多目标形貌优化方法研究
多模态多目标智能优化算法及其应用研究
多模态多目标智能优化算法及其应用研究多模态多目标智能优化算法及其应用研究随着社会经济的发展和科技进步，人们对问题的解决愈发复杂多样。
传统的单目标优化算法已不能满足不同领域的需求，而多目标优化算法应运而生。
然而，在实际应用中，存在一些问题，例如搜索空间巨大、决策制约条件复杂、目标函数不可知等。
因此，为了更好地解决这些问题，研究者们引入了多模态的概念，将多模态多目标智能优化算法应用到实际问题中。
多模态多目标智能优化算法是指在求解多目标优化问题时，同时处理多个具有不同模态的目标函数。
模态是指在搜索空间中存在多个局部最优解的情况。
多模态多目标优化算法能够充分利用每个模态的搜索信息，从而找到全局最优解。
在多模态多目标智能优化算法中，人工智能技术被广泛应用，例如遗传算法、粒子群优化算法、模拟退火算法等。
遗传算法是一种模拟自然遗传和进化过程的优化算法，通过模拟基因的交叉、变异与选择等操作来搜索最优解。
粒子群优化算法是模拟鸟群觅食行为的优化算法，通过更新粒子的速度和位置来搜索最优解。
模拟退火算法是模拟金属退火过程的一种优化算法，通过接受较差解的概率来跳出局部最优解。
在应用方面，多模态多目标智能优化算法具有广泛的应用场景。
例如在工程设计领域，设计一个满足多个约束条件的最优结构是一项具有挑战性的任务。
利用多模态多目标智能优化算法，可以在考虑结构强度、材料成本、制造便利性等多个目标的情况下，得到最佳设计方案。
在能源系统优化中，考虑多个因素如供能可靠性、经济性和环境友好型，通过多模态多目标智能优化算法，可以获得能够平衡这些因素的最佳供能方案。
在金融投资领域，多模态多目标智能优化算法可以帮助投资者找到符合风险偏好和收益预期的最佳投资组合。
尽管多模态多目标智能优化算法在实际应用中取得了显著的成效，但仍存在一些挑战。
首先，针对具体问题选择适合的多模态多目标智能优化算法是一个难题，需要根据问题特点进行针对性选择。
其次，参数调节也是一个关键问题，不同参数设置可能导致算法性能的差异。
凸优化问题的多目标优化算法研究
凸优化问题的多目标优化算法研究引言在现实生活和工程实践中，我们常常面临着多目标优化问题。
多目标优化问题是指在给定的约束条件下，同时最小化或最大化多个目标函数。
凸优化问题是一类特殊的数学优化问题，具有丰富的理论和应用背景。
本文将探讨凸优化问题的多目标优化算法研究，并分析其在实际应用中的效果和局限性。
一、凸优化与多目标优化1.1 凸性与凸函数在介绍凸优化问题之前，我们先来了解一下凸性与凸函数的概念。
一个集合称为是一个凸集，如果对于任意两个集合中的点x和y以及任意一个介于0和1之间的数α，点αx + (1-α)y也属于这个集合。
而一个函数称为是一个凸函数，如果对于任意两个定义域内不同点x和y以及任意一个介于0和1之间的数α，都有f(αx + (1-α)y)≤ αf(x) + (1-α)f(y)。
在实际应用中，许多约束条件可以表示为线性不等式约束或线性等式约束。
而这些约束条件下的优化问题往往可以被表示为凸优化问题。
凸优化问题的特点是目标函数是凸函数，约束条件是凸集。
凸优化问题具有良好的性质，可以通过一些有效的算法进行求解。
1.2 多目标优化多目标优化问题是指在给定约束条件下，同时最小化或最大化多个目标函数。
多目标优化问题在实际应用中非常常见，例如在工程设计中需要同时考虑成本、质量、效率等多个指标。
与单目标优化不同，多目标优化存在着一个概念上的困难：无法找到一个解使得所有的目标函数都达到最小或最大值。
这是由于不同的目标函数之间往往存在着冲突关系，即改善一个指标会导致其他指标的恶化。
为了解决这个困难，我们需要引入一些新的概念和方法来处理多目标优化问题。
其中一种常用方法是通过引入一个新的综合性能指标来将多个不同指标综合考虑。
例如，在工程设计中可以引入成本效益比来衡量设计方案综合性能。
二、凸优化与多目标算法2.1 多目标算法分类针对不同类型和特点的多目标优化问题，研究者们提出了许多不同的多目标优化算法。
这些算法可以根据其搜索策略和目标函数逼近方式进行分类。
多目标优化问题及其算法的研究
多目标优化问题及其算法的研究摘要：多目标优化问题(MOP)由于目标函数有两个或两个以上，其解通常是一组Pareto 最优解。
传统的优化算法在处理多目标优化问题时不能满足工业实践应用的需要。
随着计算机科学与生命信息科学的发展，智能优化算法在处理多目标优化问题时更加满足工程实践的需要。
本文首先研究了典型多目标优化问题的数学描述，并且分析了多目标优化问题的Pareto最优解以及解的评价体系。
简要介绍了传统优化算法中的加权法、约束法以及线性规划法。
并且研究了智能优化算法中进化算法(EA)、粒子群算法(PSO)和蚁群优化算法(ACO)。
关键词：多目标优化问题；传统优化算法；进化算法；粒子群算法；蚁群优化算法中图分类号：TP391 文献标识码：AResearch of Multi-objective Optimization Problem andAlgorithmAbstract: The objective function of Multi-objective Optimization Problem is more than two, so the solutions are made of a term called best Pareto result. Traditional Optimization Algorithm cannot meet the need of advancing in the actual industry in the field of the Multi-objective Optimization Problem. With the development in computer technology and life sciences, Intelligent Optimization Algorithm is used to solve the Multi-objective Optimization Problem in the industry. Firstly, the typical mathematic form of the Multi-objective Optimization Problem, and the best Pareto result of Multi-objective Optimization Problem with it’s evaluate system were showed in this paper. It’s take a brief reveal of Traditional Optimization Algorithm, such as weighting method, constraint and linear programming. Intelligent Optimization Algorithm,including Evolutionary Algorithm, Particle Swarm Optimization and Ant Colony Optimization, is researched too.Keyword:Multi-objective Optimization Problem; Traditional Optimization Algorithm; Evolutionary Algorithm; Particle Swarm Optimization; Ant Colony Optimization.1引言所谓的目标优化问题一般地就是指通过一定的优化算法获得目标函数的最优化解。
