ch08随机过程通过线性系统
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第3章 随机过程的线性变换(合训)
(3.1.19) (3.1.20) (3.1.21)
G XX (ω ) = − jωG X (ω )
2 GX (ω ) = jωG XX (ω ) = ω G X (ω )
由(3.1.18)式可见, RXX (τ ) 是奇函数。对于奇函数有
RXX (0) = 0
(3.1.22)
(t ) 在同一时刻是正交的和不相关的，如果 X (t ) 服 因此，可导的平稳随机过程 X (t ) 与它的导数 X
(3.1.1)
需要说明的是(3.1.1)式的变换关系，如果要用普通函数的变换关系来理解的话是一族变换关 系，也就是说，对 X (t ) 和 Y (t ) 的每一个样本函数都有一个变换等式。 随机过程的变换也可以用系统的观点来加以解释。如图 3.1 所示，假定系统是按照法则 T 来定 义的，那么 Y (t ) 就可以看作为随机过程 X (t ) 通过系统后的响应。
(3.1.7)
其中 H (0) 为系统的传递函数在 ω = 0 时的值。 输入和输出的互相关函数为
RXY (t1 , t2 ) = E[ X (t1 )Y (t2 )]
+∞ = E ⎡ X (t1 ) ∫ X (t2 − u )h(u )du ⎤ ⎢ ⎥ −∞ ⎣ ⎦
= ∫ R X (t1 , t 2 − u )h(u )du
81
表现在输入上，而不是变换本身。按这种方式解释的变换称为确定性变换。即如果 e1 和 e2 是二个 实验结果，且 x(t , e1 ) = x(t , e2 ) ，则 y (t , e1 ) = y (t , e2 ) ，则称 T 是确定性变换，否则称为随机性变 换。 本章只介绍确定性变换。 2 线性变换及性质 变换有线性变换和非线性变换两种，首先介绍线性变换。 定义 设有任意两个随机变量 A1 和 A2 及任意两个随机过程 X 1 (t ) 和 X 2 (t ) ，如果满足
第4章 随机历程通过线性系统分析
（3）时不变线性系统的传输函数
由 y(t) h(t) x(t) 有：
Y () H () X ()
X () 、Y () 、 H () 分别为 x(t) 、 y(t) 、 h(t) 的付里叶变换。
称 H () 为系统的传输函数。
4．2 随机过程通过线性系统
基本假设：系统输入 X (t) 是随机过程，系统输出Y (t) 也是随机过程。
性。
4．1 线性系统的基本理论
1．系统的物理表示 系统的物理示意图如图 1。 2．线性系统
x1 (t) 、 x2 (t) 是系统的两个输入，若：
L[1x1 (t) 2 x2 (t)] 1L[x1 (t)] 2 L[x2 (t)]
则称系统 L[] 为线性系统。
3．时不变系统
这一表达在形式上具有方便性，但在计算上较困难。 2、 输出均值
随机过程难以把握，应用的重点是随机过程的均值与相关。
定理： mY (t) h45
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
第4章 随机过程通过线性系统分析
证明：由于
上述积分可用极限形式表示：
、 固定时， 为确定的常用，上式是正态变量 的线性组合，而正态的线性组合还是正态分布。
2．高斯过程的均值与方差近似计算
对于高斯过程，只要均值与方差确定，则整个分布函数便确定。
由于
取定一个合适的 ，利用
可求出求出 均值与方差的近似值。
作业：P1515.1，5.2，5.7，5.8，5.9，5.11，5.14，5.15，5.26，5.28。
等效原则：理想系统与实际系统的输出平均功率相等。
例：设理想输出为 ，理想系统是矩形传输函数
为等效带宽。
如何确定 ？
依等效原则，理想系统的平均功率为 ，而
所以
称 为等效噪声带宽。
3．白噪声通过理想低通线性系统
在实际应用中，设
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
但求输入的概率分布不是一件容易的事为使问题得到简化一般我们假设高斯随机过程通过线性系统定理
第4章随机过程通过线性系统分析
引言：信号与系统的传统理论方法的基础是卷积运算。如图，
图1：系统的物理示意图
是系统的输入， 是系统的输出， 是系统的冲激响应函数
其中 ，为冲激函数。
对于线性系统，系统的数学运算为：
相关时间为
4．白噪声通过理想带通线性系统
理想带通线性系统具有理想矩形频率特性
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
可写成
称为相关函数的包络。
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
相关时间为
5．白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统
上述积分可用极限形式表示：
、 固定时， 为确定的常用，上式是正态变量 的线性组合，而正态的线性组合还是正态分布。
2．高斯过程的均值与方差近似计算
对于高斯过程，只要均值与方差确定，则整个分布函数便确定。
由于
取定一个合适的 ，利用
可求出求出 均值与方差的近似值。
作业：P1515.1，5.2，5.7，5.8，5.9，5.11，5.14，5.15，5.26，5.28。
