2020高中数学 第1章 1.2.3 第一课时 直线与平面平行课时作业 苏教版必修2
高中数学第1章立体几何初步1.2点、线、面之间的位置关系1.2.4第二课时两平面垂直课时作业苏教版
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2.4 第二课时两平面垂直［学业水平训练]1。
已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,如图所示，图中互相垂直的平面有________对．解析：∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，∴平面AC⊥平面PAD，平面AC⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PDC⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，共5对．答案：52.如图，四面体P—ABC中，PA＝PB＝错误!，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8,BC＝6，则PC＝________.解析：取AB的中点E,连结PE，PA＝PB，∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC，连结CE，所以PE⊥CE.∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝2错误!，PE＝错误!＝错误!，CE＝BE2＋BC2＝错误!，PC＝PE2＋CE2＝7.答案：73．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝错误!，那么二面角P—BC-A的大小为________．解析:取BC的中点O,连结OA,OP（图略），则∠POA为二面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝3，PA＝错误!，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°4。
高中数学(苏教版,必修二) 第一章立体几何初步 1.2.3第3课时 课时作业(含答案)
第3课时直线与平面垂直的判定【课时目标】1．理解直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用．1．如果直线a与平面α内的__________________，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作：________．图形如图所示．2．从平面外一点引平面的垂线，这个点和________间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．3．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线______于这个平面．图形表示：用符号表示为：______________________________________________________________．一、选择题1．下列命题中正确的是________(填序号)．①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是________．3．若a、b、c表示直线，α表示平面，下列条件中能使a⊥α为________．(填序号)①a⊥b，b⊥c，b⊂α，c⊂α；②a⊥b，b∥α；③a∩b＝A，b⊂α，a⊥b；④a∥b，b⊥α．4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B 的动点，且PC⊥AC，则△ABC的形状为__________三角形．5．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图②使G1、G2、G3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有________(填序号)．①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；④GD⊥面SEF．6．△ABC的三条边长分别是5、12、13，点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC 的距离为__________________________________________________________________．7．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F 分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义． (2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α；②若α∥β，a ⊥α，则a ⊥β．2．在线面垂直的问题中，通过直线与直线垂直，可以证明直线与平面垂直；直线与平面垂直后，直线和平面内的任何直线都垂直．这样，就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的思维形式，它对解题方法、策略乃至人们的思维，无疑都是一种提示．第3课时 直线与平面垂直的判定 答案知识梳理1．任意一条直线都垂直 a ⊥α 2．垂足3．相交 垂直 m ，n ⊂α，m ∩n ＝O ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α 作业设计1．④ 2．a ⊂β或a ∥β 3．④ 4．直角解析 易证AC ⊥面PBC ，所以AC ⊥BC ． 5．① 6．323解析 由P 到三个顶点距离相等．可知，P 为△ABC 的外心，又△ABC 为直角三角形，∴P 到平面ABC 的距离为h ＝PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝323．7．4解析⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BC AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC ． 8．∠A 1C 1B 1＝90° 解析如图所示，连结B 1C ，由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC ⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC ⊥BC 即可． 因为A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可．(或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等) 9．90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ． ∴∠C 1MN ＝90°．10．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ， ∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ，又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面EAB ． 11．证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥PA ．又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩PA ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ．(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG ．又∵G 、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF ． ∵PA ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ，∵CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ． ∴CD ⊥AG ．∴EF ⊥CD ．∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD ．12．证明 连结AB 1，CB 1，设AB ＝1． ∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC ． 连结PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94，OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21． ∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ， ∴B 1O ⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥BC ．又∵BC ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AQ ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AQ ．又∵AQ ⊥SB ，BC ∩SB ＝B ， ∴AQ ⊥平面SBC ．(2)∵AQ ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ， ∴AQ ⊥SC ．又∵AP ⊥SC ，AQ ∩AP ＝A ， ∴SC ⊥平面APQ ．∵PQ ⊂平面APQ ，∴PQ ⊥SC ．。
2018-2019数学苏教版必修2 第1章1.2.3第一课时 直线与平面平行 作业
[学业水平训练]1．下面命题中正确的是________(填序号)．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若三个平面两两相交，则有三条交线．解析：①正确；若直线与平面相交，直线上也有无数个点不在平面内，故②不正确；直线l 与平面α相交，则l与平面α内过交点的直线不是异面直线，故③不正确；两条异面直线中的一条与一个平面平行，另一条可能与该平面平行或在平面内或相交，故④不正确；直线l 与平面α平行，则l与平面α无公共点，所以l与平面α内的直线也无公共点，两直线无公共点，即两直线平行或异面，故⑤正确；三个平面两两相交，可能有三条交线，也可能有一条交线，故⑥不正确．答案：①⑤2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是________．解析：设BD的中点为F，则EF∥BD1，又EF⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC.∴BD1∥平面AEC.答案：平行3．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是________．解析：无论怎样转动，都有CD∥AB，当木板不平铺在平面α上时，∵AB⊂α，CD⊄α，∴CD ∥α.当木板转到平铺在平面α上时，CD⊂α.答案：CD∥α或CD⊂α4．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.答案：CD∥α5.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与面PAD交于EF，则四边形EFBC是________．解析：∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD.又BC⊂平面BCEF，平面BCEF ∩平面PAD ＝EF ，∴BC ∥EF .∵EF ∥AD ，BC 綊AD ，∴EF ∥BC 且EF ≠BC .∴四边形EFBC 为梯形．答案：梯形6.如图所示，正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD＝AC ，所以EF ∥AC ，因为E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得EF ＝12AC ，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AC ＝22，所以EF ＝ 2. 答案： 27.如图，正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1，若过A 、C 、B 1三点的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为l ，求证：AC ∥l .证明：∵AC ∥A 1C 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，AC ⊄平面A 1B 1C 1D 1，∴AC ∥平面A 1B 1C 1D 1.又AC ⊂平面AB 1C ，平面AB 1C ∩平面A 1B 1C 1D 1＝l ，∴AC ∥l .8.如图所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB ，AC 分别交平面α于点E 、F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，求EF 的长．解：由于点A 不在直线a 上，则确定一个平面β，∴α∩β＝EF ，∵a ∥平面α，∴EF ∥a ，∴EF BC ＝AF AC， ∴EF ＝AF ×BC AC ＝3×45＋3＝32. [高考水平训练]1．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．解析：设过m 的平面β与α交于l ，∵m ∥α，∴m ∥l ，∵m ∥n ，∴n ∥l .∵n ⊄α，l ⊂α，∴n ∥α.答案：①②⇒③(或①③⇒②)2.如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列结论中正确的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.解析：∵MN∥PQ，∴PQ∥平面ACD，又平面ACD∩平面ABC＝AC，∴PQ∥AC，从而AC∥截面PQMN，②正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，①正确；又MQ∥BD，∠PMQ＝45°，∴异面直线PM与BD所成的角为45°，故④正确．根据已知条件无法得到AC，BD长度之间的关系，故③不正确．所以应填①②④.答案：①②④3．如图，a，b是异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的两点，直线a∥平面α，直线b ∥平面α，AB∩α＝M，CD∩α＝N.若AM＝BM，求证：CN＝DN.证明：连结AD，设AD∩α＝E，连结EN，ME.∵b∥α，平面α∩平面ABD＝ME，∴ME∥BD.同理EN∥AC.∵AM＝MB，∴AE＝ED，∴CN＝DN.4．已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB中AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．解：分析可知SG∥平面DEF.证明如下：如图，连结CG，交DE于点H，连结FH.∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点．∵F是SC的中点，∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.。
