莆田第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷及答案
福建省莆田市2020 高二 数学 上学期期末考试 理 新人教A版
莆田一中高二上学期期末数学理试题一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内．每题5分，共计50分．） 1．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是 （ ）A ．a 和b 至少有一个是偶数B ．a 和b 至多有一个是偶数C ．a 是偶数，b 不是偶数D ．a 和b 都是偶数2. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
若=，=，=1则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A. c b a +--2121B.c b a ++2121 C. ++-2121 D.+-21213.设P ：52)(23+++-=mx x x x f 在(－∞，＋∞)内单调递减，q ：43m <-， 则P 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．椭圆2211612x y +=的长轴为1A 2A ，短轴为1B 2B ，将椭圆沿y 轴折成一个二面角，使得1A 点在平面1B 2A 2B 上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（ ）.A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°5．已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且AF AK 2=，则AFK ∆的面积为( )A ．2B ．4C ．8D ． 16 6.已知函数2()=-f x x cos x ，则(0.6),(0),(-0.5)f f f 的大小关系是( ) A 、(0)<(0.6)<(-0.5)f f f B 、(0)<(-0.5)<(0.6)f f f C 、(0.6)<(-0.5)<(0)f f f D 、(-0.5)<(0)<(0.6)f f f7、将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论：C1①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 所成的角为60°； ④AB 与CD 所成的角为60°．其中错误．．的结论是------------（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④8．曲线ln(21)y x =-上的点到直线082=+-y x 的最短距离是（ ） A ．5 B ．25 C ． 35D ． 09.若命题“∀[]1x ∈，4时，240x x m --≠”是假命题，则m 的取值范围( ) A. [4,3]-- B. [4,0]- C. [4,)-+∞ D. ()-∞,-410.已知函数 f （x ）的定义域为R ，其导函数f ＇（x ）的图象如图所示，则对于任意122,,,(x x x R x x ≠∈)，下列结论正确的是( )①()0f x <恒成立；②1212()[()()]0x x f x f x --<； ③1212()[()()]0x x f x f x -->；④122x x f 骣+琪琪桫 > 12()()2f x f x +； ⑤122x x f 骣+琪琪桫< 12()()2f x f x +． A ．①③ B ．①③④ C ．②④ D ．②⑤二、填空题（请把答案填在答题卷中相应的横线上，每题4分，共计20分．） 11．已知函数2()()f x x x c =-在1x =处有极大值,则常数____.C =12.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是CD 、1CC的中点,则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是__________.13．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积为27π，且用料最省，则此圆柱的底面半径为____________.14．已知点(22,0)Q 及抛物线24x y =上的动点(,)P x y ，则||y PQ +的最小值为______.N MB 1A 1C 1D 1BDC A15. 已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16、（本小题满分13分）已知函数()()()32211,,3f x x ax a x b a b R =-+-+∈，其图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-= (1)求,a b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间，并求出()f x 在区间[－2,4]上的最大值．17、（本小题满分13分）已知命题p ：()3213f x x mx x =-+在),0(+∞上是增函数；命题:q 函数32()(6)1g x x mx m x =++++存在极大值和极小值。
2022年-有答案-福建省莆田市某校高二(上)_期末考试数学试卷
2022学年福建省莆田市某校高二（上） 期末考试数学试卷一、选择题1. 等差数列{a n }中，a 2=2，公差d =2，则S 10=( )A.200B.100C.90D.802. 下列命题正确的是( )A.若a >b ，则ac 2>bc 2B.若a >b ，c >d ，则ac >bdC.若ac 2>bc 2，则a >bD.若a >b ，c >d ，则a −c >b −d3. 下列命题中正确的是( )A.若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B.“x =5”是“x 2−4x −5=0”的充分不必要条件C.命题“若x <−1，则x 2−2x −3>0”的否命题为“若x <−1，则x 2−2x −3≤0”D.已知命题p:∃x ∈R ，x 2+x −1<0，则¬p:∀x ∈R ，x 2+x −1>04. 观察下面的圆锥曲线，其中离心率最小的是( ) A. B.C.D.5. 抛物线y =2x 2的焦点坐标为( )A.(0,18)B.(0,12)C.(18,0)D.(12,0)6. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =√2x ，则双曲线的离心率是( )A.√3B.√62C.3D.√27. 设平面α的法向量为(1,−2,λ)，平面β的法向量为(2,μ,4)，若α//β，则λ+μ=( )A.2B.4C.−2D.−48. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则直线BC 1与平面BB 1DD 1所成角的正弦值为( )A.√63B.√102C.√155D.√1059. 设F 1，F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左，右焦点，P 为椭圆上一点，M 是线段PF 1的中点，若OM =3（O 为坐标原点），则PF 1的值是( )A.6B.5C.4D.310. 如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱AD ，B 1C 1上的中点．若点P 为侧面正方形ADD 1A 1内（含边界）动点，且B 1P//平面BEF ，则点P 的轨迹长度为（ ）A.12B.1C.√52D.π2 二、多选题若a →=(−1,λ,−2)，b →=(2,−1,1)，a →与b →的夹角为120∘，则λ的值为( )A.17B.−17C.−1D.1已知抛物线y 2=4x 上一点P 到准线的距离为d 1，到直线l:4x −3y +11=0的距离为d 2，则d 1+d 2的取值可以为( )A.3B.4C.√5D.√10三、填空题已知命题“∀x ∈R ，x 2−4x +a >0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围是________.已知向量a →=(1,1,0)，b →=(−1,0,2),若ka →+b →与b →相互垂直，则k 的值是________.在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，BC 1→=xAB →+yAC →+zAA 1→，则x −y −z =________.已知点Q(2√2，0)及抛物线y =x 24上一动点P(x 0, y 0)，则y 0+|PQ|的最小值为________．四、解答题(1)求过点P(1,√6),Q(−√2,√3)的椭圆的标准方程；(2)已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1(−2,0),F 2(2,0)，点P(3,√7)在双曲线C 上，求双曲线C 的方程．已知F 1(−1,0) F 2(1,0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=4，动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求点P 的轨迹方程；(2)直线l 与曲线Γ交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (1,1)，求直线l 的方程．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，离心率为12，两焦点分别为F 1，F 2，过左焦点F 1的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点， △MF 2N 的周长为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为12，求△MF 2N 的面积．如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，侧棱与底面垂直，底面是正方形，AA 1=2AB ，O 1是底面 A 1B 1C 1D 1 的中心．(1)求证：AO 1// 平面 BDC 1;(2)求直线C 1O 1与平面BDC 1所成角的正弦值．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD= DE=2，AB=1．(1)请在线段CE上找到一点F，使得直线BF // 平面ACD，并证明；(2)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.在边长是2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长；(2)证明：EF // 平面AA1D1D；(3)证明：EF⊥平面A1CD.参考答案与试题解析2022学年福建省莆田市某校高二（上）期末考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】由等差数列的通项公式，可得首项，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：等差数列{a n}中，a2=2，d=2，a1+d=a2，解得a1=0，×10×9d=0+45×2=90．则S10=10a1+12故选C.2.【答案】C【考点】不等式的基本性质【解析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】解：对于A，当c=0时，ac2=bc2，故A错误；对于B，取a=2，b=−1，c=−2，d=−3，则ac<bd，故B错误；对于C，若ac2>bc2，可知c2>0，则a>b，故C正确；对于D，取a=−1，b=−2，c=3，d=1，则a−c<b−d，故D错误．故选C.3.【答案】B【考点】全称命题与特称命题逻辑联结词“或”“且”“非”必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的真假判断与应用命题的否定【解析】A，利用复合命题真值表可判断A的正误；B，利用充分必要条件的概念可判断B的正误；C，搞清楚命题的否定与否命题的概念可判断C的正误；D，明确特称命题的否定既要在量词上否定，又要在结论处否定，可判断D的正误．【解答】解：A，若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，有可能一真一假，也可能两个都真，无法推出p∧q为真命题，故选项A错误；B，由x=5可以得到x2−4x−5=0，但由x2−4x−5=0不一定能得到x=5，也可以是x=−1，故选项B正确；C，命题“若x<−1，则x2−2x−3>0”的否命题为“若x≥−1，则x2−2x−3≤0”，故选项C错误；D，命题p:∃x∈R，x2+x−1<0，则¬p:∀x∈R，x2+x−1≥0，故选项D错误．故选B.4.【答案】B【考点】圆锥曲线的共同特征椭圆的离心率【解析】因为抛物线的离心率为1，双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率小于1，所以排除选项C，D．椭圆的离心率越大，椭圆越扁，得到选项．【解答】解：因为抛物线的离心率为1，双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率小于1，所以排除选项C，D．又因为椭圆的离心率越大，椭圆越扁，所以选项A中圆锥曲线的离心率大于选项B中圆锥曲线的离心率，所以离心率最小的是选项B．故选B．5.【答案】A【考点】抛物线的标准方程【解析】将抛物线的方程化为普通方程，再求焦点坐标即可.【解答】y，解：由题意，抛物线y=2x2化为标准方程为x2=12，则抛物线的焦点在y轴上，且p=14).故抛物线的焦点坐标为(0,18故选A.6.【答案】A【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．【解答】解：双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，一条渐近线的方程为y=√2x，可得b=√2a，即有c=√a2+b2=√3a，可得e=ca=√3．故选A．7.【答案】C【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系平行向量的性质【解析】由两平面平行，得法向量平行，由此求得λ，μ后可得结论．【解答】解：∵α//β，∴(1,−2,λ)//(2,μ,4)，∴12=−2μ=λ4，解得λ=2,μ=−4，∴λ+μ=−2 .故选C．8.【答案】D【考点】用空间向量求直线与平面的夹角【解析】要求线面角，先寻找斜线在平面上的射影，因此，要寻找平面的垂线，利用已知条件可得．【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C 1(0,2,1)，BC 1→=(−2,0,1)，AC →=(−2,2,0).易知AC →为平面BB 1DD 1的一个法向量，∴ sin <BC 1→,AC →>=|cos <BC 1→,AC →>| =4√5×√8=√105， ∴ 直线BC 1和平面BB 1DD 1所成角的正弦值为√105. 故选D .9.【答案】C【考点】抛物线的性质抛物线的标准方程【解析】由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝10，再由中位线定理，可得|PF 2|＝6，即可得到|PF 1|．【解答】解：∵ F 1，F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的的左、右焦点，P 为椭圆上一点，∴ |PF 1|+|PF 2|=2a =10，∵ M 是PF 1的中点，O 是F 1F 2中点，∴ |OM|=12|PF 2|=3， ∴ |PF 2|=6，∴ |PF 1|=10−6=4．故选C .10.【答案】C【考点】平面与平面平行的判定点、线、面间的距离计算【解析】无【解答】解：B 1P//平面BEF ，如图，取A 1D 1中点Q ，连接B 1Q ，B 1A ，AQ ，根据正方体的性质得，B 1Q//BE ，B 1A//FE ，且B 1Q ∩B 1A =B 1，FE ∩BE =E ， ∴ 平面B 1AQ//平面 BEF ，∴ 点P 在AQ 上运动，点P 的轨迹为线段AQ ，∵ A 1A =1，A 1Q =12，由勾股定理得QA =√1+14=√52． 故选C ．二、多选题【答案】A,C【考点】空间向量的夹角与距离求解公式【解析】利用向量夹角公式直接求解．【解答】解：∵ a →=(−1,λ,−2)，b →=(2,−1,1)，a →与b →的夹角为120∘， ∴ cos <a →, b →>=cos120∘=a →⋅b →|a →|⋅|b →| =√5+λ2⋅√6，化简得：λ2−16λ−17=0，解得λ=−1或λ=17.故选AC .【答案】A,B,D【考点】点到直线的距离公式抛物线的性质【解析】画出图象，利用抛物线的定义与性质，转化求解即可．【解答】解：抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离，所以过焦点F(1,0)作直线4x−3y+11=0的垂线，则F到直线的距离为d1+d2的最小值，如图所示：=3，所以(d1+d2)min=|4−0+11|√42+32选项ABD均大于或等于3．故选ABD．三、填空题【答案】(4,+∞)【考点】命题的真假判断与应用全称命题与特称命题【解析】由题意得到命题“∀x∈R，x2−4x+a>0”是真命题，根据二次函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2−4x+a>0”的否定是假命题，∴命题“∀x∈R，x2−4x+a>0”是真命题，∴Δ=16−4a<0，解得：a>4.故答案为：(4,+∞).【答案】5【考点】空间向量运算的坐标表示空间向量的数量积运算数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】解：ka →+b →=(k −1,k,2)，b →=(−1,0,2)，故(ka →+b →)⋅b →=5−k =0， 所以k =5. 故答案为：5. 【答案】 −3【考点】空间向量的加减法空间向量的基本定理及其意义 【解析】由题意得到BC 1→=BB 1→+BC →=AA 1→+AC →−AB →，进而求出x ，y ，z ，求解即可. 【解答】解：在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中， BC 1→=BB 1→+BC →=AA 1→+AC →−AB →. 又∵ BC 1→=xAB →+yAC →+zAA 1→， ∴ x =−1，y =1，z =1， ∴ x −y −z =−1−1−1=−3. 故答案为：−3. 【答案】 2【考点】 抛物线的性质 不等式性质的应用 【解析】设P 到准线的距离为d ，利用抛物线的定义得出：y 0+|PQ|=d −1+|PQ|=|PF|+|PQ|−1最后利用当且仅当F 、Q 、P 共线时取最小值，从而得出故y 0+|PQ|的最小值是2． 【解答】解：由抛物线的定义可知，焦点F(0, 1)，准线y =−1， 设点P 到准线的距离为d ， 则y 0+|PQ|=d −1+|PQ|=|PF|+|PQ|−1≥|FQ|−1=2，当且仅当F ，Q ，P 共线时取等号， 故y 0+|PQ|的最小值是2． 故答案为：2． 四、解答题 【答案】解：(1)设所求椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m >0，n >0，m ≠0）， 因为该椭圆过点P(1,√6)，Q(−√2,√3)， 所以{m +6n =1,2m +3n =1,解得m =13，n =19，因此所求椭圆的方程为x 23+y 29=1．(2)由已知c =2及点P(3,√7)在双曲线C 上得{a 2+b 2=4,32a 2−(√7)2b 2=1,解得a 2=2，b 2=2， 所以，双曲线C 的方程为x 22−y 22=1．【考点】椭圆的标准方程 双曲线的标准方程 【解析】 无 无 【解答】解：(1)设所求椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m >0，n >0，m ≠0）， 因为该椭圆过点P(1,√6)，Q(−√2,√3)， 所以{m +6n =1,2m +3n =1,解得m =13，n =19，因此所求椭圆的方程为x 23+y 29=1．(2)由已知c =2及点P(3,√7)在双曲线C 上得{a 2+b 2=4,32a2−(√7)2b 2=1,解得a 2=2，b 2=2， 所以，双曲线C 的方程为x 22−y 22=1．【答案】解：(1)由椭圆的定义可知点P 的轨迹是以F 1(−1,0)，F 2(1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆． ∴ a =2,c =1,b =√3, ∴ Γ的方程为x 24+y 23=1．(2)设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， ∵ A ，B 是Γ上的点，由{3x 12+4y 12=12，3x 22+4y 22=12，作差得， 3(x 1−x 2)(x 1+x 2)+4(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0， 又线段AB 的中点为M (1,1)， ∴ x 1+x 2=y 1+y 2=2，从而直线AB 斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=−34，直线l 的方程为y −1=−34(x −1)，即3x +4y −7=0． 【考点】 轨迹方程直线与椭圆结合的最值问题 【解析】 无 无 【解答】解：(1)由椭圆的定义可知点P 的轨迹是以F 1(−1,0)，F 2(1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆． ∴ a =2,c =1,b =√3, ∴ Γ的方程为x 24+y 23=1．(2)设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， ∵ A ，B 是Γ上的点，由{3x 12+4y 12=12，3x 22+4y 22=12，作差得， 3(x 1−x 2)(x 1+x 2)+4(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0， 又线段AB 的中点为M (1,1)， ∴ x 1+x 2=y 1+y 2=2，从而直线AB 斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=−34，直线l 的方程为y −1=−34(x −1)，即3x +4y −7=0． 