高中数学艺术生百日冲刺专题训练之平面向量

合集下载

31 平面向量的数量积-艺考生文化课百日冲刺

命题热点集训（三十一）平面向量的数量积1. 已知向量等于则若b a b a x b a ⋅-==,//),4,(),2,1(10.-A 6.-B 0.C 6.D2．已知向量),1,5(),7,1(0),1,2(===OB A OP 设M 是直线OP 上的一点（O 为坐标原点），那么⋅ 的最小值是4.-A 0.B 8.-C 16.-D3．在△ABC 中，ABC ∆=,3.的面积,23[∈S ],23则AB 与BC 夹角的取值范围是 ]4,12.[ππA ]2,4.[ππB ]3,6.[ππC ]4,6.[ππD 4．已知),2,1(),3,5(-=-=n m 当n n m 2()(⊥+λ)m +时，实数A 的值为 85.A 163.-B 83.-C 83.D 5．已知向量),,1(),1,1(t n m ==若,3=⋅n m 则向量m 与向量n 夹角的余弦值为105.A 1023.B 1053.C 10103.|D 6．已知向量),1,2(),2,1(-==b a 则a 与b 的夹角的大小为7．设),3,1(,),6sin ,6(cos =⋅∈=b N n n n a n ππ则=y 2102221||||||b a b a b a ++++++ 的值为 8．如图31 -1，在边长为2的菱形ABCD 中，060=∠BAD E 为CD 的中点，则⋅9．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若;,c b c a b a =⋅=⋅则②若;3,//),6,2(),,1(-=-==k b a b k a 则③非零向量a 和b 满足|,|||||b a b a -==则a 与a 十b 的夹角为060其中真命题的序号为____．（写出所有真命题的序号）l0.已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =(1，2)．(1)若,52||=C 且c//a ，求c 的坐标； (2)若,25||=b 且b a 2+与b a -2垂直，求a 与b 的夹角θ 11．已知向量⋅-==)21,(cos ),1,(x b x m s a (1)当a⊥b 时，求｜a+b ｜的值；(2)求函数)()(a b a x f -⋅=的最小正周期．。

