非二次二阶Hamilton系统的周期解
具有变号位势的二阶Hamilton系统周期解的存在性定理
对所 有 的 ∈ Ｒ 和 ａ ． ｅ ．￡∈ ［ ０ ， Ｔ ］成 立 ， 并 且
（ Ｈ ） ： 存 在 ∈ Ｌ （ ０ ， ； Ｒ ）满 足 （ ｔ ）≤ 对
收稿 ｉ ｔ ｊ ９ ］ ： ２ ０ １ １— ０ ６—２ ８ 基 金项 目： 中央 高 校 基 本 科 研 业务 费 专项 基 金 （ ｘＤ Ｊ Ｋ ２ ０ １ ２ １ ） ０ ０ ３ ） 资助项 日
ｌ ｉ ｕ ｐ
－ ． ０ ｌ Ｉ
五 （ ｔ ）＋ｂ （ ｔ ） Ｖ Ｖ （ ／ Ｚ （ ｔ ） ）＝０ ，ａ ． ｅ ． ｔ∈［ ０ ， Ｔ ］ ， ｕ （ Ｏ ）一 （ ）＝ 五 （ Ｏ ）一五 （ Ｔ ） ＝０， （ １ ） 其中， Ｔ＞ ０ ， ｂ∈Ｃ（ ０ ， ； Ｒ） 和 Ｖ∈Ｃ （ Ｒ ， Ｒ） ．当 ｂ 改变 符号 时 ， 许 多学 者 研究 了 问题 （ １ ） 的周 期 解 的 存在性 ＿ １ ． 文献 ［ １ ］ 考 虑 了以下情 况
２ 主 要 结 果 的 证 明
定义 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间 ＝｛ ｕ ： ［ ０， Ｔ ］ 一Ｒ ｌ 绝 对 连续 ， ２ （ ｏ ）＝ｕ （ ） 且 五∈ （ ０ ， Ｔ ； Ｒ ） ｝ ， 规定 其 范 数为
［ ０ ， Ｔ ］ × Ｒ 一Ｒ， （ ｔ ， ） 对每个 ∈ Ｒ 关于 ｔ 可 测， 对ａ ． ｅ ． ｔ ∈［ ０ ， Ｔ ］ 关 于 是 连 续 可微 的．假 设
ｒ
≤了 １ （ ￡ ）
２ 、～
，
对ａ ． ｅ ． ｔ ∈［ ０ ， Ｔ ］ 一致 成立 ， 则 问题 （ ３ ） 至少有一个
非零解 ．
注 １ 定理 １ 推广了文献［ ２ ］ 中定理 ２的存在 函数 （ ｔ ， ） 满 足定 理 １ 而 不适合 文献 ［ ２ ］ 中定 理 ２
一类二阶Hamilton系统周期解的存在性
多解 性 的 一 些 充 分 性 条 件 ．
关
键
词 ：极 小 作 用原 理 ；二 阶 Ｈａ ｉｏ ｍ ｌ ｎ系 统 ；局 部 环 绕 定 理 ；周 文献标 识码 ：Ａ １５ １ 文章编 号 ：１７ ９ ８ （ ０ ０ １— １６— ５ ６ ３— ７ ７ ２ １ ）０ ０ ２ ０
关于“超二次”Hamilton系统周期解的注记
问题 （ ．） 的存 在 情 况 ，即所 谓 的二 阶 Ｈ ｍ ｌ ｎ系统 是 １１ ａ ｉｏ ｔ
ｑ＋ Ｖ Ｖ ｑ ｔ （ ， ）＝ ０ （ ．） １２
这 里 Ｖ： ”×Ｒ— Ｒ
Ｒ是 Ｃ 函数 ，关 于变量 ｔ 是 周期 的 ．如果 令
则 （ ．）有 非平 凡 的 ７周期 解 ． １１ １
．
注 定 理 １ 的结 果 是有 意义 的 ， 如对 足够 大 的 Ｉ Ｐ，口 ，定义 例 （ ）Ｉ
（ ，ｇ，ｔ ＝ ｆ ｔ （ Ｉｌ 一 １＋Ｉ ／ ） ｐ ） （ ） ｅｐ Ｉ ２ ｇ
这里 ＞ ２ ｆ ∈ Ｃ （０ ， ［ ，Ｔ ，Ｒ ］ ）且 满 足 （ ）ｆ ｔ ＞一 ２ Ｔ对 任 何 ｔ成 立 （ 如 ｆ ｔ ： ２ ＋ １＋ ｔ／ （ ） ／ 例 （） 丌 ｓ （ ／ ） ，则 满足定 理 １ ｉ ２ｒ Ｔ ） ｎ ７ ｔ ，而不满 足文 献 ［ ２—１ ］ ０ 中关 于 超 二次条 件 的假 设 ． 理 １ 文 献 ［ ］ 定 是 ４ 和文 献 ［ ］ 果 的一 种补 充 ． Ｉ结
Ｈ（ ｑ，）＝ Ｉ ｐ， ￡ １ Ｉ Ｖ ｑ ￡ Ｐ ＋ （ ，） （ ３ １ ）
．
则 （ ．） （ ．） １ １ 与 １２ 等价 ． 文献 ［ ，１ ３ 在 满 足超 二次 条件 下研 究 了二 阶 Ｈ ｍ ｈ ｎ ８ １ —１ ］ ａ ｉｏ 系统 （ ．） 的存 在 性 ． １２ 解 但 是 当（ ．）是超 二 次 时 ，其对应 的问题 （ ．）却不 是超 二 次的 ． １２ １１ 为 了统 一处 理 两种 超二 次 情况 ，文献 ［ ］ 出了下 面 的条件 ： １提