等效原则：理想系统与实际系统的输出平均功率相等。
例：设理想输出为 ，理想系统是矩形传输函数
为等效带宽。
如何确定 ？
依等效原则，理想系统的平均功率为 ，而
所以
称 为等效噪声带宽。
3．白噪声通过理想低通线性系统
在实际应用中，设
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
但求输入的概率分布不是一件容易的事为使问题得到简化一般我们假设高斯随机过程通过线性系统定理
第4章随机过程通过线性系统分析
引言：信号与系统的传统理论方法的基础是卷积运算。如图，
图1：系统的物理示意图
是系统的输入， 是系统的输出， 是系统的冲激响应函数
其中 ，为冲激函数。
对于线性系统，系统的数学运算为：
相关时间为
4．白噪声通过理想带通线性系统
理想带通线性系统具有理想矩形频率特性
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
可写成
称为相关函数的包络。
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
相关时间为
5．白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统
[西安电子科大通信原理讲义]07通信原理第七讲(可编辑)
![[西安电子科大通信原理讲义]07通信原理第七讲(可编辑)](https://img.taocdn.com/s3/m/952cbd82a300a6c30c229fe6.png)
《通信原理》第七讲§2．4 随机过程通过线性系统通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？v t 等于输入信号v t 与系统的单位冲击响应h t 的卷线性系统的响应 0 i 积，即∞v t v t ?h t v τ h t ?τ dτ（2.4-1 ）0 i ∫?∞ i若h t ?H ωv t ?V ω，v t ?V ω，，则有0 0 i iV ωH ωV ω（2.4-2 ）0 i若线性系统是物理可实现的，则tv t v τh t ?τdτ（2.4-3 ）0 ∫?∞ i或∞v t h τv t ?τdτ（2.4-4 ）0 ∫0 i如果把v t 看作是输入随机过程的一个样本，则v t 可看作是输出随机过i程的一个样本。
显然，输入过程ξ t 的每个样本与输出过程ξ t 的相应样本之i间都满足式（2.4-4 ）的关系。
这样，就整个过程而言，便有∞ξt h τξt ?τdτ（2.4-5）0 ∫0 i假定输入ξ t 是平稳随机过程，现在来分析系统的输出过程ξt 的统计特i性。
ξ t一、输出过程 0 的数学期望∞∞∞E [ξ t ] E [ h τ ξ t ?τ dτ ] h τ E [ξt ?τ ]dτ a ? h τ dτ0 ∫0 i ∫0 i ∫0因为∞H ω∫0 h t ej ωt dt求得∞H 0 ∫0 h t dt所以E [ξ t ] a ?H 0 （2.4-6）由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H 0的乘积，且E[ξ t ]与t无关。
ξ t二、输出过程 0 的自相关函数R t ,t E [ t t ]+τ ξ ξ +τ0 1 1 0 1 0 1[ ∞∞ ]E h α ξ t ?α dα h β ξ t+τ?β dβ∫ i 1 ∫ i10 0∞∞h α h β E [ξ t ?α ξ t+τ?β ]dαdβ∫∫ i 1 i 10 0根据平稳性E [ξ t ?α ξ t +τ?β ] R τ+α?βi 1 i 1 i于是∞∞R t ,t +τ h α h β R τ+α?β dαdβR τ（2.4-7）0 1 1 ∫∫i 00 0可见, ξ t 的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t 无关。
随机过程通过线性系统
现代通信原理
随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论 中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络） 后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线 性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应 vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
E［ξo(t)］= e[h( ) ξi(t-τ)dτ ]
＝
h(
0
)E[1[i
(t
)]d
a
h( )d
0
式中利用了平稳性假设E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常数)。 又因为
H(W)=
h(t)e
jwtd
t
0
求得
H(0)= h(t)dt
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1 无关。
若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平 稳的。
