【课时作业练习题】人教版八年级数学下册 第十八章第2课时 菱形的判定
人教版八年级数学下册课时作业：18.2.2 第2课时 菱形的判定
第2课时菱形的判定知识点 1 一组邻边相等的平行四边形是菱形1.如图,若要使▱ABCD成为菱形,则可添加的条件是()A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD2.如图,平行四边形ABCD中,AB=9 cm,BC=4 cm,将BC边以2 cm/s的速度沿BA方向平移得到FE,则当BC边移动s时,四边形DAFE是菱形.3.已知:如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.求证:四边形AEDF 是菱形.知识点 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形4.已知两根长度不相同的木棒的中点被捆在一起,如图拉开一个角度α,当α=时,四边形ABCD是菱形()A.60°B.90°C.45°D.30°5.如图所示,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,则下列条件中能判定四边形ABCD为菱形的是()A.BA=BCB.AC,BD互相平分C.AC=BDD.AB∥CD6.如图,在▱ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,AC⊥EF.求证:四边形AECF是菱形.知识点 3 四条边相等的四边形是菱形AB的长为半径画弧,相交于点C,D,则四边形ACBD为菱形的依据7.如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于12为.8.如图,△ABD为等腰三角形,把它沿底边BD翻折后,得到△CBD.求证:四边形ABCD是菱形.9.如图,四边形ABCD是一张平行四边形纸片,要求利用所学知识作出一个菱形,甲、乙两名同学的作法分别如下:对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的为()A.甲正确,乙错误B.甲错误,乙正确C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误10.如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,若重合部分构成的四边形ABCD中,AB=3,AC=2,则BD的长为.11.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.(1)求证:AF=DC;(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.12.如图,在平面直角坐标系中,有三点A(0,4),B(9,4),C(12,0).已知点P从点A出发沿着AB路线向点B运动,同时点Q从点C出发沿着CO向点O运动,运动速度都是每秒2个单位长度,运动时间为t秒.(1)当t=4.5时,判断四边形AQCB的形状,并说明理由.(2)当四边形AOQB是矩形时,求t的值.(3)是否存在某一时刻,使四边形PQCB是菱形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.答案1.C2.2.5解析：设BC边移动的时间为t s,则BF=2t cm,∴AF=(9-2t)cm.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=4 cm,且AD∥BC.∵BC边以2 cm/s的速度沿BA方向平移得到FE,∴BC=FE,且BC∥FE,∴AD=FE,且AD∥FE,∴四边形DAFE是平行四边形,∴当AF=AD时,四边形DAFE是菱形,此时9-2t=4,解得t=2.5.3.证明:∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形.∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD.∵DE∥AC,∴∠FAD=∠ADE,∴∠EAD=∠ADE,∴AE=DE,∴四边形AEDF是菱形.4.B解析：∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠AOB=90°,∴AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.5.B6.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∵DE=BF,∴AD-DE=BC-BF,即AE=FC.又∵AE∥FC,∴四边形AECF是平行四边形.又∵AC ⊥EF ,∴四边形AECF 是菱形.7.四条边相等的四边形是菱形8.证明:∵将△ABD 沿底边BD 翻折得到△CBD ,∴AB=CB ,AD=CD.又∵AB=AD ,∴AB=CB=CD=AD , ∴四边形ABCD 是菱形.9.C10.4√2 解析： 过点A 作AE ⊥BC 于点E ,AF ⊥CD 于点F.∵两张纸条宽度相同,∴AE=AF. ∵AB ∥CD ,AD ∥BC ,∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵S ▱ABCD =BC ·AE=CD ·AF ,AE=AF. ∴BC=CD ,∴四边形ABCD 是菱形.设BD 与AC 交于点O , 则AC ⊥BD ,AO=12AC=1,BO=12BD ,∴BO=√AB 2-AO 2=2√2, ∴BD=2BO=4√2,故答案为4√2.11.解:(1)证明:∵AF ∥BC ,∴∠AFE=∠DBE ,∠FAE=∠BDE. ∵E 是AD 的中点,∴AE=DE.在△FAE 和△BDE 中,{∠AFE =∠DBE ,∠FAE =∠BDE ,AE =DE ,∴△FAE ≌△BDE ,∴AF=DB. ∵AD 是BC 边上的中线, ∴DB=DC ,∴AF=DC.(2)四边形ADCF 是菱形. 证明:∵AF=DC ,AF ∥DC ,∴四边形ADCF 是平行四边形. ∵AB ⊥AC ,∴△ABC 是直角三角形.∵AD是斜边BC上的中线,∴AD=1BC=DC,2∴平行四边形ADCF是菱形.12.解:(1)四边形AQCB是平行四边形.理由:∵A(0,4),B(9,4),∴AB∥OC,AB=9.当t=4.5时,CQ=2t=9,∴AB=CQ,∴四边形AQCB是平行四边形.(2)∵C(12,0),∴OC=12,∴OQ=12-2t.当四边形AOQB是矩形时,有AB=OQ,即9=12-2t,解得t=1.5,∴当t=1.5时,四边形AOQB是矩形.(3)不存在.理由:当PB=CQ时,四边形PQCB是平行四边形,则9-2t=2t,解得t=2.25,此时CQ=2t=4.5.如图,过点B作BD⊥OC,垂足为D.∵B(9,4),C(12,0),∴BD=4,CD=3,∴BC=2+CD2=5,∴BC≠CQ,∴四边形PQCB不是菱形,即不存在某一时刻,使四边形PQCB是菱形.。
人教版八年级下册数学 18.2.2 菱形 测试题(含答案)
18.2.2 菱形 测试题一、选择题1．对角线互相垂直平分的四边形是( )． A.平行四边形B.矩形C.菱形D.任意四边形2．下列命题中，正确的是( )． A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形3．菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． A.21 B.4 C.1 D.24.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误的是（ ） A.AB ∥DC B.AC=BD C.AC ⊥BDD.OA=OC5.如图,菱形ABCD 的周长是16，∠A = 60°，则对角线BD 的长为（ ） A. 2B.3C. 4D. 36.如图,在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O,OE 丄AB ，垂足为E ，若 ∠ADC=130°， 则∠AOE 的大小为（ ） A. 75°B. 65°C. 55°D. 50°二、填空题7．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：还有：菱形的四条边______；菱形的对角线______，并且每一条对角线平分______；菱形的面积等于__________________，它的对称轴是______________________________．8．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．9.四边形ABCD为平行四边形，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AB=BC；③AC=BD；④AC⊥BD；⑤∠BAC=∠DAC，使得□ABCD为矩形的条件有__________，使得□ABCD为菱形的条件有__________.10.如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相较于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO=__________，菱形ABCD的面积S=__________.11.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是__________.三、解答题12．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE 的最小值是3，求AB的值．