2014年高考数学 创新型数列
2014理科数学高考解答题基本题型---数列(广东)
理科数学高考解答题基本题型---数列一、考试大纲（1）数列的概念和简单表示法① 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式） ② 了解数列是自变量为正整数的一类函数。
（2）等差数列、等比数列① 理解等差数列、等比数列的概念② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式③ 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系 二、考情分析数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，因此在高考中占有重要地位。
高考对数列的考察比较全面，一方面考查等差、等比数列的基础知识和基本技能，另一方面常和函数、导数、方程、不等式等内容交汇在一起，综合性强。
1、 分组转化求和法考向：把数列求和转化为几组分别求和，分段后求和，分类后求和等. 2、 裂项相消求和法考向：通过对数列的通项公式的分解（裂项），使之产生相互抵消的项，达到数列求和的目的.3、 错位相减求和法考向：在等差数列、等比数列的混合问题中，出现一个等差数列与一个等比数列对应项相乘后的新数列，这个数列的求和使用乘等比数列的公比后，错位相减的方法.4、 数列的简单应用考向：数列在解决实际问题中的应用. 5、数列证明问题中的运算考向：①在数学证明中，证明过程往往是以计算为主的，即通过计算的结果达到证明的目的，这说明运算求解能力在数学证明中具有重要地位．典型的是函数导数试题中不等式的证明、数列问题中不等式的证明．②数列中的证明问题有等式的证明、不等式的证明、数列性质的证明等，在数列的证明问题中计算是完成证明的关键，运算求解能力是数列证明的核心．6、递推关系考向：多种递推关系，大家要熟悉。
三、高考原题1.（2011广东理数20）设0>b ，数列}{n a 满足b a =1,)2(2211≥-+=--n n a nba a n n n ．(1)求数列}{n a 的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n ,1112n n n ba ++≤+．解：方法1：∵)2(2211≥-+=--n n a nba a n n n ，∴11)1(2--=-+n n n n nba a n a a ，∴b a n b a n n n 1)1(21+-=-， 当2=b 时， ∴2111=---n n a n a n ， ∴当2≥n 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是以21111==b a 为首项，公差为1的等差数列， ∴211)1(21-=⨯-+=n n a n n ， ∴122-=n n a n ．∵21=a 也符合， ∴122-=n na n ，N n ∈． 当2≠b 时， 令 ∴)1(21t a n b t a n n n +-=+-， ∴)12()1(21-+-⋅=-b t a n b a n n n ，∴bt -=21， ∴)211(2211b a n b b a n n n -+-=-+- ∴b ba nb a n n n 2211)21(1=-+--+-， ∴当2≥n 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+b a n n 21是以)2(22112111b b b b b a -=-+=-+为首项，公比为b 2的等比数列， ∴n n nb b b b b b a n )2()2(1)2()2(2211-=-=-+-， ∴n n n n b b b n a --=2)2( ． ∵b a =1也符合， ∴nn nn bb b n a --=2)2(，N n ∈． 综上：当2=b 时，1=n a ，N n ∈． 当1≠b 时，nnn bb b n a --=1)1(，N n ∈． 方法2：（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，12为公差的等差数列， 即111(1)222n b n n =+-⨯=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，1a b =，2222222(2)22b b b a b b -==+-，33223333(2)242b b b a b b b -==++-， 猜想(2)2n n n nnb b a b -=-，下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立；②假设当n k =时，(2)2k k k kkb b a b -=-，则1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2k k k k k k k k k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +++++⋅+⋅-+-===+--+⋅--， 所以当1n k =+时，猜想成立，由①②知，*n N ∀∈，(2)2n n n nnb b a b -=-． （2）证明：当2=b 时，21211121112112122=-+≤-+=-+-=-=n n n n n a n ，1111211222n n n n b +++++=+=． ∴对于一切正整数n ,1112n n n b a ++≤+． 当2≠b 时， ∴nn nn b b b n a --=2)2(, ∴要证1112n n n b a ++≤+．即证≤--nn n b bb n 2)2(1112n n b +++． 即证n n n n b b bb n 12221+≤--+．即证n n n n n n n b b b b b b n 1222221122321+≤+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅++-----．即证n b b b b b b n n n n n n n ≥+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅++-----+)2222)(12(1223211．设)2222)(12(1223211-----++⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅++=n n n n n n n b b b b bb S ,∴)1222()2222(23121143322b b b b b b b b S n n n n n n n n +⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-----+)22()22()22()12(1132432322+-++⋅⋅⋅++++++=n nn n b b b b b b b b∴根据均值不等式得：1132432322222222222122+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅≥n nnn b b b b b b b b S n =+⋅⋅⋅+++=1111．∴当2≠b 时，对于一切正整数n ,1112n n n ba ++≤+．综上：对于一切正整数n ,1112n n n ba ++≤+．2.（2012广东理数19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，*n ∈N ，且1a ，25a +，3a 成等差数列.（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< . 解：（1）当1n =时，21122221S a a ==-+，得2123a a =+当2n =时，3212322()21S a a a =+=-+，得31613a a =+ 因为1a ，25a +，3a 成等差数列所以2132(5)a a a +=+，即1112(235)613a a a ++=++，解得11a = （2）11221n n n S a ++=-+……①当2n ≥时，1221nn n S a -=-+……② ①-②得122nn n n a a a +=-- 整理得132nn n a a +=+ 则1123(2)n n n n a a +++=+即11232n n nn a a +++=+(2)n ≥ 由（1）得25a =，所以当1n =时，2211232a a +=+ 所以{2}nn a +是以3为首项，3为公比的等比数列 所以1233nn n a -+=⋅所以32nnn a =-，*n ∈N（3）证明：当1n =时，11312a =<当2n ≥时，132n n +>所以1111132222n n n n nn a +=<=-- 所以12311211(1)1111111131342111(1)12222222212n n n n n a a a ---+++<++++=+=+-=-<- .所以对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< .3．（2013广东理数19）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 解：(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .四、拓展训练1、在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，且a 1a 3＝4，a 3＋1是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n ＋1＋log 2a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：（1）由a n >0可知公比q >0，则可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1a 3＝4，2（a 3＋1）＝a 2＋a 4⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 22＝4，2（a 3＋1）＝a 2＋a 4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，2（a 2q ＋1）＝a 2＋a 2q 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，q ＝2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，故a n ＝2n －1. （2）∵b n ＝a n ＋1＋log 2a n ＝2n ＋（n －1），∴S n ＝（21＋22＋23＋…＋2n ）＋［0＋1＋2＋…＋（n －1）］＝2（1－2n ）1－2＋n （n －1）2＝2n ＋1＋n （n －1）2－2.2、 已知函数f (x )＝xx ＋3，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝3n 2a n a n ＋1，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求证：S n <12.解：（1）由已知a n ＋1＝a n a n ＋3，取倒数得1a n ＋1＝3a n ＋1，变形为1a n ＋1＋12＝31a n ＋12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是首项为1a 1＋12＝32，公比为3的等比数列，所以1a n ＋12＝32×3n －1＝3n 2， 所以a n ＝23n －1.（2）证明：由（1）知b n ＝2×3n （3n －1）（3n ＋1－1）＝13n －1－13n ＋1－1， 所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝131－1－132－1＋132－1－133－1＋…＋13n －1－13n ＋1－1＝12－13n ＋1－1<12.3、已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2且n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n ，并证明：S n2n >2n －3.解：（1）∵a n ＝2a n －1＋2n （n ≥2且n ∈N *）， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1， 即a n 2n －a n －12n －1＝1（n ≥2，且n ∈N *），∴数列a n 2n 是等差数列，公差d ＝1，首项为12，于是a n 2n＝12＋（n －1）·1＝n －12，∴a n ＝n －12·2n . （2）由（1）得S n ＝12·21＋32·22＋…＋n －12·2n ，①2S n ＝12·22＋32·23＋52·24＋…＋n －12·2n ＋1，②①－②得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －n －12·2n ＋1＝2＋22＋23＋…＋2n －n －12·2n ＋1－1＝2（1－2n ）1－2－n －12·2n ＋1－1＝（3－2n ）·2n －3. ∴S n ＝（2n －3）·2n ＋3.∵S n ＝（2n －3）·2n ＋3>（2n －3）·2n ，∴S n2n >2n －3.4、 某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的本校课程．要求每个学生都参加，且第一次听“音乐欣赏”课的人数为m (400<m <600，其余的人听“美术鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择．据往届经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有20%改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30%改选“音乐欣赏”，用a n ，b n 分别表示在第n 次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数．(1)若m ＝500，分别求出第二次、第三次选“音乐欣赏”课的人数a 2，a 3； (2)①证明数列{a n －600}是等比数列，并用n 表示a n ；②若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5 800，求m 的取值范围． 解：（1）由已知a n ＋b n ＝1000，又a 1＝500，所以b 1＝500. a 2＝0.8a 1＋0.3b 1＝550，b 2＝450. a 3＝0.8a 2＋0.3b 2＝575.（2）①由题意得a n ＋1＝0.8a n ＋0.3b n ，又a n ＋b n ＝1 000， 所以a n ＋1＝0.8a n ＋0.3（1000－a n ）＝0.5a n ＋300. a n ＋1－600＝0.5a n －300＝0.5（a n －600）. 由于a 1＝m ∈（400，600），所以a 1－600≠0.所以数列{a n －600}是首项为m －600，公比为12的等比数列.所以a n －600＝（m －600）×12n －1，即a n ＝600＋（m －600）×12n －1.②前十次听“音乐欣赏”课的学生总人次即为数列{a n }的前10项和S 10.S 10＝600×10＋（m －600）×1－12101－12＝6000＋（m －600）×1023512.由已知S 10≤5800，即6000＋（m －600）×1023512≤5800，即200≤（600－m ）×1023512，即600－m ≥200×5121023，即m ≤600－200×5121023≈499.9，故m ≤499.所以m 的取值范围是（400，499］且m ∈N *.5、（2013·江西卷） 正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. 解：(1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得 [S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项为a n ＝2n .(2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，则b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1（n ＋2）2. T n ＝116⎣⎡1－132＋122－142＋132－152＋…＋1（n －1）2－⎦⎤1（n ＋1）2＋1n 2－1（n ＋2）2＝1161＋122－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564.。