3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
p0(w)
R0
(
)e
jw
d
0
[h(a)h(
0
)Ri (
)dad ]e jwrd
噪声平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt 0
w wH
其他
解 由上式得|H(ω)|2=
K02
，|ω|≤ωH。输出功率谱密度为
随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论 中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络） 后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线 性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应 vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
E［ξo(t)］= e[h( ) ξi(t-τ)dτ ]
＝
h(
0
)E[1[i
(t
)]d
a
h( )d
0
式中利用了平稳性假设E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常数)。 又因为
H(W)=
h(t)e
jwtd
t
0
求得
H(0)= h(t)dt
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1 无关。
若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平 稳的。
3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
p0(w)
R0
(
)e
jw
d
0
[h(a)h(
0
)Ri (
)dad ]e jwrd
噪声平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt 0
w wH
其他
解 由上式得|H(ω)|2=
K02
，|ω|≤ωH。输出功率谱密度为
第三章 随机信号通过线性系统分析讲解
第三章 随机信号通过线性系统的分析本章主要内容：● 线性系统的基本理论● 随机信号通过连续时间系统的分析 ● 随机信号通过离散时间系统的分析 ● 色噪声的产生与白化滤波器 ● 等效噪声带宽 ● 解析过程● 窄带随机过程基本概念● 窄带高斯过程包络与相位的概率密度 ● 窄带高斯过程包络平方的概率密度3.1随机信号通过连续时间系统的分析在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性。
分析方法：卷积积分法；频域法。
3.1.1、时域分析法1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 输入为随机信号)(t X 某个实验结果ζ的一个样本函数),(ζt x ，则输出),(ζt y 为：对于所有的ζ，输出为一族样本函数构成随机过程Y(t)：2. 输出的均值：)(*)()(t h t m t m X Y =证明：3．系统输入与输出之间的互相关函数)(*),(),(22121t h t t R t t R X XY = )(*),(),(12121t h t t R t t R X YX =证明：4、系统输出的自相关函数已知输入随机信号的自相关函数，求系统输出端的自相关函数。
显然，有：5、系统输出的高阶距输出n阶矩的一般表达式为注意：上面的分析方法是零状态响应的一般分析方法。
它既适用于输入是平稳随机信号的情况，也适用于输入是非平稳的情况。
3.1.2、系统输出的平稳性及其统计特性的计算1、双侧随机信号在这种情况下，系统输出响应在t＝0时已处于稳态。
（1）若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。
那么由于假定连续系统是稳定的，所以由于输出的均值是常数，而输出的相关函数只是 的函数，且输出均方值有界。
所以，输出随机过程为宽平稳的。
可总结如下：输出均值：输入与输出间的互相关函数为输出的自相关函数为输出的均方值即输出总平均功率为若用卷积的形式，则可分别写为（2）若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。
通信原理2-8 随机信号通过线性系统
本章小结
1、明确通信是一个随机过程； 2、随机过程的描述，数字特征； 平稳随 机过程 自相关函数、功率谱密度；相互关系 3、高斯过程、瑞利分布、Rice分布； 4、窄带随机过程、正弦信号＋～； 5、 2 P0 ω ＝H ω Pi ω （） （）（） ξ ξ
输出是平稳随机过程！
0 3、输出 ξ（t）的功率谱密度 Pξ (ω )
0
P0 (ω) = ∫ R(τ )e− jωt dt ξ
−∞ ∞
∞
= ∫ dτ ∫ dα∫ [（α）h β）（τ +α − β）e− jωτ ]dβ h （ Ri
−∞ 0 0
∞
∞
令
τ ′＝τ＋α＋β
∞ jωα 0
得
∞ − jωβ
0 ∞
a
