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湘教版九年级数学知识点
湘教版九年级数学知识点九年级是初中数学学习的最后一个阶段，也是数学知识的整合和拓展的重要阶段。
湘教版九年级数学以概念全面、题目难度适中和综合运用能力的培养为特点。
本文将介绍九年级数学的知识点，以帮助同学们更好地复习和理解。
一、有理数有理数是整数和分数的统称，包括正数、负数和零。
在九年级数学中，学生将进一步加深对有理数的理解，包括有理数的比较、绝对值、相反数等概念。
此外，还会学习有理数的加减乘除运算规律，并将其应用于实际问题的解决过程中。
二、代数式与方程代数式是用字母表示数的算式，方程是含有一个或多个未知数的等式。
九年级数学的代数式与方程学习主要包括代数式的计算、代数式的合并与展开、一元一次方程、一元一次方程组等。
通过学习代数式与方程，同学们将逐渐掌握解方程和运用代数式解决实际问题的能力。
三、图形的初步认识九年级数学的几何部分主要包括图形的初步认识和平面图形的性质。
同学们将学习到不同类型图形的名称、性质和特点，如三角形、四边形、圆等，并学会用不同方法计算图形的周长、面积等。
同时，还将学习到图形的平移、翻转和旋转等基本变换。
四、数列与函数数列是按照一定规律排列的一列数，函数是两个变量之间的对应关系。
九年级数学的数列与函数学习主要包括等差数列、等比数列和函数的概念与性质。
同学们将学习到数列的通项公式和部分和公式，并掌握用函数表示实际问题的解决方法。
五、统计与概率统计是对大量数据进行整理、分析和归纳，概率是可能性的度量。
九年级数学的统计与概率学习主要包括统计图和概率的概念与应用。
同学们将学会用直方图、折线图、饼图等表示数据，并能够计算简单的概率。
六、三角函数三角函数是角的函数关系，九年级数学的三角函数学习主要包括三角函数的定义、性质和应用。
同学们将学习到正弦函数、余弦函数和正切函数的概念与计算方法，并能够解决与实际问题相关的三角函数应用题。
以上是湘教版九年级数学的知识点概述。
同学们在学习过程中，要注重理论的掌握与应用能力的培养，通过大量的练习提高数学解题的能力。
湘教版九年级数学上册知识点归纳总结教学内容
九上第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20++=（a、b、c为常数，ax bx ca≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
九年级数学湘教版知识点
九年级数学湘教版知识点九年级数学是中学阶段的最后一年，也是学生学习数学的重要时期。
湖南省教育厅编写的九年级数学教材，即湘教版数学教材，是湖南省中小学教材体系的重要组成部分。
本文将重点介绍九年级数学湘教版的一些重要知识点，以帮助学生更好地理解和掌握这些知识。
1. 数的性质与运算数的性质是数学的基础，也是进行数学运算的前提。
九年级数学湘教版着重讲解了整数、有理数、实数等数的性质，并对加法、减法、乘法、除法等运算进行了详细的说明和例题讲解。
学生需要掌握数的分类及其性质，并能熟练运用各种运算法则解决实际问题。
2. 代数基础与初等代数九年级数学湘教版还涉及到了代数的基础知识和初等代数的运算。
学生需要学会列方程、解方程、整理方程等基本代数操作，并且能够灵活运用这些知识解决各类代数问题。
此外，还包括了二次根式、分式、指数与幂等内容，学生需要理解其定义和性质，能够进行变形和计算。
3. 几何基础知识九年级数学湘教版也包含了一定的几何基础知识。
学生需要掌握平面图形的性质、平行线与垂直线的判定与性质、三角形的基本概念和性质等内容。
同时，还包括了三角形的相似性质、勾股定理和正弦定理、余弦定理等三角形的定理和公式。
学生需要通过理论学习和实际练习，掌握几何基础知识的应用能力。
4. 统计与概率统计与概率是九年级数学湘教版中的一大内容模块。
学生需要学会收集、整理和处理数据，并进行有效地统计和分析。
此外，还包括了概率的基本概念和计算方法，要求学生能够通过计算和推理，判断事件发生的可能性。
总结九年级数学湘教版涵盖了数的性质与运算、代数基础与初等代数、几何基础知识以及统计与概率等多个知识点。
学生们需要借助教材中的例题和习题进行练习和巩固，并通过课堂学习和老师的指导，加深对这些知识的理解和掌握。
只有通过不断的学习和实践，才能在九年级数学中取得优异的成绩，并为进一步学习更高阶段的数学奠定坚实的基础。
(完整版)新湘教版九年级数学上册知识点总结
九（上）数学知识点第一章 反比例函数反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．第二章 一元二次方程（1）一元二次方程：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化作ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)的形式。
（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)，其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
1、直接开平方法2、分解因式法：（1、提公因式法；2、公式法；3、十字交叉相乘法） 3、配方法：加上一次项系数一半的平方。
4、公式法（1）根的判别式：24b ac ∆=-，∆>0时，方程有两不等实数根；∆=0时，方程有两相同实数根；∆<0时，方程无实数根。
（2）求根公式 ： 当24b ac ∆=-≥0时，x=aacb b 242-±-（3）韦达定理：12b x x a +=-,12c x x a•= 第三章 图形的相似1、 线段的比一般地， 在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段 2、比例的基本性质 如果a cb d=， 那么ａｄ ＝ ｂｃ． 3、相似三角形的性质和判定三个角对应相等， 且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形． 如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ 相似， 且Ａ′， Ｂ′， Ｃ′分别与Ａ， Ｂ， Ｃ 对应， 那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比判定定理１ 三边对应成比例的两个三角形相似． 判定定理２ 两角对应相等的两个三角形相似.判定定理３ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
湘教版数学九年级知识点
湘教版数学九年级知识点湘教版数学九年级是初中最后一个学年的数学学习阶段，内容涵盖了初中数学全面的知识点，包括数与代数、函数与方程、图形与坐标、数据和概率等方面。
下面将逐一列举和介绍这些知识点。
1. 数与代数数与代数是数学的基础，也是学习其他数学分支的前提。
这部分主要包括整数运算、有理数与小数运算、实数与乘法与除法的混合运算、幂、指数、根与0.001和10000等的单位换算、比例与比例的应用等内容。