2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A ．B．3C ．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A ．B ．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A ．B ．C ．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A ．B．3C ．D．211．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A ．（1，+∞）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A ．6B ．6C ．4D ．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x ﹣y ）（x +y ）8的展开式中x 2y 7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．（5分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a=2且（2+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，则△ABC 面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n ≠0，a n a n +1=λS n ﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n +2﹣a n =λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s 2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s 2．（i ）利用该正态分布，求P （187.8＜Z ＜212.2）；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX ．附：≈12.2．若Z ～N （μ，σ2）则P （μ﹣σ＜Z ＜μ+σ）=0.6826，P （μ﹣2σ＜Z ＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ．（Ⅰ）证明：AC=AB 1；（Ⅱ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC ，求二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx +，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C ：+=1，直线l ：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．【考点】集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【考点】复数的运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．【考点】函数奇偶性的性质与判断．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．【考点】双曲线的性质．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C 的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．【考点】等可能事件和等可能事件的概率．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．【考点】抽象函数及其应用．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin （），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin （）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．【考点】命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．【考点】抛物线的性质．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF 的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f （）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．12．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．﹣20．【考点】二项式定理．【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．A．【考点】进行简单的合情推理．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．90°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc ≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC 面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n }为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O 为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y 轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos ＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E 的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ 的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx +，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx ＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x ﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g （）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x ﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．选修4-1：几何证明选讲22．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C ：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C 的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l ：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l 的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA |取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA |取得最小值，最小值为．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．关注公众号：麦田笔墨获取更多干货第11页（共11页）（Ⅱ）∵2a +3b ≥2=2，当且仅当2a=3b 时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a ，b ，使得2a +3b=6成立．【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。
2014年高考数学数列求通项经典性总结,学会他们再难高考题都不怕
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
2014年高考新课标Ⅱ卷数列题解答分析
2014 年高考新课标Ⅱ卷数列题解答剖析
在第（Ⅰ）小题中，这四种解法主要波及的知识都包
括等比数列的观点、通项以及乞降公式等知识。
可是在其余
方面，略有差别。
如技术方面，解法1、解法 3、解法 4 关注运算技术、变形技术和推理论证技术的使用，而解法 2 还波及猜想、归纳等数学活动；在思想方法的运用上，解法 1 主要表现化归思想，解法 2 主要采纳合情推理和归纳的思想，
而解法 3 波及字母替代思想、转变思想，解法 4 采纳累加相消方法和整体思想。
第（Ⅱ）小题着重对考生数学思想与方法的考察，充足
表现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特点。
多视角、多维度、多层次地考察了考生的数学思想质量和思想能力，
考察了考生对数学实质的理解及考生的数学修养及其学习
潜能。
相同，该小题的解答也出色纷呈，方法多样。
因此，结论对全部自然数都建立。
此题解法多样，能够让不一样思想方式的学生显现自己
解决问题的能力。
同时，问题的解决也拥有必定的探究性。
三、教课思虑
此题满分 12 分，全省理科考生 151098 人中，均分 3.35，划分度 0.54，难度 0.72，约三分之一的学生零分，此题得分
整体状况反响了考生对数列的知识掌握状况不容乐观，需要在教课方面加以改良。
第一，加强知识累积，着重典型试题解法对学生问题解
决能力的培育。
总之，此题不失为一道好题，能够正确地反应思想的多
样性，解决过程拥有必定的探究性，进而让不一样的学生都能够依据自己的思想方式和思想特点去解决。
2014高考系统复习数学(文)精品课件(人教A版) 7-1 数列的概念与简单表示法
与名师对话
高考总复习 ·课标版 ·A
数学（文）
解析：从图中可观察星星的构成规律，n＝1 时，有 1 个； n＝2 时，有 3 个；n＝3 时，有 6 个；n＝4 时，有 10 个；„ nn＋1 ∴an＝1＋2＋3＋4＋„＋n＝ . 2
答案：C
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数学（文）
解：(1)因为各项是从 4 开始的偶数， 所以 an＝2n＋2. (2) 由 于 每 一 项 分 子 比 分 母 少 1 ， 而 分 母 可 写 为 2n－1 21,22,23,24,25， 故所求数列的一个通项公式可写为 an＝ n . „， 2 (3)由于带有正负号，故数列可以用(－1)n 去掉负号，观察可得．
)
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高考总复习 ·课标版 ·A
数学（文）
3 解析：∵1 可以写成 ，∴分母为 3,5,7,9， 3 即 2n＋1，分子可以看为 1×3,2×4,3×5,4×6， nn＋2 故为 n(n＋2)，即 an＝ . 2n＋1 1 此题也可用排除法求解， 只需验证当 n＝1 时， 选项为 ， A 3 3 3 B 选项为2，C 选项为4，均不为 1，故排除 A、B、C，从而选 D.
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高考总复习 ·课标版 ·A
数学（文）
(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，„易看出第 2,3,4 项的分 2－3 子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－ 2 ， 原数列可化为－ 21－3 22－3 23－3 24－3 ， 2 ，－ 3 ， 4 ，„， 21 2 2 2 2n－3 ∴an＝(－1)n· n . 2
2014年高考理科数学真题分类——数列
2014年高考数学真题汇编——数列一．选择题1. （2014大纲）等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C ．2. (2014重庆)对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列248.,,C a a a 成等比数列 239.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】.∴D 选要求角码成等差3. (2014北京)设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件D试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当0,1a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则4. （2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14DC5. （2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >【答案】C【解析】 ..0.00;00:.,1111111C d a d a d a a a a a a a n n n 选且或且分情况解得即递减由同增异减知，<∴><<><+二．填空题1. (2014江苏) 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .2(2014安徽)数列{}n a 是等差数列，若a 1+1，a 3+3，a 5+5构成公比为q 的等比数列，则q= . 12．13(2014北京)若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.4(2014广东)若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则5 (2014天津)设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________. 【答案】21-【解析】 解：12-依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-.6. (2014上海)设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= 。
2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word解析版) 十一、数列(逐题详解)