因果关系示意图 t
绝对 未来
c
绝对 远离
o
绝对 过去
绝对 远离
x
d
b
统计特性分析
ξ（t） ∫ （τ）ξi t − τ）dτ = h （ 0
0 ∞
讨论输出的统计特 性。
输入是平稳随机过程
1、输出随机信号的期望
根据定义，有
E[ξ（t）= E[ ∫ （τ）ξi t − τ）dτ ] = ∫ （τ）E[ξi t − τ） τ ] h （ h （ ]d 0
2－8
随机信号通过线性系统
目的：学习随机信号通过线性系统的 响应特性，数字特征。
前面对随机过程本身的一些特性做了 必要的讨论。 现在我们来讨论随机过程通过线性系 统的情况。随机过程通过线性系统的分 析， 完全是建立在信号通过线性系统的分析原 理的基础之上。
线性系统
（t 等于输入信号 vi (t ) 与冲激响 线性系统响应 v0 ） 应 h(t) 的卷积，即
随机信号通过线性系统
• 3. 系统的稳定性与因果性 • 实际应用中的系统,其本身必定是稳定和可实现的,它们应该具有下面
两个共同特点。
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4.1 线性系统的基本性质
• 1)系统稳定性 • 如果一个线性时不变系统对任意有界输入的响应必然也是有界的,那
么,此系统是稳定的,由式有
• 若输入信号有界,则必存在某正常数M,
• 证明:
• 上式表明,线性系统输出的功率谱密度等于输入功率谱密度乘以系统 的功率传输函数。通过傅里叶反变换可得到线性系统输出的自相关函 数
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4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 于是系统输出的均方值或平均功率可表示为 • 将输出信号互相关函数的卷积公式两边取傅里叶变换,有
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• 如果X (t)为平稳随机过程,则 • 其中H (0)为系统的传递函数在ω=0时的值。 • 2)系统输出的互相关函数
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4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 线性系统的输出必定以某种方式依赖于输入,即输入与输出必定是相 关的,其相关性由输入与输出之间互相关函数描述。线性系统输入输 出之间的互相关函数为
• 线性系统既可以用冲激响应描述,也可以用系统传递函数描述,因此,随 机过程通过线性系统的常用分析方法也有两种:冲激响应法(时域分析 法)和频域分析法。
• 4.2.1 时域分析法
• 1. 系统的输出 • 假定随机信号X (t)输入某个(确知的)线性时不变系统h(t),由前面章节
可知X (t)是不确定的,它可以视为很多样本函数的集合,即x(t,ξi),其中ξi 表示它的某种可能结果,i=1,2,3,…,而每一个样本函数都是确知的,当 它输入系统h(t)时,可得出相应响应信号为
两个共同特点。
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4.1 线性系统的基本性质
• 1)系统稳定性 • 如果一个线性时不变系统对任意有界输入的响应必然也是有界的,那
么,此系统是稳定的,由式有
• 若输入信号有界,则必存在某正常数M,
• 证明:
• 上式表明,线性系统输出的功率谱密度等于输入功率谱密度乘以系统 的功率传输函数。通过傅里叶反变换可得到线性系统输出的自相关函 数
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4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 于是系统输出的均方值或平均功率可表示为 • 将输出信号互相关函数的卷积公式两边取傅里叶变换,有
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• 如果X (t)为平稳随机过程,则 • 其中H (0)为系统的传递函数在ω=0时的值。 • 2)系统输出的互相关函数
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4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 线性系统的输出必定以某种方式依赖于输入,即输入与输出必定是相 关的,其相关性由输入与输出之间互相关函数描述。线性系统输入输 出之间的互相关函数为
• 线性系统既可以用冲激响应描述,也可以用系统传递函数描述,因此,随 机过程通过线性系统的常用分析方法也有两种:冲激响应法(时域分析 法)和频域分析法。
• 4.2.1 时域分析法
• 1. 系统的输出 • 假定随机信号X (t)输入某个(确知的)线性时不变系统h(t),由前面章节
可知X (t)是不确定的,它可以视为很多样本函数的集合,即x(t,ξi),其中ξi 表示它的某种可能结果,i=1,2,3,…,而每一个样本函数都是确知的,当 它输入系统h(t)时,可得出相应响应信号为
随机信号通过线性系统的分析.
