2018年人教版数学A选修1-2 第2章 2.2.2 学业分层测评
2018高中数学人教a版选修1-2：模块综合检测 含解析
模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋i，则z1z2在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限B．第三象限C．第二象限D．第四象限解析：选D z1z2＝2＋i1＋i＝32－i2，对应点⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，－12在第四象限．2．下面几种推理中是演绎推理的为( )A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n＝1n(n＋1)(n∈N＋)C．半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝πD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2解析：选C 由演绎推理的概念可知C正确．3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B ∵ab＝0，∴a＝0或b＝0.由复数a＋bi＝a－bi为纯虚数，得a＝0且b ≠0.∴“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的必要不充分条件． 4．下列说法正确的有( )①回归方程适用于一切样本和总体．②回归方程一般都有时间性．③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围．④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③解析：选B 回归方程只适用于所研究样本的总体，所以①不正确；而“回归方程一般都有时间性”正确，③也正确；而回归方程得到的预报值是预报变量的近似值，故选B.5．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z zi ＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i解析：选A 由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z zi ＝zi ＋z ，得zi ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i.7．(重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 第一次运行得s ＝1＋(1－1)2＝1，k ＝2；第二次运行得s ＝1＋(2－1)2＝2，k ＝3；第三次运行得s ＝2＋(3－1)2＝6，k ＝4；第四次运行得s ＝6＋(4－1)2＝15，k ＝5；第五次运行得s ＝15＋(5－1)2＝31，满足条件，跳出循环，所以输出的k 的值是5，故选C.8．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程y^＝7.19x ＋73.93，用此方程预测儿子10岁的身高，有关叙述正确的是( )A ．身高一定为145.83 cmB ．身高大于145.83 cmC ．身高小于145.83 cmD ．身高在145.83 cm 左右解析：选D 用线性回归方程预测的不是精确值，而估计值，当x ＝10时，。
2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用阶段质量检测(二) Word版含解析
阶段质量检测(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中() A．小前提错误B．大前提错误C．推理形式错误D．结论正确2．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为()A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－1D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－103．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A．■B．△C．□D．○4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()A．各正三角形内任一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76 C．123 D．1996．已知c>1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是()A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b大小不定7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋28．已知a n ＝⎝⎛⎭⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)等于( ) A.⎝⎛⎭⎫1367B.⎝⎛⎭⎫1368C.⎝⎛⎭⎫13111D.⎝⎛⎭⎫13112 9．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1) B ．f ⎝⎛⎭⎫n (n ＋1)2C.n (n ＋1)2D.n (n ＋1)2f (1)10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和S n 与其组的编号数n 的关系是( )A ．S n ＝n 2B ．S n ＝n 3C ．S n ＝n 4D ．S n ＝n (n ＋1)11．在等差数列{a n }中，若a n ＞0，公差d ＞0，则有a 4a 6＞a 3a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，公比q ＞1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8＞b 5＋b 7B ．b 4＋b 8＜b 5＋b 7C ．b 4＋b 7＞b 5＋b 8D ．b 4＋b 7＜b 5＋b 812．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 016等于( )A.12B ．－1C ．2D ．3 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________． 14．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．15．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A＋sin B ＋sin C 的最大值是________．16．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n >2)个图形中共有________个顶点．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－aca＜ 3.18．(本小题12分)已知实数x ，且有a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，求证：a ，b ，c 中至少有一个不小于1.19．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．20．(本小题12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c 成等差数列．(1)比较b a与cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角．21．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1,2，…)，a 1＝1. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c n ＝a n2n (n ＝1,2，…)，求证：数列{c n }是等差数列．22．通过计算可得下列等式： 22－12＝2×1＋1； 32－22＝2×2＋1； 42－32＝2×3＋1； …(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1.将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.类比上述方法，请你求出12＋22＋32＋…＋n 2的值．答案1．解析：选B 可导函数f (x )，若f ′(x 0)＝0且x 0两侧导数值相反，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点，故选B. 2．解析：选B 由所给的等式可以根据规律猜想得：9(n －1)＋n ＝10n －9. 3．解析：选A 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A 正确．4．解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．5．解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )， 则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4， f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7； f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)， 则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18； f (7)＝f (5)＋f (6)＝29； f (8)＝f (6)＋f (7)＝47; f (9)＝f (7)＋f (8)＝76； f (10)＝f (8)＋f (9)＝123. 所以a 10＋b 10＝123.6．解析：选B 要比较a 与b 的大小，由于c >1， 所以a >0，b >0，故只需比较1a 与1b 的大小即可，而1a ＝1c ＋1－c ＝c ＋1＋c ， 1b ＝1c －c －1＝c ＋c －1， 显然1a >1b，从而必有a <b .7．解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差为6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.8．解析：选D 该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝⎛⎭⎫13112.故选D.9．解析：选C f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 令x ＝y ＝1，得f (2)＝2f (1)，令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1) ⋮f (n )＝nf (1)，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1)＝n (n ＋1)2f (1)．所以A ，D 正确．又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n )＝f ⎝⎛⎭⎫n (n ＋1)2，所以B 也正确．故选C.10．解析：选B ∵当n ＝1时，S 1＝1；当n ＝2时，S 2＝8＝23；当n ＝3时，S 3＝27＝33； ∴归纳猜想S n ＝n 3，故选B.11．解析：选A b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 4(q ＋q 3－1－q 4)＝b 4(q －1)(1－q 3)＝－b 4(q －1)2(1＋q ＋q 2)＝－b 4(q －1)2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫q ＋122＋34. ∵b n ＞0，q ＞1，∴－b 4(q －1)2·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫q ＋122＋34＜0， ∴b 4＋b 8＞b 5＋b 7.12．解析：选C ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)， ∴a 2 016＝a 3＋3×671＝a 3＝2.13．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”． 答案：x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1)14．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝115．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33216．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点，则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…， a n ＝(n ＋2)＋(n ＋2)·(n ＋2)，a n －2＝n 2＋n . 答案：n 2＋n17．证明：因为a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a ＞0，c ＜0. 要证明原不等式成立，只需证明b 2－ac ＜3a ， 即证b 2－ac ＜3a 2，从而只需证明(a ＋c )2－ac ＜3a 2， 即(a －c )(2a ＋c )＞0，因为a －c ＞0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b ＞0， 所以(a －c )(2a ＋c )＞0成立， 故原不等式成立．18．证明：假设a ，b ，c 都小于1， 即a ＜1，b ＜1，c ＜1， 则a ＋b ＋c ＜3.∵a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋(2－x )＋(x 2－x ＋1)＝2x 2－2x ＋72＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋3，且x 为实数， ∴2⎝⎛⎭⎫x －122＋3≥3， 即a ＋b ＋c ≥3，这与a ＋b ＋c ＜3矛盾． ∴假设不成立，原命题成立． ∴a ，b ，c 中至少有一个不小于1. 19．解：(1)选择(2)式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.20．解：(1)b a＜c b. 证明如下： 要证b a＜c b ，只需证b a ＜c b . ∵a ，b ，c ＞0， ∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ≥21ac， ∴b 2≤ac .又a ，b ，c 均不相等，∴b 2＜ac .故所得大小关系正确．(2)证明：法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＞2ac －b 22ac ＞ac －b 22ac ＞0，这与cos B ＜0矛盾， 故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 是最大边， 即b ＞a ，b ＞c ， 所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1b＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾， 故假设不成立．所以角B 不可能是钝角． 21．证明：(1)因为S n ＋1＝4a n ＋2， 所以S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减得S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n (n ＝1,2，…)， 即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，变形得a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )， 因为b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，所以b n ＋1＝2b n ，由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列． (2)由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 1＝1， 得a 2＝5，b 1＝a 2－2a 1＝3. 故b n ＝3·2n －1.因为c n ＝a n2n (n ＝1,2，…)，所以c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n 2n ＋1＝b n2n ＋1， 将b n ＝3·2n－1代入得c n ＋1－c n ＝34(n ＝1,2，…)．由此可知，数列{c n }是公差d ＝34的等差数列．22．解：23－13＝3×12＋3×1＋1， 33－23＝3×22＋3×2＋1， 43－33＝3×32＋3×3＋1， …(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， 将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋32＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 所以12＋22＋32＋…＋n 2 ＝13⎣⎡⎦⎤(n ＋1)3－1－n －3×n (n ＋1)2 ＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.。
高中数学人教A版选修1-2 第二章 推理与证明 学业分层测评6 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．若，∈，则>成立的一个充分不必要条件是( )．>．>．(－)<．<<【解析】由<<⇒<<⇒>，但>不能推出<<.∴<<是>的一个充分不必要条件．【答案】．求证：－>－.证明：要证－>－，只需证＋>＋，即证＋＋>＋＋，即证>，∵>，∴原不等式成立．以上证明应用了( )．分析法．综合法．分析法与综合法配合使用．间接证法【解析】该证明方法符合分析法的定义，故选.【答案】．(·汕头高二检测)要证：＋－－≤，只要证明( )．－－≤．＋－－≤－－≤．(－)(－)≥【解析】要证＋－－≤，只要证明(－)＋(－)≤，只要证明(－)(－)≤，即证(－)(－)≥.【答案】．在不等边三角形中，为最大边，要想得到∠为钝角的结论，三边，，应满足什么条件( )．＝＋．<＋．>＋．≤＋【解析】由余弦定理得＝<，∴＋－<，即＋<.【答案】．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设>>，且＋＋＝，求证：<”，索的因应是( )．－>．－>．(－)(－)<．(－)(－)>【解析】由题意知<⇐－<⇐＋(＋)<⇐＋＋<⇐＋<⇐－－>⇐－＋－>⇐(－)＋(＋)(－)>⇐(－)－(－)>⇐(－)(－)>，故选.【答案】二、填空题．(·烟台高二检测)设＝＋，＝(>，>)，则，的大小关系为．【解析】∵－＝－＝＝≥，∴≥.【答案】≥．(·西安高二检测)如果>，则实数，应满足的条件是.【导学号：】【解析】要使>成立，只需()>()，只需>>，即，应满足>>.【答案】>>．如图--，四棱柱-的侧棱垂直于底面，满足时，⊥(写上一个条件即可)．。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2学业分层测评：
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图4-1-6所示流程图中，判断正整数x是奇数还是偶数，判断框内的条件是()图4-1-6A．余数是1？B．余数是0?C．余数是3? D．余数不为0?【解析】依据判断框的出口进行选择，出口为“是”时x为偶数．故判断框内应该填“余数是0？”．【答案】 B2．进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”．则正确的是() A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→bC．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→e【解析】依题意知发送电子邮件的步骤应是：a→e→b→c→d→f.【答案】 C3．如图4-1-7，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是()【导学号：81092059】图4-1-7A．26 B．24C．20 D．19【解析】由A→B有4条路线，4条路线单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.【答案】 D4．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用5分钟，收拾床褥用4分钟，听广播用15分钟，吃早饭用8分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为() A．17分钟B．19分钟C．23分钟D．27分钟【解析】把过程简化，把能放在同一个时间内完成的并列，如听广播的同时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭，共用5＋4＋8＝17(分钟)．【答案】 A5．阅读下边的程序框图4-1-8，运行相应的程序，则输出S的值为()图4-1-8A．2 B．4C．6 D．8【解析】S＝4不满足S≥6，S＝2S＝2×4＝8，n＝1＋1＝2；n＝2不满足n>3，S＝8满足S≥6，则S＝8－6＝2，n＝2＋1＝3；n＝3不满足n>3，S＝2不满足S≥6，则S＝2S＝2×2＝4，n＝3＋1＝4；n＝4满足n>3，输出S＝4.故选B.【答案】 B二、填空题6．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的面积为S＝πab，当a＝4，b＝2时，计算椭圆面积的流程图如图4-1-9所示，则空白处应为________.【导学号：81092060】图4-1-9【解析】由S＝πab知，需要a，b的值，由已知a＝4，b＝2，而且用的是框，故为赋值．【答案】a＝4，b＝27．如图4-1-10是计算1＋13＋15＋…＋199的程序框图，判断框中应填的内容是________，处理框中应填的内容是________．图4-1-10【解析】用i来表示计数变量，故判断框内为“i>99？”，处理框内为“i＝i＋2”．【答案】i>99？i＝i＋28．执行如图4-1-11所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．图4-1-11【解析】第1次循环：a＝0＋1＝1，b＝9－1＝8，a<b，此时i＝2；第2次循环：a＝1＋2＝3，b＝8－2＝6，a<b，此时i＝3；第3次循环：a＝3＋3＝6，b＝6－3＝3，a>b，输出i＝3.【答案】 3三、解答题9．设计一个计算1＋2＋…＋100的值的程序框图．【解】程序框图设计如下：10．数学建模过程的流程图如图4-1-12.图4-1-12根据这个流程图，说明数学建模的过程．【解】数学建模的过程：根据实际情境提出问题，从而建立数学模型得出数学结果，然后检验是否合乎实际，如果不合乎实际，进行修改后重新提出问题．如果合乎实际，则成为可用的结果．[能力提升]1．某工厂加工某种零件的工序流程图如图4-1-13：图4-1-13按照这个工序流程图，一件成品至少经过几道加工和检验程序()A．3B．4C．5D．6【解析】由流程图可知加工零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工，每道工序完成都要对产品进行检验，粗加工的合格品进入精加工，不合格品进入返修加工；返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合格品为成品，不合格品为废品．由上可知一件成品至少要经过粗加工、检验、精加工、最后检验四道程序．【答案】 B2．执行两次如图4-1-14所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为()图4-1-14A ．0.2,0.2B ．0.2,0.8C ．0.8,0.2D ．0.8,0.8【解析】 第一次：a ＝－1.2<0，a ＝－1.2＋1＝－0.2，－0.2<0，a ＝－0.2＋1＝0.8>0，a ＝0.8≥1不成立，输出0.8.第二次：a ＝1.2<0不成立，a ＝1.2≥1成立，a ＝1.2－1＝0.2≥1不成立，输出0.2.【答案】 C3．如图4-1-15所示算法程序框图中，令a ＝tan 315°，b ＝sin 315°， c ＝cos 315°，则输出结果为________.【导学号：81092061】图4-1-15【解析】 程序框图的算法是求出a ，b ，c 三个数中的最大值．对于tan 315°＝－1，sin 315°＝－22，cos 315°＝22，故输出的结果为22.【答案】 224．某市环境保护局信访工作流程如下：(1)信访办受理来访，一般信访填单转办；重大信访报局长批示后转办；(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈；(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．据上画出该局信访工作流程图．【解】流程图如图所示．。
