拟周期激励下非线性半车模型的混沌振动研究
电动汽车非线性悬架系统混沌特性
庞 加莱截 面 ， 并 计算 系统 的李 雅 普诺 夫 指 数 ， 发 现 整
车系 统混 沌 运 动 的存 在 ， 但该 模 型 的非 线性 描 述 只
分 岔 图 、庞 加 莱 （ Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ６ ）截 面 和 最 大 李 雅 普 诺 夫 针 对传统 汽 车 ， 且 未考 虑横 向稳 定杆 等 对 悬架 影 响 ． （ Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ ） 指数． 分析 结果表 明该 系统 存在 混沌运 动 ， 并 发
ａ ｎ ｄ ｈｅ ｔ ｌ ａ ｒ ｇ ｅ ｓ ｔ Ｌｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ ｅ ｘ ｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｗｅ ｒ ｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ ．Ｔｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ
ｉ ｎ ｄ ｉ ｃ ａ ｔ ｅ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｃ ｈ ａ ｏ ｓ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｓ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ． Ｔｈ ｅ ｅ ｖ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｐ ｅ ｒ ｉ ｏ ｄ ｉ ｃ ，ｑ ｕ ａ ｓ ｉ — ｐ ｅ ｒ ｉ ｏ ｄ ｉ ｃ ｉ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ｍｏ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｒ ｅ
第 ４ ３卷 第 ３期 ２ ０ １ ５ 年 ３月
同 济 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版）
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｔ Ｏ Ｎ Ｇ Ｊ Ｉ Ｕ ＮＩ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ （ Ｎ Ａ 矾 琅Ａ １ ， Ｓ ｃ ｌ Ｅ Ｎ Ｃ Ｅ ）
Ｖｏ １ ． ４ ３ Ｎｏ ． ３
目前 对 电动汽 车非线 性动 力 学研 究 主要 集 中在 转 向
Ｃ ｈ ａ ｏ ｓ ｉ ｎ Ｎｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ｓ ｕ ｓ ｐ ｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｏ ｆ
动力学系统中的混沌与共振现象研究
动力学系统中的混沌与共振现象研究引言：在物理世界中，许多系统都可以用动力学模型来描述其运行规律。
在这些动力学系统中，混沌和共振是两种十分重要而又引人入胜的现象。
混沌现象指的是某些系统的微小初始条件会导致长期上的巨大变化，这使得预测和控制系统的未来状态变得困难。
而共振现象则表示系统对外界激励的某个特定频率有着极大的响应，这种响应可以放大系统的某些特性，产生重要影响。
本文将就动力学系统中的混沌与共振现象展开研究。
一、混沌现象的研究混沌现象的研究始于20世纪60年代，最早的研究者包括洛伦兹等人。
通过对混沌系统的数学建模和计算机模拟，科学家们认识到混沌现象在天体力学、生物学和工程学等领域中都有重要应用。
混沌系统凭借其自组织、非线性和敏感依赖等特性，在信息传输、密码学和优化问题等方面发挥着重要作用。
其次，混沌现象也揭示了系统动力学的复杂性。
混沌系统通常具有稳定解的丧失，表现为阶段性的轨迹围绕在某一区域内，形成所谓的“奇异吸引子”。
奇异吸引子的形态复杂多变，显示了混沌系统的多样性和不可预测性。
其中，分叉现象是最有代表性的现象之一，当系统的参数变化时，系统的解分支呈现出分叉现象，并且分叉点处的解存在着周期倍增的行为，这为动力学系统提供了更广泛的研究空间。
二、共振现象的研究共振现象是物理学中的一个重要概念，在许多领域中都有广泛应用。
共振现象是指当一个动态系统受到外界周期性激励时，系统出现频率等于激励频率的特定共振状态。
共振现象不仅在固体振动、电磁场、流体力学等基础物理学中有重要应用，而且在控制论、生物力学等交叉学科中也具有广泛的研究价值。
共振现象的理论研究主要集中在两个方面：共振的条件和共振的机理。
共振的条件主要包括激励频率、系统本征频率、激励强度等因素。
共振的机理可以通过线性系统理论和非线性系统理论进行解释。
在线性系统中，系统对共振激励的响应具有线性关系，其共振频率由系统的特征频率决定；而在非线性系统中，系统对共振激励的响应可能出现倍增、超共振等非线性效应，这使得系统对于外界激励表现出更加强烈的共振现象。
准周期激励非线性隔振系统的混沌研究
１ 引 言
随着 混沌研 究 的不 断深入 ， 人们 在 混沌理 论方 面取得 了丰硕 的成果 。 ｍａｅ Ｂｒｈ ｆ 同宿轨 理论揭 Ｓ ｌ ｉ ｏ － ｋ 示 了混沌 产 生的机 理 ， 指 出可 以用伯 努利 变 换来 刻 画混 沌轨 道 的特 征Ⅲ；ｉ ｉｏ 研 究 表 明如果 三维 并 Ｓｌ ｋ ｖ ｎ 系 统有 一 条鞍 焦 型 同宿 轨 道 ， 满 足 一定 条 件 时 ， 并 就可 以在 奇点 附 近构 造一 个 Ｐ ｉｃｒ 射 ， 映射 ｏｎ ａｅ映 此 有Ｓｌ ｍａ ｅ马蹄 变换 性质 ， 而 系统具 有 Ｓ ｔ 义下 的混 沌网 Ｍｅｎｋｖ方 法则 通 过分 析 周期 受迫 振子 从 ｍａ ｅ意 ； ｌｉｏ 中稳 定流形 和不 稳定 流形 是否 横截 相交来 判 断混沌 的存在 。 特别 是在 近些 年来 ， ｇｉｓ Ｗｉ ｎ 将Ｍｅ ｉｏ ｇ ｌ ｋｖ方 ｎ 法 推广到 了一 类准周 期激励 的系统 中 ， 用于 对多 自由度 系统 的研究 ， 出了系 统 出现 混沌 的指标网 高 并 提 ；
Ｆ ｂ ０１ ｅ ．２ ０
准周期激 励非线性 隔振 系统 的混沌研 究
刘 树 勇 ，朱 石 坚 ，俞 翔
（ 军 工 程大 学 振 动 与 噪 声 研 究 所 ， 汉 ４ ０ ３ ） 海 武 ３ ０ ３ 摘 要 ： 立 了准 周 期 激 励 下 非 线 性 隔 振 系 统 的模 型 ； 用 Ｐ ｉｃｒ 射 方 法 对 系 统 进 行 降维 处 理 后 ， Ｐｉｃｒ 建 应 ｏ ａｅ映 ｎ 在 ｏｎａｅ 截 面 上 分 析 了 系统 稳 定 流形 和不 稳 定 流形 的行 为 。 用 Ｍｅ ｉｏ 法 确 定 了 系 统 产 生 混 沌 的参 数 区域 。 应 ｌ ｋｖ方 ｎ 结果 表 明 双 曲 不 变环 面 的稳 定 流 形 和不 稳 定 流形 之 间 同宿 横 截 相 交 是 导 致 该 系 统 产 生 混 沌 的根 本 原 因 ， 给 出 了系 统 并
