FEM_ch1_有限元法概述
FEM_有限元法 PPT
❖ 应用范围
广泛地被应用于各种结构工程 成功地用来解决其他工程领域中的问题
➢热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、 机械零件强度分析、电磁工程问题等等
有限元法
❖ Finite Element Method的缩写，有限单元法，其实际应用 中往往被称为有限元分析（FEA），是一个数值方法解偏微 分方程。FEM是一种高效能、常用的计算方法，它将连续体 离散化为若干个有限大小的单元体的集合，以求解连续体力 学问题。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的， 所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各 类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。 自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法 中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元 方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类 物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联 系．
❖ FEM是应用于现代复杂机械结构优化设计的非常重要的计算 机辅助分析方法。FEM早期主要应用于航空航天制造、船舶 工业及高端军事领域 。
方法运用的基本步骤
❖ 基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。
❖ 步骤1：剖分 ❖ 将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合．元素பைடு நூலகம்单
元）的形状原则上是任意的．二维问题一般采用三角形单元 或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等．每个单元 的顶点称为节点（或结点）。
有限元法介绍
通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无需把东西真的做出来。
这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。
有限元法也叫有限单元法（finite element m ethod, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。
五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。
由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。
有限元法最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。
事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。
理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。
为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。
有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。
大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。
有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。
有限元法(FEM)简介
EA ( − cosθ sin θ u1 − sin 2 θ v1 + cosθ sin θ u2 + sin 2 θ v2 ) + EA ( v2 − v3 ) l1 l2
节点3的x方向 节点3的y方向
Fx 3 = Rx23 = 0 EA 2 Fy 3 = Ry 3 = ( −v2 + v3 ) l2
u12=1，u11= v11= v12= 0
EA R = k13 = − cos 2 θ l1
1 x1
v12=1，u11= v11= u12= 0
R11 = k14 = − x R11 = k24 = − y
1 Rx 2 = k34 =
EA cos θ sin θ l1 EA 2 sin θ l1
EA R = k23 = − cos θ sin θ l1
写成矩阵形式
R11 cos 2 θ x 1 Ry1 EA cos θ sin θ 1 = Rx 2 l1 − cos 2 θ R1 2 − cos θ sin θ y cos θ sin θ sin 2 θ − cos θ sin θ − sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ cos 2 θ cos θ sin θ
EA ( cosθ sin θ u1 + sin 2 θ v1 − cosθ sin θ u2 − sin 2 v2 ) l1
EA ( − cos2 θ u1 − cosθ sin θ v1 + cos2 θ u2 + cosθ sin θ v2 ) l1
节点2的y方向
2 Fy 2 = R1 2 + Ry 2 = y
汽车有限元法[1]
![汽车有限元法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/6fb5c1afa21614791611284d.png)
DYNA3D
• 1976年由Lawrence Livermore 国家实验室的John Hallguist博士发布
• 显式有限元理论和程序的鼻祖，其独特的算法非 常适合求解碰撞、爆炸、金属成形等高度非线性 问题。
• 目前状况 被法国ESI公司商品化为PAMCRASH 1989 Hallguist推出商业化版本LS-DYNA(3D) Dynaform-PC, Ansys/LS-DYNA
航空、机械制造、土木工程、冶金、核能、地 震、气象…
汽车有限元法[1]
• 常用大型通用有限元软件
ADINA、 ABAQUS、 ANSYS、 MSC/Marc、 MSC/Nastran
• 一些专用有限元软件
LS_DYNA、 PAM-CRASH、 MSC/Dytran (碰撞） Autoform、 DYNAFORM、、PAM-STAMP（冲压）、 DEFORM(体积成形)、 SysWeld（焊接） MOLDFLOW(注塑)、 ProCast (铸造)、AdvantEdge (切削) SimFact(体积成形)
航空航天领域的标准化结构分析软件
汽车有限元法[1]
MSC/Marc
• 1967年美国布朗大学力学系的Pedro Marcal教授创 立Marc公司
• 大型通用非线性分析软件 • 后因经营上的问题，被MSC公司并购
汽车有限元法[1]
MSC中国
/
汽车有限元法[1]
几种通用有限元软件的比较
软件
一般 非 爆炸 电 温 流体 多场 易
结构 线 与 磁 度 力学 耦合 用
性 冲击 场 场
性
MSC.
