北师数学文(陕西用)配套课件：第八章第一节直线的斜率与直线方程
《直线的倾斜角和斜率》课件8 (北师大版必修2)
例3：如图所示菱形ABCD的 BAD=60°，求菱形 ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率。 y
D 略解： AD BC 600
C
AB DC 00 AC 300 BD 1200
o
A
x
B
k AD k BC 3 k AB kCD 0
l
总结：有四种情况，如图。可用直线 l
与x轴所成的角来描 述。我们规定，直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正 角叫做这条直线的倾斜角。特别地，当直线和x轴平行或重合 时，它的倾斜角为0°。
定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相
交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转 到与直线重合时所转的最小正角，记为 那么就叫 做直线的倾斜角。
3、直线的斜率
给出一个描述直线方程的量——直线的斜率
定义3：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做
这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan 问题4：当 =0°时，k值如何？ 问题5：填表说出直线的倾斜角与斜率k之间的关系： 当0°＜ ＜ 90°时，k值如何？ 当 =90°时，k值如何？ 直线 平行x轴 由左向右上升 垂直x轴 由左向右下降 当90° ＜ ＜180°时，k值如何？ 的大小
目的要求：
1、初步了解“直线的方程”和“方程的直线”概念； 2、了解直线的倾斜角概念，理解直线的斜率概念，并能准确 表述直线的倾斜角的定义； 3、已知直线倾斜角（或斜率）会求直线的斜率（或倾斜角）； 4、培养和提高学生的联想、对应、转化等辨证思维。
教学重点、难点：
本节的重点是直线的倾斜角斜率的概念； 难点是斜率存在与不存在的讨论及用反三角函数表示直线的 倾斜角。
《直线的倾斜角和斜率》课件8 (北师大版必修2)
3、直线的斜率
给出一个描述直线方程的量——直线的斜率
定义3：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做
这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan 问题4：当 =0°时，k值如何？ 问题5：填表说出直线的倾斜角与斜率k之间的关系： 当0°＜ ＜ 90°时，k值如何？ 当 =90°时，k值如何？ 直线 平行x轴 由左向右上升 垂直x轴 由左向右下降 当90° ＜ ＜180°时，k值如何？ 的大小
l
总结：有四种情况，如图。可用直线 l
与x轴所成的角来描 述。我们规定，直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正 角叫做这条直线的倾斜角。特别地，当直线和x轴平行或重合 时，它的倾斜角为0°。
定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相
交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转 到与直线重合时所转的最小正角，记为 那么就叫 做直线的倾斜角。
例3：如图所示菱形ABCD的 BAD=60°，求菱形 ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率。 y
D 略解： AD BC 600
C
AB DC 00 AC 300 BD 1200
o
A
x
B
k AD k BC 3 k AB kCD 0
以上定义改用集合表述：
直线可以看成由点组成的集合，记作C，以一个 关于x，y的二元一次方程的解为坐标的集合，记 作F。 若（1）C F（2）F C，则C=F
例1、已知方程2x+3y+6=0。
（1）把这个方程改成一次函数式； （2）画出这个方程所对应的直线 l。
3 （3）点（ 2
，1）是否在直线 l上。
教学过程：
《直线的倾斜角和斜率》课件8 (北师大版必修2)
问题2：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对， 违背了定义中的哪一条？
y y y y
o
x
o
x
o
（3）
x
o
（4）
x
（1）
（2）
提问：
问题3：直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不 能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？ （通过问题3的分析可知倾斜角的取值范围是0°≤ ＜180°， 在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角。 而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向，倾斜角直观地表示 了直线对x轴正方向的倾斜程度。）
教学过程：
1、“直线的方程”和“方程的直线
（1）有序数对（0，1）满足函数y=2x+1， 则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）。
