高考数学二轮精品专练试卷函数与方程及函数的应用理(含2013试题)

合集下载

【把握高考】高三数学二轮复习专题演练1-2-2第二讲函数与方程及函数的应用.pdf

【把握高考】2013届高三数学二轮复习专题演练1-2-2第二讲函数与方程及函数的应用一、选择题 1．(2012年高考天津卷)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：先判断函数的单调性，再确定零点．因为f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0，1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－10，所以有1个零点．答案：B 2．(2012年朝阳区模拟)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( ) A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2) 解析：由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得00 D．f(x0)的符号不确定解析：函数f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上是单调递增的，若这个函数有零点，则零点是唯一的，根据函数f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的及a为函数f(x)的零点可知，在(0，a)上，这个函数的函数值小于零，即f(x0)，故实数a的取值范围是0，f()＝－3－1<0，f()·f(2)<0，故下一步可断定该根在区间(，2)内．答案：(，2) 7．函数f(x)＝的零点个数是________．解析：当x<0时，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2或x＝0(舍去)．所以当x<0时，只有一个零点－2；当x≥0时，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，显然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝e0－1－2＝－20，所以当x>0时，函数f(x)有且只有一个零点．综上，函数f(x)只有两个零点，故填2. 答案：2 8．(2012年长沙模拟)已知函数f(x)＝，则关于x的方程f[f(x)]＋k＝0，给出下列四个命题： ①存在实数k，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是________(把所有满足要求的命题序号都填上)．解析：依题意知函数f(x)>0，又f[f(x)]＝依据y＝f[f(x)]的大致图象(如图)知，存在实数k，使得方程f[f(x)]＋k＝0恰有1个实根；存在实数k，使得方程f[f(x)]＋k＝0恰有2个不相等的实根；不存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；不存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．综上所述，其中正确命题的序号是①②.答案：①② 三、解答题 9．已知函数f(x)＝ex＋ln x，g(x)＝e－x＋ln x，h(x)＝e－x－ln x的零点分别是a，b，c.试比较a，b，c的大小．解析：由f(x)＝ex＋ln x＝0，得ex＝－ln x，但x>0，ex>1，故－ln x>1，即ln x<－1，所以00， 0<e－x<1，故0<－ln x<1，即－1<ln x<0，所以<b0， 0<e－x<1，故0<ln x<1，所以1<c<e. 综上可知a<b<c. 10．对实数a和b，定义运算“”：ab＝设函数f(x)＝(x2－2)(x－1)(x∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若方程f(x)＝c恰有两个实根，求实数c的取值范围．解析：根据“”的定义知：当x2－2－(x－1)≤1，即：x2－x－2≤0，得：－1≤x≤2，所以当－1≤x≤2时，f(x)＝x2－2，同理当x2时，f(x)＝x－1，综上可知：f(x)＝. (1)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)在(－∞，－1)，(0，2]，(2，＋∞)上为增函数；在[－1，0]上为减函数． (2)在(1)中图象所在坐标系中作出函数y＝c的图象，结合图象知：当c∈(－2，－1]∪(1，2]时方程有两个实根． 11．建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°，如图所示，考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)要最小．(1)求断面外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少米？ (2)如防洪堤的高限制在[3，2]的范围内，则断面外周长最小为多少米？解析：(1)由等腰梯形的面积，得6＝(AD＋BC)h，因为AD＝BC＋2·＝BC＋h，所以6＝(2BC＋h)h，即BC＝－h. 设外周长为l，则l＝2AB＋BC＝＋－h＝h＋≥6，当且仅当h＝，即h＝时等号成立．故断面外周长的最小值为6 米，此时，堤高h是米． (2)由(1)，知外周长l＝h＋＝(h＋)，h∈[3，2]．设3≤h10，这说明l是h的增函数，所以当h＝3时，l取得最小值，即lmin＝×3＋＝5(米)．。

2024高考高考数学二轮复习小题专练作业十五函数与方程函数的实际应用理

小题专练·作业(十五) 函数与方程、函数的实际应用1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A ．12，0 B ．－2,0 C ．12D ．0解析当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，因为x >1，所以此时方程无解。

综上函数f (x )的零点只有0。

故选D 。

答案 D2．函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3)解析 f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x >0，所以f (x )>0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点。

f (2)＝1－ln1＝1>0，f (3)＝23－ln2＝2－3ln23＝2－ln83。

因为8＝22≈2.828>e，所以8>e 2，即ln8>2，所以f (3)<0。

又f (4)＝12－ln3<0，所以f (x )在(2,3)内存在一个零点。

故选B 。

答案 B3．若函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析因为函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点，所以m ＋log 2x ＝0在x ≥1时有解，所以m ＝－log 2x ≤－log 21＝0。

故选A 。

答案 A4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3×2x－24，0≤x ≤10，－2x －5＋126，10<x ≤20的零点不行能在的区间为( ) A ．(1,4) B ．(3,7) C ．(8,13)D ．(11,18)解析当0≤x ≤10时，f (x )单调递增，又f (3)＝0，所以当0≤x ≤10时，f (x )有唯一零点x ＝3。

