9章振动
9-振动学基础
，初位相2=___________.
答案：4cm 2π/3 提示：运用旋转矢量法，如图。
y
A
A2
A1
O
x
解答 12 题
-7-
二、选择题
1、下列说法正确的是： (A) 简谐振动的运动周期与初始条件无关；(B) 一个质点在返回平衡位置的力作用下，一定做简谐振 动；(C) 已知一个谐振子在 t =0 时刻处在平衡位置，则其振动初相为π/2；(D) 因为简谐振动机械能守恒， 所以机械能守恒的运动一定是简谐振动。
周期 T；2）当速度是 12cm/s 时的位移。
9-S 简谐振动的运动规律
4、如图，一质点在一直线上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A 点时作为计时起点（t=0），经
2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后第 2 次经过 B 点，若己知该质点在 A，B 两点具有相同的速率，
AB=10cm，求：1）质点的振动方程；2）质点在 A 点（或 B 点）处的速率。
计算 5 题
mF
7、有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为
x1
10 cos(2t
)
cm，
x2
10 cos(2t
)
2
cm，
O
计算 6 题
1) 求它们的合振动方程；
2) 另有一同方向的简谐振动 x3 2 cos(2t 3 ) cm，问当3 为何值时， x1 x3 的振幅为最大值？
8、一个沿 x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为 A，周期为 T，其振动方程用余弦
(A) Asin ;
(B) Asin ; (C) A cos ; (D) A cos
y
Hale Waihona Puke 4、如图所示质点的简谐振动曲线所对应的振动方程是：
大学物理 第9章 简谐振动
9.2 简谐振动的规律 9.3 简谐振动的合成
9.1 简谐振动的定义
9.1.1 弹簧振子的振动
9.1.2 简谐振动的定义
9.1.3 单摆的运动规律
9.1.4 LC振荡回路中电容器 上电量的变化规律
振动是与人类生活和科学技术密切相关的一种 基本运动形式。
广义的振动 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
下面我们重点对合振动的振幅进行讨论
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 2
t 2 t 1 2 1
讨论：两种特殊情况
(1) 21=2k (k=0,1,2,…) 两分振动同相
A A1 A 2
o
考虑方向 F mg 简谐振动！
mg
0
F ma mg
t 0
l
又 a
l d
2
dv dt
l
d
2
dt
2
T
F
O
dt
2
g
即
d 2 g 0 2 l dt
d （v l ） dt
mg
g l
2 T 2
2
x
A x A y cos t
2 2
（2）相位差 y x ，轨迹方程为
x Ax y Ay 0
x
2 2
y
2 2
2
xy Ax Ay
cos(
Ax
Ay
y
x ) sin (
2
y
高二物理第九章机械振动第一、二、三节人教版知识精讲
高二物理第九章机械振动第一、二、三节人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：第九章 机械振动第一节 简谐振动 第二节振幅、周期和频率 第三节 简谐运动的图象二. 知识要点： 〔一〕简谐振动1. 机械振动的定义：物体在某一中心位置两侧所做的往复运动。
2. 回复力的概念：使物体回到平衡位置的力。
注意：回复力是根据力的效果来命名的，可以是各种性质的力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
3. 简谐运动概念：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动。
特征是：kx F -=；m kx a /-=。
〔特例：弹簧振子〕4. 简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律。
〔参看课本〕〔1〕振动中的位移x 都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置、大小为这两位置间的直线距离，在两个“端点〞最大，在平衡位置为零。
〔2〕加速度a 的变化与回F 的变化是一致的，在两个“端点〞最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。
〔3〕速度大小v 与加速度a 的变化恰好相反，在两个“端点〞为零，在平衡位置最大。
除两个“端点〞外任一个位置的速度方向都有两种可能。
〔二〕振幅、周期、频率1. 振幅A 的概念：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。
它是描述振动强弱的物理量。
