二项式定理及二项式系数的性质应用课件
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二项式系数的性质课件
[解] 由题设 m＋n＝19，
∵m，n∈N＋，
∴mn＝＝118，，
m＝2， n＝17，
…
m＝18， n＝1.
x2 的系数为 C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171．
1234 5
∴当 m＝9 或 10 时，x2 的系数取最小值 81，此时 x7 的系数为 C79 ＋C710＝156．
B．82 020－1
C．22 020
D．82 020
B [由已知，令 x＝0，得 a0＝1，令 x＝3，得 a0＋a1·3＋a2·32＋…
＋a2 020·32 020＝(1－9)2 020＝82 020，所以 a1·3＋a2·32＋…＋a2 020·32 020＝ 82 020－a0＝82 020－1，故选 B．]
1234
3．若二项式x2＋ax7的展开式中的各项系数之和为－1，则含 x2 的项的系数为________．
1234
560 [取 x＝1，得二项式x2＋ax7的展开式中的各项系数之和为(1 ＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解得 a＝－2．二项式x2＋ax7的展开式的通项 为 Tr＋1＝C7r·(x2)7－r·－2xr＝C7r·(－2)r·x14－3r．令 14－3r＝2，得 r＝4．因 此，二项式x2－2x7的展开式中含 x2 项的系数为 C47·(－2)4＝560．]
1234 5
3．设复数 x＝1－2i i(i 是虚数单位)，则 C21 019x＋C22 019x2＋C32 019x3＋…
＋C22 001199x2 019 等于(
)
A．i
B．－i
C．－1＋i
D．－1－i
D [x＝1－2i i＝
1＋
《二项式系数》课件
排列数的性质
排列数的应用
在二项式展开中，排列数用于计算二 项式展开式的系数。
A(n,m) = n! / [1!×2!×...×m!]， A(n,0) = 1。
计算二项式系数的步骤
01
02
03
04
写出二项式展开式的通项公式 ：T_{r+1} = C(n,r)a^(nr)b^r。
根据题目要求，确定需要求的 二项式系数。
在组合优化问题中，二项式系数用于描述组合问题的约束条件和目 标函数的复杂性。
THANKS
感谢观看
概率分布
二项式系数是二项分布 的概率函数和累积分布 函数的重要组成部分， 用于描述和分析离散概 率分布。
在组合数学中的应用
组合计数
二项式系数用于组合计数中，表示从n个不同元素中选取k个元素 的不同方式的数目。
排列组合
二项式系数用于排列组合的公式推导，例如C(n,k)和P(n,k)的计算 。
组合优化
递推关系
二项式系数之间存在递推 关系，可以利用已知的二 项式系数计算未知的组合 数。
二项式系数的性质
组合数的性质
二项式系数具有组合数的性质， 如对称性、增减性等。
组合恒等式
二项式系数满足一些恒等式，如 C(n, k) = C(n, n-k)。
应用领域
二项式系数在数学、统计学、计 算机科学等领域有广泛应用。
n! / [m!(n-m)!]。
组合数的性质
C(n,m) = C(n,n-m)，C(n+1,m) = C(n,m) + C(n,m-1)。
组合数的应用
在二项式展开中，二项式系数实质 上就是组合数。
排列数的计算方法
排列数的定义
二项式定理及应用ppt课件
• 【答案】 C
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
• 【答案】 9
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
联立①②得
a1＋a3＋…＋a99＝(2－
3)100－(2＋ 2
3)100 .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋… ＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3 ＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1.
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】 2
求特定的项或特定项的系数
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
(4)方法一：∵展开式中，a0，a2， a4，…，a100大于零，而a1，a3，…，a99小 于零，
∴原式＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋
a100 ＝(2＋ 3)100.
方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|， 即(2＋ 3x)100展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋ 3)100.
• 【思路点拨】 本题给出二项式及其二项展开式求各系
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
• 【答案】 9
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
联立①②得
a1＋a3＋…＋a99＝(2－
3)100－(2＋ 2
3)100 .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋… ＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3 ＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1.
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】 2
求特定的项或特定项的系数
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
(4)方法一：∵展开式中，a0，a2， a4，…，a100大于零，而a1，a3，…，a99小 于零，
∴原式＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋
a100 ＝(2＋ 3)100.
方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|， 即(2＋ 3x)100展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋ 3)100.