（2）反过来，直线上点B（1，3），则 有序实数对（1，3）就满足y=2x+1。 一般地，满足函数式y=kx+b的每一对x， y的值，都是直线 l 上的点的坐标（x，y）； 反之，直线 l 上每一点的坐标（x，y）都满 足函数式y=kx+b，因此，一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的 每一对x，y的值为坐标的点构成的。
以上定义改用集合表述：
直线可以看成由点组成的集合，记作C，以一个 关于x，y的二元一次方程的解为坐标的集合，记 作F。 若（1）C F（2）F C，则C=F
例1、已知方程2x+3y+6=0。
（1）把这个方程改成一次函数式； （2）画出这个方程所对应的直线 l。
3 （3Байду номын сангаас点（ 2
，1）是否在直线 l上。
《直线的倾斜角和斜率》课件8 (北师大版必修2)
教学过程：
1、“直线的方程”和“方程的直线
（1）有序数对（0，1）满足函数y=2x+1， 则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）。
（2）反过来，直线上点B（1，3），则 有序实数对（1，3）就满足y=2x+1。 一般地，满足函数式y=kx+b的每一对x， y的值，都是直线 l 上的点的坐标（x，y）； 反之，直线 l 上每一点的坐标（x，y）都满 足函数式y=kx+b，因此，一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的 每一对x，y的值为坐标的点构成的。
目的要求：
1、初步了解“直线的方程”和“方程的直线”概念； 2、了解直线的倾斜角概念，理解直线的斜率概念，并能准确 表述直线的倾斜角的定义； 3、已知直线倾斜角（或斜率）会求直线的斜率（或倾斜角）； 4、培养和提高学生的联想、对应、转化等辨证思维。
教学重点、难点：
本节的重点是直线的倾斜角斜率的概念； 难点是斜率存在与不存在的讨论及用反三角函数表示直线的 倾斜角。
y
y=2x+1
B（1，3）
A（0，1）
o
x
从方程的角度看，函数y=kx+b也可以看作是二元一 次方程y-kx-b=0，这样满足一次函数y=kx+b的每一对x， y的值“变成了”二元一次方程y-kx-b=0的解，使方程 和直线建立了联系。
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直 线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
问题2：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对， 违背了定义中的哪一条？
y y y y
一轮复习北师大版第8章第1节 直线的倾斜角与斜率直线的方程课件
＝a2－a＋4＝a－122＋145， 当 a＝12时，四边形的面积最小，
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成 过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
[典例 2] 已知直线 l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线 l 过定点； (2)若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围； (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A，交 y 轴正半轴于 B，△AOB 的面 积为 S(O 为坐标原点)，求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程．
4．已知直线斜率的绝对值等于 1，则直线的倾斜角为________． π4或34π [设直线的倾斜角为 α，则|tan α|＝1，∴tan α＝±1． 又 α∈[0，π)，∴α＝4π或34π．]
02
细研考点·突破题型
考点一 考点二 考点三
考点一 直线的倾斜角与斜率 斜率取值范围的两种求法
数形结 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形， 合法 结合正切函数的单调性确定 函数图 根据正切函数图像，由倾斜角范围求斜率范围，反之 像法 亦可
C． 3x＋3y＋6＋ 3＝0
D． 3x＋3y－6＋ 3＝0
A
[直线的斜率
k＝tan
30°＝
33．由点斜式方程得
y－2＝
3 3 (x
＋1)，即 3x－3y＋6＋ 3＝0，故选 A．]
3．在 x 轴、y 轴上的截距分别是 4，－3 的直线方程为________．
3x－4y－12＝0 [由题意知，直线方程为4x＋－y3＝1，即 3x－4y －12＝0．]
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率， π
斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝_t_a_n_α___，倾斜角是_2_的直线没有
《直线的倾斜角和斜率》课件8 (北师大版必修2)
3、直线的斜率
给出一个描述直线方程的量——直线的斜率
定义3：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做
这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan 问题4：当 =0°时，k值如何？ 问题5：填表说出直线的倾斜角与斜率k之间的关系： 当0°＜ ＜ 90°时，k值如何？ 当 =90°时，k值如何？ 直线 平行x轴 由左向右上升 垂直x轴 由左向右下降 当90° ＜ ＜180°时，k值如何？ 的大小
