7.4区间估计
区间估计
常见形式
间估计的区间上、下界通常形式为：“点估计±误差” “总体均值”的区间估计
总体均值：μ 总体方差：σ 样本均值：x =(1/n）×Σ（Xi) 样本方差：s =(1/(n-1））×Σ（Xi-x)^2 符号假设置信水平：1-α 显著水平：α
已知n个样本数据Xi (i=1,2,...,n），如何估计总体的均值? 首先，引入记号： 区间估计σ'=σ/sqrt(n) s'=s/sqrt(n) 然后，分情况讨论： 情况1 小样本（n<30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况2 小样本（n<30），σ未知，此时区间位于 x ± t（α/2）×s' 区间估计情况3 大样本（n≥30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况4 大样本（n≥30），σ未知，此时区间位于 x ± z（α/2）×s' 其中， z（α/2）表示：正态分布的水平α的分位数 t（α/2）表示：T分布的水平α的分位数
置信区间
区间估计有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏 性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总不小于包含任何假值θ┡的概率， 则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。
求置信区间的方法 最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。
即
费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知，通过抽样，获得了上述 数值，它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2，则得到区间，其信任程度为 1-α。即 当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。
区间估计的原理
区间估计的原理
区间估计是统计学中常用的一种方法，它可以用来估计总体参数的范围。
区间估计的原理是基于样本数据，通过一定的统计方法计算出一个区间，这个区间包含了总体参数的真实值的可能范围。
区间估计的原理可以通过以下步骤来说明：
1. 确定总体参数
首先，需要确定要估计的总体参数，例如总体均值、总体比例等。
2. 采样
从总体中随机抽取一定数量的样本，样本的数量应该足够大，以保证估计的准确性。
3. 计算样本统计量
根据样本数据，计算出相应的样本统计量，例如样本均值、样本比例等。
4. 确定置信水平
置信水平是指在多次重复采样的情况下，估计结果落在区间内的概率。
通常情况下，置信水平取95%或99%。
5. 计算标准误差
标准误差是指样本统计量与总体参数之间的差异，它可以用来衡量估
计的准确性。
6. 计算置信区间
根据样本统计量、标准误差和置信水平，可以计算出置信区间。
置信
区间是一个范围，它包含了总体参数的真实值的可能范围。
7. 解释结果
最后，需要解释计算出的置信区间。
例如，如果计算出的置信区间为[10,20]，则可以说在95%的置信水平下，总体参数的真实值有可能在10到20之间。
总之，区间估计是一种常用的统计方法，它可以用来估计总体参数的
范围。
区间估计的原理是基于样本数据，通过一定的统计方法计算出
一个区间，这个区间包含了总体参数的真实值的可能范围。
在实际应用中，需要注意样本的大小、置信水平的选择以及标准误差的计算等问题，以保证估计的准确性。
第四节 区间估计
代入，得的置信度为0.95的置信区间
1.29 1.29 , 112. 8 2.447 112. 8 2.447 7 7 111.75, 113.85
三、总体方差的置信区间
设X1 ,, X n为总体X ~ N ( , )的一个样本。
2
1 n 我们知道S 2 ( xi x )2是 2的一个点估计 n 1 i 1
2. 未知方差，估计均值
由于未知方差 ，这时可用样本方差：
2
1 2 S ( xi x ) n 1 i 1
2
n
x 而选取样本函数： t ~ t ( n 1) S/ n 对于给定的 ，，令 1
P{| t | t ( n 1)} 1 ，
2
P{| t | t ( n 1)} ，
即P{
2
2 1-
} 1
2
2
查附表三得 2 n - 1 （ ）
12
2
2 1
2
( n 1) S 2
2
2
2置信度为 ，的置信区间是 1
2 ( n 1) S , 2 ( n 1) 2
( n 1) S 2 ( n 1) 1 2
第七章
参数估计
§7.4 区间估计
一、 区间估计的一般概念
置信区间与置信度
定义：设总体X含一待估参数；对于样本x1 ,, xn , 找出统计量 i i ( x1 ,, xn )(i 1,2),1 2 , 使得：
P{1 2 } 1 , (0 1)
（2）确定临界值 （3）求出置信区间 （4）根据样本观测值，计算样本均值，代
统计学中的区间估计方法及其应用
