《抛物线及其标准方程》教学设计

《抛物线及其标准方程》教学设计一、设计理念：1、遵循新教材对圆锥曲线课程的设置，从生活实例和圆锥曲线知识本身的内在联系出发。

2、重视数学概念的发生、发展过程，在概念的形成过程中培养学生用类比的思想提出问题，猜想结论3、重视学生的学习过程，在教学中充分体现“教师主导、学生主体”的教学理念，注重培养学生创新思维，独立思考、相互交流、合作探究的能力二、设计思路：1、以类比的思想出发，巩固旧知，引出新知课本采取的是以二次函数表示抛物线引入，这里，采用了比较传统的类比椭圆和双曲线的定义出发，结合第二定义进行合理的猜想，引入几何画板，借助多媒体直观展示圆锥曲线的形成过程，进而给出定义。

类比求前两种曲线方程的步骤求抛物线标准方程2、加强“数量关系”与“平面图形”的结合根据抛物线的方程刻画图形，这里不是简单的要求学生记忆一次表示对称轴，符号决定开口，而是从X 和Y 的取值范围刻画图形。

3、重视课本思考题的设置，合理的增加探究题这里除了课本的思考题外，增加了探讨“二次函数表示抛物线，那么抛物线是否表示二次函数？”的问题，加强学生对函数对应的本质的再次理解三、学情分析：1、学生已有的知识储备情况抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线. 一是学生很早就认识了抛物线，二是学生有了探索圆锥曲线的基本方法和认知，这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、迁移的作用。

不管从生活实例还是从二次函数的图像是抛物线等等出发，可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识. 这节课的授课对象是我校高二的学生，他们的数学基础知识比较扎实，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法.2、预计的学生在本节课学习中的难度及对策1、坐标系的建立对策：这里教师不作引导，由学生自己选择建系方式，再将学生的结果用投影仪展示出来，并进行归纳，预设出原点在焦点、在抛物线顶点和在准线与X 轴交点这三种可能的方案，2. 求抛物线的方程对策：全班分三组完成，求出不同建系方式下的抛物线方程.通过比较，明确第2 种建系方式所得的抛物线方程最简洁，并把这个方程叫做抛物线的标准方程.3.明确抛物线标准方程的四种形式对策：从以上推导出的一种形式的抛物线进行数形结合分析，先从形得角度出发求焦点坐标和准线方程，再从数的角度出发通过研究未知量X和Y的取值范围刻画抛物线图形，进而得出结论：一次决定对称轴，符号决定开口。

最后分组口答剩余三种图形对应的方程或方程对应的图形。

4.两个思考题的探究思考一：你能说明y ax2（a 0）的图像为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标和准线方程。

对策：引导学生从抛物线定义及其标准方程的形式上进行解答思考二：二次函数表示的图形是抛物线，那么以上四种抛物线的图形是否都表示二次函数呢？对策：引导学生从函数的实质，即对应关系的角度进行分析，从而加深对函数的理解四、教学目标及分解据对教材和学情的分析，遵循《普通高中数学课程标准》对本节的教学要求，我将这节课的教学目标、重点和难点设置为：教学目标：1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程；2•掌握抛物线的几何图形，定义和标准方程；3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法，体会类比法，直接法，待定系数法和数形结合思想在数学中的应用4.感受抛物线的广泛应用和文化价值，体会学习数学的乐趣和数学美教学重点：1.掌握抛物线的定义与相关概念；2.掌握抛物线的标准方程；教学难点：1、从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义；2、结合抛物线的标准方程刻画抛物线图形；3、根据图形写出标准方程。

五、教学基本流程：生活中抛物线的直观感受-----数学中由圆锥曲线的第二定义引发的猜想——类比椭圆双曲线得出抛物线定义----类比求曲线方程一般步骤求抛物线标准方程------从数和形的角度深入分析抛物线四种基本形式——课堂练习------新旧知识的对比引发两个对抛物线的思考题——课后作业析，顺理成章的分析e=1表示的图形，从而借助多媒体展示通过作图，尤其在e=1的时候让学生体会运动的点和不变量之间的关系，从而引出抛物线的定义2.数学中的抛物线：一元二次函数: - ;: - '■的图像是一条抛物线3.圆锥曲线第二定义中对e讨论的不完全：平面内与一定点的距离和一条定直线距离的比是常数e的点轨迹。