【走向高考】高考数学二轮复习微专题强化习题：函数与方程、函数的应用含答案

第一部分一 4一、选择题1．若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫0，13 [答案] C[解析] 令f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －x 13，f (1)＝12－1＝－12<0， f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212－⎝⎛⎭⎫1213<0， f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213－⎝⎛⎭⎫1313>0，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫1223－⎝⎛⎭⎫2313＝⎝⎛⎭⎫1413－⎝⎛⎭⎫2313<0， ∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫13，12内有零点．2．利民工厂某产品的年产量在150t 至250t 之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (t)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240B ．200C ．180D ．160 [答案] B[解析] 依题意得每吨的成本是y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200t ，选B. 3．(文)(2014·山东理，8)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] 作出函数y ＝f (x )的图象如图，当y ＝kx 在l 1位置时，过A (2,1)，∴k ＝12，在l 2位置时与l 3平行，k ＝1，∴12<k <1.(理)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8[答案] B[分析] 函数y ＝f (x )－sin x 的零点转化函数f (x )y ＝f (x )与y ＝sin x 图象交点――→转化f (x )的范围――→函数f (x )的性质确定f ′(x )的正负――→分类讨论(x －π2)·f ′(x )>0. [解析] ∵(x －π2)f ′(x )>0，x ∈(0，π)且x ≠π2，∴当0<x <π2时，f ′(x )<0，f (x )在(0，π2)上单调递减．当π2<x <π时，f ′(x )>0，f (x )在(π2，π)上单调递增． ∵当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1. ∴当x ∈[π，2π]时，0≤2π－x ≤π. 又f (x )是以2π为最小正周期的偶函数，知f (2π－x )＝f (x )．∴x ∈[π，2π]时，仍有0<f (x )<1.依题意及y ＝f (x )与y ＝sin x 的性质，在同一坐标系内作出y ＝f (x )与y ＝sin x 的简图．则y ＝f (x )与y ＝sin x 在x ∈[－2π，2π]内有4个交点．故函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]内有4个零点．4．已知a 、b ∈[－1,1]，则函数f (x )＝ax ＋b 在区间(1,2)上存在一个零点的概率为( ) A.12 B.14 C.18 D.116[答案] C[解析] 如图，由图形可知点(a ，b )所在区域的面积S ＝4，满足函数f (x )＝ax ＋b 在区间(1,2)上存在一个零点的点(a ，b )所在区域面积S ′＝12×12×1×2＝12，故所求概率P ＝124＝18.5．(2015·天津理，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，)函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎭⎫0，74 D.⎝⎛⎭⎫74，2[答案] D[解析] 考查求函数解析式；函数与方程及数形结合的思想．由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，得f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|2－x |，x ≥0，x 2，x <0，所以y ＝f (x )＋f (2－x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |＋x 2，x <0，4－|x |－|2－x |，0≤x ≤2，2－|2－x |＋(x －2)2，x >2，即y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x >2，y ＝f (x )－g (x )＝f (x )＋f (2－x )－b ，所以y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点等价于方程f (x )＋f (2－x )－b ＝0有4个不同的解，即函数y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个公共点，由图象可知74π，x 1、x 2、x 3、x 4、x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是( )A ．(0，π)B ．(－π，π)C ．(lg π，1)D ．(π，10)[答案] D[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m ，设两图象交点横坐标从左向右依次为x 1、x 2、x 3、x 4、x 5，由对称性知x 1＋x 2＝－π，x 3＋x 4＝π，又π<x 5<10，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5∈(π，10)．(理)(2014·百校联考)已知f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20132013，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 20132013，设函数F (x )＝f (x ＋3)g (x －4)，且F (x )的零点均在区间[a ，b ](a 0，f (－1)＝1－1－12－13－14－…－12013<0，f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2012，当x ≤0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )＝1－(－x )20131＋x ＝1＋x 20131＋x>0，∴f ′(x )>0在R 上恒成立，∴f (x )在R 上为增函数，又f (－1)f (0)<0，∴f (x )只有一个零点，记作x 1，则x 1∈(－1,0)，g (1)＝1－1＋12－13＋…＋12012－12013>0，g (2)＝1－2＋222－233＋…＋220122012－220132013<0，又当x >0时，g ′(x )＝－1＋x －x 2＋x 3＋…－x 2012＝－1·[1－(－x )2013]1＋x ＝－(1＋x 2013)1＋x<0，∴g (x )单调递减，∴g (x )也只有一个零点，记为x 2，x 2∈(1,2)，F (x )＝f (x ＋3)g (x －4)有两个不同零点x 3、x 4，x 3∈(－4，－3)，x 4∈(5,6)，又F (x )的零点均在区间[a ，b ]内，且a <b ，b ∈Z ，∴当a ＝－4，b ＝6时，b －a 取最小值10.[方法点拨] 1.求f (x )的零点值时，直接令f (x )＝0解方程，当f (x )为分段函数时，要分段列方程组求解；2．已知f (x )在区间[a ，b ]上单调且有零点时，利用f (a )·f (b )<0讨论；3．求f (x )的零点个数时，一般用数形结合法；讨论函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点个数，即方程f (x )＝g (x )的解的个数，一般用数形结合法．4．已知零点存在情况求参数的值或取值范围时，利用方程思想和数形结合思想，构造关于参数的方程或不等式求解．7．(文)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)[答案] C[解析] f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，若a >0，则f (x )在(－∞，0)和(2a ，＋∞)上单调递增，在(0，2a )上单调递减，又f (0)＝1，∴f (x )不可能存在唯一零点；由选项知a ＝0不必考虑；a <0时，f (x )在(－∞，2a )和(0，＋∞)上单调递减，在(2a ，0)上单调递增，欲使f (x )落在唯一零点x 0>0，应有极小值f (2a)>0，即a ·(2a )3－3·(2a )2＋1>0，∴a <－2.[点评] 可以用验证法求解．(理)现有四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x 的图象(部分)如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①[答案] A[解析] ①y ＝x sin x 为偶函数，对应第一个图；②y ＝x cos x 为奇函数，且x >0时，y 可正可负，对应第三个图；③y ＝x |cos x |为奇函数，且x >0时，y >0，对应第四个图；④y ＝x ·2x 为增函数，对应第二个图，故选A.8．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋1)为奇函数，f (0)＝0，当x ∈(0,1]时，f (x )＝log 2x ，则在(8,10)内满足方程f (x )＋1＝f (1)的实数x 为( )A.192 B ．9 C.172 D.334[答案] C[解析] 由条件知f (－x )＝f (x ) ①，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1) ②，在②式中给x 赋值x ＋1得f (－x )＝－f (x ＋2)，将①代入得f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4.在②中令x ＝0得f (1)＝0，∴方程f (x )＋1＝f (1)，化为f (x )＝－1，由于f (x )的图象关于点(1,0)对称，当0<x <1时，f (x )＝log 2x <0，∴当1<x <2时，f (x )>0，令f (x )＝－1，(0<x <1)得x ＝12，即f (12)＝－1，∴f (172)＝f (12＋8)＝f (12)＝－1，故选C.9．(文)已知定义在R 上的函数f (x )的对称轴为x ＝－3，且当x ≥－3时，f (x )＝2x －3.若函数f (x )在区间(k －1，k )(k ∈Z )上有零点，则k 的值为( )A ．2或－7B ．2或－8C ．1或－7D ．1或－8 [答案] A[解析] ∵f (1)＝－1<0，f (2)＝1>0，∴f (x )在(1,2)上有零点，又f (x )的图象关于直线x ＝－3对称，∴f (x )在(－8，－7)上有零点，∴k ＝2或－7.(理)(2015·长沙一模)使得函数f (x )＝15x 2－45x －75(a ≤x ≤b )的值域为[a ，b ](a <b )的实数对(a ，b )有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．无数对 [答案] B[解析] 配方得f (x )＝15(x －2)2－115，当a ≥2时，函数f (x )在区间[a ，b ]上为单调增函数，故有⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a ，f (b )＝b ，即a ，b 是方程f (x )＝x 的两根，方程化简得x 2－9x －7＝0，易知方程不可能存在两个不小于2的实根；当b ≤2时，函数f (x )在区间[a ，b ]上为单调递减函数，故有⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝b ，f (b )＝a ，即⎩⎨⎧15a 2－45a －75＝b ，15b 2－45b －75＝a ，消元化简得a 2＋a －2＝0，∴a ＝－2或a ＝1，代入原方程组解得满足条件的解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，即实数对(－2,1)满足条件；当a <20在其定义域上只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >163B ．a ≥163C ．a <163D ．a ≤163[答案] A[解析] 当x ≤0时，函数y ＝－x 与函数y ＝3x 的图象有一个交点，所以函数y ＝f (x )有一个零点；而函数f (x )在其定义域上只有一个零点，所以当x >0时，f (x )没有零点．当x >0时，f ′(x )＝x 2－4，令f ′(x )＝0得x ＝2，所以f (x )在(0,2)上递减，在(2，＋∞)上递增，因此f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝a －163>0，解得a >163.故选A.(理)已知定义域为(－1,1]的函数f (x )，对任意x ∈(－1,0]，f (x ＋1)＝11＋f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，12)B ．[12，＋∞)C ．[0，13)D ．(0，12][答案] D[解析] ∵x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，又x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，∴f (x ＋1)＝x ＋1，又f (x ＋1)＝11＋f (x )，∴x ∈(－1,0]时，f (x )＝1x ＋1－1，作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ∈[0，1]，1x ＋1－1， x ∈(－1，0).的图象，由于y ＝m (x ＋1)过定点(－1,0)，∴要使y ＝m (x ＋1)与y ＝f (x )的图象有两个交点，应有0<m ≤12，∴选D.11．(文)如果函数y ＝|x |－2的图象与曲线C ：x 2＋λy 2＝4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．{－1,0}C ．(－∞，－1]∪[0,1)D ．[－1,0]∪(1，＋∞)[答案] A[解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 (x ≥0)，－x －2 (x <0).当λ＝1时，曲线C 与圆x 2＋y 2＝4有三个不同公共点，当0<λ<1时，曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆，满足题设要求，当λ>1时，不满足；当λ<0时，曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，其渐近线斜率k ＝－1λ，由题意应有－1λ≥1，∴－1≤λ<0，综上知－1≤λ<1.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x ≤4，x 2－12x ＋34，x >4.若方程f (x )＝t (t ∈R )有四个不同的实数根x 1、x 2、x 3、x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围为( )A ．(30,34)B ．(30,36)C ．(32,34)D ．(32,36)[答案] C[解析] 设四个实数根满足x 1<x 2<x 3<x 4，则易知0<t <2，∴x 1＝2－t ，x 2＝2t ，由(x －6)2－2＝t 得x －6＝±2＋t ，∴x ＝6±2＋t ，∴x 3＝6－2＋t ，x 4＝6＋2＋t ，∴x 1x 2x 3x 4＝2－t ·2t ·[6－2＋t ][6＋2＋t ]＝36－(2＋t )＝34－t ∈(32,34)，故选C.12．(2015·石家庄市质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ∈[0，1)，4－2x ， x ∈[1，2]，若f (x 0)≤32，则x 0的取值范围是( )A ．(log 232，54)B ．(0，log 232]∪[54，＋∞)C ．[0，log 232]∪[54，2]D ．(log 232，1)∪[54，2][答案] C[解析] 利用分段函数建立不等式组求解．f (x 0)≤32⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x 0<1，2x 0≤32或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 0≤2，4－2x 0≤32解得0≤x 0≤log 232或54≤x 0≤2，故选C.二、填空题13．已知定义域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈(0，32)时，f (x )＝sinπx ，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是________．[答案] 7[解析] 易知在(－32，32)内，有f (－1)＝0，f (0)＝0，f (1)＝0，即f (x )在一个周期内有3个零点，又区间[0,6]包含f (x )的2个周期，而两端点都是f (x )的零点，故f (x )在[0,6]内有7个零点．14．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)．若x 0所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z )，则n ＝________.[答案] 1[解析] 由函数图象知，1<x 0<2，∴n ＝1..15．(文)函数f (x )对一切实数x 都满足f (12＋x )＝f (12－x )，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．[答案] 32[解析] 函数图象关于直线x ＝12对称，方程f (x )＝0有三个实根时，一定有一个是12，另外两个关于直线x ＝12对称，其和为1，故方程f (x )＝0的三个实根之和为32.(理)已知f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n 等于________．[答案] －1[解析] ∵2a ＝3,3b ＝2，∴a ＝log 23，b ＝log 32， ∴f (－1)＝a －1－1－b ＝log 32－1－log 32＝－1<0， f (0)＝a 0－b ＝1－log 32>0， ∴f (x )在(－1,0)内存在零点，又f (x )为增函数，∴f (x )在(－1,0)内只有一个零点，∴n ＝－1. 三、解答题16．(文)设函数f (x )＝13x 3＋a －12x 2－ax ＋a ，其中a >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若方程f (x )＝0在(0,2)内恰有两个实数根，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在[t ，t ＋3](t ∈(－3，－2))上的最大值为H (t )，最小值为h (t )，记g (t )＝H (t )－h (t )，求函数g (t )的最小值．[解析] (1)f ′(x )＝x 2＋(a －1)x －a ＝(x ＋a )(x －1)，令f ′(x )＝0得，x 1＝1，x 2＝－a <0，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：(2)由(1)知f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，从而方程f (x )＝0在区间(0,2)内恰有两个实数根等价于f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，解得0<a <13，所以a 的取值范围是(0，13)．(3)当a ＝1时，f (x )＝13x 3－x ＋1，由(1)知f (x )在(－3，－1)上单调递增，(－1,1)上单调递减．所以，当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，所以f (x )在[t ，－1]上单调递增，[－1，t ＋3]上单调递减，因此，f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值H (t )＝f (－1)＝53，而最小值h (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．∵f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)，故h (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )，而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝13，所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝53－13＝43.即函数g (x )在区间[－3，－2]上的最小值为43.(理)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx (其中a 、b 为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0，e]上的最大值为1，求a 的值．[解析] (1)因为f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，所以f ′(x )＝1x ＋2ax ＋b .因为函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx 在x ＝1处取得极值，f ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0.当a ＝1时，b ＝－3，f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x， f ′(x )、f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间为(0，12)和(1，＋∞)，单调递减区间为(12，1)． (2)因为f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x，令f ′(x )＝0得，x 1＝1，x 2＝12a，因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x 2＝12a≠x 1＝1，当12a<0时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在区间(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2，当a >0时，x 2＝12a>0，当12a <1时，f (x )在(0，12a )上单调递增，(12a，1)上单调递减，(1，e)上单调递增，所以最大值1可能在x ＝12a或x ＝e 处取得，而f (12a )＝ln 12a ＋a (12a )2－(2a ＋1)·12a ＝ln 12a －14a－1<0，所以f (e)＝lne ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2；当1≤12a <e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，(1，12a )上单调递减，(12a，e)上单调递增，所以最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得，而f (1)＝ln1＋a －(2a ＋1)<0，所以f (e)＝lne ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2，与1<x 2＝12a <e 矛盾；当x 2＝12a≥e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以最大值1可能在x ＝1处取得，而f (1)＝ln1＋a －(2a ＋1)<0，矛盾．综上所述，a ＝1e －2或a ＝－2.。

高考数学(理)二轮试题：第2章《函数与方程》(含答案)

精选题库试题理数1.(2014 山东 ,8,5 分 )已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx. 若方程 f(x)=g(x) 有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是()A. B. C.(1,2) D.(2,+ ∞)1.B1.f(x)=如图,作出y=f(x)的图象,此中A(2,1),则k OA=.要使方程f(x)=g(x) 有两个不相等的实根,则函数 f(x) 与 g(x) 的图象有两个不一样的交点,由图可知 ,<k<1.2.(2014 课表全国Ⅰ， 11， 5 分)已知函数32若 f(x) 存在独一的零点x0,且 x0>0, 则 a f(x)=ax-3x +1,的取值范围是 ()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(- ∞,-2)D.(- ∞,-1)2.C2.(1) 当 a=0 时,明显 f(x) 有两个零点 ,不切合题意 .(2) 当 a≠0时 , f '(x)=3ax 2-6x,令 f '(x)=0, 解得 x1=0,x 2=.32当 a>0 时 , >0,所以函数 f(x)=ax -3x+1在 (- ∞ ,0)与上为增函数 ,在上为减函数 ,因为 f(x) 存在独一零点x0,且 x0>0,则 f(0)<0, 即 1<0, 不建立 .当 a<0 时 , <0,所以函数 f(x)=ax 3-3x2+1 在和(0,+∞)上为减函数,在上为增函数,因为 f(x) 存在独一零点x0,且 x0 >0,则 f>0,即 a·-3 ·+1>0,解得 a>2 或 a<-2,又因为 a<0,故 a 的取值范围为 (- ∞,-2).选 C.3.（ 2014 重庆一中高三放学期第一次月考，7）已知函数的图像与轴恰好有三个不一样的公共点，则实数的取值范围是（）（ A ）（ B）（C）（ D）3.C3., 当或时, 可得; 当时 ,, 所以函数的极小值为, 极大值为, 由题意可得,解得.4. (2014 山西太原高三模拟考试（一），12) 已知方程在（0，+∞）上有两个不一样的解，（＜），则下边结论正确的选项是( )4. C4.由题意可得上有两个不一样的解，（＜），联合数形联合可得直线与曲线相切于点，且，则依据导数的几何意义可得切线的斜率为，依据两点间的斜率公式可得，由此可得，即，两边同除可得2应选 C.5. (2014 福州高中毕业班质量检测, 9) 若定义在上的函数知足,, 且当时 , 其图象是四分之一圆(以下图 ), 则函数在区间上的零点个数为()5.B5.因为定义在上的函数知足,,所以函数是偶函数，且对于对称，又因为函数的定义域是, 所以，令得，极小值由表中数据可知的单一减区间为，单一增区间为，当时，函数的极小值为，所以在时获得极大值，且函数在上是增函数，所以当时由 3 个交点；时只有一个交点，故函数在区间上的零点个数为 4.6. (2014 河北石家庄高中毕业班复习教课质量检测（二），11)已知函数此中为自然对数的底数，若对于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为 ( )A. B. C. D.6.B6.先令，则，所以，进而方程只有一个解，即的图像与的图像只有一个交点. 由数形联合可知：当时，应知足；当时交点有且只有一个；综上所述，实数的取值范围为.选 B.7. (2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 8) 以下命题中假命题的是（）A.，，使B.，函数都不是偶函数C.，使D.＞ 0,函数有零点7.B7.当时，为偶函数，所以是假命题.,,明显为真.8. (2014 山东实验中学高三第一次模拟考试，8) 已知函数的零点分别为的大小关系是（）A. B. C. D.8.A8. 由已知分别是，，的根,作出，，，的图像，以下图，由图像可得.9. (2014 广东广州高三调研测试，8) 对于实数和，定义运算“ *”：*设*，且对于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是（）A.B.C.D.9.A9.由已知可得得时，，且，所以，作出的图像，不如设，由重要不等式，进而.，由图像可。

高考数学理科二轮(通用版)复习练习：1.2.3函数与方程及函数的应用(含答案)

