高考数学模拟试卷分项第02期专题06数列不等式

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高考高三数学全国各地优质模拟试卷分项精品专题数列、不等式含解析_1

一、选择题1．【2018百校联盟联考】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为()1,2,,10i a i =，且1210a a a <<<，若485i a M =，则i =（）A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】C【方法点睛】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.2．【2018百校联盟联考】等差数列{}n a 的公差0d ≠，且30a =，若k a 是6a 与6k a +的等比中项，则k =（） A. 5 B. 6 C. 9 D. 11 【答案】C【解析】等差数列{}n a 的公差0d ≠，由30a =得2a d =-,可得122a a d d =-=-，则()()113n a a n d n d =+-=-，若k a 是6a 与6k a +的等比中项，既有266k k a a a +=，即为()()22333k d d k d -=⋅+，由d 不为0，可得290k k -=，解得9(0k =舍去），故选C. 3．【2018江西赣州红色七校联考】已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则等于（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得，设等差数列的首项为，公差为，因为构成等比数列，所以，解得，所以，故选D.4．【2018吉林百校联盟九月联考】已知公差不为零的等差数列{}n a 的首项150a =-， 7a ，15a ， 17a 成等比数列，则12345a a a a a ++++=（）A. 238B. 238-C. 220D. 220- 【答案】D5．【2018辽宁沈阳育才学校一模】在等差数列{}n a 中， n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =（）A. 60B. 75C. 90D. 105 【答案】B 【解析】3482585325a a a a a a a ++=++== ，即5253a =，而()1995925997523a a S a +===⨯= ，故选B.6．【2018吉林长春市一模】等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】由题意知，有，所以当时前项和取最小值. 故选C.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 7．【2018河北武邑中学一模】已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n项和，则1253S S S S --的值为（）A. 2B. -2C. 3D. -3 【答案】A8．【2018黑龙江哈尔滨九中二模】已知数列{}n a 的通项公式为()()()*121?cos1N 2nn n a n n π=--+∈，其前n 项和为n S ，则60S =（） A. 30- B. 60- C. 90 D. 120【答案】D【解析】由a n =（-1）n （2n-1）cos 2n π+1，得 a 1=− cos2π+1=1，a 2=3cosπ+1=-2，a 3=−53cos 2π+1=1，a 4=7cos2π+1=8，…由上可知，数列{a n }的奇数项为1，每两个偶数项的和为6， ∴S 60=（a 1+a 3+…+a 59）+（a 2+a 4+…+a 58+a 60） =30+15×6=120．故选：D ．9．【2018河南中原名校质检二】若方程的一个根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D10．【2018江西赣州红七校联考】设实数满足, 则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D11．【2018辽宁沈阳育才学校一模】设点(),P x y 在不等式组0,{20, 30x x y x y ≥-≤+-≤表示的平面区域上，则2221z x y x =+-+的最小值为（）A. 1B. 55C. 2D. 255【答案】D【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示，记点()1,0A ，由()2222211z x y x x y =+-+=-+知z PA =， z 的最小值为点A 到直线20x y -=的距离，即222125521⨯=+.故选D.12．【2018广西桂林柳州一模】设满足约束条件，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B13．【2018广东珠海市摸底考】设x，y满足约束条件70,{310,250,x yx yx y+-≤-+≤--≥则yzx=的最大值是（）A. 52B.34C.43D.25【答案】B【解析】作出如图：则yz x=表示阴影区域点与原点的连线的斜率，故max 34z =14．【2018黑龙江省哈尔滨九中二模】若实数,x y 满足31x y -≤≤，则2x yz x y+=+的最小值为（）A.53 B. 2 C. 35 D. 12【答案】C二、填空题15．【2018湖南永州市一模】若，则__________．【答案】【解析】令，故，故答案为.点睛：本题主要考查了数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.16．【2018吉林百校联盟九月联考】设n S 为数列{}n a 的前n 项和， 10a =，若()()1112n nn n a a +⎡⎤=+-+-⎣⎦（*n N ∈），则100S =__________．【答案】101223-17．【2018超级全能生全国联考】已知数列{}{},n n a b 满足1211,2,1a a b ===-，且对任意的正整数1211,2,1a a b ===-，当m n p q +=+时，都有m n p q a b a b -=-，则()2018112018i i i a b =∑-的值是__________．【答案】2019【解析】由题意可得2112a b a b -=-， 22b =-， 3122,a b a b -=-得33a =，又11n n n n a b a b ++-=-， 11110n n n n a b a b a b +++=+==+=，即,2n n n n n a b a b a =--=，原式可化为当m+n=p+q 时m n p q a a a a +=+，即{}n a 为等差列， n a n =，()2018112018i i i a b =∑-=()20181122018i i a =∑=2019，填2019. 18．【2018树德中学适应性测试】已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得12m n a a a =，则14m n+的最小值是__________．【答案】9419．【2018百校联盟高三摸底】若函数2log y x =的图像上存在点(),x y ，满足约束条件30{220 x y x y y m+-≤-+≥≥，则实数m 的最大值为__________．【答案】1【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形，再作出对数函数2log y x =的图象，可得该图象与直线30x y +-=交于点()2,1M ，当该点在区域内时，图象上存在点(),x y 满足不等式组，即1m ≤符合题意，即m 的最大值为1，故答案为1.【方法点晴】本题主要考查含参数可行域、目标函数最优解和对数函数的图象，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.20．【2018湖南两市九月调研】设变量满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 三、解答题21．在递增的等比数列{}n a 中， 1632a a ⋅=， 2518a a +=，其中*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a -=；（2）2212nn n+-+.（2）由（1）得， 12n n b n -=+.∴12n n T b b b =+++()()211222123n n -=+++++++++()112122n n n +-=+- 2212nn n +=-+.22．【2018江西赣州红色七校联考】已知正项等差数列的前几项和为S n 且满足，S 7=63（1）求数列的通项公式（2）若数列满足b 1=a 1，且b n+1-b n =a n+1求数列的前几项和．【答案】(1),(2).23．【2018湖南两市九月联考】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12a =且12n n S S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和. 【答案】(1) 12,1{2,2n n n a n -=∴=≥；(2) 数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项之和为1nn +．24．【2018广西高三联考】某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记n a 表示第n 排的座位数．（1）确定此看台共有多少个座位；（2）求数列()21n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前20项和20S ．【答案】（1）230（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由题可知数列{}n a 是符合等差数列的定义，再由等差数列的通项公式求得n a =1n +（120n ≤≤），再求得其前20项和；（2）化简()21111n a n n n n =-++，利用错位相减法求得2012012121S =-=．25．【2018吉林百校联盟九月联考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14m S -=-，0m S =， 214m S +=（2m ≥，且*m N ∈）．（1）求数列{}n a 的通项；（2）求数列(){}362n n m a -+⨯的前n 项和．【答案】(1) 26n a n =-;(2) ()155122n n --⨯+. 【解析】试题分析：（1）利用等差数列有关公式求得基本量1a ， d ，从而得到数列{}n a 的通项；（2）利用错位相减法求数列(){}362n n m a -+⨯的前n 项和. 试题解析：（1）由已知得14m m m a S S -=-=，且12214m m m m a a S S ++++=-=，设数列{}n a 的公差为d ，则由2314m a d +=，∴2d =，由0m S =，得()11202m m ma -+⨯=，即11a m =-，∴()11214m a a m m =+-⨯=-=，∴5m =，故26n a n =-．（2）()326252n n n m a n --+⨯=⨯；下面先求{}22n n -⨯的前n 项和n T ，()10321222122n n n T n n ---=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯①； ()012121222122n n n T n n --=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯②；两式相减得10212222n n n T n ----=++⋯+-⨯()11112121222122nn n n n n -----=-⨯=--⨯-，∴()11122n n T n -=-⨯+（*n N ∈）．故(){}362n n m a -+⨯的前n 项和为()155122n n --⨯+．点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.26．【2018辽宁沈阳育才学校一模】已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11a =，且124a a a 、、成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和为n T . 【答案】(1) n a n =,(2) ()11222n n n n T ++=+-.27．【2018广东珠海市高三摸底】在等差数列{}n a 中， 49a =， 723a a =，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2n n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）21n +；（2）()12122n n +-+.28．【2018吉林长春市高三摸底】已知数列的前项和为，．（Ⅰ）求等差数列的通项公式；（Ⅱ）求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据等差数列前n 项和公式及通项公式，结合条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组得，再代入通项公式（2）先求，再根据，利用裂项相消法求和试题解析：(1) 由题可知，从而有.。

