第四章频率分析
第四章频率特性
第四章控制系统的频域分析法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 165 频率特性法本章是通过对系统的频率特性研究分析自动控制系统，是一种经典方法。
问题：什么是频率特性，如何描述？如何利用频率特性分析控制系统？5.1 频率特性5.1.1频率特性的基本概念我们知道，系统（包括开环系统和闭环系统）对正弦输入信号的稳态反应是用以描述系统性能的一种广泛应用的工程方法。
频率特性描述了系统在正弦输入信号作用下，其输出信号与输入信号之间的关系。
设系统的传递函数为又设其中：的振幅为常值：正弦函数的角频率有一般地A（s），B（s）为s的多项式;为的极点，包括实数和共扼复数对稳定的系统而言均具有负实部。
（设系统无重极点）其中，待定，是的共扼复数，为待定系数。
由拉氏反变换可得：则输出信号的稳态分量：（对于稳定的系统具有负实部）注：如果系统中含有k个重极点，则在中将会出现象（j=0，1，2，……，k-1）这样一些项，然而对于稳定的系统来说，由于具有负实部，所以各项都将随着趋于无穷大而趋于零。
因此具有重极点的稳定系统的稳态分量具有和上式相同的形式。
可按下式计算：（由留数公式）及其中为一复数，可表示为其中，模幅角同样可以证明，是的偶函数是的奇函数证明：设式中则有是的偶函数是的奇函数稳定的线性定常系统在正弦输入下的稳态响应为：可见：线性定常系统在正弦信作用下的稳态响应仍是与输入信号同频率的正弦信号。
其振幅是输入信号振幅R的倍，在相位上，正弦输出相对于输入的相移，同样是的函数，对确定的来说，振幅C及相移将是确定的。
综上：在正弦输入信号的作用下，线性定常系统的输出信号的稳态分量是和正弦输入信号同频率的正弦函数，其振幅C与输入正弦的振幅R 的比值C/R=是角频率的函数。
它描述系统对不同频率的输入信号在稳态情况下的衰减（或放大）特性，定义这种振幅比依赖于频率的函数为系统的幅频特性。
相对于输入信号r(t)的相移也是的函数，是系统输出信号的稳态分量对正弦输入信号r(t)的相移为该系统的相频特性，它描述系统的稳态输出对不同频率的正弦输入信号在相位上产生相角滞后或相角超前的特性。
第四章 周期信号的频域分析
c n = c n e − jϕ n 令： &
∞ 1 ∞ jnω t & & ∴ f (t ) = ∑ cn e = ∑ Fn e jnω t 2 n = −∞ n = −∞
& = 1 c 称为复傅里叶系数。 &n Fn 2
表明任意周期信号可以表示成 e jnω t 的线性组合， & 加权因子为 Fn 。
a− k e
− jkω0t
…
+ ak e
jkω0t
k 次谐波
例4－1：已知连续时间信号 f (t ) = 1 + cos ω0t + 2sin ( 3ω0t ) 求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak ∞ 1 f (t ) = ∑ ak e jkω t 解： ak = ∫ f (t )e − jkω0t dt
不满足狄里赫利条件的周期信号
f (t )
狄里赫利条件 1 信号 f (t) 在任意一 个周期 T 内绝对可积
−2
f (t ) =
1 , 0 < t ≤1 t2
不满足条件 1
1
−1
0
1
2
t
2 信号 f (t) 在任意一
f (t )
个周期 T 内，只有有 限个极大和极小值点
3 信号 f (t) 在任意一
0
T1 T / 2
T
t
−T
−T1
0
T1
T
N =5
t
取 N =1, 5, 21, 81,用有限项傅氏级 数逼近连续时间周期脉冲信号 f (t)
ˆ f (t )
吉布斯（Gibbs）现象
信号的跳变点附近出现纹波 随项数增加，波纹峰值大小不 变，但被挤向信号的间断点处 信号连续点处傅氏级数收敛于信 号本身 信号跳变点处，傅氏级数收敛于 该处左极限和右极限的平均值
第四章系统的频率特性分析
第四章 频率特性分析4.1 什么是频率特性？解 对于线性定常系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性；将输出的相位于输入的相位之差定义为系统的相频特性。
将系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。
4.2 什么叫机械系统的动柔度，动刚度和静刚度？解 若机械系统的输入为力，输出为位移（变形），则机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度；机械系统的频率特性的倒数就是机械系统的动刚度；当0=w 时，系统频率特性的倒数为系统的静刚度。
4.3已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为 12+s (mm/kg)，求系统的动刚度，动柔度和静刚度。
解 根据动刚度和动柔度的定义有 动柔度()()()12+====jw jw s s G jw G jw λ mm/kg 动刚度 )(jw K =)(1jw G =21+jw kg/mm 静刚度 ()()5.0021010==+====K w jw w jw G w jw kg/mm4.4若系统输入为不同频率w 的正弦函数Asinwt,其稳态输出相应为Bsin(wt+ϕ).求该系统的频率特性。
