巩固练习_三角形中的几何计算_基础
三角公式练习题
三角公式练习题在几何学中，三角公式是解决与三角形相关的问题的数学工具。
它们可用于计算三角形的边长、角度和面积。
本文将提供一些三角公式的练习题，帮助读者巩固对这些重要公式的理解和应用。
一、三角比的计算1. 已知直角三角形的一条直角边长为6 cm，斜边长为10 cm，求另一条直角边的长度。
解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边长的平方和。
设另一条直角边长为x，则有：x^2 + 6^2 = 10^2x^2 + 36 = 100x^2 = 100-36x^2 = 64x = √64x = 8所以，另一条直角边的长度为8 cm。
2. 已知角A的正弦值为0.6，求角A的余弦值和正切值。
解析：根据正弦、余弦和正切的定义可知：sin A = 对边/斜边cos A = 邻边/斜边tan A = 对边/邻边已知 sin A = 0.6，则对于一个直角三角形，假设对边为a，邻边为b，斜边为c，则我们可以设立以下方程：sin A = a/c = 0.6根据勾股定理可知：a^2 + b^2 = c^2将已知的 sin A 带入方程，得到：(0.6c)^2 + b^2 = c^20.36c^2 + b^2 = c^20.64c^2 = b^2b^2 = 0.36c^2b = 0.6c所以，cos A = 0.6，tan A = 0.6/0.6 = 1。
二、三角面积的计算1. 已知等边三角形的边长为5 cm，求其面积。
解析：对于一个等边三角形，可以通过以下公式计算其面积：面积 = (边长^2 * √3) / 4带入已知边长的值，可得：面积= (5^2 * √3) / 4面积 = (25 * 1.732) / 4面积≈ 10.82 cm^2所以，等边三角形的面积约为10.82 cm^2。
2. 已知钝角三角形的两条边长分别为8 cm和10 cm，夹角为120°，求其面积。
解析：对于一个钝角三角形，可以通过以下公式计算其面积：面积 = (1/2) * 边1 * 边2 * sin(夹角)带入已知的边长和夹角的值，可得：面积 = (1/2) * 8 * 10 * sin(120°)面积= (1/2) * 8 * 10 * √3/2面积= 4 * 10 * √3/2面积= 20 * √3所以，钝角三角形的面积为20√3 平方单位。
《三角形》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《三角形》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.2. 理解并会应用三角形三边关系定理；3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图.4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.5. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点二、三角形的分类 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 要点三、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系．2.三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. 要点四、全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等. 2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. “全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点五、用尺规作三角形1.基本作图利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.【典型例题】类型一、三角形的内角和1．在△ABC中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数.【思路点拨】由三角形的内角和，建立方程解决.【答案与解析】∵∠C＝∠B－10°＝∠A+10°，由三角形的内角和定理，得∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+20°+∠A+10°＝180°，∴∠A＝50°.【总结升华】本题根据三角形的内角和定理列出以∠A为未知数的方程，解方程即可求得∠A.建立方程求解，是本章求解角度数的常用方法.举一反三【变式】若∠C=50°，∠B-∠A=10°，那么∠A=________，∠B=_______【答案】60°，70°.类型二、三角形的三边关系及分类2.一个若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.【思路点拨】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是│a-b│＜c＜a+b.【答案与解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c的取值范围是│2-7│＜c＜2+7,即5＜c＜9．【总结升华】三角形任意两边之差小于第三边，若这两边之差是负数时需加绝对值．举一反三【变式】如果三角形的两边长分别为2和6,则周长L的取值范围是( )A．6＜L＜15 B．6＜L＜16 C．11＜L＜13 D．12＜L＜16【答案】D.3.一个三角形的三个内角分别是75°、30°、75°，这个三角形是（）A 锐角三角形B 等腰三角形C 等腰锐角三角形【答案】C举一反三【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A 锐角B 直角C 钝角 D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形.类型三、三角形的重要线段4.（2012•云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°【思路点拨】首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．【答案】A；【解析】解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=12∠BAC=12×80°=40°【总结升华】本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单．举一反三【变式】在△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线, 则∠DAE 的度数为_________.【答案】10°.类型四、全等三角形的性质和判定5.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)证明：DC⊥BE .【思路点拨】△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE ≌△ACD；通过全等三角形的性质，通过倒角可证垂直.【答案与解析】解：（1）△ABE ≌△ACD 证明：∠BAC ＝∠EAD ＝90°∠BAC ＋∠CAE ＝∠EAD ＋∠CAE即 ∠BAE ＝∠CAD 又AB ＝AC ，AE ＝AD ，△ABE ≌△ACD （SAS ）（2）由（1）得∠BEA ＝∠CDA ， 又∠COE ＝∠AOD∠BEA ＋∠COE ＝∠CDA ＋∠AOD ＝90°则有∠DCE ＝180°－ 90°＝90°， 所以DC ⊥BE.【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待△ABE 与△ACD ，后一个三角形是前一个三角形绕着A 点逆时针旋转90°得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°，即DC ⊥BE. 举一反三【变式】如图，已知：AE ⊥AB ，AD ⊥AC ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：BD ＝CE.【答案】证明：∵AE ⊥AB ，AD ⊥AC ， ∴∠EAB ＝∠DAC ＝90°∴∠EAB ＋∠DAE ＝∠DAC ＋∠DAE ，即∠DAB ＝∠EAC. 在△DAB 与△EAC 中，DAB EACAB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB ≌△EAC （ASA ） ∴BD ＝CE.6.己知：在ΔABC 中，AD 为中线.求证：AD ＜()12AB AC +【答案与解析】证明：延长AD 至E ，使DE ＝AD ， ∵AD 为中线， ∴BD ＝CD在△ADC 与△EDB 中DC DB ADC BDE AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC ＝BE在△ABE 中，AB ＋BE ＞AE ，即AB ＋AC ＞2AD ∴AD ＜()12AB AC +. 【总结升华】用倍长中线法可将线段AC ，2AD ，AB 转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D 旋转180°. 举一反三【变式】若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x 的取值范围是( ) A.1 ＜x ＜ 6 B.5 ＜x ＜ 7 C.2 ＜x ＜ 12 D.无法确定 【答案】A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x ＜7＋5，所以选A 选项.类型五、全等三角形判定的实际应用7.如图，小叶和小丽两家分别位于A 、B 两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．【答案与解析】本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，是一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB 相等的线段的长，从而得知两家的距离．解：在点B 所在的河岸上取点C ，连结BC ，使CD=CB ，利用测角仪器使得∠B=∠D ，且A 、C 、E 三点在同一直线上，测量出DE 的长，就是AB 的长． 在△ABC 和△ECD 中B D CD CB ACB ECD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△ECD （ASA ）∴AB=DE ． 【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决． 由已知易证△ABC ≌△ECD ，可得AB=DE ，所以测得DE 的长也就知道两家的距离是多少．类型六、用尺规作三角形8.作图：请你作出一个以线段a 为底边，以∠α为底角的等腰三角形（要求：用尺规作图，并写出已知，求作，保留作图痕迹，不写作法和结论） 已知： 求作：【思路点拨】可先画线段BC=a ，进而在BC 的同侧作∠MBC=∠α，∠NCB=∠α，MB ，CN 交于点A ，△ABC 就是所求的三角形． 【答案与解析】解：已知：线段a ，∠α．求作：△ABC，使BC=a ，AB=AC ，∠ABC=∠α．△ABC 就是所求作的三角形．【总结升华】考查等腰三角形的画法；会作一个角等于已知角是解决本题的突破点；注意画图的顺序为边，角，角． 举一反三【变式】作图题：（要求：用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．）已知：线段a与线段b．求作：线段AB，使AB=2a﹣b．【答案】解：如图所示：作线段AB即为所求．【巩固练习】一.选择题1. 如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）A．360° B．250° C．180° D．140°2.已知三角形两边长分别为 4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( )A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm3. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则下列说法中错误的是 ( )A．在△ABC中，AC是BC边上的高B．在△BCD中，DE是BC边上的高C．在△ABE中，DE是BE边上的高D．在△ACD中，AD是CD边上的高4. 在下列结论中, 正确的是( )A.全等三角形的高相等B.顶角相等的两个等腰三角形全等C. 一角对应相等的两个直角三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等5. 图中的尺规作图是作（）A.线段的垂直平分线B.一条线段等于已知线段C.一个角等于已知角D.角的平分线6．如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A. AB垂直平分CDB. CD垂直平分ABC. AB与CD互相垂直平分D. CD平分∠ACB7. 如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形8. 若△ABC的∠A＝60°，且∠B:∠C＝2:1，那么∠B的度数为 ( )A．40° B．80° C．60° D．120°二.填空题9．三角形的两边长分别为5 cm和12 cm，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________．10. △ABC和△ADC中，下列三个论断：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC＝DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．11. 如图，在△ABC中， ED垂直平分BC，EB=3．则CE长为．12. 若三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则此三角形内角分别为____ ____．13. 如右图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB＝a，CD＝b，则△ADB的面积为______________ ．14．在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE 的度数为_________.15. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.16. 如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______cm．三.解答题17. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．18．作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．已知：在下面的△ABC中，用尺规作出AB边上的高（不写作法，保留作图痕迹）19. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．第11页 共11页20．已知：如图，ABC △中，45ACB ∠=︒，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF并延长交AC 于点E ，BAD FCD ∠=∠．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．。
