如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(2,3),B(6,1),C(0,-2).
中考数学压轴题专题-二次函数与线段最值定值及数量关系问题
专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【例1】（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．【例2】（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．【例3】（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．（1）点F的坐标为；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．【例4】（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【例5】（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：A，B，C，D；（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED=43，求a的值和CE的长；（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x 轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．①用含t的代数式表示f；②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．【例6】（2020•恩施州）如图1，抛物线y=−14x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=−14x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC=2（如图2）．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．【题组一】1．（2021•青山区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC ＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求EF+BF的最小值．（3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ 与抛物线有两个交点，求t的取值范围．2．（2021•赣州模拟）已知抛物线C1：y＝x2﹣4x+3m和C2：y＝mx2﹣4mx+3m，其中m≠0且m≠1．（1）抛物线C1的对称轴是，抛物线C2的对称轴是；（2）这两条抛物线相交于点E，F（点E在点F的左侧），求E、F两点的坐标（用含m的代数式表示）并直接写出直线EF与x轴的位置关系；（3）设抛物线C1的顶点为M，C2的顶点为N；①当m为何值时，点M与点N关于直线EF对称？②是否存在实数m，使得MN＝2EF？若存在，直接写出实数m的值，若不存在，请说明理由．3．（2021•桓台县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），点M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；（3）在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值．4．（2021•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．【题组二】5．（2021•攸县模拟）材料：对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：如图所示，已知抛物线C：y＝ax2﹣4ax的图象与x轴交于O、A两点，且过点．（1）求抛物线C的解析式和点A的坐标；（2）若将抛物线C的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C'的图象．①求抛物线C'的焦点坐标和准线方程．②设M为抛物线C'位于第一象限内图象上的任意一点，MN⊥x轴于点N，求MN+MA的最小值，并求出取得这个最小值时点M的坐标．6．（2021•南沙区一模）已知，抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线l⊥x轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD．（1）求m的值和直线AC的解析式．（2）若点D在运动过程中，AD+CD取得最小值时，求此时n的值．（3）若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6时，求AE+CE的最小值．7．（2021•宝安区模拟）（1）已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3），请求该抛物线解析式；（2）点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标；（3）点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP＝OQ，求BP+BQ 的最小值并求此时点P的坐标．8．（2021•茶陵县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；（3）如图②，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．【题组三】9．（2021•东莞市校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；（3）已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•怀化模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，其中点A的坐标是（﹣1，0）．（1）直接写出点B的坐标并求出抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①当∠PCB＝∠OCB时，求点P的坐标；②当点P在B、C两点之间运动时，连接AP，交BC于点Q，设t＝，求当t值最大时点P的坐标．11．（2021•罗湖区三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴交于点G、H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°时，求m的值．12．（2021•南海区二模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且AO＝2BO＝4，过A点的直线y＝kx+c交y轴于点C．（1）求k、b、c的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求AM+OM的最小值．【题组四】13．（2020•西宁二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，52）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积；（3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x 轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．14．（2020•涡阳县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求△ABP的面积最大时的P点坐标．（3）若点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB 于点E．当PE＝2ED时，求P点坐标；（4）设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点M，使得AM被FC平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．15．（2020•哈尔滨模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tan C=355OA＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．16．（2020•皇姑区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线y=−122+bx+c和直线BC的函数表达式；（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）连接点O与（2）中求出的点P，交直线BC于点D，点N是直线BC上的一个动点，连接ON，作DF⊥ON于点F，点F在线段ON上，当OD=5DF时，请直接写出点N的坐标．【题组五】17．（2020•岳阳二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y 轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF的最小值．18．（2020•白云区模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求点A，C的坐标；（2）若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA在与y轴交点的坐标；（3）点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN 为定值，并求出这个定值．19．（2020•福安市校级模拟）已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0．（1）如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB ＝90°．求证：CO=1；（2）如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC．20．（2020•德城区一模）已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点．（1）求直线OB以及该抛物线相应的函数表达式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB 交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【题组六】21．（2020•青山区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=54x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）是否存在抛物线上一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问1δ212是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为AB=(1−2)2+(1−2)2）22．（2020•新都区模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＜0）交x轴于点A、B，与y轴交于点C，AB＝6．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点R为第一象限的抛物线上一点，分别连接RB、RC，设△RBC的面积为s，点R的横坐标为t，求s与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，如图3，点D在x轴的负半轴上，点F在y轴的正半轴上，点E为OB上一点，点P为第一象限内一点，连接PD、EF，PD交OC于点G，DG＝EF，PD⊥EF，连接PE，∠PEF＝2∠PDE，连接PB、PC，过点R作RT⊥OB于点T，交PC于点S，若点P在BT的垂直平分线上，OB ﹣TS=23，求点R的坐标．23．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y 轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．24．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．。
北师大版九下数学压轴题专题--压轴题专题(含答案)
1压轴题专题1. 如图，抛物线y =ax 2-bx +3交x 轴于B (1，0)，C (3，0)两点，交y 轴于点A ，连接AB ，点P 为抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P 到直线AB时，求点P 的横坐标； （3）当△ACP 和△ABC 的面积相等时，请直接写出点P 的坐标．备用图22. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y =x +4与抛物线212y x bx c =-++（b ，c是常数）交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上．设抛物线与x 轴的另一个交点为点C ． （1）求该抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点（不与点A ，B 重合）． ①如图2，若点P 在直线AB 上方，连接OP 交AB 于点D ，求PDOD的最大值； ②如图3，若点P 在x 轴上方，连接PC ，以PC 为一边作正方形CPEF ．随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点E 或F 恰好落在y 轴上时，直接写出对应的点P 的坐标．图1图2图333.如图，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）交x轴于点A(4，0)，B(-2，0)，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点Q是x轴上位于点A，B之间的一个动点，点E为线段BC上一个动点，若始终保持∠EQB=∠CAB，连接CQ，设△CQE的面积为S，点Q的横坐标为m，求出S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时点Q的坐标．（3）点P为抛物线上位于AC上方的一个动点，过点P作PF⊥y轴，交直线AC于点F，点D的坐标为(2，0)，若O，D，F三点中，当其中一点恰好位于另外两点的垂直平分线上时，我们把这个点叫做另外两点的“和谐点”，请判断这三点是否有“和谐点”的存在，若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．454. 如图，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线334y x =+经过点A ，C ．（1）求抛物线的解析式．（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ∥y 轴交直线AC 于点M ，设点P 的横坐标为t ．①若以点C ，O ，M ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求t 的值． ②当射线MP ，MC ，MO 中一条射线平分另外两条射线的夹角时，直接写出t 的值．5.如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为a，点P的横坐标为m，求a关于m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出a的最大值．（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1图266.如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b，c的值．（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A，B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标．（3）在（2）的条件下：①求以点E，B，F，D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．77.如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=-1，抛物线交x轴于A，C两点，与直线y=x-1交于A，B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中，以点B，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．898. 如图，已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线x =3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧），与y 轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标．（2）若点P 是抛物线上B ，C 两点之间的一个动点（不与B ，C 重合），则是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由．（3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN =3时，求点N 的坐标．图1图2109. 如图，抛物线213y x bx c =++经过点A(0)和点B (0，-2)．（1）求该抛物线的解析式；（2）若△OAB 以每秒2个单位长度的速度沿射线BA 方向运动，设运动时间为t ，点O ，A ，B 的对应点分别为D ，E ，C ，直线DE 交抛物线于点M ． ①当点M 为DE 的中点时，求t 的值；②连接AD ，当△ACD 为等腰三角形时，请直接写出点M 的坐标．备用图10.如图，抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(-2，0)，点P为抛物线上的一个动点，过点P 作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式．（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积．（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．备用图1111.如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为(1，0)，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使12PE DE．①求点P的坐标和△P AB的面积．②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．1212.如图，抛物线y=ax2+bx+2与直线y=-x交第二象限于点E，与x轴交于A(-3，0)，B两点，与y轴交于点C，EC∥x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线y=-x上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M，若以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．1313.如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A(-2，0)，B(4，0)，C(0，-8)，与直线y=x-4交于B，D两点．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）点Q是线段BD上异于B，D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．备用图1备用图21414.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(1，0)和点B(3，0)，交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为(4，3)．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE∥x轴，PF∥y 轴，求线段EF的最大值；（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．图1图21515.如图，已知抛物线y=ax2+4x+c与x轴交于点M，与y轴交于点N，抛物线的对称轴与x轴交于点P，OM=1，ON=5．（1）求抛物线的解析式．（2）点A是y轴正半轴上一动点，点B是抛物线对称轴上的任意一点，连接AB，AM，BM，且AB⊥AM．①AO为何值时，△ABM∽△OMN，请说明理由；②若Rt△ABM中有一边的长等于MP时，请直接写出点A的坐标．备用图1616.如图，已知A(-2，0)，B(4，0)，抛物线y=ax2+bx-1过A，B两点，并与过点A的直线112y x=--交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M，N，C为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．备用图1717.如图，直线l：12y x m=+与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A，B两点，且与x轴交于另一点C(-1，0)．（1）求直线及抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，当点P在直线l下方的抛物线上运动时，过点P作PM∥x轴交l于点M，过点P作PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值；（3）在（2）的条件下，当PM+PN的值最大时，将△PMN绕点N旋转，当点M落在x轴上时，直接写出此时点P的坐标．备用图1818.如图，已知抛物线y=ax2+x+c与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A和点B(3，0)，点P是抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）若点P是点B与点C之间的抛物线上的一个动点，过点P向x轴作垂线，交BC于点D，求线段PD长度的最大值；（3）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PCB=75°，请求出此时点P 的坐标．1919.在该抛物线上，且位于直线AC的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）若连接AD，CD，试求出点D到直线AC的最大距离以及此时△ADC 的面积；（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．2020.如图，抛物线y=ax2+bx-3过A(1，0)，B(-3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为-2，点P(m，n)是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式．（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m 的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点R（横、纵坐标都为整数），使得P，Q，D，R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．2121.如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y=x-5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，求△BCP面积S的最大值；（3）在抛物线上找一点M，连接AM，使得∠MAB=∠ABC，请直接写出点M的坐标．备用图2223242526272829303132333435363738394041424344。
一元二次函数经典题目带答案附解析
一元二次函数经典题目带答案附解析一元二次函数经典题目及解析一、单选题（共7题；共14分）1.如图，已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴分别交于 $A$、$B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，$OA=OC$。
则由抛物线的特征写出如下结论（）。
A。
$abc>0$。
B。
$4ac-b^2>0$。
C。
$a-b+c>0$。
D。
$ac+b+1=0$2.已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ （$a≠0$）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）。
A。
$abc0$。
D。
$2a+b=0$3.“学雷锋”活动月中，“XXX”班将组织学生开展志愿者活动，XXX和XXX从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（）。
A。
$\frac{1}{3}$。
B。
$\frac{1}{9}$。
C。
$\frac{1}{6}$。
D。
$\frac{1}{2}$4.在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球。
已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（）。
A。
27.B。
23.C。
22.D。
185.如图，平面直角坐标系中，点 $B$ 在第一象限，点$A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，$\angle AOB=\angle B=30°$，$OA=2$，将 $\triangle AOB$ 绕点 $O$ 逆时针旋转90°，点$B$ 的对应点的坐标是（）。
A。
$(\sqrt{3},-2)$。
B。
$(\sqrt{3},2)$。
C。
$(-\sqrt{3},2)$。
D。
$(-\sqrt{3},-2)$6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 $(AB)$，点$O$ 是这段弧所在圆的圆心，$AB=40m$，点 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $CD=10m$，则这段弯路所在圆的半径为（）。
人教版数学九年级上册 第二十二章 《二次函数》压轴题综合培优训练(含答案)
《二次函数》压轴题综合培优训练1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）判断△ABC 的形状；（2）过点C 的直线y ＝交x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点P 作PQ ∥y 轴交直线CH 于点Q ，作PN ∥x 轴交对称轴于点N ，以PQ 、PN 为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R →K →T 的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动的最少时间及此时点T 的坐标；（3）如图2，将△ABC 绕点B 顺时针旋转至△A ′BC ′的位置，点A 、C 的对应点分别为A ′、C ′，且点C ′恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC ′．点E 是y 轴上的一个动点，连接AE 、C ′E ，将△AC ′E 沿直线C ′E 翻折为△A ″C ′E ，是否存在点A ′，使得△BAA ″为等腰三角形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）△ABC 是以AC 为底的等腰三角形．理由如下：由题意知抛物线y ＝与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ，∴令x ＝0，解得y ＝；令x ＝0，解得：x 1＝，x 2＝4；∴A （，0），，；∴AC2＝AM2+MC2＝＝30，BC2＝OB2+OC2＝＝75，AB2＝（OA+OB）2＝＝75∴AB＝BC∴△ABC是以AC为底的等腰三角形．（2）如图1中，过点C的直线y＝交x轴于点H，令y＝0，解得x＝，∴设P（m，﹣﹣3），则Q（m，﹣3），∵y＝＝﹣∴抛物线对称轴为：直线x＝，∴QP＝（﹣3）﹣（﹣﹣3）＝﹣+，NP＝m﹣，＝2（QP+NP）＝2（﹣+﹣）＝∴矩形PQMN的周长C矩形PQMN+∵﹣＜0，开口向下，∴当m＝3时，C最小，此时，P（3，﹣3），矩形PQMN∵R为线段CP的中点，∴R （，﹣3），作点R 关于y 轴对称点R ′（﹣，﹣3），此时R 与N 重合，由题意知：动点G 运动的最少时间t ＝RK +KT +TB ，在y 轴正半轴上取点S （0，4），连接直线BS ，则直线BS 解析式为y ＝﹣x +4，过点R ′作R ′J ⊥BS 于J ，交y 轴于K ，交x 轴于T ，则R ′J 即为所求，∵tan ∠SBO ＝＝＝，∴∠SBO ＝30°，∴TJ ＝TB 即t ＝R ′K +KT +TJ ，∵RR ′＝3，∠RR ′J ＝∠BTJ ＝60°，∴△KRR ′为等边三角形，∠RKR ′＝∠KRR ′＝60° ∴∠KRM ＝∠KHR ＝30°∴R ′J ＝2RR ′＝6即动点G 运动的最少时间t ＝6（秒）；∵△JMT ∽△JRR ′∴＝，即＝∴TM ＝3﹣3 ∴T （，0）；（3）①当AA ''＝A ''B 时，如图2中，此时，A''在对称轴上对称性可知∠AC′E＝∠A''C′E又∠HEC′＝∠A''C′E∴∠AC′E＝∠HEC′∴HE＝HC'＝5∴OE＝HE﹣HO＝∴②当AA''＝AB时，如图3中，设A″C′交y轴于J．此时AA''＝AB＝BC'＝A''C'∴四边形A''ABC'为菱形由对称性可知∠AC'E＝∠A''C'E＝30°∴JE＝∴OE＝OJ﹣JE＝6∴E（0，6）③当AA''＝A''B时，如图4中，设AC′交y轴于M．此时，A''在对称轴上∠MC'E＝75°又∠AMO＝∠EMC'＝30°∴∠MEC'＝75°∴ME＝MC'∴MC'＝∴OE＝∴E（）④当A''B＝AB时，如图5中，此时AC'＝A''C'＝A''B＝AB∴四边形AC'A''B为菱形由对称性可知，C''，E，B共线∴OE＝，∴E（0，12）．综上所述，满足条件的点E坐标为（0，3﹣）或（0，6）或（0，3+）或（0，12）．2．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +5与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C ，B 不重合），过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD ，直线BC 能否把△BDF 分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D 的坐标；若不能，请说明理由．（3）若M 为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC 为直角三角形，请直接写出点M 的坐标．解：（1）将A （﹣1，0），B （5，0）代入y ＝ax 2+bx +5，得：，解得，则抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x +5；（2）能．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，把C （0，5），B （5，0）代入得，解得，所以直线BC 的解析式为y ＝﹣x +5，设D （x ，﹣x 2+4x +5），则E （x ，﹣x +5），F （x ，0），（0＜x ＜5）， ∴DE ＝﹣x 2+4x +5﹣（﹣x +5）＝﹣x 2+5x ，EF ＝﹣x +5，当DE ：EF ＝2：3时，S △BDE ：S △BEF ＝2：3，即（﹣x 2+5x ）：（﹣x +5）＝2：3， 整理得3x 2﹣17x +10＝0，解得x 1＝，x 2＝5（舍去），此时D 点坐标为（，）；当DE ：EF ＝3：2时，S △BDE ：S △BEF ＝3：2，即（﹣x 2+5x ）：（﹣x +5）＝3：2， 整理得2x 2﹣13x +15＝0，解得x 1＝，x 2＝5（舍去），此时D 点坐标为（，）；综上所述，当点D 的坐标为（，）或（，）时，直线BC 把△BDF 分成面积之比为2：3的两部分；（3）抛物线的对称轴为直线x ＝2，如图，设M （2，t ），∵B （5，0），C （0，5），∴BC 2＝52+52＝50，MC 2＝22+（t ﹣5）2＝t 2﹣10t +29，MB 2＝（2﹣5）2+t 2＝t 2+9， 当BC 2+MC 2＝MB 2时，△BCM 为直角三角形，∠BCM ＝90°，即50+t 2﹣10t +29＝t 2+9，解得t ＝7，此时M 点的坐标为（2，7）；当BC 2+MB 2＝MC 2时，△BCM 为直角三角形，∠CBM ＝90°，即50+t 2+9＝t 2﹣10t +29，解得t ＝﹣3，此时M 点的坐标为（2，﹣3）；当MC 2+MB 2＝BC 2时，△BCM 为直角三角形，∠CMB ＝90°，即t 2﹣10t +29+t 2+9＝50，解得t 1＝6，t 2＝﹣1，此时M 点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），综上所述，满足条件的M 点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A（﹣1，0）、B（4，0）与y轴交于点C，tan∠ABC＝．（1）求抛物线的解析式；（2）点M在第一象限的抛物线上，ME平行y轴交直线BC于点E，连接AC、CE，当ME 取值最大值时，求△ACE的面积．（3）在y轴负半轴上取点D（0，﹣1），连接BD，在抛物线上是否存在点N，使∠BAN＝∠ACO﹣∠OBD？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵B（4，0），∴OB＝4，∵tan∠ABC＝＝＝，∴OC＝2，∴C（0，2），设y＝a（x﹣1）（x﹣4），把C（0，2）代入求得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+2，把B（4，0）代入求得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，设M（m，﹣m2+m+2），则E （m ，﹣m +2），∴ME ＝﹣m 2+2m ，∴当m ＝2时，ME 取得最大值2， ∴E （2，1），∴S △ACE ＝S △ABC ﹣S △ABE ＝×5×（2﹣1）＝；（3）作C ′（0，﹣2）与 C 关于x 轴对称，连接BC ′，过点D 作DE ⊥BC ′于点E ，∴∠ABC ＝∠ABC ′，∵＝，∠AOC ＝∠BOC ＝90°，∴△AOC ∽△COB ， ∴∠ABC ＝∠ACO ， ∴∠ABC ′＝∠ACO ，即∠BAN ＝∠ACO ﹣∠OBD ＝∠DBC ′，由题意得DC ′＝1、DB ＝，BC ′＝2，∵S △DBC ′＝＝，∴DE ＝，∴BE ＝，∴tan ∠DBC ′＝tan ∠BAN ＝，设N （n ，﹣n 2+n +2），且n ＞0，∴tan ∠BAN ＝＝＝，①当2n +2＝9×（﹣n 2+n +2）时，n 1＝，n 2＝﹣1（舍去）；②当2n +2＝﹣9×（﹣n 2+n +2）时，n 1＝，n 2＝﹣1（舍去）；∴N 点的坐标为（，）或（，﹣）．4．抛物线y ＝x 2+（m +2）x +4的顶点C 在x 轴正半轴上，直线y ＝x +2与抛物线交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是抛物线上一点，若S △PAB ＝2S △ABC ，求点P 的坐标；（3）将直线AB 上下平移，平移后的直线y ＝x +t 与抛物线交于A '，B '两点（A '在B '的左侧），当以点A '，B '和（2）中第二象限的点P 为顶点的三角形是直角三角形时，求t 的值．解：（1）∵抛物线y ＝x 2+（m +2）x +4的顶点C 在x 轴正半轴上，∴．解得m ＝﹣6．∴抛物线的函数表达式是y ＝x 2﹣4x +4；（2）如图1，过点C 作CE ∥AB 交y 轴于点E ，设直线AB 交y 轴于点H ．由直线AB ：y ＝x +2，得点H （0，2）．设直线CE ：y ＝x +b ．∵y ＝x 2﹣4x +4＝（x ﹣2）2，∴C （2，0）．∴2+b ＝0，则b ＝﹣2．∴HE ＝4、由S △PAB ＝2S △ABC ，可在y 轴上且点H 上方取一点F ，使FH ＝2HE ，则F （0，10）．过点F 作FP ∥AB 交抛物线于点P 1、P 2．此时满足S △PAB ＝2S △ABC ，设直线P 1、P 2的函数解析式为：y ＝x +k ．∵F （0，10）在直线P 1、P 2上，∴k ＝10．∴直线P 1、P 2的函数解析式为：y ＝x +10．联立．解得，，综上，满足条件的点P 的坐标是P 1（﹣1，9），P 2（6，16）；（3）设A ′（x 1，y 1），B ′（x 2，y 2），显然，∠PA ′B ′≠90°．（i ）如图2，当∠A ′B ′P ＝90°时，过点B ′作直线MN ∥y 轴，A ′M ⊥MN 于M ，PN ⊥MN 于N ．∵直线A ′B ′的解析式是y ＝x +t ，∴∠B ′AM ＝45°．进一步可得到△A ′B ′M ，△PB ′N 都是等腰直角三角形．∴PN ＝NB ′，∴x 2+1＝9﹣y 2，即x 2+y 2＝8 ①又y 2＝x 2+t ，②联立①②解得．将点（4﹣t ，4+）代入二次函数解析式，得4+＝（4﹣﹣2）2．解得 t 1＝0，t 2＝10（此时点A ′与点P 重合，舍去）；②如图3，当∠A ′PB ′＝90°时，过点P 作EF ∥y 轴，A ′E ⊥EF 于E ，B ′F ⊥EF 于F ．则△A ′EP ∽△PFB ′．∴＝．∴＝，∴x 1x 2+（x 1+x 2）+1＝9（y 1+y 2）﹣y 1y 2﹣81．令x 2﹣4x +4＝x +t ，则x 2﹣5x +4﹣t ＝0．则x 1+x 2＝5，x 1x 2＝4﹣t ．y 1+y 2＝（x 1+t ）+（x 2+t ）＝x 1+x 2+2t ＝5+2t ．y 1y 2＝（x 1+t ）（x 2+t ）＝x 1x 2+t （x 1+x 2）+t 2＝t 2+4t +4．∴（4﹣t ）+5+1＝9（5+2t ）﹣（t 2+4t +4）﹣81．整理，得t 2﹣15t ﹣50＝0．解得 t 1＝20，t 2＝﹣5（舍去）．综上所述，t 的值是0或20．5．在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（2，4），抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一个交点为点D ．（1）如图1，求抛物线的函数表达式；（2）如图2，连接AC、AD，将△ABC沿AC折叠后与AD、y轴分别交于点交于E、G，求OG的长度；（3）如图3，将抛物线在AC上方的图象沿AC折叠后与y轴交与点F，求点F的坐标．解：（1）如图1，∵四边形OABC是矩形，B（2，4），∴A（0，4），C（2，0），∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过A、C两点，∴，∴，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣2x2+2x+4；（2）如图2，由题意得：△ABC≌△AB′C．∴∠BCA＝∠B′CA．∵AO∥BC，∴∠BCA＝∠B′CA，∠BCA＝∠OAC，∴∠B′CA＝∠OAC．∴AG＝CG．设OG＝x，则AG＝CG＝4﹣x．在Rt△OGC中，22+x2＝（4﹣x）2，得，∴；（3）如图3，在AC上方的抛物线图象取点F的对称点F′，过点F′作y轴的平行线交直线AC于点G．由题意得：∠FAC＝∠F′AC，F′A＝FA．∵AO∥F′G，∴∠FAC＝∠AGF′．∵∠FAC＝∠F′AC，∠FAC＝∠AGF′．∴∠F′AC＝∠AGF′，∴F′A＝F′G．易得直线AC的解析式为：y＝﹣2x+4．设点F（n，﹣2n2+2n+4），则G（n，﹣2n+4）．∴F′G＝﹣2n2+4n，F′A2＝n2+（﹣2n2+2n）2．∵F′A＝F′G．∴F′A2＝F′G2．即：n2+（﹣2n2+4n）2＝（﹣2n2+2n）2，解得：n＝0（舍去），．1∴．∴F′A＝F′G＝FA＝，∴F（0，）．6．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左），与y轴交于点C （0，﹣3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点P的坐标．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝﹣＝1，∴b＝﹣2∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0．∴x1＝﹣1，x2＝3．∵A点在B点左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，﹣3）的直线的函数表达式为y＝kx+m，则，∴∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣3；（3）①∵AB＝4，PQ＝AB，∴PQ＝3∵PQ⊥y轴∴PQ∥x轴，则由抛物线的对称性可得PM＝，∵对称轴是直线x＝1，∴P到y轴的距离是，∴点P的横坐标为﹣，∴P（﹣，﹣），∴F（0，﹣），∴FC＝3﹣OF＝3﹣＝，∵PQ垂直平分CE于点F，∴CE＝2FC＝，∵点D在直线BC上，∴当x＝1时，y＝﹣2，则D（1，﹣2），过点D作DG⊥CE于点G，∴DG ＝1，CG ＝1，∴GE ＝CE ﹣CG ＝﹣1＝．