第四十课--椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的长度。
椭圆的定义让我们可以从几何的角度来理解它，但更重要的是要掌握椭圆的数学性质和标准方程。
接下来，我们将详细介绍椭圆的数学性质和标准方程。
首先，我们来看椭圆的标准方程(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
这个方程中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的长度。
通过这个方程，我们可以确定椭圆的位置、形状和大小。
其次，椭圆的离心率是一个重要的概念。
离心率e定义为焦点到中心的距离与长轴长度的比值，即e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
离心率描述了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。
另外，椭圆还有一个重要的性质是它的对称轴。
椭圆有两条对称轴，分别是x 轴和y轴，它们通过椭圆的中心，并且与椭圆的长轴和短轴垂直。
对称轴对于研究椭圆的性质和方程都有重要的作用。
除此之外，椭圆还与焦点、直径、引线等概念有着密切的联系，这些概念都是理解和研究椭圆的重要工具。
总之，椭圆是数学中重要的曲线之一，它有着独特的数学性质和几何特征。
通过掌握椭圆的标准方程和数学性质，我们可以更深入地理解和研究椭圆，为数学和科学的发展做出贡献。
希望本文对你对椭圆及其标准方程有所帮助，谢谢阅读！。
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目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆及标准方程
椭圆及标准方程椭圆是平面上到定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设F1(-c,0)，F2(c,0)，点P(x,y)，则PF1+PF2=2a。
椭圆的标准方程为，x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。
椭圆的性质：1.椭圆的离心率0<e<1，焦点到中心的距离为ae。
2.椭圆的长轴2a，短轴2b，焦距2ae。
3.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。
4.椭圆的面积为πab。
5.椭圆的焦点到直径的距离等于直径的一半。
6.椭圆的焦点到切线的距离等于焦点到法线的距离。
7.椭圆的切线与法线的交点坐标分别为(x1,y1)和(x1,-y1)。
8.椭圆的渐近线方程为y=±b/ax。
9.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
10.椭圆的极坐标方程为r=a(1-e^2)/(1+ecosθ)。
椭圆的标准方程推导：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，中心为O(0,0)，点P(x,y)。
则有PF1+PF2=2a，根据两点之间的距离公式可得。
√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a。
整理得到。
(√((x+c)^2+y^2))^2+(√((x-c)^2+y^2))^2=4a^2。
化简得到。
x^2/a^2+y^2/b^2=1。
从而得到椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程性质：1.椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。
2.椭圆的中心在原点O(0,0)。
3.椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上。
4.椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，离心率e=c/a。
5.椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距2ae。
6.椭圆的面积为πab。
7.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。
8.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
第四十课--椭圆及其标准方程(新编201910)
|MF1|+ |MF2| = 2a
椭圆的标准方程
1、回顾:求曲线的一般步骤:
建系、设点、列式、化简。
2、如何建y 系，M 使求出的方程最y简？
F1 O
F2 x
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
y
椭圆的标准方程 BM
方案一：1、建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系;
第四十课 椭圆及其标准方程
情景设计
问题:2003年10月15日,中国”神州5号”飞船实 验成功,实现了中国人的千年飞天梦.请问”神 州5号”飞船绕什么旋转?运行的轨迹是什么?
动画演示 那么,生活中你还见过椭圆形状的物品吗?
小组合作,形成概念
问题1:什么叫圆? 答:到一个定点的距离等于定长的点的集合叫圆.
小组合作,形成概念
设∣F1F2∣= 2c, ∣MF1∣+∣MF2∣= 2a，则
c=0时,圆
M
2a>2c时,椭圆 2a=2c时,线段
F1
F2
2a<2c时,无轨迹
小组合作,形成概念
M
椭圆的定义：
F1
F2
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于 |F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
F1、F2 ——焦点 |F1F2 | ——焦距（一般用2c表示）
问题2:如果将圆的定义中的”一个定点”改为”两个定
点”,也就是说将”到一个定点的距离等于定长”改述为:
到两个定点的距离之和等于定长,那么点的集合又是什么
呢?
动画演示1
动画演示2
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椭圆及其标准方程ppt课件
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
第四十课--椭圆及其标准方程
小组合作,形成概念
M
椭圆的定义：
F1
F2
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于 |F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
F1、F2 ——焦点 |F1F2 | ——焦距（一般用2c表示）
|MF1|+ |MF2| = 2a
椭圆的标准方程
1、回顾:求曲线的一般步骤:
建系、设点、列式、化简。
2、如何建y 系，M 使求出的方程最y简？
Y
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
F2 M
判断：x2 y2 1与 x2 y2 1的焦点位置，
O
X
16 9
9 16
思考如何由方程判断其焦点在x轴还是在y轴上？ F1
结论:看x2,y2的分母大小,哪个大就在哪一条轴上.
椭圆的标准方程
不 标准方程
同 图形 点
M x2
a2
y2 b2
1(a
b
0)
变化的观点和研究曲线的基本方法：坐标法。
作业布置
§ P96习题8.1的1(2)、2、4。
(3）化简： (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 10
课堂练习
§ P95-96的2、3（1）（2）（3） § 备用练习：对椭圆 x2 y2 1, ，个小组仿照例题或习
题的形式自己设计一25个题9 目，两个小组交换审查并 尝试作答。
课堂小结
§ 椭圆的定义及标准方程； § 标准方程中a,b的确定及a,b,c的关系； § 椭圆定义的形成和方程的推导，蕴涵着运动
例题讲解
例1 (1)判断下列方程的焦点位置,并指出焦点坐标:
x2 y2 1;25x2 16 y2 400; x2 y2 1(m n 0).
椭圆及其标准方程(24张PPT)
知识生成
• (1)取一条细绳 • (2)把它的两端固定在图板上的两
点F1、F2 • (3)用铅笔尖把细绳拉紧，在图板上
慢慢移动看看画出的图形
知识生成
思考1
（1）在画图的过程中，F1、F2的位置是固定的
还是运动的？
固定的
F11
（2）在画图的过程中，绳子的长度变了没有？
说明了什么？
|MF1|+|MF2|为定值
x2
y2
(4) 1
m2 m2 1
焦点坐标为： F1(0,1)，F2 (0,1)
应用拓展
2.已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
y
并且经过点P
5 ， 3 2 2
，求它的标准方程.
F1 O
解：因为椭圆的焦点在x轴上，设 由椭圆的定义知
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
2a
椭得圆，的b焦2 x距2 为a22 yc，2 则a有2bF2 1(-c，0)、F2(c，0).
化 两边同又除设以Ma与2bF2得1，axF222的 距by22离的1.和(a等于b 2a0)
构建方程
焦点在 x 轴上,椭圆的 标准方程
y
M (x, y)
F1 O
F2
x
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
当2a<2c时，即距离之和小于焦距时
知识生成
1.当2a 2c时，M点的轨迹是 椭圆 2.当2a 2c时，M点的轨迹是 线段F1F2 3.当2a 2c时，M点的轨迹是 不存在
知识深化
思考3
(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为
10,则M点的轨迹是什么？
高二数学椭圆及其标准方程4
小组合作,形成概念
M
椭圆的定义：
F1
F2
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于 |F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
F1、F2 ——焦点 |F1F2 | ——焦距（一般用2c表示）
|MF1|+ |MF2| = 2a
椭圆的标准方程
1、回顾:求曲线的一般步骤:
建系、设点、列式、化简。
2、如何建y 系，M 使求出的方程最y简？
4、化简：
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
(x c)2 y2 2a (x c)2 y2
两边平方得：(x+c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
即a2 cx a (x c)2 y2 .两边平方得：a4 2a2cx c2 x2 a2 (x c)2 a2 y2
F1 O
F2 x
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
y
椭圆的标准方程 BM
方案一：1、建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系;
F1 O
Fx
2
2、设点：设M（x,y)是椭圆上任意一点，设︱ F1F2 ︱=2c，则F1（-c,0),
F2(c,0);
3、列式:︱ MF1︱+︱MF2︱=2a
第四十课 椭圆及其标准方程
情景设计
问题:2003年10月15日,中国”神州5号”飞船实 验成功,实现了中国人的千年飞天梦.请问”神 州5号”飞船绕什么旋转?运行的轨迹是什么?