【答案】解：(1)由题意可得e =ca =12，由椭圆的定义可得|MN|+|NF 2|+|MF 2|=4a =8， 解得a =2，c =1，所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)若直线l 的斜率为12，则直线l 的方程为y =12(x +1)， 设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，联立方程 {x 24+y 23=1,y =12(x +1), 消去x ，整理可得16y 2−12y −9=0，则y 1+y 2=34，y 1y 2=−916，所以S △MF 2N =12⋅2c|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=3√54． 【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】 无 无 【解答】解：(1)由题意可得e =c a=12，由椭圆的定义可得|MN|+|NF 2|+|MF 2|=4a =8， 解得a =2，c =1，所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)若直线l 的斜率为12，则直线l 的方程为y =12(x +1)， 设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，联立方程 {x 24+y 23=1,y =12(x +1), 消去x ，整理可得16y 2−12y −9=0，则y 1+y 2=34，y 1y 2=−916，所以S △MF 2N =12⋅2c|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=3√54． 【答案】(1)证明：连接AC,BD ，设交点为O ，连接AO 1,O 1C 1,OC 1,∵ O 1C 1//AC ，且O 1C 1=12AC ， ∴ O 1C 1//AO ，且O 1C 1=AO ,故四边形AOC 1O 1为平行四边形， 则AO 1//OC 1.又AO 1⊄平面BDC 1，OC 1⊂平面BDC 1， ∴ AO 1//平面BDC 1.(2)解：由题意可知OA,OB,OO 1两两互相垂直， 故分别以OA,OB,OO 1为x,y,z 轴建立直角坐标系， 如图：设AB =2，则AA 1=4,OO 1=4， 则B(0,√2,0),C 1(−√2,0,4),D(0,−√2,0), BC 1→=(−√2,−√2,4)，BD →=(0,−2√2,0), C 1O 1→=CO →=(√2,0,0)，设n →=(x,y,z )为平面 BDC 1 一个法向量， 则{−√2x −√2y +4z =0,−2√2y =0, 取z =1, n →=(2√2,0,1)， 所以cos <C 1O 1→,n →> =C 1O 1→⋅n →|C 1O 1→|⋅|n →|=√2×3=2√23， 所以直线 C 1O 1 与平面 BDC 1 所成角的正弦值为2√23.【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 直线与平面平行的判定 【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：连接AC,BD ，设交点为O ，连接AO 1,O 1C 1,OC 1,∵ O 1C 1//AC ，且O 1C 1=12AC ， ∴ O 1C 1//AO ，且O 1C 1=AO , 故四边形AOC 1O 1为平行四边形， 则AO 1//OC 1.又AO 1⊄平面BDC 1，OC 1⊂平面BDC 1， ∴ AO 1//平面BDC 1.(2)解：由题意可知OA,OB,OO 1两两互相垂直， 故分别以OA,OB,OO 1为x,y,z 轴建立直角坐标系， 如图：设AB =2，则AA 1=4,OO 1=4， 则B(0,√2,0),C 1(−√2,0,4),D(0,−√2,0), BC 1→=(−√2,−√2,4)，BD →=(0,−2√2,0), C 1O 1→=CO →=(√2,0,0)，设n →=(x,y,z )为平面 BDC 1 一个法向量， 则{−√2x −√2y +4z =0,−2√2y =0, 取z =1, n →=(2√2,0,1)， 所以cos <C 1O 1→,n →> =C 1O 1→⋅n→|C 1O 1→|⋅|n →|=√2×3=2√23， 所以直线 C 1O 1 与平面 BDC 1 所成角的正弦值为2√23.【答案】解：(1)F 应是线段CE 的中点.证明：以D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，则各点的坐标为D(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，E(0, 0, 2)，B(2, 0, 1)，C(1,√3，0)， 设F 是线段CE 的中点， 则点F 的坐标为F(12，√32，1)， ∴ BF →=(−32,√32,0)， 取平面ACD 的法向量DE →=(0,0,2)， 则BF →⋅DE →=0， ∴ BF // 平面ACD .(2)设平面BCE 的法向量为n →=(x,y,z)， 则n →⊥CB →，且n →⊥CE →，由CB →=(1,−√3,1)，CE →=(−1,−√3,2)， ∴ {x −√3y +z =0,−x −√3y +2z =0,不妨设y =√3，则{x =1,z =2,即n →=(1,√3,2)，∴ 所求角θ满足cosθ=n →⋅(0,0,1)|n →|=√22， ∴ θ=π4.【考点】用空间向量求平面间的夹角向量方法证明线、面的位置关系定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)F 应是线段CE 的中点.证明：以D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，则各点的坐标为D(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，E(0, 0, 2)，B(2, 0, 1)，C(1,√3，0)， 设F 是线段CE 的中点， 则点F 的坐标为F(12，√32，1)， ∴ BF →=(−32,√32,0)， 取平面ACD 的法向量DE →=(0,0,2)， 则BF →⋅DE →=0， ∴ BF // 平面ACD .(2)设平面BCE 的法向量为n →=(x,y,z)， 则n →⊥CB →，且n →⊥CE →，由CB →=(1,−√3,1)，CE →=(−1,−√3,2)， ∴ {x −√3y +z =0,−x −√3y +2z =0,不妨设y =√3，则{x =1,z =2,即n →=(1,√3,2)，∴ 所求角θ满足cosθ=n →⋅(0,0,1)|n →|=√22， ∴ θ=π4.【答案】(1)解：以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(2, 0, 2)，A(2, 0, 0)，B(2, 2, 0)，C(0, 2, 0)，D 1(0, 0, 2)，D(0, 0, 0). ∵ E ，F 分别为AB ，A 1C 的中点， ∴ E(2, 1, 0)，F(1, 1, 1)， ∴ EF →=(−1, 0, 1)， ∴ |EF →|=√1+0+1=√2.(2)证明：∵ AD 1→=(−2, 0, 2)=2EF →， ∴ EF // AD 1.又AD 1⊂平面AA 1D 1D ，EF ⊄平面AA 1D 1D ， ∴ EF // 平面AA 1D 1D .(3)证明：由(1)可知，CD →=(0, −2, 0)，A 1D →=(−2, 0, −2). ∵ CD →⋅EF →=0，EF →⋅A 1D →=0， ∴ EF ⊥CD ，EF ⊥A 1D . 又CD ∩A 1D =D ， ∴ EF ⊥平面A 1CD .【考点】空间向量运算的坐标表示数量积判断两个平面向量的垂直关系 向量的模直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 【解析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出向量EF →的坐标表示，代入长度公式求解；（2）求出AD 1→的坐标表示，关键坐标关系判断EF // AD 1，再利用线面平行的判定定理证明；（3）利用CD →⋅EF →=0，EF →⋅A 1D →=0，可证直线EF 垂直于CD 、A 1D ，再利用线面垂直的判定定理证明． 【解答】(1)解：以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(2, 0, 2)，A(2, 0, 0)，B(2, 2, 0)，C(0, 2, 0)，D 1(0, 0, 2)，D(0, 0, 0). ∵ E ，F 分别为AB ，A 1C 的中点， ∴ E(2, 1, 0)，F(1, 1, 1)， ∴ EF →=(−1, 0, 1)， ∴ |EF →|=√1+0+1=√2.(2)证明：∵ AD 1→=(−2, 0, 2)=2EF →， ∴ EF // AD 1.又AD 1⊂平面AA 1D 1D ，EF ⊄平面AA 1D 1D ， ∴ EF // 平面AA 1D 1D .(3)证明：由(1)可知，CD →=(0, −2, 0)，A 1D →=(−2, 0, −2). ∵ CD →⋅EF →=0，EF →⋅A 1D →=0， ∴ EF ⊥CD ，EF ⊥A 1D . 又CD ∩A 1D =D ， ∴ EF ⊥平面A 1CD .。
福建省莆田市荔城区莆田第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷
数学试卷满分 150分 考试时间 120分钟一、选择题(本大题共有12小题，每小题5分，共60分，其中第12题为多选题，少选得3分，选错不得分;其他11小题在给出的四个选项中，只有一项符合题意)1、复数242ii+-(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A.-2iB.2iC.8-103iD.103i -2、某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理这四门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ）A.8种B.12种C.16种D.20种3、某几何体的三视图如图所示，其俯视图与左视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（ ）A.10πB.12πC.16πD.8π4、已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ）A.214a B.2aC.212a D.23a 5、设43()23f x x x =-++，在[],ab 上，以下结论正确的是 ( )A. ()f x 的极值点一定是最值点B.()f x 的最值点一定是极值点C.()f x 在[],a b 上可能没有极值点D.()f x 在[],a b 上可能没有最值点6、已知曲线cos )xf x x=（在点(,0)M π处的切线与直线60ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ）A.-πB.2-πC.π2D.π7、函数2()ex x f x -=的图象是( )A. B. C. D.8、已知函数3()1f x x ax =--，则()f x 在（-1,1）上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A.[]03a ∈，B.0,5a ∈（）C.0,3a ∈（）D.1,3a ∈（）9、10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A.2263C AB.2666C AC.2266C AD.2265C A10、已知函数31()2+1x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若2(3)(21)2f a f a +-≥，则实数a 的取值范围是（ ）A.2-1,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B.1-1,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C.(]2--1+3⎡⎫∞⋃∞⎪⎢⎣⎭，，D.(]1--1+3⎡⎫∞⋃∞⎪⎢⎣⎭，， 11、已知点P 是曲线24y x =上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H ，点Q 是曲线x y e =上任意一点，则|PH|+|PQ|的最小值为（ ）3+1B.2+1312112、（多选题）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ）A.32+4y x x = B.sin()y x x =+- C.2log y x =D.22x x y -=-二、填空题(本大题共有4个小题，每题5分，共20分)13、复数z=5+20i 在复平面内对应的点的坐标是 .14、若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的余弦值是15、定义在[1,1]-的函数32()310f x x x =--的最大值为 .16、已知直线y kx =与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>相交于不同的两点A 、B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足3AF BF =，|OA|=b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤．)17、(本小题满分10分)已知函数x x x f ln 2+=)(（1）经过点（0,-2）作函数)(x f 图像的切线，求切线的方程；（2）设函数)(21=)(2x f x x g -，求)(x g 的极值。
福建省莆田高二上学期期末质检数学试题(解析版)
一、单选题1．经过点，且倾斜角为45°的直线方程是（ ） ()1,2A ． B ． C ． D ．3y x =-21y x -=-(3)y x =--(3)y x =-+【答案】B【分析】根据直线的点斜式方程进行求解.【详解】因为所求直线的倾斜角为45°，所以所求直线的斜率，所以直线方程为tan 451k =︒=．故A ，C ，D 错误.21y x -=-故选：B.2．过点且与直线垂直的直线方程为（ ） (1,2)P -210x y -+=A ． B ． 240x y ++=20x y +=C ． D ．230x y +-=250x y -+=【答案】B【分析】求出与直线垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程. 210x y -+=【详解】直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为210x y -+=12l k =l l '⊥l '2'=-l k l '，即，22(1)y x -=-+20x y +=故选：B ．3．点P 为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ） 22416x y +=1F 2F 13PF =2PF =A ．13 B ．1C ．7D ．5【答案】D【分析】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到，从而求出答案.1228PF PF a +==【详解】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：，221416x y +=1228PF PF a +==故 25PF =故选：D4．直线与圆的位置关系是（ ） 3480x y -+=22(1)(1)16x y -++=A ．相离 B ．相交C ．相切D ．不确定【答案】B【分析】直线与圆的位置关系的判断，第一步求出圆的圆心及半径，第二步求出圆心到直线的距离，距离大于半径相离，等于半径相切，小于半径相交.【详解】圆的圆心坐标为 半径为4，圆心到直线的距离22(1)(1)16x y -++=(1,1)-，所以相交. 34d =<故选：B.5．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ） A ．48种 B ．36种 C ．24种 D ．12种【答案】B【解析】利用分步计数原理，分3步即可求出 【详解】解：由题意可知，分三步完成： 第一步，从2种主食中任选一种有2种选法； 第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法； 第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有不同的选取方法， 23636⨯⨯=故选：B6．设双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的离()222210,0x y a b a b-=>>()3,0±43y x =±心率为（ ）A ．B ．C ．D 535443【答案】A【分析】根据题意求出，由渐近线方程求出，进而计算出，求出离心率. =3a 4b =5c =【详解】由题意得：， =3a 渐近线方程为，故，b y x a=±43b a =所以， 4b =故，5c ==∴离心率，53e =故选：A.7．开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往A ，B ，C 三所中学开展防疫知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A 中学，则不同的安排方式有（ ） A ．6种 B ．12种C ．15种D ．18种【答案】B【分析】由题意被安排到A 中学的防疫专家有2种情况，结合分步乘法原理及分类加法原理即可. 【详解】①若甲单独安排到A 中学，则剩下的3名防疫专家分成两组到两个中学，,B C 共有：种方式，2232C A 6=②若甲和另一名防疫专家被安排到A 中学，则有：种方式，13C 3=则剩下的2名防疫专家分到到两个中学，有：种方式，,B C 22A 2=由分步乘法原理有：种方式，1232C A 6=又由分类加法原理可得：若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A 中学，则不同的安排方式有：种方式， 6612+=故选：B.8．抛物线的焦点为F ，其准线与双曲线相交于A 、B 两点，若△ABF 为()220x py p =>22133y x -=等边三角形，则（ ） p =A ．3 B ．6C ．4D ．8【答案】B【分析】表达出B 点坐标，代入双曲线方程，即可求解【详解】由题意得：，，因为△ABF ， FD p =2p OD =p所以，2p B ⎫-⎪⎪⎭将代入方程得：. 2p B ⎫-⎪⎪⎭22133y x -=6p =故选：B二、多选题9．在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 1237C C B ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种1239C C C ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 1221337373C C C C C ++D ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 33107C C -【答案】ACD【分析】抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为不合格品1件、合格品2件，根据分步计数原理可知A 正确，B 错误；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分两种做法：（ⅰ）3件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分类计数法求解.（ⅱ）总的取法数减去抽取的三件都为合格品的取法即为所求.由此判断CD 正确 【详解】解：由题意得：对于A 、B 选项：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取1件有13C 种取法，7件合格品种抽取2件有种取法，故共有中取法，故A 正确；27C 1237C C 对于选项C ：抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件产品中有1件不合格、有2件合格，共有种取法；②抽取的3件产品中有2件不合格、有1件合格，1237C C 共有种取法；③抽取的3件产品都不合格，种取法.故抽出的3件产品中至少有1件是不合2137C C 33C 格品的抽法有种，故B 错误，C 正确；1221337373C C C C C ++对于选项D ：10件产品种抽取三件的取法有，抽出的3件产品中全部合格的取法有种，抽出310C 37C 的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故D 正确. 33107C C -故选：ACD10．已知直线，则（ ） 12:310,:20l ax y l x by -+=-+=A ．若，则12l l ⊥3ab=-B ．若，则12l l //3ab =C ．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则1l 16a =±D ．当时，不经过第一象限 0b <2l 【答案】BCD【分析】对于AB ，根据线线位置关系判断即可；对于C ，由题得即可解决；对于111123S a=⋅⋅-=D ，数形结合即可.【详解】由题知，直线 12:310,:20l ax y l x by -+=-+=对于A ，当时，，解得或，故A 错误； 12l l ⊥30a b +=3ab=-0a b ==对于B ，当时，，解得，故B 正确； 12l l //30ab -+=3ab =对于C ，在直线中， 1:310l ax y -+=当时，，当时，，0x =13y =0y =1x a =-所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C 正确； 1l 111123S a =⋅⋅-=16a =±对于D ，由题知当时，的图象为 0b <212:l y x b b=+故D 正确； 故选：BCD11．设椭圆C ：的焦点为、，M 在椭圆上，则（ ）221716x y +=1F 2F A ． B ．