2014高考数学查缺补漏集中营函数、导数、不等式的综合问题
2014年高考数学高考易错点分类例析,查漏补缺
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故 m＝0，或 m＝－1，或 m＝2. (2)已知集合 A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，p∈R}，若 A∩R*＝∅，则实数 p 的取值范围为 ____________． 答案 (－4，＋∞)
解析 由于 A∩R*＝∅，先求 A∩R*≠∅的情况有 Δ＝p＋22－4≥0， p≥0或p≤－4， 即 解得 p≤－4. p＋2 p<－2， － >0， 2 故当 A∩R*＝∅时，p 的取值范围是(－4，＋∞)． 易错点 2 忽视元素互异性致误 例2 已知集合 A＝{1，x,2}，B＝{1，x2}，若 A∪B＝A，则 x 的不同取值有________种情 ( B．2 C．3 D．4 )
∴A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． 由(x－a－1)(2a－x)>0 得(x－a－1)(x－2a)<0. 且 a<1，∴2a<x<a＋1. ∴B＝(2a，a＋1)，∵B⊆A， 1 ∴2a>1 或 a＋1<－1，∴a> 或 a<－2. 2 1 ∴a∈ 2，1∪(－∞，－2)． 错因分析 从 B⊆A 求字母 a 的范围时，没有注意临界点，区间的端点搞错． x＋3 x－1 正解 ∵2－ ≥0，得 ≥0， x＋1 x＋1 ∴x<－1 或 x≥1，即 A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． ∵(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0. ∵a<1，∴a＋1>2a，∴B＝(2a，a＋1)． ∵B⊆A，∴2a≥1 或 a＋1≤－1， 1 即 a≥ 或 a≤－2，而 a<1， 2 1 ∴ ≤a<1 或 a≤－2. 2 1 故所求实数 a 的取值范围是(－∞，－2]∪ 2，1. 补偿练习 3 设 A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>a}，若 AB，则 a 的取值范围是__________． 答案 (－∞，1]
北京市海淀区2014年高考数学查漏补缺试题(文理)及答案
海淀区高三年级第二学期查漏补缺题数 学 2014.5【容易题】{要重视基础性题目的知识覆盖度，决不能有疏漏，不能满足四套试题的题目，而是要全面温习每一个知识条目下的各个知识点} 1.已知集合{|}M x x a =≤，{2,0,1}N =-，若{2,0}MN =-，则a 的取值范围（ ）A.0a >B.0a ≥C.01a ≤<D. 01a ≤≤ 2.已知R b a ∈、，i a b +是虚数的充分必要条件是（ ）A.0ab ≠B.0a ≠C.0b ≠D. 0a =且0b ≠ 3.极坐标方程(1)0(0)ρθρ-=≥表示的曲线是（ ）A.圆B.直线C.圆和直线D. 圆和射线 4.参数方程⎩⎨⎧+==θθcos 1cos y x （θ为参数）表示的曲线是（ ）A.圆B.直线C.线段D.射线【中等题】{本组试题主要是针对四套试题考点题目，补充一些可能呈现的方式，或者是缺少的知识条目考查，请学生注意关注}5.已知(,0),(0,),(1,2)OA a OB a OC ===，其中0a ≠，若C B A 、、三点共线，则a = .6.已知点(1,0)A ，点P 在圆:C ⎩⎨⎧-==θθsin 21cos 2y x （θ为参数）上，则圆C 的半径为 ，||PA 最小值为 .7.如图，圆O 与圆'O 相交于B A 、两点，AD 与AC 分别是圆O 与 圆'O 的A 点处的切线.若22==BC BD ，则AB = , 若30CAB ∠=，则COB ∠= .8. 如图，BE CD 、是ABC ∆的高，且相交于点F .若BF FE =， 且44FC FD ==，则FE = ，A ∠= .9.已知盒子里有大小质地相同的红、黄、白球各一个，从中有放回的抽取9次，每次抽一个球，则抽到黄球的次数的期望n = ，估计抽到黄球次数恰好为n 次的概率 50%（填大于或小于） 10.三个同学玩出拳游戏（锤子、剪刀、布），那么“其中两人同时赢了第三个人”的结果有B种.11. 函数()f x 的值域为 ________ . 12.在ABC ∆中，1cos 3A =，则sin(45)A += . 13.在ABC ∆中，若120A B +=且cos cos A B >，则B 的范围是 . 14.已知R b a ∈、 ，“a b <”是“23a b <”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 15.已知1232a b ==，则11a b-= . 16.若函数(1),0()(),0ax x x f x x a x x +≥⎧=⎨-<⎩为奇函数，则满足(1)(2)f t f t -<的实数t 的取值范围是 .17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a =+，则n a =_______.18.已知数列{}n a 的前n 项和121n n S a +=-，且12a =，则2=S _________,n a =__________.【难题】{7，8,13，14位置的题目，供大家在本校最后的模拟练习中选用，基础一般的学校可忽略本组试题}19.已知(1,0)A ，曲线:C e ax y =恒过点B ，则点B 的坐标为(0,1)，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP ⋅的最小值为2，则a = .20.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P. （1）下列函数中具有性质P 的有①()2f x x =-+②()sin f x x =([0,2])x π∈ ③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞ （2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是 .【理】21.已知函数2()sin f x x x =，各项均不相等的有限项数列{}n x 的各项i x 满足||1i x ≤.令11()()n ni i i i F n x f x ===⋅∑∑，3n ≥且n ∈N ，例如：123123(3)()(()()())F x x x f x f x f x =++⋅++. 下列给出的结论中：① 存在数列{}n x 使得()0F n =；② 如果数列{}n x 是等差数列，则()0F n >； ③ 如果数列{}n x 是等比数列，则()0F n >； 正确结论的序号是____.22.已知三棱锥P ABC -的侧面PAC ⊥底面ABC ， 侧棱PA AB ⊥，且4PA PC AC AB ====. 如图AB ⊂平面α，以直线AB 为轴旋转三棱锥， 记该三棱锥在平面α上的俯视图面积为S ， 则S 的最小值是 ，S 的最大值是 .23.已知点G F E 、、分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱111DD CC AA 、、的中点，点P Q N M 、、、分别在 线段11B C BE AG DF 、、、上. 以P Q N M 、、、为顶点 的三棱锥P MNQ -的俯视图不可能是（ ）A B C D【解答题】{本组题主要是针对常规题目求解过程，突出操作背后的道理的理解，在模拟题讲评后再次演练落实模拟试题体现的解决过程中的“灵活与变通”} 1.【理】如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直，DAB BC ⊥，//,2AF AC AF CE ⊥，G 是线段BF 上一点，2AB AF BC ===.（Ⅰ）当GB GF =时，求证：//EG 平面ABC ； （Ⅱ）求二面角E BF A --的余弦值；（Ⅲ）是否存在点G 满足BF ⊥平面AEG ？并说明理由.2.已知曲线:C 2()2e 1ax f x x ax =--. （Ⅰ）求函数()f x 在(0,(0))f 处的切线；（Ⅱ）当1a =-时，求曲线C 与直线21y x =-的交点个数； （Ⅲ）若0a >，求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.3.【理】已知椭圆C 的方程为221416x y +=. （Ⅰ）求椭圆C 的长轴长及离心率；（Ⅱ）已知直线l 过(1,0)，与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为椭圆C 的左顶点.是否存在直线l 使得60AMB ∠=︒？如果有，求出直线l 的方程；如果没有，请说明理由.【文】（Ⅱ）已知M 为椭圆C 的左顶点，直线l 过(1,0)且与椭圆C 交于A ，B 两点（不与M 重合）.求证：90AMB ∠>（或者证明AM B ∆是钝角三角形）4.【文】已知椭圆C 的右焦点F ，直线l :1y kx =-恒过椭圆短轴一个顶点B . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若(0,1)A 关于直线:l 1y kx =-的对称点P （不同于点A ）在椭圆上，求出l 的方程.5.【理】已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为31(,)22A .（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知:1l y kx =-，是否存在k 使得点A 关于l 的对称点B （不同于点A ）在椭圆C 上？ 若存在求出此时直线l 的方程，若不存在说明理由.海淀区高三年级第二学期查漏补缺题参考答案数 学 2014.5【容易题】 1.C 2.C 3.D 4.C 【中等题】5. 36. 2 ，7.608. 2 ，609. 3 ， 小于 10. 9 11.13.60120B << 14. D 15.答案： 2 .分析：由 1232ab== 得 11122,32a b==，所以2211log 12,log 3a b==， 所以22211log 12log 3log 42a b-=-==. 16.答案：1t >- .分析：由函数()f x 是奇函数，可得 (1)(1)0f f +-=，得1a =（经检验符合奇函数），画图可知()f x 单调递增，所以 (1)(2)121f t f t t t t -<⇔-<⇔>-.17.答案：12n --分析：由 21n n S a =+ 可得 1121a a =+，解得 11a =-，又1n >时，1122n n n n S S a a ---=-，即12n n a a -=，所以12n n a -=-.18.答案：72，12,1,3(),12n n n a n -=⎧⎪=⎨>⎪⎩分析：由121n n S a +=-可得1221a a =-，解得232a =，237222S =+=. 又1n >时，1122n n n n S S a a -+-=-，即132n n a a +=，所以12,1,3(),12n n n a n -=⎧⎪=⎨>⎪⎩.【偏难题】19.答案： 1 .分析：因为 0e 1= 所以(0,1)B ；考察AB AP ⋅的几何意义，因为||2AB =AB AP ⋅ 取得最小时， 点P 在AB,P B 重合， 这说明曲线:C e ax y =在点(0,1)B 处的切线与AB 垂直， 所以0'e 1axx x y a a =====.20.答案（1） ① ② ，（2）0a a e >≤-或 . 分析：（1）在 0x ≠时1()f x x =有解即函数具有性质P ， ①解方程12x x-+，有一个非0 实根；② 作图可知；③ 作图或解方程均可.（2）()ln f x a x =具有性质P ，显然0a ≠，方程 1ln x x a=有根， 因为()ln g x x x = 的值域为1[,)e -+∞,所以 11a e≥-, 解之可得 0a > 或 a e ≤-.【理】21.答案：__① ③__.分析：可得2()sin f x x x =是奇函数，只需考查01x <≤时的性质，此时2,sin y x y x ==都是增函数，可得2()sin f x x x =在[0,1]上递增， 所以2()sin f x x x =在[1,1]-上单调递增。
2014高考数学查缺补漏集中营 排列、组合、二项式定理、概1
2014高考数学查缺补漏集中营：排列组合二项式定理和概率一、知识整合 二、考试要求：1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. 2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题. 5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. 6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 7．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.8．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. Ⅰ、随机事件的概率例1某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成. (1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为6101，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6101.(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为101.例2一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I1，事件A 是“从m 个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I1)=123)(,n m nm C C A Card C ⋅=+，于是P(A)=3121)()(n m nm C C C I Card A Card +⋅=. Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求： （1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率. 解 （1）从20件产品中任取3件的取法有320C ，其中恰有1件次品的取法为15215C C 。
贵州省2014届高三复习理科数学(人教A)三管齐下：15导数的综合应用 含解析
15导数的综合应用导学目标：1。
应用导数讨论函数的单调性,并会根据函数的性质求参数范围.2。
会利用导数解决某些实际问题．自主梳理1．函数的最值（1)函数f（x)在[a，b]上必有最值的条件如果函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上________,那么它必有最大值和最小值．（2)求函数y＝f(x)在［a，b]上的最大值与最小值的步骤:①求函数y＝f（x）在（a,b)内的________;②将函数y＝f(x）的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．自我检测1．函数f(x）＝x3－3ax－a在（0，1）内有最小值，则a的取值范围为（）A．0≤a〈1 B．0〈a<1C．－1〈a〈1 D．0〈a<错误!2．（2011·汕头月考）设f′（x）是函数f(x）的导函数,将y＝f(x)和y＝f′（x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）3．对于R上可导的任意函数f(x），若满足(x－1)f′(x)≥0,则必有( ）A．f（0）＋f(2)<2f（1）B．f（0)＋f(2)≤2f（1）C．f（0)＋f(2)≥2f(1）D．f(0)＋f(2）〉2f（1)4．（2011·新乡模拟)函数f(x)＝错误!e x (sin x＋cos x）在区间错误!上的值域为______________．5．f(x）＝x（x－c)2在x＝2处有极大值,则常数c的值为________．探究点一求含参数的函数的最值例1 已知函数f(x）＝x2e－ax（a>0），求函数在［1，2］上的最大值．变式迁移1 设a>0，函数f（x)＝错误!.（1）讨论f（x)的单调性；（2)求f（x）在区间[a，2a］上的最小值．探究点二用导数证明不等式例2 (2011·张家口模拟)已知f(x）＝错误!x2－a ln x（a∈R)，(1）求函数f（x）的单调区间；(2）求证:当x〉1时，错误!x2＋ln x<错误!x3.变式迁移2 (2010·安徽）设a为实数，函数f(x）＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f（x）的单调区间与极值;(2）求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1。