在Rt △EGD 中，tan ∠CED ＝＝．②P 1（1﹣，﹣2），P 2（1﹣，﹣）．设OE ＝a ，则GE ＝2﹣a ，当CE 为斜边时，则DG 2＝CG •GE ，即1＝（OC ﹣OG ）•（2﹣a ），∴1＝1×（2﹣a ），∴a ＝1，∴CE ＝2，∴OF ＝OE +EF ＝2∴F 、P 的纵坐标为﹣2，把y ＝﹣2，代入抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3得：x ＝1+或1﹣∵点P 在第三象限．∴P 1（1﹣，﹣2）， 当CD 为斜边时，DE ⊥CE ，∴OE ＝2，CE ＝1，∴OF ＝2.5，∴P 和F 的纵坐标为：﹣，把y ＝﹣，代入抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3得：x ＝1﹣，或1+，∵点P 在第三象限．∴P 2（1﹣，﹣）．综上所述：满足条件为P 1（1﹣，﹣2），P 2（1﹣，﹣）．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ，且过点D （2，﹣3）．点P 、Q 是抛物线y ＝ax 2+bx +c 上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OD 下方时，求△POD 面积的最大值．（3）直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当△OBE 与△ABC 相似时，求点Q 的坐标．解：（1）函数的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣3），将点D 坐标代入上式并解得：a ＝1， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3…①；（2）设直线PD 与y 轴交于点G ，设点P （m ，m 2﹣2m ﹣3），将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y ＝sx +t 并解得：直线PD 的表达式为：y ＝mx ﹣3﹣2m ，则OG ＝3+2m ，S △POD ＝×OG （x D ﹣x P ）＝（3+2m ）（2﹣m ）＝﹣m 2+m +3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC于点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝，故点Q1（，﹣2），Q2（﹣，2）②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则点Q（n，3n），则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q3（，），Q4（，）；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q1（，﹣2），Q2（﹣，2），Q3（，），Q4（，）．8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，则点A（1，4）；（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6，点P（1，4﹣t），则点D（，4﹣t），设点Q（，4﹣），S＝×DQ×BC＝﹣t2+t，△ACQ有最大值，当t＝2时，其最大值为1；∵﹣＜0，故S△ACQ（3）设点P（1，m），点M（x，y），①当EC是菱形一条边时，当点M在y轴右方时，点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，则点P平移3个单位、向下平移3个单位得到M，则1+3＝x，m﹣3＝y，而MP＝EP得：1+（m﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣m）2，解得：y＝m﹣3＝，故点M（4，）；当点M在y轴左方时，同理可得：点M（﹣2，3+）；②当EC是菱形一对角线时，则EC中点即为PM中点，则x+1＝3，y+m＝3，而PE＝PC，即1+（m﹣3）2＝4+（m﹣2）2，解得：m＝1，故x＝2，y＝3﹣m＝3﹣1＝2，故点M（2，2）；综上，点M（4，）或（﹣2，3+）或M（2，2）．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．解：（1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+x +2，同理可得直线DE 的表达式为：y ＝x ﹣1…①；（2）如图1，连接BF ，过点P 作PH ∥y 轴交BF 于点H ，将点FB 代入一次函数表达式，同理可得直线BF 的表达式为：y ＝﹣x +1，设点P （x ，﹣x 2+x +2），则点H （x ，﹣x +1），S 四边形OBPF ＝S △OBF +S △PFB ＝×4×1+×PH ×BO ＝2+2（﹣x 2+x +2+x ﹣1）＝7，解得：x ＝2或，故点P （2，3）或（，）；（3）当点P 在抛物线对称轴的右侧时，点P （2，3），过点M 作A ′M ∥AN ，过作点A ′直线DE 的对称点A ″，连接PA ″交直线DE 于点M ，此时，点Q 运动的路径最短，∵MN＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），由中点坐标公式得：点A″（3，0），同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣3x+9…③，联立①③并解得：x＝，即点M（，），点M沿ED向下平移2个单位得：N（，﹣）．＝1．10．如图1，抛物线y＝（x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于B点，S△OAB（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点，l交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于D点，若∠BAO＝∠PCD，求证：AC＝2AD；（3）如图3，以A为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N两点，当直角∠MAN绕A点旋转时，求证：MN始终经过一个定点，并求出该定点的坐标．解：（1）由题意和y＝（x﹣m）2设A（m，0）当x＝0时，y═（0﹣m）2＝，即设B（0，）∴OA＝m，OB＝由S△OAB＝1∴•OA•OB＝1，即m•＝2解得，m＝2∴A（2，0），B（0，1）把y＝（x﹣2）2化为一般式为，y＝x2﹣x+1．（2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝2．D、C两点在直线x＝2上，则设C（2，n），D（2，n'）如图2延长BA交直线PC于点Q并设直线PC交x轴于点E．∵∠BAO＝∠PCD，∠BOA＝∠EAC＝90°∴Rt△BOA∽Rt△EAC∴∠BAO＝∠ECA∴tan∠BAO＝tan∠ECA＝∴＝∴AC＝2AE又∵∠BAO＝∠EAQ，∠BAO＝∠ECA∴∠ECA＝∠EAQ又∵∠ECA+∠CEA＝90°∴∠EAQ+∠QEA＝90°∴BQ⊥PC设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（2，0），B（0，1）代入得，解得∴直线AB的解析式为，y＝﹣x+1由BQ⊥PC设直线PC的解析式为y＝2x+b'．又∵过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点∴令2x+b'═（x﹣2）2整理得，x2﹣12x+4﹣4b'＝0，且△＝0即144﹣4（4﹣4b'）＝0解得，b'＝﹣8∴直线PC的解析式为，y＝2x﹣8．∴把点C（2，n）代入y＝2x﹣8中得，n＝2×2﹣8解得，n＝﹣4．∴C点坐标为（2，﹣4），即AC＝4由AC＝2AE得，AE＝2．把b’＝﹣8代入方程x2﹣12x+4﹣4b'＝0中得，x2﹣12x+36＝0解得，x1＝x2＝6再把x＝6代入y＝2x﹣8中得，y＝2×6﹣8解得，y＝4∴P（6，4）设直线PB解析式为y＝k'x+1把P（6，4）代入上式得，4＝6k'+1解得，k'＝∴直线PB的解析式为，y＝x+1又∵D（2，n'）在直线PB上，将其代入y＝x+1中得，n'＝×2+1＝2∴D点坐标为（2，2），即AD＝2∴AD ＝AE∴AC ＝2AD ；（3）如图3中，以A 为原点建立新的坐标系，则抛物线的解析式为y ′＝x 2，在新坐标系中设M （a ， a 2），N （m ， m 2）． ∵AM ⊥AN ，∴＝﹣，∴ma ＝﹣16设直线MN 的解析式为y ′＝kx +b ，则有解得：，∵ma ＝﹣16，∴b ＝4，∴直线MN 的解析式为y ′＝（a +m ）x +4，∴直线MN 经过定点（0，4）（新坐标系中），在原来坐标系中，直线MN 经过点（2，4），∴直线MN 经过定点（2，4）．11．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于A （﹣3，0），B （9，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 沿AC 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点C 运动，同时，点Q 沿BO 以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ ，过点Q 作QD ⊥x 轴，与抛物线交于点D ，连接PD 与BC 交于点E ．设点P的运动时间为t秒（t＞0）（1）求抛物线的表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）．②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；（3）点M为线段BC上一点，在点P，Q运动的过程中，当点E为PD中点时，是否存在点M使得PM+BM的值最小？若存在，请求出PM+BM的最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（﹣3，0），B（9，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3…①；（2）由题意得：∠ACO＝∠OBC＝30°，∠ACB＝90°，将点B、C（0，3）的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3…②；①点P的坐标为（﹣3+t， t），点Q（9﹣2t，0），将点Q的坐标代入①式并整理得：点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]；②当PQ＝PD时，则DQ中点的纵坐标＝点P的纵坐标，即： [（6t﹣t2）]＝t，解得：t＝；（3）点P的坐标为（﹣3+t， t）、点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]，点E是PQ的中点，则点E[3﹣t， t+（6t﹣t2）]，将点E的坐标代入②式并整理得：t2﹣6t+9＝0，解得：t＝3，即点P（﹣，）即点P是AC的中点，作点P关于直线BC的对称点P′，过点P′作P′H⊥x轴、BC于点H、M，过点P作PN ⊥y轴于点N，则MH＝MB，则此时，PM+BM＝PM+MH＝P′H为最小值，∵∠ACB＝90°，PC＝P′C，∠P′CM＝∠NCP，∠P′MC＝∠PNC＝90°，∴△P′MC≌△PNC（AAS），∴MC＝NC＝OC，OM＝OC＝＝P′H，故PM+BM的最小值为．12．抛物线y＝x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C．（1）如图1，若OB＝2OA＝2OC①求抛物线的解析式；②若M是第一象限抛物线上一点，若cos∠MAC＝，求M点坐标．（2）如图2，直线EF∥x轴与抛物线相交于E、F两点，P为EF下方抛物线上一点，且P （m，﹣2）．若∠EPF＝90°，则EF所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理由．解：（1）①∵x＝0时，y＝x2+bx+c＝c∴C（0，c），OC＝﹣c（c＜0）∴OA＝OC＝﹣c，OB＝2OC＝﹣2c∴A（c，0），B（﹣2c，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣②过点M作MD⊥AC于点D，过点D作GH∥x轴，过点A作AG⊥GH于点G，过点M作MH ⊥GH于点H，如图1∴∠ADM＝∠G＝∠H＝90°∴Rt△ADM中，cos∠MAC＝∴AM＝AD∴MD＝＝4AD∵c＝﹣∴A（﹣，0），B（1，0），C（0，﹣）∴OA＝OC∴∠OAC＝45°∴∠GAD＝∠GAO﹣∠OAC＝45°∴△ADG为等腰直角三角形∴∠ADG＝45°∴∠MDH ＝180°﹣∠ADG ﹣∠ADM ＝45°∴△MDH 为等腰直角三角形设AG ＝DG ＝t ，则AD ＝t ∴MD ＝4AD ＝4t ∴DH ＝MH ＝4t∴x M ＝x A +t +4t ＝﹣+5t ，y M ＝4t ﹣t ＝3t∵点M 在抛物线上∴（﹣+5t ）2﹣（﹣+5t ）﹣＝3t解得：t 1＝0（舍去），t 2＝∴x M ＝﹣+＝，y M ＝∴点M 坐标为（，）（2）EF 所在直线的纵坐标是定值，理由如下：过点P 作PQ ⊥EF 于点Q ，如图2∵P （m ，﹣2）在抛物线上∴m 2+bm +c ＝﹣2，即c +2＝﹣m 2﹣bm∵EF ∥x 轴且在点P 上方∴x Q ＝x P ＝m ，设y E ＝y F ＝y Q ＝n ，n ＞﹣2∴PQ ＝n ﹣（﹣2）＝n +2∵x 2+bx +c ＝n ，整理得x 2+bx +c ﹣n ＝0∴x E +x F ＝﹣b ，x E •x F ＝c ﹣n∴∠PQE ＝∠PQF ＝90°∵∠EPF ＝90°∴∠EPQ +∠FPQ ＝∠FPQ +∠PFQ ＝90°∴∠EPQ ＝∠PFQ∴△EPQ ∽△PFQ∴∴PQ2＝EQ•FQ∴（n+2）2＝（m﹣x E）（x F﹣m）∴n2+4n+4＝m•x F﹣m2﹣x E•x F+m•x En2+4n+4＝m（xE+x F）﹣m2﹣x E•x F n2+4n+4＝﹣bm﹣m2﹣（c﹣n）n2+4n+4＝c+2﹣c+n解得：n1＝﹣1，n2＝﹣2（舍去）∴EF所在直线的纵坐标为﹣1，是定值．13．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），且与y轴交于点C．（1）请求出二次函数的解析式；（2）若点M（m，n）在抛物线的对称轴上，且AM平分∠OAC，求n的值．（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作PQ∥AC，与AB上方的抛物线交于点Q，与x轴交于点H，试问：是否存在这样的点Q，使PH＝2QH？若存在，请直接出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、B的坐标代入函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）如图，过点A作∠A的角平分线交y轴于点G，过点G作GN⊥AC于点N，二次函数对称轴交AM、x轴于点M、H，设：OG＝x＝GN，则AN＝OA＝4，AC＝2，OC＝2，CM＝2﹣x，CN＝CA﹣AN＝2﹣4，则由勾股定理得：（2﹣x）2＝x2+（2﹣4）2，解得：x＝4﹣8，∴GH∥O M，则，即：，则n＝GH＝x＝3﹣6；（3）存在，理由：如图：将点B、A的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝x﹣2…①，同理直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，∵PQ∥AC，则设直线PQ的表达式为：y＝﹣x﹣c（c＞0）…②，联立①②并解得：x＝2±2（舍去正值），故点Q（2﹣2，﹣1﹣c+），∵PH＝2QH，∴P、Q的纵坐标之比也为2，即﹣c﹣1＝±2（﹣1﹣c+），解得：c＝或，故点Q（﹣，﹣）或（﹣，）．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3），C（2，n）两点，直线l：y＝x+2过C 点，且与y轴交于点B，抛物线上有一动点E，过点E作直线EF⊥x轴于点F，交直线BC于点D（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，当点E在直线BC上方的抛物线上运动时，连接BE，BF，是否存在点E使直线BC将△BEF的面积分为2：3两部分？若存在，求出点E的坐标，若不存在说明理由；（3）如图2，若点E在y轴右侧的抛物线上运动，连接AE，当∠AED＝∠ABC时，直接写出此时点E的坐标．解：（1）直线l：y＝x+2过C点，则点C（2，3），y＝x+2过C点，且与y轴交于点B，则点B（0，2），将点A、C的坐标代入二次函数表达式并解得：b＝2，c＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）设点E（m，﹣m2+2m+3），则点D（m， m+2），则DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2，＝＝或，解得：m＝或，故点E（，）或（，）；（3）由（2）知：E（m，﹣m2+2m+3），则点D（m， m+2），DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2，①如图2，当点E在直线BC上方时，∵AB∥EF，∠ABD+∠EDB＝180°，∵∠AED＝∠A BC，∴∠AED+∠EDB＝180°，∴AE∥CD，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AB＝DE＝1＝﹣m2+m+1，解得：m＝0或（舍去0）；②如图3，当点E在直线BC的下方时，设AE、BD交于点N，作点N作x轴的平行线交DE于点M∵AB∥DE，∴∠ABN＝∠NDE，而∠AED＝∠ABC，∴∠ABN＝∠NDE＝∠AED＝∠ABC，∴△NAB、△DEN都是以点N为顶点的等腰三角形，故点M的纵坐标和AB中点的坐标同为，由中点公式得：（﹣m2+2m+3+m+2）＝，解得：m＝0或（舍去0），综上，点E（，）或（，）．15．如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心， CE的长为半径作圆，点P为直线y＝x﹣3上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BDP周长的最小值；（3）若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），求四边形ABMN的面积．解：（1）直线y＝x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝3，故点A、C的坐标为（3，0）、（0，﹣3），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x﹣1）＝a（x2﹣4x+3），则3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3…①；（2）过点B作直线y＝x﹣3的对称点B′，连接BD交直线y＝x﹣3于点P，直线B′B交函数对称轴与点G，连接AB′，则此时△BDP周长＝BD+PB+PD＝BD+B′B为最小值，D（2，1），则点G（2，﹣1），即：BG＝EG，即点G是BB′的中点，过点B′（3，﹣2），△BDP周长最小值＝BD+B′B＝；（3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，点A、B、C、E、F的坐标为（3，0）、（1，0）、（0，﹣3）、（2，0）、（﹣2，0），则CE＝，FQ＝CE，则PF＝CE﹣CE＝，设点P（m，m﹣3），点F（﹣2，0），PF2＝13＝（m﹣2）2+（m﹣3）2，解得：m＝1，故点P（1，﹣2），将点P、F坐标代入一次函数表达式并解得：直线PF的表达式为：y＝﹣x﹣…②，联立①②并解得：x ＝，故点M 、N 的坐标分别为：（，）、（，）， 过点M 、N 分别作x 轴的垂线交于点S 、R ，则S 四边形ABMN ＝S 梯形NRSM ﹣S △ARN ﹣S △SBM ＝．。
2021年九年级中考数学 三轮专题突破：二次函数的图象及其性质(含答案)
2021中考数学 三轮专题突破：二次函数的图象及其性质一、选择题1. 已知二次函数y ＝x 2－x ＋14m －1的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤5B ．m ≥2C ．m ＜5D ．m ＞22. 如图，抛物线的函数解析式是()A ．y ＝x 2－x ＋2B ．y ＝x 2＋x ＋2C ．y ＝－x 2－x ＋2D ．y ＝－x 2＋x ＋23. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经过变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是( ) A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度 C ．向左平移8个单位长度D ．向右平移8个单位长度4. (2019•成都)如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =5. 若二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴是x ＝3，则关于x 的方程x 2＋mx ＝7的解为( )A. x 1＝0，x 2＝6B. x 1＝1，x 2＝7C. x 1＝1，x 2＝－7D. x 1＝－1，x 2＝76. (2019•咸宁)已知点()()()()1,,1,,2,0A m B m C m n n -->在同一个函数的图象上，这个函数可能是 A ．y x ＝ B ．2y x=-C ．2y x ＝D ．2y x ＝﹣7. (2019•嘉兴)小飞研究二次函数y=–(x –m)2–m+1(m 为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m ，则y1<y2；④当–1<x<2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是 A ．① B ．② C ．③ D ．④8.关于二次函数)0(542≠--=a ax ax y 的三个结论：①对任意实数m ，都有m x +=21与m x -=22对应的函数值相等；②若3≤x ≤4，对应的y 的整数值有4个，则134-≤<-a 或341<≤a ；③若抛物线与x 轴交于不同两点A,B ，且AB≤6，则45-<a 或1≥a .其中正确的结论是（ ）A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题9. 如图，抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，则方程ax 2=bx+c 的解是 .10. 某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝12x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为________________．11. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________________．12. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x …－1 0 1 2 3 4 …y …10 5 2 1 2 5 …则该二次函数的解析式为____________________．13. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是________．14. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足下表:x…-1 0 1 2 3 …y… 3 0 -1 0 m…(1)观察上表可求得m的值为;(2)这个二次函数的解析式为;(3)若点A(n+2，y1)，B(n，y2)在该抛物线上，且y1>y2，则n的取值范围为.15. 已知函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x >0），－x （x ≤0）的图象如图所示，若直线y ＝x ＋m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为________．16. 已知实数x ，y 满足x2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为________．三、解答题17. 若关于x 的函数y ＝(m 2－1)x 2－(2m ＋2)x ＋2的图象与x 轴只有一个公共点，求m 的值．18. 如图，足球场上守门员徐杨在O 处抛出一高球，球从离地面1 m 处的点A 飞出，其飞行的最大高度是4 m ，最高处距离飞出点的水平距离是6 m ，且飞行的路线是抛物线的一部分．以点O 为坐标原点，竖直向上的方向为y 轴的正方向，球飞行的水平方向为x 轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．(参考数据：4 3≈7)(1)求足球的飞行高度y (m)与飞行的水平距离x (m)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围)(2)在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？(精确到1 m) (3)若对方一名1.7 m 的队员在距落地点C 3 m 的点H 处跃起0.3 m 进行拦截，则这名队员能拦到球吗？19. 如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．20. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．21. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝34x＋m与x轴、y轴分别交于点A、点B(0，－1)，抛物线y＝12x2＋bx＋c经过点B，交直线AB于点C(4，n)．(1)分别求m、n的值；(2)求抛物线的解析式；(3)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0＜t＜4)，DE∥y轴交直线AB于点E，点F在直线AB上，且四边形DFEG为矩形(如图)，若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式和p的最大值．22. (2019·四川资阳)如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值； (3)设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2021中考数学 三轮专题突破：二次函数的图象及其性质-答案一、选择题1. 【答案】A[解析] ∵抛物线y ＝x 2－x ＋14m －1与x 轴有交点，∴b 2－4ac≥0，即(－1)2－4×1×(14m －1)≥0，解得m≤5.2. 【答案】D[解析] 先设出函数解析式，然后把(0，2)，(－1，0)，(2，0)分别代入函数解析式，列出方程组，求出各系数即可．3. 【答案】B [解析] y ＝(x ＋5)(x －3)＝(x ＋1)2－16，顶点坐标是(－1，－16)．y ＝(x ＋3)(x －5)＝(x －1)2－16，顶点坐标是(1，－16)．所以将抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，故选B.4. 【答案】D【解析】由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0，A 选项错误； 函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac ->0，B 选项错误； 观察图象可知x=-1时y=a-b+c>0，所以a-b+c>0，C 选项错误； 根据图象与x 轴交点可知，对称轴是(1，0)，(5，0)两点的中垂线，1532x +==， 即x=3为函数对称轴，D 选项正确， 故选D ．5. 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴为x ＝－m2＝3，解得m ＝－6，则关于x 的方程为x 2－6x ＝7，解得，x 1＝－1，x 2＝7.6. 【答案】D【解析】()()1,,1,A m B m -， ∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于2y x y x==-，的图象关于原点对称，因此选项A ，B 错误；∵0n >，∴m n m -<，由()()1,,2,B m C m n -可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， 对于二次函数只有0a <时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∴D 选项正确，故选D ．7. 【答案】C【解析】把(m ，–m+1)代入y=–x+1，–m+1=–m+1，左=右，故①正确；当–(x –m)2–m+1=0时，x1=m x2=m 若顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形， 则1–m+(1–m)2+1–m+(1–m)2=4(1–m)，即m2–m=0，∴m=0或1时，∴存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确； 当x1<x2，且x1、x2在对称轴右侧时，∵–1<0，∴在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，即y1>y2，故③错误； ∵–1<0，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大， ∴m≥2，故④正确， 故选C ．8. 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣5的对称轴为直线x ＝422aa-=，∴x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 关于直线x ＝2对称，∴对任意实数m ，都有x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 对应的函数值相等，所以①正确；因为二次函数在3≤x ≤4上y 随x 的增大而增大，或增大而减小，而且x =3时y =-3a -5，x =4时y =-5,所以y 要有4个整式值，则-9＜-3a -5≤-8,或-2≤-3a -5＜-1，所以134-≤<-a 或341<≤a ，故②正确；因为A B≤6，则21212212124)()x -(x |x -x |x x x x -+===2(5)2044166aa--⨯=+≤，则45-<a 或1≥a .所以③正确.故选D.二、填空题9. 【答案】x 1=-2，x 2=1 [解析]∵抛物线y=ax 2与直线y=bx +c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，∴的解为即方程ax 2=bx +c的解是x 1=-2，x 2=1.10. 【答案】y ＝12(x ＋2)2＋1 [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x －h)2＋k.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12，所以该抛物线的函数解析式是y ＝12(x ＋2)2＋1.11. 【答案】y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x 【解析】依题意，所求函数有可能经过(－1，0)，(－12，－14) 或(1，0)，(－12，－14) .设所求函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，图象经过原点，则c ＝0，当图象经过(－1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝b＝1，即所求解析式为y ＝x 2＋x ; 当图象经过(1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝－13，b ＝13，即所求解析式为y ＝－13x 2＋13x .综上所述，所求函数的解析式为y＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x .12. 【答案】y ＝x2－4x ＋5 [解析] 从表格中的数据可以看出，当x ＝1和x ＝3时，函数值y ＝2，可见，抛物线的顶点坐标为(2，1)，故可设二次函数的解析式为y ＝a(x －2)2＋1，再由二次函数图象过点(1，2)，得2＝a(1－2)2＋1，解得a ＝1，故二次函数的解析式为y ＝(x －2)2＋1，即y ＝x2－4x ＋5.13. 【答案】．x ＜－1或x ＞314. 【答案】解:(1)3[解析]观察表格，根据抛物线的对称性可得x=3和x=-1时的函数值相等，∴m 的值为3，故答案为:3.(2)y=(x -1)2-1 [解析]由表格可得，二次函数y=ax 2+bx +c 图象的顶点坐标是(1，-1)，∴y=a (x -1)2-1.又当x=0时，y=0，∴a=1，∴这个二次函数的解析式为y=(x -1)2-1.(3)n>0 [解析]∵点A (n +2，y 1)，B (n ，y 2)在该抛物线上，且y 1>y 2，∴结合二次函数的图象和性质可知n>0.15. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫23，00<m<14 [解析] 联立y ＝x ＋m 与y ＝－x 2＋2x ，得x ＋m ＝－x2＋2x ，整理得x 2－x ＋m ＝0，当有两个交点时，b 2－4ac ＝(－1)2－4m>0，解得m<14.当直线y ＝x ＋m 经过原点时，与函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x>0）x （x≤0）的图象有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m>0， ∴m 的取值范围为0<m<14.故答案为0<m<14.16. 【答案】4 [解析] x ＋y ＝－x2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴当x ＝－1时，x ＋y 有最大值，最大值是4.三、解答题17. 【答案】解：①当m 2－1＝0且2m ＋2≠0，即m ＝1时，该函数是一次函数，其图象与x 轴只有一个公共点；②当m 2－1≠0，即m ≠±1时，该函数是二次函数，则 Δ＝[－(2m ＋2)]2－8(m 2－1)＝0， 解得m 1＝3，m 2＝－1(舍去)． 综上所述，m 的值是1或3.18. 【答案】解：(1)由题意，设y ＝a(x －6)2＋4. ∵A(0，1)在抛物线上， ∴1＝a(0－6)2＋4， 解得a ＝－112， ∴y ＝－112(x －6)2＋4.(2)令y ＝0，则0＝－112(x －6)2＋4，解得x 1＝4 3＋6≈13，x 2＝－4 3＋6＜0(舍去)，∴在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离约是13 m. (3)当x ＝13－3＝10时，y ＝83＞1.7＋0.3＝2， ∴这名队员不能拦到球．19. 【答案】解：(1)把(0，3)，(3，0)，(4，3)代入y ＝ax2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3. 所以抛物线的解析式为y ＝x2－4x ＋3.(2)因为y ＝x2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x ＝2.(3)阴影部分的面积为2.20. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．∴⎩⎨⎧4a ＋2b ＝436a ＋6b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝3.(4分) (2)如解图①，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为点E ，点F ，则S △OAD ＝12OD·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S △BCD ＝12BD·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x)＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋(2x －4)＋(－x 2＋6x)＝－x 2＋8x.∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)．(10分)∵S ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.(12分)解图①【一题多解】解法一：由(1)知y ＝－12x 2＋3x ，如解图②，连接AB ，则S ＝S △AOB ＋S △ABC ，其中S △AOB ＝12×6×4＝12，设直线AB 解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，将点A(2，4)，B(6，0)代入，易得，y 1＝－x ＋6，过C 作直线l ⊥x 轴交AB 于点D ，∴C(x ，－12x 2＋3x)，D(x ，－x ＋6)，∴S △ABC ＝S △ADC ＋S △BDC ＝12·CD·(x －2)＋12·CD·(6－x)＝12·CD·4＝2CD ，其中CD ＝－12x 2＋3x －(－x ＋6)＝－12x 2＋4x －6，∴S △ABC ＝2CD ＝－x 2＋8x －12，∴S ＝S △ABC ＋S △AOB ＝－x 2＋8x －12＋12＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16(2<x<6)， 即S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.解图②解法二：∵点C 在抛物线y ＝－12x 2＋3x 上，∴点C(x ，－12x 2＋3x)，如解图③，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为点E ，则点D 的坐标为(2，0)，点E 的坐标为(x ，0)，∴S ＝S △OAD ＋S 梯形ADEC ＋S △CEB ＝12×2×4＋12(4－12x 2＋3x)(x －2)＋12(6－x)(－12x 2＋3x)＝－x 2＋8x ，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16(2<x<6)，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.解图③21. 【答案】(1)∵直线y ＝34x ＋m 与y 轴交于点B (0，－1)，∴m ＝－1，∴直线解析式为y ＝34x －1，∵直线经过点C (4，n )，∴n ＝34×4－1＝2；(2)∵抛物线经过点C 和点B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(3)∵点D 的横坐标为t (0＜t ＜4)，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，∴D (t ，12t 2－54t －1)，E (t ，34t －1)， ∴DE ＝34t －1－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ，∵DE ∥y 轴，∴∠DEF ＝∠ABO ，且∠EFD ＝∠AOB ＝90°，∴△DFE ∽△AOB ，∴DF OA ＝EF OB ＝DE AB ，在y ＝34x －1中，令y ＝0可得x ＝43，∴A (43，0)，∴OA ＝43，在Rt △AOB 中，OB ＝1，∴AB ＝53，∴DF 43＝EF 1＝DE 53，∴DF ＝45DE ，EF ＝35DE ，∴p ＝2(DF ＋EF )＝2×(45＋35)DE ＝145DE ＝145(－12t 2＋2t )＝－75t 2＋285t ＝－75(t －2)2＋285(0＜t ＜4)， ∵－75＜0，∴当t ＝2时，p 有最大值285.22. 【答案】(1)将点B 的坐标为(4,)m 代入72y x =-+，71422m =-+=-， ∴B 的坐标为1(4,)2-，将(3,2)A ，1(4,)2B -代入212y x bx c =-++， 2213322114422b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩，解得1b =，72c =， ∴抛物线的解析式21722y x x =-++； (2)设217(,)22D m m m ++，则7(,)2E m m -+， 22217711()()2(2)222222DE m m m m m π=-++--+=-+=--+， ∴当2m =时，DE 有最大值为2，此时7(2,)2D ， 作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ．PD PA PD PA A D ''+=+=，此时PD PA +最小，∵(3,2)A ，∴(1,2)A '-，2273(12)(2)522A D '=--+-= 即PD PA +352(3)作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，∵抛物线的解析式21722y x x =-++，∴(1,4)M ， ∵(3,2)A ，∴2AH MH ==，(1,2)H∵45AQM ︒∠=，90AHM ︒∠=，∴12AQM AHM ∠=∠， 可知AQM ∆外接圆的圆心为H ，∴2QH HA HM ===，设(0,)Q t ，则22(01)(2)2t -+-=，23t =23∴符合题意的点Q 的坐标：1(0,23)Q 、2(0,23)Q ．【名师点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．。