2. 函数与方程函数是数学中一种重要的关系，通过对自变量和因变量之间的关系进行描述。
这部分主要学习函数的概念、函数的表达式与图像、函数的四则运算与复合函数、函数的应用等内容。
同时也会学习方程的概念、方程的解与解方程的方法，包括一元一次方程、一元二次方程、二次函数方程等。
3. 图形与坐标图形与坐标是几何与代数的结合，通过图形和坐标系进行几何的表示和计算。
这部分主要学习平面图形的性质和计算、平面图形的相似与全等、向量的概念与运算、坐标系与平面坐标、图形的投影与旋转等内容。
4. 数据和概率数据和概率是数学与实际生活的结合，通过数据的收集和概率的计算来描述和预测事件发生的可能性。
这部分主要学习统计与概率的基本概念、统计数据的整理与分析、概率的计算、事件的联合与互斥等内容。
通过学习湘教版数学九年级，学生可以全面掌握初中数学的基础知识，并能够运用所学知识解决实际问题。
数学是一门需要不断练习的学科，只有通过不断地练习和巩固，才能够真正掌握数学的精髓和运用。
希望同学们在学习数学的过程中，能够积极思考、勇于实践，不断提高自己的数学能力。
只有掌握好基础知识，才能够在高中和大学的学习中更上一层楼。
总结起来，湘教版数学九年级知识点包括数与代数、函数与方程、图形与坐标、数据与概率等方面的内容。
通过系统地学习这些知识点，同学们可以牢固掌握初中数学的基础知识，为将来的学习打下坚实的基础。
希望同学们在学习数学的过程中，持之以恒，不断提高自己的数学思维和解题能力，为未来的发展打下坚实的数学基础。
湘教版九年级数学上册知识点归纳总结
湘教版九年级数学上册知识点归纳总结一、反比例函数反比例函数及其图象的性质k 第一章反比例函数y=—1.函数解析式：X (k-:t:-0)2.自变量的取值范围：x;t=O3.图象：(1)图象的形状：双曲线．l k l I叶越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a,得到一组新数据X 1= x, -4 , X 2 = X2 -0 , …，x,』=x,.-a,那么.s =—f(入,+x2+---+式）］－了2 I立，2（此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方）(3)新数据法：原数据X i,X1,···,X11,的方差与新数据x\= x1 -a , x'2 = x�-a. …,x',. = x,1 -a的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得x'i,x'i ,···,x'11, 的方差就等千原数据的方差。
3、标准差：方差的算数平方极叫做这组数据的标准差，用"s"'表示，即s=N =J如－守+(X1三）l+…+(x,, -x)2]（方差或标准差越大，离散程度越大，稳定性越差，反之越稳定）识点用样本平均数、方差估计总体平均数、方差由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差．统计的简单应用1 . 从统计的观点看，一个“卑”就是总伈中共有某些特牲的个休在总休中所占的百分比2· 在实践中，我们常常通过简单随机抽样，用样本的�去估计总体相应的率．3· 通过科学调查，在取得真实可靠的数据后，我们可以运用正确的统计方法来推断总体，除此之外，还可以利用已有的统计数据来对事物在未来一段时间内的发展趋势做出皿和预测，为正确的决策提供服务．。
湘教版九年级数学[上册]知识点归纳总结
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九上第一章 反比例函数（一）反比例函数1 ． （ ）可以写成 （ ）的形式，注意自变量 x 的指数为 ，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一限制条件；2 ． （ ）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k ，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式： （ ）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量且 x 应对称取点（关于原点对称）1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．2）图象的位置和性质： 自变量，函数图象与 x 轴、y 轴无交点 ，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当 时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内， 当 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； y 随 x 的增大而增大．， ）在双曲线的另一支上．图象关于直线 对称，即若（ a ， b ）在双曲线的一支上，则（， ）和（ ， ）在x 的取值不能为 0 ，．图1图 25 ．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（ 2）直线 与双曲线 的关系：当 时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（ 1）待定系数法；（ 2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系． 3 、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章 一元二次方程一）一元二次方程1、只含有一个未知数的 整式方程 （分母不含未知数 ），且都可以化为 ax 2 bx c 0（ a 、b 、c 为常 数， a≠ 0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
2 、把 ax 2 bx c 0（a 、b 、c 为常数， a ≠0）称为一元二次方程的 一般式 ，a 为二次项系数； b 为一 次项系数； c 为常数项（包括符号）。
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7. 相似三角形的应用 (1) 测高 (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在 同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
(2) 测距 (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解.
8. 位似 (1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连 线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似 比也称为位似比) (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上.