解：由频率特性的定义有 G （jw ）=AB e jw。
4.5已知系统的单位阶跃响应为）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-，试求系统的幅辐频特性与相频特性。
解：先求系统的传递函数，由已知条件有）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-（t 0≥））（S X i =s 1）（。
S X =s 1-1.841+s +0.891+s ）（S G =）（）（。
S X S X =()()9436++s s ）（jw G =jw s s G =）（=()()jw jw ++9436）（w A =）（jw G =22811636ww +•+）（w ϕ=0-arctan 4w -arctan 9w =-arctan 4w -arctan 9w4.6 由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统如图所示。
机械系统动力学 第四章 固有频率的实用计算方法
第4章 固有频率的实用计算方法
二、邓克利法（Dunkenley法）
对于多自由度振动系统，若用柔度法建立的运动微分 方程可表示为：
X MX
同样地令 X {u}sinnt
4-2-8
(I 2 M)u 0
I 2 M 0
特征方程
对于二个自由度系统：
1-211m1 -212m2 0 -221m1 1-222m2
若取 u1
{1
{u1}T {u1}T
K{u1} M {u1}
=
{1
1} k m
1} 0
k
1
0 1 2m 1
1 2 代入式4-2-7进行试算
k 0.定 于对振型的假设。计算 一阶固有频率精度较高
2k k 1
但数值偏大
若取
{1
2 n1
{u1}T {u1}T
K{u1} M {u1}
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统 一． 列方程法
单自由度无阻尼自由振动系统运动
mx kx 0
只要列出单自由度无阻尼自由振动系统的运动微分 方程，就可以得到振动系统的固有频率
n
k m
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统 一． 列方程法
例4-1-1：建立图4-1-1(a)所示的均质杆绕O点作微幅转 动振动系统的运动微分方程。
振动系统固有频率：
n
ka2 Jo
ka2 1 ml3 3
3ka2 ml 3
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统
二．能量法
原理：
对于单自由度无阻尼自由振动系统，其响应为简谐振
动位，置系，统势能T 为U0，c动ons能t 达或到最ddt大(T，U即) ：0U
机械工程控制基础(第4章_系统的频率特性分析)
对频率 的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相位 ) (
的函数曲线，此即相频特性曲线。
对频率
由上可知，一个系统可以用微分方程或传递函数来描述，也可以
用频率特性来描述。它们之间的相互关系如图4.1.2所示。将微分方程
的微分算子 中的s再换成 j，传递函数就变成了频率特性；反之亦然。
d 换成s后，由此方程就可获得传递函数；而将传递函数 dt
式中，
u ( ) 是频率特性的实部，称为实频特性 v( ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性
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4.1.3 频率特性的求法
1. 根据系统的频率响应来求取
因为
K G s Ts 1 X i X i s 2 s 2
X i xo t L G s 2 s 2
G j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
实轴开始, 逆时针方向旋转为正, 顺时针方向旋转为负。当从0→∞时,
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图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
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2. 频率特性
线性系统在谐波输入作用下，其稳态输出与输入的幅值比是输入
信号的频率 的函数，称为系统的幅频特性，记为A( ) 它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其幅值 的衰减或增大特性。显然
X o ( ) A( ) Xi
) 稳态输出信号与输入信号的相位差 ( （或称相移）也是 的函
1
所以
1 T 2 2 X K A o Xi 1 T 2 2
第四章 频率特性分析
B( s)
(s p )
i i 1
n
A s
2 2
为简单起见，设G(s)的极点均为相异的极点，则将 Xo(s)的表达式进行部分分式分解，得