2014年高考数学最后提分专项解析1
2014年高考数学最后提分专项解析1集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数一选择题举例：1．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，此时曲线y＝sin(2x＋φ)必过原点，但曲线y＝sin(2x＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．【答案】 A2．设a＝log0.32，b＝log0.33，c＝20.3，d＝0.32，则这四个数的大小关系是() A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜cC．b＜a＜c＜d D．d＜c＜a＜b【解析】由函数y＝log0.3x是减函数知，log0.33＜log0.32＜0.又20.3＞1,0＜0.32＜1，所以b＜a＜d＜c.【答案】 B3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()A．y＝cos 2x，x∈RB．y＝log2|x|，x∈R且x≠0C．y＝e x－e－x2，x∈RD．y＝x3＋1，x∈R【解析】A中，y＝cos 2x在(0，π2)上递减，A不满足题意．C中函数为奇函数，D中函数非奇非偶．对于B：y＝log2|x|(x≠0)是偶函数，在(1,2)内是增函数．【答案】 B4．设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1， x ＜2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )＜2的解集为( ) A ．(10，＋∞) B ．(－∞，1)∪[2，10) C ．(1,2]∪(10，＋∞)D ．(1，10)【解析】 原不等式等价于⎩⎨⎧ x ≥2，log 3(x 2－1)＜2，或⎩⎨⎧x ＜2，2e x －1＜2， 即⎩⎨⎧ x ≥2，0＜x 2－1＜9，或⎩⎨⎧x ＜2，x －1＜0， 解得2≤x ＜10或x ＜1. 【答案】 B5．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )【解析】 函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，则排除B ；当x ＝π2时，y ＝1＞0，排除C ；当x ＝π时，y ＝－π＜0，排除A ，故选D.【答案】 D6．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1【解析】 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13×23－13＝73，S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)，ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.【答案】 B7．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2【解析】 设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a <b ，∴v ＝2s sa ＋s b＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab .又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a .【答案】 A8．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图1所示，则下列结论中一定成立的是( )图1A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)【解析】 当x ＜－2时，y ＝(1－x )f ′(x )＞0，得f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜1时，y ＝(1－x )f ′(x )＜0，得f ′(x )＜0； 当1＜x ＜2时，y ＝(1－x )f ′(x )＞0，得f ′(x )＜0； 当x ＞2时，y ＝(1－x )f ′(x )＜0，得f ′(x )＞0，∴f (x )在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)． 【答案】 D二、填空题举例9．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝________. 【解析】 当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，∴f (1)＝12＋11＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2. 【答案】 －210．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为________．【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．又z ＝2x ＋3y ＋1可化为y ＝－23x ＋z 3－13，结合图形可知z ＝2x ＋3y ＋1在点A 处取得最大值．由⎩⎨⎧ x ＋2y －5＝0，x －y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，故A (3,1)． 此时z ＝2×3＋3×1＋1＝10. 【答案】 1011．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为________．【解析】 当x >1时，ln x >0，sgn(ln x )＝1， ∴f (x )＝1－ln 2x ，令f (x )＝0，得x ＝e. 当x ＝1时，ln x ＝0，sgn(ln x )＝0， ∴f (x )＝－ln 2x ，令f (x )＝0，得x ＝1满足． 当0<x <1时，ln x <0，sgn(ln x )＝－1， ∴f (x )＝－1－ln 2x <0，f (x )＝0无解． ∴函数f (x )的零点为x ＝1与x ＝e. 【答案】 212．已知第一象限的点(a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，则代数式2a ＋3b 的最小值为________．【解析】 由题意知2a ＋3b ＝1，a ＞0，b ＞0，则2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab ≥13＋26b a ·6a b ＝25，当且仅当a ＝b ＝15时取等号，即2a ＋3b 的最小值为25.【答案】 2513．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.【解析】 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1， ∴f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]，∴f (－1)＝－3. 因此g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 【答案】 －114．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (2 013)＝________.【解析】 当x ＞0时，∵f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )， ∴f (x ＋6)＝f (x )，即当x ＞0时， 函数f (x )的周期是6.又∵f (2 013)＝f (335×6＋3)＝f (3)， 由已知得f (－1)＝log 22＝1，f (0)＝0， f (1)＝f (0)－f (－1)＝0－1＝－1， f (2)＝f (1)－f (0)＝－1－0＝－1， f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－(－1)＝0， ∴f (2 013)＝0. 【答案】 015．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是________．【解析】 若a ＝0，则f ′(x )＝0，函数f (x )不存在极值；若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)2≤0，函数f (x )不存在极值；若a ＞0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )＜0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值；若－1＜a ＜0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )＞0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极大值；若a ＜－1，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )＜0，当x ∈(a ，－1)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，所以a ∈(－1,0)．【答案】 (－1,0) 三、解答题举例16．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)＞0}，B ＝{y |y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3}．(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B . 【解】 A ＝{y |y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎨⎧a 2＋1≥4，a ≤2，∴3≤a ≤2或a ≤－ 3.∴a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，2]． (2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0， 依题意Δ＝a 2－4≤0， ∴－2≤a ≤2.∴a的最小值为－2.当a＝－2时，A＝{y|y＜－2或y＞5}．∴∁R A＝{y|－2≤y≤5}．∴(∁R A)∩B＝{y|2≤y≤4}．17．已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)＞2－x成立，求实数k的取值范围．【解】(1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，x∈R，即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，∴(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0对一切x∈R恒成立，∴k＝－1.(2)∵x∈[0，＋∞)，均有f(x)＞2－x，即2x＋k·2－x＞2－x成立，∴1－k＜22x对x≥0恒成立，∴1－k＜(22x)min，∵y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，∴(22x)min＝1，∴k＞0.∴实数k的取值范围是(0，＋∞)．18．设L为曲线C：y＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．【解】(1)设f(x)＝ln xx，则f′(x)＝1－ln xx2.所以f′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方． 19．图2已知函数f (x )＝13ax 3＋(a －2)x ＋c 的图象如图2所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)若g (x )＝kf ′(x )x －2ln x 在其定义域内为增函数，求实数k 的取值范围．【解】 (1)∵f ′(x )＝ax 2＋a －2，由图可知函数f (x )的图象过点(0,3)，且f ′(1)＝0. 得⎩⎨⎧ c ＝3，2a －2＝0，即⎩⎨⎧c ＝3，a ＝1. ∴f (x )＝13x 3－x ＋3. (2)∵g (x )＝kf ′(x )x －2ln x ＝kx －kx －2ln x ，∴g ′(x )＝k ＋k x 2－2x ＝kx 2＋k －2xx 2.∵函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴若函数y ＝g (x )在其定义域内为单调增函数，则函数g ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即kx 2＋k －2x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立．即k ≥2x x 2＋1在区间(0，＋∞)上恒成立．令h (x )＝2xx 2＋1，x ∈(0，＋∞)，则h (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤1(当且仅当x ＝1时取等号)． ∴k ≥1.∴实数k 的取值范围是[1，＋∞)．20．某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(128x ＋20)x 25k 元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y 元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； (2)当k ＝50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？ 【解】 (1)设转盘上总共有n 个座位，则x ＝k n 即n ＝k x ， y ＝3k 2x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(128x ＋20)x 25k 2x， 定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ≤k 2，kx ∈Z . (2)y ＝f (x )＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋(128x ＋20)25， y ′＝－125＋64x 3225x2k 2，令y ′＝0得x ＝2516.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2516时，f ′(x )＜0，即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2516上单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2516，25时，f ′(x )＞0，即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2516，25上单调递增，y 的最小值在x ＝2516时取到，此时座位个数为502516＝32个．21．已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋1.(1)求x ＝1时，f (x )取得极值，求a 的值；(2)求f(x)在[0,1]上的最小值；(3)若对任意m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，求a的取值范围．【解】(1)因为f′(x)＝x2－a，当x＝1时，f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1.又当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1符合题意．(2)当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0,1)成立，所以f(x)在[0,1]上单调递增，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1，当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，x1＝－a，x2＝a，当0＜a＜1时，a＜1，x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x∈(a，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a 3.当a≥1时，a≥1，x∈[0,1]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1；当0＜a＜1时，f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a 3；当a≥1时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.(3)因为∀m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，所以f′(x)＝x2－a≠－1对x∈R成立，只要f′(x)＝x2－a的最小值大于－1即可，而f′(x)＝x2－a的最小值为f(0)＝－a，所以－a＞－1，即a＜1.所以a的取值范围是(－∞，－1)．。
