换底公式
换底公式
(3)
loga
M N
log a M log a N;
例3：科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震 级r可定义为r=0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震 的相对能量程度。
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度
分别为I1和I2，由题意得
6.9 0.6 lg I1 ,
loga b logb c logc a 1.(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a 1 lg a lg b lg c
2.利用换底公式求值。
(1) log2 25 log3 4 log5 9 ___8____
5
3 (1)log6 216 2
(2) log0.5 1 log0.5 4 2
3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式。
(1) lg(x2 yz 3) 2 lg x lg y 3 lg z
(2) lg
x y3z
1 lg x 3 lg y lg z 2
问题1: 使用对数的运算法则运算的前提条件是“同底”， 如果底不同怎么办？ 问题2: 我们知道科学计算器通常只能对常用对数或自然 对数进行计算，要计算log215，必须将它换成常用对数 或自然对数，如何转换？
2.三个结论：
(1)负数和零没有对数
(2) loga 1 0, loga a 1
(3)aloga N N
复习旧知
积、商、幂对数的运算法则
如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;
换底公式的证明及其应用
换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.(2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d .评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.分析 本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小.分析 本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .。
换底公式
还可以变形,得
② log x y log y z log x z
公式的运用： 利用换底公式统一对数底数，即“化异为同” 是解决有关对数问题的基本思想方法；
log 8 9 log 27 32
log c b log a b log c a
n
(a, c (0,1) (1,), b 0) a, b (0,1) (1,)
n log am b log a b m log a b log b a 1
例三、设 求证：
3x 4 y 6 z t 1
2 10 lg
9 5
2+ ຫໍສະໝຸດ g 2 lg10 2+ lg 2
= ( 1 －lg 2 ) 2 + lg 2 ( 1 －lg 2 ) + lg 2 = 1 －2lg 2 + lg 2 2 + lg 2 －lg 2 2 + lg 2 =1
2、已知 lg x + lg y = 2lg ( x －2y )，求 log
3)x 2 3
3或( 2
∴ x = 1 或 x = －1 故方程的解为 x = 1 或 x = －1.
，一定要求
log 18 2 1 a
log18 45 log18 9 log18 5 a b log 36 45 log18 36 1 log18 2 2a
利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问 题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起 了重要作用，在解题过程中应注意： （1）针对具体问题，选择好底数； （2）注意换底公式与对数运算法则结合使用； （3）换底公式的正用与逆用；
换底公式的6个推论
换底公式的6个推论（最新版）目录1.换底公式的概念和基本形式2.推论 1：对数函数的性质3.推论 2：指数函数的性质4.推论 3：三角函数的性质5.推论 4：反三角函数的性质6.推论 5：复合函数的性质7.推论 6：初等函数的性质正文换底公式是数学中一种重要的公式，它用于将一个数的底数从一个数改为另一个数。
换底公式的基本形式为：如果 a 的 b 次方等于 c，那么 a 的 c 次方等于 b。
这个公式在数学中有着广泛的应用，下面我们来看看换底公式的 6 个推论。
首先，我们来看推论 1：对数函数的性质。
对数函数是一种重要的数学函数，它的基本形式为 loga(x)=y，其中 a 是底数，x 是真数，y 是对数。
通过对数函数的性质，我们可以知道，对数函数是一个单调函数，也就是说，当 x1<x2 时，loga(x1)<loga(x2)。
其次，我们来看推论 2：指数函数的性质。
指数函数是一种重要的数学函数，它的基本形式为 a^x=y，其中 a 是底数，x 是指数，y 是幂。
通过指数函数的性质，我们可以知道，指数函数是一个单调函数，也就是说，当 x1<x2 时，a^x1<a^x2。
接下来，我们来看推论 3：三角函数的性质。
三角函数是一种重要的数学函数，它的基本形式为 sinx=y，cosx=y，tanx=y，其中 x 是角度，y 是函数值。
通过三角函数的性质，我们可以知道，三角函数是一个周期函数，也就是说，当 x 增加 2π时，sinx 的值不变，cosx 的值不变，tanx 的值不变。
然后，我们来看推论 4：反三角函数的性质。
反三角函数是三角函数的逆函数，它的基本形式为 arcsin(y)=x，arccos(y)=x，arctan(y)=x，其中 y 是函数值，x 是角度。
通过反三角函数的性质，我们可以知道，反三角函数是一个单调函数，也就是说，当 y1<y2 时，arcsin(y1)<arcsin(y2)，arccos(y1)<arccos(y2)，arctan(y1)<arctan(y2)。
高中数学同步学案 换底公式