的最大值为7，最小值为1 128MF MF +=1MF C ．的最大值为16 D ．△面积的最大值为1012MF MF 12MF F 【答案】ABC【分析】由椭圆方程可得，根据椭圆的性质结合各选项的描述判断正误即可. 4,3a b c ===【详解】由椭圆方程知：， 4,3a b c ===∴，故A 正确.12||||28MF MF a +==，，故B 正确.1max 7MF a c =+=1min 1MF a c =-=，此时在椭圆左右顶点上，同时△面积也最大，为21212(||||)164MF MF MF MF +≤=M 12MF F ，故C 正确，D 错误. 故选：ABC12．下列说法正确的有（ ）A ．直线过定点210x my ++=1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．过点作圆的切线，则的方程为()2,0()2214x y +-=l l 240x y --=C ．圆上存在两个点到直线的距离为2()2214x y +-=20x y +-=D ．若圆与圆有唯一公切线，则221:230O x y y +--=222:6100O x y x y m +--+=25m =【答案】AC【分析】A 选项，直线化为点斜式，得到所过定点；B 选项，利用圆心到直线距离等于半径求解切线方程；C 选项，求出圆心到直线的距离，进而求出圆上的点到直线距离的最大值和最小值，进而得到答案；D 选项，结合两圆内切，得到圆心距等于半径之差，求出的值. m 【详解】直线变形为过定点，A 正确；210x my ++=122my x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭当切线斜率不存在时，是圆的切线，当切线斜率存在时，设为，2x =()2214x y +-=l ()2y k x =-圆心到切线距离，解得：，此时的方程为，故的方程为()0,112d 34k =l 3460x y --=l 或，B 错误；2x =3460x y --=圆心到直线的距离距离最大值为()0,120x y +-=2d 20x y +-=的距离为2，C 正确； 2220x y +-=圆的圆心为，半径为2，圆圆心为，半221:230O x y y +--=()0,1222:6100O x y x y m +--+=()3,5，所以5=，解得：，D 错误. 25-=15m =-故选：AC三、填空题13．抛物线的准线方程为______． 214x y =【答案】=1x -【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而利用抛物线的性质求得准线方程． 【详解】整理抛物线方程得， 24y x =∴，2p =∴准线方程为， =1x -故答案为：．=1x -14．某大学的两名教授带领四名学生外出实习，实习前在学院门口合影留念．若站成两排合影，两名教授站在前排，四名学生站在后排，则不同的排法种数为______（用数字作答）． 【答案】48【分析】根据排列数以及分步乘法计数原理即可求解.【详解】第一步：先排两名教授，不同的排法有（种）．22A 2=第二步：排四名学生，不同的排法有（种）．44A 24=故由分步乘法计数原理，可得不同的排法共有（种）． 22448⨯=故答案为：4815．在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，则实数xOy 2214y x m -=2y x =±m =______. 【答案】1【分析】求出双曲线的渐近线方程为，对照系数后列出方程，求出. y =1m =【详解】双曲线的渐近线方程为， 2214y x m-=y x =，解得：. 2=1m =故答案为：116．设椭圆C ：的左､右焦点分别为，，P 是C 上的点，，22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F 112PF F F ⊥，则C 的离心率为___________. 2145PF F ∠=##1-1-【分析】根据等腰直角三角形性质及勾股定理，得出、、，根据椭圆的定义以及离心1PF 2PF 12F F 率公式求解即可.【详解】在中，设，21Rt PF F A 122F F c =因为，所以，，1245PF F ︒∠=12PF c =2PF =所以 1222c PF P a F =++=故 . 122c e a ===.1四、解答题17．已知顶点 ABC A ()()()301311A B C --，、，、，(1)求边上中线所在的直线方程 BC (2)求边上高线所在的直线方程． BC 【答案】(1)； 330x y --=(2). 230x y +-=【分析】（1）求出线段的中点坐标，用两点式求出直线方程，化为一般方程；BC （2）求出直线的斜率，得到边上高线所在直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，化为一BC BC 般方程.【详解】（1）线段的中点坐标为，即， BC 1131,22-+-+⎛⎫⎪⎝⎭()0,1-所以边上中线所在的直线方程为：， BC 101030y x ++=--整理得：； 330x y --=（2）直线的斜率为， BC 13211+=+所以边上高线所在直线的斜率为，BC 12-所以边上高线所在直线的方程为， BC ()132y x =--整理得：230x y +-=18．已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于．2na x ⎛+ ⎝n N *∈329(1)求的值；n (2)若展开式中的一次项的系数为，求实数的值．x 56a【答案】(1)； 7n =(2). 8a =【分析】（1）由题设有，结合组合数公式整理成关于n 的一元二次方程求解即可.01229n n n C C C ++=（2）由（1）写出二项式展开式通项，进而判断含的项，结合其系数列方程求的值．x a 【详解】（1）由题设，，整理得，解得（舍）或；01229n n n C C C ++=2560n n +-=8n =-7n =（2）由（1）知：二项式展开式通项为，()51472722177k k kkkk k T C ax x aC x-+---+==当时为含的项，故，解得. 6k =x 756a =8a =19．已知双曲线的焦点坐标为，，实轴长为4，C ()1F )2F （1）求双曲线的标准方程；C （2）若双曲线上存在一点使得，求的面积．C P 12PF PF ⊥12PF F △【答案】（1）；（2）1．2214x y -=【分析】（1）由题可知的值即可求出双曲线的标准方程； ,c a C （2）由双曲线的定义及面积公式即可求出.【详解】（1）设双曲线方程为，22221(0,0)x y a b a b-=>>由条件知， c 24a =∴，2,1a b ==∴双曲线的方程为．C 2214x y -=（2）由双曲线的定义可知，． 124PF PF -=±∵，12PF PF ⊥∴，即22212420PF PF c +==21212()220PF PF PF PF ⨯-+=∴， 122PF PF ⋅=∴的面积． 12PF F △12112122S PF PF =⋅=⨯=20．已知抛物线上的点到焦点F 的距离为6． 2:2(0)C y px p =>(5,)M m (1)求抛物线C 的方程；(2)过点作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且点P 是线段的中点，求直线l 方程．(2,1)P AB【答案】(1). 2:4C y x =(2). :230l x y --=【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程. 562p+=（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k ，即可得直:(1)2l x k y =-+线l 方程．【详解】（1）由题设，抛物线准线方程为， 2p x =-∴抛物线定义知：，可得， 562p+=2p =∴.2:4C y x =（2）由题设，直线l 的斜率存在且不为0，设，联立抛物线方程， :(1)2l x k y =-+有，整理得，则，又P 是线段的中点， 24(1)2y k y =-+24420y ky k -+-=4A B y y k +=AB ∴，即，故. 42k =12k =:230l x y --=21．已知圆C ：，直线l ：. 228120x y y +-+=20ax y a ++=(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |=l 的方程.【答案】(1)；34a =-(2)或. 20x y -+=7140x y -+=【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公()0,4C 2r =式列方程求参数a 的值即可.（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a ，即可得直线方程. 【详解】（1）由圆：，可得， C 228120x y y +-+=()2244x y +-=其圆心为，半径，()0,4C 2r =若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.l C C l 2d r =43a =-34a =-（2）由（1）知：圆心到直线的距离d因为，即，解得：2222AB d r ⎛⎫+=⎪⎝⎭2222d +=d =所以，解得：或，d 2870a a ++=1a =-7a =-则直线为或.l 20x y -+=7140x y -+=22．设椭圆的左焦点坐标为，且其离心率为． 2222:1(0)x y C a b a b+=>>()1,0F -12(1)求椭圆的方程；C (2)若在轴上的截距为2的直线与椭圆分别交于，两点，为坐标原点，且直线，y l C A B O OA OB 的斜率之和等于12，求的面积．ABF △【答案】(1)； 22143x y +=【分析】（1）由题可列出关于的方程，再结合即可求解； ,a c 222b a c =-（2）由题意可设：，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用斜率公式结合韦达AB 2y kx =+AB 定理可求得的值，可得出直线的方程，然后利用弦长公式，点到直线的距离公式及三角形面k AB 积公式即得.【详解】（1）因为椭圆的左焦点坐标为，且其离心率为， ()222210+=>>x y C a b a b：()1,0F -12所以，解得， 112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩2,1a c ==所以，22224,3==-=a b a c 故所求椭圆方程为； 22143x y +=（2）若直线垂直于轴，则、的斜率都不存在，不合题意， AB x OA OB 所以直线斜率存在，设：，、，AB AB 2y kx =+()11,A x y ()22,B x y 联立，化简可得， 222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()22341640k x kx +++=由，解得或， ()()221616340k k ∆=-+>12k >12k <-所以，， 1221634k x x k +=-+122434x x k =+所以 ()()122112121222OA OB kx x kx x y y k k x x x x ++++=+=， ()12122162226124x x k k k k x x +-=+=+⋅=-=解得，2k =-所以直线的方程为， AB 22y x =-+此时，， 123219x x +=12419x x =， 6019===点到直线的距离为 ()1,0F -AB d =所以的面积为ABF △160219⨯=。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷（含解析）
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷（含解析）2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若，则n=（?）A．1B．8C．9D．102．期末考试结束后，某班要安排节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（?）A．种B．种C．种D．种3．一台型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（?）A．B．C．D．4．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（?）A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若，则，，已知，则（?）A．B．C．D．6．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是（?）A．有1%的人认为该栏目优秀；B．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若，则的值为．A．B．C．D．8．关于的二项展开式，下列说法正确的是（?）A．的二项展开式的各项系数和为B．的二项展开式的第五项与的二项展开式的第五项相同C．的二项展开式的第三项系数为D．的二项展开式第二项的二项式系数为9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（?）A．B．C．D．10．三棱锥中PA?PB?PC两两互相垂直，，，则其体积（?）A．有最大值4B．有最大值2C．有最小值2D．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种.13．若随机变量X的概率分布如表，则表中a的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p)，若P(ξ≥1)=，则D(ξ)的值为_________.15．已知等差数列中，，则和乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04 则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A，B，C在球O表面上，，，，若球心O到截面的距离为，则该球的体积为___________.19．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若点是线段的中点，请问在线段是否存在点，使得面？若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合，定义上两点，的距离.（1）当时，以下命题正确的有__________（不需证明）：①若，，则；②在中，若，则；③在中，若，则;（2）当时，证明中任意三点满足关系；（3）当时，设，，，其中，.求满足点的个数，并证明从这个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间内的为层次学生，在区间内的为层次学生，在区间内的为层次学生，在其它区间内的为层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自个不同层次，求随机变量的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲?乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲?乙两个城市的街道?社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲?乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲?乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由得，，又，所以，解得，所以正整数n为8．故选：B.2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：①若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有种；②若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有种.综上所述，不同的排法共有种.故选：B.3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B(4,0.2)，所以P(ξ≤2)＝ (0.8)4＋(0.8)3×0.2＋(0.8)2×(0.2)2＝0.972 8.故选D4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：数据，绘制出的折线图，知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；在D中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误.故选：D．5．C【分析】由题意，得，再利用原则代入计算即可.【详解】∵，由，，∴.故选：C6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：∵表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，∴有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系，故选：C．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题．7．D【详解】分析：令，再求f(-1)的值得解.详解：令，．故答案为．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 二项展开式的系数的性质：对于，，.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A，根据二项式展开式的通项，即可判断B、C、D；【详解】解：展开式的通项为，故第二项的二项式系数为，故D错误；第三项的系数为，故C错误；的展开式的第五项为，的展开式的第五项为，故B错误；令则，即的二项展开式的各项系数和为，故A正确；故选：A9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从到的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共次.所以从到的最近的行走线路，总的方法数有种.不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题.10．B【分析】依题意可得再利用基本不等式计算可得；【详解】解：依题意，当且仅当时取等号，所以，故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点，代入即可解决【详解】由可知，数据的平均数，又线性回归方程过点，所以，故故答案为：6512．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算.【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3××=36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共=6种综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑.13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案.【详解】由随机变量X 的概率分布表得：，解得.故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单.14．【分析】由二项分布的特征，先求出，套公式即可求出D(ξ).【详解】因为随机变量ξ~B (2，p)，且P(ξ≥1 )=，所以P(ξ≥1)== =.解得：.所以D(ξ).故答案为：15．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出，再列式即可求得结果.【详解】因为是等差数列，设公差为d，可得，于是得，当且仅当d=0，即时，取得最大值.故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题.16．##0.04608【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5 个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：或或，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为故答案为：0.0460817．0.74【详解】试题分析：表示人数，.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为，，，所以，所以三角形外接圆半径，又球心O到截面的距离为，所以球的半径为．球体积为．故答案为：．19．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析【详解】试题分析：（Ⅰ）由正方形的性质得，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（Ⅱ）当点是线段的中点时，利用中位线定理可得，进而得出面；（Ⅲ）利用二面角的定义先确定是二面角的平面角，易求得，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（Ⅰ）因为四边形为正方形，所以．因为平面平面，且平面平面，所以平面．（Ⅱ）当点是线段的中点时，有面，连结交于点，连结，因为点是中点，点是线段的中点，所以．又因为面，面，所以面.（Ⅲ）因为平面，所以.又因为，所以面，所以面，所以，，所以是二面角的平面角，易得，所以二面角的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设．20．12600【详解】问题等价于编号为的10个小球排列，其中号，号，号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是.21．（1）①；（2）证明见解析；（3），证明见解析．【解析】（1）①根据新定义直接计算．