2. 周期和频率的概念：振动的物体完成一次全振动所需的时间称为振动周期，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹。
周期和频率都是描述振动快慢的物理量。
注意：全振动是指物体先后两次运动状态．．．．．．．．〔位移和速度〕完全一样．．．．所经历的过程。
振动物体在一个全振动过程通过的路程等于4个振幅。
3. 周期和频率的关系：fT 1=4. 固有频率和固有周期：物体的振动频率，是由振动物体本身的性质决定的，与振幅的大小无关，所以叫固有频率。
振动周期也叫固有周期。
〔三〕简谐运动的图象 1. 简谐运动的图象：〔1〕作法：以横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据取单位，定标度，描点。
文档震动学
位差为：
A
A2
(A) 0
(B)π/2
(C)π/3
(D)π/4
A1
答案： B 提示：其矢量图如图所示， A1 10 ， A 20 ，根据矢量的叠加， O
1
x
- 10 -
可知 A2 为第二振动的振幅。矢量 A 在 A1 的投影大小为 A cos / 3 20 1/ 2 10 A1 ，所以 A1 与 A2 垂直
(A) Asin ;
(B) Asin ; (C) A cos ; (D) A cos
答案：B
x/m
9-X 简谐振动曲线
2
4、如图所示质点的简谐振动曲线所对应的振动方程是：( D )
2
(A) x=2cos(3t/4+π/4)(m) (B) x=2cos( t/4+5 /4)(m) (C) x=2cos( t O
2
22
2
9-X 简谐振动的动能变换频率
9、当质点以频率 v 作简谐振动时，它的动能的变化频率为
(A) v 答案：B
(B) 2v
(C) 4v
(D) v / 2
提示：利用 sin2 x 1 cos 2x 半角公式即可求频率。 2
9-X 简谐振动的能量
10、一弹簧振子作简谐振动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的
速度最大值和加速度最大值。
解：将该简谐振动的表达式与简谐运动方程的一般形式 x A cos(t 0 ) 作比较后可得：
- 11 -
8 rad/s，振幅 A=0.1m，初相位0 2 / 3 ，于是周期 T 2 / 0.25 s
速度最大值 vmax A 8 0.1 m/s 0.8 m/s
1
t/s
大学物理第九章振动学基础习题答案
第九章 振动学习题9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。
解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。
设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。
（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。
解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。
（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。
现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。
（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。
解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。
质点距球心x 时所受力为324433x mF G G mx x πρπρ=-=-令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。
（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T s 。
当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-×10-2 m 处，向正方向运动。
求以上各种情况的振动方程。
解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。
第9章 振动信号的处理和分析(22页)
第9章振动信号的处理和分析飞行器的振动现象，表现为结构振动量的时间和空间的函数。
人们希望通过对飞行器结构振动信号的测量和分析，来了解飞行器结构本身的物理特性，建立适宜的数学模型，从而预测飞行器在工作条件或所处环境中的运行行为及其对结构的强度、刚度，以及运行安全乃至相关人员的舒适性的影响。
简言之，飞行器结构的振动特性是通过振动信号的测量、处理和分析确定的。
在确定结构动特性时，数据采集应归于测量，而出于分析的需要，将信号进行数据离散（变换）、截断（加窗）、滤波等则可狭义地归为处理。
传统地看法将变换视为分析，其实这也是一种处理。
但广义地说，处理也是一种分析手段。
因此，本章内容在阐述时并不严格地区分哪些是处理，哪些是分析，而是把处于处理和分析的每一个环节都作为一种方法来阐述。