高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试
章末综合测评(一)统计案例(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为()①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．A．①②③B．③④C．④⑤D．②③④【解析】①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④为相关关系．【答案】 D2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝bx＋a中，x的系数b>0(或b<0)，故①④错．【答案】 D3．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是()A ．0.75B ．0.60C ．0.48D ．0.20【解析】 记“开关了10 000次后还能继续使用”为事件A ，记“开关了15 000次后还能继续使用 ”为事件B ，根据题意，易得P (A )＝0.80，P (B )＝0.60，则P (AB )＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.600.80＝0.75. 【答案】 A4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y ＝73.93＋7.19x ，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是( )A ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cmB ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm 以上C ．她儿子10岁时的身高在145.83 cm 左右D ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm 以下【解析】 由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C ．【答案】 C5．已知一个线性回归方程为y ＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19，则y ＝( )A ．58.5B ．46.5C ．60D ．75【解析】 ∵x ＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(x －，y －)，∴y －＝1.5×9＋45＝58.5. 【答案】 A6．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数互不相同}，B ＝{出现一个5点}，则P (B |A )＝( )A ．13B ．518C．16D．14【解析】出现点数互不相同的共有6×5＝30种，出现一个5点共有5×2＝10种，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝13.【答案】 A7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度，如果k>5.024，那么就有把握认为“X 和Y有关系”的百分比为()AC．2.5% D．97.5%【解析】查表可得χ2>5.024.因此有97.5%的把握认为“X和Y有关系”．【答案】 D8．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A．12B．35C．23D．34【解析】由题意知，乙队获得冠军的概率为12×12＝14，由对立事件概率公式得，甲队获得冠军的概率为P＝1－14＝34.【答案】 D9．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为()A．p＋q－2pq B．p＋q－pqC．p＋q D．pq【解析】甲花卉成活而乙花卉不成活的概率为p(1－q)，乙花卉成活而甲花卉不成活的概率为q(1－p)，故恰有一株成活的概率为p(1－q)＋q(1－p)＝p＋q－2qp.【答案】 A10．同时抛掷三颗骰子一次，设A：“三个点数都不相同”，B：“至少有一个6点”，则P(B|A)为()A．12B．6091C．518D．91216【解析】P(A)＝6×5×46×6×6＝120216，P(AB)＝3×4×56×6×6＝60216，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝60216×216120＝12.【答案】 A11．以下关于线性回归分析的判断，正确的个数是()①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图1中的A，B，C点；③已知直线方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．图1A．0 B．1C．2 D．3【解析】能使所有数据点都在它附近的直线不只一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线y＝bx＋a才是回归直线，∴①不对；②正确；将x＝25代入y＝0.50x－0.81，得y＝11.69，∴③正确；④正确，故选D．【答案】 D12．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关” .A．0B．1C．2D．3【解析】由列联表中数据可求得随机变量χ2＝992×(700×32－60×200)2 760×232×900×92≈7.349＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”，因此②③正确．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知x，y的取值如下表：1.02x＋a，则a ＝________.【解析】由题意得x＝4，y＝5，又(x，y)在直线y＝1.02x＋a上，所以a ＝5－4×1.02＝0.92.【答案】 0.9214．已知P (B |A )＝12，P (A )＝35，则P (AB )＝________. 【解析】 由P (B |A )＝P (AB )P (A )得P (AB ) ＝P (B |A )·P (A )＝12×35＝310. 【答案】 31015．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (χ2≥3.841) χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________.【解析】 χ2≈4.844>3.841，故判断出错的可能性为0.05. 【答案】 0.0516．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：5℃时，热茶销售量为________杯.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫已知回归系数b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ＝y －b x【解析】 根据表格中的数据可求得x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60，∴y ＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ＝－2×(－5)＋60＝70. 【答案】 70三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取1个球，试问：取得同色球的概率是多少？【解】 设从甲袋中任取1个球，事件A ：“取得白球”，由此事件A ：“取得红球”，从乙袋中任取1个球，事件B ：“取得白球”，由此事件B ：“取得红球”，则P (A )＝23，P (A )＝13，P (B )＝12，P (B )＝12.因为A 与B 相互独立，A 与B 相互独立， 所以从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P (AB ＋A B )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×12＋13×12＝12.18．(本小题满分12分)吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：【解】 χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，把相关数据代入公式，得χ2＝85×(5×28－40×12)217×68×45×40≈4.722>3.841.因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”．19．(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图2：图2将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：χ2＝n (ad －bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，【解】 (1)“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2χ2＝n(ad－bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，其中a i表示男性，i＝1,2,3，b j表示女性，j＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2 人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝7 10.20．(本小题满分12分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．P(B)＝42＋4＝23.P(B)＝1－P(B)＝1 3.(1)P(A|B)＝3＋18＋1＝49.(2)∵ P (A |B )＝38＋1＝13， ∴P (A )＝P (AB )＋P (A B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝1127.21．(本小题满分12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据：(2)判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义？ (3)求线性回归方程；(4)当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？ 【解】 (1)散点图如下图所示：(2)由散点图知：两变量线性相关，求线性回归方程有意义．借助科学计算器，完成下表：利用上表的结果，计算累计人次与播放天数之间的相关系数，r＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2∑i＝110y2i－10y2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52× 1 020 953－10×288.72≈0.984.这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系，所以求线性回归方程有实际意义．(3)b＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52≈46.9，a＝y－b x≈288.7－46.9×5.5≈30.8，因此所求的线性回归方程是y＝30.8＋46.9x.(4)当x＝11时，y的估计值是46.9×11＋30.8≈547.因此，当播放天数为11天时，估计累计人次为547.22．(本小题满分12分)为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：“非高收入族”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？已知：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，当χ2<2.718时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>2.718时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.(2)赞成楼市限购令的概率．【解】 (1)χ2＝50×(25×7－15×3)40×10×22×28≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关．(2)设月收入在[55,65)的5人的编号为a ，b ，c ，d ，e ，其中a ，b 为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de 共10种，其中ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be 为所求事件数，因此所求概率P ＝710.。
高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题16 最新
章末综合测评(三) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y －2＝0，则a 的值是( )A.18 B ．－18 C ．8D ．－8【解析】 抛物线y ＝ax 2的标准方程为x 2＝1a y ， 所以－14a ＝2，即a ＝－18. 【答案】 B2.如图1，已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝100，点A (－6,0)，M 为圆O 上任意一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，则点P 的轨迹是( )图1A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．两条直线【解析】 ∵P 为AM 垂直平分线上的点． ∴|PM |＝|P A |. 又∵|OP |＋|PM |＝10， ∴|P A |＋|PO |＝10.故P 点的轨迹是以A ，O 为焦点，长轴长为10的椭圆． 【答案】 C3．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4.若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的焦距为( )A.33 B ．263 C.463D ．233【解析】 如图，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可知，2a ＝4，a ＝2.因为∠CBA ＝π4，BC ＝2，所以C (－1，1)．因为点C 在椭圆上，所以14＋1b 2＝1，所以b 2＝43.由公式a 2＝b 2＋c 2得c ＝263，所以焦距为463.【答案】 C4．双曲线x 2－4y 2＝4的焦点坐标为( ) A ．(±3，0) B ．(0，±3) C ．(0，±5)D ．(±5，0)【解析】 依题意a ＝2，b ＝1，∴c ＝5，又x 24－y 2＝1焦点在x 轴上， ∴焦点坐标为(±5，0)． 【答案】 D5．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D ． 2【解析】 结合图形，用a 表示出点M 的坐标，代入双曲线方程得出a ，b 的关系，进而求出离心率．不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ， 3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ， ∴c ＝2a ，e ＝ca ＝ 2.故选D. 【答案】 D6．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .【答案】 D7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1B ．x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1D ．x 22－y 25＝1【解析】 右焦点为F (3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上且c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y25＝1，选B.【答案】 B8．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( ) A ．9 B ．4 C ．3D ．2【解析】 由题意得：m 2＝25－42＝9，因为m >0，所以m ＝3，故选C. 【答案】 C9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】 根据双曲线的性质和两直线的位置关系求解． 由题作出图像如图所示．由x 2a 2－y 2b 2＝1可知A (a,0)，F (c ，0)．易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .∵k AB ＝b 2a c －a ＝b 2a (c －a )，∴k CD ＝a (a －c )b 2.∵k AC ＝b 2a a －c ＝b 2a (a －c )，∴k BD ＝－a (a －c )b 2.∴l BD ：y －b 2a ＝－a (a －c )b 2(x －c )，即y ＝－a (a －c )b 2x ＋ac (a －c )b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a (a －c )b 2(x －c )，即y ＝a (a －c )b 2x －ac (a －c )b 2－b 2a .∴x D ＝c ＋b 4a 2(a －c ).∴点D 到BC的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2(a －c ).∴b 4a 2(c －a )<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2，∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<b a <1或－1<b a <0.【答案】 A10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c ，若直线y ＝2x 与椭圆一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率等于( )A.2－22 B ．22－12 C.3－1D ．2－1【解析】 当x ＝c 时，由c 2a 2＋y 2b 2＝1， 得y ＝±b 2a .又交点在y ＝2x 上，所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .所以2c ＝b 2a ＝a 2－c 2a ＝a －c 2a .所以2c a ＝1－c 2a 2，即e 2＋2e －1＝0， 解得e ＝－1＋ 2. 【答案】 D11．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )【导学号：32550189】A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】 根据已知条件求出椭圆的方程，|AB |＝2|y A |，只需求出|y A |即可． 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴椭圆中c ＝2， 又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12， 从而椭圆方程为x 216＋y 212＝1. ∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3， 由图像可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B. 