2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word 解析版) 十一、数列（逐题详解）第I 部分1.【2014年重庆卷（理02）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】设{}n a 公比为q ，因为336936,a aq q a a ==，所以369,,a a a 成等比数列，选择D2.【2014年福建卷（理03）】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，S 3=12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14【答案】C【解析】由题意可得S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=12，解得a 2=4，∴公差d=a 2﹣a 1=4﹣2=2，∴a 6=a 1+5d=2+5×2=12，故选：C ．3.【2014年辽宁卷（理08）】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >【答案】C【解析】∵等差数列{a n }的公差为d ，∴a n+1﹣a n =d ，又数列{2}为递减数列，∴=＜1，∴a 1d ＜0．故选：C4.【2014年全国大纲卷（10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】∵等比数列{a n }中a 4=2，a 5=5，∴a 4•a 5=2×5=10，∴数列{lga n }的前8项和S=lga 1+lga 2+…+lga 8=lg （a 1•a 2…a 8）=lg （a 4•a 5）4=4lg （a 4•a 5）=4lg10=4故选：C第II 部分5.【2014年上海卷（理08）】设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134l i mnn a a a a →∞=+++，则q = . 【答案】512q -=【解析】：223111510112a a q a q q q q q -±==⇒+-=⇒=--，∵01q <<，∴512q -=6.【2014年广东卷（理13）】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= 。
2014届高考数学一轮复习教学案数列的综合应用(含解析)
数列的综合应用[知识能否忆起]1．数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：2．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n ＋1的递推关系，还是前n 项和S n 与S n ＋1之间的递推关系．[小题能否全取]1．某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是( )A ．800B ．820C ．840D ．860解析：选B 由题意可设高一、高二、高三三个年级的人数分别为a －d ，a ，a ＋d . 则a －d ＋a ＋a ＋d ＝2 460，解得a ＝2 4603＝820.故高二年级共有820人．2．(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析：选B 设至少需n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100，即1－2n 1－2≥100，解得n ≥7. 3．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( ) A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定解析：选B a 3＋a 9≥2a 3a 9＝2a 26＝2a 6＝2b 7＝b 4＋b 10，当且仅当a 3＝a 9时，不等式取等号．4．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为2π3，公差为π36，则这个多边形的边数为________．解析：由于凸n 边形的内角和为(n －2)π， 故2π3n ＋n (n －1)2×π36＝(n －2)π. 化简得n 2－25n ＋144＝0.解得n ＝9或n ＝16(舍去)． 答案：95．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，x n ＝________，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．解析：∵y ＝x n ＋1，∴y ′＝(n ＋1)x n ，它在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 与x 轴交点的横坐标为x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1， 由a n ＝lg x n 得a n ＝lg n －lg(n ＋1)， 于是a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg3＋…＋lg 99－lg 100＝lg 1－lg 100＝0－2＝－2. 答案：nn ＋1－2 1.对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，有的数列并没有指明，但可以通过分析构造，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．2．数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步提高，这一部分内容也将受到越来越多的关注．典题导入[例1] 在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n . [自主解答] (1)证明：∵b n ＝log 2a n ， ∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q 为常数，∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2， ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0， ∴b 5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1，∴S n ＝4n ＋n (n －1)2×(－1)＝9n －n 22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝25－n (n ∈N *)．试比较(2)求出的S n 与a n 的大小． 解：∵a n ＝25－n >0，当n ≥9时，S n ＝n (9－n )2≤0，∴n ≥9时，a n >S n .∵a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1， a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18，S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10， S 6＝9，S 7＝7，S 8＝4， ∴当n ＝3,4,5,6,7,8时，a n <S n ；当n ＝1,2或n ≥9时，a n >S n .由题悟法解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．以题试法1．(2012·河南调研)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }和数列{b n }满足等式a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n (n 为正整数)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意知d >0， 由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16，① 由a 3a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55，②由①得2a 1＝16－7d ，将其代入②得(16－3d )(16＋3d )＝220，即256－9d 2＝220.∴d 2＝4，又d >0，∴d ＝2，代入①得a 1＝1， ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1. (2)∵当n ＝1时，a 1＝b 12，∴b 1＝2.当n ≥2时，a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n －12n －1＋b n 2n ，a n －1＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n －12n －1，两式相减得a n －a n －1＝b n 2n ，∴b n ＝2n ＋1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.当n ＝1时，S 1＝b 1＝2；当n ≥2时，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2＋b 2(1－2n －1)1－2＝2n ＋2－6，当n ＝1时上式也成立．综上，当n 为正整数时，S n ＝2n ＋2－6.典题导入[例2] (2011·湖南高考改编)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.则第n 年初M 的价值a n ＝________.[自主解答] 当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，34为公比的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6. [答案] a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7.由题悟法1．数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后求解．2．处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系．以题试法2．从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业估计收入400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出表达式； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？解：(1)第一年投入为800万元，第二年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15万元， 第n 年内的总投入为800⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元， 所以，n 年的投入为：a n ＝800＋800⎝⎛⎭⎫1－15＋…＋800⎝⎛⎭⎫1－15n －1 ＝4 000－4 000⎝⎛⎭⎫45n.第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为 400⎝⎛⎭⎫1＋14万元． 第n 年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元， 所以，n 年内的旅游业总收入为 b n ＝400＋400⎝⎛⎭⎫1＋14＋…＋400⎝⎛⎭⎫1＋14n －1 ＝1 600⎝⎛⎭⎫54n－1 600.(2)设经过n 年旅游业的总收入超过总投入，由此b n －a n >0， 即1 600⎝⎛⎭⎫54n －1 600－4 000＋4 000⎝⎛⎭⎫45n >0， 化简得2⎝⎛⎭⎫54n ＋5⎝⎛⎭⎫45n －7>0，设⎝⎛⎭⎫45n ＝x ，代入上式，得5x 2－7x ＋2>0， 解此不等式，得x <25或x >1(舍去)，即⎝⎛⎭⎫45n <25，由此得n ≥5.故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．典题导入[例3] (2012·安徽高考)设函数f (x )＝x 2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式； (2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n . [自主解答] (1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，得cos x ＝－12，解得x ＝2k π±2π3(k ∈Z )．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知，x n ＝2n π－2π3(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sin ⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)π－2n π3. 因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，n (n ＋1)一定为偶数， 所以sin S n ＝－sin 2n π3.当n ＝3m －2(m ∈N *)时，sin S n ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2m π－4π3＝－32； 当n ＝3m －1(m ∈N *)时，sin S n ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2m π－2π3＝32； 当n ＝3m (m ∈N *)时，sin S n ＝－sin 2m π＝0.综上所述，sin S n＝⎩⎨⎧－32，n ＝3m －2(m ∈N *)，32，n ＝3m －1(m ∈N *)，0，n ＝3m (m ∈N *).由题悟法数列与函数的综合问题主要有以下两类：(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决．以题试法3． (2012·温州测试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2＋t ，S 5－S 2＝24＋3t (t >0)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝aq n ＋n ，若b 1＝a 1，b 5＝a 5，试比较a 3与b 3的大小． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S 5－S 2＝3a 1＋9d ＝24＋3t ， 又a 1＝2＋t ，所以d ＝2， 故a n ＝2n ＋t (t >0)．(2)由已知可得aq ＝1＋t >0，aq 5＝5＋t ， 可得3＋t ＝12(aq ＋aq 5)，又aq 5－aq ＝aq (q 4－1)＝4，则q 4>1，得q 2>1.则a 3－b 3＝3＋t －aq 3＝aq2(q 2－1)2>0，故a 3>b 3.1．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为( )A.2 B ．4 C ．2D.12解析：选C 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝－36，S 13＝－104，等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7，则b 6的值为( )A ．±4 2B ．－4 2C ．4 2D ．无法确定解析：选A 依题意得，S 9＝9a 5＝－36⇒b 5＝a 5＝－4，S 13＝13a 7＝－104⇒b 7＝a 7＝－8，所以b 6＝±4 2.3．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64解析：选D 依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2.所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.4.列，那么x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由题知表格中第三列中的数成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故第四列的公比为12，所以y ＝5×⎝⎛⎭⎫123＝58，同理z ＝6×⎝⎛⎭⎫124＝38，故x ＋y ＋z ＝2. 5．(2011·上海高考)设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件为( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同 解析：选D ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，…. ∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n ＝q ，从而{A n }为等比数列．