专题06数列解答题2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题06 数列解答题1．(2022年全国甲卷理科·第17题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．【答案】(1)证明见解析：； (2)78-．解析：(1)解：因为221nn S n a n+=+，即222n n S n na n +=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈，所以{}n a 是以1为公差的等差数列．(2)解：由(1)可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=-- ⎪⎝⎭，所以，当12n =或13n =时()min 78n S =-．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2022年全国甲卷理科·第17题2．(2022新高考全国II 卷·第17题)已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．【答案】(1)证明见解析； (2)9．解析：(1)设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即可解得，112db a ==，所以原命题得证．（2）由(1)知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=∈，解得210k ≤≤，所以满足等式的解2,3,4,,10k = ，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+≤≤中的元素个数为10219-+=．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2022新高考全国II 卷·第17题3．(2022新高考全国I 卷·第17题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．【答案】(1)()12n n n a +=(2)见解析解析：(1)∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =,又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=,∴当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111nn n an a --=+,即111n n a n a n -+=-,∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯()1341123212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--，显然对于1n =也成立，∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=；(2)()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111n a a a +++ 1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2022新高考全国I 卷·第17题4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题)记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】解析:(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =，数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-．(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214262n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->，解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题5．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n +⎧+=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前20项和．【答案】122,5b b ==；300．解析:(1)由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-．(2)设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++ ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=- ，所以()20241820210S a a a a =++++- ()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第17题6．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第18题)已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．【答案】(1)2nn a =；(2)100480S =．解析：(1)由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得解得12,2a q ==，或1132,2a q ==(舍)，所以2nn a =，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =．(2)由于123456722,24,28,216,232,264,2128=======，所以1b 对应的区间为：(]0,1，则10b =；23,b b 对应的区间分别为：(](]0,2,0,3，则231b b ==，即有2个1；4567,,,b b b b 对应的区间分别为：(](](](]0,4,0,5,0,6,0,7，则45672b b b b ====，即有22个2；8915,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,8,0,9,,0,15 ，则89153b b b ==== ，即有32个3；161731,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,16,0,17,,0,31 ，则1617314b b b ==== ，即有42个4；323363,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,32,0,33,,0,63 ，则3233635b b b ==== ，即有52个5；6465100,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,64,0,65,,0,100 ，则64651006b b b ==== ，即有37个6．所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第18题7．(2020新高考II 卷(海南卷)·第18题)已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．(1)求{}n a 通项公式；(2)求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-．【答案】(1)2nn a =；(2)2382(1)55n n +--解析：(1)设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩，整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >== ，数列的通项公式为：1222n n n a -=⋅=．(2)由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512nn n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第18题的8．(2021年高考全国乙卷理科·第19题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．(1)证明：数列{}n b 是等差数列;(2)求{}n a 的通项公式．【答案】(1)证明见解析；(2)()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩．解析：(1)由已知212n n S b +=得221n nn b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠,取1n =,由11S b =得132b =,由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,所以12112222121n b b b b b +⋅=--，所以111221n n n nb b b b +++=-,由于10n b +≠所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列;(2)由(1)可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列，()3111222n nb n ∴=+-⨯=+,22211n n n b nS b n+==-+,当n =1时，1132a S ==,当n ≥2时,()121111n n n n n a S S nn n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立,∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩．【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n 项和与项的关系，数列的前n 项积与项的关系，其中由1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,得到1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，进而得到111221n n n nb b b b +++=-是关键一步；要熟练掌握前n 项和，积与数列的项的关系，消和(积)得到项(或项的递推关系)，或者消项得到和(积)的递推关系是常用的重要的思想方法．【题目栏目】数列\等差、等比数列的综合应用【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第19题9．(2021年高考全国甲卷理科·第18题)已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】答案见解析解析：选①②作条件证明③：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n aa n =-，所以213a a =．选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n =+=，所以是等差数列．选②③作条件证明①：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去．综上可知{}n a 为等差数列．【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第18题10．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第17题)设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．(1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【答案】(1)2-；(2)1(13)(2)9nn n S -+-=．【解析】(1)设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-= ，1,2q q ≠∴=- ；(2)设{}n na 前n 项和为n S ，111,(2)n n a a -==-，21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++- ，①23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+- ，②①-②得，2131(2)(2)(2)(2)n nn S n -=+-+-++--- 1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--，1(13)(2)9nn n S -+-∴=．【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第17题11．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】(1)25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；(2)1(21)22n n S n +=-⋅+．解析：(1)由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+，证明如下：当1n =时，13a =成立；假设n k =时，21k a k =+成立．那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立．则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立；的(2)由(1)可知，2(21)2n nn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，①23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，②由①-②得：()23162222(21)2nn n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+．【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题12．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第19题)已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--．()1证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列；()2求{}n a 和{}n b 的通项公式．【答案】()1见解析；()21122n n a n =+-，1122n n b n =-+.【官方解析】()1由题设得114()2()n n n n a b b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+．又因为111a b +=，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+．又因为111a b -=，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．()2由()1知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-．所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．【分析】()1可通过题意中的1434n n n a b a +=-+以及1434n n n b a b +=--对两式进行相加和相减即可推导出数列{}n n a b +是等比数列以及数列{}n n a b -是等差数列；()2可通过()1中的结果推导出数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式，然后利用数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式即可得出结果.【解析】()1由题意可知，，，，所以，即111()2n n n n a b a b +++=+，所以数列是首项为、公比为的等比数列，，因为，所以，数列是首项、公差为等差数列，.()2由()1可知，112n n n a b -+=，，所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+.【点评】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第19题13．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第17题)(12分)等比数列{}n a 中，11a =，534a a =(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，若63m S =，求m ．(1)12n n a -=或()12n n a -=-；(2)6m =【答案】【官方解析】(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=由已知得424q q =，解得0q =(舍去)，2q =-或2q =故()12n n a -=-或12n n a -=(2)若()12n n a -=-，则()123mm S --=，由63m S =，得()2188m-=-，此方和没有正整数解若12n n a -=，则21m m S =-，由63m S =，得264m =，解得6m =综上，6m =．1434n n n a a b +-=+1434n n n b b a +-=-111a b +=111a b -=1144323442n n n n n n n n a b a b b a a b ++=+=--+++-{}n n a b +112(112n n n a b -+=()11443434448n n n n n n n n a b a b b a a b ++---=+-=-+-112n n n n a b a b ++=-+-{}n n a b -12的21n n a b n -=-21n n a b n -=-【民间解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，由11a =，534a a =可得42141q q ⨯=⨯⨯，所以24q =所以2q =±当2q =时，1112n n n a a q --==；当2q =-时，()1112n n n a a q --==-(2)由(1)可知2q =±当2q =时，由()1163631m m a q S q-=⇒=-即126312m-=-，即62642m ==，所以6m =；当2q =-时，由()1163631m m a q S q-=⇒=-即()126312m--=+，即()2188m-=-，无解综上可知6m =．【题目栏目】数列\等比数列\等比数列的综合应用【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第17题14．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第17题)(12分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值．【答案】解析：(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．由17a =得2d =，所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--．所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-．【题目栏目】数列\等差数列\等差数列的前n 项和【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第17题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+,其中0λ≠.(Ⅰ)证明{}n a 是等比数列,并求其通项公式;(Ⅱ)若53132S =,求λ.【答案】(Ⅰ)11(11n n a λλλ-=--;(Ⅱ)1λ=-.【解析】(Ⅰ)由题意得1111a S a λ==+,故1λ≠,111a λ=-,10a ≠.由1n n S a λ=+,111n n S a λ++=+得11n n n a a a λλ++=-,即1(1)n n a a λλ+-=.由10a ≠,0λ≠得0n a ≠,所以11n n a a λλ+=-.因此{}n a 是首项为11λ-,公比为1λλ-的等比数列,于是11()11n n a λλλ-=--.(Ⅱ)由(Ⅰ)得1()1n n S λλ=--,由53132S =得5311(132λλ-=-,即51()132λλ=-,解得1λ=-.【题目栏目】数列\等比数列\等比数列的前n 项和【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题)(本题满分12分)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S ，=记[]=lg n nb a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg 99=1，．(I)求111101b b b ，，；(II)求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】(1)[]1lg10b ==，[]11lg111b ==，[]101lg1012b ==；(2)1893．【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得1d =．所以数列{}n a 的通项公式为n a n =．[]1lg10b ==，[]11lg111b ==，[]101lg1012b ==．(2)因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000,n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893⨯+⨯+⨯=．【题目栏目】数列\等差数列\等差数列的前n 项和【题目来源】2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题17．(2015高考数学新课标1理科·第17题)(本小题满分12分)n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知20,24 3.n n n n a a a S >+=+(Ⅰ)求{}n a 的通项公式：(Ⅱ)设112n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和【答案】(Ⅰ)21n +(Ⅱ)11646n -+分析：(Ⅰ)先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a }的递推公式，可以判断数列{n a }是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式；(Ⅱ)根据(Ⅰ)数列{n b }的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和．解析：(Ⅰ)当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，n b =1111((21)(23)22123n n n n =-++++，所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++ =1111111[((()]235572123n n -+-++-++ =11646n -+．考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法【题目栏目】数列\数列的求和\裂项相消法求和问题【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第17题18．(2014高考数学课标2理科·第17题)(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+．(Ⅰ)证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)证明：12111na a a ++<…+【答案】解析：(Ⅰ)由131n n a a +=+，得1113(22n n a a ++=+，且11322a +=所以{}12n a +是首相为32，公比为3的等比数列。

专题06 不等式真题专项训练(全国竞赛+强基计划专用)原卷版

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】专题06不等式真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）若正实数x ，y ，z ，w 满足x y w ≥≥和2()x y z w +≤+，则w z x y+的最小值等于（）A ．34B ．78C ．1D ．前三个答案都不对2．（2021·北京·高三强基计划）已知,,a b c +∈R ，且111()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，则()444444111ab c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值是（）A．417+B．417-C ．417D ．以上答案都不对3．（2021·北京·高三强基计划）若a ，b ，c 为非负实数，且22225a b c ab bc ca ++---=，则a b c ++的最小值为（）A ．3B ．5C ．7D ．以上答案都不对二、填空题4．（2021·北京·高三强基计划）在锐角ABC 中，tan tan 2tan tan 3tan tan A B B C C A ++的最小值是_________．5．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数122020,,,a a a 满足1220201a a a +++= ，则222202012122320201a a a a a a a a a ++++++ 的最小值为________．6．（2022·浙江·高二竞赛）设a ，b ，c ，d +∈R ，1abcd =，则21914a a+∑∑的最小值为______.7．（2021·全国·高三竞赛）设正实数122020,,,a a a 满足202011i i a ==∑，则120201min1i ii kk a a ≤≤=+∑最大值为_________．8．（2021秋·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设0,0,25y x y x >>+=，则当=x _______时，12y y x +取到最大值．三、解答题9．（2023·全国·高三专题练习）设0()R[]nii i f x a x x ==∈∑，满足00,1,2,,.i a a i n ≤≤= 又设()0,1,,2i b i n = 满足22[()]ni i i f x b x ==∑，证明：()2111.2n b f +⎡⎤≤⎣⎦10．（2023·全国·高三专题练习）设0()nii i f x a x ==∑，1()n ii i g x c x +==∑是两个实系数非零多项式，且存在实数r 使得()()().g x x r f x =-记{}{}001max ,max i i i n i n a a c c ≤≤≤≤+==，证明：()1.a n c ≤+11．（2021·全国·高三竞赛）已知：a ，b ，0,2c a b c ≥++=，求证：11()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++.12．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数a ，使得存在实数x 满足22sin cos22x x a a +≥．13．（2022·新疆·高二竞赛）（1）若实数x ，y ，z 满足2221++=x y z，证明：||||||-+-+-≤x y y z z x ；（2）若2023个实数122023,,, x x x 满足2221220231+++= x x x ，求12232022202320231-+-++-+- x x x x x x x x 的最大值．14．（2021·全国·高三竞赛）设m 为正整数，且21n m =+，求所有的实数组12,,,n x x x ，使得22221221i i nmx x x x x =++++ ，对所有1,2,,i n = 成立．15．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数λ，使得对任意正整数n 及正实数01,,,n x x x ，均有010111.nnk k k kx x x x λ==≥+++∑∑ ．16．（2021·全国·高三竞赛）已知01({0,1,,10})i x i <<∈ 证明：存在,{0,1,2,,10}i j ∈ ，使得()1030i j j i x x x x <-<.17．（2021·全国·高三专题练习）已知：0a >，0b >，1a b +=.2<.18．（2021·全国·高三专题练习）已知a ，b 为正数，且a b ¹，证明2112a b a b+>>>+.19．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设()1,,2n x x n ⋅⋅⋅≥皆为正数，且满足1211112022202220222022n x x x ++⋅⋅⋅+=+++2022≥20．（2023·全国·高三专题练习）实数,,a b c 和正数λ使得()32f x x ax bx c =+++有三个实数根123,,x x x ．且满足：（1）21x x λ-=；（2）()31212x x x >+，求332279a c abλ+-的最大值.21．（2021·全国·高三竞赛）设,1,2,,i a i n +∈=R ，记：121kk k ni i i kD C aa a =+++∑ ，其中求和是对1，2，…，n 的所有kn C 个k 元组合12,,,k i i i 进行的，求证：1.(1,2,,1)k k D D k n +≥=- ．22．（2021·全国·高三竞赛）已知12,,,n a a a R ∈L ，且满足222121n a a a +++= ，求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-L 的最大值.23．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数12,,,(2)n a a a n > 满足121n a a a +++= ．证明：23131212121222(1)n n n n a a a a a a a a a a n a n a n n -+++≤+-+-+-- ．24．（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）数列{}n a 定义为11a =，()11111nn k k a a n n +==+≥∑．证明，存在正整数n ，使得2020n a >．25．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数3n ≥．求最大的实数M ．使得211nk k k k a M a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑对任意正实数12,,,n a a a 恒成立，其中11n a a +=．26．（2019·河南·高二校联考竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C --- .27．（2022·贵州·高二统考竞赛）正数a ，b 满足+=1a b ，求证：2332211318a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数1n >，证明：11!32nnn n n ++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.29．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）设实数12,,,n a a a 满足11(1)(1)n ni i i i a a ==+=-∏∏，求1ni i a =∑的最小值.30．（2021·浙江·高二竞赛）设x ，y ，0z >1=，证明4224224225552221()()()x y z y z x z y x x y z y z x z y x +++++≥+++.。