• 【思路点拨】 本题给出二项式及其二项展开式求各系
二项式系数的性质课件
总结词
二项式定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用 。
详细描述
在数学中，二项式定理常用于解决一些组合数学问题，如排 列、组合、概率等。在物理中，二项式定理可用于描述量子 力学和统计力学的某些现象。在工程中，二项式定理可用于 解决一些近似计算问题。
二项式定理的发展历程
总结词
二项式定理的发展经历了漫长的历史过程。
数学教育的普及
随着数学教育的普及，二项式系数等基础数学知 识将更加受到重视，需要进一步研究和推广。
THANKS
感谢观看
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
05
二项式系数在实际问题中的应用
在统计学中的应用
概率计算
二项式系数在概率计算中有着广 泛的应用，例如在二项分布的概 率计算中，二项式系数用于计算
成功的次数。
置信区间
在置信区间估计中，二项式系数用 于计算样本比例的置信区间，帮助 我们了解样本比例的可靠程度。
ERA
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的重要定理之一 ，它描述了二项式展开后的各项系数 规律。
详细描述
二项式定理指出，对于任何两个数的 和或差，即 (a+b) 或 (a-b)，它们的 展开式中的每一项都可以表示为组合 数 C(n, k) 与 a 和 b 的幂次方的乘积 。
二项式定理的应用场景
要点二
详细描述
对称性是指C(n, k) = C(n, n-k)，即从n个元素中选取k个 元素和从n个元素中选取n-k个元素的结果相同。递推性是 指C(n+1, k) = C(n, k-1) + C(n, k)，即从n+1个元素中选 取k个元素等于从n个元素中选取k-1个元素和从n个元素中 选取k个元素的和。组合恒等式是指C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，即从n个元素中选取k个元素等于从n-1个元 素中选取k-1个元素和从n-1个元素中选取k个元素的和。
二项式性质课件
展开式的应用
二项式定理的展开式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用 ，例如组合数学、概率论、统计学等。
定理表述
定理表述
定理证明
定理推论
二项式定理表述为(a+b)^n的展开式 为(C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n1}b+dots+C(n,n)b^n)，其中 (C(n,k))表示组合数，即从n个不同元 素中取出k个元素的组合数。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
二项式系数
二项式定理可以用来计算组合数，特 别是当组合数的上标和下标非常大时 ，使用二项式定理可以大大简化计算 过程。
排列数
通过二项式定理，我们可以推导出排 列数的公式，从而快速计算给定集合 的所有可能排列的数量。
概率论中的应用
概率计算
在概率论中，二项式定理常用于计算复杂事件的概率。例如，在n次独立重复 试验中，某一事件恰好发生k次的概率可以使用二项式定理来求解。
详细描述
牛顿二项式定理基于组合数学和幂级数展开，通过将二项式展开为幂级数形式，可以更方便地计算和 推导二项式的展开结果。
感谢您的观看
THANKS
1. 组合数的计算公式 为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表 示阶乘。
2. 组合数具有对称性 ，即C(n, k) = C(n, nk)。
3. 组合数具有递推性 ，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
指数性质
总结词：二项式定理的指数表示从n个不 同元素中取出k个元素的排列方式数。
贝努利概率模型
贝努利概率模型是二项式定理在概率论中的一个重要应用，它描述了一个成功 概率为p的试验中，进行n次独立重复试验，成功次数k的概率。
二项式定理的展开式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用 ，例如组合数学、概率论、统计学等。
定理表述
定理表述
定理证明
定理推论
二项式定理表述为(a+b)^n的展开式 为(C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n1}b+dots+C(n,n)b^n)，其中 (C(n,k))表示组合数，即从n个不同元 素中取出k个元素的组合数。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
二项式系数
二项式定理可以用来计算组合数，特 别是当组合数的上标和下标非常大时 ，使用二项式定理可以大大简化计算 过程。
排列数
通过二项式定理，我们可以推导出排 列数的公式，从而快速计算给定集合 的所有可能排列的数量。
概率论中的应用
概率计算
在概率论中，二项式定理常用于计算复杂事件的概率。例如，在n次独立重复 试验中，某一事件恰好发生k次的概率可以使用二项式定理来求解。
详细描述