X o ( s)
i 1
n
bi s pi
n
a1 s j
a2 s j
xo (t ) bi e
i 1
pi t
变乘除运算为加减运算
Bode图的横坐标ω采用对数分度，单位rad/s 线性分度：
0 1 2 3 4 5 6 7
对数分度：
小结
纵坐标：L( ) 20 lg G( j ) 对数幅频特性图
（单位：分贝（dB），线性分度）
横坐标：频率ω Bode图
（单位：rad/s），对数分度）
纵坐标：G ( j ) 对数相频特性图
一、频率特性的图示方法（重点）
1.频率特性的Nyquist图（也叫极坐标图、幅 相频率特性图）
Nyquist图
把频率特性G(j ω)看作ω的复变函数
jG ( j )
G( j ) G( j ) e
u ( ) jv( )
虚频特性
实频特性
2 2
G( j ) u ( ) v ( ) G ( j ) arctan
j
112 0.4 10
3 3
实频特性u(ω)
虚频特性v(ω)
ω
u(ω)
v(ω)
0
20
-2.24
-1.93
-∞
-4.89
30
40
-1.64
-1.36
-2.75
-1.7
第四章 频域分析(第一节)
频率每变化一倍，称作一倍频程，记作oct， 坐标间距为0.301长度单位。频率每变化10倍，称 作10频程，记作dec，坐标间距为一个长度单位。 横坐标按频率ω的对数分度的优点在于：便于在较 宽的频率范围内研究系统的频率特性。 对数幅频图中的纵坐标采用均匀分度，坐标值 取 G ( jw ) 幅值的20倍对数，坐标值为
1
2
Aw
2
上式取拉氏变换并整理得
e
- t /T
Ts + 1 s + w
+
A 1+ T w
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w )
x0 (t ) =
AT w 1+ T w
2 2
e
- t /T
+
A 1+ T w
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w )
上式即为由正弦输入引起的响应。其中，右边 第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。 当时间 t→∞，瞬态分量趋近于零，则系统的稳态响应为
(4-1)
相频特性(): 稳态输出信号的相角与输入信号相 角之差: 频率特性G(j) : G(j)的幅值和相位均随输入 正弦信号角频率的变化而变化。 在系统闭环传递函数G(s)中，令s= j，即可得 到系统的频率特性。
例如图4-3所示，简单的RC电路。
RC电路的传递函数为
G (s) = 1 Ts + 1
由此可见，比例环 节的对数幅频图为幅 值等于20LgK(dB)的一 条水平直线。对数相 频图的相角为零，与 频率无关。
L( ) / dB
20 lg K
0 0.1 90 0 -90
( ) /()
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
瑞利法从单自由度振动系统固有频率计算的能量方法出 发，对于多自由度振动系统，在作无阻尼自由振动时，
Tmax Umax 响应为同步振动。系统的动能可表示为：
T 1 X&T MX& 2
系统的势能
U 1 X T KX 2
设 X {ui}sin nit
带入得最大动能
Tmax
2 ni 2
2k 2m k
=0
k k 22m
即： (2k 2m)(k 22m) k 2=0
可得固有频率
12
=0.2192
k m
22
=2.2808
k m
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-2计算固有频率的近似法 一、瑞利法（Rayleigh法）
{ui }T
M {ui}
最大势能
U max
1 2
{ui
}T
K{ui }
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-2计算固有频率的近似法 一、瑞利法（Rayleigh法）
带入公式 Tmax Umax 得：
2 ni
{ui}T K{ui} {ui}T M{ui}
4-2-7
利用4-2-7精确计算多自由度振动系统的固有频率，前
K{u2} M {u2}
=
{1
1} k
1}
m 0
k
1
0 1 2m 1
5k 3m
1.667
k m
与精确解相比，一阶固有频率的相对计算误差 1.35%
二阶固有频率的相对计算误差 -26.92%
第四章系统的频率特性分析
第四章系统的频率特性分析第四章系统的频率特性分析时间响应分析：主要用于分析线性系统的过渡过程，以时间t为独立变量，通过阶跃或脉冲输入作用下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(s)频率特性分析：以频率ω为独立变量，通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(jω)频域分析的基本思想：把系统输入看成由许多不同频率的正弦信号组成，输出就是系统对不同频率信号响应的总和。
4.1频率特性概述1.频率响应与频率特性（1）频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。