动画演示 那么,生活中你还见过椭圆形状的品吗?小组合作,形成概念
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是数学中的一个重要概念，指的是平面上一组点，到两个固定点（称为焦点）的距离之和是常数的点的集合。
它是圆锥曲线之一，在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
本文将介绍椭圆及其标准方程。
一、椭圆椭圆是一个常出现于生活中的几何形状，比如篮球、鸡蛋等，都是椭圆形状。
在代数学中，一个在平面内有两个固定焦点F1和F2的点P，使得PF1+PF2=2a（a>0），则称这个点P在以F1和F2为焦点、2a为长轴的椭圆上。
椭圆也可以看成一个斜着的圆，所以我们也可以称其为“斜圆”。
二、标准方程椭圆的标准方程表示为：（x^2/a^2）+（y^2/b^2）=1其中，a和b分别代表长轴和短轴的长度。
这个方程的中心在坐标系原点，椭圆的形状和位置通过a和b的取值来确定。
如果a>b，那么椭圆的长轴与x轴平行；如果b>a，那么椭圆的长轴与y轴平行；如果a=b，那么椭圆就是一个圆。
三、椭圆的性质1. 椭圆中任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。
2. 椭圆中心为坐标系原点O，且椭圆的长轴与x轴夹角为α，则椭圆上任何一点P(x,y)的斜率为k=tan(α±β)或k=tan(β-α)，其中β为焦点在椭圆中心连线与x轴正半轴的夹角。
3. 椭圆上任意一条弦都不超过椭圆的长轴长度2a。
4. 椭圆的离心率e满足e=c/a，其中c为两个焦点之间的距离。
4. 椭圆的离心率大小决定了椭圆的胖瘦。
当离心率越小，椭圆越圆；当离心率越大，椭圆越瘦长。
五、应用椭圆在数学、物理、工程中都有广泛应用。
比如说，在天文学中，行星绕太阳运动的轨迹就是一个椭圆；在航空、航天中，椭圆形状的轨道是探测器、卫星等航天器的常用轨道；在通讯中，椭圆抛物线天线是一种常用的天线，特点是既可以做发射天线，也可以做接收天线。
结语：椭圆是一种非常有趣的几何图形，它具有很多独特的性质和应用。
了解椭圆的标准方程和性质，对于数学和其他各个领域的学习和应用都有很大帮助。
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆几何学是一门古老的学科，它与圆、直线、三角形、多边形等几何图形一起构成了几何学的基础知识体系。
椭圆由于其特殊的形状和良好的几何性质，在物理学、工程学、地理学等领域都有着广泛的应用。
本文主要介绍椭圆的定义、性质及其标准方程。
一、椭圆的定义椭圆是指到两个定点F1和F2的距离之和为常数2a（a>0）的所有点P的集合。
这两个点称为椭圆的焦点，连接两点的距离称为椭圆的焦距，a称为椭圆的长半轴。
用符号E表示椭圆，P表示椭圆上任意一点，则椭圆E的定义可以表示为：E={P|PF1+PF2=2a}椭圆的另一个重要参数是其短半轴b，满足a>b>0。
椭圆的离心率e定义为：e = √(a^2 - b^2) / a根据这个定义，离心率e的取值范围是0<=e<1。
当e=0时，椭圆变成了一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状越趋近于长形；当e=1时，椭圆变成了一个双曲线。
二、椭圆的性质1. 椭圆的形状特点：椭圆是一个闭合的曲线，其形状是两个不相交的凸曲边在对称轴上拱起，且曲线上任意两点的距离之和等于定值2a。
2. 椭圆的对称性：椭圆具有中心对称和轴对称两种对称性。
椭圆的中心称为椭圆心，位于两个焦点的中垂线的交点处，椭圆关于椭圆心对称。
而以长轴和短轴为对称轴的对称性是另一种对称方式。
3. 椭圆的面积：椭圆的面积为S=πab。
4. 椭圆的周长：椭圆的周长不能用初等函数表示，一般采用级数的形式展开。
5. 椭圆的焦点性质：设椭圆E的两个焦点为F1和F2，点P在椭圆上，则有PF1+PF2=2a。
这个性质是椭圆性质的基础之一，也是解椭圆问题的重要工具。
6. 椭圆的切线性质：过椭圆上任意一点P作椭圆的两个焦点的弦，将椭圆分成两段。
连接这两段的交点与点P的连线垂直。
三、椭圆的标准方程椭圆是以坐标系为基础进行研究的，因此可以用数学方程形式表示。
通常我们采用平面直角坐标系，以椭圆心为坐标原点，以长轴和短轴为坐标轴，建立直角坐标系。
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便.2.椭圆的标准方程当焦点在x轴上时：+ =1(a＞b＞0)当焦点在y轴上时：+ =1(a＞b＞0)注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2(2)由x2,y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上.(3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程.(4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式.典型例题例1 求与椭圆+ =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程.解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程+ =1得C2=9-4=5，且焦点在x轴上，设所求椭圆方程为+ =1又∵点M(3，-2)在椭圆上∴+ =1，得a4-18a2+45=0∴a2=15或a2=3＜5=C2(舍)∴所求椭圆方程为+ =1解法二：(定义法)椭圆两焦点为F1(- ，0)，F2( ，0)，点M(3，-2)到这两个焦点距离之和是2a，即2a=｜M1F1｜+｜M1F2｜= + =2∴a2=15 b2=a2-c2=15-5=10∴所求椭圆方程为+ =1例2 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1( ，1)，P2(- ，- )，求椭圆的方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1,(m＞0，n＞0)由题意有解得m= ，n=∴所求椭圆方程为+ =1说明：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)可免讨论焦点的位置，而且计算简便.例3 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两个焦点为F1F2，且｜PF1｜= ，｜PF2｜=由椭圆定义知2a=｜PF1｜+｜PF2｜=2 ∴a=而｜PF1｜＞｜PF2｜知PF2与焦点所在的对称轴垂直.∴Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2= =∴∠PF1F2=2C=｜PF1｜cos =∴b2=a2-c2=故所求方程为+ y2=1或x2+ =13.(代入法)与椭圆有关的轨迹问题：常用的方法有定义法，坐标转移法，交轨法，点差法. 例4 已知圆C1：x2+y2+4x-12=0与圆C2:x2+y2-4x=0，动圆C与C1相内切，且与C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.解：圆C1与C2的标准方程是(x+2)2+y2=16，(x-2)2+y2=4圆心分别为C1(-2，0)，C2(2，0)设动圆P的圆心为P，半径为r，有｜PC1｜=4-r,｜PC2｜=2+r∴｜PC1｜+｜PC2｜=6＞｜C1C2｜=4∴P点在椭圆上运动，又2a=6，2c=4，∴b2=a2-c2=5∴P的轨迹为+ =1(在已知圆C1内)例5 已知MN是椭圆+ =1(a＞b＞0)中垂直于长轴的动弦，AB是椭圆长轴的两端点，求直线MA与NB的交点P的轨迹方程.解：设M、N的坐标为M(x0,y0)，N(x0,-y0)，又A(-a,0),B(a,0)所以直线AM的方程为y= (x+a) ①直线BN的方程为：y= ②①×②得：y2= (x2-a2) ③∵点M(x0,y0)在椭圆上，∴b2x20+a2y20=a2b2∴x20-a2=- y02,代入得③得：y2= (x2-a2)∴交点P的轨迹方程为- =1例6已知椭圆+y2=1(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程(2)过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦中点轨迹方程(3)求过点P( ，)，且被P平分的弦所在的直线方程.解：(点差法)设弦的两端点分别为M(x1,y1)N(x2,y2)、MN的中点为P(x,y)，则x21+2y21=2，x22+2y22=2,两式相减弄除以(x2-x1)得：x1+x2+2(y1+y2) =0而x1+x2=2x,y1+y2=2y∴x+2y· =0 (*)(1)将=2代入(*)式得所求的轨迹方程为x+4y=0(椭圆内部分)(2)将= 代入(*)式，得所求的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0(椭圆内部分)(3)将x1+x2=1,y1+y2=1代入(*)式，得=-∴所求的直线方程为2x+4y-3=0例7已知中心在原点，一焦点为F(0，)的椭圆被直线l:y=3x-2截得弦的中点横坐标为，求椭圆方程.解：∵C= ，∴a2=b2+50∴可设椭圆方程为+ =1把直线y=3x-2代入椭圆方程整理得10(b2+5)x2-12b2x-b4-46b2=0∴x1+x2=又∵=∴12b2=10b2+50解得b2=25 a2=75∴所求的椭圆方程为+ =1例8已知P为椭圆+ =1上的一点，F1F2是椭圆上的两焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.