3_4第四节条件分布
概率论第三章 多维随机变量及其分布
1 3
概率论
y
y x
o
x
概率论
四、课堂练习
设随机变量(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
k
6
x
y,
0,
0 x 2,2 y 4, 其它.
(1) 确定常数 k;
(2) 求概率 PX 1,Y 3 .
解 (1) 1 f x, ydxdy
R2
k
2 dx
46
0
2
x
y dy
k
2 dx
46
概率论
同理, Y的分布律为:
P{Y y j} pij ˆ p•j , j 1,2,, i1
分别称pi• (i 1, 2,), 和p• j , (j 1, 2,)为(X, Y)关于 X和关于Y的边缘分布律.
概率论
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 和边缘分布律.
也就是说,对于给定的
不同的 对应
不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.
此例表明 由边缘分布一般不能确定联合分布.
概率论
五、小结
1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介 绍了二维随机变量的边缘分布. 2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
随机变量维（X,Y )的概率密度 , 或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.
概率论
一维随机变量X
连续型
F x x
f tdt
x
X的概率密度函数
f x x R
概率论第三章第3,4节条件分布,独立性
P X m， Y n q n2 p2 , n 2,3,; m 1,2,n 1
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第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
例3 设某班车起点站上车人数 X 服从参数为 ( 0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0 p 1),
1 f ( x, y) , x y x, f ( y | x ) 当0 x 1, Y | X 2x f X ( x) 其它。 0,
1 P{ X , Y 0} 1 2 ( 3) P{ X | Y 0} 2 P{Y 0} y
1 1 (1 ) 2 3 2 2 1 4 1 1 2
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第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
P{ X x , y Y y } FX |Y ( x | y ) lim 0 P{ y Y y }
F ( x , y ) lim [F ( x, y ) F ( x, y )]/ 2 y 0 d lim [ F ( y ) F ( y )] / 2 Y Y FY ( y ) 0 dy y x x f ( u, v )dudv f ( u, y )du y . fY ( y) fY ( y)
n 2
2
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布律为
当m=1,2,3,… 时，
P{Y n | X m}
P{ X m ,Y n} P{ X m }
p 2 q n 2 n m 1 pq , m 1 pq
《概率论与数理统计》课件3-4条件分布
Y
1.7<Y<1.8( ),
X
1.7 1.8 .
.
.
.
1
( X,Y )
j
P{Y = yj } > 0
PX P{X= xi |Y= yj }=
xi ,Y
yj
…
P Y yj
Y = yj
X
= pij p• j
i=1,2,
.
r.v,
r.v
.
i P{X = xi } 0
P{Y yj | X xi } )
X = xi
Y
(j = 1,2,
. .
P X xi Y yj 0 i=1,2, …
P X xi Y yj 1
i1
1 设 (X, Y) 的联合分布律如下，
求X=0、X=1的条件下, Y的条件概率分布.
P Y = 0 | X = 0} = P Y = 1| X = 0} =
1 ==
5 3 == 5
A)
B)
C)
D)
A
B
C
D
提交
单选题 1分
二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为
(8xy2 0 < x < < 1 f (x, y) =
〈 的边缘概率密度为 ( )．
(8 | (x
−
x7 )
fX (x) =〈
3
|0
(8 |
(x
−
x6 )
fX (x) =〈
3
|0
0<x<1 else
0<x<1 else
(| B) fX (x) =〈
(1− x6
)| 0
(|
概率论与数理统计3-4
20
O
20
x
图 3-12
求 （1）给定 Y＝y 条件下, X 的条件概率密度； （2）给定 Y＝10 条件下, X≤5 的概率； （3）如果 Y＝20 件呢?
解: （1）
fY ( y )
f X |Y ( x | y ) f ( x, y ) fY ( y ) ；
同理，当 fX (x) >0 时，
fY |X ( y | x ) f ( x, y ) f X ( x) .
第3章 连续型随机变量
3.4.1 连续性随机变量的条件分布密度与独立性
定义 3.8 设(X， 是连续性随机变量，f ( x , y ) ，f X ( x ) ， Y)
f X ( z y ) f Y ( y ) dy ,
卷积公式
f X ( x ) f Y ( z x ) dx .