2014高考数学查缺补漏集中营平面向量与解析几何
2014高考数学查缺补漏集中营：平面向量与解析几何一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。
而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。
二、例题解析例1、椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当∠FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。
解： F1（－,0）F2（,0）,设P（3cos,2sin）为钝角∴=9cos2－5＋4sin2=5 cos2－1<0解得：∴点P横坐标的取值范围是（）点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。
本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。
例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求的最大值和最小值。
分析：因为O为AB的中点，所以故可利用向量把问题转化为求向量的最值。
解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：又由中点公式得所以===又因为点P在圆(x-3)2+(y-4)2=4上,所以且所以即故所以的最大值为100，最小值为20。
点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。
例3、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心分析：因为同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知是与∠ABC的角平分线（射线）同向的一个向量，又，知P点的轨迹是∠ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过△ABC的内心。
反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；（1）由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量；（2）求出角平分线的方向向量（3）由点斜式或点向式得出角平分线方程。
2014高考数学终极冲刺押题卷函数、导数、不等式的综合问题
2014高考数学终极冲刺押题卷：函数、导数、不等式的综合问题一、选择题(每小题5分，共25分)1．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )．A.13 B ．－13C.73D ．－13或532．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )．A ．1 B.12 C.52 D.223．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，324．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )． A ．1 B ．2 C ．0 D. 25．设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )．A ．a ＞－3B ． a ＜－3C ．a ＞－13D ．a ＜－13二、填空题(每小题5分，共15分)6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．7．函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的范围是________．8．关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)已知函数f (x )＝13x 3－a ＋12x 2＋bx ＋a .(a ，b ∈R )的导函数f ′(x )的图象过原点．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程； (2)若存在x ＜0，使得f ′(x )＝－9，求a 的最大值．10．(12分)已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b ＋ax ln x ，f (e)＝2(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)求实数b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)当a ＝1时，是否同时存在实数m 和M (m ＜M )，使得对每一个t ∈[m ， M ]，直线y ＝t与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．11．(12分)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)对一切的x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x.参考答案1．D [∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图象开口向上，若图象不过原点，则a ＝0时，f (－1)＝53，若图象过原点，则a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a ＞0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.] 2．D [|MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22.] 3．A [因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.]4．B [∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a 2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1, 2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.]5．B [令f (x )＝e ax＋3x ，可求得f ′(x )＝3＋a e ax ，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即f ′(x )＝3＋a e ax ＝0有正根．当f ′(x )＝3＋a e ax＝0成立时，显然有a ＜0，此时x ＝1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a .由x ＞0，解得a ＜－3，∴a 的取值范围为(－∞，－3)．]6．解析 由题得f ′ (x )＝12x 2－2ax －2b ＝0，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6.∴a ＋b ≥2ab ，∴6≥2ab ，∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时取到最大值． 答案 97．解析 ∵f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5，∴ f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1，如果函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上单调，那么a －1≥0或f ′(－1)＝3＋a ≤0且f ′(2)＝a ≤0，∴a ≥1或a ≤－3.于是满足条件的a ∈(－3,1)． 答案 (－3,1)8．解析 由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0得，x 1＝0，x 2＝2，当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＞0－4－a ＜0，解得－4＜a ＜0.答案 (－4,0)9．解 由已知，得f ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＋b .由f ′(0)＝0，得b ＝0，f ′(x )＝x (x －a －1)．(1)当a ＝1时，f (x )＝13x 3－x 2＋1，f ′(x )＝x (x －2)，f (3)＝1，f ′(3)＝3.所以函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程为y －1＝3(x －3)， 即3x －y －8＝0.(2)存在x ＜0，使得f ′(x )＝x (x －a －1)＝－9， －a －1＝－x －9x＝(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－9x ≥2－x⎝ ⎛⎭⎪⎫－9x ＝6，a ≤－7，当且仅当x ＝－3时，a ＝－7.所以a 的最大值为－7. 10．解 (1)由f (e)＝2，得b ＝2.(2)由 (1)可得f (x )＝－ax ＋2＋ax ln x . 从而f ′(x )＝a ln x . 因为a ≠0，故①当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞1，由f ′(x )＜0得， 0＜x ＜1； ②当a ＜0时，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由f ′(x )＜0得，x ＞1.综上，当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)当a ＝1时，f (x )＝－x ＋2＋x ln x ，f ′(x )＝ln x .由(2)可得，当x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 内变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：又2－e＜2，所以函数f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的值域为[1,2]．据此可得，若⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，M ＝2.则对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点；并且对每一个t ∈(－∞，m )∪(M ，＋∞)，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都没有公共点．综上，当a ＝1时，存在最小的实数m ＝1，最大的实数M ＝2，使得对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点． 11．(1)解 f ′(x )＝ln x ＋1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 则①当0＜t ＜t ＋2＜1e 时，t 无解；②当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1e 时，[f (x )]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；③当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增．所以[f (x )]min ＝f (t )＝t ln t .所以[f (x )]min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜t ＜1e ，t ln t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥1e .(2)解 2f (x )≥g (x )，即2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 则a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，h ′(x )＝x ＋x －x 2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增．所以[h (x )]min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤[h (x )] min ＝4.故实数a 的取值范围是(－∞，4]．(3)证明 问题等价于证明x ln x ＞x e x －2e，x ∈(0，＋∞)．由(1)可知f (x )＝x ln x ，x ∈(0，＋∞)的最小值为－1e ，当且仅当x ＝1e时取得．设m (x )＝x e x －2e ，x ∈(0，＋∞)，则m ′(x )＝1－xex ，易得[m (x )]max ＝m (1)＝－1e.从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x 成立．。
2014高考数学查缺补漏集中营排列、组合、二项式定理与概率