三角形面积练习题
三角形面积练习题三角形面积练习题三角形是我们初中数学中最基础的几何图形之一，也是我们在现实生活中经常遇到的形状。
计算三角形的面积是我们学习三角形的重要一环，下面我将通过一些练习题来帮助大家加深对三角形面积的理解。
练习题一：已知三角形的底边长为8cm，高为5cm，求其面积。
解答：我们知道，三角形的面积可以通过底边长和高来计算，公式为：面积 =底边长× 高÷ 2。
将题目中给出的数值代入公式，即可得到答案。
根据公式计算，该三角形的面积为：8cm × 5cm ÷ 2 = 20cm²。
练习题二：已知三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，求其面积。
解答：这是一个特殊的三角形，我们称之为直角三角形。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在这道题中，3² + 4² = 5²，符合勾股定理的条件，因此这是一个直角三角形。
直角三角形的面积可以通过直角边的乘积再除以2来计算，公式为：面积 = 直角边1 × 直角边2 ÷ 2。
将题目中给出的数值代入公式，即可得到答案。
根据公式计算，该三角形的面积为：3cm × 4cm ÷ 2 = 6cm²。
练习题三：已知三角形的两边长分别为6cm和8cm，夹角为60°，求其面积。
解答：这是一个常规的三角形，我们可以使用三角形面积公式来计算。
三角形的面积可以通过两边长度和夹角的正弦值来计算，公式为：面积= 1/2 × 边1 × 边2 × sin(夹角)。
将题目中给出的数值代入公式，即可得到答案。
根据公式计算，该三角形的面积为：1/2 × 6cm × 8cm × sin(60°) ≈ 13.856cm²。
练习题四：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(2, 3)，B(6, 1)和C(4, 5)，求其面积。
专题12.23 三角形全等几何模型-“一线三直角”模型(专项练习)(基础篇)
C D E B A 专题12.23 三角形全等几何模型-“一线三直角”模型（专项练习）（基础篇）知识储备：1、模型一： 三垂直全等模型图一如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。
结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA2、拓展：模型二： 三等角全等模型图二如图二，∠D=∠BCA=∠E ，BC=AC 。
结论：△BEC ≌△CDA3、知识点补充：勾股定理0222=90.RT ABC C ∆∠如图三，在中，，三角形三边分边为a 、b 、c,则a +b =c图三一、单选题1．已知：如图所示，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC∠CD，则不正确的结论是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠A=∠2C ．∠ABC∠∠CED D ．∠A 与∠D 互为余角2．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D 、E ，2.5AD cm =， 1.7DE cm =，则BE 的长（ ）．A ．0.8cmB ．0.7cmC ．0.6cmD ．1cm3．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90,8C AC ∠=︒=，F 为AB 边的中点，点D ，E 分别在,AC BC 边上运动，且保持AD CE =，连接,,DE DF EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：∠DEF 是等腰直角三角形；∠四边形CDFE 的面积保持不变；∠AD BE DE +>．其中正确的是（ ）A ．∠∠∠B ．∠C ．∠D ．∠∠二、填空题 4．如图，在等腰Rt∠ABC 中，∠C=90°，AC=7．点O 在BC 上，且CO=1，点M 是AC 上一动点，连接OM ，将线段OM 绕点O 逆时针旋转90°，得到线段OD ，要使点D 恰好落在AB 上，CM 的长度为__________．5．如图，90ACB ∠=︒，CA CB =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ，3cm =AD ，1.8cm DE =，则BE =______cm ．6．如图，()()4,0,0,6A B ，以B 点为直角顶点在第一象限作等腰直角ABC ∆，则C 点的坐标为_________7．如图，点A 在线段DE 上，AB ∠AC ，垂足为A ，且AB ＝AC ，BD ∠DE ，CE ∠DE ，垂足分别为D 、E ，若ED ＝12，BD ＝8，则CE 长为_____．8．如图，AC BC =，AE CD =，AE CE ⊥于点E ，BD CD ⊥于点D ，10AE =，4BD =，则DE 的长是_____．⊥于点F．若9．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，已知BE a⊥于点E，DF aBE=，83DF=，则线段EF的长为______．10．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则BCD的面积为_____cm2．11．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE∠DF，垂足为点O，∠AOD，则图中阴影部分的面积为_____．三、解答题12．如图：在∠ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF∠AE，垂足为F，过B作BD∠BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD．（2）若AC＝12cm，求BD的长．13.如图1，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD∠MN于D，BE∠MN 于E．（1）说明∠ADC∠∠CEB；（2）说明AD+BE=DE；（3）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以说明．14．如图，已知A、B、D在同一条直线上，∠A=∠D=90°，AC=BD，∠1=∠2．求证：∠CBE 是等腰直角三角形．15．在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD∠MN于点D，BE∠MN 于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．16．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：（1）求证：∠ADC∠∠CEB；（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）17．如图，在∠ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．18．如图，已知在CDE ∆中，12∠=∠，直线AB 经过点E ，DA AB ⊥，CB AB ⊥，垂足分别为A 、B ，AD BE =，求证：AE BC =．19．如图1．∠ABC 中，AG∠BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向∠ABC 作等腰Rt∠ABE 和等腰Rt∠ACF ，过点E ，F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P ，Q ．（1）求证：∠EPA∠∠AGB ：（2）试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2．若连接EF 交GA 的延长线于H ，由（2）中的结论你能判断EH 与FH 的大小关系吗？并说明理由：（4）在（3）的条件下，若BC ＝10，AG ＝12．请直接写出S ∠AEF ＝ ．20．如图所示，90,C BE BA ∠=⊥，且,BE BA BD BC =⊥，延长CB 交DE 于点F ，且DF EF =．求证：2AC BF =．21．已知：在直角坐标系中，点()0,3B -，点()1,0C ，点A 在第二象限，,AC BC AC BC =⊥，求点A 的坐标．22.如图，已知：，，，，那么AC 与CE 有什么关系？写出你的猜想并说明理由．参考答案1．A【分析】由题意易得∠ACD=90°，则有∠1+∠2=90°，进而可证三角形全等，然后可排除选项．【详解】解：∠AC∠CD，∠∠ACD=90°，∠∠1+∠2=90°，∠∠B=∠E=90°，∠∠2+∠D=90°，∠∠1=∠D，∠AC=CD，∠∠ABC∠∠CED（AAS），故C正确，∠∠A=∠2，故B正确，∠∠A+∠D=90°，故D正确，∠A选项错误；故选A．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．2．A【分析】证∠CEB和∠ADC全等，得到BE和CD相等，CE和AD相等，即可得到结论；【详解】解：∠BE∠CE，AD∠CE，∠∠E=∠ADC=90°，∠∠EBC+∠BCE=90°，∠∠BCE+∠ACD=90°，∠∠EBC=∠DCA，在∠CEB和∠ADC中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠CEB∠∠ADC∠BE=DC ，CE=AD∠AD=2.5cm ，DE=1.7cm ，∠CE=1.7cm ，∠DC=CE -DE=0.8cm ，∠BE=0.8cm ；故选：A ．【点睛】本题考查垂直性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的性质和判定，证明三角形全等是解题的关键．3．A【分析】连接CF ，利用SAS 可证ADF CEF ≌，从而得出,=∠=∠DF FE AFD CFE ，从而求出90EFD ∠=︒，即可判断∠；根据全等三角形的性质可得=ADF CEF SS ，从而得出四边形CDFE 的面积为12ABC S ，从而判断∠；延长DF 到G 使FG DF =，连接,EG BG ，证出AD BG =和DE EG =，最后根据三角形的三边关系即可判断∠．【详解】解：如图，连接CF ．∠AC BC =，F 为AB 的中点，∠CF AB ⊥，12∠=∠=ACF BCF ACB ． ∠90ACB ∠=︒，∠45∠=∠=∠=︒A ACF BCF ，∠CF AF =．又∠AD CE =，∠ADF CEF ≌．∠,=∠=∠DF FE AFD CFE ，∠90AFD CFD ∠+∠=︒，∠90∠+∠=︒CFE CFD ，∠90EFD ∠=︒，∠DEF 是等腰直角三角形．∠正确．∠ADF CEF ≌，∠=ADF CEF S S ，∠四边形CDFE 的面积为12+=+==CDF CEF CDF MDF AFC ABC SS S S S S ． ∠11883222=⨯=⨯⨯=ABC S AC BC ， ∠四边形CDFE 的面积为16，为定值．∠正确．延长DF 到G 使FG DF =，连接,EG BG ．∠AF BF =，∠=∠AFD BFG ，DF FG =，∠ADF BCF ≌△△，∠AD BG =．∠90EFD ∠=︒，∠EF DF ⊥，∠DE EG =．在EBG 中，∠+>BG BE EG ，∠AD BE DE +>．∠正确．∠∠∠均正确，故选A ．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键．4．5【分析】如图，作辅助线；首先证明DOE OMC ∆≅∆，得到OC DE =，CM OE =；其次证明BE DE =，求出OE ，即可解决问题．【详解】解：如图，过点D 作DE OB ⊥于点E ；DEO DOM C ∠=∠=∠，DOE COM COM CMO ∴∠+∠=∠+∠，DOE OMC ∴∠=∠；由题意得：OD OM =；在DOE ∆与OMC ∆中，DOE OMC DEO OCM OD OM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DOE OMC AAS ∴∆≅∆，1DE OC ∴==，CM OE =；ABC ∆为等腰直角三角形，45B ∴∠=︒，45BDE ∠=︒，1BE DE ∴==，7115OE =--=，5CM OE ∴==，故答案为5．