一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c
4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程．
二、解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解
3. 黄金分割
A
C
B
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
AC ABBC AC Nhomakorabea那么称线段AB被点C 黄金分割
点C叫做线段AB的 黄金分割点
AC与AB（或BC与AC）的比叫做 黄金比
黄金比
5 1 ≈0.618 2
4. 图形的相似 (1) 形状相同的图形
(2) 相似多边形
①表象：大小不等， 形状相同. ②实质：各对应角相 等、各对应边成比例.
适用的方程类型 (x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
九年级上数学知识点湘教版
九年级上数学知识点湘教版在九年级上册湘教版的数学课程中，我们将继续学习各种数学知识和技能，为高中数学的学习打下坚实的基础。
下面是本学期我们需要掌握的几个重要数学知识点。
1. 实数的运算实数是我们数学中最基础的概念之一。
在九年级上册中，我们将学习实数的加减乘除运算规则，包括正数、负数、零以及分数等。
我们将学习如何在数轴上表示实数，并且掌握实数的大小比较。
2. 平方根和立方根平方根和立方根是数学中常见的概念。
在本学期，我们将学习如何计算平方根和立方根，并且学习如何使用它们解决实际问题。
我们还将学习如何简化根式，并且掌握根式的性质。
3. 一元一次方程一元一次方程是九年级数学的一个重要内容。
我们将学习如何解一元一次方程，包括使用加减消元法、配方法和图解法等。
我们还将学习如何应用一元一次方程解决实际问题，如找到未知数的值或者求某个量的变化规律。
4. 三角形的性质与计算在九年级上册，我们将学习三角形的性质与计算。
我们将学习如何计算三角形的面积，包括等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
我们还将学习三角形内角和的性质，以及三角形的相似性质。
5. 概率与统计概率与统计是九年级数学的最后一个重要知识点。
我们将学习如何计算事件的概率，包括基本事件、互斥事件和相互独立事件。
我们还将学习如何进行数据处理和统计分析，包括图表的绘制和数据的解读。
通过学习以上数学知识点，我们将能够更加熟练地运用数学知识解决实际问题，提高数学思维能力和分析问题的能力。
希望同学们认真学习，掌握这些数学知识点，为高中的数学学习打下坚实的基础。
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湘教版九年级数学上册知识点归纳总结
九年级数学上册第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图2 5．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20++=（a、ax bx cb、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
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九（上）数学知识点覃勉相似三角形周长的比等于相似比, 相似三角形面积的比等于相似比的平方第一章一兀二次方程一元二次方程：只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化作 ax 2+bx+c=0（a,b,c 为常数， 0）的形式。
（2 ）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax 2+bx+c=0（a,b,c 为常数，a * 0），其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是 常数项。
2、 分解因式法3、 配方法4、 公式法 （1 ）求根公式： b .b 2 4acx=—2a（2）求一元二次方程的一般式及各系数的含义 一、将方程化为一元二次方程的一般ax 2+bx+c=0（a,b,c 为常数，a * 0）；二、计算 b-4ac的值，当b 2-4ac > 0时，方程有实数根（> 0有两个实数根，=0两个相等实数根）•当b2-4ac v 0时，方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。
第三章图形的相似1、 线段的比一般地， 在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段2、 比例的基本性质如果a / b = c / d,那么ad = be. 3、 相似三角形的性质和判定角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形.如果△A'E'C '与AAEC 相似，且A', E', C'分别与A, B, C 对应， 那么记作△A'B'C's^ABC, 读作“△A'B'C '相似于AABC” .相 似三角形的对应边的比k 叫作相似比判定定理1 三边对应成比例的两个三角形相似. 判定定理2 两角对应相等的两个三角形相似 •判定定理3 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
b 2-4ac > 0 时,4、 相似多边形把对应角相等， 并且对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形. 相似多边形的对应边的比k叫作相似比.相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似比的平方.取定一点O,把图形上任意一点P对应到射线OP(或它的反向延长线)上一点P ',使得线段OP '与OP 的比等于常数k (k > 0),点O 对应到它自身, 这种变换叫作位似变换 ,点O 叫作位似中心， 常数k 叫作位似比， 一个图形经过位似 变换得到的图形叫作与原图形位似的图形•从位似变换和位似的图形的定义立即得出：两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上， 并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 5、 相似多边形的性质性质1相似多边形的对应边成比例 性质2相似多边形的对应角相等. 性质3相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似比的平方.6、 相似多边形的判定对应角相等， 对应边成比例的两个多边形相似.第四章、解直角三角形锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 /A 的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围： O W sin a< 1, 0< COS aW 1, tan a 》0.锐角三角函数之间的关系(1) 平方关系sin 2 A cos 2 A 1(2) 倒数关系如图，在△ ABC 中，/ C=90°sin AA 的对边斜边cos AA 的邻边斜边tan AA 的对边A 的邻边 cotAA 的邻边 A 的对边/A 的邻辺NR 的時边tan A?ta n(90 —A)=1(3)弦切关系sin A 仆cos A ta nA= cotA=-cos A si nA(4)互余关系sinA=cos(90 —A), cosA=sin(90 —A)tanA=cot(90 —A), cotA=tan(90 —A)特殊角的三角函数值a sin a cos a tan a cot a30°1273pF45°孚孚1160°"2-12矣T（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）阳越小，图象的弯曲度越大.九下(2)图象的位置和性质: 与坐标轴没有交点当上＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内， y 随x 的增大而减小; 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大.、二次函数相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如 y ax' bx c ( a , b , c 是常数，a 0 )的函数，叫做二 次函数。
九年级数学湘教版知识点
九年级数学湘教版知识点一、整数与有理数整数表示及其运算1. 整数的概念整数是由正整数、零和负整数组成的数集，用表示。
2. 整数的运算(1) 加法运算：整数与整数相加的结果仍然是整数。
(2) 减法运算：整数与整数相减的结果仍然是整数。
(3) 乘法运算：整数与整数相乘的结果仍然是整数。
(4) 除法运算：整数之间可以进行除法运算，商不一定是整数，但可以是有理数。