§9.1 振动信号的分类不同类型的信号将有不同的分析方法和选定不同的分析参数，按照信号本身的特性，最基本的分类可概括为稳态信号和非稳态信号两类，如图9.1.1所示。
图 9.1.1 振动信号的类型稳态信号是其统计特性不随时间而变化的信号，它可以分为稳态确定性信号和稳态随机信号。
其中稳态随机信号可认为是一种其平均特性不随时间变化，因而可以用任意一条样本记录来决定的随机信号。
这也是所谓稳态的一般含义，无论对于确定性信号或是对于随机性信号皆是如此。
但对于随机信号来说，稳态不是理解为从不同的记录样本所得到的结果都必须完全一样，而只意味着它们是等价的。
稳态确定性信号对于任意稳定的时刻，其信号值是可以预知的。
而对于稳态随机信号，只能确知其统计特性，如平均值、方差等。
非稳态信号可粗略地分为连续性非稳态信号和瞬态信号，语言信号是典型的连续性非稳态信号。
两者最基本的区别是，瞬态信号可以作整体处理，而连续非稳态信号一般可分成若干短时信号段来处理，每一段常常可以看成是拟稳态的。
稳态确定性信号是完全由具有离散频率成分的正弦信号组成的信号，又可分为周期性信号和拟周期性信号。
第九章弹性振动的准确解(2011版)
第九章 弹性体振动的准确解9.1 引言在引论中我们曾经提到，实际的振动系统都是弹性体系统。
弹性体具有分布的物理参数（质量，阻尼，刚度）。
它可以看做由无数个质点借弹性联系组成的连续系统，其中每个质点都具有独立的自由度。
所以，一个弹性体的空间位置需要用无数个点的独立空间坐标来确定。
也就是说，弹性体具有无限多个自由度。
在数学上，弹性体的运动需要用偏微分方程来描述。
前面我们论述的多自由度系统只是弹性体的近似力学模型。
本章讨论理想弹性体的振动，所谓理想弹性体．．．．．是指满足以下三个条件的连续系统模型：（1）匀质分布；（2）各向同性；（3）服从虎克定律。
通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，着重说明弹性体振动的特点，弄清它与多自由度系统振动的共同点与不同点。
我们将看到，任何一个弹性体具有无限多个固有频率以及无限多个与之相应的主振型；而且这些主振型之间也存在着关于质量与刚度的正交性；弹性体的自由振动也可以表示为各个主振动的线性叠加；而且对于弹性体的动响应分析，主振型叠加法仍然是适用的。
所以说，弹性体振动与多自由度系统的振动，二者有着一系列共同的特性，这就是它们的共性。
而二者的差别仅在于数量上弹性体有无限多个固有频率与主振型，而多自由度系统只有有限多个。
我们还将看到，对于一些简单情形下的弹性体振动问题，可以很方便地找到它们的准确解。
尽管实际问题往往是复杂的，很少可以归结为这些简单情形；但是了解这些简单情形下准确解的特征，对于处理复杂问题是有帮助的。
为了避免用到弹性力学的知识，而仅以材料力学作为基础，我们将限于讨论一维弹性体（梁，轴，杆等）。
9.2弦的振动设有理想柔软的细弦张紧于两个固定支点之间，张力为T ，跨长为l ,弦单位长度的质量为ρ。
两支点连线方向取为x 轴（向右为正），与x 轴垂直的方向取为y 轴（向上为正），如图9.2-1（a ）。
设弦的振动发生在xoy 平面内，弦的运动可表示为y=y (x,t ).还假设弦的振动幅度是微小的，即 y 与xy∂∂均为小量；在这假设下弦的张力T 可近似地看做常量。
第9章 振动学基础
3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 振动的周期？
4. 研究谐振子模型的意义何在？
一、简谐振动的定义
1.弹簧振子 一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端
固结一个可以自由运动的物体，就构成一个弹簧振子.
2.弹簧振子振动的微分方程 弹簧振子偏离平衡位置
上式可求得 在 0,2π 区间内两个解，应进一步
由 x0,v0 的符号判定 cos 和 sin 的符号后选定其中
的一个解.
二、相位差
1.相位差 表示两个相位之差. 对于两个同频率的简谐运动，
相位差表示它们间步调上的差异.
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
O为平衡位置做简谐振动.
x Acos(t )
可见，旋转矢量的长度
A、角速度 和t=0时与x轴 的夹角 分别代表投影点简
M
A t x
OP
谐振动的三个特征量：振幅、
角频率和初相位.
振动的任相一位时.刻规旋定转矢A 量沿逆与时x轴针的方夹向角转动t ，则为相投位影点t 简谐
(t 2 ) (t 1)
2 1
两个同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与 时间无关.
2.超前和落后
若 2 1 0，则x2比x1较早达到正最大，
称x2比x1超前(或x1比x2落后).
3.同相和反相
当 =2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同，称
间发生周期性变化，但动能和势能的总和保持为一个常
量，即系统的机械能守恒.