例3：如图所示菱形ABCD的 BAD=60°，求菱形 ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率。 y
D 略解： AD BC 600
C
AB DC 00 AC 300 BD 1200
o
A
x
B
k AD k BC 3 k AB kCD 0
以上定义改用集合表述：
直线可以看成由点组成的集合，记作C，以一个 关于x，y的二元一次方程的解为坐标的集合，记 作F。 若（1）C F（2）F C，则C=F
例1、已知方程2x+3y+6=0。
（1）把这个方程改成一次函数式； （2）画出这个方程所对应的直线 l。
3 （3）点（ 2
，1）是否在直线 l上。
K的范围
K的增减性
例2：直线 l1 的倾斜角1 =30°，直线 l2 l1 ， 求 l1 , l 2 的斜率。y Nhomakorabeal1
o
1 2
l2
解： 的斜率为 k1 tan1 3 l1 3 l 2 的倾斜角为 2 900 300 1200 x l 2 的斜率为 k2 tan2 3
问题2：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对， 违背了定义中的哪一条？
《直线的倾斜角和斜率》课件8 (北师大版必修2)
y
y=2x+1
B（1，3）
A（0，1）
o
x
从方程的角度看，函数y=kx+b也可以看作是二元一 次方程y-kx-b=0，这样满足一次函数y=kx+b的每一对x， y的值“变成了”二元一次方程y-kx-b=0的解，使方程 和直线建立了联系。
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直 线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
目的要求：
1、初步了解“直线的方程”和“方程的直线”概念； 2、了解直线的倾斜角概念，理解直线的斜率概念，并能准确 表述直线的倾斜角的定义； 3、已知直线倾斜角（或斜率）会求直线的斜率（或倾斜角）； 4、培养和提高学生的联想、对应、转化等辨证思维。
教学重点、难点：
本节的重点是直线的倾斜角斜率的概念； 难点是斜率存在与不存在的讨论及用反三角函数表示直线的 倾斜角。
l
总结：有四种情况，如图。可用直线 l
与x轴所成的角来描 述。我们规定，直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正 角叫做这条直线的倾斜角。特别地，当直线和x轴平行或重合 时，它的倾斜角为0°。
定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相
交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转 到与直线重合时所转的最小正角，记为 那么就叫 做直线的倾斜角。
（2）如果直线 l 的斜率 围是什么？
l2 ，那么直线 l 2 的斜率怎样？ ，那么它的倾斜角的范 k 的范围是 0 k 1
（3）直线的倾斜角的正弦为 sin ，也是 的三角函数，为什么不用
它来作直线的斜率呢？
y
2 y x2 略解：（1） 3
北师大版(理)数学课件第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程ppt版本
即 x＋y－5＝0 或 2x－3y＝0.
12 分
[规律方法] 1.截距可正、可负、可为 0，因此在解与截距有关的问题时， 一定要注意“截距为 0”的情况，以防漏解．
2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法 要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的 适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．
截距式
Байду номын сангаас
ax＋by＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
Ax＋By＋C＝0， 一般式
A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(
)
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(
)
(3)过定点 P0(x0，y0)的直线都可用方程 y－y0＝k(x－x0)表示．(
4．直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则实数 a＝________. 【导学号：57962370】
1 或－2 [令 x＝0，则 l 在 y 轴上的截距为 2＋a；令 y＝0，得直线 l 在 x 轴 上的截距为 1＋2 a.
依题意 2＋a＝1＋2 a，解得 a＝1 或 a＝－2.]
抓
第一基 础 自节·直线的倾斜角与率、直线的方程
主 学
课
第一节直线的倾斜角与率、直线的方程 习
时
分
[考纲传真]
层 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何
训 要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.