2020年九年级中考数学专题专练--几何函数压轴题专练(含答案)
中考数学专题几何函数压轴题专题1.如图，抛物线y=ax2-bx+3 交x 轴于B(1，0)，C(3，0)两点，交y 轴于点A，连接AB，点P 为抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 到直线AB 的距离为7 10时，求点P 的横坐标；9（3）当△ACP 和△ABC 的面积相等时，请直接写出点P 的坐标．备用图2.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+4 与抛物线y =-1x2 +bx +c （b，c 2是常数）交于A，B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上．设抛物线与x 轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点（不与点A，B 重合）．①如图2，若点P 在直线AB 上方，连接OP 交AB 于点D，求PD的最大值；OD②如图3，若点P 在x 轴上方，连接PC，以PC 为一边作正方形CPEF．随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点E 或F 恰好落在y 轴上时，直接写出对应的点P 的坐标．23. 如图，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）交x 轴于点A(4，0)，B(-2，0)，交y 轴于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点Q 是x 轴上位于点A，B 之间的一个动点，点E 为线段BC 上一个动点，若始终保持∠EQB=∠CAB，连接CQ，设△CQE 的面积为S，点Q 的横坐标为m，求出S 关于m 的函数关系式，并求出当S 取最大值时点Q 的坐标．（3）点P 为抛物线上位于AC 上方的一个动点，过点P 作PF⊥y 轴，交直线AC 于点F，点D 的坐标为(2，0)，若O，D，F 三点中，当其中一点恰好位于另外两点的垂直平分线上时，我们把这个点叫做另外两点的“和谐点”，请判断这三点是否有“和谐点”的存在，若存在，请直接写出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，抛物线y =-3x2 +bx +c 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，直4线y =3x + 3 经过点A，C．4（1）求抛物线的解析式．（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM∥y 轴交直线AC 于点M，设点P 的横坐标为t．①若以点C，O，M，P 为顶点的四边形是平行四边形，求t 的值．②当射线MP，MC，MO 中一条射线平分另外两条射线的夹角时，直接写出t 的值．5.如图1，抛物线y=ax2+bx+2 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，AB=4，矩形OBDC 的边CD=1，延长DC 交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线EO 于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH 的长为a，点P 的横坐标为m，求a 关于m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出a 的最大值．（3）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c 经过A，B 两点，抛物线的顶点为D．（1）求b，c 的值．（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A，B 除外），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标．（3）在（2）的条件下：①求以点E，B，F，D 为顶点的四边形的面积；② 在抛物线上是否存在一点P，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．7.如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=-1，抛物线交x 轴于A，C 两点，与直线y=x-1 交于A，B 两点，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在直线AB 上方的抛物线上运动，若△ABP 的面积最大，求此时点P 的坐标；（3）在平面直角坐标系中，以点B，E，C，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D 的坐标．8.如图，已知抛物线y =ax2 +3x + 4 的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A，2B 两点（B 点在A 点右侧），与y 轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式和A，B 两点的坐标．（2）若点P 是抛物线上B，C 两点之间的一个动点（不与B，C 重合），则是否存在一点P，使△PBC 的面积最大？若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由．（3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N，当MN=3 时，求点N 的坐标．9.如图，抛物线y=1x2 +bx +c 经过点A( 2 3（1）求该抛物线的解析式；，0)和点B(0，-2)．（2）若△OAB 以每秒2 个单位长度的速度沿射线BA 方向运动，设运动时间为t，点O，A，B 的对应点分别为D，E，C，直线DE 交抛物线于点M．①当点M 为DE 的中点时，求t 的值；②连接AD，当△ACD 为等腰三角形时，请直接写出点M 的坐标．备用图310.如图，抛物线y=ax2+bx-2 的对称轴是直线x=1，与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，点A 的坐标为(-2，0)，点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD⊥x 轴于点D，交直线BC 于点E．（1）求抛物线解析式．（2）若点P 在第一象限内，当OD=4PE 时，求四边形POBE 的面积．（3）在（2）的条件下，若点M 为直线BC 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N，使得以点B，D，M，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B 的坐标为(1，0)，抛物线y=-x2+bx+c 经过A，B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D，交线段AB 于点E，使PE 1DE ．2①求点P 的坐标和△PAB 的面积．②在直线PD 上是否存在点M，使△ABM 为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12.如图，抛物线y=ax2+bx+2 与直线y=-x 交第二象限于点E，与x 轴交于A(-3，0)，B 两点，与y 轴交于点C，EC∥x 轴．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线y=-x 上方抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH 的长为l，点P 的横坐标为m，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值；（3）如果点N 是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M，若以M，A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．13. 如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A(-2，0)，B(4，0)，C(0，-8)，与直线y=x-4 交于B，D 两点．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点P 为直线BD 下方抛物线上的一个动点，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）点Q 是线段BD 上异于B，D 的动点，过点Q 作QF⊥x 轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG 为直角三角形时，直接写出点Q 的坐标．1314.如图，抛物线y=ax2+bx+c 交x 轴于点A(1，0)和点B(3，0)，交y 轴于点C，抛物线上一点D 的坐标为(4，3)．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图1，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，PE∥x 轴，PF∥y 轴，求线段EF 的最大值；（3）如图2，点M 是线段CD 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN 是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．15.如图，已知抛物线y=ax2+4x+c 与x 轴交于点M，与y 轴交于点N，抛物线的对称轴与x 轴交于点P，OM=1，ON=5．（1）求抛物线的解析式．（2）点A 是y 轴正半轴上一动点，点B 是抛物线对称轴上的任意一点，连接AB，AM，BM，且AB⊥AM．①AO 为何值时，△ABM∽△OMN，请说明理由；②若Rt△ABM 中有一边的长等于MP 时，请直接写出点 A 的坐标．16.如图，已知A(-2，0)，B(4，0)，抛物线y=ax2+bx-1 过A，B 两点，并与过点A 的直线y =-1x -1 交于点C．2（1）求抛物线解析式及对称轴．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M，N，C 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．17.如图，直线l：y =1x +m 与x 轴交于点A(4，0)，与y 轴交于点B，抛物线2y=ax2+bx+c（a≠0）经过A，B 两点，且与x 轴交于另一点C(-1，0)．（1）求直线及抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一动点，当点P 在直线l 下方的抛物线上运动时，过点P 作PM∥x 轴交l 于点M，过点P 作PN∥y 轴交l 于点N，求PM+PN 的最大值；（3）在（2）的条件下，当PM+PN 的值最大时，将△PMN 绕点N 旋转，当点M 落在x 轴上时，直接写出此时点P 的坐标．18.如图，已知抛物线y=ax2+x+c 与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于点A 和点B(3，0)，点P 是抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）若点P 是点B 与点C 之间的抛物线上的一个动点，过点P 向x 轴作垂线，交BC 于点D，求线段PD 长度的最大值；（3）当点P 移动到抛物线的什么位置时，使得∠PCB=75°，请求出此时点P 的坐标．19.在平面直角坐标系内，直线y =1x + 2 分别与x 轴、y 轴交于点A，C．抛物2线y =-1x2 +bx +c 经过点A 与点C，且与x 轴的另一个交点为点B．点D2在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）若连接AD，CD，试求出点D 到直线AC 的最大距离以及此时△ADC 的面积；（3）过点D 作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD．若△CFD 与△AOC 相似，求点D 的坐标．20.如图，抛物线y=ax2+bx-3 过A(1，0)，B(-3，0)，直线AD 交抛物线于点D，点D 的横坐标为-2，点P(m，n)是线段AD 上的动点．（1）求直线AD 及抛物线的解析式．（2）过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q，求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？（3）在平面内是否存在整点R（横、纵坐标都为整数），使得P，Q，D，R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．21.如图，抛物线y=-x2+bx+c 交x 轴于A，B 两点，交y 轴于点C，直线y=x-5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求△BCP 面积S 的最大值；（3）在抛物线上找一点M，连接AM，使得∠MAB=∠ABC，请直接写出点M 的坐标．21参考答案：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、。
2023年四川省乐山市中考数学真题+答案解析
2023年四川省乐山市中考数学真题+答案解析（真题部分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）计算：2a﹣a＝（）A．a B．﹣a C．3a D．12．（3分）下面几何体中，是圆柱的为（）A．B．C．D．3．（3分）下列各点在函数y＝2x﹣1图象上的是（）A．（﹣1，3）B．（0，1）C．（1，﹣1）D．（2，3）4．（3分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（）A．9×108B．9×109C．9×1010D．9×10115．（3分）乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，如图所示．估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为（）A．100 B．150 C．200 D．4006．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（）A．2 B．C．3 D．47．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．168．（3分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sinθ＝（）A．B．C．4 D．9．（3分）如图4，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（m，0），且1＜m＜2，有下列结论：①b＜0；②a+b＞0；③0＜a＜﹣c；④若点C（﹣，y1），D（，y2）在抛物线上，则y1＞y2．其中，正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△P AB面积的最大值是（）A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）不等式x﹣1＞0的解集是．12．（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为．13．（3分）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为．14．（3分）若m、n满足3m﹣n﹣4＝0，则8m÷2n＝．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝．16．（3分）定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．（1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝；（2）若双曲线y＝（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围．三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（9分）计算：|﹣2|+20230﹣．18．（9分）解二元一次方程组：．19．（9分）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连结EF．（1）求证：四边形ECFD是矩形；（2）若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离．21．（10分）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？22．（10分）为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与．经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”，班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示．家务类型洗衣拖地煮饭刷碗人数（人）10 12 10 m根据上面图表信息，回答下列问题：（1）m＝；（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为；（3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求m的值和一次函数的表达式；（2）已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP ＝2S△OAC，求点P的坐标．24．（10分）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE．（1）求证：直线AE是⊙O是的切线；（2）若sin E＝，⊙O的半径为3，求AD的长．25．（12分）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：；（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．①请在图中作出点O；②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．26．（13分）已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线C1：y＝﹣x2+bx（b为常数）上的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2．（1）求b的值；（2）将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣m）2+1（m＞0）．当0≤x≤2时，探究下列问题：①若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围；②设抛物线C2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线C2的顶点为点E，△ABC外接圆的圆心为点F．如果对抛物线C1上的任意一点P，在抛物线C2上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围．2023年四川省乐山市中考数学真题+答案解析（答案部分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）计算：2a﹣a＝（）A．a B．﹣a C．3a D．1【分析】直接合并同类项得出答案．【解析】解：2a﹣a＝a．故选：A．【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．2．（3分）下面几何体中，是圆柱的为（）A．B．C．D．【分析】根据各个选项中的几何体的形体特征进行判断即可．【解析】解：A．选项中的几何体是圆锥体，因此选项A不符合题意；B．选项中的几何体是球体，因此选项B不符合题意；C．选项中的几何体是圆柱体，因此选项C符合题意；D．选项中的几何体是四棱柱，因此选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查认识立体图形，掌握圆柱体，圆锥体，棱柱，球的形体特征是正确判断的前提．3．（3分）下列各点在函数y＝2x﹣1图象上的是（）A．（﹣1，3）B．（0，1）C．（1，﹣1）D．（2，3）【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一对四个选项进行验证即可求解．【解析】解：A．当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3，∴点（﹣1，3）不在函数y＝2x﹣1图象上；B．当x＝0时，y＝2×0﹣1＝﹣1，∴点（0，1）不在函数y＝2x﹣1图象上；C．当x＝1时，y＝2×1﹣1＝1，∴点（1，﹣1）不在函数y＝2x﹣1图象上；D．当x＝2时，y＝2×2﹣1＝3，∴点（2，3）在函数y＝2x﹣1图象上；故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是直线上任意一个点的坐标都满足函数解析式y＝kx+b．4．（3分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（）A．9×108B．9×109C．9×1010D．9×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解析】解：9000000000＝9×109．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，如图所示．估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为（）A．100 B．150 C．200 D．400【分析】用总人数乘以样本中去“沫若故居”的学生人数所占比例即可．【解析】解：估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为500×＝200（人），故选：C．【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．6．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC ＝6，BD＝8，则OE＝（）A．2 B．C．3 D．4【分析】由菱形的性质得到OC＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出OE的长．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，∵AC＝6，BD＝8，∴OC＝3，OB＝4，∴CB＝＝5，∵E为边BC的中点，∴OE＝BC＝．故选：B．【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质求出OC，OB的长，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边的中线的性质即可求出OE的长．7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可．【解析】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝8，∵x1＝3x2，解得x1＝6，x2＝2，∴m＝x1x2＝6×2＝12．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．8．（3分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sinθ＝（）A．B．C．4 D．【分析】根据题意和题目中的数据，可以求出斜边各边的长，然后即可计算出sinθ的值．【解析】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，由题意可得：c2＝25，b﹣a＝＝1，a2+b2＝c2，解得a＝3，b＝4，c＝5，∴sinθ＝＝，故选：A．【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出各边的长．9．（3分）如图4，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（m，0），且1＜m＜2，有下列结论：①b＜0；②a+b＞0；③0＜a＜﹣c；④若点C（﹣，y1），D（，y2）在抛物线上，则y1＞y2．其中，正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，再根据二次函数的性质和图象分别判断即可得出答案．【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，故①正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∵抛物线经过点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a，∵当x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，∴4a+2b+b﹣a＞0，∴3a+3b＞0，∴a+b＞0，故②正确；∵a﹣b+c＝0，∴a+c＝b，∵b＜0，∴a+c＜0，∴0＜a＜﹣c，故③正确；∵点C（﹣，y1）到对称轴的距离比点D（，y2）到对称轴的距离近，∴y1＜y2，故④的结论错误．故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△P AB面积的最大值是（）A．8 B．6 C．4 D．3【分析】判断三角形PCD和三角形OAB都是等腰直角三角形，由题得，当P、O、Q共线时，S △ABP最大，求出AB、PQ，根据面积公式计算即可．【解析】解：作OQ⊥AB，连接OP、OD、OC，∵CD＝，OC＝OD＝1，∴OC2+OD2＝CD2，∴△OCD为等腰直角三角形，由y＝﹣x﹣2得，点A（﹣2，0）、B（0，﹣2），∴OA＝OB＝2，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝2，OQ＝，由题得，当P、O、Q共线时，S最大，△ABP∵P为中点，∴OP＝，∴PQ＝OP+OQ＝，＝AB•PQ＝3．∴S△ABP故选：D．【点评】本题考查了圆的相关知识点的应用，点圆最值的计算是解题关键．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）不等式x﹣1＞0的解集是x＞1．【分析】根据不等式的基本性质，左右两边同时加上1，就可求出x的取值范围．【解析】解：解不等式x﹣1＞0得，x＞1．【点评】解答此题的关键是要熟知不等式两边同时加上一个数，不等号的方向不变．12．（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为160．【分析】根据众数的定义求解即可．【解析】解：由题意知，这组数据中160出现3次，次数最多，所以这组数据的众数为160，故答案为：160．【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．13．（3分）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为20°．【分析】根据邻补角定义求得∠BOC的度数，再根据角平分线定义即可求得答案．【解析】解：∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOD＝∠BOC＝20°，故答案为：20°．【点评】本题主要考查角平分线的定义，此为几何中基础且重要知识点，必须熟练掌握．14．（3分）若m、n满足3m﹣n﹣4＝0，则8m÷2n＝16．【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．【解析】解：∵3m﹣n﹣4＝0，∴3m﹣n＝4，∴8m÷2n＝23m÷2n＝23m﹣n＝24＝16．故答案为：16．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝．【分析】通过证明△AEF∽△CDF，可得＝，即可求解．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵，∴设AE＝2a，则BE＝3a，∴AB＝CD＝5a，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．16．（3分）定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．（1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝﹣7；（2）若双曲线y＝（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围3＜k＜4．【分析】（1）根据题意得出，消去t得到m2+4m﹣21＝0，解方程即可求得m＝﹣7；（2）根据题意得出，①﹣②得（x+）（x﹣）＝﹣4（x﹣），整理得（x﹣）（x++4）＝0，由x≠y，得出x++4＝0，理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，由﹣3＜x＜﹣1，得出3＜k＜4．【解析】解：（1）∵P（3，m）是“和谐点”，∴，消去t得到m2+4m﹣21＝0，解得m＝﹣7或3，∵x≠y，∴m＝﹣7；故答案为：﹣7；（2）∵双曲线y＝（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，∴，①﹣②得（x+）（x﹣）＝﹣4（x﹣），∴（x﹣）（x++4）＝0，∵x≠y，∴x++4＝0，整理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∵﹣3＜x＜﹣1，∴3＜k＜4．故答案为：3＜k＜4．【点评】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，本题综合性强，有一定难度．三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（9分）计算：|﹣2|+20230﹣．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．【解析】解：原式＝2+1﹣2＝1．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．18．（9分）解二元一次方程组：．【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答．【解析】解：，①×2得：2x﹣2y＝2③，②+③得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入①中得：2﹣y＝1，解得：y＝1，∴原方程组的解为：．【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．19．（9分）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．【分析】由平行线的性质可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，利用AAS即可判定△AOC≌△BOD，从而得AC＝BD．【解析】证明：∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴AC＝BD．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连结EF．（1）求证：四边形ECFD是矩形；（2）若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离．【分析】（1）先证四边形ECFD为平行四边形，即可求解；（2）由勾股定理可求EF的长，由面积法可求解．【解析】（1）证明：∵FD∥CA，BC∥DE，∴四边形ECFD为平行四边形，又∵∠C＝90°，∴四边形ECFD为矩形；（2）解：过点C作CH⊥EF于H，在Rt△ECF中，CF＝2，CE＝4，∴EF＝＝＝2，∵S＝×CF•CE＝×EF•CH，△ECF∴CH＝＝，∴点C到EF的距离为．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，面积法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．21．（10分）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？【分析】设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1+20%）x棵，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解析】解：设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1+20%）x棵，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝500，经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意．答：原计划每天种植梨树500棵．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．（10分）为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与．经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”，班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示．家务类型洗衣拖地煮饭刷碗人数（人）10 12 10 m根据上面图表信息，回答下列问题：（1）m＝8；（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为108°；（3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．【分析】（1）先根据煮饭人数及其所占百分比求出总人数，继而可得m的值；（2）用360°乘以“拖地”所占比例即可；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解析】解：（1）因为被调查的总人数为10÷25%＝40（人），所以m＝40﹣（10+12+10）＝8，故答案为：8；（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为360°×＝108°，故答案为：108°；（3）列表如下：男1 男2 女1 女2男1 （男1，男2）（男1，女1）（男1，女2）男2 （男2，男1）（男2，女1）（男2，女2）女1 （女1，男1）（女1，男2）（女1，女2）女2 （女2，男1）（女2，男2）（女2，女1）由表知，共有12种等可能结果，其中所选同学中有男生的有10种结果，所以所选同学中有男生的概率为＝．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图以及求随机事件的概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求m的值和一次函数的表达式；（2）已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP ＝2S△OAC，求点P的坐标．【分析】（1）把A（m，4）代入反比例函数解析式求得m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，由S△OBP ＝2S△OAC得到，即，解得PD＝2，即可求得点P的纵坐标为2或﹣2，进一步求得点P的坐标．【解析】解：（1）∵点A（m，4）在反比例函数的图象上，∴，∴m＝1，∴A（1，4），又∵点A（1，4）、C（0，3）都在一次函数y＝kx+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+3；（2）对于y＝x+3，当y＝0时，x＝﹣3，∴OB＝3，∵C（0，3），∴OC＝3，过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，∵S△OBP ＝2S△OAC，∴，即，解得PD＝2，∴点P的纵坐标为2或﹣2，将y＝2或﹣2代入得x＝2或﹣2，∴点P（2，2）或（﹣2，﹣2）．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．24．（10分）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE．（1）求证：直线AE是⊙O是的切线；（2）若sin E＝，⊙O的半径为3，求AD的长．【分析】（1）先由∠ACB＝90°，证明AB是⊙O的直径，再证明∠CAE＝∠B，则∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，即可证明直线AE是⊙O是的切线；（2）由∠E＝∠CAE＝∠B，得＝sin B＝sin E＝＝，则CE＝CA＝AB＝×6＝4，CF＝CE ＝×4＝，所以AF＝BF＝＝，则AD＝AE＝2AF＝．【解析】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∵AD＝AE，∴∠E＝∠D，∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠B，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE，∴∠CAE＝∠B，∴∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，∴直线AE是⊙O是的切线．（2）解：作CF⊥AE于点F，则∠CFE＝90°，∵∠E＝∠CAE＝∠B，∴＝sin B＝sin E＝＝，∵OA＝OB＝3，∴AB＝6，∴CE＝CA＝AB＝×6＝4，∴CF＝CE＝×4＝，∴AF＝BF＝＝＝，∴AD＝AE＝2AF＝2×＝，∴AD的长是．【点评】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．25．（12分）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．①请在图中作出点O；②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为cm；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．【分析】【问题解决】（1）由旋转的性质即可知答案为旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）①作线段BB'，AA'的垂直平分线，两垂直平分线交于O，点O为所求；②由∠BOB'＝90°，OB＝OB'，可得OB＝＝3，再用弧长公式可得答案；【问题拓展】连接P A'，交AC于M，连接P A，PD，AA'，PB'，PC，求出A'D＝＝＝，DM＝A'D＝，可得S△A'DP＝××4＝；S扇形P A'B'＝＝，证明△PB′D≌△PCD（SSS）可知阴影部分关于PD对称，故重叠部分面积为2（﹣）＝（cm2）．【解析】解：【问题解决】（1）根据题意，AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′的理由是：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）①如图：作线段BB'，AA'的垂直平分线，两垂直平分线交于O，点O为所求；②∵∠BOB'＝90°，OB＝OB'，∴△BOB'是等腰直角三角形，∵BB'＝6，∴OB＝＝3，∵＝（cm），∴点B经过的路径长为cm，故答案为：cm；【问题拓展】连接P A'，交AC于M，连接P A，PD，AA'，PB'，PC，如图：∵点P为中点，∴∠P AB＝，由旋转得∠P A'B'＝30°，P A＝P A′＝4，在Rt△P AM中，PM＝P A•sin∠P AM＝4×sin30°＝2，∴A'M＝P A'﹣PM＝4﹣2＝2，在Rt△A′DM中，A'D＝＝＝，DM＝A'D＝，∴S△A'DP＝××4＝；S扇形P A'B'＝＝，下面证明阴影部分关于PD对称：∵∠P AC＝∠P A'B'＝30°，∠ADN＝∠A'DM，∴∠AND＝∠A'MD＝90°，∴∠PNA'＝90°，∴PN＝P A'＝2，∴AN＝P A﹣PN＝2，∴AN＝A′M，∴△AND≌△A'MD（AAS），∴AD＝A′D，∴CD＝B'D，∵PD＝PD，PB'＝PC，∴△PB′D≌△PCD（SSS），∴阴影部分面积被PD等分，∴S阴影＝2（S△A'DP﹣S扇形P A'B'）＝2（﹣）＝（cm2）．∴两个纸板重叠部分的面积是cm2．【点评】本题考查圆的综合应用，涉及扇形的旋转问题，三角形全等的判定与旋转，三角形，扇形的面积等，证明阴影部分关于AD对称是解题的关键．26．（13分）已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线C1：y＝﹣x2+bx（b为常数）上的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2．（1）求b的值；（2）将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣m）2+1（m＞0）．当0≤x≤2时，探究下列问题：①若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围；②设抛物线C2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线C2的顶点为点E，△ABC外接圆的圆心为点F．如果对抛物线C1上的任意一点P，在抛物线C2上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围．【分析】（1）根据当x1+x2＝0时，总有y1＝y2，构建方程，求解即可；（2）①求出抛物线经过（0，0）或（2，﹣1）时的m的值，可得结论；②判断出抛物线经过（1，0）或（2，0）时m的值，求出m的取值范围，再根据FH2+HB2＝FG2+GC2，设FH＝t，构建关系式，求出即，可得结论．【解析】解：（1）由题可知：y1＝﹣+bx1，y2＝﹣+bx2，∵当x1+x2＝0 时，总有y1＝y2，∴﹣+bx1＝﹣+bx2，整理得：（x1﹣x2）（x1+x2﹣4b）＝0，∵x1≠x2，∴x1﹣x2≠0，∴x1+x2﹣4b＝0，∴b＝0；（2）①注意到抛物线C2最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移．下面考虑满足题意的两种临界情形：（i）当抛物线C2过点（0，0）时，如图1所示，此时，x＝0，，解得m＝2或﹣2（舍）．（i）当抛物线C2过点（2，﹣1）时，如图2所示，此时，x＝2，解得或（舍）．综上所述，2≤m≤2+2；②同①考虑满足题意的两种临界情形：（i）当抛物线C2过点（0，﹣1）时，如图3所示，此时，x＝0，，解得或（舍）．（ii）当抛物线C2过点（2，0）时，如图4所示，此时，x＝2，，解得m＝4 或0（舍）．综上所述，．如图5，由圆的性质可知，点E、F在线段AB的垂直平分线上，，解得x A＝m﹣2，x B＝m+2，∴HB＝m+2﹣m＝2，∵FB＝FC．∴FH2+HB2＝FG2+GC2，设FH＝t，∴t2+22＝（﹣1﹣t）2+m2，∴（﹣1）2﹣2（﹣1）t+m2﹣4＝0，∴（﹣1）（﹣2t+3）＝0，∵m≥2，∴﹣1≠0，∴，即，∵∴，即＜FH≤，∵EF＝FH+1，∴．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．。