高考数学中等生百日捷进提升系列专题05平面向量(含解析)【含答案】

第五章平面向量平面向量的线性运算和坐标运算【背一背重点知识】1. 向量加法：利用“平行四边形法则”或“三角形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量.2. 向量的减法：用“三角形法则”，要注意：减向量与被减向量的起点相同.3. 向量平移具有坐标不变性，相等向量的坐标是一样的.4. 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等.5. 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合.6. 平行向量无“传递性”（因为有0).7. 三点A 、B 、C 共线⇔ ,AB AC 共线.8. 当判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况： (1)零向量的方向及与其他向量的关系； (2)单位向量的长度及方向．9.已知1122()()a x y b x y ＝，，＝，，判断两向量平行和垂直的充要条件容易混淆.应为a b ⊥⇔ 12120x x y y ＋＝，//a b ⇔ 12210x y x y －＝，使用时要注意区分清楚．【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）向量的基本概念是向量的基础，学习时应注意不要把向量与实数盲目类比；向量的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时要学会灵活选用，解题时应善于将向量用一组基底（不共线向量）来表示，要会应用向量共线、垂直的充要条件来解题. （2）平面向量基本定理是向量坐标形式表示的理论基础，平面向量的坐标运算是高考的重点，通常考查两个向量平行、垂直的位置关系；另外平面向量的坐标运算，在解析几何、三角函数中出现较多. （3）在中，当M 为BC 中点时，1()2AM AB AC =+应作为公式记住．（4）在一般向量的线性运算中，只要把其中的一个向量当作一个字母看待即可．其运算方法类似于合并同类项，在计算时可进行类比．2.典型例题：例1．设P 是ABC ∆所在平面内一点，2BC BA BP +=则 A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．0PC PA += D ．0PA PB PC ++= 【答案】C 【解析】试题分析：因为P 是ABC ∆所在平面内一点， 2BC BA BP +=，所以P 是AC 的中点，则0PC PA +=.例2下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）（A ）()()120,0,1,2e e ==- （B ）()()121,2,5,7e e =-= （C ）()()123,5,6,10e e == （D ）()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】例3在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈. （1）若23mn ==，求||OP ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.分析：（1）由(,)OP mAB nAC m n R =+∈，且23m n ==，即可求出P 点的坐标，继而求出||OP 的值；（2）因为OP mAB nAC =+，所以(,)(2,2)x y m n m n =++，即22x m ny m n =+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-令y x t -=，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1. 【解析】：x【练一练提升能力】1.向量a b c ，，在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=＋ (R λμ∈，)，则λμ= .【答案】4【解析】以向量a b ，的交点为原点，建立直角坐标系，则()1,1a =-，()()6,2 1,3b c ==--，，由c a b λμ=＋，得，即解得，.2.已知点A(1,3),B(4,1)-,则与向量AB 同方向的单位向量为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A3. 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则DA ＝（） A ．（2,4） B ．（3,5） C ．（1，1） D ．（－1，－1）【答案】C ．【解析】试题分析：()(1,1)DA AD AC AB =-=--=．平面向量的数量积【背一背重点知识】1. 数量积是一个实数，不再是一个向量.2.向量数量积与实数相关概念的区别：(1)表示方法的区别:数量积的记号是a b ⋅，不能写成a b ⨯，也不能写成ab . (2)相关概念及运算的区别：①若a b ，为实数，且0ab =，则有0a ＝或0b ＝，但0a b ⋅=却不能得出0a =或0b =.③若a b c ∈R ，，，则()()a b c a b c ＝(结合律)成立，但对于向量,,a b c ，向量的数量积是不满足结合律．④若a b ∈R ，，则||··a b a b ＝，但对于向量,a b ，却有||··a b a b ≤，等号当且仅当//a b 时成立．3.设两个非零向量，，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥⇔∙=；②当a ，b 同向时，a ∙b ＝a b ，特别地，222,a a a a a a =∙==；当a 与b 反向时，a ∙b ＝－a b ；当θ为锐角时，a ∙b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，∙＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；4.数量积的运算要注意：（1）0a =时，0a b ⋅=，但0a b ⋅=时不能得得到0a =或0b =，因为a b ⊥时，也有0a b ⋅=.（2）若a b c ∈R ，，，则()0ab ac b c a ⇒≠＝＝；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量,,a b c 满足··a b a c = (0a ≠)，则不一定有b c =，即等式两边不能同时约去一个向量．（3）平面向量的数量积有定义式和坐标运算，应注意灵活选择计算方法. 【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅≠⋅. （3）已知非零向量1122()()a x y b x y ＝，，＝，，则有1212||||·00a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⇔+-⇔＝＝＋＝，是非常重要的性质，它是解决平面几何中有关垂直问题的有力工具，应熟练掌握． 2.典型例题：例1如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .分析：利用平面向量的线性运算法则，及3,2CP PD AP BP =⋅=，建立AB AD ⋅的方程，进一步求解.解析：由题意，14AP AD DP AD AB =+=+，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-，所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2213216AD AD AB AB =-⋅-，即1322564216AD AB =-⋅-⨯，解得22AD AB ⋅=．例2在边长为1的等边ABC ∆中，,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =，2AE EC = 则AD BE ⋅=（） A ．12-B ． 13-C ．14-D ．16- 【答案】A 【解析】例3已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为_____.ADCBP分析：注意到题目中给出了向量与的夹角为，且，所以应注意应用平面向量数量积的定义式，并应用向量垂直的充要条件. 把转化为的形式，为应用及提供了熟悉的解题途径.解析：由得所以【练一练提升能力】1.已知向量, ), ,2( ),3 ,5(b a x b x a⊥=-=且则=xA ．2或3B ．－1或6C ．6D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：由a b ⊥得()025302a b x x x =∴-+=∴=2. 设向量b a ,满足10||=+b a ，6||=-b a，则=⋅b a （）A. 1B. 2C. 3D. 5 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．平面向量的长度与角度问题【背一背重点知识】1.在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围是[0,π]．2.·a b 的几何意义：·a b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. b 在a 方向上的投影是一个数量|b |cos θ，它可以为正，可以为负，也可以为0.3.在ABC ∆中，AB 与BC 的夹角不是ABC ∠而是其补角．【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）利用数量积求解长度与角度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：设1212()()a a a b b b ＝，，＝，，基本公式为： |a |cos 〈,a b 〉＝||||a ba b ⋅=⋅.另外2||a a a =⋅=2a ，2222a b a a b b ±±⋅＝+，是实现向量运算与实数运算相互转化的有力工具.（2）已知a 与b 为不共线向量，且a 与b 的夹角为θ，则 ① a ·b 0>⇔090θ︒<<︒； ② a ·b 0=⇔90θ=︒； ③ a ·b 0<⇔90180θ︒<<︒.特别的：在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线． 2.典型例题：例1若平面向量a ，b 满足a 2=b ，()-⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（） A ．125π B ．3π C．6π D ．4π【答案】D 【解析】例2平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = .分析：利用公式cos 〈,a b 〉＝||||a ba b ⋅⋅，将c 与a 、 c 与b 的夹角余弦用m 表示出来，建立方程即得.解析：由题意得：25c a c b c a c b m c ac bab⋅⋅⋅⋅=⇒=⇒=⇒=⋅⋅【练一练提升能力】1.已知非零向量,=，且)2(+⊥，则与的夹角是（） A 、3π B 、2π C 、23π D 、56π 【答案】C 【解析】试题分析：因为)2(+⊥，所以()2220a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以2cos 2a b aθ=-，=，所以12cos 23πθθ=-∴=，故选C. 2. 已知向量()1,3a =，()3,b m =.若向量,a b 的夹角为π6，则实数m =（）（A）（B（C ）0 （D ）【答案】B【解析】因为cos ,,||||a b a b a b ⋅<>=⋅所以cos 6π=解得m ，故选B .（一）选择题（12*5=60分）1.已知点P 为ABC ∆所在平面内一点，边AB 的中点为D ，若2(1)P D P A C B λ=-+，其中R λ∈，则P 点一定在（）A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上 D ．ABC ∆的内部【答案】C 【解析】2.已知i 与j 为互相垂直的单位向量，2a i j =-，b i j λ=+且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A ．1(,2)(2,)2-∞--B ．1(,)2+∞C ．22(2,)(,)33-+∞D ．1(,)2-∞【答案】 A【解析】需满足：0a b ⋅>且a b 、不共线.由10(1,2)(1,)1202a b λλλ⋅>⇒-⋅=->⇒<；当a b 、共线时得2λ=-，因此1(,2)(2,)2λ∈-∞--.3.已知向量()2,8a b +=-，()8,16a b -=-，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A ．6365 B ．6365- C ．6365± D ．513【答案】B【解析】由()()2,88,16a b a b ⎧+=-⎪⎨-=-⎪⎩，解得()()3,45,12a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以5a =，13b =，63a b ⋅=-，所以63cos ,65a b a b a b⋅〈〉==-. 4.已知平面向量1)3(2,a m ＝＋，()2b m ＝，，且a b ∥，则实数m 的值等于（） A ．2或32-C ．－2或32 B ．32D ．27- 【答案】B 【解析】试题分析：因为a b ∥，则()2160m m +-=，解得2m =-或32，故选B ． 5.设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是（） A ．13a b =- B ．//a b C ．2a b = D ．a b ⊥ 【答案】A6.已知向量()()1,2,23,2a a b =+=，则（）A ．()1,2b =-B ．()1,2b =C ．()5,6b =D ．()2,0b = 【答案】A 【解析】试题分析：设),(y x =．因为()23,2a b +=，所以由向量的加法及数乘运算的坐标表示可得2342x y +=⎧⎨+=⎩，解得21-==y x ,．故选A ．7.设311(2sin ,),(,cos )264a xb x ==,且//a b ,则锐角x 为 A ．6πB ．3πC ．4π D ．512π 【答案】C.【解析】因为//a b .所以1312sin cos 0426x x ⋅-⨯=.即sin 21x =.又因为x 为锐角.所以22x π=.所以4x π=.本题主要考察向量的平行知识，通过向量平行的坐标公式来求解.本提较基础.8.函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅＝（）A ．6-B ．6C ．4-D ．4 【答案】B 【解析】9.正三角形ABC 内一点M 满足,45CM mCA nCB MCA =+∠=，则mn的值为（）A 1B 1CD 【答案】D 【解析】10.若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足0)2()(=-+⋅-，则△ABC 的形状为（）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，即()0,()()0,||||CB AB AC AB AC AB AC AB AC ⋅+=-⋅+==，所以ABC ∆是等腰三角形，选C.11.已知O 为ABC ∆内一点，满足0OA OB OC ++=, 2AB AC ⋅=,且3BAC π∠=,则OBC ∆的面积为（）A ．12 B C ．23【答案】B 【解析】试题分析：0O AO B O C O ++=∴为三角形的重心，由2A BA C ⋅=得4bc =1sin 2ABC S bc A ∆∴==所以OBC ∆12.在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D（二）填空题（4*5=20分）13.已知向量(1,2)a =-，(2,3)b =，若m a b λ=+与n a b =-共线，则实数λ的值是．【答案】1- 【解析】试题分析：m a b λ=+(2,23)λλ=-++， n a b =-(3,1)=--，又m n 与共线，则(2)λ--+3+0)32(=+λ,即：1-=λ；14.在四边形ABCD 中， ()1,1==→→DC AB ，+→→BABA =→→BCBC →→BDBD 3，则四边形ABCD 的面积是__________．【答案】3 【解析】15.在ABC ∆中，3BC BD =，AD AB ⊥，1AD =，则AC AD ⋅= .【解析】3BC BD =，即()3A C A B A D A B -=-，所以()313AC AD AB =+-，AC AD ∴⋅()2213333AB AD AD AD ⎤=+-⋅===⎦16.已知ABC ∆中4,2AC AB ==，若G 为ABC ∆的重心，则AG BC ⋅= ．【答案】4【解析】∵ABC ∆中4,2AC AB ==，∴||4||2AC AB ==，，∵G 为ABC ∆的重心，∴13AG AC AB =+（），又∵ BC AC AB =-，∴221111644333AG BC AC AB AC AB AC AB ⋅=+⋅-=-=-=（）（）（）（），故答案为4.。