E
1 k A2 2
Ek
Ep
o t T T 3T T 42 4
大学物理第九章振动学基础习题答案
第九章 振动学习题9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。
解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略 9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。
设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。
（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。
解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。
（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。
现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。
（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。
解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。
质点距球心x 时所受力为324433x m F G G mx x πρπρ=-=- 令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。
（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50s 。
当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ＝1.0×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动。
求以上各种情况的振动方程。
解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。
工程振动测试技术09第9章基本振动参数常用的测量方法课件
由(a)、(b)两式解得：
n 2
(
f
2 v
f
2 x
)
由(b)、(c)两式解得：
应注意的问题
n 2fv
fa
(
f
2 a
f
2 v
)
当衰减系数n比较小时，fx、fv、fa 各值相差很
小，测量结果误差较大。
应用精确的频率测量仪器，使测量共振频率的
有效数字尽可能精确。
9.5.3 半功率点法 振动理论曾导出强迫振动的振幅表达式：
由于
fd
f
2 n
(
n 2
)2
是自由衰减振动法得到
的系统振动频率，略小于实际的固有频率。
优点：方法比较简便；
缺点：振动波形衰减太快。
9.2.2 强迫振动法 利用共振的特点来测量机械系统的固有频
率的方法称为强迫振动法，也叫共振法。 1. 调节转速法
速械发和系生固统共有的振频固时率有的频的转率关速系。ncf叫n 做6n临0c 界转，速就，可根以据计临算界出转机
c、计算与显示系统 主要功能：由平均值检波器和直流放大器输出脉冲 的平均值，使输出的直流电压与输入信号间的相位 差成正比关系，然后通过表头显示出来。
2、数字式相位计 数字式相位计的整形电路、相位差检测器的工作
原理同模拟式相位计测量系统的工作原理相同。
数字式相位计的工作原理框图
由于整形电路、相位差检测器 输出的信号如图（c）所示，
sin x
pnt
F0 x m
sin sin
pnt pnt
F0 x m
因此，只要测量发生速度共振时的速度幅值和激
振力幅值，即可通过此式计算出阻尼。
9.6 振型曲线的测量
欠阻尼振动
谐振子的能量
下面计算简谐振动的能量。振子的坐标和速度为：
x A cos( t 0 ) 其中 2 k / m
v
dx dt
A
sin(
t
0 )
动能：
Ek
1 mv 2 2
A2 2
m 2 sin 2 (
t
0 )
1 kA2 2
•
1 [1 cos 2(
0 0
而多个简谐运动之间的相位 差是重要的。
简谐振动的描述
3. 简谐振动的描述
(1) x-t曲线图示法 简谐振动可以用三角函数表示，也可用下边的曲线
图表示，图上已将振幅、周期和初相标出。
简谐振动的描述
3. 简谐振动的描述
(2) 振幅矢量法
简谐振动还可以用旋转振幅 矢量（也称相矢量）来表示。 自原点画一条长等于振幅的矢 量A，开始时 ( t=0 )，让矢量A 与 x 轴的夹角等于振动的初位 相，令A 以角速度（就是振动 角频率）逆时针方向旋转，则 矢量在轴上的投影就是振动的 位移（如图）。
如图所示，设弹簧振子
的质量为 m，弹簧的倔强系