（6-83）
由于输入的是随机信号，输出一般也是随机信号。
1.输出的均值
输出序列的均值 my (n) 通过（6-83）式计算，即
my (n) EY (n) h(k)EX (n k) h(k)mx (n k)
k
k
（6-84）
若 X (n) 为平稳随机序列，则 mx (n) mx (n k) mx 为
（一）时域分析
设已知线性时不变离散系统的单位脉冲响应为
在 n 范围内输入随机序列 h(n) ,又设
Y (n) 是 X (n) 通过该系统的输出序列，则X输(n出) 随机 序列为 h(n) 与 X (n) 的卷积和，即
Y (n) h(n) X (n) h(k)X (n k) k
的，则系统输出也是广义平稳的。
3.输入与输出之间的互相关函数
根据互相关函数的定义，有
Rxy (t, t ) EX (t)Y (t )
E
X
(t)
h( 1 ) X (t
1
)d
1
h(
1
)EX
(t)
X
(t
1 )d 1
（6-86）
若X (n)为平稳随机序列，则有
Ryy (m)
h(k)h(i)Rxx (m k i)
k i
Rxx (m) h(m) h(m)
（6-87）
上式说明，输出随机信号Y(n) 的自相关函数只 与时间差m有关。实际上，对于线性时不变系 统而言，如果输入随机信号是平稳的，输出随 机信号也是平稳的，故其概率特性是时不变的， 自相关函数只与时间差有关。
东南大学无线电工程系(精)
2018/9/15
东南大学无线电工程系
5
二阶矩空间上的距离
通过内积得到距离的定义 均方收敛 性质4.1的证明
2018/9/15
东南大学无线电工程系
6
2018/9/15
东南大学无线电工程系
7
通过序列收敛的定义得到无穷和的定义
2018/9/15
东南大学无线电工程系
8
随机序列通过离散时间线性系统的表示
2018/9/15Βιβλιοθήκη 东南大学无线电工程系2
二阶矩空间
集合 线性空间（代数结构） 内积空间 距离空间（拓扑空间）
集合
距离空间
线性空间
• 在距离空间中可以定义序列的收敛
内积空间
2018/9/15
东南大学无线电工程系
3
内积空间的三条公理
2018/9/15
东南大学无线电工程系
4
距离空间的三条公理
东南大学无线电工程系
14
2018/9/15
东南大学无线电工程系
15
2018/9/15
东南大学无线电工程系
16
连续时间线性系统
2018/9/15
东南大学无线电工程系
17
差分方差
2018/9/15
东南大学无线电工程系
18
2018/9/15
东南大学无线电工程系
19
2018/9/15
东南大学无线电工程系
20
作业
4.1 4.3 4.6 4.9
2018/9/15
东南大学无线电工程系
21
《随机过程》 第8讲 “随机过程通过线性系统的表 示”终。
随机过程通过线性系统
注意：卷积关系不再成立。
平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：
X(t )
h(t )
Y(t )
X(t)：平稳随机过程 h(t)：线性时不变系统的冲击响应
E[Y (t )] m X H (0)
RY ( ) RX ( ) h( ) h( ) RXY ( ) h( ) RYX ( ) h( )
h( )[
h(
)RX
(
)d
]d
h( )[h( ) RX ( )]d
h( ) h( ) RX ( )
输出过程 RY(τ) 只与时间差 τ 有关，而与时 间 起点 t 无关。
E[Y (t )] m X H (0)
(1 )
1
0
RY
(
)
N0 2
e1 e (1 )d1
0
1 0;1 0有物理意义 对 0时
RY ( )
N0 2
e
e21 d1
0
N0 e
4
对 0时
RY ( )
N0 2
e
输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。
2．系统输出Y(t) 的自相关函数:
RY (t, t ) E[Y (t)Y (t )]
h( )h( )E[ X (t )X (t )]dd
h( )h( )RX ( )dd
常数
RY ( ) RX ( ) h( ) h( ) 的函数
平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：
