必修4第一章 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(第1课时)
人教a版必修4学案：1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(含答案)
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象自主学习知识梳理1．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做__________曲线和________曲线．(2)图象：如图所示．2．“五点法”画图 步骤： (1)列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 cos x1－11(2)描点：画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________________；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________________．(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向______平移π2个单位长度即可．自主探究已知0≤x ≤2π，结合正、余弦曲线试探究sin x 与cos x 的大小关系．对点讲练知识点一 利用“五点法”作正、余弦函数的图象例1 利用“五点法”画函数y ＝－sin x ＋1(0≤x ≤2π)的简图．回顾归纳作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．变式训练1利用“五点法”画函数y＝－1－cos x，x∈[0,2π]的简图．知识点二利用三角函数图象求定义域例2求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．回顾归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．变式训练2求函数f(x)＝cos x＋lg(8x－x2)的定义域．知识点三利用三角函数的图象判断方程解的个数例3在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x的解的个数．回顾归纳三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．变式训练3求方程x2＝cos x的实数解的个数．1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.课时作业一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝－cos x 的图象与余弦函数y ＝cos x 的图象( ) A ．只关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于原点、x 轴对称 D ．关于原点、坐标轴对称 3．如果x ∈[0,2π]，则函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域为( )A ．[0，π] B.⎣⎡⎦⎤π2，3π2C.⎣⎡⎦⎤π2，πD.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4 5．已知函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭⎫π2≤x ≤5π2的图象与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积( )A ．4B ．8C ．4πD ．2π二、填空题6．函数y ＝cos x1＋sin x的定义域为____________．7．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是______________．8．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________．三、解答题9．利用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝－sin x (0≤x ≤2π)；(2)y ＝1＋cos x (0≤x ≤2π)．10．分别作出下列函数的图象．(1)y ＝|sin x |，x ∈R ；(2)y ＝sin|x |，x ∈R .§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理1．(1)正弦 余弦2．(2)(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1) 3．左 自主探究解 正、余弦曲线如图所示．由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ，②当π4<x <5π4时，sin x >cos x .③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .对点讲练例1 解 利用“五点法”作图 取值列表：x 0 π2π3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 121变式训练1 x0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2例2 解 由题意，x 满足不等式组⎩⎨⎧sin x >016－x 2≥0， 即⎩⎨⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．变式训练2 解 由⎩⎪⎨⎪⎧8x －x 2>0cos x ≥0，得⎩⎨⎧0<x <8cos x ≥0.画出y ＝cos x ，x ∈[0,3π]的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2∪⎣⎡3π2，5π2.例3 解 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫1101，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．变式训练3 解 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．课时作业 1．D2．C [结合图象易知．]3．C [∵sin x ≥0且－cos x ≥0，∴x ∈⎣⎡⎦⎤π2π.] 4．A[∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4.]5．C [数形结合，如图所示．y ＝2sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与直线y ＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x ＝π2，x ＝5π2， y ＝0，y ＝2围成的矩形面积，即S ＝⎝⎛⎭⎫5π2－π2×2＝4π.]6.⎝⎛⎦⎤－π22k π，π2＋2k π (k ∈Z ) 解析 x 应满足：⎩⎪⎨⎪⎧1＋sin x ≠0⇒sin x ≠－1，cos x ≥0，综合正、余弦函数图象可知：－π2＋2k π<x ≤π2＋2k π. 7.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋2π3 ，(k ∈Z ) 解析 由2cos x ＋1≥0，得cos x ≥－12，∴2k π－2π3x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .8.⎣⎡⎦⎤π4，5π4 解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π] 与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象得：π4≤x ≤5π4.9．解 利用“五点法”作图． (1)列表：(2)列表：10．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，。
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
探究点 2 如何由 y＝sin x，x∈R 的图象得到 y＝cos x，x∈R 的 图象？方法唯一吗？ 提示 只需将 y＝sin x，x∈R 的图象向左平移π2个单位即可得到 y＝cos x，x∈R 的图象．方法不唯一．
【活学活用 1】 (1)作出函数 y＝－sin x(0≤x≤2π)的简图； (2)作出函数 y＝ 1－cos2x的图象．
解 (1)列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sin x 0 1 0 －1 0
－sin x 0 －1 0 1
0
描点并用光滑的曲线连接起来，如图
(2)将 y＝ 1－cos2x化为 y＝|sin x|， 即 y＝－sinsixn2xkππ≤＋x2≤kππ<＋x<22kππ＋，2kk∈π，Zk，∈Z.