【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造全等三角形；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．5．1.2【分析】先根据等角的余角相等得出∠EBC =∠DCA ，再根据AAS 证明∠CEB ∠∠ADC ，然后利用全等三角形的性质并结合已知数据即可求得结果.【详解】解∠BE ∠CE ，AD ∠CE ，∠∠E =∠ADC =90°，∠∠EBC +∠BCE =90°.∠∠BCE +∠ACD =90°，∠∠EBC =∠DCA .在∠CEB 和∠ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠CEB ∠∠ADC (AAS)，∠BE=DC ，CE=AD =3cm∠DC=CE −DE ，DE =1.8cm ，∠DC =3－1.8=1.2cm ，∠BE =1.2cm故答案为：1.2cm【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，难度不大，熟练掌握三角形全等的判定和方法是关键.6．()6,10【分析】过点C 作CD∠y 轴于点D ，由∠ABC 为等腰直角三角形即可得出∠ABC ＝90°、AB ＝BC ，通过角的计算即可得出∠ABO ＝∠BCD ，再结合∠CDB ＝∠BOA ＝90°即可利用AAS 证出∠ABO∠∠BCD ，由此即可得出BD 、CD 的长度，进而可得出点C 的坐标．【详解】解：过点C 作CD∠y 轴于点D ，如图所示．∠∠ABC 为等腰直角三角形，∠∠ABC ＝90°，AB ＝BC ．∠CD∠BD ，BO∠AO ，∠∠CDB ＝∠BOA ＝90°．∠∠CBD+∠ABO ＝90°，∠CBD+∠BCD ＝90°，∠∠ABO ＝∠BCD ．在∠ABO 和∠BCD 中，==90ABO BCD BOA CDB AB BC ∠=∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪=⎩，∠∠ABO∠∠BCD （AAS ），∠BD ＝AO ，CD ＝BO ，∠A （4，0），B （0，6），∠BD ＝4，CD ＝6，∠点C 的坐标为()6,10，故答案为：()6,10．【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C 点作垂直于x 轴的垂线还是垂直于y 轴的垂线是解题关键．7．4【分析】根据已知条件及互余关系可证∠ABD ∠∠CAE ，得出BD ＝AE ＝8，AD ＝CE ，求出AD ＝4，即可得出答案．【详解】解：∠BD ∠DE ，CE ∠DE ，∠∠D ＝∠E ＝90°，∠ABD +∠BAD ＝90°，∠AB ∠AC ，∠∠BAD +∠EAC ＝90°，∠∠ABD ＝∠EAC ，在∠ABD和∠CAE中，D EAB CAABD EAC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠ABD∠∠CAE（ASA），∠BD＝AE＝8，AD＝CE，∠AD＝ED﹣AE＝12﹣8＝4，∠CE＝4故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角的余角相等．找到证明三角形全等的条件，证明三角形全等是解题的关键．8．6【分析】根据垂直的定义得到∠AEC＝∠D＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∠AE∠CE于点E，BD∠CD于点D，∠∠AEC＝∠D＝90°，在Rt∠AEC与Rt∠CDB中AC BC AE CD ⎧⎨⎩＝＝，∠Rt∠AEC∠Rt∠CDB（HL），∠CE＝BD＝4，CD＝AE＝10，∠DE＝CD−CE＝10−4＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据已知条件判定三角形的全等．9．11【分析】根据题意易得∠AEB∠∠DFA，则有BE=AF，DF=AE，进而问题可得解．【详解】解：∠四边形ABCD是正方形，∠AD=AB，∠DAB=90°，∠BE a ⊥，DF a ⊥，∠∠DFA=∠AEB=90°，∠∠FAD+∠ADF=90°，又∠∠FAD+∠BAE=90°，∠∠ADF=∠BAE ，∠∠AEB∠∠DFA ，∠3BE =，8DF =，∠BE=AF=3，DF=AE=8，∠EF=AF+AE=3+8=11；故答案为11．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及正方形的性质是解题的关键．10．8．【分析】作DH ∠BC ，证明ABC CHD ≌，根据全等三角形的性质得到DH ＝BC ＝4，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：过点D 作DH ∠BC ，交BC 的延长线于点H ，∠∠ABC ＝90°，∠∠BAC +∠ACB ＝90°，∠∠ACD ＝90°，∠∠HCD +∠ACB ＝90°，∠∠BAC ＝∠HCD ，在∠ABC 和∠CHD 中，BAC HCD ABC CHD AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABC CHD ≌（AAS ），∠DH ＝BC ＝4，∠BCD 的面积＝1144822BC DH =⨯⨯=（cm 2）， 故答案为：8．【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形全等的判定与性质，三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．11【分析】先证得∠ADF ≅∠BAE ，再利用等量代换即可求得阴影部分的面积等于∠AOD 的面积．【详解】正方形ABCD 中，∠DAF=∠ABE=90︒，AD=AB ，∠AE∠DF ，∠∠DOA=∠DAF =90︒，∠∠DAO+∠ADF =∠DAO +∠FAO =90︒，∠∠ADF =∠FAO ，在∠ADF 和∠BAE 中， ADF FAO AD ABDAF ABE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ADF ≅∠BAE ，∠ADF BAE SS =， ∠ADF AOF BAE AOF S SS S -=-， ∠AOF SS ==阴影．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证得阴影部分的面积等于∠AOD 的面积是解题的关键．12．（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据DB∠BC ，CF∠AE ，得出∠D ＝∠AEC ，再结合∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，证明∠DBC∠∠ECA ，即可得证；（2） 由（1）可得∠DBC∠∠ECA ，可得CE=BD ，根据BC=AC=12cm AE 是BC 的中线，即可得出12CE BC =，即可得出答案． 【详解】证明：（1）证明：∠DB∠BC ，CF∠AE ，∠∠DCB ＋∠D ＝∠DCB ＋∠AEC ＝90°．∠∠D ＝∠AEC ．又∠∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ， 在∠DBC 和∠ECA 中90D AEC DBC ECA BC AC ∠∠∠∠⎪⎩︒⎧⎪⎨＝＝＝＝，∠∠DBC∠∠ECA （AAS ）．∠AE ＝CD ；（2） 由（1）可得∠DBC∠∠ECA∠CE=BD ，∠BC=AC=12cm AE 是BC 的中线， ∠162CE BC cm ==， ∠BD=6cm ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，证明∠DBC∠∠ECA 解题关键．13．（1）见详解；（2）见详解；（3）DE+BE=AD ，理由见详解【分析】（1）由题意易得∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE=∠CAD ，进而问题可得证；（2）由（1）可得AD=CE ，BE=CD ，进而根据线段的数量关系可求证；（3）由题意易证∠ADC∠∠CEB，则有AD=CE，BE=CD，进而问题可求解．【详解】解：（1）∠AD∠MN，BE∠MN，∠∠ADC=∠CEB=90°，∠∠ACB=90°，∠∠DCA+∠BCE=90°，∠∠DCA+∠CAD=90°，∠∠BCE=∠CAD，∠AC=CB，∠∠BCE∠∠CAD（AAS）；（2）由（1）得：∠BCE∠∠CAD，∠AD=CE，BE=CD，∠DE=DC+CE，∠DE=AD+BE；（3）AD=DE+BE，理由如下：∠AD∠MN，BE∠MN，∠∠ADC=∠CEB=90°，∠∠ACB=90°，∠∠DCA+∠BCE=90°，∠∠DCA+∠CAD=90°，∠∠BCE=∠CAD，∠AC=CB，∠∠BCE∠∠CAD（AAS），∠DC=BE，AD=CE，∠CE=CD+DE，∠AD=DE+BE．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，数量掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．14．见解析【分析】由题意易证∠ABC∠∠DEB ，则有BC=BE ，∠EBD=∠BCA ，进而问题可证．【详解】证明： 在∠ABC 和∠DEB 中，12A D AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABC∠∠DEB （AAS ），∠BC=EB ，∠∠1=∠2，∠2+∠DBE=90°，∠∠1+∠DBE=90°，∠∠CBE=180°﹣（∠1+∠DBE ）=90°，∠∠BCE 是等腰直角三角形．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质及等腰直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键．15．（1）见解析；（2）见解析；（3）DE ＝BE ﹣AD【分析】（1）由题意易得∠DAC+∠ACD ＝90°，则∠DAC ＝∠BCE ，进而可证∠ADC∠∠CEB ，然后根据全等三角形的性质可求解；（2）由题意易得∠CEB=∠ADC=90°，则可求∠CAD=∠BCE ，进而可证∠CAD∠∠BCE ，然后根据全等三角形的性质可求解；（3）根据题意可证∠CAD∠∠BCE ，然后根据全等三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：∠AD∠MN ，BE∠MN ，∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠∠DAC+∠ACD ＝90°，∠∠ACB ＝90°，∠∠BCE+∠ACD ＝90°，∠∠DAC ＝∠BCE ，在∠ADC 和∠CEB ，ADC CEB DAC ECB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADC∠∠CEB （AAS ），∠CD ＝BE ，AD ＝CE ，∠DE ＝CE+CD ＝AD+BE ；（2）证明：∠AD∠MN ，BE∠MN ，∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠∠DAC+∠ACD ＝90°，∠∠ACB ＝90°，∠∠BCE+∠ACD ＝90°，∠∠DAC ＝∠BCE ，∠AC=BC ，∠∠ADC∠∠CEB ，∠CD ＝BE ，AD ＝CE ，∠DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ；（3）解：DE ＝BE ﹣AD ，理由如下：∠AD∠MN ，BE∠MN ，∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠∠DAC+∠ACD ＝90°，∠∠ACB ＝90°，∠∠BCE+∠ACD ＝90°，∠∠DAC ＝∠BCE ，∠AC=BC ，∠∠ADC∠∠CEB ，∠CD ＝BE ，AD ＝CE ，∠DE ＝BE ﹣AD ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．16．（1）见详解；（2）砌墙砖块的厚度a 为5cm ．【分析】（1）根据题意可得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD∠DE ，BE∠DE ，进而得到∠ADC ＝∠CEB ＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE ＝∠DAC ，再证明∠ADC∠∠CEB 即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【详解】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD∠DE ，BE∠DE ，∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∠ACD ＋∠DAC ＝90°，∠∠BCE ＝∠DAC ，在∠ADC 和∠CEB 中ADC CEB DAC BCE AC BC ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠ADC∠∠CEB （AAS ）；（2）解：由题意得：∠一块墙砖的厚度为a ，∠AD ＝4a ，BE ＝3a ，由（1）得：∠ADC∠∠CEB ，∠DC ＝BE ＝3a ，AD ＝CE ＝4a ，∠DC ＋CE ＝BE ＋AD ＝7a ＝35，∠a ＝5，答：砌墙砖块的厚度a 为5cm ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 17．见解析【分析】根据题意易得Rt∠ACE∠Rt∠CBF ，则有∠EAC ＝∠BCF ，然后根据等角的余角相等及领补角可求证．