高考数学专题复习立体几何练习题 (2)
2023届高考数学总复习《立体几何》附答案解析
（2）若点 N 为 BC 的中点，求四面体 A'MNB 的体积．
【解答】证明：（1）连接 BD，设 BD∩EC＝F，连接 MF，
由题意可得四边形 BCDE 为正方形，则 F 为 BD 的中点，
∴MF 为△A′BD 的中位线，可得 MF∥A′B，
又 A′B⊄平面 EMC，MF⊂平面 EMC，
∴A'B∥平面 EMC；
2023 年高考：立体几何复习题及答案
1．如图，已知直角梯形 ABCD，BC∥AD，BC＝CD＝2，AD＝4，∠BCD＝90°，点 E 为 AD 的中点，现将三角形 ABE 沿 BE 折叠，得到四棱锥 A'﹣BCDE，其中∠A'ED＝120°， 点 M 为 A'D 的中点．
（1）求证：A'B∥平面 EMC；
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∵BE⊂平面 BEF，∴平面 BEF⊥平面 AMD， 结合题意分析知，点 F 在线段 AD 上，连接 MF， 过 A 作 AH⊥MF，交 MF 的延长线于点 H，
则结合已知条件得
，解得 AH ，
设 Dt ，
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【解答】解：（1）证明：由题意知 PC2+AC2＝PA2，∴PC⊥AC， 同理，PC⊥BC，又 AC∩BC＝C，∴PC⊥平面 ABC， ∵D，E 分别是 AC，PA 的中点，∴DE∥PC， ∴DE⊥平面 ABC， 又 DE⊂平面 BDE，∴平面 BDE⊥平面 ABC． （2）在△BDE 中，DE⊥BD，BD＝2 ，DE＝2，∴BE＝4， 如图，过 A 作 AM⊥BE 于 M，连接 MD， 在△ABE 中，AB＝BE＝4，AE＝2 ，解得 AM ，ME＝1， ∵DM⊂平面 BDE，∴AC⊥DM， 在 Rt△ADM 中，AM ，AD＝2，∴DM ， ∴DM2+EM2＝DE2，∴MD⊥BE， ∵AM∩MD＝M，∴BE⊥平面 AMD，
高考数学立体几何专题复习(含答案)
的中点.
（Ⅰ）证明： PA / / 平面 EDB ； （Ⅱ）求三棱锥 A BDP 的体积.
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参考答案
1、【答案】(1)详见解析;(2) . 试题分析（：1）过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F，则
6、如图所示，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点 D 是 AB 的中点． (1)求证：AC1∥平面 CDB1； (2)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值．
7、如图所示，在三棱锥 A BOC 中，OA 底面 BOC ，OAB OAC 300 ， AB AC 2 ， BC 2 ，
高考数学—立体几何专题复习
1、如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 中，AB//CD，AD⊥AB，AB=2，AD= ，AA1=3，E 为 CD 上一点，DE=1，EC=3. （1）证明：BE⊥平面 BB1C1C; （2）求点 B1 到平面 EA1C1 的距离.
2、已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是菱形， BAD 60 ,又 PD 平面 ABCD ，点 E 是棱 AD 的中点， F 在棱 PC 上. （1）证明：平面 BEF 平面 PAD . （2）试探究 F 在棱 PC 何处时使得 PA / / 平面 BEF .
答案第 1 页，总 6 页
试题解析：
（1）证明：
PD EB
平面ABCD 平面ABCD
PD
EB
,
又底面 ABCD 是 A 60 的菱形，且点 E 是棱 AD 的中点，所以 EB AD ，
高三立体几何专题练习(含答案)
立体几何专题练习卷一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．正方体DC B A ABCD 111-的棱长为a ，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的大小是__________．2．已知某铅球的表面积是2484cm π，则该铅球的体积是___________2cm ．3．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为4arccos5，则该圆锥的体积为___________．4．在长方体1111ABCD A B C D -中，若12,1,3AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成的角θ可用反三角函数值表示为θ=____________．5．若取地球的半径为6371米，球面上两点A 位于东经O12127'，北纬O 318'，B 位于东经O12127'，北纬O 255'，则A B 、两点的球面距离为_____________千米(结果精确到1千米)．6．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π15 2cm ，则此圆锥的体积为__________3cm ．7．若圆锥的底面半径和高都是2，则圆锥的侧面积是_____________． 8．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A B C 、、为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC ∠=____________.9．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为__________cm. （精确到0.1cm ）10．如图，用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45︒，容器的高为10cm ．制作该容器需要铁皮面积为__________cm2．（衔接部分忽略不计，结果保留整第9题数）11．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是__________ .12．如右下图，ABC ∆中， 90=∠C ，30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于N ），则图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为__________ ．13．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥， 则该圆锥与圆柱等底等高。
高三数学立体几何专项练习题及答案
高三数学立体几何专项练习题及答案一、选择题1. 下列哪个几何体的所有面都是三角形？A. 正方体B. 圆柱体C. 正六面体D. 球体答案：C2. 一个有8个面的多面体，其中6个面是正方形，另外2个面是等边三角形，它的名字是？A. 正八面体B. 正十二面体C. 正二十面体D. 正二十四面体答案：C3. 空间中任意一点到四个角落连线的垂直距离相等的四棱锥称为？A. 正四棱锥B. 圆锥台C. 四棱锥D. 无法确定答案：C4. 任意多面体的面数与顶点数、棱数的关系是？A. 面数 + 顶点数 = 棱数 + 2B. 面数 + 棱数 = 顶点数 + 2C. 顶点数 + 棱数 = 面数 + 2D. 顶点数 + 面数 = 棱数 + 2答案：A5. 求下列多面体的棱数：（1）正六面体（2）正八面体（3）正十二面体答案：（1）正六面体的棱数为 12（2）正八面体的棱数为 24（3）正十二面体的棱数为 30二、填空题1. 下列说法正确的是：一棱锥没有底面时，它的底面是一个______。
答案：点2. 铅垂线是指从一个多面体的一个顶点到与它相对的棱上所作的垂线，它与该棱垂足的连线相交于该多面体的______上。
答案：中点3. 对正八面体，下列说法不正确的是：_____条对角线与_____两两垂直。
答案：六，相邻面三、计算题1. 一个棱锥的底面是一个边长为6cm的正三角形，其高为8cm。
求棱锥体积。
解答：底面积 S = (1/2) ×底边长 ×高 = (1/2) × 6 × 8 = 24 cm²棱锥体积 V = (1/3) × S ×高 = (1/3) × 24 × 8 = 64 cm³所以，棱锥的体积为64 cm³。
2. 一个正四棱锥的底面是一个边长为10cm的正方形，其高为12cm。
求四棱锥的体积。
解答：底面积 S = 边长² = 10² = 100 cm²四棱锥体积 V = (1/3) × S ×高 = (1/3) × 100 × 12 = 400 cm³所以，四棱锥的体积为400 cm³。
高考数学真题立体几何习题集
高考数学真题立体几何习题1.(2010新课标)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．2.(2011新课标) 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
3.（2012新课标）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。
（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1-BD-C1的大小。
4.（2013新课标1卷）如图，三棱柱中，，，=60°.（Ⅰ）证明⊥;（Ⅱ）若平面⊥平面，，求直线与平面所成角的正弦值。
5.（2013新课标2卷）如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB。
（Ⅰ）证明：BC1//平面A1CD1（Ⅱ）求二面角D-A1C-E的正弦值6.(2014新课标1卷)如图三棱锥中，侧面为菱形，. (Ⅰ) 证明：；（Ⅱ）若，，AB=Bc，求二面角的余弦值.7.（2014新课标2卷）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.8.（2010全国卷2）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．9.（2010湖南）如图5所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点. （I）求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值；（II）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？证明你的结论.10.（2010山东）如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，ABC=45°，AB=，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．11.（2010江苏）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
2023届高考数学总复习：立体几何复习题附答案
a，
在 Rt△FCM 中，tan∠FCM ．
，
∴sin∠FCM ，
故直线 CF 与平面 ACDE 所成角的正弦值为 ． 2．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，BC⊥平面 AA1C1C，D 是 AA1 的中点，△ACD 是边长
为 1 的等边三角形． （1）证明：CD⊥B1D； （2）若 BC ，求二面角 B﹣C1D﹣B1 的大小．
，令
由（1）知，平面 B1C1D 的一个法向量为
，得
，， ，
， ，，
故 th＜ ， ＞
，
所以二面角 B﹣C1D﹣B1 的大小为 30°．
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在直角梯形 AEFB 中，有 AF EF，BF
쳌
∴AF2+BF2＝AB2，即 AF⊥BF．
∵BC∩BF＝B，BC、BF⊂平面 BCF，
∴AF⊥平面 BCF．
EF，AB＝2EF，
（2）解：∵AE⊥平面 ABC，AE⊂平面 ACDE，∴平面 ACDE⊥平面 ABC，
又平面 ABC∥平面 DEF，∴平面 ACDE⊥平面 DEF．
【解答】解：（1）证明：因为△ACD 是边长为 1 的等边三角形，所以∠ADC＝60°，∠ DA1C1＝120° 因为 D 是 AA1 的中点，所以 AD＝A1D＝A1C1＝1，即△A1C1D 是等腰三角形， 则∠A1DC1＝30°，故∠CDC1＝90°，即 CD⊥C1D， 因为 BC⊥平面 AA1C1C，BC∥B1C1，所以 B1C1⊥平面 AA1C1C， 因为 CD⊂平面 AA1C1C，所以 B1C1⊥CD， 因为 B1C1∩C1D＝C1，B1C1⊂平面 B1C1D，C1D⊂平面 B1C1D，所以 CD⊥平面 B1C1D， 因为 B1D⊂平面 B1C1D，所以 CD⊥B1D；
2018届高考数学复习—立体几何：(二)空间直线、平面关系的判断与证明—2.平行与垂直关系的证明(试题版)
【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP.►(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC.►(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF . [例2]►(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：①B,C,H,G四点共面；②平面EF A1∥平面BCHG .►(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：①EG∥平面BB1D1D；②平面BDF∥平面B1D1H.【变式训练】1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______.2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1.4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1,H是B1C1的中点.(1)求证：E,B,F,D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F .题型2：直线、平面垂直的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点.证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE.►(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面P AD ,AB ∥CD ,PD ＝AD ,E 是PB 的中点,F 是DC 上的点且DF＝12AB ,PH 为△P AD 中AD 边上的高.①证明：PH ⊥平面ABCD ； ②证明：EF ⊥平面P AB .[例2]►(1)[2014·辽宁文]如图所示,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且AB ＝BC ＝BD ＝2,∠ABC ＝∠DBC ＝120°,E ,F ,G 分别为AC ,DC ,AD 的中点.(I)求证：EF ⊥平面BCG ； (II)求三棱锥D -BCG 的体积.►(2)(2012·课标全国)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ＝12AA 1,D 是棱AA 1的中点. (I)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(II)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.►(3)(2015·大庆质检) 如图,四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD ＝DC ＝BC ＝1,AB ＝2,AB ∥DC ,∠BCD ＝90°. ①求证：PC ⊥BC ；②求点A 到平面PBC 的距离.【变式训练】1.如图,四棱锥P —ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,点E在线段AD 上,且CE ∥AB .(1)求证：CE ⊥平面P AD ； (2)若P A =AB =1,AD =3,CD =2,∠CDA =45°,求四棱锥P -ABCD 的体积.2.[2014·福建文]如图所示,三棱锥A - BCD 中,AB ⊥平面BCD ,CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB =BD =CD =1,M 为AD 中点,求三棱锥A - MBC 的体积.3.(2015·唐山统考)如图,在三棱锥P -ABC 中,P A ＝PB ＝AB ＝BC ,∠PBC ＝90°,D 为AC 的中点,AB ⊥PD . (1)求证：平面P AB ⊥平面ABC ； (2)如果三棱锥P -BCD 的体积为3,求P A .4.[2014·课标Ⅰ文]如图,三棱柱ABC - A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C 为菱形,B 1C 的中点为O ,且AO ⊥平面BB 1C 1C . (1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1,∠CBB 1＝60°,BC ＝1,求三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高.☆题型3：直线、平面平行与垂直关系的综合【典型例题】[例1]►(1)已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中真命题是(写出序号).①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β；②若l⊂α,l∥β,α∩β＝m,则l∥m；③若α∥β,l∥α,则l∥β；④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.►(2)(2014·辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α►(3)(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β＝l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面►(4)(2013·课标Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l►(5)(2016·课标Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) [例2]►(1)(2014·北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别为A1C1,BC的中点.(I)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(II)求证：C1F∥平面ABE；(III)求三棱锥E-ABC的体积.►(2)[2014江苏文]如图,三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知P A⊥AC,P A＝6,BC＝8,DF＝5. 求证：(I)直线P A∥平面DEF；(II)平面BDE⊥平面ABC.[例3]►(1)[2014·陕西文]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(I)求四面体ABCD的体积；(II)证明：四边形EFGH是矩形.►(2)(2012·北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(I)求证：DE∥平面A1CB；(II)求证：A1F⊥BE；(III)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由.【变式训练】1.(2016·浙江联考)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β是空间两个平面,且a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.给出下列命题：①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交；②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直；③若a∥b,则必有a∥c；④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β. 其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.(2012·四川)下列命题正确的是()A.若两直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一平面内有三点到另一平面的距离相等,则这两平面平行C.若一直线平行于两相交平面,则这条直线与这两平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3.(2015·福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2016·山东济南一模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α5.(2016·浙江温州联考)关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是()A.若a ∥α,b ∥α,则a ∥bB.若a ∥α,b ⊥a ,则b ⊥αC.若a ⊂α,b ⊂α,且l ⊥a ,l ⊥b ,则l ⊥αD.若a ⊥α,a ∥β,则α⊥β 6.(2015·山东二模)设m ,n 是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是( ) A.当n ⊥α时,“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件B.当m ⊂α时,“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C.当m ⊂α时,“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件D.当m ⊂α时,“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件 7.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l ,若直线m ,n 满足m ∥α,n ⊥β,则( )A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n 8.(2013北京)如图,四棱锥P -ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,CD ＝2AB ,平面P AD ⊥底面ABCD ,P A ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证： (1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD.9.[2014·山东文]如图,四棱锥P -ABCD 中,AP ⊥平面PCD , AD ∥BC ,AB ＝BC＝12AD ,E ,F 分别为线段AD ,PC 的中点. (1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC.10.(2013全国Ⅱ文)如图,直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点.(Ⅰ)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(Ⅱ)设AA 1=AC =CB =2,AB =22,求三棱锥C -A 1DE 的体积.11.(2013·辽宁)如图,AB 是圆O 的直径,P A 垂直圆O 所在的平面,C 是圆O 上的点. (1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)设Q 为P A 的中点,G 为△AOC 的重心,求证：QG ∥平面PBC .12.[2014·课标Ⅱ文]如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点. (1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1,AD ＝3,三棱锥P - ABD 的体积V ＝34,求A到平面PBC 的距离.13.(2015江苏)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AC ⊥BC ,BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ,B 1C ∩BC 1＝E . 求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.14.(2015广东文)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD =PC ＝4,AB ＝6,BC ＝3. (1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离.15.(2015课标Ⅱ)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ＝16, BC =10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E =D 1F =4.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．16.(2015陕西)如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥B C,∠BAD =π2,AB =BC =12AD =a ,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点．将△ABE沿BE 折起到如图2中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1﹣BCDE ． (Ⅰ)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(Ⅱ)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时,四棱锥A 1﹣BCDE 的体积为362,求a 的值．17.(2016·课标Ⅱ文)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE ＝CF ,EF 交BD 于点H ,将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置． (1)证明：AC ⊥HD ′(2)若AB =5,AC =6,AE =54,OD ′=22,求五棱锥D ′ABCFE 的体积．18.(2016·课标Ⅲ文)如图,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB ＝AD ＝AC ＝3,P A ＝BC ＝4,M 为线段AD 上一点,AM ＝2MD ,N 为PC 的中点． (1)证明MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积．19.[2017全国I 文]如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA =PD =AB =DC ,∠ADP ＝90°,且四棱锥P-ABCD 的体积为83,求该四棱锥的侧面积.20.[2017全国II 文]如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB =BC =12AD , ∠BAD =∠ABC =90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ;(2)若△PCD 面积为27,求四棱锥P-ABCD 的体积.21.[2017全国III 文]在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CD 的中点,则( )A.A 1E ⊥DC 1B.A 1E ⊥BDC.A 1E ⊥BC 1D.A 1E ⊥AC22.[2017全国III 文]如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,AD =CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形,AB =BD .若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE ⊥EC ,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.。