第3章 连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
例 3.16 设 X 和 Y 独立, 有共同的概率密度
1 当 0 x 1 f ( x) 0 其他
z
2
1
f ( x , y ) dxdy . D＝{ (x, y): z y f ( x , y ) dx dy .
z f ( u y , y ) du dy
x+y ≤z }，
+
+
第3章 连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
1 / f ( x, y ) 0 当x y 1
《概率论与数理统计》课程教学大纲
《概率论与数理统计》课程教学大纲英文名称：Probability and statistics课程代码：221101008课程类别：专业基础课课程性质：必修开课学期：第三学期总学时： 54学时总学分：3考核方式：闭卷先修课程：高等数学适用专业：经济学专业一、课程简介概率论与数理统计是经济学专业的一门专业基础课。
概率论与数理统计是研究不确定性现象的数量规律性的一门学科，是对随机现象进行定量分析的重要工具，它在现代科学技术中占有很重要的地位，是研究自然现象、处理现代工程技术、解决科研和生产实际问题的一种有力的数学工具，已被广泛应用于每一学科领域、工农业生产和经济管理部门中。
开设本课程的目的在于，通过本课程的学习，使学生初步掌握概率论与数理统计等方面的基础知识，了解它的基本理论与基本方法，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学建模与实践能力，注意培养学生的自学能力，注意理论联系实际，不断提高学生的综合素质以及运动所学知识解决实际问题的能力，同时使学生了解概率论与数理统计在经济方面的应用，具备概率思想分析实际随机问题的能力，为专业课程的学习打下基础。
学生在进入本课程学习之前，应学过高等数学课程，该课程的学习为本课程提供了必须的数学基础知识。
本课程学习结束后，学生可具备进一步学习相关课程的理论基础。
本课程总54学时，其中理论课47学时，习题课7学时，考核方式为闭卷考试，根据平时考勤成绩、习题作业成绩、阶段性单元检测成绩及闭卷期末考试成绩综合给予最终成绩评定。
二、课程目标及其对毕业要求的支撑目标1人文素养目标：教育学生认真学习马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表”、科学发展观和新时代中国特色社会主义的重要思想；忠诚党的教育事业和体育事业，培养学生互教互学、团结友爱、共同提高的集体主义精神；培养学生有严格组织纪律性，吃苦耐劳和勇敢顽强的意志品质。
目标2理论知识培养目标：使学生掌握概率论与数理统计的基本理论和基础知识，初步掌握处理随机事件的基本思想和方法。
中国近海区域海洋学：第三章 海区气候
第三节 影响中国近海气候的主要天气系统
热带气旋：登陆频率的时间变化 西北太平洋和南海的热带风暴平均每年 登陆我国的有7.8个，菲律宾5.4个，日 本4.3个
季节变化：1-4月无，7-9月最多，峰值 在8月
年际变化：1952、1961、1967、1971、 1974年最多15个；1998年最少3个
1822山竹：910hPa，65m/s
第三节 影响中国近海气候的主要天气系统
热带气旋：源地的空间分布
源地：3 °-37°N； 10 °-20°N最多 菲律宾群岛以东和琉球近海 马里亚纳群岛附近 马绍尔群岛附近 南海中北部（土台风）
热带气旋
第三节 影响中国近海气候的主要天气系统
安比 温比亚
第三节 影响中国近海气候的主要天气系统 热带气旋：发生频率的时间变化
低值-粤东近岸： 400 MJ·m-2·月-1
南海中南部：700-750 MJ·m-2·月-1 高值-菲律宾西侧： >750 MJ·m-2·月-1
第二节 中国近海气候形成的主要因子
太阳辐射：夏季
南北差异小，斑块状 渤海：600-650 MJ·m-2·月-1 黄海：530-550 MJ·m-2·月-1 东海、南海北部：650-680 MJ·m-2·月-1 南海中南部：560-600 MJ·m-2·月-1
气候要素 气温 气压 ✓风（大风天数） 云 ✓降水（暴雨日数） 海雾 能见度
水文要素 温 盐 密 ✓浪（最大波高，最大
周期，灾害性海浪） ✓潮（风暴潮） 流
第三节 影响中国近海气候的主要天气系统
热带气旋：影响
中心最大风速平面分布 渤海 25-30m/s 黄海 25-40m/s 东海 40-85m/s 南海北部 50-70m/s 北部湾 35-45m/s 吕宋海峡 80m/s 南海中部 55-70m/s 南海南部 40-65m/s 最大在菲律宾以西和台湾以 西90-100m/s
3.4随机变量的独立性与条件分布
fY
( y)
2π
1
16
2
e
1[ 2
(
x
1 12
)2
(
y
2
2 2
)2
]
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又
f (x, y)
1
e
1 2 (1
2
)
(
x1 12
)2
2
(
x1 1
)
(
y
2
2
)
(
y
2
2 2
)2
2π1 2 1 2
故当ρ=0时，fX (x) fY ( y) f (x, y) 即X 和Y相互独立。
Px X x
2020年4月7日星期二
8
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lim 0
y
x x
f
(x,
y)dx
dy
x
x f X (x)dx
y
f (x, y)dy
fX (x)
y f (x, y) dy
f X (x)
称
f (x, y) fX (x)
为条件{X=x}的条件下Y的条件概率密度。记为:
反之，当X 和Y相互独立时，对所有的x和y，有
fX (x) fY ( y) f (x, y)
