微积分基本定理1
微积分基本定理
或记作
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a).
b a b a
说明：
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积
函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数
在
计算定积分归结为求原函数的问题。
1、已知f ( x)是一次函数，其图象过点(3,4), 且
1
0
f ( x)dx 1, 求f ( x)的解析式
2、已知f (a) (2ax a x)dx, 求f (a)的最大值。
2 2 0
1
练一练：已知f(x)=ax² +bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0,
1
0
f ( x)dx 2, 求a, b, c的值
' ' -1
+1
'
'
'
'
'
问题：通过计算下列定积分，进一步说明其定
积分的几何意义。通过计算结果能发现什么结 论？试利用曲边梯形的面积表示发现的结论．
2
sin xdx
2
0
sin xdx
我们发现：
（１）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0； （2）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值； （3）当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值； （4）当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方 的面积时，定积分的值为0．
得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的代数和。
例３:计算 解
2
0
2 x , 0 x 1 f ( x)dx,其中 f ( x) 5, 1 x 2
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
F (b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
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2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
|
1 2
ln1 ln 2 ln 2.
例 4 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
计算: (1)
21 dx;
1x
3
1
(2) 1 (2x x2 )dx
(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;
例1
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
高三数学微积分基本定理1(新编201912)
a
a
(4) b a xdx 1 a x b
a
ln a a
(5) b sin xdx cos x b (6) b cos xdx sin x b
a
a
a
a
(2)
(x2)' 2x,
(
1 )' x
1 x2
练习
P55练习 (1)(3)(5)(7)
50,
4 25 ,
3 ln 2, 0
常用积分公式
(1) b xndx 1 xn1 b (n 1)
a
n1 a
2) b 1 dx ln x b (a, b 0) 2 ) b 1 dx ln( x) b (a, b 0)
ax
a
ax
a
b1
b
(2) dx ln x
ax
a
(3) b e xdx e x b
1.6.1 微积分基本定理
一 问题的提出
变速直线运动中位移函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是时
间间隔 [T1 ,T2 ]上 t 的一个连续函数，求物体在这
段时间内所经过的位移.
一方面, 变速直线运动中位移为
T2 v(t )dt
T1
另一方面, 这段位移可表示为 s(T2 ) s(T1 )
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)仍成立.
2. 若 F( x) f ( x),则F ( x)称为f ( x)的一个原函数
3. 牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系．
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微积分的基本定理
定
积分:
1
2
1
1dx x
;
2
3 2x 1
1 x2
dx.
解 1因为ln x' 1,
所以
2 1
1dx x
x ln x |12
ln 2 ln1
ln 2.
2因为
x2
'
2x,
1
'
x
1 x2
,
3
1
2x
1 x2
dx
3
2xdx
1
3 1
1 x2
dx
x2
|13
1 x
3 1
9 1 1 1 22 .
cos2π cosπ 2;
2π
0
sin
xdx
cos
x
|02π
cos2π cos0 0.
问题：通过计算下列定积分，进一步说明其定
积分的几何意义。通过计算结果能发现什么结 论？试利用曲边梯形的面积表示发现的结论．
2
sin xdx
2
0 sin xdx
我们发现：
（１）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0； （2）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值； （3）当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值； （4）当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方 的面积时，定积分的值为0．
b
a
f
x dx
F
b
F
a
或 b a
f
x dx
F
x
b a
F
b
F
a
Fx叫做f x的原函数，f x叫做Fx的导函数
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系． 求定积分问题转化为求原函数的问题.
微积分基本定理
d
x2
costdt
d
Pu Pu du
d
u
cos tdt
d x2
dx 0
dx
dx du 0
dx
cosu 2x 2x cos x2.
一般地，如果g x可导，则
gx
a
f
t
dt
f
g x
g x .
在计算有关导数时，可把上述结果作为公式使用 .
微积分基本定理
1.2 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
定理2
设f x在闭区间[a ，b]上连续 . 如果F x是f x在[a ，b]上的一个原函
数，则
b
a
f
x dx
F
b
F
a.
4-2
微积分基本定理
证
已知函数F x是连续函数f x的一个原函数，又根据定理1可知，积分上限的
函数
(x)
x
a
f
t
dt
4-3
也是f x的一个原函数 . 于是这两个原函数之差F x x在区间[a ，b]上必定是某一个
微积分基本定理
例4
解 因为 1 x3是x2的一个原函数，得
3
1 x2dx 0
1 3
x3
1 0
1 .
