理论力学第十一章英文ppt
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《理论力学(Ⅰ)》PPT 第11章
第11章 达朗贝尔原理
11.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
设一个质量为m的质点，受到固定曲线约
束而沿此曲线运动，作用于质点的主动力为
F，约束力为N，其加速度为a。
牛顿第二定律 ma F N
F
F N ma 0
质点的惯性力：FI ma
ma N
⑴ 假想的，并不作用在质点上；
⑵ 应用时大小、方向分开；
FAy
l aC1 2 α1
ml FIC1 maC1 2 α1
M IC1
ml 2 12 α1
A
FIC1
FAx αM1
IC1
l aC2 lα1 2 α2
ml 2 M IC2 12 α2
FIC2
maC2
mlα1
ml 2
α2
Fmg C1aC1
B α FIC2
2
M IC2
mg C2aC2
Fix 0
ωα O aC ain
MO
MO JOα
Fi M O Fit α miri2 M
负号表示矩的转向与α相反
IO
x
C
FIO FIit
y
ait FIin
结论：⑴ 定轴转动刚体惯性力系向轴心简
化，结果为通过轴心的一个惯性力和一个惯
性力偶。 FIO MaC，M IO JOα ⑵ 定轴转动刚体惯性力系向质心简化，结
ae P
FIAe
ar
P sin 2φ
aB ae 2 Q P sin2 φ
B Q FIB
φ
N
例11-6 长为l、质量为m的两均质细杆AB和 BD，用光滑铰链B相连接，并自由地挂在铅 直位置。今以水平力F作用于AB杆的中点， 求此瞬时两杆的角加速度及A点的约束力。
11.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
设一个质量为m的质点，受到固定曲线约
束而沿此曲线运动，作用于质点的主动力为
F，约束力为N，其加速度为a。
牛顿第二定律 ma F N
F
F N ma 0
质点的惯性力：FI ma
ma N
⑴ 假想的，并不作用在质点上；
⑵ 应用时大小、方向分开；
FAy
l aC1 2 α1
ml FIC1 maC1 2 α1
M IC1
ml 2 12 α1
A
FIC1
FAx αM1
IC1
l aC2 lα1 2 α2
ml 2 M IC2 12 α2
FIC2
maC2
mlα1
ml 2
α2
Fmg C1aC1
B α FIC2
2
M IC2
mg C2aC2
Fix 0
ωα O aC ain
MO
MO JOα
Fi M O Fit α miri2 M
负号表示矩的转向与α相反
IO
x
C
FIO FIit
y
ait FIin
结论：⑴ 定轴转动刚体惯性力系向轴心简
化，结果为通过轴心的一个惯性力和一个惯
性力偶。 FIO MaC，M IO JOα ⑵ 定轴转动刚体惯性力系向质心简化，结
ae P
FIAe
ar
P sin 2φ
aB ae 2 Q P sin2 φ
B Q FIB
φ
N
例11-6 长为l、质量为m的两均质细杆AB和 BD，用光滑铰链B相连接，并自由地挂在铅 直位置。今以水平力F作用于AB杆的中点， 求此瞬时两杆的角加速度及A点的约束力。
理论力学11H-PPT精品
16
(2)自然轴坐标
m dvC dt
F(e) ,
m
v
2 C
F
( n
e
)
质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微 分方程形式相似。
对于任意一个质点系， 无论它作什么形式的运动， 质点系 质心的运动可以看成为一个质点的运动， 并设想把整个质点系 的质量都集中在质心这个点上， 所有外力也集中作用在质心这 个点上。
匀 转动，设OA=AB=l , OA及AB都是
匀质杆, 质量各为m1 , 滑块B的质量为
m2。求此系统的动量。
C
解:
xC
（ 2 m1m2）lcost
2m1m2
vCx
dxC dt
（ 2 m1m2） lsi nt
2m1m2
yC
m1 sint
2m1 m2
vCy2m1m1m2lsi nt
py mvCy m1lsi nt
m aCm iai
miaiCFi(e)
15
1. 投影形式： (1)直角坐标
ma
Cx
F (e) xi
ma
Cy
F (e) yi
ma
Cz
F (e) zi
或：
m ai C i x F xi ( e ) m i a C i y F yi ( e ) m i a Ci z F zi (e)
若存在 vCx0 0 则 xC 常量，质心在x 轴的位置坐标保持不变
质心运动定理可求解两类动力学问题： (1)已知质点系质心的运动, 求作用于质点系的外力(包括约束反力)。 (2)已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。
18
[例6] 匀质杆长为l ,质量为m,当细绳被突然剪断时，杆子的角
《理论力学》课件 第十一章
第十一章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理.§11--1 动量与冲量1、动量的概念：产生的相互作用力⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，-----记为mv。
质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
kgms/单位)i p v 质点系的动量()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
)idr p v dt ()i i dm r dt∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？参考重心、形心公式。
李禄昌()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑) p r r cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