第一部分专题二第3讲1．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )A ．p ＋q 2B.p ＋1q ＋1－12 C ．pqD.p ＋1q ＋1－1解析：设原来的生产总值为a ，平均增长率为x ，则a (1＋p )(1＋q )＝a (1＋x )2，解得1＋x ＝p ＋1q ＋，即x ＝p ＋q ＋－1.2．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( B ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a bc ＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：对于A ，log a b ·log c b ＝log c a ⇒log a b ＝log c a log c b ，与换底公式矛盾，所以A 不正确；对于B ，log a b ·log c a ＝log a b ，⇒log a b ＝log c blog c a，符合换底公式，所以正确；对于C ，log a bc ＝log a b ·log a c ，不满足对数运算公式log a (xy )＝log a x ＋log a y (x ，y >0)，所以不正确；对于D ，log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c ，不满足log a (xy )＝log a x ＋log a y (x ，y >0)，所以不正确． 3．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( A )A ．e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)<e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：构造函数g (x )＝f xe x ，则g ′(x )＝f ′x －f xe x >0，∴函数g (x )单调递增．∵x 1<x 2，∴g (x 1)<g (x 2)，即f x 1e x 1<f x 2e x 2，∴e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1)．4．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( A ) A ．x 3>y 3B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)D.1x 2＋1>1y 2＋1解析：∵实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，∴x >y ，对于A ，当x >y 时，x 3>y 3，恒成立．对于B ，当x ＝π，y ＝π2时，满足x >y ，但sin x >sin y 不成立．对于C ，若ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)，则等价为x 2>y 2成立，当x ＝1，y ＝－1时，满足x >y ，但x 2>y 2不成立．对于D ，若1x 2＋1>1y 2＋1，则等价为x 2＋1<y 2＋1，即x 2<y 2，当x ＝1，y ＝－1时，满足x >y ，但x 2<y 2不成立．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈－1，0]，x ，x ∈，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( A )A ．⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 C ．⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 解析：由g (x )＝f (x )－mx －m ＝0，得f (x )＝m (x ＋1)，分别作出函数f (x )和y ＝h (x )＝m (x ＋1)的图象如图．由图象可知f (1)＝1，h (x )表示过定点A (－1,0)的直线．当h (x )过(1,1)时，m ＝12，此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m 的取值范围是0<m ≤12.当h (x )过(0，－2)时，h (0)＝－2，解得m ＝－2，此时两个函数有两个交点．当h (x )与f (x )相切时，两个函数只有一个交点，此时1x ＋1－3＝m (x ＋1)，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0，当m ＝0时，x ＝－23，只有1解；当m ≠0，由Δ＝9＋4m ＝0得m ＝－94，此时直线和f (x )相切．∴要使函数有两个零点，则－94<m ≤－2或0<m ≤12.6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( B )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：根据题意，该生产x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800＋x ·x 8＝800＋18x 2，这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 f (x )＝800＋18x 2x ＝800x ＋18x (x 为正整数)．由基本不等式，得f (x )≥2800x ·18x ＝20. 当且仅当800x ＝18x ＝10时，f (x )取得最小值，可得x ＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小． 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2，x >2，)函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( A )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由已知条件可得g (x )＝3－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x ≥0，3－x 2，x <0.函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示．由图象可知函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有2个交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，4x ，x ≤0，若函数y ＝f (x )－k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是(0,1]．解析：∵函数y ＝f (x )－k 存在两个零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个公共点，在同一个坐标系中作出它们的图象，由图象可知：实数k 的取值范围是(0,1]．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x <0，(a ∈R)，若f [f (－1)]＝1，则a ＝ 14 .解析：∵f [f (－1)]＝1， ∴f [f (－1)]＝f (2－(－1))＝f (2)＝a ·22＝4a ＝1，∴a ＝14.10．若函数f (x )＝4x －k ·2x ＋k ＋3有唯一零点，则实数k 的取值范围是(－∞，－3)∪{6}．解析：设t ＝2x ，则t >0，则函数f (x )等价为y ＝g (t )＝t 2－ k ·t ＋k ＋3，在t >0时有唯一零点．若Δ＝0时，有对称轴x ＝－－k 2＝k2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－k ＋＝0，k 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2或k ＝6，k >0，解得k ＝6；若Δ>0，即k >6或k <－2时，满足g (0)<0，即g (0)＝k ＋3<0，解得k <－3，此时k <－3.综上：实数k 的取值范围是(－∞，－3)∪{6}．11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为(－∞，2]．解析：当x ＝0时，f (0)＝a ，由题意得：a ≤x ＋1x ，又∵x ＋1x ≥2x ·1x＝2， ∴a ≤2.12．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是(0,1)∪(1,2)．解析：函数y ＝|x 2－1|x －1＝|x ＋1|·|x －1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1，－x ＋，－1≤x <1，x ＋1，x <－1，由图可知当一次函数y ＝kx 的斜率k 满足0<k <1或1<k <2时，直线y ＝kx 与函数y ＝|x 2－1|x －1的图象相交于两点．。

高考数学(理)二轮专题练习【专题8】(1)函数与方程思想(含答案)

第1讲函数与方程思想1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.热点一函数与方程思想在不等式中的应用例1 (1)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________.(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是__________．答案 (1)4 (2)(－∞，－3)∪(0,3)解析 (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，且g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.(2)设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )在R 上为奇函数．又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，所以x <0时，F (x )为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x >0时，F (x )也是增函数．因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)．所以，由图可知F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．思维升华 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f (x )>0或f (x )<0恒成立，一般可转化为f (x )min >0或f (x )max <0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解．(1)若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( )A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0(2)已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32答案 (1)B (2)A解析 (1)把不等式变形为2x －5－x ≤2－y －5y ，构造函数y ＝2x －5－x ，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y .(2)因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m .所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32，故选A.热点二函数与方程思想在数列中的应用例2 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列．(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)，又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)因为S n ＝n (n ＋1)， b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3，令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.思维升华 (1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思想求解．(1)(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．(2)已知函数f (x )＝(13)x ，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则a n 的最小值为( )A ．－1B ．1 C.23D ．－23答案 (1)4 (2)D解析 (1)因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4. (2)由题设，得a 1＝f (1)－c ＝13－c ；a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29；a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227. 又数列{a n }是等比数列，∴(－29)2＝(13－c )×(－227)，∴c ＝1.又∵公比q ＝a 3a 2＝13，∴a n ＝－23(13)n －1＝－2(13)n ，n ∈N *.且数列 {a n }是递增数列， ∴n ＝1时，a n 有最小值a 1＝－23.热点三函数与方程思想在几何中的应用例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离 d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.所以，k 的值为1或－1.思维升华几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．(1)(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(01，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5)答案 (1)x 2＋32y 2＝1 (2)B解析 (1)设点B 的坐标为(x 0，y 0)， ∵x 2＋y 2b2＝1，且0<b <1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b23. 将点B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.(2)e 2＝(c a )2＝a 2＋(a ＋1)2a 2＝1＋(1＋1a)2，因为当a >1时，0<1a <1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量．2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．4．许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.真题感悟1．(2014·辽宁)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝121log 3，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a答案 C 解析 0<a ＝132<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝121log 3>121log 2＝1，即0<a <1，b <0，c >1，所以c >a >b .2．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( ) A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2答案 D解析如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r >0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0. 令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0，解得r 2＝50，即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝62，故选D.3．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．答案－3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －bx 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.4．(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元) 答案 160解析设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m ．又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2(x＋4x )×10，即y ＝80＋20(x ＋4x )(x >0)．因为x ＋4x ≥2x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”)，所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．押题精练1．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 f ′(x )>2转化为f ′(x )－2>0，构造函数F (x )＝f (x )－2x ，得F (x )在R 上是增函数．又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)＝4，f (x )>2x ＋4，即F (x )>4＝F (－1)，所以x >－1.2．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22答案 D解析可知|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x .令F (x )＝x 2－ln x ，F ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以当0<x <22时，F ′(x )<0，F (x )单调递减；当x >22时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，故当x ＝t ＝22时，F (x )有最小值，即|MN |达到最小． 3．(2014·辽宁)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]答案 C解析当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，所以a ≥⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3max .设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，所以φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0，所以φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6.所以a ≥－6. 当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，所以a ≤⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3min . 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0，φ(x )在[－2，－1)上单调递减，当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0，φ(x )在(－1,0)上单调递增．所以当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值．而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，所以a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2.4．若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1,2) 解析令f (x )＝(2－2－|x －2|)2.要使f (x )＝2＋a 有实根，只需2＋a 是f (x )的值域内的值．∵f (x )的值域为[1,4)，∴1≤a ＋2<4，∴－1≤a <2.5．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a ，其中a ∈R ，且a ≠0.若函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，试求△OAB 的面积S 的最大值．解依题意，f (x )＝g (x )，即ax 2＋ax ＝x －a ，整理得ax 2＋(a －1)x ＋a ＝0，① ∵a ≠0，函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，∴Δ>0，即Δ＝(a －1)2－4a 2＝－3a 2－2a ＋1＝(3a －1)·(－a －1)>0， ∴－1<a <13且a ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2，由①得x 1x 2＝1>0，x 1＋x 2＝－a －1a.设点O 到直线g (x )＝x －a 的距离为d ，则d ＝|－a |2，∴S ＝121＋12|x 1－x 2|·|－a |2＝12－3a 2－2a ＋1＝12－3⎝⎛⎭⎫a ＋132＋43.∵－1<a <13且a ≠0，∴当a ＝－13时，S 取得最大值33. 即△OAB 的面积S 的最大值为33.6.如图，已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，⊙M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，P 为椭圆G 上一点，过P 作⊙M 的两条切线PE 、PF ，E 、F 分别为切点． (1)求t ＝|PM →|的取值范围；(2)把PE →·PF →表示成t 的函数f (t )，并求出f (t )的最大值、最小值．解 (1)设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20a 2－1＝1(a >1)，∴y 20＝(a 2－1)⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2， ∴t 2＝|PM →|2＝(x 0＋1)2＋y 20＝(x 0＋1)2＋(a 2－1)⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2＝⎝⎛⎭⎫1a x 0＋a 2， ∴t ＝⎪⎪⎪⎪1a x 0＋a . ∵－a ≤x 0≤a ，∴a －1≤t ≤a ＋1(a >1)．(2)∵PE →·PF →＝|PE →||PF →|cos ∠EPF ＝|PE →|2(2cos 2∠EPM －1) ＝(|PM →|2－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(|PM →|2－1)|PM |2－1＝(t 2－1)⎣⎡⎦⎤2(t 2－1)t 2－1＝t 2＋2t 2－3，∴f (t )＝t 2＋2t2－3(a －1≤t ≤a ＋1)．对于函数f (t )＝t 2＋2t2－3(t >0)，显然在t ∈(0，42]时，f (t )单调递减，在t ∈[42，＋∞)时，f (t )单调递增．∴对于函数f (t )＝t 2＋2t2－3(a －1≤t ≤a ＋1)，当a>42＋1，即a－1>42时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋2(a＋1)2，[f(t)]min＝f(a－1)＝a2－2a－2＋2(a－1)2；当1＋2≤a≤42＋1时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋2(a＋1)2，[f(t)]min＝f(42)＝22－3；当1<a< 1＋2时，[f(t)]max＝f(a－1)＝a2－2a－2＋2(a－1)2，[f(t)]min＝f(42)＝22－3.。

(江苏专用)高三数学二轮总复习常考问题2 函数与方程及函数的应用理

[真题感悟]1．(2013·湖南卷改编)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为________．解析由已知g (x )＝(x －2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．答案 22．(2012·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．解析因为函数f (x )是周期为2的函数，所以f (－1)＝f (1)⇒－a ＋1＝b ＋22，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⇒12b ＋232＝－12a ＋1，联立列成方程组解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝2－12＝－10.答案－103．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是________．解析当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax ，化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)>0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)>ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立．答案 [－2,0]4．(2013·天一、淮阴、海门中学调研)将一个长宽分别是a ，b (0＜b ＜a )的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则a b 的取值范围是________．解析设切去正方形的边长为x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，则该长方体外接球的半径为 r 2＝14[(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2]＝14[9x 2－4(a ＋b )x ＋a 2＋b 2]，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2 存在最小值时，必有2a ＋b9＜b2，解得a b ＜54，又0＜b ＜a ⇒a b＞1，故a b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54 [考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)函数与方程是A 级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(2)函数模型及其应用是考查热点，要求是B 级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查.。