13.如图所示，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE//AC，DF//BC，四边形DECF是菱形吗？试说明理由.14.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为点M，AN⊥DC，垂足为点N.若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形ABCD是菱形.15.如图，已知在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.（1）求证：AE=EC（2）当∠ABD=60°时，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由.16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．17.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相较于点O，DE∥AC，CE∥BD.（1）求证：四边形OCED为菱形.（2）连接AE，BE，AE与BE相等吗？请说出理由.18.如图在RtΔABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F.（1）求证：ΔAEF≌ΔDEB；（2）求证：四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，A B=5，求菱形ADCF的面积.19．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．(1)求证：△BDE≌△BCF；(2)判断△BEF的形状，并说明理由；(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．20．如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1＝60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，作第二个菱形AB2C2D2，使∠B2＝60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边，作第三个菱形AB3C3D3，使∠B3＝60°；……依此类推，这样作的第n个菱形AB n C n D n的边AD n的长是______．参考答案1．C．2．B．3．C．4. B 解析A.菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故本选项正确；B. 菱形的对角线不一定相等，故本选项错误；C. 菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD，故本选项正确；D. 菱形的对角线互相平分，所以OA=OC，故本选项正确.故选B.5. C 解析∵菱形ABCD的周长为16，∴BA=AD=DC=CB=4.∵∠A=60°，∴ΔABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=4，∴对角线BD的长为4，故选C.6. B 解析先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的每一条对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，最后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得∠AOE=65°.7．所有性质，都相等；互相垂直，平分一组对角；底乘以高的一半或两条对角线之积的一半；对角线所在的直线．8．.3109.①③②④⑤解析由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定□AB CD为矩形的条件有①③；“邻边相等的平行四边形是菱形”“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，另外，对角线平分一组对角的平行四边形也是菱形，由此，判定□ABCD是菱形的条件有②④⑤.10.1：2 16 解析根据菱形的对角线互相平分，可知AO：BO=AC：BD=1：2.因为菱形ABCD 的四边相等，周长为85，所以AB=25.在RtΔABO中，设AO=x，则BO=2x，利用勾股定理，列出方程x2＋（2x）2=（25）2，求出AO=2，BO=4，所以菱形ABCD的面积S=8´42=16.11.3解析点B关于AC的对称点为点D，连接DE，当点P为DE与AC的交点时，PE＋PB 的值最小，为DE的长.在RtΔADE中求出DE312．2．13.分析：如图所示，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1=∠3导出邻边相等即可.解：四边形DECF是菱形.理由：∵DE∥AC，DF∥BC，.∴四边形DECF是平行四边形.∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2.∵DF∥BC，∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴CF=DF.∴四边形DECF是菱形.14.证明：∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠B=180°.∵∠BAD=∠BCD，∴∠BCD＋∠B=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D.∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB=∠AND=90°.∵AM=AN，∴ΔAMB≌ΔAND，∴AB=AD.∴四边形ABCD是菱形.方法：菱形的证明是四边形证明中的难点，它的证明思路有三种：一是先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等；二是先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直；三是证明四条边都相等.15.（1）证明：连接AC.∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC.又∵点E在BD上，∴AE=EC.（2）解：点F是线段BC的中点.理由如下：在菱形ABCD中，AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴ΔABC是等边三角形，∴∠BAC=60°.∵AE=EC，∠CEF=60°，∴∠EAC=1 2∠CEF=30°，∴AF是ΔABC的角平分线，∴AF是ΔABC边BC上的中线，∴点F是线段BC的中点.16．(1)略；(2)△ABC是Rt△．17.（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，又∵在矩形ABCD中，AC=BD且AC，BD互相平分，∴OC=12AC=12BD=OD，∴四边形OCED为菱形.（2）解：AE与BE相等.理由如下：如图，∵由（1）可知四边形OCED为菱形，∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD.又∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，∠ADC=∠BCD，∴∠ADC＋∠EDC=∠BCD＋∠ECD，即∠ADE=∠BCE，∴△ADE≌△BCE(SAS)，∴AE=BE。
人教版八年级数学下册《菱形的判定》练习
初中数学试卷《菱形的判定》练习一、选择——基础知识运用1．如图，丝带重叠的部分一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形 D．都有可能2．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的一个条件是（）A．AB=BC B．AC=BDC．∠ABC=90°D．AC与BD互相平分3．如图，在□ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）A．AM=AN B．MN⊥ACC．MN是∠AMC的平分线D．∠BAD=120°4．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形窗框是否为菱形，下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互垂直B．测量两组对边是否分别相等C．测量四个角是否相等D．测四条边是否相等5．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形6．如图，AD是△ABC的角平分线，将△ABC折叠使点A落在点D处，折痕为EF，则四边形AEDF一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形二、解答——知识提高运用7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB=∠CBD，AD=BC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC=10，BD=24，AB=13，四边形ABCD是菱形吗？证明你的判断。