高中数学必修二《立体几何》练习题
立体几何一、选择题1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.B. C. D. 【答案】A2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】C3、（2016年全国I高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相1613121π32+31π32+31π62+31π62+1垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A4、（2016年全国I 高考）平面过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，//平面CB 1D 1，平面ABCD =m ，平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A5、（2016年全国II 高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C6、（2016年全国III 高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为α-ααI αI22313（A ）（B ）（C ）90 （D ）81 【答案】B7、（2016年全国III 高考）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V 的球，若，，，，则V 的最大值是（A ）4π （B ） （C ）6π （D ）【答案】B二、填空题1、（2016年上海高考）如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于____________【答案】2、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________．18+54+111ABC A B C -AB BC ⊥6AB =8BC =13AA =92π323π1111D C B A ABCD -ABCD 1BD 32arctan3、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.【答案】24、（2016年全国II高考）是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（1）如果，那么.[（2）如果，那么.（3）如果，那么.（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题有．.(填写所有正确命题的编号）【答案】②③④5、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.,αβ,m n,,//m n m nαβ⊥⊥αβ⊥,//m nαα⊥m n⊥//,mαβα⊂//mβ//,//m nαβmαnβ【答案】 6、（2016年浙江高考）如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .【答案】三、解答题1、（2016年北京高考） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【解】⑴∵面面 面面723212P ABCD -PAD ⊥ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AMAP∵，面∴面∵面∴又∴面⑵取中点为，连结，∵∴∵∴以为原点，如图建系易知，，，，则，，，设为面的法向量，令，则与面夹角有⑶假设存在点使得面设，由（2）知，，，，有∴∵面，为的法向量∴即∴∴综上，存在点，即当时，点即为所求.' 2、（2016年山东高考）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； （II ）已知EF =FB =AC =，AB =BC .求二面角的余弦值.【解】(Ⅰ)连结，取的中点，连结， 因为，在上底面内，不在上底面内， 所以上底面，所以平面； 又因为，平面，平面，所以平面； 所以平面平面，由平面，所以平面． (Ⅱ) 连结，以为原点，分别以为轴， 建立空间直角坐标系．，，于是有，，，， 可得平面中的向量，, 于是得平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设二面角为，12F BC A --FC FC M HM GM,GM//EF EF GM GM//GM//ABC MH//B C⊂BC ABC ⊄MH ABC MH//ABC GHM//ABC ⊂GH GHM GH//ABC OB B C AB = OB A ⊥∴O O O O OB,OA,'z y,x,BC AB ,32AC 21FB EF ==== 3)(22=--='FO BO BF O O )0,0,3A(2)0,0,3C(-2)0,3B(0,2)3,3F(0,FBC )3,(30,-=)0,,(3232=FBC )1,3,3(1-=n ABC )1,0,0(2=n A -BC -F θ B则． 二面角的余弦值为．3、（2016年上海高考）将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧。
高考数学立体几何专题复习题及答案
⾼考数学⽴体⼏何专题复习题及答案 数学是⾼考考试中的主科之⼀，我们要对⾼考数学⽴体⼏何进⾏强化复习，⽴体⼏何是⾼考数学考试中丢分的重灾区。
下⾯是店铺为⼤家整理的⾼考数学⽴体⼏何专题复习题，希望对⼤家有所帮助! ⾼考数学⽴体⼏何专题复习题 专题四 ⽴体⼏何 第1讲 三视图及空间⼏何体的计算问题 (建议⽤时：60分钟) ⼀、选择题 1.(2014•湖北卷)在如图所⽰的空间直⾓坐标系O-xyz中，⼀个四⾯体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图，则该四⾯体的正视图和俯视图分别为 ( ).A.①和②B.③和①C.④和③D.④和② 解析 由三视图可知，该⼏何体的正视图是⼀个直⾓三⾓形，三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)且内有⼀个虚线(⼀个顶点与另⼀直⾓边中点的连线)，故正视图是④;俯视图即在底⾯的射影是⼀个斜三⾓形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②. 答案 D 2.(2013•东北三校第三次模拟)如图，多⾯体ABCD E FG的底⾯ABCD为正⽅形，FC=GD=2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是 ( ). 解析 注意BE，BG在平⾯CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线，从⼏何体的左⾯向右⾯正投影，则BG，BF的投影为虚线，故选D. 答案 D 3.(2014•安徽卷)⼀个多⾯体的三视图如图所⽰，则该多⾯体的表⾯积为 ( ).A.21+3B.18+3C.21D.18 解析 由三视图知，⼏何体的直观图如图所⽰.因此该⼏何体的表⾯积为6×2×2-6×12×1×1+2×34×(2)2=21+3. 答案 A 4.(2013;⼴东卷)某四棱台的三视图如图所⽰，则该四棱台的体积是 ( ).A.4B.143C.163D.6 解析 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底⾯是边长为1的正⽅形，下底⾯是边长为2的正⽅形，⾼为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V=13(12+1×22+22)×2=143，故选B. 答案 B 5.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A B CD正视图和俯视图如图，则三棱锥A B CD侧视图的⾯积为 ( ).A.613B.1813C.213D.313 解析 由正视图及俯视图可得，在三棱锥A B CD中，平⾯ABD⊥平⾯BCD，该⼏何体的侧视图是腰长为2×322+32=613的等腰直⾓三⾓形，其⾯积为12×6132=1813. 答案 B 6.在具有如图所⽰的正视图和俯视图的⼏何体中，体积最⼤的⼏何体的表⾯积为 ( ).A.13B.7+32C.72πD.14 解析 由正视图和俯视图可知，该⼏何体可能是四棱柱或者是⽔平放置的三棱柱或⽔平放置的圆柱.由图象可知四棱柱的体积最⼤.四棱柱的⾼为1，底⾯边长分别为1,3，所以表⾯积为2(1×3+1×1+3×1)=14. 答案 D 7.(2013•湖南卷)已知正⽅体的棱长为1，其俯视图是⼀个⾯积为1的正⽅形，侧视图是⼀个⾯积为2的矩形，则该正⽅体的正视图的⾯积等于 ( ).A.32B.1C.2+12D.2 解析 易知正⽅体是⽔平放置的，⼜侧视图是⾯积为2的矩形.所以正⽅体的对⾓⾯平⾏于投影⾯，此时正视图和侧视图相同，⾯积为2. 答案 D ⼆、填空题 8.某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为____________. 解析 由三视图可知该⼏何体由长⽅体和圆柱的⼀半组成.其中长⽅体的长、宽、⾼分别为4,2,2，圆柱的底⾯半径为2，⾼为4.所以V=2×2×4+12×22×π×4=16+8π. 答案 16+8π 9.(2013•江苏卷)如图，在三棱柱A1B1C1A BC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F A DE的体积为V1，三棱柱A1B1C1A BC的体积为V2，则V1∶V2=________. 解析 设三棱柱A1B1C1-ABC的⾼为h，底⾯三⾓形ABC的⾯积为S，则V1=13×14S•12h=124Sh=124V2，即V1∶V2=1∶24. 答案 1∶24 10.如图，正⽅体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为________. 解析 利⽤三棱锥的体积公式直接求解. VD1-EDF=VF-DD1F=13S△D1DE•AB=13×12×1×1×1=16. 答案 16 11.(2014重庆卷改编)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为________. 解析 由俯视图可以判断该⼏何体的底⾯为直⾓三⾓形，由正视图和侧视图可以判断该⼏何体是由直三棱柱(侧棱与底⾯垂直的棱柱)截取得到的.在长⽅体中分析还原，如图(1)所⽰，故该⼏何体的直观图如图(2)所⽰.在图(1)中，直⾓梯形ABPA1的⾯积为12×(2+5)×4=14，计算可得A1P=5.直⾓梯形BCC1P的⾯积为12×(2+5)×5=352.因 答案 60 12.已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球⾯上，△ABC是边长为1的正三⾓形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为________. 解析 在Rt△ASC中，AC=1，∠SAC=90°，SC=2，所以SA=4-1=3.同理，SB=3.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因为△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，AD=BD，故SC⊥平⾯ABD，且△ABD为等腰三⾓形.因为∠ASC=30°，故AD=12SA=32，则△ABD的⾯积为12×1×AD2-122=24，则三棱锥S-ABC的体积为13×24×2=26. 答案 26 三、解答题 13.已知某⼏何体的俯视图是如图所⽰的矩形，正视图是⼀个底边长为8、⾼为4的等腰三⾓形，侧视图是⼀个底边长为6、⾼为4的等腰三⾓形. (1)求该⼏何体的体积V; (2)求该⼏何体的侧⾯积S. 解 由已知可得，该⼏何体是⼀个底⾯为矩形，⾼为4，顶点在底⾯的射影是矩形中⼼的四棱锥E‐ABCD，AB=8，BC=6. (1)V=13×8×6×4=64. (2)四棱锥E A BCD的两个侧⾯EAD，EBC是全等的等腰三⾓形，且BC边上的⾼h1=42+822=42; 另两个侧⾯EAB，ECD也是全等的等腰三⾓形，AB边上的⾼h2=42+622=5. 因此S=2×12×6×42+12×8×5=40+242. 14.如图，四边形ABCD是边长为2的正⽅形，直线l与平⾯ABCD平⾏，E和F是l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC.E′和F′是平⾯ABCD内的两点，EE′和FF′都与平⾯ABCD垂直. (1)证明：直线E′F′垂直且平分线段AD; (2)若∠EAD=∠EAB=60 °，EF=2.求多⾯体ABCDEF的体积. (1)证明 ∵EA=ED且EE′⊥平⾯ABCD， ∴E′D=E′A，∴点E′在线段AD的垂直平分线上. 同理，点F′在线段BC的垂直平分线上. ⼜四边形ABCD是正⽅形， ∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线，即点E′、F′都在线段AD的垂直平分线上. ∴直线E′F′垂直且平分线段AD. (2)解 如图，连接EB、EC，由题意知多⾯体ABCDEF可分割成正四棱锥E A BCD和正四⾯体E B CF 两部分.设AD的中点为M，在Rt△MEE′中，由于ME′=1，ME=3，∴EE′=2. ∴VE A BCD=13•S正⽅形ABCD•EE′=13×22×2=423. ⼜VE B CF=VC B EF=VC B EA=VE A BC=13S△ABC•EE′=13×12×22×2=223， ∴多⾯体ABCDEF的体积为VE A BCD+VE B CF=22. 15.(2013•⼴东卷)如图1，在边长为1的等边三⾓形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所⽰的三棱锥A-BCF，其中BC=22. (1)证明：DE∥平⾯BCF; (2)证明：CF⊥平⾯ABF; (3)当AD=23时，求三棱锥F-DEG的体积VF D EG. (1)证明 在等边三⾓形ABC中，AB=AC. ∵AD=AE， ∴ADDB=AEEC，∴DE∥BC， 同理可证GE∥平⾯BCF. ∵DG∩GE=G，∴平⾯GDE∥平⾯BCF， ∴DE∥平⾯BCF. (2)证明 在等边三⾓形ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥FC， ∴BF=FC=12BC=12. 在图2中，∵BC=22， ∴BC2=BF2+FC2，∴∠BFC=90°， ∴FC⊥BF. ∵BF∩AF=F，∴CF⊥平⾯ABF. (3)解 ∵AD=23， ∴BD=13，AD∶DB=2∶1， 在图2中，AF⊥FC，AF⊥BF， ∴AF⊥平⾯BCF， 由(1)知平⾯GDE∥平⾯BCF， ∴AF⊥平⾯GDE. 在等边三⾓形ABC中，AF=32AB=32， ∴FG=13AF=36，DG=23BF=23×12=13=GE， ∴S△DGE=12DG•EG=118， ∴VF-DEG=13S△DGE•FG=3324. ⾼考数学答题技巧 1.调整好状态，控制好⾃我。
【通用版】高考数学复习专题模拟_立体几何(2)
立体几何（2）（2011届·嵊州一中高三期中（文））8.已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题①若α⊥mnm,//，则α⊥n②若βαβα//,,则⊥⊥mm③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,nnmm④若nmnm//,,,//则=βαα其中正确命题的个数是( D ) A．0个B．1个C．2个D．3个（2011届•嵊州一中高三期中（文））19．（本题14分）如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥ABCD，四边形ABCD是矩形. E、F分别是AB、PD的中点.若PA=AD=3，CD=6.（I）求证：AF//平面PCE；（II）求点F到平面PCE的距离；（III）求直线FC与平面PCE所成角的大小.[来源:学科网ZXXK]答案：解法一：（I）取PC的中点G，连结EG，FG，又由F为PD中点，则FG//CD 21.又由已知有.//,21//AEFGCDAE∴∴四边形AEGF是平行四边形..//EGAF∴AF又平面PCE，EG.PCE平面⊆PCEAF平面//∴…………5分（II）,ABCDPA平面⊥[来源:] ===,//.,.,,3...AF EG PCD AF D CD PD PD AF PD F AD PA CDAF PAD CD AD CD ABCD ABCD PAD 由平面的中点是又平面是矩形有由平面平面⊥∴=⊥∴==⊥∴⊥∴⊥⊥∴ [来源:学科网].,,,.的距离到平面的长就是点则平面由于平面于作过内平面平面PCE F FH PC PCE PCD H PC FH F PCD PCD EG =⊥∴⊥∴…………8分.24321.30,.62,223,23==∴=∠∴⊥===PF FH CPD PAD CD PC PF D P 平面由于由已知可得[来源:学.科.网]243的距离为到平面点PCE F ∴. …………10分（III ）由（II ）知.所成的角与平面为直线PCE FC FCH ∠1421sin .242,223,6,22==∴=+=∴==∆FC FH FCH FD CD FC FD CD CDF Rt 中在.1421arcsin所成角的大小为与平面直线PCE FC ∴…………14分解法二：如图建立空间直角坐标系xyz A -A （0，0，0），P （0，0，3），D （0，3，0），E （26，0，0），F （0，23，23），C （6，3，0）…………2分（I ）取PC 的中点G ，连结EG ，则).23,23,26(,,.//.//),23,23,0(),23,23,0(PCE EG PCE AF EG AF EG AF EG AF 平面平面又即⊆∴==.//PCE AF 平面∴…………6分（II ）设平面PCE 的法向量为).0,3,26(),3,0,26(),,,(=-==EC EP z y x n的距离为到平面故点又得取即PCE F PF n y y x z x EC n EP n ),23,23,0().1,1,6(,1.0326,0326.0,0-=-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.42322|2323|||=--==n n PF d…………10分（III ）),23,23,6(-=FC.1421222213|||||,cos |=⨯=⋅=><n FC n FC n FC∴直线FC 与平面PCE 所成角的大小为1421arcsin. …………14分（2011届·周口市高三期中（文））22．（选修4—1：几何证明选讲） 如图，⊙O1与⊙O2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A 、B 、C 、D 、E ．求证：AB ·CD ＝BC ·DE ．DCBAP 答案：证明：因为A ，M ，D ，N 四点共圆， 所以AC CD M C CN ⋅=⋅． 同理有BC CE M C CN ⋅=⋅,所以AC CD BC CE ⋅=⋅………………………5分 即(AB+BC)·CD=BC ·(CD+DE)，所以 AB ·CD ＝BC ·DE …………………10分（2011届·双鸭山一中高三期中（理））6.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ B ）（A ）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥ （2011届•双鸭山一中高三期中（理））10．过正方体1111ABCD ABC D -的顶点A使l 与棱AB ，AD ，1AA所成的角都相等，这样的直线l 可以作 ( D )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条（2011届•双鸭山一中高三期中（理））16．如图，在三棱锥O ABC -中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA OB OC >>，分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平 分三棱锥的体积，截面面积依次为1S ，2S ，3S ，则1S ，2S ，3S 的 大小关系为 ．321s s s <<（2011届•双鸭山一中高三期中（理））18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1, AB=2, AB ∥DC ，∠BCD=900 求证：PC ⊥BC 求点A 到平面PBC 的距离 答案：（1）略（2（2011届·唐山一中高三期中（文））15．已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的四个点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ， SA=2,AB=BC=2，则球O 的表面积为_______．11答案：8π．提示：三棱锥S —ABC 是长方体的一角，它的外接球的直径和该长方体的外接球的直径相同．2R=22224=++，R=2．（2011届•唐山一中高三期中（文））20．（本题满分12分）[来源:学科网]已知四棱锥P —ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABC D ．异面直线PB 与CD 所成的角为45°．求： （1）二面角B —PC —D 的大小；（2）直线PB 与平面PCD 所成的角的大小．[来源:]答案：解：（1）∵AB ∥CD ，∴∠PBA 就是PB 与CD 所成的角，即∠PBA=45°,……1分于是PA=A B ．作BE ⊥PC 于E ，连接ED ，在△ECB 和△E CD 中，BC=CD ，CE=CE ， ∠ECB=∠ECD ， △ECB ≌△ECD ，∴∠CED=∠CEB=90°,[来源:学科网]∠BED 就是二面角B —PC —D 的平面角． ………………………4分 设AB=a ，则BD=P B=a 2，PC=a 3，BE=DE=a PC BC PB 36=⨯,cos ∠BED=212222-=⨯-+DE BE BD DE BE ,∠BED=120° 二面角B —PC —D 的大小为120°； ……………………………6分（2）还原棱锥为正方体ABCD —PB1C1D1，作BF ⊥CB1于F, ∵平面PB1C1D1⊥平面B1BCC1，∴BF ⊥平面PB1CD,………………………………8分 连接PF,则∠BPF 就是直线PB 与平面PCD 所成 的角．……………………………………………10分BF=a22,PB=a 2,sin ∠BPF=21,∠BPF=30°．所以就是直线PB 与平面PCD 所成的角为30°．…………………12分注：也可不还原成正方体,利用体积求出点B 到平面PCD 的距离，或用向量 法解答．（2011届·福州三中高三期中（理））6．m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （ B ）（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m（2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）αγβγαβα⊥=⊥⊥m m 则,,,（4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4） （2011届·安徽省河历中学高三期中（理））5、三棱锥S —ABC 中，SA ⊥底面ABC ，SA=4，AB=3，D 为AB 的中点∠ABC=90°，则点D 到面SBC 的距离等于 （ C ）A ．125B ．95C ．65 D ．35（2011届•安徽省河历中学高三期中（理））6．空间四条直线a ，b ，c ，d ，满足a ⊥b ，b ⊥c ，c ⊥d ，d ⊥a ，则必有 （ C ） A ．a ⊥c B ．b ⊥d C ．b ∥d 或a ∥c D ．b ∥d 且a ∥c（2011届•安徽省河历中学高三期中（文））8．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 （ C ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂[来源:学+科+网Z+X+X+K]C ．若，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥（2011届•安徽省河历中学高三期中（文））10．如图，已知球O 为棱长为1的正方体1111ABCD ABC D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ A ）A ．6πB ．3πC． D．[来源:Z&xx&]（2011届•安徽省河历中学高三期中（文））14．一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、 左视图、俯视图的面积分别是1， 2，4， 则这个几何体的体积为______4/3_____________。