作 者 简 介 ：陈 尚 杰 （９ ６ ，男 ，四川 郫 县 人 ，硕 士 研 究 生 ，主要 从 事非 线 性 泛 函分 析 的 研 究 ． １７ 一）
二阶具变号位势的离散Hamilton系统的周期解
向量或矩阵的转置． 显然 Ｉ＝『 『 ，Ｅ ＜ ・ ・＞ 与 月 是线性 同胚的． ｌ （ ， ） 州
在Ｅ 上定义 泛 函 Ｆ为 ：
１ １
Ｆｘ ＝∑［ ｘＩ一 Ａ凡 ・ ～ （）（ ］＝ （） ÷ｌ ÷ （） ｂｎ ） Ｚ ｉ
ｎ： １ 厶 厶
利用 临界 点理论 研究 Ｈａ ｉｏ ｍｌｎ系统 的次调 和解 和周 期解 的存 在 性 ， 直是 微分 方 程 与差 分方 程定 性 理 ｔ 一 论 中 的 热 点 问 题 ＿ ， 别 地 ， 究 具 变 号 位 势 的 Ｈ ｍｉｏ 】 特 一 研 ａ ｌ ｎ系 统 的 次 调 和 解 和 周 期 解 也 是 很 重 要 的 ｔ
寺 ＜ Ｌ， ＞ ∑［ ４ｎ ＋ （）（ ） １ Ｍｘ ｘ 一 寺 （ ‘ ６ Ｖ ］ Ｌ １ ） ｎ ｘ
其 中 ， Ｂ见文 献 ［ ］ 易知 ∈Ｅ ３． 是 Ｆ的临界点 当且仅 当 ＝｛ ｝ （ ） 是 １ 的 一周期解 ． 若令 Ｗ：Ｋ ｒ ｅＭＬ＝｛ ∈ Ｍ ｘ ０｝ ∈Ｅ ： ｝ ， Ｅ ： Ｌ ＝ ＝｛ ＝｛ ， Ｒ ｝则 是 Ｅ 关 于 ＬＭＬ的不变 子空 间 ， Ｅ Ｔ 再
二 阶具 变 号位 势 的 离散 Ｈ ｍ ｌ ｎ系统 的周 期 解 水 ａ ｉｏ ｔ
邓 小 青
（ 湖南商学院 信息学 院， 长沙 ４ ００ ） １２ ５
摘ห้องสมุดไป่ตู้
要 ： 用环绕 定理研 究一 类二 阶具 变号 位 势 的 离散 Ｈ ｍ ｌ ｎ系统 的周 期 解 的 存在 性 ． 利 ａ ｉｏ ｔ 首先 将 该 类
令 ｌ是 关 于 Ｅ ， 的直 交补 空 间 ，即 Ｅ ＝ｌ① Ｗ， ｙ也 是 Ｅ 关 于 Ｌ’ ， 则 ＭＬ的不变 子空 间．
一类超二次Hamilton系统的无穷多周期解
本文 的主 要结 果如下 ：
定 ． 理１ 设（ ） Ｈ 成 则问 １ 列 ￡ Ⅳ １ Ｈ ～（） 立， 题（ 有一 解｛ 满足： ｋ ∞时 １ ５ ） ｌ ＾ 当
文 对 述问 进 了 究文 １ ａｎ ｉ 给 条 献 上 题 行 研 ． 献［ ｂ ｏ ｔ 出 件 】 ｉｗ ｚ 中Ｒ
（ ） ＞ ， ＞ ， 得０ （， （Ｈ（ ｚ ｚ对所 ｚ Ｍ 和 【２ ］ 立． Ａ 存在 ２ Ｒ Ｍ ０ 使 ＜ ） Ｖ ｘ ） ） 有ｌ ｚ ，， Ｉ ∈ｏ 万成 ，
Ｖ １ ９ Ｎｏ ４ ｏ ． ， ． ２ Ｄｅ ． ｏ ８ ｃ２ ｏ
一
类超二次 Ｈａ ｌ ｎ系统 的无 穷多周期解 ｍｉｏ ｔ
张申贵
（ 西北民族大学 计 算机科学与信息工程 学院，甘肃 兰州 ７ ０３） ３００
［ 要】利用啧采定理研 究一类超二次 ｌｍｉ ｒｎ系统，在 不需饭设 Ａ ｂｏ ｅ ｔ－ ｉｏ ｉｚ条件的情形下。可 摘 ｈ Ｉｏ ｍ ｒ ｓ ｔ ｉｈｂ ｎ ｗ ｔ 得到无 穷多用期解 的存在性． ［ 关键词】Ｈ ｍ １ｏ ａ ｉ ｔｎ系统； 超二次每件： 周期解 【 中图分类号】０１６ ３ ７ ． 【 文献标识码】Ａ 【 文章编号】１ ０－ １ ２ ２ Ｏ ） ４ ００ － ５ ０ ０ ２ ０ （Ｏ Ｏ ０ － ０ ７ ０
第 ２ 总第 ７ ９卷 ２期 ２０ ０ ８年 ｌ ２月
西 北 民 族 大 学 学 报 （ 自然科学版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｏ ｔｗ ｓ Ｕｎｖ ｒｉ ｆｒ Ｎａ ｏ ａ ｔ ｓＮ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｏ ｒａ ｏ Ｎ ｒ ｅ ｔ ｈ ｉｅｓ ｙ ｏ ｔ ｎ ｌｉ （ ａ ａ Ｓ ｉ ｅ ｔ ｉ ｉｅ ｕ ｎ
一类带阻尼项的二阶Hamilton系统的多重周期解
，
ｔ ｅ ［ ｏ ，
７ 叩： ７ ： ＝ ： — — 面 一 八 ）