②根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；③由新定义写出等式的表达式，观察有无；（2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得点是以为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得．【详解】（1）当时，①若，，则，①正确；②在中，若，则，设，所以而，，但不一定成立，②错误；③在中，若，在②中的点坐标，有，但不一定成立，因此不一定成立，从而不一定成立，③错误．空格处填①（2）证明：设，根据绝对值的性质有，，所以．,（3），，所以，当且仅当以上三个等号同时成立，又由已知，∴，又，∴，，点是以为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，．这125个点在这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过，否则还有8个点在平面和上，不合题意，若这三个点在平面或上，不妨设在平面，若在平面在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过，否则剩下的8个点在三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立．22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策；(2)分布列见解析；期望为.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解；（2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解.(1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为．．，．解得，即中位数的故计值分钟．又作业时长平均数估计值为．因为中位数的估计值分钟大于平均数估计值81分钟，所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策.(2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为，，三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A，B，C三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2，因此的所有可能值为1，2，3．因为，，，所以的分在列为：123故数学期望.23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析．(2)；(3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件，甲城市抽到的分数有大于80分为事件，乙城市抽到的分数有大于80分为事件，由计算；（2）的可能值是，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为甲：，乙：，均值相等，方差为甲：，乙：，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”．(2)记抽到的数据中有大于80分为事件，甲城市抽到的分数有大于80分为事件，乙城市抽到的分数有大于80分为事件，，，，，所以；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，的可能是，，，，所以的分布列为：012．试卷第1页，共3页答案第1页，共2页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题及答案
2020-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上. 答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第I 卷 选择题 （60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共12小题，每小题5分，共60分.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）直线20x --=的倾斜角为（ ） （A ）30︒（B ）60︒（C ）120︒（D ）150︒（2）经过()0,2A ，()10B ,两点的直线的方向向量为()1k ，，则k 的值是（ ） （A ）1-（B ）1 （C ）2- （D ）2（3）抛物线22x y =的焦点坐标为（ ） （A ）()1,0（B ）()0,1（C ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（D ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（4）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60（D ）72（5）已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） （A ）19（B ）17（C ）13（D ）7（6）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元,之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ） （A ）15天（B ）16天 （C ）17天 （D ）18天（7）圆C x y 221:9+=与圆222:(1)(2)36C x y -++=的位置关系是（ ）（A ）相交 （B ）相离（C ）内切 （D ）内含（8）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为15，到y 轴的距离为12，则p 的值为（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（9）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，110,a =公差 3.5,d =-n S 取得最大值时n 的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（10）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ） （A ）111333OA OB OC ++（B ）111234OA OB OC ++（C ）111244OA OB OC ++（D ）111446OA OB OC ++（11）已知2222:02x y C x y -+--=，直线:220l x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线,MA MB ，切点为,A B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB 的方程为（ ）（A ）210x y +-= （B ）210x y ++= （C ）210x y --= （D ）2+10x y -=（12）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122b F F a=，点P 为双曲线右支一点，I 为PF F 12∆的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，给出下列结论：①当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒②离心率e =③λ=④点I 的横坐标为定值a 上述结论正确的是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ） ①③④ （D ）②③④第II 卷 （90分）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分.二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（13）已知直线l 与平面α平行，直线l 的一个方向向量为()1,3,u z =，向量()4,2,1v =-与平面α垂直，则z = .（14）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = .（15）已知数列{}n a 满足11a =，111+)n n a n N a *-=∈(，则4a = .（16）已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则实数m 的取值范围为________.（17）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求点B 到直线1AC 的距离为________. （18）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，并且经过点(2,M -，经过焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则p = ，线段AB 的长为 .（19）已知数列{}n a 为等比数列，132a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，则当n = 时，n T 有最大值为 .（20）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(,0)F c ，点P 在椭圆C 上，线段PF与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则椭圆C 的离心率为 .三. 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （21）（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点()30A -,，()1,2B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程； （Ⅱ）过点()0,2P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，求弦MN 的长．（22）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．（Ⅰ）求证：GF ⊥平面PCB ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小；（III ）在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．（23）（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21,n n S S a a n N *==+∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若13n n b -=，令11=n n n n n c a b a a +⋅+⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .（24）（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值.参考答案一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（双空题答对一空得3分，答对两空得5分） 三. 解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则()2,1D -，由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-，………………2分 所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x=--，………………3分设圆C 的标准方程为()222x a y r -+=，其中(),0C a ，半径为r （0r >），由圆的性质，圆心(),0C a 在直线CD 上，化简得1a =-，………………5分所以圆心()1,0C -，2r CA ==，所以圆C 的标准方程为()2214x y ++=……6分（Ⅱ）则直线l 的方程为324y x =+………………………8分 圆心()1,0C -到直线l 的距离为1d ==………………10分所以，MN ===12分 （22）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A B C P G F ………………1分(0,1,1),(2,2,2),(0,2,2)GF PB PC ∴==-=-设平面PCB 的法向量为111(,,)m x y z =，则1111122200,2200x y z m PB y z m PC ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即 (3)分令1=1z ，则110,1x y ==，(0,1,1)m ∴=∴//GF m ，故GF ⊥平面PCB ．………………4分(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面PCB 的法向量为(0,1,1)m =，(2,2,2),(2,0,2)PB PA =-=-设平面PAB 的法向量为222(,,)n x y z =，则2222222200,2200x y z n PB x z n PA ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即，令2=1z ，则221,0x y ==，所以平面PAB 的法向量(1,0,1)n =………………6分11cos ,222m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅………………7分 ∴平面PAB 与平面PCB 的夹角大小为60．………………8分（III ）解：假设线段AP 上存在一点M ,设AM AP λ=，[]01λ∈，，则(2202M λλ-，，），(2202DM λλ∴=-，，）,设平面ADF 的法向量为333(,,)t x y z = (2,0,0),(1,1,1)DA DF ==由0,0DA t DF t ⋅=⋅=得到(0,1,1)t =-……………9分DM 与平面ADF 所成角为30︒ DM ∴与t 所成角为60︒，222,(22)42cos 60cos DM t t M tDM D λλλ⋅>==⋅-+∴︒=<，解得12λ=，……11分 故在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒，z点M 的坐标为101（，，）.．...............12分 （23）（本小题满分13分）解: (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则由4224,21,n n S S a a n N *==+∈可得11114684,(21)22(1) 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩……………………2分 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩因此21()n a n n N *=-∈……………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)及1=3n n b - ，知11(21)3(21)(21)n n c n n n -=-⋅+-+………………………5分数列{}n c 的前n 项和为n T ，0121111=13+33+53+(2131335(21)(21)n n T n n n -⨯⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅+++⋅⋅⋅+⨯⨯-+）..7分 则令0121133353(21)3,11111(1)1335(21)(21)22121n n A n nB n n n n T A B-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯-+++=+…………8分 ()01211231133353(21)3,3133353233(21)3n n nA n A n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅………………9分两式相减得1231212(3333)(21)32(33)21+(21)33(22)213n nn n nA n A n n --=+⨯+++⋅⋅⋅+--⋅--=--⋅=⋅---………………10分 所以()131nA n =-⋅+……………………12分综合知()13121nn nT A B n n =+=-⋅+++……………………13分 （24）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b +=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22431x y +=；………………3分 (Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22431(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k kD k k -+++，………………5分 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++，………………6分则3(0)4OP k k k=-≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k , 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥， 则1OP EQ k k ⋅=-，即32()14n k k m--⋅=-恒成立， 所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.………………8分 （III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22431x y +=联立可得M点的横坐标为x =，………………9分由//OM l可得：22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥，………………11分=即2k =±时取等号，………………12分所以当2k =±时，AD AE OM +的最小值为………………13分。
福建省莆田一中高二上学期期末考试(数学理).doc
福建省莆田一中高二上学期期末考试（数学理）（分 150 分1）一、（每只有一答案是正确的。
每 5 分，共 50 分）x2y 21x 2y 211、4a 2与双曲a2有同样的焦点， a 的是（）A ． 1B．－ 1C．± 1D． 22、 {an} 是公差正数的等差数列，若a1＋ a2＋ a3＝ 15， a1· a2· a3＝ 80， a11＋ a12＋ a13＝（）A ． 1B． 105C． 90D． 753、已知会合A x a1x a 2 ，B x x28x15 0，能使 B A 建立的数 a 的取范是（）A． a 3 a 4B． a 3 a 4C． 3 a 4D．x 2y21F，数列PnF14、43是公差不小于 100 的上有 n 个不一样的点P1，P2，⋯ Pn，右焦点等差数列，n 的最大（）D．5、已知： P：5x 23，q： x21A． 199B．C． 1984x 5，P 是q的（）A．充要条件B．充足不用要条件C．必需不充足条件D．既不充足也不用要条件x2y 216、已知双曲：412，以 A(1 ， 1) 中点的双曲的弦所在的直方程（）A． 3x－ y－2＝ 0B． x － 3y＋ 2＝ 0C． 3x＋ y－2＝0D．不存在x 12x7、已知不等式： ax2＋ bx＋ c＞0 的解集3，不等式： cx2 ＋ bx+a＜ 0 的解集（）1x x 1x 3 x3或 x A．2B．2x 21x x1x2或 xC ．3D ．38、设 {an} 是等差数列，其前n 项和为 Sn ，且 S5＜ S6， S6＝ S7＞ S8，则以下结论错误的选项是（）A ． d ＜0B ． a7＝ 0C ． S9＞ S5D ． S6 与 S7 均为 Sn 的最大值2x y 2 0x 2 y 1 09、假如点 P 在平面地区xy 2 0上，点 Q 在曲线： x2＋ (y ＋ 2)2 ＝ 1 上，那么PQ的最小值为 （ ）41A ．5－1B ．5C ．221D ．2110、直线 y ＝ 2k 与曲线 9k2x2 ＋ y2 ＝ 18k2 x(k ≠ 0) 的公共点的个数为（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4二、填空题（把正确答案填入相应空格内，每题4 分，共x 2 y 2 111、设圆过双曲线916的一个极点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为。
莆田第一中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题及答案
（1）已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目；
日销售量/件
0
1
2
3
天数
5
10
25
10
假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．
（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；
（2）已知超市存货管理水平 高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．
D.在犯错误 概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”
3.设A，B为两个事件，已知 ， ， ，则 （）
A. 0.24B. 0.375C. 0.4D. 0.5
4.若函数 在 是增函数，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5.已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝
16.已知函数 ，当 时， ，则m的取值范围为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设数列 的前n项和 ，满足 ，且 .
（1）证明：数列 为等差数列；
（2）求 的通项公式.
18.已知函数 ，其中 .