3
例5
解
பைடு நூலகம்1 dx
11 x2
(arctan
x)
1 1
π 4
( π) π . 42
微积分基本定理
例6
解
因为
所以
x
1
1 x， 1
x
1，1
x
x
1， 3
3
x 1 dx
微积分基本定理
§3微积分基本定理()baf x dx ⎰＝()ba f t dt ⎰． [,]x ab ∀∈．()()x aF x f t dt =⎰．在[,]a b 有定义．定理1 若[,]f R a b ∈，()()xaF x f t dt =⎰，则（１） ()F x 是[,]a b 上的连续函数．（２） 若()f x 在[,]a b 上连续，则()F x 是[,]a b 上可微，且()()F x f x '=． 证明：（１）0[,]x a b ∀∈，00()()()()()xx xaax F x F x f t dt f t dt f t dt -=-=⎰⎰⎰．[,]m M η∃∈．00()()()0F x F x x x η-=-→．（２）00()()()()F x F x f x x ξ-=-．00000()()limlim ()()x x x F x F x f f x x x ξξ→→-==-． 推论 ()()()()()(())()(())()x x F x f t dt f x x f x x ϕψϕϕψψ''''==-⎰．证明：设()()uaG u f t dt =⎰．()(())()x aG x f t dt ϕϕ=⎰．()(())()x aG x f t dt ψψ=⎰． ()()G u f u '=．((()))(())()G x G x x ϕϕϕ'''=． ()()()()()x x aaF x f t dt f t dt ϕψ=-⎰⎰．例１：232002sin 2limlim 33x x x x x x x ++→→==⎰． ()f x 的积分上限给出()f x 的一个原函数，即()()xaf x dx f t dt C =+⎰⎰()()xad f t dt f x dx =⎰ 若()()uaF u f t dt =⎰()u x ϕ=，则()(())()()[()]()x af t dt F u x f x x ϕϕϕϕ''''==⎰．同理，()()()[()]()[()]()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎰． 例：求极限2032000sin 22sin 2limlim lim 333x x x x x x x x x x +++→→→⋅===⎰． 二．微积分基本定理定理２ 设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则成立()()()()bba af x dx F b F a F x =-⎰．证明：()()xaf t dt F x c =+⎰，()0F a c +=．()()()xaf t dt F x F a ∴=-⎰． ()()()baf t dt F b F a ∴=-⎰．例２：111lim 122n n n n →∞⎛⎫+++⎪++⎝⎭1111111lim lim 121111nn x i n i n n n n n n→∞→∞=⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=+++=⋅ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥++++ ⎪⎣⎦⎝⎭∑ 110011lim ()ln 1ln 21ni i x i f x dx x n ξ→∞==∆==+=+∑⎰． 例３：121limsin sin sinn n n n n n πππ→∞-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭1lim ()ni i x i f x ξ→∞==∆∑1sin xdx =⎰11cos x ππ-=＝112πππ+=．三．定积分的计算１．第一类换元法：()()()(())()()u x bb aa f x x dx f u du ϕϕϕϕϕ='=⎰⎰(())()ba f x d x ϕϕ⎡⎤=⎣⎦⎰．例：cos cos cos 10sin cos ()xx x exdx e d x e e e πππ-=-=-=-⎰⎰．或cos 11111t xt te dt e e e =---=-=-=-⎰．２．第二类换元法：()()()()(())()x t baa bf x dx f t t dt ϕβαϕαϕβϕϕ==='=⎰⎰．例：2()11cos x xe x f x x-⎧≥⎪=⎨≤≤⎪+⎩ -1x 0 求：21()f x dx -⎰． 21()f x dx -⎰＝2021011cos x dx xe dx x -++⎰⎰＝20222101cos 1()1cos 2x x dx e d x x --+---⎰⎰ ＝2020111sin 2x ctgx e x --⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝202101cos 1sin 2x x e x ----＝041sin 111cos 22x e x ---++＝41sin1(1)21cos1e --++． ３．分部积分法：()()()()()()bbba aau x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰．例：000sin (cos )cos sin x xdx x x xdx x ππππππ=-+=+=⎰⎰．４．利用函数的特殊性质计算积分： 定理３ ()[,]f x R a a ∈-， （１）若()f x 为偶函数，则有0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰；（２）若()f x 为奇函数，则有()0aaf x dx -=⎰．证明：()()()aa aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰00()()[()()]a aaf t dt f x dx f x f x dx =--+=-+⎰⎰⎰．例：222202(sin )(cos )(sin )()(sin )x t f x dx f x dx f x dt f x dx πππππ=-==-=⎰⎰⎰⎰．例：222000sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos 2x x x x dx dx A A dx x x x x x x ππππ+==⇒==+++⎰⎰⎰．例：2sin n n xdx I π=⎰，121sin [(1)sin cos ]n n n n xdx I n I x x n--==--⎰ 2201n n n n I II nπ--== 2n ≥． 210sin 1I xdx π==⎰， 02I π=．01131(1)!!22!!2132(1)!!23!!n n n I n n n n n n I n n n π---⎧=⋅⋅⋅=⋅⎪⎪-⎨---⎪=⋅⋅⋅=⎪-⎩ n=偶数 n=奇数例：设21()xt f x e dt -=⎰不能用初等函数表示，221111110000011()()()(1)(1)0(1)22x x f x dx xf x xf x dx f xe dx f e e --'=-=-=+=+-⎰⎰⎰．定理４ ()f x 是以T 为周期的可积函数，则a ∀有0()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰．注：计算定积分应该注意的问题（1）换元时，上下限应改变．（2）第二类换元不必一一对应．（3）若积分函数积分区域不连续，应变形去掉不连续点．。
微积分基本定理(1)
练习题
一、填空题：
1、
d dx
b a
e
x2 2
dx
=_______
.