非线性振动系统的动力学行为
非线性振动系统的动力学行为引言振动是物体在固有频率下的周期性运动。
在自然界和工程领域中，非线性振动系统的研究具有重要意义。
非线性振动系统的动力学行为常常具有复杂性和多样性，如混沌、周期倍增等现象。
本文将探讨非线性振动系统的动力学行为，包括混沌、周期倍增和双稳态等方面。
一、混沌现象混沌是非线性振动系统中一种复杂的动力学行为。
与线性振动系统的周期性运动不同，混沌运动是无规律、无周期的。
混沌现象的出现是由于非线性振动系统中各种非线性项的相互作用导致的。
例如，双摆系统中的混沌现象是由于摆角的非线性耦合引起的。
混沌现象的研究对于理解非线性振动系统的行为具有重要意义。
二、周期倍增现象周期倍增是非线性振动系统中的另一种重要动力学行为。
周期倍增是指系统在某一参数变化的过程中，周期解的周期逐渐增加。
周期倍增现象常常出现在非线性振动系统的临界点附近。
例如，当驱动力的频率接近系统的固有频率时，非线性振动系统可能出现周期倍增现象。
周期倍增现象的研究对于预测和控制非线性振动系统的行为具有重要意义。
三、双稳态现象双稳态是非线性振动系统中的一种特殊现象。
双稳态现象是指系统在某一参数范围内存在两个稳定解。
这意味着系统可以在两个不同的状态之间切换。
双稳态现象的出现是由于非线性项的非线性饱和效应引起的。
例如，光纤中的非线性光学效应可以导致双稳态现象的出现。
双稳态现象的研究对于设计和优化非线性振动系统具有重要意义。
结论非线性振动系统的动力学行为具有复杂性和多样性。
混沌、周期倍增和双稳态是非线性振动系统中常见的动力学现象。
混沌现象是非线性振动系统中无规律、无周期的运动，周期倍增现象是系统周期解周期逐渐增加的现象，双稳态现象是系统存在两个稳定解的现象。
研究非线性振动系统的动力学行为对于理解和应用于实际问题具有重要意义。
总之，非线性振动系统的动力学行为是一个复杂而有趣的研究领域。
通过深入研究非线性振动系统的混沌、周期倍增和双稳态等现象，我们可以更好地理解和控制非线性振动系统的行为，为实际应用提供理论基础和指导。
非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验
非线性电路振荡周期的分岔与混沌1963年美国气象学家Lorenz 在分析天气预模型时，首先发现空气动力学中混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。
从此人们对事物运动认识不再只局限于线性范围。
非线性动力学及分岔与混沌现象的研究已成为热门课题，人们对此领域进行了深入研究，发现混沌现象涉及的领域极广，如：物理学，电子学，经济学，生物学，计算机科学等。
本实验通过对非线性电路混沌现象的观察，从而了解和理解非线性混沌现象的本质。
一．实验目的⒈了解非线性系统混沌现象的形成过程；⒉通过非线性电路振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认识和理解⒊理解“蝴蝶效应”。
二．实验原理1、分岔与混沌理论⑴ 逻辑斯蒂映射为了认识混沌（chaos ）现象，我们首先介绍逻辑斯蒂映射，即一维线段的非线性映射，因为非线性微分方程的解通常可转化为非线性映射。
考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数表示。
逻辑斯蒂映射是x )1(x kx x -→其中是0和4之间的常数。
迭代这映射，我们得离散动力学系统k ，，1，2…)1(1n n n x kx x -=+0=n 我们发现：①当小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; k ②当大于3时，随着的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之k k 为周期2循环；继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快在左右就k k 58.3结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。
④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。
⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。
以上这些特点可用图示法直观形象地给出。
逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条的抛物线，再画一条的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图)1(x kx y -=x y =1）。
A 不动点 B 分岔周期2 C 混沌 D蝴蝶效应0A B图1⑵逻辑斯蒂映射的分岔图 以为横坐标，迭代200次以后的值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔k x图。
非线性振动系统及混沌的基本概念概述：混沌的发现.pdf
θ
=
ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cos
Ωt
显含t ，在二维相空间中为非自治系统。
10
引入新变量φ = Ω t ，可将方程化为 ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cosφ
φ = Ω
θ
θ
O
自治系统的相空间与相轨线
●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交， 即通过每一相点的轨线是唯一的。
令β =0，退化为线性方程
d2x dt 2
+δ
dx dt
+αx
=
f
cos Ωt
三种情况： a. f=δ = β = 0；b. f = β =0；c. β =0，相
应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。
★简谐振动的相轨线：闭合圈---周期环---。
★阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最终停 止于中点---不动点吸引子--- 。
从周期运动到倍周期分岔
◎当 f = 0.8，系统的运动仍是 一个简单的周期运动。
17
◎当 f =0.89，其结果为一个二倍周期的运动，即出 现了倍周期分岔。
说明：图中看上去的每一条曲 线实际上是完全重合的两条曲 线，它们的初始值略有差异：
a. x0=1，υ0=0； b. x0=1.001，υ0=0.001.