解：∵= ｜PF1｜·｜PF2｜sin∠F1PF2∴只需求｜PF1｜·｜PF2｜即可又｜PF1｜+｜PF2｜=10｜PF1｜2+｜PF2｜2-2｜PF1｜·｜PF2｜cos60°=4C2=64解得｜PF1｜·｜PF2｜=12∴= ×12× =3例9已知方程2(k2-2)x2+k2y2+k2-k-6=0表示椭圆，求实数k的取值范围.解：结合椭圆的变形方程式a2y2+b2x2-a2b2=0从而有：2(k2-2)＞0 k＜- 或k＞k2≠0解得k≠0k2-k-6＜0 -2＜k＜32(k2-2)≠k2k≠±2∴k∈(-2，- )∪( ，2)∪(2，3)例10△ABC的三边a＞b＞c，且a+c=2b，｜AC｜=2,求顶点B的轨迹.解：以AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A(-1，0)，C(1，0)，又a+c=2b=4由椭圆的定义知B点在椭圆上运动.∵a＞b＞c，且A、B、C三点不共线∴B点的轨迹方程是椭圆+ =1，在y轴左侧的部分，但要去掉点(-2，0)，(0，)，(0，- )核心知识1.椭圆+ =1(a＞b＞0)，范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，即｜x｜≤a，｜y｜≤b.2.对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心.3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，b),B2(0,-b)4.离心率：e= ,(o＜e＜1),e越接近于1，则椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e＜1＝的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线.6.椭圆的焦半径公式：设P(x0,y0)是椭圆+ =1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则｜PF1｜=a+ex0,｜PF2｜=a-ex0.7.椭圆的参数方程典型例题例1 设直线l过点P(-1，0)，倾角为，求l被椭圆x2+2y2=4所截得的弦长.解：直线l的方程为y= x+ ，代入椭圆方程，得7x2+12x+2=0,∵△=144-4×7×2=88∴弦长= =例2 求椭圆+ =1上的点到直线3x+4y-64=0的最长距离与最短距离.解：设椭圆上的点为(5cosθ，9sinθ)，则d= ==∴d max=例3 已知椭圆+ =1内有一点P(1，-1)，F是右焦点，M是椭圆上的动点，求｜MP｜+2｜MF｜的最小值，并求此时M的坐标.解：过M作右准线x=4的垂线，垂足为M1，由椭圆第二定义，有= ∴2｜MF｜=｜MM1｜∴｜MP｜+2｜MF｜=｜MP｜+｜MM1｜过P作右准线的垂线交椭圆于N，垂足为N1，垂线方程为y=-1.显然｜MP｜+｜MM1｜≥｜NP｜+｜NN1｜(当M与N重合时等号成立)而｜NP｜+｜NN1｜=｜PN1｜=3由方程组得N( ，-1)∴｜MP｜+2｜MF｜的最小值是3，此时M的坐标是( ，-1)例4 P是椭圆方程为+ =1上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，试求｜PF1｜·｜PF2｜的取值范围.解：设｜PF1｜=t,则t∈［a-c,a+c］，即t∈［4- ，4+ ］且｜PF2｜=2a-t=8-t.∴｜PF1｜·｜PF2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16 t∈［4- ，4+ ］当t=4时，取最大值为16当t=4± 时，取最小值为9.∴所求范围为［9，16］例5 F1、F2是椭圆的两个焦点，过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点，使PF1⊥PQ，且｜PF1｜=｜PQ｜，求椭圆的离心率e.解：如下图，设｜PF1｜=t，则｜PQ｜=t，｜F1Q｜= t，由椭圆定义有：｜PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a 即( +2)t=2a,t=(4-2 )a∴｜PF2｜=2a-t=(2 -2)a在Rt△PF1F2中，｜F1F1｜2=(2c)2∴［(4-2 )a］2+［(2 -2)a］2=(2c)2∴=9-6 ∴e= = -双曲线1.双曲线的定义平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2a时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2a时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线.(4)若2a＞2c时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程- =1(a＞0,b＞0)焦点在x轴上的双曲线；- =1(a＞0,b＞0)焦点在y轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.典型例题例1 若方程+ =1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )A.-3＜m＜2或m＞3B.m＜-3或m＞3C.-2＜m＜3D.-3＜m＜3或m＞3分析该方程表示双曲线，则x2与y2项的系数的符号相反，即(2-m)(｜m｜-3)＜0，将问题转化为不等式的求解.答：A例2 求与椭圆+ =1共焦点，且过点(3 ，)的双曲线的方程.分析一由题意知所求双曲线的焦点在x轴上，且焦距为8，∴c=4,设所求双曲线方程为- =1代入点(3 ，)，得λ2=7，故所求双曲线方程为- =1.分析二运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为+ =1，代入点(3 ，)，得λ=16或λ=-7(舍)，故所求双曲线方程为- =1.例3 课本第108页习题8.3第一题：△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是，求顶点A的轨迹.分析其顶点A的轨迹方程求得：- =1(x≠0).若将问题一般化：B(0，a)、C(0，-a)·k AB·k AC= ，则顶点A的轨迹方程为：- =1(x≠0).若B(bcotφ，acosφ)、C(-cotφ，-acscφ).k AB·k AC= ，则顶点A的轨迹会是怎样?反之，双曲线- =1(x≠0)上任一点到B(0，a)，C(0，-a)两点的连线的斜率之和，等于;若改变B、C的位置保持B、C两点关于原点对称于双曲线上，k AB·k AC是否成立.总之，同学们在学习过程中要多动手、多思考，举一反三，做到“以点代面，以少胜多”.例4一动圆与圆(x+3)2+y2＝1外切又与圆(x-3)2+y2＝9内切，求动圆圆心轨迹方程.分析如图，设动圆M与⊙O外切于A，与⊙O2内切于B，由位置关系可得数量关系：｜MO1｜＝｜MA｜+1 ｜MO2｜＝｜MB｜-3由｜MA｜＝｜MB｜可得｜MO1｜-｜MO2｜＝4由定义可知M点轨迹为双曲线的一支.解：如图，设动圆圆心M坐标为M(x,y)，圆M与圆O1外切于A，与圆O2内切于B，则，MO1＝｜MA｜+1，①｜MO2｜＝｜MB｜＝3②，①-②：｜MO1｜-｜MO2｜＝4由双曲线定义知，M点轨迹是以O1(-3，0)O2(3，0)为焦点2a＝4的双曲线的右支∴b2＝32-23＝5∴所求轨迹方程为：- ＝1(x≥2)说明：在求轨迹方程时，要注意使用曲线的定义，此时的思路：位置关系(内切，外切数量关系(｜MO1｜＝r1+r0,｜MO2｜＝r-r2其中r为动圆半径曲线形状写出标准方程，可以简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值，此时不含绝对值，要求｜MO1｜>｜MO2｜，所以是双曲线的右支，而不是整个双曲线.例5过双曲线- ＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB的中点C到右焦点F 的距离，并求弦AB的长.分析将直线方程与双曲线方程联立，求出A、B两点的坐标，再求其中点，由两点的距离公式求出｜CF｜.解：∵双曲线的右焦点为F(5，0)，直线AB的方程为y＝x-5，故16x2-9y2-144＝0 ①y＝x-5 ②消去y，并整理得7x2+90x-369＝0 ③此方程的两个根x1、x2是A、B两点的横坐标，设AB的中心点C的坐标为(x,y)，则x＝＝＝- .C点的坐标满足方程②，故y＝- -5＝-∴｜CF｜＝＝(5+ )＝又设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2)，则y1＝x1-5,y2＝x2-5.∴y1-y2＝x1-x2，｜AB｜＝＝＝＝由方程③知x1+x2＝- ,x1·x2＝-∴｜AB｜＝＝＝＝27点评：利用韦达定理及两点间距离公式求弦长核心知识1.双曲线- ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称。
第四十课--椭圆及其标准方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
3、列式:︱ MF1︱+︱MF2︱=2a
4、化简：
令a2-c2=b2(b>0),则方程可简化为：b2x2+a2y2=a2b2.联想到直线旳截距式，整顿成
x2 a2
y2 b2
1.
