高二暑期.第8讲 平面性质与空间中的平行关系 删解析
立体几何中的平行关系 → 空间几何中的平行关系
立体几何中的平行关系→ 空间几何中的平行关系介绍在几何学中，平行关系是空间几何中的基本概念之一。
平行关系是指两条或多条直线在平面上或空间中永远不会相交的关系。
本文将探讨在立体几何中的平行关系，其中包括平行线、平面和立体体形之间的关系。
平行线在空间几何中，两条线段被称为平行线，当且仅当它们位于同一平面上并且永远不会相交。
平行线可以在立体体形的各个面上存在，形成各种平行线网格。
例如，在一个长方体中，相对的面上的边可以被视为平行线。
平行平面在空间几何中，两个平面被称为平行平面，当且仅当它们永远不会相交。
平行平面也可以存在于立体体形中的各个面上。
平行平面的例子包括两个相邻的长方体面或两个平行的面。
立体体形立体体形是由平面和曲面组成的三维图形。
在立体几何中，我们也可以讨论立体体形之间的平行关系。
两个立体体形被称为平行体形，当且仅当它们的相应平面或曲面都是平行的。
例如，两个平行的长方体或两个平行的圆柱体可以被视为平行体形。
应用平行关系在现实生活中有着广泛的应用。
在建筑设计中，平行线被用于创建正方形、长方形和平行四边形的结构。
平行平面的概念被应用于平面镜、平行板和立体投影等技术中。
而对于立体体形之间的平行关系的理解，则有助于我们在制造工程和机械设计中进行正确的定位和组装。
总结平行关系是立体几何中的重要概念。
通过理解平行线、平行平面和立体体形之间的关系，我们可以应用这些概念解决各种几何问题。
平行关系在建筑、工程和设计领域中有广泛的应用，对于正确的定位和构建起着重要的作用。
在进一步的几何学研究中，深入探讨平行关系的性质和应用将有助于我们更好地理解立体空间中的几何性质。
空间直线、平面的平行_课件
线线平行
面面平行判定定理: 线面平行 面面平行
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行那么这两 个平面平行．
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平 面内的两条直线，那么这两个平面平行
面面平行判定定理: 面面平行 线面平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 平行。
几个重要结论
1.平行于同一平面的两平面平行 ； 2.过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行 ； 3.夹在两平行平面间的平行线段相等 。 4、如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与 另一个平面平行
5.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相 等
重要思想方法
直线与平面平行
判定
性质
性质 直线与直线平行
判定 性质
判定 平面与平面平行
× √ × √ √
空间中的平行关 系
理解并掌握空间中线面平行、面面平行的判定方法
理解并掌握空间中线面平行、面面平行的性 质
已知：ab在平面α外，a∥α.求证： b∥α.
(1)(2)(4)(5)
(1)
(2)
(3)
总 结
线线平行
线面平行
线面平行
精品 课件
高中数学必修2
第八章 立体几何初步
空间直线、平面的平行
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
理解并掌握直线与直线平行的判定方 法理解并掌握直线与平面的判定方 法理解并掌握直线与平面平行的性质定 理理解并掌握平面与平面平行的判定方 法理解并掌握平面与平面平行的性质定 理能够根据定理写证明过 程
四边形的两条邻边相等。
在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两 边分别平行，那么这两个角相等或互补”。 在空间中,结论是否仍然成立呢?
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一个重要的概念。
平行线、平面和空间中的平行物体之间的关系在很多数学和物理问题中都有着重要的应用。
本文将对空间几何中的平行关系进行讨论和说明。
1. 平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内永远不相交的直线。
在空间几何中，平行线有以下重要性质：1.1 平行线之间的距离始终相等。
1.2 平行线的夹角始终相等。
1.3 平行线与平面之间的关系：平面内的一条直线与该平面内与之平行的另一条直线平行。
1.4 平行线与空间中的平行立体之间的关系：空间中的一条直线与该空间中与之平行的另一条直线平行。
2. 平面的平行关系在空间几何中，平面也可以存在平行关系。
平行平面是指永远不相交的两个平面。
平行平面的性质如下：2.1 平行平面之间的距离始终相等。
2.2 平行平面的夹角始终相等。
2.3 平行平面与平行线之间的关系：平行与同一个平面的两条直线将同时平行于该平面内的任一平行线。
2.4 平行平面与空间中的平行立体之间的关系：空间中的一个平面与该空间中与之平行的另一个平面平行。
3. 空间中的平行关系除了平行线和平行平面外，空间中的其他物体也可以存在平行关系。
例如，空间中的两个平行四边形、两个平行正方体等物体之间也可以存在平行关系。
3.1 平行四边形的特点：两对相对边分别平行且长度相等。
3.2 平行四边形的性质：对角线相交于它们的交点，并且对角线长度相等。
3.3 平行四边形与平行平面之间的关系：平行平面将同时平行于其内包含的平行四边形。
3.4 平行正方体的特点：六个面都是正方形，相邻面之间平行。
3.5 平行正方体的性质：相邻面之间的距离始终相等。
3.6 平行正方体与平行线之间的关系：平行线将同时平行于平行正方体的两个相邻面。
3.7 平行正方体与平行平面之间的关系：平行平面将同时平行于其中的两个相邻面。
4. 应用举例平行关系在实际问题中有广泛应用。
例如：4.1 建筑学中的平行关系应用：在设计建筑时，需要考虑平行线和平行平面的关系，以确保建筑结构的稳定性。
空间里的平行关系
空间里的平行关系引言在几何学中，平行是一个十分重要的概念。
在数学中，平行指的是两条线、平面或者其他几何体在没有交点的情况下保持在固定的距离上。
平行关系是几何学中的基础概念之一，不仅在几何学中有重要应用，也广泛应用于物理学、计算机科学等领域。
本文将介绍空间中的平行关系，并探讨相关的性质和应用。
一、平行线的定义在平面几何中，平行线定义为永不相交的两条线。
这意味着平行线上的任意两点都不会重合。
可以通过以下几个方式来判断两条线是否平行：•相邻内角相等法则：若两条线被横截线所切，而相邻的内角相等，则两条线是平行的。
•同位角相等法则：若两条直线被一横截线所分，同位角相等，则两条线是平行的。
•钝角异侧法则：若两条线被横截线所切，其中一条直线上的钝角和另一条直线上的锐角在同侧，则两条线是平行的。
二、平行平面的定义在空间几何中，平行平面定义为永不相交的两个平面。
类似于平行线的定义，我们可以通过以下的性质来判断两个平面是否平行：•法向量平行法则：若两个平面的法向量平行，则这两个平面是平行的。
•截线平行法则：若两个平面分别与一条直线相交并且相交线平行，则这两个平面是平行的。
三、平行关系的性质在平行关系中，存在一些重要的性质，这些性质对于解决实际问题十分有用。
以下是一些平行关系的性质：1.平行关系具有传递性，即如果线段A平行于线段B，而线段B又平行于线段C，则可以推断出线段A平行于线段C。
2.平行关系具有对称性，即如果线段A平行于线段B，则线段B也平行于线段A。
3.平行关系具有自反性，即一条线段和自身平行。
4.平行线与平行平面的交线也是平行于这两个平面的。
四、平行关系的应用平行关系在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.建筑设计中，在制定建筑结构时，平行关系可以用来确保墙壁、天花板等构件的平行性，从而使建筑结构更加稳定。
2.机械工程中，平行关系可以用来设计零件的装配关系，确保零件之间的平行关系，保证机械设备的正常运行。
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在我们的日常生活中，空间几何的概念无处不在。
从建筑的设计到家具的摆放，从道路的规划到艺术品的创作，都离不开对空间几何的理解和运用。
而在空间几何中，平行关系是一个非常重要的概念，它不仅具有理论上的研究价值，还在实际应用中发挥着关键作用。
首先，让我们来明确一下什么是空间几何中的平行关系。
简单来说，平行关系是指两条直线或两个平面在空间中永远不会相交。
例如，在一个平坦的操场上，两条跑道的边缘线就是平行的；再比如，教室的天花板和地面就是两个平行的平面。
在空间几何中，直线与直线的平行关系是基础。
如果两条直线在空间中不相交，且它们的方向相同，那么我们就说这两条直线是平行的。
这种平行关系具有许多重要的性质。
比如说，如果一条直线与另外两条平行直线中的一条相交，那么它必然也与另一条相交。
而且，如果两条平行直线都与第三条直线垂直，那么这两条平行直线也互相垂直。
平面与平面的平行关系则是在直线平行的基础上进一步拓展。
如果两个平面没有公共点，那么它们就是平行的。
这就好比两个摞在一起的完全相同的纸张，它们的表面就是平行的平面。
平面平行也有其独特的性质。
例如，如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面就平行。
直线与平面的平行关系同样不容忽视。
如果一条直线与一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线与这个平面平行。
想象一下，一根铅笔放在桌面上方，铅笔所在的直线与桌面所在的平面就是平行的关系。