牛顿二项式定理基于组合数学和幂级数展开，通过将二项式展开为幂级数形式，可以更方便地计算和 推导二项式的展开结果。
感谢您的观看
THANKS
1. 组合数的计算公式 为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表 示阶乘。
2. 组合数具有对称性 ，即C(n, k) = C(n, nk)。
3. 组合数具有递推性 ，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
指数性质
总结词：二项式定理的指数表示从n个不 同元素中取出k个元素的排列方式数。
贝努利概率模型
贝努利概率模型是二项式定理在概率论中的一个重要应用，它描述了一个成功 概率为p的试验中，进行n次独立重复试验，成功次数k的概率。
二项式定理及应用PPT教学课件
2、( 1 3 x )20展开式中，不含x的项是第____ 项 x
3、（x2 - 1 ）9展开式中x9的系数是 _________（03年 2x
全国高考）
例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国)
作业: 指导与学习P74-75
T1-10
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
1、已知
x
2 x
n
展开式中第五项的系数与
第三项的系数比是10 : 1，求展开式中含x的项
2、如果： 1＋2C
1 n
22 Cn2 L
2n
C
n n
2187
求：Cn1 L Cnr L Cnn 的值
小结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
3、（x2 - 1 ）9展开式中x9的系数是 _________（03年 2x
全国高考）
例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国)
作业: 指导与学习P74-75
T1-10
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
1、已知
x
2 x
n
展开式中第五项的系数与
第三项的系数比是10 : 1，求展开式中含x的项
2、如果： 1＋2C
1 n
22 Cn2 L
2n
C
n n
2187
求：Cn1 L Cnr L Cnn 的值
小结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
二项式系数的性质及应用-PPT课件
r
n
2
1
时，
C r1 n
Cnr
(4) Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 2n
(5)在 (a b)n 展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项
式系数的和.
(6)当 n 为偶数时，Cn0 Cn2 ... Cnn 2n1
2
考点一： (a b)n 展开式的二项式系数 例.已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 ... a7 x7 .求： (1) a0 a1 a2 ... a7 (2) a1 a3 a5 a7 (3) a0 a2 a4 a6 (4) a0 a1 a2 ... a7
3
跟踪训练：
已知 (1 2x 3x2 )7 a0 a1x a2 x2 ... a13x13 a14 x14 ，求： (1) a0 a1 a2 ... a14 (2) a1 a3 a5 ... a13
4
考点二： (a b)n 展开式的二项式系数的最大值 例.在 (1 2x)10 的展开式中.
二项式系数的性质及应用 学习目标： 掌握二项式系数的性质并能解决简单的二项式系数有关的问题
1
(a b)n 展开式的二项式系数Cn0 , Cn1 , Cn2 ,..., Cnn 有如下性质：
(1) Cnm
C nm n
(2) Cnm
C m1 n
Cm n1
(3)当 r
n
2
1
时，
Cnr
C r1 n
；当
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
考点四：证明恒等式
例.求证：1 3Cn1 32 Cn2 ... 3n Cnn 4n
10
跟踪训练：
求证： Cn1 2Cn2 3Cn3 ... nCnn n • 2n1
二项式定理及二项式系数的性质应用
累加性质
01
二项式系数满足累加性质，即对 于任意非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n-1$），有$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$。
02
这一性质表明，在二项式展开 式中，相邻两项的二项式系数 之和等于下一项的二项式系数 。
03
通过累加性质，可以推导出二 项式系数的其他性质，如求和 公式等。
二项式系数与通项公式
二项式系数是指$(a+b)^n$展开后各项的系数，记作$C_n^k$，表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素 的组合数。
二项式系数的通项公式为$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$，其中$n!$表示$n$的阶乘。