定理 ４ 设Ｆ满足（ ２ ） 式， ０ ７ ． Ｎ， 设存在， ， ｇ∈ Ｌ （ ０ ， ； Ｒ＋ ） ， 使得
ｌ Ｖ Ｆ （ ｔ ， ） Ｉ ｆ （ ｔ ） Ｉ ｘ ｌ ａ ＋９ （ ｔ ） ，
对所有ｚ∈ Ｒ 和ｎ ＿ ｅ ． ｔ ∈【 ０ ， 成立． ＲＥ 满足（ ２ ） 式， ０ ７ ’ Ｎ， 且
１
ｌ ｚｌ － ＋ ｚ ￣ ｌ ａ ｌ
对所有 ∈ｓ ｐ ｎ｛ ａ ｅ ｒ ＋ ｌ ， ｅ ｒ ＋ ２ ， … ， ｅ ｌ ｖ ｝ ￣ａ ． ｅ ． ｔ ∈【 ０ ， Ｔ Ｉ 成立． 则系统（ １ ） 在ｓ ｏ ｂ ｏ ｌ ｅ ｖ 空间 中
准 基．
当（ ２ ） 式中 ０ ｒ Ｎ 时， 称位势函数 Ｆ（ ｔ ， ｚ ） 是部分周期的．
文献…在具有部分周期位势和有界非线性项时， 得到了以下定理： 定理 １ 设存在ｇ∈Ｌ （ ０ ， ； Ｒ＋ ） ， 使得
Ｗ Ｆ （ ｔ ， ｚ ） ｌ ≤夕 （ ｔ ） ，
收稿 日期：２ ０ １ ３ － ０ ４ － ０ ８
至少有ｒ ＋１ 个不 同的周期解． ‘
２ ０ １ １ 年， Ｚ ｈ ｎｇ ａ Ｘ ｉ ｎ ｇ ｙ ｏ ｎ ｇ 和Ｔ ａ ｎ ｇ Ｘ ｉ ａ ｎ ｈ ｕ ａ ￣文【 ３ 】 中得到以下结果： 定理 ３ 设存在， ， ｇ∈Ｌ （ ０ ， Ｔ； Ｒ＋ ） 及０ ｏ ｃ ＜ｌ ， 使得
第 ４ ６ 卷 第 ３ 期
２ ０ １ ３ 年 ９ 月
数 学 研 究
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎａ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ
二阶p—Hamilton系统的周期解
解 ． 见 Ｊ ｘ — Ｒ是 连续 的 凸 泛 函 ， 此 它 是 弱 下 半 连 续 的． 于 有 紧 嵌 入 Ｘ — ｃ（ ０ 丁 ， 易 ： 因 由 ［ ， ］ Ｒ ） 因 此 易 见 泛 函 Ｇ 是 弱 连 据 ［ ， ］ 的 １ １ 便 有 “， 这 依 １ ３ 中 ．，
＼ ０｛ ６ ’ ．】
¨ ｛
【ｃ ． 】 ｔ ：Ｏ¨２
文 章 编 号 ： １ ０ — ９ ２｛ ０ ２） ～ Ｏｌ 一 ４ ０ ７ ９ １ ２ ０ Ｏ４Ｏ １Ｏ
二 阶 Ｐ Ｈ ｏ 系 统 的 周 期 解 — ａ ｌ ｎ ｍｉ ｔ
刘 宝 生
（ 蒙古工 业 大学 基础 部 ． 蒙古 砰 和浩 特 ０ ０６ ） 内 内 １ ０ ２
本 文 中总 设 Ｆ： ｏ Ｔ ×Ｒ 一 Ｒ满 足 下述 条 件 ［ ，］
（ ｏ Ｆ（ ， 对 每 个 ｚ∈Ｒ Ｆ） ｔ ） 关 于 ｔ 测 ， 几 乎 所 有 的 ｔ ｏ 丁 关 于 ．连 续 可微 ． 存 在 “ 可 对 ∈［ ， ］ ｒ 且 Ｅ Ｃ Ｒ Ｒ 和 ６ Ｌ （ ０ 丁］ Ｒ 使 得 ｆＦ（ ｔ ≤ “ ｆ ｆ ６ ￡ ，ｉ Ｆ（ ． ） ≤ （ ｚ （ ， ） ∈ Ｅ ， ， ） － ）ｆ 丁， （ ） （） ｔ丁
维普资讯
ｌ ２
甘 肃教 育 学 院 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
第 ｌ ６卷
３ 吐ｆ 十 ｊ ｝ ！ ＋ Ｉ 。 是 ）Ｉ 与 口Ｉ “Ｉ 。均
中的等价范数．
下 简 ｘ ．于 、 ， （一 ｝Ｉ ＋ Ｆ，ｄ（一 面 记 — 对 “ 令 “ 吉 （ ）ｊ） 古 Ｅ ） ｘ ｄ “ “，
一类二阶hamilton系统周期解的存在性结论
一类二阶hamilton系统周期解的存在性结论一类二阶Hamiltos系统是一科学研究的重要领域，其在物理、化学、生物、地球物理等多个领域具有广泛的应用。
它的研究重点在于推导出Hamilton系统的周期解。
近几十年，科学家们利用多种理论与方法，论证出一类二阶Hamiltos系统的周期解的存在性结论。
传统上，一类二阶Hamiltos系统论证过程分三步：给定方程中参数、变量的范围；利用数学分步法求解Hamilton系统的变量微分方程；通过对求解)(和微分方程步骤之间构造出利尔贝格等价恒定，并利用变量范围确定利尔贝格等式解集的完整性，从而论证出周期解存在性结论。