（frequencyresponse）对稳定的线性定常系统输入一谐波信号xi(t)=Xisin?t稳态输出（频率响应）:xo(t)=Xo(?)sin[ωt+?(ω)]【例】设系统的传递函数为输入谐波信号xi(t)=Xisin?t 则稳态输出（频率响应）与输入信号的幅值成正比与输入同频率，相位不同进行laplace逆变换，整理得同频率?幅值比A(?)相位差?(?)ω的非线性函数(揭示了系统的频率响应特性)输入:xi(t)=Xisinωt稳态输出（频率响应）:xo(t)=XiA(?)sin[ωt+?(ω)]幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差?(?)[s]A(?)?(?)（2）频率特性：对系统频率响应特性的描述(frequencycharacteristic)频率特性定义为ω的复变函数，幅值为A(?)，相位为?(?)。
输入谐波函数xi(t)=Xisin?t，其拉式变换为2.频率特性与传递函数的关系设系统的微分方程为:则系统的传递函数为:则由数学推导可得出系统的稳态响应为根据频率特性定义，幅频特性和相频特性分别为故G(j?)=?G(j?)?ej?G(j?)就是系统的频率特性如例1，系统的传递函数为所以3.频率特性的求法(1)频率响应→频率特性稳态输出（频率响应）故系统的频率特性为或表示为(2)传递函数→频率特性将传递函数G(s)中的s换成jω，得到频率特性G(jω)。
第四章 系统的频率特性分析
61
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)
62
4.3 频率特性的特征量
如图4.31所示，在频域分析时要用到的一些有关频率的特征量 或频域性能指标有 A(0)、wm、wr（Mr）、wb。
1．零频幅值 A(0 ) 零频幅值A(0 )表示当频率ω 接近于零时，闭环系统稳态输出 的幅值与输入幅值之比。
解：根据回路电压定律有
系统的传递函数为：
系统的频率特性为 ：
系统的幅频特性为：
17
4.1 频率特性概述
系统的相频特性为：
根据系统频率特性的定义有 ，系统稳态输出为：
18
4.1 频率特性概述
例4.4 系统结构图如图所示。当系统的输入 时，测得 系统的输出 ，试确定该系统的参数nω,ξ。 解：系统的闭环传递函数为:
因为，如果不知道系统的传递函数或微分方程等数学模型就无法
用上面两种方法求取频率特性。在这样的情况下，只有通过实验 求得频率特性后才能求出传递函数。这正是频率特性的一个极为 重要的作用。
12
4.1 频率特性概述
三、 根据定义来求，此方法麻烦。
13
4.1 频率特性概述
四、
14
4.1 频率特性概述
五、
27
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
所以，微分环节频率特性的nyquist图是：
28
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
29
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
30
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
31
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
第四章 频域分析(第三节)1
G (s) =
jt m w )
? ( j w ) (1 + jT1 w )(1 + jT 2 w ) 鬃 (1 + jT n - v w )
(n
m)
其分母阶次为n-m，分子阶次为m，v=0，1，2…， 乃奎斯特图具有以下特点： (1) 当ω=0时，乃奎斯特图的起点取决于系统的型次：
0型系统(v=0) 起始于正实轴上某一有限点；
由系统的频率特性
G ( jw ) = = K j w (1 + jT w ) - KT 1+ T w
2 2
= - K
K j w (1 - jT w )
( j w ) (1 + jT w )(1 - jT w )
w (1 + T w
2 2
2
+ j
)
- KT
则系统的实频特性为
U (w ) = R e 轾 ( jw ) = G 2 2 臌 1+ T w
ω=0
Im
K (T1T2 ) T1 T2
3 2
[G ( j )]
O ω=∞
Re
例 4-6 已 知 系 统 的 开 环 传 递 函 数 G (s) =
K (1 + T1 s ) s (1 + T 2 s )
(T1＞ T 2 ) , 试 绘 制 其 N y q u i s t 图 。
解 系统是由一个比例环节﹑一个积分环节﹑ 一个一阶微分环节和一个惯性环节串联组成， 其频率特性为 K (1 + jT1 w ) G ( jw ) = ( j w )(1 + jT 2 w ) = K (T1 - T 2 )
(1 + T 2 w
第四章 频率特性分析1
− arctan T ω
结论：系统的频率响应只是时间响应的一个特例，提 供了系统本身特性的重要信息，且随着输入谐波幅值、 频率的不同，系统稳态响应的幅值和相位也不相同。
11