判定直线与平面平行有多种方法，比如如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线就与这个平面平行。
平行关系在实际生活中的应用非常广泛。
在建筑领域，建筑师们需要精确地运用平行关系来设计房屋的结构和布局。
比如，为了保证房屋的稳定性和美观性，很多柱子之间的连线需要保持平行；房屋的地板和天花板也需要平行，以给人一种整齐、舒适的感觉。
在交通规划中，道路的设计也离不开平行关系。
高速公路上的车道分隔线、铁路的铁轨，都需要保持平行，以确保车辆和列车能够安全、平稳地行驶。
空间几何中的平面平行关系
空间几何中的平面平行关系在空间几何学中，平面平行关系是一个重要的概念。
当两个平面永远不相交，无论它们延伸到无穷远，都不会相交，我们就可以说这两个平面是平行的。
平面平行关系有一些性质和判定方法，本文将对这些内容进行详细讨论。
一、定义和性质1. 定义：如果两个平面不相交，则它们是平行的。
2. 性质：a. 平行的平面在任意方向上的截线是平行线。
b. 平面平行关系是对称关系，即如果平面A与平面B平行，则平面B与平面A也平行。
c. 平面平行关系是传递关系，即如果平面A与平面B平行，平面B与平面C平行，则平面A与平面C也平行。
二、平面平行的判定方法1. 通过两个平面的法向量判定：如果两个平面的法向量是平行的，则这两个平面平行。
2. 通过平面上的一组向量判定：如果两个平面上的相同向量比值相等，则这两个平面平行。
3. 通过平面上的直线与另一平面的交点判定：如果一条直线与一个平面平行于另一个平面，则这两个平面平行。
三、平行平面的性质和相关定理1. 平行平面的截距：平行平面的任意两个截距之比相等。
2. 平行平面的夹角：平行平面之间的夹角等于它们的法向量夹角的余角。
3. 平行线与平面的垂直关系：如果一条直线平行于一个平面，那么该直线上的任意一条直线都与该平面垂直。
4. 平行平面的平行线：平行平面上的平行线在空间中保持平行关系。
根据上述性质和判定方法，我们可以在空间几何中确定两个平面之间的平行关系。
在实际生活中，平面平行关系有广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域都需要考虑平面平行关系。
理解和掌握平行关系的概念和判定方法对于解决实际问题非常重要。
总结：空间几何中的平面平行关系是一种重要的关系概念，具有一定的性质和判定方法。
理解和应用平面平行关系对于解决各种实际问题以及在相关领域中的应用具有重要意义。
通过本文的介绍，希望读者能够对平面平行关系有更深入的理解，并能够灵活应用于实际问题中。
空间几何中的平面与平面的位置关系知识点
空间几何中的平面与平面的位置关系知识点平面与平面的位置关系知识点在空间几何中，平面与平面的位置关系是一个重要的知识点。
理解和掌握平面与平面之间的位置关系，对于解决几何问题和应用于实际生活中的空间建模具有重要意义。
本文将介绍平面与平面的四种位置关系：平行、相交、重合和异面，并探讨它们的特性和应用。
1. 平行关系：当两个平面不存在交点时，它们被称为平行平面。
平行平面的特点是：它们的法向量垂直且相等。
简单来说，如果一个平面的法向量与另一个平面的法向量垂直且长度相等，那么这两个平面是平行的。
平行平面在实际问题中的应用非常广泛，例如建筑设计中的墙面或屋顶。
2. 相交关系：当两个平面存在且仅存在一条交线时，它们被称为相交平面。
相交平面的特点是：它们的法向量不相等。
相交平面可以形成各种不同的几何形状，如平行四边形、直角梯形等。
相交平面的研究有助于我们理解空间中不同几何体的关系，例如研究两个交叉的墙面如何构成室内空间的结构。
3. 重合关系：当两个平面的所有点完全重合时，它们被称为重合平面。
重合平面的特点是：它们的法向量相等且共线。
重合平面意味着这两个平面没有任何区别，它们在空间中完全重合。
在实际问题中，判断平面是否重合对于确定物体的位置和形状至关重要，例如在机械设计中，确保两个零件的平面配合要求是一致的。
4. 异面关系：当两个平面不存在任何交线时，它们被称为异面平面。
异面平面的特点是：它们的法向量不相等且不共线。
异面平面在几何学中是最常见的情况，例如地球表面上的各个大陆就可以看作是一组异面平面的集合。
异面平面的研究帮助我们理解空间中不同平面的分布和相对位置。
总结起来，平面与平面的位置关系涉及四种情况：平行、相交、重合和异面。
通过研究和理解这些位置关系，我们可以更准确地描述和解决空间几何问题。
在实际应用中，我们可以利用这些知识点来进行建模、设计和分析，例如建筑设计中的空间布局、机械设计中的零件配合等。
因此，掌握平面与平面的位置关系知识是学习几何学的重要一步，也对我们的日常生活具有实际应用的意义。
空间中的平行关系介绍
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ； O
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
M
A
B
N
D C
4. 如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
定理
定理内容
符号表示
图形表示
一个 平面内的两
判定
条相交直线与 另 一
a ,b
a bP
/
/
定律 个平面平行，则这 a / / ,b / /
两个平面平行．
如果 两个平行平
/ /
性质 面 同 时 和 第 三 个
a
a
/ /b
定律 平面相交，那么它 b
们的 交线 平行．
1. 判断正错
（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平
V ∵ ABEC1
VC1 ABE
，
1 3
SBEC1
h
1 3
SABE
CC1 ，
∴
1 2
BE
EC1
h
1 2
BE
AE
CC1
，
∴
h AE CC1
5 2
5 1，
EC1
5
2
∴点 A 到平面 BEC1 间的距离为1．
归纳反思
1．证明直线和平面平行主要有两种方法： ①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行，
4
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ； O
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
平面几何中的平行关系
平面几何中的平行关系平面几何是几何学的一个分支，研究的是二维平面上的图形和它们的性质。
在平面几何中，平行关系是一个重要的概念，它描述了两条直线在平面上永远不会相交的性质。
本文将详细介绍平面几何中的平行关系，包括平行的定义、性质、判定方法以及应用等方面。
一、平行的定义在平面几何中，平行的定义是指两条直线在同一平面上，且永远不会相交。
换句话说，这两条直线的延长线也不会相交。
平行关系可以用符号“//”表示，例如直线AB//直线CD。
二、平行的性质平行关系具有一些重要的性质，这些性质可以帮助我们理解和应用平行关系。
1. 平行关系是对称的。
如果直线AB//直线CD，则直线CD//直线AB。
2. 平行关系是传递的。
如果直线AB//直线CD，并且直线CD//直线EF，则直线AB//直线EF。
3. 平行关系可以推论两条直线的夹角关系。
例如，如果直线AB//直线CD，并且直线CD与直线EF相交，则角A和角E互为对应角，角B和角F互为对应角，角C和角D互为内错角，角A和角D互为同旁内角。
三、平行的判定方法在平面几何中，判定两条直线是否平行有几种方法。
1. 对称判定法：如果两条直线和另外一条直线的交角对应角相等，则这两条直线平行。
例如，已知直线AB与直线CD相交，角A和角C 互为对应角，角B和角D互为对应角，如果角A等于角C，则可以判定直线AB//直线CD。
2. 逆命题判定法：如果两条直线的交角对应角相等，那么这两条直线平行。
例如，已知直线AB与直线CD相交，角A和角C互为对应角，角B和角D互为对应角，如果直线AB和直线CD的交角对应角相等，则可以判定直线AB//直线CD。
3. 平行线判定法：如果直线AB与一条直线CD平行，而直线CD与另一条直线EF平行，则直线AB//直线EF。
这是平行线的传递性质。
四、平行的应用平行关系在几何学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 平行线切割定理：如果两条平行线被一个截线相交，那么它们所切割出来的对应线段的比例相等。
空间中的平行关系PPT精品课件
答案：6
课堂互动讲练
考点一 直线与平面平行的判定
判定直线与平面平行，主要有 三种方法：
(1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平 面内与已知直线平行的直线．可先 直观判断平面内是否已有，若没有， 则需作出该直线，常考虑三角形的 中位线、平行四边形的对边或过已 知直线作一平面找其交线．
规律方法总结
2．在解决线面、面面平行的判 定时，一般遵循从“低维”到“高维”的 转化，即从“线线平行”到“线面平行”， 再到“面面平行”；而在应用性质定理 时，其顺序恰好相反，但也要注意， 转化的方向总是由题目的具体条件而 定，决不可过于“模式化”．
规律方法总结
3．在应用有关定理、定义等解 决问题时，应当注意规范性训练，即 从定理、定义的每个条件开始，培养 一种规范、严密的逻辑推理习惯，切 不可只求目标，不顾过程，或言不达 意，出现推理“断层”的错误．
课堂互动讲练
∴PQ∥EK. 又 PQ⊄平面 BEC，EK⊂面 BEC， ∴PQ∥平面 BEC. 法三：如图所示，作 PH∥EB 交 AB 于 H，连结 HQ，则AHHB＝APEP， ∵AE＝BD，AP＝DQ， ∴PE＝BQ，
∴AH＝AP＝DQ， HB PE BQ
课堂互动讲练
∴HQ∥AD，即HQ∥BC. 又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B， ∴平面PHQ∥平面BCE， 而PQ⊂平面PHQ， ∴PQ∥平面BCE.