【活学活用 3】 求函数 y＝lg 22＋cos x的定义域． 解 由 22＋cos x>0，得 cos x>－ 22.
在[0,2π)内，cos x＝－ 22的解为 x＝34π或 x＝54π.
作出函数 y＝cos x，x∈[0,2π)及 y＝－ 22的图象： 由图知在[0,2π)内cos x>－ 22的解为0≤x<34π
答案 y＝－cos x
4．函数 y＝ 2cos x＋1的定义域是________．
解析 2cos x＋1≥0，cos x≥－12， 结合图象知 x∈2kπ－23π，2kπ＋23π，k∈Z. 答案 2kπ－23π，2kπ＋23π，k∈Z
高一数学人教A版必修4第一章三角函数1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件(18张PPT)
高一数学人教A版必修4第一章三角函 数1.4.1 正弦函 数、余 弦函数 的图象 课件（ 18张PP T）
新知探究
探究：正弦函数
的图像
1.用描点法作出函数 y sin x, x [0, 2 ] 图像的主要步骤是 怎样的？
(1) 列表
x
0
6
3
2 5
236
7 4 3
6
3
2
5 3
11 6
2
y0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
3 2
1
1 2
0
(2) 描点
(3) 连线
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新知探究
2. 函数 y sin x, x [0, 2 ] 图象的几何作法.
2
2
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典例解析
例 1. 用五点法画出 y=1+sinx 在区间[0,2π]上的简图. 解：(1) 列表
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例 2. 用五点法画出 解：列表
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 课件(共21张PPT)
答案：2
栏目 导引
第一章 三角函数
方法感悟
作三角函数图象 (1)已知 y＝sin x 的图象求作 y＝cos x 的图象，只需把 y＝sin x 的图象向左平移π2即可得到 y＝cos x 的函数图象． (2)已知 y＝sin x 的图象求作 y＝|sin x|的图象，只需把 y＝sin x 在 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，即可得到 y＝|sin x|的图象． (3)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精确度不 高的情况下常用此法，要切实掌握好．
第一章 三角函数
1．4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
第一章 三角函数
学习导航
学习目标
实例
―了―解→
利用正弦线作正弦 函数图象的方法
―掌―握→
正、余弦函数的图象， 知道它们之间的关系
重点难点 重点：会用“五点法”画正、余弦函数的图象． 难点：能根据正弦、余弦函数的图象观察、归纳出正弦函 数、余弦函数的图象特征及图象间的关系．
如何利用规律实现更好记忆呢？
栏目 导引
超级记忆法--场景法
第一章 三角函数
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
栏目 导引
第一章 三角函数
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
第一章 三角函数
【名师点评】 作形如 y＝asin x＋b(或 y＝acos x＋b)，x∈[0,2π] 的图象时，可由“五点法”作出，其步骤是：①列表取 x＝0，π2， π，32π，2π；②描点；③用光滑曲线连线成图．
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(第一课时)
y 1 x
-2 -
o -1
2
3
4
探究新知
y 1 -6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O
π 2π
3π 4π
5π 6π x
形成结论
函数y=sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线
y 1 -6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O
π 2π
3π 4π
5π 6π x
探究新知
y=cosx的图象画法
思考:y=cosx和y=sin(x+ 系？
2
)有怎样的关
正弦曲线向左平移 2 个长度单位而得.