福建省莆田市2020年(春秋版)高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
福建省莆田市2020年（春秋版）高二上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2015高二上·朝阳期末) 抛物线y2=2x上与其焦点距离等于3的点的横坐标是（）A . 1B . 2C .D .2. （2分） (2019高二上·集宁月考) 命题“ ”的否定是（）A . ，B . ，C . ，D . ，3. （2分）在空间四边形ABCD中，=,==， P在线段AD上，且DP=2PA，Q为BC的中点，则=（）A . +-B . +-C . -+D . -++4. （2分） (2016高一下·福州期中) 同时投掷两枚币一次，那么互斥而不对立的两个事件是（）A . “至少有1个正面朝上”，“都是反面朝上”B . “至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上”C . “恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上”D . “至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上”5. （2分）右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）若A（0，2，），B（1，﹣1，），C（﹣2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A . 2：3：（﹣4）B . 1：1：1C . ﹣：1：1D . 3：2：47. （2分）(2020·新课标Ⅰ·文) 执行下面的程序框图，则输出的n=（）A . 17B . 19C . 21D . 238. （2分） (2018高二下·扶余期末) 在一次投篮训练中，某队员连续投篮两次.设命题是“第一次投中”，是“第二次投中”，则命题“两次都没有投中目标”可表示为（）A .B .C .D .9. （2分）在正中，、边上的高分别为、，则以、为焦点，且过、的椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的值为（）A .B .C .D .10. （2分）已知直线,平面,，有下面四个命题：（1）；（2）；（3）；（4）.其中正确的命题是（）A . （1）与（2）B . (1) 与 (3)C . (2) 与 (4)D . (3) 与 (4)二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分）(2020·宿迁模拟) 过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则的长度为________．12. （1分）某学校从高一学生500人，高二学生400人，高三学生300人，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为60的样本，则应抽取高一学生的人数为________．13. （2分） (2017高二下·临沭开学考) 以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c，k的值分别是________和________．14. （1分）若实数x可以在|x+1|≤3的条件下任意取值，则x是负数的概率是________15. （1分）(2017·舒城模拟) 已知a、b、c三个实数成等差数列，则直线bx+ay+c=0与抛物线的相交弦中点的轨迹方程是________．三、解答题 (共6题；共45分)16. （10分） (2017高三上·盐城期中) 记函数f（x）=lg（1﹣ax2）的定义域、值域分别为集合A，B．（1）当a=1时，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17. （5分） (2018高一下·龙岩期末) 2018年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表.（Ⅰ）求的值，并作出这些数据的频率分布直方图；（Ⅱ）假设每组数据组间是平均分布的，试估计该组数据的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）现从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”，经过比赛后从这6人中选拔2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率.18. （10分） (2016高二上·莆田期中) 在平面直角坐标系xOy中，设不等式组所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M（x，y）．（1）若x，y∈Z，求点M位于第一象限的概率；（2）若x，y∈R，求|OM|≥1的概率．19. （10分）已知抛物线上的点到焦点F的距离为4．（1）求t，p的值；（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．20. （5分）(2017·绵阳模拟) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．21. （5分） (2017高二上·宁城期末) 已知椭圆C 的离心率为，点在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共45分)16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、21-1、第11 页共11 页。
福建省仙游一中、莆田二中、莆田四中2020-2021学年高二上学期期末联考数学试题
福建省仙游一中、莆田二中、莆田四中2020-2021学年高二上学期期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列命题为真命题的是 A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b >>，则22a b > C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0a b <<，则11a b< 2．已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-3．已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77b a =，则13S = A ．26B ．52C ．78D ．1044．在ABC ∆中，45a b B ︒==∠=，则∠A 等于( ) A ．30°或150°B ．60°C ．60°或120°D ．30°5．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于A ．121+232OA OB OC -B ．211+322OA OB OC -+C ．111222OA OB OC +-D ．211322OA OB OC --6．等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则(0)f '= A ．62B ．92C ．122D ．1527．已知()22f x x bx c =-++，不等式()0f x >的解集为()-1,3.若对任意的[]1,0x ∈-，()4f x m +≥恒成立，则m 的取值范围是A ．](-2∞，B ．](-4∞，C ．[)2+∞，D ．[)4+∞，8．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为13y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆(22:1E x y +=上一点，则2MN MF +的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11二、多选题9．下面命题正确的是（ ）A ．“p q ∧”是真命题是“p q ∨”为真命题的必要不充分条件B ．当()0,x π∈时，1sin 2sin x x+≥ C ．设x ，y R ∈，则“1x ≠或2y ≠”是“2xy ≠”的充分不必要条件 D ．若a ，b R +∈，1a b +=，则114a b+≥10．已知1F ，2F 分别是椭圆22:195x y C +=的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．12PF F △的周长为10B ．12PF F △面积的最大值为C ．当1260PF F ∠=︒时，12PF F △D ．存在点P 使得120PF PF ⋅= 11．已知四棱柱1111ABCD A BC D -为正方体.则下列结论正确的是（ ） A ．()11//AD BB BC +B ．()11110AC A B A A ⋅-= C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是60︒D ．()2211111113A A A D A B A B ++=12．已知P 是双曲线C ：2214x y m-=上任意一点，A ，B 是双曲线的两个顶点，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|+|k 2|≥t 恒成立，且实数t 的最大值为1，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线的方程为2214x y -=BC．函数(log 1a y x =+(a ＞0，a ≠1)的图象恒过双曲线C 的一个焦点 D ．设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若△PF 1F 2∠PF 1F 2=3π三、填空题13．若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩ 则z x y =+的最大值为__________．14．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高()1km AB =，3CD =()km ，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30，山顶C 的仰角为60︒，120BED ∠=︒，则两山顶A ，C 之间的距离为___________km .15．在空间直角坐标系中，点(0,0,1)P 为平面ABC 外一点，其中110()23,)0(A B ，，，，，若平面ABC 的一个法向量为(1,),1m ，则点P 到平面ABC 的距离为__________.四、双空题16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，110n n n a S S +++=，则n S =___________，数列{}1n n S S +的前n 项和为___________.五、解答题17．已知()211ln 8f x x x =++（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）求曲线()f x 的切线的斜率及倾斜角α的取值范围.18．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的准线方程是12x =-.（1）求抛物线的方程；（2）设直线()()20y k x k =-≠与抛物线相交于M N 、两点，O 为坐标原点，证明：以MN为直径的圆过原点.19．已知是{}n a 等差数列，其n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4421a b +=，4430S b +=.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，*n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.①sin sin sin sin A C A Bb a c--=+；②2cos cos cos c C a B b A =+；③ABC 的面积为1(sin sin sin )2c a A b B c C +-.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________. （1）求C ；（2）若D 为AB 中点，且2c =，CD =a ，b .21．如图1，在平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，1AD =，2AB =，将ABD ∆沿BD 折起，使得平面A BC '⊥平面A BD '，如图2．图1 图2（1）证明：A D '⊥平面BCD ；（2）在线段A C '上是否存在点M ，使得二面角M BD C --的大小为45︒？若存在，指出点M 的位置；若不存在，说明理由．22．已知中心为坐标原点的椭圆C 的一个焦点为)F ，且经过点M ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）若不经过点F 的直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切，试探究ABF 的周长是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.参考答案1．B 【分析】对于A ，C ，D 均可举出反例说明其不正确，对于B 依据不等式的性质可得解. 【详解】 当0c时，A 显然不成立；若0a b >>时，则22a ab b >>，即B 正确；当2,1a b =-=-时，224,2,1a ab b ===，显然C 不成立； 当2,1a b =-=-时，112a =-，1b =-，显然D 不成立； 故选：B. 【点睛】本题主要考查不等式比较大小，属于基础题. 2．B 【分析】原命题等价于212(1)02x a x +-+>恒成立，故2()114202a ∆=--⨯⨯<即可，解出不等式即可. 【详解】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ． 【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R 上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法. 3．B 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比性质可得2774a a =，即77b a =，再结合13713S b =，即可得到结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵31174a a a =，∴2774a a =≠0，解得7a ＝4，数列{}n b 是等差数列，且77b a =． ∴()1131377131313522b b S b a ⨯+====故选：B ． 【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．C 【分析】直接使用正弦定理，即可求得结果. 【详解】 根据正弦定理a bsinA sinB=，=sinA =A 为60°或120°； 又a b >，则A B >，显然两个结果都满足题意. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦定理的直接使用，属基础题. 5．D 【详解】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O 出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O 出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果.详解：由题意可得21()32EF OF OE OA OB OC =-=-+211322OA OB OC =--，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 6．C 【分析】将函数看做x 与()()()128x a x a x a --⋅⋅⋅-的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0x =可求得()1280f a a a '=⋅⋅⋅；根据等比数列性质可求得结果. 【详解】()()()()128f x x a x x a x a --⋅''=⎡⋅-⎤⎣⎦⋅()()()()()()128128x a x a x a x a x a x a x x ''=+--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦- ()()()()()()128128x x a x a x a x a x a x a --⋅⋅⋅---⋅⋅'=+⎡⎤-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅ ()1280f a a a '∴=⋅⋅⋅又18273645a a a a a a a a === ()()441218082f a a '∴===本题正确选项：C 【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系. 7．D 【分析】先根据韦达定理求出b 和c 的值，再根据不等式恒成立求出m 的范围. 【详解】由题得13(2)2(1)32b b c ⎧-+=-=⎪-⎪⎨⎪-⋅=-⎪⎩，所以b=4,c=6.所以()2246f x x x =-++.因为对任意的[]1,0x ∈-，()4f x m +≥恒成立， 所以对任意的[]1,0x ∈-，2242m x x -≥-恒成立，因为y=2242x x --在[-1,0]上的最大值为4. 所以m≥4. 故选D 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8．B 【分析】先根据题意得双曲线的方程为2219x y -=，再结合双曲线的定义得212MF a MF =+，故212MN MF a MN MF +=++，连接1EF ，交双曲线于M ，交圆于N ，此时1MN MF +取得最小值，再计算即可得答案. 【详解】由题意可得26a =，即3a =，渐近线方程为13y x =±，即有13b a =，即1b =，可得双曲线方程为2219x y -=，焦点为()1F ，)2F ，由双曲线的定义可得21126MF a MF MF =+=+，由圆(22:1E x y +=可得(0,E ，半径1r =，216MN MF MN MF +=++，连接1EF ，交双曲线于M ，交圆于N ，此时1MN MF +取得最小值，且为14EF =， 则2MN MF +的最小值为6419+-=. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，双曲线上的点到定点的距离最值问题，考查数形结合思想，是中档题. 9．BD 【分析】选项A 由必要不充分条件的判定可得结果；选项C 利用原命题与逆否命题的关系求解；选项B ，D 利用基本不等式求解. 【详解】选项A ：若“p q ∧”是真命题，则“p q ∨”为真命题；若“p q ∨”是真命题，则“p q ∧”不一定是真命题，故选项A 错误； 选项B ：当()0,x π∈时，(]sin 0,1x ∈，由基本不等式得1sin 2sin x x +≥=，故选项B 正确； 选项C ：设x ，y R ∈，因为“2xy =”是“1x =且2y =”的必要不充分条件，由原命题与逆否 命题的关系知，“1x ≠或2y ≠”是“2xy ≠”的必要不充分条件，故选项C 错误； 选项D ：若a ，b R +∈，1a b +=，则()11112a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为2ab b a+≥，所以114a b+≥，故选项D 正确； 故选：BD. 10．AB 【分析】由椭圆22:195x y C +=的方程可得3,2a b c ===，由12PF F △的周长为22a c +可判断A ，当点P 位于短轴端点时，12PF F △的面积最大，可判断B ，利用余弦定理可椭圆的定义求出12203PF PF ⋅=，可判断C ，设()00,P x y ，则2200195x y +=，由120PF PF ⋅=可得22004x y +=，解出方程可判断D. 【详解】由椭圆22:195x y C +=的方程可得3,2a b c === 12PF F △的周长为2210a c +=，故A 正确当点P 位于短轴端点时，12PF F △的面积最大，最大值为122c b ⨯⨯=B 正确当1260PF F ∠=︒时，由余弦定理可得22121216PF PF PF PF +-⋅= 所以()21212316PF PF PF PF +-⋅=，所以()2122316a PF PF -⋅=，可得12203PF PF ⋅=所以12PF F △的面积为121sin 602PF PF ⋅︒C 错误 设()00,P x y ，则2200195x y +=由120PF PF ⋅=可得22004x y +=，从而可得解得2200925,44x y =-=，不成立，故D 错误 故选：AB 11．ABD 【分析】先设正方体的棱长为1，再以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.选项A 利用11BB BC AD +=，说明两向量平行；选项B 为数量积的坐标运算；选项C 为坐标法求向量的夹角；选项D 为向量的加法法则与向量模长的计算. 【详解】不妨设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， 1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,0D ，()11,0,1A ，()11,1,1B ，()10,1,1C ，()10,0,1D .选项A ：()11,0,1AD =-，()()()10,0,11,0,01,0,1BB BC +=+-=-， 因为11BB BC AD +=，所以()11//AD BB BC +，故选项A 正确；选项B ：()11,1,1AC =--，()()()1110,1,00,0,10,1,1A B A A -=--=，有()()1111011110AC A B A A ⋅-=+⨯+-⨯=，故选项B 正确； 选项C ：()11,0,1AD =-，()10,1,1A B =-有12AD =，12A B =，110011AD A B ⋅=+-=-， 记向量1AD 与向量1A B 的夹角为θ，[]0,θπ∈， 则11111cos 22AD A B AD A Bθ⋅===-⋅，又[]0,θπ∈，所以21203πθ==︒，故选项C 错误；选项D ：因为111111111A A A D A B A A AC AC ++=+=，又()11,1,1AC =--， 所以()()()()222221111111113A A A D A B AC ++==-++-=又()110,1,0A B =，所以2111A B =，有()2211111113A A A D A B A B ++=，故选项D 正确；故选：ABD. 12．AC 【分析】可设(,)P x y ，代入双曲线的方程，结合不等式恒成立思想，以及基本不等式求得m ，进而得到双曲线的方程和离心率，以及焦点，可判断A ，B ，C ，再由焦点三角形面积及双曲线的对称性，即可判断D ． 