特别地，令 x 1, y 2
得到
1
1 从而ρ=0。
2π1 2 1 2 2π1 2
2020年4月7日星期二
7
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连续型随机变量的条件分布
定义:对任意给定的正数 ，若 Px X x 0 ，
且对任意实数 y ，极限
概率论与数理统计教案(48课时)
概率论与数理统计教案（48课时）第一章随机事件及其概率本章的教学目标及基本要求(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念；(2)掌握随机事件之间的关系与运算，；(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算；学会几何概率的计算；(4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes公式及其意义。
理解事件的独立性。
本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率2学时第三节等可能概型(古典概型)2学时第四节条件概率第五节 事件的独立性2学时三.本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系;2）古典概型及概率计算;3）概率的性质;5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四.教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件;2）注意让学生理解事件4uB,AuB 、AcB,4-B,4B = ®,A... 的具体含义,理解事件的互斥关系；根定律；4)条件概率, 全概率公式和Bayes 公式 3) 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和1)事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；2)讲清楚抽样的两种方式有放回和无放回；思考题和习题思考题：1.集合的并运算和差运算-是否存在消去律？2.怎样理解互斥事件和逆事件？3.古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布本章的教学目标及基本要求(1)理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；(2)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二.本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布）2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算2学时三.本章教学内容的重点和难点a）随机变量的定义、分布函数及性质；b）离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；C）六个常见分布（二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布）；四.教学过程中应注意的问题a）注意分布函数F（x） P{X x}的特殊值及左连续性概念的理解；b）构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；c）构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；d）连续型随机变量的分布函数F（x）关于x处处连续，且P（X x） 0，其中x为任意实数，同时说明了P（A） 0不能推导A 。
《概率论与数理统计》教学大纲
《概率论与数理统计》教学大纲教学目的概率论与数理统计是研究随机现象数量规律、统计规律的学科，在高等学校教学计划中是重要的基础理论课。
概率论与数理统计作为现代数学的重要组成部分，不仅理论严谨，而且应用极其广泛。
由于它的介入，改变了经济、金融和管理科学传统的研究方式，是经济、管理中数量分析的基础，是经济管理工作者不可缺少的有力工具。
通过本课程的教学，使学生初步掌握处理随机现象和抽样数据的基本理论和方法，为解决有关实际问题以及后继课程的学习打下良好的基础。
考虑到初学者往往对一些重要的概率统计概念的实质的领会感到困难，以及概率统计应用性很强的特点，在讲授本课程时，以介绍基本概念、基本理论和方法为主，尽量使用较少的数学知识，避免过于数学化的论证，但仍保持系统的严谨性。
在讲授内容的同时，应配备一定数量的习题，以培养学生的基本技能。
预备知识高等数学、线性代数等知识教材指定教材：【1】《概率论与数理统计》参考书目：【1】《概率论与数理统计学习指导与习题全解》教学基本内容第一章事件与概率第一节样本空间与随机事件第二节频率、古典概率及几何概率第三节概率的公理化定义与性质第四节条件概率与独立性第五节全概率公式与贝叶斯公式本章教学要求：1.了解随机现象、样本空间的概念。
理解随机事件的概念，掌握事件之间关系与运算。
2.了解频率稳定性的概念。
掌握古典概型及概率的计算方法。
掌握几何概率及其计算方法。
3.理解概率的公理化定义的必要性和三条基本性质。
掌握概率的五条性质，并熟练应用。
4.理解条件概率及事件独立性的概念，掌握用事件的独立性进行概率的计算。
理解伯努利概型，掌握独立重复试验中有关事件概率的计算方法。
5.会熟练运用概率的乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式进行事件概率的计算。
