17第十七章

第十七章 量子力学基础

一、基本要求

1. 了解德布罗意的物质波概念，理解实物粒子的波粒二象性，掌握物质波波长的计算。

2. 了解不确定性原理的意义，掌握用不确定关系式计算有关问题。

3. 了解波函数的概念及其统计解释，理解自由粒子的波函数。

4. 掌握用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱的简单问题，并会计算一维问题中粒子在空间某区间出现的概率。

5. 了解能量量子化、角动量量子化和空间量子化，了解斯特恩-盖拉赫试验及微观粒子的自旋。

6. 理解描述原子中电子运动状态的四个量子数的物理意义，了解泡利不相容原理和原子的壳层结构。

二、基本内容

1. 物质波

与运动的实物粒子相联系的波动，在此意义下，微观粒子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波。描述其波动特性的物理量v 、λ和描述其粒子特性的物理量E 、p 由德布罗意关系

h E v =

p

h =

λ

联系起来，构成一幅统一的图像。

2. 波函数

对具有波粒二象性的微观粒子进行描述所使用的函数，一般写为(,)t ψr ， 波函数的主要特点：

（1）波函数必须是单值、有限、连续的； （2）*(,)(,)1t t d xd yd z

ψψ=⎰⎰⎰r r （归一化条件）

；

（3）*(,)t ψr ，(,)t ψr 表示粒子在t 时刻在（x 、y 、z ）处单位体积中出现的

概率，称为概率密度。

特别注意自由粒子的波函数：/()

i E t A e

--ψ= p.r 式中P 和E 分别为自由粒子

的动量和能量。

3. 不确定性原理

1927年海森堡提出：对于一切类型的测量，不确定量∆x

和∆

x

p 之间总有

如下关系：

∆x ∆x p ≥2

同时能量的不确定量∆

E

与测定这个能量所用的时间（间隔）∆

t

的关系为：

∆E ∆t ≥

2

不确定性原理完全起源于粒子的波粒二象特性，与所用仪器与测量方法无关。

4. 薛定谔方程

波函数(,)t ψr 所满足的方程。若已知微观粒子的初始条件，则可由薛定谔方程决定任一时刻粒子的状态。在势场(,)

U t r 中，薛定谔方程可写为

2

2

2∇-

m

(,)U t ψ+r t

i ∂ψ∂=ψ

若势能函数()

U

U ≡r 与时间无关，则可将(),t ψr 写成()()

f t ψr ，其中()ψr 满

足定态薛定谔方程

2

2

2∇

-m

()

ψr +()U

r ()

ψr =E

()

ψr

而)(t f =Et

i e

-

，此时有

()

,t ψr 、)t =()

ψr Et

i e

-

这种形式的波函数称为定态波函数，它所描写的微观粒子的状态则称为定态。在一维情况下，定态薛定谔方程成为

2

22

()()()()

2d

x U x x E x m d x

-ψ+ψ=ψ

5. 一维无限深势阱中粒子的定态薛定锷方程及波函数

定态薛定锷方程

2

2

2

2d E m d x

ψ

-

=ψ

（0x a

<

<）

定态波函数

()in

n n x x

a

πψ=

（n ＝1，2，3，….）

6. 描述原子中电子运动状态的四个量子数 描述原子中电子运动状态的四个量子数如表17－1 表17－1四个量子数

7. 泡利不相容原理

1925年泡利提出：一个原子系统内，不能有两个或两个以上的电子具有完全相同的一组量子数n (,l ,m ,s m )。不相容原理是确定电子组态和原子壳层结构的重要理论依据。在结合能量最低原理，就可以对元素周期表进行成功的解释。

三、习题选解

17-1 试求出质量为0.01kg ，速度为10m·s -1的一个小球的德布罗意波长。 解：

10

01.010626.634

⨯⨯=

=

=

-v

m h p h λm

33

10

63.6-⨯=m

17-2 若光子和电子的德布罗意波长均为0.5nm ，试求： （1）光子的动量和电子的动量之比。 （2）光子的动能和电子的动能之比。 解：给定波长为λ的光子的动量和能量为

λ

h

p

p

=

λ

hc

hv E P =

=

相同波长电子的动量为

λ

h

p e =

所以

(1) 波长同为5.0nm 的光子和电子动量之比为

1=e

p

p p

(2)高速运动电子的动能为总能量和静能量之差

2

0c

m E E k -=

由相对论动量与能量关系有

4

202

2

c

m p c E +=

2

04

2

022

c

m c m p

c E k -+=

而光子静质量为0，其动能即为其总能量

λ

hc

E

p

=

所以，波长同为5.0nm 的光子和电子动能之比为

2

2

04

2

02

210

2.4⨯=-+⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=

c

m c

m hc c hc

E E

k

p

λλ

17-3 试证明，当一个粒子的能量远大于其静止能量时，这个粒子的德布罗意波长与具有相同能量的光子的波长大致相等。

证：能量为E 的光子波长为

E

hc p

=

λ