新疆2019届高三高考3月模拟试卷数学(理)试卷(带解析)
(完整版)新疆乌鲁木齐市2019届高三数学一模试卷理含解析
2019年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】进行并集的运算即可.【详解】解：，；.故选：D.【点睛】考查描述法的定义，以及并集的运算.2.已知复数（是虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：，故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.3.已知命题，，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】本题中所给的命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，将量词改为存在量词，否定结论即可【详解】解：命题，，是一个全称命题，，故选：D.【点睛】本题考查了“含有量词的命题的否定”，属于基础题.解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写.4.如图所示的程序框图，如果输入三个实数，，，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量.【详解】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，条件成立时，保存最大值的变量故选：A.【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题.5.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案.【详解】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，则其焦点到渐近线的距离；故选：D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.6.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积.【详解】解：由三视图可知该几何体的直观图是正方体去掉一个棱长为的正方体，正方体的边长为，三棱锥的三个侧棱长为，则该几何体的体积，故选：C.【点睛】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键.7.设，满足，则（）A. 有最小值，最大值B. 有最小值，无最大值C. 有最小值，无最大值D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最小值. 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小.由，解得，代入目标函数得.即目标函数的最小值为.无最大.故选：B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.8.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出.【详解】解：设等差数列的公差为，是与的等比中项，，，，联立解得：，.则.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.10.设定义在上的奇函数满足（），则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件可得出，并得出在，上都是增函数，从而可讨论与的关系：时，显然满足；时，可得出，从而得出；时，可得出，从而得出，最后即可得出不等式的解集.【详解】解：是上的奇函数，且时，；，且在，上都单调递增；①时，满足；②时，由得，；；；③时，由得，；；；；综上得，的解集为.故选：D.【点睛】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性相同，以及增函数的定义，清楚的单调性.11.已知三棱锥中，，，两两垂直，且长度相等.若点，，，都在半径为的球面上，则球心到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算.【详解】解：三棱锥中，，，两两垂直，且长度相等，此三棱锥的外接球即以，，为三边的正方体的外接球，球的半径为，正方体的边长为，即，球心到截面的距离即正方体中心到截面的距离，设到截面的距离为，则正三棱锥的体积，为边长为的正三角形，，，∴球心（即正方体中心）到截面的距离为.故选：C.【点睛】本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题.12.函数，，若对恒成立，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数可得在上的取值范围为，其中，令换元，把对恒成立转化为对恒成立，分离参数后利用函数单调性求出函数的最小值得答案.【详解】解：，，，，在上有零点，又在上成立，在上有唯一零点，设为，则当时，，当时，，在上有最大值，又，，令，要使对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，分离，得，函数的对称轴为，又，，则.则实数的范围是.故选：A【点睛】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量，，，若，则_____.【答案】4【解析】【分析】结合向量平行满足的性质,建立等式,计算参数,即可.【详解】解：，，，又，且，，即.故答案为：.【点睛】本题考查向量的坐标加法运算，考查向量故选的坐标表示，是基础题.14.将函数的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数的单调递增区间是_____.【答案】，【解析】【分析】利用三角函数平移性质,得到新三角函数,结合三角函数单调区间的计算,即可.【详解】解：将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象对应函数的解析式为，令，求得，可得所得函数的单调递增区间为，，故答案为：，.【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式，余弦函数的单调性，属于基础题.15.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为_____.【答案】或【解析】【分析】先表示出准线方程，然后抛物线的准线与圆相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到的值.【详解】解：抛物线，即，准线方程为，因为抛物线的准线与圆相切，当时，，解得，当时，，解得，故答案为：或.【点睛】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径.16.设是数列的前项和，若，则_____.【答案】【解析】【分析】运用数列的递推式，讨论为奇数或偶数，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和. 【详解】解：，当时，，解得，时，，可得，当为偶数时，，即有；当为奇数（）时，，可得，即有.故答案为：.【点睛】本题考查数列的求和，注意运用分类讨论思想方法，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于难题.三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，角，，的对边分别是，，，且，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）由已知利用二倍角公式，正弦定理可求的值，根据同角三角函数基本关系式可求的值.（2）由已知利用余弦定理可得，即可解得的值.【详解】解：（1），，.，，（2）由余弦定理，可得：，可得：，解得：或（舍去）【点睛】本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.18.某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：同意不同意合计男生 a 5女生40 d合计100（1）求a，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X，求X 的分布列及数学期望.附：0.15 0.100 0.050 0.025 0.0102.072 2.7063.841 5.024 6.635【答案】（1）, 有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出, ,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.【详解】（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%，所以，文（2）由列联表可得而所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为，即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大，故X服从二项分布，即从而X的分布列为X 0 1 2 3 4X的数学期望为【点睛】本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.19.如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）点在上，若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连结，，则，，从而平面平面，由此能证明平面.（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】证明：（1）如图，连结，，则，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，，，∴平面EFN//平面，平面，平面.解：（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，设，则，，，，，解得，，设平面的法向量为，则，取，得，同理可得平面的法向量为，.二面角的余弦值为.【点睛】该题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.20.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）对于，当时，，即，当，，即，再写出椭圆的方程；（2）设直线，（），设，两点的坐标分别为，，则，代入椭圆方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线过定点，【详解】（1）对于，当时，，即，当，，即，椭圆的方程为，（2）证明：设直线，（），设，两点的坐标分别为，，则，联立直线与椭圆得，得，，解得，，，直线，令，得，直线过定点【点睛】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；（2）是否存在使得仅有一个极值点？若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义即可求出的值，（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的极值的关系即可求出.【详解】解：（1），，曲线在点处的切线与直线平行，，解得.（2），，，且，当时，，单调递增，又，当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，故函数仅有一个极小值点，当，设，则，（）当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，，当，，函数单调递减，当，，函数单调递减，，在单调递减，无极值，当时，存在唯一的实数根，且，当，，函数单调递减，当，，函数单调递减，，为一个极值点，，单调递增，，存在零点，且为的极值点，当时，有两个极值点综上所述【点睛】本题考查了导数的几何意义，导数和函数的极值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，函数与方程的思想，属于难题22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与圆交于，两点，点，且，求的值.【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.（2）首先把直线的参数式转换为标准式，进一步利用直线和曲线的位置关系建立等量关系，进一步求出a的值.【详解】解：（1）圆的极坐标方程为（）转换为直角坐标方程为：.（2）把直线的参数方程（为参数），转换为标准形式为：（为参数），代入，得到：，所以：，（和为、对应的参数），由于，.所以：，即：，解得：.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.23.已知函数.（Ⅰ）求函数的值域；（Ⅱ）若对，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分段去绝对值，分段求值域再相并；（2）利用的图象恒在的下方可得.【详解】解：（1）的值域是（2）恰好在的上方,交点为,代入该函数中,得到,而,解得,要使得始终在的下方,需要满足.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题.。
2019届高三质量检测第三次月考卷(含答案)(理科数学)
第1页 （共4页） 第2页 （共4页）学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题2019-2020学年度第一学期第三次月考考试 理科数学（满分：150分；时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞) 2．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数的图像大致为4．已知向量，满足，，则A ．4B ．3C ．2D ．05. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 6.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e -- C.35e - D.1 7.若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．28．已知等比数列{}n a 满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= （ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．849．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 10．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin│x │11．已知α∈(0，2π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A ．15B ．5C 3D 512．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A ．B ．0C ．2D ．50一、选择题答案第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.()2e e x xf x x --=a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b ()f x (,)-∞+∞(1)(1)f x f x -=+(1)2f =(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…50-英吉沙县实验中学高三级部月考专用第3页 （共4页） 第4页 （共4页）14．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.15．若满足约束条件 则的最大值为__________．16．已知，，则__________．17．（本题满分12分）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．18.（本题满分12分）ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2BA C +=，（1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．19．（本题满分12分）设函数2()e mx f x x mx =+-．（Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．20．（本题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是∆面积的2倍． （Ⅰ） 求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．21．（本题满分12分）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }22．（本题满分10分）已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。
新疆维吾尔自治区2019届高三第三次毕业诊断及模拟测试理科数学试题 Word版含解析】
2019届新疆维吾尔自治区高三年级第三次毕业诊断及模拟测试理科数学试题一､选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的. 1.1i 1i-=+( ) A. iB. -iC. 0D. 1 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算，即得解. 【详解】化简：1(1)(1)21(1)(1)2i i i i i i i i ----===-++- 故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2.已知集合{|20}A x x =->,集合{1,2,3,4}B =,那么集合A B =I ( )A. [2,4]B. [3,4]C. {}2,3,4D. {}3,4 【答案】D【解析】【分析】由交集的定义即得解.【详解】集合{|20}A x x =->,集合{1,2,3,4}B =,由交集的定义： A B =I {}3,4故选：D【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.3.双曲线221916x y -=的离心率为（ ）A. 4B. 3C. 54D. 53【答案】D【解析】【分析】由双曲线221916x y -=，求得3,4,5a b c ====，再由离心率的公式，即可求解．【详解】由双曲线221916x y -=，可得229,16a b ==，则3,5a c ===， 所以双曲线的离心率为53c e a ==，故选D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质求解，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知数列{}n a 是等差数列,3728a a +=,其前5项和540S =,则4a 为( )A. 14B. 15C. 11D. 24 【答案】C【解析】【分析】由等差中项，可求得3752a a a +=，前n 项和公式155()52a a S +⨯=可求得1a ，514d a a =-可得解d ，即得解.【详解】数列{}n a 是等差数列,375522814a a a a +==∴=, 1551()54022a a S a +⨯==∴= 514123d a a d ∴=-=∴=4132911a a d ∴=+=+=故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质及前n 项和，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.5.运行如图所示的程序框图若输出的s 的值为55则在内应填入( )A. 8i >？B. 9i >？C. 10i >？D. 11i >？【答案】C【解析】【分析】 根据程序框图的循环条件，依次计算，即得解【详解】初始：1,0i s == ；011,12s i i =+==+=，不满足条件；123,13s i i =+==+=，不满足条件；336,14s i i =+==+=，不满足条件；6410,15s i i =+==+=，不满足条件； 10515,16s i i =+==+=，不满足条件；15621,17s i i =+==+=，不满足条件； 21628,18s i i =+==+=，不满足条件；28836,19s i i =+==+=，不满足条件； 36945,110s i i =+==+=，不满足条件；451055,111s i i =+==+=，满足输出条件； 故选：C【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.6.函数sin 2()cos 1x f x x =-图象可能为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数定义域{|2,}x x k k Z π≠∈，函数为奇函数，()=0f π，结合分析即得解.【详解】函数定义域：cos 12,x x k k Z π≠∴≠∈，在0x =无定义，排除C ，由于sin(2)sin 2()()cos()1cos 1x x f x f x x x ---===----，故函数为奇函数，关于原点对称，排除B ， 且sin 2()=0cos 1f πππ=-，故排除D 故选：A 【点睛】本题考查了由函数解析式研究函数性质辨别函数图像，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题.7.已知2sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2α的值为( ) A. 2425- B. 2425 C. 125 D. 125- 【答案】B【解析】 【分析】利用诱导公式，以及二倍角公式sin 2cos[2()]4παα=-212sin ()4πα=--，即得解.【详解】由诱导公式：sin 2sin[2()+]cos[2()]424πππααα=-=-， 再由二倍角公式：2cos[2()]12sin ()44ππαα-=--=2425 故选：B 【点睛】本题考查了诱导公式，二倍角公式综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且313239log log log 9a a a ++⋯+=,则3746a a a a +=( )A. 6B. 9C. 18D. 81【答案】C【解析】【分析】由对数运算律：31323935log log log 9log a a a a ++⋯+=，可得解5a ，由等比中项的性质，22374655a a a a a a +=+，即得解. 【详解】由于931323931293535log log log log ...log 9log 9a a a a a a a a ++⋯+==== 355log 13a a ∴=∴=由等比中项的性质，2237465518a a a a a a ∴+=+= 故选：C【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9.若()52a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项等于-80，则a =（ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 【答案】A【解析】【分析】 用5()a x x -展开式中的常数项（此式中没有此项）乘以2加上5()a x x -展开式中的1x -系数乘以1即得已知式展开式的常数项．