53035321
NAБайду номын сангаасTRAN
fem原理及方法
fem原理及方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：FEM原理及方法有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种用于求解偏微分方程的数值方法。
它通过将求解域划分为有限数量的单元，然后在每个单元上建立局部近似，最终将所有单元的近似组合在一起，得到整个求解域的近似解。
FEM由于其高度灵活性和适用性，在工程学、物理学、生物学等领域都得到了广泛应用。
FEM的基本原理是将连续的物理问题转化为离散的数学问题，进而通过数值计算方法求解。
将求解域离散为有限个小单元，通常采用三角形或四边形单元。
然后，在每个单元内，假设解具有线性或更高次的形式，并通过插值函数对解进行近似。
最终将整个问题转化为一个大型的线性代数方程组，通过数值方法求解该方程组，得到问题的数值解。
FEM的求解过程包括以下几个步骤：1. 网格划分：首先需要将求解域划分为有限数量的单元，这些单元通常是简单几何形状，如三角形、四边形等。
这些单元的集合称为网格。
2. 单元建模：在每个单元内，需要选择适当的数学模型，即插值函数。
通常使用一些常见的插值函数，如线性插值、二次插值等。
通过这些插值函数，可以在每个单元内对解进行近似。
3. 建立局部方程：根据物理问题的边界条件和数学模型，在每个单元内建立局部方程。
这些局部方程通常是微分方程的离散形式。
4. 组装全局方程：将所有单元的局部方程组合在一起，形成整个求解域的全局方程。
这个方程通常是一个大型的线性代数方程组。
5. 求解方程组：通过数值方法，如直接法、迭代法等，求解全局方程组，得到问题的数值解。
FEM方法具有许多优点，例如：适用于不规则几何形状的求解域；可以灵活地处理复杂的边界条件；精度较高；适用于各种类型的偏微分方程等。
FEM在工程领域被广泛应用，如结构力学、热传导、流体力学等。
尽管FEM方法有诸多优点，但也存在一些挑战和局限性。
网格划分可能会导致计算误差；求解大规模方程组需要大量的计算资源；对于高次形状和非线性问题，求解比较困难等。
有限单元法的基本原理
有限单元法的基本原理有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种常用于工程和科学领域中求解复杂问题的数值方法。
它的基本原理可以概括为将复杂的连续问题离散化为简单的有限个单元，然后利用数值方法对各个单元进行分析，最终得到整个问题的近似解。
以下将详细介绍有限单元法的基本原理。
1.连续问题的离散化：2.单元的建立：利用有限单元法，每个单元内部的位移和应力分布可以通过简单的变换关系来表示。
通常，在每个单元内部选择一种合适的形状函数来表示位移和应力的连续变化。
在线性有限元分析中，常用的形状函数为线性函数，而在非线性有限元分析中，常用的形状函数可以是二次或更高次函数。
3.边界条件的施加：在有限单元法中，为了求解问题的唯一解，必须施加适当的边界条件。
边界条件可以是约束位移、施加力或给定的位移等。
通过施加适当的边界条件，可以将问题转化为一个封闭的系统，方便求解。
4.系统的建立：利用有限单元法，可以将整个问题表示为一个线性或非线性的代数方程组。
构建这个方程组需要考虑到每个单元的位移和应力之间的关系。
通过组装每个单元的刚度矩阵和力向量，最终可以得到整个问题的刚度矩阵和力向量。
5.方程组的求解：得到整个问题的刚度矩阵和力向量后，可以使用各种数值方法求解代数方程组。
常用的方法有直接法（如高斯消元法）和迭代法（如共轭梯度法）。
求解得到的位移和应力即为整个问题的近似解。
6.解的后处理：在有限单元法中，为了解决工程问题，通常需要进一步对位移和应力进行后处理。
后处理可以包括计算其他感兴趣的物理量、绘制应力和位移图等。
通过后处理，可以更好地理解问题的本质和它们的工程意义。
总结起来，有限单元法通过将连续问题离散化为有限个单元，然后使用适当的形状函数表示位移和应力的连续变化，通过施加边界条件和构建代数方程组，最终得到问题的近似解。
有限单元法在工程和科学领域中被广泛应用，可以有效地解决各种复杂问题。
FEM-1-有限元方法概论
1.4 常用有限元分析软件介绍
ABAQUS
分割——组合
16
1.2 有限元方法的基本原理
圆的面积计算
17
1.2 有限元方法的基本原理
有限元方法的基本思想和原理是“简单”而“朴 素”的，在发展初期，许多学术权威对该方法的 学 术 价 值 有 所 轻 视 ， 国 际 著 名 刊 物 Journal of Applied Mechanics许多年来拒绝刊登有关有限元 方法的文章，其理由是没有新的科学实质。
1960 年， Clough 在他的名为“ The finite element in plane 9 stress analysis”的论文中首次提出了有限元这一术语。
1.1 有限元方法形成的背景
数学家的贡献
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分 方法，变分原理和加权余量法。
流体分析
超音速飞行压力分布
汽车气动分析
高速导弹气动
35
1.3 有作用。如果两个物理场之间相互 影响，单独求解一个物理场是不可能得到正确结果的，因此你需要 一个能够将两个物理场组合到一起求解的分析软件。 例如： 在压电力分析中，需要同时求解电压分布（电场分析）和应 变（结构分析）. 需要耦合场分析的典型情况有： 热—应力分析 流体—结构相互作用 感应加热（电磁—热）, 感应振荡 两根热膨胀系数不同的棒焊接 在一起，加热后的变形情况
