高考文科数学中档题训练16(教师版)
高考文科数学中档题训练2(教师版)
文科高考数学中档题系列（ 2 ）1. 同角三角函数基本关系已知函数()22sin cos 3cos f x x x x x =++． （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）已知()3f α=，且()0,πα∈，求α的值．解：（Ⅰ）()2cos 22f x x x =++＝π2sin(2)26x ++．………… 4分 由πππ2π22π262k x k -+++≤≤，得ππππ36k x k -++≤≤． ∴函数()f x 的单调增区间为 ()ππ[π,π]36k k k -++∈Z ．………… 7分 （Ⅱ）由()3f α=，得π2sin(2)236α++=． ∴π1sin(2)62α+=． ………………………………………… 10分 ∴1ππ22π66k α+=+，或2π5π22π66k α+=+()12,k k ∈Z ， 即1πk α=或2ππ3k α=+()12,k k ∈Z ． ∵()0,πα∈，∴π3α=． …………………………………………… 14分 2. Q P M n n n y y Q x x x x P =∈≤≤-===++=*},,21,12|{},0)2410(|{2N ，在平面直角坐标系中，点),(y x ''的坐标M y M x ∈'∈',，试计算：（1）点A 正好在第三象限的概率；（2）点A 不在y 轴上的概率；（3）点A 正好落在区域1022≤+y x 上的概率.解析：由集合}0)2410(|{2=++=x x x x P 可得}0,4,6{--=P ，由*},21,12|{N ∈≤≤-==n n n y y Q 可得}3,1,0,4,6{},3,1{--===Q P M Q ，因为点),(y x A ''的坐标，M y M x ∈'∈',，所以满足条件的A 点共有2555=⨯个，（1）正好在第三象限点有)4,4(),4,6(),6,4(),6,6(--------，故点A 正好在第三象限的概率.2541=P （2）在y 轴上的点有)3,0(),1,0(),0,0(),4,0(),6,0(--，故点A 不在y 轴上的概率.5425512=-=P （3）正好落在1022≤+y x 上的点有)3,0(),0,3(),3,1(),1,3(),1,0(),0,1(),0,0(故A 落在1022≤+y x 上的概率为.2573=P 3. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA=45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥平面PCE ；（Ⅱ）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求三棱锥C －BEP 的体积．（07番禺仲元中学佛山南海中学惠阳崇雅中学中山市第一中学汕头市潮阳第一中学） 证明: （Ⅰ）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ， ∴FG 为△CDP 的中位线，∴FG 21//CD ，……………………………………… 1分 ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，∴AB 21//CD ， ∴FG //AE ，∴四边形AEGF 是平行四边形， ∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，………… 3分∴AF ∥平面PCE ；……………………………… 4分（Ⅱ）∵ PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，PA AD=A ， ∴CD ⊥平面ADP ，又AF ⊂平面ADP ，∴CD ⊥AF ，……………………………………………………… 6分 直角三角形PAD 中，∠PDA=45°，∴△PAD 为等腰直角三角形，∴PA ＝AD=2， …………………………………………………………………………… 7分 ∵F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD ，又CD PD=D ，∴AF ⊥平面PCD ，……………………………………………………………………… 8分 ∵AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PCD ，……………………………………………………………………… 9分 又EG ⊂平面PCE ，平面PCE ⊥平面PCD ；………………………………………………………………… 10分（Ⅲ）三棱锥C －BEP 即为三棱锥P －BCE ，…………………………………… 11分PA 是三棱锥P －BCE 的高，Rt △BCE 中，BE=1，BC=2，∴三棱锥C －BEP 的体积V C －BEP =V P －BCE =2221212121=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅∆PA BC BE PA S BCE …………… 14分 已知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切;②在直线y =x 上截得弦长为27;③圆心在直线x －3y =0上. 求圆C 的方程.解：设所求的圆C 与y 轴相切，又与直线交于AB ，∵圆心C 在直线03=-y x 上，∴圆心C （3a ，a ），又圆 与y 轴相切，∴R=3|a |. 又圆心C 到直线y －x =0的距离7||,72||.||22|3|||===-=BD AB a a a CD在Rt △CBD 中，33,1,1.729,)7(||222222±=±===-∴=-a a a a a CD R .∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（－3，－1），故所求圆的方程为9)1()3(22=-+-y x或9)1()3(22=+++y x .。
高考数学一天十道中档题 1-4(1)
《一天十道中档题》中档题（一）一、单选题1．已知函数221ln 11f x x x，则不等式 211f x f x 的解集为（）A ． ,01,B ． ,2C ．,20, D ．2,0 2．设函数 f x 的定义域为 ,11y f x R 为奇函数， 2y f x 为偶函数，若 2024f 1，则 2f （）A ．1B ．1C ．0D ．33．下列不等式中正确的是（）A ．11πeπeB ．1eπC ．2e2ππeD ．2π2e lnπ4．已知函数 e ,0,ln ,0,x x x f x x x ，若关于x 的方程 10f x a 的不同实数根的个数为4，则a 的取值范围为（）A ．11,1eB ．11,1eC ．11,1eD ．111,1ee5．已知函数 32697f x x x x ，直线l 过点 0,1且与曲线 y f x 相切，则直线l 的斜率为（）A ．24B ．24或3C ．45D ．0或45二、多选题6．已知函数 f x 的定义域为R ，且 21f x 的图象关于点1,02对称， 11f x f x ，则下列结论正确的是（）A ． f x 奇函数B ． f x 的图象关于直线2x 对称C ． f x 的最小正周期为4D ．若 12f ，则 12200f f f三、填空题7．已知0b ，函数 42bxxa f x 是奇函数，则ab ．8．设0a ，已知函数 2ln 2f x x ax 的两个不同的零点1x 、2x ，满足121x x ，若将该函数图像向右平移 0m m 个单位后得到一个偶函数的图像，则m．四、解答题9．已知函数2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x且(e)3f ．(1)求实数a 的值；(2)若函数()() g x f x k 在R 上恰有两个零点，求实数k 的取值范围．10．设 2cos 1f x ax x ，a R .(1)当12a时，证明： 0f x ；(2)证明： *1114cos cos cos ,1233n n n n N L .中档题（二）一、填空题1．(1)已知0y x ，则42y x y x x y的最小值为.(2)设,0x y ，已知2xyx y，则22x y 的最小值为.(3)已知x >0，y >0，且3x y ，则141x y 的最小值为.(4)设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ﹐且满足 222cos cos b a a B b A ，ABC 的周长为51，则ABC 面积的最大值为．(5)已知0a ，0b ，且1ab ，则111822a b a b的最小值为.(6)正实数x ，y 满足132x y时，则x y 的最小值为．(7)已知222x xy y ，则22x y 的最大值为.(8)已知0x ，0y ，2xy x y ，则xy 的最小值是．(9)设10,0,22x y y x，则1x y 的最小值为．(10)已知正实数x ，y 满足2x y ，则12x y的最小值为．二、多选题2．已知0a ，0b ，a b ab ，则（）A ．1a 且1bB ．4abC ．49a b D ．11b ab3．在ABC 中，角A ，B ，C 的边分别为a ，b ，c ，已知60B ，b 的是（）A ．若π4A ，则aB ．若1a ，则72cC ．ABC 周长的最大值为D ．ABC 面积的最大值124．若正实数,a b 满足1a b ，则下列选项中正确的是（）A ．ab 有最大值14B ．122a bC ．14a b的最小值是10D5．若0,0,1a b a b ，则下列不等式恒成立的是（）A ．14abB C ．2212a bD ．114a b6．下列说法正确的是（）A ．若12x，则函数1221y x x 的最小值为1 B ．若,,a b c 都是正数，且2a b c ，则411a b c的最小值是3C ．若0,0,26x y x y xy ，则2x y 的最小值是4D ．已知0xy ，则22222222x y x y x y 的最大值为4 7．设11a b ,，且()1ab a b ，那么（）A ．a b 有最小值21B ．a b 有最大值21C ．ab 有最大值3 .D ．ab 有最小值3 .8．已知x ，y 是正数，且21x y ，下列结论正确的是（）A ．xy 的最大值为18B ．224x y 的最小值为12C ． x x y 最大值为14D ．2x yxy最小值为99．下列结论正确的是（）A ．当1x 2B ．当54x时，14245x x 的最小值是5C ．当0x 时，1x x的最小值是2D ．设0x ，0y ，且2x y ，则14x y 的最小值是9210.已知不等式220ax bx 的解集是 12x x ．(1)求实数,a b 的值．(2)解不等式2203ax bx x ．一天十道中档题（三）一、单选题1．已知0a ，且1a ，若函数1()(ln )x f x a x a 在(1,) 上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．1(0,]eB ．1[,1)eC ．(1,e]D ．[e,)2．已知曲线:e x E y 与y 轴交于点A ，设E 经过原点的切线为l ，设E 上一点B 横坐标为(0)m m ，若直线//AB l ，则m 所在的区间为（）A ．10mB ．01mC ．312m D ．322m 3．设等比数列 n a 中，3a ，7a 使函数 3223733f x x a x a x a 在=1x 时取得极值0，则5a 的值是（）A ．BC ．D ．4．函数 y f x 在R 上的图象是一条连续不断的曲线，且与x 轴有且仅有一个交点，对任意x ，R y ， f x f y f ， 11f ，则下列说法正确的是（）A ． 22f B ． f x 为奇函数C ． f x 在 0, 单调递减D ．若 4f x ，则2,2x 5．