2013届高考数学第二轮复习专题训练：专题2 函数含详解

专题2 函数（2）一、填空题例1已知函数3()3()f x xax a =-∈R ，若直线0=++m y x 对任意的m ∈R 都不是曲线)(x f y =的切线，则a 的取值范围是．答：1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭提示：∵2()33f x xa '=-，不等式()1f x '≠-对任意x 都成立，∴131,3a a ->-<．例2设曲线()1xy ax e =-在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1xy x e -=-在点()02,B x y 处的切线为2l ,若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是．答：31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦提示：直线1l ，2l 的斜率分别为()0101x k axa e =+-,()0202x k x e -=-．由题设得()()1200121k k axa x =+--=-在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,∴()()000321x a x x -=-+．令0333,2t x⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦,则()()131,41425t a t t t t⎡⎤==∈⎢⎥++⎣⎦++．例3已知函数()y f x =上任一点()()0,x f x 处的切线斜率()()20031k xx =-+，则该函数的单调递减区间为．答：(),3-∞提示:由()()()2310f x x x '=-+<得3x <．例4已知函数()()sin 2cos x f x bx b x =-∈+R 在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，则b = ．答：0b = 提示：()()22cos 12cos x f x b x +'=-+,由题设得203f π⎛⎫'=⎪⎝⎭，∴0b =．经检验满足．例5已知函数()()21ln 202f x x axx a =--≠存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为．答:()()1,00,-+∞提示：2121()2ax x f x ax x x+-'=--=-．∵函数()f x 存在单调递减区间，∴()0f x '<在()0,+∞上有解．从而22111211a x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1a >-．又0a ≠,∴10a -<<或0a >．例6已知函数()4322f x xax x b =+++，其中,a b ∈R ．若函数()f x 仅在0x =处有极值，则a 的取值范围是．答：88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦提示：()()2434f x x xax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根．为使()f x 仅在0x =处有极值,必须24340xax ++≥成立,即有29640a∆=-≤．解得8833a -≤≤．这时，(0)fb =是唯一极值．例7若函数()f x 满足()f x ＝()f x π-，且当(,)22x ππ∈-时，()sin f x x x =+，则(1),(2),(3)f f f 的大小关系为．答:(3)(1)(2)f f f <<提示:由()f x ＝()f x π-，得函数()f x 的图象关于直线2x π=对称．又当(,)22x ππ∈-时，()1cos 0f x x '=+>恒成立，∴()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数． ∵(2)(2)f f π=-，(3)(3)f f π=-，且03122πππ<-<<-<，∴(3)(1)(2)f f f ππ-<<-），即(3)(1)(2)f f f <<．例8若函数()()320f x axax a =++≠满足()()11,11f f -><，则方程()1f x =的实数解的个数为个．答:1提示：设()()1g x f x =-，则由题设知()()110g g -<，∴()()1g x f x =-在()1,1-内至少有一个零点．又()()()223310g x ax a a x a '=+=+≠，易知0a >时，()g x 单调递增；0a <时，()g x 单调递减．∴()g x 仅有一个零点，即方程()1f x =仅有一根．例9如图,从点()10,0P 作x 轴的垂线交曲线xy e =于点()10,1Q ,曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ．现从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ,1Q ；2P ，2Q ；…；nP ,nQ ，则1nkkk P Q ==∑ ．答:11n e e e ---提示：设点1k P -的坐标是()1(,0)2k x k -≥， ∵xy e =，∴xy e '=，∴曲线在点111(,)k x k k Q x e ---处的切线方程是111()k k x x k y e e x x ----=-．令y =，则11k k x x -=-（2k n ≤≤）． ∵10x=，∴(1)k x k =--，∴(1)kx k k k PQ ee --==． ∴1nk kk P Q==∑12(1)1111n k e e e ee -------=++++=-11ne e e --=-．例10如图，用一块形状为半椭圆1422=+y x )0(≥y 的铁皮截取一个以短轴BC 为底的等腰梯形ABCD ，记所得等腰梯形错误！不能通过编辑域代码创建对象。

高考数学二轮复习函数与方程及函数的应用专题训练(含解析)

高考数学二轮复习函数与方程及函数的应用专题训练（含解析）一、选择题 1．函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－12C.12D ．2解析由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.故选B. 答案 B2．函数f (x )＝2x－x －2的一个零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析由f (0)＝20－0－2<0，f (1)＝2－1－2<0，f (2)＝22－2－2>0，根据函数零点存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)内，故选B.答案 B3．(2014·北京卷)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (1)＝6－0＝6>0，f (2)＝3－1＝2>0，f (4)＝64－log 24＝32－2＝－12<0，由零点存在性定理，可知函数f (x )在区间(2,4)上必存在零点．答案 C4．(2014·湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3解析求出当x <0时f (x )的解析式，分类讨论解方程即可．令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2＋3x ＝x 2＋3x .因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．所以当x <0时，f (x )＝－x 2－3x .所以当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.当x <0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7>0(舍去)或x ＝－2－7.所以函数g (x )有三个零点，故其集合为{－2－7，1,3}．答案 D5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≤0ln x ，x >0(k ∈R )，若函数y ＝|f (x )|＋k 有三个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．k ≤2B ．－1<k <0C ．－2≤k <－1D ．k ≤－2解析由y ＝|f (x )|＋k ＝0得|f (x )|＝－k ≥0，所以k ≤0，作出函数y ＝|f (x )|的图象，要使y ＝－k 与函数y ＝|f (x )|有三个交点，则有－k ≥2，即k ≤－2，选D. 答案 D6．x 0是函数f (x )＝2sin x －πln x (x ∈(0，π))的零点，x 1<x 2，则①x 0∈(1，e)；②x 0∈(e ，π)；③f (x 1)－f (x 2)<0；④f (x 1)－f (x 2)>0，其中正确的命题为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析因为f (1)＝2sin1－πln1＝2sin1>0，f (e)＝2sine －π<0，所以x 0∈(1，e)，即①正确．f ′(x )＝2cos x －πx ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，πx >2，f ′(x )<0，当x ＝π2时，f ′(x )＝－2<0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，1<πx <2，cos x <0，f ′(x )<0.综上可知，f ′(x )<0，f (x )为减函数，f (x 1)>f (x 2)，即f (x 1)－f (x 2)>0，④正确．答案 B 二、填空题7．已知0<a <1，函数f (x )＝a x－|log a x |的零点个数为________．解析分别画出函数y ＝a x(0<a <1)与y ＝|log a x |(0<a <1)的图象，如图所示，图象有两个交点．答案 28．(2014·福建卷)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．解析分段函数分别在每一段上判断零点个数，单调函数的零点至多有一个．当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，f (2)·f (3)<0，所以f (x )在(2,3)内有一个零点．综上，函数f (x )的零点个数为2. 答案 29．(2014·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析如图所示，△ADE ∽△ABC ，设矩形的面积为S ，另一边长为y ，则S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40－y 402＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 402.所以y ＝40－x ，则S ＝x (40－x )＝－(x －20)2＋202，所以当x ＝20时，S 最大．答案 20 三、解答题10．已知函数f (x )＝2x，g (x )＝12|x |＋2.(1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值．解 (1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋2，因为|x |≥0，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，即2<g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]． (2)由f (x )－g (x )＝0，得2x－12|x |－2＝0，当x ≤0时，显然不满足方程，当x >0时，由2x－12x －2＝0，整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2，故2x ＝1±2，因为2x >0，所以2x＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．11．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6，因为x ∈R 时，f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，故m 的最大值为－34.(2)由(1)知，f ′(x )＝3(x －1)(x －2)，当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ；当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ；故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根．解得a <2或a >52.∴实数a 的取值范围是(－∞，2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. B 级——能力提高组1．(2014·湖南卷)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e解析设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 20＋e x 0－12是函数f (x )图象上任意一点，该点关于y 轴的对称点⎝⎛⎭⎪⎫－x 0，x 20＋e x 0－12在函数g (x )的图象上，则x 20＋e x 0－12＝x 20＋ln(a －x 0)，即ln(a －x 0)＝e x 0－12，∴a ＝x 0＋e e x 0－ 12(x <0)．记h (x )＝x ＋ee x－12＝x ＋1e ee x ，则h ′(x )＝1＋1e ee x ·e x＝1＋1eee x ＋x >0， ∴h (x )在(－∞，0)上是增函数． ∴a <e 12＝e ，故选B.答案 B2．(2014·浙江名校联考)已知函数f (x )＝x 2＋1x2＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋a 在定义域上有零点，则实数a 的取值范围是________．解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋a －2，x ≠0，令x ＋1x＝t ，则t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，由于f (x )有零点，则关于t 的方程t 2＋at ＋a －2＝0在(－∞，－2]∪[2，＋∞)上有解．∵t ≠－1，∴方程t 2＋at ＋a －2＝0可化为a ＝2－t2t ＋1，t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，问题就转化为a ＝2－t 2t ＋1＝－t ＋12＋2t ＋1＋1t ＋1＝－(t ＋1)＋1t ＋1＋2，t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，a ＝－(t ＋1)＋1t ＋1＋2在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是减函数，故当t ≤－2时，a ≥2；当t ≥2时，a ≤－23，∴a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[2，＋∞)．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[2，＋∞)3．(2014·江苏南京一模)如图，现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”．正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x 不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x 2m 的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m ，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1)求x 的取值范围(运算中2取1.4)；(2)若中间草地的造价为a 元/m 2，四个花坛的造价为433ax 元/m 2，其余区域的造价为12a 11元/m 2，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥2×10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，x ≤20，－20≤x ≤15，即9≤x ≤15.(2)记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得y ＝a ×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22＋433ax ×πx 2＋12a 11×⎣⎢⎡⎦⎥⎤104－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22－πx 2 ＝a 11⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫－125x 4＋43x 3－12x 2＋12×104，令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2，则f ′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x ＝－4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫125x 2－x ＋6，由f ′(x )＝0，解得x ＝10或x ＝15，列表如下：x 9 (9,10) 10 (10,15) 15 f ′(x ) － 0 ＋ 0f (x )↘极小值所以当x ＝即当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低．。

高考数学理二轮复习好题汇编(真题+模拟)：函数与方程及函数的应用

函数与方程及函数的应用一、选择题1．(2013·济南模拟)函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2图象的交点为(a ，b )，则a 所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝1－2＝－1＜0，f (2)＝23－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝7＞0，从而f (1)f (2)＜0，故选B.【答案】 B2．已知函数f (x )＝(15)x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零【解析】当x >0时，f (x )＝(15)x －log 3x 是减函数，又x 0是方程f (x )＝0的根，即f (x 0)＝0. ∴当0<x 1<x 0时，f (x 1)>f (x 0)＝0. 【答案】 C3．(2013·广州模拟)已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )．其中常数a ，b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n 的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1【解析】 ∵2a ＝3,3b ＝2，∴a >1,00， ∴f (x )在(－1,0)内有唯一零点，取n ＝－1.【答案】 B4．(2013·黄冈模拟)已知定义域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝sin πx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．9【解析】对R 上的奇函数f (x )，有f (0)＝0；又f (1)＝sin π＝0；再由T ＝3，∴f (3)＝f (0＋3)＝f (0)＝0；f (6)＝f (3＋3)＝f (3)＝0；f (4)＝f (1＋3)＝f (1)＝0；f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0，f (2)＝－f (－2)＝0；f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＝0.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0.综上可知f (x )在区间[0,6]上的零点为0,1，32，2,3,4，92，5,6，共9个，故选D.【答案】 D5．(2013·烟台模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，－1＜x ≤0，f (x －1)＋1， x ＞0，若函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n (n －1)2B ．a n ＝n (n －1)C ．a n ＝n －1D ．a n ＝2n －2【解析】 g (x )＝f (x )－x ＝⎩⎨⎧x 3－x －1＜x ≤0，f (x －1)－x ＋1 x ＞0，当－1＜x ≤0时，由x 3－x ＝0得x ＝0，则x ＝0是函数g (x )的一个零点．当0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0，则g (x )＝f (x －1)－x ＋1＝(x －1)3－x ＋1 令g (x )＝0，即(x －1)3－(x －1)＝0得x ＝1，即x ＝1是函数g (x )的一个零点当1＜x ≤2时，0＜x －1≤1，－1＜x －2≤0，g (x )＝f (x －1)－x ＋1＝f (x －2)－x ＋2＝(x －2)3－(x －2)令g (x )＝0，即(x －2)3－(x －2)＝0得x ＝2，即x ＝2是函数g (x )的一个零点同理可依次得到函数的零点分别为4,5,6…，故选C. 【答案】 C二、填空题6．若函数f (x )＝2－|x －1|－m 有零点，则实数m 的取值范围是________．【解析】令f (x )＝0，得m ＝(12)|x －1|， ∵|x －1|≥0，∴0<(12)|x －1|≤1，即0<m ≤1. 【答案】 (0,1]7．(2013·宜昌模拟)在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：注：油耗＝加满油后已行驶距离，可继续行驶距离＝汽车剩余油量当前油耗平均油耗＝指定时间内的用油量指定时间内的行驶距离从以上信息可以推断在10：00～11：00这一小时内________(填上所有正确判断的序号)．①行驶了80公里； ②行驶不足80公里；③平均油耗超过9.6升/100公里； ④平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤平均车速超过80公里/小时．【解析】实际用油为7.38(升)，行驶距离＜7.38÷9.6×100＝76.875(公里)，所以①错误，②正确．设L 为已用油量，ΔL 为一个小时内的用油量，S 为已行驶距离，ΔS 为一个小时内已行驶的距离⎩⎪⎨⎪⎧LS ＝9.5，L ＋ΔLS ＋ΔS ＝9.6，得L ＋ΔL ＝9.6S ＋9.6ΔS,9.5S ＋ΔL ＝9.6S ＋9.6ΔS ，ΔL ＝0.1S ＋9.6ΔS ，ΔLΔS ＝0.1SΔS ＋9.6＞9.6.所以③正确，④错误．⑤由②知错误．【答案】 ②③8．(2013·苏州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________．【解析】由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故共有7个零点．【答案】 7 三、解答题9．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6. (1)证明函数f (x )有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14. 【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )是增函数． (1)∵f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0， ∴f (2)·f (3)<0.∴f (x )在(2,3)上至少有一个零点．又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，从而f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (2)由f (2)<0，f (3)>0. ∴f (x )的零点x 0∈(2,3)．取x 1＝52，∵f (52)＝ln 52－1＝ln 52－ln e<0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52·f (3)<0，∴x 0∈(52，3)．取x 2＝114，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114＝ln 114－12＝ln 114－ln e 12>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0， ∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114且|114－52|＝14≤14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114即为符合条件的区间． 10．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．【解】 (1)∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e(x >0)，当且仅当x ＝e 2x 时取等号． ∴当x ＝e 时，g (x )有最小值2e. 因此g (x )＝m 有零点，只需m ≥2e. ∴当m ∈[2e ，＋∞)时，g (x )＝m 有零点． (2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．则函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点．如图所示，作出函数g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其对称轴x ＝e ，f (x )max ＝m －1＋e 2. 若函数f (x )与g (x )的图象有两个交点．必须有m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1. 即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．11．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资利益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.(1)请分析函数y＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；(2)若该公司采用函数模型y＝10x－3ax＋2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．【解】(1)对于模型y＝f(x)＝x150＋2，当x∈[10,1 000]时，f(x)是增函数．f(x)max＝f(1 000)＝1 000150＋2＝203＋2<9，∴f(x)≤9恒成立．但当x＝10时，f(10)＝115＋2>105，不满足f(x)≤x5.故函数模型y＝x150＋2不符合公司要求．(2)对于模型y＝g(x)＝10x－3ax＋2＝10－3a＋20x＋2.当3a＋20>0，即a>－203时函数递增，为使g(x)≤9对于x∈[10,1 000]恒成立，即要g(1 000)≤9,3a＋18≥1 000，即a≥982 3.为使g(x)≤x5对于x∈[10,1 000]恒成立，即要10x－3ax＋2≤x5，即x2－48x＋15a≥0恒成立．即(x－24)2＋15a－576≥0(x∈[10,1 000])恒成立．又24∈[10,1 000]，故只需15a－576≥0即可，所以a≥192 5.综上，a≥1925，故最小的正整数a的值为39.。