探究新知
y
2
2
2 2
1 2
O
2
2
2
2
2
2x
2
-1
y=cosx，xR的图象叫余弦曲线.
高一数学必修4第一章
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
(第一课时）
探究新知
作正弦函数的图象 y=sinx, x [0,2] y
B 1
O1
o
-1
2
3 2
x
2
探究新知
思考： y=sinx，x[2 ,4)的图象与 y=sinx，x[ 0,2)的图象形状 上有何特点？原因？
相同.函数值重复出再现.
探究新知
函数y=cosx，x∈[0，2π ]的图象如何？ 其中起关键作用的点有哪几个？
y 1
O -1
2
π
Hale Waihona Puke 22πx
探究新知
思考：若用列表描点画y=cosx，x[0,2] 的草图，抓哪些关键的点？
高中数学必修四1-4-1 正弦函数、余弦函数的图象课件
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
图象画法
“五点法”
“五点法”
关键 五点
(0,0)，(_π2_，__1_)_____， (0,1)，__(_π2_，__0_)___，
(π，0)，_(_32_π_，__－__1_)_， (2π，0)
(π，－1)， _(_3_2π_，__0_)___，
(2π，1)
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数y＝sin x的图象向左右和上下无限伸展．( ) (2)函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同．( ) (3)函数y＝cos x的图象关于(0,0)对称．( ) 提示 (1)×，正弦函数y＝sin x的图象向左右无限伸展，但 上下限定在直线y＝1和y＝－1之间． (2)×，二者图象不同，而是关于x轴对称． (3)×，函数y＝cos x的图象关于y轴对称．
解 首先作出 y＝sin x 在[0,2π]上的图象．如图所示，作直 线 y＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与 y＝sin x，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和56π；
作直线 y＝ 23，该直线与 y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标
为π3和23π．
观察图象可知，在[0,2π]上，当π6<x≤π3，或23π≤x<56π时，不
等式12<sin x≤ 23成立．
所
以
1 2
<sin
x≤
3 2
的
解
集
为
x|π6＋2kπ<x≤π3＋2kπ
，
或23π＋2kπ≤x<56π＋2kπ，k∈Z．
规律方法 用三角函数图象解三角不等式的方法
人教A版高中数学必修四课件第一章1.4.1正弦函数余弦函数的图象
随堂检测
1、下列函数中，最小正周期为 π 的函数是( D )
A．y＝sin2x
B．y＝cos2x
C．y＝cosx
D．y＝cos2x
2、x 轴与函数 y＝cosx 的图象的交点个数是( D )
A．0
B．1
C．2
D．无数个
随堂检测
3、方程 sin x lgx 根的个数是_3___.
y
1
2 3
2
高一必修4
1.4.1 正弦函数、余弦函数 的图象
情景导入
当我们检查心脏做心电图时，医生会用仪器打印出一条 曲线图，根据曲线图形就可以判断心脏是否有问题．在 一摇摆的沙漏下面放一张均匀行进的纸，沙子落在纸上 形成一条曲线，这些都给我们以正弦曲线和余弦曲线的 形象．这样我们就有必要研究正弦函数和余弦函数的图 象，从图象上能直观形象地得出正弦函数、余弦函数的 一些重要性质，如最大值、最小值、单调区间、对称性 等，同时研究函数图象的过程也为培养学生化归的数学 思想有促进作用．
[解析] 先用“五点法”原理作出函数y＝cosx的图象，如图虚线所示， 然后横坐标不变纵坐标伸长到原来的2倍，再把伸长后的图象向上 平移3个单位长度就得到函数的图象.