虽然这一方法完整存在，但其内容繁复，理论推导容易出现误差，很多时候无法获得满意的结果。
为了改进这种方法，一些科学家们从几何角度出发，提出了新的论证方法：利用反应力学把一类二阶Hamiltos系统表示为力学系统，并利用变量锥体分解方法，将问题转换为一系列的单个的三体问题，利用Moulton同步惯性理论推导出该三体系统的周期运行解。
接着，借助小步根，可以将三体系统的周期运行简化为状态线的运行过程，从而获得一类二阶Hamiltos系统的周期解的存在性结论。
此外，也有一些科学家利用拉格朗日方法证明了一类二阶Hamiltos系统周期解存在性结论。
在这种方法中，首先，用拉格朗日方法，将一类双摆系统的微分方程转化为Lagrange最优值问题，然后对对应的最优解进行Mather时间技术变换，在变换后的拉格朗日数的正确表达式上证明了一类二阶Hamiltos系统的周期解的存在性结论。
综上所述，已有许多关于一类二阶Hamiltos系统周期解存在性结论的结论，多种理论与方法均可对一类二阶Hamiltos系统论证其周期解存在性结论，从而为实际应用提供理论依据。
【国家自然科学基金】_二阶hamilton系统_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
2011年 科研热词 临界点 hamilton系统 轴向运动梁 环绕定理 热冲击 混沌现象 次调和解 极小极大方法 李群积分 常p-laplace系统 周期轨 周期解 同宿轨道 变号位势 卫星编队飞行 二阶离散hamilton系统 主动控制 melnikov方法 magnus方法 lqr法 hill's方程 推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
科研热词 周期解 混沌 临界点 非自治二阶系统 非线性动力学 辛算法 蜂窝夹芯板 线性增长条件 极小化作用原理 旋转悬臂板 弹性波模拟 山路定理 唯一性 变转速 受迫振动 功能梯度材料 二阶系统 二阶hamilton系统 hamilton系统方法 hamilton系统
推荐指数 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
பைடு நூலகம்
2014年 序号 1 2 3 4
2014年 科研热词 辛格式 截断误差 弹性波 地震波场 推荐指数 1 1 1 1
科研热词 鞍结分岔 非齐次方程 非线性振动 速度反馈控制 精细积分 热载荷 极小作用原理 板 多尺度法 周期解 功能梯度材料 内共振 共轭辛正交 二阶非自治hamilton系统 主参数共振 临界点 hamiiton 奇异矩阵
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
旋转数、不动点与平面时变Hamilton系统的周期解
旋转数、不动点与平面时变Hamilton系统的周期解本文应用旋转数和不动点定理研究平面时变Hamilton系统周期解的存在性、重性及相关问题.包括如下三部分:一、平面时变Hamilton系统周期解的存在性和重性.二、非保守的Hamilton扰动系统周期解的存在性.三、序列强收敛到非扩张映射不动点的充要条件.在第一部分我们引入盘旋曲线的概念,用解的极径的变化估计解的角度的变化,给出了应用Poincare-Birkhoff扭转定理时方程的解不满足全局存在性时统一的处理方法.从而把Jacobowitz和Hartman关于二阶时变Hamilton方程的经典工作推广到平面时变Hamilton系统上.进一步,我们给出平面线性周期系统旋转数的定义,用其刻画非线性系统解的扭转,该方法克服了直接描述解扭转时计算旋转圈数需要符号条件和与正齐次意义下的“线性”系统的比较下需要附加条件的限制.并且,我们还用相平面分析方法讨论了许多常用平面线性系统旋转数的具体估计.盘旋曲线和旋转数的框架可以应用到许多重要模型中,是Poincare-Birkhoff扭转定理应用的实质性的突破.