工程师的贡献
思路来源于固体力学结构分析矩阵位移法的发展和工程师对 结构相似性的直觉判断。对于不同结构的杆系、不同的载荷， 求解时都能得到统一的矩阵公式。从固体力学的角度看，桁 架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区的连续系 统在结构上存在相似性，可以把结构分析的矩阵法推广到非 杆系结构的求解。
FEM的介绍
FEM的介绍为Finite Element Method的缩写，译为有限单元法，其实际应用中往往被称为有限元分析（FEA），是一个数值方法解偏微分方程。
FEM是一种高效能、常用的计算方法，它将连续体离散化为若干个有限大小的单元体的集合，以求解连续体力学问题。
有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。
自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系．基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。
编辑本段方法运用的基本步骤步骤1：剖分:将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合．元素（单元）的形状原则上是任意的．二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等．每个单元的顶点称为节点（或结点）．步骤2：单元分析:进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数步骤3：求解近似变分方程用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。
有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。
每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。
根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。
有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。
有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。
有限元计算原理与方法
有限元计算原理与方法有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种通过将复杂的物理系统离散成有限的简单子域，并在每个子域上建立适当的解析函数，最终通过数值解法计算系统性质的方法。
它是目前工程界最常用的一种数值分析方法，适用于各种不同领域的问题求解。
有限元法的核心思想是将连续问题转化为离散问题，将复杂的物理系统划分成有限数量的简单几何单元，称为有限元。
每个有限元内只需要考虑有限自由度的变量，然后通过建立方程组，求解出系统的响应。
有限元法的优点是适用于各种复杂的几何形状和边界条件，并且可以处理非线性、动力学和多物理场等问题。
有限元法的基本步骤包括以下几个方面：1.几何建模：根据实际问题，将物体的几何形状抽象为有限的简单几何单元，如线段、三角形、四边形单元等。
2.离散化：将物体划分成有限元，并建立有限元网格。
有限元网格的划分应该足够细致，以保证对模型进行准确的描述。
3.单元及节点自由度的确定：确定每个有限元的节点，以及每个节点对应的自由度，自由度包括位移、应力、温度等。
4.建立元素刚度矩阵和载荷向量：根据单元的几何关系和物理性质，建立单元刚度矩阵和载荷向量。
单元刚度矩阵描述了单元内各个节点之间的相互作用关系，载荷向量描述了单元受到的外部力和边界条件。
5.组装：将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组装成整个系统的刚度矩阵和载荷向量。
6.施加边界条件：根据实际问题，将边界条件施加到系统方程中，通常为位移或载荷。
7.解方程：根据边界条件和施加的载荷，求解系统方程，得到节点的位移和应力等解。
8.后处理：根据求解的结果，计算出物体的各种性质，并对结果进行分析和可视化显示。
有限元法具有广泛的应用，例如结构力学、流体力学、电磁场等领域。
它的研究包括有限元离散化方法、有限元解法和计算误差分析等。
随着计算机技术的发展和计算能力的提高，有限元法在科学研究和工程实践中的应用将会更加广泛和深入。
FEM_有限元法
理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原 理（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆 逊定理等）。因此，基于问题固有的物理特性而 予以离散化处理，列出计算公式，当可保证方法 的正确性、数值解的存在与稳定性等前提要素。
有限元法主要特点2
优异的解题能力。与其他数值方法相比较，有限
某飞机设计公司利用Abaqus子模型功能，对舱段的局部细 节进行分析，其中模型包括窗口、加强筋等细节。用户可以 利用总体分析的位移和应力结果作为局部结构的边界条件， 利用CAD模型构建子模型，对局部结构的网格重新划分，进
而得到结构的局部细节位移及应力分析结果。
子弹穿甲模拟分析：
下图左为子弹正打钢板480微秒后的的三维立体图片。