课堂互动讲练
【名师点评】 法一、法二均是 依据线面平行的判定定理在平面BCE 内寻找一条直线l，证得它与PQ平 行．
特别注意直线l的寻找往往是通过 过直线PQ的平面与平面BCE相交的交 线来确定．
空间几何中的平行线于平面的关系
空间几何中的平行线于平面的关系空间几何中的平行线与平面的关系空间几何是研究物体形状、位置和运动的数学分支，而平行线与平面是其中的重要概念。
平行线和平面的关系在几何学中有着广泛的应用，涉及到许多重要的定理和推论。
本文将重点探讨空间几何中平行线与平面的关系，并探讨一些相关的定理。
一、平行线的定义和性质在空间几何中，我们首先需要了解平行线的定义和性质。
平行线是指在同一个平面内，永远不相交的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 平行线与平面中的任意一条直线相交时，与这两条直线相交的对应角相等。
2. 平行线与平面中的两个相交直线所夹的对应角相等。
3. 平行线与同一平面内的另一条直线平行。
二、平行线与平面的关系在空间几何中，平行线与平面之间存在着紧密的联系。
我们将依次介绍平行线和平面的四种关系。
1. 平行线与平面不相交。
当平行线与平面没有任何交点时，我们称这两者为不相交。
在这种情况下，平行线可以位于平面之上或之下，但永远不会穿过平面。
2. 平行线与平面相交于一点。
当一条平行线与平面相交于一点时，我们称这两者为相交于一点。
在这种情况下，平行线与平面构成一个射影。
3. 平行线与平面相交于多点。
当一条平行线与平面相交于多个点时，我们称这两者为相交于多点。
在这种情况下，平行线与平面构成一个平面曲线。
4. 平行线在平面内。
当所有平行线都位于一个平面内时，我们称这些平行线在平面内。
在这种情况下，平行线之间的距离始终保持相等，且它们与该平面的交点构成一条直线。
三、相关定理在空间几何中有一些重要的定理与平行线与平面的关系密切相关。
我们将介绍其中的两个定理。
1. 欧几里得平行公理欧几里得平行公理是平行线与平面关系的基础定理，它规定了平行线与平面之间的关系。
根据欧几里得平行公理，通过平面外一点，可以且只可以作一条与给定直线平行的线。
2. 平行线截断定理平行线截断定理是一个非常重要的定理，它描述了平行线与平面之间截断比例的关系。
空间几何中的平行线于平面的关系
空间几何中的平行线于平面的关系空间几何中的平行线与平面的关系在空间几何中，平行线与平面的关系是一个重要的概念。
平行线与平面的相互作用和关联在几何学的研究中有着广泛的应用。
本文将介绍平行线与平面之间的关系，并探讨平行线与平面的性质和特点。
一、平行线的定义平行线是在同一个平面内的两条直线，它们永远不会相交。
平行线的性质是平行公理的基础之一。
二、平行线与平面的关系2.1 平行线与平面的位置关系平行线与平面的位置关系主要有三种情况：平行线在平面内、平行线与平面平行但不在平面内、平行线与平面不平行。
首先，如果平行线在平面内，那么它们与该平面的交点无限多，并且交点之间的任意两点与平行线之间的距离相等。
其次，当平行线与平面平行但不在平面内时，它们在平面的无数延长线上有且只有一个交点，该交点位于平行线所在直线与该平面的无限延长线的交点。
最后，当平行线与平面不平行时，它们不会在平面内或平面的无限延长线上相交。
2.2 平行线与平面的夹角关系平行线与平面的夹角关系表明了平行线与平面之间的垂直性质。
如果一条直线与平面内的一条直线相交，并且与另一条平行线垂直，那么这两条直线与该平面平行。
三、平行线与平面的性质3.1 平行线的行程平行线具有相同的斜率，因此它们在平面上的位置也是相对稳定的。
在坐标平面中，平行线的方程可以表示为y = mx + b，其中m为斜率，b为截距。
如果两条线的斜率相同，它们就是平行线。
3.2 平行线的判定方法平行线的判定有多种方法，其中一些常用的方法包括：通过两条平行线上的点斜率相等、通过两条平行线上的线段比较相等、通过两条平行线上的线段的夹角等于90度来判断。
3.3 平行线定理平行线在几何学中有一些重要的定理，包括平行线的对应角相等定理、平行线的交角定理和平行线的内切角定理。
这些定理在实际问题的解决中起着重要的作用。
四、平行线与平面的应用平行线与平面的关系在实际生活中有很多应用。
例如，在建筑设计中，平行线与平面的关系可以帮助我们确定建筑物的结构和平面布局；在地理学中，平行线与地球表面上的纬线起着重要的作用。
复习初中数学平面与空间的平行关系
复习初中数学平面与空间的平行关系平面与空间的平行关系数学中的平面与空间是两个基本概念，它们在几何学和代数学中都有广泛应用。
平面与空间之间的平行关系是初中数学中的重要内容之一。
本文将对初中数学中的平面与空间的平行关系进行复习和总结。
一、平面的定义与性质平面是由无数条直线组成的一个集合，它是二维的，具有长、宽两个方向。
平面的特点是无限延伸，无厚度，没有边界。
平面可以用一个字母或者一个符号来表示，如平面α、平面M。
二、空间的定义与性质空间是由无数的点组成的一个集合，它是三维的，具有长、宽、高三个方向。
空间的特点是无限延伸，有无数个平面相互垂直。
空间可以用一个字母或者一个符号来表示，如空间β、空间P。
三、平行关系的定义在数学中，平行是指两个或多个线、平面或空间中的对象永远不会相交。
如果两个平面或空间之间不存在交点，则它们被认为是平行的。
四、平行线与平行线之间的关系1. 平行线的定义：如果两条直线在同一平面内，且在平面内任意切割这两条线时，两边所截的内角互补（即和为180°），则这两条直线是平行的。
2. 平行线的性质：平行线具有以下性质：a) 平行线不会相交，它们在同一平面内永远保持相同的距离。
b) 平行线的斜率相等，即两条平行线的斜率相同。
c) 平行线之间的任意两条直线与平行线交叉，所成的内、外角相等。
五、平面与平面之间的关系1. 平面与平面的位置关系：两个平面可能相互平行、相交或重合。
a) 如果两个平面相互平行，则它们永远不会相交。
b) 如果两个平面相交于一条直线，则这两个平面被称为相交平面。
相交平面上的交线与两个平面都垂直。
c) 如果两个平面完全重合，则它们是同一个平面。
六、平面与空间之间的关系1. 空间中的一条直线与一个平面的位置关系：一条直线与一个平面可能相互平行、相交或垂直。
a) 如果一条直线与一个平面相互平行，则直线在平面内的任意一点到这条直线的距离都相等。
b) 如果一条直线与一个平面相交，则直线与平面交于一点。
高二数学空间中的平行关系知识精讲
高二数学空间中的平行关系【本讲主要内容】空间中的平行关系直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行【知识掌握】【知识点精析】设a ，b ，c 表示不重合的直线，α，β，γ表示不重合的平面1. a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c2. α∥β,a =γ⋂α，⇒=γ⋂βb a ∥b3. β⊂a ，β⋂α=b ，a ∥⇒αa ∥b4. a ⊥α，b ⊥⇒αa ∥b5. a ∥b ，a α⊄ b ⇒α⊂a ∥α6. a β⊂，β∥⇒α a ∥α7. a α⊄，a ⊥b ，b ⊥⇒αa ∥α8. α∥γ，β∥γ⇒α∥β9. a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β10. a α⊂，b α⊂，a ⋂b=A ，a ∥β，b ∥β⇒α∥β【解题方法指导】平行关系的证明可划分为：直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行三种类 型。
由于直线与直线平行或用平面几何的定理直接证明，或由后两种情况推出，所以我们把 直线与平面的平行和平面与平面的平行作为学习的重点。
l. 直线与平面平行的证明方法证明直线a 与平面α平行，常从以下两个方面进行思考：（1）转化为证明直线a 与平面α内的一条直线平行。
思考时可按以下两步进行。
①在平面α内所给出的直线中，是否存在直线b 与直线a 平行，若存在的话，可利用平 面几何证明两条直线平行的方法进行证明。
如同位角相等，内错角相等等。
②如果在平面α内所给出的直线中找不到与直线a 平行的直线，则应考虑添加辅助线。
在平面α内作出一条直线b ，使它与直线a 平行。
（2）转化为证明平面α与过直线a 的平面β平行。
过直线a 作一个平面β，如果能证明β∥α，则利用两个平面平行的性质定理，便可证 出a ∥α的结论。
作平面也可采用构造三角形的方法，让三角形的一边过直线a ，证明另两 边都与α平行即可。
2. 平面与平面平行的证明方法证明平面α与平面β平行，最常用的证明方法是转化为证明直线与平面平行。
如果我 们能在平面α（或β）内找到两条相交直线都与平面α（或β）平行的话，则问题迎刃而 解。
高二数学空间的平行关系
母亲，没有您在的娘家，女儿再回去，也只是客人，母亲在，家的感觉就在，母亲走了，心就空了，没有娘在家，怎能叫家？以前，看到过这么一句话：人到中年，有妈可叫，有妈唠叨，是一种莫 大的幸福。您在的时候，没有意识到这种幸福是如此的可贵，您走后，才真切地体会到，这句话所蕴含的意义，可一切都太迟了，醒悟的太晚，没法补救了。子欲养而亲不待的遗憾，被辜负的父母亲情， 循环上演着。古往今来，有多少人想去做好，可事实上又有几个人，能真，我的心是柔软甜蜜的。您也是我的铠甲，想到您，我就有无穷无尽的力量，去抵抗人生路上遇到的风风雨雨。可是您不在了，您走后的一年时间以来，盛世繁华， 又与我有何关系，没有人能听见，我心底的哭泣声。于我而言，没有您与我共同分享的美好，只是一个表象的词，没有任何实际上的意义。您不在了，我有再多的苦，也只能自己咽，我流再多的泪，也 只能自己擦，没有母亲疼爱的孩子，再也没有撒娇的权利与资格了，这种疼与痛，说不出来，咽不下去，只能一个人硬扛着。色色视频
高二暑期.第8讲 平面性质与空间中的平行关系 删解析