【答案】 B12．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454x C ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y【解析】 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则抛物线过点(40,30)，则有302＝2p ×40,2p ＝452，所以所求的抛物线方程应为y 2＝452x ，所给选项中没有y 2＝452x ，同理若设x 2＝－2py ，则抛物线过点(30，－40)，求得抛物线方程为x 2＝－452y .故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 满足的方程为________．【解析】 P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )，∴P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2. 即(－2－x )(3－x )＋(－y )(－y )＝x 2，即y 2＝x ＋6. 【答案】 y 2＝x ＋614．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于________．【解析】 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，F 为抛物线焦点，由⎩⎨⎧y ＝－(x －1)，y 2＝4x ，得y 2＋4y －4＝0，|y 1－y 2|＝42＋42＝42，S △POQ ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2.【答案】 2 215．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为________．【解析】 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)， ∴双曲线x 2m －y 2n ＝1的焦点在x 轴上．m ＞0，n ＞0，a ＝m ，b ＝n ，∴c ＝m ＋n ＝1，∴e ＝m ＋nm ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝34，∴mn ＝316. 【答案】 31616．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．【导学号：32550100】【解析】 利用三角形垂心的性质建立关于a ，b ，c 的等式求离心率．双曲线的两条渐近线方程为y ＝±ba x ，与抛物线方程联立得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2， 抛物线焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，由三角形垂心的性质，得BF ⊥OA ，即k BF ·k OA ＝－1，又k BF ＝p 2－2pb 2a 22pb a ＝a 4b －b a ，k OA ＝b a ，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4b －b a ba ＝－1，即b 2a 2＝54，故C 1的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝1＋54＝32.【答案】 32三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，求椭圆C 的方程．【解】 设椭圆的半焦距为c ，依题意知 ⎩⎨⎧c a ＝63，a ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝3，c ＝ 2.∴b 2＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.18．(本小题满分12分)若双曲线的一条准线为x ＝4，其相应的焦点为(10,0)，离心率为2，求此双曲线的方程．【解】 设P (x ，y )是所求双曲线上的任一点， 由双曲线的第二定义，得(x －10)2＋y 2|x －4|＝2，化简整理，得(x －2)216－y 248＝1.19．(本小题满分12分)直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：(1)相切；(2)相交；(3)相离．【解】 将直线l 和抛物线C 的方程联立，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋1 ①，y 2＝4x ②，将①代入②，并整理，得k 2x 2＋2(k －2)x ＋1＝0. 当k ＝0时，x ＝14，y ＝1，得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.当k ≠0时，方程为一元二次方程，所以Δ＝16(1－k )． (1)当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切； (2)当Δ＞0，即k ＜1且k ≠0时，l 与C 相交； (3)当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 相离．综上(1)k ＝1时相切；(2)k <1且k ＝0时相交；(3)k >1时相离．20．(本小题满分12分)求以(1，－1)为中点的抛物线y 2＝8x 的弦所在直线的方程．【解】 设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，. ① ②由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝－1，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2， ③y 1＋y 2＝－2， ④k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1. ⑤由②－①，得(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝8(x 2－x 1)， ∴y 2－y 1x 2－x 1＝8y 2＋y 1.将④⑤代入上式可得k AB ＝－4. ∴弦所在直线方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0.21．(本小题满分12分)点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【解】 (1)由已知可得点A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)．设点P 的坐标为(x ，y )，∵P A ⊥PF ，∴k AP ·k PF ＝－1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，y x ＋6·yx －4＝－1，则2x 2＋9x －18＝0， 解得x ＝32或x ＝－6(舍去)． ∴x ＝32，由于y ＞0，故y ＝532. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532. (2)易知直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M 的坐标为(m,0)，则点M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2.于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2. 故点M 的坐标为(2,0)．椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 的平方为： d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋15.由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取得最小值，最小值为15.22．(本小题满分12分)如图2，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t >0)作不过原点O 的直线P A ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．图2(1)求点A ，B 的坐标；(2)求△P AB 的面积．【解】 (1)由题意知直线P A 的斜率存在，故可设直线P A 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －t )，y ＝14x 2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线P A 与抛物线相切，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0,1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)．由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧ y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2t 1＋t 2，y 0＝2t 21＋t 2，因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2. (2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2，直线P A 的方程为tx －y －t 2＝0.点B 到直线P A 的距离是d ＝t 21＋t 2. 设△P AB 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AP |·d ＝t 32.。
高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题41 最新
章末综合测评(三)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是()A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】 C2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号顺序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】 B3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.【答案】 B4．用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都小于0B．假设a，b，c都大于0C．假设a，b，c中都不大于0D．假设a，b，c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.【答案】 C5．下面给出了四个类比推理．①a，b为实数，若a2＋b2＝0则a＝b＝0；类比推出：z1，z2为复数，若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；②若数列{a n}是等差数列，b n＝1n(a1＋a2＋a3＋…＋a n)，则数列{b n}也是等差数列；类比推出：若数列{c n}是各项都为正数的等比数列，d n＝nc1c2c3…c n，则数列{d n}也是等比数列；③若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)；类比推出：若a，b，c为三个向量，则(a·b)·c＝a·(b·c)；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为πab.上述四个推理中，结论正确的是()A．①②B．②③C．①④D．②④【解析】①在复数集C中，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，则可能z1＝1且z2＝i，故错误；②在类比等差数列性质推理等比数列性质时，一般思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故正确；③由于向量的数量积运算结合律不成立，错误；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出，若椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆面积为πab，正确．【答案】 D6．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.以上通过类比得到的结论正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4【解析】平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b －c)，故④错误．故选B.【答案】 B7．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.【答案】 D8．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B.【答案】 B9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有()A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n【解析】令n＝10时，验证即知选B.【答案】 B10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 016－5＝()图1A．2 018×2 014 B．2 018×2 013C．1 010×2 012 D．1 011×2 015【解析】a n－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个．∴a n －5＝(n －1)(n ＋6)2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 015×1 011. 【答案】 D11．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A ．1 018B ．1 018C ．1 018D ．1 018【解析】 依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 018，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 018.故选C.【答案】 C12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解析】【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________．【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.【答案】 经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14．观察下列等式： 13＝1， 13＋23＝9， 13＋23＋33＝36， 13＋23＋33＋43＝100， …照此规律，第n 个等式可为__________．【解析】 依题意，注意到13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×1×(1＋1)2,13＋23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2×(2＋1)2＝9,13＋23＋33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3×(3＋1)2＝36，…，照此规律，第n 个等式可为13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n (n ＋1)2.【答案】 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n (n ＋1)215．当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________．【解析】 根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，左边第二个因式可知为a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a －b )·(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1.【答案】 (a －b )(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋116．如图3，如果一个凸多面体是n (n ∈N ＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________，f (n )＝__________.(答案用数字或n 的解析式表示)图3【解析】 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n (n －3)2＝n (n ＋1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2·(n －2)＝n (n －1)(n －2)2. 【答案】 n (n ＋1)2 12 n (n －1)(n －2)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lga ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】 (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b2≥lg ab ， ∴lga ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2)要证6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式： sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34， sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解】 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝3 4.19．(本小题满分12分)点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM ⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【解】(1)证明：因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos α.其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．证明如下：因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，所以PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.20．(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：图4(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ⃘平面DEF ，DE 平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC 平面ABC ，EF 平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE 平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .21．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n (n ≥2)．(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明； (2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1， 求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110. 故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋.下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1,2,3,4时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即 a k ＝13k －2. 那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知：a k ＋1＝(k －1)a k k －a k ＝(k －1)×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1(3k ＋1)(k －1) ＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上，对任意n ∈N ＋，a n ＝13n －2成立． (2)证明：b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1 ＝13n ＋1＋3n －2＝13(3n ＋1－3n －2)， 所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n ＋1－3n －2)]＝13(3n ＋1－1)，所以只需要证明13(3n ＋1－1)<n 3⇔3n ＋1<3n ＋1⇔3n ＋1<3n ＋23n＋1⇔0<23n (显然成立)，所以对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n3. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x cos x －sin x ＋1(x >0). 【导学号：67720022】(1)求f (x )的单调区间； (2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点，证明：对一切n ∈N *，有1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n <23.【解】 (1)f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .令f ′(x )＝0，得x ＝k π(k ∈N *)．当x ∈(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )时，sin x >0，此时f ′(x )<0；当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )时，sin x <0，此时f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )．(2)由(1)知，f (x )在区间(0，π)上单调递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故x 1＝π2. 当n ∈N *时，因为f (n π)·f ((n ＋1)π)＝[(－1)n n π＋1]×[(－1)n ＋1(n ＋1)π＋1]<0，且函数f (x )的图像是连续不断的，所以f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)内至少存在一个零点．又f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)上是单调的，故n π<x n ＋1<(n ＋1)π.因此，当n ＝1时，1x 21＝4π2<23； 当n ＝2时，1x 21＋1x 22＜1π2(4＋1)＜23； 当n ≥3时，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n<1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋122＋…＋1(n －1)2 <1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋11×2＋…＋1(n －2)(n －1)＝ 1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1 ＝1π2⎝ ⎛⎭⎪⎫6－1n －1<6π2<23. 综上所述，对一切n ∈N *，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n<23.。