中考数学最值专题10 二次函数背景下的面积比例问题 (学生版)
专题010 二次函数背景下的面积比例问题【典型例题】如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2））点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【模型解读】除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化． 策略一：运用比例计算类策略二：转化面积比如图，B 、D 、C 三点共线，考虑△ABD 和△ACD 面积之比．转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则::ABDACDSSBD CD =．更一般地，对于共边的两三角形△ABD 和△ACD ，连接BC ，与AD 交于点E ，则:::ABDACDSSBM CN BE CE ==．策略三：进阶版转化 在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A ”字型线段比、“8”字型线段比． “A ”字型线段比：:::ABDACDSSBD CD BA AM ==．CBAHABCM N EDCBA“8”字型线段比：:::ABDACDSSBD CD AB CM ==．转化为垂线：共底，面积之比化为高之比：:::ABDACDSSBD CD BM CN ==．面积能算那就算，算不出来就转换； 底边不行就作高，还有垂线和平行．MDCBAMDCBAMNABCD。
人教版九年级数学上册期末备考训练：二次函数压轴(含答案)
期末备考训练：二次函数压轴1．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．2．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）（1）求抛物线的解析式（2）点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点①当点N在何处时，△CAN的周长最小？②若点M（m，0）是x轴上一个动点，且∠MNC＝90°，求m的取值范围．3．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设D为抛物线的顶点，连接DA、DB，试判断△ABD的形状，并说明理由；（3）设P为对称轴上一动点，要使PC﹣PB的值最大，求出P点的坐标．4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，对称轴为直线x＝1，且OB＝OC，（1）求抛物线的表达式；（2）D是直线BC上方抛物线上一点，DE⊥BC于E，若CE＝3DE，求点D的坐标；（3）将抛物线向左平移，使顶点P落在y轴上，直线l与抛物线相交于M、N两点（点M，N都不与点P重合），若以MN为直径的圆恰好经过O，P两点，求直线l的表达式．5．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y 轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q．（1）求A，C两点的坐标．（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值．（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是．（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d （O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）7．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c 经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣2，3），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c经过点A，与x轴正半轴交于点C．（1）求c的值；（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围；（3）连结BC，设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果B、C、E、F构成平行四边形，请求出点E的坐标．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点P为线段BC上的一个动点（不与点B、点C重合），过点P作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点M，当△BCM面积最大时，求△BPN的周长．（3）在（2）的条件下，当△BCM面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△CNQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2﹣9（其中a＞0）上，AB∥x轴，点P是抛物线的顶点，tan∠PBA＝2，∠BAC＝45°（1）填空：抛物线的顶点P的坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为10，当2m﹣3≤x≤2m+5时，y的最小值为5，求m的值．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A （0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积最大时，求点P的坐标，并求△P AB面积的最大值．13．如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C，将图象l沿坐标轴翻折得到新的图象，与图象l开口方向相同的新的图象l1交x轴于点A1（在x轴的正半轴上）（1）求出b的值，并写出点A1的坐标以及新的图象所对应的函数解析式；（2）若P为y轴上的一个动点，E为直线A1C上的一个动点，请找出点P，使得PB+PE 最小，并求出最小值；（3）在y轴的正半轴上有一点M，使得∠MA1O＝k∠OCB，直线A1M交图象l1于点D （点D在第二象限）．①若k＝2，试求点D的坐标；②若k＝3，请直接写出OM的长．14．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．15．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D是直线BC上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD、CD，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为s．试求出s与m的函数关系式，并求出s的最大值；（3）如图2，设AB的中点为E，作DF⊥BC，垂足为F，连接CD、CE，是否存在点D，使得以C、D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．16．已知，如图在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与抛物线y＝﹣x2﹣x交于点A，抛物线与x轴的一个交点为B，以A为圆心，AB的长为半径的圆与y轴的正半轴交于点C，过点B作BD⊥x轴交圆于点D，连接CD交直线y＝﹣x于点E．（1）请直接写出点A、B、C、D的坐标；（2）在抛物线上是否存在一点P，使得△AEP的面积等于△ACE的面积；若存在求出点P坐标；（3）若点M是直线y＝﹣x上一个动点，点N抛物线上一个动点，若以点B、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，求此时抛物线上点N的坐标．参考答案1．解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，将点A坐标代入上式并解得：k＝1，故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），PD＝HP sin∠PFD＝（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣x2+2x，∵＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为2，此时点P（2，﹣6）．2．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C′（2，﹣3），连接AC′交DE于点N，则此时△CAN的周长最小，将点A、C′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AC′的表达式为：y＝﹣x﹣1，当x＝1时，y＝﹣2，故点N（1，﹣2）；②如图2，过点C作CG⊥ED于点G，设NG＝n，则NE＝3﹣n，∵∠CNG+∠GCN＝90°，∠CNG+∠MNE＝90°，∴∠NCG＝∠MNE，则tan∠NCG＝n＝tan∠MNE＝，故ME＝﹣n2+3n，∴﹣1＜0，故ME有最大值，当n＝时，ME＝，则m的最小值为：﹣；如下图所示，当点N与点D处时，m取得最大值，同理可得：m＝5；故：﹣≤m≤5．3．解：（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．由韦达定理，1+3＝﹣b，1×3＝c，∴b＝﹣4，c＝3，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴D（2，﹣1），∴AD2+BD2＝（2﹣1）2+（﹣1）2+（2﹣3）2+（﹣1）2＝4，∵AB2＝22＝4，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ADB是直角三角形，由对称性有AD＝BD，∴△ADB是等腰直角三角形；（3）连接CA，延长CA与直线x＝2交于点P，连接BP，如图2，∵A、B两点关于直线x＝2对称，∴PB＝P A，∴PC﹣PB＝PC﹣P A＝AC其值最大（∵另取一点P′，有P′C﹣P′B＝P′C﹣P′A＜AC），A令x＝0，得y＝x2﹣4x+3＝3，∴C（0，3），∵A（1，0），∴易求直线AC的解析式为：y＝﹣3x+3，当x＝2时，y＝﹣3x+3＝﹣3，∴P（2，﹣3）．4．解：（1）x＝﹣，则b＝2，设点C（0，c），则点B（c，0），将点B的坐标代入二次函数表达式并解得：c＝3，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，函数的顶点为（1，4）；（2）过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，过点C作x轴的平行线交DH于点R，将点C、B的坐标代入一次函数表达式得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（m，﹣m2+2m+3），则点H（m，3﹣m），∵OB＝OB＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴CR＝CH＝m，DH＝﹣m2+2m+3﹣3+m＝﹣m2+3m，3DE＝3×DH，CE＝CH﹣EH＝m﹣DH，∵CE＝3DE，即RH＝2DH，则m＝2（﹣m2+3m），解得：m＝，则点D（，）；（3）平移前函数的顶点为（1，4），则平移后函数的表达式为：y＝﹣x2+4，如图所示，以MN为直径的圆恰好经过O，P两点，则∠MON＝∠MPN＝90°，在点O处，过点M、N分别作x轴的垂线交于点G、H，∵∠GOM+∠NOH＝90°，∠NOH+∠ONH＝90°，∴∠MOG＝∠ONH＝α，设点M、N的坐标分别为（m，4﹣m2）、（n，4﹣n2），（m＜n，m＜0），则tan∠MOG＝tan∠ONH＝α，即：…①，在点P处，同理可得：…②，联立①②并整理得：m2+n2＝4，mn＝﹣1，解得：m＝±，n＝，将点M、N的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：k＝，b＝3，故直线l的表达式：y＝x+3．5．解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线解析式得，，解得：c＝4，令y＝0，则，解得x1＝3，x2＝﹣4，∴A（﹣4，0），C（0，4）；（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AC的解析式y＝x+4，点P的横坐标为a，P（a，），则点Q（a，a+4），∴PQ＝＝，∵，∴a＝﹣2时，PQ有最大值；（3）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（3，0）、（0，4），则BC＝5，AB＝7，AC＝4，∠OAC＝∠OCA＝45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设BC的中点为H，由中点坐标公式可得H（），∴过BC的中点H且与直线BC垂直直线的表达式为：y＝，①当BC＝BQ时，如图1，∴BC＝BQ＝5，设：QM＝AM＝n，则BM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q1（﹣1，3）；②当BC＝CQ时，如图1，∴CQ＝5，则AQ＝AC﹣CQ＝4，∴，∴，③当CQ＝BQ时，联立直线AC解析式y＝x+4和y＝，解得x＝﹣（不合题意，舍去），综合以上可得点Q的坐标为：Q（﹣1，3）或（）．6．解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3，∵0≤x≤2，∴x+y＝3，∴，解得：，∴B（1，2），故答案为：3，（1，2）；（2）假设函数的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，根据题意，得，∵x＞0，∴，，∴，∴x2+4＝3x，∴x2﹣3x+4＝0，∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）设D（x，y），根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|，∵，又x≥0，∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G．∵∠EFH＝45°，∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，同理d（O，P）＝OG，∵OG≥OF，∴d（O，P）≥d（O，E），∴上述方案修建的道路最短．7．解：（1）将点B坐标代入y＝x+c并解得：c＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，将点B坐标代入上式并解得：b＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3），S 四边形ACPB ＝S △AOC +S △PCB ，∵S △AOC 是常数，故四边形面积最大，只需要S △PCB 最大即可，S △PCB ＝×OB ×PH ＝×2（x ﹣3﹣x 2+x +3）＝﹣x 2+3x ，∵﹣＜0，∴S △PCB 有最大值，此时，点P （2，﹣）；（3）过点B 作∠ABC 的角平分线交y 轴于点G ，设∠MBC ＝∠ABC ＝2α，过点B 分别在x 轴之上和BC 之下作角度数为α的两个角，分别交y 轴于点N 交抛物线于点M ′，交抛物线于点M ，过点G 作GK ⊥BC 交BC 于点K ，延长GK 交BM 于点H ，则GH ＝GN ，BC 是GH 的中垂线，OB ＝4，OC ＝3，则BC ＝5，设：OG ＝GK ＝m ，则CK ＝CB ﹣HB ＝5﹣4＝1，由勾股定理得：（3﹣m ）2＝m 2+1，解得：m ＝，则OG ＝ON ＝，GH ＝GN ＝2OG ＝，点G （0，﹣），在Rt △GCK 中，GK ＝OG ＝，GC ＝OC ﹣OG ＝3﹣＝，则cos ∠CGK ＝＝，sin ∠CGK ＝，则点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣），则直线BH的表达式为：y＝x﹣…②，同理直线BN的表达式为：y＝﹣x+…③联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0，解得：x＝1或4（舍去4），则点M（1，﹣）；联立①③并解得：x＝﹣，故点M′（﹣，）；故点M（1，﹣）或（﹣，）．8．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；∵﹣1＜0，故S△POD（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC于点H，S＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，△ABC则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝，故点Q1（，﹣2），Q2（﹣，2），②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则点Q（n，3n），则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q3（，），Q4（，）；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，﹣2）或（，）或（﹣，2）或（，）．9．解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：﹣4+4+c＝3，解得：c＝3；（2）则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，抛物线的对称轴是：x＝﹣1，点A（﹣2，3），则直线AO的函数表达式为：y＝﹣x，当x＝﹣1时，y＝，∵平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），∴4﹣3＜m＜4﹣，即1＜m＜；（3）设点F（m，n），n＝﹣m2﹣2m+3，点E（s，0），①当BC是平行四边形的一条边时，则点B向右平移一个单位、向下平移3个单位得到C，同样：点F（E）向右平移一个单位、向下平移3个单位得到E（F），故：m+1＝s，n﹣3＝0，或m﹣1＝s，n﹣3＝0；解得：m＝0或﹣2（舍去0）或m＝﹣1，故点E的坐标为（﹣1，0）或（﹣2+，0）或（﹣﹣2，0）；②当BC是平行四边形的对角线时，则由中点的性质得：1＝m+s，3＝n，解得：m＝0或﹣2（舍去0），故点E（3，0）；综上，点E的坐标为：（﹣1，0）或（﹣2+，0）、（﹣﹣2，0）或（3，0）．10．解：（1）由题意可得：，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．设P（x，﹣x+3），则M（x，﹣x2+2x+3），∴PM＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x．∴S△BCM ＝S△PMC+S△PMB＝（x B﹣x C）＝，∴S△BCM＝＝，∴当x＝时，△BCM的面积最大．此时P（），∴PN＝ON＝，∴BN＝OB﹣ON＝3﹣＝，在Rt△BPN中，由勾股定理得：PB＝，C△BCN＝BN+PN+PB＝3+，∴当△BCM的面积最大时，△BPN的周长为3+；（3）由（2）知P点坐标为（），∴，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为x＝1，设Q（1，a），∵C（0，3），N（），∴CQ2＝12+（3﹣a）2，，，若△CNQ为等腰三角形，可分三种情况：当CQ＝QN时，1+，解得：a＝，∴点Q的坐标为（1，），当CQ＝CN时，1+，解得：a＝3，∴点Q的坐标为（1，3﹣），（1，3+），当QN＝CN时，，解得：a＝，∴点Q的坐标为（1，），（1﹣），综合以上可得点Q的坐标为（1，）或（1，3﹣）或（1，3+）或（1，）或（1，﹣）．11．解：（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2﹣9＝a（x﹣m）2﹣9∴顶点P的坐标为（m，﹣9）故答案为：（m，﹣9）．（2）过点P作PD⊥AB于点D，过点C作CE⊥AB于点E∵AB∥x轴，且点A、B在抛物线上∴P A＝PB∴AD＝BD∵tan∠PBA＝＝2∴PD＝2BD＝AB设AD＝BD＝n（n＞0），则PD＝AB＝2n∴A（m﹣n，﹣9+2n）把A的坐标代入抛物线解析式得：a（m﹣n﹣m）2﹣9＝﹣9+2n整理得：n＝∴AB＝，A（m﹣，﹣9+）∵∠AE C＝90°，∠BAC＝45°∴AE＝CE设AE＝CE＝t（t＞0），则C（m﹣+t，﹣9++t）把C的坐标代入抛物线解析式得：a（m﹣+t﹣m）2﹣9＝﹣9++t整理得：t＝∴CE＝＝AB•CE＝∴S△ABC（3）∵S＝＝10，a＞0△ABC∴a＝1∴抛物线解析式为：y＝（x﹣m）2﹣9∴抛物线最小值y＝﹣9＜5∴当2m﹣3≤x≤2m+5时，不包含有对称轴x＝m①若2m+5＜m，即m＜﹣5时，x＝2m+5对应最小值y＝5∴（2m+5﹣m）2﹣9＝5解得：m1＝﹣5+（舍去），m2＝﹣5﹣②若2m﹣3＞m，即m＞3时，x＝2m﹣3对应最小值y＝5∴（2m﹣3﹣m）2﹣9＝5解得：m1＝3+，m2＝3﹣（舍去）综上所述，m的值为﹣5﹣或3+．12．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），∵CE∥y轴，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，解得：a＝2，a＝1（舍去），∴M（2，﹣1），②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，∴a2﹣3a＝2，解得：a＝，a＝（舍去），∴M（，），综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（）．（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S△P AB ＝S△PGA+S△PGB＝＝＝﹣，∴当m＝时，△P AB面积的最大值是，此时P点坐标为（）．13．解：（1）函数l的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故函数l的表达式为：y＝x2+2x﹣3，b＝2，点A、A1关于y轴对称，故点A1（3，0）；（2）点B′是点B关于y轴的对称点，过点B′作B′E⊥A1C交于点E，B′E交y轴于点P，则此时，PB+PE最小，最小值为B′E，∵OA1＝OC＝3，故直线A1C的表达式为：y＝x﹣3…①，B′E⊥A1C，则B′E的函数表达式为：y＝﹣x+s，将点B′坐标代入上式并解得：直线B′E的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x＝1，故点E（1，﹣2），则PB+PE的最小值B′E＝2；（3）将图象A、B、C区域放大为图2，连接OB′，则∠BCB′＝2OCB＝2α，在点B右侧作∠BCB″＝α，交x轴于点B″，则∠B′CB″＝3α，则tan∠OCB＝＝＝tanα，B′C＝BC＝，设∠CB′B＝β，则tanβ＝3，则sinβ＝当k＝2时，即∠MA1O＝2∠OCB＝2α，故点B作BH⊥CB′，BH＝B′B sinβ＝2×＝，tan∠HCB＝tan2α＝＝，当k＝3时，同理tan∠MA1O＝tan3α＝；①当k＝2时，tan∠MA1O＝tan2α＝，则直线A1M的表达式为：y＝﹣x+b，将点A1（3，0）的坐标代入上式并解得：直线A1M的表达式为：y＝﹣x+，将A1M表达式与l的表达式联立并解得：x＝﹣（正值也舍去），故点D（﹣，），②k＝3时，tan∠MA1O＝tan3α＝；则OM＝OA1tan∠MA1O＝×3＝．14．解：（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO＝＝3，∴OB＝3OA＝3∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1．∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为，解得，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴对称轴为l＝﹣＝﹣1，∴E点坐标为（﹣1，0），如图，①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，△EFC∽△EMP，∴＝＝＝∴MP＝3ME，∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3），∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得t1＝﹣2，t2＝3，（与P在二象限，横坐标小于0矛盾，舍去），当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3∴P（﹣2，3），∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．15．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3（2）过点D作DM∥y轴，交BC于点M∵当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3∴C（0，3）∴直线BC解析式为y＝﹣x+3∵点D的横坐标为m（0＜m＜3）∴D（m，﹣m2+2m+3），M（m，﹣m+3）∴DM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m∴s＝OB•DM＝（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+∴s与m的函数关系式为s＝﹣m2+m，s的最大值为．（3）存在点D，使得以C、D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似如图2，连接BD∵点E为AB中点，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）∴E（1，0），OE＝1，OC＝3，CD2＝m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2∴CE＝∴sin∠OCE＝，cos∠OCE＝∵BC＝，DF⊥BC∴s＝BC•DF＝﹣m2+m∴DF＝∵以C、D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似，∠CFD＝∠COE＝90°∴△CFD∽△COE或△CFD∽△EOC①若△CFD∽△COE，则∠FCD＝∠OCE∴sin∠FCD＝∴10DF2＝CD2∴10（）2＝m2+（﹣m2+2m）2解得：m1＝4（舍去），m2＝∴﹣m2+2m+3＝﹣+5+3＝∴D（，）②若△CFD∽△EOC，则∠FDC＝∠OCE∴cos∠FDC＝∴10DF2＝9CD2∴10（）2＝9[m2+（﹣m2+2m）2]解得：m1＝0（舍去），m2＝∴﹣m2+2m+3＝﹣+3+3＝∴D（，）∴点D的坐标为（，）或（，）．16．解：（1）∵直线y＝﹣x与抛物线y＝﹣x2﹣x交于点A，∴﹣x＝﹣x2﹣x，∴x1＝0，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，1），令﹣x2﹣x＝0，解得x1＝﹣3，x2＝0，∴B（﹣3，0），AB＝＝，设点C的坐标为（0，c），∴AC＝＝，解得c＝3，∴C（0，3），设点D的坐标为（﹣3，n），∴AD＝＝，解得n＝2，∴D（﹣3，2）．∴A（﹣1，1）、B（﹣3，0）、C（0，3）、D（﹣3，2）．（2）过点C作OA的平行线，则解析式为y＝﹣x+3，将y＝﹣x+3向下平移6个单位后与抛物线的交点就是所求的点P，令﹣x﹣3＝﹣x2﹣x，解得，，∴点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣3，0）．（3）①当BC为对角线时，点O即为点N，∴N1（0，0）．②当BC为边时，过N作y轴的平行线交直线OA于点Q，∵OA⊥BC，BC∥MN，∴∠QMN＝90°，又∵BC＝OB＝3，∴MN＝3，∵∠MQN＝45°，∴NQ＝MN＝6，设N（a，﹣a2﹣a），则点Q（a，﹣a），∴﹣a﹣（﹣a2﹣a）＝6，解得a1＝3，a2＝﹣4，∴N2（3，﹣9），N3（﹣4，﹣2）．综上所述，点N的坐标为（0，0）、（3，﹣9）、（﹣4，﹣2）．。
2023年四川省宜宾市中考数学真题(含解析)
2023年四川省宜宾市中考数学试卷附解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．1．（4分）2的相反数是（）A．﹣2B．C．2D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．4a﹣2a＝2B．2ab+3ba＝5abC．a+a2＝a3D．5x2y﹣3xy2＝2xy3．（4分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（4分）为积极践行节能减排的发展理念，宜宾大力推进“电动宜宾”工程，2022年城区已建成充电基础设施接口超过8500个．将8500用科学记数法表示为（）A．0.85×104B．85×102C．8.5×103D．8.5×104 5．（4分）如图，AB∥CD，且∠A＝40°，∠D＝24°，则∠E等于（）A．40°B．32°C．24°D．16°6．（4分）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是（）A．B．C．D．7．（4分）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB 等于（）A．140°B．120°C．110°D．70°8．（4分）分式方程＝的解为（）A．2B．3C．4D．59．（4分）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（）A．11﹣2B．11﹣4C．8﹣2D．8﹣410．（4分）如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（）A．3（﹣1）B．3（3﹣2）C．6（﹣1）D．6（3﹣2）11．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（）A．B．C．D．12．（4分）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A 为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB＝，AD＝1．以下结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC＝；④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.13．（4分）在“庆五四•展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是．14．（4分）分解因式：x3﹣6x2+9x＝．15．（4分）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根的倒数和为1，则m的值为．16．（4分）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则整数a的值为．17．（4分）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP 以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB＝4，MP＝1，则MQ的最小值为．18．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），且抛物线与y轴的交点B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论：①当﹣3≤x≤1时，y≤0；②当△ABM的面积为时，a＝；③当△ABM为直角三角形时，在△AOB内存在唯一一点P，使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方为18+9．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（10分）（1）计算：2tan45°+（﹣）0+|﹣1|．（2）化简：（﹣）÷．20．（10分）已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：∠B＝∠E．21．（10分）某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随机调查了九年级1班的所有学生在家劳动时间（单位：小时），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图．根据图表信息回答以下问题：类别劳动时间xA0≤x＜1B1≤x＜2C2≤x＜3D3≤x＜4E4≤x（1）九年级1班的学生共有人，补全条形统计图；（2）若九年级学生共有800人，请估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数；（3）已知E类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．22．（10分）渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图1），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD，如图2．在桥面上点A处，测得A到左桥墩D的距离AD＝200米，左桥墩所在塔顶B的仰角∠BAD＝45°，左桥墩底C的俯角∠CAD＝15°，求CD的长度．（结果精确到1米．参考数据：≈1.4，≈1.73）23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C（3，0），顶点A、B（6，m）恰好落在反比例函数y＝第一象限的图象上．（1）分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；（2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．24．（12分）如图，以AB为直径的⊙O上有两点E、F，＝，过点E作直线CD⊥AF 交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过C作CM平分∠ACD交AE于点M，交BE于点N．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：EM＝EN；（3）如果N是CM的中点，且AB＝9，求EN的长．25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（2，0），且经过点C （﹣2，6）．（1）求抛物线的表达式；（2）在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q′，求△APQ′的面积；（3）点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．2023年四川省宜宾市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．1．（4分）2的相反数是（）A．﹣2B．C．2D．【答案】A【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：2的相反数是﹣2，故选：A．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（4分）下列计算正确的是（）A．4a﹣2a＝2B．2ab+3ba＝5abC．a+a2＝a3D．5x2y﹣3xy2＝2xy【答案】B【分析】根据合并同类项的运算法则将各项计算后进行判断即可．【解答】解：A．4a﹣2a＝（4﹣2）a＝2a，则A不符合题意；B．2ab+3ba＝（2+3）ab＝5ab，则B符合题意；C．a与a2不是同类项，无法合并，则C不符合题意；D．5x2y与3xy2不是同类项，无法合并，则D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查合并同类项，其运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．3．（4分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．【解答】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．4．（4分）为积极践行节能减排的发展理念，宜宾大力推进“电动宜宾”工程，2022年城区已建成充电基础设施接口超过8500个．将8500用科学记数法表示为（）A．0.85×104B．85×102C．8.5×103D．8.5×104【答案】C【分析】将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．【解答】解：8500＝8.5×103，故选：C．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．5．（4分）如图，AB∥CD，且∠A＝40°，∠D＝24°，则∠E等于（）A．40°B．32°C．24°D．16°【答案】D【分析】由AB∥CD，得∠ACD＝∠A＝40°，而∠D＝24°，故∠E＝16°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠A＝40°，∵∠ACD＝∠D+∠E，∠D＝24°，∴40°＝24°+∠E，∴∠E＝16°，故选：D．【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线性质和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．6．（4分）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据鸡有两条腿，兔子有四条腿，共有35个头，94条腿，列出二元一次方程组即可．【解答】解：由题意得：，故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7．（4分）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB 等于（）A．140°B．120°C．110°D．70°【答案】A【分析】连接OC，由∠BAC＝35°，得∠BOC＝2∠BAC＝70°，又C为的中点．故∠AOC＝∠BOC＝70°，即知∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°．【解答】解：连接OC，如图：∵∠BAC＝35°，∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，∵C为的中点．∴＝，∴∠AOC＝∠BOC＝70°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，故选：A．【点评】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系．8．（4分）分式方程＝的解为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】先去分母化为整式方程，解出x的值，再检验即可．【解答】解：两边同时乘以（x﹣3）得：x﹣2＝2，解得x＝4，把x＝4代入最简公分母得：x﹣3＝4﹣3＝1≠0，∴x＝4是原方程的解，故选：C．