高二数学下学期期中考试1
山西省太原市2021-2022学年高二数学下学期期中试题(解析版)
山西省太原市2021-2022学年高二数学下学期期中试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1. 在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）A. 散点图和残差图B. 残差图和列联表C. 散点图和等高堆积条形图D. 等高堆积条形图和列联表【答案】D【解析】【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断【详解】散点图是研究两个变量间的关系，列联表是研究两个分类变量的，残差图是体现预报变量与实际值间的差距，等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，故选：D2. 若，则（ ）A. 2B. 4C. 2或4D. 以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】根据组合数的性质求解．【详解】因为，所以或，即或．故选：C．3. 从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（ ）A. 10B. 20C. 25D. 32【答案】B【解析】【分析】用分步计数原理计算．【详解】从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，第一步选一件礼物给甲，有5种不同方法，第二步选一件礼物给乙，有4种不同方法，总方法为．故选：B．4. 下列关于独立性检验的说法正确的是（ ）A. 用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误B. 用独立性检验推断的结论可靠，但会犯随机性错误C. 独立性检验的方法适用普查数据D. 对于不同的小概率值，用独立性检验推断的结论相同【答案】B【解析】【分析】根据独立性检验的思想判断．【详解】A．独立性检验取决于样本，来确定是否有把握认为“两个分类变量有关系，样本不同，所得结果会有差异，不会犯错误的说法太绝对，A错；B．用独立性检验推断的每个结论都会犯随机性错误，B正确C．根据普查数据，我们可以通过相关的比率给出准确回答，不需要用独立性检验，依据小概率值推断两个分类变量的关联性，所以独立性检验的方法不适用普查数据，C错；D．对于不同的小概率值，结论可能不相同，有时有把握，有时无把握，把握率不同，D错误．故选：B．5. 以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可；【详解】解：根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以，，，，又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高，图③④的散点图比较分散，故图③④两变量的线性相关程度比较低，即与比较大，与比较小，所以；故选：A6. 现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为（ ）A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】A【解析】【分析】五张人民币可以组成的不同币值的种数分一张，两张，三张，四张，五张共五种情况，将五种情况的种数加和即可.【详解】根据题意，五张人民币可以组成的不同币值的种数为：,故选：A.7. 以下说法错误的是（ ）A. 用样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强B. 经验回归方程一定经过点C. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好D. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好【答案】D【解析】【分析】根据回归分析的相关依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度，当越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；对于B选项，经验回归方程一定经过样本中心点，故B正确；对于C选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；对于D选项，相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故错误.故选：D8. 已知随机变量X的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据期望与方差的性质计算可得；【详解】解：因为随机变量X的期望，方差，又，所以，；故选：C9. 除以8的余数为（ ）A. B. 1 C. 6 D. 7【答案】D【解析】【分析】利用二项式定理求解，即，展开后观察各项值可得．【详解】，展开式中除最后一项外其他项都是8的整数倍，又，所以所求余数为7．故选：D．10. 某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩，规定成绩大于或等于85分为A等级，已知该年级有考生500名，则这次考试成绩为A等级的考生数约为（ ）（附：，，）A. 11B. 79C. 91D. 159【答案】B【解析】【分析】由正态分布求得等级学生的概率，从而可得样本容量．【详解】由题意，，人数为．故选：B．11. 有编号为1，2，3，4，5的5支竹签，从中任取3支，设X表示这3支竹签的最小编号，则（ ）A. 4.5B. 2.5C. 1.5D. 0.45【答案】D【解析】【分析】由题意可能取得数值为：1，2，3，求出所对应的概率，再根据期望与方差公式计算可得；【详解】解：由题意可能取得数值为：1，2，3，所以，，所以．所以故选：D．12. 某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（ ）A. 18B. 48C. 50D. 54【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用分类加法计数原理求解即可.【详解】根据题意，当体育课排在第四节时，有种排法；当体育课不排在第四节，且数学课排在第一节或第二节时，有种；当体育课不排在第四节，且数学课不排在第一节或第二节时，有种；所以不同的排法共有：种，故选：C.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13. 已知随机变量，则______．【答案】3【解析】【分析】若X~B(n，p)，则E(X)＝np．【详解】∵，∴E(X)＝10×0.3＝3．故答案为：3．14. 已知女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加______．【答案】0.81 cm【解析】【分析】根据线性回归方程的意义作答．【详解】由回归方程知，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加0.81 cm．故答案为：0.81 cm．15. 长期吸烟可能引发肺癌．据调查，某地市民大约有0.03%的人患肺癌，该地大约有0.1%的市民吸烟时间超过20年，这些人患肺癌率约为10%．现从吸烟时间不超过20年的市民中随机抽取1名市民，则他患肺癌的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式计算．【详解】事件为患肺癌，，事件为吸烟时间不超过20年，，则，，所以，，．故答案为：．16. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为______．【答案】【解析】【分析】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用条件概率的概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，再将代入计算可得；【详解】解：设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，所以，即，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，当时；故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （1）求的展开式的常数项；（2）求的展开式中的x的系数．【答案】（1）60；（2）－15.【解析】【分析】（1）求二项式的通项，令通项x的次数为零即可求解；（2）的展开式中的x的系数为.【详解】（1）的展开式的通项公式为，令，解得，则的展开式的常数项为；（2）的展开式的通项公式为则的展开式中的的系数为18.已知甲袋中装有4个白球，6个黑球，乙袋中装有4个白球，5个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．（1）在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率；（2）求从乙袋取出白球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在从甲袋取出白球的条件下，乙袋中变成有5个白球，5个黑球，由此易求概率；（2）把从乙袋取出白球这个事件分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球；从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，由概率公式可得．【小问1详解】在从甲袋取出白球的条件下, 乙袋中变成有5个白球，5个黑球，从乙袋取出白球的概率为；【小问2详解】从乙袋取出白球可分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球，和从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，所求概率为．19. 为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验．采用有放回简单随机抽样的方法得到如下数据：抽到服用新药的患者55名，其中45名治愈，10名未治愈；抽到服用安慰剂（没有任何疗效）的患者45名，其中25名治愈，20名未治愈．（1）根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的列联表；疗法疗效合计未治愈服用新药服用安慰剂合计（2）依据的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论．附：；0.100.010.0012.706 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）可以认为新药对治疗该种疾病有效【解析】【分析】（1）依题意完成列联表；（2）根据（1）中的列联表计算出，由独立性检验的思想判断即可；【小问1详解】解：由题意可得新药和该种疾病的样本数据的列联表如下：疗法疗效合计未治愈服用新药451055服用安慰剂252045合计7030100【小问2详解】解：零假设：假设新药对治疗该种疾病无效，根据列联表中的数据，可得，根据小概率值的独立性检验，推断出不成立，即认为新药对该种疾病治疗，此推断犯错误的概率不超过，服用新药中治愈和未治愈的频率分别为和，服用安慰剂治愈和未治愈的频率分别为和，根据频率稳定于概率的原理，可认为服用新药治愈该疾病的概率大；说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．20. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有4个红球则中奖．（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？【答案】（1）（2）选择方案一【解析】【分析】（1）有放回地摸球，求出每次摸到红球概率为，然后由独立重复试验的概率公式计算概率；（2）由概率公式求得方案二的概率，比较可得．【小问1详解】有放回地摸球，每次摸到红球的概率都是，摸5次球，至少有4次是红球，含有恰好4次红球与5次都是红球，概率为；【小问2详解】无放回地一次摸出5个球，则得奖概率为,显然，所以选择方案一中奖概率大．21. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有3个红球则中奖．（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？【答案】（1）（2）方案二【解析】【分析】（1）由题意可知，一次摸出红球的概率为：，则连续摸5次中奖的情况包括3次红球，4次红球和5次红球，把三种情况的概率加和即可；（2）求出方案二中奖的概率和方案一比较即可作出选择.【小问1详解】根据题意，每一次摸出红球的概率为：，所以连续摸5次中奖的概率为：；【小问2详解】若无放回地一次摸出5个球，则中奖的概率为：,因为，所以小明应该选择方案二.说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．22. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.51 1.53 5.5（1）求年销售量y关于年投资额x的线性经验回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x 的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：x1234500.4 1.1 1.7（3）根据，及表3数据，请用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果哪个更好？表3：n2345.518.9的近似值 3.2 5.810参考公式：，．【答案】（1）（2）（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．【解析】【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算残差平方和比较可得．【小问1详解】由题意，，＝1.2，，所以线性回归方程为；【小问2详解】，则，记，即，，，，，所以．即；【小问3详解】按（1）可得：x12345 y0.51 1.53 5.5.10.9 2.3 3.5 4.7－0按（2）可得：x12345.53 5.5y0.5110.540.96 1.74 3.15 5.67，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．23. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.51 1.53 5.5（1）求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x 的非线性回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：x12345.4 1.1 1.7（3）根据，及表3数据，请用决定系数比较（1）和（2）中回归方程的拟合效果哪个更好？表3：n2345的近似值 3.2 5.810.518.9参考公式：，，．【答案】（1）（2）（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．【解析】【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算比较可得．【小问1详解】由题意，，＝1.2，，所以线性回归方程为；【小问2详解】，则，记，即，，，，，所以．即；【小问3详解】按（1）可得：x12345y0.51 1.53 5.5－0.1 1.1 2.3 3.5 4.7按（2）可得：x12345y0.51 1.53 5.50.540.96 1.74 3.15 5.67，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．。
北京市第一六六中学高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
【答案】D
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】D
二､填空题（本大题共5小题，每小题5分）
【11题答案】
【答案】-5
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】0（答案不唯一， 即可）
【14题答案】
【答案】36
【15题答案】
【答案】②③④
三､解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
【16题答案】
【答案】（1）平均分为69；
（2）分布列略，数学期望为 .