8．如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形吗？为什么？9．在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA。
（1）如图（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2）若E是AB延长线上的一点，BE=AD，连接CE，则在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图（2）中面积等于△BCE面积的所有三角形（△BCE除外）。
初二数学菱形的判定作业练习题(含答案)
初二数学菱形的判定作业练习题一．选择题（共5小题）1．下列说法不正确的是()A．四边都相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线互相平分且相等的四边形是菱形2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有()①当AB BC⊥时，四边形ABCD是菱形；=时，四边形ABCD是菱形；②当AC BD③当90=时，四边形ABCD是菱形；∠=︒时，四边形ABCD是菱形；④当AC BDABCA．3个B．4个C．1个D．2个3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA OC=，=．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是()OB ODA．AC BD∠=︒D．AC BD⊥⊥C．60=B．AB BCAOB4．已知四边形ABCD中，AC BD⊥，再补充一个条件使四边形ABCD为菱形，这个条件可以是() A．AC BD==B．AB BCC．AC与BD互相平分D．90∠=︒ABC5．在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是(3,4)，点B的坐标是(3,4)-，要使四边形AOBC 是菱形，则满足条件的点C的坐标是()A．(3,0)-B．(3,0)C．(6,0)D．(5,0)二．填空题（共5小题）6．如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直，那么这个四边形是．7．如图，两张等宽的长方形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是．8．四边形ABCD中，已知//AD BC，添加一个条件，即可判定该四边AB CD，//形是菱形．9．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB OD=，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）10．四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O，请你添加一个合适的条件使其成为菱形．（只需添加一个即可）三．解答题（共4小题）11．如图，在ABCD=．⊥，垂足分别为点E、F，且BE DFY中，AE BC⊥，AF CD求证：ABCDY是菱形．12．已知如图ABCDY中，EF垂直平分对角线BD，交点为O，求证：四边形BFDE是菱形．13．如图，//∠交AE于点D，AC BD⊥于点O，交BF于点C，连接CD．求AE BF，BD平分ABC证：四边形ABCD是菱形．14．如图，在ABCAF BC交BE的延长∠=︒，AD是中线，E是AD的中点，过点A作//∆中，90BAC线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．答案与解析一．选择题（共5小题）1．下列说法不正确的是()A．四边都相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线互相平分且相等的四边形是菱形【分析】由菱形的判定定理和矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：Q四边都相等的四边形是菱形，∴选项A不符合题意；Q有一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴选项B不符合题意；Q对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项C不符合题意；Q对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意；故选：D．2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有()①当AB BC=时，四边形ABCD是菱形；②当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形；③当90∠=︒时，四边形ABCD是菱形：ABC④当AC BD=时，四边形ABCD是菱形；A．3个B．4个C．1个D．2个【分析】根据菱形的判定定理判断即可．【解答】解：Q四边形ABCD是平行四边形，=时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；∴①当AB BC②当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；③当90∠=︒时，四边形ABCD是长方形；故不符合题意；ABC④当AC BD=时，四边形ABCD是长方形；故不符合题意；故选：D．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA OC=．若要使四边形ABCD=，OB OD为菱形，则可以添加的条件是()A．AC BD⊥=B．AB BC∠=︒D．AC BD⊥C．60AOB【分析】由条件OA OC=根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平=，OB OD行四边形，再由矩形和菱形的判定定理即可得出结论．【解答】解：OA OCQ，OB OD=，=∴四边形ABCD为平行四边形，A、AC BDQ，=∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、AB BCQ，⊥∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；Q，∠=︒AOBC、60不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、AC BDQ，⊥∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．4．已知四边形ABCD中，AC BD⊥，再补充一个条件使四边形ABCD为菱形，这个条件可以是() A．AC BD=B．AB BC=C．AC与BD互相平分D．90∠=︒ABC【分析】由在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，又由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求得答案．【解答】解：Q在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，⊥Q，AC BD∴四边形ABCD是菱形．故选：C．5．在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是(3,4)，点B的坐标是(3,4)-，要使四边形AOBC 是菱形，则满足条件的点C的坐标是()A．(3,0)-B．(3,0)C．(6,0)D．(5,0)【分析】如图，连接AB交OC于D，根据菱形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，连接AB交OC于D，Q四边形AOBC是菱形，=，AD OC∴⊥，OD CD-，Q点A的坐标是(3,4)，点B的坐标是(3,4)OD∴=，3∴=，OC6∴，(6,0)C故选：C．二．填空题（共5小题）6．如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直，那么这个四边形是菱形．【分析】由一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直，根据菱形的判定定理可得这个四边形是菱形．【解答】解：Q一个四边形的两条对角线互相平分，∴此四边形是平行四边形，Q两条对角线互相垂直，∴这个四边形是菱形．故答案为：菱形．7．如图，两张等宽的长方形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形．【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．【解答】解：过点A 作AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，如图，Q 两条纸条宽度相同，AE AF ∴=．//AB CD Q ，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．ABCD S BC AE CD AF =⋅=⋅Y Q ．又AE AF =Q ．BC CD ∴=，∴四边形ABCD 是菱形；故答案为：菱形．8．四边形ABCD 中，已知//AB CD ，//AD BC ，添加一个条件 AB BC =或AC BD ⊥ ，即可判定该四边形是菱形．【分析】根据平行四边形的判定证出四边形ABCD 是平行四边形，根据菱形的判定证出即可．