高考数学第二轮复习立体几何题库练习
2、（2009广雅期中）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.(1) 求证：//AF 平面BCE ； (2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (3) 求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值.3、（09广东四校理期末）如图所示,在矩形ABCD 中，AD =2AB =2，点E 是AD 的中点，将△DEC 沿CE 折起到△D ′EC 的位置，使二面角D ′—（1）证明：BE ⊥C D ′；（2）求二面角D ′—B C —E 的正切值.4（09广东四校文期末）如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 .（Ⅰ）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； （Ⅱ）求三棱锥A 1－C DE 的体积.5、（09北江中学文期末）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 面ABCD ，E 、F 为别为PD 、 AB 的中点，且1==AB PA ，2=BC ， （Ⅰ）求四棱锥ABCD E -的体积； （Ⅱ）求证：直线AE ∥平面PFCABCD EFD BP BCDA EF6、（2009广东东莞）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1. （1）求a 的值；（2）求平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小.7、（2009广州海珠）如图6，在直角梯形ABCP 中，AP//BC ，AP ⊥AB ，AB=BC=221=AP ，D 是AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将PCD ∆沿CD 折起，使得⊥PD 平面ABCD,如图7.（Ⅰ）求证：AP//平面EFG ； (Ⅱ) 求二面角D EF G --的大小; （Ⅲ）求三棱椎PAB D -的体积.8、（2009广州（一））如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．若3PA AD ==，CD =（Ⅰ）求证：//AF 平面PCE ；AD FGCBEP图6BGCDFEAP图7ABC DA 1B 1C 1D 1P（Ⅱ） 求点F 到平面PCE 的距离；（Ⅲ）求直线FC 平面PCE 所成角的正弦值．9、（2009广东揭阳）如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160AD A ∠= ，14AD =，点P 是1AD 上的动点．（1）试判断不论点P 在1AD 上的任何位置，是否都有平面11B PA 垂直于平面11AA D ？并证明你的结论；（2）当P 为1AD 的中点时，求异面直线1AA 与1B P 所成角的余弦值； （3）求1PB 与平面11AA D 所成角的正切值的最大值．10、（2009广东潮州期末）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点。
高考数学复习专题过关检测—立体几何(含解析)
高考数学复习专题过关检测—立体几何一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021·山东济宁二模)“直线m垂直于平面α内的无数条直线”是“m⊥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2021·重庆八中月考)已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则异面直线CD与PB所成角的余弦值为()A.√55B.2√55C.√510D.√95103.(2021·江西上饶三模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G是线段BC1上一点,且A1G⊥B1D,则()A.BG=12BC1B.BC1=3GC1C.BG=3GC1D.G为线段BC1上任意一点4.(2021·辽宁葫芦岛一模)某保鲜封闭装置由储物区与充氮区(内层是储物区,用来放置新鲜易变质物品,充氮区是储物区外的全部空间,用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能)构成.如图,该装置外层上部分是半径为2的半球,下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合,内层是一个高度为4的倒置小圆锥,小圆锥底面平行于外层圆锥的底面,且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合,为了保存更多物品,充氮区的体积最小为()A.4πB.16π3C.28π3D.4π35.(2021·天津三模)在圆柱O1O2内有一个球O,球O分别与圆柱O1O2的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若O1O2=2,则圆柱O1O2的表面积为() A.4π B.5πC.6πD.7π6.(2021·广东深圳模拟)已知球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都相切,M为棱DD1的中点,则平面AMC截球O所得截面的面积为()A.π3B.2π3C.πD.4π37.(2021·福建师大附中模拟)过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,若AB=AP,则平面ABP与平面CDP的夹角的余弦值为()A.13B.√22C.√32D.√338.(2021·山东滨州二模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,P是底面ABCD内(包括边界)的一个动点,若MP∥平面A1BC1,则异面直线MP与A1C1所成角的取值范围是()A.(0,π3] B.[π6,π3]C.[π3,π2] D.[π3,π)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021·广东广州三模)对于空间中的两条不同直线a,b和两个不同平面α,β,下列说法正确的是()A.若a⊥α,b⊥α,则a∥bB.若a⊥b,b⊥β,则a∥βC.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥bD.若a∥α,α⊥β,则a⊥β10.(2021·湖北荆门月考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段BC1上运动,下列结论正确的是()A.三棱锥A-D1PC的体积不变B.直线AP与平面ACD1所成角的大小不变C.直线AP与直线A1D所成角的大小不变D.二面角P-AD1-C的大小不变11.(2021·福建龙岩三模)在意大利,有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛,这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo,于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Trullo的屋顶,得到圆锥SO(其中S为顶点,O为底面圆心),母线SA的长为6 m,C是母线SA上靠近点S的三等分点.从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带,灯光带的最小长度为2√13 m.下面说法正确的是()A.圆锥SO 的侧面积为12π m 2B.过点S 的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18 m 2C.圆锥SO 的外接球的表面积为72π m 2D.棱长为√3 m 的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动12.(2021·新高考Ⅰ,12)在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=AA 1=1,点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则( )A.当λ=1时,△AB 1P 的周长为定值B.当μ=1时,三棱锥P-A 1BC 的体积为定值C.当λ=12时,有且仅有一个点P ,使得A 1P ⊥BP D.当μ=12时,有且仅有一个点P ,使得A 1B ⊥平面AB 1P三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021·辽宁大连期中)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为 .14.(2021·河北石家庄期末)如图,已知二面角A-EF-D 的大小为45°,四边形ABFE 与四边形CDEF 都是边长为1的正方形,则B ,D 两点间的距离是 .15.(2021·浙江绍兴二模)如图,在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 是棱A 1A 上的动点,N 是棱BC 的中点.当平面D 1MN 与平面ABCD 的夹角最小时,A 1M= .16.(2021·广东汕头二模)在菱形ABCD 中,AB=2,∠DAB=60°,E 为AB 的中点,将△ADE 沿DE 翻折成△A 1DE ,当三棱锥A 1-DEC 的体积最大时,三棱锥A 1-DEC 的外接球的表面积为 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021·广东韶关期中)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面ABB 1A 1,BCC 1B 1,ACC 1A 1的面积依次为16,12,20,E ,F 分别为A 1C 1,BC 的中点.求证:(1)平面ABE⊥平面BB1C1C;(2)C1F∥平面ABE.18.(12分)(2021·河北张家口一模)如图,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥EB,且PA=PB=3.(1)求证:CE∥平面PAD;PA,求直线PD与平面PCE所成角的正弦值.(2)若BE=1319.(12分)(2021·北京石景山区模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PD⊥底面ABCD,M为BC的中点,PB⊥AM.(1)求证:平面PAM⊥平面PBD;(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.20.(12分)(2021·山东淄博三模)如图①,在平面图形ABCD中,△ABD是边长为4的等边三角形,DB是∠ADC的平分线,且BD⊥BC,M为AD的中点,沿BM将△ABM折起,得到四棱锥A1-BCDM,如图②.图①图②(1)设平面A1BC与平面A1DM的交线为l,在四棱锥A1-BCDM的棱A1C上求一点N,使直线BN∥l;(2)若二面角A1-BM-D的大小为60°,求平面A1BD与平面A1CD的夹角的余弦值.21.(12分)(2021·湖南长沙模拟)如图,C是以AB为直径的圆上异于点A,B的点,平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F分别是PC,PB的中点,设平面AEF与平面ABC的交线为直线l.(1)求证:直线l⊥平面PAC.(2)直线l上是否存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF,直线EF所成的角互余?若存在,求出AQ的值;若不存在,请说明理由.22.(12分)(2021·重庆蜀都中学月考)如图①,在菱形ABCD 中,∠ABC=120°,动点E ,F 分别在边AD ,AB 上(不含端点),且存在实数λ,使EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,沿EF 将△AEF 向上折起得到△PEF ,使得平面PEF ⊥平面BCDEF ,如图②所示.图①图②(1)若BF ⊥PD ,设三棱锥P-BCD 和四棱锥P-BDEF 的体积分别为V 1,V 2,求V1V 2.(2)当点E 的位置变化时,二面角E-PF-B 是否为定值?若是,求出该二面角的余弦值;若不是,说明理由.答案及解析1.B解析由直线m垂直于平面α内的无数条直线不能推出m⊥α,但是由m⊥α一定能推出直线m垂直于平面α内的无数条直线,所以“直线m垂直于平面α内的无数条直线”是“m⊥α”的必要不充分条件.故选B.2.C解析连接AE,BE(图略),设AB=1,则PA=2,AE=√12+12-2×1×1×cos120°=√3,PE=√4+3=√7,BE=√3+1=2,PB=√4+1=√5.易知CD∥BE,所以∠PBE是直线CD与PB所成的角(或其补角).又cos∠PBE=2×2×√5=√510,所以直线CD与PB所成角的余弦值为√510.故选C.3.D解析如图,∵AD⊥平面ABB1A1,∴AD⊥A1B.又AB1⊥A1B,AB1∩AD=A,∴A1B⊥平面AB1D,∴A1B⊥B1D.同理BC1⊥B1D.又A1B∩BC1=B,∴B1D⊥平面A1BC1.又A1G⊂平面A1BC1,∴A1G⊥B1D.故G为线段BC1上任意一点.故选D.4.B解析由题意可知内层小圆锥底面半径最大为√22-12=√3,所以充氮区的体积最小为12×43π×23+13π×22×3-13π×(√3)2×4=16π3.故选B.5.C解析依题意,圆柱O1O2的底面半径r=1,高h=2,所以圆柱O1O2的表面积S=2πr·h+2πr2=4π+2π=6π.故选C.6.A解析设球心O到截面的距离为d,截面圆的半径为r,由V O-ACM=V M-AOC,得1 3·S△ACM·d=√23S△AOC.因为S△ACM=12×2√2×√3=√6,S△AOC=12×2√2×1=√2,所以d=√63.又d2+r2=1,所以r=√33,所以平面AMC截球O所得截面的面积为πr2=π3.故选A.7.B 解析 设AP=AB=1,以A 为原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图所示,则P (0,0,1),D (0,1,0),C (1,1,0),所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1). 设平面CDP 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y -z =0,m ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =y -z =0,取y=1,则x=0,z=1,所以m =(0,1,1)为平面CDP 的一个法向量.易知n =(0,1,0)为平面ABP 的一个法向量.设平面ABP 与平面CDP 的夹角为θ,则cos θ=|m ·n ||m ||n |=√2×1=√22.故选B .8.C 解析 如图,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,设AB=2,则B (2,2,0),A 1(2,0,2),C 1(0,2,2),M (0,0,1),取AD 的中点E ,DC 的中点F ,连接ME ,EF ,MF ,则E (1,0,0),F (0,1,0).因为ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-2)=2ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以C 1B ∥ME.同理EF ∥A 1C 1.又ME ⊄平面A 1BC 1,C 1B ⊂平面A 1BC 1,所以ME ∥平面A 1BC 1.同理MF ∥平面A 1BC 1.又MF ∩ME=M ,所以平面MEF ∥平面A 1BC 1.因为P 是底面ABCD 内(包括边界)的一个动点,MP ∥平面A 1BC 1,所以点P 在线段EF 上.因为EF ∥A 1C 1,所以异面直线MP 与A 1C 1所成的角即是直线MP 与EF 所成的角.当MP ⊥EF 时,异面直线MP 与A 1C 1所成的角最大为π2,当点P 与点E 或点F 重合时,异面直线MP 与A 1C 1所成的角最小为π3.故所求角的取值范围为[π3,π2].9.AC 解析 对于A,由线面垂直的性质定理知A 正确;对于B,若a ⊥b ,b ⊥β,则a ∥β或a ⊂β,所以B 错误;对于C,由a ⊥α,α⊥β,可知a ∥β或a ⊂β,又b ⊥β,所以a ⊥b ,所以C 正确;对于D,若a ∥α,α⊥β,则a ∥β或a ⊂β或a 与β相交,所以D 错误.故选AC .10.ACD 解析 对于A,因为BC 1∥平面AD 1C ,所以BC 1上任意一点到平面AD 1C 的距离都相等,所以三棱锥A-D 1PC 的体积不变,故A 正确;对于B,因为BC 1∥平面AD 1C ,所以点P 到平面ACD 1的距离不变,但AP 的长度随着点P 的移动而变化,所以直线AP 与平面ACD 1所成角的大小会改变,故B 错误;对于C,因为直线A 1D ⊥平面ABC 1D 1,AP ⊂平面ABC 1D 1,所以A 1D ⊥AP ,所以直线AP 与直线A 1D 所成角的大小不变;故C 正确;对于D,二面角P-AD 1-C 也就是二面角B-AD 1-C ,其大小不变,故D 正确.故选ACD .11.AD 解析 如图,设圆锥底面半径为r m,将圆锥侧面展开得到扇形ASA',在△A'SC 中,A'S=6 m,SC=2 m,A'C=2√13 m,则cos ∠A'SC=36+4-522×6×2=-12,所以∠A'SC=2π3,所以2πr=2π3×6=4π,r=2,所以圆锥的侧面积为π×2×6=12π(m 2),故A 正确.在△ASB 中,cos ∠ASB=SA 2+SB 2-AB 22SA ·SB=79,sin ∠ASB=√1-4981=4√29,易知过点S 的平面截此圆锥所得截面面积最大为S △SAB =12SA·SB·sin ∠ASB=12×6×6×4√29=8√2(m 2),故B 错误.设圆锥SO 的外接球的半径为R m,则R 2=(SO-R )2+r 2,又SO=√SA 2-r 2=√36-4=4√2,所以R 2=(4√2-R )2+4,解得R=9√24,所以圆锥SO 的外接球的表面积为4πR 2=81π2(m 2),故C 错误.设圆锥SO 的内切球的半径为t m,则4√2-t=13,解得t=√2,设棱长为√3 m 的正四面体的外接球的半径为r 1 m,将该正四面体放在棱长为√62的正方体中,可知该正四面体的外接球也是该正方体的外接球,易知r 1=12√3×(√62)2=3√24,因为r 1<t ,所以棱长为√3 m 的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动,故D 正确.故选AD . 12.BD 解析图①A 项中,当λ=1时,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +u BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =u BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故点P 在线段CC 1(包括端点)上,如图①所示.在△AB 1P 中,|AB 1|=√2,|AP|=√1+u 2,|B 1P|=√1+(1-u )2, 故△AB 1P 的周长L=|AB 1|+|AP|+|B 1P|不为定值,故A 错误;图②B 项中,当u=1时,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故点P 在线段B 1C 1(包括端点)上,如图②所示.由图②可知B 1C 1∥平面A 1BC ,即B 1C 1上的每一点到平面A 1BC 的距离都相等,因此三棱锥P-A 1BC 的体积为定值,故B 正确;图③C 项中,当λ=12时,分别取线段BC ,B 1C 1的中点D ,D 1,连接DD 1,可知点P 在线段DD 1(包括端点)上,如图③所示.取AC 的中点O ,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ,则B √32,0,0,C 0,12,0,A 10,-12,1,P (√34,14,u),从而A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√34,34,u -1),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√34,14,u), 由A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP⃗⃗⃗⃗⃗ =u (u-1)=0,得u=0或u=1. 当点P 与点D 或D 1重合时,满足A 1P ⊥BP ,故C 错误;D 项中,当u=12时,分别取线段BB 1,CC 1的中点M ,N ,连接MN ,可知点P 在线段MN (包括端点)上,如图④所示.图④建系同选项C,则A 0,-12,0,A 10,-12,1,B √32,0,0,P √32−√32λ,λ2,12,从而A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32,12,-1,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32−√32λ,λ2+12,12,四边形ABB 1A 1为正方形,显然A 1B ⊥AB 1. 要使A 1B ⊥平面AB 1P ,只需A 1B ⊥AP ,即A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =12−λ2=0,解得λ=1. 当且仅当点P 与点N 重合时,A 1B ⊥平面AB 1P ,故D 正确. 综上所述,选BD .13.39π 解析 ∵体积V=13π×62·h=30π,∴高h=52,∴母线长l=√ℎ2+r 2=√(52)2+62=132,∴S 侧=πrl=π×6×132=39π. 14.√3-√2 解析 ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|FE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|ED ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ .由题意可知|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ED ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos 135°=-√22,∴|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3-√2.故B ,D 两点间的距离是√3-√2. 15.85 解析 如图,建立空间直角坐标系,则N (2,4,0),D 1(0,0,4),设M (4,0,a )(0≤a ≤4),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,-a ),D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4,-4).设平面D 1MN 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n·MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n·D1N⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2x+4y-az=0,2x+4y-4z=0,解得{x=(4-a)z4,y=(a+4)z8,令z=8,则x=8-2a,y=a+4,所以n=(8-2a,a+4,8)为平面D1MN的一个法向量.易知m=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.设平面D1MN与平面ABCD的夹角为θ,则cos θ=|m·n||m||n|=√(8-2a)+(a+4)+64=√5a2-24a+144,当a=125时,cos θ取最大值,则θ取最小值,所以A1M=4-125=85.16.8π解析如图,由余弦定理,得DE=√AD2+AE2-2AD·AEcos60°=√3,CE=√BE2+BC2-2BE·BCcos(180°-60°)=√7,所以AE2+DE2=AD2,DC2+DE2=CE2,即AE⊥DE,DC⊥DE.分别取CE,A1C的中点F,M,连接FM,则F为Rt△DEC的外心,因为△DEC的面积为定值,所以当平面A1DE⊥平面DEC时,点A1到平面DEC的距离最大,此时三棱锥A1-DEC的体积最大,又A1E⊥DE,所以A1E⊥平面DEC.由F,M分别为CE,A1C的中点,得FM∥A1E,所以FM⊥平面DEC,易知M是三棱锥A1-DEC的外接球的球心.因为A1C2=A1E2+CE2=1+7=8,所以所求外接球的表面积S=4π(A1C2)2=8π.17.证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,∴BB1⊥AB.∵侧面ABB1A1,BCC1B1,ACC1A1的面积依次为16,12,20,∴AB∶BC∶AC=4∶3∶5,∴AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC.又BB1∩BC=B,∴AB⊥平面BB1C1C,又AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面BB1C1C.(2)如图,取AB的中点G,连接EG,GF.∵G,F分别为AB,BC的中点,∴GF∥AC,GF=12AC.∵E为A1C1的中点,∴EC1=12A1C1=12AC.又A 1C 1∥AC ,∴EC 1∥GF ,EC 1=GF ,∴四边形EGFC 1为平行四边形,∴C 1F ∥EG.又C 1F ⊄平面ABE ,EG ⊂平面ABE ,∴C 1F ∥平面ABE. 18.(1)证明 因为四边形ABCD 是正方形,所以BC ∥AD.又AD ⊂平面PAD ,BC ⊄平面PAD ,所以BC ∥平面PAD. 同理EB ∥平面PAD.又BC ∩EB=B ,所以平面EBC ∥平面PAD. 又CE ⊂平面EBC ,所以CE ∥平面PAD.(2)解 以A 为原点,AD ,AB ,AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.