2019-2020年数学必修2课件课时分层作业：第1章 1.2 1.2.3 第1课时 直线与平面平行(苏教版)
1.2.3直线与平面的位置关系第1课时直线与平面平行1．直线和平面的位置关系位置 关系 直线a 在 平面α内 直线a 与平 面α相交 直线a 与平 面α平行 公共点 有无数个 公共点 有且只有一个公共点 没有公共点符号 表示a αa ∩α＝Aa ∥α图形 表示(1)自然语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：⎭⎬⎫a ⊄αb αa ∥b ⇒a ∥α． 3．直线与平面平行的性质定理(1)自然语言：如果一条直线和一个平面平行 ，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．(2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：⎭⎬⎫l ∥αl βα∩β＝m ⇒l ∥m ．1.思考辨析(1)若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α. ( ) (2)若直线a 在平面α外，则a ∥α.( ) (3)若直线a ∩b ＝，bα，则a ∥α.( )(4)若直线a ∥平面α，则直线a 平行于平面α内的无数条直线．( )[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√[提示](1)l也可能在平面α内．(2)直线a也可能和平面α相交．(3)a∥α或aα或a与平面α相交．2．如果直线a∥b，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是________．b∥α或bα[若a∥b，且a∥平面α，则b与平面α的位置关系如图所示．]3．能保证直线a与平面α平行的条件是__________(填序号)．(1)bα，a∥b；(2)bα，c∥α，a∥b，a∥c；(3)bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD；(4)aα，bα，a∥b.(4)[由线面平行的判定定理可知(4)正确．]4．如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是__________．平行[∵ABCA1B1C1是三棱柱，∴A1B1∥AB.又∵A1B1平面ABC，AB平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵A1B1平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴A1B1∥DE，∴DE∥AB.]直线与平面的位置关系①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．(2)下列命题中，a，b，l 表示直线，α表示平面．①若aα，bα，且a，b不相交，则a∥b；②若aα，bα，a∩b＝A，lα，且l和a，b均不相交，则l∥α；③若点A a，则过点A可以作无数个平面与a平行；④若a与α内的无数条直线不相交，则a∥α.其中正确的命题有______．(把你认为正确的序号都填上)思路探究：利用线面平行的定义，借助图形分析判断．(1)②(2)③[(1)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的。
2019-2020学年高中数学(苏教版,必修二)第一章立体几何初步1.2.4第1课时课时作业(含答案)
2019-2020学年苏教版数学精品资料1.2.4 平面与平面的位置关系第1课时两平面平行的判定及性质【课时目标】1．理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义．2．掌握两个平面平行的判定和性质定理，并能运用其解决一些具体问题．1．平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为________________________．2．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．符号表示为：________________?a∥b．3．面面平行的其他性质：(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于________________，即α∥βa?α?________，可用来证明线面平行；(2)夹在两个平行平面间的平行线段________；(3)平行于同一平面的两个平面________．一、填空题1．平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a、b的位置关系是__________．2．下列各命题中假命题有________个．①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β．3．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．4．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是________．(填序号)①α内有无数条直线平行于β；②α内不共线三点到β的距离相等；③l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥β；④l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥α，m∥β．5．已知α∥β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A、与β相交于B，若AB＝23 3d，则直线a与α所成的角等于________．6．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．7．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是________(填序号)．①a∥cb∥c?a∥b；②a∥γb∥γ?a∥b；③α∥cβ∥c?α∥β；④α∥γβ∥γ?α∥β；⑤α∥ca∥c?α∥a; ⑥α∥γa∥γ?a∥α．8．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．能力提升12．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD 的重心．(1)求证平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC．1．判定平面与平面平行的常用方法有：(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法．(2)利用判定定理．(3)利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ．2．平面与平面平行主要有以下性质：(1)面面平行的性质定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．(3)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．1．2．4平面与平面的位置关系第1课时两平面平行的判定及性质答案知识梳理1．两条相交直线a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β2．那么所得的两条交线平行α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b3．(1)另一个平面a∥β(2)相等(3)平行作业设计1．平行或异面2．23．平行解析由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．4．④5．60°6．4∶25解析面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S△A′B′C′∶S△ABC＝(A′B′AB)2＝(PA′PA)2＝425．7．②③⑤⑥解析由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b 可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．8．24或24 5解析当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD＝24 5．9．M∈线段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连结，有MN∥平面B1BDD1．10．证明如图所示，连结SB，SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG?平面EFG，FG?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．11．证明∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，∴四边形ANC1M为平行四边形，∴AN綊C1M＝12A1C1＝12AC，∴N为AC的中点．12．证明方法一过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连结MN．∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN，∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM＝FN．∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．又MN?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．方法二过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，∴B1EB1A＝B1GB1B，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．又EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD．13．(1)证明(1)连结BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，则有BMMP＝BNNF＝BGGH＝2，且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．连结PF，FH，PH，有MN∥PF．又PF?平面ACD，MN?平面ACD，∴MN∥平面ACD．同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD．(2)解由(1)可知MGPH＝BGBH＝23，∴MG＝23 PH．又PH＝12AD，∴MG＝13AD．同理NG＝13AC，MN＝13CD．∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．。
高中数学(苏教版,必修二) 第一章立体几何初步 1.2.3第2课时 课时作业(含答案)
第2课时直线与平面平行的性质【课时目标】1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．直线与平面平行的性质定理：经过一条直线和一个平面________，经过这条直线的平面和这个平面__________，那么这条直线就和交线________．(1)符号语言描述：______________．(2)性质定理的作用：可以作为________________平行的判定方法，也提供了一种作__________的方法．一、填空题1．已知直线l∥平面α，直线m⊂α，则直线l和m的位置关系是________．2．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为____________．3．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是________(填序号)．①α内的所有直线与m异面；②α内不存在与m平行的直线；③α内存在唯一的直线与m平行；④α内的直线与m都相交．4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF 的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是________．5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线条数为________．6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是__________(填序号)．①l1平行于l3，且l2平行于l3；②l1平行于l3，且l2不平行于l3；③l1不平行于l3，且l2不平行于l3；④l1不平行于l3，但l2平行于l3．7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示)8．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q 在CD上，则PQ＝________．9．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB ＝________．二、解答题10．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．11．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．求证：CD∥平面EFGH．能力提升12．如图所示，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水，将固定容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③A1D1始终水面EFGH平行．