统计学中的区间估计方法及其应用统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，区间估计是一种常用的方法，用于估计总体参数的范围。
本文将介绍区间估计的基本概念和常见方法，并探讨其在实际应用中的意义。
一、区间估计的基本概念区间估计是通过样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，使得该范围内有一定的置信水平包含真实的总体参数值。
常见的区间估计方法有点估计法、区间估计法和极大似然估计法等。
点估计法是通过样本数据计算得到一个点估计值，作为总体参数的估计值。
例如，通过样本均值估计总体均值，通过样本方差估计总体方差等。
区间估计法是在点估计的基础上，给出一个置信区间，该区间包含了总体参数的真实值。
置信区间的计算依赖于样本数据的分布和样本容量等因素。
极大似然估计法是通过最大化似然函数，寻找最有可能生成观测数据的参数值。
该方法常用于对总体分布的参数进行估计。
二、常见的区间估计方法1. 正态分布的区间估计在正态分布的区间估计中，常用的方法有Z检验和T检验。
Z检验适用于大样本，T检验适用于小样本。
这两种方法都是基于正态分布的性质，通过计算样本均值与总体均值之间的差异，得出置信区间。
2. 二项分布的区间估计对于二项分布的区间估计，常用的方法是Wald区间估计和Wilson区间估计。
Wald区间估计是基于正态近似的方法，适用于大样本。
Wilson区间估计是一种修正的方法，适用于小样本。
3. 指数分布的区间估计对于指数分布的区间估计，常用的方法是对数似然比法和置信上限法。
对数似然比法是通过最大化似然函数，得到参数的估计值，并计算置信区间。
置信上限法是寻找参数的最大值，使得观测值在该上限下的概率达到一定的置信水平。
三、区间估计的应用意义区间估计在实际应用中具有重要的意义。
首先，区间估计提供了对总体参数范围的估计，使得我们能够更准确地了解总体的特征。
其次，区间估计能够帮助我们进行决策和预测。
例如，在市场调研中，我们可以通过区间估计来估计产品的需求量，从而制定合理的生产计划。
区间估计公式
区间估计公式区间估计公式是指一种统计方法，用于估计未知参数的范围。
它是根据给定的数据集以及其参数的极限均值推断出的。
这样可以对参数的正确取值作出一个初步的估算。
一、经典区间估计公式1、样本均值估计法根据“大数定律”，当一个随机变量X的抽样样本个数n（→∞）时，X的样本均值的分布收敛到N（μ，σ2/n），可使用样本均值估计法来估计参数μ的值，即令μ = X的样本均数。
2、样本标准差估计法根据中心极限定理，当样本量趋于无穷的时候，样本标准差的分布符合t分布。
令特定的置信度α代替t值，可求得标准差的估计值，即σ^2 '= n·D / (tα/2)^2二、偏态分布估计量偏态分布估计量是一种分布估计法，它采用具备偏态分布特征的数值来估算参数μ和σ。
偏态分布是所有概率分布中最广泛应用的分布之一，它把参数μ和σ拆分成三部分：偏态参数γ，偏度参数ω和尾部形状参数λ。
从而可以从偏态分布中估计出μ、σ和γ、ω、λ的参数值。
三、无偏估计量无偏估计量是另一种用于估算量的分布。
它使用极值法，即按照某种规则，从一系列有限但不受限制的抽样样本中挑选某个值作为未知数的无偏估计值。
最常用的无偏估计量有方差法和方差除以样本数法。
方差估计量是一种比较简单的无偏估计量，它可用以下公式计算：σ^2 = 1 / n*Σ（xi - X）^2其中n是样本量，xi代表每个样本取值，X表示样本均值。
而另一种常用的无偏估计量就是方差除以样本数的方法，它的公式为：σ^2 = Σ（xi - X）^2 / n - 1四、交叉验证法交叉验证是一种分布估计法，它可以用来预测参数μ和σ，以便获得更准确的估算结果。
交叉验证首先将样本随机分为若干组，然后在每一组中利用其他组的信息来估计参数。
估计出的参数值在另外一组中进行验证，以期往复进行，直到每个组都意义数次验证。
然后再求出每次验证的参数的平均值以求得参数的最终估计值。
五、bootstrap法bootstrap是一种分布估计的方法，它可以用来估计三种不同的参数：均值、标准差和相关系数等。
区间估计的原理及应用
区间估计的原理及应用
区间估计是统计推断的一种方法，用于估计一个参数的值，同时给出一个估计的范围。
区间估计的原理是基于样本统计量的分布，通过计算样本统计量的标准误差和置信水平，确定一个包含真实参数值的估计区间。
区间估计的应用非常广泛。
在科学研究中，我们常常需要对某个参数进行估计，例如人口比例、平均值、方差等。
通过区间估计，我们可以给出一个置信区间，表示我们对真实参数值的估计，并给出一个误差范围。
这在调查研究、医学研究、经济学研究等领域具有重要意义。
另外，区间估计还可以用于判断两组数据的差异是否显著。
通过计算两个样本的差异的置信区间，我们可以判断是否存在显著差异。
这在实验设计、比较研究等场景下非常常见。
总之，区间估计是一种重要的统计推断方法，它能够帮助我们对参数进行估计，并给出一个估计的范围，从而增加我们对真实情况的了解和判断能力。
区间估计知识点总结