因为PA=AB=3,所以BE=13PA=1,所以P (0,0,3),D (3,0,0),C (3,3,0),E (0,3,1), 所以PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3,-3),PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,-2). 设平面PCE 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{m ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +3y -3z =0,m ·PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3y -2z =0,得{x =z3,y =2z 3,令z=3,则x=1,y=2,所以m =(1,2,3)为平面PCE 的一个法向量. 设直线PD 与平面PCE 所成的角为θ, 则sin θ=|cos <PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >|=|PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||m |=3√2×√14=√77,所以直线PD 与平面PCE 所成角的正弦值为√77. 19.(1)证明 因为PD ⊥底面ABCD ,AM ⊂平面ABCD ,所以PD ⊥AM.又PB ⊥AM ,PB ∩PD=P ,所以AM ⊥平面PBD. 又AM ⊂平面PAM ,所以平面PAM ⊥平面PBD. (2)解 由(1)可知AM ⊥平面PBD ,所以AM ⊥BD ,所以△DAB ∽△ABM.设BM=x ,则AD=2x ,由BMAB =ABAD ,即x1=12x ,得2x 2=1,解得x=√22,所以AD=√2.因为PD ⊥底面ABCD ,所以四棱锥P-ABCD 的体积为13×1×√2×1=√23.20.解 (1)如图,延长CB ,DM 相交于点E ,连接A 1E.因为点A 1,E 既在平面A 1BC 内,又在平面A 1DM 内,所以直线A 1E 即为平面A 1BC 与平面A 1DM 的交线l.因为DB 是∠ADC 的平分线,且BD ⊥BC ,所以B 为EC 的中点. 取A 1C 的中点N ,连接BN ,则BN ∥A 1E ,即BN ∥l. 故当N 为棱A 1C 的中点时,BN ∥l.(2)由题意可知BM ⊥A 1M ,BM ⊥MD ,则∠A 1MD 为二面角A 1-BM-D 的平面角,所以∠AMD=60°.又A 1M=MD ,所以△A 1MD 为等边三角形. 取MD 的中点O ,连接A 1O ,则A 1O ⊥MD.由BM ⊥A 1M ,BM ⊥MD ,A 1M ∩MD=M ,可知BM ⊥平面A 1MD ,所以BM ⊥A 1O. 又BM ∩MD=M ,所以A 1O ⊥平面BCDM. 如图,建立空间直角坐标系.则D (-1,0,0),A 1(0,0,√3),C (-5,4√3,0),B (1,2√3,0),所以DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,4√3,0),DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3,0). 设平面A 1CD 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +√3z =0,-4x +4√3y =0, 令z=-√3,则x=3,y=√3,所以m =(3,√3,-√3)为平面A 1CD 的一个法向量. 设平面A 1BD 的法向量为n =(a ,b ,c ),则{n ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +√3c =0,2a +2√3b =0, 令c=-√3,则a=3,b=-√3,所以n =(3,-√3,-√3)为平面A 1BD 的一个法向量. 设平面A 1BD 与平面A 1CD 的夹角为θ, 则cos θ=|cos <m ,n >| =√3×√3)√3)√3)|√3+(√3)+(-√3)×√3+(-√3)+(-√3)=35,所以平面A 1BD 与平面A 1CD 的夹角的余弦值为35.21.(1)证明 ∵E ,F 分别是PC ,PB 的中点,∴BC ∥EF.又EF ⊂平面AEF ,BC ⊄平面AEF ,∴BC ∥平面AEF. 又BC ⊂平面ABC ,平面AEF ∩平面ABC=l ,∴BC ∥l.∵BC ⊥AC ,平面PAC ∩平面ABC=AC ,平面PAC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,∴BC ⊥平面PAC.∴l ⊥平面PAC.(2)解 如图,建立空间直角坐标系,则A (2,0,0),B (0,4,0),P (1,0,√3),E 12,0,√32,F 12,2,√32.所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-32,0,√32),EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0). 由题意可设Q (2,y ,0),平面AEF 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则{AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =-32x +√32z =0,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =2y =0,取z=√3,则x=1,y=0,所以m =(1,0,√3)为平面AEF 的一个法向量. 又PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,y ,-√3),所以|cos <PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF⃗⃗⃗⃗⃗ >|=2√4+y =√4+y ,|cos <PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >|=2√4+y =√4+y ,依题意,|cos <PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|cos <PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >|,解得y=±1.故直线l 上存在点Q ,使直线PQ 分别与平面AEF ,直线EF 所成的角互余,此时AQ=1.22.解 (1)取EF 的中点G ,连接PG.因为EF⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EF ∥BD ,所以PE=PF , 所以PG ⊥EF.又平面PEF ⊥平面BCDEF ,平面PEF ∩平面BCDEF=EF ,PG ⊂平面PEF ,所以PG ⊥平面BCDEF.连接GC ,由题意可知GC ⊥EF.以G 为坐标原点,GF ,GC ,GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.设菱形的边长为2,则F (λ,0,0),B (1,√3(1-λ),0),P (0,0,√3λ),D (-1,√3(1-λ),0),所以FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,√3(1-λ),0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-√3(1-λ),√3λ).因为BF ⊥PD ,所以FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =1-λ-3(1-λ)2=0,解得λ=23或λ=1(舍去).设△BCD 的面积为S ,则S △AEF =49S ,所以S 四边形BDEF =59S.所以V 1V 2=S △BCD S 四边形BDEF=S 59S =95.(2)二面角E-PF-B 是定值.证明如下:由(1)知n 1=(0,1,0)为平面PEF 的一个法向量. 设平面PFB 的法向量为n 2=(x ,y ,z ),因为FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,√3(1-λ),0),FP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,0,√3λ), 所以{n 2·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·FP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{(1-λ)x +√3(1-λ)y =0,-λx +√3λz =0,取y=1,则x=-√3,z=-1,所以n 2=(-√3,1,-1)为平面PFB 的一个法向量. 设二面角E-PF-B 的平面角为θ,所以|cos θ|=|cos <n 1,n 2>|=1×√5=√55.由图可知θ为钝角,所以二面角E-PF-B 为定值,其余弦值来为-√55.。
高考数学空间向量与立体几何解答题专题复习题
高考数学空间向量与立体几何解答题专题复习题1．已知空间三点(023)(216)(115)A B C −−，，，，，，，，．（1）求以AB AC ，为边的平行四边形的面积．（2）若=a a 分别与AB AC ，垂直，求向量a 的坐标．2．三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都相等，∠A 1AB =∠A 1AC =60∘，点M 为△ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点N ，连接A 1M ．设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ．（1）用a ,b ⃗ ,c 表示A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）证明：A 1M ⊥AB ．第2题图 第3题图3．在正方体1111D C B A ABCD −中，如图E 、F 分别是1BB ，CD 的中点．（1）求证：⊥F D 1平面ADE ；（2）1,EF CB 的夹角． 4．在几何体ABCD P −中，底面ABCD 为矩形，侧棱⊥PA 底面ABCD ，3=AB ，1=BC ，2=PA ，E 为PD 的中点．（1）求直线AC 与PB 所成角的余弦值．（2）在侧面PAB 内找一点N ，使⊥NE 平面PAC ,并求出N 点到AB 和AP 的距离．第4题图 第5题图5．在底面为矩形的四棱锥P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ．A B C DP（1）证明：AB PD ⊥．（2）若,90PA PD AB APD ==∠=︒，设Q 为PB 中点，求直线AQ 与平面PBC 所成角的余弦值．6．如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（1）求证：11C M B D ⊥．（2）求二面角1B B E D −−的正弦值．（3）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．第6题图 第7题图 第8题图7．在四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，M 是线段PC 的中点.已知2PD CD ==，1AD =．（1）求证：//PA 平面BDM（2）求二面角M BD C −−的余弦值．（3）直线BD 上是否存在点N ，使得MN 与PA 垂直？若存在，求MN 的长；若不存在，请说明理由．8．在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，点M 是棱PD 上一点，且AB ＝BC ＝2，AD ＝P A ＝4．（1）若PM ：MD ＝1:2，求证：PB ∥平面ACM ．（2）求二面角A ﹣CD ﹣P 的正弦值．（3）若直线AM 与平面PCD ，求MD 的长．。
高考数学立体几何多选题练习题含答案
高考数学立体几何多选题练习题含答案一、立体几何多选题1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||5AE =，AC DF ⊥，则（ ）A ．点E 的轨迹是一个圆B ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 21-D ．AE 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为153015【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =+=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；对于C:在平面1111D C B A 内，1A 到直线11B D 的距离为2,d=当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正确； 对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：22|||sin |cos ,|||||5315n AE n AE n AE πθα⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4πθ=时，sin α2215301515=， 故D 正确故选：CD 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．2．已知球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，平面11A C B 截球O 的面积为24π，下列命题中正确的有（ ）A ．异面直线AC 与1BC 所成的角为60°B ．1BD ⊥平面11AC B C ．球O 的表面积为36πD ．三棱锥111B AC B -的体积为288 【答案】AD 【分析】连接11A C ，1A B ，通过平移将AC 与1BC 所成角转化为11A C 与1BC 所成角可判断A ；通过反证法证明B ；由已知平面11A C B 截球O 的面积为24π求出正方体棱长，进而求出内切球的表面积可判断C ；利用等体积法可求得三棱锥111B AC B -的体积可判断D. 【详解】对于A ，连接11A C ，1A B ，由正方体1111ABCD A B C D -，可知11//A C AC ，11AC B ∴∠为异面直线AC 与1BC 所成的角，设正方体边长为a，则1111AC A B BC ==，由等边三角形知1160A C B ∠=，即异面直线AC 与1BC 所成的角为60，故A 正确； 对于B ，假设1BD ⊥平面11A C B ，又1A B ⊂平面11A C B ，则11BD B A ⊥，设正方体边长为a ，则11A D a =，1A B =，1BD =，由勾股定理知111A D B A ⊥，与假设矛盾，假设不成立，故1BD 不垂直于平面11A C B ，故B 错误； 对于C ，设正方体边长为a，则11AC =，内切球半径为2a，设内切球的球心O 在面11A C B 上的投影为O '，由等边三角形性质可知O '为等边11A C B △的重心，则11123O A AC ='==，又1OA =，∴球心O 到面11A C B 的距离6a ==，又球心与截面圆心的连线垂直于截面，∴=，又截面圆的面积2246S a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=，解得12a =，则内切球半径为6，内切球表面积214644S ππ==⨯，故C 错误；对于D ，由等体积法知111111111111212122812383B A C B B A C B A C B V V S a --==⨯⨯=⨯⨯=，故D 正确； 故选：AD【点睛】关键点点睛：本题考查了正方体和它的内切球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，从而求出正方体的棱长，进而求出内切球的表面积及三棱锥的体积，考查了空间想象能力，数形结合的思想，属于较难题.3．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，18AA =，点P 在线段11A C 上，M 为AB 的中点，则（ ） A ．BD ⊥平面PACB ．当P 为11AC 的中点时，四棱锥P ABCD -外接球半径为72C ．三棱锥A PCD -体积为定值D ．过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为4π 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥，求出该四棱锥的外接球半径，可判断B 选项的正误；利用等体积法可判断C 选项的正误；计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为AB BC =，所以，矩形ABCD 为正方形，所以，BD AC ⊥， 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD AA ∴⊥，1AC AA A ⋂=，AC 、1AA ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，A 选项正确；对于B 选项，当点P 为11A C 的中点时，PA ===同理可得PB PC PD ===因为四边形ABCD 为正方形，所以，四棱锥P ABCD -为正四棱锥， 取AC 的中点N ，则PN 平面ABCD ，且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN上，设该四棱锥的外接球半径为R ，由几何关系可得222PN R AN R -+=， 即2288R R -+=，解得92R =，B 选项错误； 对于C 选项，2114822ACDSAD CD =⋅=⨯=， 三棱锥P ACD -的高为18AA =，因此，116433A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△，C 选项正确；对于D 选项，设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ，则E 为1BD 的中点， 连接EN 、MN ，则1142EN DD ==，122MN AD ==， E 、N 分别为1BD 、BD 的中点，则1//EN DD ， 1DD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，EN MN ∴⊥，EM ∴==过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α，点E 到平面α的距离为d ，直线EM 与平面α所成的角为θ，则sin d EM θθ==≤ 当且仅当2πθ=时，等号成立，长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R '==，所以，截面圆的半径2r =≥=，因此，截面圆面积的最小值为4π，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=.动点M 在侧面11ADD A 内(包含边界)运动，且满足直线//BM 平面1D EF ，则（ ）A ．过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为等腰梯形B ．三棱锥1D EFM -的体积为定值C ．动点MD ．过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面面积的最小值为【答案】BCD 【分析】由题做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，进而计算即可排除A 选项；根据//BM平面1D EF ，由等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEFV V V V ----===即可得B 选项正确；取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知M 的轨迹为线段HI ，故C 选项正确；过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，易知过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而得当H 位于点I 时，截面面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为S AB BE =⋅= 【详解】解：对于A 选项，如图，取BF 中点G ，连接1A G ，由点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=，故四边形11A D EG 为平行四边形，故11//AGD E ，由于在11A B G △，F 为1B G 中点，当N 为11A B 中点时，有11////NF A G D E ，故过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，此时12D N ==，EF ==1D EFN 不是等腰梯形，故A 选项错误；对于B 选项，三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积，由于//BM平面1D EF ，故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积，三棱锥1B D EF -的体积等于三棱锥1D BEF -的体积，而三棱锥1D BEF -的体积为定值，故B 选项正确； 对于C 选项，取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知1////HB AG NF ，1//BI D F ，由于1,HI BI I NFD F F ==，故平面//BHI 平面1D EF ，故M 的轨迹为线段HI ，故C 选项正确；对于D 选项，过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，则过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，易知当H 位于点I 时，平行四边形BPOE 边BP 最小，且为AB ，此时截面平行四边形BPOE 的面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为S AB BE =⋅=D 选项正确； 故选：BCD【点睛】本题解题的关键在于根据题意，依次做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而讨论AD选项，通过//BM平面1D EF ，并结合等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确，通过构造面面平行得M 的轨迹为线段HI ，进而讨论C 选项，考查回归转化思想和空间思维能力，是中档题.5．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α.下面说法正确的是（）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为3232⎣⎦B ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C ．点M 为1CC 的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点 【答案】AC 【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可判断A 选项的正误；证明出1AC ⊥平面1A BD ，分别取棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ，比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小，可判断B 选项的正误；利用空间向量法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ，判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误；将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC ，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤，AM ⊥平面α，则AM 为平面α的一个法向量，且()2,2,AM a =-，()0,2,0AB =， 2232cos ,,32288AB AM AB AM AB AMa a ⋅<>===⎢⋅⨯++⎣⎦， 所以，直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为32⎣⎦，A 选项正确； 对于B 选项，当M 与1CC 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD CC ∴⊥，四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥，1CC AC C =，BD ∴⊥平面1ACC ，1AC ⊂平面1ACC ，1AC BD ∴⊥，同理可证11AC A D ⊥， 1A D BD D ⋂=，1AC ∴⊥平面1A BD ，易知1A BD 是边长为22的等边三角形，其面积为()12322234A BD S =⨯=△，周长为22362⨯=.设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点，易知六边形EFQNGH 是边长为2的正六边形，且平面//EFQNGH 平面1A BD ，正六边形EFQNGH 的周长为62，面积为()236233⨯⨯=，则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，B 选项错误； 对于C 选项，设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ，点()0,2,1M ，()2,2,1AM =-，AM ⊥平面α，DE ⊂平面α，AM DE ∴⊥，即220AM DE b ⋅=-+=，得1b =，()1,0,2E ∴，所以，点E 为棱11A D 的中点，同理可知，点F 为棱11A B 的中点，则()2,1,2F ，()1,1,0EF =，而()2,2,0DB =，12EF DB ∴=，//EF DB ∴且EF DB ≠， 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=，()()()2222212205BF =-+-+-=，DE BF ∴=，所以，四边形BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；对于D 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，如下图所示：若AM MN +最短，则A 、M 、N 三点共线，11//CC DD ，2222222MC AC DN AD ∴===+， 11222MC CC =≠，所以，点M 不是棱1CC 的中点，D 选项错误.