cωv C =0v Ccωcov C2．冲量的概念：tF IF I d d IF d 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。
冲量是矢量，方向与常力的方向一致。
冲量的单位是N.S 。
§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系由牛顿第二定律：F v m )F v m d )称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量v v ~ ⎰==-21d 12t t It F v m v m称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔⎰==-21d 12t t It F v m v m 2、质点系的动量定理(F (F外力：，内力：(F (F M FF F v tF F v i i d )(∑+)()(d d d e ie i It F p ∑=∑=)(d d e i F tp ∑=称为质点系动量定理的微分形式，即质点系动量的质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）动力学与静力学联系。
)(112e ini Ip p =∑=-p p ~ 称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间)(d d e xx F tp ∑=)(d d e yy Ftp ∑=)(d d e z z F tp ∑=动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：)(12e xx x Ip p ∑=-)(12e yy y Ip p ∑=-)(12e zz z Ip p ∑=-动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。
理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)
讨论：1）脱离角α与滚筒的角速度和滚筒半径有关，而与钢球质量无关。
2）
筒壁。此时转筒
的转速称为临界转速，对球磨机而言，要求n小于nL，否则球磨机就不能工作。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化
当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬 时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为m的质点 的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。 刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平 行力系可简化为过质心的合力，即
式中，Fgτ=-maτ，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）
负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点系的动静法
对由n个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量 为mi,某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力F，约束反力 Fni，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝 尔原理，则
=－ maC
该力偶的力偶矩等于惯性力系对刚体惯性力系的简化
结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴 转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速 度方向相反，且力的作用线通过转轴；
该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结 果如图b)所示。
Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
《理论力学》课件 第11章
ds Rd
因此，力F的元功又可表示为 δW F cosds F cos Rd
由静力学可知， F cosR 即为力 F 对轴 Oz 的力矩 Mz (F) ，于是有
δW Mz (F )d
（11-16）
即作用于定轴转动刚体上力的元功，等于该力对转轴的矩（简称 转矩）和微转角的乘积。
图11-5
当刚体在力 F 的作用下，绕轴转过 角时，力 F 所做的功为
v2 v1
d
1 2
mv2
M2 F dr
M1
或
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
（11-22）
这就是质点动能定理的积分形式，即质点在某运动过程中动能的改 变，等于作用于质点上的力在同一过程中所做的功。
质点动能定理建立了质点动能和力的功之间的关系，它把质点的速度、作 用力和质点的路程联系在一起，对于需要求解这三个物理量的动力学问题， 应用动能定理是方便的。此外，通过动能定理对时间求导，式中将出现加 速度，因此动能定理也常用来求解质点的加速度。
则这种约束力所做功的总和为零。
图11-8
4．无重刚杆
如图 11-9 所示，无重刚杆 AB 连接两个物体，由于刚杆重量不计，因此其约束 力 FN 与 FN 应是一对大小相等、方向相反，作用线相同的平衡力。设 A，B 两点的 微小位移分别是 drA 和 drB ，则 FN 与 FN 元功之和为
δW FN drA FN drB FN | drA | cosA FN | drB | cosB FN (| drA | cosA | drB | cosB )