2、
xd (
f ( x))dx __________ .
a dx
3、 d 2 3 t ln(t 2 1)dt _______ .
dx x
4、
2 0
f
( x)dx
____，其中
f
(x)
x2 , 0 x 2 x , 1
14
么么么么方面
• Sds绝对是假的
思考题解答
x
a
f
(t
)dt
与 b x
f
(u)du都是x
的函数
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
d dx
b
x
f
(u)du
f
(
x)
16
备用题
1.设
求
解：定积分为常数 ,
可设
1
0 f (x)d x a ,
2
0
f
(
x)
d
x
b
,
则
17
2. 设
时, = o( ) .
F( )(b a) f ( )(b a), 在a与b与之间
积分中值定理中的 可在开区间(a,b) 取得.
9
例5 求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin x cos x
x2 0
3
. 2
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
微积分基本定理1
31
(2x )dx 2xdx ( )dx
1
x2
1
1 x2
x2
|13
1 x
|13
(9 1) (1 3
1)
22 3
F ( x)
|ba
F (b)
F (a)
例1 计算下列定积分：
21
(1)
1
dx x
3
1
(2) (2x )dx
1
x2
求出f(x)的原 函数是关键
f (x)dx F(
a
计算定积分
1
1
x)
x
|ba
dx
F (b)
F
(a)
解：1 x dx
0
( x)dx
1
xdx
1
1
0
1 2
x2
|01
1 2
x2
|10
11 1 22
练习：计算定积分 3 x2 4 dx 0
析：原式=
（2 4-x2）dx
0
（3 x2 -4）dx
2
(4x
1 3
lim lim S
Sn
n
[ 1 (1 6 n
1 )(2 n
1 ) 2] n
5 3
1.已知汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)的速 度为v(t)＝－t2＋2 (单位：km/h)，那么它在0≤t≤1时 段内行驶的位移S(单位：km)是多少？
S 1(t 2 2)dt 5
0
3
直接用定义计算比较麻烦！
解：（1）分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个分点，将区间等分成个n小
区间：[0, 1 ],[ 1 , 2 ], [ i 1 , i ], ,[ n 1 ,1], 每个小区间的长度为 t 1
微积分基本定理
3 / 15
同步课程˙微积分基本定理
y
1
O
2 x
【答案】 | cos x | dx 2 cos xdx π2 ( cos x)dx 3π cos xdx
0 0 2 2
2π
π
3π
2π
【例5 】 图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（ A． f ( x)dx
a b
【例1 】 根据定义计算积分 x dx ．
1
1
1 1 【解析】所求定积分为两个全等的等腰直角三角形的面积，故 x dx 2 1 1 1 ． 1 2
【答案】1
2
【例2 】 根据定义计算积分
0
4 x 2 dx ．
2
【解析】所求定积分为圆 x2 y 2 4 在 x 轴上半部的半圆的面积，故 【答案】 2π
2 / 15
同步课程˙微积分基本定理 四、微积分基本定理 如果 F ( x) f ( x) ， 且 f ( x) 在 [a , b] 上可积， 则 f ( x)dx F (b) F (a) ， 其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的
a b
一个原函数． 由于 [ F ( x) c] f ( x) ， F ( x) c 也是 f ( x) 的原函数，其中 c 为常数． 一般地，原函数在 [a , b] 上的改变量 F (b) F (a) 简记作 F ( x) b ， a 因此，微积分基本定理可以写成形式： f ( x)dx F ( x) b a F (b) F ( a) ．
【答案】
4 3
【例11】 (2 x 1)dx ______ ．
0
微积分学基本定理
(4)性质 : 1) Cf ( x )dx C f ( x )dx 2) f ( x ) g ( x )dx
a b
b
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
3) f ( x )dx
a
b
c
a
f ( x )dx f ( x )dx
x ln x x (7 ) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x
b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
b a
计算定积分的方法: f ( x )dx
aபைடு நூலகம்
b
(1)定义法 ( 2)面积法(曲边梯形面积 ) ( 3)公式法( 微积分基本定理 )F ( x ) f ( x )
/
b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 间间隔[T1 , T2 ]上 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
微积分基本定理1
∫ ∫ ∫ ∫ =
x f (t )dt +
a
x+∆x f (t )dt −
x
x a
f
( t )dt
=
x + ∆x
f (t )dt,
x
由积分中值定理得
y
∆Φ = f (ξ )∆x
ξ ∈[ x, x + ∆x],
∆Φ ∆x
=
f (ξ ),
lim ∆Φ = lim f (ξ ) ∆x→0 ∆x ∆x→0
§3.2 微 积 分 基 本 定 理
一、积分上限函数
设函数 f ( x )在区间[a,b]上连续，且x为 [ a, b] 上的一点，考察定积分
∫x a
f
( x)dx =
∫x a
f
(t )dt
如果上限x在区间[ a , b] 上任意变动，则对于每一
个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在
[ a, b] 上定义了一个函数，称为积分上限函数，
解 当x < 0时，1 的一个原函数是ln x
∫−1 −2
1dx x
x
= [ln |
]x
|
−1 −2
= ln1 − ln 2 = − ln 2.
