04第12讲 联立方程法与联立模块法说课材料
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1. 赋切割变量初值；
2. 利用严格模块运行序贯模块法一次，获得内部变 量；
3. 对各模块方程和设计规定方程进行一阶展开，获 得只含外部变量的联立线性方程组；
4. 求解联立线性方程组，获得切割变量的计算值， 若收敛则退出，否则返回2继续。
优点是：在切割变量值更新时减少了计算量
联立模块法的实质
1. 将包含非线性描述方程和相互影响的循环流的困 难问题转变成一系列易于求解的线性描述方程的 简单子问题；
B、交替进行序贯模块迭代和联立线性方程组的求解。
X 1
X 2
A mix
X
5
X 3 A reactor X 2
X 4
X
5
A sep
X
3
X1 混合器 X2
如何获得上述线性方程组？
1. 分流器模型 2. 非线性方程组的线性展开
X5
反应器 X3 分离器 X4
可改写为 AX=b形式
联立模块法步骤（仅对于不可再分块）
2. 单元内部变量和方程从线性系统消去，线性方程 组只包含输入、输出信息流变量，因而方程求解 难度和占用内存远小于联立方程法；
3. 相对于序贯模块法，求解设计型问题更有效。
单元模型的线性化（案例） （目的用于流程模拟时简化计算）
单元过程的近似线性模型可以由单元模块的 计算结果回归关联得到。为此可调用单元模块(严 格模型)，在给定输入的情况下进行计算，由计算 得到输出关联线性模型中的系数。例：苯乙烯— 乙苯精馏塔，设塔板数、回流比和塔顶出料量为 已知，当进料为100mol/h，苯乙烯的摩尔分数为 0.6时，调用精馏塔模块进行计算得到如下结果：
计算方法： 单元模型的线性化 联立求解
联立模块法(Simultaneous Modular Approach)
获得物流数据
模块级严格模型
系统级简化模型
获得简化模型参 数
联立模块法基本思路
A、求解不可再分块的简化线性模型方程组
X5
X1 混合器 X2 反应器 X3 分离器 X4
设体系中共有c个组分，Xi为描述流股的c+2维向量 （或称外部变量，包括温度、压力和各组份摩尔流 率）
化工过程模拟计算（或优化）→非线性方程组求解 ----线性化构造迭代序列
存在主要问题：
●方程组的复杂性----线性、非线性、常微分方程、偏 微分方程
●方程不可导,实际上很难写出函数的解析表达式:往往 是由一系列的程序定义的.
●变量初值给定的困难性 ●微小的环节可能造成中间结果超出定义域(如组分摩
尔分数不归一)，所有计算就失去物理意义。
联立方程法的主要问题是如何保证收敛的稳定性和众多变量 的初值的合适假定。
至今，文献上报道的联立方程法大多是试验性的，目前这种 方法主要用于方程数不多(例如小于100)的系统。
例:联立方程法流程模拟计算（物料衡算&能量衡算）
合
成
新鲜原料气
塔
分 离 器
液氨
氨合成系统信息流程图
连结方程：将各单元的物流号加以区别，则有：
Y2=0.99Z2
Y2=0.99Z2+0Z1
X1=0.92Z1
X1=0.92Z1+0Z2
X2=0.01Z2
X2=0.01Z2+0Z1
未考虑变量之间的交互影响，精度差！
单元操作模拟中的三对角矩阵法 精馏塔计算；热力学计算等
近似模型也可以将严格模型方程作一阶台劳展开得到。对 于任合一个单元过程的严格模型，在理论上总是可以改写成输 出变量的显函数形式：
Y=F(X)
式中X为输入向量，包含了单元设备各输入流中的全部变 量；Y为输出向量，包含了各输出流中的全部变量。
联立模块法可以在求解系统模型时直接处理设计规定方程，所 以不需要像序贯模块法那样，用很费时间的重复计算使设计规定得 到满足。由于可以采用有效而可靠的方法去求解系统的线性模型， 收敛的情况可大为改善。由于在线性近似模型中单元过程内部的状 态变量，如精馏塔各块塔板上的汽液相流量、温度和组成等，是不 出现的，联立模块法在求解系统模型时只需求解各单元过程的外部 变量、即单元过程的输出和输入物流变量。它不像联立方程法那样 需要同时求解外部变量和内部变量，所以在联立模块法中系统模型 的维数要比联立方程法少得多，故内存要求可大为减少。又因为可 以运用已有的模块进行单元模型线性化的计算，所以它可以充分利 用序贯模块法在单元模块方面的丰富积累。
组份 苯乙烯 乙苯
进料 Z1=60 Z2=40
塔顶出料 塔底出料 y1=4.8 X1=55.2 Y2=39.6 X2=0.4