2．2.2 换底公式换底公式1．换底公式log a N ＝log c Nlog c a (a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)2．几个常见结论： (1)log a b·log b a ＝1； (2)log a n b n＝log a b ； (3)log a m b n＝n mlog a b ；(4)log a b·log b c·log c d ＝log a d.1．换底公式如何证明？ [提示] 设x ＝log a b,则a x＝b, 两边取以c 为底的对数得 log c a x＝log c b 即xlog c a ＝log c b, 所以x ＝log c b log c a ,即log a b ＝log c blog c a .2．写出下面几个式子的值．(1)log 28；(2)log 416；(3)log 24；(4)log 322；(5)log 6416. [提示] (1)3 (2)2 (3)4 (4)110 (5)23对数式的求值[例1] 求值：(1)log 23·log 35·log 516；(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．[思路点拨] 先利用换底公式化同底,再运用运算性质． [解] (1)因为log 23＝lg3lg2,log 35＝lg5lg3,log 516＝lg16lg5.所以log 23·log 35·log 516＝lg3lg2·lg5lg3·lg16lg5＝lg16lg2＝4lg2lg2＝4. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg2lg9⎝ ⎛⎭⎪⎫lg3lg4＋lg3lg8＝⎝⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg22lg3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.借题发挥 换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而化简、计算与证明,在化简求值过程中,出现不同底数的对数不能运用运算法则时,可统一化成以同一个实数为底的对数,再根据运算法则进行化简和求值.1．计算： (1)log 927； (2)log 89·log 2732； (3)log 21125·log 3132·log 513.解：(1)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32. (2)log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109. (3)log 21125·log 3132·log 513＝log 25－3·log 32－5·log 53－1＝－3log 25·(－5log 32)·(－log 53) ＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.条件等式的求值与证明[例2] 设a,b,c 都是正数,且3a ＝4b ＝6c,证明：a ＋b ＝c.[思路点拨] 解答本题可以先令3a ＝4b ＝6c＝k,两边取对数后,表示出a,b,c,再用换底公式代入证明． 证明：法一：设3a＝4b＝6c＝k(a,b,c 均为正数,k>0), 则a ＝log 3k,b ＝log 4k,c ＝log 6k. ∴1a ＝log k 3,1b ＝log k 4,1c ＝log k 6, ∴2log k 3＋log k 4＝2log k 6, 即2a ＋1b ＝2c. 法二：对3a＝4b＝6c 同时取以10为底的对数, 得lg3a＝lg4b＝lg6c, ∴alg3＝blg4＝clg6,∴c a ＝lg3lg6＝log 63,c b ＝lg4lg6＝log 64, ∵2log 63＋log 64＝log 636＝2, 即2c a ＋c b ＝2,∴2a ＋1b ＝2c. 借题发挥 换底公式的主要作用就是化不同底为同底,只有化同底后方可使用对数的运算性质,在条件求值中,常常是把所求靠拢已知,根据已知的条件,逐步消除已知与未知之间的差异,使问题顺利解决.2．已知2x＝3,log 483＝y,求x ＋2y 的值．解：因为2x＝3,所以x ＝log 23.所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋log 283＝log 23＋log 28－log 23＝log 223＝3.1.log 89log 23的值为( ) A ．2 B ．3 C.32 D.23答案：D2．已知lg2＝a,lg3＝b,则log 36＝( ) A.a ＋b a B.a ＋bbC.a a ＋b D.b a ＋b解析：选B log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b b.3．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416,则m 的值为( ) A.12 B ．9 C ．18D ．27解析：选B 由题知lg4lg3·lg8lg4·lgm lg8＝lg16lg4,∴lgm lg3＝lg16lg4＝2,∴lgm ＝lg32＝lg9,m ＝9. 4．若log a b·log 3a ＝4,则b 的值为________． 解析：log a b·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg blg 3＝4,所以lg b ＝4lg 3＝lg 34,所以b ＝34＝81. 答案：815．已知log a x ＝1,log b x ＝2,log c x ＝4,则log abc x ＝________. 解析：由已知得log x a ＝1,log x b ＝12,log x c ＝14.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝11＋12＋14＝47. 答案：476．求(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)的值． 解：原式＝(log 23＋log 2332)(log 322＋log 3223＋log 32)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫92log 32＝152.已知log 189＝a,18b＝5,求log 3645,你能用不同的方法解决这个问题吗？