【详解】证明：如图，在Rt∠ACE 和Rt∠CBF 中，AC BC AE CF =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ACE∠Rt∠CBF （HL ），∠∠EAC ＝∠BCF ，∠∠EAC+∠ACE ＝90°，∠∠ACE+∠BCF ＝90°，∠∠ACB ＝180°﹣90°＝90°．【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及性质是解题的关键．18．见解析【分析】根据HL 证明Rt∠DAE∠Rt∠EBC 即可求解．【详解】解：（1）证明：∠ DA∠AB ，CB∠AB ，∠ ∠A ＝∠B ＝90°又∠∠1＝∠2∠DE ＝CE在Rt∠DAE 和Rt∠EBC 中，AE CE AD BE=⎧⎨=⎩ ∠Rt∠DAE∠Rt∠EBC （HL ）∠AE ＝BC ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．19．（1）证明见解析；（2）结论：EP ＝FQ ，证明见解析；（3）结论：EH ＝FH ，理由见解析；（4）60．【分析】（1）根据等腰Rt∠ABE 的性质，求出∠EPA ＝∠EAB ＝∠AGB ＝90°，∠PEA ＝∠BAG ，根据AAS 推出∠EPA∠∠AGB ．（2）根据全等三角形的性质推出EP ＝AG ，同理可得∠FQA∠∠AGC ，即可得出AG ＝FQ ，最后等量代换即可得出答案．（3）求出∠EPH ＝∠FQH ＝90°，根据AAS 推出∠EPH∠∠FQH ，即可得出EH 与FH 的大小关系．（4）根据全等三角形∠EPH∠∠FQH ，∠EPA∠∠AGB ，∠FQA∠∠AGC ，推出S ∠FQA ＝S ∠AGC ，S ∠FQH ＝S ∠EPH ，S ∠EPA ＝S ∠AGB ，即可求出S ∠AEF ＝S ∠ABC ，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：（1）如图1，∠∠EAB ＝90°，EP∠AG ，AG∠BC ，∠∠EPA ＝∠EAB ＝∠AGB ＝90°，∠∠PEA+∠EAP ＝90°，∠EAP+∠BAG ＝90°，∠∠PEA ＝∠BAG ，在∠EPA 和∠AGB 中，EPA BGA PEA BAG AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠EPA∠∠AGB （AAS ），（2）结论：EP ＝FQ ，证明：由（1）可得，∠EPA∠∠AGB ，∠EP ＝AG ，如图1，∠∠FAC ＝90°，FQ∠AG ，AG∠BC ，∠∠FQA ＝∠FAC ＝∠CGA ＝90°，∠∠FAQ+∠AFQ ＝90°，∠FAQ+∠GAC ＝90°，∠∠AFQ ＝∠GAC ，在∠QFA 和∠GAC 中，FQA CGA FAQ CAG AF AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠QFA∠∠GAC （AAS ），∠AG ＝FQ ，∠EP ＝FQ ；（3）结论：EH ＝FH ，理由：如图，∠EP∠AG ，FQ∠AG ，∠∠EPH ＝∠FQH ＝90°，在∠EPH 和∠FQH 中，EHP FHQ EPH FQH EP FQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠EPH∠∠FQH （AAS ），∠EH ＝FH ．（4））∠∠EPH∠∠FQH ，∠EPA∠∠AGB ，∠FQA∠∠AGC ，∠S ∠FQA ＝S ∠AGC ，S ∠FQH ＝S ∠EPH ，S ∠EPA ＝S ∠AGB ，∠S ∠AEF ＝S ∠EPA +S ∠FQA＝S ∠AGB +S ∠AGC＝S ∠ABC ＝12×BC×AG ＝12×10×12 ＝60故答案为：60．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．20．详见解析【解析】【分析】延长BF 至G ，使FG BF =，连结EG ，得BFD GFE ∆∆≌，90DBF G ∠=∠=︒，BF=GF，再证ABC BEG ∆∆≌，得2AC BG BF ==.【详解】证明：延长BF 至G ，使FG BF =，连结EG ，在∠BDF 和∠GEF 中，BF=GF BFD=GFE DF=EF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∠BDF GEF ∆∆≌ ，∠90DBF G ∠=∠=︒，BF=GF ，∠BG=2BF ，∠BE∠BA ，∠∠C=∠G=90°，∠A=∠EBG ，在∠ABC 和∠BEG 中，C=G A=EBG AB=BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∠ABC BEG ∆∆≌，∠AC=BG=2BF.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．21．点A 的坐标为()2,1-【解析】【分析】过点A 作AE x ⊥轴于点E ，先证出ACE CBO ∆∆≌，则CE=BO=3，1AE OC ==，根据点A 在第二象限即可得点A 的坐标．【详解】解：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，∠在直角坐标系中，点()0,3B -，点()1,0C ，∠BO=3，OC=1，OC∠OB∠,AC BC AC BC =⊥∠OBC ECA ∠=∠ ，BOC CEA ∠=∠∠ACE CBO ∆∆≌，CE BO ∴==3，1AE OC ==，∠点A 在第二象限，∴点A 的坐标为()2,1-.故答案为点A 的坐标为()2,1-.【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形，要注意第二象限点的坐标符号是（-，+）．22．见解析【详解】通过证明两个三角形全等，可以证明两条对应线段相等．。
初二上册三角形练习题
初二上册三角形练习题三角形是初中数学中的一个重要概念，也是几何学的基础知识之一。
熟练掌握三角形的性质和相关定理，对于解决各类几何问题非常必要。
本文将为大家提供一些初二上册的三角形练习题，希望能够帮助大家巩固相关知识，提高解题能力。
练习题一：判断三角形形状题目：根据给定的边长，判断下列三角形的形状。
1. 边长分别为4cm、5cm、6cm的三角形；2. 边长分别为7cm、7cm、7cm的三角形；3. 边长分别为3cm、7cm、8cm的三角形。
解答：1. 根据三角形边长的性质，任意两边之和大于第三边，可以判断该三角形是一个锐角三角形。
因为4+5=9，小于6，6+4=10大于5，6+5=11大于4，所以该三角形是一个锐角三角形。
2. 三边边长相等的三角形被称为等边三角形，因此该三角形是一个等边三角形。
3. 同样利用三角形边长的性质，我们可以判断该三角形是一个钝角三角形。
因为3+7=10大于8，7+8=15大于3，3+8=11大于7，所以该三角形是一个钝角三角形。
练习题二：计算三角形的面积题目：计算下列三角形的面积。
1. 一个底边长为6cm，高为4cm的三角形；2. 一个底边长为5cm，高为3cm的等腰三角形；3. 一个底边长为12cm，高为9cm的三角形。
解答：1. 根据三角形面积公式 S=0.5×底×高，我们可以计算得出该三角形的面积为 0.5×6×4=12cm²。
2. 对于等腰三角形，我们可以使用三角形面积公式 S=0.5×底×高。
由于该等腰三角形的底边和高都已知，所以我们可以计算得出其面积为 0.5×5×3=7.5cm²。
3. 利用三角形面积公式 S=0.5×底×高，我们可以计算得出该三角形的面积为 0.5×12×9=54cm²。
练习题三：应用三角形相似定理题目：已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，AB/DE=2/3，BC/EF=4/5，求AC/DF的值。
沪科版数学八年级上册 第十三章-三角形中的边角关系、命题和证明 巩固练习(解析版)
沪科版数学八年级上册-第十三章-三角形中的边角关系，命题与证明-巩固练习一、单选题1.三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（）A.90°B.120°C.135°D.180°2.如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A.10°B.20°C.30°D.80°3.有一种几何体是用相同正方体组合而成的，有人说：这样的几何体如果只给出主视图和左视图是不能唯一确定的，我们可以找出一个反例来说明这个命题是假命题，这个反例可以是（）A. B.C. D.4.若一个三角形的一边长为3 cm，则它的周长可能为（）A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.8 cm5.下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A. B. C. D.6.对于实数a、b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b=a2+ab﹣2，有下列命题：①1⊗3=2；②方程x⊗1=0的根为：x1=﹣2，x2﹣1；③不等式组的解集为：﹣1＜x＜4；④点（1，﹣2）在函数y=x⊗（﹣1）的图象上．其中正确的是（）A.①②③④B.①③④C.①②④D.①②③7.若线段2a+1，a，a+3能构成一个三角形，则a的范围是（）A.a>0B.a>1C.a>2D.1<a<38.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）A.三条角平分线的交点B.三条高的交点C.三边的垂直平分线的交点D.三条中线的交点二、填空题9.如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪。
量角器的O刻度线AB 对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是________．10.如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形各内角的度数是________．11.命题“同位角相等”的逆命题是________12.一个三角形的两边长分别是3和8，周长是偶数，那么第三边边长是________.13.“若实数a，b，c满足a<b<c，则a+b<c”，能够说明该命题是假命题的一组a，b，c的值依次为________．14.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=________．15.如图,已知△中, ,剪去后变成四边形,则=________.16.如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=50°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△AOB绕点O按每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第t 秒时，边CD所在直线恰好与边AB所在直线垂直，则t的值为________．三、解答题17.有一块三角形优良品种试验基地，如图，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制订出两种以上的划分方案以供选择（画图说明）.18.如图，按规定，一块横板中AB、CD的延长线相交成85°角，因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB、CD的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？四、综合题19.已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE、DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C >∠DAC）.（1）若∠B=80°，∠C=40°，求∠DAE的度数；（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何种关系？并说明理由.20.实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射．若被b 反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=________，∠3=________；（2）在(1)中，若∠1=55°，则∠3=________；若∠1=40°，则∠3=________；（3）由(1)、(2)请你猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3等于多少度时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．21.如图：△ABC的边BC的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD，AF=6，BC=12，BG=5，（1）求△ABD的面积．（2）求AC的长．（3）△ABD和△ACD的面积有何关系．答案一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：如图所示：由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7=540°，∵三个全等三角形，∴∠4+∠9+∠6=180°，又∵∠5+∠7+∠8=180°，∴∠1+∠2+∠3+180°+180°=540°，∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．故答案为：D【分析】在题目中，根据相邻三个角的角度和为180°，即可求得9个角的角度和，根据三个三角形为全等三角形，即可求得三个角的角度和。
17《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