组份 苯乙烯 乙苯
进料 Z1=60 Z2=40
塔顶出料 塔底出料 y1=4.8 X1=55.2 Y2=39.6 X2=0.4
最简单的线性关联：
Y1=0.08Z1
Y1=0.08Z1+0Z2
总之，经典的序贯模块法巧妙地对所有变量和方程 进行了分组，体现了不同变量和方程的先后、内外层次 的区别，体现了许多化学加工和实际过程控制方面的物 理意义，其总体框架是解决全流程模拟的较好方法；而 联立模块法在全局计算策略上继承了序贯模块法的优点， 并有效解决了序贯模块法局部计算效率不高的问题，是 较有前途的流程模拟方法。
5‘
5
1
2 2‘
1
连结方程如下：
3 3‘
2
4
3
方程组的解法（p63） ：
分类：直接法（适于特殊的线性方程）和迭代法 ●直接法direct method：就是不考虑舍入误差，通过有限步骤四则运算即能 求得线性方程组准确解的方法。 克莱姆法则（不实用） 高斯消去法 三角分解法 ●迭代法(iteration methods)：基本思想是设定变量的初始假设值，然后用一 系列迭代修正来改进，使其逐步逼近精确。（如：Jacobi法）
04第12讲 联立方程法与联立模 块法
联立方程法的基本思想
将描述过程系统的所有方程全部联立起来，在数学上看作为 一个庞大的非线性方程组，其变量包含所有的内外部变量，一旦 建立起包含全部内外部变量的非线性方程组，那么解稳态模拟就 可视为一个原则上与过程系统结构无关，Hale Waihona Puke Baidu至与化工背景无关的 纯数学问题。
4.3.2 联立模块法(Simultaneous Modular Approach)
该法把模拟计算分成两个水平，一个是模块级水平，采用严格 模型；一个是流程系统级水平，采用简化模型。作法是先确定各模 块的简化模型，模型通常为线性，模型中含有待估值的模型参数。 然后在单元模块级用严格模型模拟计算达到一定的精度要求，利用 获取的计算结果回归出简化模型的待估参数。再把各单元的简化模 型联立起来，在系统级上求解。主要是获取连接各单元的物流或能 流数据。然后再返回到模块级。依此，直到前后两次获得的模型参 数值之差处于容许误差范围内为止。
2. 利用严格模块运行序贯模块法一次，获得内部变 量；
3. 对各模块方程和设计规定方程进行一阶展开，获 得只含外部变量的联立线性方程组；
4. 求解联立线性方程组，获得切割变量的计算值， 若收敛则退出，否则返回2继续。
优点是：在切割变量值更新时减少了计算量
联立模块法的实质
1. 将包含非线性描述方程和相互影响的循环流的困 难问题转变成一系列易于求解的线性描述方程的 简单子问题；
B、交替进行序贯模块迭代和联立线性方程组的求解。
X 1
X 2
A mix
X
5
X 3 A reactor X 2
X 4
X
5
A sep
X
3
X1 混合器 X2
如何获得上述线性方程组？
1. 分流器模型 2. 非线性方程组的线性展开
X5
反应器 X3 分离器 X4
可改写为 AX=b形式
联立模块法步骤（仅对于不可再分块）
2. 单元内部变量和方程从线性系统消去，线性方程 组只包含输入、输出信息流变量，因而方程求解 难度和占用内存远小于联立方程法；
3. 相对于序贯模块法，求解设计型问题更有效。
单元模型的线性化（案例） （目的用于流程模拟时简化计算）
单元过程的近似线性模型可以由单元模块的 计算结果回归关联得到。为此可调用单元模块(严 格模型)，在给定输入的情况下进行计算，由计算 得到输出关联线性模型中的系数。例：苯乙烯— 乙苯精馏塔，设塔板数、回流比和塔顶出料量为 已知，当进料为100mol/h，苯乙烯的摩尔分数为 0.6时，调用精馏塔模块进行计算得到如下结果：
计算方法： 单元模型的线性化 联立求解
联立模块法(Simultaneous Modular Approach)
获得物流数据
模块级严格模型
系统级简化模型
获得简化模型参 数
联立模块法基本思路
A、求解不可再分块的简化线性模型方程组
X5
X1 混合器 X2 反应器 X3 分离器 X4
设体系中共有c个组分，Xi为描述流股的c+2维向量 （或称外部变量，包括温度、压力和各组份摩尔流 率）
化工过程模拟计算（或优化）→非线性方程组求解 ----线性化构造迭代序列
存在主要问题：
●方程组的复杂性----线性、非线性、常微分方程、偏 微分方程
●方程不可导,实际上很难写出函数的解析表达式:往往 是由一系列的程序定义的.
