江苏省昆山市2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)

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江苏省2020学年高二数学上学期期中试题

高二数学上学期期中试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定为（）A ．2R,0x x ∀∉≥ B ．2R,0x x ∀∈< C ．2R,0x x ∃∈≥ D ．2R,0x x ∃∈< 2．已知函数()()40f x x x x=+<，则下列结论正确的是（） A ．()f x 有最小值4 B ．()f x 有最大值4 C ．()f x 有最小值-4 D ．()f x 有最大值-43．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足11133n n a a +=+，则此数列的第三项是（）A ．1B ．13 C ． 23 D ．594．已知,a b 为实数，M <，:N a b <，则M 是N 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．关于x 的不等式1026xx -≥+的解集是（）A ．{}|1x x ≤B ．{}|3x x >-C ．{}|31x x -<≤D ．{}|31x x x <-≥或6．已知,a b 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论一定成立的是（）A ．22a b ≥B ．22ab ba ≥C ．2211ab ba ≥ D ．b a a b≥7．已知数列{}n a ，其任意连续的四项之和为20，且1238,7,2a a a ===，则2020a ＝（）A ．2B ．3C ．7D ．88．“[]21,2,10x ax ∃∈+≤”为真命题的充分必要条件是（）A ．1a ≤-B ． 14a ≤-C ．2a ≤-D ．0a ≤9．已知实数12,,,x x m n 满足12,x x m n <<，且()()()()11220,0m x n x m x n x --<--<，则下列结论正确的是（）A ．12m x x n <<<B ．12m x n x <<<C ．12x m x n <<< D ．12x m n x <<<10．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别记为n A 、n B ，满足4123n n A n B n +=+，则57a b 的值为（） A ．2117 B ．3729C ．5329 D ．413111．设正实数,x y 满足21x y +=，则2xx y+的最小值为（） A ．4 B ．6 C ．7D ．812．已知数列{}n a 的通项2020220212nn na -=-，且存在正整数,T S 使得T n S a a a ≤≤对任意的*N n ∈恒成立，则T S +的值为（）A ．15B ．17 C．19 D ．21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若4681016a a a a =，则21115a a 的值为．14．函数()()22111f x x x x =+>-的最小值为． 15．已知数列{}n a 满足112a =，()()111n n n n n n a a a a +++-=，则该数列{}n a 的通项公式n a = ．16．已知关于x 的不等式()22434x ax -≤的解集中的整数解恰好有三个，则实数a 的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知数列{}n a 是一个公差为)0(≠d d 的等差数列，前n 项和为n S ，2a 、4a 、5a 成等比数列，且515S =-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和．18．(本小题满分10分)已知2:2350p x x --≤，()()2:32110q x mx m m -+-+≤．(其中实数2m >)(1)分别求出,p q 中关于x 的不等式的解集M 和N ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数2()|3|9f x x a x =-+-+． (1)2a =时，解关于x 的不等式()0f x ≥；(2)若不等式()0f x ≤对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分12分)已知数列{}n a 中，14a =，()()()2112322n n n n a n a n n ++⋅-+⋅=++⋅．(1)设1nn a b n =+，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．21．(本小题满分12分)已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为,AD y CD x ==（单位：cm ），且要求y x >2cm ． (1)求y 关于x 的函数表达式，并求定义域；(2)为了节省材料，请问x 取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值．22．(本小题满分14分)已知数列{}n a ，11a =，前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有()21n n S n a =+恒成立．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)已知关于n的不等式3434222...n n a a a a a a ---⋅<对一切*3,N n n ≥∈恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知211n n c a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 与23的大小并证明．参考答案一、选择题：1.D2.D3.D4.A5.C6.C7.B 8.B 9.A 10.B 11.B 12.D二、填空题：13.2 14.3 15.1n n + 16.9169,464⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：17.(1)由2a 、4a 、5a 成等比数列得：()()()211134a d a d a d +=++，即215d a d =-，又0d ≠，∴15a =-；…………………………………………………2分而51545152S a d ⨯=+=-，∴1d =；…………………………………4分 ()116n a a n d n ∴=+-=-，{}n a ∴的通项公式为6n a n =-.…………………………………………5分(2)()2111122n n n n n S na d ⋅--=+=,112n S n n -∴=,………………7分令n n S c n =，则112n n c c +-=为常数， {}n c ∴是首项为5-，公差为12的等差数列，…………………………8分∴n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-.…………………10分18.(1)()()2235750x x x x --=-+≤，[]5,7M ∴=-；…………2分()()()()232112110x mx m m x m x m -+-+=---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，又2m >，211m m ∴->+， []1,21N m m ∴=+-.……………………………………………………5分(2)p 是q 的必要不充分条件，N M ∴Ø，即[][]1,215,7m m +--Ø，51721m m -≤+⎧∴⎨≥-⎩，且等号不同时取，…………………………………8分解得64m -≤≤，又2m >，24m ∴<≤.………………………10分19.(1)2a =时，22390x x -+-+≥，3x ≥时，()()310x x -+≤，13x ∴-≤≤，3x ∴=； 3x <时，()()350x x -+≤，53x ∴-≤≤，53x ∴-≤<；综上所述，不等式的解集为[]5,3-. …………………………………6分（如果解集中不包含3，扣1分）(2)()0f x ≤恒成立时，2930x a x ---≥恒成立，①3x =时，不等式恒成立，R a ∴∈；……………………………7分 ②3x >时，()()330x x a -+-≥恒成立，30x a ∴+-≥恒成立，6a ∴≤； …………………………………9分③3x <时，()()330x x a -++≥恒成立，30x a ∴++≤恒成立，6a ∴≤-；…………………………………11分综上所述，a 的取值范围是(],6-∞-. ………………………………12分20.(1)()()()2112322n n n n a n a n n ++⋅-+⋅=++⋅，等式两边同时除以()()12n n ++得：1221n n n a an n +-=++，即12n n n b b +-=；………………………………2分 2n ∴≥时，有1212b b -=，2322b b -=...112n n n b b ---=.累加得111222212n n n b b ---==--，又1122ab ==， 2n ∴≥时，2n n b =.…………………………………………………5分又1n =时，12b =也满足上式，*N n ∴∈时，2nn b =.…………6分(2)由(1)可得()12nn a n =+⋅，()123223242...12n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+++⋅， ()23412223242...12n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+++⋅，……………8分()12312222...212n n n S n +∴-=⋅++++-+⋅，…………………10分()11122212212nn n n n ++-=+-+⋅=-⋅-，12n n S n +∴=⋅.…………………………………………………………12分21.(1)23S xy =⋅+=，2y ∴=，…………3分由12y x >得0x <<∴函数的定义域为{|0x x <<.……………………………5分(2)设圆形铁片半径为R ，则面积2S R π=，过圆心O 作CD 的垂线，垂足为E ，交AB 于点F ，连结OD ，则,2x DE OF ==， 22222224x x R OD y ⎛⎫⎛⎛⎫∴==+=+ ⎪ ⎝⎭⎝，221313483x x =++…………………………………………………8分 20x >，由基本不等式得:22221313483R OD x x ∴==++≥=，当且仅当221313483x x=，即(2x =∈时，取“=”.∴圆形铁片的最小面积为136(2cm ).………………………11分答：当2x =时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为136+(2cm ). …………………………………………………………………………12分22.(1)2(1)n n S n a =+ ，2n ∴≥时，()1121n n S n a --=-， 12(1)n n n a n a na -∴=+-，即 1(1)(2)n n n a na n --=≥，………2分又110a =≠，0n a ∴≠，1(2)(1)n n a n n a n -∴=≥-， 3212123,,...,121n n a a a n a a a n -∴===-，累乘得2n ≥时，123 (121)n a n n a n =⋅=-，…………………………4分 1n =时，11a =也满足上式，n a n ∴=. …………………………5分（或构造常数列1(2)(1)n n a a n n n -=≥-） (2)设()3434222...n na a a f n a a a ---=⋅ 则()()31434122221...n n n n a a a a f n f n a a a a ++⎡----+-=⋅⎢⎣ ()()343411222...1n n n n a a a a a a n ⎡-+---=⋅⎢+⎢⎥⎣⎦3434222...01n n a a a a a a n ---=⋅<+⎢⎥⎣⎦， ()f n ∴在*3,N n n ≥∈上单调递减， …………………………8分 ()3a f ∴>=a ∴>.…………………………………10分 (3)()22211111111121222n n c a n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===<=- ⎪ ⎪ ⎪++++⋅++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 123...n n T c c c c ∴=++++2311111111111......4422435572n c c c n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111112111242231232123n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 23n T ∴<.…………………………………………………………14分。

江苏省苏州市常熟市2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)

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F1PF2 90 ，则椭圆的离心率 e 的取值范围为
A. (0, 2 ] 2
B. [ 2 ,1) 2
C. (0, 3 ] 2
D. [ 3 ,1) 2
【答案】B
【解析】
由椭圆上存在点 P ，使 F1PF2 90 可得以原点为圆心，以 c 为半径的圆与椭圆有公共点， ∴c b，
所以
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a2 a1 41 ， a3 a2 4 2
an an1 4 (n 1) 累加得： an a1 4[1 2 3 (n 1)] 2n(n 1) ，
所以 an 2n2 2n 21 ，
故 an 2n 21 2 ，
m4 所以 c 1，若焦点在 x 轴上，则12 m 4 ，得 m 5 ，
若焦点在 y 轴上，则12 4 m ，得 m 3 ，
故选：C
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，属于容易题.
6.设等比数列an 的前
n
项和为 Sn ，若 a6
2a3
，则
S9 S6
的值为（
）
A. 2
7
B.
C. 8
3a
2 2
，当 t
4a2 3
时，取得最小值，由此能求出结果.
【
详
解
】
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an2
2Sn21 (n 1)2
[a2
(n
2)d ]2
2[a1(n
1) n(n 1) d ]2 2