多目标优化问题
多目标优化方法基本概述几个概念优化方法一、多目标优化基本概述现今，多目标优化问题应用越来越广，涉及诸多领域。
在日常生活和工程中，经常要求不只一项指标达到最优，往往要求多项指标同时达到最优，大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。
例如：在机械加工时，在进给切削中，为选择合适的切削速度和进给量，提出目标：1）机械加工成本最低2）生产率低3）刀具寿命最长；同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。
多目标优化的数学模型可以表示为：X=[x1,x2,…,x n ]T----------n维向量min F(X)=[f1(X),f2(X),…,f n(X)]T----------向量形式的目标函数s.t. g i(X)≤0,(i=1,2,…,m)h j(X)=0,(j=1,2,…,k)--------设计变量应满足的约束条件多目标优化问题是一个比较复杂的问题，相比于单目标优化问题，在多目标优化问题中，约束要求是各自独立的，所以无法直接比较任意两个解的优劣。
二、多目标优化中几个概念：最优解，劣解，非劣解。
最优解X*：就是在X*所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(X*)≤f(X)，则X*为优化问题的最优解。
劣解X*：在D中存在X使其函数值小于解的函数值，即f(x)≤f(X*), 即存在比解更优的点。
非劣解X*：在区间D中不存在X使f(X)全部小于解的函数值f(X*).如图：在[0,1]中X*=1为最优解在[0,2]中X*=a为劣解在[1,2]中X*=b为非劣解多目标优化问题中绝对最优解存在可能性一般很小，而劣解没有意义，所以通常去求其非劣解来解决问题。
三、多目标优化方法多目标优化方法主要有两大类：1)直接法：直接求出非劣解，然后再选择较好的解将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
2)间接法如：主要目标法、统一目标法、功效系数法等。
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。
多目标优化方法
多目标优化方法在现实生活和工作中，我们常常需要面对多个目标同时进行优化的情况。
比如在生产过程中需要考虑成本和质量的双重优化，或者在个人发展中需要兼顾事业和家庭的平衡。
针对这样的多目标优化问题，我们需要运用一些有效的方法来进行处理。
首先，我们可以考虑使用加权法来进行多目标优化。
加权法是一种简单而直观的方法，它通过为每个目标设定权重，然后将各个目标的值乘以对应的权重，最后将加权后的值相加得到一个综合指标。
这样一来，我们就可以将多个目标转化为单一的综合指标，从而方便进行优化决策。
当然，在使用加权法时，我们需要注意权重的确定要充分考虑到各个目标的重要性，以及权重的确定要充分考虑到各个目标的重要性，以及权重之间的相对关系，避免出现权重设置不合理导致优化结果不准确的情况。
其次，我们可以采用多目标规划方法来进行优化。
多目标规划是一种专门针对多目标优化问题的数学建模方法，它可以帮助我们在考虑多个目标的情况下，找到一组最优的决策方案。
在多目标规划中，我们需要将各个目标之间的相互影响考虑在内，通过建立数学模型来描述各个目标之间的关系，然后利用多目标规划算法来求解最优解。
多目标规划方法可以帮助我们充分考虑各个目标之间的平衡和权衡关系，从而得到更为合理的优化结果。
此外，我们还可以考虑使用进化算法来进行多目标优化。
进化算法是一种模拟生物进化过程的优化方法，它通过不断地演化和迭代，逐步优化出最优的解决方案。
在多目标优化问题中，我们可以利用进化算法来搜索出一组最优的解决方案，从而实现多个目标的同时优化。
进化算法具有较强的全局搜索能力和较好的鲁棒性，适用于复杂的多目标优化问题。
综上所述，针对多目标优化问题，我们可以运用加权法、多目标规划方法和进化算法等多种方法来进行处理。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点和要求，选择合适的方法进行处理，以达到最佳的优化效果。
希望本文所介绍的方法能为大家在面对多目标优化问题时提供一些帮助和启发。
机械设计中的多目标优化与决策方法
机械设计中的多目标优化与决策方法在机械设计领域，为了满足不断变化和日益复杂的市场需求，提高产品的性能、质量和降低成本等多方面的要求，多目标优化与决策方法逐渐成为了至关重要的工具。
这些方法能够帮助设计师在众多可能的设计方案中，找到最理想的解决方案，实现多个相互冲突的目标之间的平衡。
多目标优化问题的特点在于需要同时考虑多个目标函数，这些目标往往相互制约、相互影响。
例如，在设计一款汽车发动机时，既要追求更高的功率输出，又要降低燃油消耗，同时还要减少尾气排放和降低噪声。
这些目标之间并非完全独立，提高功率可能会导致燃油消耗增加，而降低噪声又可能会增加成本。
因此，多目标优化的关键在于找到一组最优的设计变量，使得各个目标函数都能达到相对满意的水平。
在解决多目标优化问题时，常用的方法包括加权法、目标规划法和Pareto 最优解方法等。
加权法是将多个目标函数通过赋予不同的权重转化为一个综合的目标函数，然后进行优化求解。
这种方法的优点是简单直观，但权重的确定往往具有一定的主观性，可能会影响最终的优化结果。
目标规划法则是通过设定各个目标的期望水平和偏差范围，将多目标问题转化为一个目标与期望水平偏差最小的规划问题。
这种方法能够较好地处理目标之间的优先级关系，但对于复杂的多目标问题，可能会出现计算量过大的问题。
Pareto 最优解方法是目前多目标优化中应用较为广泛的一种方法。
Pareto 最优解是指在一组解中，不存在任何一个解在不降低其他目标函数值的情况下，能够使得某一个目标函数值得到进一步的改善。
通过寻找 Pareto 最优解集，设计师可以根据实际需求从众多非劣解中选择一个最满意的解。
这种方法能够充分考虑多个目标之间的权衡关系，为设计师提供更多的选择。
然而，仅仅得到多目标优化的解集还不够，还需要进行决策以确定最终的设计方案。
决策过程需要综合考虑各种因素，如技术可行性、经济成本、市场需求和社会环境等。
常用的决策方法包括基于偏好的决策方法、基于多属性决策的方法和基于模糊理论的决策方法等。
多目标优化方法及其应用研究
多目标优化方法及其应用研究在实际的决策问题中，很难只有单一的优化目标，因为各个因素之间的相互制约和影响常常导致我们需要同时优化多个目标。
例如，在供应链管理中，我们需要同时考虑库存成本、运输成本和服务水平；在机器学习中，我们需要同时优化模型的预测精度和运行速度。
这些问题都属于多目标优化问题，常规的单目标优化方法已经无法应对这些问题。
因此，多目标优化方法的研究和应用越来越受到重视。
一、多目标优化方法的研究1、传统的多目标优化方法传统的多目标优化方法主要有两种：加权法和目标规划法。
加权法是通过将各个目标赋予不同的权重，将多个目标转化成单一的目标来进行优化。
这种方法简单易懂，但是需要预先指定权重，因此较难考虑各个目标之间的相互影响。
目标规划法则是将多个目标作为约束条件，将所有可行解映射到一个高维空间中得到一个帕累托前沿集合，即最优解的解集。
目标规划法不需要预先指定权重，但是需要进行高维优化，计算量较大。
2、进化算法近年来，进化算法成为解决多目标优化问题的一种重要方法。
进化算法是一种模拟自然界进化的计算模型，常用的进化算法有遗传算法和粒子群优化算法。
遗传算法通过遗传、变异、选择等操作来不断调整优化的解，从而找到一组最优解。
粒子群优化算法则是通过不断更新每个解的速度和位置，使得多个解在解空间中筛选出一组最优解。