【解答】解：添加的条件是AB BC =，或AC BD ⊥；理由如下：//AB CD Q ，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，若AB BC =，则平行四边形ABCD 是菱形；若AC BD ⊥，则平行四边形ABCD 是菱形；故答案为：AB BC =或AC BD ⊥．9．如图，四边形ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且OB OD =，请你添加一个适当的条件OA OC = ，使四边形ABCD 是菱形．（只需添加一个即可） 【分析】可以添加条件OA OC =，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．【解答】解：OA OC =，OB OD =Q ，OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥Q ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故答案为：OA OC =．10．如图，四边形ABCD 为平行四边形，请你添加一个合适的条件 ()AB BC AC BD =⊥ 使其成为菱形．（只需添加一个即可）【分析】根据菱形的判定可得．【解答】解：AB BC =Q （一组邻边即可），且四边形ABCD 为平行四边形∴四边形ABCD 是菱形AC BD ⊥Q ，且四边形ABCD 为平行四边形∴四边形ABCD 是菱形．故答案为()AB BC AC BD =⊥三．解答题（共4小题）11．如图，在ABCD Y 中，AE BC ⊥，AF CD ⊥，垂足分别为点E 、F ，且BE DF =． 求证：ABCD Y 是菱形．【分析】由平行四边形的性质可得B D ∠=∠，由“ASA ”可证ABE ADF ∆≅∆，可得AB AD =，即可得结论．【解答】证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形B D ∴∠=∠，且BE DF =，90AEB ADF ∠=∠=︒()ABE ADF ASA ∴∆≅∆AB AD ∴=，且四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是菱形12．已知如图ABCD Y 中，EF 垂直平分对角线BD ，交点为O ，求证：四边形BFDE 是菱形．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出DOE BOF ∆≅∆，得到OE OF =，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE 为菱形．【解答】证明：Q 在ABCD Y 中，O 为对角线BD 的中点，BO DO ∴=，EDB FBO ∠=∠，在DOE ∆和BOF ∆中，EDO FBO OD OBEOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()DOE BOF ASA ∴∆≅∆；OE OF ∴=，又OB OD =Q ，∴四边形EBFD 是平行四边形，EF BD ⊥Q ，∴四边形BFDE 为菱形．13．如图，//AE BF ，BD 平分ABC ∠交AE 于点D ，AC BD ⊥于点O ，交BF 于点C ，连接CD ．求证：四边形ABCD 是菱形．【分析】直接利用平行线的性质结合角平分线的定义得出对应角的关系，进而得出()ADO CBO ASA ∆≅∆，进而证明即可．【解答】证明：//AE BF Q ，ADB CBD ∴∠=∠，BD Q 平分ABC ∠交AE 于点D ，ABD DBC ∴∠=∠，ABD ADB ∴∠=∠，AB AD ∴=，AC BD ⊥Q ，BO DO ∴=，在ADO ∆和CBO ∆中ADO CBO DO BOAOD BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADO CBO ASA ∴∆≅∆，AD BC ∴=，又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =Q ，∴四边形ABCD 是菱形．14．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是中线，E 是AD 的中点，过点A 作//AF BC 交BE 的延长线于F ，连接CF ，求证：四边形ADCF 是菱形．【分析】根据AAS 证AFE DBE ∆≅∆，推出AF BD =．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF 是菱形．【解答】证明：//AF BC Q ，AFE DBE ∴∠=∠，E Q 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，AE DE ∴=，BD CD =，在AFE ∆和DBE ∆中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFE DBE AAS ∴∆≅∆；AF DB ∴=．DB DC =Q ，AF CD ∴=．//AF BC Q ，∴四边形ADCF 是平行四边形，90BAC ∠=︒Q ，D 是BC 的中点， 12AD DC BC ∴==， ∴四边形ADCF 是菱形．。
新人教版八年级下《18.2.2菱形》课时练习含答案(初中 数学试卷)
新人教版数学八年级下册18.2.2菱形课时练习一、选择题(共15小题)1.在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形答案：B知识点：坐标与图形性质；菱形的判定解析：解答：画出草图，求得各边的长，再根据特殊四边形的判定方法判断．在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形．分析：动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点．2.用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（）A、矩形B、菱形C、正方形D、等腰梯形答案：B知识点：等边三角形的性质；菱形的判定解析：解答：由题可知，得到的四边形的四条边也相等，得到的图形是菱形．由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．故选B．分析：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．3.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A、①③B、②③C、③④D、①②③答案：A知识点：菱形的判定；平行四边形的性质解析：解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形可知：①，③正确．故选A．分析：本题考查菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（）A、正方形B、等腰梯形C、菱形D、矩形答案：C知识点：菱形的判定解析：解答：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形．故选C．分析：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．5.在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形答案：B知识点：等边三角形的性质；菱形的判定解析：解答：用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为a，根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形．根据题意得，拼成的四边形四边相等，则是菱形．故选B．分析：此题主要考查了等边三角形的性质，菱形的定义．6.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A、等腰梯形B、正方形C、矩形D、菱形答案：D知识点：等边三角形的性质；菱形的判定解析：解答：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．由题意可得：得到的四边形的四条边相等，即是菱形．故选D．分析：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．7.汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（）A、正方形B、等腰梯形C、菱形D、矩形答案：C知识点：菱形的判定解析：解答：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形．故选C．分析：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．8.能判定一个四边形是菱形的条件是（）A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分答案：D知识点：菱形的判定解析：解答：根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形，故选D．分析：本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定．9.