1
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机却偏 离了上次的结果。
双频激励下含分数阶非线性汽车悬架系统的混沌研究
双频激励下含分数阶非线性汽车悬架系统的混沌研究作者：常宇健孙亚婷陈恩利李韶华邢武策来源：《振动工程学报》2021年第06期摘要：研究了含分数阶非线性特性的1/4汽车悬架模型在双频激励下的混沌运动。
运用Melnikov 方法，推导出系统发生异宿混沌运动的解析必要条件，得到系统混沌边界曲面阈值，讨论了悬架系统各参数对混沌边界曲面的影响。
运用时间历程图、频谱图、相图、庞加莱截面图及最大李雅普诺夫指数进行数值验证。
研究表明，在双频激励下悬架系统存在混沌运动，且含分数阶非线性悬架系统中阻尼系数、刚度系数等各参数对混沌边界曲面阈值都有一定影响，其中分数阶项阶数和系数及线性阻尼系数对其影响较大。
关键词：非线性振动;汽车悬架;混沌运动;双频激励;分数阶中图分类号： O322;U463.33 文献标志码： A 文章编号：1004-4523（2021）06-1198-09DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2021.06.011引言分数阶微积分作为重要的数学分支，于1695年德国科学家 Leibniz 和法国数学家L'Hopital 在探讨1/2阶导数时首次被提出[1]。
然而，由于缺乏应用背景支撑等多方面原因，它长期以来并没有得到较多的关注和研究。
随着20世纪70年代以来对分形和各种复杂系统的深入研究，分数阶微积分理论及其应用开始受到广泛关注，很多学者对分数阶微积分的基本特性进行研究，在基础理论方面取得了很大进展[2⁃6]。
进入21世纪以来，分数阶微积分建模方法和理论在复杂黏弹性材料力学本构关系、反常扩散、高能物理等诸多领域有了若干非常成功的应用[7⁃10]，凸显了其独特优势和不可替代性，所以研究含分数阶微积分方程中的典型力学特性和分数阶参数对动力系统的影响很有意义，大量学者进行着这方面的研究[11⁃13]。
车辆悬架减振装置不仅具有迟滞非线性特性，而且多数阻尼器都具有类黏弹性本构关系，这些黏弹性材料介于弹性和阻尼特性之间，普通的整数阶理论无法准确地描述这种材料的本构关系。
混沌理论在非线性动力学中的应用研究
混沌理论在非线性动力学中的应用研究在自然界和社会中，不少现象都呈现出难以预测的混沌态。
混沌现象一度被认为是无规则的，无法用科学方法解释和描述，但混沌理论的发展改变了这一观念，使得我们能够更好地理解并预测混沌现象。
如今，混沌理论已经在非线性动力学领域得到广泛应用。
什么是混沌理论？混沌现象是指一种非线性系统在微小因素下引起的复杂、随机的状态转换。
所谓混沌理论，就是指对混沌现象进行研究，找到其规律和特性的理论。
混沌理论的核心是混沌分形思想，即将混沌的非线性系统抽象成一些规则的几何图像，从而表述它们的结构和特性。
混沌理论的发展历程混沌理论的发展源于70年代。
当代生物学家洛伦茨在研究大气环流问题时得到了一组难以理解的计算结果。
洛伦茨发现，当他用一组非常简单的方程模拟空气流动时，该方程随着时间的变化轨迹从不同的起点展开后，结果却相差无几的奇怪现象。
这种结果使洛伦茨推断出，非线性系统的行为比我们一直认为的要复杂得多。
20世纪90年代初，混沌理论得到了进一步的发展。
通过大量的实验和模拟，研究者们发现：几乎任何的非线性系统都拥有某种形式的混沌现象。
此后，混沌理论在非线性动力学领域得到了大量应用。
混沌理论在非线性动力学中的应用研究非线性动力学是指由非线性系统引起的全部动力学研究。
非线性系统与线性系统的最大区别，在于前者的响应不仅取决于输入信号幅值，还取决于输入信号波形，即非线性系统的输出与输入信号之间存在非线性关系。
混沌理论在非线性动力学中具有重要的应用价值。
现在让我们从以下几个方面来说明。
1.混沌生物学混沌生物学是研究生态系统、种群动态、库仑生命现象等问题的一种新兴的生物学分支。
混沌生物学在描述生物种群量和生态系统变化时，采用了非线性动力学模型。
这些模型通过运用混沌理论，成功地描述了生态系统的特性和演化规律。
在生物多样性存亡问题上，混沌生物学研究可以辅助我们阐明生态系统演化的密度依赖和混沌稳定性。
2.混沌流体力学混沌流体力学是一种研究非线性动力学中的流体系统行为的学科。
受迫非线性振子的混沌研究
关键 词 ： 混沌 ； 线性振 子 ； 数 ； 真 计算 非 参 仿
中图分类 号 ：Ｈ１３ ２ Ｔ １． 文 献标 识 码 ： Ａ 文 章编 号 ：０１ ４５ （０７ ０ ００ — ３ １０ — ５ １２０ ）６— ０７ ０
Ｃｈａ ｓ ｒ ｓ ａ ｃ ｓ ｏ ｈｅ ｆ ｃ ｄ ｎ ｌｎｅ ｐｏ ｅ ｏ ｅ ｅ ｒ ｈｅ ｆｔ ｏｒ ｅ ｏｎ ｉ ａｒ ｄｉ ｌ
王林 泽 ， 军楠 周
（ 州 电子 科 技 大 学 计 算 机 应 用 技术 研 究 所 ， 江 杭 州 ３０ １ ） 杭 浙 １０ ８
摘 要 ： 沌是非 线性 系统特 有 的一种 运 动形 式 ， 于混沌振 动 的研 究 已成 为非 线性 振动 中一 个 蓬 混 关
勃发 展 的新领 域 。针 对 工程 中的 非线 性振 子 系统 的微 分 方程 ， 行 了理 论分 析 和参数 仿 真计 算 ， 进 并 在 一定 范 围 内得 出 了方程 出现 混 沌的 参数 值 。在 方程 参 数 一 定 的情 况 下 ， 现 了随 着初 始 值 的 不 发 同， 该方 程 的解 的状 态有 明显 的不 同。研 究结 果表 明 ， 研 究对 工程 实际应 用有 着重要 的价值 。 该
０ 前
言
１ 力学 背景
考虑一类含平方和立方项 的受迫非线性振子 为 ：
＋ ＋０ ＋６ ＋Ｃ ＝卢 ＋ ｃ ｓ ｗ ） （ ） Ｘ ｆｏ（ ｔ １
混 沌 是 非线 性 系 统 特 有 的一 种 运 动 形式 ， 线 非
性振 动理 论 的研究 目的是 建立 基 于非线 性 振动 系统 的数学模 型 ， 在不 同参 数 和初 始条 件下 ， 定 系统 运 确 动 的定性 分 析和 定量 规律 。关 于混沌振 动 的研 究 已
非线性振动力学中的混沌分析
非线性振动力学中的混沌分析近年来，混沌理论被广泛应用于非线性动力学领域，并在科学研究以及实际应用中发挥了重要作用。
在非线性振动力学中，混沌分析是一种非常有效的方法，旨在研究非线性动力学系统中的混沌现象。
1. 混沌现象简介混沌现象是指那些表现出一定规律性却又极其复杂、几乎无法预测的动态系统。
不像线性系统那样稳定、可预测和规律可循，混沌现象总是会呈现出一定的随机性。
具体而言，混沌现象常会出现于非线性振动力学系统中，这类系统的特征是运动既有局部稳定性，也存在不稳定性。
因此，很难用传统的数学方法来对这些非线性系统进行分析，在这种情况下，混沌分析成为了一种解决方案。
2. 混沌分析的基本原理混沌分析的基本原理是对非线性动力学系统的演变行为进行分析，从而揭示其混沌现象的本质规律。
具体而言，混沌分析常用的方法包括洛伦茨方程、延迟反馈系统、相空间重构等，其中相空间重构也是混沌分析的核心。
该方法将系统的多维状态空间重构成一个简化的流形空间，并进一步将这个流形空间划分成若干个相空间。
这样做的目的在于，将复杂的系统状态转化为易于分析的几何结构，从而分析系统的演变特征以及混沌行为。
3. 混沌分析的实际应用混沌分析的实际应用范围非常广泛，包括通信、控制、金融、生态、化学以及物理等领域。
在通信领域，混沌分析可以用于实现安全的数据传输。
由于混沌系统的不可预测性，使得数据传输更加安全可靠。
在控制领域，混沌分析可以用于实现高效的控制系统。