【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握将分式方程化为整式方程的方法，注意要检验．9．（4分）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（）A．11﹣2B．11﹣4C．8﹣2D．8﹣4【答案】B【分析】连接ON，根据是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，知ON⊥AB，M，N，O共线，由OA＝4，∠AOB＝60°，知△AOB是等边三角形，得ON＝OA•sin60°＝2，即得MN＝OM﹣ON＝4﹣2，故l＝AB+＝4+＝11﹣4．【解答】解：连接ON，如图：∵是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，∴ON⊥AB，∴M，N，O共线，∵OA＝4，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°，∴ON＝OA•sin60°＝2，∴MN＝OM﹣ON＝4﹣2，∴l＝AB+＝4+＝11﹣4；故选：B．【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求ON的长度．10．（4分）如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（）A．3（﹣1）B．3（3﹣2）C．6（﹣1）D．6（3﹣2）【答案】C【分析】以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，由正方形ABCD边长为6，可知A（0，6），D（6，6），C（6，0），直线BD解析式为y＝x，设M（m，m），可得直线AM解析式为y＝x+6，即得P（6，），由PM＝PC，有（m﹣6）2+（m ﹣）2＝（）2，解得m＝9+3（不符合题意，舍去）或m＝9﹣3，故M（9﹣3，9﹣3），从而求出AM＝6（﹣1）．【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：∵正方形ABCD边长为6，∴A（0，6），D（6，6），C（6，0），由B（0，0），D（6，6）可得直线BD解析式为y＝x，设M（m，m），由A（0，6），M（m，m）得直线AM解析式为y＝x+6，在y＝x+6中，令x＝6得y＝，∴P（6，），∵PM＝PC，∴（m﹣6）2+（m﹣）2＝（）2，∴m2﹣12m+36+m2﹣2（12m﹣36）+（）2＝（）2，整理得m2﹣18m+54＝0，解得m＝9+3（不符合题意，舍去）或m＝9﹣3，∴M（9﹣3，9﹣3），∴AM＝＝6（﹣1），故选：C．方法2：∵PM＝PC，∴∠PMC＝∠PCM，∴∠DPA＝∠PMC+∠PCM＝2∠PCM＝2∠PAD，∵∠DPA+∠PAD＝90°，∴∠APD＝60°，∠PAD＝30°，∴PD＝＝2，∠CPM＝120°，∴CP＝CD﹣PD＝6﹣2，在△PCM中，∠CPM＝120°，PM＝PC，∴CM＝CP＝6﹣6，由正方形对称性知AM＝CM＝6（﹣1），故选：C．【点评】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出M的坐标．11．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA ＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），由OP：BP＝1：4，BM＝CM，得A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），又△NKC∽△ATC，NC＝2AN，可得CK＝2TK，NK＝AT，即，得，故，根据△APN的面积为3，有，得2ab+bc＝9，将点M（5b，c），代入，整理得：2a＝7c，代入2ab+bc＝9得，从而．【解答】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，∴△NKC∽△ATC，∴＝＝，∵NC＝2AN，∴CK＝2TK，NK＝AT，∴，解得，∴，∴，，∴，∵△APN的面积为3，﹣S△AOP﹣S△NPQ＝3，∴S梯形OANQ∴，∴2ab+bc＝9，将点M（5b，c），代入得：，整理得：2a＝7c，将2a＝7c代入2ab+bc＝9得：7bc+bc＝9，∴，∴，故选：B．【点评】本题考查反比例函数的图象上点坐标的特征，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．12．（4分）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A 为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB＝，AD＝1．以下结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC＝；④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】证明△BAD≌△CAE可判断①，由三角形的外角的性质可判断②，证明∠DCM ∽∠ECA，有，即可判断③；以A为圆心，AD为半径画圆，当CE在⊙A 的下方与⊙A相切时，MB的值最小，可得四边形AEMD是正方形，在Rt△MBC中，，然后根据三角形的面积公式可判断④．【解答】解：∵△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，∴BA＝CA，DA＝EA，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，故①正确；设∠ABD＝∠ACE＝x，∠DBC＝45°﹣x，∴∠EMB＝∠DBC+∠BCM＝∠DBC+∠BCA+∠ACE＝45°﹣x+45°+x＝90°，∴BD⊥CE，故②正确；当点E在BA的延长线上时，如图：同理可得∠DMC＝90°，∴∠DMC＝∠EAC，∵∠DCM＝∠ECA，∴∠DCM∽△ECA∴，∵＝AC，AD＝1＝AE，∴，，∴，∴，故③正确；④以A为圆心，AD为半径画圆，如图：∵∠BMC＝90°，∴当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小，∴∠ADM＝∠DME＝∠AEM＝90°，∵AE＝AD，∴四边形AEMD是正方形，∴MD＝AE＝1，∵BD＝＝＝，∴CE＝BD＝，BM＝BD﹣MD＝﹣1，∴MC＝CE+ME＝+1，∵BC＝AB＝，∴MB＝＝＝+1，∴△MBC的面积为×（+1）×（﹣1）＝，故④正确，故选：D．【点评】本题考查等腰直角三角形的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，最短路径等知识，解题的关键是掌握旋转的性质．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.13．（4分）在“庆五四•展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是79．【答案】79．【分析】将已知数据按照从小到大排列，再找中间的数即可．【解答】解：将这组数据从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80，位置在中间的数是79，∴这组数据的中位数是79；故答案为：79．【点评】本题考查中位数，解题的关键是将已知数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后找中间的数．14．（4分）分解因式：x3﹣6x2+9x＝x（x﹣3）2．【答案】见试题解答内容【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：x3﹣6x2+9x，＝x（x2﹣6x+9），＝x（x﹣3）2．故答案为：x（x﹣3）2．【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．15．（4分）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根的倒数和为1，则m的值为2．【答案】2．【分析】设关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根为α，β，可得α+β＝2（m+1），αβ＝m+4，根据两根的倒数和为1，有＝1，即＝1，得m＝2，再检验可得答案．【解答】解：设关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根为α，β，∴α+β＝2（m+1），αβ＝m+4，∵两根的倒数和为1，∴+＝1，∴＝1，∴＝1，解得m＝2，经检验，m＝2是分式方程的解，当m＝2时，原方程为x2﹣6x+6＝0，Δ＝12＞0，∴m＝2符合题意，故答案为：2．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，注意最后需要检验原方程是否有实数根．16．（4分）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则整数a的值为2或﹣1．【答案】2或﹣1．【分析】求出a﹣1＜x≤5，根据所有整数解的和为14，列出关于a的不等式组，解得a 的范围，即可求得答案．【解答】解：，解不等式①得：x＞a﹣1，解不等式②得：x≤5，∴a﹣1＜x≤5，∵所有整数解的和为14，∴不等式组的整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，﹣1，∴1≤a﹣1＜2或﹣2≤a﹣1＜﹣1，∴2≤a＜3或﹣1≤a＜0，∵a为整数，∴a＝2或a＝﹣1，故答案为：2或﹣1．【点评】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是根据题意列出关于a的不等式组．17．（4分）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP 以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB＝4，MP＝1，则MQ的最小值为2﹣1．【答案】2﹣1．【分析】连接BM，将△BCM绕B逆时针旋转90°得△BEF，连接MF，QF，证明△BPM ≌△BBQF（SAS），得MP＝QF＝1，故Q的运动轨迹是以F为圆心，1为半径的弧，求出BM＝＝2，可得MF＝BM＝2，由MQ≥MF﹣QF，知MQ≥2﹣1，从而可得MQ的最小值为2﹣1．【解答】解：连接BM，将△BCM绕B逆时针旋转90°得△BEF，连接MF，QF，如图：∵∠CBE＝90°，∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠CBE＝180°，∴A，B，E共线，∵∠PBM＝∠PBQ﹣∠MBQ＝90°﹣∠MBQ＝∠FBQ，由旋转性质得PB＝QB，MB＝FB，∴△BPM≌△BBQF（SAS），∴MP＝QF＝1，∴Q的运动轨迹是以F为圆心，1为半径的弧，∵BC＝AB＝4，CM＝CD＝2，∴BM＝＝2，∵∠MBF＝90°，BM＝BF，∴MF＝BM＝2，∵MQ≥MF﹣QF，∴MQ≥2﹣1，故答案为：2﹣1．【点评】本题考查正方形中的旋转问题，解题的关键是掌握性质的性质，正确作出辅助线构造全等三角形解决问题．18．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），且抛物线与y轴的交点B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论：①当﹣3时，在△AOB内存在唯一一点P，使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方为18+9．其中正确的结论是①②．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②．【分析】①根据抛物线的对称性可得：抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），再结合抛物线的性质可判断结论①；②将（﹣3，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c，可得b＝2a，c＝﹣3a，得出y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，抛物线的顶点为M（﹣1，﹣4a），设抛物线对称轴交x轴于H，利＝S△AMH+S梯形BMHO﹣S△AOB，建立方程求解即可判断②；用S△ABM③根据△ABM为直角三角形，利用勾股定理求得a＝，将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A′，连接PP′，过点A′作A′T⊥x轴于点T，作A′Q⊥y轴于点Q，可得△BPP′和△ABA′是等边三角形，即AA′＝A′B＝AB＝，由于PA+PO+PB＝P′A′+PO+PP′，可得当点O，点P，点P′，点A′共线时，PA+PO+PB值最小，最小值为OA′，设A′（m，n），列方程组，求解即可求得m、n，再利用OA′2＝m2+n2，即可判断③．【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），∵抛物线的开口向上，∴当﹣3≤x≤1时，y≤0；故①正确．②将（﹣3，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c，得，解得：，∴y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，∴抛物线的顶点为M（﹣1，﹣4a），设抛物线对称轴交x轴于H，如图，则H（﹣1，0），∴AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，MH＝4a，OH＝1，∵B（0，﹣3a），∴OB＝3a，＝S△AMH+S梯形BMHO﹣S△AOB＝•AH•MH+•（MH+OB）•OH﹣OA•OB＝×∴S△ABM2×4a+×（4a+3a）×1﹣×3×3a＝3a，＝，∵S△ABM∴3a＝，∴a＝；故②正确．③∵A（﹣3，0），B（0，﹣3a），M（﹣1，﹣4a），∴AB2＝OA2+OB2＝32+（3a）2＝9+9a2，AM2＝AH2+MH2＝4+16a2，BM2＝1+a2，若∠AMB＝90°，则AM2+BM2＝AB2，即4+16a2+1+a2＝9+9a2，解得：a＝，或a＝﹣（舍去）；若∠ABM＝90°，则AB2+BM2＝AM2，即9+9a2+1+a2＝4+16a2，解得：a＝1，或a＝﹣1（舍去）；若∠BAM＝90°，则AB2+AM2＝BM2，即9+9a2+4+16a2＝1+a2，整理得：a2＝﹣（无解）；∵点B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点），∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，∴＜a＜1，∴a＝，∴OB＝，AB2＝，如图，将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A′，连接PP′，过点A′作A′T ⊥x轴于点T，作A′Q⊥y轴于点Q，∴BP＝BP′，PA＝P′A′，∠PBP′＝∠ABA′＝60°，∴△BPP′和△ABA′是等边三角形，∴BP＝PP′，AA′＝A′B＝AB＝，∴PA+PO+PB＝P′A′+PO+PP′，∴当点O，点P，点P′，点A′共线时，PA+PO+PB值最小，最小值为OA′，此时∠APB＝∠APO＝∠BPO＝120°，设A′（m，n），则A′T＝﹣n，AT＝﹣3﹣m，A′Q＝﹣m，BQ＝﹣n﹣，在Rt△AA′T中，AT2+A′T2＝AA′2，在Rt△BA′Q中，BQ2+A′Q2＝A′B2，即，解得：，∴OA′2＝m2+n2＝（）2+（）2＝，故③错误；故答案为：①②．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，三角形面积，勾股定理，旋转变换的应用，等边三角形的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（10分）（1）计算：2tan45°+（﹣）0+|﹣1|．（2）化简：（﹣）÷．【答案】（1）2+；（2）．【分析】（1）先把特殊角三角函数值代入，计算零指数幂，去绝对值，再合并即可；（2）通分先算括号内的，把除化为乘，再将分子，分母分解因式约分即可．【解答】解：（1）原式＝2×1+1+﹣1＝2+1+﹣1＝2+；（2）原式＝•＝•＝．【点评】本题考查实数的运算和分式的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则和分式的基本性质．20．（10分）已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：∠B＝∠E．【答案】证明见解答过程．【分析】由AF＝DC，得AC＝DF，由AB∥DE，得∠A＝∠D，即可证△ABC≌△DEF （SAS），故∠B＝∠E．【解答】证明：∵AF＝DC，∴AF+CF＝DC+CF，即AC＝DF，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B＝∠E．【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．21．（10分）某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随机调查了九年级1班的所有学生在家劳动时间（单位：小时），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图．根据图表信息回答以下问题：类别劳动时间xA0≤x＜1B1≤x＜2C2≤x＜3D3≤x＜4E4≤x（1）九年级1班的学生共有50人，补全条形统计图；（2）若九年级学生共有800人，请估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数；（3）已知E类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．【答案】（1）50，补全条形统计图见解答；（2）估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数为208人；（3）所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是．【分析】（1）由C的人数及对应的百分数可得九年级1班的学生共有50人；求出B的人数为14人，D的人数为8人，再补全条形统计图；（2）用样本估计总体的方法可得答案；（3）列树状图用概率公式可得答案．【解答】解：（1）∵15÷30%＝50（人），∴九年级1班的学生共有50人；∴B的人数为50×28%＝14（人），∴D的人数为50﹣8﹣14﹣15﹣5＝8（人），补全条形统计图如下：故答案为：50；（2）∵800×＝208（人），∴估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数为208人；（3）列树状图如下：由图可知，一共有20中等可能的情况，其中恰为一男一女的情况有12种，∴所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是P＝＝．【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，解题的关键是从图中获取有用的信息和列树状图求求概率．22．（10分）渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图1），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD，如图2．在桥面上点A处，测得A到左桥墩D的距离AD＝200米，左桥墩所在塔顶B的仰角∠BAD＝45°，左桥墩底C的俯角∠CAD＝15°，求CD的长度．（结果精确到1米．参考数据：≈1.4，≈1.73）【答案】CD的长度约为54米．【分析】过C作CE⊥AB于E，由∠BAD＝45°，知△ABD是等腰直角三角形，可得∠ABD＝45°，AD＝BD＝200，AB＝200（米），故△BCE是等腰直角三角形，∠BCE ＝∠EBC＝45°，BE＝CE，求出∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝30°，设AE＝x米，可得CE＝AE＝x米，BE＝AB﹣AE＝（200﹣x）米，有x＝200﹣x，得x＝100﹣100，再求出CE＝x＝300﹣100，BC＝CE＝（600﹣200）米，即可得CD的长度约为54米．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，如图：∵∠BAD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，AD＝BD＝200，AB＝200（米），∴△BCE是等腰直角三角形，∴∠BCE＝∠EBC＝45°，BE＝CE，∵∠ACB＝90°﹣∠DAC＝75°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝30°，设AE＝x米，则AC＝2x米，∴CE＝AE＝x米，BE＝AB﹣AE＝（200﹣x）米，∴x＝200﹣x，解得x＝100﹣100，∴CE＝x＝300﹣100，∴BC＝CE＝（600﹣200）米，∴CD＝BC﹣BD＝400﹣200≈54（米），∴CD的长度约为54米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边的关系．23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C（3，0），顶点A、B（6，m）恰好落在反比例函数y＝第一象限的图象上．（1）分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；（2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝，直线AB所对应的一次函数的表达式为y＝﹣x+4；（2）在x轴上存在一点P，使△ABP周长的值最小，周长的最小值为4+2．【分析】（1）过A作AT⊥x轴于T，过B作BK⊥x轴于K，证明△ATC≌△CKB（AAS），由C（3，0），B（6，m），可得A（3﹣m，3），即有k＝3（3﹣m）＝6m，解得m＝1，k ＝6，故反比例函数的表达式为y＝，A（2，3），B（6，1），再用待定系数法可得直线AB所对应的一次函数的表达式为y＝﹣x+4；（2）作A（2，3）关于x轴的对称点A'（2，﹣3），连接A'B交x轴于P，由A（2，3），B（6，1），得AB＝2，故当AP+BP最小时，△ABP周长最小，由A'（2，﹣3），B（6，1），得A'B＝＝4，从而可知△ABP周长的最小值为4+2．【解答】解：（1）过A作AT⊥x轴于T，过B作BK⊥x轴于K，如图：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ACT＝90°﹣∠BCK＝∠CBK，∵∠ATC＝90°＝∠CKB，∴△ATC≌△CKB（AAS），∴AT＝CK，CT＝BK，∵C（3，0），B（6，m），∴AT＝CK＝6﹣3＝3，CT＝BK＝m，∴OT＝3﹣m，∴A（3﹣m，3），∵A（3﹣m，3），B（6，m）恰好落在反比例函数y＝第一象限的图象上，∴k＝3（3﹣m）＝6m，∴m＝1，k＝6，∴反比例函数的表达式为y＝，A（2，3），B（6，1），设直线AB所对应的一次函数的表达式为y＝k'x+b，把A（2，3），B（6，1）代入得：，解得，∴直线AB所对应的一次函数的表达式为y＝﹣x+4；（2）在x轴上存在一点P，使△ABP周长的值最小，理由如下：作A（2，3）关于x轴的对称点A'（2，﹣3），连接A'B交x轴于P，如图：∵A（2，3），B（6，1），∴AB＝＝2，∴当AP+BP最小时，△ABP周长最小，∵A，A'关于x轴对称，∴AP＝A'P，∴当A'，P，B共线时，AP+BP最小，△ABP周长也最小，∵A'（2，﹣3），B（6，1），∴A'B＝＝4，∴AP+BP＝A'P+BP＝A'B＝4，∴△ABP周长的最小值为4+2．【点评】本题考查反比例函数，一次函数的交点问题，涉及等腰直角三角形性质及应用，解题的关键是证明△ATC≌△CKB，从而求出m的值．24．（12分）如图，以AB为直径的⊙O上有两点E、F，＝，过点E作直线CD⊥AF 交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过C作CM平分∠ACD交AE于点M，交BE于点N．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：EM＝EN；（3）如果N是CM的中点，且AB＝9，求EN的长．【答案】（1）（2）证明见解答过程；（3）EN的长为6．【分析】（1）连接OE，由＝，得∠FAE＝∠EAB，可得∠FAE＝∠AEO，AF∥OE，又CD⊥AF，故OE⊥CD，CD是⊙O的切线；（2）由∠CEB＝∠EAC（弦切角定理），∠ECM＝∠ACM，可得∠ENM＝∠EMN，EM＝EN；（3）证明△EMC∽△BNC，可得＝＝＝2，又△BEC∽△EAC，可得AE＝2BE，在Rt△ABE中，（2BE）2+BE2＝（9）2，求出BE＝9，故EN＝BE＝6．【解答】（1）证明：连接OE，如图：∵＝，∴∠FAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAB，∴∠FAE＝∠AEO，∴AF∥OE，∵CD⊥AF，∴OE⊥CD，∵OE是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）证明：如图：由（1）知CD是⊙O的切线，∴∠CEB＝∠EAC（弦切角定理），∵CM平分∠ACD，∴∠ECM＝∠ACM，∴∠CEB+∠ECM＝∠EAC+∠ACM，∴∠ENM＝∠EMN，∴EM＝EN；（3）解：如图：由（2）知EM＝EN，∠EMN＝∠ENM，∴∠EMN＝∠BNC，∵∠ECM＝∠BCN，∴△EMC∽△BNC，∴＝＝，∵N是CM的中点，∴＝＝＝2，∴EM＝2BN，CE＝2BC，∵∠BEC＝∠EAB，∠BCE＝∠ECA，∴△BEC∽△EAC，∴＝＝＝，∴AE＝2BE，在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，∴（2BE）2+BE2＝（9）2，∴BE＝9，∵EN＝EM＝2BN，∴EN＝BE＝6．∴EN的长为6．【点评】本题考查切线的判定与性质，圆的性质及应用，涉及三角形相似的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（2，0），且经过点C （﹣2，6）．（1）求抛物线的表达式；（2）在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q′，求△APQ′的面积；（3）点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+6；（2）△APQ′的面积为；（3）M（0，12﹣4）．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+6；（2）设抛物线的对称轴交x轴于K，求出抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，知K（﹣1，0），AK＝3，设N（t，﹣t2﹣t+6），可得AN的函数表达式为y＝（﹣t+）x﹣3t+6，即得P （﹣1，﹣t+），同理可得Q（﹣1，t+9），可得Q'坐标为（﹣1，﹣t﹣9），PQ'＝﹣t+﹣（﹣t﹣9）＝，从而可求出△APQ′的面积为；（3）当以AC为弦的⊙T与y轴相切时，切点即为使∠AMC最大的点M，设T（p，q），由AT＝CT，A（﹣4，0），C（﹣2，6），得（p+4）2+q2＝（p+2）2+（q﹣6）2，有q＝﹣p+2，故T（p，﹣p+2），又TM＝AT，得p2＝（p+4）2+（﹣p+2）2，即可解得p＝﹣30+12或p＝﹣30﹣12（不符合题意，舍去），从而M（0，12﹣4）．【解答】解：（1）把A（﹣4，0）、B（2，0），C（﹣2，6）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+6；（2）设抛物线的对称轴交x轴于K，如图：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，∴K（﹣1，0），∴AK＝3，设N（t，﹣t2﹣t+6），设AN的函数表达式为y＝kx+n，把A（﹣4，0），N（t，﹣t2﹣t+6）代入得：，解得，∴AN的函数表达式为y＝（﹣t+）x﹣3t+6，在y＝（﹣t+）x﹣3t+6中，令x＝﹣1得y＝﹣t+，∴P（﹣1，﹣t+），。
2023年中考数学总复习专题13二次函数与胡不归型最值问题(学生版)
专题13二次函数与胡不归型最值问题胡不归问题：模型分析：“PA＋k·PB”型的最值问题，当k＝1时通常为轴对称之最短路径问题，而当k＞0时，若以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路．如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sin∠MBN＝k．过点A作AC⊥BN于点C，交BM于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．证明 如图，在BM 上任取一点Q ，连结AQ ，作QD ⊥BN 于点D ．由sin ∠MBN ＝k ，可得QD ＝ k ·QB ．所以QA ＋k ·QB ＝QA ＋QD ≥AC ，即得证．【例1】（2022•济南）抛物线y ＝ax 2+x ﹣6与x 轴交于A （t ，0），B （8，0）两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝kx ﹣6经过点B ．点P 在抛物线上，设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的表达式和t ，k 的值；（2）如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以CP 为斜边的直角三角形，求点P 的坐标；（3）如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作PQ ⊥BC ，垂足为Q ，求CQ +PQ 的最大值．【例2】（2022•宜宾）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （3，0）、B （﹣1，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），其顶点为点D ，连结AC ．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上取一点E ，点F 为抛物线上一动点，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点、AC 为边的四边形为平行四边形，求点F 的坐标； P B AM N N M AB C PD Q（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+ PM的最小值．【例3】（2022•东西湖区模拟）如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A 在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．（1）求m的值；（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．【例4】（2022•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴，x轴分别相交于A（0，2），B（2，0），C（4，0）三点，点D是二次函数图象的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC，若S△ACP＝S△ACB，求点P的坐标；（3）M是第四象限内一动点，且∠AMB＝45°，连接MD，MC，求2MD+MC的最小值．1．（2022•河北区二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧）．与y轴相交于点C，顶点为D．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若点P是y轴上一点，连接BP，当PB＝PC，OP＝2时，求b的值；（Ⅲ）若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为（4，0），对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN＝2BN，连接NQ，求DQ+NQ的最小值．2．（2021•南海区二模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且AO＝2BO＝4，过A点的直线y＝kx+c交y轴于点C．（1）求k、b、c的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求AM+OM的最小值．3．（2021•宝安区模拟）（1）已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3），请求该抛物线解析式；（2）点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标；（3）点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP＝OQ，求BP+ BQ的最小值并求此时点P的坐标．4．（2021•南沙区一模）已知，抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线l⊥x轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD．（1）求m的值和直线AC的解析式．（2）若点D在运动过程中，AD+CD取得最小值时，求此时n的值．（3）若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6时，求AE+CE的最小值．5．（2021•射阳县三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接AC，PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（4）点E是y轴上的动点，连接ME，求ME+CE的最小值．6．（2021•深圳模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（﹣3，0），与y 轴交于点C（0，3），点D为抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点E在x轴上，且∠ECA＝∠CAD，求点E的坐标；（3）如图2，点P为线段AC上方的抛物线上任一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与AC交于点M．①求△APC的面积最大时点P的坐标；②在①的条件下，若点N为y轴上一动点，求HN+CN的最小值．7．（2021•深圳模拟）已知：如图，点A（1，0），B（3，0），D（2，﹣1），C是y轴上的点，且OC＝3．（1）过点A作AM⊥BC，垂足为M，连接AD、BD，求证：四边形ADBM为正方形；（2）若过A、B、C三点的抛物线对称轴上有一动点P，当PC﹣PB的值最大时，求出点P的坐标；（3）设Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．8．（2021•资阳）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE＝1：2时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D'处，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，MN∥y轴交直线OD'于点N，连结CN．当D'N+CN的值最小时，求MN的长．9．（2022•杜尔伯特县一模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+CF的最小值．10．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y 轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．11．（2022•中山市三模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝1，点A（﹣1，0），过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得△BDP的面积最大，求出点P的坐标；（3）点M是线段BE上的一点，求的最小值，并求出此时点M的坐标．12．（2021•南山区校级三模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣2），与x 轴分别交于点B（3，0）和点A，且tan∠CAO＝1．（1）求抛物线解析式．（2）抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；（3）抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使PC+PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．13．（2021•津南区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x+c交x轴于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），其对称轴交x轴于点C．（Ⅰ）求该抛物线的顶点D的坐标；（Ⅱ）设P是线段CD上的一个动点（点P不与点C，D重合）．①过点P作y轴的垂线l交抛物线（对称轴右侧）于点Q，连接QB，QD，求△QBD面积的最大值；②连接PB，求PD+PB的最小值．14．（2021•防城区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P（x，y）在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；（3）设F为线段BD上的一个动点（异于点B和D），连接AF．是否存在点F，使得2AF+DF的值最小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由．15．（2021秋•沈北新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（1，0），点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PO，线段PO交线段BC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）若△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，当＝时，求点P的坐标；（3）已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC时，①求满足条件的所有点H的坐标；②当点H在线段AB上时，平面内点M，且HM＝1，直接写出AM+CM的最小值．16．（2021•香洲区校级三模）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x+7交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，直线y＝x+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）．（1）求A，B两点的坐标；（2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+AM的最小值及此时点M的坐标；（3）连接BC，当△AOM与△ABC相似时，求出点M的坐标．17．（2021•涪城区校级模拟）已知：如图所示，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足tan∠CAB•tan∠CBA＝1．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上一点，且△P AC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标；（3）若M为线段AO上任意一点，求MC+AM的最小值．18．（2021•青山区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC ＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当P A＝2PE时，求EF+BF的最小值．（3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．19．（2021•罗湖区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，a≠0）与x轴的正半轴交于点A，其顶点C的坐标为（2，4）．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△P AC面积的最大值；（Ⅲ）点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接QA，求QC+QA的最小值．20．（2020•东胜区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B （0，），C（1，0），其对称轴与x轴交于点E，顶点坐标为D．（1）求二次函数的表达式；（2）点P为抛物线的对称轴上的一个动点，且在第二象限内，若平面内存在点Q，使得以B，C，P，Q 为顶点的四边形为菱形，求点Q的坐标；（3）若M为y轴上的一个动点，连接ME，求MB+ME的最小值．。
2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题