有理数的表示及其运算1. 有理数的概念有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和小数。
2. 有理数的运算(1) 加法运算：有理数与有理数相加的结果仍然是有理数。
(2) 减法运算：有理数与有理数相减的结果仍然是有理数。
(3) 乘法运算：有理数与有理数相乘的结果仍然是有理数。
(4) 除法运算：有理数之间可以进行除法运算，商不一定是有理数，但可以是无理数。
二、平面图形与立体图形平面图形的性质1. 正多边形正多边形是指所有边相等、所有角相等的多边形。
2. 直线和平行线(1) 直线是由无数个点连在一起而成的，不存在拐弯。
(2) 平行线是指两条直线在同一个平面上永不相交的线。
立体图形的性质1. 三视图立体图形的三视图包括俯视图、主视图和左视图，可以用来全面了解立体图形的结构和形状。
2. 立体图形的展开图立体图形的展开图是将其各个面展开为一个平面图形，便于计算和构造。
三、比例与相似比例的概念及性质1. 比例的概念比例是指两个数或量之间的相等关系，可以用等号（=）表示。
2. 比例的性质(1) 两个比例相等的四个数依次对应相等。
(2) 如果两个比例的两个对应项分别相等，则这两个比例相等。
相似的概念及判定1. 相似的概念相似是指两个图形形状相同，但大小不一样。
2. 判定相似的条件(1) 对应角相等：两个相似图形的对应角相等。
(2) 对应边成比例：两个相似图形的对应边成比例。
四、一次函数与一元一次方程一次函数与图像1. 一次函数的概念一次函数是指函数的表达式为，其中和为常数。
九年级湘教版数学知识点汇总
九年级湘教版数学知识点汇总初三数学上册知识点归纳1、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
(1)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即：﹝另有两种写法﹞(2)实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.(3)几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零。
注意：│a│≥0,符号"││"是"非负数"的标志;数a的绝对值只有一个;处理任何类型的题目，只要其中有"││"出现，其关键一步是去掉"││"符号。
2、解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
(1)直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.(2)配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。
1)转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式)2)系数化1：将二次项系数化为13)移项：将常数项移到等号右侧4)配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5)变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式6)开方：左右同时开平方7)求解：整理即可得到原方程的根(3)公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
初三数学复习方法总结按部就班数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。
新湘教版九年级数学上知识点
湘教版九年级数学上册第一章反比例函数〔一〕反比例函数1．〔〕可以写成〔〕的形式，留意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特殊留意系数这一限制条件；2．〔〕也可以写成xy=k的形式，用它可以快速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；〔二〕反比例函数的图象及性质1．函数解析式：〔〕2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应留意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点〔关于原点对称〕．〔1〕图象的形态：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．〔2〕图象的位置和性质：自变量，函数图象及x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．〔3〕对称性：图象关于原点对称，假设〔a，b〕在双曲线的一支上，〔，〕在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即假设〔a，b〕在双曲线的一支上，那么〔，〕和〔，〕在双曲线的另一支上．4．k的几何意义: 如图1，设点P〔a，b〕是双曲线上随意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，那么矩形PBOA的面积是〔三角形PAO和三角形PBO的面积都是〕．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，那么有三角形PQC的面积为．图1 图2 5．说明：〔1〕双曲线的两个分支是断开的，探讨反比例函数的增减性时，要将两个分支分别探讨，不能一概而论．〔2〕直线及双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．〔三〕反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：〔1〕待定系数法；〔2〕根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数及一次函数的联络．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程〔一〕一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程〔分母不含未知数〕，且都可以化为20ax bx c++=〔a、b、c为常数， a≠0〕的形式，这样的方程叫一元二次方程。
湘教版数学初三知识点归纳
湘教版数学初三知识点归纳一、代数与函数代数与函数是初中数学的重点内容之一。
在初三阶段，学生需要进一步学习代数与函数的知识，包括多项式函数、一次函数与二次函数的性质、函数的图像与解析式等。
1.多项式函数多项式函数是由常数与变量的乘积相加而成的函数。
常见的多项式函数有一次多项式函数和二次多项式函数。
学生需要了解多项式函数的定义、次数、系数等概念，以及多项式函数的运算法则。
2.一次函数一次函数是形如y = kx + b的函数，其中k和b是常数。
学生需要掌握一次函数的斜率和截距的概念，能够根据函数图像或已知条件确定函数的解析式。
另外，学生还需要熟练运用一次函数进行实际问题的解答。
3.二次函数二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是常数。
学生需要了解二次函数的图像特点，包括抛物线的开口方向、顶点坐标等。
此外，学生还需要学习二次函数的性质，如零点、对称轴等。
二、几何与空间几何与空间是初中数学的另一个重点内容。
在初三阶段，学生会学习三角形、四边形、圆等图形的性质与运算，以及空间几何的相关知识。
1.三角形三角形是最简单的几何图形之一，学生需要掌握三角形的定义、分类、性质等。
此外，学生还需要学习三角形的周长、面积计算方法，以及利用三角形的性质解决实际问题。
2.四边形四边形是由四条线段连接的图形，学生需要了解四边形的分类、性质等。
在学习四边形的过程中，学生需要掌握四边形的周长、面积计算方法，以及利用四边形的性质解决实际问题。
3.圆圆是由一条曲线围成的图形，学生需要了解圆的定义、性质等。
在学习圆的过程中，学生需要学习圆的直径、半径、周长、面积的计算方法，以及利用圆的性质解决实际问题。
三、数据与统计数据与统计是初中数学的另一个重要内容。
在初三阶段，学生会进一步学习数据的收集、整理和分析方法，以及统计的基本概念和方法。
1.数据的整理与分析学生需要学习数据的收集、整理和分析方法，包括频数表、频率表、条形图、折线图等。
湘教版九年级数学上册《公式法 》知识全解