高考数学二轮专题复习 2.2函数与方程及函数的应用辅导与训练检测卷理

（湖北专供）2013版高考数学二轮专题复习2.2函数与方程及函数的应用辅导与训练检测卷理一、选择题1.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)32.(2012·湖北高考)函数f(x)=xcos 2x在区间 [0,2π]上的零点个数为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)53.(2012·黄冈模拟)已知函数f(x)=a x+x-b的零点x0∈(n,n+1)(n∈Z)，其中常数a,b满足2a=3,3b=2，则n 的值是( )(A)-2 (B)-1 (C)0 (D)14.(2012·襄阳模拟)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x∈(0，3 2 )时，f(x)=sin πx,f(32)=0，则函数f(x)在区间［0，6］上的零点个数是( )(A)3 (B)5 (C)7 (D)95.若函数g(x)=f(x)-2在(-∞,0)内有零点，则y=f(x)的图象是6.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图.为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x,y应为( )(A)x=15,y=12 (B)x=12,y=15(C)x=14,y=10 (D)x=10,y=14二、填空题7. (2012·武汉模拟)在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：注：油耗=加满油后已用油量，加满油后已行驶距离可继续行驶距离=汽车剩余油量当前油耗平均油耗=指定时间内的用油量指定时间内的行驶距离从以上信息可以推断在10：00～11：00这一小时内________(填上所有正确判断的序号)①行驶了80公里；②行驶不足80公里；③平均油耗超过9.6升/100公里；④平均油耗恰为9.6升/100公里；⑤平均车速超过80公里/小时.8.(2012·南通模拟)设定义域为R的函数f(x)=2lgx,x0x2x,x0⎧>⎪⎨--≤⎪⎩，，则关于x的函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点的个数为______.9.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b ＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c=a+x(b-a)，这里x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于______.三、解答题10.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20＜x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)11.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=221kx1k x20-+（）(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．12.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c．(1)若f(-1)=0，试判断函数f(x)零点的个数；(2)是否存在a,b,c∈R，使f(x)同时满足以下条件：①对任意x ∈R,f(-1+x)=f(-1-x)，且f(x)≥0.②对任意x ∈R,都有0≤f(x)-x ≤12(x-1)2．若存在，求出a,b,c 的值；若不存在，请说明理由. (3)若对任意x 1,x 2∈R 且x 1<x 2，f(x 1)≠f(x 2),试证明：存在x 0∈(x 1,x 2),使f(x 0)=12[f(x 1)+f(x 2)]成立.答案解析1.【解析】选B.因为函数f(x)=2x +x 3-2的导数为f ′(x)=2x ln2+3x 2≥0，所以函数f(x)=2x +x 3-2单调递增，又f(0)=1-2=-1＜0，f(1)=2+1-2=1＞0，所以根据零点的存在定理可知在区间(0,1)内函数的零点个数为1个，故选B.2.【解析】选D.由f(x)=xcos 2x=0，得x=0或cos 2x=0；其中，由cos 2x=0，得2x=k 2ππ+(k ∈Z )，故x=k 24ππ+(k ∈Z ).又因为x ∈［0,2π］，所以x=357,,,.4444ππππ所以零点的个数为1+4=5(个).故选D.【易错提醒】求解时易丢掉x=0这一个零点!3.【解析】选B.∵2a =3，3b =2，∴a=log 23，b=log 32， ∴函数f(x)=(log 23)x +x-log 32，且函数是R 上的增函数，而f(-1)=-1＜0，f(0)=1-log 32＞0，∴函数f(x)=(log 23)x +x-log 32在(-1，0)内有一个零点，故n=-1.故选B. 4.【解析】选D.对R 上的奇函数f(x)，有f(0)=0；又f(1)=sin π=0；再由T=3,∴f(3)=f(0+3)=f(0)=0;f(6)=f(3+3)=f(3)=0;f(4)=f(1+3)=f(1)=0;f(-2)=f(-2+3)=f(1)=0,f(2)=-f(-2)=0;f(5)=f(2+3)=f(2)=0.因为f(32)=0,所以f(92)=f(332+)=f(32)=0.综上可知f(x)在区间［0，6］上的零点为0，1，32， 2，3，4，92， 5，6，共9个，故选D.5.【解析】选D.由已知只需f(x)的图象向下平移两个单位后与x 轴在(-∞,0)上有交点即可，结合选项的图象知，只有D 符合要求，故选D.6.【解析】选A.由三角形相似得24y x24820-=-，得x=54(24-y)，∴S ＝xy=54-(y-12)2+180, ∴当y=12时，S max =180，此时x=15.7.【解析】实际用油为7.38(升)．行驶距离＜7.38÷9.6×100=76.875(公里)，所以①错误，②正确．设L 为已用油量，ΔL 为一个小时内的用油量，S 为已行驶距离，ΔS 为一个小时内已行的距离L9.5SL L 9.6S S ⎧=⎪⎪⎨+∆⎪=⎪+∆⎩得L+ΔL=9.6S+9.6ΔS ，9.5S+ΔL=9.6S+9.6ΔS ， ΔL=0.1S+9.6ΔS ，L 0.1SS S∆=∆∆ +9.6＞9.6．所以③正确，④错误．⑤由②知错误．答案：②③8.【解析】由y=2f 2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=12或f(x)=1,如图画出f(x)的图象，由f(x)=12知有4个根，由f(x)=1知有3个根，故共有7个零点.答案：79.【解析】由题意得：(c-a)2=(b-c)(b-a), ∵c=a+x(b-a)，将其代入上式，得［a+x(b-a)-a ］2=［b-a-x(b-a)］(b-a) ∴x 2(b-a)2=(b-a)2(1-x),∵b ＞a,∴b-a ＞0, ∴x 2=1-x,即x 2+x-1=0,解得1211x ,x ,22-+-== 又∵0＜x ＜1，∴x =10.【解析】(1)由题意：当0≤x ≤20时，v(x)=60；当20＜x ≤200时，设v(x)=ax+b,再由已知得200a b 0,20a b 60,+=⎧⎨+=⎩解得1a 3200b .3⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故函数v(x)的表达式为v(x)=()60,0x 20,1200x ,20x 200.3≤≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩＜(2)依题意并由(1)可得f(x)=()60x,0x 201x 200x ,20x 200.3≤≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩，＜当0≤x ≤20时，f(x)为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1 200；当20＜x ≤200时，f(x)=13x(200-x)≤ ()2x 200x 110 000323+-=［］，当且仅当x=200-x ，即x=100时，等号成立. 所以，当x=100时，f(x)在区间(20，200］上取得最大值10 000.3 综上，当x=100时，f(x)在区间［0，200］上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3 333辆/小时.11.【解析】(1)在y=221kx 1k x 20-+（） (k ＞0)中，令y=0，得221kx 1k x 20-+（）=0.由实际意义和题设条件知x ＞0,k ＞0.∴x=220k 202011k 2k k=≤++=10，当且仅当k=1时取等号. ∴炮的最大射程是10千米.(2)∵a ＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k ＞0，使221ka 1k a 20-+（）=3.2成立，即关于k 的方程 a 2k 2-20ak+a 2+64=0有正根.由Δ=(-20a)2-4a 2(a 2+64)≥0得a ≤6.此时＞0(不考虑另一根). ∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标. 12.【解析】(1)∵f(-1)=0,∴a-b+c=0,则b=a+c,∵Δ=b 2-4ac=(a-c)2,∴当a=c 时,Δ=0,此函数f(x)有一个零点;当a ≠c 时, Δ>0．函数f(x)有两个零点．(2)假设a,b,c 存在,由①可知抛物线的对称轴为x=-1,∴b2a-=-1,即b=2a,(ⅰ) 由②可知，对任意的x ∈R,都有0≤f(x)-x ≤()21x 1,2-令x=1, 得0≤f(1)-1≤0,所以,f(1)=1,即a+b+c=1, (ⅱ) 又因为f(x)-x ≥0恒成立, ∴a>0，(b-1)2-4ac ≤0即(a-c)2≤0,∴a=c, (ⅲ)由(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)得a=c=1,4b=12，所以f(x)=2111x x ,424++经检验a,b,c 的值符合条件．(3)令g(x)=f(x)-12[f(x 1)+f(x 2)],则g(x 1)=f(x 1)-12[f(x 1)+f(x 2)]=12[f(x 1)-f(x 2)]，g(x 2)=f(x 2)-12[f(x 1)+f(x 2)]=12［f(x 2)-f(x 1)］,因为f(x 1)≠f(x 2)，所以,g(x 1)g(x 2)<0,所以g(x)=0在(x 1，x 2)内必有一个实根,即存在x0∈(x1,x2)使f(x0)=1[f(x1)+f(x2)]成立.2。

高考数学二轮复习简易通常考问题2 函数与方程及函数

常考问题2 函数与方程及函数的应用[真题感悟]1．(2013·湖南卷)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．0解析由已知g (x )＝(x －2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．答案 B2．(2013·重庆卷)若a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A. 答案 A3．(2013·天津卷)函数f (x )＝2x|log 0.5 x |－1的零点个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数即为函数y ＝|log 0.5x |与y ＝12x 图象的交点个数，在同一直角坐标系中作出函数y ＝|log 0.5x |与y ＝12x 的图象，易知有2个交点，因此f (x )有两个零点．答案 B4．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax ，化简为x 2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)>0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)>ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，故选D.答案 D[考题分析]题型选择题、填空题难度中档以基本初等函数为载体考查函数的零点个数或零点所在区间．高档已知函数的零点个数或方程根的个数求参数范围等问题.。