x
0
π 2
π
3π 2
Байду номын сангаас
2π
cosx 1 0 －1 0 1
3＋2cosx 5 3 1 3 5
典例精析
题型二、三角函数的图象变换
例2、利用图象变换作出下列函数的简图： (1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]． (2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．
练一练
练习 2、利用图象变换作出函数 y＝sin|x|，x∈[－2π，2π]的简图． [解析] ∵y＝sin|x|＝－sinx －2π≤x<0 为偶函数，∴首先用
1.4.1正弦、余弦函数的图象(1)
2 y=sinx，x[0, 2]
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
0
2
3
2
2
1
0
-1 0
1
-1 0
10
-1
y
y=cosx，x[0, 2]
1
o
2
2
3
2
x
2
-1
y= - cosx，x[0, 2]
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y =sinx,x[0, 2] 和 y= cosx，x[ ,3 ]的简图：
22
0 2
20
10
01
2
3
2
232
-01
0-1
10
向左y平移 个单位长度 22
1
o
2
-1
3
2
2
y=
cosx，x[
2
,
3 ]
2
y=sinx，x[0, 2]
2
x
课堂小结
1. 正弦曲线、余弦曲线
几何画法 五点法
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y
1
y=cosx，x[0, 2]
o
2
2
3 2
f (x 2k ) f (x) 利用图象平移
y 1
o
2
2
-1
y=sinx x[0,2] y
y=sinx xR
1
-4 -3
-2
- o
-1
3
2
x
2
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
1.4.1正弦、余弦函数的图象(1)
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？
人教版高中数学必修4讲义 1.4 1.4 .1 正弦函数、余弦函数的图象
1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法.(重点)2.正、余弦函数图象的简单应用.(难点)3.正、余弦函数图象的区别与联系.(易混点)[基础·初探]教材整理1正弦曲线和余弦曲线阅读教材P30～P32“思考”以上内容，完成下列问题.1.可以利用单位圆中的正弦线作y＝sin x，x∈[0,2π]的图象.2.y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象.3.正弦函数y＝sin x，x∈R的图象和余弦函数y＝cos x，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的.()(2)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同.()(3)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称.()(4)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于原点成中心对称.()【解析】由正弦曲线的定义可知只有(3)错误.【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图阅读教材P32“思考”以下至例1以上内容，完成下列问题.1.“五点法”作图的一般步骤是列表⇒描点⇒连线.2.画正弦函数 图象的五点 (0,0)⎝⎛⎭⎫π2，1 (π，0)⎝⎛⎭⎫3π2，－1 (2π，0)画余弦函数 图象的五点(0,1) ⎝⎛⎭⎫π2，0 (π，－1) ⎝⎛⎭⎫3π2，0 (2π，1)用五点法作函数y ＝2sin x －1的图象时，首先应指出的五点的横坐标可以是_______. ①0，π2，π，3π2，2π；②0，π4，π2，3π4，π；③0，π，2π，3π，4π；④0，π6，π3，π2，2π3.【解析】 与作函数y ＝sin x 的图象所取的五点的横坐标一样，应是0，π2，π，3π2，2π.【答案】 ①[小组合作型]正弦函数、余弦函数图象的初步认识(1)下列叙述正确的是( )①y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； ②y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； ③正、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围. A.0 B.1个 C.2个D.3个(2)对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述： ①向左向右无限延伸； ②与x 轴有无数多个交点；③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同. 其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个D.3个【精彩点拨】 分别画出正弦函数、余弦函数的图象即可.【自主解答】(1)分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确.(2)如图所示为y＝cos x的图象.可知三项描述均正确.【答案】(1)D(2)D1.解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线.2.正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.[再练一题]1.关于三角函数的图象，有下列说法：①y＝sin|x|与y＝sin x的图象关于y轴对称；②y＝cos(－x)与y＝cos |x|的图象相同；③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称.其中正确的序号是________.【解析】对②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；对④，y＝cos(－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确.【答案】②④用“五点法”作三角函数的图象用“五点法”作出下列函数的简图.(1)y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]. 【导学号：00680015】【精彩点拨】在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可.【自主解答】(1)列表：x 0π2π3π22πsin x 010－101＋2sin x1 3 1－11在直角坐标系中描出五点(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，3，(π，1)⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象.