作为平面时变Hamilton系统的典型应用,我们给出了二阶时变Hamilton方程的盘旋曲线存在的充分条件,并在p-极坐标下对一维p-Laplacian方程的旋转数、盘旋性质进行讨论,从而用Poincare-Birkhoff扭转定理证明了这些方程的周期解的存在性和重性.这些工作推广了 Fonda,Torres,Boscaggin,Ortega和Zanolin以及晏平和章梅荣等的近期成果.在第二部分我们在没有解的全局存在性的假设下考虑非保守的Hamilton扰动系统周期解的存在性.我们利用拓扑度理论建立了一个新的环域上非保面积连续映射的扭转定理,这是非保面积连续映射的首个具有角度描述的不动点定理.结合盘旋曲线的技巧我们证明了二阶超线性Hamilton方程的两类典型的非保守扰动的周期解的存在性.把Jacobowitz和Hartman的经典结果推广到了非保守的超线性方程,同时也推广了Capietto,Mawhin和Zanolin应用延拓定理研究二阶超线性方程周期解的存在性的成果.在第三部分我们找到了当非扩张映射的不动点存在时,由组合迭代算法生成的序列强收敛到其不动点的一个充要条件.。
超二次二阶Hamilton系统的周期解
２
（ ）＝ ａｃ ｎ ２ ）＋兀 ｒｔ （ ／ １ ａ
２
ａｃ ｎ ２ ）＋２ ） ｒｔ （ ／ １ ａ 兀
其 中 是线 性 向量 场 ， 并在此 条件 下讨 论 了一 阶 自治 Ｈ ｍｉｏ ａ ｌｎ系统 （ ） ＶＦ（ 周期 解 的存 在性 ． ｔ ｔ ＝Ｊ ） 本文综
合 了文献 ［—］ ６８ 的证 明方 法 ， 用文 献 ［］ 的环 绕定 理 （ 利 ９中 即文 献 ［］ 的定理 ５２ ） 究 了二 阶 Ｈｍｌｎ系统 ９中 ．９研 ａ ｉｏ ｔ
周期解 的存 在性 ．
１ 解 的存 在 性 结 论
令 Ｓ ＝Ｒ Ｔ Ｅ＝Ｗ （ Ｒ ） Ｅ是 Ｈｉｅｔ ／ Ｚ， ， Ｓ，Ⅳ ， ｌ ｒ空间 ， ｂ 内积 和范数 分别 定义 为
＜ ，ｙ ＞ ：
ｌ ｙｄ＋ ｙ ， ｔ ｌ ，ｄ （ ） （ ）
Ｏ ０
ｌ０：ｌ １ｌ ｌｌｄ Ｉ 戈 ＋ （ ）
（） ｃ设 ： —Ｒｎ为线性 映射 ， Ｒｎ 满足 口ｌ ≤（ ， ≤ｂｌ ｌ（ ｌ ） 口＞０ ｂ ）存 在 常数 Ｒ＞０ 当 ＞２ ｌ ｌ ， ＞０ ， ， ， ≥
时 ， Ｆ（ ， ≤（ Ｆ（ ， ， ）则 问题 （） ０＜ ｔ ） Ｖ ｔ ， ） １至少有 一个 周 期解 ． 注 １ 当二 阶 Ｈ ｍｉｏ ａ ｌ ｎ系统转 化 为一 阶 系统 时 ， ａ ｉｏ ｔ Ｈ ｍ ｌ ｎ函数 关 于 一部 分 坐标 必然 是 二 次增 长 的 ． 以 ｔ 所
Ｕ
其 中（ ，） １ １ 别是 上 的内积 和范数 ． 子 及 泛 函定义 为 ・ ・， ．分 算
ｒ
‘
＜ Ｋ ， ＞＝ ｌ（ Ｙ ｄ ｘＹ ，） ｔ
０
（ ， ） Ｖ ＹＥ
一类二阶非自治Hamilton系统的周期解
第31卷第6期2010年11月吉首大学学报(自然科学版)J our nal o f J i shou U ni ver s i t y(N at u r al Sci e nce Ed i t i on)文章编号：1007—2985(2010)06—0014—05V01．31N o．6N O V．2010一类二阶非自治H am i l t on系统的周期解何小飞，陈国平，谢景力(吉首大学数学与计算机科学学院。
湖南吉首416000)擒耍：在线性增长和次线性增长条件下，利用临界点理论中的极小作用原理和鞍点定理，研究了二阶非自治H am i l—t on系统周期解的存在性问题，获得了一些新的可解性条件．关t词：二阶非自治H am i l t on系统l极小作用原理；鞍点定理；次线性增长}线性增长l周期解中圈分类号：0175．12文献标志码：A1问题的提出考虑如下二阶非自治H a m i l t on系统：f拼(t)=vF(t，“(f))a．e．t∈[o，T]，…l“(0)一“(T)=．矗(0)一n(1’)=0．～l J 其中T>0，F：[o，T]×R N—R满足下列条件：(A)对V z∈RN．F(t，z)关于t可测l对a．e．t∈[o，T]，F(t，z)关于z连续可微，且存在a∈C(R+，R+)。