潜艇的水下爆炸模拟： Abaqus/Explicit具有强大的分析水下爆炸(UNDEX)的功能，下图 左为潜艇处于深海中的三维立体模型，下图右为Abaqus分析的 潜艇外壳受冲击后的应力等值线分布。
谢 谢！
有限元（FEM）
数值解法与数值模拟技术
高世军 李 涛 徐艺琛
概述
历史 1943 Courant 最早提出思想 50年代 用于飞机设计 1960 Clough在著作中首先提出名称 1964—1965年间数学家冯康独立地开创有限元方法并奠 定其数学基础 1965 Winslow首次应用于电气工程问题 1969 Silvester推广应用于时谐电磁场问题
元法在适应场域边界几何形状以及媒质物理性质 变异情况的复杂问题求解上，有突出的优点：不 受几何形状和媒质分布的复杂程度限制；不同媒 质分界面上的边界条件是自动满足的；不必单独 处理第二、三类边界条件；离散点配置比较随意， 通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选 取，可以充分保证所需的数值计算精度。
有限单元法基础
有限单元法基础
有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算
方法，常用于求解连续介质力学问题。
它将连续的物理域划分为有限数量的离散单元（finite elements），通过在每个单元内构建近似函数来描述物理场，再根据物理方程建立离散方程组，通过求解离散方程组来得到物理场的近似解。
有限单元法的基本思路是将连续域离散化为有限数量的小单元，每个小单元内使用适当的数学函数进行插值，将大问题分解为很多个小问题，并利用变量之间的连续性建立全局的离散方程组。
然后通过求解离散方程组得到近似解。
有限单元法的基本步骤包括：
1. 网格划分：将要求解的区域划分为多个离散单元，并在每个单元内选择适当的形状函数。
2. 形函数构造：在每个单元内选择适当的形状函数，用于描述物理场的分布。
3. 整体方程组：根据物理方程在每个单元上的积分，建立整个问题的离散方程组。
4. 边界条件：根据边界条件，将边界上的节点处的值固定为已知值。
5. 求解方程组：利用数值方法求解离散方程组，得到物理场的
近似解。
6. 后处理：根据求解结果，计算所需的物理量并进行分析和验证。
有限单元法具有广泛的应用，适用于各种连续介质力学问题的数值求解，如结构力学、固体力学、流体力学、热传导等。
它可以处理复杂的几何形状和边界条件，且精度和收敛性能较高。
有限元法的基本知识 - 副本
对于节点2，由式⑨可得：
u1 2 u 2 u 3
qa
2
EA
图5 三个等长单元
同样，对于结点3有：
u 2 2u3 u 4
qa
2
对于结点4，可以有两种处理方法。 ①直接用第三个单元的内力与节点4上的载荷建立平衡方程：
N3 qa 2 , N3 EA ( u 4 u 3 ) a , u 4 u3 qa
2、单元特性分析
（1）选择位移模式 在有限元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法； 选择节点力作为未知量时称为力法；取一部分节点位移和一部 分节点力作为未知量时称为混合法。位移法易于实现自动化， 所以在有限元法中应用最广。 当采用位移法时，物体或结构物离散化后，就可以把单元中 的物理量如位移、应变和应力等用节点位移表示。这时可以对 单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。 通常，有限元法中我们就将位移表示成坐标变量的简单函数。 这种函数称为位移模式或位移函数，如 ，其中 a y a 是待定系数， 是与坐标有关的某种函数。
Li （3）把外载荷集中到节点上 把第i个单元和第i+1个单元重量的一半 点上，如图4所示。
图4 集中单元重量
（4）建立节点的力平衡方程 对于第i+1结点，有力的平衡方程可得： N N q ( Li Li 1 ) ⑦ i i 1 L 2 令 ，并将式⑥代入得：
i i
Li 1
i
第i个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N ：
i
i
du dx
u i 1 u i Li E ( u i 1 u i ) Li EA ( u i 1 u i )
FEM 有限元法
有限元思想1
有限元法是函数逼近理论、偏微分方程、变分与
泛函分析的巧妙结合。从数学上分析，有限元法 是Rayleigh-Ritz-Galerkin法的推广。
传统的有限元以变分原理为基础
变分问题就是求泛函极值的问题
直接解法－把变分问题化为普通多元函数求极值的问题－
Ritz
寻找一组在全域上解析、而又要在边界上满足强加边界
有限元（FEM）
概述
历史
Courant 最早提出思想 50年代 用于飞机设计 1960 Clough在著作中首先提出名称 1964—1965年间数学家冯康独立地开创有限元 方法并奠定其数学基础 1965 Winslow首次应用于电气工程问题 1969 Silvester推广应用于时谐电磁场问题
1943
应用范围
广泛地被应用于各种结构工程
成功地用来解决其他工程领域中的问题 热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、 机械零件强度分析、电磁工程问题等等
电磁工程应用及发展
静态场～时变场，闭域～开域，线性～非
线性，散射，波导、腔体、传输线
标量有限元发展到矢量有限元 单一方法发展到混合方法 频域求解发展到时域求解 商用软件：比如HFSS、ANSYS
例如最速降线问题，即在于研究当质点从定