(2)列表：x 0 π2 π 32π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2＋cos x32123描点连线，如图1.“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点与x 轴的交点.2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点.[再练一题]2.用“五点法”作出下列函数的简图. y ＝－sin x (0≤x ≤2π). 【解】 列表如下：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 －sin x－11描点、连线，如图所示.正弦(余弦)函数图象的应用写出不等式sin x ≥12的解集.【精彩点拨】 解答本题可利用数形结合，分别画出y ＝sin x 和y ＝12的图象，通过图象写出不等式的解集.【自主解答】 在同一坐标系下，作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象以及直线y ＝12.由函数的图象知，sin π6＝sin 56π＝12.∴当0≤x ≤2π时，sin x ≥12的解为π6≤x ≤56π，∴不等式sin x ≥12的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z .1.用三角函数的图象解sin x >a (或cos x >a )的方法： (1)作出直线y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象； (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值；(3)选取一个合适周期写出sin x >a (或cos x >a )的解集，要尽量使解集为一个连续区间. 2.用三角函数线解sin x >a (或cos x >a )的方法：(1)找出使sin x ＝a (或cos x ＝a )的两个x 值的终边所在位置. (2)根据变化趋势，确定不等式的解集.[再练一题]3.求函数y ＝2sin x ＋1的定义域.【解】 要使y ＝2sin x ＋1有意义，则必须满足2sin x ＋1≥0，即sin x ≥－12.结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：知函数y ＝2sin x ＋1的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－π6≤x ≤2k π＋7π6，k ∈Z .[探究共研型]与正弦、余弦函数图象有关的零点问题 探究1 方程sin x ＝x 的实根个数有多少个？【提示】 在同一坐标系内分别作出y ＝sin x ，y ＝x 图象可知在x ∈[0,1]内，sin x <x 没有交点，当x >1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.探究2 函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内有多少个零点？【提示】 令f (x )＝0，所以x ＝cos x ，分别作出y ＝x ，y ＝cos x 的图象(略)，可知两函数只有一个交点，所以f (x )在[0，＋∞)内只有一个零点.判断方程x4－cos x ＝0根的个数.【精彩点拨】 当求解的方程不是普通方程时，经常采用数形结合法求解，即分别画出两个函数图象来求方程解的个数.【自主解答】 设f (x )＝x4，g (x )＝cos x ，在同一直角坐标系中画出f (x )与g (x )的图象，如图：由图可知，f (x )与g (x )的图象有三个交点，故方程x4－cos x ＝0有三个根.1.求f (x )－A sin x ＝0(A ≠0)或f (x )－A cos x ＝0(A ≠0)的根的个数，运用数形结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于y ＝－1与y ＝1之间，只需考虑－A ≤f (x )≤A 的x 的范围，在该范围内f (x )的图象与A sin x 或A cos x 的图象的交点的个数即方程根的个数.2.准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解.[再练一题]4.方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是__________. 【解析】 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解. 【答案】 21.以下对于正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A.在x ∈[2k π，2k π＋2π]，k ∈Z 上的图象形状相同，只是位置不同 B.关于x 轴对称C.介于直线y ＝1和y ＝－1之间D.与y 轴仅有一个交点【解析】 观察y ＝sin x 的图象可知A ，C ，D 正确，且关于原点中心对称，故选B. 【答案】 B2.用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( ) 【导学号：00680016】A.0，π2，π，3π2，2πB.0，π4，π2，3π4，πC.0，π，2π，3π，4πD.0，π6，π3，π2，2π3【解析】 令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.【答案】 B3.点M ⎝⎛⎭⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A.0 B.1 C.－1D.2【解析】 由题意－m ＝sin π2，∴－m ＝1，∴m ＝－1.【答案】 C4.函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图象( ) A.关于直线x ＝1对称 B.关于原点对称 C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称【解析】 作出函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的简图(略)，易知它们关于x 轴对称，故选C.【答案】 C5.用“五点法”画出y ＝cos ⎝⎛⎭⎫7π2－x ，x ∈[0,2π]的简图. 【解】 由诱导公式得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫7π2－x ＝－sin x ， (1)列表：x 0 π2 π 3π2 2π －sin x－11(2)描点：在坐标系内描出点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，－1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，1，(2π，0). (3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来.。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象讲义1 新人教A版必修4
【解题探究】1.典例1中，不等式应首先变形为什么形式？如何利用正
弦曲线解此不等式？
提示：先变形为sinx≤ ，2 正弦曲线在直线y= 下2 方的点的横坐标
2
2
的取值范围.