故选：AC. 【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.6．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a，a ⎡∈⎣，()Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,22R λλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,2D R λλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确； 1AR A C ⊥，则()()12,222212440AR AC λλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=， 14λ=，此时113313,,02222224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =，则4433R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14233D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(3,n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.7．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（ ）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD 'B ．存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC ．若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，||104A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ23【答案】ABC 【分析】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即可判断出结论. 对于C ，12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+，结合余弦定理即可得出.对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确. 对于C.12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：可得AM ⊥平面BCDE ， 则22223111010()1()21cos120222A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠，因此C 不正确；对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得33λ=时，函数()f λ取得最大值()31231339f λ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，因此D 正确. 综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.8．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论中正确的是（ ）A ．11A C ⊥平面11BB D D B ．1BD ⊥平面1ACBC ．1BD 与底面11BCC B 2 D ．过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条 【答案】ABD 【分析】由直线与平面垂直的判定判断A 与B ；求解1BD 与底面11BCC B 所成角的正切值判断C ；利用空间向量法可判断D ． 【详解】对于A 选项，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111BB A C ⊥， 由于四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥， 1111BB B D B =，因此，11A C ⊥平面11BB D D ，故A 正确；对于B 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，1D DD BD =，AC ∴⊥平面11BB D D ，1BD ⊂平面11BB D D ，1AC BD ∴⊥，同理可得11BD B C ⊥， 1ACB C C =，1BD ∴⊥平面1ACB ，故B 正确；对于C 选项，由11C D ⊥平面11BCC B ，得11C BD ∠为1BD 与平面11BCC B 所成角， 且111112tan C D C BD BC ∠==，故C 错误； 对于D 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,0,0A 、()0,0,0D 、()0,1,0C 、()11,1,1B ，()1,0,0DA =，()11,0,1CB =，设过点1A 且与直线DA 、1CB 所成角的直线的方向向量为()1,,m y z =， 则221cos ,21DA m DA m DA my z ⋅<>===⋅++， 1122111cos ,221CB m zCB m CB my z ⋅+<>===⋅⋅++， 整理可得2222341y z y z z ⎧+=⎨=++⎩，消去y 并整理得2210z z +-=，解得12z =-12z =-由已知可得3z ≤，所以，12z =-+22y =± 因此，过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．9．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）A ．四边形1BFD E 有可能是梯形B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形C ．四边形1BFDE 有可能垂直于平面11BB D D D ．四边形1BFD E 面积的最小值为62【答案】BCD 【分析】四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 6【详解】过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ， 如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E 平面11ABB A BE =.平面1BFD E平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为16232⨯⨯=，因此D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.10．如图，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A －SBE 底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是（ ）A ．AS ⊥CDB ．正四棱锥S －BCDE 的外接球半径为22C ．正四棱锥S －BCDE 的内切球半径为212a ⎛- ⎝⎭D ．由正四棱锥S －BCDE 与正三棱锥A －SBE 拼成的多面体是一个三棱柱 【答案】ABD 【分析】取BE 中点H ，证明BE ⊥平面SAH 即可证AS CD ⊥；设底面中心为1O ，有1122O B O S a ==，可求得球半径为22a ；用等体积法求内切球半径即可判断；由////SA DE BC 且==SA DE BC 可知多面体是一个三棱柱.【详解】如图所示：A 选项：取BE 中点H 连接,AH SH ，正三棱锥A SBE -中，,AH BE SH BE ⊥⊥ 又AHSH H =，所以BE ⊥平面SAH ，则BE AS ⊥，又//BE CD 所以AS CD ⊥ ，故A 正确；B 选项：设底面中心为1O ，球心为O 半径为R ，因为正四棱锥S －BCDE 外接球球心在1O S 上，所以OS OB R ==，因为，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a所以1122O B O S ==，由()22211OB O B O S OS =+- 得2222222R a R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得22R =，故B 正确； C 选项：设内切球半径为r ，易求得侧面面积为2213sin 23S a π=⋅=， 由等体积法得22212113432334a a a r a r ⋅=⋅+⋅⋅⋅ 解得624a r = ，故C 错；D 选项：取SE 中点F ，连结AF ，DF ，BF ，则BFD ∠和BFA ∠分别是D SE B --和A SE B --的二面角的平面角，由)22222223321cos 2332aBF DF BD BFD BF DF ⎫⎫+-⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===-⋅⎫⎪⎝⎭2222222331cos 2332a AF BF BA AFD AF BF ⎫⎫+-⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⎫⎪⎝⎭，故BFD ∠与BFA ∠互===，则ASDE为平行四边形，故补，所以ASDE共面，又因为AS AE ED SDAS ED BC故正四棱锥S－BCDE与正三棱锥A－SBE拼成的多面体是一个三棱柱，所以////D正确故选：ABD【点睛】求外接球半径的常用方法：（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.。
高考数学(人教a版,理科)题库：立体几何中的向量方法(二)(含答案)
第8讲 立体几何中的向量方法（二）一、选择题1．两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )A.32B.22 C.3 D ．3 2 解析 两平面的一个单位法向量n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，22，故两平面间的距离d＝|OA →·n 0|＝22.答案 B2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析 设l 与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12，∴θ＝30°. 答案 A3．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )．A.1010B.3010C.21510D.31010解析 建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0，2,2)． BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)， cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→||AE →|＝3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 答案 B4．已知直二面角αl β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足，若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则CD ＝( )．A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 解析 如图，建立直角坐标系D xyz ，由已知条件B (0,0,1)，A (1，t,0)(t ＞0)， 由AB ＝2解得t ＝ 2. 答案 C5．如图，在四面体ABCD 中，AB ＝1，AD ＝23，BC ＝3，CD ＝2.∠ABC ＝∠DCB ＝π2，则二面角A －BC －D 的大小为( )．A.π6 B.π3 C.5π3D.5π6解析 二面角A －BC －D 的大小等于AB 与CD 所成角的大小.AD →＝AB →＋BC →＋CD →.而AD →2＝AB →2＋CD →2＋BC →2－2|AB →|·|CD →|·cos 〈AB →，CD →〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos 〈AB →，CD →〉，∴cos 〈AB →，CD →〉＝12，∴AB 与CD 所成角为π3，即二面角A －BC －D 的大小为π3.故选B. 答案 B6．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( )A. 2B. 3 C ．2D.22解析 如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,0,1)设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ＝(1,0，a )，1CB ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·1CB ＝0m ·CD ＝0⇒⎩⎨⎧2y ＋2z ＝0x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n (0,1,0)，则由cos60°＝m·n |m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝ 2. 答案 A 二、填空题7．若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3,3)，则l 与α所成角的正弦值为________． 解析 cos 〈n ，a 〉＝n ·a |n ||a |＝－832×22＝－41133.又l 与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝41133. 答案41133.8．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________.解析 由已知得89＝a·b |a ||b |＝2－λ＋45＋λ2·9， ∴8 5＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255. 答案 －2或2559．已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值为________． 解析 如图，建立直角坐标系D －xyz ，设DA ＝1由已知条件A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，23，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，13，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，23，设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 面AEF 与面ABC 所成的二面角为θ， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－3) 平面ABC 的法向量为m ＝(0,0，－1) cos θ＝cos 〈n ，m 〉＝31111，tan θ＝23. 答案 2310．在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成角的正切值是________． 解析 如图所示建立空间直角坐标系，设OA ＝OB ＝OC ＝1，则A (1,0,0)，B (0，1,0)，C (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，故AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0. 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AB →，n ⊥AC →，得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，－x＋z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1,1,1)．故cos 〈n ，OM →〉＝13×22＝63， 所以OM 与平面ABC 所成角的正弦值为63，其正切值为 2. 答案2三、解答题11．如图，四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两垂直，AB ＝BC ＝BD ＝4，E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点． (1)求异面直线AB 与EF 所成角的余弦值； (2)求E 到平面ACD 的距离；(3)求EF 与平面ACD 所成角的正弦值．解 如图，分别以直线BC 、BD 、BA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A (0,0,4)、C (4,0，0)、D (0,4，0)，E (2,0,0)、F (0，2,2)． (1)∵AB →＝(0,0，－4)，EF →＝(－2,2,2)， ∴|cos 〈AB →，EF →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－84×23＝33， ∴异面直线AB 与EF 所成角的余弦值为33. (2)设平面ACD 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·CD →＝0，∵AC →＝(4,0，－4)，CD →＝(－4,4,0)，∴⎩⎨⎧4x －4＝0，－4x ＋4y ＝0， ∴x ＝y ＝1，∴n ＝(1,1,1，)．∵F ∈平面ACD ，EF →＝(－2,2,2)，∴E 到平面ACD 的距离为d ＝|n ·EF →||n |＝23＝233.(3)EF 与平面ACD 所成角的正弦值为|cos 〈n ，EF →〉|＝23×23＝1312．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6. (1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)求二面角P －BD －A 的大小． (1)证明 如图，建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，B (23，0,0)， C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，∴AP →＝(0,0,3)，AC →＝(23，6,0)， BD →＝(－23，2,0)．∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC . 又∵P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥面P AC .(2)解 设平面ABD 的法向量为m ＝(0,0,1)， 设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·BD →＝0，n ·BP →＝0.∵BP →＝(－23，0,3)，∴⎩⎨⎧－23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0解得⎩⎨⎧y ＝3x ，z ＝233x .令x ＝3，则n ＝(3，3,2)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12.∴二面角P －BD －A 的大小为60°.13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . (1)证明：DC 1⊥BC .(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点， 故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC . 而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD . 因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 由(1)知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1A 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向，|CA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 C －xyz .由题意知A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2)．则A 1D →＝(0,0，－1)，BD →＝(1，－1,1)，DC 1→＝(－1,0,1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·A 1D →＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋z ＝0，z ＝0，可取n ＝(1,1,0)． 同理，设m ＝(x ，y ，z )是平面C 1BD 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·DC 1→＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，可取m ＝(1,2,1)． 从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝32. 故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.14．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点． (1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．解方法一：(1)证法一：取CE的中点G，连接FG、BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝12 DE，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝12DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB，∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG. ∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.证法二：取DE的中点M，连接AM、FM，∵F为CD的中点，∴FM∥CE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB.又AB＝12DE＝ME，∴四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE. ∵FM、AM⊄平面BCE，CE、BE⊂平面BCE，∴FM∥平面BCE，AM∥平面BCE.又FM∩AM＝M，∴平面AFM∥平面BCE.∵AF⊂平面AFM，∴AF∥平面BCE.(2)证明：∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，故AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE . ∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE .(3)在平面CDE 内，过F 作FH ⊥CE 于H ，连接BH ， ∵平面BCE ⊥平面CDE ，∴FH ⊥平面BCE . ∴∠FBH 为BF 和平面BCE 所成的角．设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，则FH ＝CF sin45°＝22a ，BF ＝AB 2＋AF 2＝a 2＋3a2＝2a ，在Rt △FHB 中，sin ∠FBH ＝FH BF ＝24. ∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24. 方法二：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0.(1)证明：AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a,0，－a )，∵AF →＝12(BE →＋BC →)，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)证明：∵AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，CD →＝(－a ，3a,0)，ED →＝(0,0，－2a )，∴AF →·CD →＝0，AF →·ED →＝0，∴AF →⊥CD →，AF →⊥ED →. ∴AF →⊥平面CDE ，又AF ∥平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE .(3)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·BE →＝0，n ·BC →＝0可得x ＋3y ＋z ＝0,2x －z ＝0，取n ＝(1，－3，2)．又BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，－a ，设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则sin θ＝|BF →·n ||BF →|·|n |＝2a 2a ·22＝24.∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24.。
2024届高考(江西、广西、贵州、甘肃专用)数学大题必刷专项(立体几何)练习(附答案)