高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题8 最新
学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆x2169＋y225＝1的焦点坐标为()A．(5,0)，(－5,0)B．(12,0)，(－12,0)C．(0,12)，(0，－12) D．(13,0)，(－13,0)【解析】∵a2＝169，b2＝25，∴c2＝169－25＝144，∴c＝12，又∵焦点在x轴上，∴焦点为(12,0)，(－12,0)．【答案】 B2．对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【解析】mn＞0，若m＝n则mx2＋ny2＝1不是椭圆．若方程mx2＋ny2＝1是椭圆则“mn＞0一定成立．”【答案】 B3．过点(3，－2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的方程是()A.x215＋y210＝1 B．x2225＋y2100＝1C.x210＋y215＝1 D．x2100＋y2225＝1【解析】椭圆x29＋y24＝1的焦点在x轴上，且c2＝5.设所求的椭圆方程为x2a2＋y2a2－5＝1，将(3，－2)代入方程得9a2＋4a2－5＝1，解得a2＝15，故所求椭圆方程为x215＋y210＝1.【答案】 A4．已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( )A.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) B ．y 24＋x 23＝1(y ≠±2) C.x 24＋y 23＝1(x ≠0)D ．y 24＋x 23＝1(y ≠0)【解析】 ∵2c ＝|AB |＝2，∴c ＝1， ∴|CA |＋|CB |＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(A 、B 、C 不共线)． 因此，顶点C 的轨迹方程y 24＋x 23＝1(y ≠±2)． 【答案】 B5．若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )【导学号：32550186】A ．a ＞3B ．a ＜－2C ．a ＞3或a ＜－2D ．a ＞3或－6＜a ＜－2【解析】 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎨⎧ a 2＞a ＋6，a ＋6＞0.即⎩⎨⎧(a ＋2)(a －3)＞0，a ＞－6，⇔a ＞3或－6＜a ＜－2. 故选D. 【答案】 D 二、填空题6．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．【导学号：32550187】【解析】 当m ＞4时，m －4＝1，∴m ＝5. 当0＜m ＜4时，4－m ＝1，∴m ＝3. 【答案】 3或57．若方程y 26－k ＋x 2k －2＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．【解析】 若方程y 26－k ＋x 2k －2＝1表示椭圆．则⎩⎨⎧6－k ＞0k －2＞06－k ≠k －2，∴2＜k ＜6且k ≠4.【答案】 (2,4)∪(4,6)8．在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (－4,0)，且sin A ＋sin B sin C＝54，则△ABC的顶点C 的轨迹方程为________．【解析】 由正弦定理，得 |BC |＋|AC ||AB |＝54，又|AB |＝8， ∴|BC |＋|AC |＝10.由椭圆定义可知，点C 的轨迹是以点A 、B 为焦点的椭圆． 又∵a ＝12×10＝5，c ＝12×8＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.又∵点A 、B 、C 不共线， ∴点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． 【答案】 x 225＋y 29＝1(y ≠0) 三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．【解】 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)． ∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.10．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变，求曲线E 的方程．【解】 如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝322，∵|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋322＝22，且|P A |＋|PB |＞|AB |， ∴由椭圆定义知，动点P 的轨迹E 为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝1. ∴所求曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.[能力提升]1．已知曲线C ：x 2k －5＋y 23－k ＝－1，则“4≤k ＜5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 将曲线C 的方程化为：x 25－k ＋y 2k －3＝1，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则有k －3＞5－k ＞0，即4＜k ＜5，故“4≤k ＜5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件．【答案】 A2．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8【解析】 设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204.又∵F (－1,0)，∴OP →·FP→＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2.又x 0∈[－2,2]，∴(OP →·FP →)∈[2,6]，∴(OP →·FP →)max ＝6.【答案】 C3．已知椭圆x 25＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，当∠F 1PF 2为直角时，点P 的横坐标x 0＝________.【解析】 由题意知F 1(2,0)，F 2(－2,0)，F 1P →＝(x 0－2，y 0) F 2P →＝(x 0＋2，y 0)，∵∠F 1PF 2＝90°， ∴F 1P →·F 2P →＝(x 0－2)(x 0＋2)＋y 20＝0， 又∵y 20＝1－x 205，∴x 20－4＋1－x 205＝0，∴x 0＝±152. 【答案】 ±1524．设M (x ，y )是椭圆x 216＋y 29＝1上的任意一点，求x ＋y 的最值．【解】 设x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，θ∈[)0，2π，则x ＋y ＝4cos θ＋3sin θ＝5sin (θ＋φ)，其中tan φ＝43.∵sin (θ＋φ)∈[]－1，1，∴x ＋y ∈[－5,5]． ∴(x ＋y )min ＝－5，(x ＋y )max ＝5.。
高中数学人教A版选修1-2学业分层测评2 独立性检验的基本思想及其初步应用 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如果在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A和B有关，那么具体算出的数据满足()A．K2>3.841 B．K2<3.841C．K2>6.635 D．K2<6.635【解析】对应P(K2≥k0)的临界值表可知，当K2>3.841时，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A与B有关．【答案】 A2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)算得，k＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】根据独立性检验的思想方法，正确选项为C.【答案】 C3．下列关于等高条形图的叙述正确的是()A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小C．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系D．以上说法都不对【解析】在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A错．在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B错．【答案】 C3．分类变量X和Y的列联表如下，则()B．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强【解析】结合独立性检验的思想可知|ad－bc|越大，X与Y的相关性越强，从而(ad－bc)2越大，说明X与Y的相关性越强．【答案】 C4．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是()A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有【解析】这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D.【答案】 D5．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：确的是()【导学号：19220006】A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关【解析】根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．【答案】 D二、填空题6．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．(填序号)【解析】K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①错误；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．【答案】③6．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天内的结果如表所示：【解析】由独立性检验的步骤知第一步先假设两分类变量无关，即假设电离辐射的剂量与小白鼠的死亡无关．【答案】假设电离辐射的剂量与小白鼠的死亡无关7．为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：，从0而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．【解析】由公式计算得K2的观测值k≈4.882，∵k>3.841，∴有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．【答案】 4.8825%8．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：【解析】由公式可计算得k＝102×(27×29－34×12)2 39×63×61×41≈2.334.【答案】 2.334三、解答题9．为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系．【解】等高条形图如图所示：其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率．由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比较尿棕色素为阳性差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系．10．(2016·江西吉安高二检测)对某校小学生进行心理障碍测试得到如下表列联表：有心理障碍没有心理障碍总计女生1030男生7080总计20110附：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 【解】将列联表补充完整如下：有心理障碍没有心理障碍总计女生102030男生107080总计2090110k＝110×(10×70－20×10)230×80×20×90≈6.366>5.024，所以有97.5%的把握认为心理障碍与性别有关．[能力提升]1．(2016·玉溪高二检测)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列表述中正确的是() A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C．这种血清预防感冒的有效率为95%D．这种血清预防感冒的效率为5%【解析】根据随机变量K2的意义知A正确．【答案】 A2．有两个分类变量X，Y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：为X，Y有关，则a的值为()A．8B．9C．8,9 D．6,8【解析】根据公式，得k＝65×[a(30＋a)－(15－a)(20－a)]2 20×45×15×50＝13×(13a－60)220×45×3×2>3.841，根据a>5且15－a>5，a∈Z，求得a＝8,9满足题意．【答案】 C3．某班主任对全班50名学生作了一次调查，所得数据如下表：能”)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与作业多有关．【解析】查表知若要在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关，则临界值k0＝6.635.本题中，k≈5.059<6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．【答案】不能3．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：K2＝________(保留三位小数)，所以判定________(填“有”或“没有”)95%的把握认为主修统计专业与性别有关系．(参考公式：)K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)；【解析】根据提供的表格，得k＝50(13×20－7×10)223×27×20×30≈4.844＞3.841，∴可以判定有95%的把握认为主修统计专业与性别有关系．【答案】有4．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下表：(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.【解】(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%.(2)k＝500×(40×270－30×160)2200×300×70×430≈9.967.由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男女的比例，再把老年人分成男女两层，并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2练习：学业质量标准检测2 Word版含答案
第二章 学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“所有有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是导学号 18674269( C )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误 [解析] 大前提是错误的，故选C ．2．已知a <b <0，下列不等式中成立的是导学号 18674270( C ) A ．a 2<b 2 B ．a b <1C ．a <4－bD ．1a <1b[解析] 令a ＝－2，b ＝－1，满足a <b <0，则a 2>b 2，a b ＝2>1，1a >1b ，故A 、B 、D 都不成立，排除A 、B 、D ，选C ．3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为导学号 18674271( C ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2[解析] 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n＝导学号 18674272( B )A ．2(n ＋1)2B ．2n (n ＋1)C ．22n －1D ．22n －1[解析] a 2＝S 2－S 1＝22a 2－1，∴a 2＝13，a 3＝S 3－S 2＝32·a 3－22·a 2＝9a 3－4×13，∴a 3＝16.a 4＝S 4－S 3＝42·a 4－32a 3＝16a 4－9×16，∴a 4＝110. 由此猜想a n ＝2n (n ＋1).5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”，索的因应是导学号 18674273( C )A ．a －b >0B ．a －c <0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0[解析]b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．只需证(a ＋c )2－ac <3a 2，即证2a 2－c 2－ac >0，即证a 2－c 2＋a 2－ac >0，即证(a ＋c )(a －c )＋a (a －c )>0，即证(a －c )[(a ＋c )＋a ]>0.又b ＝－(a ＋c )，即证(a －c )(a －b )>0.故选C ．6．已知圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)的面积为S ＝πr 2，由此类比椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积最有可能是导学号 18674274( C )A ．πa 2B ．πb 2C ．πabD ．π(ab )2[解析] 圆的方程可以看作是椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，a ＝b 时的情形，∵S 圆＝πr 2，∴类比出椭圆的面积为S ＝πab .7．(2017·全国Ⅱ文，9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则导学号18674275(D)A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．8．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，f n(x)＝f n－1′(x)，则f2016(x)等于导学号18674276(A)A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x[解析]由已知，有f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，可以归纳出：f4n(x)＝sin x，f4n＋1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝－sin x，f4n＋3(x)＝－cos x(n∈N*)．所以f2016(x)＝f4(x)＝sin x.9．已知各项均不为零的数列{a n}，定义向量c n＝(a n，a n＋1)，b n＝(n，n＋1)，n∈N*.下列命题中真命题是导学号18674277(A)A．若∀n∈N*总有c n∥b n成立，则数列{a n}是等差数列B．若∀n∈N*总有c n∥b n成立，则数列{a n}是等比数列C．若∀n∈N*总有c n⊥b n成立，则数列{a n}是等差数列D．若∀n∈N*总有c n⊥b n成立，则数列{a n}是等比数列[解析]∵对∀n∈N*总有c n∥b n，则存在实数λ≠0，使c n＝λb n，∴a n＝λn，∴{a n}是等差数列．10．下列函数f(x)中，满足“对任意x1、x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是导学号18674278(A)A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)[解析] 若满足题目中的条件，则f (x )在(0，＋∞)上为减函数，在A 、B 、C 、D 四选项中，由基本函数性质知，A 是减函数，故选A ．