其中正确的命题序号是________．13．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l ．(1)求证：BC ∥l ；(2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论．直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：线线平行――→在平面内作或找一直线线面平行――→经过直线作或找平面与平面相交的交线线线平行．第2课时 直线与平面平行的性质 答案知识梳理平行 相交 平行⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a ∥b 直线和直线 平行线作业设计1．平行或异面 2．平行或相交 3．② 4．平行解析 ∵E 、F 分别是AA 1、BB 1的中点，∴EF ∥AB ． 又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFGH ＝GH ， ∴AB ∥GH ． 5．0或1解析 设这n 条直线的交点为P ，则点P 不在直线a 上，那么直线a 和点P 确定一个平面β，则点P 既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b ，则直线b 过点P ．又直线a ∥平面α，则a ∥b ．很明显这样作出的直线b 有且只有一条，那么直线b 可能在这n 条直线中，也可能不在，即这n 条直线中与直线a 平行的直线至多有一条．6．①解析 ∵l 1∥l 2，l 2⊂γ，l 1⊄γ， ∴l 1∥γ．又l 1⊂β，β∩γ＝l 3， ∴l 1∥l 3∴l 1∥l 3∥l 2．7．①②⇒③(或①③⇒②)解析 设过m 的平面β与α交于l ． ∵m ∥α，∴m ∥l ，∵m ∥n ，∴n ∥l ， ∵n ⊄α，l ⊂α，∴n ∥α． 8．223a解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ，∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3．9．m ∶n解析 ∵AC ∥平面EFGH ，∴EF ∥AC ，GH ∥AC ，∴EF ＝HG ＝m·BE BA ，同理EH ＝FG ＝n·AEAB．∵EFGH 是菱形，∴m·BE BA ＝n·AEAB，∴AE ∶EB ＝m ∶n ．10．证明 如图所示，连结AC 交BD 于O ，连结MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点， 又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM ．根据直线和平面平行的判定定理， 则有PA ∥平面BMD ．∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴PA ∥GH ．11．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥GH ．又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ．而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD．而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．12．①③13．(1)证明因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD．又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l．(2)解MN∥平面PAD．证明如下：如图所示，取DC的中点Q．连结MQ、NQ．因为N为PC中点，所以NQ∥PD．因为PD⊂平面PAD，NQ⊄平面PAD，所以NQ∥平面PAD．同理MQ∥平面PAD．又NQ⊂平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．所以MN∥平面PAD．。
高中数学第1章立体几何初步1.2.3直线与平面的位置关系课堂精练苏教版必修2
江苏省盱眙县都梁中学高中数学第1章立体几何初步直线与平面的位置关系课堂精练苏教版必修21．对于不重合的两直线m，n和平面α，下面命题中的真命题是__________． (填序号)①若是m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥α②若是m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥n③若是m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交④若是m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A， E，C的平面的位置关系是__________．3．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是________．(填序号)①过P只能作一条直线与平面α相交②过P可作无数条直线与平面α垂直③过P 只能作一条直线与平面α平行④过P可作无数条直线与平面α平行4．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的个数是__________．①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α②若l⊥α，l∥m，则m⊥α③若l∥α，m⊂α，则l∥m④若l∥α，m∥α，则l∥m5．(1)已知正三棱锥(底面为正三角形，极点在底面的正投影为底面中心)的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于________．(2)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于________．(正三棱柱是底面为正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱) 6．下列命题中，正确的个数是__________．①直线a∥平面α，则a平行于α内任何一条直线②直线a与平面α相交，则a不平行于α内的任何一条直线③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线④直线a不垂直于平面α内的某一条直线，则a不垂直于α内任何一条直线7．如图，已知PA垂直⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A 作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平面PBC.8．如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．9.如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明AA1⊥BD；(2)证明CC1∥平面A1BD.参考答案1．② ①中n 与α可以相交；③中n 与α可能平行；④中m 与n 可能相交；由线面平行的性质知，②正确．2．BD 1∥平面AEC 连结AC ，BD 相交于一点O ，连结OE ，AE ，EC ，∵四边形ABCD 为正方形，∴DO ＝BO .而DE ＝D 1E ，∴EO 为△DD 1B 的中位线．∴EO D 1B .∴BD 1平面AEC .3．④ 过P 可作无数条直线与平面α相交，①错；过P 只能作一条直线与平面α垂直，②错；过P 可作无数条直线与平面α平行，所以④正确；③错．4．1 对于①，若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊂α可能成立，l ⊥α不必然成立，∴①不正确；对于②，若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α，正确．对于③，l 与m 可能异面，不必然平行，故③不正确；对于④，l 与m 可能相交，也可能异面，故④不正确．5．(1)6(2)4(1)如图，设正三棱锥VABC 的极点V 在底面的正投影为O ，底面边长为a ，则侧棱VA ＝2a .连结AO 并延长交BC 于点为AV 在底面上的射影，∴∠VAO 即为侧棱VA 与底面ABC 所成的角．∵23AO ==， ∴在Rt △VOA中，3cos 26AO VAO VA a ∠===(2)如图，取A 1C 1中点D ，连结B 1D ，则B 1D ⊥平面AA 1C 1C ，∴∠B 1AD 就是所求的线面角．设A 1B 1＝1，则12B D =，1AB ， ∴在Rt △ADB 1中，111sin B D B AD AB ∠===. 6．1 对于①，若a ∥α，则a 与α内的直线或平行或异面，∴①不正确；②中，若a 平行于α内的一条直线a ′，∴a ∥α或a ⊂α，与直线a 与平面α相交矛盾，∴②正确；对于③中，直线a 不平行于平面α，a 可以在α内，此时，a 可以平行于α内的直线，∴③不正确；对于④，直线a 不垂直于平面α，但可以垂直于α内的某些直线．7．证明：∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC .又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC .而PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC .∵AE ⊂平面PAC ，∴BC ⊥AE .又∵PC ⊥AE 且PC ∩BC ＝C ，∴AE ⊥平面PBC .8.(1)证明：设AC ∩BD ＝H ，连结EH .在△ADC 中，因为AD ＝CD ，且DB 平分∠ADC ，所以H 为AC 的中点．又由题设，E 为PC 的中点，故EH ∥PA .又EH ⊂平面BDE ，且PA ⊄平面BDE ，所以PA ∥平面BDE .(2)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC .由(1)可得，DB ⊥AC .又PD ∩DB ＝D ，故AC ⊥平面PBD .(3)解：由AC ⊥平面PBD 可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，所以∠CBH 为直线BC 与平面PBD 所成的角．由AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝1，22DB =，可得22DH CH ==，322BH =.在Rt △BHC 中，1tan 3CH CBH BH ∠== 所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为13. 9.证明：(1)因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD . 所以BD ⊥D 1D .取AB 的中点G ，连结DG ，在△ABD 中，由AB ＝2AD 得AG ＝AD .又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形，因此GD ＝GB .故∠DBG ＝∠GDB ，又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°. 故∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°. 所以BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，故AA 1⊥BD .(2)连结AC ，A 1C 1.设AC ∩BD ＝E ，连结EA 1.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以1.2EC AC = 由棱台概念及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC .所以四边形A 1ECC 1为平行四边形．因此CC 1∥EA 1.又因为EA1⊂平面A1BD，CC1 平面A1BD. 所以CC1∥平面A1BD.。
高中数学(苏教版,必修二) 第一章立体几何初步 1.2.1 课时作业(含答案)
§1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质【课时目标】 1．了解平面的概念及表示法．2．了解公理1、2、3及推论1、2、3，并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：________________．2．公理2：如果________________________________，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的______________．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l ． 3．公理3：经过不在同一条直线上的三点，________________________．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(1)推论1 经过________________________________________，有且只有一个平面．(2)推论2 经过____________，有且只有一个平面．(3)推论3 经过____________，有且只有一个平面．一、填空题1．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m ，宽是20 m ；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为________．2．若点M 在直线b 上，b 在平面β内，则M 、b 、β之间的关系用符号可记作____________．3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．4．已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．①A ∈a ，A ∈β，B ∈a ，B ∈β⇒a ⊂β；②M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒α∩β＝MN ；③A ∈α，A ∈β⇒α∩β＝A ；④A 、B 、M ∈α，A 、B 、M ∈β，且A 、B 、M 不共线⇒α、β重合．5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)①两条直线； ②一点和一直线；③一个三角形； ④三个点．6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)AD/∈α，a ⊂α________．(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．(3)a⊄α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．二、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：(1)C 1、O 、M 三点共线；(2)E 、C 、D 1、F 四点共面；(3)CE 、D 1F 、DA 三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．§1．2 点、线、面之间的位置关系1．2．1 平面的基本性质答案知识梳理1．两点 ⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α 2．两个平面有一个公共点 一条直线3．有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线作业设计1．1解析 由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．2．M ∈b ⊂β 3．1,2或34．③解析 ∵A ∈α，A ∈β，∴A ∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A的写法错误．5．③6．1或4解析四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．。