93第8讲·提高-尖子-目标·教师版1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α⊂； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α⊄； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=． <教师备案>数学有三种语言：文字语言、图形语言以及符号语言，符号语言方便记忆，可以结合图形语言来加深理解．我们在集合那里学习的子集之间的关系有⊆和Ü，分别区分子集与真子集．而在立体几何满分晋级8.1平面的基本性质与推论知识点睛第8讲 立体几何1级空间几何体的概念与结构立体几何2级 平面性质与空间中的平行关系立体几何3级 空间中的垂直关系平面性质与空间中的平行关系94第8讲·提高-尖子-目标·教师版这里，线面之间的关系永远只能是真子集，所以直接用⊂表示即可．例：将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示． l αβ=，A l ∈，AB α⊂，AC β⊂．2．平面的三个公理：⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内．图形语言表述：如右图： A B l ααα∈∈⇒⊂，<教师备案>公理一反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内．公理一也说明了平面是平的，用直线检验平面是否“平”．例：① 若一条直线过平面内一点和平面外一点，则它和这个平面有几个公共点？（1个）② 若a α⊂，b α⊂，M a ∈，N b ∈且M l ∈，N l ∈，则（ A ） A ．l α⊂ B ．l α⊄ C ．l M α= D ．l N α=③ 若直线上有两个点在平面外，则（ A ）A ．直线上至多有一个点在平面内B ．直线上有无穷多个点在平面内C ．直线上所有点都在平面外D ．以上结论都不对⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A B C ααα∈∈∈，，． <教师备案>公理二可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．公理二说明平面比直线多了一个维度，所以需要多一个不共线的点来确定．⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：95第8讲·提高-尖子-目标·教师版符号语言表述：A a A a αβαβ∈⇒=∈，．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共 直线叫做这两个平面的交线．<教师备案>公理三反映了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．<教师备案>三个推论都可以由平面基本性质的三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．例：下列说法正确的是___②___．①一条直线和一个点确定一个平面； ②三角形和梯形一定是平面图形； ③两两相交的三条直线确定一个平面；4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面．考点1：平面的三公理及推论【例1】 ⑴下列选项错误的是（ ）A ．A l AB l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂，，，B ．A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=，，，C ．A B C A B C αβ∈∈，，，，，，且A B C ，，不共线⇒αβ，重合D ．l A l A αα⊄∈⇒∉，⑵已知点A ，直线l ，平面α，①A l l A αα∈⊄⇒∉， ②A l l A αα∈∈⇒∈， ③A l l A αα∉⊂⇒∉， ④A l A l αα∈∉⇒⊄，以上说法表达正确的有________． ⑶判断下面说法是否正确：①如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面．经典精讲96第8讲·提高-尖子-目标·教师版③经过空间任意三点有且只有一个平面．④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段．【解析】 ⑴ D ；⑵ ④； ⑶ ①错误；②正确； ③错误； ④正确； ⑤错误；【例2】 ⑴如图，已知在空间四边形ABCD 中（即这四点不共面），,,,E F G H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 上的点，且EH 交FG 于P ．求证：P 在直线BD 上． ⑵如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1A C 与截面1DBC 交于O 点，AC BD ，交于M ，求证：1C O M ，，三点共线．H P GFEDCBA1【解析】 ⑴ ∵P ∈直线EH ，∴P ∈平面ABD ，∵P ∈直线FG ，∴P ∈平面BCD ， 又BD 是平面ABD 与平面BCD 的交线， ∴P BD ∈．⑵ 三点共线问题的证法是：证明此三点同在两个相交平面内，从而在它们的交线上．∵1C O M ∈，，平面1BC D ． 又∵1C O M ∈，，平面11A ACC ，根据公理2知：1C O M ，，在平面1BC D 与平面11A ACC 的交线上， 即1C O M ，，三点共线．目标班学案1【拓3】正方体1111ABCD A B C D -中,E F G H K L ，，，，，分别是DC 、1DD 、11A D 、111A B BB BC 、、 的中点，求证：这六点共面． 【解析】 连结BD 和KF ，∵E L 、是CD CB 、的中点 ∴EL BD ∥． 又∵矩形11BDD B 中KF BD ∥，∴KF EL ∥，∴KF EL 、可确定平面α， 从而E F K L 、、、在同一个平面α内， 同理EH KL ∥，故E H K L 、、、共面β．又∵平面α与平面β都经过不共线的三点E K L 、、，LKHGFEA 1B 1C 1D 1DCBAAB CDD 1C 1B 1A 1E FGHKL97第8讲·提高-尖子-目标·教师版故平面α与平面β重合，所以E K L F H 、、、、共面于平面α． 同理可证G α∈，∴E K L F H G 、、、、、六点共面．【点评】 证明共面问题常有如下两个方法：⑴直接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上； ⑵间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．【备选】在正方体1111ABCD A B C D -中，E ,F 分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ ）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条 【解析】 D ；1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． ：平行于同一条直线的两条直线互相平行；<教师备案>等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边AB A B ''∥，AC A C ''∥，且射线AB 与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向．求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形． 分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为AD A D ''∥，所以AA DD ''是平行四边形所以AA DD ''∥．同理可得AA EE ''∥，因此DD EE ''∥．所以DDEE ''是平行四边形． 因此DE DE''=．于是ADE A DE '''∆∆≌．所以BAC B A C '''∠=∠．例：如果11OA A O ∥，11OB B O ∥，则AOB ∠与111AO B ∠的关系为________．（相等或互补）2．空间中两直线的位置关系：⑴共面直线：平行直线与相交直线；⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线．<教师备案>根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线所成的角．8.2线线关系与线面平行知识点睛A'B'C'D'E'EDCBA98第8讲·提高-尖子-目标·教师版异面直线所成角的范围是π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，．3．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作l α∥，如图⑶．l3()2()1()lAαααl<教师备案>画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行；4．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：l m αα⊄⊂，图象语言表述：如右图．<教师备案>要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（l m ∥），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上， 从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．例：E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体的棱中，与E ，F ，G 三点确定的平面平行的棱为________．（AC ，BD ）考点2：线面平行的判定【铺垫】已知E F G M ，，，分别是四面体的棱AD CD BD BC ，，，的中点， 求证：⑴ BC ∥平面EFG ；⑵ AM ∥平面EFG ．【解析】 ⑴ ∵G ，F 分别为BD ，CD 的中点，则GF BC ∥，GF ⊂平面EFG ，BC 不在平面EFG 内 则BC ∥平面EFG ．⑵ 连结MD 交GF 于N ，连结EN ，因为GF 是BCD △的中位线，所以点N 为MD 的中点， 又∵E 是AD 的中点，∴EN 是AMD △的中位线，故EN AM ∥， 又EN ⊂平面EFG ，AM ⊄平面EFG ，经典精讲ml αG FEDCB AMNMAB CDEFGGAEBFD第8讲·提高-尖子-∴AM ∥面EFG ．【例3】如图，正方体1AC 中，M 、N 分别为1B C 、BD 的中点，求证：MN ∥平面11AA B B ．【解析】 法一：连结1AC AB ，，由N 为BD 的中点知，N 为AC BD ，的交点， 且有AN NC =，又1CM MB =，在1AB C △中，MN 为中位线，故1MN AB ∥． 