旋转体1
旋转体公式
旋转体公式
旋转体，作为数学和物理学中一类有趣的几何体，以其独特的形式和形式而闻名。
旋转体是由自身和外形共同组成的几何形状，其表面上的每一点均以同一个点为中心，绕同一个轴线旋转而得到。
这些起源于外形的轴，有时也称为旋转轴线。
在数学中，旋转体的描述主要基于李斯特公式（Lissajous formula），其表达式如下：Y=A*sin[B(φ+θ)]，其中A和B分别表示投影的峰值和频率。
由此可见，当按照这一公式所刻画出的旋转体轴线曲线由多轴线构成时，可以用矢量遮盖法在空间内以有限次数定义该曲线。
除了在几何学中的应用外，李斯特公式也广泛应用于物理学，可以用来求解物体在多轴旋转时的动量变化情况，从而计算出物体的轨迹和侧向力。
此外，李斯特公式也被用来解释图像识别，可以准确刻画出图像的形状和特征，从而实现自动图像识别。
旋转体在数学和物理学中均具有一定的应用价值，它帮助我们更清楚地理解实物性质，如角动量，旋转轴线等，从而更好地应用到生活或工业等不同领域。
以李斯特公式为基础，旋转体可以更准确地界定，帮助我们深入理解不同物体的性质，从而实现更加精确的科学研究。
§15.3-1 旋转体(1)---圆柱
B1
B5
B2
B3
B4
A8 A1
A2 A3
A7 A6 A5
A4
§15.3-1
旋转体(1) 二、圆柱
例2 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个
全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8
等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不
安装上底面）
(2)当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线A1B3与 A3B5所在异面直线所成角的大小（用反三角函数表示）.
④按一条母线展开的侧面展开图是矩形.
⑤平行于轴的截面是矩形.
4.圆柱的体积公式：
⑥3.与圆轴柱不的平侧行面也积不公垂式直：S的圆柱截侧面=是2椭 r圆l .l是母V圆线柱长=，rr是2l底半径
Ⅰ.基础知识
§15.3-1 旋转体(1) 二、圆柱
3.圆柱的侧面积公式：S圆柱侧= 2 rl l是母线长，r 是底半径
B8
B7 B6
B8
B7 B6
B1
B5 B1
B5 B1
B5
B2
B3
B4
B2
B3
B4
B3
A8
A7 A6
A8
A7 A6
A1
A5 A1
A5 A1
A5
A2 A3
A4
A2 A3
A4
A3
转一周，所形成的几何体叫做圆柱. 圆柱的轴： 定直线AB
A
D
圆柱的底面：线段AD和BC旋转而成的圆面.
圆柱的侧面：线段CD旋转而成的曲面.
圆柱的母线：线段CD是一条母线.
B
C
圆柱的高： 两底面间的距离. 2.圆柱的性质： ①圆柱的无数条母线平行、相等,垂直于底面，且与轴平行
北师大版高中数学必修二教师用书：1-1-1 简单旋转体
1．1简单旋转体1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．()(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．()(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ()(4)圆柱的任意两条母线相互平行．()(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包括球的表面，还包括球面包围的空间．()[★答案☆](1)×(2)√(3)×(4)√(5)√题型一旋转体的结构特征【典例1】给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．其中说法正确的是________．[思路导引]根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．[解析]①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③正确，圆台的上下底面半径、母线及高构成一个直角梯形，母线长大于高；④不正确，圆柱夹在两个不平行于底面的截面间的几何体不是旋转体；⑤正确，如图(2)所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[★答案☆]①②③⑤(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[针对训练1]下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3[解析]②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.[★答案☆]C题型二旋转体的有关计算【典例2】已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm、2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求这个圆台的母线长．[思路导引]圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径．因此可以考虑用轴截面解答．[解]如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.由A′O′AO＝SA′SA，得SA′＝A′O′AO·SA＝12×12＝6(cm)，于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)，故这个圆台的母线长为6 cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．[针对训练2]用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长________cm.[解析]如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.[★答案☆]91．