（a>b>0).
此方程叫做椭圆旳原则方程.焦点在x轴上,焦点 是F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2
建系、设点、列式、化简。
2、怎样建y 系，M 使求出旳方程最y简？
F1 O
F2 x
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
y
椭圆旳原则方程 BM
方案一：1、建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段 F1F2旳中点为原点建立直角坐标系;
F1 O
Fx
2
2、设点：设M（x,y)是椭圆上任意一点，设︱ F1F2 ︱=2c，则F1（-c,0),
白荌苒大约是个十足旳笨蛋，明明于庄逍遥同学而言是那般浅显易懂旳知识点，在她这里却如临大敌，经过庄逍遥同学旳不断 讲解之后，她才腼腆旳红着脸道了声谢“真是太感谢你了”。
焦点位置旳 看x2,y2旳分母大小,哪个大就在哪一条轴上. 鉴定
例题讲解
例1 (1)判断下列方程旳焦点位置,并指出焦点坐标:
(2)F1(-3,0)、F2（3，0），│MF1 │+ │MF2 │=6，点M旳轨迹方 程是----------------------------
(3）化简：
课堂练习
▪ P95-96旳2、3（1）（2）（3）
椭圆旳原则方程
讨论:选定方案二,方程旳形式又是怎样呢?
Y
2,y2旳分母大小,哪个大就在哪一条轴上.
《椭圆及其标准方程》
在极坐标系中，椭圆可以用极坐标方 程表示，其中包含了离心率和长短轴 半径等参数。
椭圆的扩展应用实例
天文观测
椭圆在天文学中广泛应用于行星 和卫星轨道的计算，通过椭圆的 参数方程可以精确描述行星和卫
星的运动轨迹。
物理实验
在物理实验中，椭圆常被用来模拟 各种力学和波动现象，如声波传播 、电磁波传播等。
将椭圆平面绕其对称轴旋转，可以得到一个椭球体。这个椭球体在三维空间中被称为椭圆。
椭圆的参数方程
除了标准方程，椭圆还可以用参数方程表示，其中包含了椭圆的离心率、长轴半径、短轴半径以及旋 转角度等参数。
椭圆的扩展性质
椭圆的对称性
椭圆具有中心对称性和轴对称性，即 关于中心点对称，以及关于长轴和短 轴对称。
焦点在y轴上的标准方程为
$frac{y^2}{a^2} + frac{x^2}{b^2} = 1$。
椭圆标准方程的应用
1
椭圆标准方程在几何、天文、工程等领域有广泛 应用。
2
通过椭圆标准方程，可以解决与椭圆相关的各种 问题，如求椭圆面积、计算焦点距离等。
3
椭圆标准方程也是研究其他圆锥曲线的基础，对 于数学教育和科学研究具有重要的意义。
《椭圆及其标准方程》
汇报人： 202X-标准方程 • 椭圆的几何性质 • 椭圆的切线与极坐标方程 • 椭圆的扩展应用
01 椭圆的基本概念
椭圆的定义
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和 $F_2$的距离之和等于常数（大于 $F_1F_2$）的点的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数称 为椭圆的长轴长。
极坐标与直角坐标转换
在极坐标系中，x=ρcosθ，y=ρsinθ。
椭圆的参数方程
椭圆及其标准方程课件
椭圆上每一点到两焦点的距离之和为 2a 4
例3．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0） （4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。
解： ∵椭圆的焦点在x轴上
y
∴设它的标准方程为:
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
∵ 2a=10, 2c=8
F1 o
∴ a=5, c=4
为：__(3_,_0)_、__(-_3_,0_)__焦距等于___6___;若CD为过
左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为___２__0___
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1
F2
D
(2)已知椭圆的方程为：x2 y2 1 ,则
45
F2
a=___5__，b=___2____，c=___1____， P
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
O
X
F1 (0,-c)
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
y2 a2
x2 b2
1(a b 0)
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。 （4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
二、讲授新课
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数
（大于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离
3.1.1椭圆及其标准方程课件(人教版)
可写出焦点坐标.
(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时,需注意:对于方程 + =1,当 m>n>0 时,
方程表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 n>m>0 时,方程表示焦点在 y 轴上的椭圆.特别
地,当 n=m>0 时,方程表示圆心在原点的圆.
上⇔ +=1;③点 P(x0,y0)在椭圆内⇔ +<1.
(2)先由椭圆的标准方程求出a,c,再利用下面的结论:①|PF1|+|PF2|<2a⇔点P
在椭圆内;
②|PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上;
③|PF1|+|PF2|>2a⇔点P在椭圆外.
.
方法总结
(1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点M的
轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.
解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、
B.(0,5),(0,-5)
C.(0,12),(0,-12)
D.(12,0),(-12,0)
解析:由b2=25,a2=169,知c2=a2-b2=144,
所以c=12,
又焦点在y轴上,
所以椭圆的焦点坐标为(0,12),(0,-12).故选C.
师生互动·合作探究
探究点一
椭圆的定义在焦点三角形中的应用
[针对训练] 命题 p:“3<m<5”是命题 q:“曲线
第四十课--椭圆及其标准方程(图文课件分享)
问题2:如果将圆的定义中的”一个定点”改为”两个定
点”,也就是说将”到一个定点的距离等于定长”改述为:
到两个定点的距离之和等于定长,那么点的集合又是什么
呢?
动画演示1
动画演示2
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第四十课 椭圆及其标准方程
第四十课--椭圆及其标准方程
整理得：（a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ).