第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数第二节散型随机变量及其分布第三节连续性随机变量及其分布第四节随机变量函数的分布本章教学要求：1.了解随机变量的概念，理解分布函数的概念和性质。
(3-4)毛管压力曲线
（2）仪器流程（低压（常压）半渗透隔板法）
（3）测定步骤（低压（常压）半渗透隔板法）
A、将岩石和半渗透隔板用地层水完全饱和后，纪录岩石中饱和水的体积，此饱和 水的体积既是岩石的孔隙体积，此时岩石的含水饱和度为100%，将隔板装入仪 器中； B、饱和水的岩石防在隔板上面，（纪录该度管中的液面读数，计为0位置）；
会造成误差，特别对于低孔隙、低渗透的岩样，其误差会更 大。
（三）毛管压力曲线特征的影响因素 1、岩石孔隙结构及岩石物性 A、孔道大小的分布越集中，分选越好，毛管力曲线的中间平缓段
也就越长并且越接近水平线。 B、孔隙半径越大，则中间平缓段越接近横轴，毛管压力值越小。 C、孔隙喉道大小及集中程度主要影响着曲线的歪度(又叫偏斜度)， 它是毛管压力曲线形态倾向于粗孔道或细孔道的量度。大孔道越多，
中、低各种渗透率岩心，且都能得到完整的毛管压力曲线。
3）形状不规则的岩样也能进行测试。 4）作退汞（湿相驱非湿相）试验很方便，而退汞曲线的应用很广。
压汞法的缺点：
1）不能模拟实际油层的润湿性和原生水饱和度，因此，所测毛管压力 曲线不宜直接用于油田。
2）水银有毒，对人体有害。
3）试验结束时，岩样充满水银，不宜再做其它试验。
（2）仪器流程 （3）实验结果
A、压汞曲线（驱替曲线）； B、退汞曲线（吸入曲线） C、退汞效率=从岩石中退出汞的体积/进入岩石中的汞的最大体积
=（SHgmax- SHgr) / SHgmax
SHgmax——岩石中最大进汞饱和度, SHgr——岩石退汞后残留汞饱和度。
（4）优缺点
压汞法的优点：
1）测定速度快，通常每1-2小时测一块样品，低渗岩样也只不过半天。 2）测量压力高，最高压力可达6000psI（420atm），因此适用于高、
§3、条件分布
例2 设随机变量(X,Y)的概率密度为
1, | y | x ,0 x 1; f ( x, y) 其它, 0, 求条件概率密度 fY | X ( y | x ). 〖解〗先求X的边缘概率密度
f X ( x ) f ( x , y )dy
x 1dy, 0 x 1; 2 x, 0 x 1; x 其它 . 0, 0, 其它
0
8
FX Y ( x y ) lim P{ X x y Y y }
[ F ( x , 0
0
lim[ F ( x , y ) F ( x , y )] 0 [ FY ( y ) FY ( y )] lim 0 F ( x , y ) y . FY ( y )
[ FY ( y ) FY ( y )]
9
F ( x , y ) y FX Y ( x y ) FY ( y )
而 FY ( y ) fY ( y ), 由 F ( x, y )
F ( x, y ) f ( x, y )dx y x 1 所以 F ( x y ) f ( x, y )dx XY fY ( y )
类似地，可定义Y的条件分布函数 FY X ( y x ) . 下面对于离散型与连续型变量(X,Y)分别讨论之．
1
一、离散型二维随机变量的条件分布 定义2 二维离散型随机变量(X,Y)中， 在Y取值 y j 的条件下， X取其可能值 x1 , x2 ,, xi , 所对应的概率， 称为随机变量(X,Y)在 Y y j条件下X的条件分布律， 记为
12
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
2.条件概率
(1)概念：一般地，设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)>0，我们
PAB
称 P(B|A)＝ PA 为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条
件概率，简称条件概率．
提醒： P(B|A)与 P(A|B)的意义不同，“|”后面的表示条件，一般 情况下，二者不相等．
第四节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
②有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，
男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，
(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，
由等可能性知这 8 个元素的概率均为18，这时 A 中含有 6 个元素， B 中含有 4 个元素，AB 中含有 3 个元素．于是 P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝ 12，P(AB)＝38，显然有 P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立．
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
(2)性质：设 P(B|A)>0，则 ①P(Ω|A)＝ 1 ； ②任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间，即 0≤P(B|A)≤1 ； ③如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) ； ④设 B 和 B 互为对立事件，则 P( B |A)＝ 1－P(B|A) ．
降雨为 A B ＋ A B，
所以 P(A B ＋ A B)＝P(A B )＋P( A B)
＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.]