已知 0f x ，且0x 时， 22cos f x x f x ，若2π42πf ，若 22sin x f x g x x是常函数，则方程 1f x 在区间 0,1内根的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．06．函数 y f x 的导数 y f x 仍是x 的函数，通常把导函数 y f x 的导数叫做函数的二阶导数，记作 y f x ，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，n 1 阶导数的导数叫做n 阶导数，函数 y f x 的n 阶导数记为n y f x ，例如e x y 的n 阶导数e e n x x ．若 e cos 2xf x x x ，则500f （）A ．50502 B ．50C ．49D ．49492 二、解答题7．已知函数 ln 0x f x x a a x.(1)讨论 f x 的最值；(2)若1a ，且 e x k xf x x≤，求k 的取值范围.8．已知函数 2ln ,R f x x a x a .(1)若函数 g x f x x 在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围;(2)讨论函数 2h x f x a x 的单调性.9．若函数 y f x 存在零点a ，函数 y g x 存在零点b ，使得1a b ，则称 f x 与 g x 互为亲密函数.(1)判断函数 22xf x x 与 1ln 210g x x x x是否为亲密函数，并说明理由；(2)若 1ex h x x 与 32212k x x mx m x m 互为亲密函数，求m 的取值范围.附：ln3 1.1 .10．柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f (x )，g (x )满足:①图象在 ,a b 上是一条连续不断的曲线；②在 ,a b 内可导;③对 ,x a b ， 0g x ，则 ,a b ，使得f b f a fg b g a g .特别的，取 g x x ，则有： ,a b ，使得 f b f a f b a，此情形称之为拉格朗日中值定理.(1)设函数 f x 满足 00f ，其导函数 f x 在 0, 上单调递增，证明：函数 f x y x在 0, 上为增函数.(2)若 ,0,e a b 且a b ，不等式ln ln 0a b b a m b a a b恒成立，求实数m 的取值范围.一天十道中档题（四）一、填空题1．已知实数,a b 满足221a ab b ，则ab 的最大值为；221111a b 的取值范围为．2．函数y 的值域为.3．2223164sin 20sin 20cos 20 ．4．在ABC 中，若sin(2)2sin A B B ，则tan B 的最大值为．5．设 ， 为锐角，且满足 22sin sin sin ，则 .6．已知锐角 ， 满足条件：4422sin cos 1cos sin ，则 .7．设G 为ABC 的重心，满足0AG BG .若11tan tan tan A B C ，则实数 的值为.二、单选题8．已知ABC 非直角三角形，G 是ABC 的重心，GA GB ，则tan tan tan tan tan A B C A B （）A ．12B ．1C D ．29．已知 ， 0,π ，且cos 10， 1tan 3 ，则2 （）A ．π4 或3π4B ．3π4 或π4C ．π4D ．3π410．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222222a b a b c c ab ，若ABC 为锐角三角形，则角B 的取值范围是（）A ．π0,6 B ．ππ,64C ．ππ,43D ．ππ,32 三、解答题11．ABC 中，求3sin 4sin 18sin A B C 的最大值。
2019年高考数学(文科)中档大题规范练(三角函数)(含答案)
高考数学精品复习资料2019.5中档大题规范练中档大题规范练——三角函数1．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －2cos 2x＝sin 2x －(1＋cos 2x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值．(1)求f (x )的值域及周期；(2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3. 因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]．(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π， 故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值， 所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝c sin π4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34. 3．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a .(1)求函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2)当x ∈[0，π4]时，函数f (x )有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z . 故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3]， 从而sin(2x ＋π6)∈[12，1]． ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]， ∵f (x )有最大值4，∴a ＋3＝4，故a ＝1.4．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12， 所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12. 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1， 所以f (x )的最大值为32. 5．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)． 最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1， 从而f (x )＝2sin(2x －π6)． 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )． (2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]， 所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22. 6.在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ， 所以∠ACB ＝30°. 由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°. 在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ， 由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)， 解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.。
高考文科数学中档题训练1(教师版)
文科高考数学中档题系列（1）1.已知函数π124()πsin 2x f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的概念域（Ⅱ）若角α在第一象限且3cos 5α=，求()f α． 解：（Ⅰ） 由πsin 02x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得ππ2x k ≠-+，即ππ2x k ≠-()k ∈Z ． 故()f x 的概念域为π|π2x x k k ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭R Z ，．（Ⅱ）由已知条件得4sin 5α===．从而π124()πsin 2f ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ1cos 2cos sin 2sin 44cos ααα⎫+⎪⎝⎭= 21cos 2sin 22cos 2sin cos cos cos ααααααα+++==142(cos sin )5αα=+=．2. 已知集合{2,0,1,3},A =-在平面直角坐标系中，点M(x,y)的坐标,x A y A ∈∈。
（1）请列出点M 的所有坐标； （2）求点M 不在x 轴上的概率；（3）求点M 正好落在区域5000x y x y +-<⎧⎪>⎨⎪>⎩上的概率。
解：（1）集合A ＝{-2,0,1,3},点M(x,y)的坐标,x A y A ∈∈，∴点M 坐标共有：4416⨯=个，别离是：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（0,-2），（0,0），（0,1），（0,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）.4分（2）点M 不在x 轴上的坐标共有12种：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3） 所以点M 不在x 轴上的概率是1123164P ==…………………..8分 （3）点M 正好落在区域5000x y x y +-<⎧⎪>⎨⎪>⎩上的坐标共有3种：（1,1），（1,3），（3,1）故M 正好落在该区域上的概率为2316P =…………………12分 3. 在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1（Ⅰ）求证：DC ∥平面ABE ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面BCDE ；（Ⅲ）求证：平面AFD ⊥平面AFE ． 解：(Ⅰ) ∵DC⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ∴DC ⊄⊂⊂x x ax x f ln 221)(2-+=0=a )(x f （2）当0≠a 时，若)(x f 是减函数，求a 的取值范围；解：（1）∵x x ax x f ln 221)(2-+=当a=0时，x x x f ln 2)(-=，则xx f 12)('-= ……………………2分 ∴)(),(',x f x f x 的转变情形如下表ABCDEF…………………………………………………………5分∴当21=x 时，)(x f 的极小值为1+ln2，函数无极大值. ……………………7分 （2）由已知，得，则且0,ln 221)(2>-+=x x x ax x fxx ax x ax x f 1212)('2-+=-+= ………………9分∵函数)(x f 是减函数∴0)('≤x f 对x>0恒成立，即不等式 0122≤-+x ax 对0>x 恒成立……11分由二次函数的性质可得 ⎩⎨⎧≤+=∆<0440a a …………………………13分解得 a a ，即1-≤的取值范围是 ]1,(--∞ ………………14分。
高考文科数学中档题训练16(学生版)
1 文科高考数学中档题系列（ 16 ）
1. 已知0,14
13)cos(,71cos 且=
β-α=α<β<α<2π, (Ⅰ)求α2tan 的值．