区间估计知识点总结区间估计的基本概念区间估计是一种用来估计参数未知真值范围的统计方法。
在假设条件下，利用样本的信息来推断总体参数，并给出一个区间，该区间包含了总体参数真值的一个估计范围。
例如，我们可以用区间估计的方法来估计总体均值、方差、比例等参数的取值范围。
区间估计的优点与点估计相比，区间估计有以下几个优点：1. 提供了参数真值的估计范围，更具有实际应用的意义。
点估计只给出了一个具体的数值，而区间估计可以反映出参数的不确定性。
2. 能够控制估计的置信水平。
在区间估计中，我们可以通过置信水平来控制估计的精度和可靠性，这使得我们可以根据需求来选择合适的置信水平。
区间估计的步骤区间估计的步骤一般包括以下几个方面：1. 确定总体分布类型。
在进行区间估计之前，我们需要对总体的分布类型进行研究，以确定区间估计的方法和技巧。
2. 挑选合适的估计方法。
不同类型的参数估计需要采用不同的估计方法，如均值的区间估计可以使用t分布、z分布或者Bootstrap方法。
因此，在进行区间估计时，需要挑选合适的估计方法。
3. 计算置信区间。
根据所选的估计方法和数据样本，我们可以计算出置信区间的上下限，从而得到参数的估计范围。
区间估计的常用方法在统计学中，常用的区间估计方法有以下几种：1. 正态分布的区间估计。
当总体服从正态分布时，我们可以使用z分布来进行参数估计。
例如，对正态总体的均值进行区间估计时，我们可以使用z分布的方法来计算置信区间。
2. t分布的区间估计。
当总体服从t分布时，我们可以使用t分布来进行参数估计。
常见的例子包括小样本的均值估计和相关系数的区间估计。
3. Bootstrap方法。
Bootstrap方法是一种非参数估计方法，它通过对原始样本进行重抽样，得到估计量的抽样分布，从而计算出参数的置信区间。
区间估计的应用区间估计作为统计推断的重要方法，在各个领域都有着广泛的应用。
在医学、社会科学、经济学和工程学等领域中，人们常常需要对总体参数进行估计，在这些领域中，区间估计可以提供参数估计的可靠性和精度，为决策提供支持。
简述区间估计的概念
简述区间估计的概念
区间估计是一种统计学方法,用于估计某个参数或变量的取值范围。
在概率论和统计学中,区间估计是指给定一些样本数据,计算一个区间,这个区间应该是一个合理的范围,能够覆盖数据的大多数情况。
在区间估计中,我们通常选择一个中心点作为估计值,然后根据样本数据计算出两个点之间的误差范围。
这个误差范围就是区间的边界,也就是估计值和实际值之间的范围。
区间估计的应用场景非常广泛,例如在医学研究中,医生可以使用区间估计来估计患者某种疾病的概率;在金融领域中,投资者可以使用区间估计来估计某个股票的价格趋势。
除了计算区间外,还有一些常见的方法可以用来进行区间估计,例如最大似然估计、贝叶斯区间估计、参数估计和区间生成器等。
这些方法可以根据具体情况选择使用。
拓展:
区间估计的优点是能够给出一个合理的范围,能够反映数据的大多数情况,并且不需要对数据进行精确预测。
但是,区间估计也有一些局限性,例如可能会受到样本量、数据分布、噪声等因素的影响。
因此,在进行区间估计时,需要结合具体情况进行判断。
区间估计的基本原理和步骤
区间估计的基本原理和步骤区间估计是统计推断中的一种方法，用于估计总体参数的区间范围。
其基本原理和步骤如下：一、基本原理：二、步骤：1.确定参数类型和样本分布：在进行区间估计之前，需要明确要估计的总体参数类型，例如均值、方差、比例等。
同时，需要确保样本数据来自一个合理的总体分布，通常假设样本数据满足正态分布。
2.选择置信水平：置信水平表示对于重复抽样所得的区间估计，其中包含总体参数真实值的概率。
常用的置信水平有95%和99%。
选择置信水平时需要考虑实际应用需求和可接受的误差范围。
3.计算标准误差：标准误差是样本统计量与总体参数之间的标准差，可以用来度量估计量的精确程度。
常见的标准误差计算方式包括对均值的标准误、对比例的标准误和对方差的标准误。
4.确定抽样分布：根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本统计量的抽样分布会接近正态分布。
可以利用这个性质来进行参数估计。
5.计算置信区间：根据所选择的置信水平和抽样分布中的临界值，计算出估计参数的上限和下限，形成估计的置信区间。
具体计算方法与总体参数类型相关，如均值的置信区间计算通常基于样本均值和标准误差。
6.解读结果：得到置信区间后，应根据具体情况对结果进行解读和分析。
通常，置信区间越窄，说明估计结果越准确；置信区间不包含需要估计的参数真实值，说明估计结果不准确。
7.检验假设：在一些情况下，需要通过检验假设来验证估计结果的可靠性。
例如，对于均值的区间估计，可以通过假设检验来判断区间估计是否显著不等于一些特定值。
总结：区间估计是统计推断中重要的一种方法，它能够通过样本数据给出总体参数的一个估计区间，并提供了对估计精确性的度量。
在实际应用中，选择合适的置信水平、计算标准误差、确定抽样分布以及解读结果都是关键步骤，需要结合具体问题进行合理的选择和判断。
名词解释区间估计
区间估计的名词解释
一、什么是区间估计？
