行求导时，由于ln(0)为常数，其导数为0。

(4)最后，解方程求得f'(x,y)/f(x,y)的表达式，即为隐函数的导数。

3.举例说明：假设有一个方程为x^2 + y^2 = 1、我们想要求解方程中y关于x的导数。

首先，我们将隐函数表示为等式的形式：f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0。

然后，取等式两边的对数，得到ln(f(x, y)) = ln(x^2 + y^2 - 1)。

根据链式法则，左侧的导数为 f'(x, y) / f(x, y)。

右侧的导数为0。

于是，我们可以得到 f'(x, y) / f(x, y) = 0。

最后，解方程可得f'(x, y) = 0，即 y 关于 x 的导数为0。

4.实际应用：隐函数的取对数求导法则在实际问题中有着广泛的应用。

隐函数的求导方法

定理1. 设函数
在点(1) ຫໍສະໝຸດ 有连续的偏导数;的某一邻域内满足
则方程
(2) F (x0 , y0 ) 0;
(3) Fy (x0 , y0 ) 0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
d y Fx (隐函数求导公式) dx Fy
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使得 y0 y y y0 . 从而 F ( x, y ) 0, F ( x, y ) 0.
由保号性，存在 x 的某邻域 ( x , x )
x0 , x0 , 使得x属于该邻域时,
F ( x, y ) 0, F ( x, y ) 0. 因此存在唯一的y,使得F ( x, y) 0, | y y | ,
由于右端是连续函数Fx ( x, y), Fy ( x, y)和f ( x)的
复合函数, 而且Fy ( x, y)在U(P0 )内不等于零,
所以
f '( x) lim y Fx ( x, y) x0 x Fy ( x, y)
且 f '( x)在 ( x0 , x0 )内连续.
因此,对每个固定的 x x0 , x0 ,
F x, y 作为 y 的一元函数,必定在
y0 , y0 上严格增且连续.
由 F( x0 , y0 ) 0可知,F x0 , y0 0,F x0 , y0 0
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注:
1. 定理中的条件仅仅是充分的. 例如 : y3 x3 0, 在点(0, 0)不满足(3),

隐函数的求导方法

隐函数的求导方法隐函数是指由两个或多个变量的函数方程所确定的函数。

在一些情况下，我们无法直接通过解方程得到显式函数表达式，而只能得到一个隐函数方程。

对于这种情况，我们需要使用隐函数求导的方法来求隐函数的导数。

一、隐函数偏导数法隐函数偏导数法是根据隐函数方程的特定条件和偏导数的定义，通过求偏导数的方式计算隐函数的导数。

假设有一个由x和y两个变量确定的方程F(x,y)=0，表示为F(x,y)=0。

其中F(x,y)是一个关于x和y的函数。

步骤如下：1. 对方程两边同时对 x 求偏导数，记为∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。

2. 解上述方程，将 dy/dx 表达成∂F/∂x 和∂F/∂y 的比值。

3. dy/dx 就是所求的隐函数的导数。

这种方法对于求解常见的一阶隐函数方程非常有效，但不能用于求解二阶或高阶隐函数方程。

二、全导数法全导数法是通过定义全导数的方式，将隐函数导数表示成全导数的形式。

假设有一个由x和y两个变量确定的方程F(x,y)=0，表示为F(x,y)=0。

其中F(x,y)是一个关于x和y的函数。

步骤如下：1. 对方程两边同时对 x 求导，得到∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。

2. 对方程两边同时对 y 求导，得到∂F/∂x * dx/dy + ∂F/∂y = 0。

3.将上述两个方程组成一个方程组，可以用矩阵的形式表示，即：∂F/∂x ∂F/∂y， * ，dx/dy， = ，-∂F/∂y ∂F/∂这个方程组表示了偏导数的关系。

4. 解方程组求出 dx/dy，其值就是所求的隐函数的导数。

全导数法可以用于求解一阶、二阶甚至高阶的隐函数方程，比较灵活和通用。

总结：隐函数的求导方法主要有隐函数偏导数法和全导数法。

隐函数偏导数法适用于求解一阶隐函数方程，而全导数法对一阶、二阶以及高阶隐函数方程均可使用。

在实际应用中，根据具体的问题和情况选择适合的求导方法，能够更加方便地求得隐函数的导数。

第5节隐函数的求导公式

y x
z y
,
dy z x dz x y
du dz
f x
dx dz
f y
dy dz
y cos
xy
y x
z y
x cos
xy
zx数的求导法则（分以下几种情况）
(1) F ( x, y) 0
(2) F( x, y, z) 0
(3)
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的函数 y f ( x)．
4
函数的一阶和二阶导数为
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0,
dx x0
d2y dx 2
y xy y2
y
x y2
x y
1 y3
,
d2y dx2 x0 1.
0
fu
(
x y
1)
fv (xz
yz x ), y
13
z f (u,v), u x y z, v xyz,
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看成 x, z的函数对 z求偏导数得
1
fu
(
y z
1)
fv (xy
xz
y ), z
整理得 y 1 fu xyfv .
F( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0 G( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0
方程组对x求偏导
Fx
Fu
u x
Fv
v x
0
G x