3、多目标机器学习多目标机器学习是基于机器学习的多目标优化方法。
在多目标机器学习中，我们需要同时考虑模型的预测精度和运行速度等多个目标，通过设计不同的算法来解决这些问题。
例如，可以使用加速算法、剪枝算法等来提高模型的运行速度，同时使用集成算法、双目标优化等来提高预测精度。
二、多目标优化方法的应用1、供应链管理在供应链管理中，我们需要考虑库存成本、运输成本和服务水平等多个目标，通过多目标优化方法可以找到一组最优解。
例如，可以使用目标规划法来确定供应商的选择和订单的配置，同时考虑库存成本、运输成本和服务水平等多个目标。
复杂多目标问题的优化方法及应用
复杂多目标问题的优化方法及应用一、前言复杂多目标问题是指在优化过程中存在多个目标函数，这些目标函数之间可能存在冲突或矛盾，因此需要寻找一种合适的方法来解决这类问题。
本文将介绍复杂多目标问题的优化方法及应用。
二、复杂多目标问题的优化方法1. 多目标遗传算法（MOGA）多目标遗传算法是一种常用的优化方法，它基于遗传算法，并通过引入多个适应度函数来解决多目标问题。
MOGA 通过保留 Pareto 前沿（Pareto front）上的解来实现优化。
Pareto 前沿是指无法再找到更好的解决方案，同时保证了所有目标函数都得到了最佳优化。
2. 多目标粒子群算法（MOPSO）多目标粒子群算法也是一种常用的优化方法，它基于粒子群算法，并通过引入多个适应度函数来解决多目标问题。
MOPSO 通过维护一个Pareto 最优集合来实现优化。
Pareto 最优集合是指所有非支配解构成的集合。
3. 多目标差分进化算法（MODE）差分进化算法是一种全局搜索算法，它通过不断地更新种群的参数来寻找最优解。
MODE 是一种基于差分进化算法的多目标优化方法，它通过引入多个适应度函数来解决多目标问题。
MODE 通过维护一个Pareto 最优集合来实现优化。
4. 多目标蚁群算法（MOTA）蚁群算法是一种模拟自然界中蚂蚁寻找食物的行为的算法，它通过不断地更新信息素来寻找最优解。
MOTA 是一种基于蚁群算法的多目标优化方法，它通过引入多个适应度函数来解决多目标问题。
MOTA 通过维护一个 Pareto 最优集合来实现优化。
三、复杂多目标问题的应用1. 工程设计在工程设计中，往往需要考虑多个因素，如成本、效率、可靠性等。
使用复杂多目标问题的优化方法可以帮助工程师在保证各项指标达到要求的情况下，尽可能地减少成本或提高效率。
2. 市场营销在市场营销中，往往需要同时考虑销售额、市场份额和品牌知名度等指标。
使用复杂多目标问题的优化方法可以帮助企业在提高销售额的同时，尽可能地提高市场份额和品牌知名度。
机械结构的多目标优化设计方法
机械结构的多目标优化设计方法机械结构的多目标优化设计方法：在机械工程领域，设计出既能满足性能要求又能尽可能减小成本和资源消耗的机械结构是一项重要的任务。
在实际设计过程中，通常会涉及到多个相互矛盾的设计目标，如减小重量、提高强度、减小成本等。
因此，多目标优化设计方法在机械结构设计中具有重要的意义。
多目标优化设计方法的核心是找到一种平衡不同设计目标之间的权衡关系，使得设计方案能够在各个目标之间取得最优的折中。
在机械结构的多目标优化设计过程中，通常会采用以下几种常见的优化方法：1. 多目标遗传算法（MOGA）：多目标遗传算法是一种通过模拟进化过程来搜索最优解的优化方法。
它通过维护一个种群，在每一代中根据个体的适应度对种群进行选择、交叉和变异等操作，最终得到一个能够同时满足多个目标要求的设计方案。
2. 多目标粒子群优化算法（MOPSO）：多目标粒子群优化算法是基于群体智能的优化方法，它模拟了鸟群觅食的行为，通过不断调整粒子的位置和速度来搜索最优解。
MOPSO算法能够在多个设计目标之间找到一种平衡，快速收敛到帕累托前沿。
3. 多目标模拟退火算法（MOSA）：多目标模拟退火算法是一种基于模拟退火原理的优化方法，通过不断接受较差解以避免陷入局部最优解，并逐步降低温度来搜索全局最优解。
MOSA算法在多目标优化设计中具有较好的收敛性和鲁棒性。
4. 多目标遗传规划算法（MOGP）：多目标遗传规划算法是一种结合了遗传算法和规划算法的新型优化方法，它能够在多个设计变量和目标函数之间进行有效的优化，并生成满足多目标设计要求的解。
MOGP算法在处理复杂的多目标优化设计问题时表现出色。
综上所述，机械结构的多目标优化设计方法是一门研究如何在多个相互矛盾的设计目标下找到最优设计方案的学科。
不同的优化算法在处理多目标优化设计问题时具有各自的特点和适用范围，设计人员可以根据具体的需求和情况选择合适的方法来实现设计目标的最优化。
通过合理应用多目标优化设计方法，可以提高机械结构设计的效率和性能，实现设计的优化和提升。
多目标优化方法讲义(PPT64张)
决策空间 可行域
目标空间 可行域
示例2
m i n( F X ) f ( Xf ) ,2 ( X ) 1
T
3 6 4 1 1 L 3 f ( X ) x ( ) 2 1 4 4 4 4 4 4 3 E Dx Dx Dx 2 2 61 2 1 2 9.78 10 x1 s.t. g1 ( X ) 180 0 7 4 4.096 10 x2
4
2 1 2
2 2
1
2 1
2 2
3 6 4 1 1 L 3 f ( X ) x (4 4 4 4 ) 4 4 2 1 3 E Dx Dx Dx 2 2 1 2 1 2
9.78 106 x1 s.t. g1 ( X ) 180 0 7 4 4.096 10 x2 g2 ( X ) 75.2 x2 0 g3 ( X ) x2 40 0 g4 ( X ) x1 0
(1) (1) (1)
(1)
( 2)
, fm ( X )
(1) (2)
T
F(X
(2)
) f1 ( X
(2)
), f2 ( X
(2)
),
, fm ( X ) , m) X (2)
T
若对于每一个分量，都有 fl ( X (1) ) fl ( X (1) ) (l 1, 2, 则显然，X (1)优于X (2)，记为X (1)
向量不等式的含义为
p p f ( X ) f ( X ) j 1 , 2 , , m , 但 至 少 有 一 个 f ( X ) f ( X ) j j l l
决策空间 非劣解集
多目标优化的方法
多目标优化的方法多目标优化是指在优化问题中存在多个相互独立的目标函数，而不是单一的目标函数。
由于不同的目标函数往往是相互冲突的，使得同时最小化或最大化多个目标函数是一个具有挑战性的问题。
在多目标优化中，我们追求的是找到一组解，这组解对于每个目标函数来说都是最优的，而这个解称为Pareto最优解。
在多目标优化中，使用传统的单目标优化方法是不适用的，因为它只能找到单个最优解。
因此，为了解决多目标优化问题，研究人员提出了许多有效的方法。
下面将介绍几种常见的多目标优化方法。
1. 加权求和法（Weighted Sum Method）加权求和法是最简单直观的一种方法。
它把多目标优化问题转化为单目标优化问题，通过给每个目标函数赋予不同的权重，将多个目标函数线性组合成一个单目标函数。
然后使用传统的单目标优化方法求解得到最优解。
这种方法的缺点是需要人工赋权，不同的权重分配可能得到不同的结果，且不能找到Pareto最优解。
2. 约束法（Constraint Method）约束法是通过约束目标函数的方式来解决多目标优化问题。
它将目标函数之间的关系转化为约束条件，并追求找到满足所有约束条件的最优解。
这种方法需要事先给出目标函数之间的约束条件，且难以找到满足所有约束条件的最优解。