【详解】由题意3325(1)80C a ⨯-=-，解得2a =-．故选A ． 【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则．10.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 准线为1,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,且Q 位于第四象限,过Q 作l 的垂线QE ,垂足为E ,若PF 的倾斜角为60°,则PQE V 的面积是( )A. 83B. 43C. 89D. 49【答案】A【解析】【分析】表示PF 方程为3(1)y x =-,与抛物线方程联立，求解Q 点坐标，求解PQE V 面积.【详解】由已知条件抛物线准线为1x =-，焦点为(1,0)F ,直线PF 倾斜角为60°,故斜率3k =3(1)y x =- 代入抛物线方程可得：223(1)431030x x x x -=∴-+=解得：1213,3x x == 由于Q 在第四象限123((1,3)3Q P -∴--142383(23)23QEF S ∆∴=⨯⨯-= 故选：A【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11.某几何体的三视图如图所示,网格纸上的小正方形边长为1,则此几何体的外接球的表面积为( )A. 32548πB. 32516πC. 894πD. 8912π 【答案】B【解析】【分析】由三视图可还原得到三棱锥，三棱锥可放在如图底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱中，E ，F 为棱中点，设O 为三棱锥外接球的球心，12,Q Q 分别为点Q 在平面ABCD ，平面ECD 的投影.由于,CDF CDE ∆∆都为等腰三角形，故12,Q Q 分别在中线FG ，EG 上.构造直角三角形可求解得到12,O D O D ，结合22211R OO O D =+即得解.【详解】由题设中的三视图，可得该几何体为如下图所示的三棱锥E CDF -，放在底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱中，E ，F 为棱中点，取G 为CD 中点，连接GF ，GE .设O 为三棱锥外接球的球心，12,O O 分别为点O 在平面ABCD ，平面ECD 的投影.由于,CDF CDE ∆∆都为等腰三角形，故12,O O 分别在中线FG ，EG 上.由于11O D O F =，在1Rt O GD ∆中， 设2221155(2)144O D x x x x O D =∴=-+∴=∴=； 同理在2Rt O GD ∆中， 设222221717(4)188O D y y y y O D =∴=-+∴=∴=， 221715488O G FG O E ∴=-=-= 外接球半径222222112132564R OD OO O D O G O D ==+=+= 故外接球的表面积2325416S R ππ==故选：B 【点睛】本题考查了三视图和三棱锥的外接球，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.12.已知函数()1f x kx =+,()1(11)x g x e x =+-剟,若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ,N ,使得点M ,N 关于直线1y =对称,则实数k 的取值范围是( )A. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. [,)e -+?D. 1(,],e e ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】【分析】 由题意()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ,N ,使得点M ,N 关于直线1y =对称，即112x kx e +++=，等价于x e kx =-，数形结合求解.【详解】由于()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ,N ,使得点M ,N 关于直线1y =对称,则 112x kx e +++=，即x e kx =-所以指数函数x y e =与y kx =-在11x -剟恒有交点当直线y kx =-与x y e =相切时，由于'x y e =，设切点000(,),x xx e k e = 此时切线方程：000(),x x y e e x x -=-过（0，0）因此：01,x k e =∴=数形结合可知：k e ≥或k 0<时，xy e =与y kx =-有交点 又要求在11x -剟恒有交点， 由图像，当1x =时，1k e=，当1x =-时，k e =- 综上：解得x ∈1(,],e e ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：D【点睛】本题考查了函数的对称性问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于较难题.二､填空题13.已知向量(1,)a m =r ,(2,3)b =-r ,且//a b r r ,则m =________. 【答案】32-【解析】【分析】由向量平行的坐标表示，计算即得解. 【详解】由于向量(1,)a m =r ,(2,3)b =-r ,且//a b r r ,由向量平行的坐标表示，1320m m ⨯+=∴=32- 故答案为：32- 【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.若实数x ，y 满足00320x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-+的最小值为______.【答案】-3【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出不等式组所表示平面区域，如图所示，目标函数2z x y =-+，可化为直线2y x z =+，直线2y x z =+过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最小，目标函数取得最小值， 又由0320x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得(1,1)A -， 所以目标函数的最小值为2113z =-⨯-=-．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 15.如图所示,满足00x e y e ⎧⎨⎩剟剟的点(x ,y )围成的区域记为A ,区城A 内的两条曲线分别为函数()x f x e =,()ln g x x =图象的部分曲线,若向区域A 内随机投掷一个质点,则质点落在阴影部分的概率为________.【答案】221e - 【解析】 【分析】利用定积分可求解区域中非阴影部分面积为1'1x S e e dx =-=⎰，利用割补法即得2'S S S =-阴影正方形，再利用面积比即得解.【详解】不妨设()xf x e =与y e =交点为A ，则(1,)A e ，()lng x x =与x 轴交点为B ，则(1,0)B ；曲线()xf x e =在1x e ≤≤与x 轴所围的曲边梯形面积：11x S e dx e ==-⎰故()xf x e =在1y e ≤≤与y 轴所围的曲边梯形面积：1'1x S e e dx =-=⎰由于()xf x e =，()lng x x =互为反函数，图像关于y =x 对称， 因此图象中两块非阴影部分面积相等， 因此22'2S S S e =-=-阴影正方形故：若向区域A 内随机投掷一个质点,则质点落在阴影部分的概率为：222S e P S e -===阴影正方形221e-故答案为：221e -【点睛】本题考查了定积分与几何概型综合，考查了学生数形集合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16.已知长方体1111ABCD A B C D -，1AB BC ==，12AA =，在1A B 上取一点M ，在1D C 上取一点N ，使得直线//MN 平面11A ACC ，则线段MN 的最小值为___________. 【答案】23【解析】 【分析】作1MM AB ⊥于点1M ，作1NN BC ⊥于点1N ，则11//M N AC ．设11BM BN x ==，则12MM x =，122NN x =-，由此能求出MN 的最小值．【详解】解：作1MM AB ⊥于点1M ，作1NN BC ⊥于点1N ，Q 线段MN 平行于对角面11A ACC ，11//M N AC ∴．设11BM BN x ==，则12MM x =，122NN x =-， 在直角梯形11MNN M 中，222244(2)(24)1899MN x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，∴当49x =时，MN 的最小值为23． 故答案为：23．【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，属于中档题．三､解答题:解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=. （1）求A ；（2）若ABC ∆的周长为3，求a 的最小值. 【答案】（1）3A π=；（2）1.【解析】 【分析】（1）由正弦定理把条件cos cos 2cos b C c B a A +=转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得A 的关系式，从而可得结论.（2）由余弦定理并代入3()a b c =-+可得()369bc b c =+-，结合基本不等式可得b c +的范围，从而得出a 的最小值及此时,b c 取值.【详解】（1）由已知及正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A A +=， 即()sin 2sin cos B C A A +=， ∵()()sin sin sin B C A A π+=-=， ∴1cos 2A =. 又∵()0,A π∈，∴3A π=.（2）∵()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc+--+-===， 化简得()()223*bc b c a =+-， ∵3a b c ++=，∴()3a b c =-+， 代入()*式得()369bc b c =+-，∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()23694b c b c +-≤+，即()()28120b c b c +-++≥， 解得2b c +≤或6b c +≥（舍），当且仅当b c =时取“=”.∴()31a b c =-+≥，即a 的最小值为1，此时1b c ==，且ABC ∆为正三角形. 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本不等式的应用，解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.18.某校高三共有1000位学生,为了分析某次的数学考试成绩,采取随机抽样的方法抽取了200位高三学生的成绩进行统计分析得到如图所示频率分布直方图:（1）计算这些学生成绩的平均值x 及样本方差2s (同组的数据用该组区间的中点值代替);（2）由频率分布直方图认为,这次成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ,其中μ近似为样本平均数x ,2σ近似为样本方差2s . (i)求(80.8119.2)P X <<;(ii)从高三学生中抽取10位学生进行面批,记ξ表示这10位学生成绩在80.8,119.2（）的人数,利用(i)的结果,求数学期望()E ξ.附 4.8≈; 若()2~,X Nμσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）100x =,2368s =.（2）(i)0.6826(ii)6.826 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图以及平均值x 及样本方差2s 的定义即得解； （2）（i ）借助()0.6826P X μσμσ-<<+=可得解； （ii ）根据二项分布的期望公式可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图知:0.06600.23800.411000.251200.05140100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=222220.06(60100)0.23(80100)0.41(100100)0.25(120100)0.05s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+2(140100)368⨯-=（2）(i )由（1）知,~(100,368)X N ∴236819.2σσ=⇒=== ∴(80.8119.2)(10019.210019.2)0.6826P X P X <<=-<<+= (ii )由题意知~(10,0.6826)B ξ ∴()100.6826 6.826E ξ=⨯=【点睛】本题考查了概率统计综合，考查了学生数据处理，概念理解，数学运算能力，属于中档题.19.如图1,在梯形ABCD 中,//AB CD ,3AB =,6CD =,过A ,B 分别作CD 的垂线,垂足分别为E ,F ,已知1DE =,3AE =,将梯形ABCD 沿AE ,BF 同侧折起,使得平面ADE ⊥平面ABFE ,平面//ADE 平面BCF ,得到图2.（1）证明://BE 平面ACD ; （2）求二面角C AD F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析.（2）911【解析】 【分析】（1）设AF BE O =I ,取AC 中点M ,连接OM ，DM ，可证明四边形DEOM 为平行四边形 可得//DM OE ，即得证；（2）建立如图空间直角坐标系，求解平面ADF ，平面ADC 的法向量，由二面角的向量公式即得解.【详解】（1）设AF BE O =I ,取AC 中点M ,连接OM ，DM四边形ABFE 为正方形 ∴为AF 中点 ∵M 为AC 中点 ∴1//2OM CF ∵平面ADE ⊥平面ABFE 平面ADE I 平面ABFE AE =DEAE ⊥DE ∴⊥平面ABFE DE ⊂平面ADE又∵平面//ADE 平面BCF∴平面BCF ⊥平面ABFE 同理,CF ⊥平面ABFE 又∵1DE =,2FC = ∴1//2DE CF ∴//OM DE∴四边形DEOM 为平行四边形 ∴//DM OE ∵DM ⊂平面ADC ,BE ⊄平面ADC ∴//BE 平面ADC（2）由题意EA ，EF ，ED 两两垂直，以EA 为x 轴,EF 为y 轴,ED 为z 轴建立空间直角坐标系E xyz -∴0,0,1D （）,3,0,0A （）,0,3,0F （）,0,3,2C （）设平面ADF 的法向量为()1111,,n x y z =u r∵(3,0,1)DA =-u u u r ,(0,3,1)DF =-u u u r∴11113030x z y z -=⎧⎨-=⎩∴1(1,1,3)n =u r设平面ADC 的法向量为()2222,,n x y z =u u r∵(0,3,1)DC =u u u r∴22223030x z y z -=⎧⎨+=⎩∴2(1,1,3)n =-u u r设二面角C AD F --的平面角为θ,由图像得θ为锐角，∴1212129cos |cos ,||||11|||n n n n n n θ==⋅=r r r rr r【点睛】本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.20.已知点()1,0F ，动点P 到直线2x =的距离与动点P 到点F. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作任一直线交曲线C 于A ,B 两点，过点F 作AB 的垂线交直线2x =于点N ；求证：ON 平分线段AB .【答案】（1）2212x y +=.（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）设(,)P x y=，化简即得解；（2）设AB 的直线方程为1x my =+，与椭圆联立得到M 点坐标，表示直线ON 方程，验证M 在ON 上即可.【详解】（1）设(,)P x y ,=化简得2212x y +=（2）设AB 的直线方程为1x my =+ 则NF 的直线方程为(1)y m x =--联立(1)2y m x x =--⎧⎨=⎩得(2,)N m -∴直线ON 的方程为2my x =-联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-= 设()11,A x y ,()22,B x y ,则12222my y m +=-+ 设AB 的中点为()00,M x y ,则120222y y my m +==-+ ∴002212x my m =+=+∴222,22m M m m ⎛⎫-⎪++⎝⎭将点M 坐标代入直线ON 的方程222222m my m m =-⋅=-++ ∴点M 在直线ON 上 ∴点M 平分线段AB【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 21.已知函数2()ln f x k a x x=++(,k a R ∈且0a >) （1）求()f x 在[2,)+∞上的最小值;（2）若1a =,函数()f x 恰有两个不同的零点12,x x ,求证:124x x +>. 【答案】（1）当1a ≥时,()f x 的最小值为(2)1ln 2f k a =++; 当01a <<时,()f x 的最小值为22ln f k a a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导研究函数单调性，分类讨论极值点与边界点2的大小关系，分1a ≥，01a <<两种情况讨论即得解；（2）转化121222ln ln x x x x +=+为12(1)ln t x t t -=，其中21(1)x t t x =>，则 122142ln ln x x t t t t ⎛⎫+-=⋅-- ⎪⎝⎭，证明1()2ln 0g t t t t =-->即得证.【详解】（1）定义域2222(0,)()a ax f x x x x '-+∞=-=, 由()0f x '>时,2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭;()0f x '<时,20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭若22a…即1a ≥时,()f x 在[2,)+∞上单调递增,故()f x 在[2,)+∞的最小值为(2)1ln 2f k a =++;当01a <<时,()f x 在22,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单递增,故()f x 在[2,)+∞的最小值为22ln f k a a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭综上,当1a ≥时,()f x 在[2,)+∞上的最小值为(2)1ln 2f k a =++;当01a <<时,()f x 在[2,)+∞的最小值为22ln f k a a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）当1a =时,不妨设120x x <<,()1112ln 0f x k x x =++=,()2222ln 0f x k x x =++=,得 121222ln ln x x x x +=+,故()212212112ln ln ln x x xx x x x x -=-= 令21(1)x t t x =>,则12(1)ln t t tx -=,12(1)ln t x t t-=, 所以()21221(1)ln t x x x t t t-+=+=,故()2122121442ln ln ln t x xt t t tt t -⎛⎫+-=-=⋅-- ⎪⎝⎭, 令1()2ln g t t t t=--,而22212(1)()10t g t t t t'-=+-=>,所以()g t 在(1,)+∞上单调递增 又1t >,所以()(1)0g t g >=,而0lnt >,故124x x +>【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.22.已知在极坐标系中,直线l的极坐标方程为cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ρθθ-=.以极点为原点极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系.（1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程;（2）已知过点()2,0M 且与直线l 平行的直线与曲线C 交于P ,Q 两点,求22||||MP MQ +的值.【答案】（1）:l y =2C :2y x =.（2）1129 【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即得解直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）表示直线l 的参数方程与圆联立，利用t 的几何意义，222212||||MP MQ t t +=+，借助韦达定理即得解.【详解】（1）由于1cos cos sin 62πρθρθρθ⎛⎫+=-⋅= ⎪⎝⎭由于cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩:l y ∴=; 222sin 2cos 0sin 2cos 0ρθθρθρθ-=∴-=Q2C :2y x ∴=（2）设过点(2,0)M 且与直线l平行的直线的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)由212222t t ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得234160t t --= 设P ,Q 两点分别对应的参数为12,t t 则121243163t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩∴()22222121212112||||29MP MQ t t t t t t +=+=+-= 【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了极坐标与直角坐标互化，参数方程的几何意义，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.23.已知函数()|1||21|f x x x =++-.（1）解不等式()2f x >;（2）若()2f x ax a -+…恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭.（2）73,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）将f (x )分段表示，分段求解不等式即可；（2）令()2(1)2g x ax a a x =-+=+-,表示过定点()1,2--的一条直线,数形结合即得解a 的范围. 【详解】（1）3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪>⎪⎩剟 当1x <-时原不等式可化为32x ->,解得23x <-,解集为{|1}x x <- 当112x -剟时,原不等式可化为22x -+>,解得0x <,解集为{|10}x x -<„ 当12x >时,原不等式可化为32x >,解得23x >,解集为2|3x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ 综上所述,原不等式得解集为2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭ （2）令()2(1)2g x ax a a x =-+=+-,表示过定点()1,2--的一条直线,分别作出()y f x =,()y g x =的图象如下:由图象可知,7 33a-剟∴a的取值范围是7 3,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生综合分析，分类讨论，数形结合的能力，属于中档题.。