区间估计是统计学中一种常用的参数估计方法，用于根据样本数据来估计总体参数的范围。
在区间估计中，我们通过样本数据计算出一个区间，该区间通常包含总体参数的真实值。
区间估计的方法包括单侧区间估计和双侧区间估计。
二、区间估计的原理
区间估计的原理基于抽样分布理论。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。
因此，我们可以利用样本均值和标准误差来估计总体均值的分布。
具体来说，我们首先根据样本数据计算出样本均值和标准误差。
然后，利用样本均值加减标准误差的倍数来计算出置信区间的上下限。
置信区间的置信度通常设置为 95% 或更高，这表示我们有 95% 的把握认为总体参数的真实值落在这个区间内。
三、区间估计的应用场景
区间估计在实际应用中具有广泛的应用价值，下面列举了一些常见的应用场景：
1. 估计总体均值：例如，通过对某批次产品进行抽样检测，计
算出样本均值和标准误差，然后用区间估计方法估计该批次产品的总体均值。
2. 估计总体比例：例如，通过对某人群进行抽样调查，计算出
样本比例和标准误差，然后用区间估计方法估计该人群的总体比例。
3. 估计总体标准差：例如，通过对某批次产品进行抽样检测，计算出样本标准差和样本容量，然后用区间估计方法估计该批次产品的总体标准差。
总之，区间估计是一种常用的参数估计方法，能够帮助我们在实际问题中对总体参数进行估计。
掌握区间估计的方法和原理，对于统计分析和决策具有重要意义。
7.4单个正态总体均值与方差的区间估计
2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1,
P
(n 1)S 2
2
/
2
(n
1)
(n
2 1
/2
1)S 2 (n
1)
1
,
即标准差 的置信水平为1 α 的一个置信区间为
n 1S ,
2 / 2(n 1)
n
2 1 /
1S 2(n
1)
.
11
概率论与数理统计
例2 (续例1) 求例1中总体标准差 的置信度为0.95 的置信区间.
506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496
设袋装糖果的质量服从正态分布, 试求总体均值
的置信度为 0.95 的置信区间.
(1) 2 38.44; (2) 2未知. 解： 1 0.95, 0.05
6
概率论与数理统计
b
3
概率论与数理统计
由P
z
/
2
X
/
n
z /2
1,
P X
n
z / 2
X
n
z
/
2
1
.
即的一个置信水平为1 的置信区间为
X
n
z / 2 , X
n
z / 2 .
置信区间的长度为
2
n
z / 2 .
4
概率论与数理统计
2 2未知
“枢轴量”
X ~ t(n 1)
1
S/ n
由
P{tα
2(n 1)
X S
区间估计的思想步骤及应用
区间估计的思想步骤及应用区间估计是统计学中一种重要的推断方法，它用于估计参数的未知真实值。
区间估计的思想步骤包括确定置信水平、选择合适的统计分布、计算样本的统计量、计算标准误差、确定置信区间和进行推断。
下面我将详细介绍每个步骤及其应用。
1. 确定置信水平：置信水平是指在统计推断中能够接受的错误率，通常用95%或99%表示。
例如，95%置信水平意味着我们可以有95%的把握说得出的结论在整个总体中都是正确的。
2. 选择合适的统计分布：根据问题的背景和所需的参数类型，选择合适的统计分布。
例如，当样本量较大且总体分布近似正态分布时，可以使用正态分布进行区间估计。
3. 计算样本的统计量：根据问题的需求，计算样本的统计量。
常用的统计量包括样本均值、样本比例、样本方差等。
样本统计量是用来估计总体参数的近似值。
4. 计算标准误差：标准误差是衡量估计量与总体参数之间的差异的标准差。
它反映了估计量的不准确程度，标准误差越小，估计结果越精确。
标准误差的计算方法根据不同的问题会有所不同。
5. 确定置信区间：根据所选的统计分布和置信水平，计算出的样本统计量的置信区间。
置信区间是参数可能取值的一个范围，可以用于对参数进行估计。
6. 进行推断：最后，根据所计算出的置信区间，对总体参数进行推断。
如果所求参数的真实值落在置信区间内，我们就可以说在给定的置信水平下，参数落在这个区间内的概率很高。
区间估计的应用非常广泛，下面将列举几个常见的应用场景：1. 投票预测：在选举前夕，对选民的意见进行调查，根据样本结果进行区间估计，从而得出预测选举结果的范围。
2. 市场调查：在市场调查中，通过对样本的调查结果进行区间估计，可以推断出整个市场的特征和消费者的行为习惯，为企业的市场营销决策提供依据。
3. 药物疗效评估：在临床试验中，通过对被试者样本的观察和实验结果的统计分析，进行区间估计，判断新药物疗效的可行性和安全性。
4. 质量控制：在生产过程中，通过对产品样本的检验和统计分析，进行区间估计，可以判断产品质量是否符合要求，以及生产过程中可能存在的问题。
区间估计法
区间估计法在统计分析中，区间估计法是一种常用的方法，它可以通过一个样本来推断总体的特征。
区间估计法通常被用于描述某个总体的性质，例如总体平均数、总体比例等。