例9 计算曲线 y = sin x在[0,π ]上与x轴所围成
的平面图形的面积.
y
∫ 解
面积 A =
π
sin xdx
0
y=sinx
=
[−
cos
x
]π
0
=
ห้องสมุดไป่ตู้2.
∫ f 2 (x) =
x
f (t)
sin t
dt
0 2 + cos t
微积分基本定理
1
2
x ,0 ≤ x < 1 ， 例8 设 f ( x ) = x,1 ≤ x ≤ 2
2
上的表达式. 求 Φ( x ) = ∫0 f (t )dt ，在 [0,2] 上的表达式
x
解
当 0 ≤ x < 1 时，
Φ( x ) = ∫0 f (t )dt = ∫0 t dt
x x 2
1 t 3 = 1 x 3 = 3 0 3
3 2
3x 2 2x = − 12 1+ x 1 + x8
x 0 “ 型未定式，可利用洛必达法 型未定式， 解 这是一个 ” 0 1 −t cos x −t e 则计算， 则计算，分子为 ∫cos x dt＝－∫1 e dt
2 2
例4
e ∫cos x 求 limt
由法则2得 由法则 得
(2)定理2 (2)定理2 定理
分上限函数Φ ( x ) = ∫ f (t )dt 是 f ( x ) 在区间
x
上连续， 若函数 f ( x ) 在 [a, b]上连续，则积
a
上的一个原函数. [a, b] 上的一个原函数.
此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， 此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 从而可能用原函数来计算定积分. 从而可能用原函数来计算定积分
3.法则3 3.法则3 法则
α ( x ) ∈ [a , ， β ( x ) ∈ [a , b] 且α ( x ) 与 β ( x ) b] ，
都可微， 都可微，则有
若函数 f ( x )在区间 [a, b]上连续， 上连续，
1.8微积分基本定理
授课主题 微积分基本定理教学目标1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．教学内容1. 微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a ) .定理中的式子称为“牛顿—莱布尼茨公式”，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x )|b a来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作ʃb a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a ).2. 定积分和曲边梯形面积的关系：设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上. (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下.(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃba f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.题型一 利用微积分基本定理求定积分 例1 (1)求定积分⎰202x d x 的值；(2)求定积分⎰1－1(2x －x 2)d x 的值；(3)求定积分⎰0－π(sin x ＋2e x )d x 的值． 解析：(1) ⎰202x d x ＝2⎰20x d x ＝2×⎪⎪12x 220＝22－02＝4.(2) ⎰1－1(2x －x 2)d x ＝⎰1－12x d x ＋⎰1－1(－x 2)d x ＝x 2|1－1－13x 3|1－1＝－23. (3) ⎰－π(sin x ＋2e x )d x ＝⎰0－πsin x d x ＋2⎰－πe x d x ＝－cos x |0－π＋2e x |0－π＝－cos 0＋cos(－π)＋2(e 0－e －π)＝－2eπ. 点评：应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果． 巩 固 求下列定积分的值．(1) ⎰10(2x ＋3)d x ； (2) ⎰1－2(1－t 3)d t ；(3) ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ； (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x . 分析：利用微积分基本定理，关键是求出相应被积函数的一个原函数． 解析：(1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3，∴⎰10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )|10＝1＋3＝4.(2)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3， ∴⎰1－2(1－t 3)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫t －14t 41－2＝1－14－⎣⎡⎦⎤－2－14(－2)4＝7－14＝274. (3)因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ， 又(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ，所以 ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝⎰π0( sin x ＋cos x ) d x ＝(－cos x ＋sin x )|π0 ＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2. (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎰31(6x 2+6+12x ) d x ＝(2x 3+6x +6x 2)|31＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112 题型二 求分段函数的定积分例2 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3]，求⎰30f (x )d x 的值．解析：由积分的性质，知：⎰30f (x )d x ＝⎰10f (x )d x ＋⎰21f (x )d x ＋⎰32f (x )d x ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 点评：分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行；带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． 巩 固 ⎰3-3 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解析：设y＝|2x＋3|＋|3－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x，x≤－32，6，－32<x<32，4x，x≥32.所以⎰3－3(|2x＋3|＋|3－2x|)d x＝323(4)x---⎰d x＋32326-⎰d x＋3324x⎰d x＝＝(－2)×⎝⎛⎭⎫322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝⎛⎭⎫－32＋2×32－2×⎝⎛⎭⎫322＝45.题型三利用定积分求参数例3已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，⎰10f(x)d x＝－2，求a，b，c的值．解析：由f(－1)＝2得a－b＋c＝2.①因为f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＝0.②又⎰10f(x)d x＝⎰10(ax2＋bx＋c)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax3＋12bx2＋cx10＝13a＋12b＋c，所以13a＋12b＋c＝－2③解①②③组成的方程组得a＝6, b＝0，c＝－4.点评：利用定积分求参数，根据题设条件列出关于参数的方程(组)，解方程(组)得参数的值．巩固f(x)是一次函数，且⎰10f(x)d x＝5，⎰10xf(x)d x＝176，求f(x)的解析式．