6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4且a 1＝9，其前n 项之和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小整数n 是( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：选C 由递推式变形得3(a n ＋1－1)＝－(a n －1)，则a n －1＝8·⎝⎛⎭⎫－13n －1， 所以|S n－n －6|＝|a 1－1＋a 2－1＋…＋a n－1－6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n 1＋13－6＝6×⎝⎛⎭⎫13n<1125，即3n －1>250，所以满足条件的最小整数n 是7.7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，即3q 2－q ＝0，故q ＝13.答案：138．(2011·陕西高考)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2 000米．答案：2 0009．(2012·安徽模拟)在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列；②已知数列{a n }是等方差数列，则数列{a 2n }是等方差数列． ③{(－1)n }是等方差数列；④若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列； 其中正确命题的序号为________．解析：对于①，由等方差数列的定义可知，{a 2n }是公差为p 的等差数列，故①正确．对于②，取a n ＝n ，则数列{a n }是等方差数列，但数列{a 2n }不是等方差数列，故②错．对于③，因为[(－1)n ]2－[(－1)n －1]2＝0(n ≥2，n ∈N *)为常数，所以{(－1)n }是等方差数列，故③正确．对于④，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *)，则a 2kn －a 2k (n －1)＝(a 2kn －a 2kn －1)＋(a 2kn －1－a 2kn －2)＋…＋(a 2kn －k ＋1－a 2k (n －1))＝kp 为常数，故④正确．答案：①③④10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2，数列{b n }为等比数列，且首项b 1＝1，b 4＝8.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝ab n ，求数列{c n }的前n 项和T n ； 解：(1)∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1亦满足上式，故a n ＝2n －1(n ∈N *)． 又数列{b n }为等比数列，设公比为q ， ∵b 1＝1，b 4＝b 1q 3＝8，∴q ＝2.∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)c n ＝ab n ＝2b n －1＝2n －1.T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n . 所以T n ＝2n ＋1－2－n .11．已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足：b n ＝na n(2n ＋1)2n，是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得b 1，b m ，b n成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值，若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，即(a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＝0.又a n >0，所以2a n －a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1. 所以数列{a n }是公比为2的等比数列．由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)． (2)因为b n ＝na n (2n ＋1)2n ＝n 2n ＋1， 所以b 1＝13，b m ＝m 2m ＋1，b n ＝n 2n ＋1.若b 1，b m ，b n 成等比数列，则⎝⎛⎭⎫m 2m ＋12＝13⎝⎛⎭⎫n2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n6n ＋3. 由m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3，可得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m 2，所以－2m 2＋4m ＋1>0，从而1－62<m <1＋62. 又n ∈N *，且m >1，所以m ＝2，此时n ＝12.故当且仅当m ＝2，n ＝12时，b 1，b m ，b n 成等比数列． 12．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≥b n ＋1；②b n ≤M (n ∈N *，M 是常数)的无穷数列{b n }叫“嘉文”数列．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝aa －1(a n－1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n a n ＋1，若数列{b n }为等比数列，求a 的值，并证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“嘉文”数列．解：(1)因为S 1＝aa －1(a 1－1)＝a 1，所以a 1＝a .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a a －1(a n －a n －1)，整理得a na n －1＝a ，即数列{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．所以a n ＝a · a n －1＝a n .(2)由(1)知，b n ＝2×aa －1(a n －1)a n ＋1＝(3a －1)a n －2a(a －1)a n ，(*)由数列{b n }是等比数列，则b 22＝b 1·b 3，故⎝⎛⎭⎫3a ＋2a 2＝3·3a 2＋2a ＋2a 2，解得a ＝13， 再将a ＝13代入(*)式得b n ＝3n ，故数列{b n }为等比数列，所以a ＝13.由于1b n ＋1b n ＋22＝13n ＋13n ＋22>2 13n ·13n ＋22＝13n 1＝1b n ＋1，满足条件①；由于1b n ＝13n ≤13，故存在M ≥13满足条件②.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“嘉文”数列．1．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，2B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎭⎫12，1D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选C 由题意得a n ＋1＝f (n ＋1)＝f (1)f (n )＝12a n ，故S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n .则数列{a n}的前n 项和的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1. 2．(2012·安庆模拟)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N *)， 得0<x <2n ＋1， 因此知a n ＝2n .故S 100＝100(2＋200)2＝10 100.答案：10 1003．祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f (n )表示前n 年的纯收入．(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案较合算？解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列． 则f (n )＝50n －⎣⎡⎦⎤12n ＋n (n －1)2×4－72＝－2n 2＋40n －72.(1)获取纯利润就是要求f (n )>0，故有－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18. 又n ∈N *，故从第三年开始获利．(2)①平均利润为f (n )n ＝40－2⎝⎛⎭⎫n ＋36n ≤16，当且仅当n ＝6时取等号． 故此方案获利6×16＋48＝144万美元，此时n ＝6.②f (n )＝－2n 2＋40n －72＝－2(n －10)2＋128，当n ＝10时，f (n )max ＝128. 故此方案共获利128＋16＝144万美元．比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案．1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N *. (1)证明：{a n －1}是等比数列；(2)求数列{S n }的通项公式．请指出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由． 解：(1)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－5a 1－85， 解得a 1＝－14，则a 1－1＝－15.∵当n ≥2时，S n －1＝(n －1)－5a n －1－85， ∴a n ＝S n －S n －1＝1－5a n ＋5a n －1， ∴6a n ＝5a n －1＋1，即a n －1＝56(a n －1－1)，∴{a n －1}是首项为－15，公比为56的等比数列．(2)∵a n －1＝－15·⎝⎛⎭⎫56n －1， ∴S n ＝n －5⎣⎡⎦⎤1－15·⎝⎛⎭⎫56n －1－85＝n ＋75·⎝⎛⎭⎫56n －1－90. 由a n ＝1－15·⎝⎛⎭⎫56n －1>0， 即15·⎝⎛⎭⎫56n －1<1，解得n >log 56115＋1≈15.85. ∴当n ≤15时，a n <0；当n ≥16时，a n >0. 故n ＝15时，S n 取得最小值．2．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点{b n ，T n }在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1<c n .解：(1)由点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1， ∴b n ＝13b n －1.令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是以23为首项，以13为公比的等比数列．(3)证明：∵由(2)可知b n ＝23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝23n .∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n ，∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)·23n＝23n 1[(n ＋2)－3(n ＋1)]＝23n 1(－2n －1)<0，∴c n ＋1<c n .3．(2012·广州调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1＝a n ＋2a n －1(n ≥2)． (1)设b n ＝a n ＋1＋λa n ，是否存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列， 设b nb n －1＝q (n ≥2)， 即a n ＋1＋λa n ＝q (a n ＋λa n －1)， 得a n ＋1＝(q －λ)a n ＋qλa n －1.与已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1比较，得⎩⎪⎨⎪⎧q －λ＝1，qλ＝2，解得λ＝1或λ＝－2.所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．当λ＝1时，q ＝2，b 1＝4，则数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列； 当λ＝－2时，q ＝－1，b 1＝1，则数列{b n }是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)由(1)知a n ＋1－2a n ＝(－1)n ＋1(n ≥1)，所以a n ＋12n 1－a n 2n ＝(－1)n ＋12n 1＝⎝⎛⎭⎫－12n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，a n 2n ＝a 121＋⎝⎛⎭⎫a 222－a 121＋⎝⎛⎭⎫a 323－a 222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －a n －12n －1 ＝12＋⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－123＋…＋⎝⎛⎭⎫－12n ＝12＋⎝⎛⎭⎫－122⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n －11－⎝⎛⎭⎫－12 ＝12＋16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n －1. 因为a 121＝12也适合上式，所以a n 2n ＝12＋16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n －1(n ≥1)． 所以a n ＝13[2n ＋1＋(－1)n ]．则S n ＝13[(22＋23＋…＋2n ＋1)＋((－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)n )]＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(1－2n )1－2＋(－1)(1－(－1)n)1－(－1) ＝13⎣⎡⎦⎤(2n ＋2－4)＋(－1)n －12.数 列一、选择题(本题共12分小题，每小题5分，共60分)1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20D ．25解析：选B ∵{a n }是等差数列，∴a 2＋a 4＝2a 3＝1＋5， 故a 3＝3，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5×2a 32＝5a 3＝5×3＝15.2．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选A ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 又∵a n >0，∴a 7＝4.a 5＝a 7·q －2＝4×2－2＝1.3．(2012·银川联考)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋1，则向量m ＝(a 1，a 4)的模为( ) A ．53 B ．50 C.53D ．