【备战2012】高考数学最新模拟专题06 不等式理

最新模拟专题【2012某某省某某市质检理】设102m <<，若1212km m +≥-恒成立，则k 的最大值为；【答案】8【解析】由题可知k 的最大值即为1212m m +-的最小值。

又1212m m +-22122()[2(12)]22()2212212m m m m m m m m -=++-=+++--8≥，取等号的条（）A ．ab ＜b2＜1B ．21log b ＜21log a ＜0 C ．2b ＜2a ＜2 D ．a2＜ab ＜1 【答案】C【解析】因为b ＜a ＜1,所以2b ＜2a <1,故选C.【某某省日照市2012届高三12月月考理】（11）如果不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥01,2,0y kx x y x 表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为（A ）5121或（B ）3121或（C ）4151或（D ）2141或【答案】：C 解析：有两种情形：（1）直角由x y 2=与01=+-y kx 形成，则21-=k ，三角形的三个顶点为（0，0），（0，1），（54,52），面积为51；（2）直角由0=x 与01=+-y kx 形成，则0=k ，三角形的三个顶点为（0，0），（0，1），（1,21），面积为41。

【某某实验中学2012届高三第四次诊断性考试理】10. 设x 、y 满足约束条件，若目标函数（其中0,0a b >>)的最大值为3,则的最小值为（）[Zxxk.](A) . 3 (B) . 1 (C) .2 (D) . 4【某某省潍坊市三县2012届高三联考理】【2012某某市高三模拟统一考试理】已知变量x，y满足约束条件10,310,10,y xy xy x+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y=+的最大值为。

【答案】 2【解析】本题主要考查线性规划的最优解. 属于基础知识、基本运算的考查.实数x，y满足不等式组10,310,10,y xy xy x+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则可行域如图，作出2y x=-，平移，当直线通过A(1,0)时，2z x y=+的最小值是⒉. 【2012年某某市高三年级第三次质检理】在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定.若M(x ,y)为D上的动点，点N 的坐标为（，1)，则的最大值为._______【答案】4【解析】本题主要线性规划可行域的概念、平面向量的数量积. 属于基础知识、基本运算的考查.2z OM ON x y=⋅=+如图，作出变量,x y满足约束条件02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩,可行域是图中的阴影部分；,2),作出直线y =,z y y z =+⇒=+,直线y z =+在y 轴上截距最大时，z 最大。

2022-2023学年原创全国名校高中数学真题模拟专题训练- 不等式

2022-2023学年届全国名校高三数学模拟试题分类汇编(上) 06 不等式一、选择题1、(河南省实验中学2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第二次月考)对任意实数x , 若不等式k x x >+++|1||2|恒成立, 则实数k 的取值范围是 A ．k ＞1 B k=1 C ．k ≤ 1 D ．k＜1 答案：D2、(河南省实验中学2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第二次月考)命题p :若a 、b ∈R ，则|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件；命题q :函数y =2|1|--x 的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则A “p 或q ”为假B “p 且q ”为真C p 真q 假D p假q 真答案：D3、(湖南省长郡中学2022-2023学年届高三第二次月考)函数∑=-=20071)(n n x x f 的最小值为（）A. 1003×1004B. 1004×1005C. 2006×2007D. 2005×2006答案：A4、(湖南省长郡中学2022-2023学年届高三第二次月考)若实数z y x ,,满足1222=++z y x ，则zx yz xy ++的取值范围是（）（A ）]1,1[- （B ）]21,21[- （C ）]21,1[- （D ）]1,21[- 答案：D5、(江西省南昌二中2022-2023学年～2022-2023学年学年度第一轮第二次段考)1)(2-+=ax ax x f 在R 上恒满足0)(<x f ，则a 的取值范围是（）A ．0≤aB ．4-<aC ．04<<-aD ．04≤<-a 答案：D6、(江西省南昌二中2022-2023学年～2022-2023学年学年度第一轮第二次段考)设a 、b 、c 都是正数，那么三个数ba 1+、c b 1+、ac 1+（）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2答案：D7、(江西省南昌二中2022-2023学年～2022-2023学年学年度第一轮第二次段考)已知d c b a 、、、均为正数,bd c da d c c db a bc b a a s +++++++++++=,则有（）A ．20<<sB ．21<<sC ．32<<sD ．43<<s 答案：B8、(2022-2023学年年重庆一中高2022-2023学年级第一次月考)若()sin f x x x λ=+是区间[1,1]-上的减函数，且2()1f x t t λ≤++在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围（）A ．12t <-B ．1t ≤-C ．1t >-D ．2t ≥- 答案：B9、(湖北黄陂一中2022-2023学年届高三数学综合检测试题)已知120a a >>，则使得2(1)1i a x -<(1,2)i =都成立的x 范围的充要条件是A ．2222(,)a a - B ．12(0,)a C ．1122(,)a a -D.22(0,)a答案：B10、(湖北黄陂一中2022-2023学年届高三数学综合检测试题)设函数lg ||(0)()21(0)xx x f x x <⎧=⎨-≥⎩ ，若0()0f x >，则0x 的取值范围是A.(,1)(1,)-∞-+∞B.(,1)(0,)-∞-+∞C.(1,0)(0,1)-D.(1,0)(0,)-+∞答案：B11、(湖北黄陂一中2022-2023学年届高三数学综合检测试题)关于x 的不等式22cos lg(9)cos lg(9)x xx x +-<+-的解集为A．(- B ．(3,3)- C．(3,(22,3)--D ．()(,22)22ππ--答案：D12、(安徽省潜山县三环中学2022-2023学年届高三上学期第三次联考)不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是（）A ．)2,2(-B ．]2,2(-C ．]2,(-∞D ．)2,(--∞答案：B13、(安徽省潜山县三环中学2022-2023学年届高三上学期第三次联考)设奇函数()f x 在（0，+∞）上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是 ( ) A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(1,0)(0,1)- 答案：D14、(甘肃省兰州一中2022-2023学年—2022-2023学年高三上学期第三次月考)设2)(,2),1(log ,2,2)(231>⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-x f x x x e x f x 则不等式的解集为（） A ．),3()2,1(+∞⋃ B ．),10(+∞C ．),10()2,1(+∞⋃D ．（1，2）答案：C15、(甘肃省兰州一中2022-2023学年—2022-2023学年高三上学期第三次月考)对于满足40≤≤p 的所有实数p ，使不等式x p x px x 都成立的342-+>+的取值范围（）A ．13-<>x x 或B ．13-≤≥x x 或C ．31<<-xD ．31≤≤-x答案：A16、(广东省深圳中学2022-2023学年—2022-2023学年学年度高三第一学段考试)设a>1，若对于任意的]2,[a a x ∈，都有],[2a a y ∈满足方程,3log log =+y x a a 这时a 的取值集合为（）A ．}21|{≤<a aB ．}2|{≥a aC ．}32|{≤≤a aD ．}3,2{答案：B17、(河北省衡水中学2022-2023学年—2022-2023学年学年度第一学期期中考试)设b ,a 是两个实数，且b a ≠在①2223b ab a >+；②322355b a b a b a +>+；③)1(222--≥+b a b a ；④2>+abb a 这四个式子中，恒成立的有A.1个B.2个C.3个 D 4.个答案：A18、(河北省衡水中学2022-2023学年—2022-2023学年学年度第一学期期中考试)已知函数)0(18),20(cos 4cos ),0(42321>+=<<+=≠+=x x xy x x x y x x x y π)20)(tan 221)(cot 1(4π<<++=x x x y ，其中以4为最小值的函数个数是A.0B.1C.2D.3 答案：A19、(河北省衡水中学2022-2023学年—2022-2023学年学年度第一学期期中考试)若不等式0lg ])1[(<--x x t x 对任意的正整数t 恒成立，则实数x 的取值范围是A.}1|{>x xB.}210|{<<x x C.}1210|{><<x x x 或 D.}1310|{><<x x x 或答案：C20、(四川省成都市高2022-2023学年届高中毕业班第一次诊断性检测)下列四个命题中正确的是A 、若a 、b ∈R ，则|a |－|b |＜|a ＋b |B 、若a 、b ∈R ，则|a －b |＜|a |＋|b |C 、若实数a 、b 满足|a －b |＝|a |＋|b |，则ab ≤0D 、若实数a 、b 满足|a |－|b |＜|a ＋b |，则ab ＜0 答案：C21、(湖南省衡阳市八中2022-2023学年届高三第三次月考试题)设函数()sin ,[,]22f x x x x ππ=∈-，若12()()f x f x >，则下列不等式必定成立的是( ). A ．120x x +>B ．2212x x >C ．12x x >D ． 12x x <答案：B22、(江西省崇仁一中2022-2023学年届高三第四次月考)若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（）A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＜b ＜0，则1a ＜1bD ．若a ＜b ＜0，则b a ＞ab答案：B23、(江西省崇仁一中2022-2023学年届高三第四次月考)已知函数f (x )满足条件①f (x )＞0；②对任意x 、y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )；③x ＞0时，0＜f (x )＜1．则不等式f －1(x 2－4x ＋3)＞f－1(3)的解集为（）A ．(－∞，0)∪(4，＋∞)B ．(0，4)C ．(0，1)∪(3，4)D ．(－∞，0)∪(3，4)答案：C24、(揭阳市云路中学2022-2023学年届高三数学第六次测试)不等式3112x x-≥-的解集是（）A ．324x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．324x x x ⎧⎫>≤⎨⎬⎩⎭或 D ．{}2x x <答案：B ．原不等式等价于(43)(2)020x x x --≤-≠且25、(山东省平邑第一中学2022-2023学年届高三元旦竞赛试题)“0,0x y ><”是“222x y xy+≤-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案：A26、(山东省平邑第一中学2022-2023学年届高三元旦竞赛试题)已知p>0,q>0,p,q 的等差中项是12，x=p+,1,1q q y p +=则x+y 的最小值为（）A. 6B. 5 C 4 D 3 答案：B27、(山东省德州市宁津高中2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第一次月考)若011<<ba ，则下列结论不正确．．．的是 A ．||||||b a b a -=-B ．22b a < C ．2>+baa b D ．2b ab < 答案：A28、(山东省德州市宁津高中2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第一次月考)已知函数11()()12x f x xa =-+（a >0）,若()f x ≤0恒成立,则a 的取值范围是A ．（0，1）B ．（0，1]C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）答案：D29、(陕西省西安铁一中2022-2023学年届高三12月月考)若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．)23,2[-B ．]23,2(-C ．)23,3[-D ．)23,3(-答案：A30、(上海市张堰中学高2022-2023学年届第一学期期中考试)设z y x >>，N n ∈，且zx nz y y x -≥-+-11恒成立，则n 的最大值为（）A 、2B 、3C 、4D 、5答案：C31、(西南师大附中高2022-2023学年级第三次月考)已知4a b ab +=，a 、b 均为正数，则使a b m +>恒成立的m 的取值范围是（）A ．m < 9B ．9m ≤C ．m < 8D ．8m ≤答案：A32、(福建省福州三中高三年级第二次月考)设|13|)(-=x x f ，a b c <<且)()()(b f a f c f >>，则下列关系中一定成立的是（）A ．b c 33>B ．a b 33>C ．233>+a cD ．233<+a c答案：D33、(福建省福州三中高三年级第二次月考)已知()()()1f x x a x b =--+，n m ,是方程0)(=x f 的两根，且a ＜b ，m ＜n ，则a ．b ．m ．n 的大小关系是（） A ．m ＜a ＜b ＜n B ．a ＜m ＜n ＜bC ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b答案：B34、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2022-2023学年届高三期中联考)给出以下4个结论，其中正确的个数为（） A ．0 B ．１Ｃ．２Ｄ．３ ①函数2log (sin cos )y x x =-不是周期函数； ②函数5sin(3)2y x π=+既不是奇函数也不是偶函数； ③已知4个数a 、b 、c 、d ，满足ad bc =，则a 、b 、c 、d 成等比数列； ④1023101(12)1222212⋅-+++++=-．答案：A35、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2022-2023学年届高三期中联考)关于210,x ax ax x R -+>∈的不等式对恒成立的充要条件是（）A ．0＜a ＜4B ．a ＝0或4 Ｃ．0≤a ≤4 Ｄ．0≤a ＜4 答案：D36、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2022-2023学年届高三期中联考)已知实数对2222(,)326(,)2346x y x y x f x y x y x y +==+--满足，则的取值范围是（） A ．55[22-+ B ．[5,10] Ｃ．1,1]Ｄ．[7-+答案：A37、(广东省高明一中2022-2023学年届高三上学期第四次月考)同时满足条件：①函数图象成中心对称图形；②对任意,[0,1]a b ∈，若b a ≠，有)2(2)()(ba fb f a f +<+的函数是（） A ．||log x y a = B ．x y 2cos =C ．)3tan(π-=x yD ．3x y =答案：C天天向上独家原创11 / 11 38、(黑龙江省双鸭山一中2022-2023学年-2022-2023学年学年上学期期中考试)-1()f x 是函数+1()=2x f x 的反函数，若-1-1()+()=0f a f b ，则a+b 的最小值是（）A.1B. 2C.答案：D。