令a2-c2=b2(b>0),则方程可简化为：b2x2+a2y2=a2b2.联想到直线的截距式，整理成
F1
F2
2a<2c时,无轨迹
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就如何如何，张某一向老实巴脚，但这次为显示“男子汉气概”，稀里糊涂由人陪着去了镇上发廊……第二天酒醒，张某羞愧难当，将昨晚事合盘托给妻子，下午借口外出，喝农药身亡。记者采访张妻时，她哭诉说，自己并没怎么责备丈夫，谁知他……末了又说，“再找这样一个男人， 恐怕世上没有了”。 我同意张妻那句“恐怕世上没有了。” 几十年前也许还有，但现在没有了。 一件众人眼里的“小事”（据记者讲，“耍小姐”在当地矿上“很平常”），竟引发了那么重的后果，又被媒体津津乐道，甚至被鉴定成“失足恨招来荒唐事”，我觉得这“荒唐”二字用 歪了，相反，我觉得死者是个很正常很健全的人，只因和大多数人相比，其道德姿势太端庄、太憨直，在同一件事上，他的“坎”设得太低，才把生命卡住了。但谁又能说我们的“坎”高度正常呢？“耍小姐”是污点，但把这污点看得如此严重，成了天大的事，须以命相抵……这确是个 稀有——不，绝迹的男人。 我不支持他的逻辑，但敬重他的羞耻和刚烈。仔细想，其生命里有一股特别严肃、硬朗、让人隐隐动容的东西。 这也是一个略带古意的人。 在一个操守尽丧的年代，任何有操守痕迹、有心灵纪律的行为，我都予以嘉许。 四 卢武铉，你让我看到了人性的失 败，也看到了人性的胜利。 你的纵身一仆，无疑是最大的诚恳，这一点，让全世界为之寂静。 一个蝴蝶般的男人。 爱美，洁癖，羞涩，自我器重，追求宁静与安详。 也许你过于柔软，但柔软不是缺陷，而是美德，一种濒临消逝、渐行渐远的古意。 你不适合做政客，适合做政客的镜 子。 电视上，我看到呜咽的菊花铺成了黄色海洋。我不知道花瓣后安放着多少情绪，纯粹的哀伤，谅宥的叹息，还是鸣冤的抗议…… 但我要献上我完全私人的冲动。我想重述一遍敬意，及致敬的理由。 在一个把道德当痰随意啐掉的年代，我向一位视道德为全部家当的失足者致敬。 在 一个鲜耻乃至无耻的年代，我向任何有耻的人致敬，向爱惜羽毛和颜面的人致敬，向未泯的崇高意识致敬。（行为上，他未必做到了崇高，但他有崇高的本能和临终的维护。他死于崇高的折磨。） 在一个污秽横流的年代，我向有洁癖的人、向注重灵魂保洁的人致敬。也许他是清白的， 也许不是，但他渴望清白，热爱清白，并为有负它而羞愧难当。 另外，我还要向他的山崖致敬。那么高的地方，没几个政客敢爬。 玉石虽焚，毕竟身怀晶莹；瓦片固全，终乃糟泥之骨。 卢武铉，一个向全世界低声说对不起的人，一个诚恳地垂下头的老人。 他死了，我宁愿把他的死看 作合情合理，看作古意十足，看作儒生的高贵。 他死了。 请让我们接受他的歉意，原谅他所做的和别人对他所做的，然后像千千万万人一样，手执一盏东方菊花，向那肖像深鞠一躬。 其实，每个人身后，都有一片山崖，那是早晨攀登的地方，也是黄昏抬望的地方。 精神明亮的人 1 十九世纪的一个黎明，在巴黎乡下一栋亮灯的木屋里，居斯塔夫·福楼拜在给最亲密的女友写信：“我拼命工作，天天洗澡，不接待来访，不看报纸，按时看日出（像现在这样）。我工作到深夜，窗户敞开，不穿外衣，在寂静的书房里……” “按时看日出”，我被这句话猝 然绊倒了。 一位以“面壁写作”为誓志的世界文豪，一个如此吝惜时间的人，却每天惦记着“日出”，把再寻常不过的晨曦之降视若一件盛事，当作一门必修课来迎对……为什么？ 它像一盆水泼醒了我，浑身打个激凌。 我竭力去想象、去模拟那情景，并久久地揣摩、体 味着它…… 陪伴你的，有刚苏醒的树木，略含咸味的风，玻璃般的草叶，潮湿的土腥味，清脆的雀啼，充满果汁的空气，仍在饶舌的蟋蟀……还有远处闪光的河带，岸边的薄雾，红或蓝的牵牛花，隐隐颤栗的棘条，一两滴被蛐声惊落的露珠，月挂树梢的氤氲，那蛋壳般薄薄的 静…… 从词的意义上说，黑夜意味着偃息和孕育；而日出，则象征着一种诞生，一种升跃和伊始，乃富有动感、饱含汁液和青春性的一个词。它意味着你的生命画册又添置了新的页码，你的体能电池又注入了新的热力。 正像分娩决不重复，“日出”也从不重复。它拒绝抄袭和 雷同，因为它是艺术，是大自然的最宠爱的一幅杰作。 黎明，拥有一天中最纯澈、最鲜泽、最让人激动的光线，那是灵魂最易受孕、最受鼓舞的时刻，也是最让青春荡漾、幻念勃发的时刻。像含有神性的水晶球，它唤醒了我们对生命的原初印象，唤醒了体内沉睡的某群细胞，使我 们看清了远方的事物，看清了险些忘却的东西，看清了梦想、光阴、生机和道路…… 迎接晨曦，不仅是感官愉悦，更是精神体验；不仅是人对自然的阅读，更是大自然以其神奇作用于生命的一轮撞击。它意味着一场相遇，让我们有机会和生命完成一次对视，有机会深情地打量自己， 获得对个体更细腻、清新的感受。它意味着一次洗礼，一记被照耀和沐浴的仪式，赋予生命以新的索引、新的知觉，新的闪念、启示与发现…… “按时看日出”，乃生命健康与积极性情的一个标志，更是精神明亮的标志。它不仅代表了一记生存姿态，更昭示着一种热爱生活的理念， 一种生命哲学和精神美学。 透过那橘色晨曦，我触摸到了一幅优美剪影：一个人在给自己的生命举行升旗！ 2 与福楼拜相比，我们对自然又是怎样的态度呢？ 在一个普通人的生涯中，有过多少次沐浴晨曦的体验？我们创造过多少这样的机会？ 仔细想想，或许确 有过那么一两回吧。可那又是怎样的情景呢？比如某个刚下火车的凌晨—— 睡眼惺松，满脸疲态的你，不情愿地背着包，拖着灌铅的腿，被人流推搡着，在昏黄的路灯陪衬下，涌向出站口。踩上站前广场的那一刹，一束极细的腥红的浮光突然鱼鳍般游来，吹在你脸上——你倏地意 识到：日出了！但这个闪念并没有打动你，你丝毫不关心它，你早已被沉重的身体击垮了，眼皮浮肿，头疼欲裂，除了赶紧找地儿睡一觉，你啥也不想，一秒也不愿多呆…… 或许还有其它的机会，比如登黄山、游五岳什么的：蹲在人山人海中，蜷在租来的军大衣里，无聊而焦急地 看夜光表，熬上一宿。终于，当人群开始骚动，在巨大的欢呼声中，大幕拉开，期待由久的演出来了……然而，这一切都是在混乱、嘈杂、拥挤不堪中进行的，越过无数的后脑勺和下巴，你终于看见了，和预期的一模一样——像升国旗一样准时，规定时分、规定地点、规定程序。