高中数学平面向量专题经典练习题(附答案)高中数学平面向量专题经典练习题(附答案)

高中数学平面向量专题经典练习题（附答案）一.单选题（共10小题，每题5分，共50分）1.设，是两个非零向量，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则存在实数，使得D.若存在实数，使得，则2.如图，在平行四边形中，分别是的中点，则图中所示的向量中与平行的有（）A.个B.个C.个D.个3.下列说法中正确的是（）A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B.向量与向量的长度相等C.向量就是有向线段D.零向量是没有方向的4.数轴上点分别对应则向量的长度是（）A. B. C. D.5.已知向量与的方向相反，且，若点的坐标为，则点的坐标为（）A. B. C.， D.6.已知为两个单位向量，则下列叙述正确的是（）A.B.若，则C.或D.若，，则7.已知点，，，，则与向量同向的单位向量为（）A. B. C. D.8.已知抛物线的焦点为，准线为是上一点是直线与抛物线的一个交点，若，则（）A. B. C. D.9.下列结论中正确的是（）若且，则；若，则且；若与方向相同且，则；若，则与方向相反且.A. B. C. D.10.已知直线经过点和点，则直线的单位方向向量为（）A.,B.C.D.二.填空题（共10小题，每题5分，共50分）11.已知向量，，若与方向相反，则等于.12.若向量满足，则.13.等腰直角中，点是斜边边上一点，若，则的面积为.14.在中，，是的中点，，则，.15.在中，内角所对的边分别为则.16.在中，内角的对边分别是若则.17.在中，，是中点，，试用表示为，若，则的最大值为.18.如图，已知在矩形中设则.19.已知向量满足则.20.已知向量与的夹角为则.三.解答题（共5小题，每题10分，共50分）21.已知与的夹角为.(1)若求；(2)若与垂直，求.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系是曲线：上任一点，点满足.设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的直角坐标方程；(2)已知曲线向上平移个单位后得到曲线设曲线与直线：为参数)相交于两点，求的值.23.已知向量向量函数．(1)当时，求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)若函数在区间的最大值为，求函数在的最小值．24.已知的内角满足.(1)求角；(2)若的外接圆半径为求的面积的最大值.25.在中，内角的对边分别为且.(1)求角的大小；(2)若且外接圆的半参考答案一、选择题第1题第2题故选C第3题单位向量的方向是任意的，所以当两个单位向量的起点相同时，其终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项A不正确；向量与向量方向相反，长度相等，所以选项B正确；向量是既有大小，又有方向的量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项C不正确；规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项D不正确.故选B.第4题第5题故选A 第6题故选D第7题故选A第8题故选B第9题选B第10题二、填空题第11题第12题第13题第14题第15题第16题第18题第20题三、解答题第21题第23题第24题第25题。

2021-2022【通用版】高考数学(艺术生)考前冲刺专题《平面向量》(含答案)

专题一、平面向量测试题命题报告：高频考点：平面向量的基本概念，平面向量的运算，平面向量的数量积的运算，平面向量是数量积运算，平面向量与三角函数、解析几何的综合，平面向量与平面几何的综合等。