数为 k，选取 x 轴，以平衡
位置 O 为原点，则振子的运
动方程为：
mx kx
令：
2 k
m
解为： x A cos( t 0 )
其中 A, 0 为待定常数，由初始条件确定。称这种运
动为简谐ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ动。
简谐振动的描述
2. 简谐振动的特征参量
V (x) 1 kx2 2
势能的曲线示于图。由
图可见，在一个严格的弹性
力作用下的质点只可能作束
大学物理B2_第9章_1
19
第九章 振动1
二阶常系数齐次微分方程的解：
2 2 s 2Ce st 2Ce st 0 s 0 s j 其中 j 1
d 2x 2 x0 2 dt
st 设解为： x Ce 代入微分方程
jt jt x C1e s1t C2 es2t x C1e C2 e
mg kl
d 2x m 2 kx dt d 2x 2 x0 2 dt
k m
2
所以该系统是作简谐振动
11
2014年10月15日星期三
第九章 振动1
-2kg x 如图 9.8cos(10 t10 ) ,弹簧的静止形变为 cm 例2. m=2× l=9.8cm，t=0 时, t 0, x0 0, 取开始振动时为计时零点，写出振动方程； v0 0 (2) x 。⑴ 0=-9.8cm,v0=0
7
第九章 振动1
简谐振动图象表示：
x
A
x t v t
图
t
x A cos(t )
图
A
v
t
dx v Vm cos(t ) dt 2
dv a Am cos(t ) dt
2014年10月15日星期三
a t
图
A
2
a
t
8
第九章 振动1
四、简谐振动的特征物理量
A x (
2 0
mg l 解： v0 A k sin 0
2
-5
-10
10
5
O
-5 -10
0.2
l
FS
0.6 0.8 1
0.4
v0
大学物理第九章振动
第9章振动本章要点：1. 简谐振动的定义及描述方法.2. 简谐振动的能量3. 简谐振动的合成物体在一定位置附近作周期性的往返运动，如钟摆的摆动，心脏的跳动，气缸活塞的往复运动，以及微风中树枝的摇曳等，这些都是振动。
振动是一种普遍而又特殊的运动形式，它的特殊性表现在作振动的物体总在某个位置附近，局限在一定的空间范围内往返运动，故这种振动又被称为机械振动。
除机械振动外，自然界中还存在着各式各样的振动。
今日的物理学中，振动已不再局限于机械运动的范畴，如交流电中电流和电压的周期性变化，电磁波通过的空间内，任意点电场强度和磁场强度的周期性变化，无线电接收天线中，电流强度的受迫振荡等，都属于振动的范畴。
广义地说，凡描述物质运动状态的物理量，在某个数值附近作周期性变化，都叫振动。
9.1 简谐振动9.1.1 简谐振动实例在振动中，最简单最基本的是简谐振动，一切复杂的振动都可以看作是由若干个简谐振动合成的结果。
在忽略阻力的情况下，弹簧振子的小幅度振动以及单摆的小角度振动都是简谐振动。
1. 弹簧振子质量为m的物体系于一端固定的轻弹簧(弹簧的质量相对于物体来说可以忽略不计)的自由端，这样的弹簧和物体系统就称为弹簧振子。
如将弹簧振子水平放置，如图9-1所示，当弹簧为原长时，物体所受的合力为零，处于平衡状态，此时物体所在的位置O就是其平衡位置。
在弹簧的弹性限度内，如果把物体从平衡位置向右拉开后释放，这时由于弹簧被拉长，产生了指向平衡位置的弹性力，在弹性力的作用下，物体便向左运动。
当通过平衡位置时，物体所受到的弹性力减小到零，由于物体的惯性，它将继续向左运动，致使弹簧被压缩。
弹簧因被压缩而出现向右的指向平衡位置的弹性力，该弹性力将阻碍物体向左运动，使物体的运动速度减小直到为零。
之后物体又将在弹性力的作用下向右运动。
在忽略一切阻力的情况下，物体便会以平衡位置O为中心，在与O点等距离的两边作往复运动。
图中,取物体的平衡位置O为坐标原点，物体的运动轨迹为x轴，向右为正方向。
[工学]《结构动力学》-第九章-随机振动数学描述
![[工学]《结构动力学》-第九章-随机振动数学描述](https://img.taocdn.com/s3/m/71b14a3de53a580217fcfe6c.png)
Rxy() 2 Rx(0)Ry(0)
或
Rxy()
Rx(0)＋Ry 2
(0)
h
25
(3)应用 (a)确定输油管裂纹的位置
设声音在管道中传播速度为V(裂纹K漏油时发出的声 音)，则有
l 1 v 1l 2 t v 2l t 2 l 1 v ( t 2 t 1 ) v m
由互相关函数Rx1x2(τ)找出τm即可，而传感器之间距离
h
2
**常见的几种随机激励：
3)火箭燃烧放热不均匀，如：火箭发动机，化工储液 罐，……
4)地震或地面突变，如：地震，火炮发射，采掘机抖 动，……