部编版2020学年高中数学第一章第课时直线与平面的位置关系课时作业新人教B版必修255
第12课时 1.2.2 空间中的平行关系——直线与平面的位置关系课时目标1.理解直线与平面平行的判定定理和性质定理．2．能运用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明一些空间线面关系的问题．识记强化1．如果一条直线与一个平面有两个公共点，则这条直线在这个平面内．如果一条直线与一个平面只有一个公共点，则直线与平面相交．如果一条直线与平面无公共点，则直线与平面平行．2．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．3．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．直线a在平面γ外，则( )A．a∥γB．a与γ至少有一个公共点C．a∩γ＝AD．a与γ至多有一个公共点答案：D解析：若a与γ有两个公共点，则a⊂γ，与已知矛盾，∴a与γ至多有一个公共点．2．已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题：①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，其中不正确的有( )A．1个B．2个C．3个 D．4个答案：D解析：对于①②结论中还可能b⊂α，所以①、②不正确，对于③④结论中还可能α⊂β，所以③、④不正确．3．空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不包含端点)，且EH∥FG，则直线EH与直线BD( )A．相交B．异面C．平行 D．以上均有可能答案：C解析：∵E，F，G，H分别为空间四边形边AB，BC，CD，DA上的点(不包含端点)，∴直线EH⊄平面BCD，直线FG⊂平面BCD.又EH∥FG，∴EH∥平面BCD.又EH⊂平面ABD，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴EH ∥BD ，故选C.4．平面α外的一条直线a 与平面α内的一条直线b 不平行，则( ) A ．a 一定不平行于α B ．a ∥αC ．a 与b 一定是异面直线D ．α内可能有无数条直线与a 平行答案：D解析：由题意，知若a ∥α，b ⊂α，则a 与b 异面；若a 与α不平行，b ⊂α，则a 与b 相交或异面，由此可知，A ，B ，C 均不正确，故选D.5．如果平面α内有无数多条直线与平面β平行，则( ) A ．α∥β B ．α与β相交 C ．α∥β或α与β相交 D ．不确定 答案：C解析：如图(1)，则α∥β，如图(2)，则α与β相交．6．若直线a ∥平面α，直线b ∩α＝A ，则直线a 与b ( ) A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．不确定 答案：D解析：如下图(1)中a 、b 异面，如下图(2)中，a 、b 相交．二、填空题(每个5分，共15分)7．过平面外一点，可作这个平面的平行线的条数是________． 答案：无数条 解析：先过平面外一点作已知平面的平行平面，则这个平行平面内任一条过该点的直线都与已知平面平行．8．如图，a ∥α，A 是面α另一侧的点，B 、C 、D ∈a ，线段AB 、AC 、AD 分别交α于E 、F 、G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.答案：209解析：∵a ∥α，α∩面ABD ＝EG ， ∴a ∥EG ，即BD ∥EG .在△ABD 中，EF BC ＝FG CD ＝AFAC，由等比性质，AF AC ＝EF ＋FG BC ＋CD ＝EG BD ＝AFAF ＋FC ，∴EG ＝AF ×BD AF ＋FC ＝5×45＋4＝209.9．如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是四条边上的点，且四点共面，AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当EFGH 是菱形时，AE ：B ＝________.答案：m ：解析：由AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，可知EFGH 是平行四边形，且AE AB ＝EH BD ，BE AB ＝EFAC.又EFGH 是菱形，则有AE BE ＝AC BD ＝mn.三、解答题10．(12分)如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，求证：DE ∥平面BCM .证明：由正方体的平面展开图还原成正方体ABCD —EFMN (如图)，连接CF .因为CD ∥EF ，且CD ＝EF ，所以四边形CDEF 是平行四边形，所以DE ∥CF .又DE ⊄平面BCM ，CF ⊂平面BCM ，根据线面平行的判定定理可得DE ∥平面BCM .11．(13分)如图，已知在正四棱锥P －ABCD 中，M ，N 分别是PA ，BD 上的点，且PM ：A ＝BN ：D .求证：MN ∥平面PBC .证明：因为P －ABCD 是正四棱锥，所以ABCD 是正方形． 连接AN 并延长交BC 于点E ，连接PE . ∵AD ∥BC ，∴EN ：N ＝BN ：D .又BN ：D ＝PM ：A ，∴EN ：N ＝PM ：A ，∴MN ∥PE . 又PE ⊂平面PBC ，而MN ⊄平面PBC ， ∴MN ∥平面PBC .能力提升12．(5分)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点，求证：AB 1∥平面BEC 1.证明：如图，连接B 1C ，设BC 1∩B 1C ＝D ，连接DE ，∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱， ∴BCC 1B 1是矩形， ∴D 是B 1C 的中点．∵E 是AC 的中点，∴AB 1∥DE .又DE ⊂平面BEC 1，AB 1⊄平面BEC 1， ∴AB 1∥平面BEC 1.13．(15分)如图，P 是△ABC 所在平面外的一点，A ′、B ′、C ′分别是△PBC 、△PCA 、△PAB 的重心．(1)求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC ； (2)求△A ′B ′C ′与△ABC 的面积之比．解：(1)证明：连结PA ′、PC ′，并延长交BC 、AB 于M 、N ，连结MN . ∵A ′、C ′分别是△PBC 、△PAB 的重心，∴PA ′＝23PM ，PC ′＝23PN .∴A ′C ′∥MN .∵A ′C ′⊄平面ABC ，MN ⊂平面ABC ， ∴A ′C ′∥平面ABC . 同理，A ′B ′∥平面ABC .又A ′C ′∩A ′B ′＝A ′，A ′C ′、A ′B ′⊂平面A ′B ′C ′， ∴平面A ′B ′C ′∥平面ABC .(2)由(1)知A ′C ′綊23MN .又MN 綊12AC ，∴A ′C ′綊13AC .同理A ′B ′綊13AB ，B ′C ′綊13BC .∴△A ′B ′C ′∽△ABC . ∴S △A ′B ′C ′S △ABC ＝19.。
【学案导学设计】苏教版必修2高中数学 1.2.3第1课时直线与平面平行的判定课时作业
1.2.3 直线与平面的位置关系第1课时直线与平面平行的判定【课时目标】1．理解直线与平面平行的判定定理的含义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理；2．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．2．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和________________________平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为a⊄α，b⊂α且a∥b⇒a∥α．一、填空题1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b．2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是________．3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系是______________________________________________________________________．4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面为____________个．6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______________；(2)与直线AA1平行的平面是______________；(3)与直线AD平行的平面是______________．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是__________________________________________________________________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．能力提升12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．(2)利用直线和平面平行的判定定理：a⊄α，a∥b，b⊂α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．1．2．3 直线与平面的位置关系第1课时直线与平面平行的判定答案知识梳理1．直线在平面外a⊄α2．这个平面内的一条直线作业设计1．0解析①a⊂α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a⊂α也可能成立；④a，b还有可能异面．2．b∥α或b与α相交3．平行或相交4．平行5．0,1或无数6．12解析如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条．7．无数8．(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A1C19．平行解析 设BD 的中点为F ，则EF∥BD 1． 10．证明 取D 1B 1的中点O ， 连结OF ，OB ．∵OF 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OF 綊BE ．∴四边形OFEB 是平行四边形， ∴EF∥BO．∵EF ⊄平面BDD 1B 1， BO ⊂平面BDD 1B 1， ∴EF∥平面BDD 1B 1．11．证明 连结AF 延长交BC 于G ， 连结PG ．在▱ABCD 中，易证△BFG∽△DFA． ∴GF FA ＝BF FD ＝PE EA ， ∴EF∥PG．而EF ⊄平面PBC ， PG ⊂平面PBC ， ∴EF∥平面PBC ． 12．①③13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM∥AB 交BE 于M ，作QN∥AB 交BC 于N ，连结MN ．∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ， ∴AE＝BD ．又∵AP＝DQ ，∴PE＝QB ． 又∵PM∥AB∥QN， ∴PM AB ＝PE AE ，QN DC ＝BQ BD ． ∴PM 綊QN ．∴四边形PQNM 是平行四边形．∴PQ∥MN． 又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ∥平面BCE ．方法二 如图(2)所示，连结AQ 并延长交BC(或其延长线)于K ，连结EK ．∵KB∥AD，∴DQ BQ ＝AQQK．∵AP＝DQ ，AE ＝BD ，∴BQ＝PE ． ∴DQ BQ ＝AP PE ．∴AQ QK ＝APPE．∴PQ∥EK． 又PQ ⊄面BCE ，EK ⊂面BCE ，∴PQ∥面BCE ．。
2020高中数学 第1章 1.2.3 第二课时 直线与平面垂直课时作业 苏教版必修2
