2019-2020-01-G2-006江苏省无锡市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题一、选择题：1．设x a 0<<，则下列不等式一定成立的是( ) A ． 22x ax a << B ． 22x ax a >> C ． 22x a ax <<D ． 22x a ax >>【答案】B 【解析】【分析】直接利用不等式性质：在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断． 【详解】0x a <<，2ax a ∴>，2x ax >，22x ax a ∴>> 故选B ． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题．2．已知向量()0,1,1a =，()1,2,1b =-．若向量a b +与向量(),2,c m n =平行，则实数n 的值是（ ） A ． 6 B ． -6 C ． 4 D ． -4【答案】D 【解析】【分析】求出向量a b +的坐标，利用向量共线定理即可得出． 【详解】解：()0,1,1a =，()1,2,1b =-()1,1,2a b ∴+=-，又因为向量a b +与向量(),2,c m n =平行所以存在实数λ，使得()a b c λ+=，22m n λλλ=⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩解得224m n λ=-⎧⎪∴=-⎨⎪=-⎩故选：D【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）A ． 2213632x y +=B ． 22198x y +=C ． 22195x y +=D ． 2211612x y +=【答案】B 【解析】椭圆长轴为6，焦点恰好三等分长轴，所以26,3,a a ==2266,1,18,c c b a ∴===-=∴椭圆方程为22198x y +=，故选B ．4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（ ） A ． 三分鹿之一 B ． 三分鹿之二 C ． 一鹿 D ． 一鹿、三分鹿之一 【答案】A【解析】分析： 本题考查阅读理解能力，抽象概括能力，解题关键是从题中得出5人所得依次成等差数列，其中153a =，55S =，要求5a ，由等差数列的前n 项和公式易解得． 详解：显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为x ，则55()352x +=，解得13x =．故选A ．点睛：本题考查等差数列的应用，考查数学文化，《九章算术》是我国古代的数学名著，书中集成了许多数学问题，它的出现，标志着中国古代数学体系的形成．5．已知等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22a =，37S =，则5a 的值为（ ） A ． 16 B ． 32C ． 8D ．14【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列的通项公式、前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出5a ． 【详解】解：等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，22a =，37S =，∴213132(1)71a a q a q S q ==⎧⎪-⎨==⎪-⎩，解得11a =，2q =，44511216a a q ∴==⨯=．故选：A ． 【点睛】本题考查数列的第5项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6．下列不等式或 命题一定成立的是（ ） ①()21lg lg 04x x x ⎛⎫+≥> ⎪⎝⎭； ②()1sin 2,k sin x x k xπ+≥≠∈Z ； ③()212x x x +≥∈R ；④)22y x R x =∈+最小值为2． A ． ①② B ． ②③ C ． ①③ D ． ②④【答案】C 【解析】【分析】根据基本不等式的性质一一验证． 【详解】解：①0x >，由基本不等式可得211242x x x +≥⋅⋅=()21lg lg 04x x x ⎛⎫∴+≥> ⎪⎝⎭当且仅当12x =时取等号，故正确；②sin x 可以取负值，故()1sin 2,k sin x x k xπ+≥≠∈Z 不成立，故错误； ③由基本不等式可得21212x x x +≥⋅⋅=当且仅当1x =时取等号，故正确；④当0x =时22022y ==<+故错误．故选：C 【点睛】本题考查基本不等式应用，属于基础题．7．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ． 62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ． 6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ． (][),22,-∞+∞【答案】C 【解析】【分析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出240a -=或240a ⎧-<⎨∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围．【详解】由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ．（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ．2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦．故选C ．【点睛】本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题． 8．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足23n n S a =-，则6S =（ ） A ． 192 B ． 96C ． 93D ． 189【答案】D 【解析】【分析】根据1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的前n 项和求6S ．