让我来试试吧！ ∵18b＝5,∴log 185＝b,于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×5log 1818×2＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.看我的！∵18b＝5,∴log 185＝b,于是log 3645＝log 189×5log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189 ＝a ＋b2－a.我也能解． ∵log 189＝a,18b＝5, ∴lg9＝alg18,lg5＝blg18. ∴log 3645＝lg45lg36＝lg9×5lg 1829＝lg9＋lg52lg18－lg9 ＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a ＋b2－a.一、选择题1．下列各式中正确的是( ) A ．log 23·log 8116＝1 B.log 24log 28＝－1 C ．lg4·lg9＝lg36D ．(log 515)3＝－3解析：选A log 23·log 8116＝lg3lg2·lg16lg81＝lg3lg2·4lg24lg3＝1.2．若log 37·log 29·log 49a ＝log 412,则a 的值等于( )A.14B.22C. 2D ．4解析：选B 原方程可化为log 37·2log 23·12log 7a ＝－12,即log 2a ＝－12,∴a ＝212-＝22.3．设lg2＝a,lg3＝b,那么lg 1.8等于( ) A.12(a ＋2b －1) B ．a ＋b －1 C.12(2a ＋b －1) D ．a ＋b解析：选A lg 1.8＝12lg(0.1×9×2)＝12(lg2＋lg9＋lg0.1)＝12(a ＋2b －1)． 4．已知lga 、lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根,则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C lga ＋lgb ＝2,lga·lgb＝12,⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lga －lgb)2＝(lga ＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×12＝2.二、填空题5．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，3x，x≤0，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值为________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2,f(－2)＝3－2＝19.答案：196．已知2x ＝72y＝A,且1x ＋1y ＝1,则A 得值是________．解析：∵2x＝72y＝A,∴x ＝log 2A,2y ＝log 7A ∴1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7 ＝log A 2＋log A 49＝log A 98＝1. ∴A ＝98. 答案：98 三、解答题7．(1)计算log 53·log 27125； (2)计算log 2125·log 318·log 519.解：(1)log 53·log 27125＝lg3lg5·lg125lg27＝lg3lg5·3lg53lg3＝1.(2)log 2125·log 318· log 519＝－log 225·log 38·log 59＝－2lg5lg2·3lg2lg3·2lg3lg5＝－12.8．若a,b 是方程2(lg x)2－lg x 4＋1＝0的两个实根,求lg(ab)·(log a b ＋log b a)的值． 解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x,则方程化为2t 2－4t ＋1＝0, ∴t 1＋t 2＝2,t 1·t 2＝12.又∵a,b 是方程2(lg x)2－lg x 4＋1＝0的两个实根, ∴t 1＝lg a,t 2＝lg b,即lg a ＋lg b ＝2,lg a·lg b＝12.∴lg(ab)·(log a b ＋log b a) ＝(lg a ＋lg b)·⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝(lg a ＋lg b)·lg b 2＋lg a2lg a·lg b＝(lg a ＋lg b)·lg a ＋lg b 2－2lg a·lg blg a·lg b＝2×22－2×1212＝12,即lg(ab)·(log a b ＋log b a )＝12.。
换底公式的四个推论
换底公式的四个推论
什么是换底公式？
换底公式是数学中一个重要的定理，也叫换底定理，也叫底数公式。
它宣称，任何一个幂指数函数，只要底数不同，它的值也必不同，并且采用函数的新底数计算出它的新值，这种计算过程就叫换底公式。
换底公式的数学表达形式是：如果a≠b，那么：
$$\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$$
换底公式的四个推论：
1、换底公式宣称，给定任何一个幂指数函数，只要底数不同，它值就不同，这表明换底公式可以用来计算新函数值。
2、如果是负数幂函数，底数幂比例变化，则函数符号会发生变化，例如，原函数是正数，换底后则变为负数，反之亦然。
3、换底公式也提供了一种技巧：可以将幂指数函数中的底数替换为任意一个值，改变函数的形式，进而得出更新的函数值。
4、换底公式也可以让我们更灵活地掌握几何变换，帮助我们更快捷地分解复杂的函数式子。
换底公式练习