江苏省苏州市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含解析

2023~2024学年第一学期高二期中调研试卷数学（答案在最后）注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页、包含单项选择题（第1题~第8题），多项选择题（第9题~第12题）.填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.直线320x y +-=的方向向量为（）A.()1,3- B.()1,3 C.()3,1- D.()3,1【答案】A 【解析】【分析】根据直线的斜率得到直线的一个方向向量为()1,k ，再求其共线向量即可.【详解】由题意得直线320x y +-=的斜率为-3，所以直线的一个方向向量为()1,3-，又()()1,31,3-=--，所以()1,3-也是直线320x y +-=的一个方向向量.故选：A.2.等差数列{}n a 中，若39218a a +=，则263a a +的值为（）A.36B.24C.18D.9【答案】B 【解析】【分析】由等差数列通项公式求基本量得5146d a a +==，再由2639532a a a a a +=++即可求值.【详解】令{}n a 的公差为d ，则3911122(2)831218a a a d a d a d +=+++=+=，即5146d a a +==，则2624683953218624a a a a a a a a a +=+++=++=+=.故选：B3.与直线3x﹣4y+5=0关于y 轴对称的直线方程是（）A.3x+4y+5=0 B.3x+4y﹣5=0C.3x﹣4y+5=0D.3x﹣4y﹣5=0【答案】B 【解析】【分析】分别求出直线3450x y -+=与坐标轴的交点，分别求得关于y 轴的对称点，即可求解直线的方程．【详解】令0x =，则54y =，可得直线3450x y -+=与y 轴的交点为5(0,)4，令0y =，则53x =-，可得直线3450x y -+=与x 轴的交点为5(,0)3-，此时关于y 轴的对称点为5(,0)3，所以与直线3450x y -+=关于y 轴对称的直线经过两点55(0,),(,0)43，其直线的方程为15534x y +=，化为3450x y +-=，故选B ．【点睛】本题主要考查了直线方程点的求解，以及点关于线的对称问题，其中解答中熟记点关于直线的对称点的求解，以及合理使用直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.经过原点和点()3,1-且圆心在直线350x y +-=上的圆的方程为（）A.()()22510125x y -++= B.()()22125x y ++-=C.()()22125x y -+-= D.2252539x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令圆心为(,53)x x -，由圆所经过的点及两点距离公式列方程求出圆心坐标，即可写出圆的方程.【详解】由题设，令圆心为(,53)x x -，又圆经过原点和点()3,1-，所以()()()2222253363r x x x x =+-=-+-，整理可得53x =，故圆心为5(,0)3，所以半径平方2259r =，则圆的方程为2252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.故选：D5.设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.【详解】令{}n a 公差为d 且0d ≠的无穷等差数列，且11(1)()n n d a a a dn d =+-=+-，若{}n a 为递减数列，则0d <，结合一次函数性质，不论1a 为何值，存在正整数0N ，当0n N >时0n a <，充分性成立；若存在正整数0N ，当0n N >时0n a <，由于0d ≠，即{}n a 不为常数列，故1()n a dn a d =+-单调递减，即0d <，所以{}n a 为递减数列，必要性成立；所以“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a <”的充分必要条件.故选：C6.已知点()4,3P ，点Q 在224x y +=的圆周上运动，点M 满足PM MQ =，则点M 的运动轨迹围成图形的面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】A 【解析】【分析】设(,)M x y ，00(,)Q x y ，由动点转移法求得M 点轨迹方程，由方程确定轨迹后可得面积．【详解】设(,)M x y ，00(,)Q x y ，由PM MQ =得M 是线段PQ 中点，∴002423x x y y =-⎧⎨=-⎩，又Q 在圆224x y +=上，22(24)(23)4x y -+-=，即223(2)()12x y -+-=，∴M 点轨迹是半径为1的圆，面积为πS =，故选：A ．7.等比数列{}n a 中，123453a a a a a ++++=，222221234515a a a a a ++++=，则12345a a a a a -+-+=（）A.5-B.1-C.5D.1【答案】C 【解析】【分析】由等比数列前n 项和公式写出已知与待求式后，进行比较，已知两式相除即得.【详解】设公比为q ，显然1q ≠±，则由题意得5121012(1)31(1)151a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除得51(1)51a q q +=+，所以551112345[1()](1)51()1a q a q a a a a a q q--+-+-+===--+，故选：C.8.过点()2,0P 作圆2241x y y +-=的两条切线，设切点分别为,A B ，则PAB 的面积为（）A.8B.2C.8D.【答案】A 【解析】【分析】写出圆的标准方程得圆心为(0,2)C，半径r =，进而有||CP =，由圆的切线性质得||||BP AP ==，sin BPC BPC ∠=∠=，2BPA BPC ∠=∠，最后应用倍角正弦公式、三角形面积公式求PAB 面积.【详解】由题设，圆的标准方程为22(2)5x y +-=，圆心为(0,2)C，半径r =，所以||CP =，如下图示，切点分别为,A B，则||||BP AP ===，所以||||sin ||||BC BP BPC BPC CP CP ∠==∠==2BPA BPC ∠=∠，所以15sin sin 22sin cos 4BPA BPC BPC BPC ∠=∠=∠∠=，所以11||||sin 2248PAB S BP AP BPA =∠==.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9.已知直线:0l x my m ++=，若直线l 与连接()()3,2,2,1A B -两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角可以是（）A.2π3 B.π2C.π4D.π6【答案】ABC 【解析】【分析】求出直线l 过的定点，从而求得,AC BC k k ，进而利用数形结合可得直线l 倾斜角的范围，由此得解.【详解】因为直线:0l x my m ++=可化为()10x y m ++=，所以直线l 过定点()0,1C -，又()()3,2,2,1A B -，所以()21130AC k --==---，()11120BC k --==-，故直线AC 的倾斜角为3π4，直线BC 的倾斜角为π4，结合图象，可知直线l 的倾斜角范围为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故ABC 正确，D 错误.故选：ABC.10.设,n n S T 分别是等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前()*Nn n ∈项和，下列说法正确的是（）A.若15160a a +>，15170a a +<，则使0n S >的最大正整数n 的值为15B.若5nn T c =+（c 为常数），则必有1c =-C.51051510,,S S S S S --必为等差数列D.51051510,,T T T T T --必为等比数列【答案】BCD 【解析】【分析】A 由已知可得129152d a d -<<-，且0d <，再应用等差数列前n 项和公式及0n S >得1201a n d<<-，即可判断；B 由等比数列前n 项和公式有11511n n n b b q T c q q =-=+--，即可判断；C 、D 根据等差、等比数列片段和的性质直接判断.【详解】令{}n a 的公差为d ，则11(1)()n n d a a a dn d =+-=+-，所以151611517122902300a a a d a a a d +=+>⎧⎨+=+<⎩，故129152d a d -<<-，且0d <，使211(1)()0222n n n d dS na d n a n -=+=+->，则1201a n d <<-，而122930a d <-<，即121(30,31)ad-∈，故030n <≤，所以使0n S >的最大正整数n 的值为30，A 错；令{}n b 的公比为q 且0q ≠，则()11115111nnn n b q b b q T c qq q-==-=+---（公比不能为1），所以1511q b q =⎧⎪⎨=-⎪-⎩，即1c =-，B 对；根据等差、等比数列片段和的性质知：51051510,,S S S S S --必为等差数列，51051510,,T T T T T --必为等比数列，C 、D 对.故选：BCD11.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前()*Nn n ∈项和为nS，前()*Nn n ∈项积为nT ，若1132a=，56T T =，则（）A.2q = B.当且仅当6n =时，n T 取得最小值C.()*11N ,11n n T T n n -=∈< D.n n S T >的正整数n 的最大值为11【答案】AC 【解析】【分析】根据56T T =确定6a ，561a q a =求出q 的值确定A ，根据数列项的变化，确定B ，利用等比数列的基本量运算判断C ，根据n n S T >转化二次不等式，从而确定正整数n 的最大值判断D.【详解】对于A ，因为56T T =，所以6651T a T ==，因为56132a q a ==，解得2q =，故A 正确；对于B ，注意到61a =，故15,Z n n ≤≤∈时，01n a <<，7,Z n n ≥∈时，1n a >，所以当5n =或6n =时，n T 取得最小值，故B 错误；对于C ，()()()21111215*221231222N ,11n n n nnn n n n T a a a a a q n n --+++--===⋅=∈< ，()()()()2111011111112105*221112111222N ,11n n n n nn n n n T a a a a q n n -----+++----===⋅=∈< ，所以()*11N ,11n n T T n n -=∈<，故C 正确；对于D ，()1512112n n n a q S q--==-，21122n n n T -=，因为n n S T >，所以211252212n nn -->，即211102212n n n -+->，所以211102212n n n -+->，即211102n n n -+>，所以131322n <<，正整数n 的最大值为12，故D 错误，故选：AC.12.已知圆22:4C x y +=，圆22:860M x y x y m +--+=（）A.若8m =，则圆C 与圆M 相交且交线长为165B.若9m =，则圆C 与圆M 有两条公切线且它们的交点为()3,4--C.若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则16m >D.若圆M 恰好平分圆C 的周长，则4m =-【答案】AD 【解析】【分析】A 、B 将圆M 化为标准形式，确定圆心和半径，判断圆心距与两圆半径的关系，再求相交弦长判断；C 由题意知两圆相离，根据圆心距大于两圆半径之和及圆的方程有意义求参数范围；D 由题意相交弦所在直线必过(0,0)C ，并代入相交弦方程求参数即可.【详解】A ：8m =时圆22:(4)(3)17M x y -+-=，则(4,3)M，半径r =，而圆22:4C x y +=中(0,0)C ，半径2r '=，所以||5CM =，2||2CM -<<+，即两圆相交，此时相交弦方程为4360x y +-=，所以(0,0)C 到4360x y +-=的距离为65d =，故相交弦长为1625=，对；B ：9m =时圆22:(4)(3)16M x y -+-=，则(4,3)M ，半径4r =，同A 分析知：42||42CM -<<+，故两圆相交，错；C ：若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则两圆相离，则||2CM r r r '>+=+，而圆22:(4)(3)25M x y m -+-=-，即r =所以250162525m m ->⎧⎪⇒<<⎨<⎪⎩，错；D ：若圆M 恰好平分圆C 的周长，则相交弦所在直线必过(0,0)C ，两圆方程相减得相交弦方程为8640x y m +--=，将点代入可得4m =-，对.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上．13.若{}n a 是公差不为0的等差数列，248,,a a a 成等比数列，11a =，n S 为{}n a 的前()*Nn n ∈项和，则1210111S S S +++ 的值为___________．【答案】2011【解析】【分析】由等差数列中248,,a a a 成等比数列，解出公差为d ，得到n a ，求出n S ，裂项相消求1210111S S S +++ 的值.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，248,,a a a 成等比数列，由2428a a a =，则()()()211137a d a d a d +=++，即()()()213117d d d +=++，由0d ≠，得1d =，所以()11n a a n d n =+-=，则有()()1122n n n a a n n S ++==，得()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以121011111101111112021211221311S S S ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- .故答案为：201114.平面直角坐标系xOy 中，过直线1:7310l x y -+=与2:430l x y +-=的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为_______________．（写成一般式）【答案】9550x y +-=【解析】【分析】设交点系方程，结合直线过(0,1)求方程即可.【详解】由题设，令直线l 的方程为731(43)0x y x y λ-+++-=，且直线过(0,1)，所以031(043)02λλ-+++-=⇒=，故直线l 的方程为9550x y +-=.故答案为：9550x y +-=15.如图，第一个正六边形111111A B C D E F 的面积是1，取正六边形111111A B C D E F 各边的中点222222,,,,,A B C D E F ，作第二个正六边形222222A B C D E F ，然后取正六边形222222A B C D E F 各边的中点333333,,,,,A B C D E F ，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n 个正六边形的面积之和为_______________．【答案】3414n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据题设分析出前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，应用等比数列前n 项和公式求面积和.【详解】由题设知：后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为2，故它们面积比为34，所以前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，所以前n 个正六边形的面积之和31()344[1()]3414nn S -==--.故答案为：34[1()]4n-16.已知实数,,a b c 成等差数列，在平面直角坐标系xOy 中，点()4,1A ，O 是坐标原点，直线:230l ax by c ++=．若直线OM 垂直于直线l ，垂足为M ，则线段AM 的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质及直线方程有:()(3)0l a x y c y +++=，求出直线所过的定点，结合已知M 在以||OB 为直径的圆上，且圆心33(,22C -，半径为2，问题化为求()4,1A 到该圆上点距离的最小值.【详解】由题设2b a c =+，则:()30l ax a c y c +++=，即:()(3)0l a x y c y +++=，令03303x y x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩，即直线l 恒过定点(3,3)B -，又OM l ⊥，所以M 在以||OB 为直径的圆上，且圆心33(,)22C -，半径为2，要求AM 的最小值，即求()4,1A 到该圆上点距离的最小值，而52||2CA =，所以min 22AM =-=四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线()1:2120l x a y ---=，()()()2:22130R l a x a y a ++++=∈．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）若1//l 2l ，求12,l l 之间的距离．【答案】（1）1a =-或52；（2【解析】【分析】（1）由两线垂直的判定列方程求参数即可；（2）由两线平行的判定列方程求参数，注意验证是否存在重合情况，再应用平行线距离公式求距离.【小问1详解】由12l l ⊥，则2(2)(1)(21)0a a a +--+=，即22350a a --=，所以(25)(1)0a a -+=，可得1a =-或52.【小问2详解】由1//l 2l ，则22121a a a++=-，可得250a a +=，故0a =或5-，当0a =，则1:220l x y +-=，2:230l x y ++=，此时满足平行，且12,l l=；当5a =-，则1:310l x y +-=，2:310l x y +-=，此时两线重合，舍；综上，1//l 2l 时12,l l18.已知等差数列{}n a ，前()*Nn n ∈项和为n S ，又294,90a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设9n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n a n =（2）()()228,14,N 832,5,N n n n n n T n n n n **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得.（2）由992n n b a n =-=-，令920n c n =->求出n 的取值范围，再分段求出数列{}n b 的前n 项和nT 【小问1详解】设等差数列的公差为d ，首项为1a ，因为990S =，所以()199599902a a S a +===，所以510a =，由5231046a a d -==-=，解得2d =，又24a =，所以()()224222n a a n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】992n n b a n=-=-设92n c n =-，{}n c 的前n 项和为n S ，得()279282n n S n n n +-=⨯=-，920n c n =->，得92n <当14n ≤≤时，0n c >，即n n b c =，所以214,8n n n T S n n≤≤==-当5n ≥时，得0n c <，所以n n b c =-，则()()12456n n T c c c c c c =+++-+++ ()()224442328832n n S S S S S n n n n =--=-=--=-+综上所述：()()228,14,N 832,5,N n n n n n T n n n n **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩19.已知数列{}n a 的首项123a =，且满足121n n na a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）设()11n n n b a --=，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】（1）证明见解析（2）4134n n-⨯【解析】【分析】（1）121n n n a a a +=+，取倒数得1112n n n a a a ++=，化简整理即可判断11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）法一：将2n S 转化为()1111n n a +⎧⎫⎛⎫⎪⎪--⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和，结合（1）中结论即可得解；法二：结合（1）中结论得()1112n n n b -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，应用分组求和及等比数列的前n 项和公式即可得解.【小问1详解】因为1122,13n n n a a a a +==+，所以0n a ≠，所以11111222n n n n a a a a ++==+，所以1111122n n a a +-=-，即11111(1)2n na a +-=-因为11211,1032a a =-=≠，1111121n na a +-=-，所以11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列；【小问2详解】法一：21234212111111n n nS a a a a a a -=-+-++- 1234212111111111111n n a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+---++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭易知()1111n n a +⎧⎫⎛⎫⎪⎪--⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以12为首项，12-为公比的等比数列，所以2221111122412133412n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪- ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦⎝⎭===⨯⎛⎫-- ⎪⎝⎭；法二：由（1）1112n n a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1112n n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()111112n nn n n b a ---⎛⎫==--- ⎪⎝⎭所以22211111224120133412n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦⎝⎭=-==⨯⎛⎫-- ⎪⎝⎭．20.如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过,,,A B C D 四点的圆为圆M ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，求动点P 横坐标的取值范围．【答案】（1）2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（2）652,2⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）根据圆所过点的坐标求解圆的方程即可.（2）根据P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，设P 点坐标带入化简求解，依据图像即可得出答案.【小问1详解】如图，因为28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，所以()()()()4,0,4,0,2,4,2,4A B C D --，经过,,,A B C D 四点的圆即经过,,A B C 三点的圆，法一：AB 中垂线方程即0x =，BC 中点为()3,2，04242BC k -==--，所以BC 的中垂线方程为()1232y x -=-，即1122y x =+，联立01122x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，得圆心坐标10,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2216540022MB ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法二：设圆M 的一般方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入()()()4,0,4,0,2,4A B C -，4160416024200D F D F D E F -++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩解得0116D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法三：以AB 为直径的圆方程为()()2440x x y +-+=，直线:0AB y =，设圆M 的方程为()()2440x x y y λ+-++=，代入()2,4C ，解得1λ=-，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；【小问2详解】()2,0E -，设圆M 上一点(),P x y ，()(),,2,PO x y PE x y =--=--- ，因为24PO PE ≥，所以()()()224x x y y ---+--≥，即222240x y x ++-≥，由222240x y x ++-≥对应方程为圆()22222240125x y x x y ++-=⇒++=所以P 点在圆()22125x y ++=上及其外部，22221602240x y y x y x ⎧+--=⎨++-=⎩解得122,4x x ==，所以两圆交点恰为()()4,0,2,4B C ，结合图形，当圆M 上一点纵坐标为12时，横坐标为342x =>，所以点P横坐标的取值范围是2,2⎡⎢⎣⎦．.21.平面直角坐标系xOy 中，直线0:3213x y l +-=，圆M ：22128480x y x y +--+=，圆C 与圆M 关于直线l 对称，P 是直线l 上的动点．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，设线段AB 的中点是Q ，是否存在定点H ，使得QH 为定值，若存在，求出该定点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=（2）存在；64,1313H ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用对称求出C 点坐标，即可得到圆C 的标准方程；（2）设P 点坐标，,A B 在以PC 为直径的圆N 上，由圆C 与圆N 求公共弦AB ，得直线AB 过定点T ，Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H 是CT 的中点，使得QH 为定值．【小问1详解】圆M 化成标准方程为()()22644x y -+-=，圆心()6,4M ，半径为2，设圆心()00,C x y ，圆C 与圆M 关于直线l 对称，直线0:3213x y l +-=的斜率为32-，所以00004263643213022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得0000x y =⎧⎨=⎩，所以()0,0C ，圆C 的方程为224x y +=.【小问2详解】因为P 是直线l 上的动点，设132,32P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,PA PB 分别与圆C 切于,A B 两点，所以,CA PA CB PB ⊥⊥，所以,A B 在以PC 为直径的圆N上，圆N 的方程()22221331334242t t x t y t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即22132302x y tx t y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭AB 为圆C 与圆N 的公共弦，由222240132302x y x y tx t y ⎧+-=⎪⎨⎛⎫+-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，作差得AB 方程为1323402tx t y ⎛⎫---= ⎪⎝⎭即()1323402t x y y -+-=令23013402x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩得1213813x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设128,1313T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点128,1313T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又Q 是AB 中点，所以CQ AB ⊥，则有Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H 是CT 的中点，使得12QH CT =为定值，坐标为64,1313H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.记首项为1的递增数列为“W -数列”．（1）已知正项等比数列{}n a ，前()*Nn n ∈项和为n S ，且满足：222n n a S +=+．求证：数列{}n a 为“W -数列”；（2）设数列{}()*Nn b n ∈为“W -数列”，前()*N n n ∈项和为n S ，且满足()32*1N n i n i b S n ==∈∑．（注：3333121n i n i bb b b ==+++∑ ）①求数列{}n b 的通项公式n b ；②数列{}()*N n c n ∈满足33n n n b b c =，数列{}n c 是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据： 1.44≈≈）【答案】（1）证明见解析（2）①n b n =；②存在；最大项为31c =【解析】【分析】（1）利用等比数列中,n n a S 的关系求解；（2）利用等差数列的定义以及,n n a S 的关系求解，并根据数列的单调性求最值.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为222n n a S +=+，则3122n n a S ++=+，两式相减得3212n n n a a a +++-=，即()()()2112210n n a q q a q q ++--=-+=,因为0,0n a q >>，所以2q =，222n n a S +=+中，当1n =时，有3122=+a a ，即11422a a =+，解得11a =，因此数列{}n a 为“W -数列”；【小问2详解】①因为()32*1N n i n i bS n ==∈∑所以3211b b =，又{}n b 为“W -数列”，所以11b =，且1n n b b +>，所以{}n b 各项为正，当2n ≥，321n i ni b S ==∑①，13211n i n i b S --==∑②，①一②得：3221n n n b S S -=-，即()()311n n n n n b S S S S --=-+，所以21n n n b S S -=+③，从而211n n n b S S ++=+④，④-③得：2211n n n n b b b b ++-=+，即()()111n n n n n n b b b b b b ++++-=+，由于{}n b 为“W -数列”，必有10n n b b ++>，所以11n n b b +-=，()2n ≥，又由③知2221b S S =+，即22122b b b =+，即22220b b --=得22b =或21b =-（舍）所以211b b -=，故()*11n n b b n N +-=∈所以{}n b 是以1为首项，公差是1的等差数列，所以n b n =；②303n n n c =>，所以31113n n c n c n ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，令311113n n c n c n ++⎛⎫=< ⎪⎝⎭，得 2.27n >≈，。