（Ⅱ）求β． 2. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验。
（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
()∏若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；
（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
3. 如图3，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，D 、E 、F 分别是棱PA 、PB 、PC 的中点，连接DE ，DF ，EF.
(1)求证: 平面DEF ∥平面ABC ；
(2)若PA=BC=2，求三棱锥P-ABC 的体积的最大值时.
图3
4. 已知椭圆和抛物线的方程分别为12
22
=+y x 和 x 2=8(y-1).如图所示，设,A B 分别是椭圆的左右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ,使ABP 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必求出这些点的坐标）。
A B C P D E F F 1Y X O F G B A。
2018年高考数学试卷(文科)(全国新课标Ⅰ)-教师用卷
2018年高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，0，1，，则A. B.C. D. 0，1，【答案】A【解析】解：集合，0，1，，则．故选：A．直接利用集合的交集的运算法则求解即可．本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查．2.设，则A. 0B.C. 1D.【答案】C【解析】解：，则．故选：C．利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力．【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．A项，种植收入，故建设后，种植收入增加，故A项错误．B项，建设后，其他收入为，建设前，其他收入为，故，故B项正确．C项，建设后，养殖收入为，建设前，养殖收入为，故，故C项正确．D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为，经济收入为2a，故，故D项正确．因为是选择不正确的一项，故选A．4.已知椭圆C：的一个焦点为，则C的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：椭圆C：的一个焦点为，可得，解得，，．故选：C．利用椭圆的焦点坐标，求出a，然后求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：，解得，则该圆柱的表面积为：．故选：D．利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积．本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查．6.设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．【解答】解：函数，若为奇函数，可得，所以函数，可得，曲线在点处的切线的斜率为：1，则曲线在点处的切线方程为：．故选D．7.在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，，故选：A．运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．8.已知函数，则A. 的最小正周期为，最大值为3B. 的最小正周期为，最大值为4C. 的最小正周期为，最大值为3D. 的最小正周期为，最大值为4【答案】B【解析】解：函数，，，，，，故函数的最小正周期为，函数的最大值为，故选：B．首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用．9.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A. B. C. 3 D. 2【答案】B【解析】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：．故选：B．判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力．10.在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为A. 8B.C.D.【答案】C【解析】解：长方体中，，与平面所成的角为，即，可得．可得．所以该长方体的体积为：．故选：C．画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可．本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．11.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A. B. C. D. 1【答案】B【解析】解：角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，，解得，，，．故选：B．推导出，从而，进而由此能求出结果．本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12.设函数，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数，的图象如图：满足，可得：或，解得．故选：D．画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，若，则______．【答案】【解析】解：函数，若，可得：，可得．故答案为：．直接利用函数的解析式，求解函数值即可．本题考查函数的解析式的应用，函数的零点与方程根的关系，是基本知识的考查．14.若x，y满足约束条件，则的最大值为______．【答案】6【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为，故答案为：615.直线与圆交于A，B两点，则__________．【答案】【解析】解：圆的圆心，半径为：2，圆心到直线的距离为：，所以．故答案为：．求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．16.的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，，则的面积为______．【答案】【解析】解：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．，利用正弦定理可得，由于，，所以，所以，则或由于，则：，当时，，解得，所以．当时，，解得不合题意，舍去．故：．故答案为：．直接利用正弦定理求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc的值，最后求出三角形的面积．本体考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列满足，，设．求，，；判断数列是否为等比数列，并说明理由；求的通项公式．【答案】解：数列满足，，则：常数，由于，故：，数列是以为首项，2为公比的等比数列．整理得：，所以：，，．数列是为等比数列，由于常数；由得：，根据，所以：．【解析】直接利用已知条件求出数列的各项．利用定义说明数列为等比数列．利用的结论，直接求出数列的通项公式．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．18.如图，在平行四边形ABCM中，，，以AC为折痕将折起，使点M到达点D的位置，且．证明：平面平面ABC；为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且，求三棱锥的体积．【答案】解：证明：在平行四边形ABCM中，，，又且，面ADC，又面ABC，平面平面ABC；，，，，由得，又，面ABC，三棱锥的体积．【解析】可得，且，即可得面ADC，平面平面ABC；首先证明面ABC，再根据，可得三棱锥的高，求出三角形ABP的面积即可求得三棱锥的体积．本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据单位：和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头天的日用水量频数分布表作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表【答案】解：根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：根据频率分布直方图得：该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率为：．由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：，使用节水龙头50天的日均用水量为：，估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：．【解析】根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表能作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图．根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率．由题意得未使用水龙头50天的日均水量为，使用节水龙头50天的日均用水量为，能此能估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水．本题考查频率分由直方图的作法，考查概率的求法，考查平均数的求法及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.设抛物线C：，点，，过点A的直线l与C交于M，N两点．当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；证明：．【答案】解：当l与x轴垂直时，，代入抛物线解得，所以或，直线BM的方程：，或：．证明：设直线l的方程为l：，，，联立直线l与抛物线方程得，消x得，即，，则有，所以直线BN与BM的倾斜角互补，．【解析】当时，代入求得M点坐标，即可求得直线BM的方程；设直线l的方程，联立，利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得，即可证明．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查转化思想，属于中档题．21.已知函数．设是的极值点，求a，并求的单调区间；证明：当时，．【答案】解：函数．，，是的极值点，，解得，，，当时，，当时，，在单调递减，在单调递增．证明：当时，，设，则，当时，，当时，，是的最小值点，故当时，，当时，．【解析】推导出，，由是的极值点，解得，从而，进而，由此能求出的单调区间．当时，，设，则，由此利用导数性质能证明当时，．本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．22.在直角坐标系xOy中，曲线的方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求的直角坐标方程；若与有且仅有三个公共点，求的方程．【答案】解：曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为：，转换为标准式为：．由于曲线的方程为，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点，由于该直线与曲线的极坐标有且仅有三个公共点，所以：必有一直线相切，一直线相交，则：圆心到直线的距离等于半径2，故：，解得：或舍去故C的方程为：．【解析】直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．23.已知．当时，求不等式的解集；若时不等式成立，求a的取值范围．【答案】解：当时，，因为，或，解得，故不等式的解集为；当时不等式成立，，即，即，，，，，，，，，故a的取值范围为．【解析】去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集；当时不等式成立，转化为，即，转化为，且，即可求出a的范围．本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。