X(t )
h(t )
Y(t )
X(t)：平稳随机过程 h(t)：线性时不变系统的冲击响应
E[Y (t )] m X H (0)
RY ( ) RX ( ) h( ) h( ) RXY ( ) h( ) RYX ( ) h( )
h( )[
h(
)RX
(
)d
]d
h( )[h( ) RX ( )]d
h( ) h( ) RX ( )
输出过程 RY(τ) 只与时间差 τ 有关，而与时 间 起点 t 无关。
E[Y (t )] m X H (0)
(1 )
1
0
RY
(
)
N0 2
e1 e (1 )d1
0
1 0;1 0有物理意义 对 0时
RY ( )
N0 2
e
e21 d1
0
N0 e
4
对 0时
RY ( )
N0 2
e
输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。
2．系统输出Y(t) 的自相关函数:
RY (t, t ) E[Y (t)Y (t )]
h( )h( )E[ X (t )X (t )]dd
h( )h( )RX ( )dd
常数
RY ( ) RX ( ) h( ) h( ) 的函数
第4章平稳随机信号通过线性系统
30
3.3.1 时域分析法 3、输出序列的自相关函数
31
3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 3.3.2 频域分析法
• 1、输出序列的功率谱密度 • 2、输出序列的自相关函数 • 3、输出序列的平均功率
32
3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 3.3.2 频域分析法
•1、输出序列的功率谱密度
L[ax1(t)+bx2(t)] = aL[x1(t)] + bL[x2(t)]
6
3.1 线性系统的基本理论
什么是线性系统？
x(t)
y(t) = x(t)*h(t)
h(t)
连续时不变线性系统
y ( t ) x ( t ) h () d x () h ( t ) d x ( t ) h ( t )
第四章 随机信号通过线性系统
主要内容
3.1 线性系统基本理论 3.2 随机信号通过连续时间系统 3.3 随机序列通过离散时间系统
2
3.1 线性系统的基本理论
系统可分为： （1）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器
对于线性系统： 已知系统特性和输入信号的统计特性， 可以求出输出信号的统计特性
3 9
的白化滤波器.
解:
SX
2 2
3 9
SX
s
s2 s2
3
9
3s 3s
3s3s
SX
s
s 3 s 3
HsSX 1sss33
43
白噪声通过线性系统分析 设连续线性系统的传递函数为 H() 或 H (s) ， 其输入白噪声功率谱密度为 S X ( ) ＝ N 0 ，
3.3.1 时域分析法 3、输出序列的自相关函数
31
3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 3.3.2 频域分析法
• 1、输出序列的功率谱密度 • 2、输出序列的自相关函数 • 3、输出序列的平均功率
32
3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 3.3.2 频域分析法
•1、输出序列的功率谱密度
L[ax1(t)+bx2(t)] = aL[x1(t)] + bL[x2(t)]
6
3.1 线性系统的基本理论
什么是线性系统？
x(t)
y(t) = x(t)*h(t)
h(t)
连续时不变线性系统
y ( t ) x ( t ) h () d x () h ( t ) d x ( t ) h ( t )
第四章 随机信号通过线性系统
主要内容
3.1 线性系统基本理论 3.2 随机信号通过连续时间系统 3.3 随机序列通过离散时间系统
2
3.1 线性系统的基本理论
系统可分为： （1）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器
对于线性系统： 已知系统特性和输入信号的统计特性， 可以求出输出信号的统计特性
3 9
的白化滤波器.