与点估计法不同，区间估计法提供了一个某一参数的估计区间，这个区间内有一定置信度我们可以认为总体参数落在这个区间内。
在进行区间估计的时候，我们需要考虑两个重要因素：置信度和样本大小。
置信度是指我们对估计结果的信心程度，通常用一个百分数来表示，比如95%、99%等。
样本大小则是指我们用来做估计的观测值的数量，样本大小越大，结果的精度也越高。
区间估计最常见的应用就是对一个总体的平均值进行估计。
当我们要估计一个总体的平均值时，我们需要知道这个总体的标准差。
然后，通过对样本的平均值和标准差以及置信度进行一些计算，我们就可以得到这个总体平均值的区间估计。
例如，当我们用95%的置信度对某个总体的平均值进行估计的时候，我们可以说这个总体的真实平均值有95%的可能性在我们计算出来的区间范围内。
除了对平均值进行估计之外，区间估计法还可以用来对总体比例、总体方差、总体标准差等进行估计。
对于总体比例的估计，我们需要知道样本中具有某种属性的比例，然后通过计算这个比例的方差和样本大小等可以得到总体比例的区间估计。
在实际应用中，区间估计法的应用非常广泛。
比如在市场调研中，我们可以通过样本来估计某一产品的受欢迎程度；在医学研究中，我们可以通过样本来估计某种治疗方法的有效性等。
值得注意的是，在使用区间估计法进行数据分析时，我们需要注意样本大小和置信度的选择。
样本量越大，我们得出的结论就越准确；置信度越高，我们得出的结论就越可靠。
但是，高置信度往往需要更大的样本量，这个在实际应用中需要谨慎考虑。
总之，区间估计法是一种非常有用的数据分析方法，它可以使我们通过少量的观测数据来推断总体的性质，为我们进行科学研究和决策提供了有力的支持。
在实际应用中，我们需要灵活使用区间估计法，并在进行数据分析时注意样本大小和置信度的选择，以达到更准确的结果。
置信区间与假设检验之间的关系
2已知时： 0 z 2
n
,
0
z
2
n
2未知时： 0 t 2
S n
,
0
t
2
S n
2.若样本统计量x的值落在置信区间外，则拒绝H0
用置信区间进行检验
㈡均值单侧检验
1.左侧检验：求出单边置信下限
0 z
n
或0
t
S n
若样本统计量x的值小于单边置信下限，则拒绝H0
2.右侧检验：求出单边置信上限
0 z
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/11/
2020 9:23:25 AM09:23:252020/12/11
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/11/
谢 谢 大 家 2020 9:23 AM12/11/2020 9:23 AM20.12.1120.12.11
• 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。11-Dec-2011 December 202020.12.11
2.区间估计立足于大概率，通常以较大的把握程度 （置信水平）1-α去保证总体参数的置信区间。而 假设检验立足于小概率，通常是给定很小的显著性 水平α去检验对总体参数的先验假验都是根据样本信息对总体参 数进行推断，都是以抽样分布为理论依据，都是 建立在概率基础上的推断，推断结果都有一定的 可信程度或风险。
•
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。09:2 3:2509: 23:2509 :2312/ 11/2020 9:23:25 AM
•
3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 109:23: 2509:2 3Dec-20 11-Dec-20
•
4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 09:23:2 509:23: 2509:2 3Friday , December 11, 2020
区间估计的原理
区间估计的原理引言：在统计学中，区间估计是一种估计参数未知的总体的方法，它提供了一个范围，称为置信区间，该范围内有一定概率包含了真实的参数值。
区间估计的原理是基于抽样理论和概率统计的基础上，通过样本数据来对总体进行估计。
一、区间估计的基本思想区间估计的基本思想是通过样本数据来估计总体的参数值，并给出一个置信区间，使得这个区间内的参数值有一定的概率包含真实的参数值。
通常情况下，我们希望这个置信区间尽可能地窄，以提高估计的精度。
二、置信水平的选择在进行区间估计时，我们需要选择一个置信水平来决定置信区间的范围。
置信水平是指在重复抽样的情况下，包含真实参数值的置信区间的概率。
常见的置信水平有90%、95%和99%等，一般情况下，我们会选择较高的置信水平，以增加估计的可靠性。
三、区间估计方法1. 正态分布情况下的区间估计：当总体服从正态分布时，可以使用样本均值和标准差来进行区间估计。
常用的方法有Z分布方法和t 分布方法，其中Z分布方法适用于大样本情况，t分布方法适用于小样本情况。
2. 非正态分布情况下的区间估计：当总体不服从正态分布时，可以使用样本中位数和四分位数来进行区间估计。