2024届高考（江西、广西、贵州、甘肃专用）数学大题必刷专项(立体几何）练习一、解答题1．（2023ꞏ安徽亳州ꞏ安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90ABC ∠=︒，122BC CD AB ===，PA BD ⊥.(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； (2)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.2．（2023ꞏ湖北黄冈ꞏ浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱台111-A B C ABC 中，112A B =，4AB AC ==，11AA CC ==13BB =，π2BAC ∠=．(1)证明：平面11A ACC ⊥平面ABC ；(2)设D 是BC 的中点，求平面11A ACC 与平面1A AD 夹角的余弦值．3．（2023ꞏ湖北恩施ꞏ校考模拟预测）如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD 均为正三角形，2AC BE ==，M 为线段CD上一点．(1)求证：DE AM ⊥；(2)若EM 与平面ACD 所成角为π3，求平面AMB 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值． 4．（2023ꞏ山东泰安ꞏ统考模拟预测）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，2,60AD SA SAB ==∠= ，45SAD ∠= ，平面SAD 与平面SBC 的交线为l .(1)求证：直线l 平行于平面ABCD ； (2)求二面角D SA B --的余弦值.5．（2023ꞏ山东泰安ꞏ统考模拟预测）如图1，在平行四边形ABCM 中，2AB BC ==，60MAD ∠=︒，D 为CM 的中点，12AF FC = ，AH HD = ，沿AD 将△MAD 翻折到PAD的位置，如图2，PF AC ⊥.(1)证明：//HF 平面PBD ；(2)求平面PBC 和平面PCD 的夹角.6．（2023ꞏ福建宁德ꞏ校考模拟预测）如图，已知多面体EACBD 中，EB ⊥底面ACBD ，EB =1，AB =2，其中底面由以AB 为直径的半圆ACB 及正三角形ABD 组成(1)若BC =1，求证:BC ∥平面ADE .(2)半圆AB 上是否存在点M ，使得二面角M AE D --是直二面角?若存在，求出AMBM的值；若不存在，请说明理由.7．（2023ꞏ福建厦门ꞏ统考模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形ABCD 为筝形，其对角线交点为,2O AB BD BC ===，将ABD △沿BD 折到A BD ' 的位置，形成三棱锥A BCD -'．(1)求B 到平面A OC '的距离；(2)当1A C '=时，在棱A D '上是否存在点P ，使得直线BA '与平面POC 所成角的正弦值为14？若存在，求A P A D ''的值；若不存在，请说明理由．8．（2023ꞏ安徽合肥ꞏ合肥市第六中学校考模拟预测）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以边AD 所在直线为旋转轴旋转2π3得到的，M 是BE 的中点．(1)设N 是 CF上的一点，且AN CD ⊥，求FDN ∠的大小； (2)当2AB =，4=AD 时，求二面角C AM F --的余弦值．9．（2023ꞏ辽宁ꞏ辽宁实验中学校考模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中AB AD ⊥，26DC AB AE ==，6AB =，2AD =．(1)在线段CD 上找出点F ，将四边形ADFE 沿EF 翻折，形成几何体A BE D CF ''-．若无论二面角A EF B '--多大，都能够使得几何体A BE D CF ''-为棱台，请指出点F 的具体位置（无需给出证明过程）．(2)在（1）的条件下，若二面角A EF B '--为直二面角，求棱台A BE D CF ''-的体积，并求出此时二面角B A D E ''--的余弦值．10．（2023ꞏ山西ꞏ校联考模拟预测）如图，斜四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为等腰梯形，且//AB CD ，点1A 在底面的射影点O 在四边形ABCD 内部，且1112,4,1,AD BC CD AA AB A O AA BC ======⊥.(1)求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；(2)在线段11B D 上是否存在一点M ，使得平面MBC 与平面ABCD夹角的余弦值为7，若存在，求111B MB D 的值；若不存在，请说明理由. 11．（2023ꞏ河北ꞏ统考模拟预测）在圆柱12O O 中，等腰梯形ABCD 为底面圆1O 的内接四边形，且1AD DC BC ===，矩形ABFE 是该圆柱的轴截面，CG 为圆柱的一条母线，1CG =.(1)求证：平面1O CG ∥平面ADE ；(2)设DP DE λ=，[]0,1λ∈，试确定λ的值，使得直线AP 与平面ABG 所成角的正弦值. 12．（2023ꞏ湖南长沙ꞏ长郡中学校考模拟预测）如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD CD ⊥，四边形CDEF 为平行四边形，对角线CE 和DF 相交于点H ，平面CDEF ⊥平面ABCD ，2BC AD =，60DCF ∠=o ，G 是线段BE 上一动点（不含端点）．(1)当点G 为线段BE 的中点时，证明：//AG 平面CDEF ；(2)若1,2AD CD DE ===，且直线DG 与平面CDEF 成45 角，求二面角E DG F --的正弦值．13．（2023ꞏ广东佛山ꞏ华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ，AB AD ⊥，22BC CD AB ===，E 为PC 中点.(1)在棱PD 上是否存在点Q ，使得//AQ 平面EBD ？说明理由；(2)若PC ⊥平面PAD ，PC PD =，求平面PAD 与平面EAB 所成角的余弦值.14．（2023ꞏ广东广州ꞏ广州六中校考三模）四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，22AB AD BC ===，60ABC ∠=︒，PA CD ⊥，PD AC ⊥，点E 是棱PD 上靠近点P 的三等分点．(1)证明：PA ⊥平面ABCD ；(2)若平面PAC 与平面EAC 的夹角的余弦值为10，求四棱锥P ABCD -的体积． 15．（2023ꞏ广东深圳ꞏ深圳中学校考模拟预测）如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =.DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===.(1)求平面EBC 与平面BCF 的夹角的正弦值；(2)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60︒，求线段DP 的长.16．（2023ꞏ广东深圳ꞏ统考模拟预测）在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB -、AC 、BC 边上的点，满足AE ：EB CF =：FA CP =：1PB =：2(如图1).将AEF △沿EF 折起到1A EF 的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连结11,A B A P (如图2)(1)求证：FP //平面1A EB ； (2)求证：1A E ⊥平面BEP ；(3)求直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小．17．（2023ꞏ江苏无锡ꞏ校联考三模）如图，已知在平面四边形ABCD 中，2AB BC ==，AC CD ==，=90ACD ∠︒，现将ABC 沿AC 翻折到PAC △的位置，使得2PD =.(1)求证：平面PAD ⊥平面ACD ；(2)点M 在线段CD 上，当二面角M AP D --的大小为6π时，确定M 点的位置.18．（2023ꞏ江苏常州ꞏ江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图，在三棱台ABC —111A B C 中，1111122BB B C C C BC AB BC ====⊥，，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .(1)证明：AB ⊥平面11BB C C ； (2)若二面角1B C C A --的大小是π6，求侧面11AAC C 与底面ABC 所成二面角的正弦值. 19．（2023ꞏ江苏苏州ꞏ模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知P 为圆锥的顶点，O 为底面的圆心，其母线长为6，边长为ABC 内接于圆锥底面，OD OP λ= 且1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.(1)证明：平面DBC ⊥平面DAO ；(2)若E 为AB 中点，射线OE 与底面圆周交于点M ，当二面角A DB C --的余弦值为519时，求点M 到平面BCD 的距离.20．（2023ꞏ辽宁沈阳ꞏ东北育才学校校考模拟预测）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11B D 上动点．(1)证明：CP 平面1A BD ；(2)当直线BP 与平面11A BCD D 到平面1A BP 的距离． 21．（2023ꞏ江苏盐城ꞏ盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G 为弧CD 的中点，且C ，E ，D ，G 四点共面.(1)证明：平面⊥BDF 平面BCG ；(2)若平面BDF 与平面ABG且线段AB 长度为2，求点G 到直线DF 的距离.22．（2023ꞏ重庆沙坪坝ꞏ重庆南开中学校考模拟预测）如图所示，正三棱柱111ABC A B C -中各条棱长均为2，点,,M N E 分别为棱1,,AC AA AB 的中点．(1)求异面直线MN 和CE 所成角的正切值； (2)求点B 到平面MEN 的距离．23．（2023ꞏ云南ꞏ校联考模拟预测）如图，正ABC 是圆柱底面圆O 的内接三角形，其边长为a .AD 是圆O 的直径，PA 是圆柱的母线，E 是AD 与BC 的交点，圆柱的轴截面是正方形.(1)记圆柱的体积为1V ，三棱锥-P ABC 的体积为2V ，求12V V ； (2)设F 是线段PE 上一点，且12FE PF =，求二面角A FC O --的余弦值. 24．（2023ꞏ黑龙江哈尔滨ꞏ哈尔滨三中校考模拟预测）在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB BC CC ==，点P 为棱11C D 上任意一点.(1)求证：平面11AAC C ⊥平面PBD ；(2)若点E 为棱1CC 上靠近点C 的三等分点，求点P 在棱11C D 上什么位置时，平面BDE 与平面PBD . 25．（2023ꞏ吉林ꞏ长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面,,ABC E F 分别是,PA PC 的中点．(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，证明：l ⊥平面PCB ；(2)设（1）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =．记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=．26．（2023ꞏ江苏ꞏ金陵中学校联考三模）如图，圆锥DO 中，AE 为底面圆O 的直径，AE AD =，ABC 为底面圆O 的内接正三角形，圆锥的高18DO =，点P 为线段DO 上一个动点.(1)当PO =PA ⊥平面PBC ；(2)当P 点在什么位置时，直线PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大.27．（2023ꞏ广东深圳ꞏ校考二模）如图1所示，等边ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC ，BC 边的中点．现将ABC 沿CD 折叠，如图2所示.(1)证明：CD EF ⊥；(2)折叠后若AB a =，求二面角A BD E --的余弦值.28．（2023ꞏ湖南邵阳ꞏ邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，在ABC 中，90B ?，P 为AB 边上一动点，//PD BC 交AC 于点D ，现将PDA 沿PD 翻折至PDA ' .(1)证明：平面CBA '⊥平面PBA '；(2)若24PB CB PD ===，且A P AP '⊥，线段A C '上是否存在一点E （不包括端点），使得锐二面角E BD C --的余弦值为14，若存在求出A E EC '的值，若不存在请说明理由.29．（2023ꞏ湖南衡阳ꞏ校考模拟预测）如图，ADM △是等腰直角三角形，AD DM ⊥，四边形ABCM 是直角梯形，AB BC ⊥，MC BC ⊥，且222AB BC CM ===，平面ADM ⊥平面ABCM ．(1)求证：AD BM ⊥；(2)若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，三棱锥M ADE -的体积为18? 30．（2023ꞏ浙江温州ꞏ统考二模）已知三棱锥D ABC -中，△BCD 是边长为3的正三角形，,AB AC AD AD ==与平面BCD(1)求证：AD BC ⊥；(2)求二面角D AC B --的平面角的正弦值．参考答案一、解答题1．（2023ꞏ安徽亳州ꞏ安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90ABC ∠=︒，122BC CD AB ===，PA BD ⊥.(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； (2)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析【详细分析】（1）由题意，利用勾股定理逆定理证明AD BD ⊥，由已知PA BD ⊥，证明BD ⊥平面PAD ，从而证明平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【过程详解】（1）四棱锥P ABCD -中，90ABC ∠=︒，122BC CD AB ===，则BD ==AD 4AB =， 222BD AD AB ∴+=，AD BD ∴⊥，又PA BD ⊥，且PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ， BD ∴⊥平面PAD ，又BD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，即平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,B，()C，P，所以()0,DB =uu ur，(PC =-，DP =，设平面PBD 的法向量为(),,n x y z=，则00n DB n DP ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令x =1z=-，所以)1n =-，设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则sin 248n PC n PCθ⋅===⨯⋅ ， 所以直线PC 与平面PBD.2．（2023ꞏ湖北黄冈ꞏ浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱台111-A B C ABC 中，112A B =，4AB AC ==，11AA CC ==13BB =，π2BAC ∠=．(1)证明：平面11A ACC ⊥平面ABC ；(2)设D 是BC 的中点，求平面11A ACC 与平面1A AD 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)23【详细分析】（1）由线面垂直证面面垂直，根据题中条件，在平面ABC 中，AB 垂直于两平面的交线AC ，只需再证其与平面11A ACC 内的另外一条与AC 相交的直线垂直即可.（2）建立空间直角坐标系，两平面法向量的夹角余弦值的绝对值即为平面11A ACC 与平面1A AD 夹角的余弦值. 【过程详解】（1）证明：由三棱台111-A B C ABC 知：11//A B AB ，在梯形11A ABB 中，取AB 的中点E ，连接1B E ， 因112A B =，4AB AC ==故11A B AE =，四边形11A AEB 是平行四边形，∴11B E AA ==122EB AB ==，13BB = 所以22211B E EB BB +=，1π2BEB ∴∠=，即1B E AB ⊥， 因11//B E AA ，所以1BA AA ⊥， 又因π2BAC ∠=，所以BA AC ⊥， 又因1AA AC A = ，所以BA ⊥平面11A ACC ， 因BA ⊂平面ABC ，所以平面11A ACC ⊥平面ABC ； （2）解：取AC 的中点O ，11AC 的中点F ，连接OD ，OF ，则//OD AB ， 因AB AC ⊥，所以OD AC ⊥，由条件知：四边形11A ACC 是等腰梯形，所以OF AC ⊥， 平面11A ACC ⋂平面=ABC ACOF ⊂平面11A ACC ,平面11A ACC ⊥平面ABC∴OF ⊥平面ABC ，分别以OA ，OD ，OF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则在等腰梯形11A ACC中，由平面几何知识可得：2OF ==，∴()2,0,0A ，()0,2,0D ，()11,0,2A ，()2,2,0AD =- ，()11,0,2AA =-设平面1A AD 的法向量(),,x y z μ=r， 则由1AA AD μμ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 得22020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令2x =，得2y =，1z =，所以()2,2,1μ=，又平面11A ACC 的法向量()0,1,0ν=， 设平面11A ACC 与平面1A AD 的夹角为θ，则2cos 3μνθμν⋅===⋅． 3．（2023ꞏ湖北恩施ꞏ校考模拟预测）如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD均为正三角形，2AC BE ==，M 为线段CD上一点．(1)求证：DE AM ⊥； (2)若EM 与平面ACD 所成角为π3，求平面AMB 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；13.【详细分析】（1）取AC 中点O ，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质证明//DE OB 即可推理作答.（2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.【过程详解】（1）取AC 中点O ，连接DO 、OB ，在正ACD 和正ABC 中，2AC =，则,,DO AC BO AC DO BO ⊥⊥=，而平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，BO ⊂平面ABC ，于是DO ⊥平面ABC ，BO ⊥平面ACD ，又BE ⊥平面ABC ，即有//DO EB ，而DO EB ==因此四边形DOBE 是平行四边形，则//DE OB ，从而DE ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ADC ， 所以DE AM ⊥.（2）由（1）知，DE ⊥平面ADC ，EMD ∠为EM 与平面ADC 的所成角，即π3EMD ∠=， 在Rt EDM △中，1πtan3DE DM ===，即M 为DC 中点， 由（1）知，,,OB OC OD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则1(0,1,0),(0,1,0),(0,2A B D C M -，3(0,2AB AM == ，显然平面DAC 的一个法向量为1(1,0,0)= n ，设平面MAB 的一个法向量为2(,,)n x y z =，则2203022n AB y n AM y z ⎧⋅+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，得2(1,n = ，121212|||cos ,|||||n n n n n n ⋅〈〉===所以平面AMB 与平面ACD所成锐二面角的余弦值为13． 4．（2023ꞏ山东泰安ꞏ统考模拟预测）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD为矩形，2,60AD SA SAB ==∠= ，45SAD ∠= ，平面SAD 与平面SBC 的交线为l .(1)求证：直线l 平行于平面ABCD ； (2)求二面角D SA B --的余弦值.【答案】(1)证明见解析【详细分析】（1）根据题意证得//AD 平面SBC ，结合线面平行的性质定理证得//AD 直线l ，再由线面平行的判定定理，即可证得//l 平面ABCD ；（2）以点A 为原点，建立空间直角坐标系，设(,,)AS a b c = ，取AB 的方向向量(0,1,0)e = ，根据60SAB ∠= ，45SAD ∠=，利用向量的夹角公式，求得AS =，进而求得平面ADS 和平面ABS 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【过程详解】（1）证明：因为底面ABCD 是矩形，可得//AD BC ， 又因为AD ⊄平面SBC ，BC ⊂平面SBC ，所以//AD 平面SBC ， 因为AD ⊂平面SAD ，且平面SAD ⋂平面SBC l =，所以//AD 直线l ， 又因为l ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以//l 平面ABCD .（2）解：以点A 为原点，,AD AB ，垂直于平面ABCD 的直线AZ 分别为x 轴、y 轴和z轴，建立如图空间直角坐标系，则(0,0,0),A D，则AD =，设(,,)AS a b c = ，取AB的方向向量(0,1,0)e = ，因为60SAB ∠= ，45SAD ∠= ，可得cos ,2AS AD AS AD AS AD ⋅==1cos ,2AS e AS e AS e ⋅===，又因为2SA =，可得2AS == ，即2224a b c ++=，解得1,1a b c ===，即AS =，设平面ADS 法向量为111(,,)m x y z =，则111100m AD m AS y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取11z =，可得110,1x y ==-，所以(0,1,1)m =-， 设平面ABS 的法向量为222(,,)n x y z =，则222200n e y n AS y z ⋅==⎧⎪⎨⋅++=⎪⎩，取取2z =221,0x y ==，所以(1,0,n =，所以cos ,3m n m n m n ⋅===-，由图象可得，二面角D SA B --为锐二面角， 所以二面角D SA B --的余弦值为3.5．（2023ꞏ山东泰安ꞏ统考模拟预测）如图1，在平行四边形ABCM中，2AB BC ==，60MAD ∠=︒，D 为CM 的中点，12AF FC = ，AH HD = ，沿AD 将△MAD 翻折到PAD的位置，如图2，PF AC ⊥.(1)证明：//HF 平面PBD ； (2)求平面PBC 和平面PCD 的夹角.【答案】(1)证明见解析(2)π4【详细分析】（1）确定PAD 为正三角形，AC BD G ⋂=，证明//HF DG ，得到证明. （2）确定AD ⊥平面PHF ，AC BC ⊥，建立空间直角坐标系，确定平面PCD 和平面PBC 的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.【过程详解】（1）PA PD ==，60PAD ∠=︒，PAD 为正三角形，AH HD =，则H 为AD 中点，设AC BD G ⋂=，//CD AB ，12CD AB =，故12CG GA =，故G 为AC 的三等分点，13AF AC =，F 为AC 的三等分点，即F 为AG 的中点，故//HF DG ，DG ⊂平面PBD ，HF ⊄平面PBD ，故//HF 平面PBD .（2）由题设易得AD =，60DAB ∠=︒，22212cos 312292BD AD AB AD AB BAD =+-⋅∠=+-=， 故222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，//HF DG ，故AD HF ⊥，AD PH ⊥，PH HF H = ，、PH HF 在面PHF 内，故AD ⊥平面PHF .PF 在面PHF 内，故AD PF ⊥，又PF AC ⊥，AC AD A = ，、AC AD 在面ABCD 内，故PF ⊥平面ABCD .在Rt PFH 中，PF =由题意易得∠ABC =60°，∠BAC =30°，则∠ACB =90°，故AC BC ⊥，过点C 作平面ABCD 的垂线为z 轴，以CA CB,分别为x 轴、y 轴正方向，建立如图所示坐标系.则()0,0,0C，()B ，()3,0,0A，(P，3,2D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，3,2CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(CP =，()CB = ， 设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则30220n CD x y n CP x ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，令1x =，则y z ==(n =设平面PBC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111020m CB m CP x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ， 令11x =，则10y =，1z =，所以(1,0,m =，设平面PBC 和平面PCD 的夹角为θ，[]0,πθ∈,则cos cos ,2m n θ=== ，π4θ=， 所以平面PBC 和平面PCD 的夹角为π4. 6．（2023ꞏ福建宁德ꞏ校考模拟预测）如图，已知多面体EACBD 中，EB ⊥底面ACBD ，EB =1，AB =2，其中底面由以AB 为直径的半圆ACB 及正三角形ABD 组成(1)若BC =1，求证:BC ∥平面ADE .(2)半圆AB 上是否存在点M ，使得二面角M AE D --是直二面角?