【详解】解：23n n S a =-当1n =时，1123S a =-，解得13a =，当1n ≥时，1123n n S a --=-，()112323n n n n S S a a --∴-=---，122n n n a a a -∴=-12n n a a -∴=12nn a a -∴= 故{}n a 是以13a =，2q =的等比数列，132n n a -∴=⋅，()6631218912S -∴==-故选：D【点睛】本题考查利用n S 求n a ，以及等比数列的前n 项和，属于基础题．9．若正数a 、b 满足()25ab a b =++，设()()412y a b a b =+---，则y 的最大值是（ ） A ． 12B ． -12C ． 16D ． -16【答案】A 【解析】【分析】根据()25ab a b =++则52ab a b -+=，将式子换元成关于ab 的二次函数，利用二次函数的性质求最值，值得注意ab 的取值范围． 【详解】解：()25ab a b =++，52ab a b -∴+=，0a >、0b >52ab a b -∴+=≥25ab ≥，()()412y a b a b =+--- 5541222ab ab y --⎛⎫⎛⎫∴=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，132922ab ab y --⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2132912116224ab ab y ab --⎛⎫⎛⎫∴==--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭25ab ≥，max 12y ∴=当且仅当25ab =时取得最大值，故选：A 【点睛】本题考查二次函数的性质，重要不等式的应用，属于中档题．10．正四面体ABCD 的棱长为2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A ． -2 B ． 4 C ． 2 D ． 1 【答案】D 【解析】【分析】如图所示，1()2AE AB AC =+，12AF AD =．代入AE AF ⋅，利用数量积运算性质即可得出．【详解】解：如图所示，1()2AE AB AC =+，12AF AD=．∴111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD =+=+221(2cos602cos60)4=︒+︒1=．故选：D ．【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，则该离心率e 的取值范围是（ ） A ． )1,1 B ． 2⎫⎪⎪⎣⎭C ． (1⎤⎦D ． 0,2⎛ ⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】由12PF e PF =结合椭圆离心率的定义可得121222211PF PF PF a e PF PF PF ++===+，可求得221aPF e =+，而2a c PFa c -+剟，从而可求得离心率e 的取值范围．【详解】解：依题意，得121222211PF PF PF ae PF PF PF ++===+， 221a PF e ∴=+，又2a c PF a c -+剟，21aa c a c e ∴-++剟，不等号两端同除以a 得， 2111e e e -++剟，∴2121e e ⎧-⎪⎨+⎪⎩…解得1e ，又01e <<，∴11e <…．即)1,1e ∈故选：A 【点睛】本题考查椭圆的离心率及椭圆的简单几何性质，求得221aPF e =+，利用2a c PF a c -+剟解决问题是关键，也是难点，属于中档题．12．当n 为正整数时，定义函数()N n 表示n 的最大奇因数．如()()()()()()()N 33,105,,1232n N S n N N N N ===++++，则()5S =( )A ． 342B ． 345C ． 341D ． 346【答案】A 【解析】()()()2,2121N n N n N n n =-=-，而()()()()()123...2n S n N N N N =++++，()()()()()()()()135...2124...2n n S n N N N N N N N ⎡⎤∴=++++-++++⎣⎦，()()()()()1135...21123...2n n S n N N N N -⎡⎤∴=++++-+++++⎣⎦，()()()()()11212121422n nn S n S n n S n S n -+-∴=⨯+-≥⇒--=，又()()()112112S N N =+=+=，()()()()()()()()()234515443...2144445S S S S S S S S S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴-=-+-++-=+++⇒⎣⎦⎣⎦⎣⎦23424444=++++342=，故选A ． 二、填空题13．命题:p “0x ∀>，都有20x x -≥”的否定：______． 【答案】0x ∃>，使得20x x -<【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论． 【详解】解：命题是全称命题，则命题的否定是：0x ∃>，有20x x -<；故答案为：0x ∃>，有20x x -< 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14．不等式13x x ->的解集是______． 【答案】1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】将分式不等式转化为整式不等式，解得．【详解】解：13x x ->130x x -∴->120x x --∴>()120x x ∴-->()210x x ∴+<102x ∴-<< 故不等式的解集为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于基础题．15．已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为【答案】y =【解析】试题分析：因为双曲线22221x y a b -=的离心率为2，所以1+22b a =4，22b a=3，b a =点与椭圆221259x y +=的焦点相同，即焦点在x 轴上，故双曲线的渐近线方程为y =．