专题10换底公式【知识回顾】换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．特别地，log a b·log b a＝1，log b a＝【典例应用】【例1】计算：log1627log8132.1．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)．【例2】已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.2．(1)已知log142＝a，试用a表示log27.(2)若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245..【等级过关练】 1．思考辨析(1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( ) (2)log 52＝log (－3)2log (－3)5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( )2．若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( )A.b a B ．ab C ．a b D ．b a 3．式子log 916·log 881的值为( )A ．18B ．118 C.83D ．384．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( )A ．a －bB ．ab C ．ab D ．a ＋b5.log 49log 43的值为( )A.12 B ．2 C.32 D ．92 6．log 332·log 227＝________. 7．设2a ＝3b ＝6，则1a ＋1b ＝________.8．若log 32＝a ，则log 123可以用a 表示为________． 9．已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________. 10．求下列各式的值：(1)log 427·log 258·log 95； (2)log 225·log 3116·log 519.专题10换底公式【知识回顾】换底公式：log b N ＝log a Nlog ab (a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．特别地，log a b ·log b a ＝1，log b a ＝【典例应用】【例1】 计算：log 1627log 8132.[思路探究] 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．[解] log 1627log 8132＝lg 27lg 16·lg 32lg 81＝lg 33lg 24·lg 25lg 34＝3lg 34lg 2·5lg 24lg 3＝1516.1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n 为底的换为a 为底．2．换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ； log an b m ＝mn log a b .1．计算：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)． [解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝5lg 36lg 2·3lg 22lg 3＝54.【例2】 已知log 189＝a,18b ＝36[解] 法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a ， 又5＝18b ，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b ＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b2－a .法二：∵18b ＝5， ∴log 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b2－a. 法三：∵log 189＝a,18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用.2．(1)已知log 142＝a ，试用a 表示log27.(2)若log 23＝a ，log 52＝b ，试用a ，b 表示log 245. [解] (1)法一：因为log 142＝a ，所以log 214＝1a . 所以1＋log 27＝1a . 所以log 27＝1a －1. 由对数换底公式， 得log 27＝log27log 22＝log 272.所以log27＝2log 27＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a －1＝2(1－a )a . 法二：由对数换底公式，得log 142＝log 22log 214＝2log 27＋2＝a .所以2＝a (log 27＋2)，即log27＝2(1－a )a .(2)因为log 245＝log 2(5×9)＝log 25＋log 29＝log 25＋2log 23，而log 52＝b ，则log 25＝1b ，所以log 245＝2a ＋1b ＝2ab ＋1b . 【等级过关练】 1．思考辨析(1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( ) (2)log 52＝log (－3)2log (－3)5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√2．若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( ) A.b a B ．ab C ．a b D ．b a B [log 5 3＝lg 3lg 5＝ab .]3．式子log 916·log 881的值为( ) A ．18 B ．118 C.83D ．38C [原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.故选C.]4．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( ) A ．a －b B ．a b C ．abD ．a ＋bB [因为ln 2＝a ，ln 3＝b ，所以log 32＝ln 2ln 3＝ab .]5.log 49log 43的值为( )A.12 B ．2 C.32D ．92B [log 49log 43＝log 39＝2log 33＝2.]6．log 332·log 227＝________.15 [log 332·log 227＝lg 32lg 3·lg 27lg 2＝5lg 2lg 3·3lg 3lg 2＝15.] 