3. 基于Evolutionary Algorithm的方法最常用的多目标优化方法是基于Evolutionary Algorithm（进化算法）的方法，如遗传算法（Genetic Algorithm, GA）和粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）。
这些算法通过模拟生物进化过程，使用种群的思想来搜索最优解。
它们通过不断演化改进解的质量，迭代地更新解的位置以逼近Pareto 最优解。
这些方法优势明显，能够找到Pareto最优解，但计算复杂度较高。
4. 多目标优化算法的性能评估方法为了评估多目标优化算法的性能，研究人员提出了一些评价指标。
多目标优化模型的解决方案
多目标优化模型是一种复杂的问题类型，它涉及到多个相互冲突的目标，需要找到一个在所有目标上达到均衡的解决方案。
解决多目标优化模型通常需要使用特定的算法和技术，以避免传统单目标优化算法的局部最优解问题。
以下是几种常见的解决方案：1. 混合整数规划：混合整数规划是一种常用的多目标优化方法，它通过将问题转化为整数规划问题，使用整数变量来捕捉冲突和不确定性。
这种方法通常使用高级优化算法，如粒子群优化或遗传算法，来找到全局最优解。
2. 妥协函数法：妥协函数法是一种简单而有效的方法，它通过定义一组妥协函数来平衡不同目标之间的关系。
这种方法通常使用简单的数学函数来描述不同目标之间的妥协关系，并使用优化算法来找到最优解。
3. 遗传算法和进化计算：遗传算法和进化计算是多目标优化中的一种常用方法，它们通过模拟自然选择和遗传的过程来搜索解决方案空间。
这种方法通常通过迭代地生成和评估解决方案，并在每一步中保留最佳解决方案，来找到全局最优解。
4. 精英策略和双重优化：精英策略是一种特殊的方法，它保留了一部分最佳解决方案，并使用它们来引导搜索过程。
双重优化方法则同时优化两个或多个目标，并使用一种特定的权重函数来平衡不同目标之间的关系。
5. 模拟退火和粒子群优化：模拟退火和粒子群优化是多目标优化中的高级方法，它们使用概率搜索技术来找到全局最优解。
这些方法通常具有强大的搜索能力和适应性，能够处理大规模和复杂的多目标优化问题。
需要注意的是，每种解决方案都有其优点和局限性，具体选择哪种方法取决于问题的性质和约束条件。
在实践中，可能需要结合使用多种方法，以获得更好的结果。
同时，随着人工智能技术的发展，新的方法和算法也在不断涌现，为多目标优化问题的解决提供了更多的可能性。
多目标优化问题国内外研究现状
NSGA-I I
2. 拥挤距离的计算 : 为了保持个体分布均匀，防止个体在局部堆积，
NSGA-II算法首次提出了拥挤距离的概念。它指目标 空间上的每一点与同等级相邻两点之间的局部拥挤 距离。使用这一方法可自动调整小生境，使计算结 果在目标空间比较均匀地散布，具有较好的鲁棒性。
12
NSGA-I I
10
NSGA-I I
1. 快速的非劣解分类方法： 为了根据个体的非劣解水平将种群分类，必须将每一个
体与其他个体进行比较。NSGA-II算法采用快速的非劣解分 类方法，计算速度提高。
首先，对每一个解计算两个属性： 1 ni，支配解i的解数目； 2 si，解i所支配解的集合。 找到所有ni=0的解并将其放入F1，称F1是当前非劣解， 其等级为 1。对当前非劣解中的每一个解i，考察其支配集 中si的每一点j并将nj减少一个，如果某一个体j其nj成为零， 我们把它放入单独的类H。如此反复考察所有的点，得到当 前非劣解H。依次类推，直至所有解被分类。
遗传算法是模拟自然界生物进化过程与机制，求解 优化与搜索问题的一类自组织、自适应的人工智能技术 由于遗传算法是对整个群体进行的进化运算操作，它着 眼于个体的集合，而多目标优化问题的非劣解一般也是 一个集合，遗传算法的这个特性表明遗传算法非常适合 求解多目标优化问题。近年来，遗传算法应用于多目标 优化领域 。
多目标优化问题
几乎现实世界中的所有问题都存在多个目标，而这 些目标通常是相互冲突，相互竞争的。一个目标的改善 往往同时引起其他目标性能的降低。也就是说，不存在 使各目标函数同时达到最优的解，而只能对他们进行协 调和折衷处理。
多目标优化问题，就是寻找满足约束条件和所有目 标函数的一组决策变量和相应各目标函数值的集合 （Pareto最优解），并将其提供给决策者。由决策者根 据偏好或效用函数确定可接受的各目标函数值及相应的 决策状态。
PMMA微流控芯片注射成型多目标优化实验研究
第 54 卷第 7 期2023 年 7 月中南大学学报(自然科学版)Journal of Central South University (Science and Technology)V ol.54 No.7Jul. 2023PMMA 微流控芯片注射成型多目标优化实验研究吴旺青，雷益华，单志颖，蒋炳炎(中南大学 机电工程学院，极端服役性能精准制造全国重点实验室，湖南 长沙，410083)摘要：随着微流控技术的不断发展和聚合物材料的广泛应用，注射成型技术因其快速、低成本、大批量的生产等优势而成为聚合物微流控芯片成型制造的主要方式之一，但也存在微结构成型难、残余应力与宏观变形等问题。
为表征聚合物微流控芯片成型能力、研究工艺参数对成型质量的影响，采用正交实验研究熔体温度、注射压力、注射速度、保压压力和保压时间对聚甲基丙烯酸酯(PMMA)微流控芯片微通道复制度、残余应力、宏观翘曲变形三种指标的影响规律，并利用灰色关联分析法对三种指标进行多目标优化得到最优工艺参数。
研究结果表明：影响微通道复制度最主要的因素是注射速度和熔体温度，影响残余应力与翘曲变形最主要的因素是熔体温度；利用正交实验对三种指标优化得到的最优参数存在差异，而利用灰色关联分析方法进行多目标优化得到了微通道复制度高、残余应力小和翘曲变形小的高质量芯片。
最优注射成型工艺参数如下：熔体温度为245 ℃、注射压力为160 MPa 、注射速度为50 cm 3/s 、保压压力为70 MPa 和保压时间为5 s 。
关键词：微流控芯片；注射成型；多目标优化中图分类号：TQ320.66 文献标志码：A 文章编号：1672-7207（2023）07-2630-12Experimental study on multi-objective optimization of PMMAmicrofluidic chip injection moldingWU Wangqing, LEI Yihua, SHAN Zhiying, JIANG Bingyan(State Key Laboratory of Precision Manufacturing for Extreme Service Performance, School of Mechanical andElectrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)Abstract: With the continuous development of microfluidic technology and the wide application of polymer materials, injection molding technology has become one of the main ways of polymer microfluidic chip molding and manufacturing because of its advantages of fast speed, low cost and mass production. However, there are also some problems such as difficulty in forming microstructure, residual stress and macroscopic deformation. In order