考点：本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质．点评：基础题，圆锥曲线中A,b,c,e 关系要熟悉，并做到灵活运用． 16．已知12ab =，(),0,1a b ∈那么1211a b +--的最小值为______． 【答案】10 【解析】【分析】先根据条件消掉b ，即将12b a =代入原式得14121aa a +--，再裂项并用贴“1”法，最后运用基本不等式求其最小值． 【详解】解：因为12ab =，所以，12b a =，因此，1212111112a b aa+=+----1412(21)2121121a a a a a a -+=+=+---- 12122()212121221a a a a =++=++----112()[(21)(22)]222a a a=+-+-+- 22212[11]22122a a a a --=++++--2(2210++=…，当且仅当：22212122a a a a --=--，即34a =时，取“=”，即1211a b+--的最小值为10，故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及消元，裂项，凑配，贴1等恒等变形，以及取等条件的确定，属于难题．三、解答题：17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2525a a +=，555S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设131n n a b n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】 试题分析：（1）根据等差数列基本量的运算求得153a d ==，，故可得通项公式．（2）根据数列{}n b 通项公式的特点利用裂项相消法求和． 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得2515312525551055a a a d S a a d +=+=⎧⎨==+=⎩，解得15,3,a d =⎧⎨=⎩ ()5313 2.n a n n ∴=+-=+（2）由（1）得()()()11111.31313233132n n b a n n n n n ⎛⎫===- ⎪--+-+⎝⎭121111111325583132n n T b b b n n ⎛⎫=++=-+-++- ⎪-+⎝⎭()111.3232232n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 18．已知a R ∈，函数1()f x a x=-．（1）若()2f x x ≤对x ∈(0，2)恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a ＝1时，解不等式()2f x x ≥． 【解析】【分析】（1）分离参数a ，构造函数利用均值不等式求最值即可；（2）分类讨论去绝对值，最后取并集即可． 【详解】（1）∵f （x ）≤2x 对x ∈（0，2）恒成立，∴a≤1x+2x 对x ∈（0，2）恒成立， ∵1x 1x =2x ，即a ≤（2）当a=1时，f （x ）=1﹣1x ，∵f （x ）≥2x ，∴1﹣1x≥2x ，①若x ＞0，则1﹣1x≥2x 可化为：2x 2﹣x+1≤0，所以x ∈∅；②若x ＜0，则1﹣1x ≥2x 可化为：2x 2﹣x ﹣1≥0，解得：x ≥1或x ≤﹣12，∵x ＜0，∴x≤﹣12，由①②可得1﹣1x ≥2x 的解集为：（﹣∞，﹣12] 【点睛】本题考查了不等式恒成立及分类讨论思想，属中档题．19．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 上的动点()(),0M x y x >到点()2,0F 的距离减去M 到直线1x =-的距离等于1．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线 ()2y k x =+与曲线C 交于A ，B 两点，求证：直线FA 与直线FB 的倾斜角互补． 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义“到定点距离等2于到定直线距离的点的轨迹”求动点P 的轨迹； （2）设()()1122,,,A x y B x y 直线与抛物线方程联立化为2222(48)40kx k x k +-+=，(0)k ≠．由于>0∆，利用根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线FA 与直线FB 的斜率之和0，即可证明【详解】（1）曲线C 上的动点()(),0M x y x >到点()2,0F 的距离减去M 到直线1x =-的距离等于1， 所以动点M 到直线2x =-的距离与它到点()2,0F 的距离相等， 故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线28y x =；（2）证明：设()()1122,,,A x y B x y ．联立，得()22224840k x k x k +-+=，（0k ≠）∴>0∆，212284k x x k-+=,124x x =，∴直线线FA 与直线FB 的斜率之和： ()()12121212222222k x k x y yx x x x +++=+----()()()()()()()()()12121212122222242222k x x k x x k x x x x x x +-+-+-==----因为124x x =∴直线FA 与直线FB 的斜率之和为0， ∴直线FA 与直线FB 的倾斜角互补．【点睛】本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．某种汽车购买时费用为14．4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0．9万元，汽车的维修费为：第一年0．2万元，第二年0．4万元，第三年0．