考情分析：本单元在高考中主要以客观题形式出现，难度较低，再解答题中，主要课程向量的工具性的作用，一般在解答题中不单独命题。

重点推荐：第12题，考查向量和不等式的交汇，有一定难度。

考查学生解决问题的能力。

一．选择题1.（洛阳三模）已知平面向量，，，若，则实数k 的值为（）A．B．C．2 D．【答案】：B【解析】∵平面向量，，，∴=（2+k，﹣1+k），∵，∴，解得k=．∴实数k的值为．故选：B．2.已知A，B，C为圆O上的三点，若=，圆O的半径为2，则=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【答案】：D【解析】如图所示，=，∴平行四边形OABC是菱形，且∠AOC=120°，又圆O的半径为2，∴=2×2×cos60°=2．故选：D．3.（宝鸡三模）已知不共线向量，，，则=（）A．B．C．D．【答案】：A【解析】∵，∴﹣=﹣4=1，∴=5，∴==4﹣2×5+9=3，∴=，故选：A．4.（安宁区校级模拟）已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【答案】：A5.设是非零向量，则是成立的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由可知：方向相同，表示方向上的单位向量所以成立;反之不成立.故选B6.（西宁一模）如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请找出D 点的位置，计算的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】：B【解析】：以A为原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（4，1），C（6，4），平行四边形ABCD，则=，设D（x，y），∴（4，1）=（6﹣x，4﹣y），∴4=6﹣x，1=4﹣y，解得x=2，y=3，∴D（2，3），∴•=2×4+3×1=11，故选：B．格中的位置如图所示，则•（）= ．【答案】：3【解析】如图建立平面直角坐标系，则=（1，3），=（3，﹣1）﹣（1，1）=（2，﹣2），=（（3，2）﹣（5，﹣1）=（﹣2，3），∴=（0，1），∴=（1，3）•（0，1）=3．故答案为：3．16.（红桥区一模）在△ABC中，点D满足=，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若=λ+μ，则λ+的最小值为．【思路分析】根据题意画出图形，利用、表示出，再利用表示出，求出λ与μ，利用基本不等式求出的最小值．【答案】【解析】：如图所示，△ABC中，，∴=+=+=+（﹣）=+，又点E在射线AD（不含点A）上移动，设=k，k＞0，∴=+，又，∴，∴=+≥2=，当且仅当k=时取“=”；∴λ+的最小值为．故答案为：．三．解答题17.如图，在△ABC中，AO是BC边上的中线；已知AO=1，BC=3．设=，=．（Ⅰ）试用，表示，；（Ⅱ）求AB2+AC2的值．【解析】：（Ⅰ）在△ABC中，AO是BC边上的中线，设=，=．所以：，则：=．=．…………4分18.如图，已知向量．（1）若∥，求x与y之间的关系；（2）在（1）的条件下，若有，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．【思路分析】（1）由∥，结合向量平行的坐标表示可得（x+4）y﹣（y﹣2）x=0，可求x，y的关系，（2）由有，结合（1）的关系式可求x，y的值，代入四边形的面积公式可求【解析】：（1）∵，又，∴x（y﹣2）﹣y（x+4）=0⇒x+2y=0①…………4分（2）∵，又⊥，∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0⇒x2+y2+4x﹣2y﹣15=0②；由①，②得或，当时，，，则；当时，，，则；综上知．…………12分19.如图，直角梯形ABCD中，||=2，∠CDA=，=2，角B为直角，E为AB的中点，=λ（0≤λ≤1）．（1）当λ=时，用向量，表示向量；（2）求||的最小值，并指出相应的实数λ的值．【思路分析】（1）利用三角形法则即可得出结论；（2）表示出的表达式，结合二次函数的性质求出其模的最小值即可．【解析】：（1）当λ=时，直角梯形ABCD中，||=2，∠CDA=，=2，角B为直角，E为AB中点，=，∵=[（﹣）+（+）]=（﹣++）=+；…………5分（2）∵直角梯形ABCD，||=2，∠CDA=，=2，角B为直角，E为AB中点，=λ，（0≤λ≤1），∵=（+）=[（﹣）+（+）]=[﹣λ+（1﹣λ）+]=[+（1﹣2λ）]=+，∴=++（1﹣2λ）•=4λ2﹣7λ+=4+,∵0≤λ≤1，∴当λ=时，有最小值，∴||有最小值．…………12分20.（新罗区校级月考）在如图所示的直角坐标系xOy中，点A，B是单位圆上的点，且A（1，0），．现有一动点C在单位圆的劣弧上运动，设∠AOC=α．（Ⅰ）若tanα=2，求的值；（Ⅱ）若，其中x，y∈R，求x+y的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）利用三角函数的定义及向量数量积可求得；（Ⅱ）利用向量的坐标运算可将x和y用α表示，从而转化为三角函数求值域可求得．【解析】：（Ⅰ）∵且tanα=2，∴sinα=，cosα=∴•=|||cos∠BOC=cos（）=cos cosα+sin sinα=﹣×+=；…………5分（Ⅱ）∵，∴B（﹣，），又∵∠AOC=α，∴C（cosα，sinα）由=x+y，得（cosα，sinα）=（x，0）+（﹣y，）=（x﹣y，y）得x﹣=cosα，=sinα，得x=+cosα，y=∴x+y=sinα+cosα=2si n（）∵，∴α+，∴∴x+y∈[1，2]．…………12分21.在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（λcosα﹣sinβ，λsinα+cosβ），向量=（﹣λcosα﹣sinβ，﹣λsinα+cosβ），λ＞0．（1）若向量与的夹角为，＜β＜α＜2π，求α﹣β的值；（2）若对任意实数α，β都使得|﹣|≥||成立，求实数λ的取值范围．【思路分析】（1）直接利用向量的数量的线性运算和向量的数量积的应用和三角函数关系式的恒等变变换求出夹角．（2）利用向量的夹角公式和恒成立问题求出参数的取值范围．【解析】：（1）已知向量=（λcosα﹣sinβ，λsinα+cosβ）①，向量=（﹣λcosα﹣sinβ，﹣λsinα+cosβ），则：==（﹣λcosα﹣sinβ，﹣λsinα+cosβ）②，由①②得：，，所以：，．设向量与的夹角为θ，所以： =sin（α﹣β），由于，所以：．由于：＜β＜α＜2π，所以：，则：．…………6分（2）由于对任意实数α，β都使得|﹣|≥||成立，而：，由于，所以对任意的实数α，β都成立．由于1﹣2λsin（α﹣β）≥0对任意的实数α，β都成立，所以：，所以：，解得：，所以：．…………12分22（江阴市校级期中）在△ABC中，，M是BC的中点．（1）若点O是线段AM上任意一点，且||=||=，求+的最小值；（2）若点P是∠BAC内一点，且=2=2，||=2，求|++|的最小值．【思路分析】（1）由题意可得△ABC为等腰直角三角形，以A为原点，AB，AC为x轴和y轴建立直角坐标系，如图所示，M是BC的中点，O是线段AM上任意一点，可设O（x，x），0≤x≤，根据向量的数量积和坐标运算可得关于x的二次函数，根据函数的性质求出最值即可；（2）设∠CAP=α，∠BAP=﹣α，0＜α＜，运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，结合坐标法和三角函数的同角关系、以及基本不等式可得最小值．=4x2﹣2x=4（x﹣）2﹣，故当x=时，+的最小值为﹣；…………6分（2）设∠CAP=α，∠BAP=﹣α，0＜α＜，由=2=2，||=2，可得2||cosα=2，2||cos（﹣α）=1，即有||=，||=，|++|2=2+2+2+2•+2•+2•=++4+0+4+2=++10=+tan2α+≥2+=，当且仅当=tan2α，即tanα=时，|++|的最小值为．……12分专题二、三角函数测试题命题报告：高频考点：三角函数求值和化简、三角函数的图像和性质，三角函数恒等变换以及解三角形等。

(2021年整理)高中数学平面向量专题训练

高中数学平面向量专题训练(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学平面向量专题训练(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学平面向量专题训练(推荐完整)的全部内容。

高中数学平面向量专题训练（推荐完整）编辑整理：张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是我们任然希望高中数学平面向量专题训练（推荐完整）这篇文档能够给您的工作和学习带来便利.同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为〈高中数学平面向量专题训练(推荐完整）〉这篇文档的全部内容。

高中数学平面向量专题训练一、选择题:1、若向量方程23(2)0x x a --=，则向量x 等于A 、65aB 、6a -C 、6aD 、65a - 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a 和b ，那么下列命题中错误的一个是A 、a 与b 为平行向量B 、a 与b 为模相等的向量C 、a 与b 为共线向量D 、a 与b 为相等的向量3、AB BC AD +-=A 、ADB 、CDC 、DBD 、DC4、下列各组的两个向量，平行的是A 、(2,3)a =-，(4,6)b =B 、(1,2)a =-，(7,14)b =C 、(2,3)a =,(3,2)b =D 、(3,2)a =-，(6,4)b =-5、若P 分AB 所成的比为43，则A 分BP 所成的比为A 、73-B 、37-C 、73D 、376、已知(6,0)a =，(5,5)b =-，则a 与b 的夹角为A 、045B 、060C 、0135D 、01207、已知i ，j 都是单位向量，则下列结论正确的是A 、1i j ⋅=B 、22i j =C 、i ∥j i j ⇒=D 、0i j ⋅=8、如图,在四边形ABCD 中，设AB a =，AD b =， BC c =,则DC = A 、a b c -+ B 、()b a c -+C 、a b c ++D 、b a c -+CBA D9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a 是A 、),(m m -B 、),(m m -C 、),(m m --D 、),(m m10、在ABC ∆中，3=b ，33=c ，030=B ,则=aA 、6B 、3C 、6或3D 、6或411、设F 1，F 2是双曲线:的两个焦点，点P 在双曲线上，且,的值等于A 、2B 、22C 、4D 、812、已知O 为原点，点A ,B 的坐标分别为)0,(a ，),0(a ，其中常数0>a 。