**随机振动的利与害 〔利用〕
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1)诊断与检验：心电图、脑电波分析，轴承、齿 轮和发动机的故障诊断
2)找振源、确定传递通道
3) ……
h
3
〔危害〕
对于确定性振动，只要使系统固有频率远离激励 频率，就可避免共振发生
①一个确定性振动，不论波形怎样复杂，也不是随 机振动
②随机振动≠复杂振动，如初相位随机变化的简 谐振动x=X0sin(ωt+φ)(φ在0～2π之间随机取 值)，波形十分简单，但仍属于随机振动
**常见的几种随机激励：
1)固体接触面凹凸不平，如：路面，滚珠轴承，齿轮 金属切削加工，…… 2)流体对固体表面的作用，如：船，堤坝，海洋平台， 高层建筑，……
R x ( t , y ) E [ x ( t ) y ( t )] R y ( t , x ) E [ y ( t ) x ( t )]
对平稳过程，有：
R x ( ) y x 1 y 2 p ( x 1 , y 2 ) d 1 d 2 x y R y ( ) x x 2 y 1 p ( x 2 , y 1 ) d 2 d 1 x
第九章 振动 习题册解答 (1)
分析：总能量： E = 1 k A2 2
势能：
E P1
=
1 2
k
(A)2 3
=
1 9
E;
动能：
E k1
=
E
-
E P1
=
8 9
E;
E P2
=
1 2
k
(A)2 2
=
1 4
E
E k2
=
E - EP2
=
3 4
E
9.8 把单摆小球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后 由静止释放，使其摆动。从放手时开始计时，若用余弦函数表示运动方程，则该单摆振动的初 相位为:[ B ]
（m）
§9.3~9.7
9.6 一个弹簧振子，作简谐振动，已知此振子势能的最大值为 100J。当振子处于最大位移
的一半处时其动能瞬时值为：[ C ]
（A） 25J； （B） 50J； （C） 75J； （D） 100J。
分析：总能量 E = 1 k A2 = 100J 2
振子处于最大位移一半时，势能为 EP
2π m
分析：
T = 2π = 2π ω
m ν=1 k， T
k m
α
正
k
m
mg.sinα α
mg
平衡位置：kl=mg.sin α 任意位置：k(l-x)- mg.sinα =ma
a = − k x ，令ω = k ，则T = 2π m
m
m
k
9.3 一弹簧振子，振动方程为 x=0.1cos(πt-π/3)·m，若振子从 t=0 时刻的位置到达 x=-0.05m 处，且向 X 轴负向运动，则所需的最短时间为：[ D ]
工程振动测试技术09 第9章 基本振动参数常用的测量方法
⑥
放大器 电路
电路 触发电路
与门电器
⑦
时基信号 发生器
数字显示 计算电路
(1)
仪器由三部分组成：
(2)
1、计数部分；
(3)
2、时基信号发生器；
(4)
3、显示部分。
(5)
(6)
(7)
1、计数部分； 它包括衰减与放大器、限
幅电路、微分电路及双稳态触 发电路等。
基本功能：将被测正弦信 号变成矩形脉冲信号，如图中 第5个波形。
直流数字电压表由A/D转换器及电子计数显示器两 部分组成。A/D转换器是核心电路。有许多种形式。
积分式A/D转换器抗干扰力强，使用方便。比较式 A/D转换器测量速度快、精度高，稳定性好。
在电压表中读出电压值后，还需利用测试系统 的变换关系，求出振幅值。
例如：若测量系统为压电式加速度测量系统， 由电压表输出的电压读数为416 mv 。
指针式电压表是一台交流电压表，它有三种不同的 检波电路，使得电表指针的偏转分别与被测信号的平 均绝对值、峰值或有效值成正比。从而构成了三种不 同的电压表，测出三种不同的振动参数(峰值、有效值、 平均绝对值)数值。
9.3.2 数字式电压表直读法
数字式测振表的原理框图和指针式基本相同，所不 同是，指针式仪表采用磁电式表头；数字式仪表采用 一个直流数字电压表。
2. 调节干扰力频率法 1 用电磁激振器激振
2. 用振动台激振
将整个机械系统（模型）安装在振动台台面上。 振动台工作时，并使被测系统产生牵连惯性力并作 强迫振动。改变振动台位移的频率而幅值不变，利 用共振法就可测出系统的固有频率。
电动式振动台
除此方法外，还有晶体激 振，声波激振等。
用强迫振动法只可测得前 几阶固有频率，若得到更高阶 的固有频率，可应用实验模态 分析法。
大学物理第九章-十四章 振动--习题集(含答案)
第九章 振动一、简答题1、如果把一弹簧振子和一单摆拿到月球上去,它们的振动周期将如何改变? 答案：弹簧振子的振动周期不变，单摆的振动周期变大。
2、完全弹性小球在硬地面上的跳动是不是简谐振动，为什么？答案：不是，因为小球在硬地面上跳动的运动学方程不能用简单的正弦或余弦函数表示，它是一种比较复杂的振动形式。