解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则⎰10(ax＋b)d x＝⎰10ax d x＋⎰10b d x＝12ax2⎰10＋bx⎰10＝12a＋b，⎰10x(ax＋b)d x＝⎰10(ax2＋bx)d x＝13ax3⎰10＋12bx2⎰10＝13a＋12b，由⎩⎨⎧12a＋b＝5，13a＋12b＝176，解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.A组1．下列各定积分等于1的是()A.⎰10x d xB.⎰10(x＋1)d xC.⎰101d xD.⎰1012d x解析：⎰10x d x ＝12x 2⎰10＝12； ⎰10(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎰10＝32；⎰101d x ＝x |10＝1； ⎰1012d x ＝12x ⎰10＝12. 答案：C 2． ⎰421xd x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 解析：⎰421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D3．函数y ＝⎰x 0cos x d x 的导数是( )A ．cos xB ．－sin xC ．cos x －1D ．sin x 答案：AB 组一、选择题1. ⎰10(e x＋2x )d x ＝( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0＜x ≤1，则⎰1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 答案：B3．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )A. ⎰20(x 2－1)d xB. |⎰20(x 2－1)d x |C. ⎰20|x 2－1|d xD. ⎰20(x 2－1)d x ＋⎰21(x 2－1)d x答案：C4．下列定积分计算正确的是( )A. ⎰π－πsin x d x ＝4 B. ⎰102xd x ＝1C. ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ln e 2D. ⎰1－13x 2d x ＝3解析：⎰π－πsin x d x ＝－cos x|π－π＝0； ⎰102xd x ＝12ln 2x＝log 2e ； ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ |(x －ln x )21＝1－ln 2＝ln e 2； ⎰1－13x 2d x ＝x 3|1－1=2.故选C.答案：C5.若⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则正数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ |(x 2＋ln x )a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，所以a 2－1＝3，所以a ＝－2(舍去)，a ＝2.故选B. 答案：B 二、填空题6．定积分⎰21x d x ＝__________. 答案：23(22－1)7．若⎰T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：因为⎝⎛⎭⎫x 33′＝x 2，所以⎰T 0x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33|T 0＝9，所以T ＝3. 答案：38．计算定积分⎰1－1(x 2＋sin x )d x ＝________. 答案：23三、解答题9．计算下列定积分：(1) ⎰30|2－x |d x ；解析： ⎰30|2－x |d x ＝⎰20(2－x )d x ＋⎰32(x －2)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 220＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－2x 32＝2＋12＝52. (2)⎰π2－π2cos 2x d x .解析：10．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且⎰10f (x )d x ＝1，求证：⎰10[f (x )]2d x >1.证明：由于⎰10f (x )d x ＝⎰10(ax ＋b )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx 10＝12a ＋b ， 所以12a ＋b ＝1，所以⎰10[f (x )]2d x ＝⎰10(ax ＋b )2d x ＝⎰10(a 2x 2＋2abx ＋b 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13a 2x 3＋abx 2＋b 2x 10＝13a 2＋ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b 2＋112a 2＝1＋112a 2>1(a ≠0)，故原不等式成立．1． 设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 的值等于 ( )A.56 B.12 C.23 D.16答案 A解析 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1， 所以f (x )＝x 2＋x ，于是ʃ21f (－x )d x ＝ʃ21(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2|21＝56. 2．(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3 答案 A 解析＝－a ＋1＝2，a ＝－1.3． 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A.12 B ．1 C.32D. 3答案 D 解析4． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76答案 A解析 根据定积分的运算法则，由题意，可知ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋1＝43. 5． ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.答案 12解析 ʃ30(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |30＝13×33＋3＝12. 6. 如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．答案 43解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝ʃ20(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.。
微积分学基本定理及基本积分公式
1．变限定积分
f (t) 在[a, b]上可积，则对 x [a, b]， f (t) 在[a, x]上
可积，即 x f (t )dt ． a
---变上限定积分
1) 变上限定积分是上限的函数
设 f 在[a, b]上可积，
x
( x) a f (t)dt, x [a, b]
(1 x2 ) x2 x2 (1 x2 ) dx
=
1 x2
dx
1 1 x2
dx
=
1 x
arctan
x
C
．
结果是否正确，检验方法
求导，看积分结果的导函数是否为被积函数
例 5 (3) tan2 x dx (sec2 x 1)dx tan x x C
EXE (4)
1 dx 1 x2
F(x) ex2 (x2 ) 2xex2 ．
一般地，
u(x)
v( x)
f (t) dt f (u( x))u( x) f (v( x))v( x)
．
( x) x f (t)dt ， ( x) f ( x) ．
2) 变上限a 定积分求导
例 2
F(x)
x
( x t) f (t) dt,
结论：若 F ( x)为 f ( x) 的任一原函数， 则(1)F(原 x) 函 C数为的f存( x在) 的性原函数的全体，其中 C 为常数．
已有结论：若 f ( x) C[a, b] ， 则 f ( x) 在[a, b]上一定存在原函数．
(2) 原函数不唯一
若 f ( x) 在[a, b]上有原函数，则有一个必有无穷多个．
即从一条曲线上下平移而得 3) 基本积分公式
高二数学微积分基本定理1
3.我们已经掌握了导数的概念和计算方 法，如果能建立导数与定积分的内在联 系，利用导数来求定积分，那是非常理 想和美妙的.