第四节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
条件分布
X 的取值有 1, 2, 3, 4; Y 的取值有 1, 2, 3, 4
相应的分布律有16个，现分别计算两个: 1 P ( X 1, Y 1) 12 4 P ( X 1 Y 1) 25 P (Y 1) 25 48
P ( X 2, Y 1) 6 8 P ( X 2 Y 1) 25 P (Y 1) 25 48 1
1 2 1 1 2 e
Hale Waihona Puke 122(1 )
[
x 1
1
y 2
2
]2
显然它也是服从正态分布：
结论：
1 N ( 1 ( y 2 ), (1 2 ) 12 ) 2
正态分布的边缘分布及条件分布仍服从正态分布.
17
例 4. 设 (X,Y) 的概率密度为：
12
解: (1) 由已知的 f ( x, y ) 可知：
当 0 x 1时
f X ( x)
f ( x, y) dy
x
0
3 xdy 3 x 2
y
1
B(1,1)
当 x 0 或 y 1时
f X ( x) 0
X 的边缘概率密度为：
0
A(1, 0)
x
3 x2 f X ( x) 0
1 x2 y 1 x2
即 当 | x | < 1 时，有：
fY |X ( y | x )
1 2 1 x2 0
1 x2 y 1 x2 y 取其它值
21
故对 y > 0
f ( x, y ) e x y , f X |Y ( x | y ) y fY ( y )
3-4边缘分布与条件分布
f ( x , y ) d x 0.
6( y y ), 0 y 1, 得 fY ( y ) 0, 其他.
例、二维正态分布
若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度
f ( x, y) 1 2πσ1σ 2 1 ρ
FY ( y ) F ( , y )
x i x j 1
p ,
ij
y j y i 1
p .
ij
例1 已知下列分布律求其边缘分布律.
Y
X
0 1
0
16 49 12 49
1
12 49 9 49
解
Y X
0
12
4 7
49
1
12 49
0 16 1
9
3 7
49
pi j P { X xi Y y j }
P { X xi , Y y j } P {Y y j }
pij p j
, i 1, 2,
为在给定Y y j 条件下 X 的条件分布列.
同理，对于一切使P{ X xi } pij pi 0的 xi , 则称
推广到随机变量 设有两个随机变量X,Y ,在给定Y 取某个值的 条件下，求X 的概率分布．这个分布就是条件分 布.
例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一 个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X和Y 都是随机变量，它们都有一定的概率分布.
现在若限制 Y=1.75(米), 在这个条件下去求 X的条 件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高为1.75 米的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重 的分布. 容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会 很不一样.例如，在条件分布中体重取大值的概率 会显著增加 .
《概率论与数理统计》三
y (x,y)
y y2
y1
O
x
O x1
x2
x
P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2 ) F(x1, y2 ) F(x2, y1) F(x1, y1)
➢ 分布函数F(x,y)的性质
设(X,Y)的所有可能取值:(xi, yj), i,j=1,2…,
P{X xi ,Y y j } ˆ pij ,( i, j 1,2,)
性
1 0 pij 1,
质
2
pij 1.
j1 i1
分
布
函 F ( x, y) pij
数
xi x yjy
Y X
x1 x2 xi
y1
p1 1 p21
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
22,
)
四、多维随机变量
(1)设E是一随机试验， 是其样本空间，X1,X2,...Xn 是定义在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn ) 为定义在 上的n维随机向量或n维随机变量．
(2)对n个任意实数，令
F(x1, x2 ,, xn ) P{X1 x1, X2 x2 ,Xn xn}
标 (X,Y)表示, 也就是 中每一元素都可用一对数来
表示, 把X, Y看成变量, X 与Y 都是随机变量, (X,Y) 共同刻化试验的结果, 这就是二维随机变量.