新疆乌鲁木齐市2019届高三一模试卷理(数学)
新疆乌鲁木齐市2019届高三一模试卷理（数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】进行并集的运算即可.【详解】解：，；.故选：D.【点睛】考查描述法的定义，以及并集的运算.2.已知复数（是虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：，故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.3.已知命题，，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】本题中所给的命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，将量词改为存在量词，否定结论即可【详解】解：命题，，是一个全称命题，，故选：D.【点睛】本题考查了“含有量词的命题的否定”，属于基础题.解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写.4.如图所示的程序框图，如果输入三个实数，，，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量.【详解】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，条件成立时，保存最大值的变量故选：A.【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题.5.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案.【详解】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，则其焦点到渐近线的距离；故选：D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.6.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积.【详解】解：由三视图可知该几何体的直观图是正方体去掉一个棱长为的正方体，正方体的边长为，三棱锥的三个侧棱长为，则该几何体的体积，故选：C.【点睛】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键.7.设，满足，则（）A. 有最小值，最大值B. 有最小值，无最大值C. 有最小值，无最大值D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最小值. 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小.由，解得，代入目标函数得.即目标函数的最小值为.无最大.故选：B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.8.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出.【详解】解：设等差数列的公差为，是与的等比中项，，，，联立解得：，.则.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.10.设定义在上的奇函数满足（），则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件可得出，并得出在，上都是增函数，从而可讨论与的关系：时，显然满足；时，可得出，从而得出；时，可得出，从而得出，最后即可得出不等式的解集.【详解】解：是上的奇函数，且时，；，且在，上都单调递增；①时，满足；②时，由得，；；；③时，由得，；；；；综上得，的解集为.故选：D.【点睛】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性相同，以及增函数的定义，清楚的单调性.11.已知三棱锥中，，，两两垂直，且长度相等.若点，，，都在半径为的球面上，则球心到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算.【详解】解：三棱锥中，，，两两垂直，且长度相等，此三棱锥的外接球即以，，为三边的正方体的外接球，球的半径为，正方体的边长为，即，球心到截面的距离即正方体中心到截面的距离，设到截面的距离为，则正三棱锥的体积，为边长为的正三角形，，，∴球心（即正方体中心）到截面的距离为.故选：C.【点睛】本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题.12.函数，，若对恒成立，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数可得在上的取值范围为，其中，令换元，把对恒成立转化为对恒成立，分离参数后利用函数单调性求出函数的最小值得答案.【详解】解：，，，，在上有零点，又在上成立，在上有唯一零点，设为，则当时，，当时，，在上有最大值，又，，令，要使对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，分离，得，函数的对称轴为，又，，则.则实数的范围是.故选：A【点睛】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量，，，若，则_____.【答案】4【解析】【分析】结合向量平行满足的性质,建立等式,计算参数,即可.【详解】解：，，，又，且，，即.故答案为：.【点睛】本题考查向量的坐标加法运算，考查向量故选的坐标表示，是基础题.14.将函数的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数的单调递增区间是_____. 【答案】，【解析】【分析】利用三角函数平移性质,得到新三角函数,结合三角函数单调区间的计算,即可.【详解】解：将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象对应函数的解析式为，令，求得，可得所得函数的单调递增区间为，，故答案为：，.【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式，余弦函数的单调性，属于基础题.15.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为_____.【答案】或【解析】【分析】先表示出准线方程，然后抛物线的准线与圆相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到的值.【详解】解：抛物线，即，准线方程为，因为抛物线的准线与圆相切，当时，，解得，当时，，解得，故答案为：或.【点睛】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径.16.设是数列的前项和，若，则_____.【答案】【解析】【分析】运用数列的递推式，讨论为奇数或偶数，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和.【详解】解：，当时，，解得，时，，可得，当为偶数时，，即有；当为奇数（）时，，可得，即有.故答案为：.【点睛】本题考查数列的求和，注意运用分类讨论思想方法，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于难题.三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，角，，的对边分别是，，，且，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）由已知利用二倍角公式，正弦定理可求的值，根据同角三角函数基本关系式可求的值. （2）由已知利用余弦定理可得，即可解得的值.【详解】解：（1），，.，，（2）由余弦定理，可得：，可得：，解得：或（舍去）【点睛】本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.18.某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：（1）求a，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X，求X 的分布列及数学期望.附：【答案】（1）, 有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析. 【解析】【分析】（1）根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出, ,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.【详解】（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%，所以，文（2）由列联表可得而所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为，即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大，故X服从二项分布，即从而X的分布列为X的数学期望为【点睛】本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.19.如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）点在上，若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连结，，则，，从而平面平面，由此能证明平面. （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】证明：（1）如图，连结，，则，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，，，∴平面EFN//平面，平面，平面.解：（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，设，则，，，，，解得，，设平面的法向量为，则，取，得，同理可得平面的法向量为，.二面角的余弦值为.【点睛】该题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.20.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是. （1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）对于，当时，，即，当，，即，再写出椭圆的方程；（2）设直线，（），设，两点的坐标分别为，，则，代入椭圆方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线过定点，【详解】（1）对于，当时，，即，当，，即，椭圆的方程为，（2）证明：设直线，（），设，两点的坐标分别为，，则，联立直线与椭圆得，得， ，解得，，，直线，令，得 ，直线过定点【点睛】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题. 21.已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；（2）是否存在使得仅有一个极值点？若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】 【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义即可求出的值，（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的极值的关系即可求出. 【详解】解：（1），，曲线在点处的切线与直线平行，，解得.（2），，，且，当时，，单调递增，又，当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，故函数仅有一个极小值点，当，设，则，（）当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，，当，，函数单调递减，当，，函数单调递减，，在单调递减，无极值，当时，存在唯一的实数根，且，当，，函数单调递减，当，，函数单调递减，，为一个极值点，，单调递增，，存在零点，且为的极值点，当时，有两个极值点综上所述【点睛】本题考查了导数的几何意义，导数和函数的极值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，函数与方程的思想，属于难题22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与圆交于，两点，点，且，求的值.【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.（2）首先把直线的参数式转换为标准式，进一步利用直线和曲线的位置关系建立等量关系，进一步求出a 的值.【详解】解：（1）圆的极坐标方程为（）转换为直角坐标方程为：.（2）把直线的参数方程（为参数），转换为标准形式为：（为参数），代入，得到：，所以：，（和为、对应的参数），由于，.所以：，即：，解得：.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.23.已知函数.（Ⅰ）求函数的值域；（Ⅱ）若对，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分段去绝对值，分段求值域再相并；（2）利用的图象恒在的下方可得.【详解】解：（1）的值域是（2）恰好在的上方,交点为,代入该函数中,得到,而,解得,要使得始终在的下方,需要满足.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题.。
2019届新疆维吾尔自治区高三第三次毕业诊断及模拟测试数学(理)试题(解析版)
2019届新疆维吾尔自治区高三第三次毕业诊断及模拟测试数学（理）试题一、单选题 1．1i1i-=+( ) A ．i B ．-iC ．0D ．1【答案】B【解析】利用复数的除法运算，即得解. 【详解】 化简：1(1)(1)21(1)(1)2i i i ii i i i ----===-++- 故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．已知集合{|20}A x x =->,集合{1,2,3,4}B =,那么集合A B =I ( ) A ．[2,4] B ．[3,4]C ．{}2,3,4D ．{}3,4【答案】D【解析】由交集的定义即得解. 【详解】集合{|20}A x x =->,集合{1,2,3,4}B =,由交集的定义：A B =I {}3,4故选：D 【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.3．双曲线221916x y -=的离心率为（ ）A ．B C ．54D ．53【答案】D【解析】由双曲线221916x y -=，求得223,4,5a b c a b ===+=，再由离心率的公式，即可求解． 【详解】由双曲线221916x y -=，可得229,16a b ==，则223,5a c a b ==+=，所以双曲线的离心率为53c e a ==，故选D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质求解，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．已知数列{}n a 是等差数列,3728a a +=,其前5项和540S =,则4a 为( ) A ．14 B ．15C ．11D ．24【答案】C【解析】由等差中项，可求得3752a a a +=，前n 项和公式155()52a a S +⨯=可求得1a ，514d a a =-可得解d ，即得解.【详解】数列{}n a 是等差数列,375522814a a a a +==∴=,1551()54022a a S a +⨯==∴=514123d a a d ∴=-=∴= 4132911a a d ∴=+=+=故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的性质及前n 项和，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.5．运行如图所示的程序框图若输出的s 的值为55则在内应填入( )A ．8i >？B ．9i >？C ．10i >？D ．11i >？【答案】C【解析】根据程序框图的循环条件，依次计算，即得解 【详解】初始：1,0i s == ；011,12s i i =+==+=，不满足条件；123,13s i i =+==+=，不满足条件； 336,14s i i =+==+=，不满足条件；6410,15s i i =+==+=，不满足条件； 10515,16s i i =+==+=，不满足条件；15621,17s i i =+==+=，不满足条件； 21628,18s i i =+==+=，不满足条件；28836,19s i i =+==+=，不满足条件； 36945,110s i i =+==+=，不满足条件；451055,111s i i =+==+=，满足输出条件； 故选：C 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于中档题. 6．函数sin 2()cos 1xf x x =-图象可能为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数定义域{|2,}x x k k Z π≠∈，函数为奇函数，()=0f π，结合分析即得解. 【详解】函数定义域：cos 12,x x k k Z π≠∴≠∈，在0x =无定义，排除C ， 由于sin(2)sin 2()()cos()1cos 1x xf x f x x x ---===----，故函数为奇函数，关于原点对称，排除B ， 且sin 2()=0cos 1f πππ=-，故排除D故选：A 【点睛】本题考查了由函数解析式研究函数性质辨别函数图像，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题. 7．已知2sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2α的值为( ) A ．2425-B ．2425C ．125D ．125-【答案】B【解析】利用诱导公式，以及二倍角公式sin 2cos[2()]4παα=-212sin ()4πα=--，即得解. 【详解】由诱导公式：sin 2sin[2()+]cos[2()]424πππααα=-=-，再由二倍角公式：2cos[2()]12sin ()44ππαα-=--=2425 故选：B【点睛】本题考查了诱导公式，二倍角公式综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且313239log log log 9a a a ++⋯+=,则3746a a a a +=( )A ．6B ．9C ．18D ．81【答案】C【解析】由对数运算律：31323935log log log 9log a a a a ++⋯+=，可得解5a ，由等比中项的性质，22374655a a a a a a +=+，即得解.【详解】由于931323931293535log log log log ...log 9log 9a a a a a a a a ++⋯+====355log 13a a ∴=∴=由等比中项的性质，2237465518a a a a a a ∴+=+=故选：C 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9．若()52a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项等于-80，则a =（ ）A ．-2B ．2C ．-4D ．4【答案】A【解析】用5()a x x-展开式中的常数项（此式中没有此项）乘以2加上5()a x x-展开式中的1x -系数乘以1即得已知式展开式的常数项． 【详解】由题意3325(1)80C a ⨯-=-，解得2a =-．故选A ．【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则．10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 准线为1,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,且Q 位于第四象限,过Q 作l 的垂线QE ,垂足为E ,若PF 的倾斜角为60°,则PQE V 的面积是( ) A ．839B ．43C ．89D ．49【答案】A【解析】表示PF 方程为3(1)y x =-,与抛物线方程联立，求解Q 点坐标，求解PQE V 面积. 【详解】由已知条件抛物线的准线为1x =-，焦点为(1,0)F , 直线PF 倾斜角为60°,故斜率3k =3(1)y x =-代入抛物线方程可得：223(1)431030x x x x -=∴-+= 解得：1213,3x x ==由于Q 在第四象限123((1,3)3Q P -∴--142383(2323QEF S ∆∴=⨯⨯=故选：A 【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 11．某几何体的三视图如图所示,网格纸上的小正方形边长为1,则此几何体的外接球的表面积为( )A ．32548πB ．32516πC ．894πD ．8912π【答案】B【解析】由三视图可还原得到三棱锥，三棱锥可放在如图底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱中，E ，F 为棱中点，设O 为三棱锥外接球的球心，12,Q Q 分别为点Q 在平面ABCD ，平面ECD 的投影.由于,CDF CDE ∆∆都为等腰三角形，故12,Q Q 分别在中线FG ，EG 上.构造直角三角形可求解得到12,O D O D ，结合22211R OO O D =+即得解. 【详解】由题设中的三视图，可得该几何体为如下图所示的三棱锥E CDF -，放在底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱中，E ，F 为棱中点，取G 为CD 中点，连接GF ，GE .设O 为三棱锥外接球的球心，12,O O 分别为点O 在平面ABCD ，平面ECD 的投影.由于,CDF CDE ∆∆都为等腰三角形，故12,O O 分别在中线FG ，EG 上.由于11O D O F =，在1Rt O GD ∆中， 设2221155(2)144O D x x x x O D =∴=-+∴=∴=； 同理在2Rt O GD ∆中，设222221717(4)188O D y y y y O D =∴=-+∴=∴=，221715488O G FG O E ∴=-=-= 外接球半径222222112132564R OD OO O D O G O D ==+=+=故外接球的表面积2325416S R ππ== 故选：B 【点睛】本题考查了三视图和三棱锥的外接球，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.12．