高等数学(下)公式

j ay by
k 1 az , c a b sin ,S a b 2 bz

L
f ( x, y )ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t ) dt ( )


a y az a 非零向量a、b：a // b a b 0 x bx by bz a b a b 0 axbx a y by az bz 0
多元函数微分法及应用
b x x 特别有： , f ( x, y )ds f ( x, ( x)] 1 2 ( x)dx a y ( x) L 对坐标的曲线积分：

L
P( x, y )dx Q( x, y )dy {P[ , )] (t ) Q[ , )] (t )}dt
无穷级数： ·常数项级数审敛法： 1、比较判别法（包括极限形式） ：大收小收，小发大发 2、比值与根值判别法： l lim
U n 1 或l lim n un n Un 当 l 1 时收敛，当 l 1 时发散，当 l 1 敛散性不定
n
f ( x, y, z )dxdydz f ( cos , sin , z) d d dz
其中： R( x, y, z)dxdy R[ x, y, z ( x, y)]dxdy，上正下负；
Dxy
f ( x, y)dxdy
D
d c
dy

2 ( y)
1 ( y )
f ( x, y )dx
P( x, y, z )dydz P[ x( y, z), y, z]dydz，前正后负
函数展开成幂级数：
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 余项：Rn ( x)

f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n! x x0 ) n 1 , f ( x)展成泰勒级数 lim Rn ( x) 0 n (n 1)! f (0) 2 x 2! f ( n ) (0) n x n!

1
3、莱布尼兹判别法：交错级数

(1)
n 1

n 1
un 满足：
un un 1 , lim un 0，那么 (1) n 1un 收敛且其和 s u1 。
n n 1
·绝对收敛与条件收敛：
对级数(1) un ,(2) un ,
n=1 n=1


如果(2)收敛，则(1)收敛，且称级数(1)为绝对收敛； 如果(2)发散，而(1)收敛，则称级数(1)为条件收敛。 ·几个常用级数： 1 p -级数 p 当p>1时收敛,当p 1时发散。 n n=1 a 几何级数 aq n 1当 q <1时收敛于 ,当 q 1时发散。 1 q n=1
隐函数的求导公式： Fy F z z 隐函数F ( x, y , z ) 0， x ， x Fz y Fz
当区域 D 为 —型：
, 1 ( ) r 2 ( ) ，则
2 ( )
1 (
f ( x, y)dxdy d
Dyz
z z u u u dx dy du dx dy dz x y x y z 多元复合函数的求导法则： 全微分：dz dz z u z v z f [u (t ), v (t )] (全导数公式) dt u t v t z z u z v z f [u ( x, y ), v ( x, y )] x u x v x
( 1) n ： (1)当0<p 1时条件收敛； p n=1 n (2)当1<p时绝对收敛。 幂级数： 交错级数

an ，特殊情形用定义， n a n0 n 1 当 0 R 时，收敛域为 ( R, R ) ( R ) 中的收敛点
a x
n

n
的收敛半径 R：一般情形 R lim
D
)
f (r cos , r sin )rdr
2 z 2 z dxdy 1 x y
Q( x, y, z )dzdx Q[ x, y( z, x), z]dzdx，右正左负
Dzx
曲面z f ( x, y )的面积A
平面的方程： 1、点法式：A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0， 其中平面过点M 0 ( x0 , y0 , z0 )，法向量n A, B, C 0, 2、一般方程：Ax By Cz D 0 x y z 3、截距式方程： 1 a b c 点M 0 ( x0 , y0 , z0 )到平面的距离：d 空间直线的方程： xx y y0 z z0 对称式(点向式)方程： 0 t, m n p x x0 mt 参数方程： y y0 nt ，方向向量s m, n, p 0 z z pt 0
x0 0时为麦氏级数:f ( x) f (0) f (0) x
·常用函数的幂级数展开式：
ex 1 x

x2 2!
n

xn n!

n 0

xn ( x R) n!
sin x 1
n 0
x ( x R) 2n 1!
2 3
2 n 1
x r sin cos 2 球面坐标： y r sin sin ，dv r sin drd d z r cos
f ( x, y, z )dxdydz F (r , , )r

2
sin drd d
x (t ) xx y y0 z z0 空间曲线 y (t ) 在点M 0 ( x0 , y0 , z0 )处的切线方程： 0 ( t 0 ) ( t 0 ) ( t 0 ) z (t ) 在点M 0处的法平面方程： (t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
2
f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C
Ax0 By0 Cz0 D A2 B 2 C 2
当 AC B 2 0 时, A 0, ( x0 , y0 ) 为极小点, A 0, ( x0 , y0 ) 为极大点； 当 AC B 2 0 时， ( x0 , y0 ) 不是极值点； 当 AC B 2 0 时， ( x0 , y0 ) 是否极值点无法确定。 二重积分的计算与应用： 当区域 D 为 X —型： a x b, 1 ( x) y 2 ( x) ，则
f ( x, y)dxdy
D
b a
dx
2 ( x )
对坐标的曲面积分： P( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy，

1 ( x )
f ( x, y )dy
当区域 D 为 Y —型： c y d , 1 ( y ) x 2 ( y ) ，则
P ( x, y )dx Q( x, y )dy
格林公式： (
D
Q P )dxdy x y
Pdx Qdy,
L
D面积 : A
1 2
xdy ydx
L
曲面积分：
2 2 对面积的曲面积分： f ( x, y, z )dS f [ x, y, z ( x, y)] 1 z x z y dxdy Dxy
( x, y ) ( x0 , y0 )
z l

z z cos cos x y
， 梯度： grad f
M0
z z , x y M
0
(1)
二元函数的无条件极值及其求法： 设 f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 0
Dxy

高斯公式：
( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy

P
Q
R
三重积分的柱面坐标和球面坐标计算：
x cos 柱面坐标： y sin , dv d d dz , zz
高等数学 1（下）公式
空间解析几何和向量代数：
多元微分在几何上的应用：
距离公式:d M 1M 2 ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2 数量积:a b a b cos axbx a y by az bz , =(a , b) 夹角公式:cos a b k , arccos k 0, ab
方向导数与梯度： 二元函数 z f ( x, y ) 在点 M 0 ( x0 , y0 ) 处沿方向 l (cos , cos ) 的 方向导数：
M0
x (t ) 对弧长的曲线积分：设L： , ( t ), 则： y (t )
i 向量积:c a b ax bx
曲线积分：
曲面F ( x, y , z ) 0在点M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 处切平面的法向量：n Fx , Fy , Fz 切平面方程：Fx ( x x0 ) Fy ( y y0 ) Fz ( z z0 ) 0 x x0 y y0 z z0 法线方程： Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
cos x 1
n 0
n 1 n

n
x2n ( x R) 2n !
ln 1 x x
x x 2 3
1
1 n x 1 x n 0
(1 x 1)
x (1 x 1) n 1 x n (1 x 1) 1 x n 0


平面上曲线积分与路径无关的等价条件： 设D是一个单连通区域,P、Q在D内具有一阶连续偏导数，则： Q P ＝ (2)对D内任一闭曲线C , Pdx Qdy 0 C x y (3) Pdx Qdy是某二元函数u ( x, y )的全微分,其中： u ( x, y )