to characterize the molding ability of polymer microfluidic chip and study the influence of process parameters on收稿日期： 2022 −09 −02； 修回日期： 2022 −11 −18基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金重点国际(地区)合作研究项目(51920105008) (Project(51920105008) supported bythe National Natural Science Foundation of China for Key International(Regional) Joint Research Program)通信作者：吴旺青，博士，教授，从事高聚物微纳成型加工理论与应用研究；E-mail ：**************.cnDOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2023.07.010引用格式： 吴旺青, 雷益华, 单志颖, 等. PMMA 微流控芯片注射成型多目标优化实验研究[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2023, 54(7): 2630−2641.Citation: WU Wangqing, LEI Yihua, SHAN Zhiying, et al. Experimental study on multi-objective optimization of PMMA microfluidic chip injection molding[J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2023, 54(7): 2630−2641.第 7 期吴旺青，等：PMMA微流控芯片注射成型多目标优化实验研究molding quality, the influence of melt temperature, injection pressure, injection speed, holding pressure and holding time on microchannel complex system, residual stress and macroscopic warp deformation of polymethacrylate(PMMA) microfluidic chip was studied by orthogonal experiment. The optimal parameters were obtained by multi-objective optimization of the three indexes using grey correlation analysis method. The results show that the injection speed and melt temperature are the most important factors affecting the microchannel replication, and the melt temperature is the most important factor affecting the residual stress and warpage deformation. The optimum parameters of the three indexes are different from each other by orthogonal experiment, and the high quality chip with high complex microchannel system, low residual stress and small warpage deformation is obtained by multi-objective optimization using grey correlation analysis method. The optimal parameters are as follows. The melt temperature is 245 ℃, the injection pressure is 160 MPa, the injection speed is50 cm3/s, the pressure holding pressure is 70 MPa and the pressure holding time is 5 s.Key words: microfluidic chip; injection molding; multi-objective optimization随着科技的进步，实验室检测技术的要求也越来越高，尤其是在化学分析、医学检验、生命科学等领域[1−2]。
多目标优化方法概论
多目标优化方法概论多目标优化（multi-objective optimization）是指在优化问题中存在多个冲突的目标函数的情况下，如何找到一组最优解，使得这些解在各个目标上都具有最佳性能水平。
多目标优化方法是解决这类问题的重要工具，包括传统的数学规划方法和现代的演化算法方法。
一、传统的多目标优化方法主要包括以下几种：1.加权逼近法：加权逼近法是通过为各个目标函数赋予不同的权重，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
根据不同权重的选择，得到一系列最优解，形成一个近似的最优解集。
2.充分删减法：充分删减法是通过将多目标优化问题不断简化为仅考虑一个目标函数的优化问题来求解的。
通过逐渐删减剩余的目标函数，得到一系列最优解，再从中选择一个最优解集。
3.非支配排序法：非支配排序法是针对多目标优化问题的一个常用方法。
该方法通过将解空间中的各个解点进行非支配排序，得到一系列非支配解集。
根据不同的权重选择和参数设定，可以得到不同的非支配解集。
二、现代的多目标优化方法主要包括以下几种：1.遗传算法：遗传算法是一种通过模拟生物进化过程进行优化的方法。
它通过定义适应度函数、选择、交叉和变异等操作，对个体进行进化，逐渐寻找全局最优解。
对于多目标优化问题，遗传算法可以通过引入非支配排序和拥挤度距离等机制，实现对多个目标函数的优化。
2.粒子群优化算法：粒子群优化算法是一种通过模拟鸟群或鱼群的集体行为进行优化的方法。
每个粒子代表一个潜在的解，根据个体最优和全局最优的信息进行，逐渐收敛于最优解。
对于多目标优化问题，粒子群优化算法可以通过引入非支配排序和拥挤度距离等机制，实现对多个目标函数的优化。
3.免疫算法：免疫算法是一种模拟免疫系统的工作原理进行优化的方法。
通过定义抗体和抗原的概念，并引入免疫选择、克隆、突变和杂交等操作，对解空间进行和优化。
对于多目标优化问题，免疫算法可以通过引入非支配排序和免疫选择等机制，实现对多个目标函数的优化。
建立多目标优化模型的方法
建立多目标优化模型的方法摘要：多目标优化是一种常见的决策问题，其目标是在多个冲突的目标之间找到最优解。
本文介绍了建立多目标优化模型的方法，包括问题定义、目标设定、约束条件、决策变量选择等方面的内容。
一、问题定义多目标优化模型的第一步是明确问题定义。
在这一步骤中，需要明确问题的背景和目标，了解各个目标之间的关系，以及可能的约束条件。
二、目标设定在建立多目标优化模型时，需要确定多个目标，并且这些目标可能是相互冲突的。
因此，目标设定是一个关键的步骤。