11．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于导学号 18674279( B )A ．bB ．－bC ．1bD ．－1b[解析] f (x )定义域为(－1,1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a1＋a ＝－f (a )＝－b .12．已知f (x )＝x 3＋x ，a 、b 、c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值导学号 18674280( A )A ．一定大于零B ．一定等于零C ．一定小于零D ．正负都有可能[解析] f (x )＝x 3＋x 是奇函数，且在R 上是增函数， 由a ＋b >0得a >－b ，所以f (a )>f (－b )，即f (a )＋f (b )>0， 同理f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0， 所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．“因为AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC 、BD 互相垂直且平分．”以上推理的大前提是__菱形对角线互相垂直且平分__.导学号 1867428114．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：导学号 18674282f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得： 当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝ x(2n－1)x ＋2n.[解析] 由已知可归纳如下：f 1(x )＝x (21－1)x ＋21，f 2(x )＝x (22－1)x ＋22，f 3(x )＝x(23－1)x ＋23， f 4(x )＝x (24－1)x ＋24，…，f n (x )＝x(2n －1)x ＋2n.15．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：导学号 18674283 ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“t ≠0，mt ＝nt ⇒m ＝n ”类比得到“c ≠0，a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b ”； ④“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑤“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝ab ”．以上类比得到的结论正确的是__①②__.[解析] ①②都正确；③⑥错误，因为向量不能相除；④可由数量积定义判断，所以错误；⑤向量中结合律不成立，所以错误．16．观察下列等式：导学号 18674284 1＝1 13＝1 1＋2＝3 13＋23＝9 1＋2＋3＝6 13＋23＋33＝361＋2＋3＋4＝10 13＋23＋33＋43＝100 1＋2＋3＋4＋5＝15 13＋23＋33＋43＋53＝225 … …可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝ n 2(n ＋1)24.(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)[解析] 由条件可知：13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不难得出． 13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2 ＝[n (n ＋1)2]2＝n 2(n ＋1)24.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c 3.导学号 18674285[解析] 分析法：要证a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3， 只需证：a 2＋b 2＋c 23≥(a ＋b ＋c 3)2，只需证：3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ， 只需证：2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证：(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的，所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3成立． 综合法：∵a 、b 、c ∈R ＋，∴(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ac )，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ， ∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，∴a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c 3. 18．(本题满分12分)(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；导学号 18674286 (2)探索等和数列{a n }的奇数项与偶数项各有什么特点，并加以说明．[解析] (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．(2)由(1)知a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n .∴等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．19．(本题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.导学号 18674287(1)sin 2 13°＋cos 2 17°－sin 13°cos 17°. (2)sin 2 15°＋cos 2 15°－sin 15°cos 15°. (3)sin 2 18°＋cos 2 12°－sin 18°cos 12°. (4)sin 2 (－18°)＋cos 2 48°－sin (－18)°cos 48°. (5)sin 2 (－25°)＋cos 2 55°－sin (－25)°cos 55°. ①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解析] ①选择(2)式计算如下sin 2 15°＋cos 2 15°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 2 30°＝34.②三角恒等式为sin 2 α＋cos 2 (30°－α)－sin αcos (30°－α)＝34.证明如下：sin 2 α＋cos 2 (30°－α)－sin αcos (30°－α)＝sin 2 α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α (cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2 α＋34cos 2 α＋32sin αcos α＋14sin 2 α－32sin αcos α－12sin 2 α ＝34sin 2 α＋34cos 2 α＝34. 20．(本题满分12分)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边.导学号 18674288求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.[分析] 利用分析法得出c 2＋a 2＝b 2＋ac ，再利用综合法证明其成立． [解析] 要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3.化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．21．(本题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.导学号 18674289(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．[解析] (1)设等差数列公差为d ， 则3a 1＋3×22d ＝9＋32，解得d ＝2，∴a n ＝1＋2＋(n －1)×2＝2n ＋2－1， S n ＝1＋2＋2n ＋2－12n ＝n (n ＋2)．(2)b n ＝S nn＝n ＋ 2.用反证法证明．设b n ，b m ，b k 成等比数列(m 、n 、k 互不相等)，则b n b k ＝b 2m ，即(n ＋2)(k ＋2)＝(m ＋2)2，整理得：nk －m 2＝2(2m －n －k )，左边为有理数，右边是无理数，矛盾，故任何不同三项都不可能成等比数列．22．(本题满分12分)(2017·哈六中期中)已知函数f (x )＝(x －2)e x －12x 2＋x ＋2.导学号 18674290(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)证明：当x ≥1时，f (x )>16x 3－12x .[解析] (1)f ′(x )＝(x －1)(e x －1)，当x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减， 当x ＝0时，f (x )有极大值f (0)＝0，当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝52－e.(2)设g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ，则g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)，令u (x )＝e x －x 2－32，则u ′(x )＝e x －12，当x ≥1时，u ′(x )＝e x －12>0，u (x )在[1，＋∞)上单调递增，u (x )≥u (1)＝e －2>0，所以g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)≥0，g (x )＝f (x )－16x 3＋12x 在[1，＋∞)上单调递增．g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ≥g (1)＝176－e>0，所以f (x )>16x 3－12x .。
高中数学人教A版选修1-2学业分层测评结构图含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．以下关于构造图的说法不正确的选项是()A．构造图中各要素之间通常表现为概念上的附属关系和逻辑上的先后关系B．构造图都是“树形〞构造C．简洁的构造图能更好地反映主体要素之间关系和系统的整体特点D．复杂的构造图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系【解析】构造图是指以模块的调用关系为线索，用自上而下的连线表示调用关系并注明参数传递的方向和内容，从宏观上反映软件层次构造的图形．A．构造图中各要素之间通常表现为概念上的附属关系和逻辑上的先后关系，正确；B．构造图不一定都是“树形〞构造，错误；C．简洁的构造图能更好地反映主体要素之间关系和系统的整体特点，正确；D．复杂的构造图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系，正确．【答案】 B2．如下列图的框图中是构造图的是()【解析】A，B，C都是表达了完成某一件事情的流程图，而不是构造图；只有D表达了高考文科所包含的考试科目，表达了总—分的关系，故是构造图．应选D.【答案】 D3．如图4-2-6是某工厂的组织构造图，由图可以知道，工厂办公室所管辖的科室有()【导学号：19220064】图4-2-6A．销售科、后勤科、宣传科B．汽车队、接待科、宣传科C．消费部、销售科、后勤科D．消费部、汽车队、宣传科【解析】由构造图可知工厂办公室的“下位〞要素共有3个，分别为汽车队、接待科、宣传科．【答案】 B4．如图4-2-7是人教A版选修1－2第二章“推理与证明〞的知识构造图(局部)，假设要参加知识点“三段论〞，那么应该放在图中()图4-2-7A．“①〞处B．“②〞处C．“③〞处D．“④〞处【解析】三段论是演绎推理的内容，因此应放在“②〞处．【答案】 B5．把平面内两条直线的位置关系填入构造图4-2-8中的M，N，E，F中，顺序较为恰当的是()图4-2-8①平行；②垂直；③相交；④斜交．A．①②③④B．①④②③C．①③②④D．②①④③【解析】平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交．【答案】 C二、填空题6．按边对三角形进展分类的构造图为：图4-2-9那么①处应填入________．【解析】等腰三角形又可分为“等边三角形〞和“腰和底边不等的等腰三角形〞两类．【答案】等边三角形7．如图4-2-10所示的构造图中，进一步细化时，二面角应放在________的下位．图4-2-10【解析】二面角反映的是两平面的位置关系，应放在“平面与平面〞的下位．【答案】平面与平面8．在工商管理学中，MRP(Material Requirement Planning)指的是物资需求方案，根本MRP的体系构造如图4-2-11所示：图4-2-11从图中可以看出，根本MRP直承受________、____________________和________的影响．【解析】由图看出箭头指向根本MRP的有三点：产品构造、主消费方案、库存状态．【答案】产品构造主消费方案库存状态三、解答题9．(2016·安庆高二检测)目前我省高考科目为文科考：语文，数学(文科)，英语，文科综合(政治、历史、地理)；理科考：语文，数学(理科)，英语，理科综合(物理、化学、生物)．请画出我省高考科目构造图.【导学号：19220065】【解】10．某大学的学校组织构造图如图4-2-12所示，由图答复以下问题：图4-2-12(1)学生工作处的“下位〞要素是什么？(2)学生工作处与其“下位〞要素是什么关系？【解】(1)由图可知学生工作处的“下位〞要素包括工业工程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机械工程系、汉教部．(2)学生工作处与其“下位〞要素的关系是附属关系．[才能提升]1．以下构造图中，表达各要素之间是逻辑先后关系的是()【解析】C选项中的构造图表达了从整数指数幂到无理指数幂的开展过程与顺序，表达的是各要素间的逻辑先后关系，应选C.【答案】 C2．如图4-2-13是一商场某一个时间制订销售方案时的局部构造图，那么“方案〞受影响的主要要素有()图4-2-13A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】影响“方案〞的主要要素应是三个“上位〞要素，有“政府行为〞，“筹划部〞，“社会需求〞．【答案】 C3．在平面几何中，特殊四边形的分类关系可用以下框图描绘：图4-2-14那么在①中应填入________；在②中应填入________．【解析】结合①的条件可知：有一组邻边相等的平行四边形为菱形，故①处应填菱形．结合②的条件可知：两腰相等的梯形叫等腰梯形，故②处应填等腰梯形．【答案】菱形等腰梯形4．据有关人士预测，我国居民的消费正由生存型消费转向质量型消费，城镇居民消费热点是商品住房、小轿车、新型食品、效劳消费和文化消费；农村居民消费热点是住房、家电，试设计表示我国居民消费情况的构造图．【解】构造图如下列图．。
高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题32 最新
学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可．将p，q对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p成立时，q不一定成立；当q 成立时，p一定成立，故p是q成立的必要不充分条件．【答案】 C2．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】分别判断由“x>1”能否推出“x3>1”和由“x3>1”能否推出“x>1”．由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.【答案】 C3．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【解析】 根据空间两条直线的位置关系和充要条件的定义进行判断． 若l 1，l 2异面，则l 1，l 2一定不相交；若l 1，l 2不相交，则l 1，l 2是平行直线或异面直线，故p ⇒q ，qp ，故p 是q 的充分不必要条件．【答案】 A4．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 当a ＝1时，N ＝{1}，显然满足N ⊆M ，所以充分性成立；因为N ⊆M ，所以a 2＝1或a 2＝2，即a ＝±1或a ＝±2，故必要性不成立，所以选A.【答案】 A5．已知a ，b 为实数，命题甲：ab ＞b 2，命题乙：1b ＜1a ＜0，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当a ＝2，b ＝1时，ab ＞b 2，但1b ＜1a ＜0不成立；当1b ＜1a ＜0时，ab 2＜0，则1b ×ab 2＞1a ×ab 2，即ab ＞b 2成立，所以选B.【答案】 B 二、填空题6．若p ：x 2－1＞0，q ：(x ＋1)(x －2)＞0，则綈p 是綈q 的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”其中一个)．【解析】 綈p ：x 2－1≤0，∴－1≤x ≤1， 綈q ：(x ＋1)(x －2)≤0，－1≤x ≤2， ∴－1≤x ≤1⇒－1≤x ≤2而－1≤x ≤1－1≤x ≤2，∴綈p 是綈q 的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要7．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的充要条件是________． 【解析】 对a 分a ＝0和a ≠0两种情况讨论． 【答案】 ⎩⎨⎧ a ＞0b 2－4ac ＜0或⎩⎨⎧a ＝b ＝0c ＞08．若命题“若p ，则q ”为真，则下列说法正确的是________． ①p 是q 的充分条件； ②p 是q 的必要条件； ③q 是p 的充分条件； ④q 是p 的必要条件．【解析】 由充分条件与必要条件的定义知，①④正确． 【答案】 ①④ 三、解答题9．命题p ：x ＞0，y ＜0，命题q ：x ＞y ，1x ＞1y ，则p 是q 的什么条件？【导学号：32550018】【解】 p ：x ＞0，y ＜0，则q ：x ＞y ，1x ＞1y 成立；反之，由x ＞y ，1x ＞1y ⇒y －xxy ＞0，因y －x ＜0，得xy ＜0，即x ，y 异号，又x ＞y ，得x ＞0，y ＜0.所以“x ＞0，y ＜0”是“x ＞y ，1x ＞1y ”的充要条件．10．已知a ，b ，c 均为实数，求证ac ＜0是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件．【证明】 ①充分性．若ac ＜0， 则Δ＝b 2－4ac ＞0.所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根，设其两根为x 1，x 2， 因为ac ＜0， 所以x 1·x 2＝ca ＜0，即x1，x2的符号相反，所以方程有一个正根和一个负根．②必要性．若方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，设其两根为x1，x2，不妨设x1＜0，x2＞0，则x1·x2＝ca＜0，所以ac＜0.由①②知ac＜0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件．[能力提升]1．“若a，b∈R＋，a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a，b∈R＋，若a2＋b2＜1，则a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＜1＋2ab＋(ab)2，即(a＋b)2＜(1＋ab)2，所以a＋b＜1＋ab成立；当a＝b＝2时，有1＋ab＞a＋b 成立，但a2＋b2＜1不成立，所以“a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的充分不必要条件．【答案】 C2．已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(a x＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵f(x)＝(a x＋b)2＝a2x2＋2a·b x＋b2，且f(x)＝(a x＋b)2为偶函数，∴2a·b＝0，即a·b＝0，所以a⊥b；若a⊥b，则有a·b＝0，∴f(x)＝(a x＋b)2＝a2x2＋2a·b x＋b2＝a2x2＋b2为偶函数，∴“函数f(x)＝(a x＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，故选C.【答案】 C3．已知命题p：实数x满足－2≤1－x－13≤2；命题q：实数x满足x2－2x＋(1－m2)≤0(m＞0)．若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．【导学号：32550018】【解析】 令A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2≤1－x －13≤2＝{x |－2≤x ≤10}， B ＝{x |x 2－2x ＋(1－m 2)≤0，m ＞0} ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．∵“若綈p ，则綈q ”的逆否命题为“若q ，则p ”， 而綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴p ⇒q ，即A ⊆B ，故⎩⎨⎧m ＞0，1－m ≤－2，10≤1＋m ，解得m ≥9.【答案】 [9，＋∞)4．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件是0<a <4.【解】 (1)必要性：若ax 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立，由二次函数性质有：⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0，即⎩⎨⎧a >0a 2－4a <0， ∴0<a <4.(2)充分性：若0<a <4，对函数y ＝ax 2＋ax ＋1，其中Δ＝a 2－4a ＝a (a －4)<0且a >0，∴ax 2－ax ＋1>0(x ∈R )恒成立． 由(1)(2)命题得证．。