1.2.3 第二课时直线与平面垂直[学业水平训练]1．下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°)；②直线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°]；③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．其中正确的是________(填序号)．解析：②应为[0°，90°]；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．答案：①④2．垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是________．解析：梯形的两腰所在的直线是相交的直线，故直线垂直于梯形所在平面内的两条相交直线，所以直线与平面垂直．答案：垂直3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，它的六个面中与棱AA1垂直的有________个．解析：面A1B1C1D1与面ABCD都与棱AA1垂直．答案：24．如果不在平面α内的一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系为________．解析：设平面α的垂线为a，过a上一点作l′∥l，设l′与a所确定的平面交α于b，则a⊥b，而a⊥l′，∴l′∥b，∴l∥b，即可得l∥α.答案：平行5.如图，边长为22的正方形ABCD在α上的射影为EFCD，且AB到α的距离为2，则AD与α所成的角为________．解：在Rt△AED中，AE＝2，AD＝22，∴∠ADE＝30°.答案：30°6．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的有________．(填序号)解析：在①中，设面BCD上的另一个顶点为A1，连结BA1，易得CD⊥BA1，CD⊥AA1，即CD⊥平面ABA1，∴CD⊥AB.而在②中AB与CD成60°角，在③中AB与CD成45°角．在④中AB与CD所成角的正弦值为63.答案：①7．若点A∉平面α，点B∈α，AB＝6，AB与α所成的角为45°，求A到α的距离．解：如图，过A作AH⊥平面α于H，连结BH，则∠ABH为AB与α所成角，即∠ABH＝45°.在Rt△ABH中，AH＝AB sin 45°＝3 2.∴A到α的距离为3 2.8．已知在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.证明：如图，过A作AO⊥平面BCD于O，则AO⊥CD.连结OB，OC，∵AB⊥CD，AO∩AB＝A，∴CD⊥平面AOB，∴BO⊥CD.同理得CO⊥BD，∴O是△BCD的垂心．连结DO并延长交BC于M，则DM⊥BC，而AO⊥BC，AO∩DM＝O，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥AD.[高考水平训练]1.如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P，∴QD⊥平面APQ，∴AQ⊥QD.即Q在以AD为直径的圆上，当半圆与BC相切时，点Q只有一个．故BC＝2AB＝2，即a＝2. 答案：22．正△ABC边长为a，沿高AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，则B到AC的距离为________．解析：如图，作DH⊥AC于H，连结BH.∵BD⊥AD，BD⊥DC，AD∩DC＝D，∴BD⊥平面ACD.从而BD⊥DH，∴DH为BH在平面ADC内的射影，∴BH⊥AC，又正△ABC边长为a，∴DH＝34a，∴BH＝BD2＋DH2＝74a.答案：7 4 a3.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a 的菱形．侧面PAD为正三角形，且PG⊥平面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)连结BD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.∵PG⊥平面ABCD.∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形．∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.4.如图，在四棱锥P - ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC.(2)求点A到平面PBC的距离．解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，又PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，又PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC.(2)如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F，则有AE∥平面PBC.∴点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离，又EF⊥PC，BC⊥平面PDC，则EF⊥BC，又BC∩PC＝C，∴EF⊥平面PBC，∴EF即为E到平面PBC的距离，又∵AE∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE＝AB＝2，又∵PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥CD，∠PCD＝45°，∴EF＝2，即点A到平面PBC的距离为 2.。
苏教版高中数学高一必修二作业 1.直线与平面平行的判定
1.2.3.1直线与平面平行的判定一、填空题1．下列命题正确的是________．(填序号)①若一条直线a与平面α平行，则直线a与平面α没有公共点；②若一条直线a与平面α有公共点，则直线a与平面α相交；③若一条直线a与平面α有两个公共点，则a⊂α.答案①③解析因为当a∥α时，a与α无公共点，所以①正确；因为当直线a与平面α有两个公共点时，a⊂α，所以②错误，③正确．2．若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是______．(填序号)①α内的所有直线都与直线l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内的直线与l相交；④直线l与平面α有公共点．答案④解析①中，过公共点的直线与直线l相交，不异面，①错误；②③中，当l⊂α时，α内有无数多条直线与l平行，故②③错；④中，直线l与平面α不平行，则直线l与平面α相交或在平面内，所以l与平面α有公共点，故④正确．3．若平面外一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是________．答案平行或相交解析当两点在平面的一侧时，这条直线与平面平行；当两点在平面的两侧时，这条直线与平面相交．所以这条直线与平面的位置关系是平行或相交．4.若P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段有________条．答案 2解析由题意知，EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段．5.如图，在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)答案平行解析∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.6.如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，与BC平行的平面是________；与BC1平行的平面是________；与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________．答案平面A1C1与平面AD1平面AD1CD解析观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A1C1与平面AD1；与BC1平行的平面是平面AD1；由于平面A1C1与平面A1B的交线是A1B1，所以与其都平行的棱是CD.7．若AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是________．答案平行解析这三条线段放在正方体内如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG.EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG.8．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．答案平行解析∵AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，∴EF∥AC.又∵EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.9．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．答案12解析如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与平面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条．10．如图，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)答案①③解析①如图(1)，Q为所在棱的中点，连结MQ，NQ，PQ，则NQ∥AB，且NQ⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP.②过N作AB的平行线交底面正方形于其中心O，NO⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP.④如图(2)，过M作MC∥AB，∵MC⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行．二、解答题11.如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，Q是PA的中点．求证：PC∥平面BDQ.证明连结AC，交BD于O，连结OQ，因为底面ABCD为正方形，所以O为AC的中点．又因为Q是PA的中点，所以OQ∥PC，又因为OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，所以PC∥平面BDQ.12．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，点G为BC 的中点．求证：OG∥平面EFCD.证明∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，∴点O是BD的中点．又点G为BC的中点，∴OG∥CD.又OG⊄平面EFCD，CD⊂平面EFCD，∴OG∥平面EFCD.13.如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明解 如图，存在点M ，当点M 是线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE .取BE 的中点N ，连结CN ，MN ， MN ∥AB 且MN ＝12AB ，又PC ∥AB 且PC ＝12AB ，所以四边形MNCP 为平行四边形，所以PM ∥CN . 因为PM ⊄平面BCE ，CN ⊂平面BCE ， 所以PM ∥平面BCE . 三、探究与拓展14．如图，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．考点 直线与平面平行的判定 题点 直线与平面平行的判定 答案 平面ABC ，平面ABD解析 连结BN ，AM ，并延长交CD 于点E .由题意易得MN ∥AB ，MN ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABD ， ∴MN ∥平面ABC ，MN ∥平面ABD .15．已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA ＝SB ＝SC ，SG 为△SAB 边AB 上的高，D ，E ，F 分别是AC ，BC ，SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 的位置关系，并给予证明．解 SG ∥平面DEF .证明如下：连结CG交DE于点H，如图，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点．∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.。
2020高中数学 第1章 1.2.2 空间两条直线的位置关系课时作业 苏教版必修2
1.2.2 空间两条直线的位置关系[学业水平训练]1．给出下列四个命题：①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.其中正确的是________(填序号)．解析：①在空间，两条直线不相交，可能平行，也可能异面，故①不正确；②由公理4可知正确；③不正确，一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它和另一条可能异面，也可能相交，④由公理4可知正确．答案：②④2．如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是________．解析：与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1，共4条．答案：43．空间中有一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________.解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.答案：70°或110°4．已知a，b，c是空间三条直线，则下列说法中正确的个数为________．①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；③若a，b相交，b，c相交，则a，c也相交；④若a，b共面，b，c共面，则a，c也共面．解析：若a⊥b，b⊥c，则a，c共面(相交，平行)或异面，故①错；若a，b异面，b，c异面，则a，c相交或平行或异面，故②错；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交或平行或异面，故③错；若a，b共面，b，c共面，则a，c共面或异面，故④错．故填0.答案：05.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是AB、AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．解析：∵在△ABC中，AE∶EB＝AF∶FC，∴EF∥BC，又∵BC∥B1C1，∴EF∥B1C1.答案：平行6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM 与NB 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：①错误，AM 与CC 1是异面直线．②错误，取DD 1中点P ，则AP ∥BN .∵AP 与AM 相交，∴AM 与BN 不平行．③正确．④正确．答案：③④7.已知不共面直线a ，b ，c 相交于点P ，A ∈a ，D ∈a ，B ∈b ，E ∈c .求证：BD 和AE 是异面直线．证明：假设BD 与AE 不是异面直线，则BD 与AE 确定一个平面α，则A ，B ，D ，E ∈α，则A ，D 确定的直线a ⊂α.