29 平面向量的实际背景及基本概念与线性运算-艺考生文化课百日冲刺

命题热点集训（二十九）平面向量的实际背景及基本概念与线性运算1．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：;DA BC CD AB +=+① ;AD BC BD AC +=+②-③.AB +=其中正确的个数为0.A 1.B 2.C 3.D2．如图29 -1所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量=A 21.+-B 21.+C 21.+-D 21.+-3．如图29 -2所示，已知四边形ABCD 内接于圆O ，且AC 是圆0的直径．BCDE 是平行四边形，若 +,x =+则实数=x0.A 1.B 2.C 3.D4．在□ABCD 中，M b a AB ,3,,===为BC 的中点，则=b a A 4141.+- b a B 2121.+- b a C 21.+ b a D 4343.+- 5．下列四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有ma b a m =-)(,mb -②对于实数m 和向量),(,R m b a ∈若,mb ma =则;b a =③若),0,,(=/∈=a R n m na ma 则;n m =④若,,c b b a ==则.c a =其中正确命题的个数为1.A 2. B 3.C 4.D 6．设向量a 与b 不共线，已知+=+=a pb a 3,2,3,b a b -=若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为1.-A 1.B2.C 2.-D7．已知向量a ，b 满足,7||,5||,3||=-==b a b a 则a ，b 的夹角为2.πA 6π⋅B3.πC 32.πD 8．如图29 -3所示的方格纸中有定点,,,,,,G F E Q P O ,H 则=+OQ OPA .B .C .D .9．设向量21,e e 不共线，,),(31221e e e e -=+=,221e e +=给出下列结论：①A 、B 、C 共线；②A、B 、D 共线；③B、C 、D 共线；④A、C 、D 共线，其中所有正确结论的序号为10.在△ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为AB 边上一点，BD 、CE 交于一点F ，且,2,λ==若则实数A 的值为11.已知平面上不共线的四点0，A ，B ，C ，若3-,02=+=12．设D 是△ABC 内部一点，且,20OB OC A -=+则△AOB 与△AOC 的面积之比为。

艺术班数学基础专题训练(11)(基础+练习+习题+复习)平面向量

高二数学基础知识专题训练111、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？。

（2）零向量：，记作：，注意零向量的方向是的；（3）单位向量：叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是 )；（4）相等向量：的两个向量叫相等向量，相等向量有性；（5）平行向量（也叫）：向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；（6）相反向量：的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是。

2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下：()()1,2aa λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向，当λ＝0时，a λ= ，注意：λa ≠0。

坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：①向量的加减法运算：=± 。

32 平面向量应用举例-艺考生文化课百日冲刺

命题热点集训（三十二）平面向量应用举例1．设0为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 是抛物线上一点，若,40-=⋅则点A 的坐标是)2,1.(±A )2,1(⋅B )2,1(-⋅C )1,1.(±D2．在△ABC 中，AB =3，AC 边上的中线.,5BD =,5=则AC 的长为1.A2.B3.C4.D3．设O 是坐标原点，A ，B 是圆122=+y x 上的两点，且A ，O ，B 不共线，则-+与的夹角为o A 90. o B 60. 120.C 30.D4．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h 渡船要垂直地渡过长江，则航向为A ．北偏东o 30B ．北偏西o 45C ．北偏西060D ．北偏西o 305．在平行四边形ABCD 中，已知BAD AD AB ∠==,1,2,60 =E 为CD 的中点，则=BD AE .6．设a 、b 是两个不共线的非零向量，记t tb a (,==),(31),b a R +=∈那么当实数t 为____时，A 、B 、C 三点共线． 7．设),sin 451,(cos ),,(cos αααα-==b ms a 且a⊥b，则锐角α为 8．如图32 -1，在△ABC 中，=P ,31是BN 上的一点，若=,112m +则实数m 的值为9．设函数,)(b a x f ⋅=其中向量==b x m a ),2cos ,()(),1,2sin 1(x f R x x 且∈+的图象经过点).2,4(π (1)求实数m 的值；(2)求)(x f 的最小正周期．10.已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅(1)判断△ABC 的形状；(2)若,2=c 求k 的值，。

高三美术班数学基础专题训练——平面向量的应用

第1页共1页菁华学校高三美术班数学基础知识专题训练12平面向量的应用一．考试要求① 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题② 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题二.基础训练A 、必做题1．已知且它们的夹角为，则它们的合力的大小为 .2 作用于原点的两个力，为使他们平衡，需加力 . 3.(湖南文）P 是△ABC 所在平面上一点，若，则P 是△ABC 的（）D A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心4．(湖南文)在中，AB=3，AC=2，BC=，则 ( )DA ．B ．C ．D ． 5．（辽宁）已知点、，动点，则点P 的轨迹是( )DA ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．（招上海）在中，有命题 ①； ②； ③若，则为等腰三角形； ④若，则为锐角三角形.上述命题正确的是（）CA ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④B 、选做题（属于容易题、中等题，目标考本科的同学要做）。

7.（天津文）在中，，，是边的中点，则= ．8.(山东文)已知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（）CA ．B ．C ．D ．参考答案：1 2、 3、D 4、D 5、D 6、D7、11.． 8、C12||1,||2,f N f N ==60︒12(1,1),(2,3)F F 3F =⋅=⋅=⋅ABC ∆10AB AC ⋅=23-32-3223)0,2(-A )0,3(B 2),(x y x P =⋅满足ABC ∆BC AC AB =-0=++CA BC AB 0)()(=-⋅+ABC ∆0>⋅AB AC ABC∆ABC △2AB =3AC =D BC AD BC ⋅a b c ，，ABC △A B C ，，31)(cos sin )A A =-=，，，m n ⊥m n cos cos sin a B b A c C +=A B，ππ63，2ππ36，ππ36，ππ33，19N (3,4)--52。

高考数学艺考生冲刺点睛课件：第一章高考复习冲刺点金---客观题专题三平面向量(共21张PPT)

专题三平面向量
【考试内容】向量的概念;向量的表示法;向量的运算及运用【近6年新课标卷考点统计】
年份试卷类型
新课标Ⅰ卷新课标Ⅱ卷新课标Ⅲ卷
2014
5 5
2015
5 5
2016
5 5 5
2017
5 5 5
Байду номын сангаас
2018
10 5 5
2019
5 5 5
重要考点回顾
一、向量的概念 1.向量:既有大小又有方向的量,向量不能比较大小,但向量的
3.两个向量数量积的重要性质:
①a2=|a|2即|a|= a2 (求线段的长度);
②求向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作 OA a,OB b,
则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角,
cosθ=cos<a,b>= a b
x1x2 y1 y2
| a | | b | x12 y12 x22 y22
2.两个向量垂直的充要条件符号语言:a⊥b⇔a·b=0 坐标语言:设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0
考点训练
1.已知点A(0,1),B(3,2),向量 AC =(-4,-3),则向量BC = ( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4)
D.(1,4)
A 【解析】 AB OB OA (3,1), BC AC AB (7, 4), 故选A.
2.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·a+a·b= ( )
A. 1 B. 3 C.1 3 D.2
2
2
2
B 【解析】 a a a b | a |2 a b cos 60 1 1 3 .故选B. 22

专题110平面向量《2021年高考数学备考艺体生百日冲刺系列(通用)》(原卷版)