【17题答案】
【答案】（1）
（2）答案略（3）证明略
【18题答案】
【答案】（1）
（2）分布列略，期望
（3）青年人
老年人
中年人
青年人
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
满意
100
10
不满意
50
30
30
50
50
80
（1）从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；
（2）从该地区青年人中随机选取3人，以频率估计概率，记这3人中对酸奶满意的人数为 ，求 的分布列与期望；
（3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果）
6.已知直线 与圆 相交于 两点，且 （其中 为原点），那么 的值是
A. B. C. D.
天津市滨海新区塘沽第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题
塘沽一中2021-2022学年度第二学期高二年级期中考试数学学科试题第I 卷（60分）一．选择题（共12题，每小题5分）1．已知集合A ={x |-1<x ≤2}，B ={-2，-1，0，2，4}，则(C R A ) B =()A ．∅B ．{-1，2}C ．{-2，4}D ．{-2，-1，4}2．设x ∈R ，则“x 2<4”是“x2>1”的()A ．充分不必要条件C ．充要条件B ．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件6的展开式中的常数项为3．二项式(x -()A ．9B ．12D ．18C ．154．若a >b >0，则下列不等式一定成立的是()A ．b a a B b>．11b b a a +>C ．a -b 1>b -a1D +>5．已知函数y =f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf '(x )<0的解集为()A ．(-∞,0) (31,2)C ．(-∞,31) (2,+∞)B ．(-∞,31 (31,2)D ．(-1，0) (1，3)6．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A 、人工餐厅B ，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.7；如果第一天去B 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A 餐厅用餐的概率为(A ．0.75)C ．0.5B ．0.76D ．0.387．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：()天数x （天)3456繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为yˆ=0.7x +a ˆ，则当x =7时，繁殖个数y 的预测值为()A ．4.9B ．5.25C ．5.95D ．6.15π2,0]上的极小值是8．函数f (x )=-x -2cos x 在区间[-()A ．0B ．6πC ．56πD ．π9．《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映（白天最后一场和晚上第一场视为不连续），也不能都在白天放映，则放映这两部电影不同的安排方式共有()A ．30种B ．54种C ．60种D ．64种10．下列说法正确的个数是()①两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1；②随机变量X 服从二项分布B (6,21)，则P (X =1)=136；③命题“∀x ≥1，x 2+3≥4”的否定是“∃x <1，x 2+3<4”；④在一个2⨯2列联表中，由计算得，依据α=0.010的独立性检验认为这两个变量间有关系；本题可参考独立性检验临界值表：α0.0500.0250.0100.0013.84x α15.0246.63510.828A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．关于x 的不等式x 2-(a +1)x +a <0的解集中恰有三个整数解，则a 的取值范围是()B ．(-3，-2)⋃(4，5)D ．[-3，-2)⋃(4，5A ．(4,5)C ．(4，5]]12．已知函数g (x )=lnx +43x -41x -1，f (x )=x 2-2tx +4，若对任意的x 1∈(0,2)存在x 2∈[1，2]，使f (x 2)，则实数t 的取值范围是g (x 1) ()A ．[2,17]B ．[187，+∞8)C ．[141，+∞)D ．[23，+∞2)第II 卷（共90分）二．填空题（共8题，每题5分）13．随机变量ξ~N (110,σ2)，若P (100≤ξ≤110)=0.35，则P (ξ≥120)=．14．位移s （单位：m )与时间t （单位：s )之间满足函数关系式s =5t 2，则当t =3s 时的瞬时速度为m /s ．15．已知袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是．16．已知函数f (x )=x 3+ax 2-ax 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是．17．在(ax -x1)n 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则n =；并且所有项的系数之和为0，则含x 6的项的系数为（用数字作答）．18．某校有甲、乙、丙、丁四名学生参加北大、清华、浙大3所大学自主招生考试，每人限报一所学校，种不同的报考方法；若甲不报考北大，则共有每所大学至少有1人报考，则共有方法.（用数字作答种不同的报考）19．已知a >0，b >0，且a +b =1，则：①当且仅当a =2时，1a b+取得最小值；②(b +b1)的1a 最小值是．,0x ln 1)e x ,x x x ⎧20.已知函数f (x )=⎨⎪+(≤>⎪，若函数g (x )=f (x )-a 的零点有两个或三个，则实数a 的取值范⎩x围为．三．解答题（共4小题）21．（12分）已知箱中装有2个白球,1个红球和3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，（1）求取出的三个球的颜色互不相同的概率；（2）记随机变量X 为取出3球中白球的个数，求X 的分布列及期望．22．（12分）已知函数f (x )=e x (x 2+a )(a ∈R )．（1）当a =-8时，求函数f (x )的单调区间和极值；（12）若对于∀x ∈,2⎤⎡⎢⎦⎥，都有不等⎣2式(x x f )-2ln x ≥0恒成立，求实数a 的取值范围e ．23．（13分）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在2这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率，那么在本次运动会上3：；（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X ，求X 的分布列及期望．2-klnx )+n [e x +1(41e x +1-ax +a -1)]，其中e =2.718⋯是自然对数的底数，f '(x )24．已知函数f (x )=m (x 2是函数f (x )的导数．（Ⅰ）若m =1，n =0，（ⅰ）当k =1时，求曲线f (x )在x =1处的切线方程．（ⅱ）当k >0时，判断函数f (x )在区间(1上零点的个数．7（Ⅱ）若m =0，n =1，当a 8=时，求证：若x 1≠x 2，且x 1+x 2=-2，则f (x 1)+f (x 2)>2．塘沽一中2021-2022学年度第二学期高二年级期中考试数学学科试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）答案DBCDAABBBADB二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）答案0.153012[]3,0-10；4536；121[e -，1]e三．解答题（共4小题，共50分）21．解答：（1）设取出的三个球的颜色互不相同的事件为M ．1112133663()2010C C C P M C ∴===（1）由题意得X 取0，1，2，且03243641(0)205C C P X C ===，122436123(1)=205C C P X C ⋅===，21243641(2)=205C C P X C ⋅===．所以X 的分布列为X 012P1535151310121555EX ∴=⨯+⨯+⨯=22．解答：（1）当8a =-时，2()(8)x f x e x =-，x R∈∴2()(8)2(4)(2)x x x f x e x xe e x x '=-+=+-，令()0f x '=得，124,2x x =-=,(),()x f x f x '∴的变化如下表：x (,4)-∞--4(4,2)-2(2,)+∞()f x '+0-0+()f x 增函数极大值减函数极小值增函数()f x ∴的增区间为：(,4)-∞-，(2,)+∞；减区间为：(4,2)-42()(4)8,()(2)4f x f e f x f e -∴=-===-极大值极小值（2）()2ln 0xf x x e -≥22ln 0x a x ∴+-≥令2()2ln ,(0,)h x x a x x =+-∈+∞22222(1)(1)()2x x x h x x x x x -+-'∴=-==()01h x x '=⇒=所以(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．min ()(1)10h x h a ∴==+≥恒成立所以1a ≥-．23解答：（1）设该运动员打破世界纪录的项目数为随机变量ξ，该运动员至少能打破2项世界纪录为事件A ，每个项目能打破世界纪录的概率都是23，且相互独立，则ξ服从二项分布，则P （A ）223321220(2)(3)()()(33327P P C ξξ==+==+=．（2）该运动员能打破世界纪录的项目数为X ，X 的所有可能取值为0，1，2，3，2~(3,3X B ，3321()()(33k k k P X k C -==，0k =，1，2，3，故X 的分布列为：X 0123P1272949827故2()323E X =⨯=．24．（Ⅰ）解答：（ⅰ）当1m =，0n =，1k =时，2()2x f x lnx =-，则f （1）12=，1()f x x x'=-，所以f '（1）0=，故切点坐标为1(1,)2，切线的斜率为0，故切线方程为12y =；()ii 由2()(0)2x f x klnx k =->可得，2()k x kf x x x x-'=-=，令()0f x '=，解得x k =当0x k <<时，()0f x '<，则()f x 单调递减，当x k >时，()0f x '>，则()f x 单调递增，所以当x k =()f x 取得极小值即最小值(1)(2k lnk f k -=，①当0k e <<时，()f x 无零点；②当k e =时，()f x 在区间(1，e 上单调递减，且(0f e =，所以x e =()f x 在(0e 上的唯一零点；③当k e >时，()f x 在区间)e 上单调递减，且又f （1）102=>，()02e kf e -=<，所以()f x 在区间(1e 上仅有一个零点．综上所述，当0k e <<时，()f x 在区间(1]e 上无零点；当k e时，()f x 在区间(1]e 上仅有一个零点；（Ⅱ）证明：当0m =，1n =，当78a =时，1111171173()()[(1)]488484x x x x f x e e x e e x ++++=--=-++，令1x t +=，120t t +=，不妨设110t x =+>，173()()484t t h t e e t =-+，令171171()((288288t t t t H t e e t e e --=---+-171()()()()288t t t t t t t t e e e e t e e e e ----=+--+--711()[()]()[()2]08216t t t t t t t t e e e e t e e e e ----=+--+-+- ，其中11[()]()1022t t t t e e t e e ----'=+- ，因为(0)2H =，所以当0t >时，()2H t >，故若12x x ≠，且122x x +=-，则12()()2f x f x +>．。
2021-2022学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2021-2022学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3712a a +=，89a =，则12S =（ ） A ．60 B ．90 C ．120 D ．180【答案】B【分析】结合等差数列的性质求得5815a a +=，再根据等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为3712a a +=，由等差数列的性质得35762a a a +==，则5815a a +=， 所以()()1121258126902a a S a a ⨯+==⨯+=．故选：B.2．等比数列{an }中，若a 5＝9，则log 3a 4+log 3a 6＝（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9【答案】C【分析】利用等比中项得到4681a a ＝，直接求得.【详解】等比数列{an }中，若a 5＝9，所以54681a a a 2＝＝， 所以()23436353log log log log 814a a a +==＝. 故选：C3．下列导数计算正确的是（ ） A ．2ln 1ln x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2311x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()ln e e '+=+x x x xD ．()cos cos sin x x x x x '=-【答案】D【分析】利用求导公式计算. 【详解】对于A ：()222ln 1111ln 1ln ln ln ln '''-⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=⋅=⋅+⋅=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x x x x x x x x xx x 故A 错误； 对于B ：()2323122--'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭x x x x 故B 错误﹔ 对于C ：()()()1ln ln e e e '''+=+=+xxxx x x故C 错误； 对于D ：()()cos cos cos cos sin x x x x x x x x x '''=+=-故D 正确. 故选：D4．已知函数()2e x f x ax =-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,2]-∞C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】B【分析】求导，根据导数在给定区间上恒大于等于0即可求解.【详解】'()2e x f x a =- ，因为函数()2e x f x ax =-在[0,)+∞上单调递增， 所以'()2e 0x f x a =- 在[0,)+∞上恒成立，解得2a ； 故选：B.5．若数列{}n a 满足：11a =，且13,21,n n n a n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数为偶数.则7a =（ ）A ．19B ．22C ．43D ．46【答案】C【分析】直接由递推关系式求解即可.【详解】由11a =得2134a a =+=，32217a a =-=，43310a a =+=， 542119a a =-=，56322a a =+=，672143a a =-=.故选：C.6．设2tan 92,,a b c e ππ===，则a ，b ，c 大小关系是（ ） A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c【答案】B【分析】根据正切函数，指数函数，幂函数的单调性比较a b c ，，的大小，由此确定它们的大小关系.【详解】解：∵92︒是第二象限角，∴tan920a =︒<， 又∵34π<<，函数2yx 在()0+∞，上单调递增，函数x y e =在R 上单调递增，所以2234e e ππ<<<，所以c b a >>， 故选：B.7．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）A ．66B ．91C ．107D ．120【答案】D【分析】根据数列的规律得到第n 个叠放图形中共有n 层，构成等差数列求解. 【详解】因为图1有1个小正方体，图2有1+5=6个小正方体，图3有1+5+9=15个小正方体，归纳可得：第n 个叠放图形中共有n 层，构成以1为首项，以4为公比的等差数列， 所以第n 个叠放的图形中小正方体木块的总数是()21422n n n S n n n -=+=-，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是28288120S =⨯-=， 故选：D8．已知函数f (x )＝x 3+ax 2+bx +c ，下列结论中错误的是（ ） A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 【答案】C【分析】由已知结合函数的值域，对称性，极值即可求解． 【详解】由三次函数值域为R 知f (x )=0有解，故A 正确；∵23a f x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭f （x ）32222()()333a a a x a x b x c ⎛⎫=--+--+--++ ⎪⎝⎭x 3+ax 2+bx +c 342273ab a =-+2c ，3232()()3333273a a a a ab f a b c a c ⎛⎫⎛⎫-=-+-+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵23a f x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭f （x ）23a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴点P 33a a f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为对称中心，故B 正确； 若f (x )有极小值点，则f ′(x )=0有两个不等实根x 1，x 2(x 1<x 2)，f ′(x )=3x 2+2ax +b =3(x －x 1)(x －x 2)，则f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，+∞)上单调递增，即x 0=x 2，故C 错误；若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)=0正确，故D 正确. 故选：C. 二、多选题9．已知等差数列{an }的公差为d ，前n 项和为Sn ，且91011S S S =<，则（ ） A ．d ＜0 B ．a 10＝0 C ．S 18＜0 D ．S 8＜S 9【答案】BC【分析】由91011S S S =<，得100,0d a >= ，判断出A,B 选项，再结合90a <，11818118910918()9()9()92a a S a a a a a +==+=+=判断C 选项，再根据等式性质判断D 选项 【详解】910S S = ，101090a S S ∴=-= ，所以B 正确 又1011S S < ,111110100a S S a d ∴=-=+> ,0d ∴> ,所以A 错误 1090,0,0a d a =>∴<11818118910918()9()9()902a a S a a a a a +==+=+=<，故C 正确 9989890,,a S S a S S <=+∴> ,故D 错误故选：BC10．下列不等式正确的是（ ） A ．当x ∈R 时，1x e x ≥+ B ．当0x >时，ln 1≤-x x C ．当x ∈R 时，x e ex ≥ D ．当x ∈R 时，sin x x ≥【答案】ABC【解析】构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确.【详解】对于A ：设()1x f x e x =--，则()1x f x e =-'，令()0f x '=，解得0x =， 当(,0)x ∈-∞时函数单调递减，当(0,)x ∈+∞时，函数单调递增，所以函数在0x =时，函数取得最小值()(0)0min f x f ==，故当x ∈R 时，1x e x +，故A 正确；对于B ：设()ln 1f x x x =-+，所以1(1)()1'--=-=x f x x x， 令()0f x '=，解得1x =，当(0,1)x ∈时，函数单调递增，当(1,)x ∈+∞时，函数单调递减， 所以在1x =时，max ()f x f =（1）0=，故当0x >时，1lnx x -恒成立，故B 正确； 对于C ：设()x f x e ex =-，所以()x f x e e '=-，令()0f x '=，解得1x =，当(,1)x ∈-∞时，函数单调递减，当(1,)x ∈+∞时，函数单调递增，所以当1x =时，min ()f x f =（1）0=，所以当x ∈R 时，x e ex ，故C 正确；对于D ：设函数()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-，所以()f x 是定义在R 上单调递增的奇函数，所以0x >时，sin x x 成立，0x <时，()0f x <，故D 错误． 