对e=1表示的图形的猜想二、抛物线的定义1.抛物线的画法几何画板演示e在三种不同取值下表示的图形，尤其e=1的时候让学生体会运动的点和不变量的关系从而引出抛物线的定义2.抛物线的定义问题1 :你能给抛物线下个定义吗？抛物线的定义：平面内与一个定点r和一条定直线'（'不过厂）的距离相等的点的集合叫作抛物线.问题2：为什么定点F不能在定直线上？若点F在直线上，则轨迹为过定点耳垂直于直线'的直线•.3.抛物线的相关概念：定点F :抛物线的焦点.定直线■'：抛物线的准线.设「丁—•，°焦点到准线的距离.抛物线的顶点：抛物线的对称轴与抛物线的交点匚教材只给出了一种建系方 式，但学生在建系时可能不只一 种.这里，不仅通过对圆锥曲线 一般建系遵循的对称和简洁来 分析，并且大胆让学生自己建 系，并提前设置三种建系方式， 进行分组求解，最后让学生展示 结果，通过对比得出最简单形式 即抛物线的标准方程。

对于左边抛物线标准方程 及其图形，分别从数和形的两个 角度对应分析，加强对P 的几何 意义的理解这里做两种引导： 第一种是从形到数的引导: 学生通过求曲线方程步骤对另 外三种图形对应的抛物线标准三、抛物线的方程1. 方程推导 (1)建系请同学们将抛物线画在草稿纸上，自己建立平面直角坐标系 (2)推导问题3:以下三种建系方式，你认为哪种建系方式最好？分三组分别求取相应的抛物线方程提示：设卜- 「二* "，先将抛物线的焦点坐标和准线方程求出来， 再来求抛物线的方程•三种建系方式下的抛物线方程分别为：「- - ，■ '，；--”•不难得出，第二种建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第二种建系方式最好•2.拋物线的标难方程三+焦点尺痒Q准线j：Sa■,-■':焦点到准线的距离方程进行求解，这里为了节约时间采取分组求解；第二种引导是由数到形的引导：让学生根据标准方程中X 和Y的取值范围从而确定抛物线的对称轴和开口，进而总结求焦点坐标和准线方程最快速的方法。

图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px（2‘0）x P2(p>0)y2=-2px(P>0)(2‘0)x P2 y亠O x x2=2py(P>0)（0自y Plyl x2=-2py(0, 2)y 2 z|\x(P>0)1）左边是二,右边是一一2）一次定轴3）符号定3.抛物线的四种标准方程问题4 :你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？具体要求：以顶点在原点，焦点在T轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础，分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程，不要求写过程•学生先独立思考，再小组合作交流出抛物线的图形，然后再口答出 焦点坐标和准线方程，通过变式 的探究，加深对标准方程的认 识，进而总结出结论：求抛物线 的焦点坐标和准线方程要先求 出抛物线的标准形式焦点坐标 和准线方程。

四、课堂小结问题5:这节课你学到了什么？请谈谈你的收获培养学生梳理知识点，总结 知识内容，建构知识体系的能 力•1.知识内容:(1)抛物线的定义: 的抛物线的方程，一共有四种形式4. 例题分析例1 ：抛物线的标准方程是 y 2 4x ，求它的焦点坐标 和准线方程变式求下列抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程：6x 5y 205•思考探究你能说明y ax 2(a 0)的图像为什么是抛物线吗？指出它的对策：引导学生从抛物线定义及其标准方程的形式上进行 解答思考二：二次函数表示的图形是抛物线，那么以上四种抛物线的图 形是否都表示二次函数呢？对策：弓I 导学生从函数的实质，即对应关系的角度进行分 析，从而加深对函数的理解(2)抛物线的标准方程: ① 焦点在T 轴正半轴■";② 焦点在二轴负半轴:③ 焦点在匸轴正半轴：：一 ;④ 焦点在F 轴负半轴：：—-—••2. 学习方法与过程： 类比椭圆的研究方法与过程是对这节课所学方法的巩 固和对初中所学相关内容的同 化，也是为下节课作好铺垫.感受抛物线的广泛应用和 文化价值，激发学生学习数学的 兴趣和研究问题的热情•3.学习中用到的数学思想和方法： （1）直接法；（2）待定系数法；（3） 类比的思维方法；（4）数形结合思想. 五、课后延伸 1. 课后作业书，P76, A 组，2题，3题，4题. 2. 课后思考请你思考如何用抛物线的定义来证明一元二次函数 •； - ?的图像是一条抛物线？ 3. 课后延展 （1）抛物线型桥梁通过图片展示南京秦淮河三山桥，湖北宜昌西陵长江大桥，宁波明州 大桥这三座抛物线型桥梁•提出问题：抛物线型拱桥有哪些特点？有哪些优点 ？在桥梁的设计上利用了抛物线的哪些特征？ （2）卫星.提出问题：我们知道卫星天线是根据抛物线原理来制造的 .在制造卫星时利用了抛物线的哪些性质？对此感兴趣或者学有余力的学生， 可以在课后收集相关资料进行学习，并作进一步的探讨.。