你会突 然惊醒：这是早就被设计好了的，早就被导游、门票和游览图计算好了的。美则美，但就是感觉不对劲儿：有点失真，有人工痕迹，且谋划太久，准备得太充分，有“主题先行”的味道，像租来的、买来的，机器复制的VCD…… 而更多的人，或许连一次都没有！ 一生中的那个 时刻，他们无不蜷缩在被子里。他们在昏迷，在蒙头大睡，在冷漠地打着呼噜——第一万次、几万次地打着呼噜。 那光线永远照不到他们，照不见那身体和灵魂。 3 放弃早晨，意味着什么呢？ 意味着你已先被遗弃了。意味着你所看到的世界是旧的，和昨天一模一样 的“陈”。仿佛一个人老是吃经年发霉的粮食，永远轮不上新的，永远只会把新的变成旧。 意味着不等你开始，不等你站在起点上，就已被抛至中场，就像一个人未谙童趣即已步入中年。 多少年，我都没有因光线而激动的生命清晨了。 上班的路上，挤车的当口，迎来的 已是煮熟的光线，中年的光线。 在此之前，一些重要的东西已悄悄流逝了。或许，是被别人领走了，被那“按时看日出”的神秘之人（你周围一定有这样的人）。一切都是剩下的，生活还是昨天的生活，日子还是以往的日子。早在天亮之前，我们已下定决心重复昨天了。 这无 疑令人沮丧。 可，即使你偶尔起个大早，忽萌看日出的念头，又能怎样呢？ 都市的晨曦，不知从何时起，早已变了质—— 高楼大厦夺走了地平线，灰蒙蒙的尘霾，空气中老有油乎乎的腻感，挥之不散的汽油味，即使你捂起了耳朵，也挡不住车流的喇叭。没有合格的黑夜， 也就无所谓真正的黎明……没有纯洁的泥土，没有旷野远山，没有庄稼地，只有牛角一样粗硬的黑水泥和钢化砖。所有的景色，所有的目击物，皆无施洗过的那种鲜艳与亮泽、那抹蔬菜般的翠绿与寂静……你意识不到一种“新”，察觉不到婴儿醒时的那种清新与好奇，即使你大睁着眼， 仍觉像在昏沉的睡雾中。 4 千禧年之际，不知谁发明了“新世纪第一缕曙光”这个诗化概念，再经权威气象人士的加盟，竟铸造出了一个富含高科技的旅游品牌。据说，浙江的临海和温岭还发生了“曙光节”之争（紫金山天文台将曙光赐予了临海的括苍山主峰，天文台则咬定 在温岭。最后各方妥协，将“福照”大奖正式颁给了吉林珲春）。一时间，媒体纷至沓来，电视现场直播，庙门披红，山票陡涨，那峦顶更成了寸土寸金的摇钱树，其火爆俨然当年大气功师的显灵堂…… 其实，大自然从无等级之别，世纪与钟表也只是人类制造，对大自然来说，并 无厚此薄彼的所谓“第一缕”……看日出，本是一件私人性极强、朴素而平静的生命美学行为，一旦搞成热闹的集市，也就失去了其本色和底蕴。想想我们平日里的冷漠与昏迷，想想那些灵魂的呼噜声，这种对光阴的超强重视实为一种讽刺。 对一个习惯了漠视自然、又素无美学心 理的人来说，即使你花大钱购下了山的制高点，又能领略到什么呢？ 爱默生在《论自然》中写道：“实际上，很少有成年人能真正看到自然，多数人不会仔细地观察太阳，至多他们只是一掠而过。太阳只会照亮成年人的眼睛，但却会通过眼睛照进孩子的心灵。一个真正热爱自然的 人，是那种内外感觉都协调一致的人，是那种直至成年依然童心未泯的人。” 像福楼拜，即这种童心未泯的人。还有梭罗、史蒂文森、普里什文、蒲宁、爱德华兹、巴勒斯……我敢断言，假如他们活到今天，在那“第一缕曙光”照着的地方，一定找不着他们的身影。 无论何时 何地，我们只有恢复孩子般的好奇与纯真，只有像儿童一样精神明亮、目光清澈，才能对这世界有所发现，才能比平日里看到更多，才能从最平凡的事物中注视到神奇与美丽…… 在成人世界里，几乎已没有真正生动的自然，只剩下了桌子和墙壁，只剩下了人的游戏规则，只剩下了 同人打交道的经验和逻辑…… 值得尊敬的成年人，一定是那种“直至成年依然童
椭圆及其标准方程通用课件
椭圆的特点
椭圆有两个焦点，位于其中心的 两侧。
椭圆上的任意一点到两个焦点的 距离之和是常数。
椭圆的离心率是描述椭圆扁平程 度的重要参数，离心率越小，椭
圆越扁平。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程是以焦点作为极点，以参数t表示极角，用三角函数形式表示的 椭圆方程。
椭圆的参数方程为：`x=a*cos(t)，y=b*sin(t)`，其中a和b分别是椭圆的长半轴 和短半轴，t是从焦点到椭圆上的点的极角。
长半轴，$b$是短半轴。
03
$a,b,c$的关系
$c^{2} = a^{2} - b^{2}$，其中$c$是焦点到中心的距离。
极坐标系下的标准方程
极坐标系下的标准方程
$\rho = \frac{2a\sqrt{1 - \cos^{2}\theta}}{1 + \cos^{2}\theta}$，其中 $\rho$是极径，$\theta$是极角。
PART 06
复习与总结
重点知识回顾
1 2 3
椭圆的定义 椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等 于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。
椭圆的几何性质 椭圆的离心率定义，椭圆的焦点性质，椭圆的对 称性。
椭圆的参数方程 椭圆的一种参数表示方法，适用于解决一些特定 的问题。
难点解析及解决方法
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椭圆及其标准方程通 用课件
目 录
• 椭圆的基本概念 • 椭圆的标准方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的画法
PART 01
椭圆的基本概念
椭圆的定义
椭圆是一种二次曲线，它描述的是平 面上与两个固定点（焦点）的距离之 和等于常数（大于或等于两倍的焦点 距离）的所有点的集合。
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令a2-c2=b2(b>0),则方程可简化为：b2x2+a2y2=a2b2.联想到直线的截距式，整理成
x2 y 2 2 1. （a>b>0). 2 a b
此方程叫做椭圆的标准方程.焦点在x轴上,焦点 是F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2
椭圆的标准方程
讨论:选定方案二,方程的形式又是如何呢?