2018年高中数学人教A版选修1-2第2章 推理与证明 2.2.1.1习题含解析
,-当且仅当(x-2)2=1,即x=3时,等号成立.故选D.2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时综合法课时过关·能力提升基础巩固1如果公差不为零的等差数列中的第二、第三、第六项构成等比数列那么这个等比数列的公比等于()A.1B.2C.3D.4解析设等差数列的首项为a1,公差为d,等比数列的公比为q,则a2=a1+d,a3=a1+2d,a6=a1+5d.因为a2,a3,a6构成等比数列,所以·a6,所以a1=所以q故选C.答案C2对“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列判断:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b与a<b及a=b中,至少有一个成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.其中正确判断的个数为()A.0答案C3已知x≥则A.最大值最小值C.最大值1B.1 C.2 D.3-有-D.最小值1解析f(x)---答案D4△在ABC中,tan A·tan B>1,△则ABC是()--A.锐角三角形C.钝角三角形B.直角三角形D.不确定解析∵tan A ·tan B>1,∴角 A ,角 B 只能都是锐角.∴tan A>0,tan B>0,1-tan A ·tan B<0.∴tan(A+B )-∴A+B 是钝角.∴角 C 为锐角.故选 A .答案 A5 设 a ,b ∈R ,且 a ≠b ,a+b=2,则必有()A.1≤ab ≤C.ab答案 B6 △在 ABC 中,已知 cos A cos B>sin A sin B ,△则 ABC 的形状一定是 .解析因为 cos A cos B>sin A sin B ,所以 cos A cos B-sin A sin B=cos(A+B )>0.故 cos C<0,角 C 为钝角,△即 ABC 为钝角三角形.答案钝角三角形7 若 lg x+lg y=2lg(x-2y ),则 l-解析由题设条件知-即 x 2-5xy+4y 2=0,解得或因为 x>2y ,所以即l答案 48 函数 y=f (x )的图象关于直线 x=1 对称,若当 x ≤1 时,f (x )=(x+1)2-1,则当 x>1 时,f (x )的解析式为 .解析设点(x 0,y 0)(x 0≤1)在函数 f (x )=(x+1)2-1 的图象上,又设点(x 0,y 0)关于 x=1 的对称点为(x',y').由对称可知则将点(2-x',y')的坐标代入f(x)=(x+1)2-1,得y'=(2-x'+1)2-1,即y'=(x'-3)2-1,所以当x>1时,f(x)的解析式为f(x)=(x-3)2-1.答案f(x)=(x-3)2-19设a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求的最小值解=1≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c时,等号成立.故所求最小值为9.10设a,b,c为不全相等的正数,且abc=1,求证分析解答本题可先把abc=1代入,再利用基本不等式进行推证.证明∵a,b,c为不全相等的正数,且abc=1,又bc+ca≥ca+ab≥ab+bc≥且a,b,c不全相等,∴上述三个不等式中的“=”不能同时成立.∴2(bc+ca+ab)>2即bc+ca+ab故11在锐角三角形ABC中,已知3b=且求证△ABC是等边三角形.证明∵3b=B,∴由正弦定理,得3sin B=A sin B.∵B∈(0,π),∴sin B≠0,∴sin A∵ABC是锐角三角形,∴A△∵cos B=cos C,∴B=C.∴A=B=C△ABC是等边三角形.能力提升1设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)A.a且≠-1C.a或解析∵f(x)的周期为3,∴f(2)=f(-1).又f(x)是R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1).则f(2)=f(-1)=-f(1).-则的取值范围是再由f(1)>1,可得f(2)<-1,即-解得-1<a答案D2《算数书》竹简是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为A解析由题意可知L=2πr,即r圆锥体积V故应选B.答案B3若O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足∈[0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心C.重心解析B.内心D.垂心∴AP △平分 ABC 中的∠BAC.∴动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.答案 B4 已知函数 f (x )=2x ,a ,b 为正实数,A=则的大小关系是解析为正实数)且f (x )=2x 在 R 上是增函数,∴≤f即C ≤B ≤A.答案 C ≤B ≤A5 已知 sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则 cos(α-β)的值为.解析∵sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,以上两式两边平方相加,得 2+2(sin αsin β+cos αcos β)=1,∴cos(α-β)=答案★6 正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1,在正方体的表面上与点 A 距离为的点形成一条曲线 这条曲线的长度为解析这条曲线在平面 ADD 1A 1 上的一段是以 A 为圆心为半径 为圆心角的一段圆弧,在平面A 1B 1C 1D 1 上的一段是以 A 1 为圆心为半径 为圆心角的一段圆弧,由正方体的对称性知,这条曲线的长度为答案7 数列{a n }满足 a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n (n+1),n ∈N *.(1)证明:数列是等差数列(2)设 b n =3n ·求数列的前 项和(2)解由(1)得·1=n,所以a=n2.·3n+1(1)证明由已知可得即所以数列是以为首项,1为公差的等差数列.n从而b n=n·3n.Sn=1·31+2·32+3·33+…+n·3n,3S n=1·32+2·33+…+(n-1)·3n+n·3n+1.①-②,得-2Sn=31+32+…+3n-n·3n+1----①②所以S n-★8如图所示,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明:直线AC经过原点O.分析本题考查解析几何中的证明问题,解决本题应先画出图形,将文字语言转化为图形语言,借助图形的直观性,帮助分析证题思路.证明∵抛物线的方程为y2=2px(p>0),∴焦点为∴设过点F的直线AB的方程为x=my由得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个根,∴y1y2=-p2.∵BC∥x轴,且点C在准线x=上,∴点C的坐标为-∴直线CO的斜率k-即k也是直线OA的斜率,∴点A,O,C在同一条直线上,∴直线AC经过原点O.。
2018版第2章2.2.2直线方程的几种形式学业分层测评
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列说法正确的是()A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B.经过任意两个不同点P(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示C.不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示【解析】当直线与y轴重合时，斜率不存在，选项A、D不正确；当直线垂直于x轴或y轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C不正确；当x1≠x2，y1≠y2时由直线方程的两点式知选项B正确，当x1＝x2，y1≠y2时直线方程为x －x1＝0，即(x－x1)(y2－y1)＝(y－y1)(x2－x1)，同理x1≠x2，y1＝y2时也可用此方程表示.故选B.【答案】 B2.直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距为3，则实数m值为()A.65 B.－6C.－65 D.6【解析】将(3,0)代入得(m＋2)3＝2m解得m＝－6.【答案】 B3.若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则()A.ab>0，bc>0B.ab>0，bc>0C.ab <0，bc >0D.ab <0，bc <0【解析】 直线经过第一、二、三象限，则由y ＝－a b x －c b 可知，⎩⎪⎨⎪⎧ －a b >0，－c b >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ab <0，bc <0，选D. 【答案】 D4.两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a ＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y －a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合.【答案】 A5.若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )【导学号：45722084】A.1B.2C.－12D.2或－12 【解析】 当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12.【答案】 D二、填空题6.直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点________.【解析】 将直线方程变形为y －2＝a (x －3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a ，过定点(3,2).【答案】 (3,2)7.已知直线l 1过点P (2,1)且与直线l 2：y ＝x ＋1垂直，则l 1的点斜式方程为________.【导学号：45722085】【解析】 直线l 2的斜率k 2＝1，故l 1的斜率为－1，所以l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2).【答案】 y －1＝－(x －2)8.已知光线经过点A (4,6)，经x 轴上的B (2,0)反射照到y 轴上，则光线照在y 轴上的点的坐标为________.【解析】 点A (4,6)关于x 轴的对称点A 1(4，－6)，则直线A 1B 即是反射光线所在直线，由两点式可得其方程为：3x ＋y －6＝0，令x ＝0，得y ＝6，所以反射光线经过y 轴上的点的坐标为(0,6).【答案】 (0,6)三、解答题9.若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线.(1)求实数m 的范围；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值.【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2＝0，m －2＝0，解得m ＝2， 若方程表示直线，则m 2－3m ＋2与m －2不能同时为0，故m ≠2.(2)由－(m 2－3m ＋2)m －2＝1，解得m ＝0. 10.求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程.【解析】 法一 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b .①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋y b ＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7.②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二 设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)，令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k .又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，∴|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ， 解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.[能力提升]1.直线x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线的方程为( )A.x －y －1＝0B.x －y －2＝0C.x ＋y －1＝0D.x ＋y ＋1＝0【解析】 令y ＝0，则x ＝－1，令x ＝0，则y ＝1，∴直线x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线过点(0,1)和(1,0)，由直线的截距式方程可知，x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0.【答案】 C2.已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图2-2-3所示，则( )图2-2-3A.b >0，d <0，a <cB.b >0，d <0，a >cC.b <0，d >0，a >cD.b <0，d >0，a <c【解析】 由题图可知直线l 1、l 2的斜率都大于0，即k 1＝－1a >0，k 2＝－1c >0且k 1>k 2，∴a <0，c <0且a >c .又l 1的纵截距－b a <0，l 2的纵截距－d c >0，∴b <0，d >0，故选C.【答案】 C3.已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.【解析】 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取得最大值3. 【答案】 34.直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12；(2)△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【导学号：45722086】 【解】 设直线方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. ① 又∵直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，∴43a ＋2b ＝1. ②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝92，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y 9＝1，即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.若满足条件(2)，则ab ＝12， ③由题意得：43a ＋2b ＝1， ④由③④整理得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6，∴所求直线的方程为x4＋y3＝1或x2＋y6＝1，即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2学业分层测评：
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba ≤－2成立的一个充分而不必要条件是( )A ．a ·b >0B ．a ·b <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0【解析】 ∵a b ＋ba ≤－2，∴a 2＋b 2ab ≤－2. ∵a 2＋b 2>0，∴ab <0，则a ，b 异号，故选C. 【答案】 C2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形【解析】 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA→＝CD →， ∴四边形ABCD 为平行四边形． 【答案】 D3．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )【导学号：81092019】A.12 B ．a 2＋b 2 C ．2abD ．a【解析】 ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12.而a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1， ∴a <12，∴a 2＋b 2最大，故选B. 【答案】 B4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 若A >B ，则a >b ， 又a sin A ＝bsin B ，∴sin A >sin B ； 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ， ∴A >B . 【答案】 C5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负【解析】 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2＞0，可知x 1＞－x 2，f (x 1)＜f (－x 2)＝ －f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)＜0.故选A.【答案】 A 二、填空题6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝________.【解析】 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，∴⎩⎨⎧ λ＝2，3λ＝k ， ∴⎩⎨⎧λ＝2，k ＝6.【答案】 67．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 【解析】 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c ， 又∵c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b .【答案】 a >c >b8．已知三个不等式：①ab >0；②c a >db ；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．【解析】 对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －adab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －ad ab >0，故①③⇒②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －adab >0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．【答案】 3 三、解答题9．如图2-2-3，四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求证：AF ∥平面PEC .图2-2-3【证明】 ∵四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形， ∴AB 綊CD .又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴CF 綊AE .∴四边形AECF为平行四边形．∴AF∥EC.又AF⊄平面PEC，EC⊂平面PEC，∴AF∥平面PEC.10．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列．求证：△ABC为等边三角形．【证明】由A，B，C成等差数列知，B＝π3，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac，又a，b，c也成等差数列，∴b＝a＋c 2，代入上式得(a＋c)24＝a2＋c2－ac，整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C，而B＝π3，则A＝B＝C＝π3，从而△ABC为等边三角形．[能力提升]1．设x，y∈R，a>1，b>1，若a x＝b y＝3，a＋b＝23，则1x＋1y的最大值为()A．2 B.3 2C．1 D.1 2【解析】∵a x＝b y＝3，x＝log a3，y＝log b3，∴1x＋1y＝log3(ab)≤log3⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝1.故选C.【答案】 C2．在△ABC中，tan A·tan B>1，则△ABC是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】因为tan A·tan B>1，所以角A，角B只能都是锐角，所以tan A>0，tan B>0,1－tan A·tan B<0，所以tan(A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A·tan B<0.所以A＋B是钝角，即角C为锐角．【答案】 A3．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2ab，a2＋b2,2ab中最大的是________.【导学号：81092020】【解析】由0<a<1,0<b<1，且a≠b，得a＋b>2ab，a2＋b2>2ab.又a>a2，b>b2，知a＋b>a2＋b2，从而a＋b最大．【答案】a＋b4．在三角形ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：a cos2C2＋c cos2A2≥32b.【证明】∵在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，∵左边＝a(1＋cos C)2＋c(1＋cos A)2＝12(a＋c)＋12(a cos C＋c cos A)＝12(a＋c)＋12⎝⎛⎭⎪⎫a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc＝12(a＋c)＋12b≥ac＋b2＝b＋b2＝32b＝右边，∴a cos2C2＋c cos2A2≥32b.。