6万元，……，依等差数列逐年递增． （Ⅰ）设使用n 年该车的总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n)的表达式； （Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）． 【解析】 【分析】（I ）由已知中某种汽车购买时费用为14．4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0．9万元，汽车的维修费为：第一年0．2万元，第二年0．4万元，第三年0．6万元，…，依等差数列逐年递增，根据等差数列前n 项和公式，即可得到f （n ）的表达式；（II ）由（I ）中使用n 年该车的总费用，我们可以得到n 年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计出平均费用最小时的n 值，进而得到结论．【详解】（I ()14.4(0.20.40.60.2)0.9f n n n =++++⋯++=0.2(1)14.40.92n n n +++=20.114.4n n ++ (Ⅱ)设该车的年平均费用为S 万元,1S=()f n n ()210.114.4n n n =++14.4110n n=++1≥2 1.21=⨯+ 3.4= 则有仅当n =12时,等号成立． 汽车使用12年报废为宜．【点睛】本题主要考查等差数列的应用，读懂题意，转化为等差数列求和，利用基本不等式求最值是解题的关键，属于中点题．21．如图1，在高为6的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且12AB =，6CD =，将它沿对称轴1OO 折起，使平面1ADO O ⊥平面1BCO O ，如图2，点P 为BC 的中点，点E 在线段AB 上(不同于A ，B 两点)，连接OE 并延长至点Q ，使//AQ OB ．(1)证明：OD ⊥平面PAQ ；(2)若2BE AE =，求二面角C BQ A --的余弦值． 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，把证明OD ⊥平面PAQ 的问题转化为证明0OD AQ ⋅=，0OD PQ ⋅=即可；（2）求出平面CBQ 的法向量为()1,,n x y z =和平面ABQ 的一个法向量为()20,0,1n =u u r ，把求二面角C BQ A --的余弦值的问题转化为求1n u r 与2n u u r的夹角的余弦值的问题即可．【详解】(1)证明：由题设知OA ，OB ，1OO 两两垂直，所以O 为坐标原点，OA ，OB ，1OO 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ 的长为m ，则()0,0,0O，()6,0,0A ，()0,6,0B ，()0,3,6C ，()3,0,6D ，()6,,0Q m )．因为点P 为BC 的中点，所以90,,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()3,0,6OD =，()0,,0AQ m =，96,,32PQ m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．因为0OD AQ ⋅=，0OD PQ ⋅=， 所以OD AQ ⊥，OD PQ ⊥，又AQ 与PQ 不共线，所以OD ⊥平面PAQ ．(2)解 因为2BE AE =，//AQ OB ，所以132AQ OB ==，则()6,3,0Q ，所以()6,3,0QB =-，()0,3,6BC =-．设平面CBQ 的法向量为()1,,n x y z =，由1100n QB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得630360x y y z -+=⎧⎨-+=⎩ 令1z =，则2y =，1x =，()11,2,1n =．易得平面ABQ 的一个法向量为()20,0,1n =u u r．设二面角C BQ A --的大小为θ，由图可知，θ为锐角，则12126cos 6n n n n θ⋅==，即二面角C BQ A --的余弦值为6．【点睛】本题主要考查利用空间向量的有关知识证明线面垂直及求二面角的平面角问题，求出平面的法向量是解决问题的关键，属常规考题．22．已知椭圆1C ：22221x y a b+=(0a b >>)，F 为左焦点，A 为上顶点，(2,0)B 为右顶点，2AF AB =，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F ．（1）求1C 的标准方程；（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得12OPQOMNS S =？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．【解析】分析：（1）由题设有2a =2AF AB =可得b 的值，从而得到椭圆的标准方程．（2）因为12OPQ OMN S S ∆∆=，故12PQ MN =，设直线方程为1x ky =-，分别联立直线与椭圆、直线与抛物线的方程，消去x 后利用韦达定理用k 表示,PQ MN ，解出k 后即得直线方程．详解：（12AF AB =，即=由右顶点为()2,0B 得2a =，解得23b =，所以1C 的标准方程为22143x y +=．（2）依题意可知2C的方程为24y x =，假设存在符合题意的直线，设直线方程为1x ky =-，()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，联立方程组2213412x ky x y =-⎧⎨+=⎩，得()2234690k y ky +--=， 由韦达定理得12122269,3434k y y y y k k -+==++，则12y y -=，联立方程组214x ky y x=-⎧⎨=-⎩，得2440y ky +-=，由韦达定理得34344,4y y k y y +=-=-，所以34y y -=若12OPQ OMN S S ∆∆=，则123412y y y y -=-，即234k =+3k =±， 所以存在符合题意的直线方程为103x y ++=或103x y -+=．点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等．直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题．。