隐函数求导公式

显函数
xy (x, y) z
隐函数 (二元)隐函数
在什么条件下,方程能够确定隐函数. 连续性?
方程确定的隐函数有什么性质
可导性? …
对方程确定的隐函数如何求导.
➢隐函数组概念
隐函数
u u(x, y) v v(x, y)
组的显化
F(x, y,u, v) 0 G(x, y,u, v) 0
邻域内连续且有连续偏导数,又
x, y)
的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数
2) 求
对 x , y 的偏导数.
x y
➢解题思路
(1) 确定因变量个数与自变量个数. 明确变量个数与方程个数确定因变量个数方程个数确定自变量个数变量个数
(2) 明确因变量与自变量. 题目要求
(3) 方程两边求偏导.
方程个数
例5
设
xu yv 0, yu xv 1,
求
u v ,.
x y
例6 设函数
在点(u,v) 的某一
视u,v为x,y的函数
F
两边对 x 求导
Fx Gx
Fu Gu
u
x u
x
Fv Gv
v x v x
0 0
若在点P 的某邻域内系数行列式J≠0
x x
y
u
y
v
复合关系图
解方程组即得结论
例4
设
u f (ux,v y) v g(u x,v2 y)
其中f,g具有一阶连续偏导数,
求 u , v .
的连续函数 u u(x, y), v v(x, y), 且有偏导数公式 :
u 1 (F,G) , x J ( x, v )

隐函数求导

xy ln y − y . ∴ y′ = 2 xy ln x − x
2
作业：作业：
P130 习题习题3.5 1.(5)(6)(7)(8) 2.(2)(4) 3.(1)(2)(3)(4)
练习：练习：求 y = (1 + 2 x ) ( x > 0)的导数 .
y 解： ′ = (1 + 2 x ) [ln(1 + 2 x ) ]′
例5
( x + 1) 3 x − 1 , 求y ′. 设 y= 2 x ( x + 4) e
1 解 ln y = ln( x + 1) + ln( x − 1) − 2 ln( x + 4) − x 3 上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
的导数. 例1 求由方程 x 2 + y 2 = a 2 所确定的隐函数 y = y( x ) 的导数.
解
求导( 的函数), ),得方程两边关于 x 求导(将 y 视为 x 的函数),得
2 x + 2 y ⋅ y′ = 0 ，解得
x y′ = − . y
比较：显化后, 比较：显化后, y = a 2 − x 2 , 1 y′ = ⋅ (a 2 − x 2 )′ 2 a2 − x2 x 1 −x =− ； = ⋅ ( −2 x ) = y 2 a2 − x2 a2 − x2 x x 2 2 ′= 另一分支: 另一分支: y = − a − x , y =− . y a2 − x2
′ x −1 1 f ′( x ) = 2 ln x 2 − 1 − ln x − ln 2 x + 1 2x + x 2

第6讲隐函数的求导公式

证明: x z y z z xy. x y
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练习题答案
一、1、 x y ； x y
2、 z x ln z ； xz x1 y z ln y
3、
zy z1
.
xz x1 y z ln y
四、 2 z xy

z( z 4
2 xyz 2 x 2 (z 2 xy)3
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0,
dx x0
d2y dx 2

y xy y2

y
x y2
x y

1 y3
,
d2y dx2
1.
x0
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例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
解令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y , x
y) z
1 z
z Fx x Fz x
,
z
y
Fz ( y) ,
x z2
z y

( y)
z Fy
Fz
( y)
z2
,
z
(
y
)
z
x y ( y
)
,
z
z
于是x z y z z . x y
西南财经大学天府学院
练习题
一、填空题: 1、设ln x 2 y 2 arctan y ,则 x dy ___________________________. dx 2、设z x y z ,则 z ___________________________, x z ___________________________. y

隐函数求导法

§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
一、隐函数求导法设二元方程 F(x, y) 0
确定了唯一的单值可导函数y f (x)，求 dy . dx
例如 : F (x, y) x2 y2 R2 0可确定隐函数
y R2 x2，x [R, R]，y [0, R]; 和 y R2 x2，x [R, R]，y [R,0].
证明：dy sin t ，k cost ，法线方程：
dx cost
sin t
y a(sint t cost) cost (x a(cost t sin t)). sin t
i.e., y sin t x cost a 0，故 d0 a.
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反函数t 1(x)，则y为x的复合函数y ( 1(x))，即
y (t)，t 1(x).
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§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
由复合函数与反函数的求导法则，有
dy
dy dy dt (t) ( 1(x)) (t) dt .
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§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法二、参数方程所表示函数的求导法
平面曲线参数方程的一般形式
x (t),

y

(t ),
t [ , ]为参数.
若x (t)与y (t)都可导，且(t) 0. 又x (t)存在
解法三：由方程x2 y2 a2解得y a2 x2，于是
y dy x x .
dx a2 x2

隐函数的求导方法

第6讲隐函数的求导公式

隐函数求导

隐函数的求导法则

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关于隐函数的三种求导法

如何理解隐函数求导公式

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第5节 隐函数的求导公式

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