四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形答案：C知识点：菱形的判定；平方的非负性解析：解答：本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，从而得出a=b=c=d，∴四边形一定是菱形．解：整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），）∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，由非负数的性质可知：（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0，∴a=b=c=d，∴四边形一定是菱形，故选C．分析：此题主要考查了菱形的判定，关键是整理配方式子，还利用了非负数的性质．10.如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（）A、是正方形B、是长方形C、是菱形D、以上答案都不对答案：C知识点：垂径定理；菱形的判定解析：解答：根据垂径定理和特殊四边形的判定方法求解．由垂径定理知，OC垂直平分AB，即OC与AB互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．故选C．分析：本题综合考查了垂径定理和菱形的判定方法．11.如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（）A．12m B．20m C．22m D．24m答案：C知识点：菱形的性质；等边三角形的性质解析：解答：连接AC ，已知∠A=120°，ABCD 为菱形，则∠B=60°，从而得出△ABC 为正三角形，以△ABC 的顶点所组成的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是△ ABC 边长的31，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为31×6×10＝20m ，故选B ．分析：本题综合考查了菱形的性质和等边三角形的性质．12.能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）A ．对角线互相平分且相等B ．对角线互相垂直且相等C ．对角线互相垂直且对角相等D ．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角 答案：C知识点：菱形的判定解析：解答：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴A 、B 、D 都不正确；∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形是菱形，∴C 正确．故选C ．分析：本题综合考查了菱形的判定．13.下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是（ ）A ．有一组对边平行且相等，有一个角是直角B ．两组对边分别相等，且有一组邻角相等C ．有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直D ．有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角答案：D知识点：菱形的判定解析：解答：A ．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；B ．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；C ．错误，可判定为等腰梯形，而不是菱形；D ．正确，有一组对边平行且相等可判定为平行四边形，有一条对角线平分一个内角，则可判定有一组邻边相等，而一组邻边相等的平行四边形是菱形．故选D ．分析：本题综合考查了菱形的判定．14.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G ，则CF 与GB 的大小关系是（ ）A.CF＞GBB.GB=CFC.CF＜GBD.无法确定答案：B知识点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；菱形的判定与性质解析：解答：用观察和作图的方法可以猜测CF=GB．下面只要证明CF=GB即可．由条件∠ACB=90°，AF平分∠CAB，想到FH⊥AB，垂足为H，连接EH，易证菱形CEHF，平行四边形EHBG，故有CF=EH=GB，从而得证．要证明菱形CEHF，只需证明两对边平行，临边相等，根据菱形的定义即可证明．要证平行四边形EHBG，两对边平行即可．关于证明EH∥BC，只需证明∠AHE=∠B，通过在Rt△ACD与Rt△ACD中，证明∠ACD=∠B、∠AHE=∠ACD即可得．解：过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，在△ACF与△AHF中∵AF平分∠CAB交CD于E，又∵AF=AF，∴△ACF≌△AHF，∴AC=AH，同理在△ACE与△AHE中，△ACE≌△AHE，可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，又∵∠CAD与∠CAB为同一角，∴∠ACD=∠B，∴∠AHE=∠B，∴EH∥BC，∵CD⊥AB，FH⊥AB，∴CD∥FH，∴四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，∴CF=EH=，EH=GB，∴CF=GB．故选B．分析：本题考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形的性质．难点在于恰当添加辅助线FH、EH，根据题意证明菱形CEHF，平行四边形EHBG．此类题学生丢分率较高，需注意．15.如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A 的度数为（）A、36°B、72°C、120°D、44°答案：C知识点：等腰三角形的性质；菱形的判定与性质解析：解答：先证明四边形ABDC是菱形，再根据DE是AB的垂直平分线，得到△ABD是正三角形，此题就不难求解了．解：如图，连接AD，BD，∵AB=AC，AC=CD，∴AB=CD，又∵AB∥CD，∴四边形ABDC是菱形，∵DE垂直平分腰AB，∴AD=BD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°，∴∠A=2∠DAB=120°，∴∠A的度数为120°．故选C．分析：本题考查了菱形的判定和性质，四边都相等的四边形是菱形，这是解决本题的关键．二、填空题（共5小题）1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是_________（只填一个你认为正确的即可）．答案：AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD知识点：菱形的判定解析：解答：根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD．四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD（答案不唯一）分析：本题考查平行四边形及菱形的判定．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．2.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________．答案：AB=AD或AC⊥BD知识点：菱形的判定解析：解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴可添加：AB=AD或AC⊥BD．因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=AD或AC⊥BD．分析：本题考查菱形的判定，答案不唯一．3.如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是_________．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）答案：AC⊥EF或AF=CF等知识点：菱形的判定；平行四边形的性质；角平分线的性质解析：解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．解：则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．证明：∵AD∥BC，∴∠FAD=∠AFB，∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF=FAD，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，同理ED=CD，∵AD=BC，AB=CD，∴AE=CF，又∵AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形，∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．分析：本题考查了菱形的判定，利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解，答案不唯一．