【详解】可设(,)P x y ，可得2214x ym-=，即有22044y mx =>-， 由(2,0)A -，(2,0)B ，可得2122y 224y y k k x x x =⋅=+--， 即124m k k =， 若12||||k k t+恒成立，且实数t 的最大值为1， 可得12||||k k +的最小值为1， 由12||||k k +≥12||=||k k 时等号成立， 则1，解得1m =，可得双曲线的方程为2214x y -=，则c e a ==，故A 正确，B 错误；由双曲线的焦点为(0)，函数log (10a y x a =+>，1)a ≠的图象恒过双曲线C 的焦点(0)，故C 正确；由△PF 1F 2P 点可在左支，也可在右支上， 所以∠PF 1F 2=3π错误，故D 错误． 故选：AC 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查不等式恒成立问题解法和函数的图象的特点、以及直线和双曲线的关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 13．9 【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当5,4x y ==时，max 9z =. 【详解】不等式组表示的可行域是以(5,4),(1,2),(5,0)A B C 为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数z x y =+的最大值必在顶点处取得，易知当5,4x y ==时，max 9z =.【点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.14【分析】先结合两个仰角求出,BE DE ，再根据余弦定理求出BD ，最后根据直角梯形的知识可求AC .【详解】因为1AB =，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30，所以BE =DE = 因为120BED ∠=︒，所以22212cos12033292BD BE DE BE DE ⎛⎫=+-⋅︒=+--= ⎪⎝⎭，即3BD =；在直角梯形ABDC 中，1,3,3AB CD BD ===,所以()22213AC BD CD AB =+-=，即AC =15【分析】根据空间向量坐标运算，先求得AB ，再根据法向量与AB 垂直可确定法向量中的参数m.表示出AP ，即可由法向量法求得点P 到平面ABC 的距离. 【详解】在空间直角坐标系中，110()23,)0(A B ，，，，， 所以()1,1,3AB =-，而平面ABC 的一个法向量为(1,,1)n m =， 所以0AB n ⋅=，即130m -++=， 解得2m =-， 所以(1,2,1)n =-，点(0,0,1)P ，则()1,1,1AP =--，则由点到平面距离公式可得26AP n d n⋅===，【点睛】本题考查了空间向量中法向量的简单应用，点到平面距离公式的向量求法，属于基础题.16．1n1n n +【分析】代入11n n n a S S ++=-，再证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，可求得{}n S 的通项公式，再利用裂项相消法求数列{}1n n S S +的前n 项和. 【详解】由题知，111S a ==.因为110n n n a S S +++=，所以11n n n n S S S S ++-=-， 两边同时除以1n n S S +-得，1111n nS S +-=， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()111n n n S =+-=，所以1n S n=， 因为1111111n n S S n n n n +⋅=⋅=-++， 所以数列{}1n n S S +⋅的前n 项和为11111111...2233411nn n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1n；1nn +. 17．（1）10810x y --=；（2）曲线()f x 的切线的斜率为14x x +，倾斜角α的取值范围为,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）根据导数的几何意义，先求出()1f '，即可求出切线方程；（2）根据导数的几何意义可知，切线的斜率即为导数()f x '，切线的斜率的范围即为导数()f x '的值域，再根据斜率的定义即可求出倾斜角α的取值范围.【详解】（1）()211ln 8f x x x =++，∴()14x f x x '=+，当1x =时，()514f '=，切点为91,8⎛⎫⎪⎝⎭，∴曲线()f x 在1x =处的切线方程为()95184y x -=-，即10810x y --=；（2）0x >，()114xf x x '=+≥（当且仅当2x =时取等号），∴曲线()f x 的切线的斜率为14x x +，即tan 1α≥，又0απ≤<，所以倾斜角α的取值范围为,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 18．（1）22y x =；（2）见解析 【分析】（1）根据抛物线的性质，即可求得p 的值，求得抛物线方程；（2）将直线方程代入抛物线方程，利于韦达定理即可12x x ，由()212124y y x x =，即可求得12y y ，利用向量的坐标运算，即可求得OM ON ⊥,进而可得到结果． 【详解】解：（1）由抛物线()220y px p =>的准线方程为2px =-， 则122p -=-，则1p =， ∴抛物线方程为22y x =；（2）证明：设()()1122,,,M x y N x y ，由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 整理得()222222140k x k x k -++=， 124x x ∴=，由2211222,2y x y x ==，两式相乘，得()212124y y x x =，注意到12,y y 异号，所以124y y =-， 则12120,OM ON x x y y ⋅=+= OM ON ∴⊥，90MON ∴∠=，所以以MN 为直径的圆过原点． 【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题．19．（1）1n a n =+，2n n b =，*n N ∈．（2）12n n T n +=，*n N ∈【分析】（1）利用数列的通项公式与前n 项和公式，得到首项和公比、公差的方程，求出数列的首项公比和公差，得到数列的通项；（2）本小题是一个等差与等比的积形成的数列，可以利用错位相减法求和． 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由112a b ==，得423a d =+，342b q =，486S d =+．由条件4421a b +=，4430S b +=，得方程组232321862330d q d q ++=⎧⎨++=⎩解得12d q =⎧⎨=⎩所以1n a n =+，2nn b =，*n N ∈．（2）由题意知，(1)2n n c n =+⨯． 记123n n T c c c c =++++…． 则123n n T c c c c =++++…2312232422(1)2n n n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯++⨯，231122232(1)22(1)2n n n n T n n n -+=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯++， 所以23122(222)(1)2n n n T n +-=⨯+++⋯+-+⨯，()21112124(1)2212n n n n n T n -++--=-⋅=+-+⨯-即12n n T n +=，*n N ∈．【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，前n 项和公式，以及错位相减法求和，有一定的综合性，计算量也较大，属于中档题． 20．（1）3C π=；（2）2a b ==.【分析】（1）根据所选条件，由正弦定理和余弦定理，逐步计算，即可得出结果；（2）先根据题意，由余弦定理，得出24b ADC =-∠，24a BDC =-∠，求出228a b +=，再由（1）的结果，根据余弦定理，得到4ab =，进而可求出结果.【详解】（1）方案一：选条件①∵sin sin sin sin A C A Bb a c--=+，由正弦定理可得，a c a b b a c --=+， 即222a c ab b -=-， ∴222a b c ab +-=，∴由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==.∴3C π=.方案二：选条件②（1）∵2cos cos cos c C a B b A =+，∴根据正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos C C A B B A =+， ∴2sin cos sin()C C A B =+， ∴2sin cos sin C C C =. ∴1cos 2C =， ∴3C π=.方案三：选条件③（1）由题意知，sin si 11()2si si 2n n n C A ab c a b c B C =+-，∴由正弦定理可得，()222abc c a b c =+-，∴222a b c ab +-=，∴由余弦定理可得，2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=.（2）由题意知，1AD BD ==，CD =在ACD △中，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，即24b ADC =-∠.在BCD △中，2222cos BC BD CD BD CD BDC =+∠-⋅⋅，即24a BDC =-∠， ∵ADC BDC π∠+∠=， ∴cos cos ADC BDC ∠=-∠， ∴228a b +=.由（1）知，2221cos 22a b c C ab +-==，∴2224a b c ab ab +=+=+， ∴4ab =，由2284a b ab ⎧+=⎨=⎩，解得2a b ==.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型. 21．（1）证明见解析； （2）点M 存在，且为线段A C '的中点. 【分析】（1）由余弦定理，求得BD ，根据勾股定理，证得AD BD ⊥，作DF A B '⊥于点F ， 从而DF ⊥平面A BC '，DF BC ⊥，由CB BD ⊥，得到CB ⊥平面A DB '，进而CB A D '⊥，再由A D BD '⊥，即可证得A D '⊥平面BCD ；（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，过D 作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出点M 存在，且为线段A C '的中点. 【详解】（1）在ABD ∆中，因为60A ∠=，1AD =，2AB =， 由余弦定理得cos603BD =所以222BD AD AB +=，所以AD BD ⊥，所以90,90ADB DBC ∠=∠=， 作DF A B '⊥于点F ，因为平面A BC '⊥平面A BD '，平面A BC '平面A BD A B ''=，所以DF ⊥平面A BC '，所以DF BC ⊥， 又因为,CB BD BDDF D ⊥=，所以CB ⊥平面A DB '，因为A D '⊂平面A DB '，所以CB A D '⊥，又由,A D BD BD CB B '⊥=，所以A D '⊥平面BCD .（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，过D 作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1(0,0,1)B C A '-， 假设点M 存在，设,[0,1]A M A C λλ''=∈，则(,3,),(,3,1),(1,0,)A M A C DM DA A M DB λλλλλλλλλ''''==--=+=--=-， 设平面MBD 的一个法向量为(,,)m a b c =，则30(1)0m DB b m DM a b c λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取1a λ=-，可得(1,0,)m λλ=-， 平面CBD 的一个法向量为(0,0,1)n =，假设在线段A C '上存在点M ，使得二面角M BD C --的大小为45， 则cos ,1m n m n m n⋅==⋅⨯，解得12λ=，所以点M 存在，且点M 是线段A C '的中点.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解及应用，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22．（1）2214x y += ；（2）ABF 的周长为定值4 .【分析】（1）由椭圆的定义可知'42MF MF a +==，可得2a =，因为c 222b a c =-，所以1b =可得答案；（2）因为直线l 与圆相切，可得m 与k 的关系，直线与椭圆方程联立， 利用韦达定理可得弦长公式AB ，再利用两点间的距离公式可得AF 12=，22BF =，所以AF BF AB ++可得答案.【详解】（1）设椭圆C 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，由题可知另一个焦点为()'F .由椭圆的定义可知'42MF MF a+=， 所以2a =，因为c =222b a c =-，所以1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）是定值，理由如下：因为直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与圆221x y +=相切，1=，即221m k =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得 ()222418440kx kmx m +++-=，所以()2221641480k m k ∆=-+=>，122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+，所以AB =又221m k =+，所以AB 由于0,0k m <>，所以1202,02x x <<<<，因为AF =12x，同理22BF =，所以)124AF BF x x+=+284441km k ==+所以44AF BF AB ++==， 故ABF 的周长为定值4. 【点睛】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
莆田第一中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题
福建省莆田第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题试卷满分 150分 考试时间 120分钟一、选择题（本大题共有8小题,每小题5分,共40分，每小题在给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的） 1。
抛物线212y x =的焦点坐标是（ ）A ．()0,1B ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭,C ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫⎪⎝⎭2.已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=，若,,a b c 共面，则实数m 的值为（ ）A ．607B ．14C ．12D ．6273.如图，在四面体O ABC -中，1G 是ABC 的重心,G 是1OG 上的一点，且12OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(,,)x y z 为（ ）A 。
111(, , )222B.222(, , )333C 。
111(, , )333D 。
222(, , )9994.在一平面直角坐标系中，已知()1,6A -，()2,6B -，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为（ ）A ．27B ．41C ．17D ．355.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24yx=的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（ )A ．712612+B ．910+ C ．832612+D ．926+6.直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==,60BAC ∠=︒,则异面直线1BA 和1AC 所成角的余弦值为（ ) A ．32B ．34 C ．14 D ．137。
已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点,经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点,若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒,则椭圆E 的离心率为（ ） A ．74B ．12C ．34D ．328.已知水平地面上有一篮球，球的中心为O ',在斜平行光线的照射下,其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O 为原点，设椭圆的方程为22142x y +=，篮球与地面的接触点为H ，则||OH 的长为( ）A 6B 2C ．32D 10二．选择题(本大题共有4小题,每小题5分，共20分，在每小题在给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分,有选错的得0分，部分选对的得3分）9.设m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面,则下列选项中正确的是（ ）A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件B ．当时,“m ⊥β"是“αβ⊥”的充分不必要条件C ．当时，“n//α”是“"必要不充分条件D ．当时，“"是“”的充分不必要条件10．已知抛物线24xy=的焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．点F 的坐标为()1,0B ．若A ,F ，B 三点共线，则3OA OB ⋅=-C ．若直线OA 与OB 的斜率之积为14-，则直线AB 过点F D ．若6AB =,则AB 的中点到x 轴距离的最小值为211.已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122b F F a=，点P 为双曲线右支一点，I 为12PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S △△△成立,则下列结论正确的有( ）A ．当2PF x⊥轴时，1230PF F ∠=︒B ．离心率15e +=C ．51λ-=D ．点I 的横坐标为定值a12.在如图所示的棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，则下列命题中正确的为( ）A ．若点P 总满足1PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线B ．若点P 到点A 的距离为2，则动点P 的轨迹是一个周长为2π的圆C ．若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1，则动点P 的轨迹是椭圆D ．若点P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等,则动点P 的轨迹是双曲线二:填空题(本大题共有4个小题，每题5分，共20分)13.已知命题p:x R ∃∈，220x x a --<,若命题p 是假命题,则实数a 的取值范围是______. 14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为3y x=，若其右3______． 15.设A ，B 分别是直线y ＝2x 和y ＝﹣2x 上的动点，满足|AB ｜＝4，则A 的中点M 的轨迹方程为_____．16.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点(含边界）,且PC DE ⊥.①当E 在AC 上时，AE =______;②点E 的轨迹的长度为______。
2020年福建省莆田市湄洲第一中学高二数学理上学期期末试卷含解析
2020年福建省莆田市湄洲第一中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过点P（-1，1）的直线与圆相交于A、B两点，当|AB|取最小值时，直线的方程是（）A． B．C． D．参考答案：D略2. 在北纬45°圈上有A、B两地，A地在东经120°，B地在西经150°，设地球半径为R，则A、B两地的球面距离是（）A． B． C．D．参考答案：D3. 已知i为虚数单位，复数z1=a+2i，z2=2﹣i，且|z1|=|z2|，则实数a的值为( )A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．±1或0参考答案：C考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的模的定义得到关于a的方程解之．解答：解：因为复数z1=a+2i，z2=2﹣i，且|z1|=|z2|，所以a2+4=4+1，解得a=±1；故选：C．点评：本题考查了复数求模；复数a+bi（a，b是实数）的模为．4. 某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（）A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种参考答案：C【分析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有种组合；若一名学生物理和历史都选，则有种组合；因此共有种组合.故选C【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.5. 下面几个空间图形中，虚线、实线使用不正确的有()A. ②③B. ①③C.③④ D. ④参考答案：C略6. 设，则的最小值为（）A． B．C． D ．参考答案：C略7. P为正六边形ABCDEF外一点，O为ABCDEF的中心，则等于( )A． B． C． D．参考答案：C8. 若是等差数列，首项，则使前项和成立的最大自然数是（）A．4005 B．4006 C．4007 D．4008参考答案：B 略9. 如图，一个质点从原点出发，在与y轴、x轴平行的方向按（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→（2，2）…的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第2011秒时，这个质点所处位置的坐标是（）A．（13，44）B．（14，44）C．（44，13）D．（44，14）参考答案：A略10. 在等差数列{a n}中，a4+a6=6，且a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知结合等差数列的通项公式化为关于d的方程求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a6=6，且a2=1，得a2+2d+a2+4d=6，即2+6d=6，∴d=．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过椭圆的左顶点A 且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影恰为右焦点,若，则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ .参考答案：略12. 双曲线的渐近线方程是__________．参考答案：y=±【分析】由双曲线的方程求得，再根据双曲线的几何性质，即可求解渐近线的方程，得到答案。