当力偶矩 M 常量时，上式可写为
（11-19）
W M
五、约束力的功与理想约束
因此，力F的元功又可表示为 δW F cosds F cos Rd
由静力学可知， F cosR 即为力 F 对轴 Oz 的力矩 Mz (F) ，于是有
δW Mz (F )d
（11-16）
即作用于定轴转动刚体上力的元功，等于该力对转轴的矩（简称 转矩）和微转角的乘积。
图11-5
当刚体在力 F 的作用下，绕轴转过 角时，力 F 所做的功为
v2 v1
d
1 2
mv2
M2 F dr
M1
或
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
（11-22）
这就是质点动能定理的积分形式，即质点在某运动过程中动能的改 变，等于作用于质点上的力在同一过程中所做的功。
质点动能定理建立了质点动能和力的功之间的关系，它把质点的速度、作 用力和质点的路程联系在一起，对于需要求解这三个物理量的动力学问题， 应用动能定理是方便的。此外，通过动能定理对时间求导，式中将出现加 速度，因此动能定理也常用来求解质点的加速度。
则这种约束力所做功的总和为零。
图11-8
4．无重刚杆
如图 11-9 所示，无重刚杆 AB 连接两个物体，由于刚杆重量不计，因此其约束 力 FN 与 FN 应是一对大小相等、方向相反，作用线相同的平衡力。设 A，B 两点的 微小位移分别是 drA 和 drB ，则 FN 与 FN 元功之和为
δW FN drA FN drB FN | drA | cosA FN | drB | cosB FN (| drA | cosA | drB | cosB )
当力偶矩 M 常量时，上式可写为
（11-19）
W M
五、约束力的功与理想约束
理论力学第11章课件
p y m2e sin t
代入上式，解出基础的反力
m2 g
Fy
Mo
Fx
Fx m2 2 e sin t
Fy (m1 m2 ) g m2 2 e cost
×
Fx m2 2 e sin t
Fy (m1 m2 ) g m2 2 e cost
静反力：电机不转时，基础只有向上的反力；
y
动反力：电机转动时的基础反力；
附加的动反力：动反力与静反力的差值
m1 g
O1
p
Fx 0
Fy (m1 m2 ) g
e
m2 g
Fx m2 e sin t
2
Fy
Mo
Fx
Fy m2 2 e cost
v
y
p
m1v1
m3 v3
m2
m3
m1
p
m2 v 2
p m1v1 m2 v2 m3v3
p x m2 v2 m3v3 cos 2.707m3v
x
2 2 px py 4.263m3 v
p y m1v1 m3v3 sin 3.293m3v
l 2
C
p mv C m
l 2
vC
C
均质滚轮，质量为m ，质心速度为vC
滚轮动量为：
p mvC
方向与vC相同。
C
均质滚轮，质量为m ，以角速度为ω 定轴转动 ，质心速度为0 滚轮动量为： p mvC 0
×
例题.质量为M 的滑块A 在滑道 内滑动,其上铰结一质量为m长 度为 l的均质杆AB,当AB 杆与铅
代入上式，解出基础的反力
m2 g
Fy
Mo
Fx
Fx m2 2 e sin t
Fy (m1 m2 ) g m2 2 e cost
×
Fx m2 2 e sin t
Fy (m1 m2 ) g m2 2 e cost
静反力：电机不转时，基础只有向上的反力；
y
动反力：电机转动时的基础反力；
附加的动反力：动反力与静反力的差值
m1 g
O1
p
Fx 0
Fy (m1 m2 ) g
e
m2 g
Fx m2 e sin t
2
Fy
Mo
Fx
Fy m2 2 e cost
v
y
p
m1v1
m3 v3
m2
m3
m1
p
m2 v 2
p m1v1 m2 v2 m3v3
p x m2 v2 m3v3 cos 2.707m3v
x
2 2 px py 4.263m3 v
p y m1v1 m3v3 sin 3.293m3v
l 2
C
p mv C m
l 2
vC
C
均质滚轮，质量为m ，质心速度为vC
滚轮动量为：
p mvC
方向与vC相同。
C
均质滚轮，质量为m ，以角速度为ω 定轴转动 ，质心速度为0 滚轮动量为： p mvC 0
×
例题.质量为M 的滑块A 在滑道 内滑动,其上铰结一质量为m长 度为 l的均质杆AB,当AB 杆与铅
理论力学第十一章动量矩定理
JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解： 令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC
理论力学 第11章 虚位移原理
rB rA tg (PQtg )rA 0
由rA的任意性，得 PQ tg
16
2、解析法 由于系统为单自由度，
可取为广义坐标。
xB lcos , yA lsin xB lsin , yA lcos
Py A QxB 0 ,
(Pcos Qsin )l 0
P1yC P2yD FxB 0 (a) 而 yC acos , yC asin
yD 2acos bcos , yD 2asin bsin xB 2asin 2bsin , xB 2acos 2bcos
代入(a)式，得： (P1a sin P2 2a sin F 2a cos) (P2bsin F 2b cos ) 0
M
Fh
sin 2
2用虚速度法:
ve
OB
h
sin
,
va
vC
h sin 2
代入到
M FvC
0,
M
Fh
sin2
3用建立坐标,取变分的方法,有
M F xC 0
xC h cot BC
xC
h sin 2
解得
M Fh
sin 2
6
(二) 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数
（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分q1,q2 , ,qk ，各