专题06 数列、不等式(一模)-各类考试必之高三数学(理)全国各地优质金卷分项解析版(2018版)(解析版)

【2018高三数学各地优质一模试题分项精品】一、选择题1. 【2018甘肃兰州高三一模】已知数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】为等比数列，，，，故选A.2. 【2018黑龙江哈尔滨三中高三一模】设是等差数列的前n项和,若,那么等于A. 4B. 5C. 9D. 18【答案】B【解析】设等差数列的公差为d,则=,=,所以d=2,a1=,则故选B.3. 【2018辽宁朝阳高三一模】已知数列的通项公式，若使此数列的前项和最大，则的值为（）A. B. C. 或 D.【答案】C【解析】由得，所以的值为或时，数列的前项和最大，选C.4. 【2018山西太原一模】已知等比数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】B5. 【2018山东济南高三一模】已知正项等比数列满足，与的等差中项为，则的值为（）A. 4B. 2C.D.【答案】A【解析】设公比为，，与的等差中项为，，即的值为，故选A.6. 【2018福建南平高三质检一】等差数列的前项和为，若为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（）A. B. C. D.【答案】B7. 【2018贵州黔东南州高三一模】在等差数列中，若，则（）A. 9B. 8C. 6D. 3【答案】A【解析】设的公差为，由得，所以，则，故选A．8. 【2018江西南昌高三一模】设不等式组表示的平面区域为，若直线经过区域内的点，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，如图所示的虚线处为满足题意的临界值，当直线经过点时，取得最小值：，当直线经过点时，取得最小值：，据此可得则实数的取值范围为.本题选择C选项.9. 【2018甘肃兰州高三一模】数列中，，对任意，有，令，，则（）A. B. C. D.【答案】D【方法点晴】本题主要考查“累加法”的应用、等差数列的求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.10. 【2018山东菏泽高三一模】等比数列中，是方程的两个实数根，则的值为A. 2B. 或C.D.【答案】B11. 【2018黑龙江哈尔滨三中高三一模】函数（且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意有，代入直线得，所以，故选.学科*网12. 【2018山西省高三一模】若满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数分别在点和点处取得最大值与最小值,故选A.13. 【2018安徽芜湖高三一模】已知实数满足条件，令，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作可行域如图，，则，选A.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14. 【2018广东江门高三一模】若实数，满足不等式组且的最大值为，则实数A. B. C. D.【答案】A15. 【2018北京朝阳区高三一模】在平面直角坐标系中,已知点,,动点满足,其中,则所有点构成的图形面积为( )A. B. C. D.【答案】C,故选.【方法点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及线性规划的应用及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，把向量问题转化为线性规划问题解答是解题的关键.16. 【2018山西太原一模】已知不等式在平面区域上恒成立，若的最大值和最小值分别为和，则的值为（）A. 4B. 2C. -4D. -2【答案】C【解析】当时，；当时，因此选C.学科*网17. 【2018福建南平高三质检一】已知数列满足，则该数列的前23 项的和为（）A. 4194B. 4195C. 2046D. 2047【答案】A二、填空题18. 【2018内蒙古包头高三一模】设数列的前项和为，若，，，则__________．【答案】66【解析】由，即，所以，又，所以，则．点睛：本题考查了数列的递推关系和数列的与关系式的应用，其中解答中根据题设条件，利用，把条件转化是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．19. 【2018北京朝阳区高三一模】等比数列满足如下条件:①②数列的前项和.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式__________．【答案】20. 【2018广东高三一模】设满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】2【解析】作出不等式组表示的可行域，如图，由可得，由图可知，当直线过点时，取得最大值，此时，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.21. 【2018山东聊城高三一模】设，满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】4【解析】,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值为.[点睛]本小题主要考查线性规划的基本问题,考查了指数的运算. 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；③确定要画不等式所表示的平面区域.22. 【2018山东菏泽高三一模】若实数满足，则的最小值是__________.【答案】【解析】不等式可表示为如图所示的平面区域.为该区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然，当x=3，y=1时，取得最小值.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.23. 【2018福建南平高三一模】已知实数满足，求的取值范围__________．【答案】【解析】作出可行域如图所示：24. 【2018辽宁抚顺高三3月模拟】已知数列的前项和为，且，，则满足的的最小值为________________________．【答案】4【解析】当时,.由得.,即数列是以,公比为点的等比数列,故.,,化简得,当时,上式左边为负数,当时,左边为正数,故的最小值为.学科*网【点睛】本小题主要考查数列求通项公式,即的应用,考查数列不等式的求解方法.首先利用公式有两个方式,一个是将转化为,一个是将转化为,本题是第二种,将转化为,然后利用配凑法求得的通项公式,解不等式解求得的最小值.25. 【2018山东菏泽高三一模】已知等差数列前项和为，且，若满足不等式的正整数有且仅有3个，则实数的取值范围为__________.【答案】点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法先研究数列的单调性，可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数形结合求解.三、解答题26. 【2018广东高三一模】已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，化简得，又，所以，从而.（2）因为，所以，所以，以上两个等式相减得，化简得.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.27. 【2018山西省高三一模】已知等比数列中，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】(1)利用基本元的思想,将已知转化为,解方程求得,由此求得.(2)化简,利用并项求和法求得其前项和.（2），设，则，.28. 【2018安徽芜湖高三一模】已知数列的首项，是数列的前项和，且满足. （1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，记数列的前项和为，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系转化为项之间递推关系，再构造常数列，进而解得数列的通项公式；（2）先化简，再根据裂项相消法求和，即证得结论.试题解析：（1），①当时，，②①-②得，，所以.故是首项为的常数列，所以.（2），∴.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.29. 【2018山东聊城高三一模】已知数列满足，.（Ⅰ）证明：是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.30. 【2018广东江门高三一模】已知数列的前项和（为正整数）．（Ⅰ）求证：为等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和公式．【答案】(1)见解析(2)【解析】【试题分析】(I)利用,可求得,即证明了数列为等差数列.(II)由(I)求得的表达式,并利用错位相减求和法求其前项和.（方法二）当时，解得，设，则，当时，有代入得整理得所以即是以为首项，为公差的等差数列（Ⅱ）由（Ⅰ）得，依题意①上式两边同乘以，得②①-②得，所以。