又MN ⊄平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ， ∴MN ∥平面11ABB A ． 法二：取1BB 的中点E ，AB 的中点F ，连结ME NF EF ，，， ∵M 为1B C 的中点，E 为1BB 的中点，故EM BC ∥，且12EM BC =；同理，NF AD ∥，且12NF AD =；BC AD ∥，且BC AD =， ∴EM FN ∥，且EM FN =，∴四边形MNFE 是平行四边形，∴MN EF ∥． 又MN ⊄平面11ABB A ，EF ⊂平面11ABB A ， ∴MN ∥平面11ABB A ．尖子班学案1【拓2】如图，正方体1AC 中，M 、N 分别为线段1B C 、BD 上的点，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA B B ． 【解析】 过M 点作ME BC ∥，过N 点作NF AD ∥，分别交1BB 和AB 于E F 、，连结EF ．∵ME BC ∥，∴11B MME BC B C =， 又∵NF AD ∥，∴NF BNAD BD =， 又已知CM DN =，1B C BD =，∴1B M BN =，11B M BNB C BD=， 从而有ME NFBC AD=， 又∵BC AD ∥，BC AD =，∴ME NF =，ME NF ∥， ∴MNFE 是平行四边形，∴MN EF ∥． 又MN ⊄平面11ABB A ，EF ⊂平面11ABB A ， ∴MN ∥平面11ABB A ．目标班学案2【拓3】已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC △和BCD △的重心，求D 1C 1B 1M B NFECD A 1AMND 1C 1B 1A 1DCB ANMD 1C 1B 1A 1D CB AAB CD A 1B 1C 1D 1MNFE AB CD A 1B 1C 1D 1MN100第8讲·提高-尖子-目标·教师版证：PQ ∥平面ACD ．【解析】 分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ 与平面ACD 中的某条直线平行．证明：（法一）取BC 的中点E ，∵P 是ABC △的重心，Q 为BCD △的重心， ∴连结AE ，DE ，有,P AE Q DE ∈∈， 且有:2:1:2:1AP PE DQ QE ==， 在AED △中，有::AP PE DQ QE =， 从而PQ AD ∥．又AD ⊂平面ACD ，PQ ⊄平面ACD ， ∴PQ ∥平面ACD ．（法二）连结,BP BQ 分别交,AC CD 于,M N ，连结MN ， ∵::2:1BP PM BQ QN ==，∴PQ MN ∥，又MN ⊂平面ACD ，PQ ⊄平面ACD ， ∴PQ ∥平面ACD ．5．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行． 符号语言表述：l l αβ⊂∥，图象语言表述：如右图．<教师备案>线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，由平行的定义立即可得（共面且无交点）．即线面平行的性质定理可以作为线线平行的一个判定．若a α∥，我们要在α内找一条直线b 与a 平行，我们只需要过直线a 做一个与α相交的平面β，它们的交线即为与a 平行的直线b ．考点3：线面平行的性质【铺垫】如图所示，已知AB αβ=，CD αγ=，EF βγ=，若EF α∥，证明：AB CD ∥．【解析】 ∵EF βγ=，∴EF β⊂，又EF α∥，AB αβ=，则EF AB ∥，同理可以证明EF CD ∥， 从而AB CD ∥．【例4】平行于平面α的a ，b 是两异面直线，且分别在平面α的两侧，知识点睛经典精讲NMABDPQQPD CBAEαNMbDCBAaβαl m FEDBAγβα101第8讲·提高-尖子-目标·教师版A B a C D b ∈∈，，，，若AC 与平面α交于点M ，BD 与平面α交于点N ．求证：AM BNMC ND=． 【解析】 连结AD ，设AD Q α=，连结QM ，QN ，∵b α∥，b ⊂平面ACD ，平面ACDMQ α=，∴b MQ ∥，即CD MQ ∥，有AM AQ MC QD=．同理，有QN AB ∥，ND QDBN AQ =，∴AM AQ BNMC QD ND==，命题得证．1．两个平面的位置关系⑴ 两个平面,αβ平行：没有公共点，记为αβ∥；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行． ⑵ 两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．例：已知αβ∥，a α∥，b β∥，则直线a 与b 的位置关系为________．（平行、相交或异面）考点4：面面平行的概念辨析 【例5】 ⑴下列命题中，真命题有_______．①若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥； ②若a a b b αβαβ∥，∥，∥，∥，则αβ∥； ③若a b a αββ⊂⊂，，∥，则a b =∅； ④若a a b b a b A αβαβ=∥，∥，∥，∥，，则αβ=∅；⑵若平面α∥平面β，直线a α⊂，点B β∈，则在β内过点B 的所有直线中（ ） Ａ．不一定存在与a 平行的直线 Ｂ．只有两条与a 平行的直线 Ｃ．存在无数条与a 平行的直线 Ｄ．有且只有一条与a 平行的直线【解析】 ⑴ ③④；⑵ Ｄ；2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平8.3面面平行的判定与性质知识点睛经典精讲知识点睛QaABM αbCDNA baαβ102第8讲·提高-尖子-目标·教师版面， 那么这两个平面平行．如右图所示．,,,a b A a b ββαβ=⇒∥∥∥．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．<教师备案>面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到：如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面．例：①经过平面外一点可以作______个平面平行于这个平面，可以作______条直线平行于这个平面．（一；无数）②若a b ∥，a α∥，b β∥，则平面α与平面β的位置关系为________．（平行或相交）提高班学案1【铺1】在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面1A BD ∥平面11CB D ． 【解析】 由正方体的性质知，11BB DD ∥，且11BB DD =，∴四边形11BDD B 为平行四边形， ∴11BD B D ∥；又11A B CD ∥，且11A B CD =， ∴11A B CD 为平行四边形， ∴11A D B C ∥；又1A D ⊂平面1A BD ，BD ⊂平面1A BD ，且1A D BD D =；1B C ⊂平面11CB D ，11B D ⊂平面11CB D ，1111B CB D B =，∴平面1A BD ∥平面11CB D ．考点5：面面平行的判定 【例6】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是11B C 、11A D 、11A B 的中点，⑴ 求证：平面EBD ∥平面FGA ． ⑵ 求AFG BDE S S △△∶．【解析】 ⑴ 连结11B D ，∵F 、G 、E 分别为所在棱的中点， ∴AF BE ∥，11FG B D BD ∥∥， 又AF ⊂平面AGF 、FG ⊂平面AGF ， ∴BE ∥平面AGF ，BD ∥平面AGF ． 又∵BEBD B =，BE 、BD 均在平面BDE 内，∴平面EBD ∥平面FGA ．⑵ 连结AC 、BD 相交于O ，则O 是AC 、BD 的中点；从而可知FG BO ∥，AF BE ∥，经典精讲D 1C 1B 1A 1DCBAOD 1C 1B 1A 1GF EDCBBCD EF GA 1B 1C 1D 1103第8讲·提高-尖子-目标·教师版连结11A C 、GE ，则1112GE AC AO ∥∥， ∴四边形AOEG 为平行四边形， ∴AG OE ∥． ∴AFG EBO △≌△，∴12AFG BDE EBO EBD S S S S ==△△△△∶∶．【备选】如图，B 为ACD △所在平面外一点，M ，N ，G 分别为ABC △，ABD △，BCD △的重心，⑴ 求证：平面MNG ∥平面ACD ；⑵ 求:MNG ADC S S ∆∆． 【解析】 ⑴ 连结BM 、BN 、BG 并延长分别交AC 、AD 、CD 于P 、F 、H ，∵M ，N ，G 分别为ABC △，ABD △，BCD △的重心，∴2BM BN BG MP NF GH===． 连结PF 、FH 、PH 有MN PF ∥． 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD ． 同理，MG ∥平面ACD ，MG MN M =，∴平面MNG ∥平面ACD ． ⑵ :1:9MNG ACD S S ∆∆=．3．两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言表述：αβα∥，图象语言表述：如右图所示．<教师备案>1．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．2．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．例：下列命题正确的是（ A ）A ．夹在两平行平面间的平行线段相等B ．夹在两平行平面间的相等线段平行C ．两平面分别与第三个平面相交，若这两条交线平行，则这两个平面平行D ．平行于同一直线的两平面平行知识点睛γβαbaGFDC BAMN PH GNMDB A104第8讲·提高-尖子-目标·教师版考点6：面面平行的性质【例7】已知平面αβγ∥∥，且直线l 与α，β，γ分别交于点A ，B ，C ，与l 异面的直线m 与α，β，γ分别交于点D ，E ，F ，6AB =，2BC =，3EF =，求ED 的长．【解析】9．【备选】已知平面αβ∥，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证：EF α∥，EF β∥．