2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(新高考地区专用,直线与圆椭圆)含解析

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。

5．难度系数：0.62。

第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{},,a b c 为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）A ．a b + ，c b + ，a c- B ．2a b + ，b ，a c- C ．2a b +，2c b + ，a b c++r r r D ．a b + ，a b c ++r r r ，cA ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】B3．设定点()10,2F -，()20,2F ，动点P 满足条件()120PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．射线D ．椭圆或线段4．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，113CF CC =，则异面直线EF 与11B D 所成角的余弦值为（）A ．23B C ．26D ．21故选：C .5．已知直线l ：3mx y ++和直线：，则“1m =-”是“l ∥A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当//l n 时，(m m6．已知椭圆22:1(0)M a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在M 上，Q 为2PF 的中点，且121,FQ PF FQ b ⊥=，则M 的离心率为（）A ．3B ．13C ．12D 根据题意可知112PF F F ==又Q 为2PF 的中点，可得PQ12均过定点，且圆12均与轴、轴相切，则圆12的半径之积为（）A ．ab B ．2abC ．22a b+D ．222a b +为线段AF 的中点，过点N 的平面α与棱,,AB AC AD 分别交于,,O P Q ，设四面体AOPQ 的体积为V '，则V V'的最小值为（）A ．14B ．18C ．116D ．127【答案】C【详解】连接AM ，由题意知：()1122AN AF AD DF ==+ ()111362AD AB AC =+⨯+=令AOx AB APy AC ⎧=⎪⎪⎪=⎨，则AO AB x AP AC y ⎧=⎪⎪⎪=⎨选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =-，()2,3,1b =-- ，则12l l //B ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =- ，则αβ⊥C ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则//l α10．已知直线，圆00为圆C 上任意一点，则下列说法正确的是（）A ．2200x y +的最大值为5B ．00y x 的最大值为5C ．直线l 与圆C 相切时，k =D ．圆心C 到直线l 的距离最大为411．已知直线:(0)l y kx k =≠交椭圆221x y a b+=于A ，B 两点，1F ，2F为椭圆的左、右焦点，M ，N 为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与2F 关于直线l 的对称点为Q ，则（）A ．若1k =，则椭圆的离心率为B ．若13MA MB k k =-，则椭圆的离心率为3C ．1//l FQ D ．若直线BQ 平行于x 轴，则k =对于A ，若1k =，则(0,)Q c 所以2222c cc e a b cc ===+对于B ，设0,0，则(B三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点()()4,0,0,2A B ，当PBA ∠最小时，PB =.13．下列关于直线方程的说法正确的是.①直线sin 20x y θ-+=的倾斜角可以是2；②直线l 过点()2,3-，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为10x y +-=；③过点()00,P x y 的直线0Ax By C ++=的直线方程还可以写成()()000A x x B y y -+-=；④经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程可以表示为111212y y x x y y x x --=--.1111的棱长为3，P 是侧面11（包括边界）上一动点，E 是棱CD 上一点，若APB DPE ∠=∠，且APB △的面积是DPE 面积的9倍，则三棱锥P ABE －体积的最大值是．.77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=.(1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB 面积最小时，求AOB 的周长.()1740++--=m y m 可得：(m ，所以直线l 过定点()3,1M ．.....................51111平面11(1)求证：平面11AB C ⊥平面1A BC ；(2)设点P 为1AC 的中点，求平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值.【详解】（1）证明1AA ⊥ 平面,ABC BC ⊂平面ABC ，1AA BC ∴⊥.又1,AB BC AA AB A ⊥⋂= ，且1,AA AB ⊂平面11ABB A ，BC ∴⊥平面11ABB A .1AB ⊂ 平面111,ABB A BC AB ∴⊥.又111,AB A C A C BC C ⊥⋂= ，且1,AC BC ⊂平面1A BC ，1AB ∴⊥平面1A BC .1AB ⊂ 平面11AB C ，∴平面11AB C ⊥平面1A BC ......................6分（2）由（1）知11AB A B ⊥，所以四边形11ABB A 为正方形，即12AA AB ==，且有22AC =.以点A 为原点，以1,AC AA 所在直线分别为,y z 轴，以过A 点和AC 垂直的直线为x 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则()()()()()110,0,2,0,22,0,2,2,0,2,2,2,0,2,1A C B B P ，所以()()()2,0,1,0,2,1,2,2,0BP AP CB =-==-，设平面ABP 的一个法向量 =s s ，则0,0,BP n AP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,20,x z y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩取()1,1,2n =- ，同理可得平面BCP 的一个法向量()2,2,2m = ，所以()()2,2,21,1,2221cos ,2224112222m n m n m n ⋅-⋅====++⨯++⨯ ，所以平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值为12......................15分17．（15分）已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的焦距为22，离心率为22.(1)求C 的标准方程；(2)若5,02A⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l：()302x ty t=+>交椭圆C于E，F两点，且AEF△的面积为2，求t的值.联立则12232ty yt+=-+，12y y=-设直线l与x轴的交点为D⎛⎝如图，在四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面ABCD，PA PD⊥，AB AD⊥，PA PD=，1AB=，2AD=，AC CD==.(1)求证：PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M，使得//BM平面PCD?若存在，求出AM AP的值；若不存在，请说明理由.【详解】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD⋂平面ABCD AD=，且AB AD⊥，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB PD⊥，又PD PA⊥，且PA AB A=，,PA AB⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB；.......................5分（2）取AD中点为O，连接,CO PO，19．（17分）已知圆O的方程为2,1-的圆O的切线方程；(1)求过点()(2)已知两个定点(),2A a ，(),1B m ，其中R a ∈，0m >．P 为圆O 上任意一点，PA n PB =（n 为常数），①求常数n 的值；②过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．。