通过对一些复杂的控制系统进行混沌分析，可以有效地提高控制效率，进而优化生产效益。
在金融领域，混沌分析可以用于预测股市变化。
通过混沌分析，可以揭示出股市变化的本质规律，帮助投资者更好地做出投资决策。
在生态领域，混沌分析可以用于研究气候、生态系统的变化机理。
通过混沌分析，可以揭示出这些生态系统背后的混沌规律，从而采取更加合理的保护措施。
在化学领域，混沌分析可以用于研究化学反应动力学。
通过混沌分析，可以揭示出化学反应背后的混沌规律，有助于优化化学反应过程。
非线性振动系统的混沌研究
非线性振动系统的混沌研究0.引言非线性动力学中的复杂性现象的发现及分岔和混沌理论的建立，被认为是当代的基础科学的重大成就之一，它使非线性科学有了可靠的理论保证，并激励众多的自然科学、工程学和数学工作者深入探索和研究。
今天非线性科学正促使整个现代知识体系成为新科学，而动力系统、分岔、混沌和奇异性理论方法的发展也已超越原来数学的边界，广泛应用于振动、自动控制、系统工程、机械工程等部门非线性问题的研究，并且对经典力学、物理学、固体力学、流体力学、化学工程、生态学和生物医药，乃至一些社会科学部门的研究和发展都产生了深远影响。
同时，科学世界的进一步深化反过来又促进非线性动力学数学理论的纵深发展。
混沌理论为研究自然界各种复杂现象提供了有效的途径，它构成了非线性动力学近代理论的基本内容之一。
1.研究混沌的主要非线性方法1.1时间序列分析和相图法由微分动力系统的定义可知一个微分系统的解沿着时间的方向定义了一条解曲线，即它表示了动力系统的状态变量随时间的历程。
相图是系统的解在维相空间中描出的曲线，此曲线称为相轨迹。
画出了时间历程图和相图后，可以通过对比分析和综合以确定解的分岔和混沌现象。
在相空间中，周期运动对应封闭曲线，混沌运动对应一定区域内随机分布的永不封闭的轨迹（奇怪吸引子）。
但当动力系统的相空间的维数超过2或运动很复杂时，相轨迹可能混乱一片，很难看出规律和头绪，这是它的局限性。
1.2庞加莱截面法法国数学家h. poincaré利用几何的观点，对非线性动力学系统进行了深入的研究，总结出了该方法。
定义1：poincaré映射其中，τ=τ（q）是经q点的轨线首次回到所需的时间（一般而言，τ依赖于q，但不一定等于闭轨γ的周期t=t（p），但是当q→p 时，将有τ→t）。
称为poincaré截面，整个过程如图所示。
显然，p点为poincaré映射的一个不动点”同时，由poincaré映射的定义可知， poincaré映射可由微分方程的通解求得。
非线性振动系统的分岔与混沌研究
非线性振动系统的分岔与混沌研究振动是一种基本的物理现象，在自然界和工程中都有着广泛的应用。
在一些振动系统中，如单摆、弹簧振子、电路系统等，系统响应与输入之间的关系可以通过线性微分方程来描述。
这些系统的行为较为简单，易于研究。
然而，在一些非线性系统中，系统的响应往往不再与输入线性相关，展现出比较复杂的行为，如周期、混沌等。
非线性振动系统的分岔与混沌问题成为了研究所关注的重点及难点。
在非线性振动系统中，振动的频率不仅由外界载荷所决定，而且也受到系统本身的非线性影响。
这些非线性因素包括强迫频率、非线性刚度、分布参数、非等间隔时间延迟和非线性耗散等等。
对于一个连续系统而言，由于涉及到空间因素，其非线性效应更为明显。
非线性振动系统响应的周期解和稳定解，包括极限循环、倍周期循环和无穷周期循环。
当系统参数改变时，这些周期解有可能发生分岔，导致系统状态的转变。
分岔是指一个系统的响应从一种状态到另一种状态转变时，该系统的参数或者外部驱动条件发生微小变化的现象。
这些微小的变化可能是周期性的，也可能是随机的，并导致系统的相应从稳定的周期性变为复杂的混沌状态。
分岔与混沌研究是非线性振动系统的研究重点，针对不同系统的不同参数，研究其相应的分岔行为和混沌现象，为系统设计的精细化提供重要的基础研究支持。
在分岔的研究中，波动方程和相容方程方法被广泛用于求解分岔点和稳定解的问题。
波动方程方法是一种计算波的传播和反射的方法。
相容方程方法是一种计算不同的波模式之间共存的方法。
这些方法对于线性振动系统的研究较为有效。
但对于非线性系统的研究，由于非线性方程的解析表达式通常难以求解，因此常常需要采用数值模拟和实验研究的方法。
混沌现象的研究是非线性系统研究的一个难点和重点。
混沌现象通常是指一个系统的初始状态微小变化会导致系统响应大幅度变化的现象。
这种现象在物理和工程系统中广泛存在。
混沌现象的研究通过探索对称性、对称复杂性、Lorenz方程、Poincare截面、非线性回归分析等方面进行。
非线性汽车悬架的混沌特性
非线性汽车悬架的混沌特性任成龙（南京工程学院车辆工程系，江苏南京211167）收稿日期：2009-11-16基金项目：江苏省“六大人才高峰”项目（07-D-014）；南京工程学院重大科研项目（KXJ07066）通信作者：任成龙（1979-），男，辽宁绥中人，硕士，讲师，主要从事车辆振动检测理论与状态智能监测研究.E-mail ：rencill@摘要：通过数值仿真和实验，研究了非线性汽车悬架的混沌特性.建立了路面双频拟周期激励作用下的单自由度汽车悬架模型，通过数值仿真，给出了悬架振动的时间历程曲线、自功率谱密度图形和Poincare 截面，从理论上说明汽车悬架振动是混沌的.进行振动实验，获取实验汽车悬架的振动数据，对其计算了一阶固有频率和混沌参数如关联维、Kolmogorov 熵和最大Lyapunov 指数，从而验证了汽车悬架振动的混沌特征.为汽车悬架的优化设计和建立悬架隔振性能混沌评价新方法提供了理论依据.关键词：悬架；混沌；仿真；实验中图分类号：U463.33；O32文献标识码：A文章编号：1672-9102（2010）02-0099-03滞后非线性广泛存在于实际工程振动系统中，汽车悬架作为滞后非线性系统，具有强时变性、强非线性、强非平稳性的动力学特性，且其非线性因素在一定的载荷、激励和频域内影响十分突出[1-2].滞后非线性系统的多值性和非光滑性导致系统中非常容易产生分岔和混沌等复杂的非线性动力学行为，孟泉等[3]研究了多频周期激励作用下汽车悬架系统的分岔特性；贾启芬等[4-5]以悬架的线性非线性动力系统出发，用非线性理论KB 法得到系统的幅频响应函数呈现丰富的非线性特性；杨绍普[6-7]，方明霞[8-9]等通过仿真说明具有滞后非线性的汽车悬架系统中存在着混沌运动.汽车悬架是非常复杂的非线性系统，研究这类系统的建模并进行数值仿真，分析其非线性动力学行为可能出现的混沌现象，将为悬架系统的设计及汽车的动态设计和结构改进提供重要的理论依据和保证，并有助于提高对非线性系统本质的认识.本文以路面双频拟周期激励作用下的具有滞后非线性的单自由度汽车悬架为研究对象，通过数值仿真，给出了汽车悬架振动的时间历程曲线、自功率谱密度图形和Poincare 截面，从理论上给出了悬架振动发生混沌的可能性.同时，采用制动法，运用4PLD 型平板制动实验台获取了某越野车在3种不同状态下的悬架振动数据，又采用按压车体法，获得了某铃木、本田、吉利和奥迪轿车在初始悬架状况下的悬架振动数据，对其计算了一阶固有频率和混沌特征参数如关联维、Kolmogorov 熵和最大Lyapunov 指数，验证了汽车悬架振动的混沌特性，将为探讨对汽车悬架隔振性能进行混沌评价提供理论依据.1汽车悬架振动的仿真研究本文以受双频拟周期路面位移激励下的单自由度1/4汽车悬架模型为研究对象，得到系统的运动微分方程为M x 咬+k 1（x-x 0）+F =0.（1）式中，M 为车体质量，k 1为车体刚度，F 为滞后非线性阻尼力，用位移和速度三次方的数学模型描述，x 0为路面位移激励，x 为车体垂直位移.