质点的虚位移ri 在直角坐标上的投影可以表示为
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
由rA的任意性，得 PQ tg
16
2、解析法 由于系统为单自由度，
可取为广义坐标。
xB lcos , yA lsin xB lsin , yA lcos
Py A QxB 0 ,
(Pcos Qsin )l 0
P1yC P2yD FxB 0 (a) 而 yC acos , yC asin
yD 2acos bcos , yD 2asin bsin xB 2asin 2bsin , xB 2acos 2bcos
代入(a)式，得： (P1a sin P2 2a sin F 2a cos) (P2bsin F 2b cos ) 0
M
Fh
sin 2
2用虚速度法:
ve
OB
h
sin
,
va
vC
h sin 2
代入到
M FvC
0,
M
Fh
sin2
3用建立坐标,取变分的方法,有
M F xC 0
xC h cot BC
xC
h sin 2
解得
M Fh
sin 2
6
(二) 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数
（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分q1,q2 , ,qk ，各
质点的虚位移ri 在直角坐标上的投影可以表示为
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
理论力学教学材料第十一章PPT演示文稿
m
二. 质点系的达朗伯原理
F1
Fg1
m1
a1
FN1 FNi
mi
FN2
Fgi
Fg2
m2
ai
Fi
F2
a2
质点系的主动力系
F 1,F 2, ,F i, ,F n
质点系的约束力系 F N 1 ,F N 2 , ,F N i, ,F N n 质点系的惯性力系
F g 1 ,F g 2 , ,F g i, ,F g n
第11章 达朗伯原理(动静法)
※ 引言 ※ 惯性力 ※ 达朗伯原理 ※ 刚体惯性力系的简化 ※ 动绕定轴转动刚体的轴承动反力 ※ 结论与讨论
引言
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运 动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动 力学问题 —— 达朗伯原理（动静法）。
达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问 题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方 法。
F —— 主动力； FN —— 约束力； Fg—— 质点的惯性力。
非自由质点的达朗伯原理
作用在质点上的主动力和约束力 与假想施加在质点上的惯性力，形 式上组成平衡力系。
达朗伯原理(动静法)
应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法
F + FN ＋ Fg＝0 Fg ＝－ ma
1、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度；
BC的拉力和重力作用下平衡，由此容易求出
F1
m1g
2cos
以F1值代入前两式，可解出
y1
F1 F1 F2
C
B F*
cos m1 m2 m1l2
m1g F 1
m2 g
由此式可知，调速器两臂的张角α与主轴转动角速度ω有关。 利用这个结果可以选择m1 ，m2 ，l等参数，使在某一转速ω下， 角α为某一值，从而可以求得重锤C的相应位置，带动调节装置 进行调速。
二. 质点系的达朗伯原理
F1
Fg1
m1
a1
FN1 FNi
mi
FN2
Fgi
Fg2
m2
ai
Fi
F2
a2
质点系的主动力系
F 1,F 2, ,F i, ,F n
质点系的约束力系 F N 1 ,F N 2 , ,F N i, ,F N n 质点系的惯性力系
F g 1 ,F g 2 , ,F g i, ,F g n
第11章 达朗伯原理(动静法)
※ 引言 ※ 惯性力 ※ 达朗伯原理 ※ 刚体惯性力系的简化 ※ 动绕定轴转动刚体的轴承动反力 ※ 结论与讨论
引言
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运 动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动 力学问题 —— 达朗伯原理（动静法）。
达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问 题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方 法。
F —— 主动力； FN —— 约束力； Fg—— 质点的惯性力。
非自由质点的达朗伯原理
作用在质点上的主动力和约束力 与假想施加在质点上的惯性力，形 式上组成平衡力系。
达朗伯原理(动静法)
应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法
F + FN ＋ Fg＝0 Fg ＝－ ma
1、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度；
BC的拉力和重力作用下平衡，由此容易求出
F1
m1g
2cos
以F1值代入前两式，可解出
y1
F1 F1 F2
C
B F*
cos m1 m2 m1l2
m1g F 1
m2 g
由此式可知，调速器两臂的张角α与主轴转动角速度ω有关。 利用这个结果可以选择m1 ，m2 ，l等参数，使在某一转速ω下， 角α为某一值，从而可以求得重锤C的相应位置，带动调节装置 进行调速。
同济理论力学第11章动能定理概要PPT课件
M2 dW
M1s F 1 d s ... . .W .i.