【创新设计】江苏高考数学文二轮专题分析真题2函数与方程及函数的应用(含答案解析)

常考问题2 函数与方程及函数的应用[真题感悟]1．(2013·湖南卷改编)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为________．解析由已知g (x )＝(x －2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．答案 22．(2012·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．解析因为函数f (x )是周期为2的函数，所以f (－1)＝f (1)⇒－a ＋1＝b ＋22，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⇒12b ＋232＝－12a ＋1，联立列成方程组解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝2－12＝－10.答案－103．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是________．解析当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax ，化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)>0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)>ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立．答案 [－2,0]4．(2013·天一、淮阴、海门中学调研)将一个长宽分别是a ，b (0＜b ＜a )的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则a b 的取值范围是________．解析设切去正方形的边长为x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，则该长方体外接球的半径为r 2＝14[(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2]＝14[9x 2－4(a ＋b )x ＋a 2＋b 2]，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2 存在最小值时，必有2(a ＋b )9＜b 2，解得a b ＜54，又0＜b ＜a ⇒a b ＞1，故a b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54 [考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)函数与方程是A 级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(2)函数模型及其应用是考查热点，要求是B 级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查.。

高考数学理科二轮(通用版)复习演练：1.2.3函数与方程及函数的应用(含答案)

第一部分专题二第3讲1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( A ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1解析：y ＝cos x 是偶函数，且存在零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 即不是奇函数又不是偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数，但不存在零点．故选A ． 2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( D )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：对于A 选项：由题图可知，当乙车速度大于40 km/h 时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5 km ，则A 错；对于B 选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B 错；对于C 选项：甲车以80千米/小时的速度行驶时，燃油效率为10 km/L ，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10＝8(升)，则C 错；对于选项D ：当行驶速度小于80 km/h 时，在相同条件下，丙车的燃油效率高于乙车，则在该市用丙车比用乙车更省油，则D 对．综上，选D.3．已知函数f (x )＝||x －2＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( B )A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥2，3－x ，x <2.如图，作出y ＝f (x )的图象，其中A (2,1)，则k OA ＝12.要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )与g (x )的图象有两个不同的交点，由图可知，12<k <1.4．(2016·江西南昌一摸)已知函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a 的值为( A )A ．15B ．25C ．12D ．1解析：(x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a,2a )距离的平方．易知点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q 在直线y ＝2x 上．因为g ′(x )＝2x ，且直线y ＝2x 的斜率为2，所以令2x ＝2，解得x ＝1.又当x ＝1时，g (x )＝0.从而与直线y ＝2x 平行的曲线g (x )＝2ln x 的切线方程为y ＝2(x －1)，如图所示．因为直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 间的距离为222＋－2＝255.故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为⎝⎛⎭⎫2552＝45. 又当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1,0)，Q 恰好是垂足，k PQ ＝－12，所以由题意知x 0＝1，且2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.故选A ．5．(2016·广东湛江模拟)若函数f (x )＝e x －2x －a 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是(2－2ln 2，＋∞)．解析：令f ′(x )＝e x －2＝0，则x ＝ln 2，所以f (x )min ＝f (ln 2)＝2－2ln 2－a <0，故a >2－2ln 2.6．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位： ℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是__24__小时．解析：依题意有192＝e b,48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，所以e 22k ＝48e b ＝48192＝14，所以e 11k ＝12或－12(舍去)，于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24(小时)．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．解析：当a <0时，若x ∈(a ，＋∞)，则f (x )＝x 2，当b ∈(0，a 2)时，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，分别是x 1＝－b ，x 2＝b . 当0≤a ≤1时，f (x )的图象如图所示，易知函数y ＝f (x )－b 最多有一个零点．当a >1时，f (x )的图象如图所示，当b ∈(a 2，a 3]时，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，分别是x 1＝3b ，x 2＝b .综上，a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．8．函数f (x )＝4cos 2x2·cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －||x ＋的零点个数为__2__.解析：f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，x >－1，函数f (x )的零点个数即为函数y ＝sin 2x 与y ＝|ln(x ＋1)|(x >－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f (x )有两个零点．9．若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是⎝⎛⎭⎫14，1. 解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ，f ，f，∴⎩⎪⎨⎪⎧b >0，a ＋2b <－1，a ＋b >－2.根据该约束条件作出可行域(如图)，b －2a －1表示可行域内点与点(1,2)的连线的斜率，可知14<b －2a －1<1.10．(2016·湖北武汉二月调考)为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y (万元)与处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝x 2－50x ＋900，且每处理一吨废物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．(1)当x ∈[10,15]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？解析：(1)根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系： P ＝(10＋10)x －y ＝20x －x 2＋50x －900 ＝－x 2＋70x －900＝－(x －35)2＋325，x ∈[10,15]．P ＝－(x －35)2＋325在[10,15]上为增函数，可求得P ∈[－300，－75]，所以当x ∈[10,15]时，该项举措不能获利，国家最少补贴75万元，该工厂才不会亏损． (2)设平均处理成本为Q ，则Q ＝y x ＝x ＋900x－50≥2x ·900x－50＝10，当且仅当x ＝900x时等号成立，由x >0得x ＝30.因此，当处理量为30吨时，每吨的平均处理成本最少，且为10万元．。

2013年全国高考数学第二轮复习专题升级训练5函数与方程及函数的应用理

一次函数．
(1) 当 0≤ x≤200 时，求函数 v( x) 的表达式；
(2) 当车流密度 x 为多大时，车流量 ( 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆
/
时 ) f ( x) ＝ x· v( x) 可以达到最大，并求出最大值． ( 精确到 1 辆/ 时 )
-2-
参考答案
一、选择题
1．B 2．B
专题升级训练 5 函数与方程及函数的应用
( 时间： 60 分钟满分： 100 分 )
一、选择题 ( 本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分 )
2 1．函数 f ( x) ＝ x ＋ a 的零点为 1，则实数 a 的值为 ( ) ．
3 ＋1
A．－ 2
1 B ．－ 2
1 C．2
D．2
2．已知 a 是函数 f x ＝2x－ log 1 x 的零点，若 0＜x0＜ a，则 f ( x0) 的值满足 (
g( x1) ＝ f ( x1) － [ f ( x1) ＋ f ( x2)] ＝
，
2
2
y＝a 的交点个数不为零，画出
-3-
1
f ( x2) －f ( x1)
g(
x2)
＝
f
(
x 2)
－
[ 2
f
(
x1)
＋
f
(
x2)]
＝
2
，
1
∴g(
x 1)
·
g(
x 2)
＝－
[ 4
f
(
x 1)
－
f
(
x2)]
2＜ 0.(
3
60，0≤ x≤20，故函数 v( x) 的表达式为 v( x) ＝ 1

2013高三数学二轮专题一第3讲函数与方程及函数的应用-32页文档资料

f 34>0，由零点存在性定理知 f(x)在14，12上存在一零点．故
选 C.
答案 (1)B (2)C
热点分类突破
第3讲
(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数
本零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象
讲栏
交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有
目开
解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端
关对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．
(2)函数零点(即方程的根)的应用问题，即已知函数零点的存在情
况求参数的值或取值范围问题，解决这类问题关键是用函数方程
思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．
热点分类突破
第3讲
(1)若函数 f(x)＝x2－ax－b 的两个零点是 2 和 3，则函
第3讲
故 π≤x≤2π 时，0<f(x)<1.
本讲
依题意作出草图可知，y1＝f(x)与 y2＝sin x 在[－2π，2π]上有
栏目
四个交点．
开关
答案
B
高考真题感悟
第3讲
考题分析本题主要考查了函数的零点与函数图象交点的关系，本突出考查了转化与化归能力以及应用数形结合解决问题的能力，
讲
栏体现了对知识、思想方法和能力的考查．
本讲
数 g(x)＝bx2－ax－1 的零点是－__12_，__－__13_．
栏目
开解析
关
由2322－－23aa－－bb＝＝00 ，得ab＝＝5－6 .
∴g(x)＝－6x2－5x－1 的零点为－12，－13.
热点分类突破

数学二轮复习学案：第2讲函数与方程及函数的应用(含2013试题,含名师点评)

第二讲函数与方程及函数的应用真题试做►———-———-———————----1．（2013·高考课标全国卷Ⅱ）设a＝log32,b＝log52，c＝log23,则( ）A．a>c>b B．b>c>aC．c>b〉a D．c〉a〉b2．(2013·高考安徽卷）已知函数f（x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若f(x1)＝x1<x2,则关于x的方程3（f（x)）2＋2af(x）＋b＝0的不同实根个数为（）A．3 B．4C．5 D．63．（2013·高考重庆卷)若a<b<c,则函数f（x)＝(x－a)(x－b）＋(x－b)（x－c)＋(x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间( ）A．(a，b)和(b，c）内B．（－∞，a)和（a，b)内C．（b，c）和（c，＋∞）内D．（－∞,a）和(c，＋∞)内4．（2013·高考陕西卷）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分), 则其边长x为________（m)．考情分析►-———————————-——-———(1)主要考查函数的零点，常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体；考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围；函数的实际应用常以实际生活为背景,与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题．（2）函数的零点主要是以选择题、填空题的形式考查，以基础知识为主，而函数的实际应用则主要以解答题的形式出现．属中、高档题．考点一基本初等函数(1)二次函数主要考查其图象、单调性、值域（或最值）问题，多与方程、不等式、导数等知识结合．（2)对指数函数、对数函数、幂函数考查利用性质进行大小比较，可与导数结合研究函数性质．（1）（2013·郑州市高中毕业年级第二次质量预测)若x∈（e －1，1)，a＝ln x，b＝(错误!）ln x，c＝e ln x,则a,b,c的大小关系为（) A．c>b>a B．b>c〉aC．a〉b〉c D．b〉a〉c（2）(2013·苏北四市联考)已知函数f(x）＝错误!则满足f(x）≥1的x的取值范围是________．【思路点拨】(1)利用“中间量”比较大小；（2）利用指数函数与对数函数的单调性求解．(1)利用指数函数与对数函数的性质比较大小．①底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较;底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．②底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数,可以引入中间量或结合图象进行比较．(2)对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时,要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解．强化训练1 (1)（2013·广东省惠州市高三第三次调研考试)已知幂函数y＝f(x）的图象过点（错误!，错误!）,则log4f(2)的值为( ) A。