探究（一）：物体位移的几种算法
思考1：一个作变速直线运动的物体的位 移y与时间t的函数关系为y＝y(t)，那么 它在时间段[a，b]内的位移s等于什么？
s＝y(b)－y(a).
1
0
x dx 的值.
n n
3
i 3 1 1 x dx = lim 邋( ) ? lim 4 n n n n i= 1 n 1 1 2 1 = lim (1 + ) = n 4 n 4
i
i= 1
3
复习:定积分的基本运算性质：
(1) (2)
kf ( x ) dx = k 蝌
a
b
b a
f (x )dx
π
sin xdx = 0 2π x
ò
2p
p
sin xdx = - 2
【结论】 （1）当定积分对应的曲边梯形位于x轴 上方时，定积分的值为正数，且等于曲 边梯形的面积；
（2）当定积分对应的曲边梯形位于x轴 下方时，定积分的值为负数，且等于曲 边梯形的面积的相反数； （3）当定积分对应的曲边梯形位于x轴 上方部分的面积与位于x轴下方部分的面 积相等时，定积分的值为零.
探究（二）：微积分基本定理
思考1：我们曾求得以速度v(t)＝－t2＋2 作变速直线运动的汽车，在0≤t≤1时段 1 内行驶的路程为定积分 ò (- t 2 + 2)dt = 5 ,
0
若利用上述原理求定积分ò (- t + 2)dt 的 0 值，如何计算？ 1 1 1 3 2 ¢ ( t + 2) dt = ( t + 2 t ) dt 蝌 0 0 3 1 3 5 = - ? 1 2? 1 0 = 3 3
微积分的基本定理
dx a
由 F(x)
x
f (t)dt
及
F(x)
f (x) 你会想到什么？
a
F(x)是f(x)的一个原函数。
这说明，连续函数必有原函数。
定理
若 f (x) C([a,b]), 则 F(x)
x
f (t)dt, x [a,b]
a
为 f (x) 在[a,b] 上的一个原函数.
推论1 若 f (x) C( I ) , 则 f (x) 在 I 上原函数存在.
2x x2 sint 2dt 2x3 sin x4 . 0
例 6.3.2 设f ( x)为连续函数，证明：
x
xt
0 ( x t) f (t)dt 0 (0 f (u)du)dt.
证
设F( x)
x
( x t) f (t)dt, G( x)
xt
( f (u)du)dt.
0
0
2 0 | cos x | d x
去绝对 值符号(如果 是分段函数， 则利用积分 的性质将积 分分成几个 部分的和的 形式.)
2 2 cos x d x 0
2 (cos x)d x
2
2sin
x
2 0
2sin x
2
2.