2.典例2中，画函数y=sinx，x∈[ 0 ， 3 ]有哪几个关键点？
2
提示：(0， 0)， ( 2， 1)， (， 0)， (32， 1).
【总结提升】 1.函数y=sinx，x∈[0，2π ]与y=sinx，x∈R的图象的关系 (1)函数y=sinx，x∈[0，2π ]的图象是函数y=sinx，x∈R的 图象的一部分. (2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y=sinx， x∈[2kπ ，2(k+1)π ]，k∈Z且k≠0的图象与函数y=sinx，x∈[0，2π ] 的图象形状完全一致，因此将y=sinx，x∈[0，2π ]的图象向左、右平 行移动(每次移动2π 个单位长度)，就可得到函数y=sinx，x∈R的图象.
4
4
C.{x|2k 5 x 2k ， k Z}
4
4
D.{x|2k 5 x 2k 7 ， k Z}
4
4
2.如果直线y=a与函数y=sinx，x∈[ 0 ， 3 ]的图象有且只有一个交点，
则a的取值范围是________.
2
3.根据函数图象解不等式：sinx>cosx，x∈[0，2π ].
(2π ，1)
【即时小测】
1.判断
(1)函数y=cosx，x∈[2kπ ，2(k+1)π )，k∈Z且k≠0的图象与函数
y=cosx，x∈[0，2π )的图象的形状完全一致.( ) (2)函数y=sinx，x∈[ ， 5 ]的图象与函数y=cosx，x∈[0，2π ]的图
人教版数学必修四第一章1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 同步授课课件(共20张PPT)
思考： 这两个函数图象可以由图象变换得到吗？
（1）y=1+sinx, x[0,2]
x
y=sinx
0
2
0
1
y=1+sinx 1
2
3
2
2
0
-1
0
1
0
1
. 2
y=1+sinx, x[0,2]
1.
.
.
.
o
/2
3/2
2
（2）y= － cosx, [0,2]
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
由未知向已知 转化
正弦曲 线
y=cosx与 y=sin(x+ ), xR图象 形状完全一样
2
只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲线
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
思考:
在精确度要求不太高时，如何快捷地作出正弦函数
的图象呢？ 观察函数图象，有哪些点比较重要呢？
什么是正弦线？什 么是余弦线？
y
PT
注意：三角
-1
O
M A(1,0) x
函数线是有
向线段！
sin
正弦线MP
cos
余弦线OM
思考探究： 做函数图像的基本步骤是什么？
按照这三个步骤画正弦函数图象，列表要列哪些值呢？
2，3， ， ，
2 2 643
这样的值要如何度量呢？
高中数学第一章三角函数1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件新人教A必修4 (1)
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3 若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取 值范围.
解 由题意可知，sin x－2m－1＝0，在[0,2π]上有2个根.即sin x＝2m＋1 有两个根. 可转化为y＝sin x与y＝2m＋1两函数图象有2个交点. 由y＝sin x图象可知： －1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0，
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 2 求函数 f(x)＝lg cos x＋ 25－x2的定义域. 解 由题意，得 x 满足不等式组c2o5s－xx>20≥，0， 即－ cos5≤x>x0≤，5， 作出 y＝cos x 的图象，如图所示.
第一章 § 1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数正弦曲线的方法. 2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五 点法”作出简单的正弦、余弦曲线. 3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 利用正弦曲线画正弦函数的图象 思考1 用描点法画y＝sin x在[0,2π]上的图象如何操作？难点是什么？ 答 列表取值、描点、连线；难点在取值. 思考2 如何精确地得出y＝sin x在[0,2π]上的图象？ 答 利用正弦线平移作图.