2014高考数学查缺补漏集中营：排列、组合、二项式定理与概率一、选择题(每小题5分，共25分)1．某同学忘记了自己的QQ 号，但记得QQ 号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ 号最多尝试次数为( )．A ．6B ．12C ．18D ．242．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )．A ．10B ．－10C ．40D ．－403．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )．A ．64B ．72 C.84 D ．964．如图，已知函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，若随机向圆O ：x 2＋y 2＝π2内投入一米粒，则该米粒落在区域M 内的概率是( )．A.4π2B.4π3C.2π2 D.2π3 5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是( )． A.18125 B.36125 C.44125D.81125二、填空题(每小题5分，共15分)6．学校要安排4名学生在周六、周日参加社会实践活动，每天至少1人，则学生甲被安排在周六的不同排法的种数为________(用数字作答)．7．若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为________． 8．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)． 三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)已知(1＋2x )n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56.求展开式中所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和．10．(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ＜m ＋2的概率．11．(12分)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； (3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．参考答案1．B [C 24A 22＝6×2＝12.]2．D [因为二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 5·25－r ×(－1)r x10－3r，当r ＝3时，含有x ，其系数为C 35·22×(－1)3＝－40.]3．C [将四种颜色编号为①②③④，A 有4种涂法，设涂①，B 有3种涂法，设涂②.下面分三类：若C 涂①，则D 可涂②③④，共3种涂法； 若C 涂③，则D 可涂②④，共2种涂法； 若C 涂④，则D 可涂②③，共2种涂法． 于是不同的涂法种数为4×3×(3＋2＋2)＝84.]4．C [S M ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝2，S O ＝π·π2＝π3，所以该米粒落在区域M 内的概率是S M S O ＝2π3＝2π2.]5．B [从5个球中随机取出一个球放回，连续取3次的所有取法有5×5×5＝125种，有两次取红球的所有取法有3A 12·A 23＝36种．所以概率为36125.]6．解析 本题考查排列组合知识，由题意知：A 13·A 22＋1＝7.答案 77．解析 令x ＝0得，a 0＝1.令x ＝1，则(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝64，∴m ＋1＝±2， ∴m ＝1或－3. 答案 1或－38．解析 根据条件求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解．因为每人都从三个项目中选择两个，有(C 23)3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有C 23C 13C 12个，故所求概率为C 23C 13C 12C 233＝23.答案 239．解 根据题意，设该项为第r ＋1项，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r n 2r ＝2C r －1n 2r －1，C r n 2r ＝56C r ＋1n 2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧C r n ＝C r －1n ，C r n ＝53C r ＋1n ，亦即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2r －1，n ！rn －r ＝53×n ！r ＋1n －r －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，n ＝7.令x ＝1得展开式中所有项的系数和为(1＋2)7＝37＝2 187. 所有项的二项式系数和为27＝128.10．解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n)有：(1,1)，(1,2)，(1, 3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个． 又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316.故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.11．解 (1)由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．(2)记A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P(A)＝C 14C 16C 210＝815.(3)A i 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，i ＝0,1,2. B j 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j 名男工人，j ＝0,1,2. B 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人． A i 与B j 独立，i ，j ＝0,1,2，且B ＝A 0·B 2＋A 1·B 1＋A 2·B 0. 故P(B)＝P(A 0·B 2＋A 1·B 1＋A 2·B 0)＝P(A 0)·P(B 2)＋P(A 1)·P(B 1)＋P(A 2)·P(B 0)＝C 24C 210·C 24C 210＋C 14C 16C 210·C 16C 14C 210＋C 26C 210·C 26C 210＝3175.。
高考数学查缺补漏集中营 数学思想在解题中的应用(1)(1
2014高考数学查缺补漏集中营：数学思想在解题中的应用(一)(时间：45分钟 满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－6,1)，而(λa＋b)⊥(a －λb)，则实数λ等于 ( )．A ．1或2B ．2或－12C ．2D ．02．公差不为零的等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于 ( )．A ．18B ．24C ．60D ．90 3．函数y ＝cos 4x2x 的图象大致是( )．4．已知集合A ＝{(x ，y)|x 、y 为实数，且x2＋y2＝1}，B ＝{(x ，y)|x 、y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A∩B 的元素个数为 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．35．若关于x 的方程x2＋2kx －1＝0的两根x1、x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，则k 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 二、填空题(每小题5分，共15分)6． AB 是过椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a ＞b ＞0)的中心弦，F(c,0)为它的右焦点，则△FAB 面积的最大值是________．7．长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为π3，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________．8．已知F 是双曲线x24－y212＝1的左焦点，定点A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ 的斜率的值．10．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx.(1)若函数y ＝f(x)在x ＝2处有极值－6，求y ＝f(x)的单调递减区间； (2)若y ＝f(x)的导数f′(x)对x ∈[－1,1]都有f′(x)≤2，求ba －1的范围．11．(12分)已知函数f(x)＝ln(x ＋1)－k(x －1)＋1. (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k 的取值范围； (3)证明：ln 23＋ln 34＋ln 45＋…＋ln n n ＋1＜nn －14(n ∈N*且n ＞1)．参考答案1．B [由(λa＋b)⊥(a －λb)得(λa＋b)·(a－λb)＝0， ∴(3λ－6,2λ＋1)·(3＋6λ，2－λ)＝0， ∴λ＝2或λ＝－12，故选B.]2．C [设数列{an}的公差为d. 则⎩⎪⎨⎪⎧a3a7＝a24，S8＝a1＋a882＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧a3a3＋4d ＝a3＋d 2，a1＋a8＝8，解得：a1＝－3，d ＝2，∴S10＝10×(－3)＋10×92×2＝60.]3．A [易知函数y ＝cos 4x2x 是非奇非偶函数，由此可排除C ，D 项，对此A ，B 项，当x ＞0时，x 取值越大，y ＝cos 4x2x的波动幅度越小，由此排除B 项，故选A.]4．C [法一 由题得⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝1，x ＋y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.A∩B＝{(x ，y)|(1,0)，(0,1)}，所以选C.法二 直接作出单位圆x2＋y2＝1和直线x ＋y ＝1，观察得两曲线有两个交点，故选C.] 5．B [构造函数f(x)＝x2＋2kx －1，∵关于x 的方程x2＋2kx －1＝0的两根x1、x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1≥0，f 0＜0，f 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k≥0，－1＜0，4k ＋3＞0，∴－34＜k≤0.]6．解析 如图所示，F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′为平行四边形，S △ABF ＝S △ABF′＝12·|FF′|·h≤bc.当A 与短轴端点重合时，(S △ABF)max ＝bc.答案 bc7．解析 建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA →＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n)，即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α. 故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3≤233.答案2338．解析 设双曲线的右焦点为E ，则|PF|－|PE|＝4，|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|，当A 、P 、E 共线时，(|PE|＋|PA|)min ＝|AE|＝1－42＋4－02＝5，|PF|＋|PA|的最小值为9.答案 99．解 (1)因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上，故a25a2＋a22b2＝1，可得b2a2＝58.于是e2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x0，y0)． 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y0＝kx0，x20a2＋y20b2＝1.消去y0并整理得x20＝a2b2k2a2＋b2.①由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2.整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0，而x0≠0，故x0＝－2a 1＋k2，代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·a2b2＋4.由 (1)知a2b2＝85，故(1＋k2)2＝325k2＋4，即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝± 5.10．解 (1)f′(x)＝3x2＋2ax ＋b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧f′2＝0，f 2＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a ＋b ＝0，8＋4a ＋2b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝－2.∴f′(x)＝3x2－5x －2.由f′ (x)＜0，得－13＜x ＜2.∵y ＝f(x)的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f′－1＝3－2a ＋b≤2，f′1＝3＋2a ＋b≤2得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －1≥0，2a ＋b ＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －1＝0，2a ＋b ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.∴Q 点的坐标为(0，－1)． 设z ＝ba －1，则z 表示平面区域内的点(a ，b)与点P(1,0)连线斜率． ∵kPQ ＝1，由图可知z≥1或z ＜－2， 即ba －1∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)． 11．解 (1)函数f(x)的定义域为 (1，＋∞)，f′(x)＝1x －1－k. 当k≤0时，∵x －1＞0，∴1x －1＞0，f′(x)＞0. 则f(x)在(1，＋∞)上是增函数．当k ＞0时，令f′(x)＝0，即1x －1－k ＝0，得x ＝1＋1k .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，1＋1k 时，f′(x)＝1x －1－k ＞11＋1k －1－k ＝0，则f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1k 上是增函数． 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋1k ，＋∞时，f′(x)＝1x －1－k ＜11＋1k－1－k ＝0， ∴f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋1k ，＋∞上是减函数． 综上可知，当k≤0时， f(x)在(1，＋∞)上是增函数；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋1k ，＋∞上是减函数． (2)由(1)知，当k≤0时，f(2)＝1－k ＞0，不成立． 故只考虑k ＞0的情况．又由(1)知f(x)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＝－ln k. 要使f(x)≤0恒成立，只要f(x)max≤0即可． 由－ln k≤0得k≥1.(3)证明：由(2)知当k ＝1时，有f(x)≤0在(1，＋∞)内恒成立， 又f(x)在[2，＋∞)内是减函数，f(2)＝0. ∴x ∈(2，＋∞)时，恒有f(x)＜0成立，即ln(x －1)＜x －2在(2，＋∞)内恒成立． 令x －1＝n2(n ∈N*且n ＞1)，则ln n2＜n2－1. 即2ln n ＜(n －1)(n ＋1)， ∴ln n n ＋1＜n －12(n ∈N*，且n ＞1)． ∴ln 23＋ln 34＋ln 45＋…＋ln n n ＋1＜12＋22＋32＋…＋n －12＝nn －14，即ln 23＋ln 34＋ln 45＋…＋ln n n ＋1＜nn －14(n ∈N*且n ＞1)成立．。
2014高考数学查缺补漏集中营 解析几何
2014高考数学查缺补漏集中营：解析几何一、知识整合高考中解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。
其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。
选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。