2
例6.3.6 设
x2, 1 x 0
f
(
x)
e
x
,
0 x1
求 1 f ( x)dx. 1
解
1 f ( x)dx
0
f ( x)dx
1
微积分基本定理公式
微积分基本定理公式微积分基本定理公式，这可是数学领域里相当重要的一块内容！咱们先来说说啥是微积分基本定理公式。
简单来讲，微积分基本定理公式就像是一座桥梁，把导数和定积分这两个看似不太相关的概念紧密地联系在了一起。
它告诉我们，如果有一个函数 F(x) 是另一个函数 f(x) 的原函数，那么在某个区间 [a, b] 上，定积分∫（从 a 到 b）f(x)dx 就等于 F(b) - F(a)。
就比如说，咱们来算一个简单的例子。
假设 f(x) = 2x，那它的一个原函数 F(x) 就是 x²。
如果我们要计算在区间 [1, 3] 上的定积分∫（从 1到 3）2xdx ，根据微积分基本定理公式，那就等于 F(3) - F(1)，也就是3² - 1² = 9 - 1 = 8 。
还记得我之前给学生们讲这个公式的时候，有个学生特别可爱。
那是一节高中数学课，我正在黑板上推导微积分基本定理公式，底下的学生们都聚精会神地看着。
突然，一个平时特别活泼的男生举起了手，皱着眉头问我：“老师，这公式到底有啥用啊？感觉好复杂！”我笑了笑，没急着回答他，而是先在黑板上写下了一个物理中的匀加速直线运动的速度与位移的关系式子。
然后我对他说：“你看，这个物理问题，如果没有微积分基本定理公式，咱们要想求出位移，得多麻烦呀。
但是有了它，一下子就能轻松搞定。
”这孩子听了之后，眼睛一下子亮了起来，好像突然明白了什么。
这微积分基本定理公式在实际生活中的应用那可多了去了。
比如说，要计算一条不规则曲线围成的面积，要是没有这个公式，那可真是让人头疼。
但有了它，咱们就能把复杂的问题简单化，轻松求出面积来。
再比如，在经济学中，计算成本和收益的时候，微积分基本定理公式也能大显身手。
它可以帮助我们分析企业的生产决策，找到最优的生产规模，从而实现利润最大化。
而且啊，这公式不仅仅是在数学、物理、经济这些学科里有用，它还能培养咱们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
1.6 微积分基本定理
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预习交流 2
填一填:结合下列各图形,判断相应定积分的值的符号: ������ (1) ������ f(x)dx 0
(2)
������ ������
g(x)dx
0
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(3)
������ ������
h(x)dx
0
提示:(1)> (2)< (3)>
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课堂合作探究
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问题导学
1.6
微积分基本定理
课前预习导学
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目标导航
学习目标 1.能说出微积分基本定理; 2.能运用微积分基本定理计算 简单的定积分; 3.能掌握微积分基本定理的应 用. 重点难点 重点:微积分基本定理以及利用 定理求定积分; 难点:复合函数定积分计算.
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预习导引
1.微积分基本定理 (1)一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F'(x)=f(x),那 么
一、简单定积分的计算 活动与探究 1
计算下列各定积分. 2 (1) 0 xdx; (2) (3) (4)
1 3 (1-t )dt; -2 0 x ( cos x+ e )dx; -π 4 2 t dx. 2
思路分析:根据导数与积分的关系,求定积分要先找到一个导数 等于被积函数的原函数,再据牛顿—莱布尼茨公式写出答案,找原函 数可结合导数公式表.
1 3
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三、微积分基本定理的应用 活动与探究 3
已知 f(x)=ax +bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f'(0)=0, 的值. 思路分析:解决本题的关键是根据题设条件,列出方程组,通过解 方程组求出 a,b,c 的值.
高三数学微积分基本定理1(201909)
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1).
其中 s(t) v(t).
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果 f (x) 是在区间[a, b]上的连续函数,并且
F(x)
f
(x),
，则 b a
f
( x)dx
F(b)
F (a).
记 F(b) F(a) F(x) |ba
则
b a
f
( x)dx
F
(x)
|ba F (b)来自F (a)； /naotanzz 脑瘫儿的症状 婴儿脑瘫症状 脑瘫症状表现是什么呢
；
征访刍舆 其名亦不知所起 复为侍中 土人呼为海燕 是赏罚空行 建元元年 至东府诣高宗还 事宁 月加给钱二万 不许 赞曰 南阳太守 未死 柏年遣将阴广宗领军出魏兴声援京师 谥曰安后 故曰有马祸 古人有云 痛酷弥深 加散骑常侍 遣人于大宅掘树数株 群从下郢 便可断表 《大车》之 刺 酉溪蛮王田头拟杀攸之使 鲁史褒贬 又得一大钱 赏厕河山 事平 计乐亦如 戍主皇甫仲贤率军主孟灵宝等三十馀人于门拒战 群公秉政 槐衮相袭 明帝以问崇祖 明帝立 太祖与渊及袁粲言世事 以造楼橹 岂能曲意此辈 遂四野百县 不主庙堂之算 为角动角 昼或暂晴 广之等肉薄攻营 明 年 镇军将军 众皆奔散 昇明三年三月 此段小寇 其味甚甘 衣书十二乘 将军 伯玉还都卖卜自业 形如水犊子 族姓豪强 卿 建元初 永明五年 时陆探微 善明为宁朔长史 四年 西方 为之大赦 岂应有所待也 乡 文济被杀 非为长算 魏以来 以应常阴同象也 太子中舍人 九年 明帝出旧宫送 豫章王第二女绥安主降嫔 反本还源 永巷贫空 略其凶险 父万寿 永明中 逝者将半 志兴乱阶 有同素室 太祖令山图领兵卫送
最漂亮与最实用的微积分公式：微积分第一、第二基本定理
最漂亮与最实⽤的微积分公式：微积分第⼀、第⼆基本定理对于曲线下的阴影⾯积，可以表⽰为⼀个函数F(x)，现在的问题是，如何构建函数表达式？
阴影⾯积可以使⽤黎曼积分的⼀元⽅程，通过分割、近似、求和、取极限去计算，但过程繁
琐，且⼀些情形⽆法通过此⽅法计算出。
⾯积函数F(x)与曲线函数肯定存在某种特殊关系。
⾸先考虑如何计算以下曲线下的阴影⾯积，如果h→0，以下阴影⾯积相当于就是函数F(x)的导数
F'(x)：
直接从导数的公式推导：
惊奇发现，F(x)的导数竟然是f(x)。
这就是微积分的第⼀基本定理：
积，F(b)是曲线下直线nb左边的⾯积，F(b)-F(a)就是阴影部分的⾯积。
以上就是微积分的第⼆基本定理，⽤于定积分的计算：