高二数学上学期期中模拟卷(空间向量与立体几何+直线与圆的方程+椭圆)(解析版

2023-2024学年高二数学上学期期中考试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】lg 0m >等价于1m >.若2m =，则方程()2211m x y m -+=-表示单位圆.若方程()2211m x y m -+=-表示椭圆，则椭圆方程可化为2211y x m +=-，则1m >且2m ≠.故“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.2．直线()()()2212:110,:120l a x ay l a x a a y -+-=-+++=，若12//l l ，则实数a 的值不可能是（）A ．1-B ．0C ．1D ．2-【答案】A【分析】根据平行列式，求得a 的值，进而确定正确答案.【详解】由于12//l l ，所以()()()2211a a a a a -⨯+=⨯-，()()()21110a a a a a +---=，()()()()()()22211112120a a a a a a a a a a ⎡⎤-+-=-+=-+=⎣⎦，解得0a =或1a =或2a =-.当0a =时，12:10,:20l x l x --=-+=，即12:1,:2l x l x =-=，两直线平行，符合题意.当1a =时，12:10,:220l y l y -=+=，即12:1,:1l y l y ==-，两直线平行，符合题意.当2a =-时，12:3210,:3220l x y l x y --=-++=，即12:3210,:3220l x y l x y --=--=，两直线平行，符合题意.所以a 的值不可能是1-.故选：A3．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===．点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN等于（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．111222a b c+- D ．221332a b c+-【答案】B【分析】连接ON ，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接()12211,23322ON MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选：B.4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 的中点，若1AM AB AA λμ=+，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为（）A ．4B ．8C ．855D ．82【答案】C【分析】由题意知点M 在平面11ABB A 内，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设(,0,)M a b ，根据空间向量的数量积的坐标表示可得24b a =-，取AB 的中点N ，连接1B N ，则点M 的轨迹为线段1B N ，过点B 作1BQ B N ⊥，结合线面垂直的性质即可求解.【详解】由1,[0,1]AM AB AA λμλμ=+∈、，知点M 在平面11ABB A 内，以1,,AB AD AA 所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,2),(4,4,0),(0,4,4)P C D ，设(,0,)M a b ，则1(,4,4),(4,4,2)D M a b CP =--=-- ，由1D M CP ⊥，得1416280D M CP a b ⋅=-++-=，即24b a =-，取AB 的中点N ，连接1B N ，则点M 的轨迹为线段1B N ，过点B 作1BQ B N ⊥，则4245525BQ ⨯==，又BC ⊥平面11ABB A ，故BC BQ ⊥，所以BCM S △的最小值为145854255QBC S =⨯⨯= .故选：C.5．在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，将军从点()2,0A 出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（）A ．101-B ．251-C ．25D ．10【答案】B【分析】根据题意作出图形，然后求出()2,0A 关于直线4x y +=的对称点A '，进而根据圆的性质求出A '到圆上的点的最短距离即可.【详解】若军营所在区域为22:1x y Ω+≤，圆：221x y +=的圆心为原点，半径为1，作图如下：设将军饮马点为P ，到达营区点为B ，设(),A x y '为A 关于直线4x y +=的对称点，因为()2,0A ，所以线段AA '的中点为2,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，则2422x y ++=即60x y +-=，又12AA yk x '==-，联立解得：42x y =⎧⎨=⎩，即()4,2A '，所以总路程||||||||PB PA PB PA '+=+，要使得总路程最短，只需要||||PB PA '+最短，即点A '到圆22=1x y +上的点的最短距离，即为11OA OB OA ''-=-=.故选：B.6．在等腰直角三角形ABC 中，4AB AC ==，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图）．若光线QR 经过ABC 的重心，则QR 的长度等于（）AB．9C．9D．9【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，得出ABC 各顶点以及重心的坐标，设(),0P a ，04a <<.求出直线BC 的方程，根据光的反射原理得出点P 关于BC 以及y 轴的对称点的坐标，表示出RQ 的方程，代入重心坐标，求出a 的值，得出RQ 的方程.进而求出,R Q 的坐标，即可根据两点间的距离公式得出答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()4,0B ，()0,4C ，ABC 的重心坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭，BC 方程为40x y +-=，设(),0P a ，04a <<.根据光的反射原理以及已知可知，点P 关于BC 的对称点1P 在QR 的反向延长线上，点P 关于y 轴的对称点2P 在QR 的延长线上，即12,,,P P Q R 四点共线.由已知可得点()111,P x y 满足()11110422011a x y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解得1144x y a =⎧⎨=-⎩，所以()14,4P a -.易知()2,0P a -.因为12,,,P P Q R 四点共线，所以有直线QR 的斜率为()40444a ak a a ---==--+，所以，直线QR 的方程为()44ay x a a-=++.由于直线QR 过重心44,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以有444343a a a -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，整理可得2340a a -=，解得43a =或0a =（舍去），所以直线QR 的方程为44434343y x -⎛⎫=+⎪⎝⎭+，整理可得3640x y -+=.所以，R 点坐标为20,3⎛⎫⎪⎝⎭.联立QR 与BC 的方程364040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得209169x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2016,99Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，QR ==.故选：B.7．正四面体的棱长为3，点M ，N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为（）A ．2B ．94C ．3D ．52【答案】C【分析】设四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，根据题意求出内切球的半径，当MN 为内切球的直径时，MN 最长，再化简()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+可求得其最大值.【详解】设正四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，则AO BO =.因为正四面体的棱长为3，所以22333BG BE ==所以AG ===r ，则()222AG r r BG -=+，)22rr =+，解得4r =，当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时0+= OM ON，238OM ON ⋅=-=-⎝⎭ ，()()PM PN PO OM PO ON⋅=+⋅+()2238PO PO OM ON OM ON PO =+⋅++⋅=- ，因为P 为正四面体表面上的动点，所以当P 为正四体的顶点时，PO 最长，POPM PN ⋅的最大值为23348⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C8．已知M 为椭圆：()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为左右焦点，设12MF F α∠=，21MF F β∠=，若sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+，则离心率e =（）A ．12B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】设12||,||MF m MF n ==，12||2F F c =，结合三角恒等变换以及正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+化为22243224c n m n m m c cm+--⋅=+，继而推出,,a b c 的关系，求得答案.【详解】设12||,||MF m MF n ==，12||2F F c =，则2m n a +=，由sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+得3sin 3sin cos sin cos sin ααββαβ-=+，即3sin 2sin cos sin sin cos cos sin sin sin()ααββαβαββαβ-=++=++，在12MF F △中，由正弦定理得1222sin sin sin sin()n m c cF MF αβαβ===∠+，故32cos 2n m m c β-=+，又2224cos 4c n mcmβ+-=，故22243224c n m n m m c cm+--⋅=+，即282(3)()()0c c m n m n n m +-++-=，即[4()][2()]0c m n c n m -+--=，即4c m n =+或2c n m =-，结合椭圆定义可知2m n c +>且||2m c -<，故4c m n =+，即142,2c c a e a =∴==，故选：C【点睛】关键点睛：本题是椭圆的离心率的求解问题，即求,,a b c 之间的关系，解答的关键是对于已知等式的化简，即利用三角恒等变换结合正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+转化为三角形边之间的关系式，进而化简可得,,a b c 的关系，即可求解答案.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积可能是（）A ．1B ．3C ．4D ．7【答案】BC【分析】根据给定条件，求出线段AB 长，点P 到直线AB 的距离范围，再利用三角形面积公式求解即得.【详解】依题意，点(2,0),(0,2)A B --，则||AB =圆()2222x y -+=的圆心(2,0)C ，半径2r =，则点C 到直线AB 的距离4222r =>，因此点P 到直线AB 的距离[2,32]d ∈，ABP 的面积1||2[2,6]2S AB d d =⋅=∈，显然BC 满足，AD 不满足.故选：BC10．已知圆2221:2100C x y mx y m ++-+=，圆222:450C x y y ++-=，则下列说法正确的是（）A ．若点()1,1在圆1C 的内部，则24m -<<B ．若2m =，则圆12,C C 的公共弦所在的直线方程是41490x y -+=C ．若圆12,C C 外切，则15m =±D ．过点()3,2作圆2C 的切线l ，则l 的方程是3x =或724270x y -+=【答案】BCD【分析】根据点在圆的内部解不等式2112100m m ++-<+即可判断A 错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B 正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C 正确；对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D 正确.【详解】对于A ，由点(1,1)在圆1C 的内部，得2112100m m ++-<+，解得42m -<<，故A 错误；对于B ，若2m =，则圆221:41040C x y x y ++-+=，将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是41490x y -+=，故B 正确；对于C ，圆1C 的标准方程为22()(5)25x m y ++-=，圆心为()1,5C m -，半径15r =，圆2C 的标准方程为22(2)9x y ++=，圆心为()20,2C -，半径23r =，若圆12,C C 外切，则1212C C r r =+，即24953m +=+，解得15m =±，故C 正确；对于D ，当l 的斜率不存在时，l 的方程是3x =，圆心2C 到l 的距离23d r ==，满足要求，当l 的斜率存在时，设l 的方程为()32y k x =-+，圆心2C 到l 的距离224331k d r k -===+，解得724k =，所以l 的方程是724270x y -+=，故D 正确.故选：BCD.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为11A B 的中点，P 为棱BC 上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（）A ．存在点P ，使11D P AC ⊥B ．存在点P ，使1PE D E =C ．四面体11EPCD 的体积为定值83D ．二面角11P DE C --的余弦值的取值范围是23⎡⎢⎣⎦【答案】AB【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设()02CP a a =≤≤，则(),2,0P a ，()2,1,2E ，()()12,0,0,0,2,2A C ，()10,0,2D ，则()12,2,2AC =- ，()1,2,2D P a =-，112442D AC a a P ⋅=-+-=-，当0a =时，即P 点与C 点重合时，11D P AC ⊥，故A 正确.由1PE D E =2a =，此时P 点与B 点重合，故B 正确.111111111422223323E PC D P C D E C D E V V S --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯= 为定值，故C 错误.又()12,1,0D E = ，()1,2,2D P a =-，设平面1D EP 的法向量()1,,n x y z = ，由11112002200D E n x y D P n ax y z ⎧⋅=+==⎪⎨⋅=+-==⎪⎩，令1x =则=2y -，22a z =-，11,2,22a n ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭ ，又平面11D EC 的法向量()20,0,2n =，12cos ,22n an ∴=-又02a ≤≤，122cos ,3n n ⎤∴∈⎣⎦，故D 错误.故选：AB12．已知椭圆222:12x y C m+=的焦点分别为()10,2F ，()20,2F -，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（）A ．26m =B．椭圆C C ．直线l 的方程为320x y +-=D ．2F MN的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出2m 即可判断A ；再根据离心率公式即可判断B ；由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C ；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y 轴上，所以224m -=，则26m =，故选项A 正确；椭圆C的离心率为2636c e a ===，故选项B 不正确；不妨设()()1122,,,M x y N x y ，则2211126x y +=，2222126x y +=，两式相减得()()()()1212121226x x x x y y y y +-+-=-，变形得121212123y y x x x x y y -+=-⨯-+，又注意到点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，所以121212121221122P P x x x x x y y y y y ++====++，所以直线l 的斜率为121212123313l y y x k xx x y y ⨯=-+⨯--=-+=-=，所以直线l 的方程为11322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即320x y +-=，故选项C 正确；因为直线l 过1F ，所以2F MN 的周长为()()22212122446F M F N MN F M F M F N F N a a a ++=+++=+==，故选项D 不正确.故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在三棱锥-P ABC 中，PC ⊥底面,90,4,45ABC BAC AB AC PBC ∠∠==== ，则点C 到平面PAB 的距离是.【答案】463/463【分析】建立空间直角坐标系，设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，由点C 到平面PAB 的距离为PC m d m⋅=求解.【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,4,42A B C P ，所以()()()0,4,42,4,0,0,0,0,42AP AB PC ===-.设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，则0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4420,40,y z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令y 1z =-，所以()1m =-，所以点C 到平面PAB的距离为PC m d m⋅==14．若非零实数对(),a b满足关系式1771a b a b ++=-+=，则a b=．【答案】34-或43【分析】化简转化为点到直线的距离，利用直线的位置关系即可求解.【详解】由1771a b a b ++=-+=5==，()1,1A 到直线10ax by ++=的距离1d，()7,7B -到直线10ax by ++=的距离2d ，5==，所以125d d ==.因为10AB =，1210d d +=，所以当点A ，B 在直线10ax by ++=同侧时，直线AB 与直线10ax by ++=平行，当点A ，B 在直线10ax by ++=异侧时，A ，B 关于直线10ax by ++=对称，因为直线AB 的斜率174173k +==--，直线10ax by ++=的斜率为ab-，所以43a b -=-或413a b ⎛⎫⎛⎫-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以43a b =或34ab=-.故答案为：34-或43.15．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为(2,1)P 且斜率为1-的直线与C 相交于,A B 两点，若P 恰好是AB 的中点，则椭圆C 上一点M 到F 的距离的最大值为.【答案】3/3+【分析】利用点差法可求基本量的关系，再结合通径的长可求基本量，故可求焦半径的最大值.我们也可以联立直线方程和椭圆方程，从而可用基本量表示中点，从而得到基本量的一个关系式，同样结合通径长可取基本量，故可求焦半径的最大值.【详解】法一：将x c =代入椭圆C 的方程得2b y a =±，所以22ba=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，又124x x +=，1212122,1y y y y x x -+==--，所以22210a b-=②，解①②得3a b ==，所以3c =，所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.法二：将x c =代入椭圆C 的方程得2by a=±，所以22b a =，直线AB 的方程是1(2)y x -=--，即3y x =-，代入椭圆的方程并消去y 整理得()2222222690a b x a x a a b +-+-=，则()()()()22222222222490694a a b a a b a b a b ∆=--++-->=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122264a x x a b+==+，即222a b =②，解①②得3a b ==，满足0∆>，所以3c =，所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.故答案为：3.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A --，圆22:1O x y +=，在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQλλ=为常数），则Q 的坐标为．【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设00(,)Q x y ，(,)P x yλ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，从而得到202202(22)()320x x y x λλλ+++--=对任意[x y +∈恒成立，从而得到202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，即可求出λ与0x ，从而得解.【详解】设00(,)Q x y ，(,)P x y ，则PA =PQ =若在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQλλ=为常数)，λ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，即22222200(1)(1)()()x y x x y y λλ+++=-+-，整理得222222022000(1)()(22)(22)2()0x y x x y y x y λλλλ-++++++-+=，因为点Q 在直线AO 上，所以00x y =，由于P 在圆O 上，所以221x y +=，故202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立，其中点(),P x y 在圆22:1O x y +=上，令x y m +=，则0x y m +-=，所以直线0x y m +-=与圆有交点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即1d ≤，解得m ≤≤[x y +∈，所以202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，显然0λ≠，所以021x λ=-，故22230λλ--=，因为0λ>，解得λ=1λ=.当1λ=时，(1,1)Q --，此时,Q A 重合，舍去.当λ=11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，综上，存在满足条件的定点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时λ=故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用题设条件，结合221x y +=与00x y =化简得202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立，从而得到关于0,x λ的方程组，由此得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC =，E ，F 分别是AB ，PB 的中点.(1)求证：EF CD ⊥.(2)已知点G 在平面PAD 内，且GF ⊥平面PCB ，试确定点G 的位置.【答案】(1)证明见解析(2)点G 为AD 的中点【分析】（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设AD a =，再根据0EF DC ⋅= 即可证明.（2）设(,0,)G x z ，根据GF ⊥平面PCB 得到0FG CB ⋅= ，0FG CP ⋅= ，即可得到答案.【详解】（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），设AD a =，则(0,0,0)D ，(,,0)B a a ，(0,,0)C a ，,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,0,)P a ，,,222a a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,0,22a a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(0),,0DC a = ，所以,0,(0,,0)022a a EF DC a ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪⎝⎭ ，所以EF CD ⊥.（2）因为∈G 平面PAD ，设(,0,)G x z ，所以,,222a a a FG x z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ .由（1），知(,0,0)CB a = ，(0,),CP a a =- .因为GF ⊥平面PCB ，所以,,(,0,0)()02222a a a a FG CB x z a a x ⎛⎫⋅=---⋅=-= ⎪⎝⎭ ，2,,(0,,)022222a a a a a FG CP x z a a a z ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以2a x =，0z =，所以点G 的坐标为,0,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即点G 为AD 的中点.18．（12分）已知直线:1l y kx k =+-．(1)求证：直线l 过定点；(2)若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，求k 的取值范围；(3)若直线l 与x 轴、y 轴形成的三角形面积为1，求直线l 的方程．【答案】(1)证明见解析(2)11[,]35-(3)(21y x =+++(21y x =+【分析】（1）由直线方程观察得定点坐标即证；（2）由4x =±时对应点的纵坐标不小于0可得；（3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再计算三角形面积从而得直线的斜率，即得直线方程．【详解】（1）由1y kx k =+-，得1(1)y k x +=+．由直线方程的点斜式可知，直线l 过定点(1,1)--；（2）若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，则410,410,k k k k -+-≤⎧⎨+-≤⎩解得1135k -≤≤，所以k 的取值范围是11[,35-；（3）设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，坐标原点为O ．当0x =时，得||||1|OB k =-，当0y =时，得|1|||||k OA k -=，所以11|1||||||1|22||AOB k S OA OB k k -==-⨯△，即211|1|12||k k -⨯=，解得2k =2，所以直线l 的方程为(21y x =+(21y x =+19．（12分）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 10米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一只电子狗，在距离A 点2米的E v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M 叫成功点．(1)求在这个矩形场地内成功点M 的轨迹方程；(2)若P 为矩形场地AD 边上的一点，若电子狗在线段FP 上都能逃脱，问：P 点应在何处？【答案】(1)2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)P 的横坐标范围为⎤⎥⎝⎦即可逃脱.【分析】（1）分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，由题意2MF ME v v =，利用两点间的距离公式可得答案.（2）利用三角函数得到极端情况时P 点的横坐标即可得到答案.【详解】（1）分别以AD ，AB 为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,2E ，()0,4F ，设成功点(),M x y ，可得2MF ME v v ==化简得2241639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为点M 需在矩形场地内，所以403x ≤≤，故所求轨迹方程为2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）当线段FP 与（1）中圆相切时，则413sin 4243AFP ∠==-，所以30AFP ∠=︒，所以4tan 30AP =︒=，若电子狗在线段FP 上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是⎤⎥⎝⎦．20．（12分）．如图，//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥且,//EG AD CD FG =且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；(2)求平面BCE 和平面BCF 夹角的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线与平面ADGE 所成的角为45︒，求点P 到平面CDE 的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)10；(3)2.【分析】（1）取GD 中点为Q ，连接NQ ，MQ ，通过证明平面//MQN 平面CDE ，可得//MN 平面CDE ；（2）如图，建立以D 为原点的空间直角坐标系，分别求出平面BCE 和平面BCF 夹角的法向量，即可得答案；（3）由（2），设()0,0,P t ，直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒可得点P 坐标，可得点P 到平面CDE 的距离.【详解】（1）取GD 中点为Q ，连接NQ ，MQ .因M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，Q 为GD 中点，由三角形及梯形中位线定理，可得,NQ ED MQ DC .又注意到，,ED DC ⊂平面EDC ，,NQ MQ ⊄平面EDC ，,NQ MQ ⊂平面MNQ ，∩NQ MQ Q =，则平面//MQN 平面CDE .又MN ⊂平面MQN ，则//MN 平面CDE .（2）因DG ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，则,DG DC DG DA ⊥⊥，又AD DC ⊥，则如图建立以D 为原点的空间坐标系.则()()()()()()()000200020002120202012,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D A C G B E F .()()()100122112,,,,,,,,BC BE BF =-=-=--.设平面BCE 和平面BCF 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z == .则1111110220BC n x BE n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取()10,1,1n = ；222222020BC n x BF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，取()20,2,1n = .设平面BCE 和平面BCF 夹角为θ，则1210cos cos ,θn n === .则平面BCE 和平面BCF夹角的正弦值为sin θ=（3）由（2），设()0,0,P t ，其中[]0,2t ∈，则()12,,BP t =-- 又由题可得，平面ADGE 的一个法向量可取()30,1,0n = .结合直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，则32cos ,n BP t ==⇒=则(DP = ，()()020202,,,,,DC DE == .设平面CDE 法向量为()4444,,n x y z = ，则4444420220DC n y DE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ .取()4101,,n =- ，则点P 到平面CDE的距离442n DP d n ⋅=== .21．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 是圆O ：228x y +=上的两个动点，P 是弦AB 的中点，且90AOB ∠=︒；(1)求点P 的轨迹方程；(2)点P 轨迹记为曲线τ，若C ，D 是曲线τ与x 轴的交点，E 为直线l ：4x =上的动点，直线CE ，DE 与曲线τ的另一个交点分别为M ，N ，判断直线MN 是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．【答案】(1)224x y +=(2)过定点()1,0Q ．【分析】（1）设点(),P x y 为曲线上任意一点，根据几何关系得到2OP =，得到轨迹方程.（2）设()4,E t ()0t ≠，分别计算CE ，DE 的直线方程，联立圆方程得到交点坐标，考虑直线MN 斜率存在和不存在两种情况，计算直线方程得到答案.【详解】（1）设点(),P x y 为曲线上任意一点，P 是弦AB 的中点，且90AOB ∠=︒，圆O ：228x y +=的半径r =122OP AB ===，故点P 的轨迹方程为：224x y +=．（2）不妨取()2,0C -，()2,0D ，设()4,E t ()0t ≠，则直线CE 的方程为()26t y x =+，直线DE 的方程为()22t y x =-，联立()22264t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得2222364440363636t t t x x +++-=，则224236M t x t -=-+，即2272236M t x t -=+，()2242636M M t t y x t =+=+，所以22272224,3636t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．联立()22224t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得22224404t x t x t +-+-=，则22424N t x t +=+，即22284N t x t -=+，()28224N N t t y x t -=-=+，所以222288,44t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．①当t ≠±MN 的斜率222222224883647222812364MNt t t t t k t t t t t --++==----++，则直线MN 的方程为222288284124t t t y x t t t ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭，即()28112t y x t =--，直线过定点()1,0，所以()1,0Q ；②当t =±MN 垂直于x 轴，方程为1x =，也过定点()1,0Q ．综上所述：直线MN 恒过定点()1,0Q ．【点睛】关键点睛：本题考查了圆的轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中设出E 的坐标，分别计算,M N 坐标再计算直线方程是解题的关键.22．（12分）如图所示，已知椭圆2219x y +=中()3,0A ，()0,1B ；P 在椭圆上且为第一象限内的点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N(1)求证：①||||AN BM ⋅为定值；②PMN 与PAB 面积之差为定值；(2)求MON △面积的最小值.【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)92+【分析】（1）①设00(,)P x y ，利用直线方程求出点,M N 坐标，从而可得||||AN BM ⋅的表达式，结合点在椭圆上化简，即可证明结论；②利用PMN 与PAB 面积之差为MAN BAN S S - ，利用三角形面积公式，结合①的定值即可证明结论；（2）利用三角形面积公式表示出MON △面积的表达式，利用（1）的定值结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）证明：①设00(,)P x y ，()001,030x y <<<<，则220019x y +=，即220099x y +=，直线()0033:y PA y x x =--，令0x =，则0033M y y x =--，故003|||1|3y BM x =+-；直线0011:y PB y x x =+-，令0y =，则001N x x y -=-，故00|||3|1x AN y =+-；所以00000000003|||||3||1||33|||133331x y x y x y AN BM y x y x ⋅=+⋅+⋅-+----+()()()2220000000000000033996618||||3133x y x y x y x y x y x y x y +-+++--==----+000000001666183|38x y x y x y x y --++-==-，即||||AN BM ⋅为定值6；②PMN 与PAB 面积之差为11||||||||22MAN BAN S S AN OM AN OB -=⋅-⨯⋅ 1||||32AN BM =⨯⋅=,即PMN 与PAB 面积之差为定值3；（2）MON △面积()()11||||3||1||22OMN S ON OM AN BM =⋅=++ ()1||||||3||32AN BM AN BM =⋅+++()1966322+≥+=，当且仅当||3||AN BM =，结合||||6AN BM ⋅=，即|||AN BM ==时取等号，即MON △面积的最小值为92+.【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于证明||||AN BM ⋅为定值，解答时要利用直线方程表示出||,||AN BM ，从而求得||||AN BM ⋅表达式，结合点在椭圆上化简即可证明结论.。