⑵ 频率特性 频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时， 其稳态输出随频率而变化(ω由0变到∞)的特性。 设系统的传递函数中比例系数K为1，则 G ( s) = 输入信号为 xi (t ) = X i sin ωt 系统的稳态响应为： xo (t ) =
R e 2 (ω ) + Im (ω ) = K 1 + T 2ω
2
A (ω ) = G ( jω ) =
2
ϕ (ω ) = ∠ G ( jω ) = tan − 1 Im (ω ) = − tan − 1 (T ω ) R e(ω )
可见，两种方法求解结果一致。
24
¾ 几点说明
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面 虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分 方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频 率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全 部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性 也全寓于其中。
线性定常系统对谐波输入的响应为：
xo (t ) = A(ω ) sin[ωt + ϕ (ω )]
系统方框图及其稳态响应的输入输出波形如图4.1.1所示：
图4.1.1系统及其稳态响应的输入输出波形
9
例1
设系统的传递函数为G ( s) =
K Ts + 1
输入信号为 xi (t ) = X i sin ωt 得
xo (t ) = XiK 1 + T 2ω 2 sin(ωt − arctan Tω )
第四章 正弦波信号频率估计
第四章 正弦波信号频率估计4.1 引言对被噪声干扰的正弦波信号进行频率估计是一个十分重要的课题，它在通讯、雷达、声纳等领域有着突出的应用价值，尤其在电子侦察脉内信号处理中扮演了极其重要的角色。
Rife[1]给出了在高斯白噪声中对正弦波信号频率进行最大似然估计（MLE ）算法，估计误差的方差达到了克拉美—罗限，因此是最优估计。
但是由于MLE 算法计算量大，难以实时进行处理。
在一些对频率估计精度要求不高的场合，往往只是采用DFT 对频率进行粗估计[3]。
对于短时宽、强干扰正弦波信号进行快速、精确的频率估计，一直受到了信号处理界的重视。
Tretter[5]提出了线性预测频率估计算法，Kay[4]提出了相位平均算法，以及许多特征分解算法。
本文以FFT 算法为基础，对正弦波的DFT 系数做了深入的研究，分别利用了两根谱线和最大谱线的相位信息，得到了两种估计方法，并分析了它们的利弊，最后综合它们得到了一种快速、精确的频率估计算法。
此算法只需进行两次FFT ，因而计算量比最大似然估计小得多，然而估计的误差却比DFT 小。
计算机模拟的结果将显示它的优良性能。
4.2 正弦波的最大似然估计在这一节中，我们将参照参考文献[2]，来讨论正弦波最大似然估计的一般性特征。
设正弦波()()s t A f t =+cos 20πθ，()0≤≤t T （4—1）其中A f ,,0θ分别为振幅、频率和初相，均为未知的参数。
仿真的输入信号将是两个样本向量：[]X =-X X X N 011,,, ，[]Y =-Y Y Y N 011,,,其中()()X s t w t n n n =+，()()Y s t w t n n n =+∨∨这里的()s t n ∨为()s t n 的希尔伯特变换()()s t A f t ∨=+sin 20πθ （4—2）()w t n ∨为()w t n 的希尔伯特变换，()w t n 为零均值、方差为σ2的高斯白噪声。
第四章 频率响应法
( s + z1 ) k1 ( s + z 2 ) k 2 L 设F(s)为: F ( s ) = ( s + p ) m1 ( s + p ) m 2 L x ( s ) 1 2
G0 ( s ) =
K1 s (T1s − 1)
分析该系统的开环频率特性奈氏曲线的低频段和高频段。 系统的频率特性函数为
G 0 ( jω ) =
K1 j ω ( jT1ω − 1)
频率特性函数写成指数形式
G0 ( jω ) =
幅频特性为
K1
ω T1 ω 2 + 1
2
e
j ( −90o −180o + arctan T1ω )
1 频率特性函数: G( jw) = jwT + 1
L(ω ) = −20 lg 1 + (ωT ) 2
ϕ(ω)=-arctanωt
(3) 一阶微分环节 频率特性函数: G(jw)=jwT+1
L(ω) dB 1/T 0
20 ω
L(ω ) = 20 lg 1 + (ωT ) 2
ϕ(ω)=arctanωt
ϕ(ω)=90
(6) 振荡环节 频率特性函数:
ϕ(ω) 90
º
1 G ( jω ) = 2 T ( jω ) 2 + 2 jζωT + 1 L(ω ) = −20 lg (1 − ω T ) + (2ζωT )
2 2 2
0 L(ω) dB 1/T
2
ω
0 -40 º
ω