第一中学2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题
福建省莆田第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题一．单项选择题(共有8小题，每小题5分,共40分)1．已知复数z 满足z ＝2ii+,则z 在复平面内对应的点位于（ )A 。
第一象限B 。
第二象限C 。
第三象限D 。
第四象限2．“20<<a ”是“R x ∈∀，012>++ax x"成立的（ ）A 。
充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。
充要条件 D 。
既不充分也不必要条件3．设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)('x f ，且函数)()1('x fx y -=的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A. )(x f 有极大值)2(-fB.有极小值)2(-f C 。
)(x f 有极大值)1(fD.有极小值)1(f4．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲，乙，丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有（ ）A 。
50种B 。
60种 C.80种 D 。
90种 5．()1021xx -+展开式中3x 项的系数为( ）A 。
210-B 。
210C 。
30 D.30-6．某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目。
已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节,每门课每天至少一节），已知该生某天下午最后两节为自习课，且数学不排下午第一节,语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻),则该生该天课表有（ ）。
A.444种B.1776种C.1440种 D 。
2021 2021年福建省莆田一中高二(上)期末数学试卷(理科)及答
2021 2021年福建省莆田一中高二（上）期末数学试卷（理科）及答----22b1f514-6ea1-11ec-ad18-7cb59b590d7d2021-2021年福建省莆田一中高二（上）期末数学试卷（理科）及答2022-2022学年，福建莆田第一中学高二（一）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合a．（0，1）b、（0,2]，则（?rp）∩q=（）c、（1,2]d．[1，2]=（）2．（5分）已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m21）i＞0，则a．1b、一,c．id、我3．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）a．充分不必要条件c．充分必要条件b、必要条件和不充分条件D.既不充分也不必要条件4．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）a、如果α⊥ β、m⊥ β、那么m‖αb.如果m‖α，N⊥ m、然后n⊥ αc．若m∥α，n∥α，m?β，n?β，则α∥βd．若m∥β，m?α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）若函数f（x）=如图所示，M的范围为（）a．（∞，1）b．（1，2）6．（5分）设f1、f2是双曲线x2在一点p，使（+c、（0,2）d.（1,2）=1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存=0（o为坐标原点）且且|pf1|=λ|pf2|，则λ第1页，共21页的值为（）a．2b。
c、三,d．7.（5点）F1和F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线L和双曲线的左右分支分别在a点和B点相交。
如果△ abf2是一个等边三角形，双曲线的偏心率为（）b．c。
d．8.（5分）当x∈ [2,1]，不等式ax3x2+4x+3≥ 0保持不变，则实数a的值范围为（）a。
[5,3]b．[6，]c、 [6,2]d．[4，3]9.（5点）如图所示，在规则棱镜abcda1b1c1d1中，Aa1=2Ab，e是Aa1的中点，则不同平面直线be和CD1之间的夹角的余弦为（）a．b、 c。
2021年福建省莆田市第一中学高二数学理联考试题含解析
2021年福建省莆田市第一中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果直线直线，且平面，那么与的位置关系是（）A. 相交B.C.D. 或参考答案：D试题分析：如果，则或，故选D．考点：空间中线面的位置关系．2. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A．向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位参考答案：C略3. （）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由题意，根据复数的乘法运算，化简、运算，即可求解。
【详解】由题意，根据复数的运算，故选A。
【点睛】本题考查复数的四则运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力.4. 已知复数，则复数的共轭复数为....参考答案：A5. 若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，] C．[，+∞）D．（﹣∞，）参考答案：C【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可．【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故选C．6. 用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除参考答案：B【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故应选B．【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．7. 当K2＞6.635时，认为事件A与事件B（）A．有95%的把握有关 B．有99%的把握有关C．没有理由说它们有关D．不确定参考答案：B【考点】独立性检验的应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据所给的观测值同临界值的比较，得到有1﹣0.01=99%的把握认为事件A与事件B有关系，得到结果．【解答】解：∵K2＞6.635，∴有1﹣0.01=99%的把握认为两个事件有关系，故选：B．【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的作用，本题解题的关键是理解临界值对应的概率的意义，本题是一个基础题．8. 已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（）．A．B．C．D．参考答案：C，．由可知：，，故，故选．9. 某校医务室为了预防流感，准备从高一年级的10个班中抽取23名同学进行健康检查，要求每个班被抽到的同学不少于2人，那么不同的抽取方法共有（）A．120种B．175种C．220种D．820种参考答案：C【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，先从每个班抽取2人，共抽取20人，将剩余的3个名额分配到10个班级，分3种情况讨论：①、3个名额分配到1个班级，②、3个名额分配到2个班级，③、3个名额分配到3个班级，分别求出每种下的抽取方法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，高一年级共10个班，每个班被抽到的同学不少于2人，先从每个班抽取2人，共抽取20人，将剩余的3个名额分配到10个班级，分3种情况讨论：①、3个名额分配到1个班级，在10个班级中抽取1个即可，有C101=10种抽取方法；②、3个名额分配到2个班级，1个班级1个，1个班级2个，在10个班级中抽取2个，再进行全排列即可，有C102×A22=90种抽取方法；③、3个名额分配到3个班级，在10个班级中抽取3个即可，有C103=120种抽取方法；则不同的抽取方法共有10+90+120=220种；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是转化问题，对多出的3个名额进行分类讨论，分配到10个班级．10. 设是甲抛掷一枚骰子（六个面分别标有1－6个点的正方体）得到的点数，则方程有两个不相等的实数根的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在等比数列中,,则公比.参考答案：q=-1/2或112. 已知都是正实数，函数的图象过点，则的最小值是 .参考答案：略13. 已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=20x的准线上，则双曲线的方程为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣5，可得双曲线的左焦点为（﹣5，0），再根据焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程平行于直线l ：y=2x+10，得a 、b 的另一个方程，求出a 、b ，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：因为抛物线y 2=20x 的准线方程为x=﹣5，所以由题意知，点F （﹣5，0）是双曲线的左焦点，所以a 2+b 2=c 2=25，①又双曲线的一条渐近线平行于直线l ：y=2x+10，所以=2，② 由①②解得a 2=5，b 2=20，所以双曲线的方程为．故答案为：．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 14. 不等式的解集是｛｝，则a+b=___________参考答案：-3 略15. 已知函数，则f (4) =_________.参考答案： 3略16. 设，则P ，Q ，R 的大小顺序是______．参考答案：【分析】利用差比较法先比较的大小，然后比较的大小，由此判断出三者的大小关系.【详解】解：∵，∴，，而，，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本小题主要考查差比较法比较数的大小，属于基础题.17. 等比数列中，公比，记（即表示数列的前项之积），则、、、中值为正数的是 ．参考答案：、；三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2021-2022学年福建省莆田第一中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2021-2022学年福建省莆田第一中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．数列1, ）A ．8项B ．7项C ．6项D ．5项【答案】A【分析】【详解】，故通项公式为n a 的第8项. 故选：A.2．圆222410x y x y +-++=与圆22(4)(2)9x y -+-=的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交C ．外切D ．相离【答案】C【分析】写出两圆的圆心和半径，求出圆心距，发现与两圆的半径和相等，所以判断两圆外切【详解】圆222410x y x y +-++=的标准方程为：22(1)(2)4x y -++=，所以圆心坐标为()1,2-，半径12r =；圆22(4)(2)9x y -+-=的圆心为4,2，半径23r =，圆心距125d r r ===+，所以两圆相外切故选：C3．直线30ax y a ++-=恒过定点（ ） A ．()1,3- B ．()1,3 C ．()3,1- D ．()1,3--【答案】A【分析】将直线方程变形得()13y a x =-++，再根据方程即可得答案. 【详解】解：由30ax y a ++-=得到：()13y a x =-++， ∴直线30ax y a ++-=恒过定点()1,3-． 故选：A4．直线x －y ＋1＝0被椭圆23x ＋y 2＝1所截得的弦长|AB |等于（ ）A ．322B ．2C ．22D ．32【答案】A【分析】联立方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求距离.【详解】由2210,1,3x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得交点为(0,1)，31(,)22--，则|AB |＝2231()(1)22++＝322. 故选：A.5．“ 1a = ” 是 “直线 ()1:210l a x y -++= 与直线 ()2:1220l a x y ++-= 互相垂直” 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线垂直求出a 的范围即可得出. 【详解】由直线垂直可得()1212a a +⎛⎫--⨯-=- ⎪⎝⎭，解得0a =或1，所以“ 1a = ” 是 “直线 ()1:210l a x y -++= 与直线 ()2:1220l a x y ++-= 互相垂直” 的充分不必要条件. 故选：A.6．如图为学生做手工时画的椭圆123C C C 、、(其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为123,,e e e ，则（ ）A ．123e e e =<B ．231e e e =<C ．123e e e =>D ．231e e e =>【答案】D【分析】根据图知分别得到椭圆1C 、2 C 、 3C 的半长轴和半短轴，再由21c b e a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭求解比较即可.【详解】由图知椭圆1C 的半长轴和半短轴分别为： 2 1.5a b ==, ， 椭圆2 C 的半长轴和半短轴分别为：4,2a b ==， 椭圆 3C 的半长轴和半短轴分别为：6,3a b ==， 所以22221 1.5 1.751122c a b b e a a a -⎛⎫⎛⎫===-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22222231142c a b b e a a a -⎛⎫⎛⎫===-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22223331162c a b b e a a a -⎛⎫⎛⎫===-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以231e e e =>， 故选：D7．如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点记为M ．设1AA a =，AB b =，AD c =，则下列向量中与1MB 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c +-C ．1122a b c ++D ．1122a b c --【答案】B【解析】利用空间向量的加法和减法法则可得出1MB 关于a 、b 、c 的表达式. 【详解】()111111112222MB MB BB DB BB AB AD AA a b c =+=+=-+=+-． 故选：B.8．设双曲线E ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线E 在第二象限上的点，直线BO 交双曲线E 于另一个点C （O 为坐标原点），若直线BA 平分线段FC ，则双曲线E 的离心率为（ ） A ．3B ．2C 3D 2【分析】由给定条件写出点A ，F 坐标，设出点B 的坐标，求出线段FC 的中点坐标，由三点共线列式计算即得.【详解】令双曲线E 的半焦距为c ，点(,0),(,0)A a F c ，设0000(,)(0,0)B x y x y <>，由双曲线对称性得00(x ,)C y --， 线段FC 的中点00(,)22c x yD --，因直线BA 平分线段FC ，即点D ，A ，B 共线， 于是有ABAD k k =，即00000000222y y y y c x x a x a a c x a =⇔=----+-，即3c a =，离心率3c e a==. 故选：A 二、多选题9．已知直线10l y -+=，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 的倾斜角是6π B ．直线lC．点)到直线l 上的点的最短距离是2D．若直线:10m x +=，则l m ⊥ 【答案】CD【分析】根据直线方程求出直线的斜率和点到直线的距离以及直线的位置关系分别判断即可.【详解】∵直线10l y -+=， ∴直线l的斜率k =3π，故A 错误； 令0y =，解得：x =B 错误；点)到直线l的距离2d ==，故C 正确； 直线m的斜率k '=1k k '⋅=-，故l m ⊥，故D 正确； 故选：CD.10．已知双曲线两渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为（ ） A ．2BC ．3D【分析】设双曲线的方程为22221x y a b-=得渐近线方程为b y x a =±，根据双曲线的对称性可得b y x a =的倾斜角为6π或3π，即可得b a 的值，由公式c e a ==.【详解】设双曲线的方程为22221x y a b-=，渐近线方程为：b y x a =±，根据双曲线的对称性可知：b y x a =的倾斜角为6π或3π当b y x a =的倾斜角为6π时，可得tan 6b a π==，所以c e a ===，当b y x a =的倾斜角为3π，可得tan 3b a π==所以2c e a ===，所以离心率为2 故选：AD.11．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走0.5里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇.下列结论正确的是（ ）A ．长安与齐国两地相距1530里B ．3天后，两马之间的距离为328.5里C ．良马从第6天开始返回迎接驽马D ．8天后，两马之间的距离为377.5里 【答案】AB【分析】A, 设良马第n 天行走的路程里数为n a ，驽马第n 天行走的路程里数为n b ，求出良马和驽马各自走的路程即得A 正确；B ，计算得到3天后，两马之间的距离为328.5里，即可判断B 正确； C,计算得到良马前6天共行走了1353里1530<里，故C 不正确；D ，计算得到8天后，两马之间的距离为390里，故D 不正确.【详解】解：设良马第n 天行走的路程里数为n a ，驽马第n 天行走的路程里数为n b ，则()()()*1193131,971,192n n a n b n n n =+-=--∈N . 良马这9天共行走了9813919322052⨯⨯⨯+=里路程， 驽马这9天共行走了198********⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⨯+=里路程， 故长安与齐国两地相距220585515302+=里，A 正确. 3天后，良马共行走了()319313618⨯+=里路程，驽马共行走了1397289.52⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭里路程，故它们之间的距离为328.5里，B 正确. 良马前6天共行走了6513619313532⨯⨯⨯+=里1530<里，故良马行走6天还末到达齐国，C 不正确.良马前7天共行走了7613719316242⨯⨯⨯+=里1530>里，则良马从第7天开始返回迎接驽马，故8天后，两马之间的距离即两马第9天行走的距离之和，由9911931389783902a b ⎛⎫+=+⨯++-⨯= ⎪⎝⎭，知8天后，两马之间的距离为390里，故D不正确. 故选：AB12．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于点A ，B （A 在第一象限），以AB 为直径的圆E 与C 的准线相切于点D．若|||AD BD =，则（ ）A ．A ，B ，F 三点共线 B ．lC ．||3||AF BF =D ．圆E 的半径是6【答案】AC【分析】如图，连接DE ，过A 作准线的垂线，垂足为S ，过B 作准线的垂线，垂足为T ，连接,AF FB ，利用抛物线的几何性质可得,,A B F 三点共线，结合直角三角形DAB 边的关系可计算得到直线的倾斜角，从而利用直线方程和抛物线方程联立求出交点的坐标后可求,AF BF ，故可判断各项的正误.【详解】如图，连接DE ，则DE 为圆E 的半径，过A 作准线的垂线，垂足为S ，过B 作准线的垂线，垂足为T ，连接,AF FB ， 则2DE AS BT FA FB AB =+=+=，故,,A B F 三点共线. 因为AB 为直径，故90ADB ∠=︒，而||3|AD BD =，故30DAB ∠=︒，而DAE ∠为等腰三角形，故30ADE ∠=︒， 故30SAD ∠=︒，所以60SAF ∠=︒即直线l 的倾斜角为60︒3B 错. 设3:32AB y x ⎫=-⎪⎭，由23326y x y x⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得242090x x -+=， 所以91,22A B x x ==，故93136,22222AF BF =+==+=，故||3||AF BF =且圆E 的直径是8即半径为4，故C 对D 错. 