3、简述符合什么规律的运动是简谐运动答案：当质点离开平衡位置的位移`x`随时间`t`变化的规律，遵从余弦函数或正弦函数()ϕω+=t A x cos 时，该质点的运动便是简谐振动。
或：位移x 与加速度a 的关系为正比反向关系。
4、怎样判定一个振动是否简谐振动？写出简谐振动的运动学方程和动力学方程。
答案：物体在回复力作用下，在平衡位置附近，做周期性的线性往复振动，其动力学方程中加速度与位移成正比，且方向相反:x dtx d 222ω-= 或：运动方程中位移与时间满足余弦周期关系:)cos(φω+=t A x5、分别从运动学和动力学两个方面说明什么是简谐振动？答案：运动学方面：运动方程中位移与时间满足正弦或余弦函数关系)cos(φω+=t A x动力学方面：物体在线性回复力作用下在平衡位置做周期性往复运动，其动力学方程满足6、简谐运动的三要素是什么？答案： 振幅、周期、初相位。
7、弹簧振子所做的简谐振动的周期与什么物理量有关？答案： 仅与振动系统的本身物理性质：振子质量m 和弹簧弹性系数k 有关。
8、如果弹簧的质量不像轻弹簧那样可以忽略，那么该弹簧的周期与轻弹簧的周期相比，是否有变化，试定性说明之。
答案：该振子周期会变大，作用在物体上的力要小于单纯由弹簧形变而产生的力，因为单纯由形变而产生的弹力中有一部分是用于使弹簧产生加速度的，所以总体的效果相当于物体质量不变，但弹簧劲度系数减小，因此周期会变大。
9、伽利略曾提出和解决了这样一个问题：一根线挂在又高又暗的城堡中，看不见它的上端而只能看见其下端，那么如何测量此线的长度？答案：在线下端挂一质量远大于线的物体，拉开一小角度，让其自由振动，测出周期T ，便可依据单摆周期公式gl T π2=计算摆长。
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x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
2 1
为其它
超前
落后
(t 2 ) (t 1 )
0 同步
π 反相
x
x
x
o
t
o
t
o
t
例1 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振 幅为 0.08 m ，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04 m 处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.试求
费指数的振荡、交流电路中电流的变化等。
振动：广义地说凡描述物质运动状态的物 理量在某一数值附近作周期性的变化。
机械振动 物体在一定位置附近作来回往复的运动。 实例: 心脏的跳动，钟摆，乐 器， 地震等。
提琴弦线的振动
弓
琴码
5 26 3
简谐运动
最简单、最基本的振动
物理量按余弦或正弦函数的规律随时间变化。 合成
π sin 0 取 2
v0 m v0 由 A x A v0 k
2 0 2
v0 A sin 0
v
x
o
x v0
m k cos( t ) k m 2
设计制作
干耀国
山东科技大学济南校区
§9-2 旋转矢量
t 0, x x0 , v v0
x0 A cos v0 A sin
初始条件
A x0 (
2
v0
)2
x0 或 cos A
v0 正负
v0 tg x0
值 。
振幅和初相由初始条件决定。
讨论
已知 t
0, x 0, v 0 求
x A cos(t )
(k 0 ， 1, )
A A1 A2
2 t s 3
例2 P37 9-2 如图，求谐振动方程。
解: 由图知 A=0.02m
2π x0 -0.01m v0 0 3 t =0
A
o 4
3
t =1 x
O
4 t 3
t 1
4 1 s 3
4π 2π x 2 cos( t ) 3 3
cm
例1.证明竖直悬挂在弹簧下端的小球运动是谐 振动。
证明：平衡位置弹簧伸长x0 mg kx0 任意位置 x 处，合力为 x0 F mg k( x0 x ) kx 物体作谐振动。
o
m x
x
二、谐振动的特征量
x
x t 图
TTLeabharlann 2x A cos(t )
A
o
A
t
1. 振幅:物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
合振动仍为谐振动，且圆频率不变。
讨论
1）
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
2 1 2k π (k 0 ， 1， 2,)
A A1 A2
相互加强
x
o A
x
A A1 A2
o
A
A2
1
t
同相
2） 2 1 (2k 1)π
cos(t ) 1
A x A