设：y=x -x 0；x 0=A 1sin Ω1τ+A 2sin Ω2τ，Ω1，Ω2不可有理通约；F=k 2（x -x 0）3+c 1（x 觶-x 觶0）+c 2（x觶-x 觶0）3；其中，k 2为系统的非线性度系数，c 1，c 2为系统的非线性阻尼系数.湖南科技大学学报（自然科学版）Journal of Hunan University of Science &Technology （Natural Science Edition ）第25卷第2期2010年6月Vol.25No.2Jun.201099则式（1）可化为y+ω2y+B 1y 3+B 2y +B 3y 3=F 1sin Ω1τ+F 2sin Ω2τ.（2）其中，ω2=k 1M ，B 1=k 2M ，B 2=c 1M ，B 3=c 2M，F 1=A 1Ω21，F 2=A 2Ω22，系统（2）为一滞后非线性系统.设系统基本物理参数如下：M =500kg ，k 1=250000N/m ，k 2=-400000N/m 3，c 1=500N ·s/m ，c 2=-50N ·s 3/m 3.通过数值模拟，并利用四阶定步长龙格－库塔法对式（2）进行积分，得到当路面双频拟周期激励振幅为A ＝0.16m 时系统的时间历程曲线、自功率谱密度和Poincare 截面图，分别如图1，图2和图3所示.从图1可知，时间历程曲线是非周期的，无规律，有随机运动的特点；由图2可知，自功率谱密度图形定常且连续，出现类似噪声的背景和宽峰，是混沌运动的特征；由图3可知，Poincare 截面充满相空间中的某一部分，分维较明显，且具有自相似结构，表现出奇怪特性.同时，对仿真所得数据进行混沌特征参数计算，得到系统的最大Lyapunov 指数（记为L y m ax ）L y m ax =0.536>0，关联维D 2=0.648，不为整数，从而可知此时汽车悬架的振动处于混沌运动状态，进而从理论上证明汽车悬架系统的运动能够进入混沌状态.2汽车悬架振动的实验研究2.1汽车悬架振动实验采用制动法，运用4PLD 型汽车制动-悬架隔振效率实验台，在车速10km/h 时，分别获得具有钢板弹簧非独立悬架的某越野车在初始状态、中等状态和最差状态时汽车制动过程中的悬架振动数据.采用按压车体法，获得具有麦弗逊式独立悬架的某铃木、本田、吉利和奥迪4辆轿车在初始状态下的悬架振动数据.传感器分别布置于悬架（靠近车轮处）与悬架附近车架相应位置，均采用磁座与被测点相接，按压汽车前保险杠，同时运用QLV 多功能虚拟信号分析仪记录振动数据.制动法是利用紧急制动时汽车轴载分配值的冲击性转移，激发出悬架-车轮系统的响应信号；按压车体法是利用人工按压车体对悬架-车轮系统激励，激发悬架-车轮系统的响应信号，其共性实质都是利用拟脉冲激励在频域中的有限带宽性质[10]，用足够大能量的激励作用于悬架-车轮系统，检测拟脉冲激励过程中该系统的振动响应信号.拟脉冲激励悬架振动检测框图如图4所示.2.2汽车悬架的混沌特征分析关联维能够定量描述事物内部结构的复杂程度，Kolmogorov 熵实际代表了系统信息的损失程度，它们反映了混沌系统中奇异吸引子的整体变化情况，适合于描述非稳态非线性动力学系统的混沌性质，Kolmogorov 熵（记为K 熵）K 熵>0对应于系统作混沌运动，关联维D 2>2或不为整数也对应于系统作混沌运动.Lyapunov 指数反映了系统对初值的敏感性，是目前判断混沌的最可靠的一种定量方法，适用于随机动力系统混沌运动的判别，若最大李雅普诺夫指数L ym ax >0，则系统一定存在混沌.对于实测的汽车悬架振动数据，首先进行相空间150010005000-500-1000-1500500100015002000图1时间历程曲线图Fig.1Time history curve采样点数位移/m m501001501098765频率/Hz功率谱/d B图2自功率谱密度图Fig.2Self-power spectral density figure150010005000-500-1000-1500-1500-1000-500050010001500特征向量1特征向量2图3Poincare 截面图Fig.3Poincare section图4拟脉冲激励悬架振动检测框图Fig.4Schematic diagram of suspension vibration detection underquasi-impulse excitation100Chaotic characteristics of nonlinear automobile suspensionREN Cheng-long（Department of Vehicle Engineering ，Nanjing Institute of Technology ，Nanjing 211167，China ）Abstract ：The chaotic characteristics of nonlinear automobile suspension were researched by numerical simulation and experiment.Thesingle degree of freedom automobile suspension model ，which was subjected to the road random excitation ，was built.The time history curve ，self-power spectral density figure and Poincare map were given by numerical simulation.It is confirmed that the vibration of automobile suspension is chaotic.The vibration curves of the automobile suspension are obtained by experiment.The first order nature frequency and the chaos characteristics parameters such as correlation dimension ，Kolmogorov entropy and maximum Lyapunov exponent are calculated.The chaotic characteristics of automobile suspension vibration are verified.The basis for optimization design of automobile suspension and the establishment of a new suspension vibration isolation performance chaotic evaluation method is provided.Key words ：suspension ；chaos ；simulation ；experiment重构并确定最小嵌入相空间维数[11]；其次计算关联积分，并通过线性拟合求得关联维D 2值；然后计算求得K 熵和L ym ax 值，如表1，表2所给.同时，可计算汽车悬架振动的一阶固有频率，也如表1，表2所给.