2018年高中数学人教A版选修1-2第2章推理与证明检测习题含解析
第二章检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线;已知直线b?平面α,a?平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”,这个结论显然是错误的,这是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误解析“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线”是错误的,即大前提是错误的.故选A.答案 A2.已知f(x+1)∈N*),猜想f(x)的表达式为()A.f(x)C.f(x)解析当x=1时,f(2)当x=2时,f(3)当x=3时,f(4)故可猜想f(x)应选B.答案 B3.如图所示,4只小动物换座位,开始时鼠,猴,兔,猫分别坐1,2,3,4号座位,如果第1次前后排动物互换座位,第2次左右列动物互换座位,第3次前后排动物互换座位……这样交替进行下去,那么第 2 018次互换座位后,小兔坐在()号座位上.A.1B.2C.3D.4解析由题意得第4次互换座位后,4只小动物又回到了原座位,即每经过4次互换座位后,小动物回到原座位,而2 018=4×504+2,所以第 2 018次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同,故小兔坐在2号座位上,应选B.答案 B4.已知x∈(0,+∞),不等式x≥2,x≥3,x≥4,…,可推广为x≥n+1,则a的值为()A.2nB.n2C.22(n-1)D.n n解析∵第一个不等式中a=11,第二个不等式中a=22,第三个不等式中a=33,∴第n个不等式中a=n n.答案 D5.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形解析因为正弦值在(0°,180°)内是正值,所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,因此△A1B1C1是锐角三角形.由于△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,因此△A2B2C2不可能为直角三角形,故假设△A2B2C2也是锐角三角形,并设cos A1=sin A2,则cos A1=cos(90°-A2),所以A1=90°-A2.同理设cos B1=sin B2,cos C1=sin C2,则有B1=90°-B2,C1=90°-C2.又A1+B1+C1=180°,则(90°-A2)+(90°-B2)+(90°-C2)=180°,即A2+B2+C2=90°.这与三角形内角和等于180°矛盾,所以原假设不成立.故选D.答案 D6.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10等于()A.28B.76C.123D.199解析利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8 +b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.答案 C7.对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n等于()A.10B.11C.12D.13解析∵m2=1+3+5+…+11∴m=6.∵23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,∴53=21+23+25+27+29.又n3的分解中最小的正整数是21,∴n3=53,n=5,∴m+n=6+5=11.答案 B8.对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},……,依此类推,则每组内奇数之和S n与其组的编号数n(n∈N*)的关系是()A.S n=n2B.S n=n3C.S n=n4D.S n=n(n+1)解析当n=1时,S1=1;当n=2时,S2=8=23;当n=3时,S3=27=33.归纳猜想S n=n3.故选 B.答案 B9.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:图(1)图(2)他们研究过图(1)中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图(2)中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是()A.289B.1 024C.1 225D.1 378解析根据图形的规律可知,第n个三角形数为a n第n个正方形数为b n=n2,由此可排除选项D(1 378不是平方数),将选项A,B,C代入到三角形数与正方形数的表达式中检验可知,符合题意的是选项C,故选C.答案 C10.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲所示,在平行四边形ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在图乙所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,等于A.2(AB2+AD2+C.4(AB2+AD2+解析如图,连接A1C1,AC,则四边形AA1C1C是平行四边形,故A1C2+连接BD,B1D1,则四边形BB1D1D是平行四边形,故又在?ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2),则故选C.答案 C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.解析由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B 城市,因此甲一定去过A城市和C城市.又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是 A.答案 A12.已知函数f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值一定比零(填“大”或“小”).解析∵f(x)=x3+x是R上的奇函数,且是增函数,又由a+b>0可得a>-b,∴f(a)>f(-b)=-f(b),∴f(a)+f(b)>0.同理,得f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0.三式相加,整理得f(a)+f(b)+f(c)>0.答案大13.在平面几何中,△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为把这个结论类比到空间在三棱锥中如图所示平面平分二面角且与相交于则类比后得到的结论是解析∵CE平分∠ACB,而平面CDE平分二面角A-CD-B,可类比成△△故结论为△△答案△△14.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c 等于.解析由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:(1)当①成立时,则a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立;(2)当②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;(3)当③成立时,则a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1,所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.故答案为201.答案20115.把数列-的所有项按照从大到小的原则写成如下数表1…第k行有2k-1个数,第t行的第s个数(从左数起)记为A(t,s),则A(6,10)=.解析前5行共有20+21+22+23+24=31个数,A(6,10)为数列的第41项.∵a n-答案三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解法一(1)选择②式,计算如下:sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=130°=1(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α·(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=sin2ααcos ααcos α解法二(1)同解法一.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)-°-α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2α60°cos 2α+sin 60°sin 2α)αcos αsin2α2α2α2α2α2α) =12α2α-17.(8分)已知函数f(x)=a x(1)证明函数f(x)在(-1,+∞)内为增函数;(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.分析对第(1)小题,可用定义法证明;对第(2)小题,可按反证法证明命题的步骤加以证明.证明(1)设x1,x2是(-1,+∞)内的任意两个实数,且x1<x2.∵a>1,又x1+1>0,x2+1>0,于是f(x2)-f(x1)--故函数f(x)在(-1,+∞)内为增函数.(2)假设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则-且0于是0<-即这与假设x0<0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.18.(9分)先解答(1),再通过结构类比解答(2):(1)求证:ta-试问是周期函数吗证明你的结论(2)设x∈R,a为非零常数,且f(x+a)-(1)证明由两角和的正切公式得ta--即ta命题得证.-(2)解猜想f(x)是以4a为周期的周期函数.证明过程如下:∵f(x+2a)=f[(x+a)+a]∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=∴f(x)是以4a为周期的周期函数.故f(x)是周期函数,其中一个周期为4a.19.(10分)已知0<b<a<e,其中e是自然对数的底数.(1)试猜想a b与b a的大小关系;(2)证明你的结论.(1)解取a=2,b=1可知a b>b a,又当a=1,b时,a b>b a,由此猜测a b>b a对一切0<b<a<e成立.(2)证明要证a b>b a对一切0<b<a<e成立,需证ln a b>ln b a,需证bln a>a ln b,需证设函数f(x)∈(0,e),-f'(x)当x∈(0,e)时,f'(x)>0恒成立.所以f(x)在(0,e)内单调递增,所以f(a)>f(b),即所以a b>b a.20.(10分)已知数列{a n}和{b n}满足:a1=λ,a n+1其中为常数为正整数(1)求证:对任意实数λ,数列{a n}不是等比数列;(2)求证:当λ≠-18时,数列{b n}是等比数列;(3)设S n为数列{b n}的前n项和,是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有S n>-12?若存在,求实数λ的范围;若不存在,请说明理由.分析解答本题,需综合运用等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本运算技能,并注意分类讨论思想的应用.(1)证明假设存在实数λ,使得数列{a n}是等比数列,则有又因为a2所以--即则9=0,这是不可能的.所以假设不成立,原结论成立.故对任意实数λ,数列{a n}不是等比数列.(2)证明因为λ≠-18,所以b1=-(λ+18)≠0.又b n+1=(-1)n+1[a n+1-3(n+1)+21]=(-1)n+-==所以b n≠0,所以∈N*).故当λ≠-18时,数列{b n}是以-(λ+18)为首项,为公比的等比数列.(3)解当λ≠-18时,由(2)得-b n=-(λ+18)·-所以S n=--当λ=-18时,b n=0,从而S n=0,(*)式仍成立.要使对任意正整数n,都有S n>-12,即解得λ--令f(n)=1-则当n为正奇数时,1<f(n)≤当n为正偶数时≤f(n)<1,故对任意正整数n,f(n)的最大值为f(1)所以λ<20综上所述,存在实数λ,使得对任意正整数n,都有S n>-12,此时实数λ的取值范围是(-∞,-6).。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2学业分层测评：
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误【解析】合情推理得出的结论不一定正确，故A错；合情推理必须有前提有结论，故B对；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D错．【答案】 B2．下面使用类比推理恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n”【解析】由实数运算的知识易得C项正确．【答案】 C3．用火柴棒摆“金鱼”，如图2-1-7所示，图2-1-7按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为() A．6n－2B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2【解析】 从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.【答案】 C4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心【解析】 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心． 【答案】 D5．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是( )A ．(2,10)B ．(10,2)C ．(3,5)D ．(5,3)【解析】 由题意，发现所给数对有如下规律： (1,1)的和为2，共1个； (1,2)，(2,1)的和为3，共2个； (1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个； (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个； (1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n 时，有n －1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．【答案】 A 二、填空题6．观察下列特殊的不等式： 52－225－2≥2×72，45－3542－32≥52×⎝ ⎛⎭⎪⎫723， 98－2893－23≥83×⎝ ⎛⎭⎪⎫1125， 910－51095－55≥2×75， …由以上特殊不等式，可以猜测：当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b sa r －b r ≥________.【解析】 52－225－2≥2×72＝21×⎝⎛⎭⎪⎫5＋222－1， 45－3542－32≥52×⎝ ⎛⎭⎪⎫723＝52×⎝⎛⎭⎪⎫4＋325－2， 98－2893－23≥83×⎝ ⎛⎭⎪⎫1125＝83×⎝⎛⎭⎪⎫9＋228－3， 910－51095－55≥2×75＝105×⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋5210－5， 由以上特殊不等式，可以猜测：当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b sa r －b r ≥s r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2s －r .【答案】 s r ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2s －r7．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .已知四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.【解析】 因为V ＝8πr 3，所以W ＝2πr 4，满足W ′＝V . 【答案】 2πr 48．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．【解析】 结合等差数列的特点，类比等比数列中b 1b 2b 3…b 9＝29可得，在{a n }中，若a 5＝2，则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9.【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9 三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．【解】 先化简递推关系：n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， ∴S n ＋1S n＋2＝S n －S n －1，∴1S n＋S n －1＋2＝0.当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23.当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，∴S 2＝－34.当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，∴S 3＝－45.当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，∴S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N ＋.10．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【证明】 如图所示，由射影定理，得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC ＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2.又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2.猜想，在四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB2＋1AC2＋1 AD2.证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2，∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.[能力提升]1．根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1 111；1 234×9＋5＝11 111；12 345×9＋6＝111 111；A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113【解析】由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9＋7＝1 111 111，故选B.【答案】 B2．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则AOOM ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3∶1.【答案】 C3．如图2-1-8所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于_____________________________________．【导学号：81092015】图2-1-8【解析】 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)， 所以FB→＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )． 又因为FB→⊥AB →，所以FB →·AB →＝b 2－ac ＝0， 所以c 2－a 2－ac ＝0，所以e 2－e －1＝0， 所以e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．【答案】1＋524．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【解】(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3 4.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.。
2017-2018学年高中数学选修1-2学业分层测评：第2章 2-