答案
1.可以利用单位圆中的 正弦 线作y＝sin x，x∈[0,2π]的图象. 2.y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向 左 、 右 平行移动(每次2π个单位长度)， 就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象. 3.把 y＝sin x，x∈R 的图象向左平移π2个单位长度，即可得到 y＝cos x，x∈R 的图象.
人教版数学必修四第一章1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(第一课时)说课稿
课题：正弦函数，余弦函数的图象（第一课时）说课稿各位评委老师，大家上午好，今天我说课的题目是《正弦函数，余弦函数的图象》，下面我将围绕“教什么”，“怎么教”，“为什么这样教”这三个问题，从“教材分析”，“学情分析”“教法分析”，“学法分析”，“教学过程分析”，“教学评价分析”这六个方面进行说课。
不妥之处，请老师们批评指正。
一：教材分析(1)教材地位，作用，特点分析《正弦函数，余弦函数的图象》是人教A版必修4第一章第4节的内容，本节内容在学习了三角函数的定义，三角函数的诱导公式后学习的又一类非常重要的基本函数，这部分内容是三角函数图象和性质的入门课，是后面研究正，余弦函数，正，余弦型函数，正切（型）函数图象和性质的知识基础和方法准备，有着承前启后的作用，在历届高考中，这部分内容也是考查的热点。
另一方面，三角函数是描述日常生活，大自然当中周期性现象的重要的数学模型，因此这部分的内容与我们日常生活，生产都有着密不可分的联系。
(2)教学任务（目标）分析知识方面：1.了解如何利用正弦线画出正弦函数的图象，并能体会这种方法的优越性。
2.理解正，余弦函数图象间的关系，能利用正弦函数的图象作出余弦函数的图象。
3.会用“五点法”，画出正弦函数，余弦函数的简图，并熟悉两函数的图象特点。
能力方面：1.尝试培养学生理解，掌握化归，类比，数形结合的数学思想，并利用这些思想解决实际问题的能力。
2.尝试培养学生自主学习和与人合作，及语言表达的能力。
情感方面：通过数学实验，举例等让学生体会数学来源生活，并且服务于生活，让学生热爱数学，热爱生活。
(3)教学重点，难点分析基于上面的目标分析，结合新课程标准的要求，将本节课的教学重点，难点确定如下：教学重点：正弦函数，余弦函数的图象形状特点；五点法作简图重点确定的依据：研究函数的一重要方法是采用数形结合方法，结合函数图象得其性质，故弄清基本函数的图象特征，能作出简图就是重中之重。
突出重点采用的方法：让学生充分参与到教学中来；通过数学实验，多媒体演示加深印象；通过设置有梯度的练习题及变式题目，循环往复，螺旋推进的方式进行训练。
人教版A版高中数学必修4：1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(1)
在函数 y sin x, x [0, 2 ] 的图象上，
简起图关作键法作:用的点有：
最高(1点)列：y 表(列(出,1对) 图象形状起关键
作用1的- 五点2 坐标);
与x轴的交点：
-
(2)描点(定出五个关键点); (0,0)
( ,0)
(2 ,0)
-1
o
6
3
2
2 3
5 6
向线段！
在直角坐标系中如何作点（ ，sin ）? 33
y
P MO
C(
3
,
sin
3
)
x
利用三角函数线作正弦函数的图像
函数y＝sinx，x 0，2
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
问题：有没有更加简洁的方法作 y=sinx,x∈[0,2π]图呢？
, 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
问题：如何作余弦函数的图象？
余弦曲线
-
-
y-
1
6
4
2
o-
2
-1
4
6
由于cos
x
sin(
x)
sin(x
)
2
所以余弦函数
y
2
cosx, x R与函数
y
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
(3)连-1 -线(用光滑的最曲低点线：顺(3次,连1结) 点).