解:
SX
2 2
3 9
SX
s
s2 s2
3
9
3s 3s
3s3s
SX
s
s 3 s 3
HsSX 1sss33
43
白噪声通过线性系统分析 设连续线性系统的传递函数为 H() 或 H (s) ， 其输入白噪声功率谱密度为 S X ( ) ＝ N 0 ，
第三章随机过程通过系统分析
1
3.1 随机过程通过线性系统分析 线性变换
L[ A1 X 1 (t ) + A2 X 2 (t )] = A1 L[ X 1 (t )] + A2 L[ X 2 (t )]
其中A1,A2为随机变量，X1(t),X2(t)为随机过程。 对于线性变换 Y (t ) = L[ X (t )] 若有 Y (t + ε ) = L[ X (t + ε )] 则称线性变换L是线性时不变的。
N0 / 2 GX (ω ) = 0
ω < ωc
其它
RX (τ )
N 0ωc sin ωcτ RX (τ ) = ⋅ 2π ωcτ
N 0ω c R X (0) = 2π
−
π ωc
0
π ωc
τ
理想低通随机过程的自相关函数
13
3.1 随机过程通过线性系统分析 带通过程
N0 / 2 GX (ω ) = 0
mY (t ) = L[mX (t )] = h(t ) ⊗ mX (t ) = ∫ h(τ)mX (t − τ)d τ
−∞
5
∞
3.1 随机过程通过线性系统分析 若X(t)平稳 X(t)平稳
mY = ∫ m X h(τ )dτ = m X ∫ h(τ )dτ = m X H (0)
−∞ −∞
+∞
+∞
0 ∞
F (ω) Y
∆ωe
F (ω0 ) Y
0
ω0 图3.12 噪声等效通能带示意图
ω
16
3.1 随机过程通过线性系统分析 对带通系统
∆f e
∫ =
∞
0
FY (ω)d ω
2πFY (ω0 )
3.1 随机过程通过线性系统分析 线性变换
L[ A1 X 1 (t ) + A2 X 2 (t )] = A1 L[ X 1 (t )] + A2 L[ X 2 (t )]
其中A1,A2为随机变量，X1(t),X2(t)为随机过程。 对于线性变换 Y (t ) = L[ X (t )] 若有 Y (t + ε ) = L[ X (t + ε )] 则称线性变换L是线性时不变的。
N0 / 2 GX (ω ) = 0
ω < ωc
其它
RX (τ )
N 0ωc sin ωcτ RX (τ ) = ⋅ 2π ωcτ
N 0ω c R X (0) = 2π
−
π ωc
0
π ωc
τ
理想低通随机过程的自相关函数
13
3.1 随机过程通过线性系统分析 带通过程
N0 / 2 GX (ω ) = 0
mY (t ) = L[mX (t )] = h(t ) ⊗ mX (t ) = ∫ h(τ)mX (t − τ)d τ
−∞
5
∞
3.1 随机过程通过线性系统分析 若X(t)平稳 X(t)平稳
mY = ∫ m X h(τ )dτ = m X ∫ h(τ )dτ = m X H (0)
−∞ −∞
+∞
+∞
0 ∞
F (ω) Y
∆ωe
F (ω0 ) Y
0
ω0 图3.12 噪声等效通能带示意图
ω
16
3.1 随机过程通过线性系统分析 对带通系统
∆f e
∫ =
∞
0
FY (ω)d ω
2πFY (ω0 )
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8
二阶矩空间上的距离
通过内积得到距离的定义 均方收敛 设 X nn1 为 H 中的随机变量序列，若存在随机 变量 X H ，使得
n
lim ( X n , X ) lim E X n X
n
2
0
称 X n 均方收敛于 X
ms
，记作
X n X , ms lim X n X
集合
距离空间
线性空间
• 在距离空间中可以定义序列的收敛
内积空间
2013-12-3
3
•距离空间
H 为所有二阶矩存在的随机变量
2
H X为随机变量| E X
在 H 中定义距离
( X ,Y ) E X Y
则 H 为距离空间
2013-12-3
2
4
•内积空间
在 H 中定义内积
X ,Y EXY
则 H 为内积空间 若随机变量为复数，
X ,Y E XY
5
Байду номын сангаас
2013-12-3
•赋范线性空间
在 H 中定义范数
X E X
2
则 H 为赋范线性空间
2013-12-3
6
内积空间的三条公理
2013-12-3
7
距离空间的三条公理
2013-12-3
均方连续的概念
2013-12-3
14
均方连续准则
2013-12-3
15
2013-12-3
16
2013-12-3
17
2013-12-3
18
2013-12-3
19
2013-12-3
20
连续时间线性系统
2013-12-3
21
n
2013-12-3 9
采用Schwartz不等式证明
2013-12-3 10
Schwartz不等式
2013-12-3
11
通过序列收敛的定义得到均方无穷和的定义
2013-12-3
12
随机序列通过离散时间线性系统的表示
有界、稳定、因果、时不变等概念和确定性系统一样
2013-12-3 13
《随机过程》教程
第8讲 随机过程通过线性系统的表示
2013-12-3
1
内容提要
随机变量的无穷和 随机序列通过离散时间线性系统的表示 连续时间随机过程的微积分 随机过程通过连续时间线性系统的表示
2013-12-3
2
二阶矩空间
集合 线性空间（代数结构） 内积空间 距离空间（拓扑空间）