17《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.已知三角形的三边长分别是3，8，x ,若x 的值为偶数，则x 的值有 ( )．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【答案】D【解析】x 的取值范围：511x <<，又x 为偶数，所以x 的值可以是6, 8, 10，故x 的值有3个.【总结升华】不要忽略“x 为偶数”这一条件.举一反三：【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成 个不同的三角形.当x 为 时，所组成的三角形周长最大.【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因为x 为整数，故x 可取6，7，8；当x=8时，组成的三角形周长最大为11).2.如图，O 是△ABC 内一点，连接OB 和OC ．(1)你能说明OB+OC ＜AB+AC 的理由吗?(2)若AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，你能写出OB+OC 的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO 交AC 于点E ，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE 中，AB+AE ＞BE ；在△EOC 中，OE+EC ＞OC ，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC ＞BE+OC ．由图可知，AE+EC ＝AC ，BE ＝OB+OE ．所以AB+AC+OE ＞OB+OC+OE ，即OB+OC ＜AB+AC ．(2)因为OB+OC ＞BC ，所以OB+OC ＞7．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．类型二、三角形中的重要线段3.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型三、与三角形有关的角4.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．举一反三：【变式】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。
三角形的周长与面积练习题
三角形的周长与面积练习题1. 问题描述在平面几何中，三角形是最基本的图形之一。
本文将提供一些关于三角形周长与面积的练习题，帮助读者巩固和加深对该概念的理解。
2. 练习题一：计算周长题目：已知一个三角形的三边长度分别为5cm、8cm和10cm，求该三角形的周长。
解析：三角形的周长是三条边的长度之和。
根据题目给出的数据，我们可以将三个边长相加得到：5cm + 8cm + 10cm = 23cm因此，该三角形的周长为23cm。
3. 练习题二：计算面积题目：已知一个三角形的底边长度为12cm，高度为9cm，求该三角形的面积。
解析：三角形的面积可以通过底边长度和对应的高度来计算。
根据题目给出的数据，我们可以使用以下公式计算面积：面积 = 底边长度 ×高度 ÷ 2将题目中给出的数值代入公式中，可以得到：面积 = 12cm × 9cm ÷ 2 = 54cm²因此，该三角形的面积为54cm²。
4. 练习题三：边长比例题目：已知两个三角形的相似性质，其中一个三角形的边长为3cm、5cm和7cm，求另一个三角形的周长。
解析：由于两个三角形具有相似性质，它们的边长之比应该相等。
我们可以通过已知三角形的边长比例来计算另一个三角形的周长。
根据题目给出的数据，我们可以列出以下比例式：3cm:5cm:7cm = a:b:c假设另一个三角形的边长为a、b和c，则可以得到以下比例关系：a:b:c = 3cm:5cm:7cm根据比例关系，我们可以得到：a = 3cm × kb = 5cm × kc = 7cm × k其中，k为比例系数。
根据题目要求，只需要计算另一个三角形的周长，因此我们只需要将三个边长加起来即可：周长 = a + b + c = (3cm × k) + (5cm × k) + (7cm × k)由于k为任意常数，我们无法得到具体的边长数值。
2022年人教版初中数学8年级上册全等三角形判定二(SSS,AAS)(基础)巩固练习及答案
2022年人教版初中数学8年级上册【巩固练习】一、选择题1.（2020•奉贤区二模）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．∠B=45° B.∠BAC=90° C.BD=AC D．AB=AC2.如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（）A.AB∥DCB.∠B＝∠DC.∠A＝∠CD.AB＝BC3.下列判断正确的是（）A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等4.如图，AB、CD、EF相交于O，且被O点平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对5．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BACC．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC6.如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（）A.EC⊥ACB.EC＝ACC.ED＋AB＝DBD.DC＝CB二、填空题7.如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.8.如图,已知：∠1＝∠2,∠3＝∠4,要证BD＝CD,需先证△AEB≌△AEC,根据是，再证△BDE≌△，根据是．9.（2020秋•大同期末）如下图∠1=∠2，由AAS判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是．10.如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______.11.如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B＝20°，则∠C＝_______．12.已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌，△ADC≌.三、解答题13.（2020•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．14.如图，已知D、E、B三点共线，AE=CE,AE⊥CE，∠D=∠B=90°．求证：CD+AB=DB．15.如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】解：当AB=AC时，△ABD≌△ACD，∵AD是△ABC的边BC上的高，AB=AC，∴BD=CD，∵在△ABD 和△ADC 中，∴△ABD≌△ACD（SSS）.2.【答案】D；【解析】连接AC 或BD 证全等.3.【答案】D；4.【答案】C；【解析】△DOF≌△COE，△BOF≌△AOE，△DOB≌△COA.5.【答案】A；【解析】将两根钢条'AA ，'BB 的中点O 连在一起，说明OA＝'OA ，OB＝'OB ，再由对顶角相等可证.6.【答案】D；【解析】△ABC≌△EDC，∠ECD＋∠ACB＝∠CAB＋∠ACB＝90°，所以EC⊥AC，ED ＋AB ＝BC＋CD＝DB.二.填空题7.【答案】66°；【解析】可由SSS 证明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝82412︒=︒，所以∠DCB＝∠ABC＝25°＋41°＝66°.8.【答案】ASA，CDE，SAS；【解析】△AEB ≌△AEC 后可得BE＝CE.9.【答案】∠B=∠C．【解析】解：由图可知，只能是∠B=∠C，才能组成“AAS”．故填∠B=∠C．10.【答案】56°；【解析】∠CBE＝26°＋30°＝56°.11.【答案】20°；【解析】△ABE≌△ACD（SAS）.12.【答案】△DCB，△DAB；【解析】注意对应顶点写在相应的位置上.三.解答题13.【解析】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD 中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC 和△DEC 中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．14.【解析】证明：∵AE⊥CE，∴∠AEB+∠CED=90°，又∵∠B=90°∴∠A+∠AEB=90°，∴∠A=∠CED，在△AEB 与△ECD 中，A CEDB DAE CE ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△AEB≌△ECD（AAS）∴AB=DE ，BE=CD∵DE+BE=DB∴CD+AB=DB15.【解析】证明：在△ABC 和△DCB 中AB DC AC DB BC =CB ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝∴△ABC≌△DCB（SSS）∴∠ABC＝∠DCB，在△ABE 和△DCE 中ABC DCB AB DC BE CE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABE≌△DCE（SAS）∴AE＝DE.全等三角形的判定二（SSS，AAS）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定3——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB，''A C ＝AC，''B C ＝BC，则△ABC≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“边边边”1、已知：如图，△RPQ 中，RP＝RQ，M 为PQ 的中点．求证：RM平分∠PRQ．【思路点拨】由中点的定义得PM＝QM，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边∴△RPM≌△RQM（SSS）．∴∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中.把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.举一反三：【变式】已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.【答案】证明：连接DC，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BD CD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD≌△BDC（SSS）∴∠CAD＝∠DBC（全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC≌△EAD（AAS）∴AC＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF、BE.求证：BE＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD＝CD∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）∴△BED≌△CFD（AAS）∴BE＝CF3、（2020春•雅安期末）如图：AB=A′B′，∠A=∠A′，若△ABC≌△A′B′C′，则还需添加的一个条件有（）种．A.1B.2C.3D.4【思路点拨】本题要证明△ABC≌△A′B′C′，已知了AB=A′B′，∠A=∠A′，可用的判别方法有ASA，AAS，及SAS，所以可添加一对角∠B=∠B′，或∠C=∠C′，或一对边AC=A′C′，分别由已知与所添的条件即可得证．【答案与解析】解：添加的条件可以为：∠B=∠B′；∠C=∠C′；AC=A′C′，共3种．若添加∠B=∠B′，证明：在△ABC 和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）；若添加∠C=∠C′，证明：在△ABC 和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）；若添加AC=A′C′，证明：在△ABC 和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．故选C.【总结升华】此题考查了全等三角形的判定，是一道条件开放型问题，需要由因索果，逆向推理，逐步探求使结论成立的条件，解决这类问题要注意挖掘隐含的条件，如公共角、公共边、对顶角相等，这类问题的答案往往不唯一，只有合理即可．熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH 和△DFH 中，DE DF EH FH DH DH ⎧⎪⎨⎪=⎩＝＝∴△DEH≌△DFH(SSS)∴∠DEH＝∠DFH．【总结升华】证明△DEH≌△DFH，就可以得到∠DEH＝∠DFH，我们要善于从实际问题中抽离出来数学模型，这道题用“SSS”定理就能解决问题.举一反三：【变式】（2020秋•紫阳县期末）雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD 与∠CAD 有何关系？说明理由．【答案】解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD=∠CAD，理由如下：∵AB=AC，AE=AB，AF=AC，∴AE=AF，在△AOE 与△AOF 中，，∴△AOE≌△AOF（SSS），∴∠BAD=∠CAD．