《公式法》知识全解课标要求理解公式法，能用公式法解数字系数的一元二次方程.知识结构内容解析1.公式法：一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的求根公式为：242b b ac x a -±-=（240b ac -≥），其中公式中的a 、b 、c 分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.我们用求根公式法求一元二次方程解的方法称为公式法.2.求根公式的推导：解：20ax bx c ++= 方程两边都除以a ，得:20b c x x a a++= 配方，得：222()()22b b c b x x a a a a ++=-+ 即：2224()24b b ac x a a -+= 当24b ac -≥0时，开平方得：2422b b ac x a a ±-+= 所以方程的解是：242b b ac x a-±-= 当24b ac -<0时，方程无实数根.⑶用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①首先把一元二次方程化为一般形式；②确定公式中a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值；④若24b ac -≥0，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式即可求解.当24b ac -<0时，此时方程无实数解.注意：⑴求根公式是专指一元二次方程的求根公式，只有方程为一元二次方程时，方可运用求根公式，即20ax bx c ++=中a ≠0.⑵公式中的“24b ac -≥0”是公式成立的一个前提条件.重点难点教学重点：正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力.关键是由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形式展开，利用学生已有的知识，让学生多交流，主动参与到教学活动中来，让学生处于主导地位.通过比较合理的问题设计、小组讨论形式让学生更好的掌握知识.教学难点：正确地推导出一元二次方程的求根公式，理解 b 2-4ac 判别式对一元二次方程根的影响和应用.关键是在教师的指导下，经历观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式和灵活运用根的判别式．教法导引采用启发式、自主探究式的教学方法.教学中力求体现“类比---探究-----归纳”的模式.有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法.由于学生配平方的能力有限，所以，本节课借助多媒体辅助教学，由特殊到一般指导学生通过观察与演示，总结配方规律，从而突破难点.同时学生经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力，发挥学生的自觉性、活动性和创造性.通过复习回顾，用配方法解一元二次方程的一般步骤，并通过纠正板演同学的解题过程，加深学生的印象；进而复习配方法解一元二次方程的步骤.为了解决“配方法、公式法”谁更好用？很多学生都明白公式法是在配方法上基础上的推导出来，并且有一个通用公式可算，所以学生潜意识已经认为公式法更简单.通过现场测试，很多同学又一次回到首先移项，接着只能用公式法的做法上.其实，在这里学生让没有抓住配方法的精髓.这两题依然是可以用配方法，而且很快就可以解出来.学法建议 依照学生的认知规律引导学生从简单的问题中发现规律，在训练内容的选择上考虑到学生接受新旧知识结合的能力：一是以方法为主，采用层层递进的方式，由配方法过渡到公式法解一元二次方程.二是以基本技能为主，而不追求繁难的一元二次方程的解题特殊技巧.在运用不同的方法解一元二次方程时，要具体问题具体分析选择最佳方法合理解题.在精心设计的练习过程中抓住学生问题的症结，培养学生独立分析、理解能力和思考解决问题的能力，提高解题技巧.。
最新九年级数学知识点(湘教版)
最新九年级数学知识点(湘教版)第一章一元二次方程１. 如果一个方程通过移项可以使右边________，而左边是______的二次多项式，那么这样的方程，叫做________.２. 一元二次方程的一般形式___________________.3. 因式分解法解一元二次方程的依据是，如果两个因式的积等于0，那么_______. 即若ab=0，则_____或_______.４．当一元二次方程的一边为_______，而另一边能分解成两个________的乘积时，可利用"若pq=0时，则______或______"来解一元二次方程，这种方法叫做_____________.5. 对形如x²+(a+b)x+ab=0(a，b为常数)的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边__________，方程变形为_______________________，则x+a=0或x+b=0，x1=______，x2=__________.即6. 解一元二次方程时，在方程的左边加上___________，再_____________，使得含未知数的项在___________，这种方法叫做__________________.配方后就可以用________________或_____________.这样解一元二次方程的方法叫做__________________.7. 一般地，一元二次方程 ax²+bx+c+=0(a≠0）通过配方可以化成_______________的形式8. 方程ax²+bx+c=0(a≠0)两边同时除以a，得_______________________.9. 在方程左边加上一次项系数一半的平方_________________，再减去________________，得_____________________即_____________________________10. 用因式分解法或直接开平方法可得x=__________________________.11. 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的求根公式是________________________________.12. 用公式法解一元二次方程的步骤是:①把方程化为_____________________( )的形式，确定________的值(注意符号)②求出___________的值x1，x2③若___________，则把a，b及________的值入求根公式求出13. 不解方程，运用根的判别式就可以判定一元二次方程根的情况:①若△=b²-4ac＞0 ，则方程有__________________________________.②若△=b²-4ac=0 ，则方程有__________________________________.③若△=b²-4ac＜0 ，则方程有__________________________________.x1，+x2=__________.，14. 一元二次方程根与系数的关系是：x1x2=_________.15. 三个连续数，常设________为x，则另外两个数分别为_______ ，_________.16 两位数的表示方法是_______________________________________________.17.利息=____________________________ 每件的利润=___________________________利润率=(销售价－_________)÷___________×100%销售额=___________________________________________第二章命题与证明1. ________________________________叫做这个概念的定义，即定义是通过列出__________或者___________的基本属性来描写或者___________一个词或者____________的意义.2. 定义必须是____________，一般避免使用含糊不清的术语.3. 由定义可知，命题由___________和__________两个部分组成."如果两个三角形的三条边对应相等，那么，这两个三角形等"中，______________________________是条件，___________________________结论.4. 如果一个命题叙述的事情是真的，那么它是_______________，如果一个命题叙述的事情是假的，那么它是_______________________.5. 要说明一个命题是假命题，通常可以举一个例子，使它具备命题的_____________________，而不具备命题的___________________，这种例子称为______________________.要说明一个命题是假的只要举出一个_______________就可以了.6. 从一个条件出发，通过___________________( )，得出它的结论_________________，从而判定该命题为真，这个过程叫做_________________.7. 将一个命题的______________与_____________交换得到一个新命题，我们称这个命题为原命题的___________________.8. 写逆命题的关键是分清____________和___________，而判断真假则依赖于对知识的掌握.9. 数学中有些___________的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断_________的原始依据，这样的真命题叫做__________.10. 