具有Kratzer型标量势与矢量势的Klein-Gordon方程和Dirac方程的束缚态

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与 En ， （未归一化） 1 相对应的 f 分量的径向波函数为 （ fn， 1 r ）=（ r /
λ -β （a） e r / aF
n， 2 2 λ， βr / a ） （28）
把 （28） 式代入 （23） 式可得
λ- 1 λ （ r r 1 λ - 1） （ -β gn， × 1 r ）= M λ λ a + En ， a +1 1 λ 2 βr - n βr × 2 - n， λ， λ+ 1 a λa β 2 βr e - a rF - n + 1， 2 λ + 1， a β e - a rF
1
引言
众所周知， 在强耦合条件下， 在势场中运动的粒
文献 ［)］ 指出， 具有标量势 S （ r） 与矢量势 V （ r） 的 s 波 BlGHI?JoCKoI 方程为 （ħ = L = 1）
［1］ 子的相对论效应变得十分重要 ， 而在考虑相对论
效应时， 处于势场中运动的粒子需要用 BlGHI?JoCKoI ［)］ 方 程 或 ;HCDL 方 程 描 述。 ;oMHIN>GF?6KDMG 和
2 βw （ x ）+ 2 λ - β w' （ x ）+ 2 γ - λ （ x） w" x x （11） = 0
时 (j+ 1 2) ) （19）
(
)
其中 =
引入变量 z = 2 （11） 式可化为 βx ， （ z ）+（2 （ z ）+ γ - λ w （ z） zw" w' λ - z） β （12） = 0 由文献 ［10］可知， （12）式即为合流超几何方程， 其 解为合流超几何函数， 即 （ z ）= F λ - γ ， （13） w 2 z λ， β （ r → ∞） 时， 为保证其满足束缚态边条件， 即 z→∞ 波函数趋于 0， 必须使得
令方程 （8） 的解为
λ -β （ x ）= x （ x） u e xw
（9）
( (
)
式中无量纲参数λ 为 1 λ= 2 +
（18） （10）
B （ fn， φjmj k r） 1 ， 当 k = φ = r A （ φjmj k r） ign，
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1 2 γ + 4
可得 w （ x） 满足如下方程
( (
[(
)
)
)]
（29）
［ J］ Klein-Gordon 方程和 Dirac 方程的束缚态 . 物理学报， （11） ： 1999， 48 1 999 ～ 2 001 . ［6］Hou C F，Zhou Z X，Li Y. Bound states of the Klein-Gordon ［ J］ equation with vector and scalar Wood-Saxon potentials . （ Overseas edition） ， （ 8） ： ACTA PHYSICA SINICA 1999， 8 561 ～ 564 . ［7］侯春风， 姜永远， 孙秀冬等 . 相对论性氢原子径向算符矩 阵元的通项计算公式 ［ J］ （ 7） ： . 物理学报， 1999， 48 1 587 ～ 1 592 . ［8］陈 刚 . 具 有 Pöschl-Teller 型 标 量 势 与 矢 量 势 的 Klein［ J］ Gordon 方 程 和 Dirac 方 程 的 束 缚 态 解 . 物 理 学 报， （7） ： 2001， 50 1 651 ～ 1 653 .
文献 ［4］ 指出， 具有标量势 S （ r） 与矢量势 V （ r）
]
（25）
对于 s 波， 即 k = 1， 方程 （25） 变为
（ħ = c = 1） 的 Dirac 方程为
{α }φ →・→ ［M + S （ r） ］ P +β
[ ddr
2 2
（ r ）+（ E2 - M2） f = 0 2 E + M） V -（ （26）
M + En 1 2 2 Da En + E ）+ - 2 Da（ M - En 4 1 … n = 0， 1， 2， = n + ， 2
2
dg k （ r ）+ V （ r） ］ f （22） + g =［ M - E + S dr r （22） ， 变 在标量势与矢量势相等的情况下， 方程 （21） 为
并与无限深 JoCKoI 方程和 ;HCDL 方程 s 波束缚态解， ［9］ 球方势阱及相对论情况进行了比较 。本文将进一 步考 虑 粒 子 在 BCDEFGC 型 势 中 的 相 对 论 效 应， 在 分别给出 BCDEFGC 型标量势和矢量势相等的条件下， 其结 BlGHI?JoCKoI 方程和 ;HCDL 方程 s 波束缚态解， 果对于研究双原子分子转动?振动有重要意义。
r/ a λ -β （ - n， （16） u（ F 2 2 λ， n r ）=（ r / a ）e βr / a ）
[ ddr
2 2
（ r ）+ 2 E + M） V -（ （ E2 - M2）（ k k - 1） f = 0 r2
3
具有 Kratzer 型标量势与矢量势的 Dirac 方程的 s 波束缚态解
]
（ r） ］ =［ E - V φ
（17） 当取 V （ r ）= - 2 D
在相对论情况下， 中心力场中粒子的守恒量完全集
1 a 方程 （26） 与方程 (a r - 2 r ) 时，
2 2
第 19 卷第 3 期
郭建友等： 具有 Kratzer 型标量势与矢量势的 Klein-Gordon 方程和……
（20）
ﾍ
把 （18） 式或 （19） 式代入 （17） ， 可分离出 Dirac 方程的 径向部分为 df k （ r ）- V （ r） ］ g - f =［ M + E + S dr r （21）
γ = - n， … （14） n = 0， 1， 2， λβ 将 （10） 式、 （5） 式和 （6） 式代入 （14） 式， 可得
［U， @］ 解 ， 而且给出了相对论性氢原子径向算符矩阵 ［+］ ［V］ 元的通项计算公式 ； 陈刚 给出了在 <WRLPl?9GllGC 标量势和矢量势相等的条件下 BlGHI?JoCKoI 方程和 ) 型标 ;HCDL 方程 s 波束缚态解。我们已在 EDI（ C） π η 量势 和 矢 量 势 相 等 的 条 件 下， 分 别 给 出 了 BlGHI?