解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。
能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的标准方程：222)()(rbyax=-+-（r＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：22=++++FEyDxyx，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cossinx ry rθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.二、近几年高考试题知识点分析2004年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．1．选择、填空题1．1 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主（1）对直线、圆的基本概念及性质的考查例1 以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_________． （2）对圆锥曲线的定义、性质的考查例2已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是（A ）26 （B ）23（C ）3（D ）21．2 部分小题体现一定的能力要求能力，注意到对学生解题方法的考查例3若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（A ）0k <<（B ）0k <<（C ）0k << （D ）05k <<2．解答题解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质．以中等难度题为主，通常设置两问，在问题的设置上有一定的梯度，第一问相对比较简单．例4已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m,0）(m是大于0的常数).（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线与y 轴交于点M. l 的斜率．本题第一问求椭圆的方程，是比较容易的，对大多数同学而言，是应该得分的；而第二问，需要进行分类讨论，则有一定的难度，得分率不高．解：（I ）设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a b y a x由已知，得,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==.故所求的椭圆方程是1342222=+m y m x（II ）设Q （QQ y x ,），直线),0(),(:km M m x k y l 则点+=当),,0(),0,(,2km M m F QF MQ -=由于时由定比分点坐标公式，得,62.139494,)3,32(.31210,32212022222±==+-=++=-=+-=k mm k m m kmm Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点0(2)()2,2,1212Q Q m km MQ QF x m y km+-⨯-=-==-==--- 当时.于是.0,134422222==+k m m k m m 解得 故直线l 的斜率是0，62±.例5（04全国文科Ⅰ）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y a x 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且5.12PA PB = 求a 的值.解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a2）x2+2a2x －2a2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率01,).e a a e e e ==<<≠∴>≠+∞ 即离心率的取值范围为（II ）设)1,0(),,(),,(12211Py x B y x A.125).1,(125)1,(212211x x y x y x PA =-=-∴=由此得由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，2222222222172522289,.,,121121160170,.13a a a x x x aa a a a =-=--=--->=所以消去得由所以例6给定抛物线C ：,42x y =F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）设l 的斜率为1，求OB OA 与夹角的大小；（Ⅱ）设]9,4[,∈=λλ若AF FB ，求l 在轴上截距的变化范围.解：（Ⅰ）C 的焦点为F （1，0），直线l 的斜率为1，所以l 的方程为.1-=x y将1-=x y 代入方程x y 42=，并整理得 .0162=+-x x设),,(),,(2211y x B y x A 则有 .1,62121==+x x x x.31)(2),(),(212121212211-=++-=+=⋅=⋅x x x x y y x x y x y x OB OA.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+⋅+=x x x x x x y x y x OB OA.41143||||),cos(-=⋅=OB OA OB OA OB OA 所以OB OA 与夹角的大小为.41143arccos -π（Ⅱ）由题设AF FB λ= 得 ),,1(),1(1122y x y x --=-λ即⎩⎨⎧-=-=-.1212),1(1y y x x λλ由②得21222y y λ=， ∵ ,4,4222121x y x y == ∴.122x x λ=③ 联立①、③解得λ=2x ，依题意有.0>λ∴),2,(),2,(λλλλ-B B 或又F （1，0），得直线l 方程为 ),1(2)1()1(2)1(--=--=-x y x y λλλλ或当]9,4[∈λ时，l 在方程y 轴上的截距为,1212---λλλλ或① ②由 ,121212-++=-λλλλλ 可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴ ,431234,341243-≤--≤-≤-≤λλλλ 直线l 在y 轴上截距的变化范围为].34,43[]43,34[⋃-- 从以上3道题我们不难发现，对解答题而言，椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有考查的可能，而且在历年的高考试题中往往是交替出现的，以江苏为例，01年考的是抛物线，02年考的是双曲线，03年考的是求轨迹方程（椭圆），04年考的是椭圆． 三、热点分析与2005年高考预测 1．重视与向量的综合在04年高考文科12个省市新课程卷中，有6个省市的解析几何大题与向量综合，主要涉及到向量的点乘积（以及用向量的点乘积求夹角）和定比分点等，因此，与向量综合，仍是解析几何的热点问题，预计在05年的高考试题中，这一现状依然会持续下去． 例7（02年新课程卷）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （－1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=，其中α、β∈R，且α＋β=1，则点C 的轨迹方程为（A ）（x －1）2＋（y －2）2=5 （B ）3x ＋2y －11=0 （C ）2x －y=0 （D ）x ＋2y －5=0例8（04辽宁）已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x PB PA y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线2．考查直线与圆锥曲线的位置关系几率较高在04年的15个省市文科试题（含新、旧课程卷）中，全都“不约而同”地考查了直线和圆锥曲线的位置关系，因此，可以断言，在05年高考试题中，解析几何的解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系的概率依然会很大． 3．与数列相综合在04年的高考试题中，上海、湖北、浙江解析几何大题与数列相综合，此外，03年的江苏卷也曾出现过此类试题，所以，在05年的试题中依然会出现类似的问题． 例9如图，ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 为线段BC 的中点,P2为线段CO 的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn 的坐标为(xn,yn),.2121++++=n n n n y y y a（Ⅰ）求321,,a a a 及n a;（Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y nn（Ⅲ）若记,,444*+∈-=N n y y b n n n证明{}n b 是等比数列. 解：(Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ，所以2321===a a a ，又由题意可知213+++=n n n y y y ，∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++∴{}n a 为常数列.∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得,124121=++++n n n y y y又∵2214++++=n n n y y y ，∴.414n n yy -=+ （Ⅲ）∵)41()41(44444841n n n n n yy y y b ---=-=+++-)(41444n n y y --=+,41n b -=又∵,041431≠-=-=y y b∴{}n b 是公比为41-的等比数列.4．与导数相综合近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合，如03年的天津文科试题、04年的湖南文理科试题，都分别与向量综合．例10（04年湖南文理科试题）如图，过抛物线x2=4y 的对称轴上任一点P （0,m ）(m>0)作直线与抛物线交于A,B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
高考数学查缺补漏集中营 数列(1)
2014高考数学查缺补漏集中营：数列一、知识整合1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题； 2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力． 3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法． 二、方法技巧1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。
(2)通项公式法： ①若 =+（n-1）d=+（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列；②若，则{}n a 为等比数列。
(3)中项公式法：验证中项公式成立。
2. 在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当1a >0,d<0时，满足100m m a a +≥⎧⎨≤⎩的项数m 使得m S 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足100m m a a +≤⎧⎨≥⎩的项数m 使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
三、注意事项 1．证明数列{}n a 是等差或等比数列常用定义，即通过证明11-+-=-n n nn a a a a 或11-+=n n n n a aa a 而得。
2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
高考数学查缺补漏集中营 函数、导数、不等式的综合问题(1)
2014高考数学查缺补漏集中营：函数、导数、不等式的综合问题一、选择题(每小题5分，共25分)1．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x ＋1(a ∈R)的导函数y ＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )．A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或532．设直线x ＝t 与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为( )．A ．1 B.12 C.52 D.223．已知函数f(x)＝12x4－2x3＋3m ，x ∈R ，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，324．已知函数f(x)＝x2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )．A ．1B ．2C ．0 D. 25．设a ∈R ，若函数y ＝eax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )． A ．a ＞－3 B ． a ＜－3 C ．a ＞－13 D ．a ＜－13二、填空题(每小题5分，共15分)6．若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．7．函数f(x)＝13x3－x2＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的范围是________．8．关于x 的方程x3－3x2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)已知函数f(x)＝13x3－a ＋12x2＋bx ＋a.(a ，b ∈R)的导函数f′(x)的图象过原点．(1)当a ＝1时，求函数f(x)的图象在x ＝3处的切线方程；(2)若存在x ＜0，使得f′(x)＝－9，求a 的最大值． 10．(12分)已知a ，b 为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax ＋b ＋axln x ，f(e)＝2(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)求实数b 的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当a ＝1时，是否同时存在实数m 和M(m ＜M)，使得对每一个t ∈[m ， M]，直线y ＝t 与曲线y ＝f(x)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．11．(12分)已知f(x)＝xln x ，g(x)＝－x2＋ax －3. (1)求函数f(x)在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)对一切的x ∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1ex －2ex.参考答案1．D [∵f′(x)＝x2＋2ax ＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，若图象不过原点，则a ＝0时，f(－1)＝53，若图象过原点，则a2－1＝0，又对称轴x ＝－a ＞0，∴a ＝－1，∴f(－1)＝－13.] 2．D [|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－ln x 的最小值，h′(x)＝2x －1x ＝2x2－1x ，显然x＝22是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22.] 3．A [因为函数f(x)＝12x4－2x3＋3m ，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m －272，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m≥32.] 