由表1，表2可知：1）具有非独立悬架的实验越野车，在初始、中等和最差3种状态时，其悬架振动均具有混沌特性；2）具有独立悬架的实验轿车，其悬架振动也均具有混沌特性；3）目前汽车悬架性能的评价参数一般为固有频率和吸收率，而由于实验汽车悬架振动的一阶固有频率与混沌特征参数的一致对应性，即改变实验汽车悬架状态，其一阶固有频率减小13.7%，而对应的混沌特征参数D 2，K 熵和L y m ax 值都随之增大110.9%，84.0%和71.5%，故可考虑采用混沌参数来评价汽车悬架的振动特性.3结论1）建立了路面双频拟周期激励作用下的单自由度汽车悬架模型，通过数值仿真，从理论上说明汽车悬架系统运动能够进入混沌状态.2）进行了汽车悬架振动实验，计算了悬架振动的一阶固有频率和混沌特征参数，验证了实验汽车的悬架振动均具有混沌特性.3）研究了非线性汽车悬架的混沌特性，将为汽车悬架系统的设计和改进提供依据，并为进行汽车悬架系统隔振性能的混沌评价提供了理论基础.参考文献：[1]Kurimoto M ，Yoshimura T.Active suspension of passenger cars using sliding mode controllers （based on reduced models ）[J].InternationalJournal of Vehicle Design ，1998，19（4）：402-414.[2]Kim C ，Ro P I.A sliding mode controller for vehicle active suspension systems with non-linearties[J].Pro Intn Mech Engrs ，1998，212（part D ）：79-92.[3]孟泉，王洪礼.汽车系统的分岔研究[J].汽车工程，2004，26（1）：50-53.Meng Q ，Wang H L.A study on bifurcations of vehicle system[J].AutomobileEngineering ，2004，26（1）：50-53.[4]贾启芬，于雯，刘习军，等.汽车悬架系统的分段线性非线性振动机理的研究[J].工程力学，2005，22（1）：88-92.Jia Q F ，Yu W ，Liu X J ，et al.Dynamic characteristics of bilinear suspension system of vehicles[J].Engineering Mechanics ，2005，22（1）：88-92.[5]卢胜文，贾启芬，于雯，等.汽车多自由度悬架的非线性振动特性[J].应用力学学报，2005，22（3）：461-465.Lu S W ，Jia Q F ，Yu W ，et al .Nonlinear dynamic characteristics of vehicle suspension system with multi-degrees of freedom[J].ChineseJournal of Applied Mechanics ，2005，22（3）：461-465.[6]杨绍普，李韶华，郭文武.随机激励滞后非线性汽车悬架系统的混沌运动[J].振动、测试与诊断，2005，25（1）：22-25.Yang S P ，Li S H ，Guo W W.Chaos in vehicle suspension system with hysteretic nonlinearity[J].Journal ofVibration ，Measurement ＆Diagnosis ，2005，25（1）：22-25.[7]李韶华，杨绍普.拟周期激励下滞后非线性汽车悬架的混沌[J].振动与冲击，2003，22（3）：61-65.Li S H ，Yang S P.Chaos in suspension system with hysteretic nonlinearity under quasi-period excitation[J].Journal of Vibration and Shock ，2003，22（3）：61-65.[8]方明霞，谈军，冯奇.悬架迟滞非线性特性对汽车平顺性的影响[J].振动与冲击，2008，27（11）：67-70.Fang M X ，Tan J ，Feng Q.Influence of hysteretic nonlinear property of suspension on automobile ride comfort[J].Journal of Vibration andShock ，2008，27（11）：67-70.[9]肖海斌，方明霞.四自由度汽车迟滞非线性系统的混沌[J].动力学与控制学报，2008，6（4）：377-380.Xiao H B ，Fang M X.Chaos in nonlinearity considered 4-degree automobile system[J].Journal of Dynamics and Control ，2008，6（4）：377-380.[10]汪洋，杨云志，张弛.拟脉冲激励及其共振响应技术的车辆工程运用[J].公路与汽运，2008（3）：18-21.Wang Y ，Yang Y Z ，Zhang C.Application of quasi-impulse and syntony response in vehicle engineering[J].Highways and Automotive Applications ，2008（3）：18-21.[11]张雨，任成龙.确定重构相空间维数的方法[J].国防科技大学学报，2005，27（6）：101-105.Zhang Y ，Ren C L.The methods to confirm the dimension of re-constructed phase space[J].Journal of National University of DefenseTechnology,2005,27（6）：101-105.表1某越野车不同悬架状态下的振动参数Tab.1Vibration parameters of an off-road jeep in different suspension states悬架工况D 2K 熵L y m ax 一阶固有频率/Hz初始状态中等状态最差状态0.3210.5360.6770.5260.8640.9680.2350.3160.4031.2761.1451.101表2实验轿车初始悬架状态下的振动参数Tab.2Vibration parameters of test car in initial suspension state实验轿车D 2K 熵L y m ax 一阶固有频率/Hz铃木本田吉利奥迪0.3540.3160.1740.2671.3481.2671.3741.2390.3830.4910.4310.3751.4161.3101.8041.387101。
非线性汽车悬架的混沌研究
模 型 ， 过 仿 真 说 明具 有滞 后 非 线性 的 汽 车 悬 架 系统 中存 在 着混 沌 运 动 。盛 云 、 占宝 等 通 吕