2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E，直线y＝mx+n经过B，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是第一象限内抛物线上一点，当△BCF面积最大时，求此时点F点到直线BC 的距离；（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，直线y＝﹣x+3经过点C与x轴交于点D，抛物线的顶点坐标为（2，4）．（1）求CD的长及抛物线的函数关系式；（2）若点P是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P运动至何处时，△PCD 的面积最大？（3）若点P是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P运动至何处时，恰好使∠PDC＝45°？请你求出此时的P点坐标．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线交于x轴上的点B，y轴上的点C，且其对称轴为直线．该抛物线与x轴的另一交点为点A，顶点为M．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）如图2，长度为的线段DF在线段BC上滑动（点D在点F的左侧），过D，F 分别作y轴的平行线，交抛物线于E，P两点，连接PE．求四边形PFDE面积的最大值及此时点P坐标；（3）在（2）问条件下，当四边形PFDE面积有最大值时，记四边形PFDE为四边形P1F1D1E1．将四边形P1F1D1E1沿直线BC平移，点P1，E1关于直线BC的对称点分别是点P2，E2．在平移过程中，当点P2，E2中有一点落到抛物线上时，请直接写出点P2，E2的坐标．4．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB．（1）求这个抛物线的解析式；（2）如图1，点P为第三象限抛物线上的点，设点P的横坐标为t，△P AC面积为S，求S与t的函数解析式（直接写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，Q为CA延长线上的一点，若P到x轴的距离为d，△PQB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y ＝ax2+x+c（a≠0）经过A，B两点与x轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为直线BC上方抛物线上任意一点，当△MBC面积最大时，求出点M的坐标；（3）若点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC+∠OBA＝45°时，请直接写出点P的坐标．6．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y ＝kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、＝），并证明你的判断；（3）若k＝1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．7．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象与x轴交于点A、B （点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面积最大时，求△APM周长的最小值；（3）如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．8．已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点C（0，﹣2），顶点坐标为（，）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，当最大时，求D点坐标；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在y轴右侧是否存在这样的点P，Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，定义：直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x轴、y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线叫做直线l的“纠缠抛物线”，反之，直线叫做抛物线的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”．（1）若l：y＝﹣2x+2，则求它的纠缠抛物线的函数解析式；（2）判断并说明y＝﹣2x+2k与y＝﹣x2﹣x+2k是否“互为纠缠线”；（3）在（1）中，P是l的纠缠抛物线在第二象限上的一个动点，求△PCD的最大面积．10．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点C（0，﹣3）．解答下列问题．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E，求线段BD的长；（3）点F在抛物线上运动，是否存在点F使△F AB的面积等于6？如果存在，求出点F 的坐标；如果不存在，说明理由．11．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD ⊥x轴于点D，交直线BC于点E，并连接AC、CP．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BP，设四边形ABPC的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及最大值；（3）如图②，过点P作PF⊥BC于点F，当以C、P、F为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P的坐标．12．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点，且与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E 的坐标和△BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D为BC的中点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值；（3）M是抛物线的对称轴上一点，N是抛物线上一点，直接写出所有使得以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x与x轴正半轴交于点A，点B在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且在对称轴右侧，点C是平面内一点，四边形OBCD 是平行四边形．（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）若点B的纵坐标是﹣3，点D的横坐标是，则S▱OBCD＝；（3）若点C在抛物线上，且▱OBCD的面积是12，请直接写出点C的坐标．16．已知直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．经过A，B两点的抛物线y ＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为D（D在A的左侧），点P为y轴右侧抛物线上的一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）若Q为OA的中点，当PQ∥y轴时，求点P的坐标；（3）当点P位于直线AB上方的抛物线上时，求四边形P ADB面积的最大值．17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝x﹣4．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标．（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．18．若直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+3x+c的图象经过点A，交x轴于C、D两点，且抛物线的对称轴为直线x＝．（1）求二次函数的解析式；（2）过点C作直线CE∥AB交y轴于点E，点P是直线CE上一动点，点Q是第一象限抛物线上一动点，求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标；（3）在（2）的结论下，点E是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点G，直线EQ交x 轴于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得∠MFQ+∠CAO＝45°，求点M 的坐标．19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P 为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，P A，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标；（3）是否存在点P，使△P AQ为直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E 的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD、PE、DE．（1）求出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数．并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），∴OA＝2，∵OC＝2OA，∴CO＝4，∴C（0，4），将点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）代入y＝ax2+bx+c，得，∴，∴y＝﹣x2+x+4；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+4，过点F作FH⊥x轴交BC于点G，F点到直线BC的距离为h，设F（t，﹣t2+t+4），则G（t，﹣t+4），∴FG＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣t2+2t，∴S△BCF＝×4×（﹣t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，△BCF的面积有最大值4，∵B（4，0），C（0，4），∴BC＝4，∴4＝×BC×h，∴h＝，∴点F点到直线BC的距离为；（3）存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA，理由如下：∵A（﹣2，0），C（0，4），∴OA＝2，OC＝4，∴tan∠OCA＝，∵tan∠EQP＝tan∠OCA，∴tan∠EQP＝，∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴D（1，5），E（1，0），当P点在Q点左侧时，如图2，过点P作PM⊥DE交于M，过点Q作QN⊥DE交于N，∵∠PEQ＝90°，∴∠MEP+∠NEQ＝90°，∵∠MEP+∠MPE＝90°，∴∠NEQ＝∠MPE，∴△MEP∽△NQE，∴＝＝，∵＝，∴＝＝，设P（m，﹣m2+m+4），∴PM＝m﹣1，EM＝﹣m2+m+4，∴EN＝2m﹣2，NQ＝﹣m2+2m+8，∴Q（﹣m2+2m+9，2﹣2m），∴2﹣2m＝﹣（﹣m2+2m+9）+4，解得m＝，∵点P是抛物线上对称轴右侧，∴m＝，∴P（，+）；当点P在点Q的右侧时，同理可得P（，﹣）；综上所述：P点坐标为（，+）或（，﹣）．2．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3经过点C与x轴交于点D，∴C（0，3），D（4，0），∴CD＝，∵抛物线的顶点坐标为（2，4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+4，将C（0，3）代入，得3＝a（0﹣2）2+4，得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+x+3，（2）过点P作一条关于CD的平行线，当该直线与抛物线只有一个交点时，该交点即为P，此时△PCD的面积最大，∵直线CD的解析式为y＝﹣x+3，∴设过P点且与直线CD平行的直线解析式为y＝，∵直线y＝与抛物线y＝﹣x2+x+3，有且只有一个交点，∴当﹣x+b＝﹣x2+x+3时，△＝0，解得b＝，∴该直线的解析式为y＝﹣x+，∴﹣x+＝﹣+x+3，解得x＝，∴﹣×+＝，∴P（，）时，有△PCD的面积最大值，（3）如图，以CD为底，向上作等腰直角三角形CDE，则ED与抛物线的交点即为点P，过点E作EM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥ME的延长线于N，∵△ECD为等腰直角三角形，∴EC＝ED，∠CED＝90°，∴∠MEC+∠DEN＝180°﹣90°＝90°，∵△EMC中，∠EMC＝90°，∴∠MEC+∠MCE＝90°，∴∠MCE＝∠NED，在△MCE和△NED中，，∴△MCE≌△NED（AAS），∴MC＝EN，ME＝ND，设MC＝EN＝x，ME＝ND＝y，则x+y表示D点和C点横坐标的差的绝对值，y﹣x表示D点和C点纵坐标的差的绝对值，∴x+y＝4，y﹣x＝3解得x＝，y＝，∴E点是由C向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，∴E（，），∴设DE解析式为y＝mx+n，得，解得，∴DE的解析式为y＝﹣7x+28，∴﹣7x+28＝﹣x2+x+3，解得x＝16±2，此时取x＝16﹣2，∴﹣7x+28＝14﹣84，∴当∠PDC＝45°时，P点的坐标为（16﹣2.14﹣84）．3．【解答】解：（1）对，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝4，∴点B（4，0），点C（0，2），将点B和点C的坐标代入y＝ax2+bx+c，得，化简得：，∵对称轴为直线x＝，∴﹣＝，即有b＝﹣3a，∴﹣4a﹣＝﹣3a，∴a＝﹣，b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴顶点M的坐标（，）．（2）如图2，过点F作FQ⊥PF于点Q，过点P作PN⊥DE于点N，∵PF⊥x轴，ED⊥x轴，∴∠DQF＝∠BOC＝90°，∠QDF＝∠OBC，DQ＝PN，∴△DQF∽△BOC，∵B（4，0），C（0，2），∴OB＝4，OC＝2，∴BC＝2，∵DF＝，∴，即，∴DQ＝PN＝2，FQ＝1，设点D的坐标为（x，﹣x+2），则点E（x，﹣x2+x+2），F（x+2，﹣x+1），P （x+2，﹣x2﹣x+3），∴ED＝﹣x2+2x，PF＝﹣x2+2，∴S四边形PFDE＝S△DPF+S△PDE＝＝PF+ED＝﹣x2+2﹣x2+2x＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，∴当x＝1时，四边形PFDE面积的最大值为3，此时，点E的坐标为（1，3），点P坐标为（3，2）．（3）由（2）得到点P1（3，2），E1（1，3），D1（1，），F1（3，），∴E1D1＝，P1F1＝，∴E1D1＝P1F1，∵E1D1∥P1F1，∴四边形E1D1F1P1是平行四边形，∴直线P1E1与直线BC平行，∴直线P2E2与直线BC平行，如图3，记直线P1E1和直线P2E2与y轴的交点分别为G、H，则CG＝CH，设直线P1E1的解析式为y＝﹣x+m，则﹣×1+m＝3，解得：m＝，∴直线P1E1的解析式为y＝﹣x+，∴点G（0，），∴CG＝CH＝，∴点H（0，），∴直线P2E2的解析式为y＝﹣x+，由，解得：或，当点P2落在抛物线上时，点P2（2﹣，﹣），E2（﹣，+）或点P2（2+，﹣﹣），E2（，﹣+）；当点E2落在抛物线上时，点E2（2﹣，﹣），P2（4﹣，﹣）或点E2（2+，﹣﹣），P2（4+，﹣﹣）；综上所述：点P2（2﹣，﹣），E2（﹣，+）或点P2（2+，﹣﹣），E2（，﹣+）或P2（4﹣，﹣），点E2（2﹣，﹣）或P2（4+，﹣﹣），点E2（2+，﹣﹣）．4．【解答】解：（1）对y＝ax2+bx+3，当x＝0时，y＝3，∴点C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴A（﹣3，0），OB＝1，∴B（1，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），代入点C（0，3）得，﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，过P作PM⊥x轴交直线AC于点M，设直线CA的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），则M的坐标为（t，3+t），∴PM＝t+3﹣（﹣t2﹣2t+3）＝t2+3t，∴S△P AC＝S△PMC﹣S△PMA＝PM•（x C﹣x P）﹣PM•（x A﹣x P）＝PM•（x C﹣x A）＝PM，∴S＝（t2+3t）＝t2+t（t＜﹣3）．（3）如图2，过A作AE⊥PB于点E，过Q作QF⊥PB于点F，则QF∥AE，∵AB＝4，点P到x轴的距离为d，∴S△APB＝AB•d＝2d，∴S△P AB＝S△PBQ，又∵S△P AB＝PB•AE，S△PBQ＝PB•QF，∴AE＝QF，∵AE∥QF，∴四边形AEFQ为平行四边形，∴AQ∥PB，设直线PB的解析式为y＝x+b，则1+b＝0，∴b＝﹣1，∴直线PB的解析式为y＝x﹣1，∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴x﹣1＝﹣x2﹣2x+3，解得：x＝﹣4或x＝1（舍去），∴P的坐标为（﹣4，﹣5）．5．【解答】解：（1）直线y＝2x+4，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，则2x+4＝0，解得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，4），∵抛物线y＝ax2+x+c点B（0，4），∴c＝4，把A（﹣2，0）代入y＝ax2+x+4，得4a﹣2+4＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式的解析式为y＝﹣x2+x+4．（2）如图1，作MG⊥x轴于点G，交BC于点F，抛物线y＝﹣x2+x+4，当y＝0时，则﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴C（4，0），OC＝4，设直线BC的解析式为y＝kx+4，把C（4，0）代入y＝kx+4，得4k+4＝0，解得k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，设M（m，﹣m2+m+4），则F（m，﹣m+4），∴MF＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∵S△MBC＝OG•MF+CG•MF＝OC•MF，∴S△MBC＝×4（﹣m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∴当m＝2时，S△MBC最大＝4，∴点M标为（2，4）．（3）如图2，在x轴上取点D（2，0），作射线BD交抛物线于另一点P，∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵OB⊥AD，OA＝OD＝2，∴AB＝DB，CD＝OC﹣OD＝4﹣2＝2，∴∠OBA＝∠OBP，∴∠PBC+∠OBA＝∠PBC+∠OBP＝∠OBC＝45°，设直线BP的解析式为y＝nx+4，则2n+4＝0，解得n＝﹣2，∴y＝﹣2x+4，由得，，∴P（6，﹣8）；如图2，作CE⊥x轴，使CE＝CD＝2，连接BE交抛物线于另一点P′，则E（4，2），∵∠OCE＝90°，∠OCB＝45°，∴∠BCE＝∠BCD＝45°，∵BC＝BC，∴△BCE≌△BCD（SAS），∴∠P′BC＝∠PBC，∴∠P′BC+∠OAB＝∠PBC+∠OBA＝45°，设直线BP′的解析式为y＝rx+4，则4r+4＝2，解得r＝﹣，∴y＝﹣x+4，由得，，∴P′（3，），综上所述，点P的坐标为（6，﹣8）或（3，）．6．【解答】解：（1）把点（﹣2，2），（4，5）代入y＝ax2+c得，解得，所以抛物线解析式为y＝x2+1；（2）BF＝BC．理由如下：设B（x，x2+1），而F（0，2），∴BF2＝x2+（x2+1﹣2）2＝x2+（x2﹣1）2＝（x2+1）2，∴BF＝x2+1，∵BC⊥x轴，∴BC＝x2+1，∴BF＝BC；（3）作QE∥y轴交AB于E，如图，当k＝1时，一次函数解析式为y＝x+2，解方程组得或，∴B（2+2，4+2），设Q（t，t2+1），则E（t，t+2），∴EQ＝t+2﹣（t2+1）＝﹣t2+t+1，∴S△QBF＝S△EQF+S△EQB＝•（2+2）•EQ＝（+1）（﹣t2+t+1）＝﹣（t ﹣2）2+2+2，当t＝2时，S△QBF的最大值为2+2，此时Q点坐标为（2，2）．7．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，∴x＝h＝﹣1，∵抛物线过点B（2，0），点C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+．（2）由（1）知函数解析式为：y＝﹣（x+1）2+．∴A（﹣4，0），∴直线AC：y＝x+4，过点P作PN∥AC，设直线PN的解析式为：y＝x+m，当△APC的面积最大时，直线PN与抛物线有且仅有一个交点，令x+m＝﹣（x+1）2+，整理得x2+4x+2m﹣8＝0，∴Δ＝42﹣4（2m﹣8）＝0，解得m＝6，∴x2+4x+4＝0，∴x＝﹣2，即P（﹣2，4）；作点A关于y轴的对称点A′，连接A′P交y轴于点M，如图1，此时△APM的周长最小，∵A（﹣4，0），∴A′（4，0），∴A′P＝＝2，AP＝＝2，∴△APM周长的最小值为：2+2．（3）由（1）知原抛物线的顶点坐标D（﹣1，），绕点A旋转后的顶点D′（﹣7，﹣），∴y′的对称轴为直线x＝﹣7；设点Q的坐标为（﹣7，t），若△ACQ是等腰三角形，则需要分类讨论：①当AC＝AQ时，如图2；∴（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝（﹣4+7）2+（0﹣t）2，解得t＝±；∴Q（﹣7，）或（﹣7，﹣）；②当CA＝CQ时；∴（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝（0+7）2+（4﹣t）2，无解；③当QA＝QC时，如图3，∴（﹣4+7）2+（0﹣t）2＝（0+7）2+（4﹣t）2，解得t＝7，∴Q（﹣7，7）．综上可知，存在，点Q的坐标为（﹣7，）或（﹣7，﹣）或（﹣7，7）．8．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣）2﹣，∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣x﹣2；（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，∴AK∥DG，∴△AKE∽△DFE，∴，∴＝＝＝，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，∵A（﹣1，0），∴y＝﹣﹣2＝﹣，∴AK＝，设D（m，m2﹣m﹣2），则F（m，m﹣2），∴DF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m．∴＝＝＝．∴当m＝2时，有最大值，最大值是，此时D（2，﹣3）；（3）存在．理由如下：∵l∥BC，∴直线l的解析式为y＝x，设P（n，n），∵P，Q在y轴右侧，∴n＞0①当AB为边时，则PQ∥AB，PQ＝AB＝5，若点Q在点P左侧时，∴点Q（n﹣5，n），∴n＝（n﹣5）2﹣（n﹣5）﹣2，∴n＝+7或﹣+7，∴点P（+7，）或（﹣+7，）若点Q在点P右侧时，∴点Q（n+5，n），∴n＝（n+5）2﹣（5+n）﹣2，∴n＝﹣﹣3（舍去）或﹣+3∴点P（﹣+3，），②当AB为对角线时，∵AB与PQ互相平分，∴点Q（3﹣n，﹣n）∴﹣n＝（3﹣n）2﹣（3﹣n）﹣2，∴n＝+1或﹣+1（舍去），∴点P（+1，），此时点P的坐标为（+1，）或（﹣1，）综上所述，点P的坐标为（+1，）或（﹣+3，）或（+7，）或（﹣+7，）9．【解答】解：（1）在y＝﹣2x+2中，令y＝0得x＝2，令x＝0得y＝2，∴A（1，0），B（0，2），∵将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，∴OD＝OB，∴D（﹣2，0），∵直线y＝﹣2x+2的纠缠抛物线过A（1，0），D（﹣2，0），设纠缠抛物线函数解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），把B（0，2）代入得：2＝﹣2a，∴a＝﹣1，∴纠缠抛物线函数解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，答：直线y＝﹣2x+2的纠缠抛物线的函数解析式是y＝﹣x2﹣x+2；（2）y＝﹣2x+2k与y＝﹣x2﹣x+2k是“互为纠缠线”，理由如下：在y＝﹣2x+2k中，令x＝0得y＝2k，令y＝0得x＝k，∴A（k，0），B（0，2k），∵将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，∴D（﹣2k，0），∵直线y＝﹣2x+2k的纠缠抛物线过A（k，0），D（﹣2k，0），设纠缠抛物线函数解析式为y＝a（x﹣k）（x+2k），将B（0，2k）代入得：2k＝﹣2k2a，解得a＝﹣，∴纠缠抛物线函数解析式为y＝﹣（x﹣k）（x+2k）＝﹣x2﹣x+2k，∴y＝﹣2x+2k与y＝﹣x2﹣x+2k是“互为纠缠线”；（3）过点P作y轴的平行线交DC于E，如图：由（1）知A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），∵将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，∴OC＝OA＝1，∴C（0，1），设直线CD为y＝tx+1，将D（﹣2，0）代入得：0＝﹣2t+1，解得t＝，∴直线CD为y＝x+1，设P（x，﹣x2﹣x+2），则E（x，x+1），∴PE＝﹣x2﹣x+2﹣（x+1）＝﹣x2﹣x+1，∴△PCD的面积＝PE•|x C﹣x D|＝×（﹣x2﹣x+1）×2＝﹣x2﹣x+1＝﹣（x+）2+，∵﹣1＜0，∴x＝﹣时，△PCD的面积最大为，答：△PCD的最大面积是．10．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴9﹣3b+c＝0，0+0+c＝﹣3，即得b＝2，c＝﹣3，∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4；∴函数的对称轴为直线x＝﹣1，顶点D（﹣1，﹣4），∵A（﹣3，0），∴B（1，0），∴BD＝＝2；（3）存在，理由：△BF A的面积＝×BA×|y F|＝2|y F|＝6，解得：y F＝±3，故：x2+2x﹣3＝±3，解得：x＝0或﹣2或﹣1±，故点F的坐标为：（0，﹣3）或（2，﹣3）或（﹣1﹣，3）或（﹣1+，3）．11．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．∵将C（0，﹣2）代入得：﹣4a＝﹣2，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣2；（2）设P（m，m2﹣m﹣2），∵A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，﹣2），点P在直线BC下方的抛物线上，∴S四边形ABPC＝S△OAC+S△OPB+S△OPC＝×2×1+×4（﹣m2+m+2）+×2m＝﹣m2+4m+5＝﹣（m﹣2）2+9，∴当m＝2时，S最大是9，∴点P的坐标为（2，﹣3）；（3）设P（x，x2﹣x﹣2），∵A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，﹣2），∴BC＝＝2，PC＝，AC＝，∵S△PCB＝S四边形ABPC﹣S△ABC＝﹣x2+4x+5﹣×5×2＝﹣x2+4x＝BC•PF＝PF，∴PF＝，∵PF⊥BC于点F，∴∠PFC＝∠AOC＝90°，①△PCF∽△CAO时，∴，∴，解得：x1＝0（与点C重合，舍去），x2＝，∴点P的坐标为（，﹣）；②△PCF∽△ACO时，∴，∴，解得：x1＝（不合题意，舍去），x2＝3，∴点P的坐标为（3，﹣2）；综上，点P的坐标为（，﹣）或（3，﹣2）．12．【解答】解：（1）令y＝0，则x＝4，∴C（4，0），令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），将点B、点C代入y＝ax2+x+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），令y＝0，则x＝4，∴C（4，0），令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，∴x＝4或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），如图：过点E作EF⊥x轴交BC于点F，设E（t，﹣t2+t+3），则F（t，﹣t+3），∴EF＝﹣t2+t，∴S△BCE＝×4×（﹣t2+t）＝﹣（t﹣2）2+3，∴当t＝2时，△BCE面积的最大值为3，此时E（2，3）；（3）存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：∵E（2，3），∴M（2，），设Q（1，n），P（m，﹣m2+m+3），①当AM为平行四边形的对角线时，1+m＝0，∴m＝﹣1，∴P（﹣1，）；②当AQ为平行四边形的对角线时，2+m＝﹣1，∴m＝﹣3，∴P（﹣3，﹣）；③当AP为平行四边形的对角线时，1+2＝﹣2+m，∴m＝5，∴P（5，﹣）；综上所述：P点坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）或（5，﹣）．13．【解答】解：（1）∵抛物线，与x轴交于A、B两点，令y＝0，得，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为（﹣3，0）；（2）如图1，延长DE交x轴于点K，∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，﹣2），设直线AC的函数表达式为y＝kx+n（k≠0），∵A（﹣3，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴直线AC的函数表达式为，设，其中﹣3＜t＜0，∴，K（t，0），∴DE＝﹣t2﹣2t，∵＝（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣3t，＝（t+2）＝t+3，∴S1﹣S2＝﹣t2﹣3t﹣t﹣3＝﹣t2﹣4t﹣3＝﹣（t+2）2+1，∴当t＝﹣2时，S1﹣S2取得最大值，最大值为1，此时点D的坐标为（﹣2，﹣2）；（3）∵C（0，﹣2），B（1，0），∴＝，∵抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，∴抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+1﹣）2﹣+3＝（x﹣）2+，当x＝0时，y＝，∴M（0，），∵原抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设N（﹣1，n），①当AM＝AN时，9+＝4+n2，∴n＝±，∴N（﹣1，）或N（﹣1，﹣）；②当AM＝MN时，9+＝1+（﹣n）2，∴n＝或n＝，∴N（﹣1，）或N（﹣1，）；综上所述：N点坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，）或（﹣1，）．14．【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：∴，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）在y＝x2﹣x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，∴C（0，﹣4），设直线BC为y＝kx﹣4，将B（4，0）代入得：0＝4k﹣4，解得k＝1，∴直线BC为y＝x﹣4，∵B（4，0），C（0，﹣4），D是BC中点，∴D（2，﹣2），过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，如图：设P（t，t2﹣t﹣4），（0＜t＜4），则Q（t，t﹣4），∴PQ＝t2﹣t﹣4﹣（t﹣4）＝﹣t2+2t，∴S△BDP＝PQ•|x B﹣x D|＝×（﹣t2+2t）×（4﹣2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，∵﹣＜0，0＜t＜4，∴t＝2时，S△PBD有最大值为2；答：△BDP面积的最大值是2；（3）由y＝x2﹣x﹣4得抛物线对称轴是直线x＝1，设M（1，m），N（n，n2﹣n﹣4），而A（﹣2，0），D（2，﹣2），①当MN、AD为对角线时，MN的中点即是AD中点，∴，解得n＝﹣1，∴N（﹣1，﹣），②当MA、ND为对角线时，MA的中点即是ND中点，∴，解得n＝﹣3，∴N（﹣3，），③当MD、AN为对角线时，MD的中点即是AN中点，∴，解得n＝5，∴N（5，），综上所述，N的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣3，）或（5，）．15．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+2x中，令y＝0，得：﹣x2+2x＝0，解得：x1＝0，x2＝2，∴A（2，0）；∵x＝﹣＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）如图1，连接BD，∵点B在抛物线的对称轴上，且点B的纵坐标是﹣3，∴B（1，﹣3），∵点D在抛物线上，且点D的横坐标是，∴D（，），设直线OD的解析式为y＝kx，则：＝k，解得：k＝﹣，∴直线OD的解析式为y＝x，设抛物线的对称轴交OD于点H，∴H（1，），∴BH＝﹣﹣（﹣3）＝，∴S▱OBCD＝2S△OBD＝2××BH×|x D﹣x O|＝2×××＝，故答案为：；（3）如图2，设B（1，b），C（c，﹣c2+2c），设抛物线的对称轴交x轴于点G，交OD于点H，过点D作DK∥x轴，过点C作CK∥y 轴，连接BD，则∠CKD＝∠BGO＝90°，∵四边形OBCD是平行四边形，∴OB∥CD，OB＝CD，∵BG∥CK，且∠OBG与∠DCK均为锐角，∴∠OBG＝∠DCK，∴△BOG≌△CDK（AAS），∴DK＝OG＝1，CK＝BG＝﹣b，∴D（c﹣1，﹣c2+4c﹣3），设直线OD的解析式为y＝ax，则：﹣c2+4c﹣3＝a（c﹣1），∴a＝3﹣c，∴直线OD的解析式为y＝（3﹣c）x，∴H（1，3﹣c），∴BH＝3﹣c﹣b，∵▱OBCD的面积是12，∴S△OBD＝6，∴×（3﹣c﹣b）×（c﹣1）＝6，即（3﹣c﹣b）（c﹣1）＝12①，∵CK＝BG＝﹣b，∴﹣c2+4c﹣3﹣（﹣c2+2c）＝﹣b，即b+2c﹣3＝0②，由①②组成方程组，解得：（舍去），，∴点C的坐标为C（4，﹣8）．16．【解答】解：（1）对于y＝﹣x+3，令y＝0，即0＝﹣x+3，解得x＝3；令x＝0，得y ＝3；∴A（3，0），B（0，3），∵抛物线y＝ax²+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，且对称轴为直线x＝1，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x²+2x+3；（2）∵A（3，0），∴OA＝3，∵Q为OA的中点，∴OQ＝OA＝×3＝，∴Q（，0），∵PQ∥y轴，∴点P的横坐标为，当x＝时，y＝﹣x²+2x+3＝﹣+2×+3＝，∴点P的坐标为（，）；（3）过点P作PN∥y轴交直线AB于N，如图：对于y＝﹣x²+2x+3，令y＝0，即0＝﹣x²+2x+3，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴A（3，0），D（﹣1，0），∴AD＝3﹣（﹣1）＝4，∵B（0，3），∴OB＝3，∴S△ADB＝AD•OB＝×4×3＝6，设P（m，﹣m²+2m+3），则N（m，﹣m+3），∴PN＝﹣m²+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m²+3m，∴S△P AB＝S△PNB+S△PNA＝PN•m+PN•（3﹣m）＝PN＝（﹣m²+3m），∴S四边形P ADB＝S△P AB+S△ABD＝（﹣m²+3m）+6＝﹣+，∵﹣＜0，∴当m＝时，S四边形P ADB有最大值，最大值为，∴四边形P ADB面积的最大值为．17．【解答】解：（1）∵B点在x轴上，且B点在y＝x﹣4上，∴B（8，0），∵A（﹣2，0），B（8，0），都在抛物线y＝ax2+bx﹣4上，∴x＝﹣2，x＝8是方程ax2+bx﹣4＝0的两个根，∴﹣16＝﹣，＝6，∴a＝，b＝﹣，∴y＝x2﹣x﹣4；（2）∵AD∥BC，直线BC的解析式为y＝x﹣4，∴直线AD的解析式为y＝x+1，过点B作BG⊥AD交点G，∵QR⊥BC，∴QR＝BG，在Rt△ABG中，AB＝10，tan∠BAG＝，∴BG＝2，设P（m，m2﹣m﹣4），R（n，n﹣4），则Q（m，m+1），∵QR＝2，∴20＝（m﹣n）2+，∴n﹣m＝2，∴R（m+2，m﹣3），S△PQR＝×（m+1﹣m2+m+4）×2＝﹣m2+2m+5＝﹣（m﹣4）2+9，∴当m＝4时，S△PQR有最大值9，∴P（4，﹣6）；（3）∵点C关于x轴的对称点为点C′，∴C'（0，﹣4），∴直线AC的解析式为y＝2x+4，∵抛物线沿射线C′A的方向平移2个单位长度，∴抛物线沿着x轴负方向平移2个单位长度，沿着y轴负方向平移4个单位长度，∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣3）2﹣，∴y'＝（x﹣1）2﹣，联立（x﹣3）2﹣＝（x﹣1）2﹣，解得x＝6，∴M（6，﹣4），联立x+1＝x2﹣x﹣4，解得x＝10或x＝﹣2，∵D异于点A，∴D（10，6），∵y＝x2﹣x﹣4的对称轴为直线x＝3，设N（3，t），K（x，y），①当DM与KN为矩形对角线时，DM的中点与KN的中点重合，∴8＝，1＝，∴x＝13，t＝2﹣y，∵DM＝KN，∴16+100＝（3﹣x）2+（t﹣y）2，∴y＝﹣1或y＝3，∴K（13，﹣1）或K（13，3）；②当DN与MK为矩形对角线时，DN的中点与MK的中点重合，∴＝，＝，∴x＝7，t＝y﹣10，∵DN＝MK，∴49+（6﹣t）2＝（6﹣x）2+（y+4）2，∴y＝，∴K（7，）；③当KD与MN为矩形对角线时，KD的中点与MN的中点重合∴＝，＝，∴x＝﹣1，t＝10+y，∵KD＝MN，∴（x﹣10）2+（6﹣y）2＝9+（t+4）2，∴y＝﹣，∴K（﹣1，﹣）；综上所述：以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形时，K点坐标为（﹣1，﹣）或（7，）或（13，﹣1）或（13，3）．18．【解答】解：（1）由直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，得A（0，4），又抛物线经过点A且对称轴为直线x＝，则c＝4，由﹣＝，得a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）如图1，作QH⊥AB于点H，QN∥y轴交直线AB于点N．设点Q（x，﹣x2+3x+4），则F（x，﹣2x+4）；当y＝0时，由﹣x2+3x+4＝0得，x1＝﹣1，x2＝4，∴C（﹣1，0），D（4，0）；由﹣2x+4＝0，得x＝2，∴B（2，0），∴AB＝．∵∠HNQ＝∠OAB，∴，∴HQ＝QN＝（﹣x2+3x+4+2x﹣4）＝（﹣x2+5x），由CE∥AB，可得，∴S四边形APBQ＝S△ABQ+S△ABP＝（﹣x2+5x）+6＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，四边形APBQ的面积最大，四边形APBQ的最大面积为，此时Q（，）．（3）存在．如图2，由y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，得E（，），又Q（，），设直线EF的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴F（，0），GF＝＝＝GE，∴△EGF是等腰直角三角形．若点M在直线EF下方，当时，则∠GFM＝∠CAO，∴∠MFQ+∠CAO＝45°，此时MG＝×＝，∴M（，）．若点M在直线EF上方，作点M关于直线EF的对称点J，连接EJ，则△MEJ是等腰直角三角形，∴EJ∥x轴．∵EJ＝EM＝，∴J（，）．设直线FJ的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴y＝﹣4x+31，当x＝时，y＝﹣4×+31＝25，此时，M（，25）．综上所述，点M的坐标为（，）或（，25）19．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，∴．解得．∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4；（2）设P（x，y），对于抛物线y＝﹣x2+3x+4．令x＝0，则y＝4，∴B（0，4）．∵S1﹣S2＝5，∴S1＝S2+5．∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5．∴＝+5．∴y＝6．∴﹣x2+3x+4＝6．解得x1＝1，x2＝2．∴点P的坐标是（1，6）或（2，6）．（3）存在，点P的坐标是（3，4）或（，1）．理由：若∠AQP＝90°时，即AB⊥CP．由A（4，0），B（0，4）知，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°．∴∠PCA＝45°．∴设直线PC解析式为：y＝x+t．把C（﹣1，0）代入，得﹣1+t＝0．解得t＝1．故直线PC的解析式为y＝x+1．联立，解得（舍去）或．∴P（3，4）；若∠APQ＝90°时，△APC是直角三角形，设P（m，n），则n＝﹣m2+3m+4．则由AP2+CP2＝AC2，即（m+1）2+n2+（m﹣4）2+n2＝（4+1）2．整理，得m2﹣3m﹣4+n2＝0．∴﹣n+n2＝0．解得n1＝0，n2＝1．当n＝0时，﹣m2+3m+4＝0，即（m﹣4）（m+1）＝0．解得m1＝﹣1，m2＝4．当n＝1时，﹣m2+3m+4＝1，即m2﹣3m﹣3＝0，解得m1＝，m2＝（舍去）．此时点P的坐标分别是（﹣1，0）（舍去），（4，0）（舍去），（，1）．若∠QAP＝90°时，该种情况不存在．综上所述，符合条件的点P的坐标是（3，4）或（，1）．20．【解答】解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，∴C（0，8），A（8，0），设抛物线解析式为：y＝ax2+c，则，解得：．故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+8；（2）正确，理由如下：设P（a，﹣a2+8），则F（a，8），∵D（0，6），∴PD＝＝＝a2+2，PF＝8﹣（a2+8）＝a2，∴PD﹣PF＝2；（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，∵PD﹣PF＝2，∴PD＝PF+2，∴PE+PD＝PE+PF+2，∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，此时点P，E的横坐标都为4，将x＝4代入y＝﹣x2+8，得y＝6，∴P（4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点，∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为：（4，6），由（2）得：P（a，﹣a2+8），∵点D、E的坐标分别为（0，6），（4，0），①当0≤a≤4时，S△PDE＝×（a+4）×（﹣a2+8）﹣×4×6﹣a（﹣a2+8﹣6）＝﹣a2+3a+4；∴4＜S△PDE≤12，②当4＜a≤8时，S△PDE＝a（﹣a2+8﹣6）﹣×（a﹣4）×（﹣a2+8）﹣×4×6+＝﹣a2+3a+4；∴4＜S△PDE≤12，∴12≤S△PDE≤13，∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，综上所述：11个好点，P（4，6）．。