专题1.10平面向量从近几年高考命题来看，关于平面向量的考查，一般有两种考法，一是独立考查，主要有平面向量基本定理、平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量的坐标运算、平面向量的数量积及其应用（向量的平行、垂直、夹角等）；二是综合考查，即与三角函数、平面解析几何、函数、数列等交汇，涉及内容主要有平面向量的模（距离）、平面向量的线性运算及其几何意义、共线向量定理（平行）、垂直、夹角等.综合考查运算求解能力、数形结合思想的应用.2021年应保持稳定，全国卷较为简单，其它省份如浙江省、江苏省、上海市等，难度稍大.一、平面向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．二、平面向量的线性运算1.向量的线性运算三角形法则平行四边形法则（a 与b 的相反向量b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则2.向量的数乘运算及其几何意义（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.（2）运算律：设λ，μ是两个实数，则：①；②；③.三、共线向量定理及其应用1.共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .2.平面向量共线定理的三个应用()()a a λμλμ＝() a a a λμλμ＋＝＋()a b a b λλλ＋＝＋四、平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理如果1e ，2e 是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使12a e e λλ=+.其中，不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．五、平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±； (2)若(),a x y =，则(),a x y λλλ=．(3)设，则()2121,AB x x y y =--，(AB x =六、平面向量数量积的运算（一）两个向量的夹角 1．定义已知两个非零向量a 和b ，作＝a ，＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．12λλ，1122()()A x yB x y ，，，OA OB2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b 反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b . （二）平面向量的数量积1．已知两个非零向量a 与b ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a ·b ＝0. 2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．（三）数量积的运算律 1．交换律：a ·b ＝b ·a .2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )．七、向量数量积的性质（一）向量数量积的性质1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . 2．a ⊥b a ·b ＝0.3．a ·a ＝|a |2，.⇔|a4．cos θ＝.(θ为a 与b 的夹角)5．|a ·b |≤|a ||b |. （二）数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则： 1．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2．a ⊥b a 1b 1＋a 2b 2＝0. 3．|a |＝a 21＋a 22.4．cos θ＝.(θ为a 与b 的夹角)【典例1】给出下列结论：①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB 的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0. 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4【答案】D 【解析】||||⋅a ba b ⇔||||⋅a ba b①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；③数轴用一个实数来表示向量AB ，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确； ④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确. 故选：D. 【易错提醒】有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． (6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．【典例2】（2018年新课标I 卷文理）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB⃑⃑⃑⃑⃑ =（） A. 34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ B. 14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −34AC ⃑⃑⃑⃑⃑ C. 34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ D. 14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +34AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE⃑⃑⃑⃑⃑ =12BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，之后将其合并，得到BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =34BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，下一步应用相反向量，求得EB⃑⃑⃑⃑⃑ =34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得BE⃑⃑⃑⃑⃑ =12BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =12BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +14BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =34BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以EB⃑⃑⃑⃑⃑ =34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，故选A. 【典例3】（2020·山东新泰市第一中学高三月考）如图，在ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（）A ．911B ．511C ．311D ．211【答案】C 【解析】由13AN NC =，可得4AC AN =，所以281111AP mAB AC mAB AN =+=+，又,,B P N 三点共线，由三点共线定理，可得：8111m +=，311m ∴=，故选C.【典例4】（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>，∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185. 【方法技巧】1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求． 3.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．【典例5】（2017·天津高考真题（文））在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =，()AEAC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________.【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【典例6】（2019·全国高考真题（文））已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=（）AB ．2C ．D ．50【答案】A 【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b ，故选A【典例7】（2020·全国高考真题（文））设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________.【答案】5【解析】由a b ⊥可得0a b ⋅=，又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5.【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．【典例8】（2017·山东高考真题（文））已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ-,若a ∥b ,则λ= ____________.【答案】-3【解析】由a b ∥可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【方法技巧】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a b ∥的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于与共线.【典例9】（2020·山东海南省高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.【典例10】（2018·天津高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD为等边三角形，BD =．设(01)DE tDC t =≤≤AE BE⋅223()()()2AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+=233322t t -+(01)t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最小值2116，选A. 点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示．同时利用向量共线转化为函数求最值．【典例11】（2019·全国高考真题（理））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅=（）A ．-3B ．-2C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【典例12】（2019·天津高考真题（文））在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则B ，5)2D 。

30 平面向量的基本定理及坐标表示-艺考生文化课百日冲刺

命题热点集训（三十）平面向量的基本定理及坐标表示1．已知向量),4,(),2,1(x b a ==若向量a∥b，则=x1.A2.B3.C4.D2．在三角形ABC 中，已知,2),.4,8(),3,2(（点G B A -)1-在中线AD 上，且,2GD AG =则点C 的坐标是)2,6.(--A )4,4(--⋅B )2,4.(--C )2,2(--⋅D3．设向量),,1(),1,(m b m a ==如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为1.-A 1.B2.-C 2.D4．设向量),4,2(),3,1(-=-=b a 若表示向量,4a c a b ,23-的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量C =)6,4.(A )6,4(--⋅B )6,4.(-C )6,4(-⋅D5．若三点)0)(,0(),0,(),2,2(=/ab b C a B A 共线，则ba 11+的值等于 1.A 21.B 31.C 41.D 6．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若),(),(a c a b q b c a p --=+=与是共线向量，则角C=120.A 60.B 30.C 45.D7．对于非零向量),(21a a a =和”“b a b b b //),,(21=是“”的01221=-b a b a A ．必要不充分条件 B ．充分必要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知点A （-1，1），点B(2，y )，向量a=(1，2)，若,//a 则实数y 的值为5.A6.B7.C8.D9．已知复数,23,1,21321i z i z i z -=-=+-=它们所对应的点分别为A ，B ，C 若,y x OC +则 +x y 的值是10.已知在平面直角坐标系中，B A ),3,1(),0,2(-βα+=（其中0为原点，实数α，β满足 βα+),1=若||),0,1(MN N 则的最小值是11．已知向量),4,3(-=a 向量b 满足b∥a，且｜b ｜=1，则b=12. 已知向量);21,2(),1,3(-==b a 直线L 过点A(l ，2)，且b a 2+是其方向向量，则直线L 的一般式方程为13.已知向量⋅=-==)3,(),1,0(),1,3(k c b a 若b a 2-与C 共线，则k=14.已知向量),2,1(),,1(),1,2(-=-=-=c m b a 若,//)(c b a +则m =15.在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB .//,//BC AD DC 已知点),8,6(),0,2(B A -),6,8(C则D 点的坐标为16.若平面向量a ，b 满足b a b a +=+,1||平行于x 轴，),1,2(-=b 则a=17.已知向量),7,(),3,1(),1,3(k c b a ===若-a (,//)b c 则k=。