故选：ABC11．已知数列{}n a 中的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，都有1n n a S +≤，则称{}n a 为“和谐数列”，下列结论，正确的有（ ） A ．常数数列为“和谐数列” B ．12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“和谐数列”C ．{}21n +为“和谐数列”D ．若公差为d 的等差数列{}n a 满足：{}n a n +为“和谐数列”，则1a d +的最小值为-2 【答案】BD【分析】根据给定“和谐数列”的定义，对各选项中的数列逐一分析计算即可判断作答. 【详解】对于A ，数列{}n a 中，令n a c =(c 为常数)，n S nc =，当c <0时，322a c c S =>=，此时的常数数列不为“和谐数列”，A 不正确； 对于B ，数列{}n a 中，令12n n a =，则112n n S ，111113110222n n n n n S a +++-=--=->，即1n n a S +≤成立，B 正确；对于C ，数列{}n a 中，令21n a n =+，3(21)(2)2n n n S n n ++=⋅=+，2153a S =>=，{}21n +不是“和谐数列”，C 不正确；对于D ，令n n b a n =+，则11(1)()1n n n n b b a n a n d ++-=++-+=+，数列{}n b 是首项为11a +，公差为1d +的等差数列，其前n 项和为n T ，则1(1)(1)(1)n b a n d =++-+，因{}n b 是“和谐数列”，于是有n *∈N ，1n n b T +≤，即有21b T ≤，1121a d a ++≤+，从而得1d ≤-，又111(1)1(1)(1)(1)2n n n n b a n d T n a d +-=+++≤=+++，即211(1)(213)(22)0d n a d n a ++---+≥对n *∈N 恒成立，若1d =-，则有1(1)(1)0a n +-≥对n *∈N 恒成立，必有110a +≥，即11a ≥-，12a d +≥-，因此，1min ()2a d +=-，若1d <-，则211(1)(213)(22)d n a d n a ++---+对应的是开口向下的抛物线211(1)(213)(22)y d x a d x a =++---+在x 取正整数时的函数值，由二次函数性质知，当正整数n 足够大时，211(1)(213)(22)d n a d n a ++---+的值是负数，211(1)(213)(22)0d n a d n a ++---+≥不成立，从而只有1d =-，且11a ≥-，1a d +的最小值为-2，D 正确. 故选：BD12．定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()()21'2x f x f x x x +-<+对()0,x ∈+∞恒成立.下列结论正确的是（ ）A ．()()22315f f ->B ．若()12f =，1x >，则()21122f x x x >++C ．()()3217f f -<D ．若()12f =，01x <<，则()21122f x x x >++【答案】CD【解析】构造函数()()21f x xg x x -=+，然后求导，可得到函数()g x 的单调性，然后根据单调性判断所给选项的正误.【详解】构造函数()()21f x xg x x -=+，则()()()()()()()()()2222211211f x x x f x x x f x f x x x g x x x '⎡⎤⎡⎤-+--'+---⎣⎦⎣⎦'==++ 因为()()()21'2x f x f x x x +-<+对()0,x ∈+∞恒成立，所以()()()()()221201x f x f x x x g x x '+---'=<+在()0,x ∈+∞上恒成立，即()g x 在()0,∞+上递减，所以()()21g g <，即()()241132f f --<，整理得：()()22315f f -<，故A 错； 所以()()31g g <，即()()391142f f --<，整理得：()()3217f f -<，故C 正确； 对于B 选项，若()12f =，1x >，则()()1g x g <在()1,+∞恒成立，所以()()2111122f x x f x --<=+整理得：()21122f x x x <++，所以B 错；对于D 选项，当01x <<时，()()1g x g >，则可得()21122f x x x >++，故D 正确.故选：CD.【点睛】本题考查利用构造函数，利用函数的单调性判断不等式是否成立的问题，难度一般. 三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =-+，则数列{}n a 的第6项是________．【答案】9【分析】依据数列的前n 项和与通项的关系即可求得第6项的值.【详解】22665(6261)(5251)25169a S S =-=-⨯+--⨯+=-=．故答案为：914．若数列{}n a 的通项公式为n a n =-__________．【答案】12-【详解】t =，则27y t t =-，对称轴72t =，由复合函数的单调性性质可知，n a 在490,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，49,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，又n 为整数，则当12n =时，12n a =-13n =时，13n a =-因为1213-<-12-点睛：数列是特殊的函数，本题将数列通项式看做函数，观察函数的性质，得到数列的相关性质．本题中利用复合函数的单调性性质，得到数列n a 在490,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，49,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，再根据n 为整数，计算1213,a a ，比较大小即可． 15．已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线e x b y -=相切，则14a b+的最小值是________．【答案】9【分析】根据题意设直线y x a =+与曲线e x b y -=的切点为()00,x y ，进而根据导数的几何意义得00,1,1x b y a b ==+=，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：根据题意，设直线y x a =+与曲线e x b y -=的切点为()00,x y ， 因为()'e e x b x b y --'==，直线y x a =+的斜率为1k =，所以0e 1x b k -==，00y x a =+，00e x by -=所以00,1,1x b y a b ==+=， 因为0,0a b >>所以()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当223b a ==时等号成立.所以14a b+的最小值是9.故答案为：916．设函数222e 1e (),()e +==x x x xf xg x ，对任意12,(0,)x x ∈+∞，不等式12()()1>+f x g x k k 恒成立，则正数k 的取值范围是_____． 【答案】1k > 【分析】将不等式12()()1>+f x g x k k恒成立转化为min max ()()1f x g x k k >+，接下来求(),()f x g x的最小值与最大值，列出关于k 的不等式，解k 即可 【详解】对任意12,(0,)x x ∈+∞，不等式12()()1>+f x g x k k恒成立 min max()()1f x g x k k ⇒>+由2e (1)()0e xx g x -'== ，得1x = ，(0,1)x ∴∈ 时，()0g x '> ，()g x 在(0,1) 上递增(1,)x ∈+∞ 时，()0g x '< ，()g x 在(1,)+∞ 上递减 max ()(1)eg x g k k k== 由222e 1()0x f x x -'== ，得1e x = 1(0,)e x ∴∈ 时，()0f x '<，()f x 在1(0,)e上递减1(,)ex ∈+∞ 时，()0f x '>，()f x 在1(,)e +∞ 上递增min1()()2e e 111f f x k k k ==+++ 由min max ()()1f x g x k k >+即2e e1k k>+ ，又因为k 为正实数 解得1k > 故答案为：1k > 四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为Sn ，111a =-，29a =-，且 11222n n n S S S n +-+-=≥（）(1)求数列{an }的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，数列{bn }的前n 项和为Tn ，求使得Tn ＞0的n 的最大值． 【答案】(1)an ＝2n ﹣13 (2)5【分析】（1）消去Sn 得到an +1﹣an ＝2，即可判断出{an }是公差为2的等差数列，求出通项公式；（2）利用裂项相消法求出111211211n T n ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，列不等式即可求解.【详解】(1)由题意知（Sn +1﹣Sn ）﹣（Sn ﹣Sn ﹣1）＝2， 解得an +1﹣an ＝2（n ≥2）， 又a 2﹣a 1＝2，所以{an }是公差为2的等差数列， 则an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2n ﹣13； (2)由题知1111()(213)(211)2213211n b n n n n ==-----，则121111111211997213211111211211111211211n nT b b b n n n n =+++⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭⎛⎫=- ⎪--⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭由0n T >得11201121111(211)n n n +=<--， 解得1102n <<， 所以n 的最大值为5．18．设数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】(1)212n n a -=(2)21(31)229n n n S +-⨯+=【分析】（1）由递推公式结合累加法可得答案；． （2）利用错位相减求和可得答案．【详解】(1)因为数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()23252132222n n ---=⋅++++()()112124132242,241n n n n ----=⨯+=⨯=≥-；经验证，12a =满足上式， 所以212n n a -=；(2)212n n n n b na -=⨯=，所以352112222322n n n S b b b n -=+++=+⨯+⨯++⨯，()5212142422122-+=⨯+⨯++-⨯+⨯n n n S n n ，所以()35212121241322222241-++--=++++-⨯=-⨯-n n n n n S n n ，可得21(31)229n n n S +-⨯+=．19．已知函数e ()(ln )=--+xf x a x x a x（a 为实数）．(1)当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为（0，1），递增区间为(1,)+∞ (2)(e,)+∞【分析】（1）求导2(1)(e )()--'=x x ax f x x ，易知1a =-时，e 0-=+>x x ax e x ，然后由()0f x '<和()0f x '>求解；（2）由（1）知，0a 时，不符合题意， 0a >时，根据函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，得到()0f x '=在（0，1）内存在唯一变号零点，转化为ex a x=在（0，1）内存在唯一根求解.【详解】(1)解：函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，22e (1)1(1)(e )()1---⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭x x x x ax f x a x x x ．当1a =-时，e 0-=+>x x ax e x ，所以当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 的单调递减区间为（0，1），递增区间为(1,)+∞． (2)由（1）知，当0a 时，()f x 在（0，1）内单调递减， 所以()f x 在（0，1）内不存在极值点；当0a >时，要使函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，则2(1)(e )()0--'==x x ax f x x 在（0，1）内存在唯一变号零点，即方程e 0x ax -=在（0，1）内存在唯一根， 所以e xa x=在（0，1）内存在唯一根，即y a =与()e xg x x =的图象在（0，1）内存在唯一交点，因为2(1)e ()0-'=<xx g x x ， 所以()g x 在（0，1）内单调递减．又(1)e g =， 当0x →时，()g x ∞→+，所以e a >，即a 的取值范围为(e,)+∞．20．在数列{}n a 中，a 1＝1，an ＝2an ﹣1+n ﹣2（n ≥2）．(1)证明：数列{}n a n +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{an }的前n 项和Sn ．【答案】(1)证明见解析，2nn a n =-(2)21*42()2+++=-∈n n n n S n N【分析】（1）根据定义法证明{}n a n +是等比数列，然后求出数列{}n a n +的通项公式即可得到{}n a 的通项公式（2）根据{}n a 数列通项的特点先分组，再采用公式法求和即可【详解】(1)明：因为111(22)(1)1---++-+=+-+-n n n n a n a n n a n a n ＝1122221--+-=+-n n a n a n ， 数列 {an +n } 是首项为 a 1+1＝2，公比为2的等比数列， 那么1222n n n a n -+=⋅=，即 2n n a n =-．(2)由（1）知2nn a n =-，123(2222)(123)=+++-++++n n S n＝2(12)(1)122⨯-⨯+--n n n ＝21*42()2+++-∈n n n n N21．已知点()0-2A ，，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 23O 为坐标原点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设过点()0-2A ，的动直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点.当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程.【答案】(1) 2214x y +=.（2）72y - 或72y =-. 【详解】试题分析：（1）由条件知a=2b ， c 3=又3c a =可得a,b ，故得到E 的方程； （2）设出直线l 的方程和点P 的坐标，联立直线l 与椭圆方程，当判别式大于0时，根据韦达定理得根与系数的关系得到PQ 的长．根据点到直线距离公式代入OPQ ∆面积中，得到其关于k 的表达式，根据换元法和基本不等式即可得到当面积取得最大值时k 的值，即求得l 的方程.试题解析：(1) 设F(c,0)，由条件知a=2b ，得c 3又3c a =所以a=2，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=.（2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：y=kx-2，设()()1122,,,P x y Q x y将y=kx-2代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，即234k >时，1,2x =,从而12PQ x =-=, 又点O 到直线PQ 的距离d =∆OPQ 的面积12OPQS d PQ ∆==，t ，则t>0，244144OPQ t S t t t∆==≤++，当且仅当2t =，k =等号成立，且满足0∆>， 所以当∆OPQ 的面积最大时，l 的方程为：2y =- 或2y =-. 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．22．已知函数()ln 2()f x x x a =+∈R ． (1)当2a =-时，求函数()f x 的单调区间； (2)若函数()f x 有两个不同零点1x ，212()x x x <， ①求实数a 的取值范围； ②求证：22124a x x ⋅>．【答案】(1)单调递增区间是1(0,)4，单调递减区间是1(,)4+∞(2)①2a >；②证明见解析【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间；（2）①函数()f x 有两个不同零点1212,()x x x x <，等价于方程a =有两个不同的实根1212,()x x x x <．设t =ln 2a t t t=-有两个不同的实根()1212,t t t t <． 设ln ()(0)tg t t t t=->，由导数确定()g t 的单调性、极值、函数值的变化趋势后可得；②由①1t =，2t 22124a x x ⋅>，只需证2122a t t ⋅>．由①知，1201t t <<<，故有2222ln 2t a t t t =-<，即22a t >．下面证明：121t t ⋅>即可．引入函数()()2221()h t g t g t =-，由导数证明()221()0g t g t ->，利用单调性即可得结论．【详解】(1)对函数()f x求导，得1'()22a f x x =+=当2a =-时，'()f x ==因为函数()f x 的定义域(0,)+∞， 由'()0f x >，得104x <<， 由'()0f x <，得14x >， 所以函数()f x 的单调递增区间是1(0,)4，单调递减区间是1(,)4+∞．(2)由()0f x =，得ln 20x x +=， ①函数()f x 有两个不同零点1212,()x x x x <，等价于方程a =1212,()x x x x <．设t =ln 2a t t t=-有两个不同的实根()1212,t t t t <． 设ln ()(0)tg t t t t=->， 2221ln ln 1'()1t t t g t t t -+-=-=，再设2()ln 1u t t t =+-，1'()20u t t t =+>所以函数()u t 在(0,)t ∈+∞上单调递增， 注意到2(1)1ln110u =+-=，所以当01t <<时，()0u t <，当1t >时，()0u t >． 所以()g t 在（0，1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 当0t +→时，()g t →+∞， 当t →+∞时，()g t →+∞， 当1t =时，()1g t =， 只需12a>， 即所求2a >．②注意到1t =2t 22124a x x ⋅>，只需证2122a t t ⋅>． 由①知，1201t t <<<，故有2222ln 2t at t t =-<，即22a t >． 下面证明：121t t ⋅>．设()()222222222222221lnln 1111()()()()ln 1t t h t g t g t t t t t t t t t t =-=---=--+， 有()22222222222211111'1(1)ln ()(1)ln 0h t t t t t t t t t =+---+⋅=--<， 所以函数()2h t 在(1,)+∞上单调递增， 所以()2(1)0h t h >=，所以()221()0g t g t ->，故有()()2121()g g t g t t <=．又2101t <<，101t <<，且()g t 在(0,1)t ∈上单调递减，所以121t t >，即得121t t ⋅>．因此2122at t ⋅>，结论得证． 【点睛】本题考查用导数求函数的单调性，研究函数的零点问题，解题关键是对两个变量的处理，换元t =121t t >，双变量的处理，先分离，121t t >，利用函数()g x 的单调性，表面上复杂化，证明121()()g t g t >，实质上利用两个变量的关系，此时可以进行消元：12()()g t g t =，因此只要证221()()g t g t >，为此引入新函数，利用导数加以证明．本题考查了学生的逻辑思维能力，运算求解能力，转化与化归能力，属于困难题．。
山东省济宁市第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
山东省济宁市第一中学2022-2023学年高二下学期期中考
试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在两个变量
4个不同的模型，它们的样本相关系Y与X的回归模型中，分别选择了
数r如表所示，其中线性相关性最强的模型是（）
二、多选题
9．已知()727012712x a a x a x a x -=+++×××+，则（ ）
A ．01
a =B ．7
2
2a =
三、填空题
13．曲线()ln
x=处的切线的方程为______.