2020学年高二(上)期中数学试卷带答案

2020学年高二（上）期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）数列{n+2n}中的第4项是．2．（5分）抛物线x2=4y的准线方程为．3．（5分）若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是．4．（5分）已知等差数列{a n}，其中a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为．5．（5分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．6．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若27a3﹣a6=0，则=．7．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是．8．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．9．（5分）已知数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求S5．10．（5分）已知椭圆：的焦距为4，则m为．11．（5分）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是．12．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．13．（5分）将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第100项，即a100=．14．（5分）若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．16．（14分）已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+4（1）若k=﹣5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a n有最小值．并求出最小值，（2）对于n∈N*，都有a n＞a n，求实数k的取值范围．+117．（14分）某厂家计划在2016年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量m万件与年促销费用x万元满足：m=3﹣，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的1.5倍（生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成）．（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该厂2016年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？18．（16分）（1）解关于x的不等式：（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2（a∈R）；（2）如果x=a2﹣4在上述不等式的解集中，求实数a的取值范围．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．20．（16分）已知递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，4S n﹣4n+1=a n2．设b n=，n∈N*，且数列{b n}的前n项和为T n．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）试求所有的正整数m，使得为整数；（3）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18（﹣1）n+1恒成立，求实数λ的取值范围．二.高二数学试题（第二卷）21．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有辆．22．（5分）若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．23．（5分）已知命题甲是“{x|≥0}”，命题乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，则甲是乙的条件．（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选填）24．（5分）下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）25．（10分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．26．（10分）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．（1）甲从中任意抽取2张，求抽出的2张都为A的概率；（2）若甲已抽到了2张K后未放回，求乙抽到2张A的概率．参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）数列{n+2n}中的第4项是20．【分析】根据题意，可得数列的通项a n=n+2n，将n=4代入通项计算可得答案．【解答】解：根据题意，数列{n+2n}的通项a n=n+2n，则其第4项a4=4+24=20；故答案为：20．【点评】本题考查数列的通项公式，涉及数列的表示方法，关键是理解数列通项公式的定义．2．（5分）抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1．【分析】由抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣即可求得抛物线x2=4y的准线方程．【解答】解：∵抛物线方程为x2=4y，∴其准线方程为：y=﹣1．故答案为：y=﹣1．【点评】本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题．3．（5分）若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（0，2）．【分析】因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，由此能求出a的取值范围．【解答】解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，解得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．【点评】本题考查二元一次不等式的几何意义，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．4．（5分）已知等差数列{a n}，其中a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为50．【分析】由已知求得等差数列的公差，代入a n=33可求n的值．【解答】解：在等差数列{a n}，由a1=，a2+a5=4，得2a1+5d=4，即，．∴，由a n=33，得，解得：n=50．故答案为：50．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．5．（5分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．6．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若27a3﹣a6=0，则=28．【分析】设出等比数列的首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前n 项和得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案为：28．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．7．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是5．【分析】将方程变形，代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=×3，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5当且仅当即x=2y=1时取等号故答案为：5【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑8．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=±，结合条件可得=，即可得到a 的值．【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．9．（5分）已知数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求S5．【分析】由a2•a3=2a1=a1•a4，可得a4=2，再由a4与2a7的等差中项为，得a4 +2a7 =，故有a7 =．求出首项和公比，再利用等比数列的前n项和公式求出s5．【解答】解：数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1=a1•a4，可得a4=2．再由a4与2a7的等差中项为，可得a4 +2a7 =，故有a7 =．∴q3==，∴q=，∴a1=16．∴s5==31．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆：的焦距为4，则m为4或8．【分析】分焦点在x，y轴上讨论，结合焦距为4，可求m的值．【解答】解：由题意，焦点在x轴上，10﹣m﹣m+2=4，所以m=4；焦点在y轴上，m﹣2﹣10+m=4，所以m=8，综上，m=4或8．故答案为：m=4或8．【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生对椭圆方程的理解，属于基础题．11．（5分）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是[4，+∞）或（﹣∞，0] ．【分析】由题意可知===++2．由此可知的取值范围．【解答】解：在等差数列中，a1+a2=x+y；在等比数列中，xy=b1•b2．∴===++2．当x•y＞0时，+≥2，故≥4；当x•y＜0时，+≤﹣2，故≤0．答案：[4，+∞）或（﹣∞，0]【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考．12．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．【分析】设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．【解答】解：设Q（m，n），由题意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．13．（5分）将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第100项，即a100=5252．【分析】根据题意，分析所给的图形可得a n﹣a n﹣1=n+2（n≥2），结合a1的值，可得a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99），代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，分析相邻两个图形的点数之间的关系：a2﹣a1=4，a3﹣a2=5，…由此我们可以推断：a n﹣a n﹣1=n+2（n≥2），又由a1=5，所以a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99）=5+4+5+…+102=5+=5252；即a100=5252；故答案为：5252．【点评】本题考查数列的表示方法，涉及归纳推理的运用，关键是依据图形，发现变化的规律．14．（5分）若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是20．【分析】用换元法，设=x，=y，则x≥0，y≥0；求出b与a的解析式，由a=+2得出y与x的关系式，再根据其几何意义求出a的最大值．【解答】解：设=x，=y，且x≥0，y≥0；∴b=x2，4a﹣b=y2，即a==；∴a=+2可化为=y+2x，即（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，其中x≥0，y≥0；又（x﹣4）2+（y﹣2）2=20表示以（4，2）为圆心，以2为半径的圆的一部分；∴a==表示圆上点到原点距离平方的，如图所示；∴a的最大值是×（2r）2=r2=20故答案为：20．【点评】本题考查了给出条件求最值的应用问题，主要考查了换元法和圆的方程的运用问题，考查了数形结合和运算能力，属于中档题．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．【分析】（1）设椭圆的标准方程为=1，或，a＞b＞0，由已知得a=2b，且椭圆过点（2，﹣6），由此能求出椭圆的标准的方程．（2）设椭圆的标准方程为=1，a＞b＞0，由已知条件推导出c=b=3，由此能求出椭圆的标准方程．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为=1，或，a＞b＞0，∵长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，①∵椭圆过点（2，﹣6），∴=1，或=1，②由①②，得a2=148，b2=37或a2=52，b2=13，故所求的方程为或．（2）设椭圆的标准方程为=1，a＞b＞0，∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，∴△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且OF=c，A1A2=2b，∴c=b=3．∴a2=b2+c2=18．故所求椭圆的方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．16．（14分）已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+4（1）若k=﹣5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a n有最小值．并求出最小值，＞a n，求实数k的取值范围．（2）对于n∈N*，都有a n+1【分析】（1）将k=﹣5代入可知a n=（n﹣1）（n﹣4），进而令a n＜0可得负数项，通过配方可得最小值；＞a n化简得k＞﹣2n﹣1，进而可知k＞﹣2﹣1=﹣3．（2）通过a n+1【解答】解：（1）若k=﹣5，则a n=n2﹣5n+4=（n﹣1）（n﹣4），令a n＜0，则1＜n＜4，∴数列中第2、3项共2项为负数，∵f（x）=x2﹣5x+4是开口向上，对称轴x=的抛物线，∴当n=2或3时，a n有最小值22﹣5×2+4=﹣2；（2）依题意，a n＞a n，即（n+1）2+k（n+1）+4＞n2+kn+4，+1整理得：k＞﹣2n﹣1，＞a n，又∵对于n∈N*，都有a n+1∴k大于﹣2n﹣1的最大值，∴k＞﹣2﹣1=﹣3．【点评】本题考查数列的递推式，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．17．（14分）某厂家计划在2016年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量m万件与年促销费用x万元满足：m=3﹣，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的1.5倍（生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成）．（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该厂2016年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【分析】（1）由题目中，每件产品的销售价格为 1.5×（万元），则利润y=m[1.5×]﹣（8+16m+x），整理即可．（2）对（1）利润函数y=﹣[+（x+1）]+29（x≥0），利用基本不等式求最大值即可．【解答】解：（1）由题意知，每件产品的销售价格为1.5×（万元），∴利润函数y=m[1.5×]﹣（8+16m+x）=4+8m﹣x=﹣[+（x+1）]+29（x≥0）．（2）因为利润函数y=﹣[+（x+1）]+29（x≥0），所以，当x≥0时，+（x+1）≥8，∴y≤﹣8+29=21，当且仅当=x+1，即x=3（万元）时，y max=21（万元）．所以，该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．【点评】本题考查了商品利润函数模型的应用，也考查了基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）的灵活运用，是中档题．目．18．（16分）（1）解关于x的不等式：（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2（a∈R）；（2）如果x=a2﹣4在上述不等式的解集中，求实数a的取值范围．【分析】（1）把原不等式右边的未知项移项到左边进行合并，同时右边的式子分解因式，然后根据a﹣1大于0，a﹣1等于0及a﹣1小于0三种情况，根据不等式的基本性质把x的系数化为1，分别求出原不等式相应的解集即可；（2）解法一：分两种情况：a大于1时，根据相应的解集列出关于a的不等式组；同理a小于1时列出相应的不等式组，求出两不等式组解集的并集即可得到a的范围；解法二：把x=a2﹣4代入原不等式中化简，得到关于a的不等式，画出相应的图形，根据图形即可得到满足题意的a的取值范围．【解答】解：（1）（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2，（a2+a﹣1）x﹣a2x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞（a﹣1）（a+2），当a＞1时，解集为{x|x＞a+2}；当a=1时，解集为∅；当a＜1时，解集为{x|x＜a+2}；（2）解法一：由题意，或，分别化为：或，解得：a＞3或﹣2＜a＜1，则实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）；解法二：将x=a2﹣4代入原不等式，并整理得：（a+2）（a﹣1）（a﹣3）＞0，根据题意画出图形，如图所示：根据图形得：实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）．【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了分类讨论及数形结合的思想，第二小题有两种解法：一种是利用转化的思想，讨论a大于1和a小于1，根据第一问求出的解集列出相应的不等式组；另一种是直接把x的值代入原不等式，借助图形来求解．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．【分析】（1）由题意可得a2﹣b2=1，代入已知点，可得a，b的方程，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设P（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到P的轨迹方程，由题意和圆相交的条件，结合离心率公式，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，又代入点（，1），可得+=1，解方程可得a=，b=，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意方程可得F（﹣1，0），设P（x，y），由PA=PF，可得=•，化简可得x2+y2=2，由c=1，即a2﹣b2=1，由椭圆+=1和圆x2+y2=2有交点，可得b2≤2≤a2，又b=，可得≤a≤，即有离心率e=∈[，]．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用方程的思想，考查轨迹方程的求法，以及椭圆和圆相交的关系，考查运算能力，属于中档题．20．（16分）已知递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，4S n﹣4n+1=a n2．设b n=，n∈N*，且数列{b n}的前n项和为T n．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）试求所有的正整数m，使得为整数；（3）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18（﹣1）n+1恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）由已知条件推导出a n﹣2=a n﹣1（n≥2）或a n﹣2=﹣a n﹣1（n≥2），由此能证明数列{a n}为等差数列．（2）由a n=2n﹣1，知=1﹣，由此能求出所有的正整数m，使得为整数．（3）由a n=2n﹣1，知，由此利用裂项求和法结合已知条件能求出实数λ的取值范围．【解答】（1）证明：由，得，…（2分）所以，即，即（n≥2），所以a n﹣2=a n﹣1（n≥2）或a n﹣2=﹣a n﹣1（n≥2），即a n﹣a n﹣1=2（n≥2）或a n+a n﹣1=2（n≥2），…（4分）若a n+a n﹣1=2（n≥2），则有a2+a1=2，又a1=1，所以a2=1，则a1=a2，这与数列{a n}递增矛盾，所以a n﹣a n﹣1=2（n≥2），故数列{a n}为等差数列．…（6分）（2）解：由（1）知a n=2n﹣1，所以==，…（8分）因为，所以，又2m﹣1≥1且2m﹣1为奇数，所以2m﹣1=1或2m﹣1=3，故m的值为1或2．…（10分）（3）解：由（1）知a n=2n﹣1，则，所以T n=b1+b2+…+b n==，…（12分）从而对任意n∈N*恒成立等价于：当n为奇数时，恒成立，记，则≥49，当n=3时取等号，所以λ＜49，当n为偶数时，恒成立．记，因为递增，所以g（n）min=g（2）=﹣40，所以λ＜﹣40．综上，实数λ的取值范围为λ＜﹣40．…（16分）【点评】本题考查等差数列的证明，考查满足条件的所有的正整数的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．二.高二数学试题（第二卷）21．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有80辆．【分析】由频率分布直方图先求出时速在区间[40，60）内的汽车的频率，由此能求出时速在区间[40，60）内的汽车数量．【解答】解：由频率分布直方图得：时速在区间[40，60）内的汽车的频率为（0.01+0.03）×10=0.4．∴时速在区间[40，60）内的汽车有0.4×200=80（辆）．故答案为：80．【点评】本题考查频数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．22．（5分）若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．【分析】由甲与丙都不在第一天值班，得乙在第一天值班，由此能求出甲与丙都不在第一天值班的概率．【解答】解：随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，∵甲与丙都不在第一天值班，∴乙在第一天值班，∵第一天值班一共有3种不同安排，∴甲与丙都不在第一天值班的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．23．（5分）已知命题甲是“{x|≥0}”，命题乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，则甲是乙的必要不充分条件．（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选填）【分析】利用不等式的解法分别化简甲乙命题，进而判断出结论．【解答】解：命题甲：≥0，化为x（x﹣1）（x+1）≥0，且x≠1，解得：﹣1≤x≤0，或x＞1．命题乙：log3（2x+1）≤0，化为0＜2x+1≤1，解得：0．则甲是乙的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．24．（5分）下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是②、③．（把所有正确命题序号都填上）【分析】利用命题的否定的形式判断出①错；利用含量词的命题的否定形式判断出②对；利用复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系判断出③对；利用对数函数的单调性判断出④错．【解答】解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q 一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③【点评】本题考查命题的否定与命题的否命题的区别：命题的否定是将命题全盘否定，一般只将结论否定即可；二否命题是条件、结论同时否定．注意对数函数的单调性与底数的范围有关．25．（10分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k ﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．【分析】分别求出p，q为真时的k的范围，根据p，q一真一假，得到关于k 的不等式组，解出即可．【解答】解：∵y=kx+1在R递增，∴k＞0，由∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，得方程x2+（2k﹣3）x+1=0有根，∴△=（2k﹣3）2﹣4≥0，解得：k≤或k≥，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴＜k＜；②若p假q真，则，∴k≤0；综上k的范围是（﹣∞，0]∪（，）．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查一次函数以及二次函数的性质，是一道中档题．26．（10分）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．（1）甲从中任意抽取2张，求抽出的2张都为A的概率；（2）若甲已抽到了2张K后未放回，求乙抽到2张A的概率．【分析】（1）甲从中任意抽取2张，基本事件总数n==66，抽出的2张都为A包含的基本事件个数m=，由此能求出抽出的2张都为A的概率．（2）甲已抽到了2张K后未放回，余下10张中抽出2张的方法有=45，抽出的两张都是A的方法有，由此能求出乙抽到2张A的概率．【解答】解：（1）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．甲从中任意抽取2张，基本事件总数n==66，抽出的2张都为A包含的基本事件个数m=，∴抽出的2张都为A的概率p==．（2）甲已抽到了2张K后未放回，余下10张中抽出2张的方法有=45，抽出的两长都是A的方法有，∴乙抽到2张A的概率p==．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．。