点A自由下滑到定点B时，为使滑行时间最短， 试求指点应延着怎样形状的光滑轨道下滑。
O A(x1, y1)
dx
x
沿曲线滑行弧线所需时间为
ds secdx dt v 2 gy
B(x2, y2)
ds
1 y 2 dx 2 gy
滑行总时间为
T x2
离散化过程保持了明显的物理意义。因为变分原
有限元方法入门范文
有限元方法入门范文有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值计算的方法，用于求解工程和物理问题。
它是在1941年由Richard Courant 首次提出的，由于其在解决结构和流体力学等领域的优越性能，迅速发展成为一种广泛应用的工具。
1.离散化：将问题的几何区域分割成多个小区域，每个小区域称为有限元。
这些有限元可以是三角形、四边形或其他形状。
通过几何区域和有限元的选择，我们可以确保问题的几何特征能够被准确地表示。
2.表达力：在每个有限元内，选择一个函数空间，称为有限元空间，来表示问题的未知场量。
这个函数空间由有限维空间的基函数来构成，其中每个基函数对应一个自由度。
3.连接：通过有限元之间的连接关系，将局部信息集成到整个计算域中。
常用的有限元之间的连接关系有节点连接和自由度连接等。
4.变分问题：将原始问题转化为一个变分问题，通过最小化相应的变分泛函来求解。
这个变分问题可以通过利用变分原理和拉格朗日乘子来建立。
5.扩展：通过扩展变分问题并应用适当的数值方法，将变分问题转化为一个代数方程组。
这个代数方程组可以通过直接求解或迭代求解方法得到解。
有限元方法的核心是基于变分原理，通过数学推导和数值计算，将偏微分方程问题转化为代数方程组，然后通过求解代数方程组得到问题的近似解。
有限元方法的优点在于可以处理复杂的几何形状和边界条件，并能够提供高度准确和精确的解。
有限元方法在工程和物理问题的求解中有广泛的应用。
在结构力学中，可以通过有限元方法来分析和设计建筑、桥梁、飞机等的结构响应和强度。
在流体力学中，可以通过有限元方法来模拟和预测液体和气体的流动和传热过程。
在电磁学中，有限元方法可以用于计算电场、磁场和电磁波的传播和相互作用。
此外，有限元方法还被广泛应用于生物医学工程、材料科学和地球科学等领域。
虽然有限元方法在解决工程和物理问题中具有很大的优势，但也存在一些问题和挑战。
首先，选择适当的有限元和合适的网格划分方法对问题的求解结果至关重要。
有限单元法知识点总结
有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。
有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。
有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。
2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。
离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。
加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。
形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。
3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。
建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。
建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。
施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。
求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。
后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。
4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。
结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。
板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。
梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。
壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。
体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。
5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。
FEM_有限元法 PPT
单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，即建立一个 线性插值函数
方法运用的基本步骤
❖ 步骤3：求解近似变分方程