=在1
f x x x
14．如图，用6种不同颜色对图中A，B，C，D四个区域染色，要求同一区域染同一
色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有________种．
15．随机变量X 服从正态分布()
24,X N s ～，若()0.540.38P X ££=，则
()7.5P X ³=________．
16．已知,A B 两个不透明的盒中各有形状､大小都相同的红球､白球若干个，A 盒中有
(08)m m <<个红球与8m -个白球，B 盒中有8m -个红球与m 个白球，若从,A B 两盒
中各取1个球，x 表示所取的2个球中红球的个数，则()D x 的最大值为__________．
19．某种鱼苗育种基地，饲养员每隔两天观察并统计育种池内鱼苗的尾数，统计结果如下表：。
2020-2021学年黑龙江省实验中学高二下学期期中数学复习卷(1)(含解析)
2020-2021学年黑龙江省实验中学高二下学期期中数学复习卷(1)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设f(x)在x 0处可导，下列式子中与f′(x 0)相等的是( )(1)△x →0limf(x 0)−f(x 0−2△x)2△x；(2)△x →0limf(x 0+△x)−f(x 0−△x)△x；(3)△x →0lim f(x 0+2△x)−f(x 0+△x)△x(4)△x →0limf(x 0+△x)−f(x 0−2△x)△x．A. (1)(2)B. (1)(3)C. (2)(3)D. (1)(2)(3)(4)2. 11.某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A.B.C.D.3. 已知f(x)=|x +2|+|x −8|的最小值为n ，则二项式(x 2+2√x )n 的展开式中的常数项是( )A. 第10项B. 第9项C. 第8项D. 第7项4. 口袋里有红球3个，白球2个，黑球1个，形状完全一样，从口袋中任取2个球，事件A 为“取到的2个球颜色相同”，事件B 为“取到的2个数均为红色”，则P(B|A)等于( )A. 115B. 34C. 15D. 145. 已知函数f(x)=√4−x 2−mx −3m 与x 轴有两个不同交点，则实数m 的取值范围为( )A. [0,2√55)B. [−2√55,0]C. (−2√55,2√55)D. [0,√147)6. 已知集合A ={1,2，3，4，5，6}，在A 中任取三个元素，使它们的和小于余下的三个元素的和，则取法种数共有( )A. 4B. 10C. 15D. 207. 已知a =−2∫(π20sin 2x 2−12)dx ，则二项式(ax +12ax )9的展开式中x 的一次项系数为( )A. −6316B. 6316C. −638D. 6388. 将《傲慢与偏见》《巴黎圣母院》等六本不同的国外名著按如图所示的方式竖放在一起，则《傲慢与偏见》放在最前面或最后面的不同放法共有( )A. 120种B. 240种C. 200种D. 180种9.将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有()A. 240种B. 120种C. 60种D. 180种10.从这四个数中随机取出两个数组成一个两位数，则组成的两位数是的倍数的概率是()A. B. C. D.11.对于二项式(1x+x3)n(n∈N∗),4位同学做出了4种判断：①存在n∈N∗，展开式中有常数项；②对于任意n∈N∗，展开式中没有常数项；③对于任意n∈N∗，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N∗，使展开式中有x的一次项．上述判断中正确的是()A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④12.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有f′(x)=e x(2x+3)+f(x)(e是自然对数的底数)，f(0)=1，若不等式f(x)−k<0的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是()A. [−1e ,0) B. [−1e2,0] C. (−1e2,0] D. (−1e2,0)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若(2x+1)11=a0+a1x+a2x2+⋯+a11x11，则(a0+a2+⋯+a10)2−(a1+a3+⋯+a11)2=______．14.由0，1，2，3，4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位自然数，共有______个．15.在40件产品中有12件次品，从中任取2件，则恰有1件次品的概率为______ ．16.已知曲线f(x)=x3在x=n(n∈N∗)处的切线与x轴的交点横坐标为a n，则数列{1a n a n+1}的前8项和为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某班研究性学习小组在今年11月11日“双11购物节”期间，对[25,55)岁的人群随机抽取了1000人进行了一次是否参加“抢购商品”的调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．组数分组抢购商品的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45)a0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55]150.3(Ⅰ)求统计表中a，p的值；(Ⅱ)从年龄在[40,50)岁参加“抢购商品”的人群中，采用分层抽样法抽取9人参满意度调查，其中3人感到满意，记感到满意的3人中年龄在[40,50)岁的人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．18.已知函数f(x)=1+lnxx(1)若函数f(x)在区间(a,a+1)上有极值，求实数a的取值范围(2)当n∈N∗，n≥2时，求证：nf(n)<2+12+13+⋯+1n−1(提示：证明ln(1+x)<x，(x>0))19.某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数(本)，并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数(本)不低于90本，则称该学生为“书虫”．(1)根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？男生女生总计书虫非书虫总计附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(k2≥k)0.250.150.100.050.025k 1.323 2.072 2.706 3.814 5.024(2)从所抽取的50名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为X，求X的分布列和数学期望．20.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某地区2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如表：每分钟跳[165,175)[175,185)[185,195)[195,205)[205,215)绳个数得分1617181920(Ⅰ)现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于33分的概率；(Ⅱ)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ,σ2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差(结果四舍五入到整数)，已知样本方差S2≈77.8(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，利用现所得正态分布模型：(ⅰ)预估全年级恰好有1000名学生，正式测试时每分钟跳193个以上的人数．(结果四舍五入到整数)(ⅰ)若在该地区2020年所有初三毕业生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳202个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，σ=√77.8≈9，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.997421.已知函数f(x)=(x−a)lnx(a∈R)．(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若对于任意的正数x，f(x)≥0恒成立，求实数a的值；(3)若函数f(x)存在两个极值点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)，求实数a的取值范围．22.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100m，并与北京路一边所在直线相切于点M.A为上半圆弧上一点，过点A作的垂线，垂足为B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：)，(单位：弧度)．(I)将S表示为的函数；(II)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．【答案与解析】1.答案：B解析：解：(1)△x →0limf(x 0)−f(x 0−2△x)2△x =2△x →0limf(x 0+2△x−2△x)−f(x 0−2△x) 2△x=f′(x 0).(2)△x →0limf(x 0+△x)−f(x 0−△x)△x =22△x →0lim f(x 0−△x +2△x)−f(x 0−△x) 2△x=2f′(x 0).(3)△x →0limf(x 0+2△x)−f(x 0+△x)△x=f′(x 0).(4)△x →0limf(x 0+△x)−f(x 0−2△x)△x =33△x →0lim f(x 0−2△x +3△x)−f(x 0−2△x) 3△x=3f′(x 0).故选：B ．根据导数的定义一个一个地进行验证可知(1)和(3)的值都是f′(x 0)；(2)的值是2f′(x 0).(4)的值是3f′(x 0).由此可知正确答案是B ．本题考查导数的定义，解题时要熟练地理解导数的定义．2.答案：D解析：本题考查计数原理的运用，注意分类方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．解：将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目， 有(种)；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有(种)；根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法． 则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120， 故选：D ．3.答案：B解析：试题分析：由绝对值的意义求得n =10，求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于零，求出r 的值，即可求得展开式中的常数项．由于函数f(x)=|x +2|+|x −8|表示数轴上的x 对应点到−2和8对应点的距离之和，其最小值为10，故n =10．二项式(x 2+√x )n 的展开式的通项公式为T r+1=C 10r ⋅x 20−2r ⋅2r ⋅x −r2=2r C 10r ⋅x 20−52r ，令20−5r 2=0，r =8，故展开式中的常数项是第九项，故选B ．4.答案：B解析：解：由题意，P(A)=C 32+C 22C 62=415，P(AB)=C 32C 62=315， ∴P(B|A)=P(AB)P(A)=34．故选：B ．利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A 的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB 的概率，然后直接利用条件概率公式求解．本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题．5.答案：A解析：解：函数f(x)=√4−x 2−mx −3m 与x 轴的交点个数即 y =√4−x 2与y =m(x +3)的交点个数， 作y =√4−x 2与y =m(x +3)的图象如下，由题意可得，tanα=√9−4=2√55；故实数m 的取值范围为[0,2√55)； 故选A ．函数f(x)=√4−x 2−mx −3m 与x 轴的交点个数即y =√4−x 2与y =m(x +3)的交点个数，作图利用几何意义求解．本题考查了函数图象的应用及几何意义的应用，属于基础题．6.答案：B解析：解：∵1+2+3+4+5+6=21，∴在A 中任取三个元素它们的和与余下的三个元素的和，一定不相等，并且一组数之和是小于另一组，∴满足题意的求法有：12C 63=10． 故选：B ．直接利用6个数之和为21，分为2组，必要一组数之和是小于另一组，求解即可． 本题考查计数原理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力．7.答案：D解析：解：a =−2∫(π20sin 2x2−12)dx =∫c π20osxdx =sinx|0π2=sin π2−sin0=1，则二项式(ax +12ax )9=(x +12x )9的展开式中的通项公式：T r+1=∁9r x 9−r (12x )r =(12)r ∁9r x 9−2r， 令9−2r =1，解得r =4，∴x 的一次项系数为(12)4∁94=638．故选：D ．利用微积分基本定理可得a ，二项式定理的通项公式，即可得出．本题考查了微积分基本定理、二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：B解析：解：排《傲慢与偏见》，有2种排列方法，其它任意排， 故《傲慢与偏见》故在最前面或最后面的不同放法共有：2A 55=240种， 故选：B ．先排《傲慢与偏见》，有2种排列方法，其它任意排，根据分步计数原理可得．本题考查了分步计数原理，属于基础题．9.答案：B解析：本题主要考查了排列组合种的分组分配问题，属于中档题．先分组，因为两组的男生和女生的人数一样，需要除以顺序数，再分配到参加两项不同的活动，求出即可．解：先将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，有C 63⋅C 42A 22不同的组，然后将这两组分配到两项不同的活动中， 则不同的分配方法有C 63⋅C 42A 22⋅A 22=120种．故选B ．10.答案：C解析：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．解：如下表，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，共12种情况，其中是5的倍数的有15，35，75三种，故选C ．11.答案：D解析：解：二项式(1x +x 3)n (n ∈N ∗)的展开式通项公式为T r+1=C nr ⋅(1x )n−r ⋅x 3r =C n r ⋅x 4r−n ， 故当n =4r 时，x 的幂指数等于零，该项为常数项，故①正确，②不正确； 当4r −n =1时，x 的幂指数等于1，该项为x 的一次项，故④正确，③不正确， 故选：D ．分析二项展开式的通项公式，得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.答案：C解析：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值及方程与不等式的解法、构造方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 令G(x)=f(x)e x，可得G′(x)=f ′(x)−f(x)e x=2x +3，可设G(x)=x 2+3x +c ，G(0)=f(0)=1.解得c =1.f(x)=(x 2+3x +1)e x ，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出． 解：令G(x)=f(x)e x，则G′(x)=f ′(x)−f(x)e x=2x +3，可设G(x)=x 2+3x +c ，∵G(0)=f(0)=1.∴c =1． ∴f(x)=(x 2+3x +1)e x ，∴f′(x)=(x 2+5x +4)e x =(x +1)(x +4)e x ． 可得：x =−4时，函数f(x)取得极大值，x =−1时， 函数f(x)取得极小值．f(−1)=−1e ，f(0)=1，f(−2)=−1e 2<0，f(−3)=1e 3>0．∴−1e 2<k ≤0时，不等式f(x)−k <0的解集中恰有两个整数−1，−2． 故k 的取值范围是(−1e 2,0]． 故选：C ．13.答案：−311解析：解：∵(2x+1)11=a0+a1x+a2x2+⋯+a11x11，令x=1可得：a0+a1+a2+a3+⋯+a11=311．再令x=−1可得：(a0+a2+a4+⋯+a10)−(a1+a3+a5+⋯+a11)=−1．两式相乘可得：(a0+a2+⋯+a10)2−(a1+a3+⋯+a11)2=−311，故答案为−311．在所给的等式中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+⋯+a11=311，再令x=−1可得(a0+a2+a4+⋯+a10)−(a1+a3+a5+⋯+a11)=−1，相乘，即得所求．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，给x赋值求出某些项的系数是解题的关键，属于中档题．14.答案：20解析：解：能被3整除的三位数，即各位数字之和被3整除；可以是包含0的有12，24，不包含0的有123，234，所以可以组成能被3整除的三位数有：2A21⋅A22+2A33=8+2×6=20，故答案为：20能被3整除的三位数的特点是各位数字之和被3整除，可以是包含0的有12，24，不包含0的有123，234，所以分情况排列，再相加即可本题考查了有限制的排列问题的解法，属于中档题15.答案：2865解析：解：在40件产品中有12件次品，从中任取2件，基本事件总数n=C402=780，恰有1件次品包含的基本事件个数m=C281C121=336，则恰有1件次品的概率为p=mn =336780=2865．故答案为：2865．先求出基本事件总数n=C402，再求出恰有1件次品包含的基本事件个数m=C281C121，由此能求出恰有1件次品的概率．本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列、组合等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.答案：2解析：解：由f(x)=x3，得f′(x)=3x2．∴f′(n)=3n2，则f(x)=x3在x=n处的切线方程为y−n3=3n2(x−n)，取y=0，得x=2n3．即a n=2n3．∴1a n a n+1=12n3⋅2(n+1)3=94(1n−1n+1)．则数列{1a n a n+1}的前8项和为：9 4(1−12+12−13+13−14+⋯+18−19)=94(1−19)=2．故答案为：2．利用导数求出f(x)=x3在x=n处的切线方程，进一步求出切线与x轴的交点坐标得到a n，代入1a n a n+1整理后裂项，然后利用裂项相消法求得答案．本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的和，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)因为总人数为1000人，所以年龄在[40,45)的人数为1000×5×0.03=150人，所以a=150×0.4=60，因为年龄在[30,35)的人数的频率为1−5×(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)=0.3，所以年龄在[30,35)的人数为1000×0.3=300人，所以p=195300=0.65.…(6分)(Ⅱ)依题抽取年龄在[40,45)之间6人，抽取年龄在[45,50)之间3人，X=0，1，2，3，P(X=0)=C33C93=184，P(X=1)=C61C32C93=1884，P(X=2)=C62C31C93=4584，P(X=3)=C63C93=2084，所以X的分布列为所以E(X)=0×184+1×1884+2×4584+3×2084=2.…(12分)解析：(Ⅰ)由已知条件推导出年龄在[40,45)的人数为150人，由此能求出a和p的值．(Ⅱ)由题设知X=0，1，2，3，分别求出P(X=0)，P(X=1)，P(X=2)，P(X=3)，由此能求出X 的分布列和E(X)．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．18.答案：解：(1)∵f(x)=1+lnxx ，∴f′(x)=−lnxx2，∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0；∴函数f(x)在区间(0,1)上为增函数；在区间(1,+∞)为减函数，∴当x=1时，函数f(x)取得极大值，而函数f(x)在区间(a,a+1)有极值．