中考数学二次函数(大题培优)及答案解析
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩，则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6），∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t=﹣32（t ﹣3）2+272，∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值； （3）如图2，∵PH ⊥OB 于H ， ∴∠DHB=∠AOB=90°， ∴DH ∥AO ， ∵OA=OB=6， ∴∠BDH=∠BAO=45°， ∵PE ∥x 轴、PD ⊥x 轴， ∴∠DPE=90°，若△PDE 为等腰直角三角形， 则∠EDP=45°，∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即点E 与点A 重合，则当y=6时，﹣12x 2+2x+6=6， 解得：x=0（舍）或x=4， 即点P （4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.2．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论：①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m ，即点C 坐标为：（，0）或（﹣，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5±，即：点C 坐标为（5+，0）或（5﹣0）；③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =9710，则点C 坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C 的坐标为：（，0）或（5±0）或（9710，0）； （3）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ．设直线AB 的表达式为y =kx ﹣3，把点B 坐标代入上式，9=5k ﹣3，则k 125=，故函数的表达式为：y 125=x ﹣3，设点P 坐标为（m ，125m 2485-m ﹣3），则点H 坐标为（m ，125m ﹣3），S △PAB 12=•PH •x B 52=（125-m 2+12m ）=－6m 2+30m =25756()22m --+，当m =52时，S △PAB 取得最大值为：752． 答：△PAB 的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．【答案】（1）y=38x2﹣34x﹣3（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是9 10（3）K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）【解析】【详解】试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910（t ﹣1）2+910．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=34x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）．如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =94．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣34m 2+3m=94．易求得K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）．解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以该抛物线的解析式为：y=38x 2﹣34x ﹣3；（2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ． ∴PB=6﹣3t ．由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）． 在Rt △BOC 中，BC=2234+=5． 如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．∴QH ∥CO ， ∴△BHQ ∽△BOC ，∴HB OC BGBC=，即Hb 35t=，∴HQ=35t ． ∴S △PBQ =12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+95t=﹣910（t ﹣1）2+910．当△PBQ 存在时，0＜t ＜2 ∴当t=1时，S △PBQ 最大=910． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）． 把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得403k c c +=⎧⎨=-⎩， 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．∴设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，34m ﹣3）．∴EK=34m ﹣3﹣（38m 2﹣34m ﹣3）=﹣38m 2+32m ．当△PBQ 的面积最大时，∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =910．∴S△CBK=94．S△CBK=S△CEK+S△BEK=12EK•m+12•EK•（4﹣m）=12×4•EK=2（﹣38m2+32m）=﹣34m2+3m．即：﹣34m2+3m=94．解得 m1=1，m2=3．∴K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．4．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，∴当t=时，y 最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8， ∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门． 考点：二次函数的应用．5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D 为抛物线对称轴上一动点，求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小； （3）如图2，点E 在第一象限抛物线上，AE 与BC 交于点F ，若AF ：FE ＝2：1，求E 点坐标；（4）点M 、N 同时从B 点出发，分别沿BA 、BC 方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M 运动到点A 时，点N 停止运动，则当点N 停止运动后，在x 轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ⎛⎫⎪⎝⎭（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【解析】 【分析】（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得AB AF2EH EF==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标 【详解】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4， 得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩解得a ＝43-，b ＝83， ∴抛物线的解析式248433y x x =-++； （2）22484164(1)3333=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1， ∴D 的横坐标为1，由（1）可得C （0，4）， ∵B （3，0）， ∴直线BC ：4y 43x =-+ ∵DA ＝DB ，△DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ， 连接BC ，与对称轴交于点D ，此时CD+BD 最小， ∵AC 为定值， ∴此时△DAC 的周长， 当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83， ∴D （1，83）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，∴△ABF ∽△EHF ， ∵AF ：FE ＝2：1，∴AB AF2EH EF ==， ∵AB ＝4， ∴EH ＝2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+） ∵EH ∥AB ， ∴y E ＝y H ，∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2，y ＝163或4， ∴E （1，163）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4） ∴AB ＝4，OC ＝4，点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4， ∴BN ＝4，∵△PBN 是等腰三角形， ①BP ＝BC 时，若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1， ∴P 1（﹣1，0），若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7， ∴P 2（7，0）；②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴， △NHB ∽△COB ，∴45NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445⨯＝165，BH ＝45BC ＝125， ∴PH ＝BH ＝125， BP ＝245， ∴OP ＝BP ﹣OB ＝249355-=， ∴P 3（﹣95，0）； ③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ， ∴△NOB ∽△PKB ，∴PB BKBN OB= ∴PB ＝83，∴OP ＝OB ﹣PB ＝3﹣83＝13P 4（13，0） 综上，当△PBN 是等腰三角形时，点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D 点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键6．如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A B 、两点，其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .(1)求mn 、的值及该抛物线的解析式; (2)如图2.若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合).分别以AP 、DP 为斜边,在直线AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标.(3)如图3.连接BD 、CD ,在线段CD 上是否存在点Q ,使得以A D Q 、、为顶点的三角形与△ABD 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）265y x x =-+-；（2）当2m =，即2AP =时，MPN S ∆最大，此时3OP =,所以()3,0P ；（3）存在点Q 坐标为2-3（，）或78-33⎛⎫⎪⎝⎭，. 【解析】分析：（1）把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出m 与n 的值，确定出A 与B 坐标，代入二次函数解析式求出b 与c 的值即可；（2）由等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ，得到∠MPN 为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN 面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P 的坐标即可； （3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ 的长，利用两点间的距离公式求出Q 坐标即可．详解：（1）把A （m ，0），B （4，n ）代入y =x ﹣1得：m =1，n =3，∴A （1，0），B （4，3）．∵y =﹣x 2+bx +c 经过点A 与点B ，∴101643b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：65b c =⎧⎨=-⎩，则二次函数解析式为y =﹣x 2+6x ﹣5；（2）如图2，△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM =∠DPN =45°，∴∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，令﹣x 2+6x ﹣5=0，得到x =1或x =5，∴D （5，0），即DP =5﹣1=4，设AP =m ，则有DP =4﹣m ，∴PM =2m ，PN =2（4﹣m ），∴S △MPN =12PM •PN =12×2m ×2（4﹣m ）=﹣14m 2﹣m =﹣14（m ﹣2）2+1，∴当m =2，即AP =2时，S △MPN 最大，此时OP =3，即P （3，0）；（3）存在，易得直线CD 解析式为y =x ﹣5，设Q （x ，x ﹣5），由题意得：∠BAD =∠ADC =45°，分两种情况讨论：①当△ABD ∽△DAQ 时，AB DA =BD AQ 4AQ ，解得：AQ 公式得：（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=1283，解得：x =73，此时Q （73，﹣83）；②当△ABD ∽△DQA 时，BDAQ=1，即AQ ，∴（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=10，解得：x =2，此时Q （2，﹣3）．综上，点Q 的坐标为（2，﹣3）或（73，﹣83）． 点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ． （1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D 的坐标，OE 等于多少； （2）OE 的长是否与a 值有关，说明你的理由； （3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a 的取值范围；（4）以DE 为斜边，在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE ．设P （m ，n ），直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围．【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣3≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．【解析】【分析】(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；(2)利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断；(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解：(1)当a=﹣1时，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴顶点D(﹣1，4)，C(0，3)，∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，∴E（3，0），∴OE=3，(2)结论：OE的长与a值无关．理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，当y=0时，x=3，∴E（3，0），∴OE=3，∴OE的长与a值无关．(3)当β=45°时，OC=OE=3，∴﹣3a=3，∴a=﹣1，当β=60°时，在Rt△OCE中，33∴﹣3∴a=3，∴45°≤β≤60°，a3≤a≤﹣1．(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，∴∠DPM=∠EPN，∴△DPM≌△EPN，∴PM=PN，PM=EN，∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，∴EN=4+n=3﹣m，∴n=﹣m﹣1，当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1，∵抛物线的顶点在第二象限，∴m＜1．∴n=﹣m﹣1(m＜1)．故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)﹣3≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。
2023年四川省眉山市中考数学真题+答案解析
2023年四川省眉山市中考数学真题+答案解析（真题部分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。
1．（4分）的倒数是（）A．B．C．﹣2 D．22．（4分）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示正确的是（）A．2.1×10﹣6B．21×10﹣6C．2.1×10﹣5D．21×10﹣53．（4分）下列运算中，正确的是（）A．3a3﹣a2＝2a B．（a+b）2＝a2+b2C．a3b2÷a2＝a D．（a2b）2＝a4b24．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．140°5．（4分）已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为（）A．2 B．4 C．6 D．106．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．B．m＞3 C．m≤3D．m＜37．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．38．（4分）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（）A．6 B．9 C．10 D．149．（4分）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（）A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣310．（4分）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（）A．25°B．35°C．40°D．45°11．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．下列四个结论：①AH＝HC；②HD＝CD；③∠F AB＝∠DHE；④AK•HD＝．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。
2020年《二次函数》解答题中考题汇编
2020年《二次函数》解答题中考题汇编2 1．（2020•南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．2．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．（1）求抛物线的解析式；（2）当tan∠EMF＝时，请直接写出t的值；（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．4．（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；＝，求点P的坐标；（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△P AC（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．5．（2020•德阳）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．6．（2020•锦州）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y＝与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG＝S△OEG时，求m的值；②在平面内是否在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2020•朝阳）如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．（1）求抛物线表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值．8．（2020•鞍山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME沿ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AMC面积的时，请直接写出线段AM的长．9．（2020•赤峰）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B （4，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2经过B，C两点．（1）直接写出二次函数的解析式；（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；（3）过（2）中的点Q作QE∥y轴，交x轴于点E．若点M是抛物线上一个动点，点N 是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2020•大连）在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F2的图象关于y轴对称，它们与直线x＝t（t＞0）分别相交于点P，Q．（1）如图，函数F1为y＝x+1，当t＝2时，PQ的长为；（2）函数F1为y＝，当PQ＝6时，t的值为；（3）函数F1为y＝ax2+bx+c（a≠0），①当t＝时，求△OPQ的面积；②若c＞0，函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），当c≤x≤c+1时，设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．11．（2020•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．12．（2020•葫芦岛）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．13．（2020•呼伦贝尔）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．14．（2020•铁岭）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，与x轴交于点H，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上存在一点G，使∠GBA+∠PBE＝45°，请求出点G的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QEB与△PEB的面积相等，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．15．（2020•沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．①直接写出△MBN的形状为；②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1＝S2时，求点M的坐标；（3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE 绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝2时，请直接写出点G的坐标为．16．（2020•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n 的取值范围．（直接写出结果即可）17．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c （a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．18．（2020•眉山）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2020•河池）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax2﹣a（p+q）x+apq．（1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若a＝﹣1，如图（1），A（﹣1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D．当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；（3）已知抛物线C3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F（4，3）．若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围．20．（2020•雅安）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），（1）求二次函数的表达式及A点坐标；（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．21．（2020•绵阳）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．22．（2020•长春）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．23．（2020•海南）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．24．（2020•丹东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B 两点，A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），直线y＝﹣x+m与抛物线交于B，D两点．（1）求抛物线的函数表达式．（2）求m的值和D点坐标．（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（﹣，0）．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为t（t＞0），连接AD，过M作MG⊥AD 于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′Q′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．25．（2020•益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝PH．【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2】（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）；（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；x…02468…y……（3）点C关于x轴的对称点为C'，点P在直线C'F的下方时，求线段PF长度的取值范围．26．（2020•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B 在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．28．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．29．（2020•黔南州）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB 于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为；（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．30．（2020•鄂尔多斯）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．31．（2020•牡丹江）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和点C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF＝∠DAB，DE＝EF，直接写出线段BE的长．32．（2020•随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N 以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q 为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）33．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+kx ﹣2k 的顶点为N ．（1）若此抛物线过点A （﹣3，1），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若抛物线与y 轴交于点B ，连接AB ，C 为抛物线上一点，且位于线段AB 的上方，过C 作CD 垂直x 轴于点D ，CD 交AB 于点E ，若CE ＝ED ，求点C 坐标；（3）已知点M （2﹣，0），且无论k 取何值，抛物线都经过定点H ，当∠MHN ＝60°时，求抛物线的解析式．34．（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A （﹣2，﹣1），B （3，﹣1），以O 为圆心，OA 的长为半径的半圆O 交AO 延长线于C ，连接AB ，BC ，过O 作ED ∥BC 分别交AB 和半圆O 于E ，D ，连接OB ，CD ．（1）求证：BC 是半圆O 的切线；（2）试判断四边形OBCD 的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D 且顶点为E ．①求此抛物线的解析式；②点P 是此抛物线对称轴上的一个动点，以E ，D ，P 为顶点的三角形与△OAB 相似，问抛物线上是否存在一点Q ．使S △EPQ ＝S △OAB ？若存在，请直接写出Q 点的横坐标；若不存在，说明理由．35．（2020•娄底）如图，抛物线经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P （m ，n ）是抛物线上的动点，当﹣3＜m ＜0时，试确定m 的值，使得△PAC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B 的点D ，满足DA 2﹣DC 2＝6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2020•郴州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2020•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．（1）求b的值及点M的坐标；（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2020•玉林）如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．40．（2020•恩施州）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x ＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y＝﹣x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC＝（如图2）．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．。
2023年中考数学压轴题专题02 二次函数与直角三角形问题【含答案】