b∈L1([o，丁]i R+)，使得对V z∈RN和a．e．t∈[o．明，有I F(t，z)I≤口(1z I)6(f)，I V F(t，z) I≤口(I z I)6(f)．由文献[1]中讨论易知，寻求系统(1)的解等价于寻求泛函9在H}中的临界点．许多学者利用极小化原理研究了系统(1)周期解的存在性问题[x-s]。
他们给出了系统存在周期解的各种充分性条件．如强制性条件、周期性条件、凸性条件、次可加条件及次凸性条件．文献[8]利用极小作用原理考虑了F(t，z)=H(t，z)+ G(z)的情形，获得了当I V H(t，z)I≤七(t)I z7+r e(t)，l V G(x)一V G(y)I≤n z—Y I+r z且z Iqr l F(t，x)dt—+oo时解的存在性．笔者将利用极小化原理和鞍点定理进一步研究G是非自治的情形，J0即F(f，z)一H(￡，z)+G(f，z)．2定理及其证明定理1设F(t，z)=G(t，z)+H(t，z)，G和H均满足条件(A)且下列条件成立，则系统(1)在H}上至少有1个解极小化泛函9：r r1o(F1)存在rl(t)∈L2(o，T I R+)。
二阶扰动Hamilton_系统周期解的存在性
第29卷第4期江苏理工学院学报JOURNAL OF JIANGSU UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVo l.29，No.4Aug.，20232023年8月在天体力学中，质点的运动规律可以表示为非线性微分方程组。
庞加莱在《天体力学新方法》中提出，诸多力学微分方程系统都可化成正规型微分方程系统，即Hamilton 系统。
Hamilton 系统作为一类重要的动力学系统，在力学、统计力学、天体力学、控制论等领域有着广泛的应用。
在动力学系统中，天体运行的位置坐标和速度经过一定时间都会回到原来的数值，因此周期解理论作为天体运行周期轨道的存在性和稳定性的理论，是非线性动力系统的主要研究对象。
寻找这类非线性微分方程的周期解主要有三种方法：定性方法、分析方法、数值方法。
本文对于Hamilton 系统周期解的研究主要运用分析方法中的变分法。
变分法起源于物理学的最速降线问题，这个物理问题最终由数学家运用极小化原理得到解决。
其一般原理为：在赋范空间X 中，设映射φ:X →R ，将求算子方程φ′(u )=0在X 上的解，归结为求φ的局部极小值或极大值。
用变分法解Hamilton 系统周期解的关键即：在某空间上定义相应泛函，从而使泛函的临界点与Hamilton 系统的周期解相对应。
本文运用变分方法中极小作用原理，考虑如下扰动的二阶Hamilton 系统：ìíîu (t )+Bu ()t =∇F (t,u (t ))a.e.t ∈[0,T ]u (0)-u (T )=u (0)-u (T )=0。
（1）系统中，B 是反对称矩阵，T >0，F :[0,T ]×R N →R 。
此非线性微分方程满足条件(A )：F ()t ,x 对∀x ∈R N 关于t 是可测的，对a.e.t ∈[0,T ]关于x 是连续可微的；∃a ∈C ()R +,R +，b ∈L 1()0,T ;R +使得对a.e.t ∈[0,T ]和∀x ∈R N 都有|F ()t,x |≤a ()|x |b ()t ，|∇F ()t ,x |≤a ()|x |b ()t 。
二阶Hamilton系统周期解的存在性
二阶Hamilton系统周期解的存在性
符健;马鑫;张晶
【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(028)004
【摘要】研究了二阶Hamilton系统{(u)(t)=F(t,u(t)),a.e.t∈[O,T],u(O)-
u(T)=u(O)-u(T)-O周期解的存在性问题,通过使用极小化原理,获得了周期解存在的一些充分性条件,所得结果改进了已有文献中的一些结果.