二项式定理展开方法
二项式定理的展开方法是通过组合数公式和乘法分配律逐步推导出来的。
02
在组合数学中，多项式定理可用 于推导组合恒等式和求解组合问
题。
在物理学和工程学中，多项式定 理可用于描述多维空间中的物理 量和场分布。
03
在计算机科学中，多项式定理可 用于设计和分析算法的时间复杂
度和空间复杂度。
04
05 思考题与练习题选讲
思考题选讲
题目1
证明二项式定理对任意正整数$n$都成立。
对于$(a+b)^n$，可以先将其表示成$(a+b)(a+b)cdots(a+b)$的形式， 然后按照乘法分配律进行展开。
在展开过程中，每一项都是$a$和$b$的乘积，且$a$和$b$的指数之和为 $n$。根据组合数公式，可以计算出每一项的系数。
02 二项式系数性质
对称性
二项式系数具有对称性，即对于任意 非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n$），有$C_n^k = C_n^{n-k}$。
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
二项式系数性质课件
详细描述
在二项式定理中，二项式系数是组合数的一种特殊形式，表示从n个不同元素中 取出k个元素的组合数。具体地，对于二项式$(a+b)^n$，其展开后的每一项可 以用组合数来表示，即第$k+1$项的系数为$C_n^k$，其中 $C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$。
二项式系数的对称性证明
适用于大规模和高精度计算的问 题。
总结词
二项式系数的对称性是指二项式系数在展开式中的对称位置 相等。
详细描述
对于二项式$(a+b)^n$的展开，其第$r+1$项和第$n-r+1$ 项的系数相等，即$C_n^r=C_n^{n-r}$。这一性质可以通过 组合数的性质证明，因为$C_n^r=C_n^{n-r}$是组合数的基 本性质之一。
二项式系数的递推关系证明
03
二式系数的用
在组合数学中的应用
组合数学中，二项式系数常用于计算组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素的 组合方式数。
二项式系数在组合数学中具有一些重要的性质，如对称性、递推关系等，这些性质 在解决一些组合问题时非常有用。
二项式系数在组合数学中还常用于证明一些重要的定理，如二项式定理、组合恒等 式等。
二项式系数的表示方法
二项式系数可以用组合数的公式表示， 即C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!" 表示阶乘。
也可以用"+"、"*"等运算符来表示二 项式系数，例如C(n, k) = n+k-1 choose k。
二项式系数的性质
二项式系数具有对称 性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
在概率论中的应用
在二项式定理中，二项式系数是组合数的一种特殊形式，表示从n个不同元素中 取出k个元素的组合数。具体地，对于二项式$(a+b)^n$，其展开后的每一项可 以用组合数来表示，即第$k+1$项的系数为$C_n^k$，其中 $C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$。
二项式系数的对称性证明
适用于大规模和高精度计算的问 题。
总结词
二项式系数的对称性是指二项式系数在展开式中的对称位置 相等。
详细描述
对于二项式$(a+b)^n$的展开，其第$r+1$项和第$n-r+1$ 项的系数相等，即$C_n^r=C_n^{n-r}$。这一性质可以通过 组合数的性质证明，因为$C_n^r=C_n^{n-r}$是组合数的基 本性质之一。
二项式系数的递推关系证明
03
二式系数的用
在组合数学中的应用
组合数学中，二项式系数常用于计算组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素的 组合方式数。
二项式系数在组合数学中具有一些重要的性质，如对称性、递推关系等，这些性质 在解决一些组合问题时非常有用。
二项式系数在组合数学中还常用于证明一些重要的定理，如二项式定理、组合恒等 式等。
二项式系数的表示方法
二项式系数可以用组合数的公式表示， 即C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!" 表示阶乘。
也可以用"+"、"*"等运算符来表示二 项式系数，例如C(n, k) = n+k-1 choose k。
二项式系数的性质
二项式系数具有对称 性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
在概率论中的应用
二项式定理课件ppt
二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
二项式定理 二项式系数的性质的应用(PPT)3-1
思考并回答
11 121 1 33 1 1 4 64 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