高考文科数学中档题训练18(教师版)
文科高考数学中档题系列（ 18 ）1. 在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =． （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长． 【解析】（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=．（Ⅱ）由332ABC S =△ 得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=，又 s i n 20s i n 13A B B A C A B C ⨯==，故 2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==．2. 有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4．（Ⅰ）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）摸球方法与（Ⅰ）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？ 解：（Ⅰ）用(),x y （x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4，共16个；---3分设：甲获胜的的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有：()2,1、()3,1、()3,2、()4,1、()4,2、()4,3，共有6个；则 -----5分63()168P A == -----------6分 （Ⅱ）设：甲获胜的的事件为B ，乙获胜的的事件为C;事件B 所包含的基本事件有：()1,1、()2,2、()3,3、()4,4，共有4个；则 ------8分41()164P B == 13()1()144P C P B ∴=-=-=---------10分()()P B P C ≠，所以这样规定不公平. ----11分答：（Ⅰ）甲获胜的概率为38;（Ⅱ）这样规定不公平. ----12分3. 已知函数||ln )(2x x x f =，（Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为{R x x ∈|且0≠x } ………………… 1分)(ln ||ln )()(22x f x x x x x f ==--=-∴)(x f 为偶函数 ………………… 3分 （Ⅱ）当0>x 时，)1ln 2(1ln 2)(2+⋅=⋅+⋅='x x xx x x x f ………………… 4分 若210-<<e x ，则0)(<'x f ，)(x f 递减；若21->ex ， 则0)(>'x f ，)(x f 递增． ………………… 6分再由)(x f 是偶函数，得)(x f 的 递增区间是),(21---∞e 和),(21∞+-e；递减区间是)0,(21--e 和),0(21-e ． ………………… 8分4. 如图，圆柱1OO 内有一个三棱柱111ABC-A B C ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 直径。
高考数学(文科)中档大题规范练(三角函数)(含答案)
中档大题规范练中档大题规范练——三角函数1．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －2cos 2x＝sin 2x －(1＋cos 2x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值．(1)求f (x )的值域及周期；(2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3. 因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]．(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π， 故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值， 所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝c sin π4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34. 3．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a .(1)求函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2)当x ∈[0，π4]时，函数f (x )有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2＝π， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3]， 从而sin(2x ＋π6)∈[12，1]． ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]， ∵f (x )有最大值4，∴a ＋3＝4，故a ＝1.4．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12， 所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12. 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1， 所以f (x )的最大值为32. 5．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)． 最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1，从而f (x )＝2sin(2x －π6)． 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )． (2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]， 所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22. 6.在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ， 所以∠ACB ＝30°. 由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°. 在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ， 由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)， 解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.。
2011年高考文科数学试题汇编----函数与导数(教师用)
函数与导数一、选择题（安徽文5）若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a10,b+1) (D)(a 2,2b) 【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.【解析】由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上.(安徽文10) 函数()()n f x ax x 2=1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可 能是（A ）1 (B) 2(C) 3 (D) 4【答案】A 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当1n =时，()()()f x ax x a x x x 232=1-=-2+g，则()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫⎪⎝⎭递增，0.1xyO0.在1,13⎛⎫⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332g ，知a 存在.故选A.（北京文8）已知点()0,2A ,()2,0B ,若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A（福建文6）若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是A ．（－1，1）B ．（－2，2）C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C（福建文8）已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0x ＋1，x ≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．3 【答案】A（福建文10）若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9 【答案】D（广东文4）函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 （ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞ 【答案】C（湖南文7）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12- B ．12C ．22-D ．22【答案】B 【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以 2411'|2(sincos )44x y πππ===+。
文科高考数学基础训练答案16,17,18
x 0.19 2000
x 380
（2）初三年级人数为 y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500， 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生， 应在初三年级抽取的人数 为：
ˆ= b
i 1
i
x 15
时，
f x 0
；当
0 x 15 时， f x 0
yi y
xi x
－0.1 －2
0 －1
0.1
0.1
－0.1
0.1
S2 S2 4d 12 d 3,选 B.