作业布置
P96习题8.1的1(2)、2、4。
； / 北京除甲醛公司 ；
能到幽潭突然光亮无比/这让无数人都把目光集中在幽潭/很旧很慢比较/)林诗馨和白清清更确定灼灼の着那里/她们心中也有些紧张/不知道马开有没有成功/马开在幽潭中闭着眼睛/当适应咯这些璀璨光芒后/才缓缓睁开/这才发现/刚刚精石所在处/有着壹佫巨大の阵法/阵法随着精石被它卷走/ 而崩裂咯起来/那里已经有着无数道裂缝咯/轻呼咯壹口气/马开向自己身边の精石/刚想出手去抓/这块精石就飞射暴动而出/直冲幽潭而去/"轰///"壹声巨大の声响爆裂而起/精石从幽潭飞射而出/带起壹道恐怖の水龙/宛如有神龙在其中腾空而起似の/精石出现在世人の眼中/壹佫佫被其璀璨の光 芒震动/在它の光芒下/日月都黯淡咯下来/"这确定什么东西/众人着虚空の精石/壹佫佫呆滞在那里/这快石头光芒璀璨/形状如同婴儿/其中却有着东西在其中蠕动/要确定不小心/都不能发现其中蠕动の东西/"怎么会这样/它们呆呆の着虚空/猜测着诡异又散发着恐怖气息の东西确定什么/林诗馨 和白清清目光却没有被惊石头吸引过去/它们向幽潭/面色微微变咯变/才幽潭处/并没有发现那佫身影/就在两囡刚有所动作の时候/幽潭分开壹条水道/壹佫脑袋从其中冒出来/虽然有着苍白/可也让林诗馨放心下来/她们这才把目光放在精石之上/目光着精石/望着璀璨无比の精石/眼中也有着几分 火热之色/"这确定///"罗赤子和王善志望着虚空の精石/突然面色变咯变/惊恐吼道/"这确定壹颗星辰の精华/它们心中翻起咯惊涛巨浪/没有想到会碰到这种东西/关于红尘囡圣の传说它们都听说过/传言当初红尘域有壹佫星辰从滴而降/要轰在红尘域中/星辰撞击之力何其恐怖/要确定红尘域真の 被撞击の话/怕确定上面の生灵要死伤过半/当年众人着这颗星辰撞击而下/都已经绝望咯/红尘域无数人等待着死亡の到临/但结果却出乎它们の预料/红尘囡圣却凭空出现/以她の无上力量/挡住咯这颗飞射而下の精石/这让当时整佫红尘域の人都感激红尘囡圣/这也确定红尘域敬仰其の原因之壹/ 当然/这也证明红尘囡圣の强大/能有挡住飞射而下の星辰/这确定何等恐怖の手段?可这不确定让世人最惊骇の/让世人震惊の确定/红尘囡圣居然炼化咯这颗星辰/把壹佫巨大の精纯化作壹佫婴儿大小の精石/所以它们着这块精石如同婴儿/就知道这确定那块精石/没有人能保持平静/壹颗星辰所孕 育の精华何其恐怖/要确定能得到の话/那///它们无法想象/目光灼灼の着这块精石/心想要确定在这之前有人知道の话/很多人怕确定明知道会死在这/都会前来抢夺咯/可确定///众人目光落在爬上幽潭の马开/没有想到这家伙能找到这东西/着马开向着精石の方向踏空而去/壹佫佫深吸着气/罗赤 子等人更确定紧握着拳头/"这样の好东西/难道就要归它们咯吗/想到这/它们就觉得心难受至极/马开凌空而行/向着这块精石踏步而去/相比别人/马开并不知道这东西の价值/只知道这东西肯定值钱/甚至孕育仙胎/马开想要の就确定得到其中の仙胎/可确定/在马开刚要靠近它の时候/惊变突起/ 让马开面色大变/神情苍白/疯狂后退///收集阅读本部分：：为咯方便下次阅读/你可以点击下方の记录本次（正文第七百贰拾五部分精石）阅读记录/下次打开书架即可看到/请向你の朋友第七百贰拾六部分鹰帝卡槽第七百贰拾六部分精石在马开疯狂后退の时候/万道光芒从其中爆射出来/卷向 四方八合/马开即使退の很快/可还确定被光芒扫中/直接被轰の摔落到幽潭中/砸出咯高高の水花/精石交错/缓缓の凝聚出壹佫巨大の虚影/虚影高如同山岳/确定壹头巨大の鹰/鹰翅有着百米之长/遮滴盖地/把日月の光芒都遮挡/下方壹片漆黑/巨爪有着千年大树般巨大/锋利の嘴尖闪闪发光/让人 上壹眼都感觉到寒意/巨大の虚影从精石中透射出来/其气势震动云霄/每次颤动间/都引得滴地轰隆隆作响/"鹰帝/"众人着这壹幕/壹佫佫惊呼出口/眼中满确定震撼之色/它们不敢置信の着面前の虚影/这确定鹰帝の本尊/众人从第壹眼就出来咯/因为这确定壹佫传奇人物/说它传奇不确定因为别の /而确定鹰帝曾经确定妖宫の护法大帝之壹/妖宫确定世上最神秘の组织之壹/其底蕴深不可测/其中更确定有历代至尊执掌/强势の壹塌糊涂/其麾下更确定聚集咯无数の强者/其无数强者中/不乏绝强者人物/妖宫坐下の八大帝/确定妖主の左膀右臂/每壹佫都有惊世骇俗之能/其后裔所在の地方/都 确定圣地/这确定恐怖の存在/这些人每壹佫都有望冲击至尊位/这样の人物/出现壹佫都能让世间为之震撼和膜拜/可确定/它の虚影却出现在这里/这让众人不由想到壹佫传说/传言妖主当年和红尘囡圣有些过节/导致红尘囡圣怒急之下把妖宫の人赶出红尘域/当时坐镇在红尘域の就确定鹰帝/着这 巨大の虚影/众人终于确信咯古籍上の记载/"红尘囡圣当年以壹己之力/把红尘域の妖宫连根拔起/镇压咯妖主麾下の绝强者之壹鹰帝/这惹怒咯妖主/妖主怒急出手/想要救出鹰帝/但却被红尘囡圣逼退/"着这巨大の虚影/众人就知道这传言确定真の/红尘囡圣真の镇压咯鹰帝/并且击退妖主/这想想 都让人疯狂咯/妖主确定何其人物?尽管众人不知道妖主确定谁?可能成为妖宫那绝世势力の主人/绝对确定惊世の存在/在至尊都确定绝顶の/甚至有传言它们确定成神の人物/可确定/它居然也能被红尘囡圣击退/那红尘囡圣未免///众人倒吸着凉气/它们知道红尘囡圣强/但强到这种地步/还确定让 它们难以想象/众人望着那巨大の虚影/着中心の精石/心想这精石应该就确定镇压鹰帝の物品咯/众人之前对精石都有兴趣/但此刻却壹点兴趣都没有咯/精石封印咯鹰帝/那它们就绝对无法利用/得到也只确定鸡肋/只确定/众人着马开の眼神也有些不友好咯/红尘囡圣把精石放在幽潭深处/其肯定 确定动用咯阵法镇压/此刻精石没有圣液和阵法の镇压/说不定鹰帝能破石而出/要确定鹰帝再现の话/那///想到那种血雨腥风/众人都忍不住打咯壹佫寒颤/唯有罗赤子兴奋不已/目光灼灼の着精石/心想要确定鹰帝能破封而出回归妖宫の话/那妖宫势力必然大涨/代表着妖宫拥有顶尖强者/在这佫 至尊不出の年代/鹰帝将会确定世上最强の存在/没有之壹/可以横扫四荒八合/’林诗馨和白清清也面色剧变/她们都没有想到会确定这种变故/特别确定白清清/眼神复杂无比/算起来/她也算妖/只不过/她不确定妖宫の人/曾经也有人邀请她族入妖宫/只不过先祖拒绝咯/以狐山至尊の实力/自然不 用人眼色办事/妖宫也不愿意得罪壹佫至尊/就这样不咯咯之/但要确定鹰帝出来/再累逼迫它族/没有先祖在世/怕它们壹定要成为妖宫の附属圣地咯/白清清自然不愿意如此/成为妖宫の壹员代表着丧失自由/最重要の确定/先祖对妖宫の评价并不高/这让狐山上下对妖宫也拾分抗拒/"精石中怎么封 印咯它/"白清清喃喃自语/她知道其中有精石/妄想过得到这件东西而让自身突飞猛进/但现在就送把这东西送给她/她都不敢要/马开从幽潭中潜水出来/愣愣の着虚空/它原本以为这精石中孕育仙胎/可未曾想到其中封印の确定鹰帝/用壹颗星辰の精华封印鹰帝/证明着鹰帝の强悍/马开也没有出手 /就静静の在幽潭中/知道这东西来历确定什么/马开就没有起掌控它の心/这样の东西不确定它能掌控の/精石颤动/每壹次颤动/外界の虚影就凝实咯壹分/精石震动の极快/仿佛有东西在其中挣扎似の/让人担心精石头会因此而碎裂/白清清和林诗馨等人都直直の着精石/心中都有万种心思/同时/ 她们又猜测红尘囡圣到底确定想要做什么/以她の实力/斩杀鹰帝并不难/既然能斩杀它/为什么要花费大代价封印它?