若存在，求出AMBM的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见过程详解(2)存在，AMBM=【详细分析】（1）根据题意详细分析可得30CAB ∠=︒，进而可证AD AC ⊥，AD //BC ，根据线面平行的判定定理详细分析证明；（2）建系，设()()cos ,sin ,0,0,πM θθθ∈，分别求平面ADE 、平面MAE 的法向量，结合面面垂直的向量关系运算求解.【过程详解】（1）由题意可得：AC BC ⊥，则1sin 2BC CAB AB ∠==， 且CAB ∠为锐角，则30CAB ∠=︒，因为三角形ABD 为正三角形，则60DAB ∠=︒， 可得90DAC DAB CAB ∠=∠+∠=︒，即AD AC ⊥， 所以AD //BC ，AD ⊂平面ADE ，BC ⊄平面ADE ，可得BC ∥平面ADE .（2）如图，以AB 的中点O 为坐标原点，AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立空间直角坐标系，则()()()()1,0,0,1,0,0,0,,1,0,1A B D E --， 可得()()2,0,1,1,AE AD =-=-uu u r uuu r ， 设平面ADE 的法向量(),,n x y z =，则200n AE x z n AD x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令x =1,y z =-=，即1,n =-r，设()()cos ,sin ,0,0,πM θθθ∈，平面MAE 的法向量(),,m a b c =， 因为()cos 1,sin ,0AM θθ=-uuu r ，则()20cos 1sin 0m AE a c m AM a b θθ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ， 令sin a θ=，则1cos ,2sin y z θθ=-=，即()sin ,1cos ,2sin m θθθ=-u r，若二面角M AE D --是直二面角，则()1cos 0n m θθθ⋅=--+=r u r，整理得cos 1θθ+=，联立方程22cos 1sin cos 1θθθθ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得sin 3837cos 38θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或sin 0cos 1θθ=⎧⎨=⎩，因为()0,πθ∈，则sin 0θ>，可得sin 3837cos 38θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即37,3838M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以AM BM ===，可得当19AMBM ==时，二面角M AE D --是直二面角.7．（2023ꞏ福建厦门ꞏ统考模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形ABCD为筝形，其对角线交点为,2O AB BD BC ===，将ABD △沿BD 折到A BD ' 的位置，形成三棱锥A BCD -'．(1)求B 到平面A OC '的距离；(2)当1A C '=时，在棱A D '上是否存在点P ，使得直线BA '与平面POC 所成角的正弦值为14？若存在，求A PA D ''的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1 (2)存在；13A P A D =''或79A P A D =''【详细分析】（1）根据线面垂直的判定可得BD ⊥平面A OC '，进而可得B 到平面A OC '的距离112d BD ==. （2）以O 为原点，,,OD OE OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，再设[]()1,,0,12A P A D λλλλ⎛⎫='=-∈ ⎪ ⎪⎝'⎭，根据线面角的空间向量求法求解即可.【过程详解】（1）因为2AB BD BC ===，所以BD 不可能为四边形ABCD 的对称轴，则AC 为四边形ABCD 的对称轴， 所以AC 垂直平分BD ，所以,A O BD CO BD '⊥⊥． A O '⊂平面,A OC CO '⊂平面,A OC A O CO O ⋂'='所以BD ⊥平面A OC '． 所以B 到平面A OC '的距离112d BD ==． （2）存在点P ，使得直线BA '与平面POC 所成角的正弦值为14． 过O 作OE ⊥平面BCD ，所以,,OD OE OC 两两垂直.以O 为原点，,,OD OE OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系由（1）得平面BCD ⊥平面A OC '，因为1,1OA OC A C =='='所以12A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭'．设[]()1,,0,122A P A D λλλλλ⎛⎫='=-∈ ⎪ ⎪⎝'⎭11,2222OP OA A P λλλ⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪''⎝⎭()OC =设平面POC 的法向量(),,n x y z =r0n OC n OP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以011022y x y z λλ=⎧⎪⎫⎨⎛⎫++-=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 令2z λ=，则1x λ=-所以平面POC 的一个法向量()1,0,2n λλ=-设直线BA '与平面POC 所成角为θ12BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭'1sin cos ,4BA n BA n BA n θ⋅===='''． 所以13λ=或79λ=，所以存在点P ，使得直线BA '与平面POC 所成角的正弦值为1143A P A D =''或79A P A D =''． 8．（2023ꞏ安徽合肥ꞏ合肥市第六中学校考模拟预测）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以边AD 所在直线为旋转轴旋转2π3得到的，M 是BE 的中点．(1)设N 是 CF上的一点，且AN CD ⊥，求FDN ∠的大小； (2)当2AB =，4=AD 时，求二面角C AM F --的余弦值．【答案】(1)π6(2)1319【详细分析】（1）依题意可得CD ⊥平面AND ，即可得到CD DN ^，从而得解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【过程详解】（1）因为AN CD ⊥，AD CD ⊥，又,AN AD ⊂平面AND ，AN AD A = ，所以CD ⊥平面AND ． 又DN ⊂平面ADN ，所以CD DN ^． 又2π3FDC ∠=，所以2πππ362FDN FDC NDC ∠=∠-∠=-=． （2）由（1）以D 为坐标原点，分别以DC ，DN ，DA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得()0,0,4A ，()2,0,0C ，()M，()F -， 故()2,0,4AC =-，()AM =，()4AF =--，设(),,m x y z=是平面AMC 的一个法向量．由00m AM m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0240x x z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，取1x =，可得11,2m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ． 设(),,n a b c =是平面AMF 的一个法向量．由00n AM n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得040a a c ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，取1a =，可得11,2n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ．所以11113cos ,19m n m n m n +-⋅==⋅ ，由图可知二面角C AM F --为锐二面角， 所以二面角C AM F --的余弦值为1319．9．（2023ꞏ辽宁ꞏ辽宁实验中学校考模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中AB AD ⊥，26DC AB AE ==，6AB =，2AD =．(1)在线段CD 上找出点F ，将四边形ADFE 沿EF 翻折，形成几何体A BE D CF ''-．若无论二面角A EF B '--多大，都能够使得几何体A BE D CF ''-为棱台，请指出点F 的具体位置（无需给出证明过程）．(2)在（1）的条件下，若二面角A EF B '--为直二面角，求棱台A BE D CF ''-的体积，并求出此时二面角B A D E ''--的余弦值． 【答案】(1)4DF =或F 为靠近点D 的三等分点；.【详细分析】（1）延长,DA CB 交于点O ，连接OE 并延长交CD 于F，翻折后证明平面//AEB 平面DFC 即可推理作答.（2）根据给定条件，证明D E '⊥平面EFC ，再利用锥体的体积公式结合割补法求出体积，建立空间直角坐标系求出面面角的余弦作答.【过程详解】（1）在直角梯形ABCD 中，延长,DA CB 交于点O ，连接OE 并延长交CD 于F ，如图，//AB CD ，212DC AB ==，2AE =，于是2DF DO DCAE AO AB===，则4DF =，F 为靠近点D 的三等分点，将四边形ADFE 沿EF 翻折，即将ODF △沿EF 翻折，无论二面角A EF B '--多大， 所成几何体均为三棱锥O DFC -，显然//,AE DF DF ⊂平面,DFC AE ⊄平面DFC ， 于是//AE 平面DFC ，同理//BE 平面DFC ，而,,AE BE E AE BE ⋂=⊂平面AEB ， 因此平面//AEB 平面DFC ，从而几何体A BE D CF ''-是棱锥O DFC -被平行于底面DFC 的平面所截，截面和底面间的部分，即几何体A BE D CF ''-是棱台，所以无论二面角A EF B '--多大，都能够使得几何体A BE D CF ''-为棱台，4DF =，F 为靠近点D 的三等分点.（2）翻折前2,2DF AE DC AB ==，将DA ,FE ,CB 延长一倍，三线交予点O ， 在等腰直角三角形ODF 中，DE OF ⊥，在棱台A BE D CF ''-中，D E OF '⊥， 又二面角A EF B '--为直二面角，D E '⊥平面EFC ，即三棱锥D OFC '-的体积为1111843232D OFC V D E FC OD '-'=⋅⋅=⋅⋅⋅=又三棱锥A OBE '-的体积18A OBE D OFC V V ''--==则有棱台A BE D CF ''-的体积为A BE D CF V ''-== 在线段DC 上取2DG =，有AE DG =，四边形AEGD 为平行四边形,,AD EG EG EB =⊥ ，又D E '⊥面EFC ，则,D E EB D E EG ''⊥⊥，以E 为原点，,2EG EB B 'x ,y ,z 的单位向量建立空间直角坐标系，则(2,2,0),(0,0,(0,4,0),(0,0,0)O D B E '--，(2,2,(2,6,0)OD OB '==，(2,2,0),(0,0,OE ED '==，取平面OD B '的法向量为1(,,)n a b c = ，11220260n OD a b n OB a b '⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1b =，取1(n =- ， 取面OD E '的法向量2(,,)n r s t =，则222200n OE r s n ED ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪'⎩，令1r =，得2(1,1,0)n =- ，显然二面角B A D E ''--的平面角为锐角，设为α，121212cos |cos ,3||||n n n n n n α⋅=〈〉===， 所以二面角B A D E ''--的余弦值为3.10．（2023ꞏ山西ꞏ校联考模拟预测）如图，斜四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为等腰梯形，且//AB CD ，点1A 在底面的射影点O 在四边形ABCD 内部，且1112,4,1,AD BC CD AA AB A O AA BC ======⊥.(1)求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；(2)在线段11B D 上是否存在一点M ，使得平面MBC 与平面ABCD夹角的余弦值为7，若存在，求111B MB D 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，1111.2B M B D =【详细分析】（1）作出辅助线，得到四边形ADCE 为菱形，得到AC BC ⊥，得到线面垂直，得到平面ABCD ⊥平面11ACC A ；（2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，设111B M B D BD λλ== ，由二面角的大小得到12λ=. 【过程详解】（1）在等腰梯形ABCD 中，12,4AD BC CD AA AB =====， 过C 作//CE AD 交AB 于E ，则四边形ADCE 是菱形， 2AE EB ∴==，BCE ∴△是等边三角形，60,60,30ABC DCE ECB ACD ACE ∠∠∠∠∠∴===== ， 90,ACB AC BC ∴∠=⊥ ，又111,,,AA BC AA AC A AA AC ⊥⋂=⊂平面11AAC C ，∴BC ⊥平面11ACC A ，又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面11ACC A .（2）由（1）平面ABCD ⊥平面11ACC A ，∵1A O ⊥平面1,ABCD A O ⊂平面11ACC A ，∴点1A 在底面的射影O 在AC 上，且1A O AC ⊥，又111,2,A O AA AO ==∴=由（1）知AC =CO ∴=以O 为原点，1,,OA OE OA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系O xyz -，则O ())()()()()10,0,0,,2,0,,0,1,0,0,0,1AB C D A -，则())()1,3,0,0,2,0AA BD BC ==-=- ，设111B M B D BD λλ==，[]0,1λ∈，则()))1111,3,03,1BM BB B M AA B M λλ=+=+=+-=-，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =， 设平面MBC 的法向量为(),,n x y z = ，则)20130n BC y n BM x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，解得0y =， 令1x =得，z =，故()n =，cos ,7m n m n m n ⋅===，解得：12λ=， 所以1111.2B M B D = 11．（2023ꞏ河北ꞏ统考模拟预测）在圆柱12O O 中，等腰梯形ABCD 为底面圆1O 的内接四边形，且1AD DC BC ===，矩形ABFE 是该圆柱的轴截面，CG 为圆柱的一条母线，1CG =.(1)求证：平面1O CG ∥平面ADE ；(2)设DP DE λ=，[]0,1λ∈，试确定λ的值，使得直线AP 与平面ABG 所成角的正弦值为35. 【答案】(1)证明见解析(2)13λ=或23λ=【详细分析】（1）先证明AE ∥平面1O CG 以及AD ∥平面1O CG ，根据面面平行的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面ABG 的一个法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.【过程详解】（1）在圆柱12O O 中，AE CG ∥,AE ⊄平面1O CG ,CG ⊂平面1O CG , 故AE ∥平面1O CG ；连接1DO ，因为等腰梯形ABCD 为底面圆1O 的内接四边形，1AD DC BC ===，故111π3AO D CO D BO C ∠=∠=∠=， 则1AO D 为正三角形，故11π3O AD CO B ∠=∠=，则1AD O C ∥， AD ⊄平面1O CG ,1O C ⊂平面1O CG , 故AD ∥平面1O CG ；又,,AE AD A AE AD ⋂=⊂平面ADE ， 故平面ADE ∥平面1O CG .（2）如图，以1O 为坐标原点，在底面圆1O 过点1O 垂直于平面ABFE 作直线为x 轴， 以112,O B O O 为,y z 轴建立空间直角坐标系，由于1,1AD DC BC CG ====，由（1）可知11AO =, 故()()1101001,010(0,11),,22,,,,,,,,A B G D E ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2,,,3(020)1,AB AG ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面ABG 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20302y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令x =n =，由DP DE λ=，[]0,1λ∈，11,2DE ⎫=-⎪⎪⎝⎭，可得1111222,,222,,22,P AP λλλλλλ⎛⎫⎛⎫---=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∴⎝⎭⎝⎭， 设直线AP 与平面ABG 所成角为π,[0,2θθ∈，则||sin |cos ,|35||||n AP n AP n AP θ⋅=〈〉===， 即得29920λλ-+=，解得13λ=或23λ=，符合[]0,1λ∈，故13λ=或23λ=.12．（2023ꞏ湖南长沙ꞏ长郡中学校考模拟预测）如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD CD ⊥，四边形CDEF 为平行四边形，对角线CE 和DF 相交于点H ，平面CDEF ⊥平面ABCD ，2BC AD =，60DCF ∠=o ，G 是线段BE 上一动点（不含端点）．(1)当点G 为线段BE 的中点时，证明：//AG 平面CDEF ；(2)若1,2AD CD DE ===，且直线DG 与平面CDEF 成45 角，求二面角E DG F --的正弦值．【答案】(1)证明见解析【详细分析】（1）连接,GH AG ，由三角形中位线和边长关系可知四边形ADHG 是平行四边形，即可证明//AG 平面CDEF ；（2）根据题意可知，以C 为原点建立空间直角坐标系，可设BG BE λ=利用空间向量即可表示出DG，进而确定G 点位置，再分别求得两平面的法向量即可得出二面角E DGF --的正弦值为7. 【过程详解】（1）证明：连接,GH AG ，如下图（1）中所示：因为四边形CDEF 为平行四边形，所以H 是CE 中点， 又G 点为线段BE 的中点，则//GH BC ，且12GH BC =, 又//AD BC 且12AD BC =，所以,//GH AD GH AD =， 所以四边形ADHG 是平行四边形，所以//AG DH ，又AG ⊄平面CDEF ，DH ⊂平面CDEF ，所以//AG 平面CDEF ；（2）以C 为原点，,CB CD 为,x y 轴，过C 且在平面CDEF 内与CD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示：由平面CDEF ⊥平面ABCD ，60DCF ∠=o ，2CD DE ==可知，,CDF DEF V V 均为边长为2的正三角形，则有()()((02020000D B E F ,,,,,,,,，设()2,3,01BG BE λλλλ==-<< ，则()()()2,32,2,022,3DG BG BD λλλλ=-=---=--，()1,0,0e =为平面CDEF 的法向量，所以cos ,2DG e ==，解得12λ=（其中0λ=舍去）,所以31,2G ⎛ ⎝⎭， 设平面EDG 的法向量为()111,,m x y z =r，则有()(()11111111111,,011,,1,02222m DE x y z y m DG x y z x y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎪⎨⎛⎫⋅=⋅-=-+=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩， 令11z =，则11x y ==()m =．设平面FDG 的法向量为()222,,n x y z =r，则有()(()22222222222,,0,011,,1,022n DF x y z y n DG x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎪⎨⎛⋅=⋅-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎩， 令21z =，则220,x y ==()n =所以cos ,7m n m n m n ⋅===-．所以二面角E DG F --= 即二面角E DG F --的正弦值为7. 13．（2023ꞏ广东佛山ꞏ华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ，AB AD ⊥，22BC CD AB ===，E 为PC 中点.(1)在棱PD 上是否存在点Q ，使得//AQ 平面EBD ？说明理由；(2)若PC ⊥平面PAD ，PC PD =，求平面PAD 与平面EAB 所成角的余弦值.【答案】(1)存在，理由见解析【详细分析】（1）取PD 的中点Q ，利用线面平行的判定证明AQ ∥平面EBD ； （2）取DC 的中点为O ，证明,BO DC BO PO ⊥⊥，PO CD ⊥，以点O 为坐标原点，建立坐标系，利用向量法证明即可.【过程详解】（1）取PD 的中点Q ，连接,QE AQ ，则QE ∥CD ，又AB ∥CD ，QE AB =，所以四边形ABEQ 为平行四边形，AQ ∥BE . 因为BE ⊂平面EBD ，AQ ⊄平面EBD ，BE ∥AQ ， 所以AQ ∥平面EBD .（2）取DC 的中点为O ，连接,BO PO，AD =，1PO =. 若PC ⊥平面PAD ，PC PD =，因为,PD AD ⊂平面PAD ， 则PC PD ⊥，PC AD ⊥，且PC PD ==，又AD CD ⊥，PC CD C ⋂=，,PC CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD ， 所以AD PO ⊥，又BO ∥AD ，所以,BO DC BO PO ⊥⊥， 又PC PD =，DC 的中点为O ，所以PO CD ⊥， 则以点O 为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：()))()()110,0,1,1,0,,0,1,0,0,1,0,0,,22P ABD CE ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()110,1,0,,22AB BE ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，平面PAD 的法向量为()0,1,1PC =-. 设平面EAB 的法向量为(),,n x y z =r，011022AB n y BE n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令2z =，则,0,23n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r 设平面PAD 与平面EAB 所成角为θcos cos ,PC nPC n PC nθ⋅===⋅ 所以平面PAD 与平面EAB14．（2023ꞏ广东广州ꞏ广州六中校考三模）四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，22AB AD BC ===，60ABC ∠=︒，PA CD ⊥，PD AC ⊥，点E 是棱PD 上靠近点P 的三等分点．(1)证明：PA ⊥平面ABCD ；(2)若平面PAC 与平面EAC 的夹角的余弦值为10，求四棱锥P ABCD -的体积． 【答案】(1)证明见解析(2)2【详细分析】（1）先证明AC ⊥平面PAD ，从而推出AC PA ⊥，结合PA CD ⊥，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，确定平面PAC 的法向量，求得平面EAC 的法向量，根据面面角的向量求法可求得PA 的长，根据棱锥的体积公式即可求得答案. 【过程详解】（1）依题意，在4BC △中，60,2,1ABC AB BC ∠=== ，由余弦定理可得AC ===则222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，∵AD BC ∥，∴AD AC ⊥，又,,,PD AC PD AD D PD AD ⊥=⊂ 平面PAD ， ∴AC ⊥平面PAD ，∵PA ⊂平面PAD ，∴AC PA ⊥，又PA CD ⊥，,,CD AC C CD AC =⊂ 平面ABCD , 故PA ⊥平面ABCD ；（2）以A 为坐标原点，,,AC AD AP的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设AP m =，则(0,0,0),),(0,2,0(0,0,)A C D P m ，22(0,,)33E m ，由（1）可知，,,,,AC PA PA AD PA AC A PA AC ⊥⊥=⊂ 平面PAC ,故AD ⊥平面PAC ，∴平面PAC 的一个法向量为(0,2,0)AD =，设平面EAC 的法向量为(,,)n x y z =，且AC = ，22(0,,)33AE m = ，则00,220033n AC y mz n AE =⎧⋅=⎪∴⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩ ， 取1z =-，所以(0,,1)n m =-，因为平面PAC 与平面EAC的夹角的余弦值为10，所以|cos ,|||10||||AD n AD n AD n ⋅〈〉===，解得3m =， 所以四棱锥P ABCD -的体积为111(12)33322ABCD S PA ⨯⨯=⨯+=15．（2023ꞏ广东深圳ꞏ深圳中学校考模拟预测）如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =.DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===.(1)求平面EBC 与平面BCF 的夹角的正弦值；(2)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60︒，求线段DP 的长.【答案】。