cos 3 ( 0,0 ) 解得 2 4cos
4、 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f（x）元，则
0
1
4、 【解析】 （1）
4
1
0
1
4
10
ห้องสมุดไป่ตู้
x 10, x Z
( x x)( y y)
∴
10800 f x 48 , x2 0.1 ˆ =0.5—0.01×3=0.47， = =0.01， a ˆ = y bx 10
当
令
f x 0
得
x 15
，高为
(2 3) 2 ( 3) 2
=3，
y 0 垂直，我们设待求的
，故选 C.
2、 【命题意图】本题考查线性回归分析方法及运算求解能力，是中档题.
0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 【解析】平均命中率为 y = =0.5，平均训练 5 1 2 3 4 5 =3， 时间 x = 5
(4+3) h S梯形ABEF 7 2 = = S梯形EFCD (3 2) h 5 2 7 【答案】 5
高考文科数学中档题训练10(教师版)
文科高考数学中档题系列（ 10 ）1. 已知函数()()()sin 0,0f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数()()0y f kx k =>周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()f kx m=恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围；【解题思路】分析图表发现周期性、最值、对称点坐标确定参数.借助数形结合讨论方程的解.解：（1）设()f x 的最小正周期为T ，得11266T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭…………………….. 2分 由2T πω=得1ω=又31B A B A +=⎧⎨-=-⎩，解得21A B =⎧⎨=⎩ …………………….. 3分 令562ππωϕ⋅+=，即562ππϕ+=，解得3πϕ=-∴()2sin 13f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭…………………….. 5分（2）∵函数()2sin 13y f kx kx π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的周期为23π又0k >∴3k = …………………….. 6分 令33t x π=-，∵0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ …………………….. 8分如图sin t s =在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解的充要条件是s ⎫∈⎪⎪⎣⎭∴方程()f kx m =在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恰好有两个不同的解的充要条件是)1,3m ∈，即实数的取值范围是)1,3 …………………….. 12分2. 某私营企业家准备投资1320万元新办一所完全中学（含教师薪金）.对教育市场进行调查后，得到了下面的数据（以班为单位）：收取学费7000元，高中每人每年可收取学费8000元.那么第一年开办初中班和高中班各多少个，收取的学费额最多？（注：一个学校办学规模以20至30个班为宜，教师实行聘任制）答案：设开办初中班x 个，高中班y 个，收取的学费总额为z 万元.根据题意，有 x ≥0，y ≥0，且x 、y ∈Z ； ① 20≤x + y ≤30； ② 25x + 50y + 2.5×3.2x + 4.0×4.0y ≤1320，即 x + 2y ≤40. ③ 目标函数为 z = 0.7×40 x + 0.8×45 y = 28 x + 36 y ，可行域如图： …………… 6分把z = 28 x + 36 y 变形为3697z x y +-=， 得到斜率为97-，在y 轴上的截距为36z，随z变化的一簇平行直线.由图象可以看到，当直线z = 28 x + 36 y 经过可行域上的点A 时，z 最大.解方程组 ⎩⎨⎧=+=+,402,30y x y x 得x = 20，y = 10，即点A 的坐标为（20，10），所以 z max = 28×20 + 36×10 = 920.由此可知，开办20个初中班和10个高中班，收取的学费总额最多，为920万元. …………… 12分3. 2008福建19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD,底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AD =2AB =2BC=2，O 为AD 中点. (Ⅰ)求证:PO ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求∠PBO 的余弦值； (Ⅲ)求点A 到平面PCD 的距离.本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.满分12分. 解法一：（Ⅰ）证明：在△P AD 卡中P A ＝PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD . 又侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD.（Ⅱ）因为AD ＝2AB ＝2BC ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝1，AO ＝1，所以OB ＝2， 在Rt △POA 中，因为AP ＝2，AO ＝1，所以OP ＝1， 在Rt △PBO 中，PB ＝322=+OB OP ,cos ∠PBO =3632==PBOB, (Ⅲ)由（Ⅱ）得CD ＝OB ＝2， 在Rt △POC 中，PC ＝222=+OP OC ，所以PC ＝CD ＝DP ，S △PCD =43·2=23. 又S △=,121=∙AB AD 设点A 到平面PCD 的距离h ， 由V P-ACD =V A-PCD ， 得31S △ACD ·OP ＝31S △PCD ·h ， 31×1×1＝31×23×h ，解得h ＝332. 4. 已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。
2012年高考数学真题汇编16 选考内容 文(解析版)
2012高考试题分类汇编：16：选考内容1.【2012高考陕西文15】（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】42≤≤-a .【解析】不等式3|1|||≤-+-x a x 可以表示数轴上的点x 到点a 和点1的距离之和小于等于3，因为数轴上的点x 到点a 和点1的距离之和最小时即是x 在点a 和点1之间时，此时距离和为|1|-a ，要使不等式3|1|||≤-+-x a x 有解，则3|1|≤-a ，解得42≤≤-a . 2.【2012高考陕西文15】（几何证明选做题）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= .【答案】5.【解析】5,1,6=∴==EB AE AB .连接AD ，则AED ∆∽DEB ∆，BEDEDE AE =∴, 5=∴DE , 又DFE ∆∽DEB ∆,DBDEDE DF =∴,即52==⋅DE DB DF . 3.【2012高考陕西文15】（坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .【答案】3.【解析】直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=的普通方程为1)1(1222=+-=y x x 和，圆心到直线的距离为21211=-，所以弦长为3)21(122=-.4.【2012高考天津文科13】如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点F ,3AF =,1FB =,32EF =,则线段CD 的长为 .【答案】34 【解析】如图连结BC ，BE ，则∠1=∠2，∠2=∠A1A ∠=∠∴，又∠B=∠B ，CBF ∆∴∽ABC ∆，AC CFAB CB BC BF AB CB ==∴,,代入数值得BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得FB AF CD AC =,解得CD=34. 5.【2012高考湖南文11】某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______. 【答案】７【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7.【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力.6.【2012高考湖南文10】在极坐标系中，曲线1C ：sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a =_______.