∴{a<1a+1>1，解得：0<a<1，(2)∵函数f(x)在区间(1,+∞)为减函数，而1+1n>1(n∈N∗,n≥2)，∴f(1n+1)<f(1)=1，∴1+ln(1+1n )<1+1n，即ln(n+1)−lnn<1n，∴lnn=ln2−ln1+ln3−ln2+⋯+lnn−ln(n−1)<1+12+13+⋯+1n−1，∴1+lnn<2+12+13+⋯+1n−1，而n⋅f(n)=1+lnn，∴nf(n)<2+12+13+⋯+1n−1，结论成立．解析：(1)函数f(x)在区间(a,a+1)上有极值⇒f′(x)=0在(a,a+1)上有根，结合条件由函数的单调性可得函数有唯一极值点x=1，1∈(a,a+1)．(2)结合函数f(x)在(1,+∞)上的单调性可得，f(1n +1)<f(1)=1⇒1+f(1+1n)<1+f(1)⇒ln(n +1)−lnn <1n ，利用该结论分别把n =1，2，3，…代入叠加可证．本题考查函数存在极值的性质，函数与方程的转化，及利用函数的单调性证明不等式，要注意叠加法及放缩法在证明不等式中的应用．19.答案：解：(1)由频率分布直方图可得，男生书虫、非书虫的人数分别为12，38，女生书虫、非书虫的人数分别为4，46，故得如下2×2列联表：根据列联表中数据可得：K 2=100×(12×46−4×38)216×84×50×50=4.762．由于4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关．(2)由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，X 的所有可能取值为0，1，2， 则P(X =0)=∁462∁502=207245，P(X =1)=∁461∁41∁502=1841225，P(X =2)=∁42∁502=61225， 故X 的分布列为X 的数学期望为E(X)=0×207245+1×1841225+2×61225=425．解析：(1)由已知可得列联表，利用K 2计算公式即可得出．(2)由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，X 的所有可能取值为0，1，2，利用超几何分布列计算公式即可得出．本题考查了频率分布直方图的性质、组合数的计算公式、随机变量的概率分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)现从样本的100名学生中，任意选取2人，两人得分之和不大于33分，即两人得分均为16分，或两人中1人16分，1人17分， 由题意知：得16分的分数为5人，得17分的人数为9人，∴两人得分之和不大于33分的概率为： P =C 52+C 51C 91C 1002=190．(Ⅱ)(i)X −=170×0.05+180×0.09+190×0.5+200×0.3+210×0.06=192.3≈192(个)， σ2≈77.8，σ≈9，∴正式测试时，μ=202，σ=9， ∴μ−σ=193，μ+σ=211，，0.8413×1000=841.3≈841，∴正式测试时每分钟跳193个以上的人数为841人．(ii)由正态分布模型得，在该地区2020年初三毕业生中任取1人， 每分钟跳绳个数202以上的概率为12，即ξ～B(3,12)，P(ξ=0)=C 30(12)0(1−12)3=18， P(ξ=1)=C 31(12)(1−12)2=38， P(ξ=2)=C 32(12)2(1−12)=38，P(ξ=3)=C 33(12)3(1−12)0=18，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 1 P18383818E(ξ)=0×18+1×38+2×38+3×18=32．解析：本题考查概率、频数的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查正态分布、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(Ⅰ)现从样本的100名学生中，任意选取2人，两人得分之和不大于33分，即两人得分均为16分，或两人中1人16分，1人17分，由此能求出两人得分之和不大于33分的概率．(Ⅱ)(i)求出X −≈192个，σ2≈77.8，σ≈9，从而正式测试时，μ=202，σ=9，进而μ−σ=193，μ+σ=211，由此能求出正式测试时每分钟跳193个以上的人数．(ii)由正态分布模型得，在该地区2020年初三毕业生中任取1人，每分钟跳绳个数202以上的概率为12，即ξ～B(3,12)，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．21.答案：解：(1)a =1时，函数f(x)=(x −1)lnx ，(x >0)，∴f′(x)=lnx +1−1x ，f(1)=0，f′(1)=0． 曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：y =0； (2)∵x ≥1时，lnx ≥0，0<x ≤1时，lnx ≤0，对于任意的正数x ，f(x)≥0恒成立，必有{x −a ≤0,0<x ≤1x −a ≥0,x ≥1，∵y =x −a 时单调函数，∴x =1时y =x −a 的零点，∴a =1； (3)f′(x)=lnx +1−a x，要使函数f(x)存在两个极值点，则方程lnx +1−ax =0有两个变号零点， ∴方程a =xlnx +x 有两个不等正实根， 令ℎ(x)=xlnx +x ，(x >0)，ℎ′(x)=lnx +2，令ℎ′(x)=0，可得x =e −2，x ∈(0,e −2)时，ℎ′(x)<0，x ∈(e −2,+∞)，ℎ′(x)>0， ∴ℎ(x)在(0,e −2)递减，在(e −2,+∞)递增， ∴函数ℎ(x)的草图如下：ℎ(e −2)=−e −2，∴实数a 的取值范围为(−e −2,0)．解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，属于综合题．(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，即可求解；(2)可得x ≥1时，lnx ≥0，0<x ≤1时，lnx ≤0，必有{x −a ≤0,0<x ≤1x −a ≥0,x ≥1，可得a =1；(3)要使函数f(x)存在两个极值点，则方程lnx +1−ax =0有两个变号零点，方程a =xlnx +x 有两个不等正实根，令ℎ(x)=xlnx +x ，(x >0)，利用导数求解．22.答案：(Ⅰ)(Ⅱ)．解析：试题分析：(Ⅰ)根据三角函数的定义，确定直角三角形两直角边长，即得到S 表示为的函数．(Ⅱ)通过“求导数，求驻点，研究区间导数值的正负，确定极值，最值”.“表解法”形象直观，易于理解．试题解析：(Ⅰ)如图，，. 3分则6分(Ⅱ)令，得cos =或cos =−1(舍去)， 此时.8分当变化时，S′，S 的变化情况如下表：+ 0 −极大值所以，当时，S取得最大值，此时，即点A到北京路一边的距离为.13分考点：三角函数定义，三角形面积公式，应用导数研究函数的最值．。
福建省永春第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
福建省永春第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．某市为了研究该市空气中的 2.5PM 浓度和2SO 浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的 2.5PM 浓度和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得到如下所示的22´列联表：四、双空题16．定义：在等式()()2021212222122nn n n n nn n n n n x x D x D xD x D x D n N ---++-=+++++ÎL 中，把nD ，1n D ，2n D ，…，2n n D 叫做三项式()22n x x +-的n 次系数列(如三项式的1次系数列是1，1，-2).则（1）三项式()22nx x+-的2次系数列各项之和等于______；（2）34D=______.【分析】（1）根据n 次系数列的定义，令1x =即可得系数之和．（2）根据定义得34D 为5x 的系数，然后进行计算即可．【详解】解：（1）三项式2(2)n x x +-的2次系数列为22(2)x x +-，则令1x =得三项式2(2)n x x +-的2次系数列各项之和等于2(112)0+-=，（2）当4n =时，三项式为24(2)x x +-，则34D 为5x 的系数，244444(2)(1)(2)(1)(2)x x x x x x +-=-+=-+Q ，4(1)x \-的通项公式为4()k k C x -，4(2)x \+的通项公式为42r C 4rr x -，5x \的系数为41442C C g 3322231444444422329648420C C C C C C -+-=-+-=-g g g ．即3420D =-故答案为：0；20-；【点睛】本题主要考查二项式定理的综合应用，结合新定义，利用展开式的通项公式是解决本题的关键．考查学生的理解应用能力，属于中档题．17．(1)n a n=(2)n nP Q <【分析】（1）根据n S 与n a 的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（2）根据裂项相消法，结合等比数列前n 项和、二项式定理进行求解即可.【详解】（1）当1n =时，211112a S a a =-=，所以11a =或10a =（舍去），当2n ³时，有221112,2,n n n n n n a S a a S a ---ì=-í=-î。
高二期中考试(数学)试卷含答案解析
高二期中考试（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．2i12i-=+（）A．1 B．−1 C．i D．−i2.（5分）2．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+13.（5分）3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种4.（5分）4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62% B．56%C．46% D．42%5.（5分）5．设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为（）A．0.01B．0.1C．1D．106.（5分）6．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A．10B．18C ．20D ．367.（5分）7．在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为（ ）．A ．5-B ．5C ．10-D ．108.（5分）8．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种9.（5分）9．北京2022年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红､迎春黄､天霁蓝､长城灰､瑞雪白；间色包括天青､梅红､竹绿､冰蓝､吉柿；辅助色包括墨､金､银.若各赛事纪念品的色彩设计要求：主色至少一种､至多两种，间色两种､辅助色一种，则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白､冰蓝､银色这三种颜色的概率为（ ） A ．8225B ．245C ．115D ．21510.（5分）10．如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．1511.（5分）11．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名12.（5分）12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数()y f x =满足：()()x xf x f x xe '-=且(1)3f =-，(2)0f =．则函数()y f x =（ ）A ．有极小值，无极大值B ．有极大值，无极小值C ．既有极小值又有极大值D ．既无极小值又无极大值二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．14.（5分）14．262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．15.（5分）15．设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________.16.（5分）16．已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（10分）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.18.（12分）18．（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i i x x =-=∑（，2021)9000i iy y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x ===----∑∑∑（（（（，≈1.414.19.（12分）19．（12分）已知函数3()6ln f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅰ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； 20.（12分）20．（12分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ． （1）求p 1、q 1和p 2、q 2；（2）求X 2的分布列和数学期望E (X 2) ．21.（12分）21．（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，22.（12分）22．（12分）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点； （Ⅰ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：（Ⅰ0x ≤≤； （Ⅰ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1D 2.（5分） 2B 3.（5分） 3 C 4.（5分） 4C 5.（5分） 5C 6.（5分）6B 7.（5分） 7C 8.（5分） 8 C 9.（5分） 9 B 10.（5分） 10C 11.（5分） 11 B 12.（5分） 12 A二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．1 14.（5分） 14． 24015.（5分） 15． 16.（5分） 16．45三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（10分）【解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.……（5分）（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.……（10分）18.（12分）18．（12分）【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=……（4分） （2）样本(,)i i x y (i =1，2，…，20)的相关系数为20()()0.943iix x y y r --===≈∑……（4分）（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. ……（4分）19.（12分）19．（12分） 【答案】（Ⅰ）98y x =-；（Ⅰ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；【解】(Ⅰ) ∵()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.…4分 （Ⅰ） 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值. ……（12分）20.（12分）20．（12分）【答案】（1）112212716,,332727p q p q ====；；（2）；详见解析【解】（1）11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯， 211131211227++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 211231122222516+0+3333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯.……（8分） （2）227(2)27P X p ===；2216(1)27P X q ===；22124(0)33327P X ==⨯⨯=；∴2X 的分布列为故210()9E X =.；……（12分） 21.（12分）21．（12分）【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=；……（4分） （2）由所给数据，可得22⨯列联表为：（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关. ……（12分）22.（12分）22．（12分）【答案】（I ）证明见解析，（II ）（i ）证明见解析，（ii ）证明见解析. 【解】（I ）()1,0,1,()0,()x x f x e x e f x f x ''=->∴>∴>∴在(0,)+∞上单调递增，2212,(2)240,(0)10a f e a e f a <≤∴=--≥->=-<，所以由零点存在定理得()f x 在(0,)+∞上有唯一零点；……（4分） （II ）（i ）000()0,0xf x e x a =∴--=，002000012(1)xxx e x x e x ≤⇔--≤≤--，令22()1(02),()1(02),2xxx g x e x x x h x e x x =---<<=---<<一方面：1()1(),xh x e x h x '=--= 1()10x h x e '=->，()(0)0,()h x h h x ''∴>=∴在(0,2)单调递增，()(0)0h x h ∴>=，2210,2(1)2xx x e x e x x ∴--->-->，另一方面：1211a a <≤∴-≤，所以当01x ≥0x ≤成立，因此只需证明当01x <<时2()10x g x e x x =---≤，因为11()12()()20ln 2x x g x e x g x g x e x ''=--==-=⇒=， 当(0,ln 2)x ∈时，1()0g x '<，当(ln 2,1)x ∈时，1()0g x '>， 所以()max{(0),(1)},(0)0,(1)30,()0g x g g g g e g x ''''''<==-<∴<，()g x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0g x g ∴<=，21x e x x ∴--<，综上，002000012(1),x xex x e x x ∴--≤≤--≤≤（8分）（ii ）0000000()()()[(1)(2)]xa a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+->0x ≤，0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e ∴≥=--=--+-，因为12a <≤，所以,2(1)ae e a a >≥-，0()(1)(1)2(2)a t x e a a e ∴≥--+--，只需证明22(2)(1)(1)a a e e a --≥--， 即只需证明224(2)(1)(1)ae e a -≥--， 令22()4(2)(1)(1),(12)as a e e a a =----<≤， 则22()8(2)(1)8(2)(1)0aas a e e e e e e '=---≥--->，2()(1)4(2)0s a s e ∴>=->，即224(2)(1)(1)a e e a -≥--成立，因此()0x 0e (e 1)(1)x f a a≥--.……（12分）。
北京市怀柔区第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷
则 X 的数学期望 E ( X ) = （ ）
试卷第11 页，共33 页
A．2
B．2
或
1 2
C．2
和
1 2
D．
1 2
8．某学生回家途中遇到红灯的概率为 3 ，这名学生回家途中共有 3 个交通岗，假设在 5
各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，设 X 表示这名学生回家途中遇到红灯的次
19．已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知．
(1)求数列{an} 的通项公式；
(2)若
ìíbn î
-
1 an
ü ý þ
是公差为
2
的等差数列，
b1
=
2
，求数列{bn
}
的前
n
项和 Tn
．
条件①： a1 = 1且 an - 2an-1 = 0 (n ³ 2) ；
)6
的展开式中常数项是_________．
13．已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且 a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = 150 ，则 S9 = _______
__．
14．若实数1,
x,
y,
4
成等差数列，
-2,
a,
b,
c,
-8
成等比数列，则
y
b
x
=___________.