学业分层测评(八) 第2章 2.2.2 间接证明(建议用时：45分钟)一、填空题1.△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证：∠BAP <∠CAP .用反证法证明时的假设为________.【答案】 ∠BAP ≥∠CAP2.用反证法证明命题“在一个三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“在一个三角形的三个内角中，________个锐角.”【解析】 “至少有两个”的否定是“至多有一个”. 【答案】 至多有一个3.用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________.【解析】 因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”.【答案】 方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根4.命题“a ，b 是实数，若|a -1|＋|b -1|＝0，则a ＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________.【解析】 “a ＝b ＝1”是“a ＝1且b ＝1”， 又因“p 且q ”的否定为“﹁p 或﹁q ”， 所以“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”. 【答案】 a ≠1或b ≠15.若下列两个方程x 2＋(a -1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax -2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是______________.【解析】 若两个方程均无实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝ a -1 2-4a 2<0，Δ2＝4a 2＋8a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >13或a <-1，-2<a <0.∴-2<a <-1.因此两方程至少有一个有实根时，应有a ≤-2或a ≥-1. 【答案】 {a |a ≤-2或a ≥-1}6.用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b 为实数)”，其反设为____________.【解析】 “a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”，即a ，b 不全为0.【答案】 a ，b 不全为07.若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a -b )2＋(b -c )2＋(c -a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立. 其中正确的是________(填序号).【解析】 因为a ，b ，c 不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可以同时成立，所以③错.【答案】 ①②8.完成反证法证题的全过程.题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1-1)(a 2-2)…(a 7-7)为偶数.证明：假设p 为奇数，则__________均为奇数.① 因7个奇数之和为奇数，故有(a 1-1)＋(a 2-2)＋…＋(a 7-7)为__________.② 而(a 1-1)＋(a 2-2)＋…＋(a 7-7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)-(1＋2＋…＋7)＝__________.③ ②与③矛盾，故p 为偶数.【解析】 由假设p 为奇数可知(a 1-1)，(a 2-2)，…，(a 7-7)均为奇数， 故(a 1-1)＋(a 2-2)＋…＋(a 7-7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)-(1＋2＋…＋7)＝0为奇数， 这与0为偶数矛盾.【答案】 ①a 1-1，a 2-2，…，a 7-7 ②奇数 ③0 二、解答题9.已知x ，y ，z 均大于零，求证：x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x这三个数中至少有一个不小于4.【证明】 假设x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x都小于4，即x ＋4y <4，y ＋4z <4，z ＋4x<4，于是得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝⎛⎭⎪⎫z ＋4x <12，而⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4z ≥2 x ·4x＋2y ·4y＋2 z ·4z＝12， 这与⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝⎛⎭⎪⎫z ＋4x <12矛盾，因此假设错误，即x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x中至少有一个不小于4.10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 【解】 (1)设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n -1＋2，S n ＝n (n ＋2). (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2-pr )＋(2q -p -r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2-pr ＝0，2q -p -r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p -r )2＝0，∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾.所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.1.实数a ，b ，c 不全为0等价于________. 【答案】 a ，b ，c 中至少有一个不为0.2.设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a与2的大小关系是________.【解析】 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a均小于2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6.①又∵a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c≥2，∴a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c≥6，②①与②矛盾，∴假设不成立∴a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于2.【答案】 a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于23.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________.【解析】 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手.【答案】 丙4.若f (x )的定义域为，值域为(a <b )，则称函数f (x )是上的“四维光军”函数. (1) 设g (x )＝12x 2-x ＋32是上的“四维光军”函数，求常数b 的值；(2)是否存在常数a ，b (a >-2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.【解】 (1)由已知得g (x )＝12(x -1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间在对称轴的右边，所以函数在区间上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ， 即12b 2-b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b >1，所以b ＝3. (2)假如函数h (x )＝1x ＋2在区间(a >-2)上是“四维光军”函数， 因为h (x )＝1x ＋2在区间(-2，＋∞)上单调递减，所以有⎩⎪⎨⎪⎧h a ＝b ，h b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾，故不存在.。
高中数学人教a版高二选修1-2第二章推理与证明学业分层测评6有答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a ，b ∈R ，则1a 3>1b 3成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab >0 B ．b >a C ．a <b <0D ．ab (a －b )<0【解析】 由a <b <0⇒a 3<b 3<0⇒1a 3>1b 3，但1a 3>1b 3不能推出a <b <0. ∴a <b <0是1a 3>1b 3的一个充分不必要条件． 【答案】 C2．求证：7－1>11－ 5. 证明：要证7－1>11－5， 只需证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1，即证35>11， ∵35>11， ∴原不等式成立． 以上证明应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．分析法与综合法配合使用D ．间接证法【解析】 该证明方法符合分析法的定义，故选A. 【答案】 A3．(2016·汕头高二检测)要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a＋b)22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0【解析】要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.【答案】 D4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件()A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2【解析】由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc<0，∴b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.【答案】 C5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a”，索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0【解析】由题意知b2－ac<3a⇐b2－ac<3a2⇐b2＋a(a＋b)<3a2⇐b2＋a2＋ab<3a2⇐b2＋ab<2a2⇐2a2－ab－b2>0⇐a2－ab＋a2－b2>0⇐a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0⇐a(a－b)－c(a－b)>0⇐(a－b)(a－c)>0，故选C.【答案】 C二、填空题6．(2016·烟台高二检测)设A＝12a＋12b，B＝2a＋b(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________．【解析】∵A－B＝a＋b2ab－2a＋b＝(a＋b)2－4ab2ab(a＋b)＝(a－b)22ab(a＋b)≥0，∴A≥B.【答案】A≥B7．(2016·西安高二检测)如果a a>b b，则实数a，b应满足的条件是________.【导学号：19220024】【解析】要使a a>b b成立，只需(a a)2>(b b)2，只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0.【答案】a>b>08．如图2-2-5，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．图2-2-5【解析】要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.【答案】AC⊥BD(或底面为菱形)三、解答题9．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.【证明】法一：分析法要证a3＋b3>a2b＋ab2成立．只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因a＋b>0，只需证a2－ab＋b2>ab成立，只需证a2－2ab＋b2>0成立，即需证(a－b)2>0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，由此命题得证．法二：综合法a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．∴a3＋b3>a2b＋ab2.10．(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥43 S.【证明】要证a2＋b2＋c2≥43S，只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2ab cos C)≥23ab sin C，即证a2＋b2≥2ab sin(C＋30°)，因为2ab sin(C＋30°)≤2ab，只需证a2＋b2≥2ab，显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥43S.[能力提升]1．已知a，b，c，d为正实数，且ab<cd，则()A.ab<a＋cb＋d<cdB.a＋cb＋d<ab<cdC.ab<cd<a＋cb＋dD．以上均可能【解析】 先取特殊值检验，∵a b <cd ， 可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2， 则a ＋cb ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <cd . ∴B ，C 不正确．要证a b <a ＋c b ＋d ，∵a ，b ，c ，d 为正实数，∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc . 只需证a b <c d .而a b <cd 成立，∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <c d .故A 正确，D 不正确．【答案】 A2．(2016·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca B.a ＋b >a ＋b (a >0，b >0) C.a －a －1<a －2－a －3(a ≥3) D.2＋10>2 6【解析】 对于A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ； 对于B ，∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴a ＋b >a ＋b ；对于C ，要证a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)成立，只需证明a ＋a －3<a －2＋a －1，两边平方得2a －3＋2a (a －3)<2a －3＋2(a －2)(a －1)，即a (a －3)<(a －2)(a －1)，两边平方得a 2－3a <a 2－3a ＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；对于D ，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0，∴2＋10<26，故D 错误． 【答案】 D3．使不等式3＋22>1＋p 成立的正整数p 的最大值是________.【导学号：19220025】【解析】 由3＋22>1＋p ，得p <3＋22－1， 即p <(3＋22－1)2， 所以p <12＋46－42－23，由于12＋46－42－23≈12.7，因此使不等式成立的正整数p 的最大值是12. 【答案】 124．(2016·唐山高二检测)已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1，求证：log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .【证明】 要证明log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )，而已知0<x <1，故只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc . ∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立．∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.。
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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
【解析】“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.
【答案】 C
2．下列命题错误的是()
A．三角形中至少有一个内角不小于60°
B．四面体的三组对棱都是异面直线
C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数
【解析】a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．【答案】 D
3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()
【导学号：81092029】A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
【解析】自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
【答案】 D
4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1
y，b＝y＋
1
z，c＝z＋
1
x，则a，b，c三个
数
() A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
【解析】若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，①
而a＋b＋c＝x＋1
x＋y＋
1
y＋z＋
1
z≥6，②
显然①②矛盾，所以C正确．
【答案】 C
5．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为
() A．①②③B．①③②
C．②③①D．③①②
【解析】根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．
【答案】 D
二、填空题
6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________．
【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”．
【答案】任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形
7．用反证法证明命题“如果a>b，那么3
a>
3
b”时，假设的内容应是
________．
【解析】3
a与
3
b的关系有三种情况：
3
a>
3
b，
3
a＝
3
b和
3
a<
3
b，所
以“3
a>
3
b”的反设应为“
3
a＝
3
b或
3
a<
3
b”．
【答案】
3
a＝
3
b或
3
a<
3
b
8．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；
④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
【解析】若a＝1
3，b＝
2
3，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若
a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．
若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出．
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
【答案】③
三、解答题
9．已知x∈R，a＝x2＋1
2，b＝2－x，c＝x
2－x＋1，试证明：a，b，c至少有
一个不小于1.
【导学号：81092030】【证明】假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3.
而与a＋b＋c＝2x2－2x＋1
2＋3＝2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x－
1
2
2＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a，
b，c至少有一个不小于1.
10．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．
【证明】假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，两边同时平方得a＋c＋2ac＝4b.
把b2＝ac代入a＋c＋2ac＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾．
所以a，b，c不成等差数列．
[能力提升]
1．有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
下列说法中正确的是()
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
【解析】用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．
【答案】 D
2．已知命题“在△ABC中，A≠B.求证sin A≠sin B”．若用反证法证明，得出的矛盾是()
A．与已知条件矛盾
B．与三角形内角和定理矛盾
C．与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾
D．与大边对大角定理矛盾
【解析】证明过程如下：假设sin A＝sin B，因为0<A<π，0<B<π，所以A ＝B或A＋B＝π.其中A＝B与A≠B矛盾；A＋B＝π与三角形内角和定理矛盾，所以假设不成立．所以sin A≠sin B.
【答案】 C
3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
【解析】因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说
的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手．
【答案】 丙
4．用反证法证明：对于直线l ：y ＝x ＋k ，不存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝－x 对称．
【证明】 假设存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，
则线段AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在直线y ＝－x 上，由⎩⎨⎧
y ＝x ＋k ，y 2＝3x 2－1
得2x 2－2kx －1－k 2＝0.
∴x 1＋x 2＝k ，可得M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫k 2，3k 2.这与M 在直线y ＝－x 上矛盾． 所以假设不成立，故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称．。