S
S
自然坐标形式 ：
WM M 1 2F drM M 1 2Fdrcos dr ds
W M M 1 2 F cF o 、 v ) d s ( M M s 1 2 F ds
z
几种常见力的功：
r
M v
k(rl0)1 rd(r2 r)
M1
lO 1
r M
F
A rO
M2
lO 2
k(rl0)1 rd(r2 2)k(rl0)dr
d Wk2d(rl0 )2
W M M 1 2w r r 1 2k 2 d ( r l 0 ) 2 k 2 [r 1 ( l 0 ) 2 ( r 2 l 0 ) 2 ]
v
T1 3W2Pv2 2g
刚体动能计算
1、平移刚体的动能： T2 1m ivi22 1m iv22 1m2v
2、定轴转动刚体的动能：
T
1 2
mivi221(mii2
)2
1 2
J z
2
3、平面运动刚体的动能： T21mC 2v21JC2
vC C
[ρC：瞬心到质心的距离]
根据转动惯量的平行移轴定理
JI JCmC 2
T
1 2
JI2
例11-3：均质杆AB长l，质量为m，滑 块B的质量为m，圆柱A的质量为M，半
径为R。在运动过程中θ=θ（t），试 写出在θ=450瞬时的系统动能。
解： vA22l,vC2 l,vB22l
TAB21mC 2v21JC2
1m (l)21m2l21m2l2
2 2 212 6
I
CvC
A
vA
理论力学(双语)PPT课件
ion of Force
Two common problems in Statics involve either finding the resultant force, knowing its components, or resolving a known force into two components.
ENGINEERING MECHANICS STATICS
Zheng Tinghui Ph. D DEPT. OF Applied Mechanics
SICHUAN UNIVERSITY
Mechanics
Study of what happens to a “thing” (the technical name is “BODY”) when FORCES are applied to it.
2.1-2.2 Vectors and Scalars
1. Which one of the following is a scalar quantity? A) Force B) Position C) Mass D) Velocity
2. For vector addition you have to use ______ law.
The subject is subdivided into three branches:
Mechanics
Rigid Bodies (Things that do not change shape)
Deformable Bodies (Things that do change shape)
Fluids
Scalar Multiplication and Division
Vector Addition: Parallelogram Law Triangle method (always ‘tip to tail’) Vector Subtraction: R’ = A – B = A + (-B)
Two common problems in Statics involve either finding the resultant force, knowing its components, or resolving a known force into two components.
ENGINEERING MECHANICS STATICS
Zheng Tinghui Ph. D DEPT. OF Applied Mechanics
SICHUAN UNIVERSITY
Mechanics
Study of what happens to a “thing” (the technical name is “BODY”) when FORCES are applied to it.
2.1-2.2 Vectors and Scalars
1. Which one of the following is a scalar quantity? A) Force B) Position C) Mass D) Velocity
2. For vector addition you have to use ______ law.
The subject is subdivided into three branches:
Mechanics
Rigid Bodies (Things that do not change shape)
Deformable Bodies (Things that do change shape)
Fluids
Scalar Multiplication and Division
Vector Addition: Parallelogram Law Triangle method (always ‘tip to tail’) Vector Subtraction: R’ = A – B = A + (-B)
理论力学-英文版
Theoretical Mechanics(理论力学)Course Code：83031000Course Name: Theoretical MechanicsCourse Credit: 3Course Duration: the fifth termTeaching Object: undergraduate students of the Applied Physics MajorPre-course:Mechanics, Advanced MathematicsCourse Director: Wu Zhongchen, Lecturer, Doctor of ScienceCourse Introduction:The course mainly expounds classical mechanics theory. This course consists of two volumes. volume І covers the content of statics(Including the free-body diagram,planar force systems and couple systems, etc.), kinematics(Including the kinematics of a particle, the simple motion of a rigid body,resultant motion