星海王星(张)海王星是太阳系八大行星中距离太阳最远的，体积是太阳系第四大，但质量排名是第三。海王星的质量大约是地球的7倍，而类似双胞胎的天王 星因密度较低，质量大约是地球的倍。海王星大气层8%是氢气，%是氦气，%是甲烷，除此之外还有少量氨气。在大气层中的甲烷，只是使行星呈现蓝色的 一部分原因。因为海王星的蓝色比有同样份量的天王星更为鲜艳，因此应该还有其他的成分对海王星明显的颜色有所贡献。海王星是太阳系里的第四大行星， 但却是四个充满气体的行星之中最小的一个。它通常被视为从太阳数来的第八个行星，不过每8年当冥王星进入海王星的轨道形成交错的情况时（约年。上一 次发生这种情况是979-999年，海王星就会变成最远的一个外行星。[]海王星与太阳的距离：约为7.9亿英里（.9亿公里）。直径：大约是77英里（9公里）， 有地球的四倍大。恒星周期：.8年。这代表海王星在每个星座大约停留年。逆行周期：每年大约逆行个月。[]海王星有太阳系最强烈的风，测量到的时速高达 公里。989年美国航天局发射的旅行者号飞掠过海王星，对南半球的大黑斑和木星的大红斑做了比较。海王星云顶的温度是-8℃（K），因为距离太阳最远，； 扶梯：https:///goods/iIMPL0000000000201804200757066505-k%E6%89%B6%E6%A2%AF ；是太阳系最冷的地区之一。海王星核心 的温度约为7℃，也和大多数已知的行星相似。海王星海王星海王星可能有一个固态的核，其表面可能覆盖有一层冰。此外，海王星有磁场和极光。还有因甲 烷受太阳照射而产生的烟雾。海王星在8年9月日被发现，是唯一利用数学预测而非有计划的观测发现的行星[]。天文学家利用天王星轨道的摄动推测出海王 星的存在与可能的位置。迄今只有美国发射的旅行者号曾经在989年8月日拜访过海王星。在年，美国国家航空航天局提出有如卡西尼-惠更斯号科学水平的海 王星轨道探测计划但不使用热滋生反应提供电力的推进装置；这项计划由喷气推进实验室和加州理工学院一起完成。发现命名编辑88年海王星被发现的时候 曾出现过一些困难。一开始人们犯了一些错误（海王星曾经被误认为天王星，后来又消失踪影一段时间），年，伽利略观察到了这个行星，并将其判定为木 星的卫星[]。伽利略在年月8日首度观测并描绘出海王星。年月7日又再次勒维耶勒维耶观测，但因为观测的位置在夜空中都靠近木星（在合的位置），这两 次机会伽利略都误认海王星是一颗恒星。相信是恒星，而不相信自己的发现，是因为年月第一次观测的，海王星在留转向退行的位置，因为刚开始退行时的 运动还十分微小，以至于伽利略的小望远镜察觉不出位置的
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星海王星(张)海王星是太阳系八大行星中距离太阳最远的，体积是太阳系第四大，但质量排名是第三。海王星的质量大约是地球的7倍，而类似双胞胎的天王 星因密度较低，质量大约是地球的倍。海王星大气层8%是氢气，%是氦气，%是甲烷，除此之外还有少量氨气。在大气层中的甲烷，只是使行星呈现蓝色的 一部分原因。因为海王星的蓝色比有同样份量的天王星更为鲜艳，因此应该还有其他的成分对海王星明显的颜色有所贡献。海王星是太阳系里的第四大行星， 但却是四个充满气体的行星之中最小的一个。它通常被视为从太阳数来的第八个行星，不过每8年当冥王星进入海王星的轨道形成交错的情况时（约年。上一 次发生这种情况是979-999年，海王星就会变成最远的一个外行星。[]海王星与太阳的距离：约为7.9亿英里（.9亿公里）。直径：大约是77英里（9公里）， 有地球的四倍大。恒星周期：.8年。这代表海王星在每个星座大约停留年。逆行周期：每年大约逆行个月。[]海王星有太阳系最强烈的风，测量到的时速高达 公里。989年美国航天局发射的旅行者号飞掠过海王星，对南半球的大黑斑和木星的大红斑做了比较。海王星云顶的温度是-8℃（K），因为距离太阳最远，； 扶梯：https:///goods/iIMPL0000000000201804200757066505-k%E6%89%B6%E6%A2%AF ；是太阳系最冷的地区之一。海王星核心 的温度约为7℃，也和大多数已知的行星相似。海王星海王星海王星可能有一个固态的核，其表面可能覆盖有一层冰。此外，海王星有磁场和极光。还有因甲 烷受太阳照射而产生的烟雾。海王星在8年9月日被发现，是唯一利用数学预测而非有计划的观测发现的行星[]。天文学家利用天王星轨道的摄动推测出海王 星的存在与可能的位置。迄今只有美国发射的旅行者号曾经在989年8月日拜访过海王星。在年，美国国家航空航天局提出有如卡西尼-惠更斯号科学水平的海 王星轨道探测计划但不使用热滋生反应提供电力的推进装置；这项计划由喷气推进实验室和加州理工学院一起完成。发现命名编辑88年海王星被发现的时候 曾出现过一些困难。一开始人们犯了一些错误（海王星曾经被误认为天王星，后来又消失踪影一段时间），年，伽利略观察到了这个行星，并将其判定为木 星的卫星[]。伽利略在年月8日首度观测并描绘出海王星。年月7日又再次勒维耶勒维耶观测，但因为观测的位置在夜空中都靠近木星（在合的位置），这两 次机会伽利略都误认海王星是一颗恒星。相信是恒星，而不相信自己的发现，是因为年月第一次观测的，海王星在留转向退行的位置，因为刚开始退行时的 运动还十分微小，以至于伽利略的小望远镜察觉不出位置的
高中数学课件-二项式定理与二项式系数的性质应用
求 a1+a2+a3+ a4
15
思考：求(x+2y)(2x+y)2(x+y)3展开式中各项系数和.