专题11 平面向量教师版高考数学(文科)艺术生百日冲刺复习

专题11 平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b 故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u v 1113124444BA BA AC BA AC =++=+u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ,所以选B.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.5．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A 1 BC ．2D ．2【答案】A【解析】设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)，则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ，由b 2−4e ·b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1,因此|a −b |的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x 的距离21，为√3−1.选A. 【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.6．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,CN ⃑⃑⃑⃑⃑ =2NA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 可知点M,N 分别为线段AB,AC 上靠近点A 的三等分点，则BC⃑⃑⃑⃑⃑ =3MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3(ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )，由题意可知：OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=12=1，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1×2×cos120∘=−1，结合数量积的运算法则可得：BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3(ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −3OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=−3−3=−6. 本题选择C 选项.【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 7．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．>a b【答案】A【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量a ，b 的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可得a ⊥b .故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直.8．【2017年高考北京卷文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题.9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.【答案】10-【解析】2826cos ,||||10⨯-+⨯⋅===-⋅a b a b a b ．【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则0)B，5)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE的斜率为3，其方程为3y x =-，直线AE的斜率为3-3y x =-.由3y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以5,)1)122BD AE =-=-u u u r u u u r g g .【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g g ，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g 22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，得2213,22AB AC =u u u r u u u r即,AB =u u u r u u r故ABAC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,令123456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλ=+++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 00.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-，所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值，所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值maxy ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12. 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.【答案】−1【解析】∵a =(1,0),b =(−1,m)，∴ma −b =(m,0)−(−1,m)=(m +1,−m)，由a ⊥(ma −b)得：a ⋅(ma −b)=0，∴a ⋅(ma −b)=m +1=0，即m =−1. 【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0． 16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u ur ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，； ∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________．【答案】2【解析】由题意可得02330,m ⋅=⇒-⨯+=a b 解得2m =.【名师点睛】（1）向量平行：1221∥x y x y ⇒=a b ，,,∥≠⇒∃∈=λλ0R a b b a b ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b .19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0．20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，1OA u u u r与OC u u u r 的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r (,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100n m +=⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b ，+==a b则++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得++-=a b a b能力有一定的要求．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r ，AE AC λ=-u u u r u u u r()AB λ∈R u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为________．【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则12()33AD AE AB AC ⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r 2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=u u u r u u u r ．【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC u u u r u u u r 已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．【答案】3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则∥a b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．（3）三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.。

平面向量(基础篇)数学备考艺体生百日突围系列

《2017艺体生文化课—百日突围系列》专题7 平面向量平面向量的坐标运算【背一背基础知识】1.平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底．对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x，y使a＝x i＋y j，把有序数对(,)x y叫做向量a的坐标，记作a＝(,)x y，其中x 叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．②设错误!＝x i＋y j，则向量OA的坐标(,)x y就是终点A的坐标,即若错误!＝（x,y)，则A点坐标为(,)x y，反之亦成立（O是坐标原点）．2．向量的运算（1)加法、减法、数乘运算(2)向量坐标的求法已知A（x1，y1)，B(x2，y2），则错误!＝2121--,即一个向量的坐标等(,)x x y y于该向量终点的坐标减去起点的坐标．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1），b＝（x2，y2），其中b ≠0，则a 与b 共线⇔a =λb ⇔12210x y x y -=．。

4．平面向量的有关运算（1)两个非零向量平行（共线）的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb 。

两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔｜a ＋b |＝|a －b |. (2)若a ＝（x ，y ），则。

|=a (3）若A (x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|=AB（4)若a ＝（x 1，y 1)，b ＝（x 2，y 2），θ为a 与b的夹角，则·cos ||||θ==a ba b 。

【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1）向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O 为起点的向量错误!的坐标与点A 的坐标相同．(2）若a ＝（x 1,y 1）,b ＝（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件不能表示成错误!＝错误!，因为x 2，y 2有可能等于0,所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.同时,a ∥b 的充要条件也不能错记为：x 1x 2－y 1y 2＝0，x 1y 1－x 2y 2＝0等．2.典型例题例1【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A)－8 (B ）－6 (C ）6 （D ）8【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-,由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=,故选D.例2【2016高考新课标2文数】已知向量a =（m ,4)，b =(3，—2），且a ∥b ,则m =___________。

高考数学备考百日冲刺中等生大提分系列：(提分培优篇)专题05 平面向量(解析版)

3．【2017届河北省张家口市高三上学期期末考试】若向量，，，则 __________．
【答案】
【解析】设，由，得．
则或，或，则．
（一）选择题（12*5=60分）
1．在中，点在上，且，点是的中点，若，，则等于（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
2．已知点，，若向量，则实数（）
解析：（I），，，
，又，，．
【练一练提升能力】
1．2
【答案】A
2．【2017届河南息县第一高级中学高三文上段测五】已知点，，向量，则向量（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：故选A．
3．【2017届福建连城县二中高三文上学期期中数学试卷】已知平面向量，，且，则（）
2．典型例题：
例1．【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）数学（理）试题】是边长为1的等比三角形，已知向量满足，，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
考点：平面向量数量积运算．
【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法
（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义．
【背一背重点知识】
1．在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围是[ ]．
2．的几何意义：等于的长度| |与在的方向上的投影| |cosθ的乘积．在方向上的投影是一个数量| |cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0．
3．在中，与的夹角不是而是其补角．

专题11 平面向量知识储备高考数学(理科)艺术生百日冲刺复习

平面向量的概念和运算1．向量的有关概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB →的大小叫做向量的长度(或模)，记作|AB →|.(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．(3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(6) 相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2.向量的加法(1) 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2) 法则：三角形法则；平行四边形法则．(3) 运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．3.向量的减法(1) 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2) 法则：三角形法则．(3) 运算律：a －b ＝a ＋(－b )4.向量的数乘(1) 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ① |λa |＝|λ||a ；② 当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.(2) 运算律：设λ、μ∈R ，则：① λ(μa )＝(λμ)a ；② (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．5. 向量共线的判定定理a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线．6．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.我们把不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．一个平面向量a 能用一组基底e 1，e 2表示，即a ＝λ1e 1＋λ2e 2.则称它为向量的分解。

【艺术生专项】双基训练—平面向量(学生版)

第1讲平面向量的概念1．向量：既有________，又有________的量叫向量．2．向量的几何表示：以A 为起点，B 为终点的向量记作________． 3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______． (2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作________． ②规定：零向量与__________平行．1．下列条件中能得到a ＝b 的是( ) A ．|a |＝|b |B ．a 与b 的方向相同C ．a ＝0，b 为任意向量D ．a ＝0且b ＝02．下列说法正确的有( )①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3．下列各命题中，正确的命题为( )A ．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B ．模为0的向量与任一向量平行C ．向量就是有向线段D ．|a |＝|b |⇒a ＝b4．下列说法正确的是( )A ．向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量 C ．零向量长度等于0D ．共线向量是在一条直线上的向量5. 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？6. 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模大小相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．（选做）7. 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．第2讲平面向量的线性运算1．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量________叫做a 与b 的和(或和向量)，记作__________，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝______. (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2. 向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________． (2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝________.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA →－OB →＝________. 3．向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝__________.(2)λa (a ≠0)的方向⎨⎪⎧当时，与a 方向相同；特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝________或λ0＝________. 4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________． 5．向量的线性运算向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算.1. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A. BD →B. DB →C. BC →D. CB →2. 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．233. 设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式(1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝________； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________.4．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP → B.OQ → C.SP → D.SQ → 5．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)的结果是________．→→→→→7．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0 B ．k ＝1 C ．k ＝2 D ．k ＝128．若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量y ＝_______. 9. 如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝______.(用a ，b 表示)第3讲平面向量基本定理1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a ，__________实数λ1，λ2，使a ＝____________________________.(2)基底：把________的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个__________a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则________＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是______________． ②当θ＝0°时，a 与b ________. ③当θ＝180°时，a 与b ________.(2)垂直：如果a 与b 的夹角是________，则称a 与b 垂直，记作______________．1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2 2．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.4. 如图所示，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →.第4讲平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示向量坐标的求法：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________. 2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1 D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( )A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________．第5讲平面向量共线的坐标表示1．两向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，当a ∥b 时，有______________________．1．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( ) A ．(1,0) B ．(－1,0) C ．(1，－1) D ．(－1,1)2．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________．3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( ) A ．－1 B ．－12C.12D ．14．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 5．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 的值为________．第6讲平面向量的数量积1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量______________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为____．(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是____________，向量b 在a 方向上的投影是______________． 2．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________. 即两个向量的数量积等于________________． 3．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔________________. 4．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝________________.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝________________________. 5．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.1．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( ) A ．－32 B ．0 C.32D ．32．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．－13．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－17 B.17 C ．－16 D.164．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．45．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( ) A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 6．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( )7．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为() A．2 B．4 C．6 D．128．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于()A. 3 B．2 3 C．4 D．129．已知a＝(3，3)，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝________.10．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．11．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，求证：AB⊥AD；12．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a⊥b；(2)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