7．设2a ＝3b ＝6，则1a ＋1b ＝________.1 [因为2a ＝3b ＝6，所以a ＝log 26，b ＝log 36，所以1a ＋1b ＝1log 26＋1log 36＝log 62＋log 63＝log 66＝1.]8．若log 32＝a ，则log 123可以用a 表示为________． 12a ＋1 [log 123＝log 33log 312＝12log 32＋1＝12a ＋1] 9．已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________. 9 [因为log 34·log 48·log 8m ＝2， 所以lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2， 化简得lg m ＝2lg 3＝lg 9. 所以m ＝9.]10．求下列各式的值：(1)log 427·log 258·log 95； (2)log 225·log 3116·log 519. [解] (1)原式＝lg 27lg 4·lg 8lg 25·lg 5lg 9 ＝3 lg 32lg 2·3lg 22lg 5·lg 52 lg 3＝98. (2)原式＝log 252·log 32－4·log 53－2 ＝2lg 5lg 2·(－4)lg 2lg 3·(－2)lg 3lg 5＝16.。
log之间的转换公式
log之间的转换公式
log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)。
这个公式被称为对数的换底公式。
它允许我们将一个对数表达
式转换为另一个底数的对数表达式。
这个公式的推导涉及到对数的
性质和换底公式的证明，但在使用时我们只需要记住这个公式即可。
举个例子来说明，假设我们有log_2(8)，我们想将其转换为以
底数为10的对数形式。
根据换底公式，我们可以使用以下步骤进行
转换：
log_2(8) = log_10(8) / log_10(2)。
然后我们可以利用常用对数的值（如log_10(2)和log_10(8)）
来计算得到最终结果。
需要注意的是，换底公式适用于任意正数a、b和c，只要这些
对数是有意义的。
另外，当我们在实际计算中使用换底公式时，要
注意对计算精度和结果的有效性进行检验，以避免错误的结果。
换底公式
1.对数书写不规范，底数、真数分不清。 2.易将底数忽略不写。 错将 lg a 写成 log a 。 你有吗 3.利用换底公式时，不知选谁为底。 ？？？ 不会利用换底公式的逆运算。 4.不能熟练运用对数运算性质。
• 1.对数的定义：一般地，如果a(a 0且a 1)的b次 b 幂等于N，即 a N ,那么数b叫作以a 为底N 的对数，记作 b log N ，其中 a 叫作对数 a 的底数，N叫作真数。 • 2.对数的运算性质：如果 a 0, a 1, M 0, N 0, 则
谢 ห้องสมุดไป่ตู้！
(1) log a (MN ) loga M loga N ; (2) log a M n n loga M ( N R ); M (3) log a loga M loga N N
※换底公式：
log a N logb N (a, b 0, a, b 1, N 0) log a b
• ⑴
1 logb a (a, b 0, a, b 1) log a b
n log am b log a b(a, b 0, a, b 1, m 0) m
n
• ⑵
你会证明吗
• 1.对数的换底公式及推论。
• 2.公式的实际应用。
教材86页练习第2题， 习题3-4 B组第4题
换底公式
换底公式1．对数的换底公式b N N a a b log log log =(a ，b >0，且a ，b ≠1，N >0)． 2、利用对数换底公式可得到如下等式： ①a b b a log 1log =，即1log log =⋅a b b a (a >0，a ≠1，b >0，b ≠1)． ②b n m ba m a n log log =(a >0，a ≠1，b >0，m ∈R ，n ≠0)． 特例：b n b a a n log 1log = b b a n a n log log = b n b a n a l o g l o g = 课堂巩固练习1、21log log 9log 7log 44923=a ，则=a __22__________ 2、若x 3log 2log 23=，则=x （ C ）A 、1-B 、1C 、23)2(logD 、22)3(log3、=+51log 5log 3333_556____________ 4、（2012安徽文科）（2l o g 9）·（3log 4）=( D ) （A ） 14 （B ）12（C ） 2 （D ）4 解：利用ab b a log 1log =，即1log log =⋅a b b a 5、(2010辽宁文科)设2b =5b =m ,且11a b+＝２，则m=（ A ）(A) (B)10 (C)20 (D)100 解：利用ab b a log 1log =，即1log log =⋅a b b a 6、log 916·log 881的值为( )A ．18 B.118 C.83 D.38解析：log 916·log 881＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.答案：C7、若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝( )A.12 B ．9 C ．18 D ．27解析：∵log 34·log 48·log 8m ＝log 416，∴lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝log 442， 化简得lg m ＝2lg 3，即lg m ＝lg 9，∴m ＝9.答案：B8、已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( ) A ．3 B ．8 C ．4 D ．log 48解析：x ＝log 23，x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2·log 283log 24＝log 23＋log 283＝log 28＝3.