2020江苏省高二数学上学期期中试题

江苏省盐城中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（无答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．请把答案涂写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1.命题2,0x R x ∀∈>“”的否定是（ ▲ ）A ．2,0x R x ∀∈< B ．2,0x R x ∀∈≤ C ．2,0x R x ∃∈≤D ．2,0x R x ∃∈>2.抛物线24y x =的准线方程为（ ▲ ）A ． 1y =-B ．1x =-C ．1y =D ．1x =3.两个数4和16的等比中项为（ ▲ ） A ．8B ．8±C ．4D ．4±4.双曲线22194x y -=的渐近线方程为（ ▲ ） A ．94y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．23y x =± 5.设,x y 均为正数，且44x y +=，则xy 的最大值为（ ▲ ）A ．1B ．2C ．4D ．166.22ac bc >是b a >的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7.求值：=-+⋅⋅⋅+-+-+-201920171197531 （ ▲ ） A ．2020-B ．1010-C ． 505-D ．10108.若[]0,3x ∃∈，使得不等式220x x a -+≥成立，则实数a 的取值范围是（ ▲ ） A ．30a -≤≤B ．0a ≥C ．1a ≥D ．3a ≥-9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若67680,0,a a a a +>+<，则n S 最大时 n 的值为（ ▲ ） A ．4B ．5C ．6D ．710.若点P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的一个动点，B (3,2) ，则PB ＋PF 的最小值为（ ▲ ）A ．3B ．4C ．5D ．611.已知正数 x , y 满足 l og 2 (x y 3) log 2 x log 2 y +1，则 x y 的取值范围是（ ▲ ） A ．[6, ) B ． (0, 6]C．)17⎡++∞⎣，D ．(017+，12.在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值（n *∈N ），且237432a a a ===，，，则此数列{}n a 的前100项的和100S =（ ▲ ）A ．296B ．297C ．298D ．299二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 13.若方程12122=-+-my m x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ▲ . 14.已知正实数,a b 满足1,a b +=则4a bab+的最小值为 ▲ . 15.已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +=-=, 则na n的最小值为 ▲ . 16.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，半焦距为c ，且在该椭圆上存在异于左、右顶点．．．．．．．的一点P ，满足12212sin 3sin a PF F c PF F ⋅∠=⋅∠，则椭圆离心率的取值范围为 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 17.（本小题满分11分）已知2:,2p x R x x a ∀∈+≥，2:430q x x -+≤，:()[(1)]0r x m x m --+≤. （1）若命题p 的否定是假命题，求实数a 的取值范围；（2）若q 是r 的必要条件，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分11分）已知双曲线1322=-y x 的右顶点为A ，抛物线的焦点与点A 重合. （1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l 过点A 且斜率为双曲线的离心率，求直线l 被抛物线截得的弦长.19.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足142518,36a a a a +=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 满足2log n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .20.（本小题满分12分）如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km （x >1）的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB 与AC ，已知AB = AC 1，且∠ABC = 60o．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？21.（本小题满分12分）如图，已知过点)22,2(-D 的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，左顶点和上顶点分别为B A ,.（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段OD 延长线上一点，直线PA 交椭圆于另一点E ，直线PB 交椭圆于另一点Q .①求直线PA 与PB 的斜率之积；②判断直线AB 与EQ 是否平行？并说明理由.22.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和42nn S n +=.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11=b ，111112221n nk n k k k b T T +++=+-=-∑. ①求数列{}n b 的通项公式n b ；②若存在*,,p q k N ∈，p q k <<，使得m q a b ，m n p a a b ，n k a b 成等差数列，求n m +的最小值.。

2019-2020学年江苏省苏州市昆山市高二(上)期中数学试卷 (1)