2
问题：怎样画 y sin x（x R）的函数图像呢?
【原创】人教A版必修4：第一章 1.4 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
(1)列表：
x sin x(或 cos x)
0
π 2
π
3π 2
2π
y
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结束
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，
π2，y ，(π，y)， 32π，y ，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算 得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要 用线段进行连接．
答案：π 0 1
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结束
用“五点法”作简图
[典例] 用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]； (2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]．
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[解] (1)列表：
x
0
π 2
sin x
0
1
sin x－1
－1
0
描点连线，如图所示．
π
3π 2
0
－1
－1 －2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结束
2π 0 －1
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结束
(2)列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
cos x
1
0
－1
0
1
2＋cos x
3
2
1
2
3
描点连线，如图所示．
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结束
用五点法作函数 y＝Asin x＋b(A≠0)或 y＝Acos x＋b(A≠0)
在[0,2π]上的简图的步骤如下：
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（二）代数作法：五点法作图 y sin x ， x [0, 2 ] 的图像上，起关键作用的五个点：________________________________ y y 1 0 －1
2
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
订
——————————————
线
———————————————
——————————————
x
－ 4π
7 2
T
P T
5 2
2
1 0 －1 y
2
3 2
7 2
x
正弦线为_________，余弦线为_________，正切线为_________ 新课学习： 一、正弦函数 y sin x ， x [0, 2 ] 的图象 － 4π
2π
x
本节小结：
编号：
———————————————— —
人非生而知之，孰能无惑？惑而不从师，其为惑也，终不解矣
高一数学学案 执笔人：苏永明 第 11 周 第 04 课时 2012 年 11 月 07 日 星期三 第一章 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象（1 课时 总 075 课时）
学习目标：1、会用五点法画正弦、余弦函数的图象； 2、记住正弦、余弦函数的特征； 3、弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系。 重点难点：正余弦函数图象的画法 学法指导：加强理解，数形结合 思考回顾：三角函数线
y 1 π
3 2
k 0 的图象与函数 y sin x ， x [0, 2 ] 的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只
要将函数 y sin x , x [0, 2 ] 的图象向左、右平移，就可得到函数 y sin x , x R 的图象。
2π
x
0 －1
2
π
3 2
课堂随记
1 π
3 2
2πxຫໍສະໝຸດ 0 －12
π
3 2
2π
x
二、余弦函数 y＝cosx， x [0, 2 ] 的图象
装
y P
T P A
y
y
1、几何作法： 余弦函数的图象可由：正弦曲线向左平移 个单位得到，即：
T
y
2
o
M
x
M
o
A
x
P
M
o
A
x
o
M A
2、代数作法：五点法作图 y＝cosx， x [0, 2 ] 的图像上，起关键作用的五个点：________________________________ y 三、 y sin x ，y＝cosx （ x R ）的图象
2
（2）y＝－cosx，x∈[0,2π]
, , , , 2 等角的正 6 3 2
弦线； （2） 把 x 轴上 0 ~ 2 这一段分成 12 等份， 把角 x 的正弦线向右平行移动， 使正弦线的起点与 x 轴 上的点 x 重合； （3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数 y sin x ， x [0, 2 ] 的图象。
－ 3π
－ 2π
3 2
－π
π
2π
5 2
3π
4π
7 2
5 2
3 2
1 －π
2
π
2 3 2
3π 2π
5 2 7 2
x
－ 3π
－ 2π
0 －1
4π
例题选讲： 画出下列函数的简图： （1）y＝1＋sinx，x∈[0,2π] 作法： （一）几何作法：三角函数线法 （1）在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1，以 O1 为圆心作单位圆，从⊙O1 与 x 轴的交点 A 起，把 ⊙O1 分成 12 等份，过⊙O1 上各点作 x 轴的垂线，可得对应于 0, x sinx 1+sinx x cosx －cosx y 因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数 y sin x ， x [2k , 2(k 1) ] （ k Z ）且 2 1 0