专题2二次函数与直角三角形问题解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．图1图2图3如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．如图4，已知A(3,0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么341m m-=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．对于代数法，可以采用两条直线的斜率之积来解决.【例1】（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．【例2】．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【例3】．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C 两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．【例4】．（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．1．（2022•公安县模拟）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（2，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；的最大值以及此时E点的坐标；（2）点E是抛物线AB之间的一个动点（不与A，B重合），求S△ABE（3）根据问题（2）的条件，判断是否存在点E使得△ABE为直角三角形，如果存在，求出E点的坐标，如果不存在，说明理由．2．（2022•高邮市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC∥x 轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，若．（1）求点B的坐标；（2）点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．3．（2022•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点．（1）求b，c的值；（2）点E为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一点，且点E在x轴上方，连接BE，以点E为直角顶点，BE为直角边，作等直角△BED，使得点D恰好落在直线y＝x上，求出满足条件的所有点E的坐标．4．（2022•雁峰区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝x+1与x轴交于点E，与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）M在直线DE上，当△CDM为直角三角形时，求出点M的坐标．5．（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A （﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022•太原一模）综合与实践如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC 下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．7．（2022•桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D两点，连接AC．（1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式；（2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．8．（2022•沈阳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点M是抛物线上B，C之间的一个动点，线段MA绕点M逆时针旋转90°得到MN，当点N恰好落在y轴上时，求点M，点N的坐标．（3）如图2，若点E坐标为（2，0），EF⊥x轴交直线BC于点F，将△BEF沿直线BC平移得到△B'E'F'，在△B'E'F'移动过程中，是否存在使△ACE'为直角三角形的情况？若存在，请直接写出所有符合条件的点E′的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2022•东坡区校级模拟）如图，抛物线y＝x2﹣（m+2）x+4的顶点C在x轴的正半轴上，直线y＝x+2与抛物线交于A，B两点，且点A在点B的左侧．（1）求m的值；（2）点P是抛物线y＝x2﹣（m+2）x+4上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求点P的坐标；（3）将直线AB向下平移k（k＞0）个单位长度，平移后的直线与抛物线交于D，E两点（点D在点E的左侧），当△DEC为直角三角形时，求k的值．10．（2022•海沧区二模）抛物线y1＝ax2﹣2ax+c（a＜2且a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点M（m，n）在该抛物线上，点P是抛物线的最低点．（1）若m＝2，n＝﹣3，求a的值；（2）记△PMB面积为S，证明：当1＜m＜3时，S＜2；（3）将直线BP向上平移t个单位长度得直线y2＝kx+b（k≠0），与y轴交于点C，与抛物线交于点E，当x ＜﹣1时，总有y1＞y2．当﹣1＜x＜1时，总有y1＜y2．是否存在t≥4，使得△CDE是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．11．（2021•葫芦岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中B（﹣2，3），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点D（﹣2，﹣1）在直线BC上，点E为y轴右侧抛物线上一点，连接BE、AE，DE，若S△BDE＝4S△ABE，求E点坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线DB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，连接AP，AQ，PQ，若△APQ为直角三角形，请直接写出P点坐标．12．（2021•和平区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣，交y轴于点A，交x轴于B（﹣1，0），C（5，0）两点，抛物线的顶点为D，连接AC，CD．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；（3）过点D作x轴的垂线交AC于点G，点H为线段CD上一动点，连接GH，将△DGH沿GH翻折到△GHR（点R，点G分别位于直线CD的两侧），GR交CD于点K，当△GHK为直角三角形时．①请直接写出线段HK的长为；②将此Rt△GHK绕点H逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△MHN，若直线MN分别与直线CD，直线DG交于点P，Q，当△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的纵坐标为﹣或﹣．13．（2021•莱芜区三模）二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（﹣3，0），交y轴于点C （0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点E为抛物线的顶点，点T（0，t）为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B′，E′，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t的值；（3）如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P．当以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．14．（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）请画出抛物线的图象；（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．15．（2021•武汉模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．（1）请直接写出b＝﹣8，A点的坐标是（2，0），B点的坐标是（6，0）；（2）如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；（3）如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P 点的坐标．16．（2021•北碚区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．（1）求直线BC的解析式；（2）过点A作AD∥BC交抛物线于D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，△BCD的面积为S2，当S1﹣S2的值最大时，求P点的坐标和S1﹣S2的最大值；（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为A'C'（线段A'C'始终在直线l左侧），是否存在以A'，C'，G为顶点的等腰直角△A'C'G？若存在，请写出满足要求的所有点G的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．17（2021•广东模拟）如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于B、C两点．抛物线y＝x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动的时间为t秒．①点P在运动过程中，若∠CBP＝15°，求t的值；②当t为何值时，以P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值．18.（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．19.（2021•毕节市）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．（1）填空：点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（2，﹣1），抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值；（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20.（2021•兰溪市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣m+4图象的顶点为C，其中m＞0，与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点D，点M的坐标为（0，4）．（1）当m＝2时，抛物线y＝a（x﹣m）2﹣m+4（m＞0）经过原点，求a的值；（2）当a＝﹣1时，①若点M，点D，点C三点组成的三角形是直角三角形，求此时点D的坐标．②设反比例函数y＝﹣（x＞0）与抛物线y＝a（x﹣m）2﹣m+4（m＞0）相交于点E（p，q）．当2＜p ＜4时，求m的取值范围．【例1】．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．【分析】（1）根据坐标轴上点的特点求出点A，C的坐标，即可求出答案；（2）设出点P的坐标，利用PA＝PC建立方程求解，即可求出答案；（3）分三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出前两种情况，利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案．【解析】（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝3或x＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AC＝＝；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵点P为该抛物线对称轴上，∴设P（1，p），∴PA＝＝，PC＝＝，∵PA＝PC，∴＝，∴p＝﹣1，∴P（1，﹣1）；（3）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，设M（m，m2﹣2m﹣3），∵△BCM为直角三角形，∴①当∠BCM＝90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，∴∠HMC＝45°＝∠HCM，∴CH＝MH，∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，∴﹣m2+2m＝m，∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，∴M（1，﹣4）；②当∠CBM＝90°时，过点M作M'H'⊥x轴，同①的方法得，M'（﹣2，5）；③当∠BMC＝90°时，如图2，Ⅰ、当点M在第四象限时，过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，∴∠CDM＝∠E＝90°，∴∠DCM+∠DMC＝90°，∵∠DMC+∠EMB＝90°，∴∠DCM＝∠EMB，∴△CDM∽△MEB，∴，∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，∴，∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝（不符合题意，舍去）或m ＝，∴M（，﹣），Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，﹣），即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．【例2】．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【分析】（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，即可求解；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），由DH∥OC，可得＝＝，求出D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝45°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，证明△MDF≌△NOD（AAS），可得D点纵坐标为2，求出D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，证明△KDF≌△LFO（AAS），得到D点纵坐标为4，求得D（0，4）或（﹣3，4）．【解析】（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝45°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．【例3】（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．【分析】（1）把点B，C两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，可得结论；（2）存在．如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题；（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M （﹣1，﹣4），分三种情形：∠PAB＝90°，∠PBA＝90°，∠APB＝90°，分别求解可得结论．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．令y＝0，则x2+x﹣4＝0，解得x＝﹣4或2，∴A（﹣4，0），C（2，0），∵B（0，﹣4），∴OA＝OB＝4，＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）∵S△ABD2+4，∵﹣1＜0，∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（﹣2，﹣4）；（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．【例4】．（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，解二元一次方程组即可得b，c的值，令y＝0即可得m的值；（2）设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），表示出四边形DEFG的周长，根据二次函数的最值即可求解；（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK，根据全等三角形的性质得NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，则N（﹣4，3），利用待定系数法可得直线BN的解析式为y＝﹣x+，可得Q（0，），设P（2，p），利用勾股定理表示出PQ2、BP2、BQ2，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，②当∠QBP＝90°时，利用勾股定理即可求解．【解析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得．∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴B（5，0），∴m＝5；（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），∵DE∥x轴，∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，∴四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，∴∠NKC＝∠MHC＝90°，由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，∵B（5，0），C（0，5）．∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵CH⊥对称轴于H，∴CH∥x轴，∴∠BCH＝45°，∴∠BCH＝∠OCB，∴∠NCK＝∠MCH，∴△MCH≌△NCK（AAS），∴NK＝MH，CK＝CH，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，M（2，9），∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，∴N（﹣4，3），设直线BN的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线BN的解析式为y＝﹣x+，∴Q（0，），设P（2，p），∴PQ2＝22+（p﹣）2＝p2﹣p+，BP2＝（5﹣2）2p2＝9+p2，BQ2＝52+（）2＝25+，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，∴9+p2＝p2﹣p++25+，解得p＝，∴点P的坐标为（2，）；②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，∴p2﹣p+＝9+p2+25+，解得p＝﹣9，∴点P′的坐标为（2，﹣9）．综上，所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）．1．（2022•公安县模拟）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（2，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；的最大值以及此时E点的坐标；（2）点E是抛物线AB之间的一个动点（不与A，B重合），求S△ABE（3）根据问题（2）的条件，判断是否存在点E使得△ABE为直角三角形，如果存在，求出E点的坐标，如果不存在，说明理由．【分析】（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值；（2）过点E作EF∥y轴交线段AB于点F，设点E（t，﹣t2+2t+3），则F（t，t+1），则可得到EF与x的函数关系式，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标，最后根据EF的最大值可得△ABE的面积；（3）存在，设E（m，﹣m2+2m+3），分三种情况：分别以A，B，E为直角顶点，作出辅助线，构造相似列出方程，解方程即可．【解析】（1）∵点A（﹣1，0），C（2，0），∴AC＝3，OC＝2，∵AC＝BC＝3，∴B（2，3），把A（﹣1，0）和B（2，3）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（2，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b′，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，如图，过点E作EF∥y轴交线段AB于点F，∴设点E（t，﹣t2+2t+3），则F（t，t+1），∴EF＝﹣t2+2t+3﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，），最大，S△ABE＝•EF•（x B−x A）＝××（2+1）＝．∴此时S△ABE（3）在问题（2）的条件下，存在点E使得△ABE为直角三角形；设E（m，﹣m2+2m+3），①当点A为直角顶点，过点A作AB的垂线，与AB之间的抛物线无交点，故不可能存在点E使得△ABE为以点A为直角顶点的直角三角形，②当点B为直角顶点，如下图，此时∠EBA＝90°，过点E作EG⊥CB，交CB延长线于点G，∵BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝45°，∴∠EBG＝45°，∴△BEG是等腰直角三角形，EG＝BG，∵EG的长为点E与直线BC的距离，即2﹣m，且BG＝CG﹣BC＝﹣m2+2m+3﹣3＝﹣m2+2m，∴2﹣m＝＝﹣m2+2m，解得m＝1或m＝2（舍），∴E（1，4）；③如下图，此时∠AEB＝90°，作EM∥x轴，交CB的延长线于点M，过点A作AN⊥x轴交ME的延长线于点N，∴∠BEM+∠AEN＝90°，∵在Rt△AEN中，∠EAN+∠AEN＝90°，∴∠BEM＝∠EAN，∴△AEN∽△BEM，∴BM：EN＝EM：AN，∴（﹣m2+2m）：（m+1）＝（2﹣m）：（﹣m2+2m+3），即﹣m（2﹣m）（m+1）（m﹣3）＝（2﹣m）（m+1），∵2﹣m≠0，m+1≠0，∴m2﹣3m+1＝0，解得m＝或m＝（舍）．∴E（，）综上，根据问题（2）的条件，存在点E（1，4）或（，）使得△ABE为直角三角形．2．（2022•高邮市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC∥x 轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，若．（1）求点B的坐标；（2）点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．【分析】（1）根据A（﹣1，0），得到OA＝l，对于y＝ax2+bx﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，得到C（0，﹣3），OC＝3，根据BC∥x轴，得到△AOD∽△BCD，推出，得到BC＝2，即可得B（2，﹣3）；（2）把A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，求得a＝1，b＝﹣2，得到抛物线解析式并配方为y ＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得到抛物线的对称轴是直线x＝1，设P（1，m），写出PA2＝m2+22＝m2+4．PC2＝（m+3）2+12＝（m+3）2+1．AC2＝12+32＝10．根据△PAC是以AC为直角边的直角三角形，当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2．得到m2+4+10＝（m+3）2+1，求得m＝；当∠PCA＝90°时，PC2+AC2＝AP2，得到（m+3）2+1+10＝m2+4，求出m＝﹣；即可得点P的坐标．【解析】∵A（﹣1，0），∴OA＝l，在y＝ax2+bx﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∵BC∥x轴，∴△AOD∽△BCD，∴，∴BC＝2，∴B（2，﹣3）；（2）把A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，设P（1，m），∴PA2＝m2+22＝m2+4．PC2＝（m+3）2+12＝（m+3）2+1．AC2＝12+32＝10．∵△PAC是以AC为直角边的直角三角形，当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2．∴m2+4+10＝（m+3）2+1，解得m＝；当∠PCA＝90°时，PC2+AC2＝AP2，∴（m+3）2+1+10＝m2+4，解得m＝﹣（不符合题意，舍去）．∴P（1，）．3．（2022•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点．（1）求b，c的值；（2）点E为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一点，且点E在x轴上方，连接BE，以点E为直角顶点，BE为直角边，作等直角△BED，使得点D恰好落在直线y＝x上，求出满足条件的所有点E的坐标．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（m，m），E（n，﹣n2+2n+8），分两种情况：当点E1在点D左侧，∠DE1B＝90°，BE1＝D1E1时，当点E2在点D2右侧，∠D2E2B＝90°，BE2＝D2E2时，利用等腰直角三角形性质，添加辅助线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质建立方程求解即可得出答案．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴，解得：，∴b＝2，c＝8；（2）∵点D在直线y＝x上，点E在抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+8上，∴设D（m，m），E（n，﹣n2+2n+8），当点E1在点D左侧，∠DE1B＝90°，BE1＝D1E1时，如图，过点E1作E1G∥x轴，过点B作BF⊥EG于点F，过点D1作D1G⊥E1G于点G，则∠BFE1＝∠E1GD1＝90°，BF＝﹣n2+2n+8，E1F＝4﹣n，E1G＝m﹣n，D1G＝m﹣（﹣n2+2n+8）＝n2﹣2n﹣8+m，∴∠E1BF+∠BE1F＝90°，∵∠D1E1G+∠BE1F＝90°，∴∠E1BF＝∠D1E1G，在△BE1F和△E1D1G中，，∴△BE1F≌△E1D1G（AAS），∴E1F＝D1G，BF＝E1G，∴，解得：，当n＝2时，﹣n2+2n+8＝﹣22+2×2+8＝8，∴E1（2，8）；当点E2在点D2右侧，∠D2E2B＝90°，BE2＝D2E2时，如图，过点E2作E2H⊥x轴于点H，过点D2作D2K ⊥E2H于点K，则∠BHE2＝∠E2KD2＝90°，BH＝4﹣n，E2H＝﹣n2+2n+8，E2K＝﹣n2+2n+8﹣m，D2K＝n﹣m，同理可得△BE2H≌△E2D2K（AAS），∴E2H＝D2K，BH＝E2K，∴，解得：或，∴E（1+，2）或（1﹣，2）；综上所述，满足条件的所有点E的坐标为（2，8）或（1+，2）或（1﹣，2）．4．（2022•雁峰区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝x+1与x轴交于点E，与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）M在直线DE上，当△CDM为直角三角形时，求出点M的坐标．【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，列方程组，于是得到答案；（2）令x＝0，则y＝x+1＝1，求得OD＝1，作PH⊥OB，垂足为H，得到∠COA＝∠PHO＝90°，根据平行线的性质得到∠P＝∠DOQ，∠PFQ＝∠ODQ，根据全等三角形的性质得到PF＝OD＝1，设P点横坐标为x，得到方程﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝1，求得x1＝2，x2＝﹣，当x＝2时，y＝3，当x＝﹣时，y ＝，于是得到答案；（3）求得CD＝OC﹣OD＝2，设M（a，a+1），分两种情况①当∠CMD＝90°时，②当∠DCM＝90°时，根据勾股定理即可得到结论．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，则y＝x+1＝1，∴OD＝1，如图，作PH⊥OB，垂足为H，交ED于F，则∠COA＝∠PHO＝90°，∴PH∥OC，∴∠OPF＝∠DOQ，∠PFQ＝∠ODQ，又Q是OP中点，∴PQ＝OQ，∴△PFQ≌△ODQ（AAS），∴PF＝OD＝1设P点横坐标为x，则﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝1，解得：x1＝2，x2＝﹣，当x＝2时，y＝3，当x＝﹣时，y＝，∴点P的坐标是（2，3）或（﹣，）；（3）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，∴OC＝3，∴CD＝OC﹣OD＝2，设M（a，a+1），∴CM2＝a2+（3﹣a﹣1）2＝a2﹣2a+4，DM2＝a2+（a+1﹣1）2＝a2，①当∠CMD＝90°时，∴CD2＝CM2+DM2，∴22＝a2﹣2a+4+a2，解得：a1＝，a2＝0（舍去），当a＝时，a+1＝，∴M（，）；②当∠DCM＝90°时，∴CD2+CM2＝DM2，∴22+a2﹣2a+4＝a2，解得：a＝4，当a＝4时，a+1＝3，∴M（4，3）；解法二：∵∠DCM＝90°，∴CM∥x轴，∴a+1＝3，解得a＝4，∴M（4，3）；综上所述：点M的坐标为（，）或（4，3）．5．（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A （﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设y＝（x﹣2）2+k，用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，设P（m，m2﹣4m﹣5），根据∠PAB＝45°知AM＝PM，即|m2﹣4m﹣5|＝m+1，解得m的值，即可得P的坐标是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）由y＝x2﹣4x﹣5求出B（5，0），C（0，﹣5），设Q（2，t），有BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，分三种情况：当BC为斜边时，9+t2+4+（t+5）2＝50，当BQ为斜边时，50+4+（t+5）2＝9+t2，当CQ 为斜边时，50+9+t2＝4+（t+5）2，分别解得t的值，即可求出相应Q的坐标．【解析】（1）设y＝（x﹣2）2+k，把A（﹣1，0）代入得：（﹣1﹣2）2+k＝0，解得：k＝﹣9，∴y＝（x﹣2）2﹣9＝x2﹣4x﹣5，答：抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，如图：设P（m，m2﹣4m﹣5），则PM＝|m2﹣4m﹣5|，∵A（﹣1，0），∴AM＝m+1∵∠PAB＝45°∴AM＝PM，∴|m2﹣4m﹣5|＝m+1，即m2﹣4m﹣5＝m+1或m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），当m2﹣4m﹣5＝m+1时，解得：m1＝6，m2＝﹣1（不合题意，舍去），当m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），解得m3＝4，m4＝﹣1（不合题意，舍去），∴P的坐标是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，∴B（5，0），C（0，﹣5），由抛物线y＝x2﹣4x﹣5的对称轴为直线x＝2，设Q（2，t），∴BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，当BC为斜边时，BQ2+CQ2＝BC2，∴9+t2+4+（t+5）2＝50，解得t＝﹣6或t＝1，∴此时Q坐标为（2，﹣6）或（2，1）；当BQ为斜边时，BC2+CQ2＝BQ2，∴50+4+（t+5）2＝9+t2，解得t＝﹣7，∴此时Q坐标为（2，﹣7）；当CQ为斜边时，BC2+BQ2＝CQ2，∴50+9+t2＝4+（t+5）2，解得t＝3，∴此时Q坐标为（2，3）；综上所述，Q的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）．6．（2022•太原一模）综合与实践如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC 下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，求得点C、A的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），可得DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得线段DE的最大值；（3）设F（﹣1，n），根据两点间距离公式可得：AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，分三种情况：①当∠AFC＝90°时，②当∠CAF＝90°时，③当∠ACF＝90°时，分别建立方程求解即可．【解析】（1）在y＝x2+2x﹣8中，令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8），令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），∵点D在点E的下方，∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣2时，线段DE最大值为4；（3）∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设F（﹣1，n），又A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，①当∠AFC＝90°时，∵AF2+CF2＝AC2，∴n2+9+n2+16n+65＝80，解得：n1＝﹣4﹣，n2＝﹣4+，∴F（﹣1，﹣4﹣）或（﹣1，﹣4+）；②当∠CAF＝90°时，∵AF2+AC2＝CF2，∴n2+9+80＝n2+16n+65，解得：n＝，∴F（﹣1，）；③当∠ACF＝90°时，∵CF2+AC2＝AF2，∴n2+16n+65+80＝n2+9，解得：n＝﹣，∴F（﹣1，﹣）；综上所述，点F的坐标为（﹣1，﹣4﹣）或（﹣1，﹣4+）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）．7．（2022•桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D两点，连接AC．（1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式；（2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）令x＝0，y＝0，可分别求出A、B、C三点坐标，在求出函数的对称轴即可求D点坐标，利用待定系数法求直线解析式即可；（2）设E（t，﹣t+2），分三种情况讨论：①当∠CAE＝90°时，AC2+AE2＝CE2，②当∠ACE＝90°时，AC2+CE2＝AE2，③当∠AEC＝90°时，AE2+CE2＝AC2，分别利用勾股定理求解即可．【解析】（1）令y＝0，则﹣＝0，解得x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），∵y＝﹣＝﹣（x﹣2）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴D（2，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，。
【组卷】二次函数压轴题1
二次函数压轴题11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．2．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．3．如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．4．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2﹣x+8与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，Rt△CDE≌Rt△ABO，且△CDE始终保持边ED经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G．（1）填空：OA的长是，∠ABO的度数是度；（2）如图2，当DE∥AB，连接HN．①求证：四边形AMHN是平行四边形；②判断点D是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图3，当边CD经过点O时，（此时点O与点G重合），过点D作DQ∥OB，交AB延长线上于点Q，延长ED到点K，使DK=DN，过点K作KI∥OB，在KI上取一点P，使得∠PDK=45°（点P，Q在直线ED的同侧），连接PQ，请直接写出PQ的长．5．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．6．如图1，抛物线C1：y=x2+ax与C2：y=﹣x2+bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点．（1）求的值；（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；（3）抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知，抛物线y=ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP=S△ACD，求点P的坐标；（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点D是线段BC中点，点E是BC上方抛物线上一动点，连接CE，DE．当△CDE的面积最大时，过点E 作y轴垂线，垂足为F，点P为线段EF上一动点，将△CEF绕点C沿顺时针方向旋转90°，点F，P，E的对应点分别是F′，P′，E′，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到点F′处，再沿F′C运动到点C 处，最后沿适当的路径运动到点P′处停止．求△CDE面积的最大值及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，直线BH经过点B与y轴交于点H（0，3）动点M从O出发沿OB方向以每秒1个单位长度向点B运动，同时动点N从B点沿BH方向以每秒2个单位长度的速度向点H运动，当点N运动到H点时，点M，点N同时停止运动，设运动时间为t．运动过程中，过点N作OB的平行线交y轴于点I，连接MI，MN，将△MNI沿NI翻折得△M′NI，连接HM′，当△M′HN为等腰三角形时，求t的值．12．如图，抛物线y=﹣x2+x+6交x轴于A、B两点，点A在点B的右侧，交y轴于点C，点D为顶点．（1）求点A、D的坐标；（2）若点P是抛物线上位于第一象限内对称轴右侧的一个动点，当S△ABP=45时，在线段AC上有一动点Q，当PQ+QA的值最小时，求Q的坐标和PQ+QA的最小值；（3）如图2，点F是y轴上一点，且OF=2OB，连接BF将△BOF沿x轴向右平移，得△B′O′F′，当点F′恰好落在AC上时，连接OF′，将△AOF′绕点F′顺时针旋转α（0°＜α＜180°），记旋转中的△AOF′为△A′O″F′，在旋转过程中，设直线A′O″分别与x轴、直线AC交于点M、N，当△AMN是等腰三角形时，求AN的值．13．如图1，等腰△ABO的底边OA在x轴上，点O为坐标系原点，A（4，0），△ABO的面积为8点C为边AB中点，抛物线经过A、B、O三点．（1）求抛物线的解析式及直线OC的解析式；（2）若点P为直线OC上方抛物线上的一个动点，连接PO、PC，当△POC的面积最大时，过点P向x轴作垂线交x轴于点G，在直线OB上找一个点K，使∠GKO=∠GCA，求线段OK的长度：（3）如图2，抛物线对称轴与x轴交于点H，在线段BH上有一点E距x轴4个单位长，直线AE交线段OC 于点D，交y轴于点F，△ODE从点E开始沿射线DF平移，同时点T从点F开始沿折线FO一OA运动，且△ODE平移的速度为点T运动速度的倍，当点T到达点A时△ODE停止运动，设△ODE平移过程中对应的图形为△O'D'E'，当△TEE′为等腰三角形时，求线段EE'的长度．14．如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若=，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．15．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF ⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE=EF；（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）2]．17．如图，已知点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；（2）证明∠ACO=∠OBC；（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G 是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y轴于点D．（1）求该二次函数的表达式；（2）求证：四边形ACHD是正方形；（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N．①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值．19．在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax2（a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．20．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
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如图，已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过点A （2，3），B （6，1），C （0，－2）．
（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；
（2）点P 是抛物线对称轴上的动点，当AP ⊥CP 时，求点P 的
坐标；
（3）设直线BC 与x 轴交于点D ，点H 是抛物线与x 轴的一个交
点，点E （t ，n ）是抛物线上的动点，四边形OEDC 的面积为
S ．当S 取何值时，满足条件的点E 只有一个？当S 取何值时，
满足条件的点E 有两个？
【答案】解：（1）将A ，B ，C 三点坐标代入y=ax 2＋bx ＋c 中，得
42336612a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得12722a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩。
∴y=－12x 2＋72x －2=－12（x －72）2＋338。
（2）设点P （72
，m ），分别过A 、C 两点作对称轴的垂线，垂足为A ′，C ′。
∵AP ⊥CP ，∴△AA ′P ∽△PC ′C 。
∴AA A P PC CC ''=''，即723m 2m 22
--=+， 解得m 1=32，m 2=12
-。
∴P （72，32）或（72，12
-）。
（3）由B（6，1），C（0，－2），得直线BC的解析式为y=1
2
x－
2，∴D（4，0）。
∵四边形OEDC只能在x上方，∴n＞0。
又S=S△CDO＋S△EDO=11
244n=4+2n
22
⋅⋅+⋅⋅，∴
S
n=2
2
-。
∵点E（t，n）在抛物线上，∴n =－1
2
t 2＋7
2
t－2，代入S
n=2
2
-，得
关于t的方程t 2－7 t＋S=0，方程根的判别式△=49－4S。
当△=0时，S=49
4
，
33
n=
8
，此时方程只有一解，满足条件的点E只有
一个，位于抛物线顶点处（图1）。
当△＞0时，S＜49
4
，由S＞4，所以4＜S＜
49
4。
此时点E的情况如
下：
设B′是抛物线上点B关于对称轴的对称点，即n =1，S=6。
由t 2－7 t
＋6=0得
t=1或t=6。
此时点E的坐标为（1，1）或（6，1），即满足条件的点E与点B′或B重合（图2）。
①当6＜S＜49
4
时，方程有两个不相等的根，此时，1＜t＜6，1＜n＜
33
8
，故满足
条件的点E位于直线B′B上方的抛物线上。
故此时满足条件的点E有两个（图3）。
②当4＜S＜6时，方程有两个不相等的根，此时，0＜n＜1，而满足条
件的点E只能在
点H与点B′之间的抛物线上。
故此时满足条件的点E只有一个（图4）。
综上所述，当4＜S ＜6或S=
494时，满足条件的点E 有一个；当6≤S ＜494时，满足条件的点E 有两个。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称性，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式。
【分析】（1）将A 、B 、C 三点坐标代入y=ax 2+bx+c 中，列方程组求抛物线解析式，再用配方法求顶点式。
（2）当AP ⊥CP 时，分别过A 、C 两点作对称轴的垂线，垂足为A ′，C ′，利用互余关系得角相等，证明△AA ′P ∽△PC ′C ，利用相似比求P 点坐标。
（3）分别求出点E 为抛物线顶点，E ，B 重合时，图形的面积，当E 点为抛物线顶点时，即S=494满足条件的点E 只有一个；当6＜S ＜494
时，满足条件的点E 有两个；当4＜S ＜6时，满足条件的点E 只有一个。