2019-2020 学年江苏省苏州市昆山市高二（上）期中数学试卷一、单项选择（4*10＝40）1．（4 分）已知实数 a ＝2，b ＝8，则 a ，b 的等差中项为（）A ．4B ．±4C ．﹣5D ．52．（4 分）已知 a ∈R ，则 a ＞1 是 a ＞0 的（ A ．充分不必要条件）B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件C ．充要条件 3．（4 分）函数 A ．（0，2]的值域为（）B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 4．（4 分）已知等比数列{a }的公比为﹣2，且等于（） nA ．﹣55．（4 分）若 a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有（ A ．＞B ．＜6．（4 分）已知数列{a }的前 n 项和 B ．﹣3C ．5D ．3） C ．＜ D ．＞，的前 6 项和为（D ．）nA ．B ．C ．7．（4 分）已知等差数列 {a }的首项和公差均不为 0，且满足 a ，a ，a 成等比数列，则 n2 5 7 的值为（）A ．B ．C ．D ．8．（4 分）已知 a ＞﹣1，b ＞﹣2，（a+1）（b+2）＝25，则 a+b 的最小值是（）A ．3B ．7C ．9D ．10 ） 9．（4 分）已知数列{a }满足，a a ＝a ，且 a ＝2，那么 a ＝（ n n m n+m2 20 A ．210B ．220C ．230D ．240 10．（4 分）设 a ＞b ＞0，则 A ．2B ．3的最小值是（）C ．4D ．6二、多项选择（4*3＝12）11．（4分）下列函数中，最小值是的有（）A．C．B．D．y＝e+2e﹣x x12．（4分）已知等比数列{a}的前n项和S，则下列数列中一定是等比数列的是（）n nA．B．{a a}n n+1C．{lga}D．S，S﹣S，S﹣Sn n2n n3n2n13．（4分）下列说法正确的是（）A．命题∀x∈R，x2+x+1＞0的否定为∃x∈R，x2+x+1≤0B．对于命题p：∃x≤1，x2﹣3x+2≥0则，￢p为∀x＞1，x﹣3x+2＜02C．a＜b是ac2＜bc的必要不充分条件2D．m＜2是对恒成立的充分不必要条件三、填空题（4*4＝16）14．（4分）不等式的解集为．15．（4分）已知等差数列{a}的公差为2，且a+a＝3，则a+a＝．n355716．（4分）已知数列{a}，a＝1，a＝，则a2019＝．n1n+117．（4分）设x＞0，y＞0，xy＝2，则四、解答题（82分）的最小值为，此时x＝．18．（12分）已知A＝{x|x2（1）求A，B；2+a＜0}．﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|x﹣（2a+1）x+a2（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求a的取值范围．19．（14分）某种汽车，购车费用10万元，第一年维修费0.2万元，以后逐年递增0.2万元，且每年保险、养路费、汽油费为0.9万．（1）设这种汽车使用x年的维修费的和g（x）万元，求表达式．（2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？20．（14分）已知函数f（x）＝x2+ax﹣1，g（x）＝22x﹣2x+a．（1）当a＝1时，不等式g（x）＜8的解集；（2）当f（x），g（x）同时满足下列两个条件；①∃t＜0使，②∀x∈R，使g（x）+8＞0，求实数a的取值范围．21．（14分）已知S是正项数列{a}的求和，a＝2，2S＝a n+12﹣a n+1．n n2n}是等差数列；（1）证明：数列{a n（2）设b n＝，求{b}的前n项和T；n n①求证：T＜2，n②解关于n的不等式：T＞3﹣．n22．（14分）已知数列{a}满足．n}的通项；（1）求数列{a n的通项，对于一切n，不等式（2）已知数列b n恒成立，求实数a的范围；中存在c满足，c，c，c（t≥6）（3）设，是否存在正整数m，使得数列c n t15t成等差数列，若存在求出m的集合，若不存在说明理由．2019-2020学年江苏省苏州市昆山市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择（4*10＝40）1．（4分）已知实数a＝2，b＝8，则a，b的等差中项为（）A．4B．±4C．﹣5D．5【解答】解：∵实数a＝2，b＝8，∴a，b的等差中项为：故选：D．＝＝5．2．（4分）已知a∈R，则a＞1是a＞0的（A．充分不必要条件）B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件C．充要条件【解答】解：若a＞1，则a＞0成立，若a＞0，无法推出a＞1，故则a＞1是a＞0的充分不必要条件，故选：A．3．（4分）函数A．（0，2]的值域为（）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：令y＝f（x）＝x+，∵f（﹣x）＝﹣x﹣＝﹣f（x），∴y＝x+为奇函数，又当x＞0时，y＝x+≥2，∴当x＜0时，y≤﹣2．∴y＝x+的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：D．4．（4分）已知等比数列{a}的公比为﹣2，且等于（）nA．﹣5B．﹣3C．5D．3【解答】解：由题意可得：＝＝1+（﹣2）2＝5．故选：C ．5．（4 分）若 a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有（ A ．＞B ．＜【解答】解：∵c ＞d ＞0，） C ．＜D ．＞∴，又 a ＞b ＞0， ∴．故选：D ．6．（4 分）已知数列{a }的前 n 项和，的前 6 项和为（D ．）nA ．B ．C ．}的前 n 项和 S ＝n 2+2n ，【解答】解：数列{a n n ＝S ＝3，可得 a 1 1 n ≥2 时，a ＝S ﹣S ＝n 2+2n ﹣（n ﹣1）2 ﹣2（n ﹣1）＝2n+1， n nn 1 ﹣上式对 n ＝1 也成立，可得＝＝（﹣﹣ ），即有 S 6＝（ ﹣+﹣+…+）＝ ×（ ﹣ ）＝，故选：A ．7．（4 分）已知等差数列 {a }的首项和公差均不为 0，且满足 a ，a ，a 成等比数列，则 n2 5 7 的值为（）A ．B ．C ．D ．}的首项和公差 d 均不为 0，且满足 a ，a ，a 成等比数列，【解答】解：等差数列{an2 5 7a ，可得 a 2＝a 5 2 7即（a1+4d ）2＝（a 1 +d ）（a +6d ）， 1化为 a 1d+10d 2＝0，即 a 1＝﹣10d ，则＝＝，故选：B ．8．（4 分）已知 a ＞﹣1，b ＞﹣2，（a+1）（b+2）＝25，则 a+b 的最小值是（）A ．3B ．7C ．9D ．10【解答】解：由 a ＞﹣1，b ＞﹣2，可得 a+1＞0，b+2＞0，则 a+b ＝（a+1）+（b+2）﹣3 ≥2﹣3＝2×5﹣3＝7，当且仅当 a+1＝b+2＝5，即 a ＝4，b ＝3，取得最小值 5．故选：B ．9．（4 分）已知数列{a }满足，a a ＝a ，且 a ＝2，那么 a ＝（） n n m n+m2 20 A ．210B ．220C ．230D ．240a ＝a ，a ＝2，【解答】解：由已知 a n m n+m2 ＝a •a ＝4，a ＝a •a ＝8，可得，a4 2 2 6 2 4 a ＝a •a ＝16，a ＝a •a ＝32， 8 4 4 10 2 8 a ＝a •a ＝32×32＝210 ， 20 10 10 故选：A ．10．（4 分）设 a ＞b ＞0，则的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．6【解答】解：因为 a ＞b ＞0：∴a ﹣b ＞0；＝ab ﹣b 2+ +b + 所以2 +b 2+≥2 +2 ＝2+4＝6．＝b （a ﹣b ）+当且即当 b （a ﹣b ）＝，b 2＝时取等号，∴ 的最小值为 6．故选：D ．二、多项选择（4*3＝12） 11．（4 分）下列函数中，最小值是的有（） A ． C ．B ．D ．y ＝e +2ex ﹣x 【解答】解：A ．x ＜0 时，y ＜0，无最小值． B ．y ＝+≥2，当且仅当 x ＝时取等号，正确．C ．y ＝x 2++4≥2 ＝2，当且仅当 x 2+4＝时，等号成立，显然不可能取到，故选项 C 不正确； D ．y ＝e x +2e x ﹣≥2＝2 ，当且仅当 x ＝0 时取等号，正确．故选：B D ．12．（4 分）已知等比数列{a }的前 n 项和 S ，则下列数列中一定是等比数列的是（）n nA ．B ．{a a } n n+1C ．{lga }D ．S ，S ﹣S ，S ﹣S nn 2n n3n 2n 【解答】解：由数列{a n}为等比数列可知，＝q ，（q ≠0），A ：＝q 2，故 A 符合题意，＝＝q 2≠0，故 B 符合题意＝lgq ，为等差数列，但是lga ﹣lga ＝lg ﹣不一定为常数，即 lga 不一定为 n n 1n等比数列，若 a n ＝（﹣1）n 为等比数列，公比﹣1，则 s n 有可能为 0，不一定成等比数列，故选：AB ．13．（4 分）下列说法正确的是（）A ．命题∀x ∈R ，x 2+x+1＞0 的否定为∃x ∈R ，x 2+x+1≤0B ．对于命题 p ：∃x ≤1，x 2﹣3x+2≥0 则，￢p 为∀x ＞1，x ﹣3x+2＜02 C ．a ＜b 是 ac 2 ＜bc 的必要不充分条件2 D ．m ＜2 是对恒成立的充分不必要条件【解答】解：命题∀x ∈R ，x 2+x+1＞0 的否定为∃x∈R ，x 2+x+1≤0，满足命题的否定形式，所以 A 正确；对于命题 p ：∃x ≤1，x 2﹣3x+2≥0 则，￢p 为：∀x ≤1，x 2﹣3x+2＜0，不是：∀x ＞1，x 2 ﹣3x+2＜0，所以原判断是不满足命题的否定形式，所以 B 不正确；a ＜b 推不出 ac 2 m ＜ 2 可得2 2 2 ＜bc ，反之成立，所以 a ＜b 是 ac ＜bc 的必要不充分条件，正确；对成立，反之对恒成立，可得 m ≤2，所以 m ＜2 是故选：AC D ．对恒成立的充分不必要条件，正确；三、填空题（4*4＝16） 14．（4 分）不等式的解集为 {x |﹣2≤x ＜1} ．【解答】解：由不等式，可得：，即等价于：（x+2）（x ﹣1）≤0，且 x ﹣1≠0 解得：﹣2≤x ＜1．故答案为{x |﹣2≤x ＜1}．15．（4 分）已知等差数列{a }的公差为 2，且 a +a ＝3，则 a +a ＝ 11 ． n3 5 5 7 }的公差为 2，且 a +a ＝3，【解答】解：∵等差数列{a n 3 5 +a ＝a +2d+a +2d ＝3+4+4＝11． ∴a 5 7 3 5故答案为：11．16．（4 分）已知数列{a }，a ＝1，a ＝，则 a 2019＝ ﹣2﹣．n 1 n+1【解答】解：当 n ＝1 时，；当n＝2时，当n＝3时，；∴数列{a n}3∴；故答案为：．17．（4分）设x＞0，y＞0，xy＝2，则的最小值为2，此时x＝或2．【解答】解：∵x＞0，y＞0，xy＝2，∴＝，当且仅当，即2x+y＝5，，或2．，即x＝或2时取等号．故答案为：四、解答题（82分）18．（12分）已知A＝{x|x22+a＜0}．﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|x﹣（2a+1）x+a2（1）求A，B；（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|（x+1）（x﹣3）＞0}＝（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}＝（a，a+1），（2）因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B A，所以a+1≤﹣1或a≥3，所以a≤﹣2或a≥3．19．（14分）某种汽车，购车费用10万元，第一年维修费0.2万元，以后逐年递增0.2万元，且每年保险、养路费、汽油费为0.9万．（1）设这种汽车使用x年的维修费的和g（x）万元，求表达式．（2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？【解答】解：（1）由题意，维修费是以0.2为首项，0.2为公差的等差数列，则汽车使用x年的维修费用的和为g（x）＝，x∈N*．即g（x）＝0.1x2+0.1x，x∈N*；（2）设汽车使用x年年平均费用为f（x），则f（x）＝，∵0.1x+，当且仅当＝，即f（x）最小．答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小．20．（14分）已知函数f（x）＝x2+ax﹣1，g（x）＝22x﹣2x+a．（1）当a＝1时，不等式g（x）＜8的解集；（2）当f（x），g（x）同时满足下列两个条件；①∃t＜0使，②∀x∈R，使g（x）+8＞0，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）g（x）＝22x﹣2x+1＝（2x）2﹣2•2x＜8，∴（2x+2）（2x﹣4）＜0，∴﹣2＜2x＜4，∴x＜2，∴所求不等式的解集为（﹣∞，2）；（2）①因为①∃t＜0使，所以（i）当（i i）当时，，不符合题意；时，，因为，当且仅当“”时取等号，∴a≥0；②∀x∈R，使g（x）+8＞0，即22x﹣2x+a+8＞0对任意x∈R恒成立，∴∵对任意x∈R恒成立，，当且仅当“”时取等号，∴∴，，综上，实数a的取值范围为．21．（14分）已知S是正项数列{a}的求和，a＝2，2S＝a n+12﹣a n+1．n n2n（1）证明：数列{a n}是等差数列；（2）设b n＝，求{b}的前n项和T；n n①求证：T＜2，n②解关于n的不等式：T＞3﹣．n是正项数列{a}的求和，a＝2，2S＝a n+12﹣a n+1，【解答】解：（1）证明：S n n2n＝2S＝a＝2，则a＝1，可得2a1122﹣a21＝a n2﹣a n，又2S＝a，当n≥2时，2S n+12﹣a n+1n1n﹣＝2S﹣2S＝a﹣a+a，2两式相减可得2a n n+12﹣a n+1n n1n n﹣+a）（a﹣a﹣1）＝0，化为（an n+1n+1n}，可得a﹣a＝1，由正项数列{an n+1n可得数列{a n}是首项和公差均为1的等差数列；（2）①证明：b n＝＝，前n项和T＝+++…+，nT＝+++…+，n两式相减可得T n＝+++…+﹣＝﹣，化为T n＝2﹣可得T n＜2；，②T＞3﹣即2﹣＞3﹣，n化为＞1，即2n＜2n+1，2n＝（1+1）n＝1+n+C+…+n+1，可得n＝1时2＜3；n＝2时，4＜5；n≥3不成立，故原不等式的解集为{1，2}．22．（14 分）已知数列{a }满足． n（1）求数列{a n }的通项；（ 2 ）已知数列 b n 的通项，对于一切 n ，不等式恒成立，求实数 a 的范围；中存在 c 满足，c ，c ，c （t ≥6）（3）设，是否存在正整数 m ，使得数列 c n t1 5 t 成等差数列，若存在求出 m 的集合，若不存在说明理由．【解答】解：（1）数列{a n }满足，可得 n ＝1 时，1﹣ n ≥2 时，（1﹣ ＝，即 a 1＝2，）…（1﹣ ）（1﹣ ）＝，又（1﹣ ）（1﹣ ）…（1 ﹣ ）（1﹣ ）＝＝，﹣a ＝1，，化为 a n 两式相除可得 1﹣ n 1 ﹣}为首项为 2，公差为 1 的等差数列，可得 a ＝n+1；即数列{a n n +b +…+b ＝ + + +…+ ，（2）＝，b n+1 n+2 2n ＝b +b +…+b ＝ + + +…+ ，设 A n n+1 n+2 2n A ＝b +b +…+b 2n+2＝ + +…+ + ，n+1 n+2 n+3 ﹣A ＝ + ﹣ ＝ ﹣ ＞0，可得 A n+1 n }为递增数列，A 的最小值为 A ＝b ＝，则数列|A n n 1 2 对于一切 n ，不等式恒成立，可得 log a （a ﹣1）＜0，即有 a ﹣1＞0，且 a ﹣1＜1，可得1＜a ＜2；，则 c 1＝，c ＝，c ＝，（3）设＝ 5 t 中存在 c 满足，c ，c ，c （t ≥6）成等差数列，假设存在正整数 m ，使得数列 c n ＝c +c ，即 t 1 5 t ＝ + ，可得 2c 5 1 t当m＝2时，t无解；当m≠2时，t＝9+，又m为正整数，t为不小于6的正整数，可得m﹣2＝1，2，4，8，16，32，即t＝41，25，17，13，11，10，满足题意，中存在c满足，c，c，c（t≥6）成等差数列，故存在正整数m，使得数列c n t15t且m的集合为{3，4，6，10，18，34}．22．（14 分）已知数列{a }满足． n（1）求数列{a n }的通项；（ 2 ）已知数列 b n 的通项，对于一切 n ，不等式恒成立，求实数 a 的范围；中存在 c 满足，c ，c ，c （t ≥6）（3）设，是否存在正整数 m ，使得数列 c n t1 5 t 成等差数列，若存在求出 m 的集合，若不存在说明理由．【解答】解：（1）数列{a n }满足，可得 n ＝1 时，1﹣ n ≥2 时，（1﹣ ＝，即 a 1＝2，）…（1﹣ ）（1﹣ ）＝，又（1﹣ ）（1﹣ ）…（1 ﹣ ）（1﹣ ）＝＝，﹣a ＝1，，化为 a n 两式相除可得 1﹣ n 1 ﹣}为首项为 2，公差为 1 的等差数列，可得 a ＝n+1；即数列{a n n +b +…+b ＝ + + +…+ ，（2）＝，b n+1 n+2 2n ＝b +b +…+b ＝ + + +…+ ，设 A n n+1 n+2 2n A ＝b +b +…+b 2n+2＝ + +…+ + ，n+1 n+2 n+3 ﹣A ＝ + ﹣ ＝ ﹣ ＞0，可得 A n+1 n }为递增数列，A 的最小值为 A ＝b ＝，则数列|A n n 1 2 对于一切 n ，不等式恒成立，可得 log a （a ﹣1）＜0，即有 a ﹣1＞0，且 a ﹣1＜1，可得1＜a ＜2；，则 c 1＝，c ＝，c ＝，（3）设＝ 5 t 中存在 c 满足，c ，c ，c （t ≥6）成等差数列，假设存在正整数 m ，使得数列 c n ＝c +c ，即 t 1 5 t ＝ + ，可得 2c 5 1 t当m＝2时，t无解；当m≠2时，t＝9+，又m为正整数，t为不小于6的正整数，可得m﹣2＝1，2，4，8，16，32，即t＝41，25，17，13，11，10，满足题意，中存在c满足，c，c，c（t≥6）成等差数列，故存在正整数m，使得数列c n t15t且m的集合为{3，4，6，10，18，34}．。

江苏省2020年高二上学期数学期中联考试卷A卷

江苏省 2020 年高二上学期数学期中联考试卷 A 卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 10 题；共 10 分)1. （1 分） (2019 高二上·惠州期末) 命题“若，则”的否命题是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则2. （1 分） (2020 高二上·武汉期中) 己知直线：位置关系是（）与：，则这两条直线的A . 重合B . 平行C . 垂直D . 不能确定3.（1 分）(2019 高二下·瑞安期末) 若对任意的实数 k,直线 y-2＝k(x＋1)恒经过定点 M,则 M 的坐标是（）A . (1,2)B . (1,)C.(,2)D.（）4. （1 分）下列特称命题中真命题的个数是（）①第 1 页共 22 页②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数③是无理数｝，x2 是无理数A.0B.1C.2D.35. （1 分）三角形的三个顶点、、，则A . 49B.9C.7D.36. （1 分） (2019 高二上·大庆月考) 下列命题中的假命题是（）A.，B.，C.，D.，的中线的长为（）．7. （1 分） (2018·保定模拟) 已知双曲线且与双曲线的渐近线相切，若过点作的左顶点为的两条切线，切点分别为，虚轴长为 8，右焦点为，，则（）A.8B.C.第 2 页共 22 页D.8. （1 分） (2018·杭州模拟) 记的最大值和最小值分別为和.若平面向量满足则（）A.B.C.D. 9. （1 分） (2018 高二下·上海月考) 对于实系数一元二次方程下列结论中不正确的是（）A.若则B.若则且C . 一定有在复数范围内其解是D . 一定有10. （1 分） (2018 高二上·衢州期中) 若的圆的个数为（），则方程表示A.0B.1C.2D.3二、填空题 (共 7 题；共 7 分)第 3 页共 22 页11. （1 分） (2017 高一下·双流期中) 下列说法中，正确的有________．（写出所有正确说法的序号） ①已知关于 x 的不等式 mx2+mx+2＞0 的角集为 R，则实数 m 的取值范围是 0＜m＜4． ②已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ，则 Sn、S2n﹣Sn、S3n﹣S2n 也构成等比数列．③已知函数恰有两个不相等的实数解，则（其中 a＞0 且 a≠1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程．④已知 a＞0，b＞﹣1，且 a+b=1，则+的最小值为．⑤在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，| |=| |=| |=1， + + = ，A（1，1），则的取值范围是．12. （1 分） (2016 高一下·南京期末) 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，图形 ABCE 绕 AE 所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为________．所对的圆心角∠CDE=90°，将13. （1 分） (2017 高一下·保定期末) 已知直线 l1：x+my﹣2=0，l2：mx+y+1=0，若 l1⊥l2 ，则 m=________．14. （1 分） (2018 高二上·睢宁月考) 若实数 a，b，c 成等差数列，点在动直线上的射影为 H，点，则线段 QH 的最小值为________．15. （1 分） (2018 高二上·南通月考) 下列关于直线和平面的四个命题中：⑴若，，则；（2）若，，，则；（3）若，，，则；（4）若，，则.所有正确命题的序号为________．16. （1 分） (2019 高三上·吴中月考) 在平面直角坐标系中，已知圆第 4 页共 22 页和两点，且，若圆上存在两个不同的点，使得，则实数的取值范围为________．17. （1 分） (2019 高二下·常州期中) 已知函数上恒成立，则实数的取值范围是________．若关于的不等式在三、解答题 (共 5 题；共 5 分)18. （1 分） (2019 高二上·辽宁月考) 已知直线经过直线与直线的交点（1）若直线平行于直线，求直线的方程；（2）若直线垂直于直线，求直线的方程.19. （1 分） (2018 高一下·黑龙江期末) 如图，已知四棱锥是边长为 2 的正方形，M、N 分别为 PB、PC 的中点．，底面 ABCD，且底面 ABCD（1）证明： MN / / 平面 PAD；（2）若 PA 与平面 ABCD 所成的角为 45°，求四棱锥 P − ABCD 的体积 V．20. （1 分） (2019 高二上·九台月考) 已知以点的动直线与圆相交于，两点．为圆心的圆与直线（1）求圆的方程．（2）当时，求直线的方程．（用一般式表示）21. （1 分） (2020 高二上·金华期末) 已知四棱锥，，点在底面上的射影是的中点，．第 5 页共 22 页相切，过点，，（1）求证：直线平面；（2）若，、分别为、的中点，求直线与平面（3）当四棱锥的体积最大时，求二面角的大小．所成角的正弦值；22. （1 分） (2019 高二上·内蒙古月考) 已知⊙别切⊙ 于两点．，是轴上的动点，分（1）若，求及点的坐标;（2）求证：直线恒过定点.第 6 页共 22 页一、单选题 (共 10 题；共 10 分)答案：1-1、考点：参考答案解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：第 7 页共 22 页答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：第 8 页共 22 页答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：第 9 页共 22 页解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共 7 题；共 7 分)答案：11-1、第 10 页共 22 页考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共5分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：。