又∵P ∈a ，∴P ∈α.∴P ，E 确定的直线c ⊂α，P ，B 确定的直线b ⊂α.∴a ，b ，c 共面，与已知a ，b ，c 不共面矛盾，所以BD 与AE 是异面直线．8．如图，E 、F 分别是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、C 1C 的中点．求证：四边形B 1EDF 是平行四边形．证明：如图，设Q 是DD 1的中点，连结EQ 、QC 1，∵E 是AA 1的中点，∴EQ 綊A 1D 1，又在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1綊B 1C 1，∴EQ 綊B 1C 1(平行公理)，∴四边形EQC 1B 1为平行四边形，∴B 1E 綊C 1Q ，又∵Q 、F 是矩形DD 1C 1C 的两边的中点，∴QD 綊C 1F ，∴四边形DQC 1F 为平行四边形，∴C 1Q 綊DF ，又∵B 1E 綊C 1Q ，∴B 1E 綊DF ，∴四边形B 1EDF 是平行四边形．[高考水平训练]1．如图，在三棱锥A - BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形，当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 是正方形．解析：易知EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，显然四边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH 且EF ⊥EH ，即AC ＝BD 且AC ⊥BD .答案：AC ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD2．G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)解析：对于①，连结GM ，(图略)显然四边形GMNH 是平行四边形；对于③，连结GM ，(图略)易知GM ∥HN ，故①，③中GH 与MN 共面；②，④中GH 与MN 是异面的．答案：②④3．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是矩形BCC 1B 1的中心，F 是矩形ADD 1A 1的中心，连结AE ，B 1F ，判断AE ，B 1F 是否为异面直线．解：法一：(定理法)如图所示，连结A 1D 和B 1C .∵E 、F 分别为矩形BCC 1B 1和ADD 1A 1的中心，∴F ∈A 1D ，E ∈B 1C .又∵A 1B 1∥CD ，∴A 1B 1，CD 可以确定一个平面A 1B 1CD .∴B 1F ⊂平面A 1B 1CD .又∵E ∈平面A 1B 1CD ，且E ∉B 1F ，AB ∥平面A 1B 1CD ，∴A ∉平面A 1B 1CD ，∴AE 与B 1F 是异面直线．法二：(反证法)假设AE 与B 1F 为共面直线，由直线B 1E 与点F 可确定平面A 1B 1CD ，则AE ⊂平面A 1B 1CD ，得A ∈平面A 1B 1CD ，而在长方体中，A ∉平面A 1B 1CD ，假设错误，故AE 与B 1F 为异面直线．4．如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，BE ∥FA ，BE ＝12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH ∥AD ，GH ＝12AD .又BC ∥AD ， BC ＝12AD ，∴GH ∥BC ，GH ＝BC ， ∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)C ，D ，F ，E 四点共面．证明如下：由BE ∥FA ，BE ＝12FA ，G 为FA 中点知， BE ∥FG ，BE ＝FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG ，EF ＝BG .由(1)知BG ∥CH ，BG ＝CH ，∴EF ∥CH ，EF ＝CH ，∴四边形EFHC 是平行四边形，∴CE 与HF 共面，又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．。
数学第1章1.2.1平面的基本性质随堂自测和课后作业(苏教版必修2)(20201103182227)
1.如图所示，用符号语言表示以下各概念：①点A，B在直线a上________；②直线a在平面α内________；③点D在直线b上，点C在平面α内________．答案：①A∈a，B∈a②a?α③D∈b，C∈α2.若点A，B，C∈平面α，点A，B，C∈平面β，且A，B，C三点不共线，则α与β________．解析：由公理3可知，经过不在同一条直线上的三点A，B，C有且只有一个平面，所以α与β重合．答案：重合3.若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在________．解析：设α∩β＝l，∵A，B∈α且A，B∈β，∴A，B∈l.答案：α与β的交线上4.给出以下三个命题：①若空间四点不共面，则其中无三点共线；②若直线l上有一点在平面α外，则l在α外；③两两相交的三条直线共面．其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析：③中三条直线两两相交于同一点时，可以不共面．①②都正确．答案：①②5.已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．解析：当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．答案：1或2或3[A级基础达标]1.下列说法中正确的个数为________．①过三点至少有一个平面；②过四点不一定有一个平面；③不在同一平面内的四点最多可确定4个平面．解析：①正确，其中三点不共线时，有且仅有一个平面．三点共线时，有无数个平面；②正确，四点不一定共面；③正确．答案：32.①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形．空间中，上述四个结论一定成立的是________(填上所有你认为正确的命题的序号)．解析：空间中，两组对边分别相等的四边形不一定是平行四边形，如图所示．答案：①②④3.空间有四个点，如果其中任意三点都不共线，那么经过其中三个点的平面有________个．解析：当四点共面时，经过三点的平面有1个；四点不共面时，经过其中的三点可画四个平面．答案：一或四4.设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l.解析：因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β，又因为α∩β＝l，所以M∈l.答案：∈5.已知平面α、β，直线l，点A、B、C，它们满足：α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β，且C?α，又直线AB∩l＝D，A、B、C三点确定的平面为γ，则平面β与平面γ的交线是________．解析：∵D∈l，l?β，∴D∈β，又C∈β，γ由A、B、C三点确定，∴AB?γ，C∈γ，又D∈AB，∴D∈γ，∴CD是β与γ的交线．答案：直线CD6.已知A、B、C是平面α外不共线的三点，且AB、BC、CA分别与α交于点E、F、G，求证：E、F、G三点共线．证明：如图，过A、B、C作一平面β，则AB?β，AC?β，BC?β.∴E∈β，F∈β，G∈β.设α∩β＝l，∵AB、BC、CA分别与α相交于点E、F、G，∴E∈α，F∈α，G∈α.∴E、F、G必在α与β的交线上．∴E、F、G三点共线．7.已知：a∥b∥c，a∩d＝A，b∩d＝B，c∩d＝C，求证a，b，c，d共面．证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.∵A∈a，∴A∈α.同理B∈α.∴AB确定的直线d?α.∵b∥c，∴b，c确定一个平面β.∵B∈b，∴B∈β.同理C∈β.∴BC确定的直线d?β.∵α与β同时过两相交直线b，d，∴α与β重合．∴a，b，c，d共面．[B级能力提升]8.A、B、C、D为不共面的四点，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在________上；(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在________上．解析：(1)如图，由AB、AD确定平面α.∵E、H在AB、DA上，∴E∈α，H∈α，∴直线EH?α，又∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，P∈α.设BC、CD确定平面β，同理可证，P∈β，∴P是平面α，β的公共点，∵α∩β＝BD，∴点P在直线BD上．同理可证(2)点Q在直线AC上．答案：(1)BD所在的直线(2)AC所在的直线9.在如图所示的正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图是________(填序号)．解析：图①中PS∥QR，∴P、Q、R、S四点共面；图②中，连结PS并延长交右上方棱的延长线于M.连结MR并延长，交右下方的棱于N.连结NQ，可知P、S、N、Q共面，所以P、Q、R、S四点共面．图③中SR∥PQ，∴P、Q、R、S四点共面．答案：①②③10.如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1、BB1、CC1交于一点．证明：如图所示，∵A1B1∥AB，∴A1B1与AB确定一平面α，同理，B1C1与BC确定一平面β，C1A1与CA确定一平面γ.易知β∩γ＝C1C.又△ABC与△A1B1C1不全等，∴AA1与BB1相交，设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.而AA1?γ，BB1?β，∴P∈γ，P∈β，∴P在平面β与平面γ的交线上．又β∩γ＝C1C，根据公理2知，P∈C1C，∴AA1、BB1、CC1交于一点．11.(创新题)求证：每两条都相交且不共点的四条直线，必在同一平面内．证明：记此四条直线为a，b，c，d.(1)存在三线共点，不妨设a，b，c共点P，则P?d，故P，d确定一个平面α，又a，d相交，交点为Q，则Q≠P且P，Q∈α，又P，Q∈α，故a?α.同理b，c?α，即a，b，c，d 共面α.(2)任意三线不共点，则a，b，c两两相交且不共点，由(1)的证明，得a，b，c共面α，设a∩d ＝P，b∩d＝Q，则P≠Q，由P，Q∈d且P，Q∈α，得d?α，故a，b，c，d共面α.总之，两两相交且不共点的四线共面．高╔考≒试╔题[库。
苏教版高中数学必修二《直线与平面的位置关系》(一)课后作业.docx
桑水课后作业班级_____________姓名_______________一、基础题3.直线与平面平行的判定: 如果____________的一条直线和这个平面内的一条直线______,那么这条直线和这个平面平行.用符号语言来表示___________________________________4.给出下列四个命题①若一条直线与一个平面内的一条直线平行, 则这条直线与这个平面平行; ②若一条直线与一个平面内的两条直线平行, 则这条直线与这个平面平行;③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行; ④若两条平行直线中的一条与一个平面平行, 则另一条也与这个平面平行. 其中正确命题的个数是_______________________5.梯形ABCD 中, AB//CD, AB ⊂α, CD ⊄α, 则CD 与平面α内的直线的位置关系只能是_____二、提高题6.如图, E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点, 求证: (1)四点E 、F 、G 、H 共面;(2)BD//平面EFGH , AC//平面EFGH .A CBEHDG桑水7.如图, 在四棱锥P-ABCD 中, M 、N 、E 分别是AB 、PC 、PD 的中点, 若ABCD 是平行四边形, 求证: MN//平面PAD .三、能力题8． 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中E 、F 、G 分别在A 1A 、 C 1C 和B 1B 上, 且AE=C 1F=BG ，. 求证: D 1EBF 为平行四边形.PNCBAMDE。
苏教版数学高一必修二 作业 1.2.3直线与平面垂直(第二课时)
1．若斜线段AB是它在平面α的射影长的2倍，则AB与平面α所成角为________．解析：线面角α的余弦值为12，所以α＝60°.答案：60°2．已知直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________．解析：由题意知a⊥α，b⊥α，∴a∥b.答案：平行3．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴AC⊥BD.答案：菱形4．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则CA与DB的位置关系是________．解析：∵DA⊥α，∴DA⊥AC.又AC⊥AB，AB∩DA＝A，∴AC⊥平面ABD.∴AC⊥BD.答案：垂直5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，若PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数为________．解析：由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，∴△PAB，△PAC都是直角三角形且PA⊥BC.又AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥PC.∴△PBC是直角三角形，△ABC是直角三角形．答案：46．已知直线AB⊥平面α于B，直线CD⊥平面α于D，直线AC∩平面α＝E，求证：B、D、E三点共线．证明：如图所示，由直线AB⊥平面α，直线CD⊥平面α.∴AB∥CD，故经过AB和CD可以确定一平面β，则α∩β＝BD.∵AC∩α＝E，∴E∈α，E∈β.∴E在α与β的交线上，即E∈BD，∴B、D、E三点共线．7．(2012·吉林高一检测)如下图，已知PA⊥圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平面PBC.证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AE，又∵PC⊥AE，BC⊥PC＝C，∴AE⊥平面PBC.8.(2012·宿迁模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2 2.(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；证明：(1)设AC∩BD＝H，连结EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE，且PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.。
