2013年数学高考总复习重点精品课件：《1-2-2 三角变换与解三角形》课件

3 ， 2
π 1 B－ ＝－ . ∴sin 3 2
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二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
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π π 2π ∵0＜B＜π，∴－3＜B－3＜ 3 ， π π π ∴B－3＝－6，即 B＝6. 由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B， 3 ∴1＝a ＋3－2×a× 3× ，即 a2－3a＋2＝0， 2
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二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
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53＋ 3· 45° sin 5 3× 3＋1 ＝ ＝ sin 45° 60° cos ＋cos 45° 60° sin 3＋1 2 ＝10 3(海里)， 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30° ＋(90° －60° )＝60° ， BC＝20 3海里，
边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C.
(1)求证：a，b，c成等比数列； (2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.
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二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
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解析： (1)证明：在△ABC 中，由于 sin B(tan A＋tan C) ＝tan Atan C， 所以 sin
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二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
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π 2π ∵0＜C＜π，∴C＝3或 3 . π π 当 C＝3时，A＝2； 2π π 当 C＝ 3 时，A＝6.(不合题意，舍) 所以△ABC 为直角三角形．
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二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
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如图，A、B 是海面上位于东西方向相距 5(3＋ 3) 海里的两个观测点．现位于 A 点北偏东 45° 点北偏西 60° ，B 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行 速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？
2
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③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式 降次； ④弦、切互化：一般是切化弦； ⑤公式的变形应用：如 sin α＝cos αtan α，sin2α＝ 1－cos 2α 1＋cos 2α 2 ， α＝ cos ， α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan tan 2 2 αtan β)，1± sin
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二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
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2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 2tan α (3)tan 2α＝ 2 . 1－tan α 3．正弦定理 a b c sin A＝sin B＝sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. a b c sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
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二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
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1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α± β)＝sin αcos β± αsin β. cos (2)cos(α± β)＝cos αcos β∓sin αsin β. tan α± β tan (3)tan(α± β)＝ . 1∓tan αtan β
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二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
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在 △ DBC 中 ， 由 余 弦 定 理 得 CD2 ＝ BD2 ＋ BC2 － 1 2BD· cos ∠ DBC ＝ 300 ＋ 1 200 － 2×10 3×20 3 × 2 ＝ BC· 900， 30 ∴CD＝30(海里)，则需要的时间 t＝30＝1(小时)． 答：救援船到达 D 点需要 1 小时．
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二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
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tanα＋β－tan α (2)∵tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ ， 1＋tanα＋βtan α 5 1 16＋3 31 ∴tan β＝ 5 1＝43. 1－16×3
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二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
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(2012·山东卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的
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又 A＋B＋C＝π， 所以 sin(A＋C)＝sin B， 所以 sin2B＝sin Asin C. 由正弦定理得 b2＝ac， 即 a，b，c 成等比数列． (2)因为 a＝1，c＝2，所以 b＝ 2. 由余弦定理得 a2＋c2－b2 12＋22－2 3 cos B＝ 2ac ＝ ＝4. 2×1×2
sin A sin C sin A sin C Bcos A＋cos C＝ · ， cos A cos C
所以 sin B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Asin C. 所以 sin Bsin(A＋C)＝sin Asin C.
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二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
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解析： 由题意知 AB＝5(3＋ 3)海里，∠DBA＝90° － 60° ＝30° ，∠DAB＝90° －45° ＝45° ， ∴∠ADB＝180° －(45° ＋30° )＝105° ， DB AB 在△DAB 中，由正弦定理得 ＝ ， sin∠DAB sin∠ADB AB· sin∠DAB 53＋ 3· 45° sin ∴DB＝ ＝ sin 105° sin∠ADB
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7 因为 0<B<π，所以 sin B＝ 1－cos B＝ ， 4
2
1 1 7 7 故△ABC 的面积 S＝2acsin B＝2×1×2× 4 ＝ 4 .
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解三角形的一般方法是：
(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求
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故 a＝1(不合题意，舍)或 a＝2. 又 b2＋c2＝1＋3＝4＝a2， 所以△ABC 为直角三角形．
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方法二：f(B)＝
π 3sinB－3＝－
3 ， 2
π 1 B－ ＝－ . ∴sin 3 2
π π 2π ∵0＜B＜π，∴－3＜B－3＜ 3 ， π π π ∴B－ ＝－ ，即 B＝ . 3 6 6 a 1 3 由正弦定理得： ＝ ＝ ， sin A π sin C sin 6 3 ∴sin C＝ 2 ，
C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用 余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利 用A＋B＋C＝π求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先
用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π，求C，再由正弦定理或余弦 定理求c，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
α＝sin
α α2 cos 2 等． 2±
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sin 1 1． 已知 tan(π＋α)＝－ ， tan(α＋β)＝ . 3 10cos2α－sin 2α (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求 tan β 的值．
π 22－α＋4cos2α
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(2012· 广东卷)已知函数 ω>0，x∈R)的最小正周期为 10π. (1)求 ω 的值； (2)设
π f(x)＝2cos ωx＋6 (其中
π 5 5 16 6 α，β∈0，2，f5α＋3π＝－5，f5β－6π＝17，求
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5．面积公式 1 1 1 S△ABC＝ bcsin A＝ acsin B＝ absin C. 2 2 2 6．解三角形 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解． (2)已知两边及一边的对角， 利用正弦定理或余弦定理求 解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解.
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二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
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(1)三角函数恒等变换的通性通法：从函数名、 角、运算三方面进行差异分析，再利用三角变换使异角化同 角、异名化同名、高次化低次等． (2)三角函数恒等变换的基本策略 ①常值代换： 特别是“1”的代换， 1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等； ②项的分拆与角的配凑： sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α) 如 α＋β α－β ＋cos α；α＝(α－β)＋β，β＝ － ； 2 2
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二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
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3 sin α＝5， 整理得 cos β＝ 8 . 17
π ∵α，β∈0，2，
4 15 2 ∴cos α＝ 1－sin α＝5，sin β＝ 1－cos β＝17.
2
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 4 8 3 15 13 ＝ × － × ＝－ . 5 17 5 17 85
第2课时
三角变换与解三角形
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高频考点 三角变换及求值 正、余弦定理的应用 解三角形与实际应用 问题
考情解读 主要考查两角和与差公式、二倍角公式等三角公式 的灵活应用，包括正用、逆用、变形使用． 常以正弦定理、余弦定理为框架，以三角形为依 托，来综合考查三角知识． 以正、余弦定理为工具，求解距离、高度以及航 海、物理或生产、生活中的其他问题，考查学生综 合运用三角知识解决简单的实际问题的能力.