2ζωT ϕ (ω ) = − arctan 1 − ω 2T 2
(4)积分环节
ϕ(ω) 90 45 0
控制工程基础第四章频率特性分析
ξ
=0.1
ξ
=0.1
-90
-180 10 -1 10 0 10 1
4.1.3
频率特性的物理意义
1．频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换。 即 G ( jω ) = F [ w(t )] 。 2．频率特性分析通过分析不同的谐波输入时的稳态响应，揭示 系统的动态特性。 3．频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言，应用频率特性 的概念可以非常容易求系统在谐波输入 作用下系统的稳态响应。另外，系统频 率特性在研究系统的结构与参数对系统 性能的影响时，比较容易。 4．频率特性分析在实验建模和复杂系统分 析方面的应用要比时域分析法更方便。
A(ω )e jϕ (ω )
4.1.2 频率特性的求法
1.用拉氏逆变换求取 用拉氏逆变换求取
xi (t ) = X i sin ω t
X i ( s ) = L[ xi (t )] = L[ X i sin ω t ] =
X o (s) = G (s) X iω s2 + ω 2 X iω −1 xo (t ) = L [G ( s ) 2 ] 2 s +ω
2.Bode图 2.Bode图：以ω的常用对数值为横坐标，分别以 20 lg A(ω ) 和 Bode 对数幅频特性图和对数相频特性 对数幅频特性图 ϕ (ω ) 为纵坐标画出的曲线，称为对数幅频特性图 对数相频特性 对数坐标图，又称为Bode图。 图，统称为频率特性的对数坐标图 对数坐标图
dB
A( ω ) =20 lg G( jω )
xo (t ) = X o (ω ) sin (ω t + ϕ (ω ))
第四章：时间和频率测量技术
(一)时间、频率和周期的基本概念
时间是国际单位制中7个基本物理量之一。它的基本 单位是秒。“时间”有两个含义，一是指“时刻”， 指某事件发生的瞬间。二是指“间隔”，即两个时刻 之间的间隔，表示该事件持续了多久。
频率定义:为相同的现象在单位时间内重复出现的次 数。
f 1/ T 周期:则是指出现相同现象的最小时间间隔。
4．2．1 电子计数器主要电路技术
(一)电路组成及各部分作用: 电子计数器由输入电路、计数显示电路、标准 时间产生电路、逻辑控制电路构成。 1、输入电路：又称为输入通道。其作用是接 受被测信号，并对它进行放大和整形然后送入 主门（闸门）。一般设置2个或3个输入通道， 记作A、B、C。A通道用于测频、自校；B通 道用于测周；B、C通道合起来测时间间隔；A、 B通道合起来测频率比。
秒是 C s 原子基态的两个超精细结构能级 [ F 4, mF 0 ]和[ F 3, mF 0 ]之间跃迁频 率相应的射线束持续9192631770个周期的时间”。 以此为标准定义出的时间标准称为原子时秒。
133
3、协调世界时（UTC）秒： 协调世界时“秒”是原子时和世界时折 中的产物，即用闰秒的方法来对天文时进 行修正。这样，国际上则可采用协调世界 时来发送时间标准，既摆脱了天文定义， 又使准确度提高4—5个数量级。现在，各 国标准时号发播台所发送的就是世界协调 时，我国的中国计量科学院、陕西天文台、 上海天文台都建立了地方原子时，参加了 国际原子时（ATI），与全世界200多台原 子钟连网进行加权修正，作为我国时间标 准由中央人民广播电台发布。
现在已明确:时间标准和频率标准具有同一 性，可以用时间标准导出频率标准，也可 由频率标准导出时间标准，故通常统称为 时频标准。
第四章 频率分析法2
2.积分环节
1 1 G ( j ) j j
L( ) 20 lg A( ) 20 lg 1
L(w)/dB
20
-20dB/dec
20 lg
0.1
1
w
φ (w)°
( ) arctg
V ( ) 90 U ( )
w
-90°
3．微分环节
G( j ) j
w
-90°
-180°
7.二阶微分
G( j ) T 2 ( j ) 2 2Tj 1
L(w)/dB
L( ) 20 lg A( ) 20 lg [1 (T ) ] ( 2T )
2 2 2
40dB/dec 0
1/T
φ (w)°
w
( ) arctg
V ( ) 2 T arctg U ( ) 1 (T ) 2
L(w)/dB 20 [-20] 10 2 0
0.4 1 20dB/dec 10 40 100
[0]
[-20]
1
w
L1(w)=20lg3=9.5dB 各环节的转折频率 j0.5w+1 w1=1/T=2 1/(j2.5w+1) w2=1/T=0.4 1/(j0.025w+1) w3=1/T=40
-20
45°
1/T w
6．振荡环节
1 1 G ( s) 2 2 T ( j ) 2T ( j ) 1 1 (T ) 2 j 2T 1 (T ) 2 j 2T [1 (T ) 2 ]2 (2T ) 2
L( ) 20 lg A( ) 20 lg
例：已知系统开环传函为
试绘制其开环伯德图 解： 比例
频域分析法
1
1
U0 (s) Ts 1Ui (s) Ts 1
Ui s2 2
对上式取拉氏反变换，得输出时域解为
u0
(t
)