5 2解析：选C 依题意得，a 1＝S 1＝2，a 4＝S 4－S 3＝(42＋1)－(32＋1)＝7，故m ＝(2,7)，|m |＝22＋72＝53.4．已知数阵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若a 22＝4，则这九个数的和为( )A ．16B ．32C ．36D ．40解析：选C 依题意得，a 11＋a 12＋a 13＋a 21＋a 22＋a 23＋a 31＋a 32＋a 33＝3a 12＋3a 22＋3a 32＝9a 22＝36.5．(2012·朝阳统考)设数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝1且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A.n 28＋7n8 B.n 24＋7n 4 C.n 22＋3n4D ．n 2＋n解析：选A 由a 1，a 3，a 6成等比数列可得a 23＝a 1·a 6，设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则(1＋2d )2＝1×(1＋5d )，而d ≠0，故d ＝14，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×14＝n 28＋7n 8.6．(2012·银川联考)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为Πn ，则Π2 013的值为( )A ．－12B ．－1 C.12D ．2解析：选B 由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而Π2 013＝(Π3)671＝－1.7．(2012·东北三校模拟)等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 依题意得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8.8．已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m ，n 都有a m ＋n ＝a m ＋a n ，则a nn 等于( )A.12 B.23 C.32D ．2解析：选B 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ，即a n ＋1－a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝23，公差为d ＝23的等差数列，于是a n ＝23＋(n －1)·23＝23n ，即a n n ＝23.9．(2012·“江南十校”联考)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m (m ≠0)有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝( )A.12B ．－12C.32D ．－32解析：选D 若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m <0，则公差d ＝3π2－π23＝π3. 所以m ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝－32. 10．(2012·济南模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 012的值等于( )A ．－2 011B ．－2 012C ．－2 010D ．－2 013解析：选B 根据等差数列的性质，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S 11＝a 1＝－2 012，公差d ＝1，故S 2 0122 012＝－2 012＋(2 012－1)×1＝－1，所以S 2 012＝－2 012.11．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 5＝9，若数列{b n }满足b 1＝3，b n ＋1＝ab n ，则{b n }的通项公式为b n ＝( )A ．2n －1B ．2n ＋1C ．2n ＋1－1D ．2n －1＋2解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则有d ＝a 5－a 25－2＝2，a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1；又b n ＋1＝ab n ，因此有b n ＋1＝2b n －1，b n ＋1－1＝2(b n －1)，而b 1－1＝2≠0，因此数列{b n －1}是首项为2，公比为2的等比数列，于是有b n －1＝2×2n －1＝2n ，b n ＝2n ＋1.12.如图，将等差数列{a n }的前6项填入一个三角形的顶点及各边中点的位置，且在图中每个三角形顶点所填的三项也成等差数列，数列{a n }的前2 012项和S 2 012＝4 024，则满足na n >a n n 的n 的值为( )A ．2 012B ．4 024C ．2D ．3解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2，a 3，a 5成等差数列得2a 3＝a 2＋a 5，即2(a 1＋2d )＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )，有d ＝0，于是a n ＝a 1，由S 2 012＝4 024得2 012a 1＝4 024，有a 1＝2，即a n ＝2，由na n >a n n 得n 2>2n ，结合函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象知n ＝3.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：a 25＝a 10>0，根据已知条件得2⎝⎛⎭⎫1q ＋q ＝5，解得q ＝2.所以a 21q 8＝a 1q 9，所以a 1＝2，所以a n ＝2n.答案：2n14．(2012·衡阳六校联考)设函数f (x )＝1x －b ＋2，若a ，b ，c 成等差数列(公差不为零)，则f (a )＋f (c )＝________.解析：依题意得b －a ＝c －b ，－(a －b )＝c －b ，则f (a )＋f (c )＝1a －b ＋2＋1c －b ＋2＝1a －b ＋1c －b ＋4＝0＋4＝4. 答案：415．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．解析：∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×(10＋234)2＝1 830.答案：1 83016．(2012·衡阳六校联考)在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：28三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)(2012·陕西高考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12.(1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列． 解：(1)由a 3＝a 1q 2＝14及q ＝－12，得a 1＝1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝2＋⎝⎛⎭⎫－12n －13.(2)证明：对任意k ∈N ＋，2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝2a 1q k ＋1－(a 1q k －1＋a 1q k )＝a 1q k －1(2q 2－q －1)，由q ＝－12得2q 2－q －1＝0，故2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝0.所以对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．18．(本小题满分12分)(2012·陕西高考)设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 解：(1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)， 由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4， 即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3.由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2或q 2＝1(舍去)，故q ＝－2. (2)证明：法一：对任意k ∈N ＋， S k ＋2＋S k ＋1－2S k ＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k ) ＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1 ＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2) ＝0，所以对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 法二：对任意k ∈N ＋，2S k ＝2a 1(1－q k )1－q，S k ＋2＋S k ＋1＝a 1(1－q k ＋2)1－q ＋a 1(1－q k ＋1)1－q ＝a 1(2－q k ＋2－q k ＋1)1－q，2S k －(S k ＋2＋S k ＋1)＝2a 1(1－q k )1－q －a 1(2－q k ＋2－q k ＋1)1－q＝a 11－q[2(1－q k )－(2－q k ＋2－q k ＋1)] ＝a 1q k 1－q(q 2＋q －2)＝0， 因此，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．19．(本小题满分12分)(2012·潍坊模拟)已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n为其前n 项和，且满足S 2n －1＝12a 2n ，n ∈N *.(1)求a n ；(2)数列{b n }满足b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n －1，n 为奇数，12a n －1，n 为偶数，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T 2n . 解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，在S 2n －1＝12a 2n中，令n ＝1,2，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＝2S 1，a 22＝2S 3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 21＝2a 1，(a 1＋d )2＝2(3a 1＋3d )， 解得a 1＝2，d ＝4，故a n ＝4n －2.(2)由(1)得b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n －3，n 为偶数， 则T 2n ＝1＋2×2－3＋22＋2×4－3＋24＋…＋22n －2＋2×2n －3 ＝1＋22＋24＋…＋22n －2＋4(1＋2＋…＋n )－3n ＝1－4n 1－4＋4·n (n ＋1)2－3n ＝4n 3－13＋2n 2－n . 20．(本小题满分12分)(2012·石家庄质检)已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，a 1＝1，各项均为正数的等比数列{b n }的第1项，第3项，第5项分别是a 1，a 3，a 21.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，数列{b n }的公比为q ，∵由题意得a 23＝a 1a 21，∴(1＋2d )2＝1×(1＋20d )，即4d 2－16d ＝0，∵d ≠0，∴d ＝4，∴a n ＝4n －3.∴b 1＝1，b 3＝9，b 5＝81，∵{b n }的各项均为正数，∴q ＝3，∴b n ＝3n －1. (2)∵由(1)可得a n b n ＝(4n －3)3n －1， ∴S n ＝30＋5×31＋9×32＋…＋(4n －7)×3n －2＋(4n －3)×3n －1， 3S n ＝31＋5×32＋9×33＋…＋(4n －7)×3n －1＋(4n －3)×3n ， 两式相减得：－2S n ＝1＋4×3＋4×32＋4×33＋…＋4×3n －1－(4n －3)×3n＝1＋4(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(4n －3)×3n ＝1＋4×3×(1－3n －1)1－3－(4n －3)×3n ＝(5－4n )×3n －5，∴S n ＝(4n －5)3n ＋52. 21．(本小题满分12分)(2012·潍坊模拟)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 3a 5＋2a 4a 6＋a 3a 9＝100，又4是a 4与a 6的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和S n .解：(1)∵a 3a 5＋2a 4a 6＋a 3a 9＝100，∴a 24＋2a 4a 6＋a 26＝100，∴(a 4＋a 6)2＝100，又a n >0，∴a 4＋a 6＝10，∵4是a 4与a 6的等比中项，∴a 4a 6＝16，而q ∈(0,1)，∴a 4>a 6，∴a 4＝8，a 6＝2，∴q ＝12，a 1＝64， ∴a n ＝64·⎝⎛⎭⎫12n －1＝27－n . (2)∵b n ＝log 2a n ＝7－n ，则数列{b n }的前n 项和为T n ＝n (13－n )2， ∴当1≤n ≤7时，b n ≥0，∴S n ＝n (13－n )2. 当n ≥8时，b n <0，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b 7－(b 8＋b 9＋…＋b n )＝－(b 1＋b 2＋…＋b n )＋2(b 1＋b 2＋…＋b 7)＝－n (13－n )2＋2×7×62＝n 2－13n ＋842. ∴S n ＝⎩⎨⎧13n －n 22(1≤n ≤7且n ∈N *)，n 2－13n ＋842(n ≥8且n ∈N *).22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x a (x ＋2)，方程x ＝f (x )有唯一解，其中实数a 为常数，f (x 1)＝22 013，f (x n )＝x n ＋1(n ∈N *)． (1)求f (x )的表达式；(2)求x 2 011的值；(3)若a n ＝4x n －4 023且b n ＝a 2n ＋1＋a 2n 2a n ＋1a n(n ∈N *)，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <n ＋1. 解：(1)由x ＝x a (x ＋2)，可化简为ax (x ＋2)＝x (a ≠0)， 所以ax 2＋(2a －1)x ＝0，当且仅当a ＝12时，方程x ＝f (x )有唯一解． 从而f (x )＝2x x ＋2. (2)由已知f (x n )＝x n ＋1，得2x n x n ＋2＝x n ＋1， 所以1x n ＋1＝12＋1x n ，即1x n ＋1－1x n ＝12(n ∈N *)， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是以1x 1为首项，12为公差的等差数列． 所以1x n ＝1x 1＋(n －1)×12＝(n －1)x 1＋22x 1， 故x n ＝2x 1(n －1)x 1＋2. 因为f (x 1)＝22 013，所以2x 1x 1＋2＝22 013，解得x 1＝11 006. 所以x n ＝2×11 006(n －1)×11 006＋2＝2n ＋2 011， 故x 2 011＝22 011＋2 011＝12 011. (3)证明：因为x n ＝2n ＋2 011， 所以a n ＝4×n ＋2 0112－4 023＝2n －1， 所以b n ＝a 2n ＋1＋a 2n 2a n ＋1a n ＝(2n ＋1)2＋(2n －1)22(2n ＋1)(2n －1)＝4n 2＋14n 2－1＝1＋2(2n －1)(2n ＋1)＝1＋12n －1－12n ＋1， 所以b 1＋b 2＋…＋b n －n ＝⎝⎛⎭⎫1＋1－13＋⎝⎛⎭⎫1＋13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12n －1－12n ＋1－n ＝1－1<1.2n＋1故b1＋b2＋…＋b n<n＋1.。