2020版高中数学 课时作业12 直线与平面平行、平面与平面平行的性质 2
课时作业12 直线与平面平行、平面与平面平行的性质基础巩固1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线（)A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条 D.没有解析:设n条直线交于点P,则P∉a，由直线a与点P确定的平面β与平面α必定有一条交线，设为直线b，由直线与平面平行的性质定理知a∥b，故n条直线中至多有一条直线与a平行．答案：B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是（) A．平行 B.相交C．异面D。
平行或异面解析：条件即为线面平行的性质定理,所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.答案：C3．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是（）A．两两相互平行B．两两相交于同一点C．两两相交但不一定交于同一点D．两两相互平行或交于同一点解析：根据面面平行的性质，知四条交线两两相互平行，故选A。
答案：A图14．如图1，在多面体ABC。
DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则（）A．BF∥平面ACGDB．CF∥平面ABEDC．BC∥FGD．平面ABED∥平面CGF解析：取DG的中点为M，连接AM，FM，如图2所示．图2则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形,∴DE綊FM.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE,∴AB∥DE,∴AB∥FM。
又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM.又BF⊄平面ACGD，∴BF∥平面ACGD.故选A.答案：A5．如图3①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，点E为线段AB上异于A,B的点，点F为线段CD上异于C，D的点,且EF∥DA，沿EF将面EBCF折起,如图3②，则下列结论正确的是( )图3A．AB∥CD B．AB∥平面DFCC．A,B，C，D四点共面D．CE与DF所成的角为直角解析：在图3②中，∵BE∥CF,BE⊄平面DFC，CF⊂平面DFC，∴BE∥平面DFC,同理AE∥平面DFC.又BE∩AE＝E，∴平面ABE∥平面DFC.又AB⊂平面ABE，∴AB∥平面DFC。
2020高中数学 第1章 1.2.3 第一课时 直线与平面平行课时作业 苏教版必修2
1.2.3 第一课时直线与平面平行[学业水平训练]1．下面命题中正确的是________(填序号)．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若三个平面两两相交，则有三条交线．解析：①正确；若直线与平面相交，直线上也有无数个点不在平面内，故②不正确；直线l 与平面α相交，则l与平面α内过交点的直线不是异面直线，故③不正确；两条异面直线中的一条与一个平面平行，另一条可能与该平面平行或在平面内或相交，故④不正确；直线l与平面α平行，则l与平面α无公共点，所以l与平面α内的直线也无公共点，两直线无公共点，即两直线平行或异面，故⑤正确；三个平面两两相交，可能有三条交线，也可能有一条交线，故⑥不正确．答案：①⑤2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是________．解析：设BD的中点为F，则EF∥BD1，又EF⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC.∴BD1∥平面AEC.答案：平行3．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是________．解析：无论怎样转动，都有CD∥AB，当木板不平铺在平面α上时，∵AB⊂α，CD⊄α，∴CD∥α.当木板转到平铺在平面α上时，CD⊂α.答案：CD∥α或CD⊂α4．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.答案：CD∥α5.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与面PAD交于EF，则四边形EFBC是________．解析：∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD.又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面PAD＝EF，∴BC∥EF.∵EF∥AD，BC綊AD，∴EF∥BC且EF≠BC.∴四边形EFBC为梯形．答案：梯形6.如图所示，正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，因为E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得EF ＝12AC ，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AC ＝22，所以EF ＝ 2.答案： 27.如图，正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1，若过A 、C 、B 1三点的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为l ，求证：AC ∥l .证明：∵AC ∥A 1C 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，AC ⊄平面A 1B 1C 1D 1，∴AC ∥平面A 1B 1C 1D 1.又AC ⊂平面AB 1C ，平面AB 1C ∩平面A 1B 1C 1D 1＝l ，∴AC ∥l .8.如图所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB ，AC 分别交平面α于点E 、F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF＝3，求EF 的长．解：由于点A 不在直线a 上，则确定一个平面β，∴α∩β＝EF ，∵a ∥平面α，∴EF ∥a ，∴EF BC ＝AF AC ，∴EF ＝AF ×BC AC ＝3×45＋3＝32. [高考水平训练]1．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．解析：设过m 的平面β与α交于l ，∵m ∥α，∴m ∥l ，∵m ∥n ，∴n ∥l .∵n ⊄α，l ⊂α，∴n ∥α.答案：①②⇒③(或①③⇒②)2.如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列结论中正确的为________．①AC ⊥BD ；②AC ∥截面PQMN ；③AC ＝BD ；④异面直线PM 与BD 所成的角为45°.解析：∵MN ∥PQ ，∴PQ ∥平面ACD ，又平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，∴PQ ∥AC ，从而AC ∥截面PQMN ，②正确；同理可得MQ ∥BD ，故AC ⊥BD ，①正确；又MQ ∥BD ，∠PMQ ＝45°，∴异面直线PM 与BD 所成的角为45°，故④正确．根据已知条件无法得到AC ，BD 长度之间的关系，故③不正确．所以应填①②④. 答案：①②④3．如图，a ，b 是异面直线，A ，C 与B ，D 分别是a ，b 上的两点，直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，AB ∩α＝M ，CD ∩α＝N .若AM ＝BM ，求证：CN ＝DN .证明：连结AD，设AD∩α＝E，连结EN，ME.∵b∥α，平面α∩平面ABD＝ME，∴ME∥BD.同理EN∥AC.∵AM＝MB，∴AE＝ED，∴CN＝DN.4．已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB中AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．解：分析可知SG∥平面DEF.证明如下：如图，连结CG，交DE于点H，连结FH.∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点．∵F是SC的中点，∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.。
苏教版学案必修2高中数学 2.1.3两条直线的平行与垂直课时作业
2.1.3 两条直线的平行与垂直【课时目标】能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．1．两条直线平行与斜率的关系(1)对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2⇔____________．(2)如果直线l1、l2的斜率都不存在，并且l1与l2不重合，那么它们都与________垂直，故l1______l2．2．两条直线垂直与斜率的关系(1)如果直线l1、l2的斜率都存在，并且分别为k1、k2，那么l1⊥l2⇔__________．(2)如果两条直线l1、l2中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么l1与l2的位置关系是________．一、填空题1．有以下几种说法：(l1、l2不重合)①若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，则l1∥l2；②若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数；③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；④只有斜率相等的两条直线才一定平行．以上说法中正确命题的序号为________．2．以A(－1,1)、B(2，－1)、C(1,4)为顶点的三角形形状为__________三角形．3．已知A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y＝0垂直，则m的值________．4．已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m 的值为________．5．已知一条直线经过点P(1,2)且与直线y＝2x＋3平行，则该直线的点斜式方程是________．6．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为________．7．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，3)，B(－2，－23)，则直线l1，l2的位置关系是____________．8．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________．9．原点在直线l上的射影是P(－2,1)，则l的方程为__________．二、解答题10．已知△ABC的顶点坐标为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，试求m的值．11．已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：x＋my－1＝0，当m为何值时，(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2．能力提升12．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为________．13．直线l：x＋2y－1＝0绕着其上一点P顺时针旋转90°后，所得直线为l1且经过点Q(0,1)，求点P的坐标及l1的方程．1．判断两条不重合的直线l 1与l 2平行，即判断两直线的斜率k 1＝k 2，也可判断两直线的倾斜角相等．在利用k 1＝k 2来判断l 1与l 2平行时，一定要注意斜率的存在与否，但利用倾斜角相等来判断两直线平行，则无需讨论．2．判断两直线l 1与l 2垂直，即判断两直线的斜率k 1与k 2之积为－1或其中一条直线的斜率不存在并且另一条直线的斜率为0．2．1．3 两条直线的平行与垂直 答案知识梳理1．(1)k 1＝k 2 (2)x 轴 ∥2．(1)k 1k 2＝－1 (2)垂直作业设计1．①③解析 ①③正确，②④不正确，l 1或l 2可能斜率不存在．2．直角解析 k AB ＝－23，k AC ＝32，k AC ·k AB ＝－1， ∴AB ⊥AC ．3．1解析 直线AB 应与x 轴垂直，A 、B 横坐标相同．4．0或1解析 当AB 与CD 斜率均不存在时，m ＝0，此时AB ∥CD ，当k AB ＝k CD 时，m ＝1，此时AB ∥CD ．5．y －2＝2(x －1)6．x ＋3y －1＝0解析 直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°所得到的直线方程为y ＝－13x ，再将该直线向右平移1个单位得到的直线方程为y ＝－13(x －1)，即x ＋3y －1＝0． 7．平行或重合解析 由题意可知直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝3，直线l 2的斜率k 2＝－23－3－2－1＝3， 因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1，l 2重合．8．2 －98解析 若l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－b2＝－1，∴b ＝2． 若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，Δ＝9＋8b ＝0，∴b ＝－98． 9．2x －y ＋5＝0解析 l 过点P 与直线OP 垂直， k OP ＝1－0－2－0＝－12，∴k l ＝2． ∴l 的方程为y －1＝2(x ＋2)，即2x －y ＋5＝0．10．解 k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－m ＋13， k BC ＝m －12－1＝m －1． 若AB ⊥AC ，则有－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋13＝－1， 所以m ＝－7．若AB ⊥BC ，则有－12·(m －1)＝－1， 所以m ＝3．若AC ⊥BC ，则有－m ＋13·(m －1)＝－1，所以m ＝±2．综上可知，所求m 的值为－7，±2,3．11．解 当m ＝0时，两直线为y ＝－1，x ＝1，互相垂直； 当m ≠0，l 1：y ＝－mx －1，l 2：y ＝－x m ＋1m， 则(－m )(－1m)＝－1无解． 则两直线不垂直；－m ＝－1m ，且－1≠1m时，m ＝1，两直线平行． 综上所述：当m ＝0时，两直线互相垂直；当m ＝1，两直线平行．12．(－19，－62)解析 设A (x ，y )，∵AC ⊥BH ，AB ⊥CH ，且k BH ＝－15，k CH ＝－13， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y －3x ＋6＝5，y －1x －2＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－19，y ＝－62.13．解 l ：x ＋2y －1＝0绕P 点顺时针旋转90°得l 1， 则l 1的斜率为2．又l 1过点Q (0,1)，则l 1：y －1＝2x ．即2x －y ＋1＝0．联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0x ＋2y －1＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，35．。