❖ 用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插 值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连 续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连 续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的 单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的 简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续 体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待 定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的 数值解。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许 多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设 计技术，有限元法用于计算机辅助制造中。
优异的解题能力。与其他数值方法相比较，有限 元法在适应场域边界几何形状以及媒质物理性质 变异情况的复杂问题求解上，有突出的优点：不 受几何形状和媒质分布的复杂程度限制；不同媒 质分界面上的边界条件是自动满足的；不必单独 处理第二、三类边界条件；离散点配置比较随意， 通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选 取，可以充分保证所需的数值计算精度。
必须利用有限元分析的方法，通过模拟仿真，提前找到结构设计的规律 、避免设计缺陷，以减少实验的次数，节省 巨额的实验经费。
❖ 某飞机设计公司利用Abaqus子模型功能，对舱段的局部细 节进行分析，其中模型包括窗口、加强筋等细节。用户可以 利用总体分析的位移和应力结果作为局部结构的边界条件， 利用CAD模型构建子模型，对局部结构的网格重新划分，进
而得到结构的局部细节位移及应力分析结果。
有限元法概述
（2）MSC/NASTRAN。 MSC/NASTRAN是在原NAST RAN基础上进行大量改进后的系统软件，主要包括MS C.Patran并行框架式有限元前后处理及分析系统、 MS C.GS-Mesher快速有限元网格、 MSC.MARC非线性有 限元软件等。其中MSC.MARC具有较强的结构分析能
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5.在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6. 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7. 进行机械事故分析，查找事故原因。
轴承强度分析
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汽车碰撞实验
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刹车制动时地盘的应力分析
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钢板精轧机热轧制分析
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三维椭圆封头开孔补强
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水轮机叶轮的受力分析模拟
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人体股骨端受力分析
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半导体芯片温度场的数值仿真
知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法
中位移法应用范围最广。
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2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。
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4、有限元的特点
(1) 概念清楚,容易理解。可以在不同的专业背景和水平 上建立起对该方法的理解。从使用的观点来讲,每个人的 理论基础不同,理解的深度也可以不同,既可以通过直观的 物理意义来学习,也可以从严格的力学概念和数学概念推 导。
有限元法概念意义与应用
有限元法概论、意义与应用班级： 2013信息姓名：张正学号： 2013040692指导老师：曾伟梁摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。
Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method.Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。
有限元法的概念
有限元法，它的基本概念和思想是什么？
概念：将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合。
元素（单元）的形状原则上是任意的。
二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等。