2013年高考第二轮复习数学全国理科专题二函数与导数第2讲函数与方程及函数的应用

专题二函数与导数第2讲函数与方程及函数的应用真题试做1．(2012·安徽高考，理2)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )． A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x2．(2012·天津高考，理4)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．(2012·江西高考，理3)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )．A ．lg 101B ．2C ．1D ．04．(2012·辽宁高考，理11)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为( )． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 5．(2012·江苏高考，17)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考向分析通过分析近三年的高考试题可以看到，对函数与方程的考查主要体现在以下几个方面：一、结合函数与方程的关系，求函数的零点；二、结合根的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断；三、利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或范围．对函数的实际应用问题的考查，题目大多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中教材和课标中所要求掌握的概念、公式、法则、定理等基础知识和方法．热点例析热点一确定函数的零点【例１】设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )．A ．在区间⎣⎡⎦⎤1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎣⎡⎦⎤1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎣⎡⎦⎤1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎣⎡⎦⎤1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点规律方法确定函数零点的常用方法：(1)解方程判定法，若方程易解时用此法． (2)利用零点存在的判定定理．(3)利用数形结合，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解．变式训练1 方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )． A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根热点二函数零点的应用【例２】(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4 ①有且仅有一个零点？②有两个零点且均比－1大？(2)若函数F (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．规律方法解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．对于存在零点求参数范围问题，可通过分离参数，从而转化为求函数值域问题．变式训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是__________．热点三函数的实际应用【例３】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3m 3，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 规律方法应用函数知识解应用题的步骤：(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键．转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类．(2)用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解． (3)把计算获得的结果代回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．变式训练3 某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(x ＞6)，年销量为u 万件，若已知5858－u 与2214x ⎛⎫- ⎪⎝⎭成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y 关于x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．思想渗透函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程(方程组)或者构造方程，通过解方程(方程组)或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程(方程组)的观点观察、处理问题．(3)方程的思想与函数的思想密切相关：方程f (x )＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标；函数y ＝f (x )也可以看作二元方程f (x )－y ＝0，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a 属于函数f (x )的值域；函数与方程的这种相互转化关系十分重要．【典型例题】如图所示，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速移动，速度为v (v ＞0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积3=2S 时，(1)写出y 的表达式； (2)设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解：(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31||202v c -+，故100315||(3||10)202y v c v c v v⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．(2)由(1)知，当0＜v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝5(3c ＋10)v －15；当c ＜v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝5(10－3c )v ＋15. 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5(3c ＋10)v －15，0<v ≤c ，5(10－3c )v ＋15，c <v ≤10.①当0＜c ≤103时，y 是关于v 的减函数．故当v ＝10时，y min ＝20－3c 2.②当103＜c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v 的增函数．故当v ＝c 时，y min ＝50c.1．已知f (x )＝－3－(x －a )(x －b )，并且m ，n 是方程f (x )＝0的两个根，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系可能正确的是( )．A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜b ＜nC ．a ＜m ＜n ＜bD ．m ＜a ＜n ＜b2．(2012·山东潍坊一模，12)若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件： ①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)，则此函数的“友好点对”有( )．A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对 3．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．设方程41log 04x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，141log =04xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的根分别为x 1，x 2，则( )．A ．0＜x 1x 2＜1B ．x 1x 2＝1C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥25．(2012·江苏高考，10)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为______． 6．(2012·北京高考，理14)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0. 则m 的取值范围是__________．7．(2012·北京高考，文12)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝__________. 8．某市郊有一块大约500 m ×500 m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3 000 m 2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2 m ，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S m 2.(1)分别写出用x 表示y 和S 的函数关系式(写出函数定义域)； (2)怎样设计能使S 取得最大值，最大值为多少？参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．C 2．B 3．B 4．B 5．解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时，取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6. 所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．精要例析·聚焦热点热点例析【例1】D 解析：解法一：∵f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13·1e －ln 1e ＝13e ＋1＞0，f (1)＝13－ln 1＝13＞0，f (e)＝e3－ln e ＝e3－1＜0，∴f ⎝⎛⎭⎫1e ·f (1)＞0，f (1)·f (e)＜0，故y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．解法二：在同一坐标系中分别画出y ＝13x 与y ＝ln x 的图象．如图所示．由图象知零点存在于区间(1，e)内．【变式训练1】C【例2】解：(1)①若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点，则等价于Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0，即4m 2－12m －16＝0，即m 2－3m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－1. ②设两零点分别为x 1，x 2，且x 1＞－1，x 2＞－1，x 1≠x 2. 则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4，故只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4(3m ＋4)>0，(x 1＋1)＋(x 2＋1)>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4>0，－2m ＋2>0，3m ＋4＋(－2m )＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <－1或m >4，m <1，m >－5.故m 的取值范围是{m |－5＜m ＜－1}．(2)若F (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，即|4x －x 2|＋a ＝0有四个根，即|4x －x 2|＝－a 有四个根．令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a .则作出g (x )的图象，由图象可知要使|4x －x 2|＝－a 有四个根，则需g (x )的图象与h (x )的图象有四个交点，故0＜－a ＜4，即－4＜a ＜0.【变式训练2】(0,1)【例3】解：(1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3，故32224π8044203π333V r l r r r r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＝＝－＝－. 由于l ≥2r ，因此0＜r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×24203r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭－×3＋4πr 2c . 因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr ，0＜r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －2160πr＝328π(2)202c r r c ⎛⎫⎪⎝⎭－－－，0＜r ＜2. 由于c ＞3，所以c －2＞0. 当r 3－20c －2＝0时，r ＝320c －2.令320c －2＝m ，得m ＞0，所以y ′＝28π(2)c r-(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)． ①当0＜m ＜2即c ＞92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′＜0；当r ∈(m,2)时，y ′＞0.所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．②当m ≥2即3＜c ≤92时，当r ∈(0,2)时，y ′＜0，函数单调递减．所以r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3＜c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c ＞92时，建造费用最小时r ＝320c －2.【变式训练3】解：(1)设5858－u ＝2214k x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－，∵售价为10元时，年销量为28万件，∴5858－28＝221104k ⎛⎫ ⎪⎝⎭－，解得k ＝2.∴22124u x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－－＋5858＝－2x 2＋21x ＋18.即y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108.(2)由(1)得y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18)＝－6(x －2)(x －9)，令y ′＝0，得x ＝2(∵x ＞6，舍去)或x ＝9.显然，当x ∈(6,9)时，y ′＞0，当x ∈(9，＋∞)时，y ′＜0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是关于x 的增函数，在(9，＋∞)上是关于x 的减函数． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135.∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．创新模拟·预测演练1．C 2．C 3．C 4．A 5．－10 6．m ∈(－4，－2) 7．28．解：(1)由已知xy ＝3 000,2a ＋6＝y ，则y ＝3 000x (6＜x ≤500)，S ＝(x －4)a ＋(x －6)a ＝(2x －10)a＝(2x －10)·y －62＝(x －5)(y －6)＝3 030－6x －15 000x(6＜x ≤500)．(2)S ＝3 030－⎝⎛⎭⎫6x ＋15 000x ≤3 030－26x ·15 000x＝3 030－2×300＝2 430，当且仅当6x ＝15 000x ，即x ＝50时，等号成立，此时x ＝50，y ＝60，S max ＝2 430(m2)．即设计x ＝50，y ＝60时，运动场地面积最大，最大值为2 430 m2.。

江苏省2013届高考数学二轮复习专题1函数的性质及应用(Ⅰ)