2019-2020学年苏教版必修二 直线与平面平行 课时作业
2019-2020学年苏教版必修二直线与平面平行课时作业一、选择题(每题5分，共30分)1. (*)若直线a平行于平面α，则()A. 平面α内有且只有一条直线与a平行B. 平面α内有无数条直线与a 平行C. 平面α内不存在与a平行的直线D. 平面α内的任意直线与直线a都平行2. (*)直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线()A. 只有一条，不在平面α内B. 有无数条，不一定在平面α内C. 只有一条，且在平面α内D. 有无数条，一定在平面α内3. (*)已知m，n表示两条不同直线，a表示平面，下列说法正确的是()A. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥nB. 若m∥α，n∥α，则m∥nC. 若m⊥α，m⊥n，则n∥αD. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α4. (**)下列命题正确的是()A. 如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B. 如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C. 如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥bD. 如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α5. (**)如果直线m∥直线n，且m∥平面α，那么n与α的位置关系是()A. 相交B. n∥αC. n⊂αD. n∥α或n⊂α6. (**)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 异面D. 不确定二、填空题(每题5分，共20分)7. (*)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，E，C三点的平面的位置关系是________．8. (**)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面A1BC1平行的面对角线有___________________________条．9. (**)已知点A与B到平面α的距离分别是4cm和6cm，则线段AB的中点到平面α的距离是________．10. (**)若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是9,17，过AB 的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为________．三、解答题(第11、12题每题16分，第13题18分)11. (**)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点M是棱AB的中点，求证：AC1∥平面B1CM.__________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________12. (**)如图，四棱锥S－ABCD的底面是平行四边形，点P是棱SD上任意一点．若点P是棱SD的中点，点Q是棱BC的中点，求证：PQ∥平面SAB._________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________13. (**)如图，已知四面体ABCD的四个面均为锐角三角形，E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，DA上的点，BD∥平面EFGH，且EH＝FG，求证：HG ∥平面ABC._________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________第三天直线与平面平行教材例题回顾练1. 2. 略暑期限时检测1. B解析：由直线与平面平行的性质定理可知，直线与平面内的无数条直线平行，平面内的直线也可以和直线异面，故选B.2. C解析：过a与P作一平面β，平面α与平面β的交线为b.因为直线a ∥平面α，所以a∥b，在同一个平面内，过点作已知直线的平行线有且只有一条，所以选项C正确．3. A解析：A. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故A正确；B. 若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故B错；C. 若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D. 若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．4. D解析：A选项：a可能在经过b的平面内；B选项：a还可以与平面α内的直线异面；C选项：a可以与直线b平行、异面、相交．D选项：过直线a作平面β，设α∩β＝c，又因为a∥α，所以a∥c.又因为a∥b，所以b∥c.又因为b⊄α且c⊂α，所以b∥α.因此D正确．5. D解析：因为m∥平面α，则在平面α内，存在直线p，使得m∥p，又直线m∥直线n，所以n∥p，所以当n不在平面α内时，n∥α，若n⊂α也成立．所以n∥α或n⊂α.故选D.6. A解析：因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH不在平面BCD内，所以EH∥平面BCD.又EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.故选A.7. 平行8. 39. 5cm或1cm10. 2611. 证明：连接BC1交B1C于N，则N为BC1的中点，连接MN，则MN∥AC1.又因为MN⊂平面B1CM，AC1⊄平面B1CM，所以AC1∥平面B1CM.12. 证明：取SA的中点R，连接PR，BR，则PR是△SAD的中位线，所以PR∥AD，且PR＝12AD.因为BQ∥AD，且BQ＝12AD，所以PR∥BQ，且PR＝BQ，所以四边形PRBQ为平行四边形，所以PQ∥BR.因为BR⊂平面SAB，PQ⊄平面SAB，所以PQ∥平面SAB.13. 证明：因为BD∥平面EFGH，且平面EFGH∩平面BCD＝FG，所以BD ∥FG.同理，BD∥EH.所以EH∥FG.又EH＝FG，所以四边形EFGH是平行四边形，所以HG∥EF.因为EF⊂平面ABC，且HG⊄平面ABC，所以HG∥平面ABC.。
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1.2.3 第一课时直线与平面平行
[学业水平训
练]
1．下面命题中正确的是________(填序号)．
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
⑥若三个平面两两相交，则有三条交线．
解析：①正确；若直线与平面相交，直线上也有无数个点不在平面内，故②不正确；直线l与平面α相交，则l与平面α内过交点的直线不是异面直线，故③不正确；两条异面直线中的一条与一个平面平行，另一条可能与该平面平行或在平面内或相交，故④不正确；直线l与平面α平行，则l与平面α无公共点，所以l与平面α内的直线也无公共点，两直线无公共点，即两直线平行或异面，故⑤正确；三个平面两两相交，可能有三条交线，也可能有一条交线，故⑥不正确．
答案：①⑤
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是________．
解析：设BD的中点为F，则EF∥BD1，
又EF⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC.
∴BD1∥平面AEC.
答案：平行
3．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是________．
解析：无论怎样转动，都有CD∥AB，当木板不平铺在平面α上时，∵AB⊂α，CD⊄α，∴CD∥α.当木板转到平铺在平面α上时，CD⊂α.
答案：CD∥α或CD⊂α
4．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．
解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.
答案：CD∥α
5.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与面PAD交于EF，则四边
形EFBC是________．
解析：∵ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC.
又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
又BC⊂平面BCEF，
平面BCEF∩平面PAD＝EF，
∴BC∥EF.
∵EF∥AD，BC綊AD，
∴EF∥BC且EF≠BC.
∴四边形EFBC为梯形．
答案：梯形
6.如图所示，正方体ABCD- A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面
AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，因为E 是DA 的中
点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得EF ＝12
AC ，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AC ＝22，所以EF ＝ 2.
答案： 2
7.如图，正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1，若过A 、C 、B 1三点的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为l ，求
证：AC ∥l .
证明：∵AC ∥A 1C 1，
A 1C 1⊂平面A 1
B 1
C 1
D 1，
AC ⊄平面A 1B 1C 1D 1，
∴AC ∥平面A 1B 1C 1D 1.
又AC ⊂平面AB 1C ，
平面AB 1C ∩平面A 1B 1C 1D 1＝l ，
∴AC ∥l .
8.如图所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB ，AC
分别交平面α于点E 、F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，求EF 的长．
解：由于点A 不在直线a 上，则确定一个平面β，
∴α∩β＝EF ，∵a ∥平面α，∴EF ∥a ，∴EF BC ＝AF AC ，
∴EF ＝AF ×BC AC ＝3×45＋3＝32
. [高考水平训练]
1．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．
解析：设过m 的平面β与α交于l ，
∵m ∥α，∴m ∥l ，∵m ∥n ，∴n ∥l .
∵n ⊄α，l ⊂α，∴n ∥α.
答案：①②⇒③(或①③⇒②)
2.如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列结论中正确的为________．
①AC ⊥BD ；
②AC ∥截面PQMN ；
③AC ＝BD ；
④异面直线PM 与BD 所成的角为45°.
解析：∵MN ∥PQ ，∴PQ ∥平面ACD ，又平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，∴PQ ∥AC ，从而AC ∥截面
PQMN ，②正确；同理可得MQ ∥BD ，故AC ⊥BD ，①正确；又MQ ∥BD ，∠PMQ ＝45°，∴异面直线PM 与BD 所成的角为45°，故④正确．
根据已知条件无法得到AC ，BD 长度之间的关系，故③不正确．所以应填①②④.
答案：①②④
3．如图，a ，b 是异面直线，A ，C 与B ，D 分别是a ，b 上的两点，直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，AB ∩α＝M ，CD ∩α＝N .若AM ＝BM ，求证：CN ＝DN .
证明：连结AD ，设AD ∩α＝E ，连结EN ，ME .
∵b ∥α，平面α∩平面ABD ＝ME ，
∴ME ∥BD .同理EN ∥AC .
∵AM ＝MB ，∴AE ＝ED ，
∴CN＝DN.
4．已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB中AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．
解：分析可知SG∥平面DEF.证明如下：
如图，连结CG，交DE于点H，连结FH.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB.
在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点．
∵F是SC的中点，∴FH是△SCG的中位线，
∴FH∥SG.
又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.。