专题06 数列、不等式-河北衡水中学高三数学(文)模拟试卷分项版

一、选择题1.【2018河北衡水11月联考】若实数，满足不等式组则的最大值为（）A. 12B. 10C. 7D. 1【答案】B点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2. 【2018河北衡水11月联考】若，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由指数函数单调递减可得：，选项错误；由幂函数单调递增可得：，选项错误；，选项错误；本题选择D 选项.点睛：利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．【2018河北衡水中学高三上学期五调】若,x y 满足约束条件220,0,4,x y x y x y ⎧+≤⎪-≤⎨⎪+≤⎩则23y z x-=+的最小值为A ．2-B ．23-C ．125-D ．247- 【答案】C4. 【2017河北衡水中学高三上学期一调】若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则22x y +的最大值是（）A ．12B ．10C ．9D ．4 【答案】B 【解析】考点：简单的线性规划.5. 【2017河北衡水中学高三上学期二调】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()211122,3n n nS n S n n n N a *+-+=+∈=，则数列{}n a 的通项n a =（）A ．41n -B ．21n +C ．3nD ．2n + 【答案】A 【解析】试题分析：当1n =时，()2213234,7a a ⋅+-⋅==，故A 选项正确. 考点：数列求通项．6. 【2017河北衡水中学高三上学期二调】已知数列{}n a 满足()211n n n n a a a a n N *+++-=-∈，且52a π=，若函数()2sin 22cos 2xf x x =+，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前9项和为（） A ．0 B ． 9- C ．9 D ．1 【答案】C 【解析】考点：数列求和．【思路点晴】由()211n n n n a a a a n N *+++-=-∈可知数列{}n a 为等差数列，另外还知道52a π=，没有其它特殊的要求，故不妨设2n a π=，也就是假设n a 为常熟列，每一项都是2π，然后将2n a π=代入()n f a 也就可以求出n y 每一项都是1，故前9项和为9.在选择填空题中，小题小做不要小题大做，往往可以节约很多的时间.7. 【2017河北衡水中学高三上学期三调】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（） A ．29 B ．31 C ．33 D ．36 【答案】B 【解析】考点：等比数列通项公式及求前n 项和公式．【一题多解】由2532a a a =，得42a =．又47522a a +=，所以714a =，所以12q =，所以116a =，所以515(1)311a q S q-==-，故选B ．8. 【2017河北衡水中学高三上学期三调】若正数,x y 满足35x y xy +=，则43x y +的取最小值时y 的值为（）A ．1B ．3C ．4D ．5 【答案】A 【解析】考点：基本不等式．9. 【2017河北衡水中学高三上学期三调】若,x y 满足3010x y x y x k -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =+的最大值为6，则k 的值为（）A ．-1B ．1C ．-7D ．7 【答案】B 【解析】试题分析：作出满足条件的平面区域，如图所示，由,30,x k x y =⎧⎨-+=⎩解得,3,x k y k =⎧⎨=+⎩则(,3)A k k +．由图知，当目标函数2z x y =+经过点(,3)A k k +时，z 最大，故236k k ++=，解得1k =，故选C ．考点：简单的线性规划问题．10. 【2017河北衡水中学高三上学期五调】已知(,)P x y 为平面区域001(0)x y x y a x a a -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤+>⎩内的任意一点，当该区域的面积为3时，2z x y =-的最大值是（） A ．6 B ．3 C.2 D ．1 【答案】A考点：线性规划.11. 【2017河北衡水中学高三猜题卷一】设等差数列的前项和为，已知，若，则（）...A. B. C. D.【答案】B 【解析】国为为等差数列，，，所以,所以k=7.选B.12. 【2017河北衡水中学高三押题卷三】数列满足，（），则（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】因为数列满足，（），所以所以是公比为2的等比数列，所以13. 【2017河北衡水高三押题卷Ⅱ】已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项． 14. 【2017河北衡水中学九月联考摸底】已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，公差为d ，若100172017172017=-S S ，则d 的值为（）A.201 B.101 C.10 D.20 【答案】B.15. 【2017河北衡水中学高三下学期三调】已知是等比数列，且，，则等于（） A.B. 24C.D. 48【答案】B【解析】，，，故选B ．16．【2016河北衡水中学高三上学期六调】已知z=2x+y ，其中实数x ，y 满足，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（） A ．B ．C ．4D ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，结合目标函数z=2x+y 的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．故选：B．17．【2016河北衡水中学高三上学期六调】设S n是等比数列{a n}的前n项的和，S m﹣1=45，S m=93，则S m+1=189，则m=（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】等比数列的前n 项和．【分析】由题意得===2，再由S m ==93解得a 1=3，从而求m ．二、填空题18、【2018河北衡水中学高三上学期一调】已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，对一切n N +∈，都有1n n na b a +=，则数列{}n b 的通项公式为_________．【答案】1n b =19. 【2018河北衡水中学高三上学期分科综合测试】若都是正数，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】设都是正数，且，则，当且仅当时取等号，故答案为.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.20. 【2018衡水中学高三八模】已知实数满足，则目标函数的最大值为__________．【答案】52.1 【2018河北衡水九月联考】已知实数，满足约束条件则的取值范围为__________（用区间表示）.【答案】【解析】作出约束条件表示的平面区域(如图阴影部分表示)设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值. 即,所以.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 22. 【2018衡水中学高三八模】已知数列的通项公式为，前项和为，则__________．【答案】1011点睛：本题考查了递推关系的应用、分组求和问题、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律。

专题06 数列、不等式-备战2017高考高三数学文全国各地

【备战2017高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】一、选择题1．【2017安徽阜阳二模】数列{}n a 满足113a =，且对任意211N*,,1n n n n n n a a a c a +∈=+=+，数列{}n c 的前n 项和为n S ，则2017S 的整数部分是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．2．【2017安徽阜阳二模】等比数列{}n a 中， 132410,30a a a a +=+=，则数列{}n a 前5项和5S = （）A. 81B. 90C. 100D. 121【答案】D【解析】解：由题意可知： 21131110{30a a q a q a q +=+= ，解得： 11{3a q == ，由等比数列的求和公式有： ()51511211a q S q-==- .本题选择D 选项.3．【2017湖南娄底二模】我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和（） A. 多712斤 B. 少712斤 C. 多16斤 D. 少16斤【答案】D【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等数列{}n a ,则123789104,3a a a a a a a ++=+++=,由等差数列的性质得28943,32a a a =+=，()289431326a a a -+=-=-,故选D.4．【2017重庆二诊】《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（） A. 10日 B. 20日 C. 30日 D. 40日【答案】B5．【2017福建4月质检】若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81，则9a =（） A. 1 B. 9 C. 17 D. 19 【答案】C【解析】由等差数列求和公式可得： 199559()98192a a S a a +===⇒=，再由等差数列通项公式可知： 549817a d +=+=6．【2017四川资阳4月模拟】已知等差数列{}n a 中， 1510a a +=，则47a =，则数列{}n a 的公差为A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】A【解析】解：由等差数列的性质可知：153343210,5,752a a a a d a a +==∴==-=-= .本题选择A 选项.7．【2017安徽阜阳二模】若,x y 满足约束条件2{212510x y x y x y +≤-≥+-≥，则23x y -的最大值为（）A. 1-B. 1C. 7D. 9 【答案】D8．【2017广东佛山二模】已知实数x ， y 满足0{2x x y x y ≥≤+≥，则2z x y =+的最小值是（）A. 0B. 2C. 3D. 5 【答案】B【解析】可行域如图，所以直线2z x y =+过点()0,2A ，时取最小值2，选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9．【2017湖南娄底二模】若实数x ， y 满足不等式组330,{230,10,x y x y x y +-≥--≤-+≥则2x y +的最小值为（）A. 2B. 3C. 187D. 14 【答案】A10．【2017陕西汉中二模】若变量x ，y 满足约束条件则 (x －2)2＋y 2的最小值为( ) A.B.C. 5D.【答案】C【解析】点睛：解答本题的关键是先画出不等式组表示的区域，再搞清楚()222x y -+的几何意义是定点()2,0M 到区域内动点(),P x y 的距离的平方，然后数形结合求出动点(),P x y 到点()0,1A 的最小距离。

2018年高考数学模拟试卷分项第02期专题06数列不等式20171220183

专题数列、不等式一、选择题1．【2018湖南株洲两校联考】等差数列{a n }中，a 3，a 7是函数 f （x ）=x 2﹣4x +3的两个零点，则{a n }的前 9项和等于（） A. ﹣18 B. 9C. 18D. 36【答案】C2．【2018陕西西安五中联考】已知等差数列a 的公差 d0 ，且na a a 成等比数列，若1, 3, 13a 11，S 为数列a 的前 n 项和，则nn2S16na3n的最小值为（）A. 3B. 4C. 2 3 2D. 92【答案】B113 1 131 2 1 120 【解析】a ，a ，a 成等比数列， a，a 2 a a ，（ d ）2d ，d ，解1313得 d=2．（）．a1 2 n 1 2n 1 S n2 n ．n n 12nn22nn2S16 2n 2161 2 1 999nn 12 2 n 1 2 4， a3 2n 2n 1n 1n 1n当且仅当n1n 9 1 时即 n 2 时取等号，且 2S 16na3n取到最小值 4，故选：A ．1【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值的知识，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．3．【2018东北名校联考】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的的路程且前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问题第六天走了” （）A. 96里B. 48 里C. 12里D. 6 里【答案】D【解析】由题知每天所走路程形成以 a 为首项，公比为 11 2的等比数列，且前六项的和为378，则a11162 378，解得1192 6 16a，则 aa q 5，即第六天走了 6 里．故本题答案选B ．1 1 24．【2018河北邢台联考】已知 f n表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因100数有 1,2,3,4,6,12，则 f 12 3 ；21的因数有 1,3,7,21，则 f 21 21，那么f ii51的值为（） A. 2488B. 2495C. 2498D. 2500【答案】D2选D5．【2018河北衡水武邑调研】己知数列a 与b的前n项和分别为n n S、nT，n2anbn a a2 1 21n n 1，且a 0, 6S a 3a n N ，若n N*,k T恒成立，则k的最小值是（）2 *n n n n nA. 17B.149C. 49D.8441【答案】B1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ，要T...n n n n2 23 1 17 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 7 7 8 149使，故选B.恒成立，只需k 1 ，即k的最小值是1n N*,k Tn49 493【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①1 1 1 1n n k k n n k；②1 1n k nn kn；③k1 1 1 12n 1 2n 1 2 2n 1 2n1；1 1 1 1④n n 1 n 2 2 n n n n1 1 2；此外，一些有关三角函数、等比数列的求和题型，也可以利用裂项相消法求解.6．【2018河北衡水武邑中学三调】已知数列a 与b的前n项和分别为n nS、T，且n n2ana ,0 S a 2 a n N* ,b6 3n n n nn a a2 1 21n n 1,若n N*,k T恒成立，则k的n最小值是( )A.17B.149C. 49D.8441【答案】B【解析】已知S a a n N ，6 3 6Sa3an N，两式子做差得到2 * 2 *n n n n 1 n 1 n 1a a 1 3 ，故数列是等差数列，由等差数列的通项公式得到 3a n，故bn n nn8 1 1 1nn nn n1n n7 8 1 8 118 1 8 11，故裂项求和得到1 1 1 1 11b*n n n17 7 8 1 49 7 81 ，由条件k T恒成立，得到K的最小值为1n49．故答案选B．点睛：本题考查到了通项公式的求法，6S 6Sa a3 a an N2 2 *n n 1 n n 1 n n 1从而得到数列ba是等差数列，再求出n n8 1 1 1nnnn n 18 1 8 11 7 8 1 81，根据裂项求和的方法可以求出前n项和。

专题06 数列、不等式(二模)高三数学(理)全国各地优质金卷分项解析版(原卷版)