江苏省昆山市2020年高二第一学期期中教学质量调研测试数学试题及答案

昆山市2020-2020学年第一学期期中教学质量调研测试高二数学2020.11一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.不等式x(x-2)＜8的解集是()A.｛x|-4<x<2｝B.｛x|x＜-4或x＞2｝C.{xl-2<x<4｝D.｛x|x＜-2或x＞4｝2.已知命题p:∀x≥0,2x≥1,则命题p的否定是()∀≥0,x2＜1A.x∃≥0,x2＜1B.x∀<0,x2<1C.x∃＜0,x2＜1D.x3.已知a ＜b,则下列结论正确的是()A. 22b a ＜ B. 33b a ＜ C.ab b 2＞ D.b1a 1＞4.已知等差数列｝｛n a 的前n 项和为S n ,若S 2＝8,2a 2a a 583+=+,则a 1等于()A.1B.2C.3D.4 5.已知x 为实数,则“x ＞0”是“51x 4x ≥-+”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知关于x 的不等式3|a 2x ||a x |≥-+-对一切实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.-1≤a ≤1B.a ≤-1或a ≥1C.-3≤a ≤3D.a ≤-3或a ≥37.在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述:今有良马和驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢。

则二马相逢时,良马比驽马多走了多少路程( ) A,440里 B.540里 C.630里 D.690里8. 已知等比数列｝｛n a 的前n 项和为S n ,则下列命题一定正确的是( )A.若S 2021＞0,则a 3+a 1＞0B.若S 2020＞0,则a 3+a 1＞0C. 若S 2021＞0,则a 2+a 4＞0D. 若S 2020＞0,则a 2+a 4＞0二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9. 若正实数a,b 满足a+b ＝4ab,则下列不等式一定成立的是( ) A.ab ≥41 B.ab ≤41C.a+b ≥1D.a+b ≤1 10.已知数列｝｛n a 是公比为q 的等比数列,4a b n n +=,若数列｝｛n b 有连续4项在集合｛-50,-20,22,40,85｝中,则公比q 的值可以是( ) A. 43-B.32-C.34-D. 23- 11.无穷数列｝｛n a 的前n 项和为S n ,若a 1＞0,d ＜0,则下列结论正确的是( ) A.数列｝｛n a 单调递减 B.数列｝｛n a 有最大值B. 数列｛S n ｝单调递减 D.数列｛S n ｝有最大值12若关于x 的不等式0≤ax 2+bx+c ≤1(a ＞0)的解集为｛x|-1≤x ≤2｝,则3a+2b+c 的值可以是 ( ) A.31 B.32 C. 54 D. 45三、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.13. 若命题“x ∃∈R,使得x 2+ax+a ＜0”是真命题,则实数a 的取值范围是。

2020高二数学上学期期中试题理(含解析) (2)

【2019最新】精选高二数学上学期期中试题理（含解析） (2)理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 中，角的对边分别为，已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在△ABC中，，∴则，∴由正弦定理可得：故选C2. 等比数列中，若，，则（）A. 64B. -64C. 32D. -32【答案】A【解析】数列是等比数列，，，即解得那么故选A．3. 已知等差数列中，公差，，，则（）A. 5或7B. 3或5C. 7或-1D. 3或-1【答案】D【解析】在等差数列中，公差，，，得，解得或．故选D．4. 中，，，,则（）A. 15B. 9C. -15D. -9【答案】B..................故选B．5. 已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（）A. 5B. 6C. 7D. 12【答案】B【解析】把配方得得到顶点坐标为，即由成等比数列，则，故选B．6. 已知等差数列的公差为整数，首项为13，从第五项开始为负，则等于（）A. -4B. -3C. -2D. -1【答案】A【解析】在等差数列中，由，得，得，∵公差为整数，．故选A．7. 已知中，角的对边分别为，已知，，若三角形有两解，则边的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，要使三角形有两解，就是要使以为圆心，半径为2的圆与有两个交点，当时，圆与相切；当时交于点，也就是只有一解，，即由正弦定理以及．可得：的取值范围是故选C．8. 中，角的对边分别为，已知，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C当时，的形状是等腰三角形，当时，即，那么，的形状是直角三角形．故选C．【点睛】本题考查正弦定理和三角形内角和定理的运用．解题的关键是得到一定要注意分类讨论．9. 已知中，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据正弦定理化简已知等式得：，又为三角形的内角，则．故选D【点睛】此题考查了正弦定理，以及余弦定理的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．10. 《九章算术》中有“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（）A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又 ,则,故选B.11. 设为等差数列，，公差，则使前项和取得最大值时正整数等于（）A. 4或5B. 5或6C. 6或7D. 8或9【答案】B【解析】设等差数列{an}的首项为公差为解得a或（舍去）则，故使前项和取最大值的正整数是5或6．故选B．12. 已知锐角中，角的对边分别为，若，，则的面积的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，，∴由题为锐角，可得∵由正弦定理可得，可得：，为锐角，可得，可得故选C ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 在中，角的对边分别为，若，则此三角形面积为__________．【答案】【解析】，故，故三角形面积...故答案为14. 数列的首项，，则__________．【答案】-61【解析】由题数列的首项，，则当时。

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江苏省昆山市 2020 学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、填空题 1.已知倾斜角为 90°的直线经过点 A(2m,3)，B(2，－1)，则 m 的值为________. 【答案】1 【解析】【分析】根据直线倾斜角的定义可得，解出即可.【详解】∵倾斜角为 90°的直线经过点，，∴，解得，故答案为 1.【点睛】本题考查了倾斜角的应用，考查了基本概念，属于基础题．2.已知直线和直线【答案】2【解析】【分析】根据直线平行的等量关系，解得结果.平行，则的值为__________【详解】由题意得，所以，（-1 舍）.【点睛】本题考查直线平行，考查基本分析求解能力，属基础题.3.若长方体的三个面的对角线分别为，则长方体的对角线长度为______________【答案】【解析】【详解】设长方体长宽高为，则，所以，即对角线长为 .【点睛】本题考查长方体对角线长，考查基本分析求解能力，属基础题.4.直线被圆截得的弦长等于_______________【答案】【解析】【分析】根据垂径定理求弦长.【详解】因为，所以，因此圆心到直线距离为，弦长为【点睛】本题考查直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.5.圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的标准方程为_____________【答案】【解析】【分析】设圆标准方程形式，根据条件列方程组，解得结果.【详解】设,则，解得，所以圆的标准方程为.【点睛】本题考查圆得标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6.半径为的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为和，则这两个平面之间的距离是______________ 【答案】1 或 7 【解析】【分析】先根据条件得球心到两平面距离，再根据两平面位置关系得结果.【详解】由题意得球心到两平面距离分别为，因此这两个平面之间的距离是或【点睛】本题考查球相关性质，考查基本分析求解能力，属基础题.7.过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线斜率为_______________ 【答案】8 【解析】【分析】根据中点坐标公式求得弦端点坐标，再根据斜率公式求结果.【详解】设截得的线段 AB,则，因为点为 AB 中点,所以，从而直线斜率为【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.8.如图，在棱长为的正方体中，四面体D 的体积等于________【答案】【解析】【分析】根据割补法得结果.【详解】四面体D 的体积等于正方体体积减去四个小三棱锥体积，即. 【点睛】本题考查锥体体积，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，空间四边形中，平面，为 1 的等边三角形，，，为棱 AC 上的一个动点，则的最小值为_____________【答案】【解析】【分析】先展开，再在平面内利用余弦定理得结果.【详解】先将平面展开到平面,则BD,的最小值为此时. 【点睛】本题考查利用展开图求距离最值，考查基本分析求解能力，属基础题.10.设，过定点 A 的动直线和过定点 B 的动直线交于点，则的最大值是________________【答案】【解析】【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得 PA+PB 的最大值．【详解】由题意可得 A（0，0），由于直线 mx﹣y﹣m+3=0，即 m（x﹣1）﹣y+3=0，显然经过定点 B（1，3），注意到动直线 x+my=0 和动直线 mx﹣y﹣m+3=0 始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有 PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则|PA|= sinθ，|PB|= cosθ．∵|PA|≥0 且|PB|≥0，可得 θ∈[0， ]，∴ |PA|+|PB|= sinθ+ cosθ=2 [ sinθ+ cosθ）=2 sin（θ+ ），∵θ∈[0， ]，∴θ+ ∈[ ， ]，∴当 θ+ = 时，2 sin（θ+ ）取得最大值为 2 ，故答案为：2 ．【点睛】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属中档题． 11.关于异面直线，有下列四个命题①过直线有且只有一个平面，使得②过直线有且只有一个平面，使得③在空间存在平面，使得，其中，一定正确的是______________ 【答案】①③④ 【解析】【分析】④在空间不存在平面，使得，根据异面直线定义说明命题正确①③④，举反例说明命题②错误. 【详解】①过直线上任一点 P 作直线平行线 ,则直线必相交，即确定一个平面，因为若存在平面，使得，则，与为异面直线矛盾，故过直线有且只有一个平面，使得；②当时可得，这与不一定垂直矛盾，所以②错；③过直线上任一点 P 作直线平行线 ,则直线必相交，即确定一个平面，过直线上任一点 Q 作直线平行线 ,则直线必相交，即确定一个平面，因此平面平面，再任作平面，使得，，即得，；④若，，则 ,与为异面直线矛盾，所以不存在平面，使得，；综上，正确的是①③④ 【点睛】本题考查线面位置关系，考查基本分析判断与论证能力，属中档题.12.已知圆，圆，若圆 M 上存在点 P，过点 P 做圆 O 的两条切线，切点为 A、B，使得，则实数的取值范围是_____________【答案】【解析】设 P(x，y)，sin∠OPA＝sin30°＝－a＋4)2＝1 ②.由①②得 1≤13.已知 P 为平面内一点，且 ________，则 x2＋y2＝4 ①.又 P 在圆 M 上，则(x－a)2＋(y≤3，所以≤a≤.，若，，则点 P 的横坐标等于【答案】【解析】【分析】先根据条件化简得方程组，解得点 P 的横坐标.【详解】设，则由，得，即，解得【点睛】本题考查轨迹方程及其交点坐标，考查基本分析求解能力，属基础题.14.若实数：满足最大值为_____________，，则的【答案】【解析】【分析】根据条件结构特征，转化为单位圆上两点到定直线距离和的关系，再根据圆的几何性质求最值.【详解】因为所以且因为在单位圆，，上，，所以，因为为 AB 中点.,其中又因为,所以,即的最大值为【点睛】本题考查向量数列积、点到直线距离公式、以及圆的性质，考查综合分析转化求解能力，属难题.二、解答题15.已知直线经过点且斜率为（1）求直线的一般式方程（2）求与直线平行，且过点的直线的一般式方程（3）求与直线垂直，且过点的直线的一般式方程【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先写点斜式方程，再化一般式，（2）根据平行设一般式，再代点坐标得结果，（3）根据垂直设一般式，再代点坐标得结果.【详解】(1)(2)设所求方程为因为过点，所以(3) 设所求方程为因为过点，所以【点睛】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.16.如图一个圆锥的底面半径为 1，高为 3，在圆锥中有一个半径为的内接圆柱（1）试用表示圆柱的高（2）当为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据比例关系求结果，（2）先列圆柱的全面积函数关系式，再根据二次函数性质求最值.【详解】（1）（2）圆柱的全面积当时，答：当时，圆柱的全面积最大，最大全面积为【点睛】本题考查圆柱全面积以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.17.如图，在直三棱柱中，点 D 为 AB 中点，，若,求证：（1）（2）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接交于，则根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结果，（2）根据线面垂直判定定理依次证得即得结论.【详解】连接交于，连接 DE,因为直三棱柱，所以四边形为矩形，所以为的中点，又因为为的中点，所以,因为，所以（2）因为四边形为矩形，所以,又,所以,因为所以，因为四边形为矩形，，所以四边形为正方形，,因为所以【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18.如图，在四棱锥中，平面平面，四边形. 为正方形，△ 为等边三角形，是中点，平面与棱交于点 .（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（III）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，直接写出的值.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（Ⅰ）由为正方形，可得．再由线面平行的判定可得平面 .．再由面面平行的性质可得；（Ⅱ）由为正方形，可得．结合面面垂直的性质可得平面．从而得到.．再由已知证得．由线面垂直的判定可得平面；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，利用等积法把用表示，则的值可求．【详解】（I）证明：因为正方形，所以.因为平面，平面，所以平面 .因为平面，平面平面，所以.（II）证明：因为正方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面 .因为平面，所以.因为为等边三角形，是中点，所以.因为平面，平面，，所以平面 .（III）解：由（Ⅰ）知，则．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.如图，已知圆 O 的方程为，过点的直线与圆 O 交于点、，与负半轴交于点。

设，（1）若，求出、两点坐标（2）当直线绕点转动时，试探究是否为定值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】 (1)设 Q 坐标表示 A 点坐标，代入圆方程解得 Q 坐标，即得直线 AB 方程，与圆方程联立解得A,B 坐标，(2) 设 Q 坐标表示 A、B 点坐标，代入圆方程，化简可得 .【详解】（1）设，因为，所以，所以，因此，由得（2）设,因为，，所以因此，，【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.20..如图，已知圆（1）求两圆所有公切线的斜率和圆（2）设为平面上一点，满足：若存在点的无穷多条直线与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长是直线被圆截得的弦长的 2 倍，试求所有满足条件的点 P 的坐标【答案】(1) 或或，(2)【解析】【分析】（1）先设公切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列方程，解得结果，（2）设直线点斜式方程，再根据垂径定理将弦长关系转化为圆心到直线距离关系，利用条件列等量关系，最后根据恒成立解得 P 点坐标.【详解】（1）由题意得公切线斜率存在，设公切线方程为所以所以或，或，解得或或，（2）设圆和圆的圆心到过 P 直线距离分别为，则设，过 P 直线方程为，所以因此，或，或，因为存在无穷多条直线，所以，即【点睛】定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点． (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．。