明 练 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一 般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
北师大版教材PPT《直线的倾斜角和斜率》优质教学PPT1
32 42 72 122
965
965
(2)cos | 31 (4) 0 | 3 , arccos 3
32 42 12 02 5
5
课堂小结
1）倾斜角与斜率的概念； 2）斜率和倾斜角的相互联系，倾斜角、斜率与直线方向 向量的相互联系； 3）直线的斜截式方程和截距式方程。
1.交代故事发生的时间、环境；描绘 出一幅 令人恐 惧的画 面，渲 染紧张 气氛。 侧面表 现人物 恐惧痛 苦的内 心世界 ，与他 所向往 的温馨 的家庭 生活环 境形成 鲜明对 比。 2.但是，情况终于改变了。一些急欲 挽救中 国的社 会改革 家发现 ，旧时 代的主 流意识 形态必 须改变 ，而那 些数千 年来深 入民间 社会的 精神活 力则应 该调动 起来。 因此， 大家又 重新惊 喜地发 现了墨 子。 3.中国作家结识雨果已经近一百年。 当伟大 的雨果 以其壮 丽风采 开辟着 一个理 想的正 义世界 的时候 ，当他 以浪漫 主义的 狂飙之 势席卷 风云变 幻的欧 罗巴的 时候， 中国还 是一只 沉睡的 雄狮， 尚未向 世界打 开广泛 的视听 。 4.意义的追求是每一章散文诗必须坚 持的， 是她的 生命线 。没有 任何意 义的散 文诗， 决非好 作品。 意义和 审美是 一体化 的存在 ，只有 在审美 的前提 下，在 足以强 化审美 而不是 削弱审 美的前 提下， 才能实 现意义 的追求 。 5.传统的经济理论不考虑经济系统和 生态系 统的物 质和能 量交换 是基于 以下的 假设： 生态系 统的物 质和能 量是取 之不尽 、用之 不竭的 。 6.这一前提假设在经济系统相对于生 态系统 较小时 ，即世 界是一 个“空 的世界 ”时尚 能满足 ，但在 经济系 统快速 增长， 世界逐 渐从“ 空的世 界”变 成“满 的世界 ”后， 这一假 设就很 难满足 了。 7.当人们不能改变客观的社会环境时 ，要避 免应激 性疾病 的发生 就应该 不断降 低心理 压力。 降低心 理压力 的方法 是多种 多样的 ，正确 认识事 物，获 得积极 的情感 体验是 一个重 要的方 法。 8.心理学上有一种认识——评估学说， 即个体 对事物 有了认 识，就 会利用 头脑中 的旧经 验来解 释新输 入的信 息，进 行评估 ，于是 产生情 绪体验 。而个 体对事 物究竟 体验为 积极的 情绪还 是消极 的情绪 ，在于 怎样认 识事物 。 9.迫于现实社会生存的巨大综合压力 和人类 因物质 文明进 步而带 来的精 神困惑 ，当代 诗歌的 内容越 来越局 限于私 人性的 东西， 正日愈 失去处 理重大 社会题 材的艺 术能力 ，这就 使得它 日愈减 少获得 公众关 注的机 会，而 只有在 少数未 被现代 社会物 质化的 心灵当 中获得 知音；
《直线的倾斜角和斜率》课件8 (北师大版必修2)
以上定义改用集合表述：
直线可以看成由点组成的集合，记作C，以一个 关于x，y的二元一次方程的解为坐标的集合，记 作F。 若（1）C F（2）F C，则C=F
例1、已知方程2x+3y+6=0。
（1）把这个方程改成一次函数式； （2）画出这个方程所对应的直线 l。
3 （3）点（ 2
，1）是否在直线 l上。
l
总结：有四种情况，如图。可用直线 l
与x轴所成的角来描 述。我们规定，直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正 角叫做这条直线的倾斜角。特别地，当直线和x轴平行或重合 时，它的倾斜角为0°。
定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相
交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转 到与直线重合时所转的最小正角，记为 那么就叫 做直线的倾斜角。
y
2 y x2 略解：（1） 3
o x （2）过A（0，-2），B（-3，0） （-3，0） （0，-2） 两点的直线即为所求直线 l ； （3）点（ 3 ，1）不在直线 l 上。
2
2、直线的倾斜角
问题1：在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不 管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？画图表示。 l y y y y l p l p p p o o o x o x x x
K的范围
K的增减性
例2：直线 l1 的倾斜角1 =30°，直线 l2 l1 ， 求 l1 , l 2 的斜率。
y
l1
o
1 2
l2
解： 的斜率为 k1 tan1 3 l1 3 l 2 的倾斜角为 2 900 300 1200 x l 2 的斜率为 k2 tan2 3
例3：如图所示菱形ABCD的 BAD=60°，求菱形 ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率。 y