【总页数】3页(P590-592)
【作者】符健;马鑫;张晶
【作者单位】中南大学机电工程学院,湖南,长沙,410012;中南大学机电工程学院,湖南,长沙,410012;中南大学机电工程学院,湖南,长沙,410012
【正文语种】中文
【中图分类】O175.12
【相关文献】
1.一类二阶Hamilton系统周期解的存在性 [J], 王少敏
2.测度链上次线性二阶Hamilton系统周期解的存在性 [J], 张申贵
3.具有变号位势的二阶Hamilton系统周期解的存在性定理 [J], 叶一蔚
4.一类局部超二次二阶Hamilton系统周期解的存在性 [J], 郑玲玲
5.一类具有p-Laplace算子的二阶Hamilton系统周期解的存在性 [J], 万树园;王智勇
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定理 １ 设 Ｆ满 足条 件 （ ） Ａ ，且存 在 常数 ＞０ 使 得 ，
ｌ ｆ ７ 上 Ｌ ｉ ｉ ＿ ｍ ＞０ 对
．
ｅ ∈ ［ ， ］ 致 成立 ．ｆ ０ 一 对 ａ ｅ ｆ∈ ［ ， ］ 致成 立 ． ． ． ０ 一
摘 要 ：利 用 极 大 极 小 方 法 得 到 了一 类 非二 次 二 阶 Ｈ ｍｌｎ系 统 周 期 解 和 非 平 凡 周 期 解 的存 在 性 定 理 ａ ｉｏ ｔ
关 键 词 ： 点 定 理 ； 义 山 路 引 理 ；周 期 解 ；非二 次 条 件 ；哈 密 尔 顿 系 统 鞍 广
文 献 标 识 码 ：Ａ 中 图 分 类 号 ：Ｏ ７ ． １ ６３
１ 主 要 结 果
考虑 二 阶 Ｈ ｍ ｌ ｎ系统 ａ ｉｏ ｔ
一
越＋Ａ（） ＝ ｖＦ（ ，ｕ ａｅ ∈ ［ ，Ｔ ｔｕ ｆ ） ．．ｔ ０ ］
Ｒ满 足下 列 条件 ：
，、 ．
、 ‘
ｕ０ （ ）一 ｕ Ｔ ＝ 如 ０ （ ） （ ）一 ｎ Ｔ ＝ ０ （ ）
其 中 Ａ ｆ 是 由连续 函数构 成 的 ｜ 阶 实对 称矩 阵 ，Ｔ＞ ０ （） 『 、 ｒ ，Ｆ ： Ｏ ． ，Ｔ］×Ｒ ［ 一 ∈ Ｌ （ ，Ｔ；Ｒ 使 得 ０ ）
Ｒ ｆｕ在 ［ ，Ｔ 上 绝对 连续 ，ｕ Ｏ ０ ］ （ ）： ｕ ）且 吐∈ Ｌ （ ， ；Ｒ ） （ ２０ ｝
ｕ ： ｎ，ｄ － －） （ １ ＋ ｕ，ｄ Ｉ － Ｉ ｃ２ ｔ ｔ ｃ ｔ ｔ
ｉ ｝ ≤ｉ ｐ ｝ ≤ ∈ ） 对 ．ｔ ［ ］致 立 ｎ ｌ 兰 ∞ Ⅳ ｆ （ ａ．∈。 一 成 ｅ ，
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第２ ７卷 第 ６期
Ｖｏ ．２ ７ １
Ｎｏ．６
西 南 师 范 大 学 学 报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕ ａ ｏ ｏｔ ｅｔＣ ｉａ ｏ ａ Ｕ ｉｅ ｉ （ Ｎｔｒ ｃ ｎｅ ） ｏｒ ｆＳｕ ｗ ｓ ｈｎ Ｎｒ ｌ ｎｖｒｔ ｎ ｌ ｈ ｍ ｓｙ ａ ａ Ｓｉ ｃ ｕｌ ｅ
第２ ７卷
ｉ ／＝ ＶＦ（ ，ｕ ａ ｅ ∈ ［ ，Ｔ ｔ ） ．．ｔ ０ ］ ｕ０ （ ）一 ｕ Ｔ （ ）＝ 吐 ０ （ ）一吐 Ｔ （ ）＝０ （ １）
在 Ｈ 中有解 ． 注 １ 存 在 函数 Ｆ满 足我们 推 论 １的条 件而 不满 足 文献 ［ １～６ 的有 关定 理 中的条 件 ．如 ： ］