4．B [∵函数f(x)＝x2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a 2≥1，得a≥2.又∵g′(x)＝2x －ax ，依题意g′(x)≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a 在x ∈(1, 2)上恒成立，有a≤2，∴a ＝2.]5．B [令f(x)＝eax ＋3x ，可求得f′(x)＝3＋aeax ，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即f′(x)＝3＋aeax ＝0有正根．当f′(x)＝3＋aeax ＝0成立时，显然有a ＜0，此时x ＝1aln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a .由x ＞0，解得a ＜－3，∴a 的取值范围为(－∞，－3)．] 6．解析 由题得f′ (x)＝12x2－2ax －2b ＝0，∴f′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6.∴a ＋b≥2ab ，∴6≥2ab ，∴ab≤9，当且仅当a ＝b ＝3时取到最大值． 答案 97．解析 ∵f(x)＝13x3－x2＋ax －5，∴ f′(x)＝x2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1，如果函数f(x)＝13x3－x2＋ax －5在区间[－1,2]上单调，那么a －1≥0或f′(－1)＝3＋a≤0且f′(2)＝a≤0，∴a≥1或a≤－3.于是满足条件的a ∈(－3,1)． 答案 (－3,1) 8．解析 由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x ＝3x(x －2)，令f′(x)＝0得，x1＝0，x2＝2，当x ＜0时，f′(x)＞0；当0＜x ＜2时，f′(x)＜0；当x ＞2时，f′(x)＞0，所以当x ＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a ；当x ＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＞0－4－a ＜0，解得－4＜a ＜0.答案 (－4,0)9．解 由已知，得f′(x)＝x2－(a ＋1)x ＋b. 由f′(0)＝0，得b ＝0，f′(x)＝x(x －a －1)．(1)当a ＝1时，f(x)＝13x3－x2＋1，f′(x)＝x(x －2)，f(3)＝1，f′(3)＝3.所以函数f(x)的图象在x ＝3处的切线方程为y －1＝3(x －3)， 即3x －y －8＝0.(2)存在x ＜0，使得f′(x)＝x(x －a －1)＝－9， －a －1＝－x －9x ＝(－x)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－9x ≥2－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－9x ＝6，a≤－7，当且仅当x ＝－3时，a＝－7.所以a 的最大值为－7.10．解 (1)由f(e)＝2，得b ＝2.(2)由 (1)可得f(x)＝－ax ＋2＋axln x. 从而f′(x)＝aln x. 因为a≠0，故①当a ＞0时，由f′(x)＞0，得x ＞1，由f′(x)＜0得， 0＜x ＜1； ②当a ＜0时，由f′(x)＞0，得0＜x ＜1，由f′(x)＜0得，x ＞1.综上，当a ＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a ＜0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)当a ＝1时，f(x)＝－x ＋2＋xln x ，f′(x)＝ln x.由(2)可得，当x 在区间⎢⎡⎥⎤1e ，e 内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x 1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1 1 (1，e) e f′(x) － 0 ＋ f(x) 2－2e单调递减极小值1单调递增2又2－2e＜2，所以函数f(x)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的值域为[1,2]．据此可得，若⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，M ＝2.则对每一个t ∈[m ，M]，直线y ＝t 与曲线y ＝f(x)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点；并且对每一个t ∈(－∞，m)∪(M ，＋∞)，直线y ＝t 与曲线y ＝f(x)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都没有公共点．综上，当a ＝1时，存在最小的实数m ＝1，最大的实数M ＝2，使得对每一个t ∈[m ，M]，直线y ＝t 与曲线y ＝f(x)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点． 11．(1)解 f′(x)＝ln x ＋1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 则①当0＜t ＜t ＋2＜1e 时，t 无解；②当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1e 时，[f(x)]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；③当1e ≤t＜t ＋2，即t≥1e 时，f(x)在[t ，t ＋2]上单调递增． 所以[f(x)]min ＝f(t)＝tln t. 所以[f(x)]min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜t ＜1e ，tln t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥1e .(2)解 2f(x)≥g(x)，即2xln x≥－x2＋ax －3， 则a≤2ln x＋x ＋3x.设h(x)＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，h′(x)＝x ＋3x －1x2.当x ∈(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增． 所以[h(x)]min ＝h(1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤[h(x)] min＝4.故实数a 的取值范围是(－∞，4]． (3)证明 问题等价于证明xln x ＞x ex －2e ，x ∈(0，＋∞)．由(1)可知f(x)＝xln x ，x ∈(0，＋∞)的最小值为－1e ，当且仅当x ＝1e时取得．设m(x)＝x ex －2e ，x ∈(0，＋∞)，则m′(x)＝1－xex ，易得[m(x)]max ＝m(1)＝－1e.从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1ex －2ex 成立．。
西城区高三查缺补漏试题数学含答案
2014年北京市西城区高三数学查缺补漏试题2014.5一、选择题1.已知23loglog 1x y <<，那么( ）(A)3x y << （B ）3y x << （C ）3y x <<（D)3x y <<2.（理）在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2,12x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ=（ ） （A ）2 （B ）2- （C ）5（D ）5-3.“0,0a b >>"是“曲线221axby +=为椭圆”的（)（A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C)充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4.设函数()sin f x x =的导函数为()f x '，那么要得到函数()f x 的图象，只需将()f x '的图象（ ） （A ）向左平移π4个单位（B ）向右平移π4个单位（C ）向左平移π2个单位（D ）向右平移π2个单位5.已知函数()log(2)1mf x x =-+(0m >,且1m ≠）的图象恒过点P ，且点P 在直线1(0,0)ax by a b +=>>上，那么ab 的（ ） （A ）最大值为14（B ）最小值为14(C ）最大值为12（D ）最小值为126. 在约束条件1,0,2a x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤下，设目标函数z x y =+的最大值为M ，则当46a ≤≤时，M的取值范围是（ ）（A)[3,5]（B ）[2,4]（C)[1,4] （D ）[2,5]7.某三棱锥的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且正（主)视图如图所示，则此三棱锥的表面积为（（A ）6+ （B ） （C ）(D ），或6+8.根据市场调查，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量nS （万件）近似地满足2(215)90nnSn n (1,2,,12)n ，按此预测，在本年内,需求超过1。
2014高考数学查缺补漏集中营 不等式及线性规划问题
2014高考数学查缺补漏集中营：不等式及线性规划问题一、选择题(每小题5分，共25分)1．若a ＞b ，则下列不等式恒成立的是( )．A ．a3＞b3B ．lg a ＞lg bC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D.1a ＜1b 2．已知不等式ax2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|2＜x ＜4}，则不等式cx2＋bx ＋a ＜0的解集为( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜14 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12＜x ＜14 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞12或x ＜14 3．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是 ( )．A.72B ．4 C.92D ．5 4．设a ＞0，则函数f(x)＝4x ＋a x ≥42(x ＞0)成立的一个充分不必要条件是 ( )．A ．a≥2B ．a ＝1C ．a ＝4D ．a≤35．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y≥0，y≥x，y≥－x ＋b ，且z ＝2x ＋y 的最小值为4，则实数b 的值为( )．A ．0B ．2C ．3D ．4二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知点A(m ，n)在直线x ＋2y －1＝0上，则2m ＋4n 的最小值为________．7．已知a ＝(m,1)，b ＝ (1－n,1)(其中m 、n 为正数)，若a ∥b ，则1m ＋2n的最小值是________． 8．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝ax(a ＞0，a≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？10．(12分)已知函数f(x)＝ex ＋2x2－3x.(1)求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x≥12时，若关于x 的不等式f(x)≥52x2＋ (a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围． 11．(12分)已知函数f(x)＝x2＋bx ＋c(b ，c ∈R)，对任意的x ∈R ，恒有f′(x)≤f(x)．(1)证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2；(2)若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求M 的最小值． 参考答案1．A [当a ＜0，b ＜0时，lg a ，lg b 无意义，所以B 不正确；当a ＞b 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，所以C 不正确；当a ＞0，b ＜0时，1a ＞1b，所以D 不正确．] 2．D [由已知a ＜0，把2和4看作方程ax2＋bx ＋c ＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧ －b a ＝6，c a ＝8，∴b＝－6a ，c ＝8a ，即cx2＋bx ＋a ＜0⇔8ax2－6ax ＋a ＜0.∵a ＜0，∴8x2－6x ＋1＞0，解得：x ＞12或x ＜14.] 3．C [∵a ＋b ＝2，∴y ＝1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ＋4a b ＋4≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2 b a ·4a b ＝92.] 4．C [由f(x)＝4x ＋a x≥4a ≥42，得a≥2，所以选C.] 5．C [画出可行域可知y ＝－2x ＋z 过⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3，2b 3时z 取得最小值，所以2×b 3＋2b 3＝4，b ＝3.] 6．解析 因为点A(m ，n)在直线x ＋2y －1＝0上，所以有m ＋2n ＝1；2m ＋4n ＝2m ＋22n≥22m·22n＝22m ＋2n ＝2 2.答案 2 27．解析 向量a ∥b 的充要条件是m×1＝1×(1－n)，即m ＋n ＝1，故1m ＋2n ＝(m ＋n)⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝3＋n m ＋2m n≥3＋2 2. 答案 3＋2 28．解析 因为二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，如图阴影部分且左、右两端点坐标分别为P(1,9)，Q(3,8)，由函数y ＝ax 的图象经过区域M ，如图所示．则由图象可知⎩⎪⎨⎪⎧ a1≤9，a3≥8，即2≤a≤9.所以a 的取值范围是[2,9]．答案 [2,9]9．解 设每间虎笼的长、宽分别为x m 、y m.则s ＝xy.(1)由题意知：4x ＋6y ＝36.∴2x ＋3y ＝18.又2x ＋3y≥26xy ，∴xy≤ 2x ＋3y 224＝18224＝272， 当且仅当2x ＝3y ＝9，即x ＝4.5，y ＝3时，s ＝xy 最大，∴每间虎笼的长为4.5 m ，宽为3 m 时，每间虎笼面积最大．(2)由题意知xy ＝24，4x ＋6y≥224·xy＝48，当且仅当4x ＝6y 时，取得等号．由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＝6y ，xy ＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝4.∴每间虎笼的长为6 m ，宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小．10．解 (1)f′(x)＝ex ＋4x －3，则f′(1)＝e ＋1，又f(1)＝e －1，∴曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －e ＋1＝(e ＋1)(x －1)， 即(e ＋1)x －y －2＝0.(2)由f(x)≥52x2＋(a －3)x ＋1，得 ex ＋2x2－3x≥52x2＋(a －3)x ＋1，即ax≤ex－12x2－1. ∵x≥12，∴a≤ex －12x2－1x. 令g(x)＝ex －12x2－1x， 则g′(x)＝ex x －1 －12x2＋1x2. 令φ(x)＝ex(x －1)－12x2＋1， 则φ′(x)＝x(ex －1)．∵x≥12，∴φ′(x)＞0，∴φ(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， ∴φ(x)≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝78－12 e ＞0， 因此g′(x)＞0，故g(x)在12，＋∞上单调递增， 则g(x)≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝＝2e －94， ∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2 e －94. 11．(1)证明 易知f′(x)＝2x ＋b.由题设，对任意的x ∈R ，2x ＋b≤x2＋bx ＋c ，即x2＋(b－2)x ＋c －b≥0恒成立，所以(b －2)2－4(c －b)≤0，从而c≥b24＋1.于是c≥1， 且c≥2 b24×1＝|b|，因此2c －b ＝c ＋(c －b)＞0. 故当x≥0时，有(x ＋c)2－f(x)＝(2c －b)x ＋c (c －1)≥0.即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.(2)解 由(1)知c≥|b|.当c ＞|b|时，有M≥f c －f b c2－b2＝c2－b2＋bc －b2c2－b2＝c ＋2b b ＋c. 令t ＝b c ，则－1＜t ＜1，c ＋2b b ＋c ＝2－11＋t. 而函数g(t)＝2－11＋t (－1＜t ＜1)的值域是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32. 因此，当c ＞|b|时，M 的取值集合为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 当c ＝|b|时，由(1)知b ＝±2，c ＝2.此时f(c)－f (b)＝－8或0，c2－b2＝0，从而f(c)－f(b)≤32(c2－b2)恒成立．综上所述，M 的最小值为32.。