在这一步骤中，需要明确每个目标的优先级和权重，以及目标之间的相对重要性。
三、约束条件约束条件是指在优化过程中需要满足的条件。
这些条件可以是硬约束，即必须满足的条件，也可以是软约束，即可以适当放宽的条件。
在建立多目标优化模型时，需要明确约束条件，并将其纳入到模型中。
四、决策变量选择决策变量是指在优化过程中需要选择的变量。
在建立多目标优化模型时，需要明确决策变量，并将其纳入到模型中。
决策变量的选择应该考虑到目标的优先级和约束条件，以及问题的实际情况。
五、建立数学模型建立数学模型是建立多目标优化模型的核心步骤。
在这一步骤中，需要将问题定义、目标设定、约束条件和决策变量等内容转化为数学表达式，并将其组合成一个数学模型。
数学模型可以是线性模型、非线性模型、整数规划模型等。
六、求解模型求解模型是指利用数学方法或计算机算法求解多目标优化模型。
常见的求解方法包括线性规划、非线性规划、遗传算法、粒子群算法等。
根据实际情况选择合适的求解方法，并对模型进行求解。
七、模型评估在求解模型之后，需要对模型进行评估。
评估模型的方法包括灵敏度分析、稳健性分析、效果比较等。
通过模型评估，可以了解模型的优劣，并对模型进行改进。
八、模型应用在模型评估之后，可以将模型应用于实际问题中。
通过模型应用，可以为决策提供参考，优化决策结果，并提高决策的效果。
结论：建立多目标优化模型是一种有效的决策方法，可以在多个冲突的目标之间找到最优解。
动态多目标优化研究综述
动态多目标优化研究综述动态多目标优化是指在多目标优化问题中，目标函数和约束条件在时间上是变化的。
动态多目标优化问题在实际应用中广泛存在，如供应链优化、交通路径规划、智能电网调度等。
针对动态多目标优化问题，研究者提出了许多不同的方法和算法。
动态多目标优化问题具有以下特点：1.目标函数和约束条件在时间上是变化的；2.决策变量的取值范围和变化规律可能随着时间的推移而变化。
因此，传统的多目标优化算法难以直接应用于动态多目标优化问题，需要针对其特点进行调整和改进。
目前，针对动态多目标优化问题的研究主要可以分为两大类：基于演化算法的方法和基于智能优化算法的方法。
基于演化算法的方法中，主要包括多目标遗传算法（NSGA-II，MOEA/D等）、多目标粒子群优化算法（MOPSO）、多目标蜂群优化算法（MOACO）等。
这些方法通过模拟生物进化过程中的遗传和群体行为来求解动态多目标优化问题。
在这些方法中，适应度函数、变异算子和交叉算子等关键操作被赋予了更高的灵活性，以适应目标函数和约束条件在时间上的变化。
基于智能优化算法的方法中，主要包括模拟退火算法（SA）、粒子群优化算法（PSO）和人工鱼群算法（AFSA）等。
这些方法通过模拟物理和生物系统中的行为来求解动态多目标优化问题。
在这些方法中，温度参数、加速度因子和领域等因素被赋予了更高的灵活性，以适应目标函数和约束条件的变化。
除了上述两类方法，还有一些混合方法在动态多目标优化问题的研究中得到了广泛应用。
例如，将遗传算法与粒子群优化算法相结合，形成了多目标遗传粒子群优化算法（MOGSA）；将模拟退火算法与人工鱼群算法相结合，形成了多目标模拟退火鱼群优化算法（MOSAFA）等。
这些方法试图通过结合不同的优化算法，充分发挥各自的优势，提高求解效果。
综上所述，动态多目标优化问题是一个重要且具有挑战性的研究领域。
目前已经提出了许多不同的方法和算法，并取得了一定的研究成果。
然而，由于动态多目标优化问题的复杂性，仍有许多问题需要进一步研究和解决，如动态多目标优化问题的理论分析、求解算法的改进和性能评价等。
多目标优化问题的研究综述
多目标优化问题的研究概述摘要:本文在查阅相矢资料的基础上对多目标优化冋题进行了一般性描述，详细介绍了实际生活中存在的多目标优化冋题以及解决多目标优化题的几种典型算法，讨论了各个算法存在的优缺点。
费词：多目标优化；进化算法；粒子群算法；蚁群算法；模拟退火生活中，许多冋题都是由相互冲突和影响的多个目标组成。
人们会经常遇到使多个目标在给定区域同时尽可能最佳的优化冋题，也就是多目标优化冋题。
优化问题春在的优化目标超过一个并需要同时处理，就成为多目标优化冋题(mult i-object ive opt imizat ion-problem, MOP)。
多目标优化问题在工程应用等现实生活中非常普遍并且处于非常重要的地位，这些实际问题通常非常复杂、困难,是主要研究领域之一。
自20世纪60 年代早期以来多目标优化冋题吸引了越来越多不同背景研究入员的注意力。
因此，解决多目标优化问题具有非常重要的科研价值和实际意义。
实际中优化冋题大多数是多目标优化问题，一般情况下，多目标优化冋题的各个子目标之间是矛管的，一个子目标的改善有可能会引起号一个或者另几个子目标的性能降低，也就是要同时使多个子目标一起达到最优值是不可能的，而只能在它们中间逬行协调和折中处理，使各个子目标都尽可能地达到最优化。
其与单目标优化冋题的本质区别在于，它的解并非唯一，而是存在一组由众多Pareto最优解组成的最优解集合，集合中的各个元素称为Pareto最优解或非劣最优解。
1多目标优化冋题的描述多目标优化I’可题用文字描述为D个决策变量参数、N个目标函数、m+n个约束条件组成一个优化冋题，决策变量与目标函数、约束条件是函数尖系。
在非劣解集中决策者只能根据具体冋题要求选择令其满意的一个非劣解作为最终解。
多目标优化冋题的数学形式可以如下描述：min y=f (x) =[fl (x), f2(x),…，fn(x)]n=l, 2, —, NstgO < 0 i = 1,2,…,m彳(兀)=0 J = l92t... fkx= [xitX2fXdf…fXD]d = 1,2,DA d min其中：x为D维决策向量，y为目标向量,N为优化目标总数;人(％)<0为第i个不等式约束,y%) = 0为第j个等式约束，fn(x)为第n个目标函数;X是决策向量形成的决定空间,Y是目标向量形成的目标空间。
机械设计中的多目标多约束优化方法研究
机械设计中的多目标多约束优化方法研究引言机械设计中的优化问题一直是研究者们关注的焦点之一。
在实际应用中，我们常常面临多个相互矛盾的目标和多个约束条件。
如何找到一个满足多个目标和约束条件的最优设计方案是一项具有挑战性的任务。
本文将就机械设计中的多目标多约束优化方法进行研究和探讨。
一、传统的多目标优化方法1. 单目标优化方法的问题在传统的机械设计中，通常采用单目标优化方法来求解设计问题。
但是，这种方法只能得到一个最优解，在多目标问题中显得力不从心。
由于多个目标之间可能存在着冲突和矛盾，通过单目标优化方法很难找到一个满足所有目标的解。
因此，我们需要引入多目标优化方法来解决这个问题。
2. 多目标优化方法的发展多目标优化方法主要有三大类：加权法、约束法和演化算法。
加权法是指将多个目标函数通过加权求和的方式转化为单目标问题，再进行优化求解。
约束法是指将多个目标函数通过加权和约束的方式转化为单目标问题，再进行优化求解。
演化算法是指通过模拟自然进化过程，生成一组可能的解，然后再进行选择和进化，最终得到一组近似最优解。
二、多目标多约束优化方法的研究1. 多目标进化算法多目标进化算法是一种较为常用的方法，它主要包括非支配排序遗传算法（NSGA）、非支配排序遗传算法II（NSGA-II）、多目标粒子群优化算法（MOPSO）等。
这些算法能够有效地寻找到一组近似最优解，并提供给决策者进行选择。
例如，在机械设计中，我们可以通过一组近似最优解来选取满足多个目标的设计方案。
2. 多目标约束方法多目标约束方法是指在满足多个约束条件的前提下，寻找到一个满足多个目标的最优解。
常见的方法有加权函数法、约束法以及置换法等。
这些方法可以将多个目标函数和约束条件一起考虑，通过一系列的优化算法得到一个相对最优的设计方案。