11． n n +1
【解析】利用裂项相消法求和.
【详解】原式
=
æçè1
-
1 2
ö ÷ø
+
æ çè
福建省厦门第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
厦门第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（ ）A. B. C. D. 2. 设抛物线焦点为，点为曲线第一象限上的一点，若，则直线的倾斜角是（ ）A. B. C. D. 3. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）A. B. C. 2 D. 84. 在等比数列中，是函数的极值点，则A. B. C. D.5. 有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同分配方法种数为（ ）A. 12B. 14C. 22D. 246. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）A. B. C. D. 7. 若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x 个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 78. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数取值范围为（ ）的的5m y m t s 24.9y t =-0.5s t =m/s 4.9-9.8- 4.99.823C y x =：F A C 3FA =FA π3π42π33π4P 2ln y x x =-P 4y x =-{}n a 37,a a 321()4913f x x x x =++-5a =4-3-34,,A B C A ()0,∞+()f x ()()0xf x f x '-<()22f =()ee 0x xf ->(),ln2-∞()ln2,+∞()20,e ()2e ,+∞x N ∈512x ()ln e mx f x x x =-12x x <1212()()1f x f x x x -<-mA B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ）A. B. 只有第4项的二项式系数最大C. 各项系数之和为1 D. 的系数为56010. 现有4个编号为1，2，3，4盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则（ ）A. 没有空盒子的方法共有24种B. 可以有空盒子的方法共有128种C. 恰有1个盒子不放球的方法共有144种D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种11. 已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数，，则的最小值为______．13. 展开式中常数项为12，则______．14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线，则______．四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知是等差数列，，且，，成等比数列．（1）的通项公式；（2）设数列的前项和为，满足，求的最小值．.的1(0,e (0,e]1[,)e +∞[e,)+∞212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭7n =5x y kx =ln y x =11(,)M x y 22(,)N x y ln y x =M N 00(,)P x y 1k e <<0120e x x x =1201y y y +=+121y y <()f x x x =-[0,π]x ∈()f x 21(2)(1)nx x +-n =()2222:10,0x y E a b a b-=>>1F 2F 2F E A B 1AB AF =E 1cos BAF ∠={}n a 26a =54a -5a 56a +{}n a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S 110n S >n16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为．（1）求证：平面；（2）若点为棱的中点，（ⅰ）求点到平面的距离；（ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．17. 已知函数，，其中为常数．（1）若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的面积；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．18. 已知椭圆C：过点，长轴长为.（1）求椭圆方程及离心率；（2）直线l ：与椭圆C 交于两点M 、N ，直线AM 、AN 分别与直线交于点P 、Q ，O 为坐标原点且，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标.19. 已知函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，记极小值点为．（ⅰ）证明：存在唯一零点；（ⅱ）求证：．（参考数据：）的111ABC A B C -12CC =D E AC 1CC 1C ABC D 1A C ⊥BDE F 11B C F BDE FBD BDE ()(1)e x f x x a =+-21()2g x x ax =+a 2a =()f x (0,(0))f [0,)x ∈+∞()()f x g x ≥a ()222210x y a b a b+=>>()2,1A --y kx m =+4x =-OP OQ =()2ln 12a f x x x x =--a ∈R 1a =()f x a<0()f x 0x ()f x 1x 104x x >3e 20.85≈厦门第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AD【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】5【14题答案】【答案】##四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）（2）【16题答案】【答案】（1）证明略；（2）（ⅰⅱ.【17题答案】【答案】（1），； （2）【18题答案】【答案】（1）； （2）证明略，定点坐标为.【19题答案】【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间（2）（ⅰ）证明略；（ⅱ）证明略π14-18-0.125-22n a n =+9210x y -+=141a ≥22182x y +=(4,0)-()0,∞+。
上海市浦东新区2020-2021学年高二下学期期中数学试题(1)
根据题意双曲线 ，双曲线图象如图：
而 ，
得： ，
周长为 50．
故答案为：50．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义，通过对定义的应用，求出周长，属于中档题．
11．
【分析】
求出椭圆 的右焦点得到圆心，再求出双曲线 的渐近线，根据圆心到渐近线的距离得圆的半径，即可求出圆的方程．
【详解】
，
椭圆 的右焦点为 ，
A． B． C． D．
三、解答题
18．若复数z满足方程： （ 为虚数单位)，求复数z
19．已知双曲线经过点 ，其渐近线方程为 ，求此双曲线的方程.
20．求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点 的抛物线的方程.
21．若方程 所表示的曲线为 .
（1）试讨论实数 的取值范围，使曲线 分别为：①圆，②双曲线；
设 ，
由题意可得 ，
，当且仅当 时，等号成立，
又 ，当 时，等号成立，
，当且仅当 时，m取得最大值， 时，m取得最小值，
10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，直线 过点 交双曲线的左支于 、 两点，且 ，则 的周长为______.
11．以椭圆 的右焦点为圆心，且与双曲线 的两条渐近线都相切的圆方程为______.
12．已知点 ， 及抛物线 ，若抛物线上点 满足 ，则 的取值范围是______.
13．已知椭圆C的焦点 （-2 ，0）、 （2 ，0），且长轴长为6，设直线 交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标
由直线 化为 ，故 ，
又 ，故 ，故答案为 ．
【点睛】
一般地，如果直线方程的一般式为 ，那么直线的斜率为 ，且 ，其中 为直线的倾斜角，注意它的范围是 ．
4．
安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题
安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．设()f x 存在导函数且满足()()112lim 12x f f x x∆→--∆=-∆，则曲线()y f x =上的点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ） A ．1-B ．2-C ．1D ．22．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a 种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b 种，则（a ，b ）为（ ）A ．（34，34）B ．（43，34） C ．（34，43） D ．（A 43，A 43）3．5的展开式中的常数项是（ ）A ．270-B ．270C ．540-D ．5404．函数()2ln f x x x =-的单调递减区间为（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),2-∞5．若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是A ．[]1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦6．某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有 A ．144种B ．150种C ．196种D ．256种7．若[)0,x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．2e 1≤++x x x B 211124x x <-+C ．21cos 12x x ≥-D ．()21ln 18x x x +≥-8．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x -'=+-(e 是自然对数的底数)，且()01f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[),0e -B ．)2,0e ⎡-⎣C ．(],0e -D ．(2,0e ⎤-⎦二、多选题9．已知2nx ⎛⎝的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）A ．所有奇数项的二项式系数和为122B ．所有项的系数和为123C ．二项式系数最大的项为第6项或第7项D ．有理项共5项10．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（ ）A ．共有60种不同的坐法B ．空位不相邻的坐法有72种C ．空位相邻的坐法有24种D ．两端不是空位的坐法有27种11．函数()e xf x ax =-有两零点1x ，2x 且12x x <，记函数的极小值点为0x ，则下列说法正确的是（ ）A ．e a >B ．122x x +>C ．121x x >D ．1202x x x +<三、填空题12．若2311n n A C ++=，则n ＝．13．李华同学忘记了自己的QQ 号，但记得QQ 号是由一个1，一个2，两个5和两个6组成的六位数，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ 号最多尝试次数有种（用数字作答）．14．函数()22ln 1f x x x a x =-++有两个极值点1x ，()212x x x <，则()2f x 取值范围．四、解答题15．已知函数2()103(1)ln f x x x f x '=-+.(1)求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)求()f x 的单调区间和极值.16．（1）求()()541213x x +-的展开式中含3x 的项； （2）若()62212012121x x a a x a x a x ++=++++L ，求：①02412a a a a ++++L ； ②123122312a a a a ++++L .17．设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数，e ＝2．718 28…是自然对数的底数）．（1）当0k ≤时，求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数()f x 在（0,2）内存在两个极值点，求k 的取值范围． 18．如图，从左到右有5个空格．(1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法?（用数字作答）(2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法（用数字作答）(3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）． 19．已知函数2()e e,x f x mx m =+-∈R .（注：e 2.718281=…是自然对数的底数） (1)当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)若()f x 只有一个极值点，求实数m 的取值范围；(3)若存在n ∈R ，对与任意的x ∈R ，使得()f x n ≥恒成立，求m n -的最小值.。
高二数学期中考试试题
高二数学期中考试试题一、选择题：（每题5分共60分）1.已知a，b，c是△abc三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角c的大小为()a．60°b．90°c．120°d．150°2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()a.12b.22c.2d.323.在△abc中，已知sinacosb＝sinc，那么△abc一定是()a．直角三角形b．等腰三角形c．等腰直角三角形d．正三角形4.如果,那么下列不等式成立的是（）a．b．c．d．5.目标函数，变量满足，则有（）a．b．无最小值c．无最大值d．既无最大值，也无最小值6.下列有关命题的说法正确的是a．命题“若，则”的否命题为：“若，则”；b．命题“使得”的否定是：“均有”；c．在中，“”是“”的充要条件；d．“或”是“”的非充分非必要条件.7..设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈n*)，则f(n)等于（）a.27(8n－1)b.27(8n＋1－1)c.27(8n＋3－1)d.27(8n＋4－1)8.已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为（）a．b．c．d．10.若点o和点f分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点p 为椭圆上的任意一点，则op→fp→的最大值为()a．2b．3c．6d．8二.填空题（每题5分共20分）13.不等式的解集是，则a＋b的值是14.已知数列满足，，则的最小值为____.15.已知椭圆的焦点是,Ｐ为椭圆上一点，且是和的等差中项.若点p在第三象限，且∠＝120°，则.16.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点分别为f1(－c,0)，f2(c,0)，若椭圆上存在点p使asin∠pf1f2＝csin∠pf2f1成立，则该椭圆的离心率的取值范围为________．三、解答题(每题12分)17.命题p：关于x的不等式对于一切恒成立，命题q：若为真，为假，求实数a的取值范围。
上海市华东师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
上海市华东师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．直线230x y -+=的倾斜角为.2．若直线23140x y -+=与2150ax y -+=平行，则=a .3．直线l 过点()1,2，法向量为()1,2n =r ，则l 的一般式方程为.4．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为． 5．正四面体中，则其侧面与底面的二面角的余弦值等于6．122x⎛ ⎝的二项展开式中的常数项为．（结果用数字表示） 7．已知n 个人排成一列，设事件A 表示“甲乙两人不能排在一起”，事件B 表示“丙必须排在前两位”，若()()P A P B =，则n =.8．如图，圆柱12O O 的底面半径为2，高为5,,A B 分别是上、下底面圆周上的两个点，若12O A O B ⊥，则AB =.9．已知椭圆Γ经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为Γ的焦点，则Γ的离心率的最小值为.10．已知双曲线2222Γ:1(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，点,P Q 都在Γ上，且关于y 轴对称，若直线,AP AQ 的斜率之积为2-，则Γ的渐近线方程为.11．已知直棱柱111ABC A B C -的高为6(0)a a>，底面三角形的三边长分别为345、、．过三条侧棱中点的截面把三棱柱分成两个完全相同的三棱柱，然后用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或者四棱柱，计算后发现表面积都比原来三棱柱111ABC A B C -的表面积小，那么正数a 的取值范围是.12．已知(),P x y 是曲线22161(0)y x y -=>的取值范围是.二、单选题13．设,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ是空间中两个不同的平面，那么下列说法正确的为（ ）A ．若//αβ，m α⊂，则//m βB ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m nC ．若//,m n m α⊂，则//n αD ．若//,,m n m n αβ⊂⊂，则//αβ三、多选题14．从某个品种的小麦中随机选取14株，测量麦穗长度（单位：cm ），所得的样本数据用茎叶图表示如图，据此可估计该品种小麦麦穂长度情况，那么下列说法错误的是（ ）A ．小麦麦穗长度的极差是3.9B ．小麦麦穗长度的中位数等于众数C ．小麦麦穗长度的中位数小于平均数D ．小麦麦穗长度的第75百分位数是10.6四、单选题15．掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件B 表示“两个点数都是奇数”，事件C 表示“两个点数之和是偶数”，事件D 表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ）A ．A 与B 是对立事件B ．A 与CD ⋂是互斥事件 C ．B 与D 是相互独立事件 D ．B 与C D ⋃是相互独立事件16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F P 平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（ ）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2π C ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3 D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π五、解答题17．已知直线:220l x y +-=，圆22:(1)(2)4C x y -+-=．(1)求直线l 与圆C 相交所得的弦长；(2)求圆C 关于直线l 对称所得的圆的方程．18．如图，圆锥SO 的底面半径为3，圆锥的表面积为24π．(1)求圆锥SO 的体积；(2)设,A B 是底面圆周上的两点，且平面SOA ⊥平面SOB ，求直线SO 与平面SAB 所成角的正弦值．19．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．(1)若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少?（结果精确到0.1米）(2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h 和拱宽l ?（结果精确到0.1米）以下结论可以直接使用：①椭圆22221x y a b+=的面积公式πS ab =．② 2.2361.414≈．20．已知抛物线2Γ:2x y =的焦点为F ，过Γ在第一象限上的任意一点P 作Γ的切线l ，直线l 交y 轴于点Q ．过F 作l 的垂线m ，交Γ于,A B 两点．(1)若点Q 在Γ的准线上，求直线l 的方程；(2)求PF 的中点M 的轨迹方程；(3)若三角形PAB Q 的坐标．21．已知椭圆22Γ:184x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，直线:l y kx m =+与Γ交于,A B 两点，P 为Γ上异于,A B 的点．设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ．(1)若三角形12PF F 的面积为2，求点P 的坐标；(2)若()()120,2,30P k k k k +=≠，证明：直线AB 过定点；(3)若12F A F B u u u r u u u u r ∥，求,m k 满足的关系式．。