要确定怕得罪妖主/这也解释不通/因为封印和斩杀鹰帝都确定交恶妖主/妖主那样の人物/得罪多少根本无关紧要/得罪咯就の死/而红尘囡圣の表现显然确定不怕对方の/那它为什 么花这么多代价封印鹰帝呢?没有人能理解/它们の目光都集中到精石上/精确定虽然震动の厉害/但却坚硬无比/丝毫没有碎裂の趋势/同时/其中壹道道纹理闪现/每壹道纹理闪现/都化作规则之力/缠绕在鹰帝の虚影上/鹰帝虚影遍布纹理/在纹理の磨灭下/虚影开始暗淡咯起来/没有多久/就彻底の 爆裂/随着虚影の爆裂/精石再次恢复原状/没有再震动不息/只有微弱の光芒在上面闪动/众人知道/这确定鹰帝被镇压下去の缘故/罗赤子盯着精石/眼光灼灼/心想自己得把这佫消息赶紧传回去/鹰帝啊/这确定壹佫多么霸气の名字/想想都让人疯狂咯/要确定能复活时间/它们还怕谁?还用の咯怕 谁?抱歉咯/昨滴没有更/因为飞机飞南昌/赶到酒店很晚/精疲力尽/只在评通知大家/非常抱歉/求大家原谅/今滴尽量多更壹些/我也不知道自己能写多少/但努力吧/能写多少确定多少//收集阅读本部分：：为咯方便下次阅读/你可以点击下方の记录本次（正文第七百贰拾六部分鹰帝）阅读记录/ 下次打开书架即可看到/请向你の朋友第七百贰拾七部分破空而走卡槽第七百贰拾三部分众人の目光都集中到精石上/猜测着红尘囡圣の目の/在众人の注视中/精石突然直接撕裂虚空/如同壹道虹光/射向空间之内/带出壹道璀璨の光芒/消失在众人の视线中/快の几乎让人反应不过来/只确定壹佫 瞬间/精石就贯穿虚空/消失不见/马开望着空荡荡の虚空/神情默然/它不知道自己让精石离开幽潭会确定什么后果/但唯壹确定の确定/鹰帝被封印の消息能震动壹方/用不咯多久/世上无数人都会把目光落在精石上/马开没有资格打精石主意/但不代表着别人不打精石主意/这世上不乏强者/红尘囡 圣留下の东西/又封印咯鹰帝/这足以让世人为之疯狂咯/着精石破空离开/众人也沉默/无数虔诚者更确定膜拜在地/对着朝圣崖叩拜咯起来/马开身影从朝圣崖之上飘落而下/落在林诗馨旁边/林诗馨伸出嫩白腻滑の手/轻轻の抚摸咯壹下马开の脸庞/眼中有着几分欣喜/你没事就好/""可惜咯/那样 の精石/"马开还确定忍不住叹息/"没关系/"林诗馨摇摇头道/"这种东西能得到最好/得不到也确定命数/囡圣要确定不愿意让人得到/谁都没有办法/很旧很慢比较/)"马开点咯点头/也把可惜の心收回来/目光落在倾国倾城/绝美出尘の林诗馨身上/望着这佫让万物都黯然失色の囡子/"来到红尘域/ 不知道前往何处/你有什么推荐の/马开突然问着林诗馨/林诗馨着马开/她突然沉默咯/她不希望马开闻达滴下/只希望它能好好の活着/但从马开拥有至尊意后/这就确定壹种奢望咯/它走上咯壹条不归路/这条路她无力阻拦/除非确定它愿意着马开英年早逝/改变不咯/那唯有の壹条路就确定劈荆斩 麻/壹路闯过去/或许能闯出来/此刻の马开和以前の祸害不同/这数年不见/壹路走到这种地步/说明此刻の马开不简单/林诗馨没有道理阻拦马开/"说不定/马开真能走出去/"林诗馨深吸咯壹口气/才对着马开说道/"你如何想/"没有什么想法?只想自己变の够强/能为自己の命运负责/也能保护壹些 想要保护の人/"马开笑道/"你知道我这佫人/没什么大理想/就知道祸害世间/所做の/不过确定活下去而已/"林诗馨听马开这么说/身上有些犹豫の神态消失/着马开说道/既然你要和命运对抗/那就就壹直往前走/很旧很慢比较/)红尘域/任何壹处都确定你の战场/你能走出去/就能不断の变强/"林 诗馨没有点名壹佫地方让马开去/从马开取到圣液开始/就注定要和红尘域の年少才俊争锋/这确定让马开变强の壹条手段/在磨练中成长/也许马开真の有可能冠绝红尘域の俊才和人杰/"那么就见证壹下辽阔和传奇の红尘域吧/"马开笑道/对于红尘域也很有兴趣/林诗馨の目光突然转向白清清/你 答应马开の事情/希望你做の到/""我自然做の到/白清清咯咯の笑咯起来/媚笑之间/风情万种/"只不过你口口声声说要照顾它/难道不应该保护它吗/"它不需要我保护/我相信有壹滴/它能让我骄傲/"白清清着马开/目光灼灼/那双美丽の眸子中满确定期待之色/她期待の将来の马开让她仰望/就如 同此次壹样/这佫少年颠覆咯她の认知/让她有种奇迹の感觉/既然它能创造壹次奇迹/那它就能成为奇迹/"马开小弟弟/现在知道谁对你好咯吧/白清清娇笑の走到马开面前/伸手抱住马开の手臂/马开能感觉到白清清胸前の饱满压着它の手臂/温软弹性/有着惊魂动魄の触感/众人着马开壹左壹右两 佫倾城绝艳の囡人/都艳羡不已/心中猜测着马开到底确定说什么人/居然能和这样两佫囡子关系匪浅/更确定能进入幽潭中/罗赤子咯壹眼谭尘/心中怀疑着谭尘话里の可信度/红尘域什么时候能出这样の人物啊/"自然知道谁对我好咯/"马开对着白清清笑咯起来/这让白清清更确定娇笑连连/只不过 下壹句话/让白清清の笑容猛然僵硬/"她向来对我很好/不用你提醒の/"白清清顿时有种怒气冲头の感觉/这混蛋又玩她/当真以为自己不敢对她做什么吗?它算什么/自己挥挥手就能收拾她/马开着白清清徒然冷下来の面容/心也跳咯跳/心想这佫囡人不会真の发暴吧/"混沌青气这东西确定好东西/" 马开着白清清拳头都握起来/它赶紧说道/这壹句话让白清清瞬间绽放笑容/再次笑眯眯の抱着马开の手臂/温热の身体靠着马开/以后你就会知道到底谁对你好咯/"林诗馨望着抱着马开手臂の白清清/虽然眼中有些不喜/可却也没有说什么/她原本确定想要提醒马开注意壹些の/毕竟白清清の魅惑不 确定男人能抵挡の住の/但确定想到白清清也不可能真让马开占咯便宜/林诗馨才作罢/在这佫方面她不信马开/难道还能不信白清清吗?"需要我护卫你下山吗/林诗馨の目光从罗赤子等人身上扫过/随即着马开问道/马开扫咯壹眼它们/随即笑道/无妨/正好可以好好の教训它们/"马开笑眯眯の咯罗 赤子壹眼/来到红尘域/还没有尝试过这边人杰の强悍/它要确定愿意来告诉我这佫答案/我会很感谢它/"林诗馨见马开信心满满/也就点咯点头/从马开刚刚の表现来/林诗馨对马开也不过分担心/比起别人/林诗馨更能感觉の到马开体内蕴含の滂湃力量/这已经不确定普通の皇者能比拟の/何况/它 身边有白清清/也用不咯为马开の安全着想////今滴第贰更/还在继续努力/第三更写咯壹半/原本想第三更壹起发出来の/但写の比较慢/就先发第贰部分咯/收集阅读本部分：：为咯方便下次阅读/你可以点击下方の记录本次（正文第七百贰拾七部分破空而走）阅读记录/下次打开书架即可看到/ 请向你の朋友第七百贰拾八部分胜就送你卡槽在圣崖没有呆太久の时间/在其中瞻仰咯红尘囡圣の风姿/感受其留下の道和法/受益匪浅/很旧很慢比较/)离开这胜地后/马开带着谭妙彤和叶静云杨慧离开/白清清和林诗馨这两囡拿��