已知函数()1f x kx =+,()1(11)x g x e x =+-剟,若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ,N ,使得点M ,N 关于直线1y =对称,则实数k 的取值范围是( ) A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[,)e -+?D ．1(,],e e ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由题意()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ,N ,使得点M ,N 关于直线1y =对称，即112x kx e +++=，等价于x e kx =-，数形结合求解. 【详解】由于()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ,N ,使得点M ,N 关于直线1y =对称,则112x kx e +++=，即x e kx =-所以指数函数xy e =与y kx =-在11x -剟恒有交点当直线y kx =-与x y e =相切时，由于'x y e =，设切点000(,),x xx e k e = 此时切线方程：000(),x x y ee x x -=-过（0，0）因此：01,x k e =∴=数形结合可知：k e ≥或k 0<时，xy e =与y kx =-有交点又要求在11x -剟恒有交点， 由图像，当1x =时，1k e =，当1x =-时，k e =- 综上：解得x ∈1(,],e e⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于较难题.二、填空题13．已知向量(1,)a m =r ,(2,3)b =-r ,且//a b r r,则m =________.【答案】32-【解析】由向量平行的坐标表示，计算即得解. 【详解】由于向量(1,)a m =r ,(2,3)b =-r ,且//a b r r,由向量平行的坐标表示，1320m m ⨯+=∴=32-故答案为：32-【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14．若实数x ，y 满足00320x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-+的最小值为______.【答案】-3【解析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示， 目标函数2z x y =-+，可化为直线2y x z =+，直线2y x z =+过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最小，目标函数取得最小值，又由0320x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得(1,1)A -，所以目标函数的最小值为2113z =-⨯-=-．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．15．如图所示,满足00x e y e ⎧⎨⎩剟剟的点(x ,y )围成的区域记为A ,区城A 内的两条曲线分别为函数()xf x e =,()lng x x =图象的部分曲线,若向区域A 内随机投掷一个质点,则质点落在阴影部分的概率为________.【答案】221e -【解析】利用定积分可求解区域中非阴影部分面积为1'1x S e e dx =-=⎰，利用割补法即得2'S S S =-阴影正方形，再利用面积比即得解. 【详解】不妨设()xf x e =与y e =交点为A ，则(1,)A e ，()lng x x =与x 轴交点为B ，则(1,0)B ；曲线()xf x e =在1x e ≤≤与x 轴所围的曲边梯形面积：101xS e dx e ==-⎰故()xf x e =在1y e ≤≤与y 轴所围的曲边梯形面积：10'1xS e e dx =-=⎰由于()xf x e =，()lng x x =互为反函数，图像关于y =x 对称， 因此图象中两块非阴影部分面积相等， 因此22'2S S S e =-=-阴影正方形故：若向区域A 内随机投掷一个质点,则质点落在阴影部分的概率为：222S e P S e -===阴影正方形221e-故答案为：221e - 【点睛】本题考查了定积分与几何概型综合，考查了学生数形集合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16．已知长方体1111ABCD A B C D -，1AB BC ==，12AA =，在1A B 上取一点M ，在1D C 上取一点N ，使得直线//MN 平面11A ACC ，则线段MN 的最小值为___________. 【答案】23【解析】作1MM AB ⊥于点1M ，作1NN BC ⊥于点1N ，则11//M N AC ．设11BM BN x ==，则12MM x =，122NN x =-，由此能求出MN 的最小值．【详解】解：作1MM AB ⊥于点1M ，作1NN BC ⊥于点1N ，Q 线段MN 平行于对角面11A ACC ，11//M N AC ∴．设11BM BN x ==，则12MM x =，122NN x =-， 在直角梯形11MNN M 中，222244(2)(24)1899MN x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，∴当49x =时，MN 的最小值为23． 故答案为：23．【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，属于中档题．三、解答题17．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=.（1）求A ；（2）若ABC ∆的周长为3，求a 的最小值. 【答案】（1）3A π=；（2）1.【解析】（1）由正弦定理把条件cos cos 2cos b C c B a A +=转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得A 的关系式，从而可得结论.（2）由余弦定理并代入3()a b c =-+可得()369bc b c =+-，结合基本不等式可得b c +的范围，从而得出a 的最小值及此时,b c 取值.【详解】（1）由已知及正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A A +=， 即()sin 2sin cos B C A A +=， ∵()()sin sin sin B C A A π+=-=， ∴1cos 2A =. 又∵()0,A π∈，∴3A π=.（2）∵()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc+--+-===， 化简得()()223*bc b c a =+-， ∵3a b c ++=，∴()3a b c =-+， 代入()*式得()369bc b c =+-，∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()23694b c b c +-≤+，即()()28120b c b c +-++≥， 解得2b c +≤或6b c +≥（舍），当且仅当b c =时取“=”.∴()31a b c =-+≥，即a 的最小值为1，此时1b c ==，且ABC ∆为正三角形. 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本不等式的应用，解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.18．某校高三共有1000位学生,为了分析某次的数学考试成绩,采取随机抽样的方法抽取了200位高三学生的成绩进行统计分析得到如图所示频率分布直方图:（1）计算这些学生成绩的平均值x 及样本方差2s (同组的数据用该组区间的中点值代替);（2）由频率分布直方图认为,这次成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ,其中μ近似为样本平均数x ,2σ近似为样本方差2s . (i)求(80.8119.2)P X <<;(ii)从高三学生中抽取10位学生进行面批,记ξ表示这10位学生成绩在80.8,119.2（）的人数,利用(i)的结果,求数学期望()E ξ.附 4.8≈; 若()2~,X Nμσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）100x =,2368s =.（2）(i)0.6826(ii)6.826【解析】（1）由频率分布直方图以及平均值x 及样本方差2s 的定义即得解； （2）（i ）借助()0.6826P X μσμσ-<<+=可得解； （ii ）根据二项分布的期望公式可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图知:0.06600.23800.411000.251200.05140100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=222220.06(60100)0.23(80100)0.41(100100)0.25(120100)0.05s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+2(140100)368⨯-=（2）(i )由（1）知,~(100,368)X N ∴236819.2σσ=⇒=== ∴(80.8119.2)(10019.210019.2)0.6826P X P X <<=-<<+= (ii )由题意知~(10,0.6826)B ξ ∴()100.6826 6.826E ξ=⨯= 【点睛】本题考查了概率统计综合，考查了学生数据处理，概念理解，数学运算能力，属于中档题.19．如图1,在梯形ABCD 中,//AB CD ,3AB =,6CD =,过A ,B 分别作CD 的垂线,垂足分别为E ,F ,已知1DE =,3AE =,将梯形ABCD 沿AE ,BF 同侧折起,使得平面ADE ⊥平面ABFE ,平面//ADE 平面BCF ,得到图2.（1）证明://BE 平面ACD ; （2）求二面角C AD F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析.（2）911【解析】（1）设AF BE O =I ,取AC 中点M ,连接OM ，DM ，可证明四边形DEOM 为平行四边形 可得//DM OE ，即得证；（2）建立如图空间直角坐标系，求解平面ADF ，平面ADC 的法向量，由二面角的向量公式即得解. 【详解】（1）设AF BE O =I ,取AC 中点M ,连接OM ，DM四边形ABFE 为正方形 ∴为AF 中点 ∵M 为AC 中点 ∴1//2OM CF ∵平面ADE ⊥平面ABFE 平面ADE I 平面ABFE AE =DE AE ⊥DE ∴⊥平面ABFE DE ⊂平面ADE又∵平面//ADE 平面BCF∴平面BCF ⊥平面ABFE 同理,CF ⊥平面ABFE 又∵1DE =,2FC = ∴1//2DE CF ∴//OM DE∴四边形DEOM 为平行四边形 ∴//DM OE ∵DM ⊂平面ADC ,BE ⊄平面ADC ∴//BE 平面ADC（2）由题意EA ，EF ，ED 两两垂直，以EA 为x 轴,EF 为y 轴,ED 为z 轴建立空间直角坐标系E xyz -∴0,0,1D （）,3,0,0A （）,0,3,0F （）,0,3,2C （）设平面ADF 的法向量为()1111,,n x y z =u r∵(3,0,1)DA =-u u u r ,(0,3,1)DF =-u u u r∴11113030x z y z -=⎧⎨-=⎩∴1(1,1,3)n =u r设平面ADC 的法向量为()2222,,n x y z =u u r∵(0,3,1)DC =u u u r∴22223030x z y z -=⎧⎨+=⎩∴2(1,1,3)n =-u u r设二面角C AD F --的平面角为θ,由图像得θ为锐角，∴1212129cos |cos ,||||11|||n n n n n n θ==⋅=r rr rr r 【点睛】本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.20．已知点()1,0F ，动点P 到直线2x =的距离与动点P 到点F. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作任一直线交曲线C 于A ,B 两点，过点F 作AB 的垂线交直线2x =于点N ；求证：ON 平分线段AB .【答案】（1）2212x y +=.（2）证明见解析【解析】（1）设(,)P x y=（2）设AB 的直线方程为1x my =+，与椭圆联立得到M 点坐标，表示直线ON 方程，验证M 在ON 上即可. 【详解】（1）设(,)P x y ,=化简得2212x y +=（2）设AB 的直线方程为1x my =+ 则NF 的直线方程为(1)y m x =--联立(1)2y m x x =--⎧⎨=⎩得(2,)N m -∴直线ON 的方程为2m y x =-联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-= 设()11,A x y ,()22,B x y ,则12222my y m +=-+设AB 的中点为()00,M x y ,则120222y y my m +==-+ ∴002212x my m =+=+∴222,22m M m m ⎛⎫-⎪++⎝⎭将点M 坐标代入直线ON 的方程222222m my m m =-⋅=-++ ∴点M 在直线ON 上 ∴点M 平分线段AB 【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21．已知函数2()ln f x k a x x=++(,k a R ∈且0a >). （1）求()f x 在[2,)+∞上的最小值;（2）若1a =,函数()f x 恰有两个不同的零点12,x x ,求证:124x x +>. 【答案】（1）当1a ≥时,()f x 的最小值为(2)1ln 2f k a =++; 当01a <<时,()f x 的最小值为22ln f k a a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）答案见解析【解析】（1）求导研究函数单调性，分类讨论极值点与边界点2的大小关系，分1a ≥，01a <<两种情况讨论即得解；（2）转化121222ln ln x x x x +=+为12(1)ln t x t t -=，其中21(1)x t t x =>，则 122142ln ln x x t t t t ⎛⎫+-=⋅-- ⎪⎝⎭，证明1()2ln 0g t t t t =-->即得证. 【详解】（1）定义域2222(0,)()a ax f x x x x '-+∞=-=, 由()0f x '>时,2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭;()0f x '<时,20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭若22a…即1a ≥时,()f x 在[2,)+∞上单调递增,故()f x 在[2,)+∞的最小值为(2)1ln 2f k a =++;当01a <<时,()f x 在22,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单递增,故()f x 在[2,)+∞的最小值为22ln f k a a a a ⎛⎫=++⎪⎝⎭综上,当1a ≥时,()f x 在[2,)+∞上的最小值为(2)1ln 2f k a =++;当01a <<时,()f x 在[2,)+∞的最小值为22ln f k a a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）当1a =时,不妨设120x x <<,()1112ln 0f x k x x =++=,()2222ln 0f x k x x =++=,得 121222ln ln x x x x +=+,故()212212112ln ln ln x x xx x x x x -=-= 令21(1)x t t x =>,则12(1)ln t t tx -=,12(1)ln t x t t-=, 所以()21221(1)ln t x x x t t t-+=+=,故()2122121442ln ln ln t x xt t t tt t -⎛⎫+-=-=⋅-- ⎪⎝⎭, 令1()2ln g t t t t=--,而22212(1)()10t g t t t t'-=+-=>,所以()g t 在(1,)+∞上单调递增 又1t >,所以()(1)0g t g >=,而0lnt >,故124x x +> 【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.22．已知在极坐标系中,直线l的极坐标方程为cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ρθθ-=.以极点为原点极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系. （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程;（2）已知过点()2,0M 且与直线l 平行的直线与曲线C 交于P ,Q 两点,求22||||MP MQ +的值.【答案】（1）:l y =;2C :2y x =.（2）1129【解析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即得解直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）表示直线l 的参数方程与圆联立，利用t 的几何意义，222212||||MP MQ t t +=+，借助韦达定理即得解.【详解】（1）由于1cos cos sin 62πρθρθρθ⎛⎫+=-⋅= ⎪⎝⎭由于cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩:l y ∴=;222sin 2cos 0sin 2cos 0ρθθρθρθ-=∴-=Q2C :2y x ∴=（2）设过点(2,0)M 且与直线l平行的直线的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)由212222t ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得234160t t --= 设P ,Q 两点分别对应的参数为12,t t则121243163t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩∴()22222121212112||||29MP MQ t t t t t t +=+=+-=【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了极坐标与直角坐标互化，参数方程的几何意义，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 23．已知函数()|1||21|f x x x =++-. （1）解不等式()2f x >;（2）若()2f x ax a -+…恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭.（2）73,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）将f (x )分段表示，分段求解不等式即可；（2）令()2(1)2g x ax a a x =-+=+-,表示过定点()1,2--的一条直线,数形结合即得解a 的范围. 【详解】（1）3,11 ()2,1213,2x xf x x xx x⎧⎪-<-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪>⎪⎩剟当1x<-时原不等式可化为32x->,解得23x<-,解集为{|1}x x<-当112x-剟时,原不等式可化为22x-+>,解得0x<,解集为{|10}x x-<…当12x>时,原不等式可化为32x>,解得23x>,解集为2|3x x⎧⎫>⎨⎬⎩⎭综上所述,原不等式得解集为2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭（2）令()2(1)2g x ax a a x=-+=+-,表示过定点()1,2--的一条直线,分别作出()y f x=,()y g x=的图象如下:由图象可知,733a-剟∴a的取值范围是73,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生综合分析，分类讨论，数形结合的能力，属于中档题.第 21 页共 21 页。
2019届新疆高三第三次诊断性测试数学(理)试题(解析版)
2019届新疆高三第三次诊断性测试数学（理）试题一、单选题1．设集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，，，然后利用数轴可以得出.【详解】解：因为，所以，，又因为，所以，故选B。
【点睛】本题考查了集合的交集运算，将集合中变量的范围具体解析出来是解题的前提，属于简单题。
2．若复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据，求出，然后根据复数模的公式求出。
【详解】解：因为复数满足所以所以，故选A。
【点睛】本题考查了复数的四则运算和复数模的运算，求解复数模的前提是将复数表示为的标准形式，然后根据模的公式求解。
3．若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能【答案】B【解析】直线与圆有两个公共点，可得，即为，由此可得点与圆的位置关系。
【详解】解：因为直线与圆有两个公共点，所以有，即，因为点与圆心的距离为，圆的半径为1，所以点在圆外，故选B。
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的判断方法有：1.圆心到直线的距离与半径做比较；2.联立直线与圆的方程，根据方程组根的个数进行判断。
4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积。
【详解】解：分析题意可知，如下图所示，该几何体为一个正方体中的三棱锥，最大面的表面边长为的等边三角形，故其面积为，故选B。
【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题。
5．函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需把的图像上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】根据题目中的图象求解出周期，得出的值，再将点代入函数解析式，求出的值，然后根据图象变换规则得出答案。
新疆乌鲁木齐市2019届高三数学一模试卷理