1
UiT T 2
2
t
eT
Ui sin(t arctanT) 1 T 22
2021年4月15日3时14分
当t→∞时，第一项趋于0，这时电路的稳态输出为
u0 (t)
Ui
1 T 22
sin(t
arctan
T2
T1 2 1 T2 2 1
A
K
T1 2 1 T2 2 12arctan T1
arctan T2
2021年4月15日3时14分
4.2 频率特性的几种图示方法
序号 1
名称 幅相频率特性曲线
图形常用名 奈奎斯特图
坐标系 极坐标
2 对数幅值频率特性曲线 对数相角频率特性曲线
伯德图
4.1 频率特性 1、频率特性的定义
对于稳定的线性定常系统，其传递函数为G(s)，若输 入量为一正弦信号，则其输出响应的稳态分量也是同 频率的正弦信号，但幅值、相位与输入信号的不同。 保持输入信号的幅值不变，逐次改变输入信号的频率， 则可测得一系列稳态输出的幅值和相位。 （输出信 号稳态时的幅值与相位按照系统传递函数的不同随着 输入正弦信号频率的变化而有规律的变化）。
j p
例：试求
Gs
K
s T1s 1 T2s 1
的幅频特性和相频特性。
G
j
K
j T1 j 1T2 j 1
G j K 1 1 1
j T1 j 1 T2 j 1
K
1
ej
2
1
e jarctanT1
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r n 1 2 2
Ar 1 2 1 2
A( n )
s
2
2 2 n s n
0
1 2
( n ) 90o
1
Re[G(jω)]
A
B
1.典型环节的Nyquist图
(6)振荡环节
当ω从0时，G(j)的幅值由10，其相位由0o-180o。 其Nyquist图始于点(1, j0)，而终于点(0, j0)。 曲线与虚轴的交点的频率就是无阻尼固有频率n，此时的幅
值为 1/(2ξ)
ξ<0.707 时，G(j)在频率为r 处出现峰值(谐振峰值， r －谐振频率)
由 G( j )
0
r
有
r n 1 2
2
G ( j r )
1 2 1 2 2
r n 1 2
2
G ( j r )
0 0
G( j 0) 90
2)确定幅相曲线的终点(当ω＝∞时)：
G( j) 0
G( j) 90 (n m)
3)确定幅相曲线与坐标轴的交点：
4)Ⅰ型系统的奈氏曲线在低频率段的渐近 线是平行于虚轴的直线,其坐标为：
v x lim Re[ G ( j )]
1.典型环节的Nyquist图
(5)一阶微分环节
传递函数：G(s)=1+Ts
频率特性：G(j)=1+jT 幅频：
G ( j ) 1 T 2 2
相频：G(j)=arctgT 实频：U()=1 虚频：V()= T
始于点(1, j0)，平行于虚轴
1.典型环节的Nyquist图
Xo( ) A( ) Xi
频率特性
相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差 () [s]
记为:
G(j)=A()· ()
()
G(j)
或 G(j)= A()·j() e
频率特性G(jω)是ω的复变函数，其幅值为A()，相位为()。
2.频率特性的求法
(1)频率响应→频率特性
第四章 频率特性分析
时域分析：以时间t为独立变量，通过阶跃或脉冲输 入下系统的瞬态时间响应来研究系统
的性能；依据的数学模型为G(s)。
频域分析：以频率ω为独立变量，通过系统在不同
频率的谐波（正弦）输入作用下的稳
态响应来jω)。
一、频率特性概述
1. 频率响应与频率特性
1 解: X ( s ) f f(tt )G ( s100t k 0.1 ( ) sin )t sin c F (s) s 1 s 1 k lim x(tt) X oosin(t ) ) lim x( ) X sin(100t tt 0.1 G( X o) jX 0.1 0.1 o A 1 j( ) 1 A()100 0.001 1 2 2 100 1 1 ( ) 1 arctg1 45 ( ) 100 arctg100 89.4
( ) arctgT
①
②
输入: xi(t)=Xisinωt
稳态输出（频率响应）: xo(t)= Xo () sin[ωt+ (ω)] 同频率 幅值比 A() 相位差 ()
ω的非线性函数
（2）频率特性：对系统频率响应特性的描述
幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比， 即
1 G ( j ) 1 2 j 2
幅频： G( j)
1 (1 2 ) 2 4 22
（令λ= /n）
相频： G ( j ) arctg 22 1 虚频： V ( )
2 (1 2 ) 2 4 2 2
实频：
1 2 U ( ) (1 2 ) 2 4 22
1 2 1 2 2
1.典型环节的Nyquist图
(6)振荡环节
阻尼比ξ的影响
ξ≥0.707，
无谐振
ξ =0.707， A(ω)在初始点时最大
ξ ≤ 0.707，幅频A(ω)
出现峰值,而且阻尼比 越小,谐振频率和谐振 峰值越高
1.典型环节的Nyquist图
(7)延时环节 传递函数：G(s)=es
G ( j ) A( ) ( )
(2)传递函数→频率特性