每个单元的顶点称为节点（或结点）。
思想：有限单元法最早可上溯到20世纪40年代。
Courant第一次应用定义在三角区域上的分片连续函数和最小位能原理来求解St.Venant扭转问题。
现代有限单元法的第一个成功的尝试是在1956年，Turner、Clough等人在分析飞机结构时，将钢架位移法推广应用于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。
1960年，Clough 进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了"有限单元法"，使人们认识到它的功效。
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第二节 有限元法的发展与应用
1 有限元法发展历史简述： 有限元法发展历史简述：
有限元法是上世纪中期才出现， 有限元法是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的 一种数值解法
有 限 元
1943年 数学家 年 数学家Courant 第一次提出了有限元的思想； 第一次提出了有限元的思想； 1956年 John Turner 首次将这种方法应用于波音飞机动力学计算； 年 首次将这种方法应用于波音飞机动力学计算； 1960年 Clough 提出了 年 提出了Finite Element Method的名称。 的名称。 的名称 20世纪 年代后，FEM应用于各种力学问题和非线性问题，并得 世纪60年代后， 应用于各种力学问题和非线性问题， 世纪 年代后 应用于各种力学问题和非线性问题 到迅速发展。 到迅速发展。 国内： 国内： 50年代 数学家冯康 “基于变分原理的差分格式”。 年代 基于变分原理的差分格式” 1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应用和发展。 年后， 被引入我国， 年后 被引入我国 并很快地得到应用和发展。
计算结果分析
合
肥
工
业
大
学
第一节 典型工程问题的数学描述与求解方法
2 典型工程问题的数学描述
弹性力学问题
有 限 元
应力场 温度场 偏微分方程 流速场 电磁场
热传导问题 流体力学问题 电磁场问题 边界条件
偏微分方程的边值问题
合
肥
工
业
大
学
第一节 典型工程问题的数学描述与求解方法
3 数学模型的求解
解析法
有 限 元
单元位移模式 单元分析； 单元分析； 单元节点力 节点位移 变分法
单元刚度矩阵 整体分析； 整体分析； 节点位移 外载荷 静力平衡
总体刚度矩阵
单元位
σ x , σ y ,τ xy
物
求解； 求解； 节点位移
移模式
u ( x, y ) v ( x, y )
工 业 大
几何方程
ε x , ε y , γ xy
有 限 元
船舶工业
合 肥 工 业 大 学
第二节 有限元法的发展与应用
有 限 元
汽车工业
合 肥 工 业 大 学
第三节 有限元应用软件简介
应用软件： 应用软件：
有 限 元
ANSYS ABQUS
多物理场， 多物理场，通用性好 接触非线性 非线性动力分析
MSC.NASTRAN Hyperworks
求解器效率高
合 肥 工 业 大 学
第二节 有限元法的发展与应用
2 发展： 发展：
弹性力学平面问题
有 限 元
动力学，稳定、 动力学，稳定、波动等问题 弹塑性， 弹塑性，粘弹性材料 大变形、几何非线性 大变形、 流体力学，热力学，电磁学…… 流体力学，热力学，电磁学…… 板壳，空间问题 板壳，
静力学 固体力学 弹性材料 小变形、几何线性 小变形、
合
肥
工
业
大
学
有 限 元
第一节 工程问题的数学描述与求解 第二节 有限元法的发展与应用 第三节 有限元应用软件简介 第四节 有限元法基本思路
合
肥
工
业
大
学
第一节 典型工程问题的数学描述与求解方法
1 工程问题建模分析过程
典型工程问题
有 限 元
修 改 验 证
物理模型
直接实验模型 验 证
数学模型
相似实验模型
有 限 元
《有限元分析》 有限元分析》 Finite Element Method
合
肥
工
业
大
学
内容概要： 内容概要：
有 限 元
第一章 有限元法概述 有限元法的力学基础---弹性力学基本理论 第二章 有限元法的力学基础 弹性力学基本理论 第三章 弹性力学平面问题的求解方法简介 第四章 有限元法求解平面问题
理 方 程
合
肥
学
提供源代码， ADINA 提供源代码，二次开发功能强 前处理功能强大
LS-DYNA MARC
接触非线性， 接触非线性，前后处理弱
合
肥
工
业
大
学
第四节 有限元法基本思路 划分网格，将连续体划分为有限数量的单元。 划分网格，将连续体划分为有限数量的单元。 单元内位移 节点位移
离散化
构造单元内位移函数； 构造单元内位移函数；
有 限 元
解析解（函数） 解析解（函数）
逆法、 逆法、半逆法 差分法 三角级数法 复变函数法 特殊函数法
变分法
数值解（近似） 数值解（近似）
解析解（近似） 解析解（近似）
仅解决某些特殊问题
受边界形状限 制且精度应用最为 广泛的分析方法
合 肥 工
数值解+解析解 数值解 解析解
3 应用： 应用：
建筑工程 水利工程
合 肥
航空航天
工 业 大 学
船舶工业
汽车制造 …
第二节 有限元法的发展与应用
有 限 元
建筑工程
合 肥 工 业 大 学
第二节 有限元法的发展与应用
有 限 元
水利工程
合 肥 工 业 大 学
第二节 有限元法的发展与应用 航空航天
有 限 元
合
肥
工
业
大
学
第二节 有限元法的发展与应用