2019年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】进行并集的运算即可.【详解】解：，；.故选：D.【点睛】考查描述法的定义，以及并集的运算.2.已知复数（是虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：，故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.3.已知命题，，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】本题中所给的命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，将量词改为存在量词，否定结论即可【详解】解：命题，，是一个全称命题，，故选：D.【点睛】本题考查了“含有量词的命题的否定”，属于基础题.解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写.4.如图所示的程序框图，如果输入三个实数，，，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量.【详解】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，条件成立时，保存最大值的变量故选：A.【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题.5.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案.【详解】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，则其焦点到渐近线的距离；故选：D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.6.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积.【详解】解：由三视图可知该几何体的直观图是正方体去掉一个棱长为的正方体，正方体的边长为，三棱锥的三个侧棱长为，则该几何体的体积，故选：C.【点睛】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键.7.设，满足，则（）A. 有最小值，最大值B. 有最小值，无最大值C. 有最小值，无最大值D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最小值. 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小.由，解得，代入目标函数得.即目标函数的最小值为.无最大.故选：B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.8.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出.【详解】解：设等差数列的公差为，是与的等比中项，，，，联立解得：，.则.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.10.设定义在上的奇函数满足（），则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件可得出，并得出在，上都是增函数，从而可讨论与的关系：时，显然满足；时，可得出，从而得出；时，可得出，从而得出，最后即可得出不等式的解集.【详解】解：是上的奇函数，且时，；，且在，上都单调递增；①时，满足；②时，由得，；；；③时，由得，；；；；综上得，的解集为.故选：D.【点睛】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性相同，以及增函数的定义，清楚的单调性.11.已知三棱锥中，，，两两垂直，且长度相等.若点，，，都在半径为的球面上，则球心到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算.【详解】解：三棱锥中，，，两两垂直，且长度相等，此三棱锥的外接球即以，，为三边的正方体的外接球，球的半径为，正方体的边长为，即，球心到截面的距离即正方体中心到截面的距离，设到截面的距离为，则正三棱锥的体积，为边长为的正三角形，，，∴球心（即正方体中心）到截面的距离为.故选：C.【点睛】本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题.12.函数，，若对恒成立，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数可得在上的取值范围为，其中，令换元，把对恒成立转化为对恒成立，分离参数后利用函数单调性求出函数的最小值得答案.【详解】解：，，，，在上有零点，又在上成立，在上有唯一零点，设为，则当时，，当时，，在上有最大值，又，，令，要使对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，分离，得，函数的对称轴为，又，，则.则实数的范围是.故选：A【点睛】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量，，，若，则_____.【答案】4【解析】【分析】结合向量平行满足的性质,建立等式,计算参数,即可.【详解】解：，，，又，且，，即.故答案为：.【点睛】本题考查向量的坐标加法运算，考查向量故选的坐标表示，是基础题.14.将函数的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数的单调递增区间是_____.【答案】，【解析】【分析】利用三角函数平移性质,得到新三角函数,结合三角函数单调区间的计算,即可.【详解】解：将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象对应函数的解析式为，令，求得，可得所得函数的单调递增区间为，，故答案为：，.【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式，余弦函数的单调性，属于基础题.15.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为_____.【答案】或【解析】【分析】先表示出准线方程，然后抛物线的准线与圆相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到的值.【详解】解：抛物线，即，准线方程为，因为抛物线的准线与圆相切，当时，，解得，当时，，解得，故答案为：或.【点睛】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径.16.设是数列的前项和，若，则_____.【答案】【解析】【分析】运用数列的递推式，讨论为奇数或偶数，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和. 【详解】解：，当时，，解得，时，，可得，当为偶数时，，即有；当为奇数（）时，，可得，即有.故答案为：.【点睛】本题考查数列的求和，注意运用分类讨论思想方法，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于难题.三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，角，，的对边分别是，，，且，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）由已知利用二倍角公式，正弦定理可求的值，根据同角三角函数基本关系式可求的值.（2）由已知利用余弦定理可得，即可解得的值.【详解】解：（1），，.，，（2）由余弦定理，可得：，可得：，解得：或（舍去）【点睛】本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.18.某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：（1）求a，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X，求X 的分布列及数学期望.附：【答案】（1）, 有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出, ,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.【详解】（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%，所以，文（2）由列联表可得而所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为，即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大，故X服从二项分布，即从而X的分布列为X的数学期望为【点睛】本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.19.如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）点在上，若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连结，，则，，从而平面平面，由此能证明平面.（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】证明：（1）如图，连结，，则，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，，，∴平面EFN//平面，平面，平面.解：（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，设，则，，，，，解得，，设平面的法向量为，则，取，得，同理可得平面的法向量为，.二面角的余弦值为.【点睛】该题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.20.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）对于，当时，，即，当，，即，再写出椭圆的方程；（2）设直线，（），设，两点的坐标分别为，，则，代入椭圆方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线过定点，【详解】（1）对于，当时，，即，当，，即，椭圆的方程为，（2）证明：设直线，（），设，两点的坐标分别为，，则，联立直线与椭圆得，得，，解得，，，直线，令，得，直线过定点【点睛】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；（2）是否存在使得仅有一个极值点？若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义即可求出的值，（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的极值的关系即可求出.【详解】解：（1），，曲线在点处的切线与直线平行，，解得.（2），，，且，当时，，单调递增，又，当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，故函数仅有一个极小值点，当，设，则，（）当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，，当，，函数单调递减，当，，函数单调递减，，在单调递减，无极值，当时，存在唯一的实数根，且，当，，函数单调递减，当，，函数单调递减，，为一个极值点，，单调递增，，存在零点，且为的极值点，当时，有两个极值点综上所述【点睛】本题考查了导数的几何意义，导数和函数的极值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，函数与方程的思想，属于难题22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与圆交于，两点，点，且，求的值.【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.（2）首先把直线的参数式转换为标准式，进一步利用直线和曲线的位置关系建立等量关系，进一步求出a的值.【详解】解：（1）圆的极坐标方程为（）转换为直角坐标方程为：.（2）把直线的参数方程（为参数），转换为标准形式为：（为参数），代入，得到：，所以：，（和为、对应的参数），由于，.所以：，即：，解得：.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.23.已知函数.（Ⅰ）求函数的值域；（Ⅱ）若对，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分段去绝对值，分段求值域再相并；（2）利用的图象恒在的下方可得.【详解】解：（1）的值域是（2）恰好在的上方,交点为,代入该函数中,得到,而,解得,要使得始终在的下方,需要满足.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题.。
新疆乌鲁木齐地区2019届高三第三次质量检测数学(理)试题 Word版含解析
乌鲁木齐地区2019年高三年级第三次质量监测理科数学（问卷）（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}20A x x x =->，{}22B x x =-<<，则( )A. A B =∅IB. A B R =UC. A B ⊆D. B A ⊆【答案】B 【解析】 【分析】算出A 后可得它们的关系.【详解】{}()()20,01,A x x x =->=-∞⋃+∞，故A B R =U ，选B .【点睛】本题考查集合的运算及关系，属于基础题. 2.若121aii i+=-- (其中i 是虚数单位)，则实数a =( ) A. -3 B. -1C. 1D. 3【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算可求出实数a 的值. 【详解】因为121aii i+=--，故()()121ai i i +=--，整理得到 3ai i =-，所以3a =-，故选A .【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.3.当01a <<时，在同一平面直角坐标系中，函数x y a -=与log ay x =的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和图象过的定点，判断出正确选项.【详解】由于01a <<，所以1xx a y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递增且过()0,1，log a y x =在()0,∞+上递减且过()1,0.所以C 选项符合. 故选：C【点睛】本小题主要考查指数函数、对数函数的图像判断，属于基础题. 4.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，以下四个命题①若//αβ，则l m ⊥；②若αβ⊥，则//l m ；③若//l m ，则αβ⊥；④若l m ⊥，则//αβ中正确的两个命题是( )A. ①与②B. ③与④C. ②与④D. ①与③【答案】D 【解析】 【分析】由线面垂直的性质及面面垂直判断可判断①和③正确，通过列举反例得②和④错误. 【详解】对于①，因为直线l ⊥平面α，//αβ，所以直线l ⊥平面β，因直线m ⊂平面β，所以l m ⊥，故①正确；对于②，l 与m 异面、平行或相交，故②错误；对于③，因为直线l ⊥平面α，//l m ，所以m α⊥，而m β⊂，所以αβ⊥，所以③正确； 对于④，当直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，l m ⊥时，α、β平行或相交，故④错误， 综上，①与③正确，故选D.【点睛】本题考查空间中点线面的位置关系，属于基础题.解决这类问题时注意动态地考虑不同的位置关系，这样才能判断所给的命题的真假. 5.611(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ） A. -7 B. -5C. 5D. 7【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，求得题目所求展开式中的常数项.【详解】根据二项式展开式的通项公式可知，611(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是()016611165C C ⨯+-⨯=-=-.故选：B【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的应用，属于基础题. 6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则9S =（ ） A. 255 B. 511 C. 512 D. 567【答案】B 【解析】 【分析】根据36396,,S S S S S --也成等比数列列方程，解方程求得9S 的值.【详解】依题意6363756S S -=-=，而数列{}n a 是等比数列，所以36396,,S S S S S --也成等比数列，故()()263396S S S S S -=⋅-，即()2956763S =⨯-，解得9511S =.故选：B【点睛】本小题主要考查等比数列前n 项和的性质，属于基础题. 7.在下列区间中，函数()34x f x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在性定理，结合函数的单调性，判断出正确选项.【详解】依题意()34xf x e x =+-为R 上的增函数，且()150,11022f e f e ⎛⎫=-<=->⎪⎝⎭，所以()f x 的零点在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的应用，属于基础题.8.将函数()f x 的图像上的所有点向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()()sin g x A x ωϕ=+0,0,2πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭A 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为A. ()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()2cos 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭C. ()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. ()7sin 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据图象求出A ，ω和φ的值，得到g （x ）的解析式，然后将g （x ）图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到f （x ）的图象． 【详解】由图象知A ＝1，T π23=-（π6-）π2=，即函数的周期T ＝π，则2πω=π，得ω＝2， 即g （x ）＝sin （2x+φ），由五点对应法得2π3⨯+φ＝2k π+π，k πZ,φ2∈<Q ,得φπ3=， 则g （x ）＝sin （2x π3+），将g （x ）图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到f （x ）的图象，即f （x ）＝sin[2（x π4+）π3+]＝sin （2x ππ32++）=πcos 2x 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A ，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．9.正方体的全面积是2a ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）A.23a π B.22a πC. 22a πD. 23a π【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的全面积求得边长，由此求得体对角线长，也即外接球的直径，由此求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】设正方体的边长为x ，则226x a =，所以226a x =，x =，所以正方体的体对==，所以正方体外接球的半径为，球的表面积为2242aππ⎫⨯=⎪⎪⎭.故选：B【点睛】本小题主要考查正方体表面积有关计算，考查正方体外接球表面积的求法，属于基础题.10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R，用[]x表示不超过x的最大整数，则[]y x=称为高斯函数,例如: []2.13-=-,[]3.13=，已知函数123()12xxf x++=+,则函数[]()y f x=的值域为( )A. 1(,3)2B. {}0,1C. {}0,1,2 D.{}0,1,2,3【答案】C【解析】【分析】先求()f x的值域，再根据高斯函数的定义求()y f x⎡⎤=⎣⎦的值域.【详解】()f x的定义域为R，()()11111521231522121212122xxx x xf x+++++++===++++g，因为120x+>，所以15211522x+<+<g，所以()f x的值域为1,32⎛⎫⎪⎝⎭，所以()y f x⎡⎤=⎣⎦的值域为{}0,1,2，故选C.【点睛】函数值域的求法，大致有两类基本的方法：（1）利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子（或分母）有理化等.（2）利用导数讨论函数的性质，从而得到函数的值域.11.已知抛物线2:8C y x=的焦点为F ,直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(100)P ，，则AOB ∆的面积为( )A. B.C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线:2l x ty =+，联立直线方程和抛物线方程可求得中垂线的方程，再利用P 的坐标求出t ，最后算出AB 的长和O 到AB 的距离后可得所求的面积.【详解】设直线:2l x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，则由282y x x ty ⎧=⎨=+⎩可以得到28160y ty --=，所以AB 的中点()242,4M t t +，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点()100P ，，故0t ≠. 所以AB 的中垂线的方程为：()21124248y x t t x t t t t=---+=-++g ， 令0y =可得282x t =+，解方程21082t =+得1t =±.此时1216AB y y =-==，O 到AB 的距离为d ==1162OAB S ∆=⨯=故选C .【点睛】直线与圆锥曲线相交时的产生的对称问题，应利用两个几何性质来构造不同变量之间的关系，这个两个几何性质就是中点和垂直.12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()(1)x f x e x =+.给出下列命题: ①当0x >时()(1)xf x e x -=-； ②函数()f x 有三个零点；③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-??；④12,x x R ∀∈都有12()()2f x f x -<.其中正确的命题有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D 【解析】 【分析】先求出0x <时，()()1xf x e x =+，从而可判断①正确；再根据()(1),00,0(1),0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩可求()0f x =及()0f x >的解，从而可判断②③正确，最后依据导数求出函数的值域后可判断④正确.