k G( j ) G( s) |s j (3)实验方法 jT 1
G( j ) A( )
k 1 2T 2
G( j) () arctgT
例: 如图所示机械系统，已知 k=10N/m, c=10N s/m 分别求 f (t ) sin t 和 f (t ) sin 100t 时其位移 x (t ) 的频率响应
实频特性
虚频特性
(2)图示方法 Nyquist 图（极坐标图，幅相频率特性图） Bode 图（对数坐标图，对数频率特性图）
二、频率特性的极坐标图(Nyquist图)
G(j)：的复变函数 给定，G(j)是复平面上的一矢量
Im[G(jω)]
频率特性的极坐标 图（Nyquist图）:
ω=∞
ω=0 Re[G(jω)]
（1）频率响应：系统对谐波输入的稳态响应
例: 如图所示机械系统，输入正弦力 求其输出位移 的时间响应 x (t )
f (t ) F sin t ，
解: cx (t ) kx(t ) f (t )
X ( s) G( s) F ( s)
(x(t ) X1 ( s ) (s)) ( s ) cs ) k L ( X F
1 / FK k X (s) FKT 1 et T x(t ) s) G(2s) 2 cs/ k Ts 1 F( 1 T 2
T=c/k：时 间常数
1 T
2
sin(t arctgT)
FKT FK t / T x(t ) e sin(t arctgT) 2 2 2 2 1 T 1 T
“复现能力”。
频率特性反映系统本身的特点，系统元件的参数 给定以后，频率特性就完全确定，因此系统具有 什么样的频率特性取决于系统结构本身，与外界
频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定， 这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要
因素无关。 的实际意义。
由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分 频率特性是频域中描述系统动态特性的数学模型 析，因而具有形象直观和计算量少的特点。
K ( j 1 1)( j 2 1) ( j m 1) G( j ) ( j ) ( jT1 1)( jT2 1) ( jTn 1)
(m n)
2)确定幅相曲线的起点(当ω＝０时)：
K G ( j 0) lim 0 ( j )
k G( j 0)
(2)积分环节
传递函数：G(s)=1/s
频率特性：G(j)=1/j 幅频：G(j)＝1/ 相频：G(j)=－90o 实频：U()=0 虚频：V()= －1/ 虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点
1.典型环节的Nyquist图
(3)微分环节
传递函数：G(s)=s
频率特性：G(j)=j 幅频：G(j)＝ 相频：G(j)=90o 实频：U()=0 虚频：V()= 虚轴的上半轴，由原点指向无穷远点
频率特性：G(j)=ej=cos－jsin
幅频：G(j)＝ 1 相频：G(j)=－ 实频：U()=cos 虚频：V()= －sin Nyquist图：单位圆
2. Nyquist图的一般形状
1)将传递函数按典型环节分解,求出其频率特性
K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) G( s) s (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1) ( m n)
K 实频： U ( ) 1 T 2 2
当 ＝0
时，G(j)=K，G(j)=0o
当 =1/T 时，G(j)=-45o
当 ＝ 时，G(j)=0，G(j)=-90o
Im[G(jω)]
惯性环节G(jω)=k/(Ts+1)
0 ω=∞
k
Re[G(jω)] ω=0
当ω从0时，其Nyquist图为正实轴下的一个 半圆，圆心为(K/2, j0)，半径为K/2。
3.频率特性的表示法
(1)解析表示
幅频—相频
G( j )
相频特性
X o ( ) j ( ) e A( )e j ( ) G( j ) e jG ( j ) G( j ) G( j ) Xi
幅频特性 实频—虚频
G( j ) A( )e j ( ) A( )cos ( ) j sin ( ) ReG( j ) j ImG( j ) U ( ) jV ( )
1.典型环节的Nyquist图
(4)惯性环节
传递函数：
G( s) K Ts 1
K K KT j 频率特性： G( j ) 2 2 jT 1 1 T 1 T 2 2
幅频： G( j )
K 1T
2 2
相频： G(j)=－arctgT
KT 虚频： V ( ) 1 T 2 2
0
5)根据频率特性曲线的变化趋势以及G(j)所处 的象限，作出Nyquist曲线的大致图形。 (若 系统存在零点,幅相特性曲线会有凸凹)
例1 系统的传递函数
解 系统的频率特性
G( j )
G( s )
K s(Ts 1)
A() G( j)
0.1
lim x(t )
t
0.1 2
sin(t 45 )
1
2
( ) G ( j ) arctg
lim x(t ) 0.001sin(100t 89.4 )