例2 考察某地一天的天气情况, 即同时考虑最高气温、 最低气温、气压、风力、降雨量，这就需要5个变量 来表示可能的试验结果，这就是五维随机变量.
(3-4)毛管压力曲线
列1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.69 4.69 6.25 31.25 15.63 7.81 6.25 0.63 3.12
80.31 80.31 75.63 70.94 64.69 33.44 17.81 10.00 3.75 3.12
半渗透隔板
半渗透隔板法所 能测定的最大毛管压 岩心的毛管力曲线 力主要取决于隔板的 隔板的毛管力曲线 半渗透性，即隔板的 阀压值。隔板的孔隙 PT（隔板） 越小，阀压值越高， 测试范围就越大，同 PT（岩样） 时测量的时间也越长 0 （图9—21）。目前国 100 Sw ,% 内生产的隔板可高达 图9—21半渗透隔板的毛管压力曲线 0.7MPa以上。
或阈压PT、饱 和度中值压力
0.01 100
Pc50和最小湿
S min 50 S HG ，% 0
相饱和度Smin
图9—30 毛管压力曲线的定量特征
（二）毛管压力曲线的定量特征
1、阈压或称排驱压力PT
阈压是指非湿相开始进入岩样时的最小的压力。它对应于岩样 最大孔隙的毛管压力。阈压又称为入口压力、门坎压力或排驱压力。 毛管压力曲线中间平缓段延长线与非湿相饱和度为零处与纵坐标轴
最小湿相饱和度表示当驱替压力达到最高时，未被非 湿相浸入的孔隙体积百分数。如果岩石亲水，则最小湿相饱 和度代表了束缚水饱和度。最小湿相饱和度实际上是反映岩 石孔隙结构的一个指标，岩石物性越好，其值越小。 注意：Smin值还取决于仪器的最高压力，当毛管压力曲线的
陡峭段不平行于压力轴时，仍把它作为束缚水饱和度来考虑
的交点所对应的压力就是排驱压力。
岩石渗透性好，孔隙半径大，排驱压力PT较低，表明岩石物性较 好；反之，亦然。因此由排驱压力的大小，可评价岩石渗透性的好 坏。利用PT值，还可确定岩石最大孔隙半径。
概率论-条件分布
y
0
ey,
0 y
于是对y>0,
fX (x | y)
f (x, y) ex y , fY (y) y
故对y>0, P(X>1|Y=y) ex y dx
1y
ex
y
e 1
y
1
x0
例6 设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到 X=x(0<x<1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值.
求Y 的概率密度.
)2
)
关于Y在X=x条件下的条件分布密度为
fY ( y x)
1
2 2
1
2
exp(
1
2 22 (1 2 ) [ y
(2
2 1
2
(x 1))] )
即二维正态分布的条件分布仍然是正态分布
N (2
2 1
(x
1 ),
22 (1
2
))
证明见教材
运用条件概率密度，我们可以在已知某 一随机变量值的条件下，求与另一随机变量 有关的事件的条件概率.
写出 ( X1, X 2 )
分布以及在 X 2
的联合分布，关于X
的边缘
1
1条件下关于 X1的条件分布。
X2 0
1
X1
2
pi.