【巩固练习】一、选择题1．如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BF＝CE，下列结论错误的是（）A.△ABC≌△DEFB.BF＝ECC.AC∥DED.AC＝DF2．如图，AB∥EF，DE∥AC，BD＝CF，则图中不是全等三角形的是（）A.△BAC≌FEDB.△BDA≌FCEC.△DEC≌CADD.△BAC≌FCE3．如图，AB＝BD，∠1＝∠2，要用AAS判定△ABC≌△DBE，则添加的条件是（）A.AE＝ECB.∠D＝∠AC.BE＝BCD.∠DEB＝∠C4．下列判断中错误的是（）A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等5．（2020•滕州市校级模拟）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC6．如图，点A在DE上，AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（）A．DC B．BC C．AB D．AE＋AC二、填空题7．（2020春•鹤岗校级期末）如图：在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件________________时，就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可）8．如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，在条件①AB＝AC，②AD＝AE，③BE＝CD，④∠AEB＝∠ADC中，不能使△ABE≌△ACD的是_______.（填序号）9．已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________.10．如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.11．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长是___________．12．在△ABC 和△DEF 中（1）AB＝DE；（2）BC＝EF；（3）AC＝DF；（4）∠A＝∠D；（5）∠B＝∠E；（6）∠C＝∠F 从这六个条件中选取三个条件可判定△ABC 与△DEF 全等的方法共有________种.三、解答题13．（2020秋•景洪市校级期中）如图，O 为码头，A，B 两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB 为海岸线，一轮船离开码头，计划沿∠AOB 的平分线航行，在航行途中，测得轮船与灯塔A 和灯塔B 的距离相等，试问轮船航行时是否偏离预定航线，请说明理由．14．已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，BE 与CD 相交于点F ．求证：BF AC =.15．如图，DC∥AB，∠BAD 和∠ADC 的角平分线相交于E，过E 的直线分别交DC、AB 于C、B 两点.求证：AD＝AB＋DC.【答案与解析】一、选择题1．【答案】C；2．【答案】D；3．【答案】D；【解析】满足判定定理AAS的只有D选项.4．【答案】B；【解析】C选项和D选项都可以由SSS定理证全等.5．【答案】D；【解析】解：A、∵在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS），故本选项错误；B、∵在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），故本选项错误；C、∵在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS），故本选项错误；D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；故选D．6．【答案】C；【解析】可证∠BAC＝∠E，∠BCA＝∠DCE，所以△ABC≌△EDC，DE＝AB.二、填空题7．【答案】BC=ED.8．【答案】④【解析】三个角对应相等不能判定三角形全等.9．【答案】6；【解析】△ABF≌△CDE，BE＝CF＝2，EF＝10－2－2＝6.10．【答案】6；【解析】△ABO≌△CDO，△AFO≌△CEO，△DFO≌△BEO，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA.11．【答案】3；【解析】由AAS证△ABF≌△CBE，EF＝FB＋BE＝CE＋AF＝2＋1＝3.12．【答案】13；【解析】ASA类型3种，AAS类型6种，SAS类型3种，SSS类型一种，共13种.三、解答题13．【解析】解：此时轮船没有偏离航线．理由：由题意知：假设轮船在D处，则DA=DB，AO=BO，在△ADC和△BDC中，，∴△ADO≌△BDO（SSS），∴∠AOD=∠BOD，即DO 为∠AOB 的角平分线，∴此时轮船没有偏离航线．14．【解析】证明：∵CD AB⊥∴90BDC CDA ∠=∠=︒∵45ABC ∠=︒∴45DCB ABC ∠=∠=︒∴DB DC=∵BE AC⊥∴90AEB ∠=︒∴90A ABE ∠+∠=︒∵90CDA ∠=︒∴90A ACD ∠+∠=︒∴ABE ACD∠=∠在BDF ∆和CDA ∆中BDC CDADB DC ABE ACD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BDF ∆≌CDA ∆（AAS）∴BF AC =.15．【解析】证明：延长DE 交AB 的延长线于F∴∠CDE＝∠F,∠CDA＋∠BAD＝180º∵DE 平分∠CDA,AE 平分∠DAB ∴∠CDE＝∠ADE＝21∠CDA,∠DAE＝∠EAF＝21∠BAD∴∠ADE＝∠F,∠EDA＋∠DAE＝90º∴∠AED＝∠AEF＝90º在△ADE 与△AFE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AE AE FEA DEA F ADE ∴△ADE≌△AFE （AAS）∴DE＝EF,AD＝AF在△DCE 与△FBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FEB DEC FE DE F CDE ∴△DCE≌△FBE（ASA）∴DC＝BF，∴AD＝AB＋DC.全等三角形的判定二（SSS，AAS）（提高）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定3——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）．要点诠释：如图，如果''A B ＝AB，''A C ＝AC，''B C ＝BC，则△ABC≌△'''A B C．要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论．2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等．要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SASSSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形．【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“边边边”1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE．【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD≌△ACE（SSS）∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形对应角相等）．【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质.要证∠BAD＝∠CAE，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE，然后证这两个三角形全等．【变式】（2020•静海县模拟）已知点A、D、C、F 在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是．【答案】AC=DF.解：理由是：∵在△ABC 和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS），故答案为：AC=DF．类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、已知：如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD 是经过点C 的一条直线，过点A、B 分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F．求证：CE＝BF【答案与解析】证明：∵AE⊥CD、BF⊥CD，∴∠AEC＝∠BFC＝90°∴∠BCF＋∠B＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＋∠ACF＝90°∴∠ACF＝∠B在△BCF 和△CAE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AC B ACE BFC AEC ∴△BCF≌△CAE（AAS）∴CE＝BF．【总结升华】要证CE＝BF，只需证含有这两个线段的△BCF≌△CAE.同角的余角相等是找角3、平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C 作CE⊥MN 于点E，过点B 作BF⊥MN 于点F．当点E 与点A 重合时（如图1），易证：AF＋BF＝2CE．当三角板绕点A 顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．【思路点拨】过B 作BH⊥CE 与点H，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF＋BF＝2CE．【答案与解析】解：图2，AF＋BF＝2CE 仍成立，证明：过B 作BH⊥CE 于点H，∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90°∴∠CBH＝∠ACE在△ACE 与△CBH 中，90ACH CBH AEC CHB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ACE≌△CBH．（AAS）∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝EF，∴AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝CH＋EF＋HE＝CE＋EF＝2EC．【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键．举一反三：【变式】已知Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC、CB 于E、F．当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥AC 于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△；当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．图2ADBC E M N F 【答案】解：图2成立；证明图2：过点D 作DM AC DN BC⊥⊥，则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=°在△AMD 和△DNB 中，AMD=DNB=90A B AD BD ∠∠︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMD≌△DNB（AAS）∴DM＝DN∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF在△DME 与△DNF 中，90EMD FDN DM DN MDE NDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DME≌△DNF（ASA）∴DME DNFS S =△△∴DEF CEF DMCN DECF S =S =S S .+△△四边形四边形可知ABC DMCN 1S =S 2△四边形，∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△．类型三、全等三角形判定的实际应用4、（2020秋•内丘县期中）如图，AD 是一段斜坡，AB 是水平线，现为了测斜坡上一点D 的竖直高度DB 的长度，欢欢在D 处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C 处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE 的长度，使得CE=AD，此时他测得DE=2米，求DB 的长度．【思路点拨】延长CE交AB于F，根据等角的余角相等求出∠A=∠C，再利用“角角边”证明△ABD和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DB=DE．【答案与解析】解：如图，延长CE交AB于F，则∠A+∠1=90°，∠C+∠2=90°，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴∠A=∠C，在△ABD和△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（AAS），∴DB=DE，∵DE=2米，∴DB的长度是2米．【总结升华】本题考查了全等三角形的应用，仔细观察图形求出∠A=∠C是解题的关键.。