4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：_________⇒ABCD是菱形；_________⇒ABCD是菱形．答案：（1）（2）（6）⇒ABCD是菱形；（3）（4）（5）或者（3）（4）（6）⇒ABCD 是菱形．知识点：菱形的判定解析：解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．解：（1）（2）（6）⇒ABCD是菱形．先由（1）（2）得出四边形是平行四边形，再由（6）和（2）得出∠DAC=∠DCA，由等角对等边得AD=CD，所以平行四边形是菱形．（3）（4）（5）⇒ABCD是菱形．由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．（3）（4）（6）⇒ABCD是菱形．由（3）（4）得出四边形是平行四边形，再由（6）得出∠DAC=∠DCA，由等角对等边得AD=CD，所以平行四边形是菱形．分析：本题考查菱形的判定．5.若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件_________（写一个即可），使四边形ABCD 是菱形．答案：AB=BC或者AC⊥BD知识点：菱形的判定解析：解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可补充条件：AB=BC或AC⊥BD．分析：主要考查了菱形的特性．菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．三、解答题（共5小题）1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．（1）求证：△ABE≌△ACE；（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．答案：见解析知识点：全等三角形的判定；菱形的判定解析：解答：由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形．（1）证明：∵AB=AC，点D为BC的中点，∴∠BAE=∠CAE，∵AE=AE∴△ABE≌△ACE（SAS）．（2）解：当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形理由如下：∵AE=2AD，∴AD=DE，又∵点D为BC中点，∴BD=CD，∴四边形ABEC为平行四边形，∵AB=AC，∴四边形ABEC为菱形．分析：本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易．2.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．（1）求证：△ADE≌△CBF．（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．答案：见解析知识点：全等三角形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定解析：解答：（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分别为边AB、CD的中点，那么AE=CF，这样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．（2）直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形．（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，∵E、F分别为AB、CD的中点，∴AE=CF．在△AED和△CFB中，∴△AED≌△CFB（SAS）；（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．∵E是AB的中点，∴DE=AB=BE．由题意可知EB∥DF且EB=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∴四边形BFDE是菱形．分析：本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和菱形的判定等知识点．3.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．答案：见解析知识点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定解析：解答：（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是平行四边形，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AF=DF，从而可证平行四边形AEDF实菱形．证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，同理∠DAE=∠FDA，∵AD=DA，∴△ADE≌△DAF，∴AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴∠DAF=∠FDA．∴AF=DF．∴平行四边形AEDF为菱形．分析：考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．4.已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．答案：见解析知识点：菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；平行线的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：由题意易得DE=BE，再证四边形BCDE是平行四边形，即证四边形BCDE是菱形．证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点，∴BE=AB，DE=AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD （ASA ），∴BE=BC，∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）分析：此题主要考查菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质．5.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN 的数量关系，并证明你的结论．答案：见解析知识点：全等三角形的判定；菱形的判定解析：解答：（1）由SSS可证△ABC≌△DCB；（2）BN=CN，可先证明四边形BMCN是平行四边形，由（1）知，∠MBC=∠MCB，可得BM=CM，于是就有四边形BMCN是菱形，则BN=CN．（1）证明：如图，在△ABC和△DCB中，∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB；（2）解：据已知有BN=CN．证明如下：∵CN∥BD，BN∥AC，∴四边形BMCN是平行四边形，由（1）知，∠MBC=∠MCB，∴BM=CM（等角对等边），∴四边形BMCN是菱形，∴BN=CN．分析：此题主要考查全等三角形和菱形的判定．。
八年级数学下册第十八章菱形的判定(人教版)
5.(例3)如图，△BCD为等腰三角形，把它沿底边BD翻折后， 得到△ABD.请你判断四边形ABCD的形状，并说出你的理由．
解：四边形ABCD是菱形．理由如下： ∵△BCD为等腰三角形， ∴BC＝CD. 由翻折得到△ABD， ∴AB＝BC，AD＝DC. ∴AB＝BC＝CD＝AD. ∴四边形ABCD是菱形．
8.将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能 够判定四边形ACED为菱形的是( D ) A．AB＝BC B.∠ACB＝60° C.∠B＝60° D.AC＝BC
第2关 9. 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其
延长线上，连接BE、CF，CE∥BF. (1)求证：△BDF≌△CDE； (2)若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形.
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，△AED是等边三角形，
∴∠BAE＋∠EAG＝60°，∠CAD＋∠EAG＝60°.
∴∠BAE＝∠CAD. A B A C , 在△AEB和△ADC中， B A E C A D ,
A E A D ,
∴△AEB≌△ADC(SAS)．
(2)解：四边形BCGE是菱形．理由如下： 由(1)知△AEB≌△ADC，∴∠ADC＝∠AEB. ∴∠FBE＝∠BAE＋∠AEB＝∠CAD＋∠ADC＝∠ACB＝60°. ∵BC∥FG，∴∠F＝∠ABC＝60°，∠G＝∠ACB＝60°. ∴∠BEF＝180°－60°－60°＝60°. 又∵∠G＝∠BEF，∴BE∥AG. 又∵FG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形． 又∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD. 又∵BC＝CD，∴BE＝BC. ∴ BCGE是菱形．
∴∠ABC＝∠ADE. 由(1)知△ABC≌△FBE，
证明：∵DE∥AC，CE∥BD， (2)四边形ACFE是菱形.