●变量初值给定的困难性 ●微小的环节可能造成中间结果超出定义域(如组分摩
尔分数不归一)，所有计算就失去物理意义。
联立方程法的主要问题是如何保证收敛的稳定性和众多变量 的初值的合适假定。
至今，文献上报道的联立方程法大多是试验性的，目前这种 方法主要用于方程数不多(例如小于100)的系统。
例:联立方程法流程模拟计算（物料衡算&能量衡算）
合
成
新鲜原料气
塔
分 离 器
液氨
氨合成系统信息流程图
连结方程：将各单元的物流号加以区别，则有：
Y2=0.99Z2
Y2=0.99Z2+0Z1
X1=0.92Z1
X1=0.92Z1+0Z2
X2=0.01Z2
X2=0.01Z2+0Z1
未考虑变量之间的交互影响，精度差！
单元操作模拟中的三对角矩阵法 精馏塔计算；热力学计算等
近似模型也可以将严格模型方程作一阶台劳展开得到。对 于任合一个单元过程的严格模型，在理论上总是可以改写成输 出变量的显函数形式：
Y=F(X)
式中X为输入向量，包含了单元设备各输入流中的全部变 量；Y为输出向量，包含了各输出流中的全部变量。
联立模块法可以在求解系统模型时直接处理设计规定方程，所 以不需要像序贯模块法那样，用很费时间的重复计算使设计规定得 到满足。由于可以采用有效而可靠的方法去求解系统的线性模型， 收敛的情况可大为改善。由于在线性近似模型中单元过程内部的状 态变量，如精馏塔各块塔板上的汽液相流量、温度和组成等，是不 出现的，联立模块法在求解系统模型时只需求解各单元过程的外部 变量、即单元过程的输出和输入物流变量。它不像联立方程法那样 需要同时求解外部变量和内部变量，所以在联立模块法中系统模型 的维数要比联立方程法少得多，故内存要求可大为减少。又因为可 以运用已有的模块进行单元模型线性化的计算，所以它可以充分利 用序贯模块法在单元模块方面的丰富积累。
组份 苯乙烯 乙苯
进料 Z1=60 Z2=40
塔顶出料 塔底出料 y1=4.8 X1=55.2 Y2=39.6 X2=0.4
组份 苯乙烯 乙苯
进料 Z1=60 Z2=40
塔顶出料 塔底出料 y1=4.8 X1=55.2 Y2=39.6 X2=0.4
最简单的线性关联：
Y1=0.08Z1
Y1=0.08Z1+0Z2
总之，经典的序贯模块法巧妙地对所有变量和方程 进行了分组，体现了不同变量和方程的先后、内外层次 的区别，体现了许多化学加工和实际过程控制方面的物 理意义，其总体框架是解决全流程模拟的较好方法；而 联立模块法在全局计算策略上继承了序贯模块法的优点， 并有效解决了序贯模块法局部计算效率不高的问题，是 较有前途的流程模拟方法。
5‘
5
1
2 2‘
1
连结方程如下：
3 3‘
2
4
3
方程组的解法（p63） ：
分类：直接法（适于特殊的线性方程）和迭代法 ●直接法direct method：就是不考虑舍入误差，通过有限步骤四则运算即能 求得线性方程组准确解的方法。 克莱姆法则（不实用） 高斯消去法 三角分解法 ●迭代法(iteration methods)：基本思想是设定变量的初始假设值，然后用一 系列迭代修正来改进，使其逐步逼近精确。（如：Jacobi法）
04第12讲 联立方程法与联立模 块法
联立方程法的基本思想
将描述过程系统的所有方程全部联立起来，在数学上看作为 一个庞大的非线性方程组，其变量包含所有的内外部变量，一旦 建立起包含全部内外部变量的非线性方程组，那么解稳态模拟就 可视为一个原则上与过程系统结构无关，Hale Waihona Puke Baidu至与化工背景无关的 纯数学问题。
4.3.2 联立模块法(Simultaneous Modular Approach)
该法把模拟计算分成两个水平，一个是模块级水平，采用严格 模型；一个是流程系统级水平，采用简化模型。作法是先确定各模 块的简化模型，模型通常为线性，模型中含有待估值的模型参数。 然后在单元模块级用严格模型模拟计算达到一定的精度要求，利用 获取的计算结果回归出简化模型的待估参数。再把各单元的简化模 型联立起来，在系统级上求解。主要是获取连接各单元的物流或能 流数据。然后再返回到模块级。依此，直到前后两次获得的模型参 数值之差处于容许误差范围内为止。