三角形基础知识及习题
三角形基础知识及习题三角形是几何学中最基本的图形之一，其基础知识对于学习几何学和解决几何问题至关重要。
本文将介绍三角形的基本定义、分类和性质，并提供一些习题供读者练习。
一、三角形的定义和分类1. 定义：三角形是由三条线段（边）所围成的图形。
三角形的三个顶点（角）和三个边缘（边）都相互连接。
2. 分类：根据三个角的大小，三角形可以分为三种类型：a. 锐角三角形：三个角都小于90度。
b. 直角三角形：其中一个角为90度。
c. 钝角三角形：其中一个角大于90度。
二、三角形的性质1. 角度和：三角形的三个角的角度和总是等于180度。
无论三角形是锐角、直角还是钝角三角形，其内角之和都是180度。
2. 边长关系：a. 等边三角形：三个边的长度都相等。
b. 等腰三角形：两个边的长度相等。
c. 直角三角形：满足毕达哥拉斯定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方。
3. 角度关系：a. 锐角三角形：三个角都是锐角。
b. 直角三角形：其中一个角是直角。
c. 钝角三角形：其中一个角是钝角。
三、三角形的习题下面是几个关于三角形的习题，供读者练习运用三角形的基础知识与技巧。
1. 题目：已知三角形的两边长分别为5厘米和8厘米，夹角为60度，求第三条边的长度。
解法：利用余弦定理，可以得到第三条边的长度：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
带入数值计算得到c≈7.53厘米。
2. 题目：在直角三角形ABC中，AB = 3厘米，BC = 4厘米，求AC的长度。
解法：根据毕达哥拉斯定理，可以得到AC的长度：AC^2 =AB^2 + BC^2。
带入数值计算得到AC = 5厘米。
3. 题目：已知三角形的两边长分别为6厘米和8厘米，以及夹角为30度，求第三条边的长度。
解法：利用正弦定理，可以得到第三条边的长度：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
带入数值计算得到第三条边的长度约为7.61厘米。
4. 题目：在锐角三角形ABC中，AB = 7厘米，BC = 9厘米，夹角为45度，求角度C的大小。
三角形的内角与外角计算练习题
三角形的内角与外角计算练习题在几何学中，三角形是最基本的几何图形之一。
学习三角形的性质和计算方法对理解其他几何图形和解题方法都有很大的帮助。
本文将为您提供一些关于三角形内角与外角计算的练习题，帮助您巩固相关概念和技巧。
练习题1：已知△ABC，∠A=50°，AB=5cm，AC=6cm，求∠B 和∠C 的度数以及三角形的外角之和。
解答：根据三角形内角和定理可知，三角形ABC的内角之和为180°。
∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 50° - ∠C，由此可知∠B的度数。
同理，∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 50° - ∠B，由此可知∠C的度数。
三角形的外角与其对应内角的关系为：外角 = 180° - 内角。
所以△ABC的外角之和为3 * 180° = 540°。
练习题2：已知△DEF，DE=8cm，∠D=60°，求角∠E 和∠F 的度数以及三角形的外角之和。
解答：根据三角形内角和定理可知，三角形DEF的内角之和为180°。
∠E = 180° - ∠D - ∠F = 180° - 60° - ∠F，由此可知∠E的度数。
同理，∠F = 180° - ∠D - ∠E = 180° - 60° - ∠E，由此可知∠F的度数。
三角形的外角与其对应内角的关系为：外角 = 180° - 内角。
所以△DEF的外角之和为3 * 180° = 540°。
练习题3：已知△GHI，∠G=70°，∠H=45°，求角∠I的度数以及三角形的外角之和。
解答：根据三角形内角和定理可知，三角形GHI的内角之和为180°。
∠I = 180° - ∠G - ∠H = 180° - 70° - 45°，由此可知∠I的度数。
小学数学三角形练习题及答案
小学数学三角形练习题及答案在小学数学中，三角形是一个常见的几何图形，对于学生来说，掌握三角形的性质和计算方法非常重要。
本篇文章将提供一些小学数学三角形的练习题及答案，帮助学生巩固和提高相关知识。
一、选择题1. 在下列三角形中，哪个角度最大？A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形答案：B. 钝角三角形解析：钝角三角形中的一个角度大于90度，因此它的角度最大。
2. 下面哪种类型的三角形是两个边相等，两个角也相等的三角形？A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形答案：B. 等腰三角形解析：等腰三角形的两个边相等，两个角也相等。
它的特点是两边相等，而与角度无关。
3. 在一个等边三角形中，每个角度都是多少度？A. 60度B. 90度C. 120度D. 180度答案：A. 60度解析：等边三角形的三个边相等，所以每个角度都相等，并且都是60度。
二、填空题1. 在一个等边三角形中，每个角度都是____度。
答案：60解析：等边三角形的三个角度都相等，为60度。
2. 如果一个三角形的两边长度分别是3cm和4cm，那么第三边的长度是____cm。
答案：大于1cm小于7cm之间的任意数值都可解析：根据三角形的两边之和大于第三边，可以得出第三边的长度范围。
三、计算题1. 一个直角三角形的直角边分别是3cm和4cm，请计算斜边的长度。
答案：斜边的长度为5cm。
解析：根据勾股定理，直角三角形中的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即3^2 + 4^2 = 5^2，所以斜边的长度为5cm。
2. 如果一个三角形的底边长为5cm，高为4cm，请计算三角形的面积。
答案：三角形的面积为10平方厘米。
解析：三角形的面积等于底边乘以高再除以2。
即5cm * 4cm / 2 =10平方厘米。
综上所述，本文提供了小学数学三角形的练习题及答案，希望能够帮助学生提高对于三角形的理解和应用能力。
通过练习题的解答，学生可以进一步巩固和加深对于三角形性质和计算方法的掌握，为以后的学习打下坚实的基础。
§2 三角形中的几何计算
§2 三角形中的几何计算双基达标(限时20分钟)1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )．A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，则此三角形一定是等腰三角形． 答案 C2．在△ABC 中，已知C ＝60°，b ＝43，则BC 边上的高等于 ( )． A. 3 B ．2 3 C ．4 3 D ．6 解析 BC 边上的高等于b sin C ＝43sin 60°＝6， 答案 D3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ ( )． A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 解析 由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝32，所以A ＝30°，故选A. 答案 A4．在△ABC 中，若AB ＝3，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝60°，则BC 等于________． 解析 ∠BAC ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理得 BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠BCA ，∴BC ＝3×sin 45°sin 60°＝3×2232＝ 6.答案65．如图，若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60，则这个圆的直径长度为________．解析 由余弦定理得BD 2＝392＋522－2×39×52cos C ， BD 2＝252＋602－2×25×60cos A ，∵A ＋C ＝180°，∴cos C ＝－cos A ，∵(392－252)－(602－522)＋2×39×52cos A ＋2×25×60cos A ＝0，∴cos A ＝0.∵0°<A <180°，∴A ＝90°，∵BD 2＝392 ＋522＝652，∴BD ＝65. 答案 656．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝45，B ＝60°，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．解 (1)∵角A ，B ，C 为三角形内角，且B ＝60°，cos A ＝45.∴C ＝120°－A ，sin A ＝35.∴sin C ＝sin(120°－A )＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310. (2)由(1)知，sin A ＝35，sin C ＝3＋4310.又∵B ＝60°，b ＝3，∴由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝65∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.综合提高（限时25分钟）7．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是 ( )． A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形解析 ∵2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14<0.∴△ABC 是钝角三角形．故选A. 答案 A8．在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S 是 ( )． A. 2 B.3＋1 C.12(3＋1) D ．2 2解析 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 30°＝c sin 45°，∴c ＝22，∴S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×2×22·sin 105°＝3＋1. 答案 B9．△ABC 中，a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝________. 解析 在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，所以sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .所以，原式＝ab －ac 2R ＋bc －ab 2R ＋ac －bc2R ＝0.答案 010．如图，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为________．解 设BD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理有AB 2＝AD 2＋ BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ，即142＝x 2＋102－20x cos 60°，∴x 2－10x －96＝0.∴x ＝16(x ＝－6舍去)，即BD ＝16.在△BCD 中，由正弦定理BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2.答案 8 211．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解 如图所示，连结BD ，则有四边形ABCD 的面积 S ＝S △ABD ＋S △CDB ＝12 AB ·AD sin A ＋12 BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C . ∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )sin A＝12(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A . 在△ABD 中，由余弦定理得： BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A ， 在△CDB 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ＝62＋42－2×6×4cos C＝52－48 cos C ，∴20－16cos A ＝52－48cos C ，∵cos C ＝－cos A ，∴64 cos A ＝－32，cos A ＝－12，∴A ＝120°，∴S ＝16sin 120°＝8 3.12．(创新拓展)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos B ＝35，且A B →·B C →＝－21.(1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解 (1)∵A B →·B C →＝－21，∴B A →·B C →＝21. ∴B A →·B C →＝|B A →| |B C →| cos B ＝ac cos B ＝21. ∴ac ＝35，∵cos B ＝35，∴sin B ＝45，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×35×45＝14.(2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B. ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角．∴C ＝45°.。