郭建友，徐辅新
（安徽大学物理系， 合肥 )3**39）
*
摘要：给出了具有 BCDEFGC 型标量势与矢量势的 BlGHI?JoCKoI 方程和 ;HCDL 方程的 s 波束缚态解。 束缚态 关键词： BCDEFGC 势； BlGHI?JoCKoI 方程； ;HCDL 方程； 中图分类号：3A13 . 1 文献标识码： 6
]
在标量势与矢量势相等的条件下， （1） 式可写为
给出了在 ->lEPQI 标量势和矢量势相等的条件 下 ;HCDL 方程 s 波束缚态解； 侯春风等人不仅分别给 出了在 :oCRG 和 SooKR?1DToI 标量势和矢量势相等 条件下 BlGHI?JoCKoI 方程和 ;HCDL 方程 s 波束缚态
(
2
)
φjmj
A
ﾍ ﾍ ﾍ
j + mj Yj - 1 ， 1 m 2j 2 j 2 j - mj Yj - 1 ， 1 m + 2j 2 j 2
φjmj
B
(
2
)
j - mj + 1 Yj + 1 ， 1 2j + 2 2 mj - 2 = j + mj + 1 Y 1， 1 j + 2 mj + 2 2j + 2
第 19 卷第 3 期 )**) 年 + 月
原
子
与
分
子
物
理
学
报
Vol. 19，( . 3 2>l. ，)**)
,-./010 2345/67 38 693:., 6/; :370,4765 <-=1.,1
文章编号：1***?*3@A （)**)） *3?*313?*3
具有 BCDEFGC 型标量势与矢量势的 BlGHI?JoCKoI 方程和 ;HCDL 方程的束缚态
314
2 2
原
子
与
分
子
物
理
学
报
2002 年
（ x ）+ u"
（ x ）= 0 -γ ) u ( - β + 2γ x x
2 2
（8）
→ → → → → → 可以取为 （ H， ， （ H， K， J 2， J z） K， J 2， J z ）的 共
同本征函数为
A （ fn， φjmj k r） 1 ， 当 k = j + 1 时 φ = r B 2 （ φjmj k r） ign，
［3］ 分别给出了具有 ->lEPQI 势的 BlGHI? 9Dl>OKDC 等人 胡嗣柱等 JoCKoI 方程的 s 波束缚态解和散射态解；
{ KKr
[
) ) （ r） ］ （ r） ］ （ r ）= * +［ E - V -［ M + S u （1） （ r） u （ ） R r = r )
)
}
［1 ］Wang I C，Wong C Y. Finite-size effect in the Schwinger ［ J］ particle-production mechanism . Phys. Rev. ，1988， D38 （1） ： 348 ～ 359 . ［ 2 ］ Dominguez-Adame F. Bound states of the Klein-Gordon ［ J］ equation with vector and scalar Hulthén-type potentials . （4） ： Phys. Lett. ，1989， A136 175 ～ 177 . ［3］Talukdar B，Yunus A，Amin M R. Continuum states of the ［ J］ Klein-Gordon equation for vector and scalar interactions . （7） ： Phys. Lett. ，1989， A141 326 ～ 330 . ［4］胡嗣柱， 苏汝铿 . 具有 Hulthén 型势的 Dirac 方程的束缚 （8） ： 态 ［ J］ . 物理学报， 1991， 40 1 201 ～ 1 206 . ［5］侯春风， 李炎， 周忠祥 . 具有 Morse 型标量势与矢量势的