这种方法被称为非参数估计方法，它不依赖于总体的分布情况。
四、区间估计的应用区间估计在实际问题中具有广泛的应用，下面以两个例子来说明：1. 信赖度评估：在工程领域中，我们经常需要评估某个产品或系统的可靠性和信赖度。
通过对样本数据进行区间估计，我们可以对产品或系统的平均寿命进行估计，并给出一个置信区间，以评估其可靠性。
2. 市场调研：在市场调研中，我们经常需要对某个产品或服务的市场需求进行预测。
通过对样本数据进行区间估计，我们可以估计总体的平均需求量，并给出一个置信区间，以评估市场需求的波动范围。
结论：区间估计是统计学中一种重要的估计方法，它通过样本数据来对总体进行估计，并给出一个置信区间。
区间估计的原理是基于抽样理论和概率统计的基础上，通过选择置信水平和合适的估计方法来进行估计。
概率论-7.4 正态总体均值和方差的区间估计
给定置信度为1 ，设样本 X1, X2,L , Xn 来自正态
总体
N
(
1
,
2 1
)
， 样 本 Y1,Y2,L
,Ym
来自正态总体
N
(
2
,
2 2
)
，两个样本相互独立，
X
,
S12
,
Y
,
S
2 2
分别表示两
个样本的样本均值和样本方差．
(1)若
2 1
，
2 2
均已知，因
X
，Y
分别为 1 ， 2
的无
偏估计，故 X Y 为 1 2 的无偏估计，由 X ，Y 的独
x
n
u / 2 , x
n
u
/
2
．
将 x 6.0, 0.6 ，n 9 ， z0.025 1.96 ，代入上式得 的
置信区间为 (5.602,6.392) ．
2020年4月26日星期日
3
目录
上页
下页
返回
【例 15】设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间(以 h 计) 分别为
6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0
设干燥时间总体服从正态分布 N(, 2) ．求 的置信度
为 0.95 的置信区间：
(1)若由以往经验知 0.6 (h)；(2)若 未知．( 0.05) 解 (2)由题可知，总体方差未知，采用统计量 T ， 的
置信区间为
x
s n
t
/
2
(n
1),
x
s n
t
/
2
(n
1)
．
将 x 6.0 ， s 0.57 ， n 9 ， t0.025 (8) 2.306 ，代入上式
区间估计的原理
区间估计的基本原理区间估计是统计学中一种常用的方法，用来根据样本数据推断总体参数的取值范围。
它通过计算置信区间来表示参数估计值的可信度，并提供了一种统计量范围的估计方法。
在这个过程中，我们关注的是总体参数的不确定性。
置信区间的定义置信区间是指在一定置信水平下，总体参数的可信范围。
置信水平通常采用符号(1−α)表示，其中α是一个介于0和1之间的数，表示置信水平的显著性水平。
例如，当α=0.05时，我们说我们有95%的置信度来估计总体参数。
置信区间的上界和下界称为置信限。
区间估计的步骤进行区间估计时，我们需要按照以下步骤进行：1.收集样本数据：从总体中随机抽取一部分样本进行观察和测量，得到样本数据。
2.选择合适的统计分布：根据所研究的问题和样本数据的性质，选择适当的统计分布来建立数学模型。
3.计算统计量：根据所选择的统计分布，利用样本数据计算出一个统计量，该统计量用于估计总体参数。
常用的统计量有样本均值、样本比例、样本方差等。
4.构建置信区间：根据所选择的统计分布和计算出的统计量，采用适当的方法构建置信区间。
5.解释和应用结果：根据置信区间的结果进行解释，并根据实际应用情况进行结果的应用和决策。
构建置信区间的方法在构建置信区间时，常用的方法有以下几种：1.正态分布的方法：当样本容量大于30，或当样本容量较小但总体近似服从正态分布时，可以使用正态分布的方法进行区间估计。
2.t分布的方法：当样本容量较小且总体不服从正态分布时，可以使用t分布的方法进行区间估计。
t分布相较于正态分布，具有较宽的尾部，适合用于较小样本的情况。
3.二项分布的方法：当样本数据为二项分布时，可以使用二项分布的方法进行区间估计。
二项分布常用于估计样本比例的置信区间。
4.Poisson分布的方法：当样本数据符合泊松分布时，可以使用Poisson分布的方法进行区间估计。
5.其他分布的方法：根据具体问题的要求，选择适当的分布进行区间估计。
7.4 区间估计1
于是得 的一个置信水平为 1 的置信区间 z / 2 , X z / 2 . X n n 这样的置信区间常写成 X z . /2 n 其置信区间的长度为 2 z / 2 . n
例如取 n 16, 1, 0.05, 查表可得 z / 2 z0.025 1.96,
求置信区间的三个步骤.
正态总体的均值与方差的区间估计
(1) 单个总体均值 的置信区间
为已知, X 2为未知, X
2
z / 2 . n S t / 2 ( n 1) . n
( 2) 单个总体方差 2 的置信区间
例1 有一大批糖果, 现从中随机地取 16 袋,
称得重量(克)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值
的置信度为0.95 的置信区间.