有些________可以从_________或其他________出发，用__________的方法判断它们是否正确，并且可以作为其他命题_________的依据，这样的真命题叫做______________.11. 在进行命题证明时，我们必须先设定若干倒是无条件正确，这些无条件正确的命题就是____________.公理是"______________"，而且无须证明，可以直接使用，定理则是由_________推导而来，当人们设定的_____________不同时，由此推导的___________也可能不同.12. 如果一个_______的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的_________.这两个定理称为___________，每个命题都有_____________，但并非所有定理都有____________.13.从一个__________的条件出发，通过___________( )，得出它的结论成立，从而判定该命题为____________，这个过程叫做_____________.14. 证明一个命题，首先要分清楚它的__________是什么，___________是什么;把_________作为已知内容，把_________作为求证的内容;其次要从____________出发，运用概念的___________，___________和已证明过的________，通过 讲道理( )，得出它的结论成立，这个___________过程就是____________的过程.15. 几何证明书写的基本结构是:① 根据题意，____________，并在图上标明字母和符号.② 结合图形，用________，________分别把________和_________写在已知和求证的后面③ 依据解题途径，______________________________.16.平行线的判定定理_____________________，平行线的性质定理_____________________17.三角形的一个外角_______________________，三角形的外角_____________________第三章 图形的相似.2. 一如果两个图形的_________，那么称这两个图形相似.3. 把一个图形____________(或________) 得到的图形是__________，即__________， 大小般地，如果选用一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n .那么这两条线段的比AB ：CD=m:n ，或写成 ()()=()()，其中线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的_________和_________，如果把n m表示成比值k ，那么， ________或_________，那么CD=___________.4. 比例尺=_________:________.比例尺通常的表示方法有:________，_________，________.5. 在四条线段中，如果其中两条线段的___________等于另外两条线段的__________，那么这四条线段叫做___________简称___________.6. 四条段a ，b ，c ，d 成比例，记作__________，组成比例的项是__________，其中比例外项为___________，比例内项为_____________，d 称为a ，b ，c 的_____________7. 若作为比例内项的两条线段相同，即__________，则线段b 叫做a ，c 的_________.8. 比例的基本性质b a =d c 则___________.特列b a =cb 则___________. 9. 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使_______是________和BC 的_______叫把线段AB_________，点C 叫做线段AB_________，点C 叫做线段AB 的_________.10. 对应角______，对应边_____的三角形叫相似三角形.相似三角形__________叫做相似比.11. 相似三角形的性质有:_____________;______________;相似三角形的周长的比等于_________，面积的比等于______________.12.判定三角形相似的方法有: ________________________________、___________________________;____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________.13.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的_____________，那么这两个三角形相似.14.有一个锐角相等的___________相似15.如果一个三角形的___________和另一个三角形的两边__________，且它们的__________，那么这两个三角形相似.16.斜边和一条直角边___________________的两个直角三角形_________________.17.如果两个边数相同的多边形________，对应边______，那么这两个多边形叫做相似多边形.18.相似多边形周长的比____________;相似多边形对应角线的比____________;相似多边形____________等于相似比的平方;相似多边形中的对应三角形相似，相似比___________19.取一点O，把图形上的任意一点P对应到____________(或它的反向延长线)上一点P’，使线段OP’与OP的_________(k＞0)，点O对应它自身，这种变换叫_______，点O叫做________，常数k叫做____________.20.位似图形是____________，因此，相似图形所具有的性质，_________________.位似图形上任意一对对应点到__________的距离之比___________.21.画位似图形:①选取_________.②将已知多边形的顶点分别与_________连接起来，根据_________或__________的要求，在__________同侧或____________画出相似图形.第四章锐角三角函数1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A，∠B，∠C所对应的边分别为a，b，c，则锐角A的________与________的比叫做∠A的正弦，记叙sinA，sinA=()()=() ()2. 方向角是指北或指南的方向线与目标方向线所夹的__________，即包括______，________，_________，________四种方向角.3. sin30°=____;sin45°=____; sin60°=____;cos30°=____;cos45°=____;cos60°=____.4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c 则锐角A的______与_____的比叫做∠A的余弦，记作_______，即cosA=()()=() ()5. sinA=cos( )，cosA=sin( )6. 在正弦和余弦中，锐角与正弦值和余弦值之间是________的关系.7. 当∠A为锐角时，___________＜sinA＜___________，_________＜cosA＜________;一个锐角的正弦值随角度的增大而_______，而一个锐角的余弦值随角度的增大而_________.8. 正弦与余弦之间转化的方法;①利用_________及勾股定理，实现它们之间的互化.②利用________关系实现互化，即sinα=cos(90°-_______)，cosα=sin(90°-_______)③利用同角关系实现互化;sin²α+cos²α=_______.9.在Rt△中，∠C=90°，若∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则锐角A的对边与无邻边的比叫做∠A的_______，记作_______，即tanA=()()=() ()10.tan30°=_______;tan45°=________; tan60°=________.11.一个锐角的正切值随角度的增大而________.12.tanαtan(90°-α)=_________.13.在Rt△中，∠C=90°，若∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则有:①两锐角的关系∠A+∠B=_________.②三边的关系a²+b²=_________.③sinA=_______=()()，cosA=sinB=()()，tanA=()()=Btan(___)14.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做_________;从上往下看，________的夹角叫做__________.15.