答案：A9、已知log 95＝a ，log 37＝b ，则log 359＝________.解析：∵a ＝log 95＝log 35log 39＝log 352，∴log 35＝2a ，∴log 359＝log 39log 35＋log 37＝22a ＋b. 答案：22a ＋b10、计算：(1)log 1627·log 8132；(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．解：(1)log 1627·log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516.(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝54.11、若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg (ab )·(log a b ＋log b a )的值．解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0.设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴lg (ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg b lg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12， 即lg (ab )·(log a b ＋log b a )＝12.。
``换底公式
精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师 大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最|新版本的教材资源 .包含本课对应 内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最|正确选择 .第二十二教时教材： 换底公式目的：要求学生掌握对数的换底公式 ,并能解决有关的化简、求值、证明问题 . 过程：一、换底公式：aNN m m a log log log =( a > 0 , a ≠ 1 ) 证：设 log a N = x , 那么 a x = N两边取以 m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒=从而得：a N x m m log log = ∴ a NN m m a log log log =两个较为常用的推论：1︒ 1log log =⋅a b b a 2︒ b mnb a n a m log log = ( a , b > 0且均不为1 )证：1︒ 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅baa b a b b a 2︒ b m na mb n ab b a mn na m log lg lg lg lg log === 二、例一、计算：1︒ 3log 12.05- 2︒ 421432log 3log ⋅解：1︒ 原式 = 15315555531log 3log 52.0=== 2︒ 原式 =2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅ 例二、 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 (用 a , b 表示 ) 解：∵ log 18 9 = a ∴a =-=2log 1218log 1818 ∴log 18 2 = 1 - a∵ 18 b = 5 ∴ log 18 5 = b ∴ aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 例三、设 1643>===t z y x 求证：yx z 2111=-证：∵1643>===t z y x ∴6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，， ∴yt t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=- 例四、假设log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5 ∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pqpq3135lg +=例五、计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++解：原式452133222log )2log 2)(log 3log 3(log 232-++=45)2log 212)(log 3log 313log 21(3322+++=254545452log 233log 6532=+=+⋅=例六、假设 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m 求 m解：由题意：218lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =⋅⋅m ∴3lg 21lg =m ∴3=m三、小结：换底公式及其推论 四、作业：1．求以下各式的值：1︒ 65353log 9--+)(41- 2︒ 7log 15log 1864925+ (10)3︒ )5.0log 2)(log 2.0log 5(log 25542++ )(414︒ )243log 81log 27log 9log 3(log 32log 321684269++++ )(12252． )23lg(lg )23lg(2++=-x x x 求 222logx的值 . )(473． lg 5 = m , lg 3 = n 用 m , n 表示 log 30 8))((mm +-113 4． aa-=12log3求 log 12 3 (a ) 5．设 a , b , c 为不等于 1 的正数 ,假设 z y x c b a == 且0111=++zy x 求证：ab c = 1 6．求值：12log 221033)2(lg 20log 5lg -++⋅7．求值：2lg 2)32(3log10)347(log 22++-++ ( -189)。