【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】一、单选题1．【2018河南郑州高三二模】已知()()()214,1{,(1)x a x x f x a x -+≤=>的定义域为R ，数列{}()*n a n N ∈满足()n a f n =,且{}n a 是递增数列，则a 的取值范围是( )A. ()1+∞，B. 12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C. ()13， D. ()3+∞，2.【2018湖南衡阳高三二模】当n 为正整数时，定义函数()N n 表示n 的最大奇因数.如()()()()()()()N 33,105,,1232n N S n N N N N ===++++，则()5S = ( )A. 342B. 345C. 341D. 3463．【2018陕西高三二模】已知数列n a ｛｝是等差数列， 12a =，其中公差 0d ≠.若5a 是3a 和8a 的等比中项，则18S = ( )A. 398B. 388C. 189D. 1994．【2018江西高三质监】已知等比数列{}n a 的首项12a =，前n 项和为n S ，若53445S S S +=，则数列222log 1log 6n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭的最大项等于（） A. -11 B. 35-C. 193D. 15 5．【2018甘肃兰州高三二模】设n N +∈=（）A. 333nB. 21333n - C. 21333n - D. 2333n6．【2018甘肃兰州高三二模】等比数列中各项均为正数，是其前项和，满足，则（）A.B.C.D.7．【2018安徽马鞍山高三质监二】已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前50项的和为（）A. 2448B. 2525C. 2533D. 2652 8．【2018广东茂名高三二模】记函数在区间内的零点个数为，则数列的前20项的和是（）A. 430B. 840C. 1250D. 16609．【2018河南高三4月适应性考试】已知等差数列，的前项和分别为，，若，则实数（）A.B.C. D. 310．【2018河北唐山高三二模】设{}n a 是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是（）A. 23X Z Y +=B. 44X Z Y +=C. 237X Z Y +=D. 86X Z Y +=11．【2018湖南郴州高三二模】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知19a =， 2a 为整数，且5n S S ≤，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭前n 项和的最大值为（）A.49 B. 1 C. 4181 D. 15131512．【2018陕西咸阳高三二模】已知实数x ， y 满足30{20 0x y x y x y +-≥-≤-≥，若()221z x y =-+，则z 的最小值为（） A. 1B.C. 2D.5213．【2018新疆维吾尔自治区高三二模】设a ， b R ∈， 2226a b +=，则a 的最小值为（）A. -B.C. -D. 14．【2018宁夏银川高三4月质检】若满足约束条件，则的最大值是（）A.B.C.D.15．【2018辽宁大连高三一模】已知首项与公比相等的等比数列中，满足（，），则的最小值为（）A.B.C.D.16．【2018安徽马鞍山高三质监二】已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（）A.B.C.D.17．【2018四川广元高三二模】设实数x ， y 满足{62 1x yy x x ≤≤-≥，则2z x y =-+的最小值为（）A.B. 2C. -2D. 1二、填空题18．【2018湖南永州高三三模】设实数,x y 满足约束条件220{40 2x y x y y --≤+-≥≤，则yz x=的最大值是_______.19．【2018湖南衡阳高三二模】设0m 1<≤，在约束条件2,{2 1 0,x y m x y x y +≤+≥--≤下，目标函数32z x y =-的最小值为-5，则m 的值为__________．20．【2018重庆高三4月二诊】已知实数x ， y 满足330,{10, 10,x y x y x y -+≥+-≥--≤若目标函数z ax y =+在点()3,2处取得最大值，则实数a 的取值范围为__________．21．【2018上海普陀高三二模】设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且()24620187f a a a a =，则()()()()22221232018f a f a f a f a ++++的值为_________.22．【2018安徽宣城高三二调】已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且26121a a a =⋅，则数列12n n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭项中的最大值为__________． 23．【2018甘肃兰州高三二模】已知数列{}n a 满足1211,3a a ==，若 ()1111232,n n n n n n a a a a a a n n N +-+-++=≥∈，则数列{}n a 的通项n a = __________．24．【2018陕西西安八校联考】数列{}n a 中， n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()21121,22nn n S a a n S -==≥，则这个数列前n 项和公式n S =__________．25．【2018河北唐山高三二模】数列{}n a 满足132n n n a a +=-，若n N +∈时， 1n n a a +>，则1a 的取值范围是__________．26．【2018四川广元高三二模】在数列{}n a 中，1a =n a =()*2,n n N ≥∈，设()2412n nn b a n +=+， n S 是数列{}n b 的前n 项和，则()()22111612n S n n ++=++__________．27．【2018广西梧州高三二模】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S a n +=-+， 22a =，则n a =__________．三、解答题28．【2018黑龙江大庆高三二模】已知为等差数列的前项和，且.记,其中表示不超过的最大整数，如.(I)求(II)求数列的前200项和.29．【2018湖南衡阳高三二模】等差数列{}n a 中， 371,9a a ==,n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，且12b =,若1234,3,2S S S 成等差数列.(1)求数列{}n a ， {}n b 的通项公式；(2)设n n n C a b =,求数列{}n C 的前n 项和n T . 30．【2018四川德阳高三二诊】已知数列满足，（为常数）.（1）试探究数列是否为等比数列，并求；（2）当时，求数列的前项和.31．【2018湖南衡阳高三二模】已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意的*n N ∈,满足()11113n S a a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足4log n n n a b a =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证： 49n T <. 32．【2018宁夏银川高三4月质检】已知数列为公差不为零的等差数列，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：.33．【2018辽宁大连高三一模】设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，，.求和的通项公式；设，求数列的前项和.34．【2018河北石家庄高三一模】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()122n n S m m R +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()()21121log n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .35．【2018安徽安庆高三二模】已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =，且1241,1,1a a a +++成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=， *n N ∈， n S 是数列{}n b 的前n 项和，求使319n S <成立的最大的正整数n .36．【2018安徽合肥高三质检二】已知等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足54643S S S =+，且39a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21?n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项的和n T .。

2021年高三数学(文)全国各地优质金卷专题专题06 数列、不等式

高三数学各地优质二模试题分项精品】专题六数列、不等式一、选择题1．【2022新疆维吾尔自治区高三二模】已知等差数列{}n a 中，449,24a S ==,则7a = ( )A. 3B. 7C. 13D. 15 【答案】D2．【2022新疆维吾尔自治区高三二模】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若954S =，则632a a +=（）A. 9B. 15C. 18D. 36 【答案】C 【解析】()()9195556311992954, 6.225222S a a a a a a a a d a d =+=⨯==∴=+=+++()1534318.a d a =+==故选C.3．【2022安徽宣城高三二调】设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若1480a a +=,则34S S =（） A. 65 B. 1415 C. 715 D. 35- 【答案】A【解析】因为1480a a +=,所以34111,82a q q a ==-∴=-因此34S S =31411911268155111612a q a q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，选A. 4．【2022河南商丘高三二模】已知数列满足，则（）A. B.C.D.【答案】B 【解析】由题得，故选B.点睛：类比想象是数学想象的一种，看到，我们要想到累加法，这里不是等式，是不等式，我们也可以累加得到，再利用累加得到.5．【2022东北三省四市高三一模】等差数列{}n a 的公差不为零，首项11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列{}n a 的前9项之和是（）A. 9B. 10C. 81D. 90 【答案】C6．【2022云南昆明高三二模】数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为（）A. 100-B. 100C. 110-D. 110 【答案】A【解析】由()11nn n a a n ++=-，得2134561,3,5a a a a a a +=-+=-+=-，1920...,19a a +=-，n a ∴的前20项的和为121920119...13 (19102)a a a a +++++=----=-⨯100=-，故选A. 7．【2022山西太原高三二模】已知公比1q ≠的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，333S a =，则5S =（）A. 1B. 5C. 3148D. 1116【答案】 D【解析】由题意得()3121131a q a qq-=-，解得12q =-，1q =（舍），所以()55151113311211481612a q S q⎛⎫-- ⎪-⎝⎭====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，选D.8．【2022河北邯郸高三一模】在公比为q 的正项等比数列{}n a 中，44a =，则当262a a +取得最小值时，2log q =（）A. 14 B. 14- C. 18 D. 18- 【答案】A9．【2022上海虹口区高三二模】已知数列的首项，且，，是此数列的前项和，则以下结论正确的是（）A. 不存在．．．和使得B. 不存在．．．和使得C. 不存在．．．和使得D. 不存在．．．和使得【答案】A 【解析】当时，，，，···，可知，则当时，；当时，；当时，，，，，，···，可知，则当时，；所以取不到。