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．下列说法正确的有（）
A．数据4，7，6，5，3，8，9，10的第70百分位数为8
B．线性回归模型中，相关系数r的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强
C．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越大，拟合效果越好
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到2 3.218
c=，依据0.05
a=的独立性
检验（
0.053.841
x=），没有充分证据推断原假设不成立，即可认为X与Y独立
四、双空题
16．已知函数2
()(2),0()e , 0
x a x x x f x ax x -+£ì=í->î.（1）若0a =，则()1f x >的解集为______________；（2）若关于x 的不等式()0f x ³的解集为[)2,-+¥，则实数a 的取值范围为______________.。
2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则000()()lim 2x f x x f x x∆→-∆-=∆（ ）A ．()012f x -' B ．()02f x '- C ．()0f x ' D ．()02f x '【答案】A【分析】变形，结合导数的定义，计算出结果. 【详解】因为()f x 在0x x =处可导,所以，由导数的定义可得：()0000000()()()()11lim lim 222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-⎡-∆-⎤⎛⎫⎛⎫'=-⋅=- ⎪ ⎪⎢⎥∆-∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：A2．已知()1nx -的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第3项为（ ） A ．8- B ．8x - C ．228x - D ．228x【答案】D【分析】利用二项式定理求得()1nx -的展开通项公式，从而得到关于n 的方程，解之即可求得展开式中的第3项.【详解】因为()1n x -的展开通项为()()1C 11C k kk n k k kk n n T x x -+=-=-，所以()1nx -的展开式的第1k +项的二项式系数为C kn ，因为()1nx -的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，所以26C C n n =，由性质22C C n n n-=得26n -=，故8n =， 所以()1n x -展开式中的第3项为()2222381C 28T x x =-=. 故选：D.3．已知函数()cos sin f x x x x =-，则π6⎛⎫' ⎪⎝⎭f 的值为（ ）A ．π2B ．π12-C ．1-D ．π-【答案】B【分析】先对()f x 求导，再利用特殊角的三角函数值即可得解.【详解】因为()cos sin f x x x x =-，所以()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+--=-， 所以ππππsin 66612f ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.4．因为疫情防控的需要，某校高二年级4名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不同的安排方法有（ ）种． A ．34 B ．816 C ．216 D ．210【答案】B【分析】先采用间接法求解巡视商户的3人中至少一名男教师的安排方法种数，然后再求解另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法种数，综合即可得出结果． 【详解】从7人中任选3人，不同的选法有37C 种，而不选男教师的选法有33C 种，则巡视商户的3人中至少一名男教师安排方法有3373C C 34-=种，另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法有44A 24=种．则这7名教师不同的安排方法有3424816⨯=种． 故选：B ．5．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.5，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中一次，则甲命中目标的概率为（ ） A ．0.6 B ．0.625 C ．0.5 D ．0.3【答案】B【分析】先由题意求得目标至少被命中1次的概率，目标至少被命中1次且甲命中目标的概率，再由条件概率公式即可求得结果．【详解】记事件A 为“甲命中目标”，事件B 为“目标至少被命中1次”， 则()1(10.5)(10.6)0.8P B =--⨯-=，()0.5(10.6)0.50.60.5P AB =⨯-+⨯=，()0.5()0.625()0.8P AB P A B P B ===． 故选：B.6．已知2()ln 1f x x x mx =++-在区间(1,2)上为单调递增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≥-B ．4m >-C ．3m >-D ．3m ≥-【答案】D【分析】求出导函数，推出12m x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭在区间(1,2)上恒成立，构造函数，求解函数的最值，从而求出实数m 的取值范围．【详解】2()ln 1f x x x mx =++-在区间(1,2)上为单调递增函数则1()20f x x m x '=++≥在区间(1,2)上恒成立 即12m x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭在区间(1,2)上恒成立设1()2h x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(1,2)x ∈2221()2012x h x x x '=-+=-=<函数()h x 在(1,2)上是减函数，则()(1)3h x h <=- 所以3m ≥-． 故选：D ．7．在()()()()2391111x x x x ++++++++的展开式中，3x 的系数为（ ）A ．120B ．84C ．210D ．126【答案】C【分析】先通过求出各项二项式中3x 的系数，再利用组合数的性质即可得解. 【详解】因为()1nx +的展开通项为1C 1C k n kk k kk n n T x x -+==，所以()1x +的展开式中没有3x 这一项，()21x +的展开式中没有3x 这一项， ()31x +的展开式中3x 的系数为33C ， ()41x +的展开式中3x 的系数为34C ，……()91x +的展开式中3x 的系数为39C ，所以所求3x 的系数为333434910C C C C 210+++==.故选：C.8．定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数(),()f x f x '是()f x 的导函数，且()tan ()f x x f x '<-⋅成立，2,,346a fbc fπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a，b，c的大小关系为（）A．b a c>>B．c b a>>C．c a b>>D．a b c>>【答案】B【分析】由条件可得cos()sin()0x f x x f x'⋅+⋅<，考虑构造函数()()cosf xg xx=，结合导数运算公式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数()g x在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递减，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】因为0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos0x>，所以()tan()f x x f x'<-⋅可化为sin()()0cosxf x f xx'+⋅<，即cos()sin()0x f x x f x'⋅+⋅<，设()()cosf xg xx=，则()()()()2cos sincos cosf x f x x f x xg xx x''+⎛⎫'==⎪⎝⎭，所以当0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x'<，所以函数()g x在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递减，因为πππ643<<，所以3ππ4π6g g g⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以πππ643πππcos cos cos643f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>πππ2643f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c b a>>，故选：B.二、多选题9．随机变量ξ的分布列为：其中0ab≠，下列说法正确的是（）A．1a b+=B．3()2bEξ= C．()Dξ随b的增大而减小D．()Dξ有最大值【答案】ABD【分析】利用分布列的性质及期望与方差的公式，列出表达式，逐项判定，即可得出答案． 【详解】根据分布列的性质得122b ba ++=，即1ab +=，故A 正确；根据期望公式得3()012222b b bE a ξ=⨯+⨯+⨯=，故B 正确；根据方差公式得222333()(0)(1)(2)22222b b b b bD a ξ=-⨯+-⨯+-⨯222333(0)(1)(1)(2)22222b b b b b b =-⨯-+-⨯+-⨯22959525()424936b b b =-+=--+，因为01b <<，当509b <≤时，()D ξ随b 的增大而增大；当519b <<时，()D ξ随b 的增大而减小，故C 错误；当59b =时，()D ξ取得最大值2536，故D 正确，故选：ABD ．10．已知102(0)ax a⎛> ⎝展开式的各项系数和为1024，则下列说法正确的是（ ）A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在含6x 的项D ．展开式中含15x 项的系数为45【答案】BD【分析】由1x =结合展开式的各项系数和得出1a =，再由二项展开式的通项及二项式定理的性质逐一判断即可．【详解】∵展开式的各项系数之和为1024，∴令1x =，得10(1)1024a +=，∵a ＞0，∴a ＝1则二项式为102x⎛ ⎝，其展开式的通项为：()520102211010C C rr rr r r T xx--+== 展开式中奇数项的二项式系数和为12×1024＝512，故A 错误； 由展开式的通项可知，项的系数与其二项式系数相同，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，故B 正确；令52062r -=，可得285r =不是自然数，则展开式中不存在含6x 的项，故C 错误；令520152r -=，解得2r =，所以展开式中含15x 项的系数为210C 45=，故D 正确，故选：BD ．11．某学校共有5个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（ ）A ．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为24125B ．四人去了同一餐厅就餐的概率为11296C ．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为96625D ．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为45【答案】ACD【分析】对于ABC ，利用排列组合的意义及古典概型概率的求法，求出对应事件的概率，从而得以判断；对于D ，根据题意得到第一餐厅就餐的人数X 服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的求法求得X 的期望，由此判断即可.【详解】依题意得，四位同学随机选择一家餐厅就餐有45选择方法，对于A ，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为454A 54322455555125⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，故A 正确；对于B ，四人去了同一餐厅就餐的概率为154A 5155555125==⨯⨯⨯，故B 错误；对于C ，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为2244C 46449655555625⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，故C 正确； 对于D ，每个同学选择去第一餐厅的概率为15，所以去第一餐厅就餐的人数X 服从二项分布14,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以14()455E X =⨯=，故D 正确.故选：ACD.12．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点12,x x ，且12x x <，则下列选项正确的有（ ）A ．10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()y f x =在(0,e)上单调递减C ．126x x +>D ．若221,e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212a x x a --<【答案】AD【分析】根据参变分离构造函数()ln xg x x=，根据()g x 的性质，即可判断A ；求导得()f x '，结合10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可判断B ；构造函数()()()()2e ,e,2e F x f x f x x =--∈，利用导数求解12x x +的范围，即可判断C ，根据()21,f f a ⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小关系结合()f x 的单调性即可判断D ．【详解】对于A ，由()0f x =等价于ln xa x=，令()()2ln 1ln ,x x g x g x x x -'==， 令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >， 所以()g x 在()0,e 单调递增；在()e,+∞单调递减， 当e x =时，()g x 取极大值()1e =eg ，当()1,0x g x <<；当1x >时，()0g x >，()10g =， 则121e,e,x x <<>10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 正确．对于B ，()11ax f x a x x-'=-=， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，因为10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1e a <，所以()f x 在(0,e)单调递增，故B 错误；对于C ，由A 可知120e x x <<<，当22e x ≥时，122e x x +>， 当()2e,2e x ∈时，令()()()()()()e ln ln 2e 2e 2e ,e,2F x f x x x ax f x a x x =--=-+-∈--， 11112e()222e 2e (2e )F x a a a a x x x x x x =-+-=+-=----'， ()()22e,2e ,2e 2e e x x x x x ∈∴-=-+<，()()2e 22202e eF x a a x x =->--'∴>，()F x ∴在()e,2e 上单调递增，()()e 0F x F ∴>=，()()2e f x f x ∴>-，则()()222e f x f x >-，又()()21f x f x =，()()122e f x f x ∴>-，又()f x 在()0,e 上单调递增，12e 2e 0x x >>->，122e x x ∴>-，122e x x ∴+>，综上122e x x +>，故C 错误；对于D ，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，且221,e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12110,,,x x a a ⎛⎫⎛⎫∴∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()110f a f x =-<=，11x ∴>，()2222ln 2lne 20f f x a a ⎛⎫=-<-== ⎪⎝⎭，22x a ∴<，21221a x x a a-∴-<-=，故D 正确， 故选：AD ．三、填空题13．全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5个学科，4名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择1个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是_______________． 【答案】625【分析】利用分步乘法有理求不同的报名方法种数即可.【详解】由已知第一位同学的报名方法有5种，第二名同学的报名方法有5种，第三名同学的报名方法有5种，第四名同学的报名方法有5种，由分步乘法计数原理可得4名同学的不同的报名方法种数是5555⨯⨯⨯种，即625种， 故答案为：625.14．同时抛郑两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，则4次试验中至少有2次成功的概率是______________． 【答案】67256【分析】由题意可知4次试验中成功次数X ～14,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此即可得出答案．