视线与水平线，抛物线的高度构成_________，已知仰角、俯角和另一边，利用解直角三角形可能求出_____________.16._________是一种用来表示方向的角，在________，________等位置确定中非常重要.17.直角α是坡面________所成的夹角.18.坡度是指斜坡上两点________与_________的比值，即坡角的正切值，又叫_________.第五章概率的计算1随机现象中可能发生的事件叫做________.2随机现象中，一个随机事件发生与否，事件_________，表面上看似无_________，但当我们大量重复试验时，这个事件发生的____________呈现________.因此，做了大量的试验后，可以用一个事件发生的_______作为这个事件_________的估计值反比例函数知识点总结知识点1 反比例函数的定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式：①xk y =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠），③k y x =⋅（定值）（0k ≠）；⑸函数xk y =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数.（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式. 知识点2反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况：反比例函数 xk y =（0k ≠） k 的符号 0k > 0k <图像性质 ①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠ ②当0k >时，函数图像的两个分支分别在①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠ ②当0k <时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小. 随x 的增大而增大.注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾.反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.如：xk y =在第一、第三象限，则可知0k >. 反比例函数xk y =（0k ≠）中比例 系数k 的绝对值k 的几何意义.如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足，则OEPF S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k☆ 反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线xk y =越远离坐标原点；k 越小，双曲线xk y =越靠近坐标原点. ☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x.知识点3用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xk y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式. 知识点4反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线.再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交.二次函数知识点〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向〖大纲要求〗1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3．会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4．会用待定系数法求二次函数的解析式；5．利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系.内容：（1）二次函数及其图象如果y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么，y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象.（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下.抛物线y=a （x-h ）2+k(a ≠0)的顶点是（h ，k ），对称轴是x=h.〖考查重点与常见题型〗1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2额图像经过原点， 则m 的值是 .2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y ＝kx 2＋bx －1的图像大致是（ ）3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0，3)，(4，6)两点，对称轴为x ＝错误!，求这条抛物线的解析式.4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－错误!，则：（1）确定抛物线的解析式；A（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题.圆知识点总结圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识.包括性质．．定理．．与判定定理．．．．及公式．．. 一集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线三位置关系：1点与圆的位置关系:点在圆内d<r 点C在圆内点在圆上d=r 点B在圆上点在此圆外d>r 点A在圆外2 直线与圆的位置关系:直线与圆相离d>r 无交点直线与圆相切d=r 有一个交点直线与圆相交d<r 有两个交点3 圆与圆的位置关系:外离（图1）无交点d>R+r外切（图2）有一个交点d=R+r相交（图3）有两个交点R-r<d<R+r内切（图4）有一个交点d=R-r内含（图5）无交点d<R-rDB四 垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD五 圆心角定理六 圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：∵∠AOB 和∠ACB 是所对的圆心角和圆周角∴∠AOB=2∠ACB圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧»»BC BD =»»AC AD =BABAO即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是 直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么 这个三角形是直角三角形即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论： 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的 逆定理.七 圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角. 即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180° ∠DAE=∠C八 切线的性质与判定定理（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 ∵MN 是切线 ∴MN ⊥OA切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 即：∵PA 、PB 是的两条切线DC BAO EC BAD O BAO S lBO∴PA=PB PO 平分∠BPA九 圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O 中 △ABC 是正三角形，有关计算在Rt △BOD 中进行，OD:BD:OB=（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt △OAE 中进行，OE :AE:OA= 3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt △OAB 中进行，AB:OB:OA=十、圆的有关概念1、三角形的外接圆、外心. →用到：线段的垂直平分线及性质2、三角形的内切圆、内心. →用到：角的平分线及性质3、圆的对称性.→ ⎩⎨⎧中心对称轴对称十一、圆的有关线的长和面积.1、圆的周长、弧长C=2πr ， l=θR2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积 S 圆=πr 2，S 扇形=lr 21 S 圆锥= 母线底面圆l r π 2+r π底面圆3、求面积的方法直接法→由面积公式直接得到间接法→即：割补法（和差法）→进行等量代换十二、侧面展开图：①圆柱侧面展开图是 形，它的长是底面的 ，高是这个圆柱的 ； ②圆锥侧面展开图是 形，它的半径是这个圆锥的 ，它的弧长是这个圆锥的底1:3:21:1:21:3:2面的 .十三、正多边形计算的解题思路：正多边形−−−→连 OAB转 化等腰三角形OD−−−−→作垂线转 化直角三角形. 可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角 三角形的知识进行求解.。