Ｍａ ａ／ ｉ ｕｉｋ仿 真 ， ｔ ｂ Ｓｍ ｌ ｌ ｎ 进行 了正弦激 励 、 周期 激励和 随机激 励 下的汽 车悬 架系统 运动 特性研 究 。 拟 尽 管 已有文 献通 过仿真 研究 了汽 车悬架 系统 的混 沌运 动 ， 通 过 实验 来 研究 汽 车 悬架 振 动混 沌 特 但 征 的文献 所见不 多 。本文 首先 以路 面双频 拟周期 激励 作用 下的具 有滞后 非线 性 的单 自由度 汽车悬 架为 研究 对象 ， 通过 数值仿 真 ， 出了汽车 悬架 振动 的时 间历程 曲线 、 给 自功率 谱密 度 图形 和 Ｐ ｉｃｒ 截 面 ， ｏ ａｅ ｎ 从 理论 上给 出 了悬 架 振动发 生混沌 的可 能性 。其 次 ， 采用 制动 法 ， 用 ４ Ｌ 运 Ｐ Ｄ型 平 板制 动实 验 台获 取 了某 越野 吉普 车在 ３种不 同状 态下 的悬架 振动数 据 ， 又采用 按压 车体 法 ， 获得 了某 福特 、 田 、 本 奥迪 和马 自达 轿 车在初 始 悬 架 状 况 下 的 悬 架 振 动 数 据 ， 其 计 算 了一 阶 固 有 频 率 和 混 沌 特 征 参 数 如 关 联 维 、 对 Ｋ ｌ ｇｒｖ 和最 大 Ｌ ａ ｕ ｏ ｏ ｍｏｏｏ 熵 ｙｐ ｎｖ指数 ， 而验证 了汽 车悬架 振动 的混 沌特性 。 从
关 键 词 ： 车 悬 架 ； 沌 ； 动 ； 真 ； 验 汽 混 振 仿 实 中 图 分 类 号 ：４ ３ ３ ； ３ Ｕ ６ ．３ ０ ２ 文 献标 识码 ： Ａ
非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验讲解
图3非线性电路原理图图4非线性负阻器件R的伏安曲线图3电路的非线性动力学方程为:
11211( dVc C G Vc Vc gVc dt
=--
2212( L dVc C G Vc Vc i dt
=-+ 2Vc dt
di L L -=式中,导纳12V V G R R =+, 1C V和2C V分别表示加在1C和2C上的电压, L i表示流过电感器L的电流, g表示非线性电阻R的导纳。
1(x kx x -→
其中k是0和4之间的常数。迭代这映射,我们得离散动力学系统
1(1n n n x kx x -=+ , 0=n , 1, 2„
我们发现:①当k小于3时,无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k大于3时,随着k的增大出现分岔,迭代结果在两个不同数值之间交替出现,称之为周期2循环; k继续增大会出现4, 8, 16, 32„周期倍化级联; ③很快k在58. 3左右就结束了周期倍增,迭代结果出现混沌,从而无周期可言。④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感,细微的初值差异会导致结果巨大区别,常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。⑤迭代结果不会超出0~1的范围称为奇怪吸引子。
图5图6
图7实际非线性混沌电路图
四自由度汽车迟滞非线性系统的混沌
肖海斌 No.:0127四自由度汽车迟滞非线性系统的混沌肖海斌，方明霞同济大学航空航天与力学学院，上海，200092摘要：越来越多的实验和研究表明，汽车悬架系统的非线性是不可忽略的。
现阶段在关于汽车悬架系统振动中，有很多的研究是考虑悬架系统非线性。
但是在对于悬架系统在路面激励下发生的混沌方面，还有许多方面值得我们深入研究。
本文在建立1/2四自由度汽车悬架系统并考虑悬架系统的迟滞非线性的前提下，假定路面输入正弦激励，采用Poncare 图来研究汽车悬架系统的混沌响应，并且得到在迟滞非线性系统中，很容易产生混沌响应从而对汽车的振动产生较大的危害。
关键词：汽车悬架，迟滞非线性，正弦激励，混沌Chaos in Nonlinearity Considered 4-degree Automobile SystemXiao Haibin, Fang MingxiaSchool of Aerospace Engineering & Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, ChinaAbstract: More and more experiments and research indicate that the nonlinear in the automobile suspension can't be neglected. At the present stage, the suspension vibration about the car, non-linear in the automobile suspension is considered in much research. But the chaos generated by the automobile suspension with the sinusoid excitation, much more respects are worth further investigating. By modeling 1/2 four degree car suspension system and hysteretic nonlinear is considered in this text, and assuming the road surface imports the sinusoid excitation, the Chaos response generated in the automobile suspension is studied ，.Keywords: Automobile Suspension, Hysteretic Nonlinear; Sinusoid Excitation, Chaos1.引言滞后非线性是很常见的系统非线性特性，其主要特点是多值性和非光滑性，非常容易产生分岔、混沌等复杂的动力学行为。
利用非线性动力学系统研究混沌现象
混沌是指发生在确定性系统中的看似随机的
不规则 ％ —
性理论描述的
为却表现
ห้องสมุดไป่ตู้
性)
复、不可预
现象山％
线性 的 特性 IE
线性 普
的现象％目前，，
学已经
成为复杂性科学的一 要分支，混沌运动的动力
学特性已经被证明在描述和量化大量的复杂现象
中非常有用⑵。但是，E 输岀对状态初值的敏感性
的： 现
的复杂性和奇异性，使
部分，如图1所示。其中摆轮部 半
4.75cm
的 圆盘和安装
的一
块
，圆
盘安装
传感器上，并在圆盘后侧安装一个
磁阻，来改变圆盘转动的 。圆盘
的恢复
两根弹簧提供，弹簧通 线缠绕在圆盘后
侧的 杆上。两根弹簧下端，一
，另一根
的转臂上，这样圆盘的
到
驱
期外力的作用。同
臂的一
侧加装
，
的。
传感器、
驱
通过850通用接口连接计算
，实验时打开PASCO Capstone 采
软件，可控制驱
，并实时显示
传
感器的角度
度的 ，同 用
采集
到的驱
期信息在实时相图上绘制庞加莱点。
设 圆盘的半
R，
M，则 惯
（a）混沌摆实验装置；（b）铝质圆盘侧视图 图中（0）钱磁铁；（1）转动传感器；（2）三角支架；（3） 850通用数据 采集；（4）电机；（5）圆柱体质块；（6）铝盘；（7）弹簧；（8）光电门 ［注：实验装置图引自PASCO公司2016物理和工程目录一书中 第324页:
wilappearalternatelyintheperiodicandchaoticstates"andthischangeisalmostabrupt At
数学家研究发现混沌系统的周期行为与非线性动力学
数学家研究发现混沌系统的周期行为与非线性动力学混沌系统是一类非线性动力系统，它的行为通常被认为是无序和不可预测的。
然而，对混沌系统的研究却是非常有趣的领域，因为它包含着许多有趣且意想不到的现象。
在非线性动力学领域中，最重要的问题之一就是周期行为。
周期行为是指系统在某些时刻会以特定的频率重复其状态。
例如，一个钟摆会在固定的时间间隔内以相同的频率移动。