例如，在机械设计中，我们需要考虑多个目标，如材料的强度、成本的最小化以及重量的减少，同时还需要满足制造工艺的要求等。
三、案例分析以某工程机械设计为例，我们希望设计一款满足多个目标和约束条件的挖掘机。
多目标优化的求解方法
多目标优化的求解方法本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March多目标优化的求解方法多目标优化（MOP）是数学规划的一个重要分支，是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。
多目标优化问题的数学形式可以描述为如下：多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。
目前主要有以下方法：（1）评价函数法。
常用的方法有:线性加权和法、极大极小法、理想点法。
评价函数法的实质是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。
（2）交互规划法。
不直接使用评价函数的表达式，而是使决策者参与到求解过程，控制优化的进行过程，使分析和决策交替进行，这种方法称为交互规划法。
常用的方法有：逐步宽容法、权衡比替代法，逐次线性加权和法等。
（3）分层求解法。
按目标函数的重要程度进行排序，然后按这个排序依次进行单目标的优化求解，以最终得到的解作为多目标优化的最优解。
而这些主要是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题,如多目标进化算法、多目标粒子群算法和蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。
在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都是多目标优化问题, 它的应用很广泛。
1)物资调运车辆路径问题某部门要将几个仓库里的物资调拨到其他若干个销售点去, 在制定调拨计划时一般就要考虑两个目标, 即在运输过程中所要走的公里数最少和总的运输费用最低, 这是含有两个目标的优化问题。
利用首次适配递减算法和标准蚁群算法对救灾物资运输问题求解, 求得完成运输任务的最少时间, 将所得结果进行了比较。
2)设计如工厂在设计某种新产品的生产工艺过程时, 通常都要求产量高、质量好、成本低、消耗少及利润高等, 这就是一个含有五个目标的最优化问题; 国防部门在设计导弹时, 要考虑导弹的射程要远、精度要最高、重量要最轻以及消耗燃料要最省等,这就是一个含有四个目标的最优化问题。
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多目标形貌优化方法研究琎李颖 昝建明 周建文（长安汽车工程研究院CAE 工程所，重庆 401120）摘 要: 工程界目前对拓扑优化和形貌优化问题的研究主要集中在单目标函数方面，但是在实际工程应用中，须同时考虑多个目标函数和多个约束的情况。
在多目标优化中，由于各目标之间很难同时达到最优化，各目标的最优解时常出现对立局面，所以要求一个全局最优解是很困难的。
本文利用折衷规划法结合平均频率法得到多目标优化的综合目标函数，可以有效地求解出多目标函数的最优解，从而为多目标优化提供解决方案。
本文以汽车地板加强件为例，分别进行了柔度最小化、固有频率最大化以及多目标的形貌优化，其结果显示多目标形貌优化方案较大地提高了部件本身的结构力学和NVH 性能。
关键词: 多目标优化 形貌优化 柔度 固有频率1 概述优化设计是将设计问题的物理模型转化为数学模型，运用最优化的数学理论，选用适当的优化方法，并借助计算机求解该数学模型，从而得出基于该模型的最佳设计方案的一种设计方法。
现在，CAE 技术中一个非常重要的组成部分—结构优化技术已经发展成熟并成功地被用于产品设计，它正在改变传统的产品设计流程。
在概念设计阶段，优化技术可以对产品所需性能全部予以考虑，在给定的设计空间下找到最佳的产品设计思路；在虚拟试验阶段发现问题后，优化技术可以直接给出产品改进方案，而不仅仅是对产品进行校核，从而真正帮助设计工程师设计出创新和可靠的产品。
这种全新的产品设计过程，就是优化驱动的产品设计过程ODDP （Optimization Driven Design Process ），如图1所示：图1 优化驱动的产品设计流程形貌优化是一种形状最佳化的方法，即在板型结构中寻找最优的加强筋分布的概念方法，用于设计薄壁结构的强化压痕，在减轻结构重量的同时满足强度、频率等要求。
与拓扑优化不同的是，形貌优化不删除材料，而是在可设计区域中根据节点的扰动生成加强筋。
目前工程界对优化问题的研究主要集中在单目标函数方面，但是在实际工程应用中，须同时考虑多个目标函数和多个约束的情况。
在多目标优化中，由于各目标之间很难同时达到最优化，各目标的最优解时常出现对立局面，所以要求一个全局最优解是很困难的。
1.1静态多工况刚度优化目标函数一般来说，不同的载荷工况将得到不同的结构拓扑。
传统的多目标优化问题采用线性加权和法将多目标问题转化为单目标问题求解，但对于非凸优化问题来说，该方法不能确保得到所有的pareto 最优解。
现今研究多目标拓扑优化问题一般采用折衷规划法(compromise programming approach)。
对于刚度提高问题，通常把刚度最大问题等效为柔度最小问题来研究，柔度则用应变能来定义。
时间、费用于是由折衷规划法结合功效函数法可得到多刚度优化的目标函数：式中，m 为载荷工况总数；k W 为第k 个工况的权值；q 为惩罚因子；k C (ρ)为第k 个工况的柔度目标函数；max k C 、mink C 分别为第k 个工况柔度目标函数的最大值和最小值。
1.2动态固有频率优化目标函数动态振动频率拓扑优化将低阶的几阶重要频率的最大化作为目标函数，并将结构体积作为约束函数，但是在优化过程中经常会遇到这样的情况：当其中一个阶次的频率达到最大时，其他阶次的频率可能降到一个较低的值，而且几阶频率之间可能会相互调换次序。
这样就会出现目标函数振荡问题。
为了克服几阶频率目标函数出现振荡的现象，本文用平均频率公式(mean frequency formulation)来定义固有频率优化的目标函数：式中，Λ(ρ)为平均频率；i λ为第i 阶特征频率；0λ、s 为给定的参数，用来调整目标函数；i W 为第i 阶频率的权重系数；f 为需要优化的低阶频率的阶次。
平均频率公式定义了一个光滑的目标函数。
在优化过程中,当平均频率公式中的几个低阶模态的频率发生交替时，目标函数仍然保持光滑，这是因为这几个低阶模态的贡献在公式中已经被考虑了。
1.3同时考虑刚度和频率要求的多目标优化目标函数结构多目标优化是同时考虑静态多刚度目标和动态振动频率目标的优化。
由折衷规划法结合平均频率法可得到多目标优化的综合目标函数：式中，F(ρ)为综合目标函数；W 为柔度目标函数的权重；min Λ、max Λ分别为频率目标函数的最小值和最大值，用来消除量纲。
本文以汽车地板加强件为例，分别进行了柔度最小化、固有频率最大化以及多目标的形貌优化。
柔度和频率之间很难同时达到最优化，因为柔度最小化会导致结构频率的降低，而固有频率最大化会导致结构柔度的升高。
通过在OptiStruct 中定义综合目标函数F(ρ)，可以有效地求解出多目标函数的最优解，从而为多目标优化提供解决方案，提高了部件本身的结构力学和NVH 性能。
2 静力工况下的形貌优化分析利用HyperMesh 对CAD 模型进行有限元模型的建立。
地板加强件采用SHELL 单元进行网格划分。
图2地板加强件有限元模型2.1边界条件约束地板加强件前后端四个螺栓安装孔的123456自由度，在中部施加4个500N的载荷。