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湘教版九年级数学上册第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20++=（a、b、c为常数，ax bx ca≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
2、把20++=（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般式，a为二次项系数；b为一ax bx c次项系数；c为常数项（包括符号）。
（二）一元二次方程的解法1、直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成 (p≥0)的形式，那么进而得出方程的根。
2、配方法：配方式基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成左边为一个完全平方式， 右边化为一个常数；两边开方求其根。
3、公式法242b b acx a-±-= （注意在找a 、b 、c 时须先把方程化为一般形式）4、分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）（三）一元二次方程根的判别式判别式⊿=b 2-4ac 与根的关系：当b 2-4ac>0时，则方程有两个不等的实数根； 当b2-4ac=0时，则方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac ≥0时，则方程有两个实数根；当b 2-4ac<0时，则方程无实数根（，上述结论反之也成立，但注意都同时要满足二次项系数a ≠0）（四）一元二次方程根与系数的关系：1、根与系数关系：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为x 1、x 2， 则有： 1212,b cx x x x aa+=-⋅=.（韦达定理） 2、一元二次方程的两根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称代数式的值，特别注意以下公式：①222121212()2x x x x x x +=+- ②12121211x x x x x x ++= ③22121212()()4x x x x x x -=+- ④2121212||()4x x x x x x -=+- ⑤2212121212(||||)()22||x x x x x x x x +=+-+⑥33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+ ⑦其他能用12x x +或12x x 表达的代数式。
（3）已知方程的两根x 1、x 2，可以构造一元二次方程：12212()0x x x x x x -++=，（4）已知两数x 1、x 2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程12212()0x x x x x x -++= 的两根。
（五）一元二次方程的应用1、配方法作用：一元二次方程配方可以解该方程：20ax bx c ++=（a ≠0）（两边同时除以a 得）20b cx x a a++=（一次项系数b a 除以2并写成完全平方式得）（可作为公式记忆）。
2、二次代数式配方可以求最值（应用题常考）： 二次代数式 2ax bx c ++提取二次项系数a 得 2()ba x x c a =++ （不能同时除以二次项系数a ）合并常数项得 224()24b ac b a x a a-=++ （作为公式记忆，一步化到位）此时可知当2b x a=-时，2ax bx c ++有最大值（0a <）最大值为244ac b a -当2b x a=-时，2ax bx c ++有最小值（.0a >）最小值为244ac b a -3、平均增长率问题:（设月增长率为x ）①一月产量为a ，二、三月平均增长率为x ，三月产量为b ，则有2(1)a x b +=②一月产量为a ，二、三月平均增长率为x ，第一季度产量为b ，则有2(1)(1)a a x a x b ++++=4、翻几番增长率问题：（设年增长率为x ）①两年翻一番 ，则2(1)2a x a += ， 解得141.4%x =≈ （次数2是指两年翻了两次，翻一番指起初数量a 变成2a ） ②两年翻两番，则2(1)4a x a += ，解得 100%x =（次数2是指两年翻了两次，翻一番指起初数量a 变成2a ，再翻一番就变成了4a ） 5、互相握手、互相送礼问题：①互相握手： 1(1)2n n -=握手次数 （n 是指人数） ②互相送礼： (1)n n -=礼物总数 （n 是指人数） 6、涨价总利润问题：（设涨价x 元）总利润=（定价+上涨价格x —进价）（原销量—x每上涨的价格相应减少的销量每上涨的价格）7、降价总利润问题：（设降价x 元）总利润=（定价—降价价格x —进价）（原销量+x每下降的价格相应增加的销量每下降的价格）第三章 图形的相似（一）比例线段1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线 段，简称比例线段若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。
n m b a =dc b a =如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。
2、比例的性质（1）基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）dbc a =（交换内项） ⇒=dc b a a cb d =（交换外项）abc d =（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：cda b d c b a =⇒=（4）合比性质：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （5）等比性质：ban f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 3、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB黄 金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点值得关注的近似数：假设AB=1 则AC ≈0.618 BC=AD ≈0.382） A C B 定义：510.6182AC CB AB AC -==≈ (510.6182-==≈较长最短最长较长) （二）平行线分线段成比例三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
如图：如图，因为AD ∥BE ∥CF ，所以AB ：BC=DE ：EF ； AB ：AC=DE ：DF ； BC ：AC=EF ：DF 。
也可以说AB ：DE=BC ：EF ； AB ：DE=AC ：DF ； BC ：EF=AC ：DF推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
（三）相似图形1、对应角相等，对应边的比相等的两个图形就叫相似图形。
2、相似多边形：（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）相似多边形的性质：①相似多边形的对应角相等，对应边成比例②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比④相似多边形面积的比等于相似比的平方（四）相似三角形的判定和性质1、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”来表示，相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
2、相似三角形的基本定理（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。
3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。