解
1 0.95, n 1 15,
可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右， 但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？ 如果要求有95%的把握判断在1473.4左右，即
1 x 1455 1502 1370 1610 1430 1473.4 5
P{ X ? X ?} 0.95 P{?? X ?} 0.95
1. 置信区间的定义
设总体 X 的分布函数 F ( x; ) 含有一个未知参
数 , 对于给定值 (0 1), 若由样本 X 1 , X 2 ,, X n 确定的两个统计量 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 和 ( X 1 , X 2 ,, X n ) ( ) ,
7.4单正态总体下未知参数的置信区间 课件- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电版)
2 的无偏估计为 ˆ 2
1 n
n i 1
X
2 i
2 ，
取 a b 满足
G ˆ 2, 2
1
2
n
(Xi
i 1
)2
~
2 n
P
a
1
2
n
(Xi
i1
)2
b
1
二、方差的置信区间
取
a
2 2
n,b
2 12
n
此时，对应的 2 的双侧1 置信区间为：
n
X
i
2
n
X
i
2
i1
, i1
．
第7章 参数估计
1
07
参数估计
目录/Contents
第7章 参数估计
2
7.1 点估计
7.2 点估计的良好性评判标准
7.3 置信区间
7.4 单正态总体下未知参数的置信区间
7.5
两个正态总体下未知参数的置信区间
目录/Contents
第7章 参数估计
3
7.4 单正态总体下未知参数的置信区间
一、均值的置信区间 二、方差的置信区间
故 的双侧 0.95 置信区间的观测值为[1485.69,1514.31] ．
二、方差的置信区间
第7章 参数估计
12
1
期望 已知, 方差 2的双侧置信区间；
2
期望 未知, 方差 2的双侧置信区间.
二、方差的置信区间
第7章 参数估计
13
(1)期望 已知, 方差 2 的双侧置信区间
当 已知时，
0.95 的双侧置信区间.
解 由题设条件知 n 10, 0.05, x 1500, s 20, 查表得
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
]
二、未知σ2时，μ的置信区间 未知σ
当总体X的方差未知时， 当总体X的方差未知时， 容易想到用样本方差Ѕ 代替σ 容易想到用样本方差 2代替σ2。 X −µ 已知 T = 2 ~ t(n −1)
s n P{
则对给定的α 则对给定的α， 令
X −µ s
2
≤ tα (n −1)} = 1 −α
2
n
例3
为了估计一批钢索所能承受的平均张力（单位 为了估计一批钢索所能承受的平均张力（ 由试验所得数据得 设钢索所能承受的张力X 设钢索所能承受的张力X， 分别估计这批钢索所能承受的平均张力
随机选取了9个样本作试验， kg/cm2), 随机选取了9个样本作试验，
的范围与所能承受的平均张力。 的范围与所能承受的平均张力。 解 本题是在σ 未知的条件下求正态总体参数μ 本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的
假设标准差 σ0 = 7，置信度为 95% ；
试求总体均值 µ 的置信区间。
解：已知 σ0 = 7, n = 9,α = 0.05. 由样本值算得： 1 x = (115 +120 +⋯+110) = 115. 9
查正态分布表得临界值 Zα = 1.96，由此得置信区间：
[115−1.96×7 /
9 , 115 +1.96×7 / 9 = [110.43 , 119.57]
2σ L= zα 2 n
可见L 的增大而减少（ 给定时）， 可见L随 n 的增大而减少（α 给定时），
例2
现从5 现从5～6岁的幼儿中 已知幼儿身高服从正态分布， 已知幼儿身高服从正态分布， 随机地抽查了9 其高度分别为： 随机地抽查了9人，其高度分别为： 115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;
X ~ N(µ,
σ2
n
)
Z=
X −µ
σ2
~ N(0,1)
n
对于任意给定的α 我们的任务是通过样本寻找一个区间， 对于任意给定的α， 我们的任务是通过样本寻找一个区间， 的概率包含总体X的数学期望μ 它以 1－α 的概率包含总体X的数学期望μ。
令
P{
X −µ
σ
2
≤ Zα } = 1−α
2
α
2
− zα
Z= ( X −Y ) − (µ1 − µ2 )
2 2 σ1 σ2
n1
+
n2
Z=
( X −Y ) − (µ1 − µ2 )
2 2 σ1 σ2
~ N(0,1)
n1
P{−Zα ≤
2
+
n2
≤ Zα } = 1 −α
2
( X −Y ) − (µ1 − µ2 )
σ
2 1
n1
+
σ
2 2
n2
2 σ2
[ X − Y − Zα
对于给定的
即
则得到σ2随机区间 则得到σ 以 的概率包含未知方差σ 这就是σ 的概率包含未知方差σ2， 这就是σ2的置信度为
1－α的置信区间。 的置信区间。
例5 某自动车床加工零件，抽查16个测得长度（毫米） 某自动车床加工零件，抽查16个测得长度（毫米） 16个测得长度
12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01 12.15 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.06
§7.3
参数的区间估计
前面，我们讨论了参数点估计. 前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的 一个值去估计未知参数. 一个值去估计未知参数. 可以想象,这个估计值正好为真值的可能性几乎为零 可以想象 这个估计值正好为真值的可能性几乎为零 这里就有两个问题: 这里就有两个问题 1、估计值和真值的差距有多大？ 、估计值和真值的差距有多大？ 2、能不能找一个区间，使它包含真值？ 、能不能找一个区间，使它包含真值？
例题7 例题7
2
对于正态总体N( µ ,σ ), 假设µ已知
2
求σ 的区间估计
解 ： 选 取枢 轴 统 计 量 χ =
2
( X i − µ )2 ∑
i =1
n
σ2
~ χ 2 ( n)
σ 的置信区间为：
2
四、两个正态总体 X~N(µ1,σ12) , Y~N(µ2,σ22) 1. µ1－ µ2 的估计 已知σ 1) 已知σ12 和σ22 枢轴变量取
注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。 的置信水平1 的置信区间不唯一。
上例中同样给定
α = 0.05 可以取标准正态分布上
0.04
0.01
α分位点－Z0.04 和 Z0.01 ,则又有 分位点－
P{−Z0.04 <
X −µ
n σ σ P{X − Z0.01 < µ < X + Z0.04 } = 0.95 n n
σ 12
n1
2
+
n2
, X − Y + Zα
σ 12
n1
2
+
2 σ2
n2
]
2) σ12 和σ22 未知，σ12 = σ22 = σ2 未知，
2.