高考数学立体几何练习题及答案
高考数学立体几何练习题及答案一、选择题1. 已知正方体的体积为216cm³，求正方体一个面上的对角线长度。
（选项）A. 12cmB. 9cmC. 6cmD. 3cm2. 锥体的侧面积为15√3cm²，求锥体的体积。
（选项）A. 45cm³B. 30cm³C. 15cm³D. 10cm³3. 平面α与平面β相交于直线l，直线l与平面γ相交于点O，若平面α与平面β的夹角为60°，直线l与平面γ的夹角为45°，则平面α与平面γ的夹角为（选项）A. 45°B. 30°C. 60°D. 75°二、填空题1. 一个正方体的棱长为a，其对角线的长度为____。
2. 若棱长为3的正方体的一个面上有一点P，离该面的距离为2，则线段OP的长度为_____。
3. 一个正方体的一个顶点到另一个顶点的距离为a，其体对角线的长度为____。
三、解答题1. 已知一个正方体的棱长为a，求：a) 正方体的体积；b) 正方体一个面的面积；c) 正方体的对角线长度。
解答：a) 正方体的体积为a³。
b) 正方体一个面的面积为a²。
c) 正方体的对角线长度为a√3。
2. 一个圆柱的高为10cm，直径为6cm，求：a) 圆柱的底面积；b) 圆柱的侧面积；c) 圆柱的体积。
解答：a) 圆柱的底面积为π(3cm)²=9πcm²。
b) 圆柱的侧面积为2π(3cm)(10cm)=60πcm²。
c) 圆柱的体积为π(3cm)²(10cm)=90πcm³。
3. 已知一个球的表面积为100πcm²，求球的体积。
解答：设球的半径为r，则球的表面积为4πr²。
根据题意，4πr²=100π，解得r=5cm。
球的体积为4/3πr³=(4/3π)(5cm)³=500/3πcm³。
高三数学 提高题专题复习立体几何多选题练习题及答案
高三数学 提高题专题复习立体几何多选题练习题及答案一、立体几何多选题1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）A ．异面直线1AB 与1AD 所成的角是3πB ．1BD ⊥平面11AC DC ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为3D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23【答案】ABD 【分析】选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】A ：正方体1111ABCD ABCD -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113A BC π∠=，正确；B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111DC B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，即111AC B B ⊥，又1111AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确；C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为134ACB S=，错误；D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()()2222226++=2的正四面体11A BDC -的高为22222262213⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭，故正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23，正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断C 、D 的正误.2．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为23的等边三角形，侧棱长为43，则（ ）A ．直线1A C 与直线1BB 之间距离的最大值为3B ．若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则直线1AA 与底面所成角为60︒ C ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与1A C 所成的角为30D ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图示，以A 为原点，AC 为y 轴正方向，Ax 为x 轴正方向，过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系，则()()()0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++所以()()()1000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---==对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量，则有：11·0·0AC n BB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()0000002300x x y y zz x x y y zz ⎧-+--=⎪⎨++=⎪⎩解得：()00,0n z x =- 设直线1A C 与直线1BB 之间距离为d ，则22011222200009||||z A B nd d x z n x z ==∴=++ 22009x d ≥∴≤，即3d ≤，故A 正确；对于B ：若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则()11,3,211A 底面法向量()()10,0,1,1,3,211m AA ==，设直线 1AA 与底面所成角为θ，则：121133sin |cos ,|143AA n θ===⨯，故B 错误； 对于C ： 三棱柱的侧棱垂直于底面时，则()()()1110,0,43,3,3,43,0,23,43,A B C则()()13,3,0,0,23,43,AB AC ==-设异面直线AB 与1A C 所成的角为θ，则1115cos |cos ,|||10||||23215AB AC AB AC AB AC θ====⨯,故C 错误；对于D ：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O 为上下底面中心DD 1连线的中点,所以外接球的半径()222324R =+=，所以2464S R ππ==.故D 正确故选：AD 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.3．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c ．点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为A S ，B S ，C S ，D S ．在下列所给的命题中，正确的有（ ） A ．2A BCO D S SS ⋅=； B ．3333A B C D S S S S <++；C ．若三条侧棱与底面所成的角分别为1α，1β，1γ，则222111sin sin sin 1αβγ++=；D ．若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为2α，2β，2γ，则22cos α+2222cos cos 1βγ+=．【答案】ACD 【分析】由Rt O OA '与Rt O AD '相似，得边长关系，进而判断A 正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得C 正确；构造长方体，建立直角坐标系，代入夹角公式计算可得D 正确；代入特殊值，可得B 错误. 【详解】由三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，则将三棱锥A BCD -补成长方体ABFC DGHE -，连接DO 并延长交BC 于O '， 则AO BC ⊥．对A ：由Rt O OA '与Rt O AD '相似，则2O A O O O D '''=⨯ 又12A S BC O D '=⋅，12BCOS BC O O '=⋅， 22221124DS BC O A BC O A ⎛⎫''=⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以2A BCOD S SS ⋅=，故A 正确．对B ：当1a b c ===时，33318B C D S S S ===，则33338B C D S S S ++=，而3332288A S ⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭，此时3333A B C D S S S S >++，故B 不正确． 对D ：分别以AB ，AC ，AD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设(),,M x y z ，则(),,AM x y z =，AM =(),0,0AB a =，()0,,0AC b =，()0,0,AD c =所以222222222cos cos cos AM AB AM AC AM AD AM ABAM ACAM ADαβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221x y z AMAMAM=++=，所以D 正确．对C ：当M 与O 重合时，AO ⊥面BCD ，由D 有222222cos cos cos 1αβγ++=，由各侧棱与底面所成角与侧棱与所AO 成角互为余角，可得C 正确． 故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题考查空间线面角、线线角、面积关系的问题，计算角的问题关键是建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用数量积的公式代入计算，解决这道题目还要结合线面角与线线角的关系判断.4．已知球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，平面11A C B 截球O 的面积为24π，下列命题中正确的有（ ）A ．异面直线AC 与1BC 所成的角为60°B ．1BD ⊥平面11AC B C ．球O 的表面积为36πD ．三棱锥111B AC B -的体积为288 【答案】AD 【分析】连接11A C ，1A B ，通过平移将AC 与1BC 所成角转化为11A C 与1BC 所成角可判断A ；通过反证法证明B ；由已知平面11A C B 截球O 的面积为24π求出正方体棱长，进而求出内切球的表面积可判断C ；利用等体积法可求得三棱锥111B AC B -的体积可判断D. 【详解】对于A ，连接11A C ，1A B ，由正方体1111ABCD A B C D -，可知11//A C AC ，11AC B ∴∠为异面直线AC 与1BC 所成的角，设正方体边长为a ，则11112AC A B BC a ===，由等边三角形知1160A C B ∠=，即异面直线AC 与1BC所成的角为60，故A 正确； 对于B ，假设1BD ⊥平面11A C B ，又1A B ⊂平面11A C B ，则11BD B A ⊥，设正方体边长为a ，则11A D a =，12A B a =，1BD 3a =，由勾股定理知111A D B A ⊥，与假设矛盾，假设不成立，故1BD 不垂直于平面11A C B ，故B 错误； 对于C ，设正方体边长为a ，则112AC a =，内切球半径为2a，设内切球的球心O 在面11A C B 上的投影为O '，由等边三角形性质可知O '为等边11A C B △的重心，则111623332332O A AC a a =⨯'=⨯=，又132OA a =，∴球心O 到面11A C B 的距离为121222326336a a a OA O A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-='-，又球心与截面圆心的连线垂直于截面，∴截面圆的半径为223626a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，又截面圆的面积26246S a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=，解得12a =，则内切球半径为6，内切球表面积214644S ππ==⨯，故C 错误；对于D ，由等体积法知111111111111212122812383B A C B B A C B A C B V V S a --==⨯⨯=⨯⨯=，故D 正确； 故选：AD【点睛】关键点点睛：本题考查了正方体和它的内切球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，从而求出正方体的棱长，进而求出内切球的表面积及三棱锥的体积，考查了空间想象能力，数形结合的思想，属于较难题.5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱AB 、1CC 的中点，1MB P 的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题正确命题的序号是（ ）A ．平面1MB P 1ND ⊥ B ．平面1MB P ⊥平面11ND AC ．1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值 D ．1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形是三角形 【答案】BC 【分析】取N 与P 重合，结合勾股定理可判断A 选项的正误；利用面面垂直的判定定理可判断B 选项的正误；分点P 在棱1CC 、11C D 上运动两种情况讨论，利用三角形的面积公式可判断C 选项的正误；取点P 与点1C 重合，判断1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形形状，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，如下图所示：当点P 与点N 重合时， 若1ND ⊥平面1MB P ，1B N ⊂平面1MB P ，则11ND B N ⊥，由勾股定理可得2211115D N C N C D =+=，同理可得15B N =1122B D =2221111B N D N B D ∴+≠，则1ND 与1B N 不垂直，假设不成立，A 选项错误；对于B 选项，取1BB 的中点E ，连接1A E 、EN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB CC ，且E 、N 分别为1BB 、1CC 的中点， 则11//B E C N 且11B E C N =，所以，四边形11B ENC 为平行四边形，则11//EN B C 且11EN B C =，1111//A D B C 且1111A D B C =，所以，11//A D EN 且11A D EN =，所以，四边形11A END 为平行四边形，所以，11//A E D N ，111A B BB =，1B E BM =，11190A B E B BM ∠=∠=，所以，111Rt A B E Rt B BM ≅△△，所以，111B A E BB M ∠=∠，所以，111111190A EB BB M A EB B A E ∠+∠=∠+∠=，190B FE ∴∠=，所以，11B M A E ⊥，11A D ⊥平面11AA B B ，1B M ⊂平面11AA B B ，111B M A D ∴⊥， 1111A D A E A =，11A D 、1A E ⊂平面11ND A ，1MB ∴⊥平面11ND A ，1MB ⊂平面1MB P ，所以，平面1MB P ⊥平面11ND A ，B 选项正确；对于C 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a .若点P 在棱1CC 上运动时，1MB P 在底面ABCD 上的射影为MBC △， 此时，射影图形的面积为21224MBCa a S a =⋅=△； 若点P 在棱11C D 上运动时，设点P 在底面ABCD 上的射影点为G ，则G CD ∈， 且点G 到AB 的距离为a ,1MB 在底面ABCD 内的射影为MB ，则1MB P 在底面ABCD 内的射影为MBG △，且21224MBGa a S a =⋅⋅=△.综上所述，1MB P 在底面ABCD 内的射影图形的面积为定值，C 选项正确； 对于D 选项，当点P 与1C 重合时，P 、1B 两点在平面11D C CD 上的射影重合， 此时，1MB P 在侧面11D C CD 上的射影不构成三角形，D 选项错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.6．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为2D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A 5 【答案】AC【分析】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，易证得平面1//B MN 平面1A BE ，可得点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥，即有11B F CD ⊥，A 正确；当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，可判断B 错误；根据平面1//B MN 平面1A BE ，11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，计算可知C 正确；【详解】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，1//MN A B ，从而平面1//B MN 平面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ． 取MN 的中点F ，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=1tan 3023︒<=，所以B 错误； 平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11111tan B C B FC C F ∠==22，所以C 正确；因为当F 为1C E 与MN 的交点时，截面为菱形1AGC E （G 为1BB 的交点），面积为62，故D 错误. 故选：AC.【点睛】本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题．7．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，P 、Q 、R 分别是AB 、1BB 、1A C 上的动点，下列结论正确的是（ ）A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥C ．当1AR A C ⊥时，1ARD R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABCD【分析】本题先建立空间直角坐标系，再运用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设(2,,0)P a ，023a ⎡⎤∈⎣⎦，，(2,23,)Q b ，[]0,2b∈，设11A R AC λ=，得到(22,23,22)R λλλ--，[]0,1λ∈. 1(2,,2)D P a =-，(2,0,)CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确； 1(22,23,2)D R λλλ=--，12(22)2D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确； 1AR A C ⊥，则1(2,23,22)(2,23,2)412440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=+-+=，解得：15λ=，此时122328232(,,)(,,)0555555AR D R ---⋅=⋅=，1AR D R ⊥，C 正确； 113AC A R =，则4234(,,)333R ，14232(,,)333D R =-，设平面1BDC 的法向量为(,,)n x y z =，则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(3,1,3)n =-，故10n D R ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，是偏难题.8．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论中正确的是（ ）A ．11A C ⊥平面11BB D DB ．1BD ⊥平面1ACBC ．1BD 与底面11BCC B 2D ．过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条【答案】ABD【分析】由直线与平面垂直的判定判断A 与B ；求解1BD 与底面11BCC B 所成角的正切值判断C ；利用空间向量法可判断D ．【详解】对于A 选项，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111BB A C ⊥，由于四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥， 1111BB B D B =，因此，11A C ⊥平面11BB D D ，故A 正确；对于B 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，1D DD BD =，AC ∴⊥平面11BB D D ， 1BD ⊂平面11BB D D ，1AC BD ∴⊥，同理可得11BD B C ⊥，1AC B C C =，1BD ∴⊥平面1ACB ，故B 正确； 对于C 选项，由11C D ⊥平面11BCC B ，得11C BD ∠为1BD 与平面11BCC B 所成角， 且111112tan 2C D C BD BC ∠==，故C 错误； 对于D 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,0,0A 、()0,0,0D 、()0,1,0C 、()11,1,1B ，()1,0,0DA =，()11,0,1CB =，设过点1A 且与直线DA 、1CB 所成角的直线的方向向量为()1,,m y z =， 则221cos ,21DA mDA m DA m y z ⋅<>===⋅++， 1122111cos ,221CB m z CB m CB m y z ⋅+<>===⋅⋅++， 整理可得2222341y z y z z ⎧+=⎨=++⎩，消去y 并整理得2210z z +-=，解得12z =-12z =-由已知可得3z ≤，所以，12z =-+22y =±因此，过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．。
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立体几何测试卷
班级 姓名 学号
一、选择题：
1．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ） （A ）30ο （B ）45ο （C ）60ο （D ）75ο
2．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm 、4cm 、3cm ,把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 （ ）
（A ）cm 77 （B ）cm 27 （C ）cm 55 （D ）cm 210
3．等边三角形ABC 的边长为4，M 、N 分别为AB 、AC 的中点，沿MN 将AMN ∆折起，使得面AMN 与面MNCB 所成的二面角为30ο，则四棱锥A —MNCB 的体积为（ ） （A ）
2
3
（B ）23 （C ）3 （D ）3
4．若二面角βα--l 为120ο
，直线m α⊥,则β所在平面内的直线与m 所成角的取值范围是
（ ）
（A ）(]
ο
90,0 （B ）[
]ο
ο60
,30 （C ）[]ο
ο
90,60 （D ）[]ο
ο90,30
5．关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是
（ ）
（1） （
A
）
若
a
⊥⊥,,M b M ⊂⊂l b l a ⊥⊥,M l ⊥,//,N a M a ⊥N
M ⊥33a 43a 63a 12
3
a 2πππ33π2R π249R π238R π22
5
R παββα、γαβl l ββ//,m l m ββαα//,//,//,//m l m l 111
2111οοοοοπ3
2
11111⊥1
a 2611⊥11111⊥11⊥11⊥1DFE EF DF EF DF cos 2222
⋅-+=1111D C B A 1111111C B A 求证：111C B D A ⊥
（2） 求点D 到平面ACC 1的距离；
（3） 判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明
你的结论
PB ⊥面ABCD 。
19．如图四棱锥P---ABCD 的底面是边长为a 的正方形，
A
B
C A
B C 1 A B C
D E
A
B 1
D 1
C A B C C 1
B 1
A 1 O
P
C
D
A
B
（1） 若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60ο，求这个四棱锥的体积；
（2） 证明：无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90ο 20．在棱长为a 的正方体OABC--1111C B A O 中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE=BF 。
（1） 求证：E C F A 11⊥；
（2） 当三棱锥B 1—BEF 的体积取得最大值时，求二面角B 1-EF-B 的大小。