例若(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 特殊值法
发散1、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值
例6.一个有10个元素的集合的子集共有多少个？
C100
C110
C120
C130
C10 10
210
1024
例7.已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10,
求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 310 赋值法
例8.若(x+ 1)4=a0＋ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4，特殊值法
则 p 被4除所得余数为…………………( A )
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3
问题:
(1)今天是星期五，那么7天后
的这一天是星期几呢? （星期五） (2)如果是15天后的这一天呢？（星期六） (3)如果是24天后的这一天呢？（星期一）
二项式定理 二项式系数的性质的应用(PPT)3-3
二项式系数的性质
性质1：在二Байду номын сангаас展开式中，与首末两端“等距离” 的任意两项的二项式系数相等
即
其中m=0,1,2,3,……,n
问题2：如何证明？
组合性质1
性质2： 果二项式的幂指数是偶数，中间一项 的二项式系数最大；如果二项式的幂指
数是奇数，中间两项的二项式系数最大；
思考并回答
11 121 1 33 1 1 4 64 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
的进化和发展同步前进的，它深深渗入到墨西哥社会的组织形式、人的生活方式及思维方式之中。 [] 诗人、艺术家灵感的源泉。古印第安的诗人们写过许多 歌颂玉米的诗歌，其中一部分流传至今。在墨西哥著名诗人、年诺贝尔文学奖得主帕斯的诗歌中，也曾反复出现玉米的意象，如《在石与花之间》中的诗句： “你克制、忍耐、生活/宛似； 优游 ；鸟儿/从一把玉米炒面到一坛玉米稀饭。”在《太阳石》中，他更是满怀激情地唱道： “你的玉米裙在飘舞歌唱/你水晶的裙子、水的裙子……”。 [] 在造型艺术中出现的玉米及玉米神的形象更是自古就有，考古发掘又屡有新证。现代艺术家们 的作品则推陈出新，在更高层次上赋予人们全新的感受。最典型的代表作之一当属墨西哥国立自治大学医学系大楼上的巨幅壁画《生命、死亡与四要素》， 作者为墨西哥著名壁画家弗朗西斯科·埃朋斯。画中的“四要素”指水、火、土、风，这是一幅隐喻印第安土著人生活的作品，而玉米就在这幅巨作的中心位 置，我们好像能体会到玉米在水火土风的培植滋养下同生命与死亡紧密相关的生动含义。 [] 玉米文化在墨西哥得到有识之士的呵护和弘扬。年月，由墨西哥 城人民文化博物馆协同全国土著人学会、查平戈大学等单位举办了以“没有玉米，就没有我们国家”为题的展览会，这个展览将历时8个月。在展览会的说明 书上，有这样的警句：“玉米是墨西哥文化的根基，是墨西哥的象征，是我们无穷无尽的灵感的源泉。”“我们创造了玉米，玉米又造就了我们。我们永远 在相互的哺育中生活。我们就是玉米人。 8年月日，日本名古屋大学的研究团队在英国科学杂志发表科研成果称，大型恐龙可能通过不把蛋压碎的摆放方式， 自己进行“孵蛋”。此研究成果或将为弄清大型恐龙的繁殖方式提供重要线索。 [] 一年生草本。根部有丰富的根瘤；茎直立或匍匐，长-8厘米，茎和分枝均 有棱，被黄色长柔毛，后变无毛。叶通常具小叶对；托叶长~厘米，具纵脉纹，被毛；叶柄基部抱茎，长~厘米，被毛；小叶纸质，卵状长圆形至倒卵形，长 ~厘米，宽.~厘米，先端钝圆形，有时微凹，具小刺尖头，基部近圆形，全缘，两面被毛，边缘具睫毛；侧脉每边约条；叶脉边缘互相联结成网状；小叶柄 长~毫米，被黄棕色长毛；花长约8毫米；苞片，披针形；小苞片披针形，长约毫米，具纵脉纹，被柔毛；萼管细，长~厘米；花冠黄色或金黄色，旗瓣直径. 厘米，开展，先端凹入；翼瓣与龙骨瓣分离，翼瓣长圆形或斜卵形，细长；龙骨瓣长卵圆形，内弯，先端渐狭成喙状，较翼瓣短；花柱延伸于萼管咽部