of a particle,etc.), dynamics(Including the particle dynamics,theorems of linear momentum,angular momentum and kinetic energy of particle systems ). V olume ІІ covers analytical mechanics (Including the fundamental equations of dynamics, Lagrange's equations of the first and the second kind, etc.)and mechanics vibration(Including the free and forced vibration of the systems with one and two degrees of freedom, isolation of vibration,dynamic vibration inhibitor,etc.).Course Examination:Final achievement=usual performance*30%+ Final Examination*70%The usual performance includes whether the students are punctual for class, attendance rate, answering questions, Exercises out of Class.The Final adoptes the close examination.Appointed Teaching Materials:The theoretical mechanics teaching and research section of HARBIN institute of technology(哈尔滨工业大学理论力学教研室). “Theoretical Mechanics(理论力学)”. Higher Education Press (高等教育出版社), the second edition on August, 2002 (2002年8月第二版).Bibliography:[1]Zhou Yanbai ( 周衍柏).“Theoretical Mechanics(理论力学教程)”. Higher Education Press (高等教育出版社), the second edition on March, 1986(1986年3月第二版).[2] Wang Zhenfa (王振发),. “ Analytical Mechanics (分析力学)”. Science Press (科学出版社), the first edition on March, 2003 (2002年3月第一版).。
理论力学课件 第十一章动能定理,质点的,以及力的功
dt d(1 mv2 ) = δW
2
微分形式
质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。
积分形式
∫ v2 v1
d(
1mv2 2
)
=
W12
1 2
mv22
−
1 2
mv12
= W12
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质 点的力作的功。
11.2 质点和质点系的动能
1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为
s
1、功的定义法计算。
功是力点乘作用点（受力点）的位移。
W = F × 2s = 2Fs
11.3 力的功
等效力系作功定理: 若作用于刚体上的两个力系等效，两个力 系对同一点所做的功相等。
将力系向一点简化（一般选择质心方便），得 到一力和一力偶。原力系的功等于一力一力偶 等效力系的功。
F
M
oR
F
s
W = Fs + Mϕ = 2sF
z2
)
z1 O
x
mg M2 y z2
重力的功等于质点系的总重量与其重心高度差之乘积,重心 降低为正,重心升高为负。
重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重心走过的 路径无关。
常见力的功
2) 弹力的功
弹性力的大小与其变
形量δ 成正比。设弹 A1
簧原长为l0 , 则弹力 δ
的功为
1
W12
=
1 2
k (δ12
∑ ∑ T =
i
1 2
mi
vi2
=
i
1 2
mi
(riω
)2
∑ = 1 ω2 2
i
理论力学第11章1
(e) y
p2z
p1z
I
(e) z
4. 动量定理特例
若∑ Fi (e) ，则 p = 恒矢量
若 Fx(e) 0 ， 则 px 恒量
质点系动量守恒定律
动量守恒定律是有条件的
这个条件就是系统所受的合外力必须为零。然而， 有时系统所受的合外力虽不为零，但与系统的内力相 比较，外力远小于内力，这时可以略去外力对系统的 作用，认为系统的动量是守恒的。
子质心O2，O1 O2=e，角速度为常量。求基础的水
平及铅直约束力。
ω O1
e φ O2
为 p m2e
y
方向如图所示
px m2e cost
py m2 esin t
由
dp x dt
Fx
dp y dt
Fy
m1g m2 g
ω O1
e
p
x
m1g
大小 ？
vA
x
方向 ？
画出图示速度矢量图
将（1）式向x轴取投影得
vBx
vA+ vBAcos
． vA+ l cos
=
0
cost
B
v v By BA vA vBx
vA l 0 sint cos( 0 cost)
质点系在x方向的动量守恒
于是 mAvA + mBvBx
即 mAvA + mB [vA l 0 sint cos( 0 cost)]
ri xi i +yi j +zi k rc xci +ycj +zck
于是
rc
mi m
xi
i
+
mi yi m
《理论力学》第十一章 动量矩定理
LO lOi ri mi v i
将动量矩投影到以O为原点的直角坐标轴上
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
Lx l x mv m yv z zv y
L y l y mv m zv x xv z Lz l z mv m xv y yv x
（二）质点系的动量矩L
设质点系由n个质点组成，其中第i个质点 的质量为mi，速度为vi。 质系对任意固定点O的动量矩：
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LO lOi ri mi v i
质系对任意固定点O的动量矩为各质点 的动量对O点矩的矢量和。
3、刚体动量矩的计算
1）刚体平动