振动系统能量大小的标 志,由初始条件决定。
xmax A —振幅
2. 周期
频率
周期 T : 完成一次全振动所需要的时间。
x(t ) x(T t ) A cos(t ) A cos(T t )
T 2
本学期主要内容：
振动与波、光学、气体动理论、热 学、相对论、量子物理
参考书：
• 普通物理学（第五版）－程守洙 江之永 • 大学物理学—张三慧
平时要求
不缺课（考勤三次不到取消考试资格）；
带教材；
记笔记；
上课不影响他人；
按时独立完成作业。
交作业时间：课上老师安排。
振动
实例:
行星的运动、血液的循环、生态的循环、消
（1） t
1.0s
时，物体所处的位置和所受的力；
v
0.08 0.04
解:
x/m
0.04 0.08
o
A 0.08 m
2π π 1 s T 2
A 0.08 m
t 0, x 0.04m v 0 π 0 3
π π x 0.08 cos( t ) 2 3
2π π 1 s T 2
A
π 3
0.08 0.04
x/m
0.08
o
0.04
m 0.01kg
0.08 0.04
v
o
0.04 0.08
x/m
π π x 0.08 cos( t ) 2 3 t 1.0s x 0.069 m
F kx m x 1.70 10 N
2.用旋转矢量画简谐运动的x- t 图
t+
A
o x x
x A cos t
t
0
用旋转矢量图画简谐运动的
x t
图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
讨论
相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状 态间变化所需的时间. (t 2 ) (t1 )
o
机械能守恒
E
t
注意：振动势能与弹性势能一般是不相同的。
1 2 振动势能： E p kx , x是对平衡位置的位移。 2 弹性势能： E 1 kx2 , x是弹簧的伸长量。 p 2
例
l0
k
x
E p 弹 E p振 1 2 kx 2
E p弹
E p振
1 2 kx 2
o
x0
x
1 k ( xo x) 2 2
一、旋转矢量
作矢量OM= A ，逆时针
匀速转动，角速度为 t =0 时，旋转矢量与 x 轴 的夹角 ，矢量端点M在 x 轴上的投影点P的位移 y
M
t
A
t=0
x0 x
O
P
x A cos(t )
矢量端点M在 x 轴上的投影点P作简谐振动。
旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态。
m
o
x
角频率
x
k 令 m
2
dx 2 x x 0 其解为： A cos(t ) 2 dt
简谐振动微分方程
谐振动 表 达式
A， — 积分常数
x A cos(t )
o
F
m
x
x
振动速度
dx v A sin(t ) dt
振动加速度
dv 2 A cos(t ) 2 x a dt
弹簧振子的振动
x0 F 0
振动的成因
a 回复力 b 惯性
一、简谐振动的基本规律
1. 动力学特征
建立坐标系，o点选在弹簧平衡位置处。
F
o
m
x
x
F kx
x 是物体相对 O点的位移。
2.运动学特征
kx ma 2 dx a 2 dt
d x k 2 x0 dt m
2
2
F
矢量 A的
端点在
旋转
x
轴上的投
影点的运
动为简谐
运动.
物理模型与数学模型比较
谐振动 A 振幅 旋转矢量 半径
t+
T
初相
相位
初始角坐标
角坐标 角速度 圆周运动周期
圆频率
谐振动周期
1. M 点在 x 轴上投影点的运动
x A cos(t )
2. M 点的运动速度
A
v
x A cos(t1 ) x A cos(t2 )
t t 2 t1
x
A
A2
a
b
π 3
tb
o
A
v
t
A
0
A ta A
2
x
π 3 1 t T T 2π 6
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它 们间步调上的差异.（解决振动合成问题）
t0 x0 A v0 0
x
o
A
A
0
o
x
2) 初始条件
x o
t0
x0 0 v0 0
A
2
o
x
3) 初始条件
x
t0 x0 A v0 0
A
A
o
o
x
4) 初始条件
t0 x0 0 v0 0
3 2
o
x
或
2
oA
x
M点运动加速度在x轴的投影,为谐振动的加速度。
二、旋转矢量的应用
1、求(初)位相 2、作振动图
3、振动的合成
由旋转矢量 法，任意时
x＜0
v ＜0
参考圆
x＞0
v ＜0 x＞0 v ＞0
x
刻 t, 谐振动
物体的位置 及速度方向
o x＜0
v ＞0
的判定:
由此可判断相位或初相位所在的象限。
1. 用旋转矢量表示弹簧振子运动的初相 1) 初始条件
A
M
vM A