2014届高考数学创新题专题
2014届高考数学创新题专题1、已知集合230123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠.则A 中所有元素之和等于（ ）A ．3240B ．3120C ．2997D ．2889 2、函数f(x)=a 2x +bx +c (a ≠0) 的图象关于直线x=－2ba对称.据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程 m[f(x)]2+nf(x) +p=0的解集都不可能是 （ ） A. {}1,2 B .{}1,4 C .{}1,2,3,4 D. {}1,4,16,64 3、对数列{}n a ，如果*k ∃∈N 及12,,,k λλλ∈R ，使1122n k n k nk k n a a a aλλλ++-+-=+++成立，其中*n ∈N ，则称{}n a 为k 阶递归数列．给出下列三个结论： ① 若{}n a 是等比数列，则{}n a 为1阶递归数列； ② 若{}n a 是等差数列，则{}n a 为2阶递归数列；③ 若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，则{}n a 为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0 B.1 C.2 D.3 4、如图，半径为2的⊙O 与直线MN 相切于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 交 ⊙O 于点Q ，设POQ ∠为x ，弓 形 PmQ 的面积为()S f x =，那么()f x 的图象大致是（ ）A B C D5、在空间直角坐标系中，对其中任何一向量123(,,)X x x x =，定义范数||||X ，它满足以下性质： (1)||||0X ≥，当且仅当X 为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数λ， ||||||||||X X λλ=⋅（注：此处点乘号为普通的乘号）。
（3）||||||||||||X Y X Y +≥+。
2014年高考数学(文)难题专项训练(2)数列(含答案)
【冲击高分系列】2014年高考数学（文）难题专项训练：数列1.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，10,5分）若数列满足，则当取最小值时的值为()A. 或B.C.D. 或2.(2013年湖北七市高三4月联考，9,5分) 如右图，一单位正方体形积木，平放于桌面上，并且在其上方放置若干个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8.8，则正方体的个数至少是()A. 6B. 7C. 8D. 103.(2013年北京海淀区高三第二次模拟，8,5分) 若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知¥数列满足，则下列结论中错误的是（）A. 若，则可以取3个不同的值B. 若，则数列是周期为的数列C. 且，存在，是周期为的数列D. 且，数列是周期数列4.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，9,5分）等差数列前项和为，已知则(）A. B.C. D.5. (2012浙江绍兴一中高三十月月考,7，3分)已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足，且，，若有穷数列（）的前n项和等于，则n等于()A．4B．5C．6D．76. (2012北京东城区高三模拟，8,5分)定义：已知数列则的值为()7.(2012河南省毕业班模拟，11,5分)已知F 1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是()A．2B．3C．4D．58.(2009江西, 8, 5分) 数列{a n}的通项a n=n2·, 其前n项和为S n, 则S30为()A. 470B. 490C. 495D. 5109.(2013年河南十所名校高三第二次联考，16,5分) 设数列是等差数列，数列是等比数列，记数列{}，{}的前n项和分别为，. 若a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4（T6－T4），则＝____________.10.（2013年广东省广州市高三4月综合测试，13，5分）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则；.11. (2012北京海淀区高三11月月考，14,5分)数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值．（Ⅰ）若，则的峰值为；（Ⅱ）若，且不存在峰值，则实数的取值范围是．12. （2012安徽合肥高三第二次检测，14,5分）设函数的最大值和最小值分别为和，且，13.(2012河南高三模拟，16,5分)某数表中的数按一定规律排列,如下表所示,从左至右以及从上到下都是无限四川分记为不超过实数的最大整数例如设为正整数数列n 满足x1=a,x n+1=(n∈N*). 现有下列命题:①当a=5时,数列{x n}的前3项依次为5,3,2;②对数列{x n}都存在正整数k,当n≥k时总有x n=x k;③当n≥1时,x n>-1;④对某个正整数k,若x k+1≥x k,则x k=[].其中的真命题有. (写出所有真命题的编号)15.(2008江苏, 10, 5分) 将全体正整数排成一个三角形数阵:12 345 6789101112131415………………根据以上排列规律, 数阵中第n(n≥3) 行的从左至右的第3个数是.16.(2009湖南, 15, 5分) 将正△ABC分割成n2(n≥2, n∈N*) 个全等的小正三角形(图1, 图2分别给出了n=2, 3的情形) , 在每个三角形的顶点各放置一个数, 使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时) 都分别依次成等差数列. 若顶点A、B、C处的三个数互不相同且和为1, 记所有顶点上的数之和为f(n) , 则有f(2) =2, f(3) =, …, f(n) =.图1图217.(2011湖南, 16, 5分) 对于n∈N*, 将n表示为n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+a k-1×21+a k×20, 当i=0时, a i=1, 当1≤i≤k时, a i为0或1. 记I(n) 为上述表示中a i为0的个数(例如:1=1×20, 4=1×22+0×21+0×20, 故I(1) =0, I(4) =2) ,则(1) I(12) =;(2) 2I(n) =.18.(2011江苏, 13, 5分) 设1=a1≤a2≤…≤a7, 其中a1, a3, a5, a7成公比为q的等比数列, a2, a4, a6成公差为1的等差数列, 则q的最小值是.19.(2009上海, 12, 4分) 已知函数f(x) =sin x+tan x. 项数为27的等差数列{a n}满足a n∈, 且公差d≠0. 若f(a1) +f(a2) +…+f(a27) =0, 则当k=时, f(a k) =0.20.(2007湖南, 15, 5分) 将杨辉三角中的奇数换成1, 偶数换成0, 得到如图所示的0-1三角数表. 从上往下数, 第1次全行的数都为1的是第1行, 第2次全行的数都为1的是第3行, …, 第n次全行的数都为1的是第行;第61行中1的个数是.第1行1 1第2行10 1第3行111 1第4行1000 1第5行11001 1………………………………………21.(2008北京, 14, 5分) 某校数学课外小组在坐标纸上, 为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植在点P k(x k, y k) 处, 其中x1=1, y1=1, 当k≥2时,T(a) 表示非负实数a的整数部分, 例如T(2. 6) =2, T(0. 2) =0. 按此方案, 第6棵树种植点的坐标应为;第2 008棵树种植点的坐标应为.22.(2009湖北, 15, 5分) 已知数列{a n}满足:a1=m(m为正整数) , a n+1=若a6=1, 则m所有可能的取值为.23.(2010湖南, 15, 5分) 若数列{a n}满足:对任意的n∈N*, 只有有限个正整数m使得a m<n成立, 记这样的m 的个数为(a n) *, 则得到一个新数列{(a n) *}. 例如, 若数列{a n}是1, 2, 3, …, n, …, 则数列{(a n) *}是0, 1, 2, …, n-1, …. 已知对任意的n∈N*, a n=n2, 则(a5) *=, ((a n) *) *=.24.（2013安徽省皖南八校高三第三次联合考试21,14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a，=ka n+1且常数k满足0< |k|< 1.Sn(I) 求数列{a n}的通项公式；(II) 对于每一个正整数m, 若将数列中的三项a m+1，a m+2，a m+3按从小到大的顺序调整后，均可构成等差数列，且记公差为d m，试求k的值及相应d m的表达式(用含m的式子表示) ；(III) 记数列{d m} (这里d m是(2) 中的d m的前m项和为T m=d1+d2+…+d m. 问是否存在a, 使得T m< 90对恒成立？若存在，求出a的最大值; 若不存在，请说明理由.25.（2013年安徽省皖南八校高三第三次联考，20,13分）已知椭圆为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，且构成等差数列，点到直线的距离为3。
《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第六篇第5讲数列的综合应用
第5讲数列的综合应用A级基础演练(时间：30 分钟满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共20 分)1．已知{a n}为等比数列．下面结论中正确的是()．2 2 2A．a1＋a3≥2a2 B．a1＋a3≥2a2C．若a1＝a3，则a1＝a2 D．若a3>a1，则a4>a2解析设公比为q，对于选项A，当a1<0，q≠1 时不正确；选项C，当q＝－21 时不正确；选项D，当a1＝1，q＝－2 时不正确；选项 B 正确，因为a1＋2 2a3≥2a1a3＝2a2.答案 B2．满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N* )，它的前n 项和为Sn ，则满足S n>1 025的最小n 值是()．A．9 B．10 C．11 D．12* )，所以a n n－1，Sn解析因为a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N＋1＝2a n，a n＝2＝2n－1，则满足S n>1 025 的最小n 值是11.答案 C3．(2013 ·威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批1 同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f(n)＝2n( n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )．A．5 年B．6 年C．7 年D．8 年2.当n＝1 时也适合，据解析由已知可得第n 年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n题意令a n≥150? n≥5 2，即数列从第8 项开始超过150，即这条生产线最多生产7 年．答案 C共8 页第1页4．(2013 ·福州模拟)在等差数列 {a n }中，满足3a 4＝7a 7，且 a 1>0，S n 是数列 { a n }前 n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝ ()．A ．7B ．8C ．9D ．10解析 设公差为d ，由题设 3(a 1＋3d)＝7(a 1＋6d)，所以 d ＝－4 33a1<0.4解不等式 a n >0，即 a 1＋(n －1) －1>0，33a37所以 n< ，则n ≤ 9，4当 n ≤ 9 时，a n >0，同理可得 n ≥ 10时， a n <0. 故当 n ＝9 时， S n 取得最大值． 答案 C二、填空题(每小题5 分，共 10 分)2－x ＜2nx( n ∈N *)的解集中整数的个数为5．(2012 ·安庆模拟)设关于x 的不等式 xa n ，数列 {a n } 的前 n 项和为S n ，则S 100的值为________． 解析 由 x2－x ＜2nx(n ∈N * )，得 0＜x ＜2n ＋1，因此知 a n ＝2n.∴S 100＝ 100 2＋200 2 ＝10 100.答案 10 1006．(2013 ·南通模拟)已知 a ，b ，c 成等比数列，如果 a ，x ，b 和 b ，y ，c 都成等a c差数列，则＋ ＝________. x y解析 赋值法．如令 a ，b ，c 分别为2,4,8，可求出 x ＝ a ＋b ＝3，y ＝ 2b ＋c ＝6， 2a c＋＝2.x y答案 2三、解答题(共25 分)7．(12 分)已知等差数列{a n}的前n 项和为S n，S5＝35，a5 和a7 的等差中项为13.(1)求a n 及S n；(2)令b n＝42(n∈N*)，求数列{b n}的前n 项和T n.a n－1第2页共8 页解(1)设等差数列{a n}的公差为d，因为S5＝5a3＝35，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2，所以a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1，n n－1 S n＝3n＋2 ×2＝n2＋2n.2＋2n.(2)由(1)知a n＝2n＋1，4所以b n＝2＝a n－11n n＋11 1＝－，n n＋112 所以T n＝1－＋1 1－2 3＋⋯＋1 1－nn＋11 n＝1－.＝n＋1 n＋1n＋1＋1，n 8．(13 分)(2012 广·东)设数列{a n} 的前n 项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2 ∈N* ，且a1，a2＋5，a3 成等差数列．(1)求a1 的值；(2)求数列{ a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1 1＋＋⋯＋a1 a21 3a n<2.(1)解当n＝1 时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，①当n＝2 时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，②又a1，a2＋5，a3 成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋5)，③由①②③解得a1＝1.n＋1＋1， (2)解∵2S n＝a n＋1－2∴当n≥ 2 时，有2S n－1＝a n－2n＋1，两式相减整理得a n＋1－3a n＝2 n－1＝1，n，则a3 a n n＋1n－·2 2 2a n＋1＋1即n ＋2＝2 32a n a1n－1＋2 .又＋2＝3，知2 2a n3n－1＋2 是首项为3，公比为的等比数列，2 2第3页共8 页a n∴n－1＋2＝3 2 32n－1，即a n＝3n－2n，n＝1 时也适合此式，∴a n＝3n－2n.