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HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
例1：均质细长直杆长l，质量m1，与质量为m2,半径
为r，均质圆盘固结。已知角速度为,试求对转轴的 动量矩。 解：
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第十一章
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动量矩定理
§1 动量矩（表征物体转动的物理量）
一、动量矩的定义及计算
1. 对任意固定点O的动量矩（矢量）：
质点对固定点的动量矩即质点的动量对固定点的矩： z lO r mv r p mv lo M r F
平轴z的转动惯量。轴z过O点垂直纸面
【推荐】理论力学：ch11质点系动能定理.ppt
动量与质点速度一次方成正比，为矢量。
12
动力学/动能定理
二、质点系的动能 ——质点系内各质点动能的算术和
——柯尼希定理
即：质点系的动能（绝对运动动能），等于系统随质心 平移的动能（牵连运动动能）与相对于质心平移坐标系 运动的动能（相对运动动能）之和。
注意：这一结论只有以质心为基点时是正确的，对于 任意点为基点的情形，上述结论一般是不正确的。
例11-6 两根质量为m长为l 的均质杆AC和BC，在C处光 滑铰接，置于光滑水平面上。设两杆轴线始终在铅垂面 内，初始静止，C点高度为h。求铰C到达地面时的速度。 解：（1）取整个系统为研究对象
（2）受力分析，并计算力的功
（3）运动分析，并计算动能
因 ，故C点铅垂落下。
由A、C两点的速度方向，可知
◆有势力与势能的关系
40
动力学/普遍定理综合应用
3．机械能守恒定律
保守系统：具有理想约束，且所受的主动力皆为有势力
的系统称为保守系统。对保守系统，动能定理为
式中
应为系统中所有有势力的功之和。
有势力的功与路径无关，可通
过势能计算 。如图所示，设质
点在M1,M2 处的势能分别为V! 和V2。如以O点为零势点，则
势能函数相等的各点所组成的曲面称为等势面，表示为 如重力场的等势面是不同高度的水平面，如图(a)。弹性 力场的等势面是以弹簧固定端为中心的球面，如图(b)。地球 引力场的等势面是以地心为中心的不同半径的同心球面。
39
动力学/普遍定理综合应用
当C=0时的等势面称为零等势面。 在重力场中，一般选水平面为零势面；在弹性力场中 选弹簧自由长度，初变形为零处为零势能位置；万有引力 场中选无穷远处为零势能位置。
12
动力学/动能定理
二、质点系的动能 ——质点系内各质点动能的算术和
——柯尼希定理
即：质点系的动能（绝对运动动能），等于系统随质心 平移的动能（牵连运动动能）与相对于质心平移坐标系 运动的动能（相对运动动能）之和。
注意：这一结论只有以质心为基点时是正确的，对于 任意点为基点的情形，上述结论一般是不正确的。
例11-6 两根质量为m长为l 的均质杆AC和BC，在C处光 滑铰接，置于光滑水平面上。设两杆轴线始终在铅垂面 内，初始静止，C点高度为h。求铰C到达地面时的速度。 解：（1）取整个系统为研究对象
（2）受力分析，并计算力的功
（3）运动分析，并计算动能
因 ，故C点铅垂落下。
由A、C两点的速度方向，可知
◆有势力与势能的关系
40
动力学/普遍定理综合应用
3．机械能守恒定律
保守系统：具有理想约束，且所受的主动力皆为有势力
的系统称为保守系统。对保守系统，动能定理为
式中
应为系统中所有有势力的功之和。
有势力的功与路径无关，可通
过势能计算 。如图所示，设质
点在M1,M2 处的势能分别为V! 和V2。如以O点为零势点，则
势能函数相等的各点所组成的曲面称为等势面，表示为 如重力场的等势面是不同高度的水平面，如图(a)。弹性 力场的等势面是以弹簧固定端为中心的球面，如图(b)。地球 引力场的等势面是以地心为中心的不同半径的同心球面。
39
动力学/普遍定理综合应用
当C=0时的等势面称为零等势面。 在重力场中，一般选水平面为零势面；在弹性力场中 选弹簧自由长度，初变形为零处为零势能位置；万有引力 场中选无穷远处为零势能位置。
理论力学第十一章英文ppt
t2
I Fdt
t1
t2
t2
t2
I x Fxdt, I y Fydt, I z Fzdt
t1
t1
t1
3) The impulse of a resultant force is equal to the geometric sum of the impulses of all component forces:
② Integral form.
t2
mv2 mv1 F dt I
t1
In a certain time interval, the change of the momentum of a particle
is equal to the impulse of the force during the same interval of time.
2.Theorem of momentum of a system of particles
For any particle i in the system, we have
d dt
(mi
vi
)
Fi
(i
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Fi
(
e).
For the whole system of particles, we have
velocity, the unit of which is kgm/s. p mivi
Momentum is a physical quantity measuring the intensity of the mechanical motion of a material body. For example, the velocity of a bullet is big but its mass is small. In the case of a boat it is just opposite.
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are mi , vc.i For the whole system we get then
Px mivCix mi xCi
P mivCi
.
Py mivCiy mi yCi ,
Pz mivCiz mi zCi
, , .
Example
In the mechanism shown in the figure, OA rotate with a constant angular
velocity . Assume that OA=L,OB=L.