二项式定理 二项式系数的性质的应用(PPT)5-3
的囊状物。里面充满氮、氧、二氧化碳等混合气体。收缩时鱼下沉，膨胀时鱼上浮。有的鱼类的鳔有辅助听觉或呼吸等作用。也叫鱼鳔，有的地区叫鱼白。 ②名鳔胶。③〈方〉动用鳔胶粘上。 【鳔胶】名用鱼鳔或猪皮等熬制的胶，黏性大，多用来粘木器。 【瘪】（癟）［瘪三］（）名人称城市中无正当职业而 以乞讨或偷窃为生的游民为瘪三。 【憋】①动抑制或堵住不让出来：劲头儿～足了｜～着一口气｜他正～着一肚子话没处说呢。②形闷；呼吸不畅：心里～ 得慌｜气压低，～得人透不过气来。 【憋闷】?形由于心里有疑团不能解除或其他原因而感到不舒畅：他挨了一通训，又没处诉说，心里特别～｜在防空洞 里时间长了，会觉得～。 【憋气】∥动①由于外界氧气不足或呼吸系统发生障碍等原因而引起呼吸困难。②有委屈或烦恼而不能发泄：左也不是，右也不是， 真叫人～。 【憋屈】?〈口〉形有委屈而感到憋闷：你有～的事儿，别闷在心里｜～得真想大哭一场。 【鳖】（鱉、鼈）名爬行动物，形状像龟，吻尖长， 背甲椭圆形，上有软皮，生活在水中。也叫甲鱼或团鱼，俗称王八。 【鳖边】〈方〉名鳖裙。 【鳖裙】名鳖的背甲四周的肉质软边，味道鲜美。有的地区叫 鳖边。 【别】
二项式系数的性质
性质1：在二项展开式中，与首末两端“等距离” 的任意两项的二项式系数相等
即
其中m=0,1,2,3,……,n
问题2：如何证明？
组合性质1
性质2： 果二项式的幂指数是偶数，中间一项 的二项式系数最大；如果二项式的幂指
数是奇数1 33 1 1 4 64 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
【表语】名有的语法书用来指“是”字句“是”字后面的成分，也泛指名词性谓语和形容词性谓语。 【表彰】动表扬（伟大功绩、壮烈事迹等）：～先进。 【表针】名钟表或各种测试仪表上指示刻度的针。 【表征】名显示出来的现象；表现出来的特征：心理疾病的外在～。 【表侄】名表弟兄的儿子。 【表侄 女】?ǚ名表弟兄的女儿。 【表字】名人在本； 网赚博客 网赚项目 网赚博客 网赚项目 ； 名外所取的与本名有意义关系的另一名字（多 见于早期白话）。 【婊】［婊子］（?）名妓女（多用作骂人的话）。 【裱】动①用纸或丝织品做衬托，把字画书籍等装潢起来，或加以修补，使美观耐久： 这幅画得拿去重～一～。②裱糊。 【裱褙】动裱?。 【裱糊】动用纸糊房间的顶棚或墙壁等。 【褾】〈书〉①袖子的前端。②衣服上的绲边。 【俵】〈方〉 动按份儿或按人分发。 【摽】动①捆绑物体使相连接：桌子腿儿裂了，用铁丝～住吧！②用胳膊紧紧地钩住：母女俩～着胳膊走。③摽劲儿：这两个小组一 直在～着干｜我跟你～上啦，你搬多少我就搬多少。④亲近；依附（多含贬义）：他们老～在一块儿。 【摽】〈书〉①落。②打；击。 【摽劲儿】∥动双方 因赌气或竞赛等憋着劲比着（干）：大伙儿摽着劲儿干｜贴光荣榜后没几天，好几个组就跟优胜小组摽上劲儿了。 【鳔】（鰾）①名某些鱼类体内可以胀缩
二项式系数的性质
性质1：在二项展开式中，与首末两端“等距离” 的任意两项的二项式系数相等
即
其中m=0,1,2,3,……,n
问题2：如何证明？
组合性质1
性质2： 果二项式的幂指数是偶数，中间一项 的二项式系数最大；如果二项式的幂指
数是奇数1 33 1 1 4 64 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