《直线的倾斜角和斜率》课件8 (北师大版必修2)
总结：有四种情况，如图。可用直线 l
与x轴所成的角来描 述。我们规定，直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正 角叫做这条直线的倾斜角。特别地，当直线和x轴平行或重合 时，它的倾斜角为0°。
定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相
交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转 到与直线重合时所转的最小正角，记为 那么就叫 做直线的倾斜角。
y
2 y x2 略解：（1） 3
o x （2）过A（0，-2），B（-3，0） （-3，0） （0，-2） 两点的直线即为所求直线 l ； （3）点（ 3 ，1）不在直线 l 上。
2
2、直线的倾斜角
问题1：在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不 管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？画图表示。 l y y y y l p l p p p o o o x o x x x
例3：如图所示菱形ABCD的 BAD=60°，求菱形 ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率。 y
D 略解： AD BC 600
C
AB DC 00 AC 300 BD 1200
o
A
x
B
k AD k BC 3 k AB kCD 0
K的范围
K的增减性
例2：直线 l1 的倾斜角1 =30°，直线 l2 l1 ， 求 l1 , l 2 的斜率。
y
l1
o
1 2
l2
解： 的斜率为 k1 tan1 3 l1 3 l 2 的倾斜角为 2 900 300 1200 x l 2 的斜率为 k2 tan2 3
3、直线的斜率
给出一个描述直线方程的量——直线的斜率
《直线的倾斜角和斜率》课件8 (北师大版必修2)
4、课堂练习：
（1）课本第37面练习1、2。 （2）直线的倾斜角 的正切值为
3 5
，求此直线的斜率。
5、小结：
直线的倾斜角
直线的斜率
定义 取值范围
6、布置作业：
（1）阅读教材第35面至第37面。 （2）第37页习题7.1第1、2、3题。
思考题：
（1）如果直线 l 1 的斜率为0，l 1 l 2 ，那么直线 l 2 的斜率怎样？
y
y=2x+1
B（1，3）
A（0，1）
o
x
从方程的角度看，函数y=kx+b也可以看作是二元一 次方程y-kx-b=0，这样满足一次函数y=kx+b的每一对x， y的值“变成了”二元一次方程y-kx-b=0的解，使方程 和直线建立了联系。
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直 线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
问题2：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对， 违背了定义中的哪一条？
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
Hale Waihona Puke （4）x（1）（2）
（3）
提问：
问题3：直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不 能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？ （通过问题3的分析可知倾斜角的取值范围是0°≤ ＜180°， 在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角。 而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向，倾斜角直观地表示 了直线对x轴正方向的倾斜程度。）
以上定义改用集合表述：
《直线的倾斜角和斜率》课件8 (北师大版必修2)
例3：如图所示菱形ABCD的 BAD=60°，求菱形 ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率。 y
D 略解： AD BC 600
C
AB DC 00 AC 300 BD 1200
o
A
x
B
k AD k BC 3 k AB kCD 0
目的要求：
1、初步了解“直线的方程”和“方程的直线”概念； 2、了解直线的倾斜角概念，理解直线的斜率概念，并能准确 表述直线的倾斜角的定义； 3、已知直线倾斜角（或斜率）会求直线的斜率（或倾斜角）； 4、培养和提高学生的联想、对应、转化等辨证思维。
教学重点、难点：
本节的重点是直线的倾斜角斜率的概念； 难点是斜率存在与不存在的讨论及用反三角函数表示直线的 倾斜角。