【解析】 连接AF 并延长交β于G ．∵AGCD F =∴ AG ，CD 确定平面γ，且AC γα=，DG γβ=．∵αβ∥，所以 AC DG ∥，∵CF DF =，∴AF FG =．又AE BE =， ∴EF BG ∥，BG β⊂． 故 EF β∥． 同理EF α∥．下列选项中能够推出直线a ∥平面α的条件是（ ）A ．存在一条直线b ，b α∥，a b ∥B ．存在一个平面β，a β⊂，αβ∥C ．存在一个平面β，a β∥，αβ∥D ．存在一条直线b ，b α⊂，a b ∥【解析】 B 【点评】 本题较易误选A ，C ，D ；但实际上A ，C ，D 都有a α⊂的反例；学习立体几何时，对于这些特殊情形要引起特别注意．实战演练经典精讲βBGDFEαCAB EF ACDm lαβγ105第8讲·提高-尖子-目标·教师版【演练1】两个平面平行的充分条件是（ ）A ．一个平面内一条直线平行于另一个平面B ．一个平面内两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面【解析】 D ．【演练2】已知空间四边形ABCD ，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：AC ∥平面EFG ，BD ∥平面EFG ． 【解析】 在ABC △中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点．∴AC EF ∥．又EF ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ， ∴AC ∥平面EFG ．同理，BD FG ∥，∴BD ∥平面EFG ．【演练3】过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（ ）A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条 【解析】 D ；【演练4】在三棱锥A BCD -中，作截面PQR ，若PQ CB ，的延长线交于M ，RQ DB ，的延长线交于点N ，RP DC ，的延长线交于点K ．求证：M N K ，，三点共线． 【解析】 直线KR 和NR 为相交直线，故它们确定一个平面，记为α，则P Q αα∈∈，⇒直线PQ α⊂，故M N K α∈，，， 又M BC N BD K CD ∈∈∈，，, 故M N K ∈，，平面BCD ， 故M N K ，，∈（平面α平面BCD ），故在它们的交线上， 从而知M N K ，，三点共线．【演练5】已知长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11AA CC ，的中点． 求证：平面BDF ∥平面11B D E ．【解析】 ∵1111BB DD BB DD =∥，，∴四边形11BDD B 为平行四边形，故有11BD B D ∥． 取1BB 的中点G ，连结AG ，FG ，∵1AE B G ∥， ∴四边形1AEB G 为平行四边形，故有1AG B E ∥． 又∵GF BC AD ∥∥，GF BC AD ==， ∴四边形ADFG 为平行四边形，故有AG DF ∥． ∴1B E DF ∥，又1111B EB D B =，DFBD D =，B 1D 1C 1GFECBA 1A D H A CDD 1C 1B 1A 1E FG FE A 1B 1C 1D 1DBCAA BCDEFGKNM RQ P DCB A106第8讲·提高-尖子-目标·教师版∴平面BDF ∥平面11B D E ．证明：若一直线和两个相交平面都平行，则这条直线和这两平面的交线平行【解析】 题目即：已知l αβ=，a α∥，a β∥，证明a l ∥．∵a α∥，∴过a 做平面γ，b γα=，则有a b ∥， 同理过a 做平面θ，c θβ=，则a c ∥，∴b c ∥，又c β⊂，∴b β∥， 又∵b α⊂，l αβ=，∴b l ∥，即a l ∥。
空间几何中的平面平行
空间几何中的平面平行在空间几何中，平行是一个重要的概念。
平行线在平面几何中常常被提及，但在空间几何中，平行的概念同样适用于平面。
本文将讨论空间几何中的平面平行的性质、判定方法以及应用。
一、平面平行的性质在空间几何中，两个平面可以相交，也可以平行。
如果两个平面相交于一条直线，则我们称这两个平面为相交平面；如果两个平面之间没有任何交点，我们称这两个平面为平行平面。
平面平行具有以下性质：1. 平行平面永远不会相交。
即使延长两个平面，它们也不会相交。
2. 平行平面中的任意一条直线都与两个平面平行，且平行于这两个平面的所有直线都互相平行。
3. 平行平面之间的距离在整个平面中都是相等的。
二、平面平行的判定方法在空间几何中，如何判定两个平面是否平行？下面介绍两种常见的判定方法。
1. 根据平面的法向量：平行的两个平面的法向量相等或相反。
对于一个平面，它有无穷多个垂直于其的向量，其中一个被称为法向量。
两个平面平行的充分必要条件是它们的法向量相等或相反。
通过计算平面的法向量，可以判断两个平面是否平行。
2. 根据两个平面上的直线关系：两个平面平行，其中一个平面上的一条直线与另一个平面上的一条直线平行。
在一个平面上取一条直线L，如果这条直线与另一个平面中的任意一条直线既不相交，也不平行，那么这两个平面就是平行的。
这个方法可以通过判断直线和平面的交点或者直线和平面的夹角来进行判定。
三、平面平行的应用平行平面在日常生活和工程应用中具有广泛的应用。
以下是一些实际应用的例子：1. 建筑设计在建筑设计中，平行平面的概念被广泛应用于各种结构，比如墙面、地面、天花板等。
平行平面的合理运用可以使建筑结构更加稳定，提高施工效率。
2. 制造业在制造业中，平行平面的测量和判定被广泛应用于加工、装配和检测等环节。
通过确保平行平面的准确度，可以实现零件的互换性和装配精度。
3. 交通工程在交通工程中，平行平面的概念用于道路设计和车辆行驶。
例如，在高速公路设计中，平行平面的正确运用可以提高道路车辆的安全性和舒适度。
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1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α⊂； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α⊄； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=． <教师备案>数学有三种语言：文字语言、图形语言以及符号语言，符号语言方便记忆，可以结合图形语言来加深理解．我们在集合那里学习的子集之间的关系有⊆和，分别区分子集与真子集．而在立体几何这里，线面之间的关系永远只能是真子集，所以直接用⊂表示即可．满分晋级8.1平面的基本性质与推论知识点睛第8讲 立体几何1级空间几何体的概念与结构立体几何2级 平面性质与空间中的平行关系立体几何3级 空间中的垂直关系平面性质与空间中的平行关系94第8讲·提高-尖子-目标·教师版例：将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示． l αβ=，A l ∈，AB α⊂，AC β⊂．2．平面的三个公理：⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内．图形语言表述：如右图： A B l ααα∈∈⇒⊂，<教师备案>公理一反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内．公理一也说明了平面是平的，用直线检验平面是否“平”．例：① 若一条直线过平面内一点和平面外一点，则它和这个平面有几个公共点？（1个）② 若a α⊂，b α⊂，M a ∈，N b ∈且M l ∈，N l ∈，则（ A ）A ．l α⊂B ．l α⊄C ．l M α=D ．l N α= ③ 若直线上有两个点在平面外，则（ A ）A ．直线上至多有一个点在平面内B ．直线上有无穷多个点在平面内C ．直线上所有点都在平面外D ．以上结论都不对⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A B C ααα∈∈∈，，． <教师备案>公理二可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．公理二说明平面比直线多了一个维度，所以需要多一个不共线的点来确定．⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条过这个点的公共直线．图形语言表述：如右图： 符号语言表述：A a A a αβαβ∈⇒=∈，．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线．<教师备案>公理三反映了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．<教师备案>三个推论都可以由平面基本性质的三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．例：下列说法正确的是___②___．①一条直线和一个点确定一个平面； ②三角形和梯形一定是平面图形； ③两两相交的三条直线确定一个平面；4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面．考点1：平面的三公理及推论【例1】 ⑴下列选项错误的是（ ）A ．A l AB l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂，，，B ．A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=，，，C ．A B C A B C αβ∈∈，，，，，，且A B C ，，不共线⇒αβ，重合D ．l A l A αα⊄∈⇒∉，⑵已知点A ，直线l ，平面α，①A l l A αα∈⊄⇒∉， ②A l l A αα∈∈⇒∈， ③A l l A αα∉⊂⇒∉， ④A l A l αα∈∉⇒⊄， 以上说法表达正确的有________． ⑶判断下面说法是否正确：①如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面．④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段．