三角形的面积计算综合练习题
三角形的面积计算综合练习题在几何学中，三角形是最基本的图形之一，计算三角形的面积是一个常见的练习题。
本文将为您提供一系列综合练习题，涵盖了不同类型的三角形，帮助您巩固面积计算的知识和技巧。
1. 等边三角形题目：已知一个等边三角形的边长为5cm，求其面积。
解析：等边三角形的边长相等，可以利用正规公式计算其面积。
解答：等边三角形的高等于边长的一半，即h = a/2，其中a为边长。
所以，面积S = (a * h) / 2 = (5 * 5/2) / 2 = 6.25cm²2. 直角三角形题目：已知一个直角三角形的直角边长分别为3cm和4cm，求其面积。
解析：直角三角形的面积计算公式为S = (a * b) / 2，其中a和b为直角边的长度。
解答：面积S = (3 * 4) / 2 = 6cm²3. 等腰三角形题目：已知一个等腰三角形的两边长度均为6cm，顶角等于60°，求其面积。
解析：等腰三角形的底边可以通过余弦定理计算，然后利用正规公式计算面积。
解答：已知顶角等于60°，则底角等于(180° - 60°) / 2 = 60°。
底边长度b = 2 * a * sin(底角) = 2 * 6 * sin(60°) = 6√3cm面积S = (b * h) / 2 = (6√3 * 6/2) / 2 = 9√3cm²4. 不规则三角形题目：已知一个不规则三角形的三边长度分别为7cm、9cm和12cm，求其面积。
解析：可以利用海伦公式计算不规则三角形的面积。
解答：根据海伦公式，s = (a + b + c) / 2，其中a、b、c为三角形的三边长。
s = (7 + 9 + 12) / 2 = 14cm面积S = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) = √(14 * (14 - 7) * (14 - 9) * (14 - 12)) ≈ 34.17cm²5. 等腰直角三角形题目：已知一个等腰直角三角形的直角边长为5cm，求其面积。
三角形的周长计算练习题
三角形的周长计算练习题在几何学中，三角形是最基本的形状之一。
计算三角形的周长对于解决各种几何问题非常重要。
本文将提供一些三角形周长计算的练习题，帮助读者巩固和提高相关知识。
练习题一：已知一个直角三角形的直角边长度分别为3cm和4cm，请计算该三角形的周长。
解答：根据勾股定理，直角三角形的两个直角边长度分别为a和b，斜边的长度c可以通过以下公式计算：c = √(a² + b²)将已知的直角边长度代入公式，可得：c = √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5cm由此可知，该直角三角形的周长为3cm + 4cm + 5cm = 12cm。
练习题二：一个等边三角形的边长为10cm，请计算该三角形的周长。
解答：等边三角形的三条边长均相等。
因此，该问题只需要将等边三角形的边长乘以3即可计算出周长。
周长 = 10cm * 3 = 30cm练习题三：已知一个任意三角形的三边长度分别为6cm、8cm和10cm，请计算该三角形的周长。
解答：任意三角形的周长可以通过将其三条边长相加来计算。
周长 = 6cm + 8cm + 10cm = 24cm练习题四：一个等腰三角形的底边长度为12cm，两腿的长度分别为10cm，请计算该三角形的周长。
解答：等腰三角形有两条边长相等，而底边长度通常指的是两个不等边之一。
因此，该三角形的周长可以通过以下公式计算：周长 = 2 ×腿长 + 底边长将已知的数值代入公式，可得：周长 = 2 × 10cm + 12cm= 20cm + 12cm= 32cm因此，该等腰三角形的周长为32cm。
通过以上练习题，我们可以看到不同类型的三角形在计算周长时有不同的方法。
掌握了这些方法，我们可以更加灵活和准确地解决各种三角形问题。
希望读者能够通过练习题进一步加深对三角形周长计算的理解和运用。
小学五年级数学三角形练习题
小学五年级数学三角形练习题在小学五年级的数学学习中，我们经常会遇到三角形相关的知识和练习题。
三角形是一个重要的几何图形，在学习中对于理解角度、边长、面积等概念起着关键作用。
本篇文章将为大家提供一些小学五年级数学三角形的练习题，通过解题的方式帮助大家巩固和理解这一知识点。
一、练习题一：判断三角形类型1. 判断下列各图中的形状是否为三角形：a) △ABCb) △DEFc) △GHI解答：a) △ABC 是三角形，因为有三条边连接成一个封闭的图形。
b) △DEF 不是三角形，因为无法通过连接三条边形成一个封闭的图形。
c) △GHI 是三角形，因为有三条边连接成一个封闭的图形。
二、练习题二：计算三角形面积2. 计算下列三角形的面积：a) △PQR，已知底边PQ=5cm，高RA=3cm。
b) △XYZ，已知底边XY=8cm，高ZB=4cm。
c) △LMN，已知底边LM=7cm，高NF=6cm。
解答：a) △PQR 的面积 = 底边PQ ×高RA ÷ 2 = 5cm × 3cm ÷ 2 = 7.5cm²。
b) △XYZ 的面积 = 底边XY ×高ZB ÷ 2 = 8cm × 4cm ÷ 2 = 16cm²。
c) △LMN 的面积 = 底边LM ×高NF ÷ 2 = 7cm × 6cm ÷ 2 = 21cm²。
三、练习题三：边长关系3. 已知△ABC中，AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm。
判断该三角形的类型，并计算它的面积。
解答：根据边长关系：AB+BC>AC，AC+BC>AB，AB+AC>BC，可以判断△ABC是一个合法的三角形。
根据边长可以判断△ABC的类型：- 若AB=BC=AC，△ABC为等边三角形；- 若AB=BC≠AC，或AB=AC≠BC，或AC=BC≠AB，△ABC为等腰三角形；- 若AB≠BC≠AC，△ABC为不等边三角形。
三角形高的练习题
三角形高的练习题三角形高的练习题在数学中，三角形是一个基本的几何形状。
它由三条边和三个角组成。
三角形的高度是指从三角形的一个顶点到与对边垂直相交的线段的长度。
三角形的高度可以用来计算面积和解决各种几何问题。
下面我将给你一些关于三角形高的练习题，帮助你巩固对三角形高的理解。
练习题一：计算三角形面积已知一个三角形的底边长为10厘米，高为6厘米。
请计算这个三角形的面积。
解答：三角形的面积可以通过底边长和高的乘积的一半来计算。
所以这个三角形的面积为10厘米× 6厘米÷ 2 = 30平方厘米。
练习题二：求等边三角形的高已知一个等边三角形的边长为8厘米。
请计算这个等边三角形的高。
解答：在等边三角形中，高是通过从顶点到底边中点的线段构成的。
这条线段也是三角形高的垂线。
由于等边三角形的底边中点到顶点的距离等于底边长的一半，所以这个等边三角形的高为8厘米× 1/2 = 4厘米。
练习题三：求直角三角形的高已知一个直角三角形的两条直角边分别为5厘米和12厘米。
请计算这个直角三角形的高。
解答：在直角三角形中，高是通过从直角顶点到斜边的垂线构成的。
我们可以使用勾股定理来计算斜边的长度。
根据勾股定理，斜边的平方等于直角边的平方和。
所以这个直角三角形的斜边长度为√(5厘米² + 12厘米²) ≈ 13厘米。
接下来，我们可以使用直角三角形的面积公式来计算高。
直角三角形的面积等于底边长乘以高的一半。
所以这个直角三角形的高为(5厘米× 12厘米) ÷ 13厘米≈ 4.62厘米。
练习题四：求不规则三角形的高已知一个不规则三角形的底边长为6厘米，面积为12平方厘米。
请计算这个不规则三角形的高。
解答：不规则三角形的高可以通过面积和底边长的比例来计算。
所以这个不规则三角形的高为(2 × 12平方厘米) ÷ 6厘米 = 4厘米。
通过以上练习题，我们可以看到三角形高的计算方法在不同类型的三角形中略有不同。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【巩固练习】
一、选择题
1．ABC ∆中，若060A =，4AC =，ABC S ∆=BC = （ ）
A 、3
B 、、4 D 2．AB
C ∆中，若2cos a b C =，则有（ ）
A.B C >
B.B C <
C.B C =
D.B 、C 大小不能确定
3．在ABC ∆中，若738a b c ＝，＝，＝，则ABC ∆的面积等于( )
A ．12 B. 212C ．28 D ．4．边长为578，，的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A ．090
B ．0120
C ．0135
D ．0150
5. 以456、、为边长的三角形一定是（）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 锐角或钝角三角形
二、填空题
6. 在ABC ∆中,已知222sin C a b c =+-,则C 的度数为_____.
7. 在ABC ∆中,已知12ac =，3ABC S ∆=，R =(其中R 为ABC ∆外接圆的半径),则b =。
8．ABC ∆中 ,若2AB =，5BC =，4ABC S ∆=，则cos B =_________.
9. 已知在ABC ∆中，60A =，最大边和最小边的长是方程27110x x -+=的两实根，则第三边的长为_________.
10.已知ABC ∆的三边分别为a b c ，，，且222,4ABC a b c S ∆+-=那么角C =
11．锐角ABC ∆的面积为43BC CA ＝，＝，则AB ＝________.
12．在ABC ∆中，三边a b c ，，与面积S 的关系式为2224a S b c ＋＝＋，则角A 为________．
三、解答题
13．已知ABC ∆中，a ＝，2c ＝，B ＝150°，求边b 的长及其面积S ．
14. 在ABC ∆中，若2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，请判断三角形的形状.
15. 已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 有2B A C =+，三边a 、b 、c 满足2b ac =.求证：a c =.
【答案与解析】
1.答案： D
解析：∵11sin sin 22
ABC S bc A AB AC A ∆===，∴3AB =
由余弦定理有2222cos 13BC AB AC AB AC A =+-⋅=，∴BC = 2. 答案： C
解析：∵2cos a b C =，∴由正弦定理有030，
即0sin[180()]2sin cos B C B C -+=，整理得sin cos cos sin 0B C B C -=
即sin()0B C -=， ∴B C =
3答案： D
.解析： 由余弦定理可得cos A ＝12，A ＝60°，∴S △ABC ＝12
bc sin A
＝故选D.
4. 答案：B
解析： 设中间角为θ，则22200005871cos ,60,180601202582θθ+-===-=⨯⨯为所求 5. 答案：A
解析：长为6的边所对角最大，设它为α，则1625361cos 02458
α+-=
=>⨯⨯ 090α∴︒<<︒ 6.答案：030
解析：∵222
sin C a b c =+-
222
cos 2a b c C C ab +-==，
∴tan C =，∴030C = 7.
答案：解析：∵1
sin 32ABC S ac B ∆==，∴1sin 2B =
， ∵2sin b R B
=
，∴2sin b R B == 8. 答案：35
±； 解析：∵11sin sin 422ABC S ac B AB BC B ∆==
⋅=，∴4sin 5B =， ∴3cos 5
B =±. 9. 答案：4 解析：∵三角形中最小角小于60，最大角大于60，
由大角对大边可知，最大边和最小边在b c 、中.第三边为a .
∴b c 、是方程27110x x -+=的解，由韦达定理可知，
b c bc ，，
+=7=11 由余弦定理可得，
()222222cos -22cos -2cos a b c bc A
b c bc bc A
＝＋－＝－＝＝711-21160
16+⨯⨯⨯o
∴4a =.
10.答案：45o 解析：∵2221sin ,42ABC a b c S ab C ∆+-== ∴222sin ,2a b c C ab +-=即cos sin C C = ∴045C =
11. 答案： 13
解析： 由三角形面积公式得
12×3×4·sin C ＝33，sin C ＝3. 又∵△ABC 为锐角三角形
∴C ＝60°.
根据余弦定理
AB 2＝16＋9－2×4×3×1
2＝13.
AB ＝13.
12. 答案： 45°
解析： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又已知a 2＋4S ＝b 2＋c 2，故S ＝12bc cos A ＝12bc sin A ，从而sin A ＝cos A ，tan A ＝1，A ＝45°.
13. 解析：b 2＝a 2＋c 2-2ac cos B ＝(33)2＋22-2·33·2·(-
3)＝49． ∴ b ＝7， S △＝1
2ac sin B ＝12×33×2×12＝323．
14. 解析：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A A B A B a b
b B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B
或2π===+= ∴等腰三角形或直角三角形
15解析：
∵2B A C =+且0180A B C ++=，∴060B =，0120A C +=，
∵2b ac =, ∴2sin sin sin B A C =⋅，即3sin sin 4
A C ⋅=， 又∵0120A C +=， ∴ 1
cos()cos cos sin sin 2A C A C A C +=-=-，
即 1cos cos 4
A C =， ∴13cos()cos cos sin sin 144A C A C A C -=+=
+=， ∵ 00180180A C -<-<, ∴0A C -=，即A C =，
故a c =.。