The rods OA and AB are homogeneous and of mass m. The mass of the slide block at B is also m. Determine the momentum of the system when j=45º.
Fi (i) 0; mO (Fi (i) ) 0 or mx (Fi (i) ) 0。
§12.2 Momentum and Impulse
1. Momentum
1) Momentum of a particle.The product of the mass of a particle and its velocity is called the momentum of a particle. It is a time-dependent vector with the same direction as the
2) The momentum of a system of particles is defined as the vector
equal to the geometric sum of the momenta of all the particles of th.
Chapter 12: Theorem of Momentum
§12.1 The center of mass of a system of particles §12.2 Momentum and impulse §12.3 Theorem of momentum §12.4 Theorem of motion of the center of mass
In terms of projections on cartesian axes we have
Px MvCx MxC , Py MvCy MyC ,
Pz MvCz MzC
3)Momentum of a system of rigid bodies: Assume that the mass and the velocity of the center of mass of the i-th rigid body .
§12.1 The Center of Mass of a System of Particles
1. The center of mass. The center of mass of a system of particles is called center of mass. It is an important concept representing the distribution of mass in any system of particles.
External forces are the forces exerted on the members of a system by particles or bodies not belonging to the given system Internal forces are the forces of interaction between the members of the same system. As far as the whole system of particles is concerned, the geometrical sum (the principal vector) of all the internal forces of a system is zero. The sum of the moments (the principal moment )of all the internal forces of a system with respect to any center of axis is zero, too.
The position of the center of mass c is (M mi )
rC
mi ri M
or
MrC
mi ri
From rc xci yc j zck , we got
xC
mi
M
xi
,
yC
mi
M
yi
,
zC
mi
M
zi
2. External forces and internal forces of a system of particles
P
mivi
mi
dr dt
d dt
mi
ri
rc
miri
M
miri MrC
P mivi MvC
The momentum of a system is equal to the product of the mass of the whole system and the velocity of its center of mass.
velocity, the unit of which is kgm/s. p mivi
Momentum is a physical quantity measuring the intensity of the mechanical motion of a material body. For example, the velocity of a bullet is big but its mass is small. In the case of a boat it is just opposite.
Px mivCix mi xCi
P mivCi
.
Py mivCiy mi yCi ,
Pz mivCiz mi zCi
, , .
Example
In the mechanism shown in the figure, OA rotate with a constant angular
velocity . Assume that OA=L,OB=L.
The rods OA and AB are homogeneous and of mass m. The mass of the slide block at B is also m. Determine the momentum of the system when j=45º.
Fi (i) 0; mO (Fi (i) ) 0 or mx (Fi (i) ) 0。
§12.2 Momentum and Impulse
1. Momentum
1) Momentum of a particle.The product of the mass of a particle and its velocity is called the momentum of a particle. It is a time-dependent vector with the same direction as the
2) The momentum of a system of particles is defined as the vector
equal to the geometric sum of the momenta of all the particles of th.
Chapter 12: Theorem of Momentum
§12.1 The center of mass of a system of particles §12.2 Momentum and impulse §12.3 Theorem of momentum §12.4 Theorem of motion of the center of mass
In terms of projections on cartesian axes we have
Px MvCx MxC , Py MvCy MyC ,
Pz MvCz MzC
3)Momentum of a system of rigid bodies: Assume that the mass and the velocity of the center of mass of the i-th rigid body .
§12.1 The Center of Mass of a System of Particles
1. The center of mass. The center of mass of a system of particles is called center of mass. It is an important concept representing the distribution of mass in any system of particles.
External forces are the forces exerted on the members of a system by particles or bodies not belonging to the given system Internal forces are the forces of interaction between the members of the same system. As far as the whole system of particles is concerned, the geometrical sum (the principal vector) of all the internal forces of a system is zero. The sum of the moments (the principal moment )of all the internal forces of a system with respect to any center of axis is zero, too.
The position of the center of mass c is (M mi )
rC
mi ri M
or
MrC
mi ri
From rc xci yc j zck , we got
xC
mi
M
xi
,
yC
mi
M
yi
,
zC
mi
M
zi
2. External forces and internal forces of a system of particles
P
mivi
mi
dr dt
d dt
mi
ri
rc
miri
M
miri MrC
P mivi MvC
The momentum of a system is equal to the product of the mass of the whole system and the velocity of its center of mass.
velocity, the unit of which is kgm/s. p mivi
Momentum is a physical quantity measuring the intensity of the mechanical motion of a material body. For example, the velocity of a bullet is big but its mass is small. In the case of a boat it is just opposite.