周期行为可以是简单的，例如单摆的简单周期，也可以很复杂，例如混沌系统。
最初，人们认为混沌系统没有周期行为，因为它们的输出看起来是完全随机的。
但是，一些数学家研究发现，许多混沌系统会表现出周期行为。
这些周期行为可以是多样的，例如简单的定期振荡或者更复杂的“奇异吸引子”。
奇异吸引子是一种非周期性吸引子，其形状复杂多变并且具有非常奇怪的性质。
例如，奇异吸引子的维数可以是小数，而不是整数，这就是所谓的“分数维”。
奇异吸引子的形态经常会被描述为“分叉树状结构”，因为它们在各个阶段中的形态经常类似于树枝的分支。
对于奇异吸引子的研究有一些应用，其中最著名的是在磁共振成像领域中的应用。
磁共振成像是一种用于成像人体内部的非侵入性方法，它可以帮助医生诊断各种疾病，如肿瘤甚至是精神病。
奇异吸引子的一些性质使得它成为磁共振成像的有用方法。
“分叉树状结构”表示各部分的形态分叉，在磁共振成像中，这个分叉结构在图像中体现出来，可以帮助医生更容易地看出病灶的位置以及病变的范围。
另外，周期行为的研究也具有很高的理论重要性。
研究周期行为帮助我们理解非线性动力学中的一些基本原理，例如“稳定性理论”。
稳定性理论是一种用来描述非线性动力系统的稳定性的理论，它告诉我们即使在极端条件下，系统也可能具有稳定的周期行为。
这一原理在电气系统、气候模拟和生物模型等领域中都有重要应用。
总之，数学家们对混沌系统的研究取得了一些非常有趣的结果，它们不仅揭示了混沌系统中的周期行为和奇异吸引子的存在，而且还帮助我们更好地理解非线性动力学的基本原理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 ３ ６卷 第 １期
文章编号 ： １ ６ ７ １ — ６ ８ ３ ３ （ ２ ０ １ ５ ） ０ １ 一 Ｏ ｌ ｌ ０— ０ ４
拟周 期 激 励 下 非 线 性 半 车 模 型 的 混沌 振 动研 究
杨智 勇 ，梁 山 ，周 桐
（ １ ． 重 庆工 程 职业 技 术 学 院 信 息 工 程 学 院 ，重庆 ４ ０ ２ ２ ６ ０ ； ２ ． 重 庆 大 学 自动 化 学 院 ，重 庆 ４ ０ ０ ０ ４ ４ ）
为 了得 到更 具有 价值 的车 辆非 线性 动力 学特 性， 笔 者将 车辆 看成左 右 对称 的结 构 ， 由此建 立 ４
架 系统 和车 体 的实 际 动 态 特性 的信 息 ， 不 能 代 表
真实 的车辆 系统 悬架 特性 ． 而 ４自由度 １ ／ ２ 车
多 是 简 单 的 单 自由度 １ ／ ４车 辆 模 型 和两 自由 度 １ ／ ４车 辆模 型． １ ／ ４车辆模 型 是一种 极 其简化 的模
者 首先 建立 了车 辆 悬 架 和路 面激 励 模 型 ， 通 过 分 析 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ６截 面 图 、 相位图、 功率 谱 等 ， 验 证 了模
摘 要 ：为 了 克服 单 一 频 率路 面 激 励 下 车 辆 悬 架 模 型 不 能 真 实 反 映 实 际 车 辆 的 非 线性 动 力 学 特 性 问
题， 建 立 了 双频 拟 周期 动 态路 面 激 励 函 数 ， 并 构 建 了 ４ 自由度 非 线性 １ ／ ２车 辆 悬 架模 型 ． 运 用庞加 莱图、 相位 图， 功 率谱 密度 分析 了车 辆 ４ 自由 度 非 线性 半 主 动 悬 架 模 型 通 过 凹 凸不 平 路 面 时 的 动 力 学 特 性 ， 得
路 面激 励 ， 讨论 路 面位 移 激 励 对 系 统 非线 性 特 性 的影 响¨ ’ ． 但 是单 一 的正弦 频率很 难 真实地 表 示 路 面 的真 实激 励 ． 目前 针 对 双 频 拟 周期 激 励 下 多 自由度非 线性 车辆 悬架 的混 沌振 动 的研究 还鲜 见报 道 ． 鉴 于 以上 问题 ， 笔者采 用 双频正 弦 拟周期 激励 来表示 凹凸不 平 的路 面 ， 以 ４ 自由度 非线 性 半 车模型 为研 究 对象 ， 研 究非 线 性 车 辆 在 路 面双
到 了 系统 发 生混 沌 振 动 时 的激 励 振 幅和 振 动 特 性 ， 即车 辆 通 过 凹 凸 不平 路 面 时 的振 动 特 性 为 ： 拟 周 期 一
过 渡 态一 混 沌 态． 同时 通 过 调 整 弹 簧 刚 度 系数 ， 有 效抑 制 了混 沌 振 动 的 发 生 ． 研 究 结果 表 明 ： 双 频 拟 周 期 激 励 下 的 ４ 自由度 非 线 性 半 主 动 悬 架模 型模 拟 更 能接 近 实 际 情 况 ， 这 有 助 于汽 车 悬 架 的 设 计 和 路 面铺
装设计．
关键词 ： 拟周期 ； 非 线性 车辆 ； 半主动 悬架； 混 动振 动 中 图分 类 号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １ ． ９ 文献标志码 ： Ａ ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ １ — ６ ８ ３ ３ ． ２ ０ １ ５ ． ０ １ ． ０ ２ ６
型 的合 理性 和系 统存 在混沌 的可能性 ．
型， 它将 汽 车简化 为一 个 车轮支 撑 的振动 系统 ， 只 能 研究 车辆 在垂 直 方 向的 振 动 ， 忽 略 了真 实 悬 架
系 统很 多重 要 的振 动 特 性 ， 很 难 提 供 足够 反 映 悬
１ 车 辆 模 型 及 运 动 微 分 方 程
０ 引言
由于车辆 系统 中悬 架 、 轮胎 、 弹簧、 阻 尼 元 件 存 在非线 性特 性 ， 因此 当车 辆通 过 凹 凸不 平 的 路
可用 于研 究 车身 的垂直 运动 和俯 仰运 动 以及 前 后 ２车轮 的垂 直 运 动 ， 并 可研 究 前 后 两 轮 激励 输 入
相 位差对 系 统动 态 特 性 的影 响． 由 于 随机 路 谱 表 示 的路 面激励 不便 于 理论研 究 ， 因此 ， 路 面激励 模
近年 来 ， 对 汽 车 非 线 性 悬 架 的 混 沌 振 动 的 机
理研 究 ， 特 别 对路 面 不 平 度激 励 下频 率不 可有 理 通 约 时 称 为 拟周 期 ． 笔
架 系统 的混沌 振动 的研 究 已越来 越受 到人 们 的关 注 ¨一 ． 但是 由于 非线性 系 统 的复杂 性 ， 目前 模 型
面时， 路 面激 励可 能 导 致 车 辆 内 部发 生 复 杂 的 非
线 性动 力学 现 象 ， 如分 岔 现象 、 混沌振动等¨ ． 这 些非 线性 现象 可 能 会 导 致 车辆 振 动 加 剧 ， 增 大 系统噪 声 ， 破 坏周 边环 境 ， 造成元 器件 磨损 和道 路
型 多 以单一 频率 或双 频 的正弦 或余 弦来 近似模 拟
频拟 周期 激励 下 的混 沌 振 动 ． 所 谓 拟 周 期 是 指 当
早期 疲劳损 害 ， 甚 至 威 胁 乘 车 舒 适 性 和 行 车 安 全 “ ． 因此对 车 辆 通 过 凹 凸不 平路 面 产 生 混 沌
振动 的机 理和 抑 制混 沌 振 动 的 方 法 开展 研 究 ， 对 提高 驾乘 人员舒 适 性具有 重要 意义 ．
２ ０１ ５正
１ 月
郑 州 大 学 学 报 （工 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｚ ｈ ｅ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｊ ａ ｎ． ２ ０１ ５