【解析】曲线1C 1y +=，曲线2C 的普通方程是直角坐标方程222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，所以1C 与x 轴交点横坐标与a 值相等，由0,2y x ==，知a ＝2. 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与x 轴交点，即得.7.【2012高考广东文14】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 . 【答案】(2,1)【解析】曲线1C 的方程为225x y +=（0x ≤≤，曲线2C 的方程为1y x =-， 由2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-（舍去），则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1). .8【2012高考广东文15】（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠. 若AD m =，AC n =，则 AB = .【解析】由弦切角定理得PBA C DBA ∠=∠=∠，则△ABD ∽△ACB ，AB ADAC AB=，则2AB AC AD mn =⋅=，即AB =. 9.【2012高考辽宁文24】(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式()3f x ≤…的解集为{|2x -剎≤1x ≤…｝。
解三角形历年部分高考题——教师版文科
4.（2011年高考浙江卷文科5)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)- 12 (B) 12(C) -1 (D) 1 【答案】 D【解析】：由余弦定理得：2sin ,2sin ,a R A b R B ==2sin cos 2sin sin R A A R B B ∴= 2sin cos sin A A B =即则222sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=，故选D6．（2011年高考重庆卷文科8)若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B = （ ）A 15B ．34C ．315D ．11166、（湖南文）17．（本小题满分12分）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C =（Ⅰ）求角C 的大小；（II 3cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小． 23.(2011年高考安徽卷文科16) (本小题满分13分)在V ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=32，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【命题意图】：本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力。
【解析】：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=o ，即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 22sin 23b A B a ===o ， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC ＝2sin 752sin(4530)=+o o o2321312()2+=⨯+⨯=. 【解题指导】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可。
【中档大题】2021届高三数学综合训练16(含答案)
【中档大题】综合训练161．（10分）已知首项为1的等比数列{a n }的前3项和为3． （1）求{a n }的通项公式；（2）若a 2≠1，b n ＝log 2|a n |，求数列{1b n+1b n+2}的前n 项和T n ．【答案】见试题解答内容【解析】：（1）设公比为q ，则1+q +q 2＝3， 解得q ＝1或q ＝﹣2， 所以a n ＝1或a n =(−2)n−1． （2）依题意可得b n ＝n ﹣1， 所以1b n+1b n+2=1n(n+1)=1n−1n+1，所以T n =1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1=nn+1． 2．（12分）在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，D 为BC 边上的中点． （1）求sin∠BAD sin∠DAC的值；（2）若∠BAD ＝2∠DAC ，求AD ．【答案】见试题解答内容【解析】：（1）在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，D 为BC 边上的中点， 根据面积相等，12AB ⋅ADsin∠BAD =12AC ⋅ADsin∠CAD ，故=AC AB =32，（2）∠BAD ＝2∠DAC ，得sin ∠BAD ＝sin2∠DAC ＝2sin ∠DAC cos ∠DAC ， 所以cos ∠DAC =34，所以cos ∠BAD ＝2cos 2∠DAC ﹣1=18，在三角形ABD 中，BD 2＝4+AD 2﹣2⋅2⋅AD ⋅18， CD 2＝9+AD 2﹣2•3•AD •34，由BD ＝CD ，上式化简得AD =54， 故AD =54．3．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面P AD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝CD ，P A ⊥PD ，∠P AD ＝60°，Q 为PD 的中点． （1）证明：CQ ∥平面P AB ； （2）求二面角P ﹣AQ ﹣C 的余弦值．【答案】见试题解答内容【解析】：（1）证明：取P A 中点N ，连结QN ，BN ， ∵Q ，N 是PD ，P A 的中点，∴QN ∥AD ，且QN =12AD ， ∵P A ⊥PD ，∠P AD ＝60°，∴P A =12AD ，∴BC =12AD ， ∴QN ＝BC ，又AD ∥BC ，∴QN ∥BC ，∴BCQN 为平行四边形， ∴BN ∥CQ ，又BN ⊂平面P AB ，且CQ ⊄平面P AB ， ∴CQ ∥平面P AB ．（2）解：取AD 中点M ，连结BM ，取AM 的中点O ， 连结BO ，PO ，设P A ＝2， 由（1）得P A ＝AM ＝PM ＝2，∴△APM 为等边三角形，∴PO ⊥AM ， 同理，BO ⊥AM ，∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， PO ⊂平面P AD ，∴PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，﹣1，0），C （√3，2，0），P （0，0，√3），Q （0，32，√32）， AC →=（√3，3，0），AQ →=（0，52，√32）， 设平面ACQ 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AC →=√3x +3y =0m →⋅AQ →=52y +√32z =0，取y =−√3，得m →=（3，−√3，5）， 平面P AQ 的法向量n →=（1，0，0），∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=3√3737，由图得二面角P ﹣AQ ﹣C 的平面角为钝角，∴二面角P ﹣AQ ﹣C 的余弦值为−3√3737．4．（12分）已知椭圆C ：x 2a +y 22=1（a ＞√2）的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF ⊥x轴，|PF |=√22．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且|OM |=√2，求△AOB 面积的最大值． 【答案】见试题解答内容【解析】：（1）由题知，点P(c ，√22)，则有c 2a 2+(√22)22=1，又a 2＝b 2+c 2＝2+c 2，解得a 2＝8，c 2＝6，故椭圆C 的方程为x 28+y 22=1．（2）当AB ⊥x 轴时，M 位于x 轴上，且OM ⊥AB ， 由|OM|=√2可得|AB|=√6， 此时S △AOB =12|OM|⋅|AB|=√3．当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝kx +t ，与椭圆交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x 28+y 22=1y =kx +t，得（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣8＝0．∴x 1+x 2=−8kt 1+4k2，x 1x 2=4t 2−81+4k2，从而M(−4kt 1+4k2，t 1+4k2)，已知|OM|=√2，可得t 2=2(1+4k 2)21+16k2．∵|AB|2=(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=(1+k 2)[(−8kt 1+4k2)2−4×4t 2−81+4k2]=(1+k 2)16(8k 2−t 2+2)(1+4k 2)2．设O 到直线AB 的距离为d ，则d 2=t 21+k2，S △AOB2=14(1+k 2)16(8k 2−t 2+2)(1+4k 2)2⋅t 21+k 2． 将t 2=2(1+4k 2)21+16k2代入化简得S △AOB 2=192k 2(4k 2+1)(1+16k 2)2．令1+16k 2＝p ， 则S △AOB 2=192k 2(4k 2+1)(1+16k 2)2=12(p−1)(p−14+1)p 2=3[−3(1p −13)2+43]≤4，当且仅当p ＝3时取等号，此时△AOB 的面积最大，最大值为2．。