问题2：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对， 违背了定义中的哪一条？
y y y y
o
x
o
x
o
（3）
x
o
（4）
x
（1）
（2）
提问：
问题3：直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不 能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？ （通过问题3的分析可知倾斜角的取值范围是0°≤ ＜180°， 在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角。 而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向，倾斜角直观地表示 了直线对x轴正方向的倾斜程度。）
3、直线的斜率
给出一个描述直线方程的量——直线的斜率
定义3：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做
这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan 问题4：当 =0°时，k值如何？ 问题5：填表说出直线的倾斜角与斜率k之间的关系： 当0°＜ ＜ 90°时，k值如何？ 当 =90°时，k值如何？ 直线 平行x轴 由左向右上升 垂直x轴 由左向右下降 当90° ＜ ＜180°时，k值如何？ 的大小
《直线的倾斜角和斜率》课件8 (北师大版必修2)
K的增减性
例2：直线 l1 的倾斜角1 =30°，直线 l2 l1 ， 求 l1 , l 2 的斜率。
y
l1
o
1 2
l2
解： 的斜率为 k1 tan1 3 l1 3 l 2 的倾斜角为 2 900 300 1200 x l 2 的斜率为 k2 tan2 3
l
总结：有四种情况，如图。可用直线 l
与x轴所成的角来描 述。我们规定，直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正 角叫做这条直线的倾斜角。特别地，当直线和x轴平行或重合 时，它的倾斜角为0°。
定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相
交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转 到与直线重合时所转的最小正角，记为 那么就叫 做直线的倾斜角。
目的要求：
1、初步了解“直线的方程”和“方程的直线”概念； 2、了解直线的倾斜角概念，理解直线的斜率概念，并能准确 表述直线的倾斜角的定义； 3、已知直线倾斜角（或斜率）会求直线的斜率（或倾斜角）； 4、培养和提高学生的联想、对应、转化等辨证思维。
教学重点、难点：
本节的重点是直线的倾斜角斜率的概念； 难点是斜率存在与不存在的讨论及用反三角函数表示直线的 倾斜角。
（2）如果直线 l 的斜率 围是什么？
l2 ，那么直线 l 2 的斜率怎样？ ，那么它的倾斜角的范 k 的范围是 0 k 1
（3）直线的倾斜角的正弦为 sin ，也是 的三角函数，为什么不用
它来作直线的斜率呢？
y
y=2x+1
B（1，3）
A（0，1）
o
x
从方程的角度看，函数y=kx+b也可以看作是二元一 次方程y-kx-b=0，这样满足一次函数y=kx+b的每一对x， y的值“变成了”二元一次方程y-kx-b=0的解，使方程 和直线建立了联系。
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第八章平面解析几何第一节直线的斜率与直线方程厂考纟冈考情考纲要求1,在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素2 •理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式3 •掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式和一般式），了解斜截式与厂考纟冈考情一次函数的关系顾•固寒砒新课改三年考情无单独命题基础回扣―匸表示直线万M 的两个量 (D 直线的倾斜角 ①定义：②范岳I ： [0, TT). 直线/与X 轴西或 重合K __________________ *直线/与X 轴相交 〔两种情况〕沉#提示4果您加见石木氓件的辻右:申出"•字他泉.講旻用衡宥幻灯片・或序力亓可正*肚・(2)直线的斜率①定义：若直线的倾斜角。
不是90。