(3)证明由(2)得1 1＝n－2n.a n 3当n≥ 2 时，32n>2，即3n－2n>2n，1 ∴＋a1 1＋⋯＋a21a n<1＋122＋123＋⋯＋1212n＝1＋1 31－n－1 <2.2 B级能力突破(时间：30 分钟满分：45 分)一、选择题(每小题 5 分，共10 分)1．(2012 ·济南质检)设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋⋯＋f(2n)等于( )．A．n(2n＋3) B．n(n＋4)C．2n(2 n＋3) D．2n( n＋4)解析由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，2则(4k＋1) ＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，2＋3n. f(2)＋f(4)＋⋯＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋⋯＋(2×2n＋1)＝2n答案 Aπ2．(2012 ·四川)设函数f(x)＝2x－cos x，{a n} 是公差为的等差数列，f(a1)＋f(a2)8＋⋯＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5＝( )．1 2 C.1 2 D.132A．0 B.πππ16 8 16解析设g(x)＝2x＋sin x，由已知等式得g a1－πππ2 ＋g a 2 ＋⋯＋g a2－5－2 ＝ππππππ0，则必有a3－2(否则若a3－＞0，则有a1－＋a5－＝a2－＝0，即a3＝2 2 2 2 2ππ＋a4－3－3－2 ＝2 a 2 ＞0，注意到g(x)是递增的奇函数，g a ππ2 ＞0，g a1－2第4页共8 页π＞g －a5－2 ＝－g a5－πππππ，g a1－＋g a5－＞0，同理g a2－＋g a4－2 2 2 2 2πππππ＞0，g a1－＋g a2－＋⋯＋g a5－＞0，这与“g a1－＋g a2－＋⋯2 2 2 2 2ππ＋g a5－＝0”相矛盾，因此a3－＞0 不可能；同理a3－2 2 π＜0 也不可能)；2又{ a n} 是公差为ππππ3π的等差数列，a1＋2×＝，a1＝，a5＝，f( a3)＝f8 8 2 4 4π＝π2π2－a1a5＝13 －cos＝π，[f(a3)]π2 16答案 D二、填空题(每小题5分，共10 分)n＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n 3．设曲线y＝x＝lg x n，则a1＋a2＋a3＋⋯＋a99 的值为________．n(x∈N*)，所以在点(1,1)处的切线斜率k＝n＋1，故切解析由y′＝(n＋1)x线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，令y＝0 得x n＝n，所以a1＋a2＋a3＋⋯＋a99n＋11 2＝lg x1＋lg x2＋⋯＋lg x99＝lg(x1·x2·⋯·x99)＝lg××⋯×2 399＝lg99＋11＝99＋1－2.答案－24．(2012 ·沈阳四校联考)数列{a n} 的前n 项和为S n，若数列{a n} 的各项按如下规律排列：1 1 ，，23 2 1 2 3 1 2 3 4，，，，，，，，⋯，3 4 4 4 5 5 5 51 2，，⋯，n nn－1，⋯，有如下运算和n结论：3①a24＝；8②数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，⋯是等比数列；2＋nn③数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，⋯的前n 项和为T n＝；4④若存在正整数k，使S k<10，S k＋1≥10，则a k＝5 3.其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)第5页共8 页解析依题意，将数列{a n} 中的项依次按分母相同的项分成一组，第n 组中的数的规律是：第n 组中的数共有n 个，并且每个数的分母均是n＋1，分子由1 依次增大到n，第n组中的各数和等于1＋2＋3＋⋯＋nn＝2.n＋16 6＋17 7＋1对于①，注意到21＝2 <24<2＝28，因此数列{a n}中的第24 项应3是第7 组中的第3个数，即a24＝，因此①正确．8对于②、③，设b n 为②、③中的数列的通项，则b n＝1＋2＋3＋⋯＋n n＝，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n 项和n＋1 2等于1×2n n＋122＋nn＝，因此②不正确，③正确．4对于④，注意到数列的前 6 组的所有项的和等于2＋66 1＝10 ，因此满足条件4 2的a k 应是第6 组中的第 5 个数，即a k＝5，因此④正确．7综上所述，其中正确的结论有①③④.答案①③④三、解答题(共25 分)5．(12 分)已知各项均不相等的等差数列{a n} 的前四项和为14，且a1，a3，a7 恰为等比数列{b n}的前三项．(1)分别求数列{ a n}，{b n} 的前n 项和S n，T n；S n T n(2)记数列{ a n b n} 的前n 项和为K n，设c n＝，求证：c n＋1>c n(n∈N* )．K n4a1＋6d＝14， (1)解设公差为d，则2＝a1 a1＋6d ，a1＋2d解得d＝1 或d＝0(舍去)，a1＝2，所以a n＝n＋1，S n＝n n＋32 .又a1＝2，d＝1，所以a3＝4，即b2＝4.b2所以数列{ b n} 的首项为b1＝2，公比q＝＝2，b1所以b n＝2n，T n＝2n＋1－2.第6页共8 页1＋3·22＋⋯＋(n＋1)·2n，①(2)证明因为K n＝2·2故2K n＝2·22＋3·23＋⋯＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，②①－②得－K n＝2·21＋22＋23＋⋯＋2n－(n＋1)·2n＋1，n＋1，则c n＝SnT n ∴K n＝n·2＝K nn－1 n＋3 2n＋1 .2c n＋1－c n＝n＋1－1n＋4 2n＋2 －2n－1n＋3 2n＋12n＋1＋n＋22＝n＋2 >0，2* )．所以c n＋1>c n(n∈N6．(13 分)(2012 重·庆)设数列{ a n} 的前n 项和S n 满足S n＋1＝a2S n＋a1，其中a2≠0.(1)求证：{ a n}是首项为1的等比数列；(2)若a2＞－1，求证：S n≤n2(a1＋a n)，并给出等号成立的充要条件．证明(1)由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1.因a2≠0，故a1＝1，得a2a1＝a2，又由题设条件知S n＋2＝a2S n＋1＋a1，S n＋1＝a2S n＋a1，两式相减得S n＋2－S n＋1＝a2(S n＋1－S n)，即a n＋2＝a2a n＋1，由a2≠0，知a n＋1≠0，因此a n＋2＝a2.a n＋1综上，a n＋1＝a2 对所有n∈N*成立．从而{ a n}是首项为1，公比为a2 的等比数*成立．从而{ a n}是首项为1，公比为a2 的等比数a n列．(2)当n＝1 或2 时，显然S n＝n2(a1＋a n)，等号成立．n－1 设n≥3，a2＞－1 且a2≠0，由(1)知，a1＝1，a n＝a2 ，所以要证的不等式化为：2 n－1 1＋a2＋a2＋⋯＋a2 ≤nn－12(1＋a2 )(n≥3)，2 n 即证：1＋a2＋a2＋⋯＋a2≤n＋1n2 (1＋a2)( n≥2)，第7页共8 页当a2＝1 时，上面不等式的等号成立．r n－r当－1＜a2＜1 时，a2－1 与a2 －1，(r＝1,2，⋯，n－1)同为负；r n－r当a2＞1 时，a2－1 与a2 －1，(r＝1,2，⋯，n－1)同为正；r n－r r n－r n 因此当a2＞－1 且a2≠1 时，总有(a2－1)(a2 －1)＞0，即a2＋a2 ＜1＋a2，(r ＝1,2，⋯，n－1)．上面不等式对r从1 到n－1 求和得2 n－1 n2(a2＋a2＋⋯＋a2 )＜(n－1)(1＋a2)．n＋12 n n由此得1＋a2＋a 2 (1＋a2)．2＋⋯＋a2＜综上，当a2＞－1 且a2≠0 时，有S n≤n2(a1＋a n)，当且仅当n＝1,2 或a2＝1 时等号成立.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.共8 页第8页。
2014年高考数学数列
2014年全国高考数学试题分类汇编（数列）1.【2014·全国卷Ⅱ（文5）】等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ）()12n n + (D)()12n n -【答案】A2.【2014·全国大纲卷（理10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．3.【2014·全国大纲卷（文8）】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=( ) A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 【答案】C4.【2014·北京卷（理5）】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D5.【2014·天津卷（文5）】设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 【答案】D .6.【2014·福建卷（理3）】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) .8A .10B .12C .14D 【答案】C7.【2014·辽宁卷（文9）】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ）A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ．10a d <【答案】D8.【2014·陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（ ）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】C9.【2014·重庆卷（理2）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D10.【2014·重庆卷（文2）】在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）.5A .8B .10C .14D【答案】B11.【2014·全国卷Ⅱ（文16）】数列{}n a 满足1+n a =n a -11，2a =2，则1a =_________.【答案】2112.【2014·安徽卷（理12）】数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，则q =________. 【答案】1q =。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i 3．（5分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．55．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n 项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．79．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．110．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C 于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12D．711．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）12．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为．15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=．16．（5分）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．五、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选：B．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．【解答】解：化简可得====﹣1+2i故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n 项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【考点】83：等差数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴S n=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC 中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．1【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C 于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12D．7【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．11．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．12．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．【解答】解：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为=，故答案为：．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+sinφcosx﹣2sinφcosx=sinxc osφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）≤1．所以函数的最大值为1．故答案为：1．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数最值的求解，考查计算能力．15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）= 3．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．【解答】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（1）=f（3）=3，因为f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题．【分析】根据a8=2，令n=7代入递推公式a n+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．=，a8=2，【解答】解：由题意得，a n+1令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC 的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB 角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）﹣kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2﹣6x+a；f′（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3﹣3x2+x+2，设g（x）=f（x）﹣kx+2=x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由题设知1﹣k＞0，当x≤0时，g′（x）=3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，当x＞0时，令h（x）=x3﹣3x2+4，则g（x）=h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．则h′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，则g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．∵g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．五、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2014年高考专题讲解(考点梳理+专项突破+练习)：第8讲_数列求通项、求和