专题1函数的性质及应用(Ⅰ)回顾2008～2012年的高考题，在填空题中主要考查了函数的基本性质单调性、奇偶性以及导数的几何意义，即切线问题，基础题、中档题、难题都有涉及.在解答题中，有关函数模型的应用题的考查在2009年和2011年都有涉及，在压轴题中2008年和2009年考查了函数的基本性质，在2010年、2011年和2012年考查了用导数研究函数的性质，在这些问题的考查中都有涉及数学思想方法的考查.值得注意的是在2008～2012年的高考题中没有单独考查：指数和对数的运算、幂函数、函数与方程、导数的概念.这些考试说明中出现的知识要点在复习时要兼顾.预测在2013年的高考题中：填空题依然是对函数的性质、函数的值域和函数图象的运用的相关考查，难度不一. 在解答题中，函数模型的实际运用依然会是考查热点，函数综合性质的考查依然是考查的难点，数形结合思想和分类讨论思想是考查的重点.1．(2009·江苏高考)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．解析：a ＝5－12∈(0,1)，函数f (x )＝a x在R 上递减．由f (m )>f (n )得m <n . 答案：m <n2．(2010·江苏高考)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.答案：－13．(2010·江苏高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，2x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞2x ，2x ≥0，解得－1＜x ＜0或0≤x ＜2－1，∴x的取值范围为(－1，2－1)．答案：(－1，2－1)4．(2011·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意．综上所述，a ＝－34.答案：－345．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：由题意f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b－a 24＝0，即a 2＝4b .因为x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m m ＋＝a 24－c ，解得c ＝9. 答案：9[典例1](2012·如皋测试)已知函数f (x )＝a －1|x |. (1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域是[m ，n ](m ≠n )，求实数a 的取值范围．[解] (1)当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x.则f ′(x )＝1x2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，即a <2x ＋1x在(1，＋∞)上恒成立．设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2＝2x 2－1x2.又x >1，∴h ′(x )>0.∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∴h (x )>h (1)＝3，故a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]．(3)∵f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，∴mn >0. 当n >m >0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴m ＝f (m )，n ＝f (n )．故x 2－ax ＋1＝0有两个不相等的正根m ，n . ∴⎩⎪⎨⎪⎧－－a 2>0，Δ＝a 2－4>0，解得a >2.当m <n <0时，可证f (x )＝a ＋1x在(－∞，0)上是减函数．∴m ＝f (n )，n ＝f (m )，即x ∈(0，＋∞)时， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1m ＝n ， ①a ＋1n ＝m ， ②①－②得1m －1n＝n －m ，∴n －mmn＝n －m ，而m ≠n ，故mn ＝1，代入①，得a ＝0. 综上所述，a 的取值范围为{0}∪(2，＋∞)．本题综合考查反比例函数、绝对值等内容，对等价转换的要求比较高，第一问很常规，可以通过定义法和导数法解决，入手比较简单；第二问方向发散，分离参数是较好的方法；第三问要求较高，既考查知识点的转化能力，又考查对方程组数据的处理能力，本问就凸显出两种处理方程组的方法：作差和转化成二次方程的根，而这正是这几年江苏高考的一大特色．[演练1](2012·南通学科基地)函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[－b ，－a ]，那么y ＝f (x )叫做对称函数，现有f (x )＝2－x －k 是对称函数，求k 的取值范围．解：由于f (x )＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，所以⎩⎨⎧2－a －k ＝－a 2－b －k ＝－b⇒关于x的方程2－x －k ＝－x 在(－∞，2]上有两个不同实根，且k －x ≥0在(－∞，2]上恒成立，通过换元结合图象可得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，94.[典例2](2012·苏州调研)已知函数f (x )＝|x －m |和函数g (x )＝x |x －m |＋m 2－7m . (1)若方程f (x )＝|m |在[4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；(2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f (x 1)>g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．[解] (1)由题意可知，|x －m |＝|m |在[4，＋∞)上有两个不同的解，而方程|x －m |＝|m |在R 上的解集为x ＝0或x ＝2m ，所以2m ≥－4且2m ≠0.所以m 的取值范围为[－2,0)∪(0，＋∞)．(2)原命题等价于“f (x )的最小值大于g (x )的最大值”对任意x 1∈(－∞，4]，f (x 1)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，m ≤4，m －4，m >4.对任意x 2∈[3，＋∞)，g (x 2)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧m 2－10m ＋9，m <3，m 2－7m ，m ≥3.①当m <3时，0>m 2－10m ＋9，解得1<m <3； ②当3≤m ≤4时，0>m 2－7m ，解得3≤m ≤4； ③当m >4时，m －4>m 2－7m ，解得4<m <4＋2 3. 综上所述，m 的取值范围为()1，4＋23.本题综合考查一次函数、二次函数、绝对值符号等知识，对思维的要求很高，要理解“若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f (x 1)>g (x 2)成立”的意义，即f (x )的最小值大于g (x )的最大值．[演练2]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，其中b >0，c ∈R .当且仅当x ＝－2时，函数f (x )取得最小值－2.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合．解：(1)∵当且仅当x ＝－2时，函数f (x )取得最小值－2. ∴二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b2＝－2.且有f (－2)＝(－2)2－2b ＋c ＝－2，即2b －c ＝6. ∴b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0.(2)记方程①：2＝x ＋a (x >0)，方程②：x 2＋4x ＋2＝x ＋a (x ≤0)．分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根⇒a <2，方程①没有实数根⇒a ≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－－a2－a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >－14a ≤2⇒－14<a ≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根．∴2－a <0或Δ＝0，即a >2或a ＝－14.综上可知，当方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )有三个不相同的实数根时，－14<a <2；当方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－14或a ＝2.∴符合题意的实数a 取值的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2. [典例3]已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1(a 为实常数)．(1)若a ＝1，作函数f (x )的图象；(2)设f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式； (3)设h (x )＝f xx，若函数h (x )在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1，x <0，x 2－x ＋1，x ≥0.作图(如右图所示)．(2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数，g (a )＝f (2)＝－3.若a ≠0，则f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12a 2＋2a －14a －1，f (x )图象的对称轴是直线x ＝12a.当a <0时，f (x )在区间[1,2]上是减函数，g (a )＝f (2)＝6a －3.当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数，g (a )＝f (1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝2a －14a －1.当12a >2，即0<a <14时， f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.综上可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3， a <14，2a －14a －1， 14≤a ≤12，3a －2， a >12.(3)当x ∈[1,2]时，h (x )＝ax ＋2a －1x－1，在区间[1,2]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则h (x 2)－h (x 1)＝⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋2a －1x 2－1－⎝⎛⎭⎪⎫ax 1＋2a －1x 1－1＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a －1x 1x 2＝(x 2－x 1)·ax 1x 2－a －x 1x 2.因为h (x )在区间[1,2]上是增函数，所以h (x 2)－h (x 1)>0. 因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2－(2a －1)>0，即ax 1x 2>2a －1.当a ＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a ＝0时结论成立．当a >0时，x 1x 2>2a －1a ，由1<x 1x 2<4得，2a －1a≤1，解得0＜a ≤1.当a <0时，x 1x 2<2a －1a ，由1<x 1x 2<4得，2a －1a ≥4，解得－12≤a ＜0.所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.本题主要考查二次函数的性质，结合绝对值考查分类讨论思想，第一问主要是画图；第二问二次函数属于轴动区间定的题型，主要考查分类讨论，细心一点即可完成；第三问比较发散，除了用定义法来解决还可以等价转化成h ′(x )≥0对于任意的x ∈[1,2]恒成立来解决．[演练3](2012·苏锡常镇调研)已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为________．解析：因为a ，b 为正实数，所以函数f (x )是单调递增的．所以f (1)＝a ＋b ＋2＝4得到a ＋b ＝2.所以f (x )在[－1,0]上的最小值为f (－1)＝－(a ＋b )＋12＝－32.答案：－32[专题技法归纳](1)解决函数问题重点是挖掘出函数性质，利用性质解题，特别是奇偶性和单调性． (2)研究单调区间问题时一定要注意在函数的定义域内进行．(3)研究函数最值问题时，要注意函数的定义域，特别是分段函数，要分别求出最值再比较．1．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤0，fx －－f x －，x >0，则f (2 013)＝________.解析：f (x )是周期函数，周期为6，f (2 013)＝f (3)＝－f (0)＝0.答案：02．已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝________. 解析：若f (0)＝2得到t ＝±2，经检验t ＝±2都不成立；若f (1)＝2得到t ＝－3,1，经检验t ＝－3不成立；若f (3)＝2得到t ＝5,1，经检验t ＝5不成立．综上得t ＝1.答案：13．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －4)＝f (－x )．由f (x )为奇函数，得函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示．那么方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8.答案：－8 4．已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)， (1)若a >0，则f (x )的定义域是________；(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)由3－ax ≥0得定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3a .(2)当a >1时，y ＝3－ax 递减并且3－ax ≥0对于任意的x ∈(0,1]恒成立，求得a ∈(1,3]；当a <1时，y ＝3－ax 递增并且3－ax ≥0对于任意的x ∈(0,1]恒成立，得到a <0.综上得a <0或1<a ≤3.答案：(1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3a (2)(－∞，0)∪(1,3]5．已知函数f (x )＝2x2x ＋1，则f (－5)＋f (－4)＋…＋f (4)＋f (5)＝________.解析：∵f (x )＋f (－x )＝1.∴f (－5)＋f (5)＝f (－4)＋f (4)＝f (－3)＋f (3)＝f (－2)＋f (2)＝f (－1)＋f (1)＝1. 又f (0)＝12，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (4)＋f (5)＝112.答案：1126．若函数y ＝3＋x 2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12的最大值与最小值分别为M ，m ，则M ＋m ＝________.解析：函数的图象关于(0,3)对称，并且具有中心对称的函数在对称区间上的最大值与最小值之和为对称中心纵坐标的2倍，故答案为6.答案：6 7．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．解析：y ＝x n ＋1的导函数为y ′＝(n ＋1)x n⇒y ′| x ＝1＝n ＋1.∴切线是y －1＝(n ＋1)(x －1)．令y ＝0得切点的横坐标x n ＝n n ＋1.∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg (x 1x 2…x 99)＝ lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·23·…·9899·99100＝lg 1100＝－2.答案：－28．函数f (x )＝log 2x －1log 2x ＋1，若f (x 1)＋f (2x 2)＝1(其中x 1，x 2均大于2)，则f (x 1x 2)的最小值为________．解析：由f (x 1)＋f (2x 2)＝1，得log 2x 1－1log 2x 1＋1＋log 2x 2－1log 2x 2＋1＝1，即log 2x 2＝4log 2x 1－1.于是log 2(x 1x 2)＝log 2x 1＋log 2x 2＝log 2x 1＋4log 2x 1－1≥5，当且仅当log 2x 1＝3时等号成立．所以f (x 1x 2)＝log 2x 1x 2－1log 2x 1x 2＋1＝1－2log 2x 1x 2＋1≥23.答案：239．已知函数f (x )＝e |x |，m >1，对任意的x ∈[1，m ]，都有f (x －2)≤e x ，则最大的正整数m 为________．解析：作出函数y ＝e|x －2|和y 2＝e x 的图象，如图可知x ＝1时y 1＝y 2，又x ＝4时y 1＝e 2＜y 2＝4e ，x ＝5时y 1＝e 3＞y 2＝5e ，故m ＜5，即m 的最大整数值为4.答案：410．已知以T ＝4为周期的函数f (x )，当x ∈(－1,3]时f (x )＝⎩⎨⎧m 1－x 2，x ∈－1，1]，1－|x －2|，x ∈，3]，其中m >0.若方程3f (x )＝x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为________．解析：因为当x ∈(－1,1]时，将函数化为方程x 2＋y 2m2＝1(y ≥0)，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x ∈(1,3]的图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线y ＝x3与第二个半椭圆(x －4)2＋y 2m 2＝1(y ≥0)相交，而与第三个半椭圆(x －8)2＋y 2m2＝1(y ≥0)无公共点时，方程恰有5个实数解．将y ＝x3代入(x －4)2＋y 2m2＝1(y ≥0)得(9m 2＋1)x 2－72m 2x ＋135m 2＝0，令t ＝9m 2(t >0)则(t ＋1)x 2－8tx ＋15t ＝0.由Δ＝(8t )2－4×15t (t ＋1)>0，得t >15.由9m 2>15，且m >0得m >153. 同样将y ＝x3代入第三个椭圆(x －8)2＋y 2m2＝1(y ≥0)．由Δ<0可计算得m <7.综上知m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫153，7. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫153，7 11．设函数f (x )＝x 2＋|2x －a |(x ∈R ，a 为实数)． (1)若f (x )为偶函数，求实数a 的值； (2)设a >2，求函数f (x )的最小值．解：(1)由已知f (－x )＝f (x )，即|2x －a |＝|2x ＋a |，解得a ＝0.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x <12a ，当x ≥12a 时，f (x )＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a >2，x ≥12a ，得x >1，从而x >－1，故f (x )在x ≥12a 时单调递增，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24；当x <12a 时，f (x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，则x ＝1时f (x )取最小值为f (1)＝a －1.由a 24－(a －1)＝a －24>0知，f (x )的最小值为a －1.12．函数f (x )对任意的m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.解：(1)证明：设x 1<x 2，∴x 2－x 1>0.∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1. f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在R 上为增函数．(2)∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1，f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4，∴f (1)＝2.∴f (a 2＋a －5)<2＝f (1)．∵f (x )在R 上为增函数，∴a 2＋a －5<1⇒－3<a <2，即a ∈(－3,2)．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高考数学二轮精品专练试卷函数与方程及函数的应用理（含2013试题）一、选择题1．(2013·济南模拟)函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2图象的交点为(a ，b )，则a 所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝1－2＝－1＜0，f (2)＝23－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝7＞0，从而f (1)f (2)＜0，故选B.【答案】 B2．已知函数f (x )＝(15)x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零【解析】当x >0时，f (x )＝(15)x－log 3x 是减函数，又x 0是方程f (x )＝0的根，即f (x 0)＝0. ∴当0<x 1<x 0时，f (x 1)>f (x 0)＝0. 【答案】 C3．(2013·广州模拟)已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )．其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n 的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1【解析】∵2a＝3,3b＝2，∴a >1,00，∴f (x )在(－1,0)内有唯一零点，取n ＝－1. 【答案】 B4．(2013·黄冈模拟)已知定义域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝sin πx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．9【解析】对R 上的奇函数f (x )，有f (0)＝0；又f (1)＝sin π＝0；再由T ＝3，∴f (3)＝f (0＋3)＝f (0)＝0；f (6)＝f (3＋3)＝f (3)＝0；f (4)＝f (1＋3)＝f (1)＝0；f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0，f (2)＝－f (－2)＝0；f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＝0.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0.综上可知f (x )在区间[0,6]上的零点为0,1，32，2,3,4，92，5,6，共9个，故选D.【答案】 D5．(2013·烟台模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，－1＜x ≤0，f x －1＋1， x ＞0，若函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －12B ．a n ＝n (n －1)C ．a n ＝n －1D ．a n ＝2n－2【解析】g (x )＝f (x )－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－x －1＜x ≤0，f x －1－x ＋1 x ＞0，当－1＜x ≤0时，由x 3－x ＝0得x ＝0，则x ＝0是函数g (x )的一个零点．当0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0，则g (x )＝f (x －1)－x ＋1＝(x －1)3－x ＋1 令g (x )＝0，即(x －1)3－(x －1)＝0得x ＝1，即x ＝1是函数g (x )的一个零点当1＜x ≤2时，0＜x －1≤1，－1＜x －2≤0，g (x )＝f (x －1)－x ＋1＝f (x －2)－x ＋2＝(x －2)3－(x －2)令g (x )＝0，即(x －2)3－(x －2)＝0得x ＝2，即x ＝2是函数g (x )的一个零点同理可依次得到函数的零点分别为4,5,6…，故选C. 【答案】 C 二、填空题 6．若函数f (x )＝2－|x －1|－m 有零点，则实数m 的取值范围是________．【解析】令f (x )＝0，得m ＝(12)|x －1|，∵|x －1|≥0，∴0<(12)|x －1|≤1，即0<m ≤1.【答案】 (0,1]7．(2013·宜昌模拟)在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：注：油耗＝加满油后已行驶距离，可继续行驶距离＝汽车剩余油量当前油耗平均油耗＝指定时间内的用油量指定时间内的行驶距离从以上信息可以推断在10：00～11：00这一小时内________(填上所有正确判断的序号)．①行驶了80公里； ②行驶不足80公里；③平均油耗超过9.6升/100公里； ④平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤平均车速超过80公里/小时．【解析】实际用油为7.38(升)，行驶距离＜7.38÷9.6×100＝76.875(公里)，所以①错误，②正确．设L 为已用油量，ΔL 为一个小时内的用油量，S 为已行驶距离，ΔS 为一个小时内已行驶的距离⎩⎪⎨⎪⎧L S ＝9.5，L ＋ΔLS ＋ΔS ＝9.6，得L ＋ΔL ＝9.6S ＋9.6ΔS,9.5S ＋ΔL ＝9.6S ＋9.6ΔS ，ΔL ＝0.1S ＋9.6ΔS ，ΔL ΔS ＝0.1S ΔS ＋9.6＞9.6.所以③正确，④错误．⑤由②知错误．【答案】②③8．(2013·苏州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________．【解析】由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故共有7个零点．【答案】 7 三、解答题9．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6. (1)证明函数f (x )有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.【解】f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )是增函数． (1)∵f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0， ∴f (2)·f (3)<0.∴f (x )在(2,3)上至少有一个零点．又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，从而f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (2)由f (2)<0，f (3)>0. ∴f (x )的零点x 0∈(2,3)．取x 1＝52，∵f (52)＝ln 52－1＝ln 52－ln e<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52·f (3)<0，∴x 0∈(52，3)．取x 2＝114，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114＝ln 114－12＝ln 114－ln e 12>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0， ∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114且|114－52|＝14≤14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114即为符合条件的区间．10．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．【解】 (1)∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e(x >0)，当且仅当x ＝e2x时取等号．∴当x ＝e 时，g (x )有最小值2e. 因此g (x )＝m 有零点，只需m ≥2e. ∴当m ∈[2e ，＋∞)时，g (x )＝m 有零点． (2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．则函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点．如图所示，作出函数g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其对称轴x ＝e ，f (x )max ＝m －1＋e 2. 若函数f (x )与g (x )的图象有两个交点．必须有m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1. 即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．11．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资利益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.(1)请分析函数y ＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；(2)若该公司采用函数模型y ＝10x －3ax ＋2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．【解】 (1)对于模型y ＝f (x )＝x150＋2，当x ∈[10,1 000]时，f (x )是增函数．f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝203＋2<9， ∴f (x )≤9恒成立．但当x ＝10时，f (10)＝115＋2>105，不满足f (x )≤x5.故函数模型y ＝x150＋2不符合公司要求．(2)对于模型y ＝g (x )＝10x －3a x ＋2＝10－3a ＋20x ＋2.当3a ＋20>0，即a >－203时函数递增，为使g (x )≤9对于x ∈[10,1 000]恒成立，即要g (1 000)≤9,3a ＋18≥1 000，即a ≥9823.为使g (x )≤x5对于x ∈[10,1 000]恒成立，即要10x －3a x ＋2≤x 5，即x 2－48x ＋15a ≥0恒成立．即(x －24)2＋15a －576≥0(x ∈[10,1 000])恒成立．又24∈[10,1 000]，故只需15a －576≥0即可，所以a ≥1925.综上，a ≥1925，故最小的正整数a 的值为39.。