的区间估计 枢轴变量选择
1) 已知µ1 与µ2 已知µ
2) 未知 µ1 、µ2
S σ σ S F= = ⋅ ~ F(n1 −1, n2 −1) S σ σ S
1 = [152 +122 +⋯−16⋅ 7.52 ] = 0.0024 10000⋅15
查表
所求σ 的置信度为0.95 所求σ2的置信度为0.95的 置信区间 0.95的
得 所求标准差σ的置信度为0.95的 所求标准差σ的置信度为0.95的 置信区间由 0.95
得
例6
为了估计灯泡使用时数（小时）的均值μ和 为了估计灯泡使用时数（小时）的均值μ 方差σ2， 测试了10个灯泡得 方差σ 测试了10 10个灯泡得 若已知灯泡的使用时数为X 若已知灯泡的使用时数为X， 求μ和σ2的置信区间。 的置信区间。 解 由公式知μ 由公式知μ的置信区间为 查表 μ的置信区间为 由公式知σ2的置信区间为 由公式知σ 查表 σ2的置信区间为 即
t 分布表， 查t 分布表，可得 α (n −1) 的值。 的值。
s s P{X − tα 2 (n −1) ≤ µ ≤ X + tα 2 (n −1)} = 1−α n n
2
则μ的置信度为1－ α的置信区间为 的置信度为1
[X − s n tα 2 (n −1), X + s n tα 2 (n −1)]
α 为显著水平
说明:(1)式表示（ 说明:(1)式表示（ 式表示
,
）包含未知参数θ的真值
概率为1 α,如α=0.05时 概率为1－α,如α=0.05时，若从总体中抽得容量相同的 100个样本，则在确定的100个置信区间中将有95个包含θ 100个样本，则在确定的100个置信区间中将有95个包含 个样本 100个置信区间中将有95 的真值， 真值的区间只有5 的真值，不包含θ真值的区间只有5个。 有点象套圈游戏 显然，置信区间不唯一。 显然，置信区间不唯一。
2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2
σ22 S12 P{F α (n1 −1, n2 −1) ≤ 2 ⋅ 2 ≤ Fα (n1 −1, n2 −1} = 1−α ) 1− σ1 S2 2 2
σ
1−α = 0.95
置信区间短表示估计的精度高， 第一个区间为优 置信区间短表示估计的精度高， 像 N(0,1)分布那样概率密度 (0,1)分布那样概率密度 当n固定时以 的图形是单峰且对称的情况。 的图形是单峰且对称的情况。
[X ±
σ
n
zα 2 ] 的区间长度为最短， 的区间长度为最短，
我们一般选择它。 我们一般选择它。 若以L为区间长度，则 若以L为区间长度，
2
α
2
zα
2
P{X −
σ
n
n
zα 2 ≤ µ ≤ X +
σ
n
zα 2 } = 1−α
σ
n zα 2 , X +
于是得到随机区间
[X −
σ
n
zα 2 ]
它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。 它以1 的概率包含总体X的数学期望μ 置信下限
X−
σ
n
zα 2
置信上限
X+
σ
n
zα 2
其置信度为
1－α。
置信区间也可简记为
ˆ ˆ 则称 [θ1,θ2 ] 为θ 的随机区间
7.3 置信区间概念
若满足
ˆ P{ ˆ1 ≤ θ ≤ θ2} =1−α θ
的置信区间. ˆ ˆ 的置信区间. θ1和θ2 分别称为置信下限和
ˆ ˆ 的置信水平（置信度） 则称区间 [θ1,θ2 ]是 θ 的置信水平（置信度）
为
1−α
置信上限（双侧置信区间） 置信上限（双侧置信区间）. 为置信度， 1−α 为置信度，
[X ±
σ
n
zα 2 ]
如取 α = 0.05 1 −α = 0.95
查表得
σ = 1 n = 16
Zα = Z0.025 =1.96
2
若由一个样本值算得样本均值的观察值 则得到一个区间 (4.71,5.69)
x = 5.20
为0.95.
(5.20 ± 0.49) ⇒ (4.71, 5.69)
包含μ 包含μ的可信程度
由置信区间的概念，所求μ的0.99的 置信区间为 由置信区间的概念，所求μ 0.99的 即 令