关于下列几何体，说法正确的是()A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台[解析]图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．[★答案☆]D2．下列命题正确的个数为()①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．A．1 B．2 C．3 D．4[解析]3．球的直径有()A．一条B．两条C．三条D．无数[解析]经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．[★答案☆]D4．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．[解析]圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．[★答案☆]②③④课后作业(一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以★答案☆选B.[★答案☆] B2．下列说法不正确的是( )A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形B ．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C ．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D ．圆台平行于底面的截面是圆面[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C 错．[★答案☆] C3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A ．10B ．12C ．20D ．15[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B.[★答案☆] B4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°.[★答案☆] C5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( )A ．8 B.8π C.4π D.2π[解析] 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面面积为8π.[★答案☆] B6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．[解析]作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13，∴r＝1.[★答案☆]17．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________．[解析]设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1.设球的半径为R，则R＝d2＋r2＝2，故球的直径为2 2.[★答案☆]228．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体；②球的半径是球面上任意一点与球心的连线；③球的直径是球面上任意两点间的连线；④用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确的序号是________．[解析]球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确．[★答案☆]①②9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径.[解]设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q 2. 所以此圆柱的底面半径为Q 2.10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，∴圆锥的底面圆的直径为12，∴半径R ＝6，∴圆锥的底面圆的面积S ＝πR 2＝36π，圆锥的高h ＝122－62＝6 3.应试能力等级练(时间25分钟)11．下面说法正确的是( )A ．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B ．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C ．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D ．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形[解析] 平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A 错误，C 正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B 、D 都不正确．故选C.[★答案☆] C12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )[解析]截面图形应为图C所示的圆环面．[★答案☆]C13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[解析]外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．[★答案☆]B14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm2.[解析] 如图所示，过球心O 作轴截面，设截面圆的圆心为O 1，其半径为r .由球的性质，OO 1⊥CD .在Rt △OO 1C 中，R ＝OC ＝5，OO 1＝4，则O 1C ＝3， 所以截面圆的面积S ＝π·r 2＝π·(O 1C )2＝9π.[★答案☆] 9π15．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;(2)当x 为何值时，S 最大？[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r＝6－x 3，∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6，∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。