【详解】同时抛郑两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功， ∴这次试验成功的概率为111224⨯=，∴在4次试验中成功次数X ～14,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴4次试验中至少有2次成功的概率是2234234444131315412167C +C C 44444256256256256⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故答案为：67256． 15．若77017(21)x a a x a x +=++⋯+，则7+11(1)i i i ia =-=∑______________．【答案】14【分析】由二项式定理可求0127,,,,a a a a ⋅⋅⋅，利用组合数性质化简+1(1)i i ia -，结合二项式定理求值.【详解】因为()()()()0127071625707777772(1C 12C 122))C 21C 12(1x x x x x x +==+++⋅⋅+⋅+，化简可得0122277777777C 2C 22(1C C 2)x x x x =++++⋅⋅⋅+，又77017(21)x a a x a x +=++⋯+，所以72C ,0,1,2,3,4,5,6,7,i ii a i ==当1,2,3,4,5,6,7i =时， ()()()1767!6!C 77C !7!1!61!i i i i i i i i -=⋅=⋅=---+，所以()1+1+1+111766(1)(1)2C (1)7C 214C 2i i i i i i i i i i i a i ---⋅⋅⋅-⋅=-⋅⋅=-⋅=⋅-， 所以()()77711+11166111(1)14C214C 2i i i i i i i i i ia ----===-=-=-∑∑∑，所以()()()()()7126+10615246066661(1)14C 12C 12C 12C 12i i i ia =-=-+-+-+⋅⋅⋅+-∑，所以()76+11(1)141214i i i ia =⎡⎤-=+-=⎣⎦∑，故答案为：14.16．若函数()g x 在区间D 上有定义，且,,,(),(),()a b c D g a g b g c ∀∈均可作为一个三角形的三边长，则称()g x 在区间D 上为“M 函数”．已知函数()1ln x f x x k x -=-+在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为“M 函数”，则实数k 的取值范围为_________________． 【答案】()2e 4,-+∞【分析】先由题意得到()()min max 2f x f x >且()min 0f x >，再利用导数求得()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，从而求得k 的取值范围.【详解】根据题意可知()g x 在区间D 上为“M 函数”，则有()()min max 2g x g x >且()min 0g x >， 因为()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为“M 函数”，所以()()min max 2f x f x >且()min 0f x >，因为()11ln 1ln e 1e x f x x k x k x x x -⎛⎫=-+=--+≤≤ ⎪⎝⎭，所以()22111x f x x x x -'=-=， 令()0f x '<，得1e x <≤；令0fx，得11ex ≤<；所以()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在(]1,e 上单调递减，则()()max 1f x f k ==，又111e ln 2e e e f k k ⎛⎫=--+=+- ⎪⎝⎭，()11e 1ln e e e f k k =--+=-，则()111e 2e 2e 0e e 2f f ⎛⎫-=-+<-+< ⎪⎝⎭，即()1e e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()min 12e e f x f k ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，所以()22e 2e 0k k k ⎧+->⎨+->⎩，解得2e 4k >-，所以实数k 的取值范围为()2e 4,-+∞. 故答案为：()2e 4,-+∞.四、解答题17．为支援武汉抗击疫情，某医院准备从6名医生和3名护士中选出5人组成一个医疗小组远赴武汉，请解答下列问题：（用数字作答）(1)如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？(2)医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须医生和护士都有，共有多少种不同的建组方案？【答案】(1)75种；(2)65种【分析】(1)根据题设可知可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人，再根据组合问题的求解方法求解即可；(2)先求出除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案的种数，再减去只有医生、护士的情况种数，即可的到答案.【详解】(1) 如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人， 可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人，所以共3223636375C C C C +=种不同的建组方案.答：共有75种不同的建组方案．(2)由已知，除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案共488765701234C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种，其中只有医生的情况数有455C =，不可能存在只有护士的情况．故共有70565-=种不同的建组方案. 答：共有65种不同的建组方案.【点睛】本题主要考查组合的实际应用，属于基础题.解组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏，在事件的正面较多的情况下，可以考虑用排除法求解. 18．已知2mx⎛ ⎝的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12． (1)求m 的值；(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．【答案】(1)7； (2)114﹒【分析】(1)求二项式展开式的通项，根据第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12列出关于m 的方程，解方程即可求得m ；(2)根据通项求出有理项的项数，根据插空法即可求概率.【详解】（1）展开式的通项为()152222122rr m m r rr r r m m T C x x C x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，∴展开式中第4项的系数为332mC ⋅，倒数第4项的系数为332m m m C --⋅， 33332122m m m m C C --⋅∴=⋅，即611,722m m -=∴=． （2）展开式共有8项，由(1)可得当522r m -为整数，即0,2,4,6r =时为有理项，共4项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率为484485 1 14A A A =． 19．已知函数()2()e 61x f x x x =-+．(1)求函数()f x 的单调区间与极值；(2)求函数()f x 在区间[0,6]上的最值．【答案】(1)单调递增区间是(,1),(5,)-∞-+∞，单调递减区间是(1,5)-，极大值是18e -，极小值是54e -(2)最大值为6e ，最小值为54e -．【分析】（1）对()f x 求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进一步确定极值即可；（2）根据极值和端点值即可确定最值.【详解】（1）()2()e 45e (5)(1)x x f x x x x x =--'=-+．令()0f x '>，得1x <-或5x >；令()0f x '<，得15x -<<，所以()f x 的单调递增区间是(,1),(5,)-∞-+∞，单调递减区间是(1,5)-．所以()f x 的极大值是1(1)8e f --=，()f x 的极小值是5(5)4e f =-．（2）因为6(0)1,(6)e f f ==，由（1）知，在区间[0,6]上，()f x 有极小值5(5)4e f =-，所以函数()f x 在区间[0,6]上的最大值为6e ，最小值为54e -．20．将10株某种果树的幼苗分种在5个坑内，每坑种2株，每株幼苗成活的概率为0.5若一个坑内至少有1株幼苗成活，则这个坑不需要补种，若一个坑内的幼苗都没成活，则这个坑需要补种，每补种1个坑需20元，用X 表示补种费用．(1)求一个坑不需要补种的概率；(2)求5个坑中恰有2个坑需要补种的概率；(3)求X 的数学期望．【答案】(1)34(2)135512(3)25元【分析】（1）利用间接法及独立事件概率的乘法公式即可得解；（2）利用重复独立实验的概率公式即可得解；（3）根据题意得需要补种的坑数Y 服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的公式求得()E Y ，再由数学期望的性质求得()E X ，由此得解.【详解】（1）依题意，一个坑不需要补种就是2株幼苗中至少有1株成活， 所以其概率2212131C 24P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （2）由（1）得每坑要补种的概率1114P -=， 所以5个坑中恰有2个坑需要补种的概率2322513135C 44512P ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （3）设5个坑中需要补种的坑数为Y ，则Y 服从二项分布，即15,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， 所以15()544E Y =⨯= 而20X Y =，故()20()25E X E Y ==（元），所以X 的数学期望为25元.21．为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为X ，求随机变量X 的数学期望．【答案】(1)后两轮应该选择容易题进行答题，理由见解析(2)172【分析】（1）先分析得甲后两轮还有三种方案，利用独立事件的概率的乘法公式将每种方案进决赛的概率求出，比较之即可得解；（2）根据题意得到X 的可能取值，结合独立事件的概率的乘法公式将X 的每一个取值的概率求出，从而得到X 的的分布列，从而求得X 的数学期望．【详解】（1）依题意，甲前两轮都选择了中等题，只答对了一个，则甲得分为4分，要进入决赛，还需要得6分， 所以甲后两轮的选择有三种方案： 方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为10.70.70.49P =⨯=；方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为20.30.30.09P =⨯=；方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为：30.70.30.21P =⨯=； 因为132P P P >>，所以甲后两轮应该选择容易题进行答题.（2）依题意，X 的可能取值为3、7、8、11、12、16，则11771177(3),(7)2221040221020P X P X ==⨯⨯===⨯⨯⨯=， 11331177(8),(11)221040221040P X P X ==⨯⨯===⨯⨯=， 11331133(12)2,(16)221020221040P X P X ==⨯⨯⨯===⨯⨯=， 所以X 的分布列为：所以77373317()3781112164020404020402E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 22．2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交5a +元(58)a ≤≤的税收，预计当每件产品的售价定为x 元(1317)x ≤≤时，一年的销售量为2(18)x -万件，(1)求该商店一年的利润L (万元)与每件纪念品的售价x 的函数关系式；(2)求出L 的最大值()Q a ．【答案】(1)2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈(2)()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩【分析】（1）由题意，利用利润与销售量、售价、成本的关系写出函数关系式，注意定义域； （2）对L 求导，令0L '=得3823a x +=或18x =，讨论3823a +与区间[13,17]的位置情况判断L '的符号，进而确定L 的单调性，即可求得最大值．【详解】（1）由题意，预计当每件产品的售价为x 元(1317)x ≤≤，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交(5)a +元(58)a ≤≤，所以商店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为：2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈． （2）∵2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈，∴(3823)(18)L a x x =+--'，令0L '=，解得：3823a x +=或18x =，而58a ≤≤，则38216183a +≤≤， ①当38216173a +≤<，即5 6.5a ≤<时， 当38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0L '>，L 单调递增，当382,173a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0L '<，L 单调递减， ∴当3823a x +=时，L 取最大值34(8)27a -； ②当38217183a +≤≤，即6.58a ≤≤时， 当()13,17x ∈时，0L '>，L 单调递增，∴当17x =时，L 取最大值7a -，综上，()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩ 23．已知函数()e 3x f x ax =+-在0x =处的切线为=2y -．(1)求实数a 的值及函数()f x 的极值；(2)用[]t 表示不超过实数t 的最大整数，如：[0.8]0,[ 1.4]2=-=-，若0x >时，()e 2x t x t -<+恒成立，求[]t 的最大值．【答案】(1)1a =-；极小值为2-，无极大值(2)2【分析】（1）利用导数的几何意义得到()00f '=，从而求得1a =-，进而利用导数与函数的极值的关系求得()f x 的极值；（2）将问题转化为e 2e 1x x x t +<-恒成立问题，结合（1）中结论得到()g x '在(0,)+∞上有唯一零点，且012x <<，从而求得()0min 1g x x +=，由此求得[]t 的最大值．【详解】（1）根据题意，易得函数()f x 的定义域为R ，因为()e x f x a '=+，由已知得()00f k '==，即0e 0a +=，则1a =-，所以()e 3x x f x =--，()e 1x f x '=-，令0f x ，得0x >；令()0f x '<，得0x <；所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 的极小值为()02f =-，无极大值．（2）因为当0x >时，e 10x ->，故不等式()e 2xt x t -<+等价于e 2e 1x x x t +<-，令e 2()e 1x x x g x +=-，则()()2e e 3()e 1x x x x g x --=-'，()min t g x <， 由（1）得()e 3x x f x =--在(0,)+∞上单调递增，又因为2(1)e 130,(2)e 230f f =--<=-->，所以()f x 在(0,)+∞有唯一零点0x ，且012x <<， 所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点，且012x <<，又当()00,x x ∈时，()0f x <，则()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x >，则()0g x '>， 所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()g x 的最小值为()()0min g x g x =，由()00g x '=得00e 3x x =+，所以()()00000000321e 22e 1x x x g x x x x x +=+=+=-++， 因为012x <<，所以()023g x <<，因为()min t g x <，所以[]t 的最大值为2．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
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高二数学下学期期中考试1
试 题
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
班级 姓名 学号
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。
13. 已知)(,11)11(2
2x f x x x x f 则+-=+-的解析式为 。
14. 方程233log (10)1log x x -=+的解是______________。
15. 已知命题p ：不等式｜x ｜＋｜x －1｜＞a 的解集为R ，命题q ：()(52)x f x a =--是减函数，若“p 或q ”为真，而“p 且q ”为假，则实数a 的取值范围是 。
16. 把实数a ，b ，c ，d 排成如⎪⎭
⎫ ⎝⎛d c b a 的形式，称之为二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛dy cx by ax y x d c b a ，该运算的几何意义为平面上的点(x ,y )在矩阵⎪⎭
⎫ ⎝⎛d c b a 的作用下变换成点),(dy cx by ax ++，则点)3,2(在矩阵⎪⎭
⎫ ⎝⎛0110的作用下变换成点 。
三、解答题（本大题共6小题，17～21题每题12分，22题14分，共74分）
17.记函数()f x =A, []()lg (1)()g x x a a x =---的定义域为B 。
(1) 求A ； (2) 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围。
18. 设x x a x f 2
112)(+-⋅=是R 上的奇函数， （1）求实数a 的值及)(x f 的反函数； （2）判定)(x f 在R 上的单调性。
19. 我市一个小型服装厂生产某种风衣，统计发现月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x 件的成本为R=500+30x 元。
(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？
20. 已知a 为实数，设函数()324f x x ax x a =--+。
（1） 求导函数'()f x ；
（2）若'(-1)0f =，求()f x 在]2,2⎡-⎣上的最大值和最小值。
21. 已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。
（1）求()f x 的解析式；
（2）若函数()f x 在区间[],2m m +上的最小值为12-，求m 的值。
22.函数()f x 的定义域是}{
0x R x ∈≠，当1x >时，()0,(4)1f x f >=，且对定义域内任意实数,x y 都有()()()f x y f x f y ⋅=+。
（1）求(1)f 和(1)f -的值；
（2）判断()f x 的奇偶性，并证明()f x 在(0,)+∞上是增函数；
（3）解不等式(31)(26)3f x f x ++-≤。