2014高考冲刺数学查缺补漏
1．在 ABC 中，C-A=
（2）求 A，B 之间的距离．
3 ，sinA= ． 2 3
5．某高校在自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[75，80)，第二组[80， 85)，第三组[85，90)，第四组[90，95)，第五组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示． 频率 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 75 80 85 90 95 100 分数
A 3．已知向量 m＝(sin x,1)，n＝( 3Acos x， cos 2x) (A>0)，函数 f(x)＝m· n 的最大值为 6． 2 （1）求 A 的值； π 1 （2）将函数 y＝f(x)的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得 12 2 到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)在 0,
图1
图2
上的一点， D1E 面 D1 AC ，设 AB 2 ． （1）求二面角 E AC D1 的余弦值； （2）在 D1E 上是否存在一点 P ，使 A 1P// 面 EAC ? 若存在，求 D1 P : PE 的值；若不存在，请说明理由．
（1）求数列 an 的通项公式； （2）求数列 an 的及前 n 项和 Tn ； （3）试求所有的正整数 m ，使得
82,88
40 40
88,94
32 29
94,100
8 6
BAD 150 ， PDA 30 ．
（1）求证： PA 平面 ABCD ； （2）在线段 PD 上是否存在一点 F ，使直线 CF 与平面 PBC 成角正 弦值等于
P
A B C
2014高考数学查缺补漏集中营概率、随机变量及其分布列
2014高考数学查缺补漏集中营：概率、随机变量及其分布列一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 的值为( ).A ．5B ．6C ．7D ．82．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )．A.827 B.6481 C.49 D.893．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ＝( )．A ．1B ．4C ．2D ．不能确定4．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )．A.34B.23C.45D. 7105．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分的情况)，则ab 的最大值为( )．A.148 B.124 C.112 D.16二、填空题(每小题5分，共15分)6．随机变量ξ服从正态分布N (40，σ2)，若P (ξ＜30)＝0.2，则P (30＜ξ＜50)＝________. 7．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________． 8．盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用．从盒中随机抽取2个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X ，则X 的数学期望E (X )＝________. 三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6,0.5,0.75.(1)求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；(2)求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率．10．(12分)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．11．(12分)某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核．若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过12，且他直到参加第二次考核才合格的概率 为932. (1)求小李第一次参加考核就合格的概率P 1；(2)求小李参加考核的次数X 的分布列和数学期望E (X )．参考答案1．C [由题意得0.5＋0.1＋b ＝1，得b ＝0.4，由4×0.5＋a ×0.1＋9×b ＝6.3，求得a 的值为7.]2．A [前三局中甲获胜2局，第四局甲胜，则P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827.]3．B [根据题意函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.]4．A [设甲命中目标为事件A ，乙命中目标为事件B ，丙命中目标为事件C ，则目标被击中的事件可以表示为A ∪B ∪C ，即击中目标表示事件A 、B 、C 中至少有一个发生． ∴P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C ) ＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率为1－P (A ·B ·C )＝1－14＝34.]5．B [由已知得3a ＋2b ＋0×c ＝1，即3a ＋2b ＝1，∴ab ＝16·3a ·2b ≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b 22＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝124，当且仅当3a ＝2b ＝12时取等号，即ab 的最大值为124.]6．解析 P (ξ＜30)＝P (ξ＞50)＝0.2，P (30＜ξ＜50)＝1－P (ξ＜30)－P (ξ＞50)＝0.6.答案 0.67．解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P ＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝1132.答案11328．解析 X 可能取值有2、3、4，P (X ＝2)＝C 22C 27＝121.P (X ＝3)＝C 12C 15C 27＝1021.P (X ＝4)＝C 25C 27＝1021.E (X )＝2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝247.答案2479．解 (1)分别记甲，乙，丙通过审核材料为事件A 1，A 2，A 3记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核为事件B ，则P (B )＝P (A 1A2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A1A 2A 3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.(2)分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为事件C ，D ，E ，记甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格为事件F ， 则P (C )＝P (D )＝P (E )＝0.3，∴P (F )＝C 23×0.32×0.7＋C 33×0.33＝0.189＋0.027＝0.216.10．解 记A i 表示事件：第1次和第2次这2次发球，甲共得i 分，i ＝0,1，2；A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2.(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P (A 0·A )＋P (A 1·A ) ＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A ) ＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.(2)P (A 2)＝0.62＝0.36. ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (A 2·A )＝P (A 2)P (A )＝0.36×0.4＝0.144， P (ξ＝2)＝P (B )＝0.352，P (ξ＝3)＝P (A 0·A )＝P (A 0)P (A )＝0.16×0.6＝0.096， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－0.144－0.352－0.096 ＝0.408.E (ξ)＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝0.408＋2×0.352＋3×0.096 ＝1.400.11．解 (1)由题意得(1－P 1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫P 1＋18＝932， ∴P 1＝14或58.∵P 1＞12，∴P 1＝58.(2)由(1)知小李4次考核每次合格的概率依次为58，34，78，1，所以P (X ＝1)＝58，P (X ＝2)＝932，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－58⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×78＝21256， P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－58⎝⎛⎭⎪⎫1－34⎝⎛⎭⎪⎫1－78×1＝3256， 所以X 的分布列为∴E (X )＝1×58＋2×32＋3×256＋4×256＝256.。
2014高考数学查缺补漏集中营数学思想在解题中的应用(2)
2014高考数学查缺补漏集中营：数学思想在解题中的应用(二)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是( )．A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(0,1]D ．[0,2]2．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )．A ．504种B ．960种C ．1 008种D ．1 108种 3．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为( )．A.53B.52C.52或153D.53或544．在等比数列{a n }中，a 1＝a ，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}成等差数列，则S n 等于( )．A ．an ＋1－a B ．n (a ＋1) C ．naD ．(a ＋1)n－15．已知函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f (x )≤174对一切x ∈R 都成立，则参数a 的取值范围为( )．A ．3＜a ＜4B ．3＜a ≤4 C．3≤a ≤4 D．3≤a ＜4 二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是________．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9 成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________．8．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________． 三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }是首项为1，公比为b 的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .10．(12分)如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1＜t ＜3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A 、B 、C 、D 四点，点A 1、A 2分别为C 2的左、右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程． 11．(12分)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果当x ＞0，且x ≠1时，f (x )＞ln x x －1＋kx，求k 的取值范围．参考答案1．B [转化为f ′(x )＝3x 2－3b 在(0,1)内与x 轴有两交点，只需f ′(0)＜0且f ′(1)＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧－3b ＜0，3－3b ＞0得0＜b ＜1.]2．C [①当丙在10月7日值班时共A 22A 55＝240种；②当丙不在10月7日值班时，若甲、乙有1人在10月7日值班时，共C 12C 14A 44＝192种排法，若甲、乙不在10月7日值班时，共有C 13(C 12A 44＋C 13A 22A 44)＝576种． 综上知，共240＋192＋576＝1 008种．]3．D [当双曲线焦点在x 轴上时，b a ＝34，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝916，∴e 2＝2516，∴e ＝54；当双曲线焦点在y 轴上时，b a ＝43，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝169， ∴e 2＝259，∴e ＝53.]4．C [利用常数列判断a ，a ，a ，…，则存在等差数列a ＋1，a ＋1，a ＋1，…或通过下列运算得到：2(aq ＋1)＝(a ＋1)＋(aq 2＋1)，q ＝1，S n ＝na .] 