练习十一平面向量
一、选择题
1．下列说法正确的是（）Ａ．两个长度相等的向量一定相等Ｂ．相等的向量起点必定相同
Ｃ．AB 与CD
共线，则A B C D ，，，四点必在同一直线上Ｄ．零向量与任一向量平行 2．已知12，e e 是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是Ａ．12+e e 和12-e e Ｂ．1232-e e 和2146-e e
Ｃ．122+e e 和212+e e Ｄ．e 2和12+e e
3．若向量(1)(4)x x ==，，，a b ，当a b ∥且方向相同时，x 的值为（）Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．4 Ｄ．4-
4．某人骑自行车的速度为1v ，风速为2v ，则逆风前行的速度大小为（）
Ａ．12-v v
Ｂ．12+v v
Ｃ．12-v v
Ｄ．
12
v v
5．已知(12)(34)(50)A B C ，，，，，，则sin BAC ∠=（）
6．两个非零向量，a b 满足+=-a b a b 则下列各式中成立的是（）
Ａ．0=a b · Ｂ．=a
b a b · Ｃ．=-a b a b · Ｄ．-<<a b ab a b
7．已知ABC △的三个顶点A B C ，，及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++= ，则点P 与
ABC △的关系为（）
Ａ．点P 在ABC △的内部Ｂ．点P 在ABC △的外部Ｃ．点P 在AB 边所在直线上
Ｄ．点P 在AC 边上
8．已知1
323==-=，a b a b ，则3+a b 的值为（）Ａ．3
Ｃ．
9．河水的流速为2m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸，则小船的静
水速度大小为（）Ａ．10m/s
Ｂ．
Ｃ．m/s
Ｄ．12m/s
10．已知平面上直线l 的方向向量e =（－
54，5
3），点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O '和A ′，则A O ''=λe ，其中λ等于（） A.5
11
B.－
5
11 C.2 D.－2
11．若O 是△ABC 内一点，OA +OB +OC =0，则O 是△ABC 的( )
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心 12．已知在ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB
CD r AB sAC ==+
，，则r s +的值是Ａ．
2
3
Ｂ．
43
Ｃ．3- Ｄ．0
13．P 是△ABC 所在平面上一点，若
，则P 是△ABC 的
A 外心
B 内心
C 重心
D 垂心 14．下列命题中，一定正确的是( )
A. B. 若，则
C.
≥
D.
15. 若向量=(cos
,sin
)，=(cos ,sin
)，则a 与一定满足（）
A ．与的夹角等于
－
B ．(＋)⊥(－)
C ．∥
D ．⊥
16．向量≠，||＝1，对任意t ∈R ，恒有|－t |≥|－|，则（） A.⊥ B.⊥(－) C.⊥(－) D.(＋)⊥(－) 17．在△ABC 中，已知
的值为（）
A ．－2
B ．2
C ．±4
D ．±2 二、填空题
18．有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_______方向行驶.
19．若21==，
a b 且2
3+=a b ，则a 与b 的夹角为． 20．若向量(21)=，a 围绕原点按逆时针方向旋转
π
4
得到向量b ，则向量b 的坐标为． 21．设(43)(21)=-=，，，a b ，若t +a b 与b 的夹角为45°
，则t 的值为．三、解答题
22．求通过点(21)A -，，且平行于向量(31)=，a 的直线方程．
23．已知(34)(43)==，，，a b ，求x ，y 的值，使()x y +⊥a b a ，且1x y +=a b ．
24．已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππ
θθθ==-<<
（I ）若,a b ⊥
求;θ （II ）求a b + 的最大值。

25．平面内给定三个向量(32)(12)(41)==-=，，，，，a b c ．（1）求满足m n =+a b c 的实数m n ，；（2）求满足()(2)k +-∥a c b a 的实数k ；（3）设()x y =，d 满足()()d c a b -+∥且1-=d c ，求d ．
26．已知O 为ΔABC 所在平面内一点，满足|OA → |2＋| BC → |2=|CA →|2＋|OB →|2=|OC →|2＋|AB →
|2．
试证明O 是ΔABC 的垂心．
18. 与水速成135°角的 19. 120° 20. ⎝⎭ 21. 1
22．解：设()P x y ，是所求直线上的任意一点，则(21)AP x y =+-
，．
AP
∵∥a ，(2)13(1)0x y +⨯--=∴，即所求直线方程为350x y -+=．
23．解：(34)(43)(3443)x y x x y y x y x y +=+=++，，，a b ，
()()()0x y x y +⊥
⇔+=∵·a b a a b a ，3(34)4(43)0x y x y +
++=∴，
即25240x y
+=2425x y =-∴．把2425x y =-代入，得57y =±242557x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，∴或242557x y ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
，．
24．解：（I ）若,a b ⊥ 则sin cos 0,θθ+=tan 1(),22ππθθ=--<<所以;4
π
θ=-
（II ）由(sin ,1),(1,cos )a b θθ== 得 (sin 1,1cos ),a b θθ+=++
a b +=
==当sin()4π
θ+时,a b + 取得最大值,即当4
π
θ=时,a b + 1.
25．解：（1）m n =+∵a b c ，(32)(42)
m n m n =-+
+，，∴，即4322m n m n -+=⎧⎨
+=⎩，．解得598
9m n ⎧
=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩
，．
m n ，∴的值分别为58
99
，；
（2）(342
)k k k +=+
+，∵a c ， 2(52)-=-，b a 且()(2)k +-∥
a c
b a ，
2(34)(5)(2)0k K +--⨯+=∴，16
13
k =-
∴；（3）(41)(24)x y -=--+=，，，d c a b ，由()()1-+-=，d c a b d c ∥，得41x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或41x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
5=⎝⎭d ∴或=⎝⎭
d ． 26．|OA → |2＋| BC → |2=|CA →|2＋|OB →
|2 ，得a 2＋（c －b ）2=b 2＋（a －c ）2 ， c ·b =a ·c ，即（b －a ）·c =0．OC →·AB →=0，故 AB →⊥OC →． CA →⊥OB →，BC → ⊥OA → ．故O 是ΔABC 的垂心．。