【表语】名有的语法书用来指“是”字句“是”字后面的成分，也泛指名词性谓语和形容词性谓语。 【表彰】动表扬（伟大功绩、壮烈事迹等）：～先进。 【表针】名钟表或各种测试仪表上指示刻度的针。 【表征】名显示出来的现象；表现出来的特征：心理疾病的外在～。 【表侄】名表弟兄的儿子。 【表侄 女】?ǚ名表弟兄的女儿。 【表字】名人在本； 网赚博客 网赚项目 网赚博客 网赚项目 ； 名外所取的与本名有意义关系的另一名字（多 见于早期白话）。 【婊】［婊子］（?）名妓女（多用作骂人的话）。 【裱】动①用纸或丝织品做衬托，把字画书籍等装潢起来，或加以修补，使美观耐久： 这幅画得拿去重～一～。②裱糊。 【裱褙】动裱?。 【裱糊】动用纸糊房间的顶棚或墙壁等。 【褾】〈书〉①袖子的前端。②衣服上的绲边。 【俵】〈方〉 动按份儿或按人分发。 【摽】动①捆绑物体使相连接：桌子腿儿裂了，用铁丝～住吧！②用胳膊紧紧地钩住：母女俩～着胳膊走。③摽劲儿：这两个小组一 直在～着干｜我跟你～上啦，你搬多少我就搬多少。④亲近；依附（多含贬义）：他们老～在一块儿。 【摽】〈书〉①落。②打；击。 【摽劲儿】∥动双方 因赌气或竞赛等憋着劲比着（干）：大伙儿摽着劲儿干｜贴光荣榜后没几天，好几个组就跟优胜小组摽上劲儿了。 【鳔】（鰾）①名某些鱼类体内可以胀缩
二项式定理 二项式系数的性质的应用(PPT)5-4
二项式系数的性质
性质1：在二项展开式中，与首末两端“等距离” 的任意两项的二项式系数相等即其中m=0,Fra bibliotek,2,3,……,n
问题2：如何证明？
组合性质1
性质2： 果二项式的幂指数是偶数，中间一项 的二项式系数最大；如果二项式的幂指
数是奇数，中间两项的二项式系数最大；
思考并回答
11 121 1 33 1 1 4 64 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
有才能的人。⑤（）名姓。 【材积】ī名单株树木或许多树木出产木材的体积。 【材料】名①可以直接造成成品的东西，如建筑用的砖瓦、纺织用的棉纱等： 建筑～｜做一套衣服，这点～不够。②提供著作内容的事物：他打算写一部小说，正在搜集～。③可供参考的事实：人事～。④比喻适于做某种事情的人才： 我五音不全，不是唱歌的～。 【材树】名主；加密狗 加密狗 ；要供做木材用的树木，如松、柏、杉等。 【材质】名①木 材的质地：楠木～细密。②材料的质地；质料：各种～的浴缸｜大理石～的家具。 【材种】名木材的品种。 【财】（財）①钱和物资的总称：～产｜～物｜ 理～。②（）名姓。 【财宝】名钱财和珍贵的物品。 【财帛】〈书〉名钱财（古时拿布帛作货币）。 【财产】名指拥有的财富，包括物质财富（金钱、物 资、房屋、土地等）和精神财富（知识产权、商标等）：国家～｜私人～。 【财产保险】指各种物质财产及其相关利益（如责任、信用等）的保险。简称财 险。 【财产权】名以物质财富或精神财富为对象，直接与经济利益相联系的民事权利，如债权、继承权、知识产权等。 【财产所有权】财产所有人依法对自 己的财产享有的占有、使用、获取收益和处置的权利。简称所有权。 【财大气粗】形容人仗着钱财多而气势凌人。 【财东】名①旧时商店或企业的所有者。 ②财主。 【财阀】名指垄断资本家。 【财富】名具有价值的东西：自然～｜物质～｜精神～｜创造～。 【财经】ī名财政和经济的合称：～学院。 【财会】 名财务和会计的合称：～科｜～人员。 【财礼】名彩礼。 【财力】名经济力量（多指资金）：～不足。 【财路】名获得钱财的途径：广开～。 【财贸】名 财政和贸易的合称：～系统。 【财迷】名爱钱入迷、专想发财的人。 【财迷心窍】ī指人一心想发财而失去正常认识和思维能力。 【财气】（～儿）名指获 得钱财的运气；财运：～不佳。 【财权】名各级财政以及企业占有、支配和使用财政资金的权力：掌握～。 【财神】名迷信的人指可以使人发财致富的神， 原为道教所崇奉的神仙，据传姓赵名公明，亦称赵公元帅。也叫财神爷。 【财势】名钱财和权势：依仗～，横行乡里。 【财税】名财政和税务的合称：～部 门。 【财团】名指资本主义社会里控制许多公司、银行和企业的垄断资本家或其集团。 【财务】名机关、企业、团体等单位中，有关财产的管理或经营以及 现金的出纳、保管、计算等事务：～处｜～管理。 【财物】名钱财和物资：爱护公共～。 【财险】名财产保险的简称。 【财源】名钱财的来源：