2.2优化条件将有限元网格划分为设计区域（蓝色）和非设计区域（黄色），选取形状作为设计变量，载荷施加点在上述工况下的合位移最小作为目标函数进行形貌优化分析，边界条件如图3所示。
图3静力工况边界条件2.3分析及优化结果加强件在上述工况下的分析及优化结果如表1所示：表1 静力工况的分析结果地板加强件最小柔度(mm/N)最大位移(mm)最大应力(MPa)原始模型34468 112 1260优化模型7664 24 621图4静力工况优化加强筋分布云图图5静力工况原始模型位移云图图6静力工况原始模型应力云图图5转向节应力云图 图6转向节位移云图图7静力工况优化模型位移云图图8静力工况优化模型应力云图3 动态工况下的形貌优化分析3.1边界条件计算1到100Hz内地板加强件的自由模态。
3.2优化条件设计区域和非设计区域的划分同上，选取形状作为设计变量，一阶固有频率的最大化作为目标函数进行形貌优化分析。
（在Control Card中设置MODETRAK卡片，以避免出现模态振荡的现象）3.3分析及优化结果加强件在上述工况下的分析及优化结果如表2所示：表2 动态工况的分析结果加强件一阶固有频率（Hz）原始模型26.1优化模型46.3图9动态工况优化加强筋分布云图图10原始模型位移云图(26.1Hz) 图11优化模型应力云图（46.3 Hz）4 多目标优化分析在OptiStruct 中，多目标优化有多种处理方法。
比较简单的方法是，将原方案分析结果作为参考，将多个优化目标中的其中一个作为目标函数，其余的目标作为约束响应，比如：（1）柔度不大于原设计的柔度； （2）重量不大于原设计的原重量； （3）变形不大于原原设计的变形； （4)一阶频率不低于原设计的频率。
对于某些希望改进的参数，还可以把约束设得更严格，比如重量不大于原来的80%等等，但这需要经验和反复的尝试。
当然也可以采用用线性加权法处理多目标拓扑优化问题，但该方法对于非凸优化问题来说,存在不能确保得到所有的Pareto 最优解的缺点。
如果不同的变量间数值相差过大，将导致优化结果不准确。
较为理想的方法是利用OptiStruct 中提供的自定义函数来定义上文所提到的折衷规划公式和平均频率公式，然后把定义好的函数设为响应，最后把该响应作为目标函数进行优化。
4.1 定义优化方程根据前面所提到的折衷规划法结合平均频率法得到的多目标优化综合函数：其中一个工况情况下，k=1，k W =1； 1()C ρ：柔度，是设置的变量；max 1C ：原始模型的柔度，因为原始模型的柔度最大，为34468mm/N ；min 1C ：优化模型的柔度，因为经过优化得到了最小的柔度值，为7664 mm/N ； ()ρΛ：一阶固有频率，是设置的变量；max Λ：优化模型的一阶固有频率，因为经过优化得到了最大的频率值，为46.3Hz ； min Λ：原始模型的一阶固有频率，因为原始模型的频率最小，为26.1Hz ； W ：加权值，0至1之间，设W=0.5。
另外，在OptiStruct Help 文档里有定义rss ：所以在dequations 里面定义函数：F(x,y)=rss(0.5*(x-7664)/(34468-7664)+0.5*(46.3-y)/(46.3-26.1))接下来定义一个类型为function 的response ，将方程中的变量（柔度和频率）和定义的多目标优化函数联系起来：图12edit类型为function的response4.2 分析优化结果最后将上述response的最小化定义为目标函数，优化迭代结果如图13、图14所示，加强筋布置云图如图15所示。
图13原方案分析结果图14多目标优化迭代结果图4静态工况优化加强筋分布云图图9动态工况优化加强筋分布云图图15 多目标优化加强筋分布云图4.3 方案设计根据图15，利用OSSmooth 工具将优化云图转换为IGES 曲面，从而形成新的基于多目标优化结果的设计方案，如图16所示，各方案分析结果如表3所示。
图16 多目标优化方案设计图表3 地板加强件各优化方案分析结果地板加强件 最小柔度（mm/N ）最大位移(mm)最大应力(MPa)一阶固有频率（Hz ）原始方案 34468 112 1260 26.1 静力工况优化方案 7664 24 621 / 动态工况优化方案 / / / 46.3多目标优化方案12318 36 716 39.15 结论将多目标优化设计方案与原方案相比较，柔度下降了64%，一阶固有频率提高了33%。
这说明结果在两组对立的变量之间很好地找到了一个平衡点，较大地提高了部件本身的结构力学和NVH性能。
从静态和动态单目标优化的云图来看，两种优化方式显示的加强筋布置基本上是对立的，这也从侧面验证了OptiStruct的计算结果是符合数学理论的。
从多目标优化迭代结果可以看出，前五阶频率都有不同程度提高,而且没有发生频率交替导致的振荡现象。
参考文献[1] 张胜兰等编《基于HyperWorks的结构优化设计技术》机械工业出版社 2007[2] 余志生主编《汽车理论》机械工业出版社 2007[3] 石琴，姚成，马恒永《集装箱半挂车车架结构拓扑优化设计》农业机械学报 2005[4] 高云凯，孟德建，姜欣《电动改装轿车车身结构拓扑优化分析》中国机械工程 2006[5] 杨永彬《采用拓扑优化设计高比刚度高速机床工作台》 2007Altair大中国区用户技术大会论文集 2007Research on Multi-objective Topography OptimizationLi Yingjin，Zan Jianming，Zhou Jianwen（Changan Automobile Engineering Institute CAE Engineering Bureau,Chongqing 401120）Abstract Single-objective optimization is the focus of topology optimization and topography optimization in engineering at present,but Multi-objective Optimization and multi-constraint must considered in practical application.It is hard to optimize every objective,because they are inconsistent usually.We can acquire the optimization solution by used OptiStruct（certainly must used the weighted method,compromise programming approach and mean frequency formulation）.With an example of a vehicle floor part, this paper is aimed to minimize compliance and maximize the natural frequency. The results showed that the static and dynamic character were ameliorated.Keywords Multi-objective Optimization，Topography Optimization，Compliance，Natural Frequency，OptiStruct多目标形貌优化方法研究作者：李颖琎， 昝建明， 周建文作者单位：长安汽车工程研究院CAE 工程所,重庆401120本文链接：/Conference_7205722.aspx。