很 多 文献 对 次二 次 和超 二 次 Ｈ ｍ ｌ ｎ系统 的周期 解 进行 了研究 ［ 引．而 文 献 ［ ］ 研 究 了非 二次 一 阶 ａ ｉｏ ｔ 卜 ７则 Ｈ ｍ ｌ ｎ系统 ． 文献 ［ ］的启 发 ， ａ ｉｏ ｔ 受 ７ 本文 用极 大极 小 方法 研究 了非 二 次二 阶 Ｈ ｍ ｌ ｎ系统 ， 到 周期 解 和非 ａ ｉｏ ｔ 得
推论 １ 若 Ｆ满 足条 件 （ ，（ ） Ａ） ２ 及
（ 一１ ２＜ｌ ）∞ ｉ ｍ
—
收 稿 日期 ：２０ —０ ０ ２ ４—１ ３
基 金 项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 资 助项 目（９７０ ７ ； 育部 科 学 技 术 重 点 项 目 ；教 育部 高 等学 校 优 秀 青 年 教 师 教 学 科 研 奖 励 计 划 １８１６ ） 教
３
．
Ｆ（ ， ）： Ｉ １ ｙ Ｉ Ｉ 一（ （ ） ） ｔ 一 ｅｔ，
其 中 ｙ＞０ ＞０ ∈ Ｒ ， ， ，ｅ Ｌ ０ ∈ （ ，Ｔ；Ｒ ） ．可 以验证 Ｆ满足 推论 １ 的条件 ， Ｆ既 不是 次 二次 的 ， 中 但
也不 是 超二 次 的 ．
注 ２ 这 里 的结 果 不是 文献 ［ ］ 于一 阶 Ｈ ｍ ｌ ｎ系统 有关 结果 的特殊 情形 ．我们 知 道 ， 过 ７关 ａ ｉｏ ｔ 通
Ｈｆｚ （， ）：詈 １ Ｉ＋ｉＦ ｆ ） ） ， （，
二 “
其 中 口∈ Ｒ且 口≠ ０ ，ｚ： （ ，Ｙ ）∈ Ｒ 这 样 一种 变换 ， 阶 Ｈ ｍｉｏ 二 ａ ｌ ｎ系统 可 看成 一 阶 Ｈ ｍ ｌ ｎ系统 的一 ｔ ａ ｉｏ ｔ 种 特殊 情况 ，但并 不 意 味 Ｆ 关于 是非 二次 的就 一定 有 Ｈ 关 于 ｚ也是 非 二次 的 ．如 ：
Ｉ ｔ ）Ｉ ｄ Ｉ Ｉ ｂ ｔ Ｆ（ ， ≤ （ ） （）
成立 ．
（ Ｖ ∈ Ｒ 及 ａｅ ∈ ［ ，Ｔ ，Ｆ ・ ） 测 ，Ｆ（ ，・ 连续 可微 ， 存 在 口∈ Ｃ Ｒ Ａ） ， ． ．ｔ ０ ］ （ ， 可 ｆ ） 且 （ ，Ｒ ，ｂ ）
Ｉ ｔ ）Ｉ 口 Ｉ ｆ ｂ ｔ ｖＦ（ ， ≤ （ ） （）
２０ ０ ２年 １ ２月
Ｄｅ ２ ０ ｃ． ０ ２
文 章 编 号 ： １０ ５ ７ （０ ２ ０ ０ ４ — ６ ０ ０— ４ １ ２ ０ ｝６— ８ １ ０
非 二 次 二 阶 Ｈａ ｌ ｎ系统 的 周 期 解 ｍｉｏ ｔ
陶 竹 莲 ， 唐 春 雷
１ 西 南 师 范 大 学 数 学 系 ， 庆 ４ ０ １ ； ． 庆 后 勤 工 程 学 院 基 础 部 数 学 组 ， 庆 ４ ０ １ ． 重 ０７５ ２ 重 重 ００６
作 者 简 介 ：陶 竹 莲 （ ９７一） １７ ，女 ，湖 南 邵 阳 人 ，硕 士 研 究 生 ，主要 从 事 泛 函分 析 的研 究 ．
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８２ ４ 其中 ： ２ ／ 则 问题 ｎ Ｔ，
一
西 南师 范 大学 学报 （ 自然科 学版 ）
（） ２ （） ３
一
ｌ ＜ ｌｍ ｉ ｆ ｉ ｎ
…
—
≤ ｌｍ ｉ
…
＋Ａ ｆ 的两个相邻特征值， 。 （） 则系统（） 日 １在 中有解． 其中
日 ＝｛ ｕ：［ ，Ｔ 一 ０ ‘］ 是 具有 范 数
的 Ｈ ｌｅｔ 间 ｉ ｒ空 ｂ