甘肃省武威市铁路中学高三数学文专题训练：中档大题保分练一含答案
中档大题保分练(一)(推荐时间：50分钟)1． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(cos(x －B )，cos B )，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，f (x )＝m ·n ，f ⎝⎛⎭⎫π3＝14. (1)求角B 的值；(2)若b ＝14，BA →·BC →＝6，求a 和c 的值． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝cos x ·cos(x －B )－12cos B＝cos 2x cos B ＋cos x sin x sin B －12cos B＝12(cos 2x ·cos B ＋sin 2x ·sin B )＝12cos(2x －B )， ∵f ⎝⎛⎭⎫π3＝14，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝12， 又∵B 为△ABC 的内角，∴2π3－B ＝π3即B ＝π3. (2)由BA →·BC →＝6，及B ＝π3，得ac ·cos π3＝6，即ac ＝12，在△ABC 中，由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得 14＝a 2＋c 2－2ac cos π3，a 2＋c 2＝26，从而(a ＋c )2－2ac ＝26，(a ＋c )2＝50， ∴a ＋c ＝5 2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝12a ＋c ＝52，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝22c ＝32，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32c ＝22.2． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S nn (n ∈N *)均在函数y ＝2x －1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求证：T n <1.(1)解 由条件S nn ＝2n －1，即S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝()2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 又n ＝1时，a 1＝S 1＝1适合上式， 所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)证明 b n ＝4a n a n ＋1＝4(4n －3)(4n ＋1)＝14n －3－14n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－15＋⎝⎛⎭⎫15－19＋⎝⎛⎭⎫19－113＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －3－14n ＋1 ＝1－14n ＋1.∵n ∈N *，∴－14n ＋1<0， ∴1－14n ＋1<1，即T n <1.3． 为了了解某居住小区住户的年收入和年饮食支出的关系，抽取了其中5户家庭的调查数据如下表：(1)根据表中数据用最小二乘法求得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ＝0.31，请预测年收入为9万元家庭的年饮食支出；(2)从这5户家庭中任选2户，求“恰有1户家庭年饮食支出小于1.6万元”的概率． 解 (1)x ＝3＋4＋5＋6＋75＝5，y ＝1＋1.3＋1.5＋2＋2.25＝1.6，又b ^＝0.31，代入y ^＝b ^x ＋a ^，解得a ^＝0.05，所以y ^＝0.31x ＋0.05，当x ＝9时，解得y ^＝2.84. 所以年收入为9万元的家庭年饮食支出约为2.84万元．(2)记“年饮食支出小于1.6万元”的家庭为a ，b ，c ；“年饮食支出不小于1.6万元”的家庭为M ，N .设“从5户家庭中任选2户，恰好有1户家庭年饮食支出小于1.6万元”为事件A .所以基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，M )，(a ，N )，(b ，c )，(b ，M )，(b ，N )，(c ，M )，(c ，N )，(M ，N )，共10个基本事件．事件A 包含的基本事件有(a ，M )，(a ，N )，(b ，M )，(b ，N )，(c ，M )，(c ，N )，共6个． 所以P (A )＝610＝0.6.故从5户家庭中任选2户，“恰有1户家庭年饮食支出小于1.6万元” 的概率是0.6.4． 如图所示，P A ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA＝30°，P A ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在弧AB 上，且 OM ∥AC .(1)求证：平面MOE ∥平面P AC ； (2)求证：平面P AC ⊥平面PCB .证明 (1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点， 所以OE ∥P A .因为P A ⊂平面P AC ，OE ⊄平面P AC ， 所以OE ∥平面P AC .因为OM ∥AC ，AC ⊂平面P AC ，OM ⊄平面P AC ， 所以OM ∥平面P AC .因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，OE ∩OM ＝O ， 所以平面MOE ∥平面P AC .(2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上， 所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC . 因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以P A ⊥BC .因为AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，P A ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面P AC .因为BC⊂平面PCB，所以平面P AC⊥平面PCB.。
高考文科数学中档题训练6(教师版)
文科高考数学中档题系列（ 6 ）1.已知向量a ＝(cos 23x ，sin 23x )，b ＝(2sin 2cos x x ，-)，且x ∈[0，2π]．（1）求b a+（2）设函数b a x f+=)(+b a⋅，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。
解：（I ）由已知条件： 20π≤≤x ， 得：33(coscos ,sin sin )2222x xx xa b +=+- 2 x x sin 22cos 22=-= （2）2sin 23sin 2cos 23cos sin 2)(xx x x x x f -+=x x 2cos sin 2+= 23)21(sin 21sin 2sin 222+--=++-=x x x ，因为：20π≤≤x ，所以：1sin 0≤≤x所以，只有当： 21=x 时， 23)(max =x f ，0=x ，或1=x 时，1)(min =x f2.如下的三个图中，别离是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和它的主视图和左视图（单位：cm ）（1）依照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）依照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．【解】（1）如图------------4分（2）所求多面体体积（俯视图）（正视图）（侧视图）E D ABC F G B 'C 'D 'AC D E FGA 'B 'C 'D 'V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2284(cm )3=．--------9分（3）证明：在ABCD A B C D ''''-中， 连结AD '，则AD BC ''∥．