，则其斜率心___ ；②计算公式：若由A (x“yj ,B(x2,y2)确定的直线不垂直于tan 0 x轴，则斜率k= ___________________ .X2一X]2直线方程的五种形式*|J断「Ml姑吃是苔正确(请在括号中打叫"或“X”)・(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置・()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率・()(3)直线倾斜角a的集合｛a|0° <a<180° ｝与直线集合建立了一一对应关系・()(4)过点P (1, 1)的直线方程为y-1=k(x-1), kGR.()(5)过点(a,0)和(0, b)的直线方程为 ()(6)平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程・()［解析］(1)正确•直线的倾斜角仅反映了直线相对于X轴的倾斜程度,不能确定直线的位置.(2 )错误•当倾斜角0(二90。
时z其斜率不存在.(3 )错误•倾斜角是0。
的直线有无数条.(4 )错误.当斜率k不存在时，直线方程为x二:L(5 )错误•当ab=0时,直线方程为x=0^y=0.(6 )错误•当直线与x轴垂直时(没有斜率)，不能用点斜式方程表示. 答案：(1) V (2)x (3)x ⑷ x (5)x (6)xI考点自测c1・直线/经过原点和点(A) 45°(C) 135° 或225° 【解析】选A斜率・F页斜角a为45°.・1,・1),则它的倾斜角。
是() (B) 135°(D) 0°又0°<a<180°/-1-0^0 二1.2某直线/的方程为9x-4y=36,则/在y轴上的截距为()(A) 9 (B) -9 (C) -4 (D)【解析】选B./的方程9x-4y二36化为斜截式为y二x-9 ,其截距为・9・43•过点M (-2,m) , N(m,4)的直线的斜率为1,则TH的值为____ 【解析】由斜率公式得：解得m二L 9 n答案：1 i44-mm+24•已知直线/经过点P(-2,5),且斜率为则直线/的花程为___________ •——，【解析】由直线的点斜式方程得，直线/的方程为4 y-5= (x+2) z 即3x+4y-14=0.答案：3x+4y-14=05•经过两点M(1,-2), N(-3,4)的直线方程为__________【解析】经过两点M(l z-2) , N(込4)的直线方程为即3x+2y+l=0.答案:粤+2y+l二0"4y + 2_ x-14 + 2"^1，6•过点M (3,・4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为【解析】当在两坐标轴上截距均为o时,设万程为y二kx , 又过M(3,・4)，二有-4=3k z得・•・直线的方程为当在两坐标轴上的截距均不为0时， 4设直线的方程为k =—由过点M (3,-4)得3+4亏a,得a二7, 3二方程为x・y・7二0. _ 4综上可知直线方程为丫二一或范y-7二0.答案：或x-y-7=0-+—= l(a^O), a -a4y =——x)34二——X3考向1直线的倾斜角与斜率【典例1】(1) (2013-西安模拟)点A (2, 0)在直线Z： xcos 0+ysin 0+1=O(O<0<TT)±,则直线/的倾斜角为()(A)30°侣)60。
(C)120°(D)150°（2）（2013•宜春模拟）直线xcosa y+2二0的倾斜范围是角的（）直幷堺点帥弩扰塑閉有交点，则直线6 65兀(C) [0严]6【思路点拨】（1）由已知先求出角e的值，再求斜率，进而求倾斜角大小.（2）根据直线方程求出直线的斜率,由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围.（3 ）先确定直线PA , PB的斜率,再数形结合求解,或先写出直线/的方程, 再由点A , B在直线/的异侧（或A , B之一在直线/上）求解.【规范解答】(1)选A.因为点A (2,0)在直线/:xcos 6 +ysin 0+l=O± z所以z有2cos 0+1=0 z 即yo < 0 < TI,/・而前^白餘滓2又直线的倾斜角a的范围是0°<a<180° ,sin 0sin-7i3(2)选8由xcosc(+ y+2二0得直线斜率设直线白牌斗角为g幽議爾耀a,Q縫葆鮎图月 ----- <k<——.3 3A/3n 73----- <tan 0<—■.3 3[0,轧（A）2 271 5O<9<-^-K<0<K.6 6(3 )方法一:因为A(2z-3) , B(-3z-2) , P(l,l) z 所以如图所示：方法二：依题设知，直线/的方程为：y-1二即kx-y+l-k=O zk(x-l), 若直线/与线段AB有交点,则A z B两点在直线/的异侧(或A , BN—在直线/上)，故(2k+4-k) • (-3k+3-k)<0 z 即(k+4)(4k-3)n0,解得：k—4或答案:ks・4或【互动探究】本例题(3)变为：直线/：与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，贝叹的取值范围纱何kx_J亍【解析】直线/ : 过定点l 作出两直线如图毎奎缶詈鲁四咅箸耨篠詡艮,从图帼以譌真线/的【拓展提升】1•直线的斜率k与倾斜角a之间的关系2•斜率取值范围的两种求法(1) 数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形， 结合正切函数的单调性确定.(2) 构建不等式法：巧妙地利用不等式所表示的平面区域的性质，抓住斜 率k 满足的不等关系,构造不等式求解.3.