【解析】 ⑴ D ；⑵ ④； ⑶ ①错误；②正确； ③错误； ④正确； ⑤错误；【例2】 ⑴如图，已知在空间四边形ABCD 中（即这四点不共面），,,,E F G H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 上的点，且EH 交FG 于P ．求证：P 在直线BD 上． ⑵如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1A C 与截面1DBC 交于O 点，AC BD ，交于M ，求证：1C O M ，，三点共线．H P GFEDCBA MOA 1B 1C 1D 1DCA【解析】 ⑴ ∵P ∈直线EH ，∴P ∈平面ABD ，∵P ∈直线FG ，∴P ∈平面BCD ， 又BD 是平面ABD 与平面BCD 的交线， ∴P BD ∈．⑵ 三点共线问题的证法是：证明此三点同在两个相交平面内，从而在它们的交线上．∵1C O M ∈，，平面1BC D ．又∵1C O M ∈，，平面11A ACC ，经典精讲96第8讲·提高-尖子-目标·教师版根据公理2知：1C O M ，，在平面1BC D 与平面11A ACC 的交线上， 即1C O M ，，三点共线．目标班学案1【拓3】正方体1111ABCD A B C D -中,E F G H K L ，，，，，分别是DC 、1DD 、11A D 、111A B BB BC 、、 的中点，求证：这六点共面．【解析】 连结BD 和KF ， ∵E L 、是CD CB 、的中点 ∴EL BD ∥． 又∵矩形11BDD B 中KF BD ∥，∴KF EL ∥，∴KF EL 、可确定平面α， 从而E F K L 、、、在同一个平面α内， 同理EH KL ∥，故E H K L 、、、共面β． 又∵平面α与平面β都经过不共线的三点E K L 、、， 故平面α与平面β重合，所以E K L F H 、、、、共面于平面α．同理可证G α∈， ∴E K L F H G 、、、、、六点共面．【点评】 证明共面问题常有如下两个方法：⑴直接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；⑵间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．【备选】在正方体1111ABCD A B C D -中，E ,F 分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ ）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条【解析】 D ；1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． ：平行于同一条直线的两条直线互相平行；<教师备案>等角定理证明：已知：如图所示， BAC ∠和B A C '''∠的边AB A B ''∥，AC A C ''∥，且射线AB 与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向．求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为AD A D ''∥，所以AA D D ''是平行四边形所以AA DD ''∥．同理可得AA EE ''∥，因此DD EE ''∥． 所以DD E E ''是平行四边形．8.2线线关系与线面平行知识点睛L KHGFEA 1B 1C 1D 1DC B A AB CDD 1C 1B 1A 1E FG HKL A'B'C'D'E'EDC BA因此DE D E ''=．于是ADE A D E '''∆∆≌．所以BAC B A C '''∠=∠．例：如果11OA A O ∥，11OB B O ∥，则AOB ∠与111AO B ∠的关系为________．（相等或互补）2．空间中两直线的位置关系：⑴共面直线：平行直线与相交直线；⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线．<教师备案>根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线所成的角．异面直线所成角的范围是π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，．3．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作l α∥，如图⑶．l3()2()1()lAαααl<教师备案>画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行；4．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：l m αα⊄⊂，图象语言表述：如右图．<教师备案>要证明这个定理可以考虑用反证法， 因为线线平行（l m ∥），所以它们可以确定一个平面β， β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上， 从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．例：E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体的棱中，与E ，F ，G 三点确定的平面平行的棱为________．（AC ，BD ）考点2：线面平行的判定【铺垫】已知E F G M ，，，分别是四面体的棱AD CD BD BC ，，，的中点， 求证：⑴ BC ∥平面EFG ；⑵ AM ∥平面EFG ．【解析】 ⑴ ∵G ，F 分别为BD ，CD 的中点，则GF BC ∥，GF ⊂平面EFG ，BC 不在平面EFG 内 则BC ∥平面EFG ．⑵ 连结MD 交GF 于N ，连结EN ，因为GF 是BCD △的中位线，所以点N 为MD 的中点，经典精讲m l αMAB CDEFGG A EBFD98第8讲·提高-尖子-目标·教师版又∵E 是AD 的中点，∴EN 是AMD △的中位线，故EN AM ∥， 又EN ⊂平面EFG ，AM ⊄平面EFG ， ∴AM ∥面EFG ．【例3】 如图，正方体1AC 中，M 、N 分别为1B C 、BD 的中点，求证：MN ∥平面11AA B B ．【解析】 法一： 连结1AC AB ，，由N 为BD 的中点知，N 为AC BD ，的交点， 且有AN NC =，又1CM MB =，在1AB C △中，MN 为中位线，故1MN AB ∥． 又MN ⊄平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，∴MN ∥平面11ABB A ． 法二：取1BB 的中点E ，AB 的中点F ，连结ME NF EF ，，， ∵M 为1B C 的中点，E 为1BB 的中点，故EM BC ∥，且12EM BC =；同理，NF AD ∥，且12NF AD =； BC AD ∥，且BC AD =， ∴EM FN ∥，且EM FN =，∴四边形MNFE 是平行四边形，∴MN EF ∥． 又MN ⊄平面11ABB A ，EF ⊂平面11ABB A ，∴MN ∥平面11ABB A ．尖子班学案1【拓2】如图，正方体1AC 中，M 、N 分别为线段1B C 、BD 上的点，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA B B ． 【解析】 过M 点作ME BC ∥，过N 点作NF AD ∥，分别交1BB 和AB 于E F 、，连结EF ．∵ME BC ∥，∴11B MME BC B C =， 又∵NF AD ∥，∴NF BNAD BD =， 又已知CM DN =，1B C BD =，∴1B M BN =，11B M BNB C BD=， 从而有ME NFBC AD =， 又∵BC AD ∥，BC AD =，∴ME NF =，ME NF ∥，∴MNFE 是平行四边形，∴MN EF ∥． 又MN ⊄平面11ABB A ，EF ⊂平面11ABB A ， ∴MN ∥平面11ABB A ．目标班学案2【拓3】已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC △和BCD △的重心，求ABCPQ G FEDCB AMND 1C 1B 1M B NF ECDA 1AMND 1C 1B 1A 1DCB ANMD 1C 1B 1A 1D CB A AB CD A 1B 1C 1D 1MNFE AB CD A 1B 1C 1D 1MN证：PQ ∥平面ACD ．【解析】 分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ 与平面ACD 中的某条直线平行．证明：（法一）取BC 的中点E ，∵P 是ABC △的重心，Q 为BCD △的重心，∴连结AE ，DE ，有,P AE Q DE ∈∈，且有:2:1:2:1AP PE DQ QE ==， 在AED △中，有::AP PE DQ QE =， 从而PQ AD ∥． 又AD ⊂平面ACD ，PQ ⊄平面ACD ， ∴PQ ∥平面ACD ． （法二）连结,BP BQ 分别交,AC CD 于,M N ，连结MN ，∵::2:1BP PM BQ QN ==，∴PQ MN ∥，又MN ⊂平面ACD ，PQ ⊄平面ACD ， ∴PQ ∥平面ACD ．5．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行． 符号语言表述：l l m l mαβαβ⊂=⇒∥∥，，． 图象语言表述：如右图．<教师备案>线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，由平行的定义立即可得（共面且无交点）．即线面平行的性质定理可以作为线线平行的一个判定．若a α∥，我们要在α内找一条直线b 与a 平行，我们只需要过直线a 做一个与α相交的平面β，它们的交线即为与a 平行的直线b ．考点3：线面平行的性质 【铺垫】如图所示，已知AB αβ=，CD αγ=，EF βγ=，若EF α∥，证明：AB CD ∥．【解析】 ∵EF βγ=，∴EF β⊂，又EF α∥，AB αβ=，则EF AB ∥， 同理可以证明EF CD ∥， 从而AB CD ∥．【例4】平行于平面α的a ，b 是两异面直线，且分别在平面α的两侧，A B a C D b ∈∈，，，，若AC 与平面α交于点M ，BD 与平面α交于点N ．求证：AM BNMC ND=． 