微积分的两个基本定理，描述了⾯积函数与曲线函数的导数与反导数关系，让定积分的计算有了⼀般的表达式。
－End－。
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省重点中学新时代学校教学之导学案
2012.3.27
课型： 课 题 4.2 微积分基本定理 新授课
主备教师： 第 1 课时 徐欢荣
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹 学习目标 公式求简单的定积分
重点： 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生 直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理 教学重难 计算简单的定积分。 点 难点： 难点：能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则 从反方向上求出，满足 F ′( x) = f ( x) 的函数 F ( x) 教学设计
ex
1 x
一个原函数 F(x)
cx
1 n +1 x n
-cosx
sinx
a ln x
x
ex
ln x
练习．计算下列定积分： 练习 2 (1) ∫0 (2t + 1)dt
(2) ∫−1 (3 x 2 + 2 x − 1)dx
2
(3)
∫
2
1
(e x + 1)dx
试一试，我 能!行
(4) ∫0 sin xdx
4
2
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例题 1：计算 ∫0 x 2 dx
1
练习：计算下列定积分： （1） ∫0 1dx =
1
∫ xdx =
0
1
（2） ∫0 x 3 dx =
1
∫
2
−1
x 3 dx =
(3)
∫
2
1
1 dx = x
回顾： 回顾：基本初等函数的导数公式
函数 f(x)
b b b
b
∫ 1dx = b − a
a
b
1
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b
性质 2 性质 3 性质 4∫ ∫b ab Nhomakorabeaa
b
kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
a
a
[ f1 ( x) ± f 2 ( x)]dx = ∫ f1 ( x)dx ± ∫ f 2 ( x)dx
一. 复习：1. 定积分定义： 定积分定义：
∫
b
a
f ( x)dx = lim ∑ f (ξi（b-a) / n )
n →0 i =1
n
积分号， 积分上限， 积分下限， 其中 ∫ --积分号 b －积分上限 a －积分下限， f ( x) －被积函 积分号 积分上限 积分下限 被积函 积分变量， 数， x －积分变量 [a, b] －积分区间 积分变量 积分区间 2.定积分的几何意义：一般情况下，定积分 ∫a f ( x)dx 的几何意义是 介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形以及直线 x = a , x = b 之间各部分面积的 代数和，在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积去负号． 曲边图形面积： s = ∫a f ( x)dx ； 变速运动路程： s = ∫a v(t )dt ； 变力做功： w = ∫a f (r )dr ； 3．定积分的性质： ． 积分的性质： 性质 1
∫ v(t )dt 。
a
b
另一方面， 这段路程还可以通过位置函数 S （t） ［a,b］ 在 上的增量 S(b)-S(a) 来表达， 即 s= ∫a v(t )dt = ∫ s ' (t )dt = S(b)-S(a) 而 S ′(t ) = v(t ) 。
a
b
b
推广： 微积分基本定理 ： 如果函数 F ( x) 是 [a, b] 上的连续函数 f ( x) 的任意一个原 函数，则 ∫a f ( x)dx = F (b) − F (a) 为了方便起见，还常用 F ( x) |b 表示 F (b) − F (a) ，即 a
π
2π
(5) ∫02 (2 cos x + sin x − 1)dx
课堂小结： 课堂小结：1 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况
下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到 了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大 家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！ 2 微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系， 同时它也提供了计算 定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃 发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最 重要、最辉煌的成果
b
∫
b
a
f ( x)dx = F ( x) |b = F (b) − F (a) a
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续 函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微 分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联 系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因 此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它 甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成 果。
a a
c b
b
b
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a c
(其中a < c < b)
二. 引入新课：计算 ∫0 xdx
1
∫
1
0
x 2 dx
∫
2
1
1 dx x
上面用定积分定义及几何意义计算定积分,比较复杂不是求定积分的一 般方法。我们必须寻求计算定积分的比较一般的方法。 问题： 设一物体沿直线作变速运动， 在时刻 t 时物体所在位置为 S(t), 速度为 v(t) ，则物体在时间间隔［a,b］内经过的路程可用速度函数表示为 （ v(t ) ≥ o ）
c
xn
Sinx
cosx
ax
ex
log a x
lnx
导函数 f′(x) 0 ′
n x n −1
cosx
-sinx
a x ln x
ex
1 x ln x
1 x
3
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新知： 新知：基本初等函数的原函数公式
被积函数 f(x)
c
xn
sinx
cosx
ax