5．C [f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋a ＋14.令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，∴f (x )变为g (t )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋a ＋14，t ∈[－1,1]，g (t )max ＝a ＋14， g (t )min ＝a －2,1≤f (x )≤174对x ∈R 恒成立，即g (t )max ≤174且g (t )min ≥1恒成立，即3≤a ≤4.]6．解析 当a ＞1时，y ＝a x 在[1,2]上递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32；当0＜a ＜1时，y ＝a x在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或a ＝32.答案 12或327．解析 由题意知，只要满足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件，{a n }取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列a n ＝n (n ∈N *)，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316.答案13168．解析 依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|BF 1|，即4c 2＝(a －c )·(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，得e ＝c a ＝55. 答案559．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1＝2n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)当b ＝1时， a n b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.此时T n ＝2＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2＋1；当b ≠1时，a n b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，n －b n －1，n ≥2.此时T n ＝2＋3b ＋5b 2＋…＋(2n －1)bn －1，①两端同时乘以b 得，bT n ＝2b ＋3b 2＋5b 3＋…＋(2n －1)b n.② ①－②得，(1－b )T n ＝2＋b ＋2b 2＋2b 3＋…＋2b n －1－(2n －1)b n＝2(1＋b ＋b 2＋b 3＋…＋b n －1)－(2n －1)b n－b＝－bn1－b－(2n －1)b n－b ， 所以T n ＝－b n －b2－n －b n1－b－b1－b. 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋1，b ＝1，－b n－b 2－n －b n 1－b －b1－b ，b ≠1.10．解 (1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|.由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209，从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．11．解 (1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x x ＋2－bx2.由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，f ＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x －1＋k x ＝11－x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2ln x ＋k －x 2－x. 考虑函数h (x )＝2ln x ＋k －x 2－x(x ＞0)，则h ′(x )＝k －x 2＋＋2xx 2.(ⅰ)设k ≤0，由h ′(x )＝k x 2＋－x －2x 2知，当x ≠1时，h ′(x )＜0.而h (1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得11－x 2h (x )＞0.从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x －1＋k x ＞0，即f (x )＞ln x x －1＋kx.(ⅱ)设0＜k ＜1，由于当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，11－k 时，(k －1)(x 2＋1)＋2x ＞0， 故h ′(x )＞0.而h (1)＝0，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11－k 时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＜0.与题设矛盾．(ⅲ)设k ≥1.此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得11－x2h (x )＜0.与题设矛盾．综合得k 的取值范围为(－∞，0]．。
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2014高考数学查缺补漏集中营：函数、导数、不等式的综合问题一、选择题(每小题5分，共25分)1．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )．A.13 B ．－13C.73D ．－13或532．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )．A ．1 B.12 C.52 D.223．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，324．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )． A ．1 B ．2 C ．0 D. 25．设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )．A ．a ＞－3B ． a ＜－3C ．a ＞－13D ．a ＜－13二、填空题(每小题5分，共15分)6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．7．函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的范围是________．8．关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)已知函数f (x )＝13x 3－a ＋12x 2＋bx ＋a .(a ，b ∈R )的导函数f ′(x )的图象过原点．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程； (2)若存在x ＜0，使得f ′(x )＝－9，求a 的最大值．10．(12分)已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b ＋ax ln x ，f (e)＝2(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)求实数b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)当a ＝1时，是否同时存在实数m 和M (m ＜M )，使得对每一个t ∈[m ， M ]，直线y ＝t与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．11．(12分)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)对一切的x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x.参考答案1．D [∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图象开口向上，若图象不过原点，则a ＝0时，f (－1)＝53，若图象过原点，则a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a ＞0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.] 2．D [|MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22.] 3．A [因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.]4．B [∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a 2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1, 2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.]5．B [令f (x )＝e ax＋3x ，可求得f ′(x )＝3＋a e ax ，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即f ′(x )＝3＋a e ax ＝0有正根．当f ′(x )＝3＋a e ax＝0成立时，显然有a ＜0，此时x ＝1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a .由x ＞0，解得a ＜－3，∴a 的取值范围为(－∞，－3)．]6．解析 由题得f ′ (x )＝12x 2－2ax －2b ＝0，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6.∴a ＋b ≥2ab ，∴6≥2ab ，∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时取到最大值． 答案 97．解析 ∵f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5，∴ f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1，如果函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上单调，那么a －1≥0或f ′(－1)＝3＋a ≤0且f ′(2)＝a ≤0，∴a ≥1或a ≤－3.于是满足条件的a ∈(－3,1)． 答案 (－3,1)8．解析 由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0得，x 1＝0，x 2＝2，当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＞0－4－a ＜0，解得－4＜a ＜0.答案 (－4,0)9．解 由已知，得f ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＋b .由f ′(0)＝0，得b ＝0，f ′(x )＝x (x －a －1)．(1)当a ＝1时，f (x )＝13x 3－x 2＋1，f ′(x )＝x (x －2)，f (3)＝1，f ′(3)＝3.所以函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程为y －1＝3(x －3)， 即3x －y －8＝0.(2)存在x ＜0，使得f ′(x )＝x (x －a －1)＝－9， －a －1＝－x －9x＝(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－9x ≥2－x⎝ ⎛⎭⎪⎫－9x ＝6，a ≤－7，当且仅当x ＝－3时，a ＝－7.所以a 的最大值为－7. 10．解 (1)由f (e)＝2，得b ＝2.(2)由 (1)可得f (x )＝－ax ＋2＋ax ln x . 从而f ′(x )＝a ln x . 因为a ≠0，故①当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞1，由f ′(x )＜0得， 0＜x ＜1； ②当a ＜0时，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由f ′(x )＜0得，x ＞1.综上，当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)当a ＝1时，f (x )＝－x ＋2＋x ln x ，f ′(x )＝ln x .由(2)可得，当x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 内变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：又2－e＜2，所以函数f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的值域为[1,2]．据此可得，若⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，M ＝2.则对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点；并且对每一个t ∈(－∞，m )∪(M ，＋∞)，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都没有公共点．综上，当a ＝1时，存在最小的实数m ＝1，最大的实数M ＝2，使得对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点． 11．(1)解 f ′(x )＝ln x ＋1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 则①当0＜t ＜t ＋2＜1e 时，t 无解；②当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1e 时，[f (x )]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；③当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增．所以[f (x )]min ＝f (t )＝t ln t .所以[f (x )]min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜t ＜1e ，t ln t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥1e .(2)解 2f (x )≥g (x )，即2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 则a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，h ′(x )＝x ＋3x －1x 2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增．所以[h (x )]min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤[h (x )] min ＝4.故实数a 的取值范围是(－∞，4]．(3)证明 问题等价于证明x ln x ＞x e x －2e，x ∈(0，＋∞)．由(1)可知f (x )＝x ln x ，x ∈(0，＋∞)的最小值为－1e ，当且仅当x ＝1e时取得．设m (x )＝x e x －2e ，x ∈(0，＋∞)，则m ′(x )＝1－xex ，易得[m (x )]max ＝m (1)＝－1e.从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x 成立．。