绕y轴旋转体体积公式两种形式
绕y轴旋转体体积公式两种形式一、绕y轴旋转体的定义和意义绕y轴旋转体是指在三维空间中，一个物体沿着y轴方向进行旋转形成的立体。
在实际生活和科学研究中，绕y轴旋转体的概念有着广泛的应用，例如轮胎、齿轮等都是典型的绕y轴旋转体。
研究其体积公式有助于更好地理解和计算相关物体的体积。
二、两种形式的体积公式1.柱壳体积公式：V = πrh其中，V表示体积，r表示柱壳的半径，h表示柱壳的高度。
此公式适用于柱壳状的绕y轴旋转体。
2.圆台体积公式：V = π(r + r + r)h/3其中，V表示体积，r、r、r分别表示圆台的三个圆环的半径，h表示圆台的高度。
此公式适用于圆台状的绕y轴旋转体。
三、公式推导和解释1.柱壳体积公式推导：柱壳可以看作是由无数个平行且相等的截面叠加而成。
每个截面的面积为πr，高度为h。
因此，柱壳的体积为所有截面面积之和，即V = πrh。
2.圆台体积公式推导：圆台可以看作是由无数个平行且相等的截面叠加而成。
每个截面的形状为圆环，其面积为πr、πr和πr。
圆台的高度为h。
因此，圆台的体积为所有截面面积之和的一半，即V = π(r + r + r)h/3。
四、实例应用和计算1.实例一：计算一个半径为2cm，高为10cm的柱壳体积。
根据柱壳体积公式V = πrh，代入数据得：V = π × 2 × 10 = 40π cm。
2.实例二：计算一个底面半径为2cm，顶面半径为4cm，高为10cm的圆台体积。
根据圆台体积公式V = π(r + r + r)h/3，代入数据得：V = π × (2 + 4 + 6) × 10 / 3 = 60π cm。
考研数学旋转体表面积公式
考研数学旋转体表面积公式
旋转体是指一个平面图形绕着某条轴线旋转一周形成的立体图形。
求解旋转体的表面积需要根据具体的旋转体形状来选择相应的公式。
常见的旋转体包括圆锥、圆柱和圆盘等。
下面分别介绍它们的表面积公式：
1. 圆锥的表面积公式：
圆锥的侧面积为 L = πrl，其中 r 为底面半径，l 为母线长度。
圆锥的底面积为 B = πr²，其中 r 为底面半径。
圆锥的总表面积为 S = L + B = πrl + πr²。
2. 圆柱的表面积公式：
圆柱的侧面积为 L = 2πrh，其中 r 为底面半径，h 为高度。
圆柱的底面积为 B = πr²。
圆柱的总表面积为 S = L + 2B = 2πrh + 2πr²。
3. 圆盘的表面积公式：
圆盘的侧面积为 L = 2πrh，其中 r 为半径，h 为高度。
圆盘的底面积为 B = πr²。
圆盘的总表面积为 S = L + B = 2πrh + πr²。
需要注意的是，以上公式中的 r 和 h 分别表示旋转体的半径和高度，具体应根据题目给出的条件进行替换计算。
另外，如
果旋转体的形状与以上所列的不同，可能需要其他相关公式来计算表面积。
简单常用的旋转体
r =R × cosθ
Cr
A
θ
R
θ
O
B
例1. 在半径是13cm的球面上有A,B,C三点, AB=BC=CA=12cm,求球心到经过这 三点的截面的距离.
解:由题AB=BC=CA=12cm
△ABC是正三角形
则截面圆是△ABC的
外接圆,故截面圆半径
O
r
=
1
2
AB
§1 简单旋转体
观察上面的图片，这些图片中的物体具有什么几 何结构特征？你能对它们进行分类吗？
1.1简单旋转体
一、球
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半 圆旋转所形成的曲面叫作球面。球面所围成 的几何体叫做球体，简称球.
A
半
O
径
球心
B
用一个平面去截一个球,所得截面是什么图形？
圆面
PC = OP 2-OC 2
= R2 - d 2 O
Rd rC
P
α
O1 A
O
令OA = R,O1A = r 则OO12 = R2 - r2
球面被经过球心的
平面所截得的圆叫
做大圆
o
球面被不经过球心
dO
的截面所截得的圆
叫做小圆
C
某点纬度— 经过该点的球半径与 赤道面所成的角的度 数等于球半径和纬线 圈所在平面的半径的 夹角。
1.2简单多面体
我们把 若干个平面多边形围成的几何体 叫多面体。 其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体
几何体的分类
柱体
锥体
台体
球
多面体
旋转体
各个简单旋转体的轴截面：
S
D
高一数学(人教A版)基本立体图形(旋转体)1教案
教案教学基本信息课题基本立体图形（旋转体）学科数学学段：高一年级高一教材书名：人教A版数学必修第二册出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学目标及教学重点、难点理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体;会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征.使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，提高学生的观察能力。