人教版数学八年级下册课时练 第十八章 平行四边形 18.2.2 第2课时 菱形的判定
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形第2课时菱形的判定1．小明和小亮在做一道习题：若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD.你认为下列说法正确的是(B)A．小明、小亮都正确B．小明正确，小亮错误C．小明错误，小亮正确D．小明、小亮都错误2．(2019·湖南邵阳期末)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE ＝DF.求证：▱ABCD是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD，∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形．3．(2019·山东临沂兰陵期末)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AF＝BD；(2)求证：四边形ADCF是菱形．证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.又∠AEF＝∠BED，∴△AFE≌△DBE(AAS)．∴AF＝BD.(2)在Rt△ABC中，∵D是斜边BC的中点，∴AD＝DC＝BD.∵AF＝BD，∴DC＝AF.又AF∥DC，∴四边形ADCF是平行四边形．∴四边形ADCF是菱形．4．(2019·宁夏中考)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(C)A．AC⊥BD B．AB＝ADC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD5．(2019·山东泰安泰山区期中)如图，在▱ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.求证：四边形AFBE是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠AEG＝∠BFG.∵EF垂直平分AB，∴AG＝BG.又∠AGE＝∠BGF，∴△AGE≌△BGF(AAS)．∴AE＝BF.∴四边形AFBE是平行四边形．又EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．6．(2019·四川巴中平昌期末)下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是(C) A．AC⊥BD，AC与BD互相平分B．AB＝BC＝CD＝DAC．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BDD．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD7．(2019·山东枣庄滕州模拟)如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2，则OC的长为(C)A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm8．(2019·重庆北碚区月考)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AF⊥BC.求证：四边形ADFE是菱形．证明：∵AF⊥BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴AB＝AC，DF＝12AC＝AE，EF＝12AB＝AD.∴DF＝AD＝EF＝AE.∴四边形ADFE是菱形．9．(2019·湖南永州中考)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点．若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为(B)A．40 B．24 C．20 D．15第9题图第10题图10．(教材P58，练习，T3改编)如图，由两个长为9、宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是(A)A．15 B．16 C．19 D．2011．(2019·江苏南京秦淮区一模)如图，在“飞镖形”ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)“飞镖形”ABCD满足条件__AC＝BD__时，四边形EFGH是菱形．解：(1)证明：如图，连接AC.∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，∴EF，GH分别是△ABC，△ACD的中位线．∴EF綉12AC，GH綉12AC.∴EF綉GH.∴四边形EFGH是平行四边形．12．(2019·安徽淮南谢家集区期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若DC＝5，AC＝2，求OE的长．解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB.∵AB＝BC，∴AD＝BC.∴四边形ABCD是平行四边形．又AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．(2)OE＝2.13．(2019·广西柳州期末)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC，DC，BC于点E，F，G，连接DE，DG.(1)求证：四边形DGCE是菱形；(2)若∠ACB＝30°，∠B＝45°，CG＝10，求BG的长．解：(1)证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCG.∵EG垂直平分CD，∴DG＝GC，DE＝EC.∴∠DCG＝∠GDC，∠ACD＝∠EDC.∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC.∴CE∥DG，DE∥GC.∴四边形DECG是平行四边形．又DE＝EC，∴四边形DGCE是菱形．(2)BG＝5＋5 3.14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0＜t≤15)，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF.(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．解：(1)证明：∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠C＝90°－∠A＝30°.∵DF⊥BC，∴DF＝12CD＝2t.∵AE＝2t，∴AE＝DF.(2)当t＝10时，四边形AEFD是菱形．(3)当t＝152时，△DEF是直角三角形(∠EDF＝90°)；当t＝12时，△DEF是直角三角形(∠DEF＝90°)．。
八年级数学下册18-2-2菱形第2课时菱形的判定作业新版新人教版
11．(遂宁中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线 EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F.
(1)求证：AE＝CF； (2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，BE∥DF，∴∠E＝ ∠F，又∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AE＝CF
(2)当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：连接BF，DE，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四边形 BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴平行四边形BFDE是菱形
12．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC， ∠ABD＝90°.
求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF， ∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形 AECF是菱形
知识点3：四条边相等的四边形是菱形
6．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为
(2)∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，又∠BAC＝∠DAC，∴∠ACD＝∠DAC， ∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是 菱形
(3)当EB⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD， ∠BCF＝∠DCF，又CF＝CF，∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CBF＝∠CDF，又 BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD
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2．【模型拓展探究】已知：菱形ABCD中，E，F是动点，∠BAD＝120°，
人教版八年级数学下册 18.2.2菱形第2课时菱形的判定练习
18.2.2 菱形第2课时 菱形的判定练习11、能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O, AB=5, AO=2, OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？3、 如图，AD 是△ABC 的角平分线。
DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F.四边形AEDF 是菱形吗？说明你的理由。
4、如图，□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 分别交于E 、F ，四边形AFCE 是否是菱形？为什么？5、已知DE ∥AC 、DF ∥AB ，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF 为菱形的是（ ） A. AD 平分∠BACB. AB ＝AC ＝且BD ＝CDC. AD 为中线D. EF ⊥AD6、 如右图，已知四边形ABCD 为菱形，AE ＝CF. 求证：四边形BEDF为菱形。
7、已知ABCD 为平行四边形纸片，要想用它剪成一个菱形。
小刚说只要过BD 中点作BD 的垂线交AD 、BC 于E 、F ，沿BE 、DF 剪去两个角，所得的四边形BFDE 为菱形。
你认为小刚的方法对吗？为什么？8、如右上图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD 是菱形吗？为什么？9、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，点M 、N 分别在BD 、AC 上，且AO ＝ON ＝NC ，BM ＝MO ＝OD. 求证：BC ＝2 DN.DACF H E B10、如图，已知四边形ABCD 为矩形，AD ＝20㎝、AB ＝10㎝。
M 点从D 到A ，P 点从B 到C ，两点的速度都为2㎝/s ；N 点从A 到B ，Q 点从C 到D ，两点的速度都为1㎝/s 。
若四个点同时出发。
（1）判断四边形MNPQ 的形状。
人教版八年级下册数学作业课件 第十八章 第2课时 菱形的判定 (2)
13．如图①，BD 是矩形 ABCD 的对角线， ∠ABD＝30°，AD＝1.将△BCD 沿射线 BD 方向平移 到△B′C′D′的位置，使 B′为 BD 中点，连接 AB′，C′D， AD′，BC′，如图②.