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()()1xf x e x =+.所以当0x <时，0x ->，故()()()()11xx f x f x ex x e --=--=--=-，故①正确.所以()(1),00,0(1),0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，当1,0,1x =-时，()0f x =即函数()f x 有三个零点，故②正确.不等式()0f x >等价于0(1)0xx e x <⎧⎨+>⎩或0(1)0x x e x >⎧⎨->⎩， 解不等式组可以得10x -<<或1x >，所以解集为()()1,01,-⋃+∞，故③正确. 当0x >时，()()1xf x x e -=-，()()()'12xx x f x ex e x e ---=--=-，当02x <<时，()'0f x >，所以()f x 在()0,2上为增函数； 当2x >时，()'0f x <，所以()f x 在()0,2上为减函数； 所以当0x >时()f x 的取值范围为()21,e--，因为()f x 为R 上的奇函数，故()f x 的值域为()1,1-，故12,x x R ∀∈都有()()122f x f x -<，故④正确. 综上，选D.【点睛】（1）对于奇函数或偶函数，如果知道其一侧的函数解析式，那么我们可以利用()()f x f x =--或()()f x f x =-来求其另一侧的函数的解析式，注意设所求的那一侧的函数的自变量为x .（2）对于偶函数()f x ，其单调性在两侧是相反的，并且()()()f x f x f x ==-，对于奇函数()g x ，其单调性在两侧是相同的．本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题13.x ，y 满足约束条件10220240x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值__________．【答案】17 【解析】 【分析】由题意画出可行域，改写目标函数，得到最值【详解】由约束条件可画出可行域为如图所示，目标函数2z x y =+，则目标函数2y x z =-+则当取到点C 即10240x y x y --=⎧⎨-+=⎩时65x y =⎧⎨=⎩目标函数有最大值26517z =⨯+=，故目标函数2z x y =+的最大值为17【点睛】本题考查了线性规划，其解题步骤：画出可行域、改写目标函数、由几何意义得到最值，需要掌握解题方法14.在ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，F 为BE 的中点，若AF AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+=__________． 【答案】34. 【解析】【分析】两次利用中线向量公式可以得到5188AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r，从而得到,λμ的值，故可计算λμ+．【详解】因为F 为BE 的中点，所以11111()22242AF AE AB AD AB AD AB ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，而1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，所以1151()8288AF AB AC AB AB AC =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以51,88λμ==，故34λμ+=，填34． 【点睛】本题考查向量的线性运算和平面向量基本定理，注意运算过程中利用中线向量公式简化计算．15.已知双曲线2222(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，以F 为圆心，焦距为半径的圆交y 轴正半轴于点M ，线段FM 交双曲线于点P ，且4FM FP =，则双曲线的离心率为________.【答案】13【解析】 【分析】设左焦点为1F ，根据42FM FP c ==，求得FP ，利用余弦定理求得1F P ，结合双曲线的定义以及离心率公式，求得双曲线的离心率.【详解】设左焦点为1F ，双曲线的焦距为2c ，所以2FM c =，由于42FM FP c ==，所以12FP c =.在三角形FMO 中，,2OF c MF c ==，所以60FMO ∠=o .在三角形1F FP 中，由余弦定理得1F P ==.由双曲线的定义得12a F P FP =-=，所以双曲线的离心率为21232c e a ===.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查余弦定理解三角形，属于中档题.16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =,12n n n S a a +=（*n ∈N ），若121(1)nn n n n b a a ++=-, 则数列{}n b 的前n 项和n T =_______________.【答案】(1)11n n --++或2,1,1n n n n n n +⎧-⎪⎪+⎨⎪-⎪+⎩为奇数，为偶数 【解析】 由12n n n S a a +=可知1122)n n n S a a n --=≥（，两式相减得1112()n n n n n n n n a a a a a a a a +-+=-=-，因为11a =，所以0n a ≠，12n n a a +=-，构造11()2n n n n a a a a +--+-= ，所以1n n a a --=1， 数列{}n a 是以1为公差，1为首项的等差数列，所以11,()()1n n a n b n n ==-⋅++，1111111(1)()()(1)()223341n n T n n =-+++-+++-++L当n 为偶数时，111n T n =-++ ，当n 为奇数时，111n T n =--+ ，综上所述(1)11n n T n -=-++ ,故填(1)11n n --++或2,1,1n n n n n n +⎧-⎪⎪+⎨⎪-⎪+⎩为奇数，为偶数. 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2(2)cos 2csin 2Ba b C c -+= （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若4,a b c +==求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）3C π=；【解析】 【分析】（Ⅰ）利用降幂公式和正弦定理化简()2222Ba b cosC csin c -+=可得2sin cos sin A C A =，从而得到1cos 2C =即3C π=.（Ⅱ）利用余弦定理得到222122a b c ab +-=，再利用3,a b c +==可得3ab =，利用面积公式计算即可.【详解】（Ⅰ）因为()2222Ba b cosC csinc -+=， 所以()()2cos 1cos a b C c B c -+-= 即()2cos cos a b C c B -=，由正弦定理得到2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=即 2sin cos sin A C A =，因()0,A π∈，故sin 0A >，所以1cos 2C = ，又()0,C π∈，3C π∴= .（Ⅱ）由（Ⅰ）得由余弦定理的2221cos 22a b c C ab +-== ，所以()227122a b ab ab+--=，整理得3ab =，11sin 322ABC S ab C ∆∴==⨯=. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式. 18.如图，在三棱锥P -ABC 中，12PA PB AC ==，PA PB ⊥，AC ⊥平面P AB ，D ，E 分别是AC ，BC 上的点，且//DE 平面P AB.（1）求证//AB 平面PDE ；（2）若D 为线段AC 中点，求直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）1515【解析】 【分析】（1）根据面面平行的性质定理证得//DE AB ，再利用线面平行的判定定理证得//AB 平面PDE .（2）建立空间直角坐标系，利用直线PC 的方向向量和平面PDE 的法向量，求得线面角的正弦值.【详解】（1）因为//DE 平面PAB ，DE ⊂平面ABC ，平面ABC I 平面PAB AB =，所以//DE AB .因为AB ⊂/平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//AB 平面PDE . （2）因为平面PAB ⊥平面ABC ，取AB 中点O ，连接,PO OE .因为PA PB =，所以PO AB ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.不妨设2PA =，则4AC =，22AB =(2P ，()2,4,0C -，()()2,2,0,0,2,0D E -，则(()2,4,2,2,0,0PC DE =--=u u u r u u u r ，(0,2,2PE =-u u u r .设平面PDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则20220n DE x n PE y z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩u u u v v u u u vv ，令1y =，则2z =(2n =r.设直线PC 与平面PDE 所成角为θ，则215sin15325n PCn PCθ⋅===⨯⋅r u u u rr u u u r.所以直线PC与平面PDE所成角的正弦值为1515.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查利用空间向量法求线面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.对某校高三年级100名学生的视力情况进行统计（如果两眼视力不同，取较低者统计），得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110.（1）求a，b的值；（2）若报考高校A专业的资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9,5.1)中有13的学生裸眼视力不低于5.0.现用分层抽样的方法从[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中抽取4名同学，设这4人中有资格（仅考虑视力）考A专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望.【答案】（1）1,0.5a b==；（2）分布列见解析，期望值为2.【解析】【分析】（1）根据“从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110”求得b ，根据频率之和为1列方程求得a .（2）首先求得[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中分别抽取的人数，再按照分布列的计算方法求得分布列并求得数学期望.【详解】（1）由于“从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110”所以10.2,0.510b b ==.由()0.250.75 1.750.750.21b a +++++⨯=，解得1a =. （2）[4.9,5.1)和[5.1,5.3)的频率比为()()0.750.2:0.250.23:1⨯⨯=，所以在[4.9,5.1)中抽取3人，在[5.1,5.3)中抽取1人. [4.9,5.1)的人数为1000.750.215⨯⨯=，其中视力5.0以上有11553⨯=人，视力5.0以下有215103⨯=人.[5.1,5.3)的人数为1000.250.25⨯⨯=人.ξ的所有可能取值为1,2,3,4，且()30110553115524191C C C P C C ξ⨯⨯===⨯，()21110553115545291C C C P C C ξ⨯⨯===⨯，()12110553115520391C C C P C C ξ⨯⨯===⨯，()0311055311552491C C C P C C ξ⨯⨯===⨯.所以分布列为所以24452021234291919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查分层抽样，考查随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.20.已知F 是椭圆2212x y +=的右焦点,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点. M 是AB 的中点，直线OM 与直线2x =交于点N .（Ⅰ）求征：0AB FN ⋅=u u u v u u u v；（Ⅱ）求四边形OANB 面积的最小值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；. 【解析】 【分析】（Ⅰ）当直线AB 斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程后可得AB 中点坐标，故可用直线的斜率表示N 的坐标，求出FN 的斜率后可证0AB FN ⋅=u u u v u u u v.注意直线AB 斜率不存在的情形.（Ⅱ）当直线AB 斜率存在时，利用（Ⅰ）的22121222422,1212k k x x x x k k -+==++可以计算OANB S 四边形=OANB S 四边形AB斜率不存在时，OANB S =四边形 故可得OANB S 四边形最小值.【详解】（Ⅰ）当直线AB 斜率不存在时，直銭AB 与x 轴垂直，AB FN ∴⊥，0AB FN ∴⋅=u u u v u u u v,当直线AB 斜率存在时，设斜率为k ，则直线AB 的方程为()1,0y k x k =-≠， 设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=， 联立()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222124220k x k x k +-+-= 得22121222422,1212k k x x x x k k -+==++，200222,1212k kx y k k-∴==++， 所以直线的方程为2x y k =-，12,N k ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，又()1,0F Q ，1FN k k ∴=-，AB FN ∴⊥，0AB FN ∴⋅=u u u v u u u v；（Ⅱ）当直线AB 斜率不存在时，直线AB 与x 轴垂直，11222OANB S AB ON ∴=⋅==四边形 当直线AB 斜率存在时，OAB NAB OANB S S S =+四边形设点O 到直线AB 的距离为1d ，点N 到直线AB 的距离为2d ，则1d =，2d FN ==，)22112k AB k +==+OAB NAB OANB S S S ∴=+=四边形121122d AB d AB + ()1212AB d d=+)22112k k k ⎫+=⋅⎪⎪+⎭==>，所以四边形OANB 【点睛】圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 21.已知函数()1x f x e kx =--. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若存在正数a ，使得0x a <<时，|()|f x x >，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0k ≤时，()f x 在R 上递增；0k >时，()f x 在(),ln k -∞上递减，在()ln ,k +∞上递增.（2）0k ≤或2k >. 【解析】 【分析】（1）求得()f x 的导函数()'fx ，将k 分成0k ≤和0k >两种情况，讨论()f x 的单调性.（2）将k 分成0k ≤、01k <≤和1k >三种情况，结合（1）中的结论，化简|()|f x x >，然后利用构造函数法，结合导数，求得实数k 的取值范围. 【详解】（1）()'x fx e k =-.当0k ≤时，()'0f x >，()f x 在R 上递增.当0k >时，令()'0f x =解得ln x k =，当ln x k <时，()'0f x <，当ln x k >时，()'0f x >，所以()f x 在(),ln k -∞上递减，在()ln ,k +∞上递增. （2）|()|1xf x e kx x =-->，①当0k ≤时，()f x 在()0,a 上单调递增，且()00f =，所以()0f x >，所以()()f x f x =，即1x e kx x -->，也即()110xe k x -+->，令()()()()110,xg x e k x x a =-+-∈，则()()'1x g x e k =-+.因为0k ≤，0x a <<，所以11x k e +≤<，所以()'0g x >，所以()g x 在()0,a 上递增，()()00g x g >=，所以存在a ，在()0,a 上|()|f x x >成立.②当01k <≤时，ln 0k ≤，由（1）知()f x 在(),ln k -∞上递减，在()ln ,k +∞上递增，所以()f x 在()0,a 上递增，()00f =，所以()0f x >，所以()()f x f x =，即1x e kx x -->，也即()110xe k x -+->.令()()()()110,xg x e k x x a =-+-∈，则()()'1xg x e k =-+.令()'0g x =，解得()ln 1x k =+，因为01k <≤，所以()ln 10x k =+>，所以()g x 在()()0,ln 1k +上递减，()()00g x g <=，不符合.③当1k >时，ln 0k >.因为()f x 在(),ln k -∞上递减，在()ln ,k +∞上递增，存在a ，()0,x a ∈时，()()00f x f <=，所以()()1x f x f x kx e =-=+-，要使()f x x >，只需1x kx e x +->，即()110xe k x --+<.令()()()()110,xh x e k x x a =--+∈，则()()'1x h x e k =--，令()'0h x =，得()ln 1x k =-.当12k <≤时，()ln 10k -≤，()h x 在()0,a 上递增，()()00h x h >=，不成立.当2k >时，()ln 10k ->，存在a ，使得()h x 在()0,a 上递减，()()00h x h <=，成立.综上所述，0k ≤或2k >.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解不等式成立时参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为21x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中.曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=+.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由.【答案】（Ⅰ）直线l 的普通方程为220x y -+=,曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+=；（Ⅱ）相离. 【解析】 【分析】（Ⅰ）消去参数t 后可得直线的普通方程.把4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化成22cos 2sin ρρθρθ=-再利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化简后可得曲线C 的直角坐标方程.（Ⅱ）利用圆心到直线的距离可判断直线与曲线的位置关系. 【详解】（Ⅰ）消去参数t ，则直线l普通方程为220x y -+=，因为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，故2cos 2sin ρθθ=-即22cos 2sin ρρθρθ=-， 曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+=.（Ⅱ）圆心()1,1-到直线220x y -+=的距离d =>，直线l 与曲线C 是相离的位置关系.【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，必要时须在给定方程中构造cos ,sin ρθρθ．直线与圆的位置关系可用圆心到直线的距离与半径的大小来判断．23.已知函数()213f x x x =+-- （Ⅰ）求不等式()0f x ≥的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()3f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）][2,4,3x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）7a ≤- 【解析】 分析】（Ⅰ）利用零点分段讨论可得不等式的解集.（Ⅱ）不等式恒成立等价于2123x x a +--≥，令()2123g x x x =+--，求出()g x 的最小值后可得实数a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）()4312133232142x x f x x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=+--=--≤<⎨⎪⎪--<-⎪⎩当()0f x ≥时，][2,4,3x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭； （Ⅱ）()3f x x a ≥-+恒成立，即2123x x a +--≥恒成立，令()2123g x x x =+--，则()7314532172x g x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪-<-⎪⎩，7a ∴≤- 【点睛】解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．。
新疆乌鲁木齐市2019届高三数学一模试卷理(含解析)
A. ������ > ������
B. ������ > ������
C. ������ > ������
D. ������ > ������
【答案】A
【解析】
【分析】
根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最
大数，因此根据第一个选择框作用是比较������与������的大小，故第二个选择框的作用应该是比较������
A. [−2，0) ∪ [2， + ∞)
B. (−∞−2] ∪ [2， + ∞)
C. [0，2) ∪ [4， + ∞)
ห้องสมุดไป่ตู้
D. [0，2] ∪ [4， + ∞)
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件可得出������(0) = ������(2) = ������( ―2) = 0，并得出������(������)在(0, + ∞)，( ― ∞,0)上都是增函数，
【点睛】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键.