因为E G ，别离为AA '，A D ''中点，所以AD EG '∥--11分从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ，所以BC '∥面EFG ． --------------14分设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点()()2 2f ，处的切线方程为74120x y --=． （Ⅰ）求()y f x =的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【分析及解】(Ⅰ）方程74120x y --=可化为734y x =-．当2x =时，()122y f ==．又()2bf x a x '=+， 于是 ()()12,272.4f f ⎧=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ 即12 227 44b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得 1 3 a b =⎧⎨=⎩，，故3f (x )x x =-．（Ⅱ）设()00P x y ，为曲线上任一点，由231y x '=+知曲线在点()00P x y ，处的切线方程为()002031y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即()00200331y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令0x =得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060 x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 令y x =得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为()002 2x x ，．所以点()00P x y ，处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形面积为0016262x x -=． 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为定值，此定值为6．某集团预备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地域教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：班级学生数 配备教师数 硬件建设（万元） 教师年薪（万元/人） 初中 60 28 高中4058按照有关规定，除书本费、办公费外，初中生每一年可收取学费600元，高中生每一年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.按照以上情形，请你合理计划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？ （利润=学费收入－年薪支出）答案：解：设初中x 个班，高中y 个班，则⎩⎨⎧≤+≤+≤)2(12005828)1(3020y x y x ……………（4分）设年利润为s ，则y x y x y x s 22.16.15.22.1215.04006.060+=⨯-⨯-⨯+⨯=……（6分） 作出（1）、（2）表示的平面区域，如图，易知当直线+2y=s 过点A 时，s 有最大值.由⎩⎨⎧=+=+1200582830y x y x 解得A （18，12）.……（10分）6.45122182.1max =⨯+⨯=∴s （万元）. 即学校可计划初中18个班，高中12个班， 可获最大年利润为万元.……（12分）。
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文科高考数学中档题系列（ 16 ）
1. 已知0,14
13
)cos(,7
1cos 且=
β-α=α<β<α<2π,
(Ⅰ)求α2tan 的值． （Ⅱ）求β．
解：（Ⅰ）由1cos ,072παα=<<，得sin α==
∴sin 7tan cos 1ααα=
==22tan tan 21tan
1ααα===-- （Ⅱ）由02
π
αβ<<<
，得02
π
αβ<-<
又∵()13
cos 14αβ-=，∴()sin αβ-===由()βααβ=--得：
()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-11317142
=
⨯= 所以3
π
β=
2.
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院
抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验。
（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
()∏若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线
性回归方程y bx a =+；
（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？ 解：
（Ⅰ）设抽到相邻两个月的数据为事件A
因为从6组数据中选取2组数据共有2
615C =中情况，每种情况都是等可能出现的其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种 所以()51153
P A =
= （Ⅱ）由数据求得11,24x y ==
由公式求得187
b =
再由307
a y bx a =-=-
求得 所以y 关于x 的线性回归方程为183077
y x =- （Ⅲ）当10x =时，1501504,222777
y =
-= 同样，当6,x =时，78786,122777
y =
-= 所以，该小组所得线性回归方程是理想的。
3. 如图4，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，D 、E 、F 分别是棱PA 、PB 、
PC 的中点，连接DE ，DF ，EF. (1)求证: 平面DEF ∥平面ABC ；
(2)若PA=BC=2，求三棱锥P-ABC 的体积的最大值时.
(本题主要考查空间中的线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 证明:∵D 、E 分别是棱PA 、PB 的中点，
∴DE 是△PAB 的中位线，∴DE ∥AB ， ∵DE ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，
∴DE ∥平面PAB ， ……2分
∵DE ∩DF=D ，DE ⊂平面DEF ，
DF ⊂平面DEF ，
∴平面DEF ∥平面ABC. ……4分
(2)求三棱锥P-ABC 的体积的最大值，给出如下两种解法： 解法1：由已知PA ⊥平面ABC ， AC ⊥AB ，PA=BC=2，
∴AB 2 +AC 2 =BC 2=4，
∴三棱锥P-ABC 的体积为ABC 111
V =
PA S PA AB AC 332
⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ……6分
22211AB AC 1BC 2
2AB AC 632323
+=⨯⨯⨯≤⨯=⨯=. A
P
D
E
F
当且仅当AB=AC 时等号成立，V 取得最大值，其值为2
3
，此时
. 解法2：设AB=x ，在△ABC
中，AC ==，
∴三棱锥P-ABC 的体积为ABC 111
V =
PA S PA AB AC 332
⨯⨯=⨯⨯⨯⨯
1
3
= …6分
=
= ∵0<x<2，0<x 2<4，∴当x 2=2，
即x =
时，V 取得最大值，其值为
2
3
，此时
. ……8分
4. 已知椭圆和抛物线的方程分别为12
22
=+y x 和 x 2=8(y-1).如图所示，设,A B 分别是椭
圆的左右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ,使ABP 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必求出这些点的坐标）。
分析：假设P 存在，P 在哪里？P 本身的性质决定了它的位置，ABC Rt ∆中，P 是直角顶点
吗？⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧⊥⇒⊥⇒⇒AB
PB B AB PA A P AB P 是是不是为直径的圆上以是。
解答：P 存在，共有四个。
过A 作直线垂直于AB ，交抛物线于一点P 为所求，
过B 作直线垂直AB ，同样与抛物线有一个交点符合题意。
以O 为圆心，OA 为半径作圆，如图，OA>OC 与抛物线有两个交点，符合题意。
综上共有四个P ，满足题意。
思路回顾：（1）假定图形是存在的，研究图形的性质，对性质进行等价转化，使其符合一定
的几何意义。
（2）根据几何意义做出相关的图形，观察图形与原曲线关系，解决有没有，有几个的问题。
注意点：(1)在解析几何中的常见几何意义
A．PA=PB的点P在线段AB的中垂线上
B.到O距离等于R的点在以O为圆心R为半径的圆上
C.
（2）图形分析的时候要注意图形是否确定，如果不定要分类讨论
（3）如果相关曲线方程带参，要寻找动中找静。
（4）注意图形的精确性，可能需要结合数。