第8讲 数列求通项、求和【考情分析】1．考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知S n 与a n 的关系求a n 等．2．考查非等差、等比数列求和的几种常见方法．3．通过数列求通项、求和考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力．【复习指导】1．熟练掌握求解数列通项公式的基本方法，尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法，另外注意累加法、累积法的灵活应用．2．熟练掌握和应用等差、等比数列的前n 项和公式．3．熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．[考点自主梳理]1．S n 与a n 的关系：:已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 2．由递推关系式求数列的通项公式的三种方法： (1)a n ＋1－a n ＝f (n )型，采用叠加法； (2)a n ＋1a n＝f (n )型，采用叠乘法； (3)a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决． 3．数列求和的常用方法 (1):公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和。
(2)倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．(4)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(5)分组转化求和法：:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(6)并项求和法：:一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.[考点专项突破]1.【2012高考全国】已知数列的前项和为，，，,则（A ） （B ） （C ） （D ）2.【2012高考新课标】数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为 （A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）18303.【2102高考福建】数列{a n }的通项公式，其前n 项和为S n ，则S 2012等于 A.1006 B.2012 C.503 D.04.【山东实验中学2012届高三三次诊断】在数列中，，，则等于（ ） A.34 B.36 C.38 D.405.【山东省济南市2012届高三12月考】已知数列满足 则 的最小值为 A ．10 B.11 C.12 D.13 6．【2012高考江西】已知数列{a n }的前n 项和,且S n 的最大值为8. (1)确定常数k,求a n ;(2)求数列的前n 项和T n .[核心考点精解]考点一 由a n 与S n 的关系求通项a n【例1】►已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________.举一反三 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________．考点二 由数列的递推公式求通项【例2】►根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；(2)a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)；(3)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n .举一反三 根据下列各个数列{a n }的首项和基本关系式，求其通项公式．(1)a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n －1(n ≥2)； (2)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n .考点三 分组转化求和【例3】►(2012·包头模拟)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求： (1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．举一反三 求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1.考点四 裂项相消法求和【例4】►在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .举一反三【山东省青州市2012届高三2月月考数学】已知数列（常数p>0），对任意的正整数n ， 并有（I ）试判断数列是否是等差数列，若是，求其通项公式，若不是，说明理由； （II ）令的前n 项和，求证：考点五 错位相减法求和【例4】►(2011·辽宁)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．举一反三 【山东省潍坊市重点中学2012届高三2月月考】已知单调递增的等比数列{}满足：,且是 的等差中项.（1）求数列｛a n ｝的通项公式.（2）若=,S n 为数列的前项和,求S n .[课后作业]1.【山东省泰安市2012届高三期末检测 】12.已知数列满足：，用[x]表示不超过x 的最大整数，则的值等于 A.0 B.1 C.2 D.32.【山东省莱芜市2012届高三上学期期末】已知数列是首项为2，公差为1的等差数列，是首项为1，公比为2的等比数列，则数列前10项的和等于A.511B.512C.1023D.10333 ．（2012年高考浙江）设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误．．的是（）A．若d<0,则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项,则d<0C．若数列{S n}是递增数列,则对任意的n N*,均有S n>0D．若对任意的n N*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列4.【山东省泰安市2012届高三期末检测】14.设为等差数列的前n项和，若，公差d=2, ，则k= 。
2014年高考数学六大题之四数列上
2014年高考数学六大题之四：数列题型预测（上）1、已知数列}{n a 中，51=a 且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）． （1）若数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求实数λ的值； （2）求数列}{n a 的前n 项和n S ．2、已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设14(1)2(na n n nb λλ-=+-⋅为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．3、已知数列{}n a 中,()211111,,2n n n n n a a a a a a n N n +--+==+∈≥,且11,n na kn a +=+ (Ⅰ)求证：k 1=;(Ⅱ)设()1()1!n n a x g x n -=-,()f x 是数列(){}g x 的前n 项和,求()f x 的解析式;(Ⅲ)求证：不等式()()323f g n<对n N +∈恒成立.4、设函数()f x 的定义域为R ，当x ＜0时()f x ＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，有()()()f x y f x f y +=（Ⅰ）求()0f ,判断并证明函数()f x 的单调性； （Ⅱ）数列{}n a 满足()10a f =,且)()2(1)(*1N n a f a f n n ∈--=+①求{}n a 通项公式。
②当1a >时，不等式)1log (log 35121 (11122)1+->++++++x x a a a a a n n n 对不小于2的正整数恒成立，求x 的取值范围。
5、如图，),(111y x P 、),(222y x P 、…、),(n n n y x P（n y y y <<<< 210）是曲线C ：x y 32=（0≥y ）上的n 个点，点)0,(i i a A （n i ,,2,1 =）在x 轴的正半轴上，且ii i P A A 1-∆是正三角形（0A 是坐标原点）．（Ⅰ）写出1a 、2a 、3a ；（Ⅱ）求出点(,0)n n A a （n *∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式； （Ⅲ）设12321111n n n n nb a a a a +++=++++ ，若对任意的正整数n ，当[1,1]m ∈-时，不等式2126n t mt b -+>恒成立，求实数t 的取值范围．6、已知数列{ a n }的前n 项和S n 满足，S n =2a n +（—1）n，n ≥1。
近6年来高考数列题分析(以全国卷课标Ⅰ为例)
近5年来高考数列题分析（以全国卷课标Ⅰ为例）单的裂项相消法和错位相减法求解数列求和即可。
纵观全国新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷的数列试题，我们却发现，新课标卷的数列题更加注重基础，强调双基，讲究解题的通性通法。
尤其在选择、填空更加突出，常常以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”作为数列问题一大亮点.从2011年至2015年，全国新课标Ⅰ卷理科试题共考查了8道数列题，其中6道都是标准的等差或等比数列，主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前n项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。
而文科试题共考查了9道数列题，其中7道也都是标准的等差或等比数列，主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。
1．从试题命制角度看，重视对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的考查。
2．从课程标准角度看，要求学生“探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”。
3．从文理试卷角度看，尊重差异，文理有别，体现了《普通高中数学课程标准（实验）》的基本理念之一“不同的学生在数学上得到不同的发展”。
以全国新课标Ⅰ卷为例，近五年理科的数列试题难度整体上要比文科的难度大一些。
如2012年文科第12题“数列 满足 ，求的前60项和”是一道选择题，但在理科试卷里这道题就命成了一道填空题，对考生的要求自然提高了。
具体来看，全国新课标卷的数列试题呈现以下特点：●小题主要考查等差、等比数列的基本概念和性质以及它们的交叉运用，突出了“小、巧、活”的特点，难度多属中等偏易。
●大题则以数列为引线，与函数、方程、不等式、几何、导数、向量等知识编织综合性强，内涵丰富的能力型试题，考查综合素质，难度多属中等以上，有时甚至是压轴题，难度较大。
（一）全国新课标卷对数列基本知识的考查侧重点1．考查数列的基本运算，主要涉及等差、等比数列的通项公式与前项和公式。
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创新型数列(高考数学压轴题常考题型)
1.对于数列
{}
n u 若存在常数M ＞0,对任意的n N '∈，恒有
1121...n n n n u u u u u u M +--+-++-≤
则称数列{}n
u 为B-数列
首项为1，公比为
(1)
q q <的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论； 设n S 是数列{
}
n x 的前n 项和，给出下列两组论断； A 组：①数列{
}n x 是B-数列 ②数列{
}
n x 不是B-数列
B 组：③数列{}n S 是B-数列 ④数列{}n S
不是B-数列
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（3） 若数列{}{},n n a b 都是B -数列，证明：数列{}n n a b
也是B -数列。
分析：本题主要考查数列的概念和性质、不等式的性质，综合运送知识分析问题和解决问题、探索问题的综合能力。
转化思想
解：（1）设满足题设的等比数列为{}n a ,则1
n n a q -=，于是
2
1211,2
n n n n n a a q q q
q n -----=-=-≥
因此｜1n a +- n a ｜+｜n a -1n a -｜+…+｜2a -1a ｜=
2
1
1(1...).
n q q q q
--++++
因为
1,
q <所以
21
111 (11)
n q q q q
q q
--++++=<--即
11211...1n n n n q a a a a a a q
+--+-++-<-
故首项为1，公比为q (1)
q <的等比数列是B-数列。
（2）命题1：若数列{
}
n x 是B-数列，则数列{}n S
是B-数列
次命题为假命题。
事实上，设1,n x n N ∙
=∈，易知数列{}n x 是B-数列，但n S n =
1121...n n n n S S S S S S n
-+-+-++-=
由n 的任意性知，数列{}n S
是B-数列此命题为。
命题2：若数列{}n S 是B-数列，则数列{}n x
是B-数列 此命题为真命题
事实上，因为数列{}n S
是B-数列，所以存在正数M ，对任意的1,n ∈有 1121...n n n n S S S S S S M
+--+-++-≤
即
12...n n x x x M
++++≤。
于是
1121
...n n n n x x x x x x +--+-++-
1121122...222n n n x x x x x M x +-≤+++++≤+
所以数列{
}
n x 是B-数列。
（III ）若数列{}n a {n b }是B -数列，则存在正数12.M M ，对任意的
,n N ∙∈有
11211
....n n n n a a a a a a M +--+-++-≤
11212....n n n n b b b a b b M +--+-++-≤
注意到112211
...n n n n n a a a a a a a a ---=-++++-+
11221111
...n n n n a a a a a a a M a ---≤-+-++-+≤+
同理：21
n b M b ≤+
记
222
K M b =+，则有
222
K M b =+
111111n n n n n n n n n n n n
a b a b a b a b a b a b ++++++-=-+-
1111111n n n n n n n n n n b a a a b b K a a k b b ++-+++≤+-≤-+-
因此
111212112
(......)n n n n K b b b b a a k M k M +--+-+-≤+
+111212112
(......)n n n n K b b b b a a k M k M +--+-+-≤+
故数列
{}n n
a b 是B -数列。