求倾斜角范围的两个关键点求：求出斜率k 二tan a 的取值范围.看：借助正切函数图像数形结合得到倾斜角的取值范围.(1) (2)【变式备选】已知实数x,y满足2x+y=8,当25X53时, 求的取值范围.x-1【解析】由的几河意义知，它表示点与线段CD上任一点P(x,y)连线讎斗率,如图.•・•线段的端点为龙(2如,D(3,2),••・・k的聖值襲冥-2 + 1_3 ••AC 2-1 5 AD3-1 ?/.k AD<k AP<k AC,Bp|<^<5.2 x-1 圧 [半,5].2考向2 直线的方程x-1【典例2】(1)若直线A (a+1) x+y+2-a=0(aGR)在两坐标轴上截距相等, 则a的值为.(2)已知直线/过点P (3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B 两点，如图所示，求AABO的面积的最小值及此时直线Z的方程.【思路点拨】(1 )要分截距均为0 ,均不为0两种情况讨论.(2 )先设出AB所在的直线方程,再求A , B两点的坐标或得到系数满足的关系z将mBO的面积用弓|入系数表示,最后利用相关的数学知识求出最值.【规范解答】（1）当直线过原点时,该直线在X轴和y轴上的截距均为0 , /.a=2 ；当直线不过原点时，由截距相等且均不为0 , 得即3+1=1z• .a—0.综上可知,a二0或a二2.答案：0或2a + 19 (2)方法一：由题可设直线/的方程为 则A ( a z 0 ) ,B(O,b)・ •・7过点P ( 3,2 ) z 且 a>3,b>2.从而3 2 1.・・一 + — = 1 a b 2a二 12,a-3， S VABO 石型 1 2a a 2 2H9a-3 a-3 故有S VABO (a-3『 + 6(a-3)+ 9 a-3 _3)+± + 622 卜 3)已+ 6a-3 (a>%b>严 --- 1 - = 1 a b当且仅当Q即a二6时,(S迩葩滋二诊此时a_3・••此时直线/的方程为即2x+3y・12二0.方法二：依题意知，直线/的斜率存在. 设直线/的方程为y-2 = k(x-3)(k < 0), 则有A*_迴芒(gZ3k),兰+41,6 4•：S VABO =扣-弘）（3一扌）1 4弓12 +宀）+用冷［12 + 2j(-9k)g由冷(12 + 12) = 12,当且仅当V即外\寸，聲号成立S^ABO 取最小值12・此时z直线/帧程处+3好崔3代入P ( 3Z 2 )，得得ab»24,从而5询。
二令b02,—|—二 1 n 2彳当且仅当 时，等号成駅ShBO 取最/」 1方法三：由题可设直线方程为 (a^0,ly 0)z-- 1 - =1 a b【互动探究】在本例题(2)的条件下，求/在两坐标轴上的截距之和最小时直线/的方程.a a 号心+「二(和—)+(定—)〕+暑94+法—心 e c 、苗 .汕只杲代LnJ 鑑S -M 罷翟世・・・ S )<飓0父④ ■ (M T CN l?【拓展提升】L利用待定系数法求直线方程的三个步骤他系数值代入所选方程可斜直线方程;选所求方程的某种纭J业解方程（组）求得議JX ；______________________________ J2 •直线方程综合问题的两大类型及解法I1）与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中的x , y的关系，将问题转化为关于x （或y ）的函数，借助函数的性质解决.（亶闫盪矛式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识（如方私解的个数、根的存在问题,不等式的性质、基本不等式等）来解决.【父」弋备选】AABC的三个顶点为A (-3, 0) , B (2, 1)C (-2, 3),求：(1) BC所在直线的方程. ’(2)BC边上中线AD所在直线的方程.(3)BC边的垂直平分线DE的方程.【解析】（1）因为直线BC经过B 由两点式得BC所在直线的方程: 即x+2y-4=0.（2 ）设BC中点D的坐标为（x z y ）则BC边的中线AD过A (-3,0) , D由截距式得AD所在直线方程为即2x-3y+6 二0.=2.2 (2 , 1 )和C (・2 ,3 )两点,，y_l _ x-2(0 3^~)1 两点2 _ 2=2.(3 )直线BC的斜率贝OBC覘垂直平分线DE的斜率1<2,由点斜式得直2线DE的方程为2x-y+2二%二—匕2［考题研析©【易错误区】直线的倾斜角与斜率关系不清致误【典例】（2013-合肥模拟）已知直线2xsin a+2y-5=0, 则该直线的倾斜角的变化范围是【误区警示】解答本题容易出现的错误：认为直线斜率k 二tan p在［0 , Ti）上是单调函数z从而根据k=-sin ae ［-1,1］,得到倾斜角丘［］的错误结论.【规范解答】由题意,得直线2xsin a+2y-5二0的斜率为k=-sin a.又-l<sin a<l ,所以.当-l<k<0时，倾斜角的变化范围是[ )；当Osksl时,倾斜角的变化范围是[]・故直线的倾斜角的变化范围是[]U [ ).答案：[]U [ )—71 e 7T3—兀,71。