{2������ + ������ ≥ 2
7.设������，������满足 ������−������ ≥ −1 ，则������ = ������ + ������（ ） ������−2������⩽2
4
5
A. 有最小值5，最大值3
【答案】D
1
【解析】 【分析】 本题中所给的命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，将量词改为存在量词，否定 结论即可 【详解】解：命题������:∀������ ∈ ������，cos������ ≤ 1，是一个全称命题 ∴ ￢������:∃������ ∈ ������，cos������ > 1， 故选：D. 【点睛】本题考查了“含有量词的命题的否定”，属于基础题.解决的关键是看准量词的形 式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写. 4.如图所示的程序框图，如果输入三个实数������，������，，要求输出这三个数中最大的数，那么 在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
新疆乌鲁木齐地区2019届高三第三次质量检测数学(理)试题 Word版含解析
乌鲁木齐地区2019年高三年级第三次质量监测理科数学（问卷）（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}20A x x x =->，{}22B x x =-<<，则( )A. A B =∅IB. A B R =UC. A B ⊆D. B A ⊆【答案】B 【解析】 【分析】算出A 后可得它们的关系.【详解】{}()()20,01,A x x x =->=-∞⋃+∞，故A B R =U ，选B .【点睛】本题考查集合的运算及关系，属于基础题. 2.若121aii i+=-- (其中i 是虚数单位)，则实数a =( ) A. -3 B. -1C. 1D. 3【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算可求出实数a 的值. 【详解】因为121aii i+=--，故()()121ai i i +=--，整理得到 3ai i =-，所以3a =-，故选A .【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.3.当01a <<时，在同一平面直角坐标系中，函数x y a -=与log ay x =的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和图象过的定点，判断出正确选项. 【详解】由于01a <<，所以1xxa y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递增且过()0,1，log a y x =在()0,∞+上递减且过()1,0.所以C 选项符合. 故选：C【点睛】本小题主要考查指数函数、对数函数的图像判断，属于基础题. 4.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，以下四个命题①若//αβ，则l m ⊥；②若αβ⊥，则//l m ；③若//l m ，则αβ⊥；④若l m ⊥，则//αβ中正确的两个命题是( )A. ①与②B. ③与④C. ②与④D. ①与③【答案】D 【解析】 【分析】由线面垂直的性质及面面垂直判断可判断①和③正确，通过列举反例得②和④错误. 【详解】对于①，因为直线l ⊥平面α，//αβ，所以直线l ⊥平面β，因直线m ⊂平面β，所以l m ⊥，故①正确；对于②，l 与m 异面、平行或相交，故②错误；对于③，因为直线l ⊥平面α，//l m ，所以m α⊥，而m β⊂，所以αβ⊥，所以③正确； 对于④，当直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，l m ⊥时，α、β平行或相交，故④错误， 综上，①与③正确，故选D.【点睛】本题考查空间中点线面的位置关系，属于基础题.解决这类问题时注意动态地考虑不同的位置关系，这样才能判断所给的命题的真假. 5.611(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ） A. -7 B. -5C. 5D. 7【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，求得题目所求展开式中的常数项. 【详解】根据二项式展开式的通项公式可知，611(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是()016611165C C ⨯+-⨯=-=-.故选：B【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的应用，属于基础题. 6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则9S =（ ） A. 255 B. 511 C. 512 D. 567【答案】B 【解析】 【分析】根据36396,,S S S S S --也成等比数列列方程，解方程求得9S 的值.【详解】依题意6363756S S -=-=，而数列{}n a 是等比数列，所以36396,,S S S S S --也成等比数列，故()()263396S S S S S -=⋅-，即()2956763S =⨯-，解得9511S =.故选：B【点睛】本小题主要考查等比数列前n 项和的性质，属于基础题. 7.在下列区间中，函数()34x f x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在性定理，结合函数的单调性，判断出正确选项.【详解】依题意()34xf x e x =+-为R 上的增函数，且()150,11022f e f e ⎛⎫=-<=->⎪⎝⎭，所以()f x 的零点在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的应用，属于基础题. 8.将函数()f x 的图像上的所有点向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()()sin g x A x ωϕ=+0,0,2πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭A 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为 A. ()5sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()2cos 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭ C. ()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()7sin 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据图象求出A ，ω和φ的值，得到g （x ）的解析式，然后将g （x ）图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到f （x ）的图象． 【详解】由图象知A ＝1，T π23=-（π6-）π2=，即函数的周期T ＝π，则2πω=π，得ω＝2， 即g （x ）＝sin （2x+φ），由五点对应法得2π3⨯+φ＝2k π+π，k πZ,φ2∈<Q ,得φπ3=， 则g （x ）＝sin （2x π3+），将g （x ）图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到f （x ）的图象，即f （x ）＝sin[2（x π4+）π3+]＝sin （2x ππ32++）=πcos 2x 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A ，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．9.正方体的全面积是2a ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ） A.23a π B.22a πC. 22a πD. 23a π【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的全面积求得边长，由此求得体对角线长，也即外接球的直径，由此求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】设正方体的边长为x ，则226x a =，所以226a x =，x =，所以正方体的体对==，所以正方体外接球的半径为，球的表面积为2242a ππ⎫⨯=⎪⎪⎭. 故选：B【点睛】本小题主要考查正方体表面积有关计算，考查正方体外接球表面积的求法，属于基础题.10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数,例如: []2.13-=-,[]3.13=，已知函数123()12x x f x ++=+,则函数[]()y f x =的值域为( ) A. 1(,3)2B. {}0,1C. {}0,1,2D.{}0,1,2,3【答案】C 【解析】 【分析】先求()f x 的值域，再根据高斯函数的定义求()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()11111521231522121212122x xx x x f x +++++++===++++g ， 因为120x +>，所以150211522x +<+<g ，所以()f x 的值域为1,32⎛⎫⎪⎝⎭，所以()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{}0,1,2，故选C . 【点睛】函数值域的求法，大致有两类基本的方法：（1）利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子（或分母）有理化等.（2）利用导数讨论函数的性质，从而得到函数的值域.11.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(100)P ，，则AOB ∆的面积为( )A.B.C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线:2l x ty =+，联立直线方程和抛物线方程可求得中垂线的方程，再利用P 的坐标求出t ，最后算出AB 的长和O 到AB 的距离后可得所求的面积.【详解】设直线:2l x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，则由282y x x ty ⎧=⎨=+⎩可以得到28160y ty --=，所以AB 的中点()242,4M t t +，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点()100P ，，故0t ≠. 所以AB 的中垂线的方程为：()21124248y x t t x t t t t=---+=-++g ， 令0y =可得282x t =+，解方程21082t =+得1t =±.此时1216AB y y =-==，O 到AB的距离为d ==1162OAB S ∆=⨯=故选C .【点睛】直线与圆锥曲线相交时的产生的对称问题，应利用两个几何性质来构造不同变量之间的关系，这个两个几何性质就是中点和垂直.12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()(1)x f x e x =+.给出下列命题: ①当0x >时()(1)xf x e x -=-； ②函数()f x 有三个零点；③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-??；④12,x x R ∀∈都有12()()2f x f x -<.其中正确的命题有( ) A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D 【解析】 【分析】先求出0x <时，()()1xf x e x =+，从而可判断①正确；再根据()(1),00,0(1),0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩可求()0f x =及()0f x >的解，从而可判断②③正确，最后依据导数求出函数的值域后可判断④正确.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()()1xf x e x =+.所以当0x <时，0x ->，故()()()()11xx f x f x ex x e --=--=--=-，故①正确.所以()(1),00,0(1),0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，当1,0,1x =-时，()0f x =即函数()f x 有三个零点，故②正确.不等式()0f x >等价于0(1)0x x e x <⎧⎨+>⎩或0(1)0x x e x >⎧⎨->⎩，解不等式组可以得10x -<<或1x >，所以解集为()()1,01,-⋃+∞，故③正确. 当0x >时，()()1xf x x e -=-，()()()'12xx x f x ex e x e ---=--=-，当02x <<时，()'0f x >，所以()f x 在()0,2上为增函数； 当2x >时，()'0f x <，所以()f x 在()0,2上为减函数； 所以当0x >时()f x 的取值范围为()21,e--，因为()f x 为R 上的奇函数，故()f x 的值域为()1,1-，故12,x x R ∀∈都有()()122f x f x -<，故④正确. 综上，选D.【点睛】（1）对于奇函数或偶函数，如果知道其一侧的函数解析式，那么我们可以利用()()f x f x =--或()()f x f x =-来求其另一侧的函数的解析式，注意设所求的那一侧的函数的自变量为x .（2）对于偶函数()f x ，其单调性在两侧是相反的，并且()()()f x f x f x ==-，对于奇函数()g x ，其单调性在两侧是相同的．本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题13.x，y满足约束条件10220240x yx yx y--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数2z x y=+的最大值__________．【答案】17【解析】【分析】由题意画出可行域，改写目标函数，得到最值【详解】由约束条件可画出可行域为如图所示，目标函数2z x y=+，则目标函数2y x z=-+则当取到点C即10240x yx y--=⎧⎨-+=⎩时65xy=⎧⎨=⎩目标函数有最大值26517z=⨯+=，故目标函数2z x y=+的最大值为17【点睛】本题考查了线性规划，其解题步骤：画出可行域、改写目标函数、由几何意义得到最值，需要掌握解题方法14.在ABC∆中，D为BC的中点，E为AD的中点，F为BE的中点，若AF AB ACλμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+=__________．【答案】34.【解析】【分析】两次利用中线向量公式可以得到5188AF AB AC=+u u u r u u u r u u u r，从而得到,λμ的值，故可计算λμ+．【详解】因为F为BE的中点，所以11111()22242AF AE AB AD AB AD AB⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，而1()2AD AB AC=+u u u r u u u r u u u r，所以1151()8288AF AB AC AB AB AC =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以51,88λμ==，故34λμ+=，填34． 【点睛】本题考查向量的线性运算和平面向量基本定理，注意运算过程中利用中线向量公式简化计算．15.已知双曲线2222(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，以F 为圆心，焦距为半径的圆交y 轴正半轴于点M ，线段FM 交双曲线于点P ，且4FM FP =，则双曲线的离心率为________.【答案】13【解析】 【分析】设左焦点为1F ，根据42FM FP c ==，求得FP ，利用余弦定理求得1F P ，结合双曲线的定义以及离心率公式，求得双曲线的离心率.【详解】设左焦点为1F ，双曲线的焦距为2c ，所以2FM c =，由于42FM FP c ==，所以12FP c =.在三角形FMO 中，,2OF c MF c ==，所以60FMO ∠=o .在三角形1F FP 中，由余弦定理得12F P ==.由双曲线的定义得1122a F P FP c =-=，所以双曲线的离心率为22c e a ===故答案为：13【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查余弦定理解三角形，属于中档题.16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =,12n n n S a a +=（*n ∈N ），若121(1)nn n n n b a a ++=-, 则数列{}n b 的前n 项和n T =_______________.【答案】(1)11n n --++或2,1,1n n n n n n +⎧-⎪⎪+⎨⎪-⎪+⎩为奇数，为偶数【解析】 由12n n n S a a +=可知1122)n n n S a a n --=≥（，两式相减得1112()n n n n n n n n a a a a a a a a +-+=-=-，因为11a =，所以0n a ≠，12n n a a +=-，构造11()2n n n n a a a a +--+-= ，所以1n n a a --=1， 数列{}n a 是以1为公差，1为首项的等差数列，所以11,()()1n n a n b n n ==-⋅++，1111111(1)()()(1)()223341n n T n n =-+++-+++-++L当n 为偶数时，111n T n =-++ ，当n 为奇数时，111n T n =--+ ，综上所述(1)11n n T n -=-++ ,故填(1)11n n --++或2,1,1n n n n n n +⎧-⎪⎪+⎨⎪-⎪+⎩为奇数，为偶数. 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2(2)cos 2csin 2Ba b C c -+= （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若4,a b c +==求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）3C π=；【解析】 【分析】（Ⅰ）利用降幂公式和正弦定理化简()2222Ba b cosC csinc -+=可得2sin cos sin A C A =，从而得到1cos 2C =即3C π=. （Ⅱ）利用余弦定理得到222122a b c ab +-=，再利用3,7a b c +==可得3ab =，利用面积公式计算即可.【详解】（Ⅰ）因为()2222Ba b cosC csinc -+=， 所以()()2cos 1cos a b C c B c -+-= 即()2cos cos a b C c B -=，由正弦定理得到2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=即 2sin cos sin A C A =，因()0,A π∈，故sin 0A >，所以1cos 2C = ，又()0,C π∈，3C π∴= .（Ⅱ）由（Ⅰ）得由余弦定理的2221cos 22a b c C ab +-== ，所以()227122a b ab ab+--=，整理得3ab =，11333sin 322ABC S ab C ∆∴==⨯⨯=. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式. 18.如图，在三棱锥P -ABC 中，12PA PB AC ==，PA PB ⊥，AC ⊥平面P AB ，D ，E 分别是AC ，BC 上的点，且//DE 平面P AB.（1）求证//AB 平面PDE ；（2）若D 为线段AC 中点，求直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）15【解析】 【分析】（1）根据面面平行的性质定理证得//DE AB ，再利用线面平行的判定定理证得//AB 平面PDE .（2）建立空间直角坐标系，利用直线PC 的方向向量和平面PDE 的法向量，求得线面角的正弦值.【详解】（1）因为//DE 平面PAB ，DE ⊂平面ABC ，平面ABC I 平面PAB AB =，所以//DE AB .因为AB ⊂/平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//AB 平面PDE . （2）因为平面PAB ⊥平面ABC ，取AB 中点O ，连接,PO OE .因为PA PB =，所以PO AB ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.不妨设2PA =，则4AC =，22AB =，则()0,0,2P ，()2,4,0C -，()()2,2,0,0,2,0D E -，则()()2,4,2,2,0,0PC DE =--=u u u r u u u r ，()0,2,2PE =-u u u r .设平面PDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则20220n DE x n PE y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v v u u u vv ，令1y =，则2z =，所以()0,1,2n =r.设直线PC 与平面PDE 所成角为θ，则15sin 325n PC n PCθ⋅===⨯⋅r u u u r r u u u r .所以直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值为15.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查利用空间向量法求线面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.对某校高三年级100名学生的视力情况进行统计（如果两眼视力不同，取较低者统计），得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110.（1）求a ，b 的值；（2）若报考高校A 专业的资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9,5.1)中有13的学生裸眼视力不低于5.0.现用分层抽样的方法从[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中抽取4名同学，设这4人中有资格（仅考虑视力）考A 专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）1,0.5a b ==；（2）分布列见解析，期望值为2. 【解析】 【分析】（1）根据“从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110”求得b ，根据频率之和为1列方程求得a .（2）首先求得[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中分别抽取的人数，再按照分布列的计算方法求得分布列并求得数学期望.【详解】（1）由于“从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110”所以10.2,0.510b b ==.由()0.250.75 1.750.750.21b a +++++⨯=，解得1a =. （2）[4.9,5.1)和[5.1,5.3)的频率比为()()0.750.2:0.250.23:1⨯⨯=，所以在[4.9,5.1)中抽取3人，在[5.1,5.3)中抽取1人. [4.9,5.1)的人数为1000.750.215⨯⨯=，其中视力5.0以上有11553⨯=人，视力5.0以下有215103⨯=人.[5.1,5.3)的人数为1000.250.25⨯⨯=人.ξ的所有可能取值为1,2,3,4，且()30110553115524191C C C P C C ξ⨯⨯===⨯，()21110553115545291C C C P C C ξ⨯⨯===⨯，()12110553115520391C C C P C C ξ⨯⨯===⨯，()0311055311552491C C C P C C ξ⨯⨯===⨯.所以分布列为所以24452021234291919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查分层抽样，考查随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.20.已知F 是椭圆2212x y +=的右焦点,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点. M 是AB 的中点，直线OM 与直线2x =交于点N . （Ⅰ）求征：0AB FN ⋅=u u u v u u u v；（Ⅱ）求四边形OANB 面积的最小值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；. 【解析】 【分析】（Ⅰ）当直线AB 斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程后可得AB 中点坐标，故可用直线的斜率表示N 的坐标，求出FN 的斜率后可证0AB FN ⋅=u u u v u u u v.注意直线AB 斜率不存在的情形.（Ⅱ）当直线AB 斜率存在时，利用（Ⅰ）的22121222422,1212k k x x x x k k-+==++可以计算OANB S 四边形=OANB S >四边形AB斜率不存在时，OANB S =四边形 故可得OANB S 四边形最小值.【详解】（Ⅰ）当直线AB 斜率不存在时，直銭AB 与x 轴垂直，AB FN ∴⊥，0AB FN ∴⋅=u u u v u u u v, 当直线AB 斜率存在时，设斜率为k ，则直线AB 的方程为()1,0y k x k =-≠， 设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=， 联立()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222124220k x k x k +-+-= 得22121222422,1212k k x x x x k k -+==++，200222,1212k kx y k k-∴==++， 所以直线的方程为2x y k =-，12,N k ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，又()1,0F Q ，1FN k k ∴=-，AB FN ∴⊥，0AB FN ∴⋅=u u u v u u u v；（Ⅱ）当直线AB 斜率不存在时，直线AB 与x 轴垂直，11222OANB S AB ON ∴=⋅==四边形 当直线AB 斜率存在时，OAB NAB OANB S S S =+四边形设点O 到直线AB 的距离为1d ，点N 到直线AB 的距离为2d ，则1d =，2d FN ==，)22112k AB k +==+OAB NAB OANB S S S ∴=+=四边形121122d AB d AB + ()1212AB d d=+)22112k k +=⋅+==>所以四边形OANB 【点睛】圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 21.