11．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为 11 和 7，
按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构
成的四边形 BGDH 的周长为
340 11
.
12．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 BD 的垂直平分线与边 AD，BC 分别相交于点 M，N， 连接 BM，DN. (1)求证：四边形 BNDM 是菱形； 证明：∵AD∥BC， ∴∠DMO＝∠BNO. ∵MN 是对角线 BD 的垂直平分线， ∴OB＝OD，MN⊥BD.
又∵∠ADB＝60°， ∴△ADB′是等边三角形． ∴AD＝AB′. ∴四边形 AB′C′D 是菱形．
(2)四边形 ABC′D′的周长为 4 3 ； 解析：由平移可得 AB＝DC＝C′D′， ∠C′D′B＝∠CDB＝∠ABD′＝30°， ∴AB∥C′D′.∴四边形 ABC′D′是平行四边形． 如图②，连接 AC′，由(1)知四边形 AB′C′D 是菱形， ∴AC′⊥B′D.∴四边形 ABC′D′是菱形． ∵在 Rt△ABD 中，AD＝1，∠ABD＝30°， ∴BD＝2.∴AB＝ BD2－AD2＝ 3. ∴四边形 ABC′D′的周长为 4 3.
(1)求证：四边形 AB′C′D 是菱形； 证明：∵BD 是矩形 ABCD 的对角线，∠ABD＝30°， ∴∠ADB＝60°. 由平移可得 B′C′＝BC＝AD， ∠D′B′C′＝∠DBC＝∠ADB＝60°， ∴AD∥B′C′. ∴四边形 AB′C′D 是平行四边形．
数学八年级下册第十八章第2课时菱形的判定作业课件 新人教版
第十八章ꢀ平行四边形18．2ꢀ特殊的平行四边形18．2.3ꢀ正方形B1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是()A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角2．(例5变式)如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有()CA．4个B．6个C．8个D．10个B 45°5．(2019·内江)如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF.(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE＝5，请求出EF的长．6．(内江中考)下列命题中，真命题是CA．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD.选两个作为补充条件，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的选法是BA．①②B．②③C．①③D．③④6．(2019·贺州)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．(2)解：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵BC＝AD，∴CE＝AF，∵CE∥AF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形7．下列命题中，正确的是()DA．有一个角是60°的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．有两边相等的平行四边形是菱形D．四条边相等的四边形是菱形8．(2019·兰州)如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由；(2)求BD的长．9．若四边形的两条对角线分别平分两组对角，则该四边形一定是()C A．平行四边形B．矩形C．菱形D．以上都有可能10．(2019·宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，C 且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是() A．AC⊥BD B．AB＝ADC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD11．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AB＝CD AD，BD，BC，CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足________时，四边形EFGH是菱形．12．(习题6变式)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形．证明：(方法不唯一)由折叠性质知：AE＝DE，AF＝DF，∴∠DAE＝∠EDA，∠ADF＝∠FAD，∵∠DAE＝∠FAD，∴∠DAE＝∠ADF，∠DAF＝∠EDA，∴DF∥AE，DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形14．如图，将一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再折叠一次，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②.求证：(1)∠ABE＝30°；(2)四边形BFB′E为菱形．证明：(1)∵第二步折叠使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，∴∠AEB＝∠A′EB.∵第三步折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，∴∠A′EB＝∠FEB′.∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°，∴∠AEB＝∠A′EB＝∠FEB′＝60°，∴∠ABE＝30°(2)∵沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，∴BE＝B′E，BF＝B′F.∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠FEB′＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF，∴BE＝B′E＝B′F＝BF，∴四边形BFB′E为菱形。
人教版八年级数学下册18.2.2 菱形的判定.docx
A BCDF EOABCD图2初中数学试卷桑水出品18.2.2 菱形的判定1、下列说法正确的是（ ）A 、 菱形的对角线相等B 、两组邻边分别相等的四边形是菱形C 、 对角线互相垂直的四边形是菱形D 、菱形的对角线互相垂直平分. 2、在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）． （A ）AB ∥CD ，AD=BC （B ）∠A=∠B ，∠C=∠D （C ）AB=CD ，AD=BC （D ）AB=AD ，CB=CD3、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1cm 的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图1），则重叠四边形的面积为 Cm 2.4、将矩形纸片ABCD 按如图2所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的 长为( )A ．1B ．2C ．2D ．3 5、如图，在□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，并且AB =9，OB =6，OA =35。
求证：（1）□ABCD 是菱形。
（2）求四边形ABCD 的面积。
图16、如图所示，AE ∥BF ，AC 平分∠BAD ，且交BF 于点C ，BD 平分∠ABC ，且交AE 于点D ，连接CD ，求证：四边形ABCD 是菱形7、如图，四边形ABCD 是菱形，AC=8，DB=6，DH ⊥AB 于点H 。
求DH 的长。
8、已知：如图，四边形ABCD 中，AC ＝BD ，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，AD 的中点。
求证：四边形EFGH 是菱形．EO FDCBAAEDCB9、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD ＞AB ），将纸片折叠一次，使点A 与C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于E ，交BC 边于F ，分别连结AF 和CE ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AE=10 c m ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长.。