0
0.25 0.25
0.0625 0.5625
1
0.25 0.125 0
0.375
2 0.0625 0
0
0.0625
p.j
0.5625 0.375 0.0625 1
例2 一射手进行射击，击中目标的概率为
p，(0<p<1)， 射击进行到击中目标两次为
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( j 1,2,)
Pij
2. 条件分布的性质：
（1）P{X=xi | Y=yj}≥0
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p. j 1 （2） P{X xi | Y y j } pij 1 p. j i1 p. j i 1 i 1 p. j
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例1. 已知随机向量（X，Y）的联合分布，求 ： （1）P{Y=yj | X=1}； （2）P{X=xi | Y=1} Y 1
y
FY / X
( y | x)
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f ( x, y ) dy f X ( x)
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事实上，若f(x,y)在点（ x,y) 处连续，fx(x)连续， 且 fx(x)>0 则有
P{x X x x, Y y} FY | X ( y | x) lim x 0 P{x X x x}
1. 条件分布函数 设 对于任意小的Δx>0，有 P{x < X < x + Δx}>0 lim P{Y y | x X x x} 若
x 0
P{Y y, x X x x} lim x 0 P{x X x x}
存在，则称此极限为X=x的条件下，Y的条件分布函数。 记作 且有 P{Y≤y |X=x} 或 FY |X（y|x）
P{X xi | Y y j } P{X xi , Y y j } P{Y y j } Pij P j (i 1,2)
称为在Y=yj的条件下，X的条件分布。
类似地，当P{X=xi}＞0时, 在X=xi的条件下，Y的条件分布为
P{Y yi | X xi } Pij pi
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作业：
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0 x 1; pX ( x) 0, 其它
1 2
pY ( y) 24(1 x) ydx 12 y(1 y) , 在0<x<1时， y
0 y 1; p ( y) 0 其它。
2 y / x 2 pY | X ( y | x)4
2 0
1 8
1 12
3 0 0
1 12
4 0 0 0
1 16
pi.
1 4 1 4
解： (1) 在X=1条件下Y 的条件概率分布为：
P{Y 1 | X 1} P 11 1 p1
P.j
X
(2)
x 1 2 3 4
1 8
1 4
1 12
P12 P{Y 2 | X 1} 0 P1
§3.4 条件分布
条件概率公式：P（B | A）=P（AB）/P（A），P（A）＞0 一、离散型随机向量（X，Y）的条件分布 1. 定义 设离散型随机向量（X，Y）的联合分布列为 pij=p{X=xi , Y=yj} (i,j=1,2,…) 在已知Y=yj的条件下（P{Y=yj}＞0），X的条件概率
m Cn pm (1 p)nm , 0 m n, n 0,1,2
(2) P{X=n, Y=m} = P{X=n} P{Y=m|X=n}
e n m m nm Cn p (1 p) , 0 m n, n 0,1,2,3 n!
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二、二维连续型（X，Y）的条件分布
类似地 在条件Y=y下，X的条件分布函数及条件概率密度为
FX |Y
( x | y)
x
f (u, y ) du fY ( y )
f ( x, y ) f X / Y ( x | y) fY ( y )
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例3. 已知二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的联合分布密度为：
24(1 x) y 0 x 1, 0 y x p( x, y) 其它 0
x y x
F ( x, y ) F X ( x) f (u, v)dvdu f X (u )du / / x x x x
y
f ( x, v)dv f X ( x)
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在条件X=x下Y的条件概率密度
f ( x, y) f Y | X ( y | x) f X ( x)
y=x
求条件密度函数 解：（1）
pX |Y ( x | y)及pY | X ( y | x)
故在0<y<1时，
2
pX ( x) 24(1 x) ydy 12 x (1 x),
0
x
p( x, y) pX |Y ( x | y) pY ( y)
2(1 x) /(1 y )2 0 y x 1 其它
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Y
2 0
3 0
4 0
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例2. 设某班车起点站上客人数Ｘ服从参数为λ的泊松分布，
每位乘客在中途下车的概率为p，且中途下车与否相互独立。 以Ｙ表示在中途下车的人数。求： （１）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率。 （２）随机向量（Ｘ，Ｙ）的联合分布。
解：（１） P{Y=m|X=n}
P{Y 3 | X 1} p13 0 p1
1 16
25 48
1 16
13 48
1 16 7 48
3 48
1 4
1
P{Y 4 | X 1}
p14 0 p1
P{X=xi | Y=1}
1 12 25
2
6 25
上页
3
4 25
4 3 25
所以在X=1条件下Y的条件分布为 1 P{Y=yj|X=1} 1
[ F ( x x, y ) F ( x, y ) / x lim x 0 [ F ( x x) F ( x)] / x X X
x 0
lim[ F ( x x, y ) F ( x, y )] / x
x 0
lim[ FX ( x x) FX ( x)] / x