专题06 数列、不等式-备战2021高考高三数学(理)全国各地优质模拟试卷分项精品 Word版含解析

【备战2021（高|考）高三数学全国各地优质模拟试卷分项精品】专题数列、不等式一、选择题1．【2021河南洛阳市联考】在等比数列中 , ,是方程的根 ,那么的值为 ( ) A.B.C.D.或【答案】B2．【2021浙江温州市一模】数列是公差不为0的等差数列 ,,数列的前项 ,前项 ,前项的和分别为 , , ,那么 ( ) A. B.C.D.【答案】D 【解析】是公差不为0的等差数列 ,是以公比不为的等比数列 ,由等比数列的性质 ,可得成等比数列 ,可得,应选D.3．【2021广西三校联考】等差数列满足： 31313,33a a == ,求7a ( )A. 19B. 20C. 21D. 22 【答案】C【解析】等差数列{}n a 中 , 133d 10a a -= =2,那么73413821a a d =+=+= 应选C4．【2021吉林省百校联盟联考】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设11927a a =+ ,那么25S = ( )A.1452 B. 145 C. 1752D. 175 【答案】D【解析】由题意可得： 11913132,7a a a a =+∴= ,结合等差数列前n 项和公式有： 125132513225252525717522a a aS a +=⨯=⨯==⨯=. 此题选择D 选项.5．【2021辽宁大连八中模拟】假设记等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,假设12a =,36S =,那么4S = ( )A. 10或8B. 10-C. 10-或8D. 10-或8- 【答案】C6．【2021湖南省两市九月调研】n S 为数列{}n a 的前n 项和 ,假设12a =且12n n S S += ,设2log n n b a = ,那么122320172018111b b b b b b +++的值是 ( )A.40352018 B. 40332017 C. 20172018 D. 20162017【答案】B【解析】由12n n S S +=可知 ,数列{}n S 是首|项为112S a == ,公比为2的等比数列 , 所以2n n S =.2n ≥时 , 111222n n n n n n a S S ---=-=-=.211log {1,2n n n b a n n ===-≥，.2n ≥时,()1111111n n b b n n n n+==--- 12232017201811111111140331122232016201720172017b b b b b b +++=+-+-++-=-=. 应选B.7．【2021湖南省两市九月调研】等比数列{}n a 中 , 5473,45a a a == ,那么7957a a a a --的值A. 3B. 5C. 9D. 25 【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,那么25475945a a a a q q q===.所以5q =. 2227957575725a a a q a q q a a a a --===--.应选D.8．【2021广东广州市一模】等差数列{}n a 的公差为2 ,假设134,,a a a 成等比数列 ,那么{}n a 前6项的和为 ( )A. 20-B. 18-C. 16-D. 14- 【答案】B9．【2021广西桂林柳州市一模】设等比数列{}n a 的公比2q = ,前n 项和为n S ,那么43S a 的值为 ( ) A.154 B. 152 C. 74 D. 72【答案】A【解析】试题分析：由等比数列的前n 项和公式得()41411a q S q-=- ,又231aa q = ,()442311514S q a q q -∴==-. 考点：等比数列的通项公式、前n 项和公式及运算.10．【2021湖南省永州市一模】在等比数列{}n a 中 ,11a = , 48a = ,假设35,a a 分别为等差数列{}n b 的第2项和第6项 ,那么数列{}n b 的前7项和为 ( ) A. 49 B. 70 C. 98 D. 140【解析】在等比数列{}n a 中 ,由141,8a a == ,得352,4,16q a a === ,即264,16b b == , ()()()1726777774162870222b b b b b S +++=∴==== ,应选B.11．【2021广东省珠海一中一模】数列{}n a 满足11a = ,且对于任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++ ,那么122017111···a a a +++等于 ( ) A.20162017 B. 40322017 C. 20172018 D. 40342018【答案】D点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法 ,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项 ,由递推关系求数列的通项公式 ,常用的方法有：①求出数列的前几项 ,再归纳猜测出数列的一个通项公式；②将递推关系式整理、变形 ,变成等差、等比数列 ,或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时 ,要注意正负项相消时消去了哪些项 ,保存了哪些项 ,切不可漏写未被消去的项 ,未被消去的项有前后对称的特点 ,实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 12．【2021东北四市一模】等差数列中 ,,且公差,那么其前项和取最|小值时的的值为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C【解析】等差数列的公差为正数 ,那么,据此可得： ,那么其前项和取最|小值时的的值为8.此题选择C 选项.13．【2021陕西省西工大附中八模】等差数列1 , a , b ,等比数列4 , 1a - , 4b + ,那么该等比数列的公比为 ( ) A.52 B. 12- C. 52或12- D. 10或2- 【答案】C14．【2021浙江省温州市一模】假设实数 ,满足约束条件那么的取值范围是 ( ) A.B.C.D.【答案】C【解析】画出表示的可行域 ,由,得,由,得,平移直线,当直线经过时分别取得最|小值 ,最|大值 ,故的取值范围是,应选C.【方法点晴】此题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最|值 ,属简单题.求目标函数最|值的一般步骤是 "一画、二移、三求〞： (1 )作出可行域 (一定要注意是实线还是虚线 )； (2 )找到目标函数对应的最|优解对应点 (在可行域内平移变形后的目标函数 ,最|先通过或最|后通过的顶点就是最|优解 )； (3 )将最|优解坐标代入目标函数求出最|值.15．【2021天津市滨海新区八校联考】假设,x y R ∈ ,且0{1 23x y x x y -≥≥-≥- ,那么3z x y =-的最|小值为 ( )A. 6B. 2C. 1D. 不存在【答案】B【解析】可行域如图 ,直线3z x y =-过点 (1,1 )时3z x y =-取最|小值为2 ,选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化 ,即数形结合的思想.需要注意的是：一 ,准确无误地作出可行域；二 ,画目标函数所对应的直线时 ,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比拟 ,防止出错；三 ,一般情况下 ,目标函数的最|大或最|小值会在可行域的端点或边界上取得.16．【2021广西柳州市一模】圆()221:24C x a y ++=和圆()222:1C x y b +-=只有一条公切线 ,假设,a b R ∈且0ab ≠ ,那么2211a b +的最|小值为 ( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】D点睛：由题意可得两圆相内切 ,根据两圆的标准方程求出圆心和半径 ,可得4a 2+b 2=1 ,再利用 "1〞的代换 ,使用根本不等式求得21a +21b 的最|小值． 17．【2021陕西西工大附中六模】假设平面区域30{230 230x y x y x y +-≥--≤-+≥ ,夹在两条斜率为1的平行直线之间 ,那么这两面三刀条平行直线间的距离的最|小值是( ) A.355 B. 5 C. 322D. 2 【答案】D【解析】作出平面区域如下图：∴平行线间的距离为1122d --==此题选择D 选项.18．【2021陕西西工大附中八模】如果1a b >> , 0c < ,在不等式①c ca b>；②()()ln ln a c b c +>+；③()()c ca cbc -<-；④a b be ae >中 ,所有正确命题的序号是 ( )A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④ 【答案】B【解析】用排除法 ,1,0a b c >>< , ∴可令3,2,4a b c ===- ,此时()()ln ln a c b c +>+ ,不成立 , ∴②错误 ,排除 , ,,A C D ,应选B.19．【2021四川龙泉二中一模】中国宋代的数学家秦九韶曾提出 "三斜求积术〞 ,即假设在平面内有一个三角形 ,边长分别为,三角形的面积可由公式求得 ,其中为三角形周长的一半 ,这个公式也被称为海伦 -秦九韶公式 ,现有一个三角形的边长满足 ,那么此三角形面积的最|大值为A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意,p =10,∴此三角形面积的最|大值为.此题选择A 选项.20．【2021四川龙泉二中一模】实数满足不等式组 ,那么的最|大值为A. 3B. 5C. 4D. 6 【答案】B(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法 ,给目标函数赋于一定的几何意义．21．【2021河南省新乡市三模】设 ,满足约束条件假设的最|大值为2 ,那么的值为 ( )A. B. C. D.【答案】C二、填空题22．【2021天津市滨海新区八校联考】在等比数列{}n a 中 , 32a , 52a , 13a 成等差数列 ,那么2596a a a a +=+__________．【答案】19【解析】由题意得42422531111223232332a a a a q a q a q q q ⨯=+⇒=+⇒=+⇒= 2596a a a a +=+ 4854119q q q q q +==+ 23．【2021广西三校联考】数列{}n a 是递减数列 ,且对任意的正整数n , 2n a n n λ=-+恒成立 ,那么实数λ的取值范围为______________．点睛：数列单调性的考查 ,直接利用递减数列符合n 1n a <a +恒成立 ,把问题转化为恒成立问题来解 ,采用变量别离很容易得解.24．【2021辽宁省大连八中模拟】等差数列{a n }的前n 项为S n ,假设公差d =﹣2 ,S 3 =21 ,那么nS n 取得最|大值 =________. 【答案】147【解析】()3113323621S a a =+⨯-=-= , 19a = ,()()23192102n n n nS n n n n ⎡⎤-=+⨯-=-⎢⎥⎣⎦,令()3210f n n n =-+ , ()2320f n n n '=-+ ,令()0f n '= , *n N ∈ ,根据函数的单调性可以发现 , n nS 在6n = 或7n =时最|大 , 当7n =时 , 77490343147S =-= , 可见nS n 取得最|大值为147.25．【2021陕西西工大附中八模】假设等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+ ,那么a 的值为__________．【答案】 -126．【2021河南省洛阳市联考】 ,满足条件那么的取值范围是__________．【答案】【解析】作出可行域：∵设z = =1 + ,令s =S 表示动点与定点连线的斜率当点在B时 ,s 最|小 ,即z 的最|小值为；故答案为：[3 ,9]．点睛：此题考查的是线性规划问题 ,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化 ,即数形结合思想.需要注意的是：一 ,准确无误地作出可行域;二 ,画目标函数所对应的直线时 ,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比拟 ,防止出错;三 ,一般情况下 ,目标函数的最|大值或最|小值会在可行域的端点或边界上取得. 27．【2021浙江温州市一模】 ( ,) ,那么的最|大值为__________．【答案】0 【解析】 ,,当时等号成立 ,所以的最|大值为 ,故答案为.【易错点晴】此题主要考查幂指数的运算、利用根本不等式求最|值 ,属于难题.利用根本不等式求最|值时 ,一定要正确理解和掌握 "一正 ,二定 ,三相等〞的内涵：一正是 ,首|先要判断参数是否为正；二定是 ,其次要看和或积是否为定值 (和定积最|大 ,积定和最|小 )；三相等是 ,最|后一定要验证等号能否成立 (主要注意两点 ,一是相等时参数否在定义域内 ,二是屡次用或时等号能否同时成立 ).28．【2021天津市滨海新区八校联考】0a b >> ,且1ab = ,那么22a b a b +-取最|小值时 ,b =__________．【答案】622-29．【2021广西三校联考】设 ,x y 满足约束条件30{0 2x y x y x -+≥+≥≤ ,那么22x y + 的最|大值为________．【29【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影所示 ,22x y +表示的几何意义是点(),x y 到()0,0距离 ,由图可知 ,点A 到原点的距离最|远 ,2{30x x y =-+= ,得2{ 5x y == ,22222529x y +=+=点睛：线性规划中 ,目标函数是两点间的距离 ,做这类型题一定要处理好目标函数 ,分清目标函数符合什么样的几何意义.30．【2021江西省红色七校联考】设,x y 满足约束条件20{10 3x y x y x +-≥-+≥≤ ,假设z mx y =+的最|小值为3- ,那么m 的值为______. 【答案】23m =-联立3{2x x y =+=解得A (3,−1) ,化目标函数z =mx +y 为y =−mx +z ,目标函数的最|小值就是函数在y 轴上的截距最|小 ,最|小值为：−3 ,由图可知,m <0,使目标函数取得最|小值的最|优解为A (3,−1),把A (3,−1)代入z =mx +y =−3,求得m=−2 3三、解答题31．【2021浙江温州一模】数列中 , , ( )．(1 )求证：；(2 )求证：是等差数列；(3 )设 ,记数列的前项和为 ,求证：．【答案】(1)证明见解析； (2 )证明见解析； (3 )证明见解析.【解析】试题分析： (1 )利用数学归纳法可证明； (2 )化简 ,由可得是等差数列；(3 )由(2 )可得 ,从而可得,先证明 ,利用放缩法及等比数列求和公式可证结论.试题解析： (1 )证明：当时 , ,满足 ,假设当 ( )时 , ,那么当时 , ,即时 ,满足；所以 ,当时 ,都有．(2 )由 ,得 ,所以 ,即 ,即 ,所以 ,数列是等差数列．(3 )由 (2 )知 , ,∴ ,因此 ,当时 , ,即时 , ,所以时 , ,显然,只需证明,即可．当时 ,．32．【2021天津市滨海新区八校联考】数列{}n a , {}n b , n S 为数列{}n a 的前n 项和 ,214a b = , 22n n S a =- , ()211n n nb n b n n +-+=+ (*n N ∈ )(1 )求数列{}n a 的通项公式； (2 )证明n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； (3 )假设数列{}n c 的通项公式为,2{4n nn n na b n c a b n -=为奇数，为偶数 ,令n T 为{}n c 的前n 项的和 ,求2n T .【答案】 (1 )2n n a = (2 )见解析 (3 )27127•499n n n T -=+试题解析： (1 )当1n >时 , 111122{ 22222n n n n n n n n n S a aa a a S a a ----=-⇒=-⇒=-当1n =时 , 111222S a a =-⇒= ,综上 , {}n a 是公比为2 ,首|项为2的等比数列 , 2n n a =(2 )∵214a b = ,∴11b = ,∵ ()211n n nb n b n n +-+=+ ,∴111n nb b n n+-=+ 综上 , n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1 ,首|项为1的等差数列 , 211n n b n b n n =+-⇒=. (3 )令212n n n p c c -=+()()()()2221222121?22?241?241?424n nn n n n n n ----=-+=-=-()()()0122123123474114414{43474114454414nn nn n T n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①②①-② ,得()0121233?44?44?44?441?4n n n T n --=++++--()2164?43341?414nn n T n --=+---27127•499n n n T -=+ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型 ,特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出 "n S 〞与 "n qS 〞的表达式时应特别注意将两式 "错项对齐〞以便下一步准确写出 "n n S qS -〞的表达式；(3)在应用错位相减法求和时 ,假设等比数列的公比为参数 ,应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 33．【2021吉林省长春一模】数列的前项和．(Ⅰ )求数列的通项公式；(Ⅱ )设 ,求证：．【答案】(Ⅰ)； (Ⅱ )证明见解析.当时 ,,综上.(Ⅱ )由.. 得证.34．【2021江西省南昌市三模】数列{}n a 满足2312232222nn a a a a n n ++++=+ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)假设()12nnna b -=,求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(Ⅰ) 12n n a n +=⋅；(Ⅱ) ()()131229n nn S ++-+=-.试题解析：(Ⅰ) 2312232222n n a a a a n n ++++=+……① , ∴当2n ≥时 , ()23112231112222n n a a a a n n --++++=-+-② ①-②得()222n n a n n =≥ ,∴()122n n a n n +=⋅≥. 又∵当1n =时 , 1112a=+ ,∴14a = ,∴12n n a n+=⋅.(Ⅱ)()()122nn nn a b n -==-,()()()()1231222322nn S n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-……③()()()()2342122232n S -=⨯-+⨯-+⨯-+()()()1122nn n n ++-⨯-+-……④∴3nS =()()()()()()2341222222n n n +-+-+-+-++---=()()1 21223nnn+⎡⎤---⎣⎦--∴()()131229nnnS++-+ =-.。