【解析】 连结AD ，设AD Q α=，连结QM ，QN ，∵b α∥，b ⊂平面ACD ，平面ACD MQ α=， ∴b MQ ∥，即CD MQ ∥， 知识点睛经典精讲N MA B C DP Q Q PD CBA EαNM bDCBAaQaABM αbCDNβαlm FEDBAγβα100第8讲·提高-尖子-目标·教师版有AM AQMC QD=．同理，有QN AB ∥，ND QD BN AQ =， ∴AM AQ BN MC QD ND==，命题得证．1．两个平面的位置关系⑴ 两个平面,αβ平行：没有公共点，记为αβ∥；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行． ⑵ 两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．例：已知αβ∥，a α∥，b β∥，则直线a 与b 的位置关系为________．（平行、相交或异面）考点4：面面平行的概念辨析 【例5】 ⑴下列命题中，真命题有_______． ①若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥； ②若a a b b αβαβ∥，∥，∥，∥，则αβ∥； ③若a b a αββ⊂⊂，，∥，则a b =∅； ④若a a b b a b A αβαβ=∥，∥，∥，∥，，则αβ=∅；⑵若平面α∥平面β，直线a α⊂，点B β∈，则在β内过点B 的所有直线中（ ） Ａ．不一定存在与a 平行的直线 Ｂ．只有两条与a 平行的直线 Ｃ．存在无数条与a 平行的直线 Ｄ．有且只有一条与a 平行的直线【解析】 ⑴ ③④；⑵ Ｄ；2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．如右图所示．,,,a b A a b ββαβ=⇒∥∥∥．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．<教师备案>面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到：如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行8.3面面平行的判定与性质知识点睛经典精讲知识点睛Ab a αβ的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面．例：①经过平面外一点可以作______个平面平行于这个平面，可以作______条直线平行于这个平面．（一；无数）②若a b ∥，a α∥，b β∥，则平面α与平面β的位置关系为________．（平行或相交）提高班学案1【铺1】在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面1A BD ∥平面11CB D ． 【解析】 由正方体的性质知，11BB DD ∥，且11BB DD =，∴四边形11BDD B 为平行四边形， ∴11BD B D ∥；又11A B CD ∥，且11A B CD =， ∴11A B CD 为平行四边形， ∴11A D B C ∥；又1A D ⊂平面1A BD ，BD ⊂平面1A BD ，且1A D BD D =； 1B C ⊂平面11CB D ，11B D ⊂平面11CB D ，1111B CB D B =，∴平面1A BD ∥平面11CB D ．考点5：面面平行的判定 【例6】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是11B C 、11A D 、11A B 的中点，⑴ 求证：平面EBD ∥平面FGA ． ⑵ 求AFG BDE S S △△∶．【解析】 ⑴ 连结11B D ，∵F 、G 、E 分别为所在棱的中点， ∴AF BE ∥，11FG B D BD ∥∥，又AF ⊂平面AGF 、FG ⊂平面AGF ， ∴BE ∥平面AGF ，BD ∥平面AGF ．又∵BE BD B =，BE 、BD 均在平面BDE 内， ∴平面EBD ∥平面FGA ．⑵ 连结AC 、BD 相交于O ，则O 是AC 、BD 的中点；从而可知FG BO ∥，AF BE ∥，连结11A C 、GE ，则1112GE AC AO ∥∥， ∴四边形AOEG 为平行四边形，∴AG OE ∥． ∴AFG EBO △≌△，∴12AFG BDE EBO EBD S S S S ==△△△△∶∶．【备选】如图，B 为ACD △所在平面外一点，M ，N ，G 分别为ABC △，ABD △，BCD △的重心，⑴ 求证：平面MNG ∥平面ACD ；⑵ 求:MNG ADC S S ∆∆．【解析】 ⑴ 连结BM 、BN 、BG 并延长分别交AC 、AD 、CD 于P 、F 、H ，经典精讲D 1C 1B 1A 1DCBAOD 1C 1B 1A 1GF ED CBAABCD EF GA 1B 1C 1D 1GN MDCB A102第8讲·提高-尖子-目标·教师版∵M ，N ，G 分别为ABC △，ABD △，BCD △的重心， ∴2BM BN BG MP NF GH===． 连结PF 、FH 、PH 有MN PF ∥． 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD ． 同理，MG ∥平面ACD ，MG MN M =， ∴平面MNG ∥平面ACD ． ⑵ :1:9MNG ACD S S ∆∆=．3．两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言表述：αβαγβγ∥，图象语言表述：如右图所示．<教师备案>1．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．2．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．例：下列命题正确的是（ A ）A ．夹在两平行平面间的平行线段相等B ．夹在两平行平面间的相等线段平行C ．两平面分别与第三个平面相交，若这两条交线平行，则这两个平面平行D ．平行于同一直线的两平面平行考点6：面面平行的性质【例7】已知平面αβγ∥∥，且直线l 与α，β，γ分别交于点A ，B ，C ，与l 异面的直线m 与α，β，γ分别交于点D ，E ，F ，6AB =，2BC =，3EF =，求ED 的长． 【解析】 9．【备选】已知平面αβ∥，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证：EF α∥，EF β∥．【解析】 连接AF 并延长交β于G ．∵AG CD F = 知识点睛经典精讲βBGDFEαCAγβαb aGF DCBAMN P HB EFACD mlαβγ∴ AG ，CD 确定平面γ，且AC γα=，DG γβ=．∵αβ∥，所以 AC DG ∥，∵CF DF =，∴AF FG =．又AE BE =， ∴EF BG ∥，BG β⊂． 故 EF β∥． 同理EF α∥．下列选项中能够推出直线a ∥平面α的条件是（ ）A ．存在一条直线b ，b α∥，a b ∥B ．存在一个平面β，a β⊂，αβ∥C ．存在一个平面β，a β∥，αβ∥D ．存在一条直线b ，b α⊂，a b ∥【解析】 B 【点评】 本题较易误选A ，C ，D ；但实际上A ，C ，D 都有a α⊂的反例；学习立体几何时，对于这些特殊情形要引起特别注意．【演练1】两个平面平行的充分条件是（ ）A ．一个平面内一条直线平行于另一个平面B ．一个平面内两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面【解析】 D ．【演练2】已知空间四边形ABCD ，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：AC ∥平面EFG ，BD ∥平面EFG ． 【解析】 在ABC △中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点．∴AC EF ∥．又EF ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ，∴AC ∥平面EFG ．同理，BD FG ∥，∴BD ∥平面EFG ． 【演练3】过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（ ）A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条【解析】 D ；【演练4】在三棱锥A BCD -中，作截面PQR ，若PQ CB ，的延长线交于M ，RQ DB ，的延长线交于点N ，RP DC ，的延长线交于点K ．求证：M N K ，，三点共线．实战演练B 1D 1C 1G F ECBA 1ADH AB C DE F GKNMR Q P DCB A104第8讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】 直线KR 和NR 为相交直线，故它们确定一个平面，记为α，则P Q αα∈∈，⇒直线PQ α⊂，故M N K α∈，，， 又M BC N BD K CD ∈∈∈，，, 故M N K ∈，，平面BCD ，故M N K ，，∈（平面α平面BCD ）， 故在它们的交线上，从而知M N K ，，三点共线．【演练5】已知长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11AA CC ，的中点． 求证：平面BDF ∥平面11B D E ．【解析】 ∵1111BB DD BB DD =∥，，∴四边形11BDD B 为平行四边形，故有11BD B D ∥． 取1BB 的中点G ，连结AG ，FG ， ∵1AE B G ∥，∴四边形1AEB G 为平行四边形，故有1AG B E ∥．又∵GF BC AD ∥∥，GF BC AD ==，∴四边形ADFG 为平行四边形，故有AG DF ∥． ∴1B E DF ∥，又1111B E B D B =，DF BD D =， ∴平面BDF ∥平面11B D E ．证明：若一直线和两个相交平面都平行，则这条直线和这两平面的交线平行【解析】 题目即：已知l αβ=，a α∥，a β∥，证明a l ∥．∵a α∥，∴过a 做平面γ，b γα=，则有a b ∥，同理过a 做平面θ，c θβ=，则a c ∥，∴b c ∥，又c β⊂，∴b β∥， 又∵b α⊂，l αβ=， ∴b l ∥，即a l ∥。