已知函数()1x f x e kx =--. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若存在正数a ，使得0x a <<时，|()|f x x >，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0k ≤时，()f x 在R 上递增；0k >时，()f x 在(),ln k -∞上递减，在()ln ,k +∞上递增.（2）0k ≤或2k >. 【解析】 【分析】（1）求得()f x 的导函数()'fx ，将k 分成0k ≤和0k >两种情况，讨论()f x 的单调性.（2）将k 分成0k ≤、01k <≤和1k >三种情况，结合（1）中的结论，化简|()|f x x >，然后利用构造函数法，结合导数，求得实数k 的取值范围. 【详解】（1）()'x fx e k =-.当0k ≤时，()'0f x >，()f x 在R 上递增.当0k >时，令()'0f x =解得ln x k =，当ln x k <时，()'0f x <，当ln x k >时，()'0f x >，所以()f x 在(),ln k -∞上递减，在()ln ,k +∞上递增. （2）|()|1xf x e kx x =-->，①当0k ≤时，()f x 在()0,a 上单调递增，且()00f =，所以()0f x >，所以()()f x f x =，即1x e kx x -->，也即()110xe k x -+->，令()()()()110,xg x e k x x a =-+-∈，则()()'1x g x e k =-+.因为0k ≤，0x a <<，所以11x k e +≤<，所以()'0g x >，所以()g x 在()0,a 上递增，()()00g x g >=，所以存在a ，在()0,a 上|()|f x x >成立.②当01k <≤时，ln 0k ≤，由（1）知()f x 在(),ln k -∞上递减，在()ln ,k +∞上递增，所以()f x 在()0,a 上递增，()00f =，所以()0f x >，所以()()f x f x =，即1x e kx x -->，也即()110xe k x -+->.令()()()()110,xg x e k x x a =-+-∈，则()()'1xg x e k =-+.令()'0g x =，解得()ln 1x k =+，因为01k <≤，所以()ln 10x k =+>，所以()g x 在()()0,ln 1k +上递减，()()00g x g <=，不符合.③当1k >时，ln 0k >.因为()f x 在(),ln k -∞上递减，在()ln ,k +∞上递增，存在a ，()0,x a ∈时，()()00f x f <=，所以()()1x f x f x kx e =-=+-，要使()f x x >，只需1x kx e x +->，即()110xe k x --+<.令()()()()110,xh x e k x x a =--+∈，则()()'1x h x e k =--，令()'0h x =，得()ln 1x k =-.当12k <≤时，()ln 10k -≤，()h x 在()0,a 上递增，()()00h x h >=，不成立.当2k >时，()ln 10k ->，存在a ，使得()h x 在()0,a 上递减，()()00h x h <=，成立.综上所述，0k ≤或2k >.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解不等式成立时参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为21x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中.曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=+.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由.【答案】（Ⅰ）直线l 的普通方程为220x y -+=,曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+=；（Ⅱ）相离. 【解析】 【分析】（Ⅰ）消去参数t 后可得直线的普通方程. 把4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭化成22cos 2sin ρρθρθ=-再利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化简后可得曲线C 的直角坐标方程.（Ⅱ）利用圆心到直线的距离可判断直线与曲线的位置关系.【详解】（Ⅰ）消去参数t ，则直线l普通方程为220x y -+=，因为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，故2cos 2sin ρθθ=-即22cos 2sin ρρθρθ=-， 曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+=.（Ⅱ）圆心()1,1-到直线220x y -+=的距离d =>，直线l 与曲线C 是相离的位置关系.【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，必要时须在给定方程中构造cos ,sin ρθρθ．直线与圆的位置关系可用圆心到直线的距离与半径的大小来判断．23.已知函数()213f x x x =+-- （Ⅰ）求不等式()0f x ≥的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()3f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）][2,4,3x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）7a ≤- 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用零点分段讨论可得不等式的解集.（Ⅱ）不等式恒成立等价于2123x x a +--≥，令()2123g x x x =+--，求出()g x 的最小值后可得实数a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）()4312133232142x x f x x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=+--=--≤<⎨⎪⎪--<-⎪⎩当()0f x ≥时，][2,4,3x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭； （Ⅱ）()3f x x a ≥-+恒成立，即2123x x a +--≥恒成立，令()2123g x x x =+--，则()7314532172x g x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪-<-⎪⎩，7a ∴≤- 【点睛】解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．。
新疆2019年高考理科数学模拟试题及答案
新疆2019年高考理科数学模拟试题及答案（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}{}23,,40xA y y x RB x x ==∈=-≤,则 A.AB R = B.}2|{->=x x B AC.}22|{≤≤-=x x B AD.}20|{≤<=x x B A2．已知复数z 满足3(1)()2i z i i --= (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为A ．1i -B ．12i +C ．1i -D ．12i - 3．已知1tan 2α=-，且(0,)απ∈，则sin 2α= A ．45 B ．45-C ．35D ．35-4. 已知,a b 为非零向量,则“0⋅>a b ”是“a 与b 夹角为锐角”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5．直线40x y m ++=交椭圆2116x y +=于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为l ，则，m= A.－2B.－1C. 1D.26．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是侧视图俯视图正视图2211A ．2B ．4C ．6D ．87．三棱锥P ABC PA -⊥中，面ABC ，1,3AC BC AC BC PA ⊥===，，则该三棱锥外接球的表面积为 A ．2πB ．72π C ．5π D ．20π8．如果执行如右图所示的程序框图，输入正整数N (N ≥2) 和实数 a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则 A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和B. 12(A ＋B )为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数 C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中的最小数和最大数 D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中的最大数和最小数 9. 已知某8个数的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5， 此时这9个数的期望记为()E X ，方差记为()D X ，则A.()5,()3E X D X =>B. ()5,()3E X D X =<C.()5,()3E X D X <>D. ()5,()3E X D X <<10．已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率为 A ．2B. 2C ．3D ．511.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且 这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是A.甲B.乙C.丙D.丁12. 设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图像可以为二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若向量,a b 满足||||2a b ==,且()2a a b ⋅-=,则向量a 与b 的夹角为14．设双曲线()2222100x y a ,b a b-=>>的左、右顶点分别为A ,B ，点P 在双曲线上且异于A ,B 两点，O 为坐标原点．若直线PA 与PB 的斜率之积为79，则双曲线的离心率为________． 15. 若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____________.16．函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos2x （π4≤x ≤π2）的值域为 . 三、解答题：本题共6小题，共70分。
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2019年新疆高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合，结合交集定义进行求解即可．【详解】，则，故选B．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合B的等价条件，首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.【考点定位】本题考查复数的基本运算，考查学生的基本运算能力.【此处有视频，请去附件查看】3.若变量满足约束条件，则的最大值是( )A. 0B. 2C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由题意作出不等式组所表示的平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得结果．【详解】由题意作出其平面区域，令，化为，相当于直线的纵截距，由图可知，，解得，，则的最大值是，故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4.执行如图所示程序框图的输出结果是（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，此时，不满足条件，退出循环，输出的值为7，故选C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】【分析】对于A，B选项均有可能为线在面内，故错误；对于C选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D正确.【详解】若，，则有可能在面内，故A错误；若，，有可能在面内，故B错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误．若，，，则由直线与平面平行的性质知，故D正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.6.已知等差数列的公差不为零，且，，成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设等差数列的公差，由题意可得，用首项和公差表示化为，代入即可得出．【详解】设等差数列的公差，且，，成等比数列，∴，∴，，则，故选B．【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不难发现从而可得【详解】,故选B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．8.已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的性质，根据，可得，，求解，然后推出椭圆方程．【详解】椭圆的焦点分别为，，点A，B在椭圆上，于，，，可得，，，解得，，所以所求椭圆方程为：，故选C．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．9.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算，的值，利用函数值的对应性进行排除即可．【详解】，排除C，D；，排除B，故选A．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.10.已知函数的最小正周期为，且，则的最小值为（ ） A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】首先利用三角函数的周期性求出，结合题意可得当时，函数取得最大值，直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的最值得应用求出结果． 【详解】函数的最小正周期为，解得：，所以， 由于，故：时，取最大值． 故：，解得：，即， 由于，故的最小值为，故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为，设公差为，则，解得，所以该金杖的总重量，，解得，故选C.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.12.如图，是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论正确的是（）A. 点到的距离为B. 三棱锥的体积是C. 与平面所成的角是D. 与所成的角是【答案】D【解析】【分析】根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，分别判断，即可得出结论．【详解】解：根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形如图所示，对于A，连接ND，与EF交于O点，连接AO，则AO的长即点到的距离，AO，故A错误；对于B，三棱锥的体积是，故B错误；对于C，F点到平面CDN的距离为，∴与平面所成的角的正弦值为，故C错误；对于D，与所成的角即MC与所成的角，显然是60°，故D正确，故选：D【点睛】本题考查根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有____种（用数字作答）.【答案】150【解析】【分析】由题意可知，由两种分配方案分别为2，2，1型或3,1,1型，每一种分配全排即可.【详解】解：将5名志愿者分配到这三个地方服务，每个地方至少1人，其方案为2，2，1型或3,1,1型．其选法有或，而每一种选法可有安排方法，故不同的分配方案有150种．故答案为：150．【点睛】本题考查了排列与组合的计算公式、“乘法原理”等基础知识与基本方法，属于中档题．14.已知是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于点，若（是坐标原点）的面积为1，则双曲线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出渐近线的斜率为1，可得，根据三角形的面积为1可求出的值，然后求解双曲线方程．【详解】是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于点，若（O是坐标原点）的面积为1，可得，，，解得，则，所以所求的双曲线方程为：，故答案为．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力，属于基础题.15.已知，，则__________．【答案】7【解析】【分析】由的范围求出的范围，根据sin（）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（）的值，进而求出tan（）的值，tan A变形为tan[（）]，利用两角和与差的正切函数公式化简，计算即可求出值．【详解】解：∵∈（，），∴∈（，π），∵sin（），∴cos（），∴tan（）＝，则tan A＝tan[（）]．故答案为：【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正切公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．16.已知，是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】先推出f（x）的图象关于直线x＝a对称，然后得出直线P A，PB分别与函数图象相切时，•的最小值为0，再通过导数的几何意义得切线的斜率，解出a＝1，结合图象可得x＝1时，f（x）的最大值为．详解】解：A，B是函数f（x）（其中a＞0）图象上的两个动点，当x＜a时，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x，∴函数f（x）的图象关于直线x＝a对称．当点A，B分别位于分段函数的两支上，且直线P A，PB分别与函数图象相切时，•的最小值为0，设P A与f（x）＝﹣e﹣x相切于点A（x0，y0），∴f′（x）＝e﹣x，∴k AP＝f′（x0）＝e，解得x0＝a﹣1，∵•的最小值为0，∴⊥，∴k P A＝tan45°＝1，∴e1，∴x0＝0，∴a＝1，∴f（x）max．故答案为：【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及导数的几何意义，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.在中，角的对边分别为，已知，，(1)若，求；(2)求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先由正弦定理求出，进而可求得，再次利用正弦定理即可求得；（2）利用三角形面积公式结合余弦定理得，结合二次函数的性质即可得结果.【详解】（1）∵，，∴，∴，∴，∴；（2），当时，的面积有最大值.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，点，分别是和的中点.（Ⅰ）求证平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用线线平行证明平面平面，从而证得平面；（Ⅱ）以的中点为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，求出平面平面的法向量，代入公式，即可得到结果.【详解】（Ⅰ）如图，取的中点，连结，，则，.∴平面平面，∴平面；（Ⅱ）以的中点为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，得，，，，得，.设平面的法向量为，则，得，同理可得平面的法向量为，∴，∴二面角的余弦值为.【点睛】本题综合考查空间面面平行的判断以及空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．19.某学校高二年级的第二学期，因某学科的任课教师王老师调动工作，于是更换了另一名教师赵老师继任.第二学期结束后从全学年的该门课的学生考试成绩中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示如下：学校秉持均衡发展、素质教育的办学理念，对教师的教学成绩实行绩效考核，绩效考核方案规定：每个学期的学生成绩中与其中位数相差在范围内（含）的为合格，此时相应的给教师赋分为1分；与中位数之差大于10的为优秀，此时相应的给教师赋分为2分；与中位数之差小于-10的为不合格，此时相应的给教师赋分为-1分.（Ⅰ）问王老师和赵老师的教学绩效考核平均成绩哪个大？（Ⅱ）是否有的把握认为“学生成绩取得优秀与更换老师有关”.附：0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828【答案】（Ⅰ）王老师；（Ⅱ）没有.【解析】【分析】（Ⅰ）分别计算王老师和赵老师绩效考核的平均成绩，进行比较即可；（Ⅱ）完成列联表，计算的值，利用独立性检验的知识进行判断即可.【详解】（Ⅰ）第一学期的数据为：43，44，49，52，53，56，57，59，62，64，65，65，65，68，72，73，75，76，78，83，84，87，88，93，95，其“中位数”为65，优秀有8个，合格有12个，不合格有5个.∴王老师的教学绩效考核平均成绩为：；第二学期的数据为：44，49，52，54，54，58，59，60，61，62，63，63，65，66，67，70，71，72，72，73，77，81，88，88，94，其“中位数”为65，优秀有5个，合格有15个，不合格有5个，∴赵老师的教学绩效考核平均成绩为：，∴，所以，王老师的教学绩效考核平均成绩较大；（Ⅱ）由题意得：第一学期第二学期合计优秀8 5 13非优秀17 20 37合计25 25 50，∵，∴没有的把握认为“学生成绩优秀与更换老师有关”.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，结合数据完成列联表计算的观测值是解决本题的关键，属于基础题.20.已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，若与轴垂直时，.(1)求抛物线的方程；(2)如图，若点在准线上的投影为是抛物线上一点，且，求面积的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）16.【解析】 【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义求出，然后求解抛物线的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，设，利用韦达定理以及弦长公式，以及点到直线的距离求解三角形的面积． 【详解】（Ⅰ）由轴时，，∴抛物线的方程为：； （Ⅱ）由，可设：，与联立得：， 设，，则，∴，由，，∴，，∴：， 即，与联立得，∴，∴点到直线的距离，∴，∴当（即轴），取最小值16.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.21.已知函数.(1)求函数的单调区间； (2)若，且是函数的两个极值点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】 【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，对a 分类讨论，解不等式即可得到结果；（Ⅱ），构造新函数，研究函数的单调性，极值与最值即可.【详解】（Ⅰ），，，令，，①当，即时，恒成立，∴，∴在上单调递增；②当，即或时，有两个实数根，，若，则，∴，∴当时，，；当时，，，∴在上单调递减；在上单调递增，若，则，∴，当或时，，；当时，，，∴在，上单调递增；在上单调递减；（Ⅱ），令，由，，得，，∴，∴或（舍去），∴，令，，，∴在上单调递减，∴，且当时，，也取得最小值，∴.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.在平面直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为(为参数).以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)判断点与直线的位置关系并说明理由；(2)设直线与曲线交于两个不同的点，求的值.【答案】（Ⅰ）点在直线上；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把直线化成直角坐标方程后，代入点的坐标看是否满足；（Ⅱ）联立直线的参数方程与曲线，利用参数的几何意义可得．【详解】（Ⅰ）直线：，即，斜率，倾斜角，∵点满足此方程，∴点在直线上；（Ⅱ）曲线的普通方程为①，直线的参数方程为（为参数）②，把②代入①得，得，，又∵，，且与异号，∴.【点睛】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程以及参数的几何意义，属于中档题.23.已知函数.(1)当时，解关于的不等式；(2)若函数的最大值是3，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析】（Ⅰ）代入，的值，通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出，结合基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【详解】（Ⅰ）∵当，时，，∴的解集为；（Ⅱ）∵，，，∴，∴，当且仅当，即，时，等号成立.故的最小值为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。