高三数学(理)二模金卷分项解析：专题06-数列、不等式(含答案)

【备战2017高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】专题数列、不等式一、选择题1．【2017安徽阜阳二模】等差数列{}n a 前项和为n S ， 75324,5S S a -==，则7S = （） A. 25 B. 49 C. 15 D. 40 【答案】B【解析】由题意得7373-52424549S a S a =⇒=+= ，选B.2．【2017安徽马鞍山二模】设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若410S ≥， 515S ≤，则4a 的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53m 【答案】C3．【2017湖南娄底二模】已知数列{}n a 是首项为1，公差为d （*N d ∈）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d 不可能是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B【解析】由题设， ()11n a n d =+-，81是该数列中的一项，即()8111n d =+-，所以801n d=+，因为*,d n N ∈，所以d 是80的因数，故d 不可能是3，选B.4．【2017安徽合肥二模】等差数列{}n a 的前项和为n S ，且36S =， 63S =，则10S =（） A.110B. C. 10- D. 15- 【答案】D【解析】因为数列是等差数列， 634563s s a a a -=++=-， 1236a a a ++=，所以3339d d d ++=-， 1d =-，又1336a d +=， 13a =， 10110910152s a d ⨯=+⋅=-，故选D ．5．【2017安徽淮北二模】如图， Rt ABC ∆中， P 是斜边BC 上一点，且满足： 12BP PC =u u u r u u u r,点,M N在过点P 的直线上，若,AM AB AN AC λμ==u u u u r u u u r u u u r u u u r,(,0)λμ>,则2λμ+的最小值为（）A. 2B. 83C. 3D. 103【答案】B点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定” (不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.6．【2017山西三区八校二模】为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=︒，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（）A. 31⎛ ⎝⎭米 B.米 C. (13米 D. (23+米【答案】D【解析】由题意设(1)BC x x =>米， (0)AC t t =>米，依题设0.50.5AB AC t =-=-米，在ABC中，由余弦定理得： 22202cos60AB AC BC ACBC =+-，即()2220.5t t x tx -=+-，化简并整理得： 20.25(1)1x t x x -=>-，即0.75121t x x =-++-，因1x >，故0.7512231t x x =-++≥+-（当且仅当312x =+时取等号），此时取最小值23+，应选答案D 。

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一、选择题1．【2018湖南株洲两校联考】等差数列{a n }中，a 3，a 7是函数f （x ）=x 2﹣4x +3的两个零点，则{a n }的前9项和等于（）A. ﹣18B. 9C. 18D. 36 【答案】C2．【2018陕西西安五中联考】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =， n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++ 的最小值为（）A. 3B. 4C. 2D. 92【答案】B 【解析】1313a a a ，，成等比数列， 22131131121120a a a a d d d =∴=∴+=+≠，，（），，解得d=2．12121n a n n ∴=+-=-（）． ()2122n n n S n n -=+⨯=．()()2212192162169122432211n n n n S n n a n n n +-++++∴===++-≥=++++，当且仅当911n n +=+ 时即2n =时取等号，且2163n n S a ++取到最小值4，故选：A ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值的知识，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．3．【2018东北名校联考】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了” （） A. 96里 B. 48里 C. 12里 D. 6里【答案】D【解析】由题知每天所走路程形成以1a 为首项，公比为12的等比数列，且前六项的和为378，则16112378112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，解得1192a =，则5616a a q ==，即第六天走了6里．故本题答案选B ．4．【2018河北邢台联考】已知()f n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则()123f =；21的因数有1,3,7,21，则()2121f =，那么()10051i f i =∑的值为（）A. 2488B. 2495C. 2498D. 2500 【答案】D选D5．【2018河北衡水武邑调研】己知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，()()122121nnn a n a a b +=--，且()2*0,63n n n n a S a a n N >=+∈，若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是（）A.17 B. 149 C. 49 D. 8441【答案】B2231111111111111 (7818181818181778149)n n n n T ++⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭，要使 *,n n N k T ∀∈>恒成立，只需149k ≥，即k 的最小值是149，故选B. 【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；1k =；③()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；④()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，一些有关三角函数、等比数列的求和题型，也可以利用裂项相消法求解.6．【2018河北衡水武邑中学三调】已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n n S T 、，且0n a >,()2*63n nn S a a n N =+∈,()()122121nnn a n a a b +=--,若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是( )A.17 B. 149 C. 49 D. 8441【答案】B【解析】已知()2*63n n n S a a n N =+∈， ()2*11163n n n S a a n N ---=+∈ ，两式子做差得到13n n a a --= ，故数列是等差数列，由等差数列的通项公式得到3n a n = ，故n b =()()118111781818181n n n n n ++⎛⎫=- ⎪----⎝⎭，故裂项求和得到1111111*778149781n n n b +⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭ ，由条件n k T >恒成立，得到K 的最小值为149．故答案选B ．点睛：本题考查到了通项公式的求法， ()()22*111663n n n n n n S S a a a a n N ----=-+-∈从而得到数列{}n a 是等差数列，再求出n b = ()()118111781818181n n n n n ++⎛⎫=- ⎪----⎝⎭，根据裂项求和的方法可以求出前n 项和。

7．【2018南宁摸底联考】等差数列中，，则的前9项和等于（）A.B. 27C. 18D.【答案】B【解析】由题意可得,选B.8．【2018云南昆明一中摸底】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =， 142n n S a +=+，则数列{}n a 中的12a 为（）A. 20480B. 49152C. 60152D. 89150 【答案】B故选B.【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：累加法、累乘法、构造法，已知数列前n 项和与第n 项关系，求数列通项公式，常用公式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥，将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n = 的情况.，进而得出{}n a 的通项公式.9．【2018河南林州一中调研】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >， 180S <，则11S a ， 22S a ，…， 1515S a 中最大的项为（）A.77S a B. 88S a C. 99S a D. 1010S a【答案】C考点：等差数列的性质.10．【2018河南林州一中调研】数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有123.....21nn a a a a ++++=-，则22212......n a a a +++=（）A. ()221n- B. ()1413n - C. ()1213n - D. 41n - 【答案】B【解析】当1n =时， 11a =，当2n ≥时， ()11121212n n n n n n a S S ---=-=---= ，所以12n n a -=，则214n n a -= ，()222221123141......144 (4)41143n n n n a a a a --++++=++++==--，选B. 11．【2018河南名校联考】已知公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则由得，，即，解得或（舍去），又由得，所以，，故选D.12．【2018河北衡水中学二调】设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若3520a a +=， 3564a a =，则4S =（）A. 63或120B. 256C. 120D. 63 【答案】C13．【2018广西贺州桂梧联考】设x ， y 满足约束条件4,{326, 4,x y x y x y +≤-≥-≥则y 的取值范围为（）A. []2,0-B. (],0-∞ C. 66,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D. 6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】直线4x y +=与4x y -=的交点为()4,0，作出不等式组表示的可行域，由图可知， y 的取值范围为(],0-∞.选B 。

14．【2018湖南株洲两校联考】在不等式组10{20 0x y x y y -+≥+-≤≥所表示的平面区域内随机地取一点M ，则点M 恰好落在第二象限的概率为（）A.23 B. 35 C. 29D. 47【答案】C 【解析】不等式组10{20 x y x y y o-+≥+-≤≥所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为1393224⨯⨯= 点P 恰好落在第二象限平面区域为一直角三角形，其面积为111122⨯⨯= ∴点P 恰好落在第二象限的概率为122994=故答案选C15．【2018河北衡水武邑中学三调】点(),P x y 为不等式组220{380 210x y x y x y --≥+-≤+-≥所表示的平面区域上的动点，则yx最小值为（） A. 12-B. 2-C. 3-D. 13- 【答案】D 【解析】16．【2018河南天一联考】已知实数满足若的最大值为10，则（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】作可行域，则直线过点(3,4)时取最大值，由得，选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.二、填空题17．【2018河南漯河中学三模】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，令()()()2017F x x b f x b =--+，若b 是,a c 的等差中项，则()()F a F c +=__________．【答案】4034故答案为4034．18．【2018北京大兴联考】已知数列{}n a 满足11a k=， *2k k N ≥∈，， []n a 表示不超过n a 的最大整数（如[]1.61=），记[]n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T .①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，则4T =_____； ②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，则n T =_____．【答案】 6()211nk kn k+--【解析】①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，且11a k=， *2k k N ≥∈，，则()111,n a n n n k=+-∈-，所以[]1n n b a n ==-，则401236T =+++=；故填6. ②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，且11a k=， *2k k N ≥∈，，则 ()()111213121111n n n n n n n a k k C k C k k k ------=⋅+=⋅+++⋅⋅⋅+，则213111n n k n n n b k C k C -----=++⋅⋅⋅+， ()()()221311101233n n k n n n T k k k k C k C -----=+++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+()()()2222333234145112311?1n n n n C C C k C C C k ---⎡⎤=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅+++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎣⎦()34221)2n n n n n n n C k C k C k --=+++⋅⋅⋅+()223321n nn n n C k C k C k k =++⋅⋅⋅+ ()2111n k nk k ⎡⎤=+--⎣⎦；故填()2111nk nk k ⎡⎤+--⎣⎦.【点睛】本题考查等差数列、等比数列、二项式定理和新定义型数列的求解；本题的难点是第二问如何确定数列{}n b 的通项公式，采用了二项式展开式，利用二项式的性质进行求解，难度较大.19．【2018东北名校联考】已知数列{}n a 满足2nn a =，则数列{}n n a b ⋅满足对任意的n N +∈，都有1211n n n b a b a b a -+++212n n=--，则数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T =__________．【答案】()()1212n n -+点睛：利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和. .此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.20．【2018南宁摸底联考】在等比数列中，，，则__________.【答案】1【解析】由题意可得，又，所以，即数列为常数列，所以，填1.21．【2018河南名校联考】设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若124,0,14(2m m m S S S m -+=-==≥且)m N +∈，则m =__________．【答案】522．【2018河南中原名校联考】设m R ∈，实数x ， y 满足,{230, 230,x m x y x y ≥-+≥--≤若6x y +≤，则实数m 的取值范围是__________．【答案】[]1,3- 【解析】根据题意得可行域所围成的三角形必在两平行线6x y +=-和6x y +=之间，由图可知，实数m 的取值范围是13m -≤≤，填[]1,3-. 三、解答题23．【2018广西贺州桂梧联考】已知n S 是数列{}n a 的前n 项和， 14a =， ()212n a n n =+≥.（1）证明：当2n ≥时， 2n n S a n =+；（2）若等比数列{}n b 的前两项分别为2S ， 5S ，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）详见解析（2）343nn T =⋅-试题解析：（1）证明：当2n ≥时，()()()2521145721=44232n n n S n n n ++-=+++⋯+++=++-，∴2221n n S n n a n =++=+.（2）解：由（1）知29S =， 536S =，∴{}n b 的公比3649q ==，且19b =，∴()()9143413?4314n nn n T -==-=--.24．【2018陕西西安五中二模】已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用得到，整理的为等比数列，求出通项公式；（2），利用错位相减法求和。