故选：AC.【点睛】思路点睛：与抛物线准线或焦点有关的问题，可以利用其几何性质进行转化，而焦半径或焦点弦长的计算，则可以依据公式来处理. 三、填空题13．写出一个截距相等且不过第一象限的直线方程________． 【答案】此题答案不唯一：如10x y ++=【分析】根据题意分析此直线可分为两种情况①图象经过第二、三、四象限；②截距都为零.写出符合条件的一条直线即可.【详解】由截距相等且不过第一象限的直线方程知， ①图象经过第二、三、四象限，∴截距不为零，此直线的解析式为1x ya a+=即可；②截距都为零时，图像经过原点，此直线的解析式为(0)y kx k =<即可.∴此题答案不唯一：如10x y ++=. 故答案为：10x y ++=.14．在等差数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，若62324S S -=，则10S =_____. 【答案】100【分析】由等差数列性质得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，进而得624462S S d -==，故n S n n =，进而得2n S n =，再计算10S 即可.【详解】∵数列{}n a 为等差数列，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，又624462S Sd -==，解得：1d =，又∵1111S a ==， ∴nS n n=，即2n S n = ∴10100S = 故答案为：100.15．过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,且|AB |＝4,若原点O 是△ABC 的垂心,则点C 的坐标为_____． 【答案】()3,0-【分析】由题意设直线AB 的方程,与抛物线联立求出两根之和,由抛物线的性质可得弦长|AB |的表达式,再由题意可得参数的值,进而求出直线的方程,代入抛物线的方程求出A ,B 的坐标,由O 为三角形ABC 的垂心可得C 在x 轴上,设C 的坐标,由OA ⊥BC ,可得数量积为0,求出C 点的坐标．【详解】解：显然直线AB 的斜率不为0,由题意设直线AB 的方程为：x ＝my +1,设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,联立直线AB 与抛物线的方程214x my y x =+⎧⎨=⎩,整理可得y 2﹣4my ﹣4＝0,y 1+y 2＝4m ,所以x 1+x 2＝4m 2+2, 由抛物线的性质可得|AB |＝x 1+x 2+2＝4m 2+4,由题意可得4m 2+4＝4,所以m ＝0,即直线AB 垂直于x 轴, 所以可得A （1,2）,B （1,﹣2）,因为原点O 是△ABC 的垂心,所以C 在x 轴上,设C （a ,0）,可得AO ⊥BC ,即AO BC ⋅=0 即（1,2）•（1﹣a ,﹣2）＝0,整理可得：1﹣a ﹣4＝0,解得a ＝﹣3, 所以C 的坐标为：()3,0-,故答案为：()3,0-．【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线的方程求解参数的问题,需要根据题意联立直线与抛物线的方程,根据韦达定理求解参数.同时也考查了垂直的向量用法.属于中档题.16．已知过椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点F 3C 相交于A ，B 两点，若3AF FB =，则椭圆C 的离心率为 _____. 3【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，将直线的方程和椭圆的方程联立消元得出24121222233b c b y y y y b a-+==+，由3AF FB =可得123y y =-，这几个式子再结合222b c a =-化简可得3c =. 【详解】因为直线AB 过点(,0)F c -3所以直线AB 的方程为：)3y x c +， 与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>联立消去x ，得()222243230ba yb cy b +--=设()()1122,,,A x y B x y所以41212223b y y y y b a -+==+ 因为3AF FB =，可得123y y =-代入上式得422222233b y y b a ---=+ 消去2y 并化简整理得：22293c b a =+ 将222b c a =-代入化简得：2213c a =解之得c =，因此，该双曲线的离心率c e a ==四、解答题17．在①56a =，1350a S +=；②129S S >，2210a a +<，③90S >，100S <这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解决问题．问题：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，________________，若，判断n S 是否存在最大值，若存在，求出n S 取最大值时n 的值；若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答．按第一个解答记分． 【答案】答案不唯一，具体见解析．【分析】选①：易得162n a n =-，法一：令0n a ≥求n ，即可n 为何值时n S 取最大值；法二：写出n S ，利用等差数列前n 项和的函数性质判断n 为何值时n S 有最大值；选②：由数列前n 项和及等差数列下标和的性质易得110a >、11120a a +<即可确定n S 有最大值时n 值；选③：由等差数列前n 项和公式易得50a >、560a a +<即可确定n S 有最大值时n 值；【详解】选①：设数列{}n a 的公差为d ，56a =，1350a S += 11464350a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得114,2a d ==-，即()1421162n a n n =--=-， 法一：当0n a ≥时，有1620n -≥，得8n ≤，∴当7n ≤时，0n a >；8n =，0n a =；9n ≥时，0n a <， ∴7n =或8n =时，n S 取最大值．法二：215n S n n =-+，对称轴7.5n =，∴7n =或8n =时，n S 取最大值．选②：由1290S S ->，得1211100a a a ++>，由等差中项的性质有1130a >，即110a >， 由2210a a +<，得22111120a a a a +=+<，∴120a <，故12110d a a =-<，∴当11n ≤时，0n a >，12n ≥时，0n a <，故11n =时，n S 取最大值．选③：由90S >，得()1959992022a a a S +⨯==>，可得50a >， 由100S <，得()()11056101010022a a a a S ++==<，可得560a a +<， ∴60a <，故650d a a =-<，∴当5n ≤时，0n a >，6n ≥时，0n a <，故5n =时，n S 取最大值．【点睛】关键点点睛：根据所选的条件，结合等差数列前n 项和公式的性质、下标和相等的性质等确定数列中项的正负性，找到界点n 值即可.18．双曲线 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，离心率 e = 2 ． (1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点()1,1P 的直线l 与双曲线C 相交于,A B 两点，且P 为AB 的中点，求直线l 的方程．【答案】(1)2213x y -= (2)320x y -+=【分析】（1）根据题意求出,a b 即可得出；（2）利用点差法求出直线斜率即可得出方程.【详解】(1)∵c e a ==，22b =，∴c =，1b =， ∵222b c a =-，∴22413a a =-，∴23a =， ∴双曲线C 的标准方程为2213x y -=； (2)设以定点()1,1P 为中点的弦的端点坐标为()()()112212,,,A x y B x y x x ≠，可得122x x +=，122y y +=，由,A B 在双曲线上，可得：221122221313x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减可得以定点()1,1P 为中点的弦所在的直线斜率为：()21122112133y y x x k x x y y -+===-+ 则以定点()1,1P 为中点的弦所在的直线方程为()1113y x -=-，即为320x y -+=， 联立方程2233201x x y y ⎧-=⎪⎨⎪-+⎩=得：261210y y -+=，2124611200∆=-⨯⨯=>，符合， ∴直线l 的方程为：320x y -+=.19．平面直角坐标系中，曲线223y x x =--与坐标轴的交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程；(2)圆C 与直线0x y a ++=交于A ，B 两点，在圆C 上是否存在一点M ，使得四边形CAMB 为菱形？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)222230x y x y +-+-=；(2)存在，直线方程为220x y +或220x y +=.【分析】（1）利用待定系数法即求；（2）利用直线与圆的位置关系可得a <然后利用菱形的性质可得圆心C 到直线的距离12d CM ==. 【详解】(1)曲线223y x x =--与y 轴的交点为(0,3)-，与x 轴的交点为(30)，，(10)-，， 设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则93093010E F D F D F -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得223D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴圆C 的方程为222230x y x y +-+-=；(2)∵圆C 与直线0x y a ++=交于A ，B 两点，圆C 化为22(1)(1)5x y -++=，圆心坐标为(1,1)-∴圆心C 到直线的距离|11|||522a a d -+==<，解得1010a -<<. 假设存在点M ，使得四边形CAMB 为菱形，则CM 与AB 互相平分， ∴圆心C 到直线的距离1522d CM ==， 即||522a =，解得102a =±，经验证满足条件. ∴存在点M ，使得四边形CAMB 为菱形，此时的直线方程为22100x y ++=或22100x y +-=. 20．如图，在三棱锥P ABC ﹣中，AB BC =，PA ⊥平面ABC ，M ，N 分别为棱AC ，AP 的中点.(1)求证：BM PC ⊥；(2)若5AB =2AC =，二面角A BN M --的大小为30，求三棱锥P ABC -的体积.【答案】(1)证明见解析；415【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质即证；（2）利用坐标法，结合条件可求15PA =.【详解】(1)AB BC =，M 是AC 的中点，BM AC ∴⊥，PA ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，BM PA ∴⊥，又PA AC A =，BM ∴⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，BM PC ∴⊥；(2)5AB BC ==2AC ＝，2BM ∴=，取PC 的中点D ，连接MD ，则MD PA ∥，MD ∴⊥平面ABC ，以M 为坐标原点，分别以MB 、MC 、MD 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AN t =，则(000)M ，，，(0,1,)N t -，(0,10)A -，，(200)B ，，， (2,0,0)MB ∴=，(0,1,)MN t =-，(0,0,)AN t =，(2,1,0)AB =，设平面BMN 的一个法向量为(,,)n x y z =，由200n MB x n MN y tz ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，取1z =，得(0,,1)n t =； 设平面ABN 的一个法向量为()111,,m x y z =，由111020m AN tz m AB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，得(1,2,0)m =-， ∵二面角A BN M --的大小为30，2|||3|cos ,|||||51m n m n m n t ⋅∴<>==⋅+15t = 2215PA AN ∴==则三棱锥P ABC -的体积ABC 11141522215332V S PA ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯21．如图，已知顶点()0,3R -，()2,1N ，动点,P Q 分别在x 轴，y 轴上移动，延长PQ 至点M ，使得12PQ QM =，且•0PR PM =.（1）求动点M 的轨迹C ；（2）过点N 分别作直线,NA NB 交曲线于,A B 两点，若直线,NA NB 的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值；（3）过点N 分别作直线,NA NB 交曲线于,A B 两点，若NA NB ⊥，直线AB 是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由.【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析；（3）()2,5-.【分析】（1）设点M,P,Q 的坐标,将向量进行坐标化，整理即可得轨迹方程；（2）设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线,NA NB 的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，用斜率公式计算得到1240x x ++=，即可计算k AB ；（3）若NA NB ⊥，由两直线斜率积为-1，可得到关于12x x 与12x x +的等量关系，写出直线AB 的方程，将等量关系代入直线方程整理可得直线AB 经过的定点．【详解】（1）设().M x y ，()0,0P x ，()00,Q y . 由12PQ QM =，得()()0001.,2x y x y y -=-，即001223x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 因为•0PR PM =，所以()()0030x x x y ---=，所以24x y =.所以动点M 的轨迹为抛物线C ，其方程为24x y =.（2）证明：设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若直线,NA NB 的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数， 又211112424NAx x k x -+==-，224NB x k +=，所以1222044x x +++=， 1240x x ++=，整理得1240x x ++=，所以221212124414AB x x x x k x x -+===--. （3）因为NA NB ⊥，所以1222•144NA NB x x K K ++==+=-， 即()12122200x x x x +++=，① 直线AB 的方程为：()2112144x x x y x x +-=-， 整理得：1212•44x x x x y x +=-，② 将①代入②得()121222044x x x x y x +++=+，即()12254x x y x +=++， 当2x =-时5y =，即直线AB 经过定点()2,5-.【点睛】本题考查直接法求轨迹方程，考查直线斜率为定值的求法和直线恒过定点问题.22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点组成的四边形的面积为22，且经过点21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的下顶点为P ，如图所示，点M 为直线2x =上的一个动点，过椭圆C 的右焦点F 的直线l 垂直于OM ，且与C 交于A ，B 两点，与OM 交于点N ，四边形AMBO 和ONP ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最大值.【答案】（1）2212x y +=（22 【详解】（1）因为2⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，所以221112a b +=， 又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为2212222,22a b ab ⨯⨯==解得222,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2212x y += （2） 由（1）可知()1,0F ，设()()()11222,,,,,M t A x y B x y ，则当0t ≠时，:2t OM y x =，所以2AB k t =-， 直线AB 的方程为()21y x t=--，即()2200x ty t +-=≠， 由()2221220y x t x y ⎧=--⎪⎨⎪+-=⎩得()222816820t x x t +-+-=，则()()()()22242164882840t t t t ∆=--+-=+>， 21212221682,88t x x x x t t -+==++，)2248t AB t +==+，又OM)22122441288t t S OM AB t t ++=⨯=++ 由()212y x t t y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得244N x t =+，所以2221421244S t t =⨯⨯=++，所以212224284t S S t t +===++ 当0=t ，直线:1l x =，AB =1122S ==2111122S =⨯⨯=，12S S =， 所以当0=t 时，()12max S S =. 点睛： 在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.。
福建省莆田第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题
莆田一中2019～2020学年度上学期期末考试试卷高二 数学选修试卷满分 150分 考试时间 120分钟一、选择题(本大题共有12小题，每小题5分，共60分，其中第12题为多选题，少选得3分，选错不得分;其他11小题在给出的四个选项中，只有一项符合题意)1、复数242ii+-(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A.-2iB.2iC.8-103iD.103i-2、某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理这四门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ）A.8种B.12种C.16种D.20种3、某几何体的三视图如图所示，其俯视图与左视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（ ）A.10πB.12πC.16πD.8π4、已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅uu u r uu u r的值为（ ）A.214a B.2aC.212a D.23a 5、设43()23f x x x =-++，在[],ab 上，以下结论正确的是 ( )A. ()f x 的极值点一定是最值点B.()f x 的最值点一定是极值点C.()f x 在[],a b 上可能没有极值点D.()f x 在[],a b 上可能没有最值点6、已知曲线cos )xf x x=（在点(,0)M π处的切线与直线60ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ）A.-πB.2-πC.π2D.π7、函数2()e x x f x -=的图象是( )A. B. C. D.8、已知函数3()1f x x ax =--，则()f x 在（-1,1）上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A.[]03a ∈，B.0,5a ∈（）C.0,3a ∈（）D.1,3a ∈（）9、10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A.2263C AB.2666C AC.2266C AD.2265C A10、已知函数31()2+1x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若2(3)(21)2f a f a +-≥，则实数a 的取值范围是（ ）A.2-1,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B.1-1,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.(]2--1+3⎡⎫∞⋃∞⎪⎢⎣⎭，，D.(]1--1+3⎡⎫∞⋃∞⎪⎢⎣⎭，， 11、已知点P 是曲线24y x =上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H ，点Q 是曲线x y e =上任意一点，则|PH|+|PQ|的最小值为（ ）3+12+1312112、（多选题）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ）A.32+4y x x =B.sin()y x x =+-C.2log y x =D.22x x y -=-二、填空题(本大题共有4个小题，每题5分，共20分)13、复数z=5+20i 在复平面内对应的点的坐标是 .14、若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的余弦值是15、定义在[1,1]-的函数32()310f x x x =--的最大值为 .16、已知直线y kx =与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于不同的两点A 、B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足3AF BF =，|OA|=b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤．)17、(本小题满分10分)已知函数x x x f ln 2+=)(（1）经过点（0,-2）作函数)(x f 图像的切线，求切线的方程；（2）设函数)(21=)(2x f x x g -，求)(x g 的极值。