同时培养学生的空间想象能力和抽象括能力.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图讲授新知今天我们要学习的是旋转体，那什么是旋转体呢？旋转体一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.一．圆柱以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围城的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，平行于轴的边叫做圆柱的母线，圆柱介绍与圆柱有关的定义通过圆柱的定义和对图象的观察，你们有哪些发现？讲授新知用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱O′O能说说生活中你见过的哪些物体和容器是圆柱形吗？2．圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．请你仿照圆柱中轴、底面、侧面、母线的定义，给出圆锥的轴、底面、侧面、母线的定义，并在图中标出它们.圆锥也是用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥SO3.圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．注意观察圆柱形在生活中的应用“侧面的母线”（也可以简称母线），而且无需区分母线的初始位置，所以才有“无论旋转到什么位置”的说法.认真观察，分析圆台的特点，培养学生的观察能力讲授新知请同学们观察图象，你能标出圆台的侧面，轴，母和底面吗，这是圆台的侧面，圆台的轴，圆台的母线和圆台的底面.它的表示也是用它的轴的字母表示，如图圆台记作圆台O′O探究1圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台是否也可以由平面图形旋转得到？如果可以，由什么平面图形旋转得到？如何旋转？探究2圆柱，圆锥，圆台结构上有哪些相同点和不同点？当底面发生变化时，它们能否互相转化？4.球半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球．简单几何体棱柱，棱锥，棱台，圆柱，圆锥，圆台和球是常见的简单几何体，其中棱柱与圆柱统称为柱体．棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体．从旋转的角度再次认识了圆台.进而体会圆柱，圆锥，圆台的关系.加深同学们对圆柱，圆锥，圆台的认识注意球面与球的区别，球面是一种曲面，而球是球面围成的几何体.讲授新知例题观察图中的物体，说出它们的主要结构特征．例题如图，判断下列几何体是不是台体，并说明原因．例题判断下列命题是否正确．A组（1）用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和圆台；错误（2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；正确（3）以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；错误（4）圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．正确通过这道题希望同学们能加深对台体的认识。
高数定积分求旋转体体积公式
高数定积分求旋转体体积公式旋转体是高中数学中的一个重要概念，也是高数中一个重要的应用。
当我们需要计算旋转体的体积时，就需要用到定积分。
本文将以定积分为基础，介绍如何求解旋转体的体积公式。
一、什么是旋转体？旋转体是指一个平面图形绕某条直线旋转所形成的立体图形。
旋转轴可以是平面图形内的一条线段，也可以是平面图形外的一条直线。
二、如何求解旋转体的体积？对于平面图形绕某条直线旋转所形成的旋转体，我们可以通过定积分来求解其体积。
具体方法如下：1、确定旋转轴和平面图形首先需要确定平面图形和旋转轴，平面图形可以是任何形状，旋转轴可以是平面图形内的一条线段，也可以是平面图形外的一条直线。
2、对平面图形进行分割将平面图形分割成无数个小的元素，每个元素都是一个小的扇形。
每个扇形的面积为dS，半径为r，弧长为ds。
3、求解每个扇形的体积对于每个扇形，其体积为dV=πrdS。
将所有扇形的体积相加，即可得到旋转体的体积。
4、对所有扇形的体积进行积分将所有扇形的体积进行积分，即可得到旋转体的体积公式：V=∫a^b πrdS其中a和b为平面图形的起始和结束位置，r为旋转轴到平面图形上某点的距离，dS为平面图形上某点的面积元素。
三、应用实例下面以一个简单的例子来说明如何使用定积分求解旋转体的体积。
例：将y=x在x轴上旋转一周所形成的旋转体的体积。
解：首先确定平面图形为y=x，旋转轴为x轴。
将平面图形分割成无数个小的元素，每个元素都是一个小的扇形。
每个扇形的面积为dS=2πxdx，半径为r=x，弧长为ds=2πxdx。
对于每个扇形，其体积为dV=πrdS=πx(2πxdx)=2πxdx。
将所有扇形的体积相加，即可得到旋转体的体积：V=∫0^1 2πxdx=2π/4=π/2因此，将y=x在x轴上旋转一周所形成的旋转体的体积为π/2。
四、总结通过上述例子，我们可以看出定积分在求解旋转体的体积中的重要性。
定积分不仅可以用来求解旋转体的体积，还可以用来求解其他几何图形的体积、表面积等。
教学设计1：11.1.5 旋转体
11.1.5旋转体教学目标核心素养1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．(重点)2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点)3.能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体．(难点)4.会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题．(难点)1.通过圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征的学习，培养直观想象的数学核心素养.2.借助旋转体的轴截面的学习，提升数学运算的数学核心素养.教学知识梳理1．圆柱的结构特征定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆柱的轴高：在轴上的边(或它的长度)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边2.圆锥的结构特征定义以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆锥的轴高：在轴上的边(或它的长度)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边定义以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆台的轴高：在轴上的边(或它的长度)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边4.轴截面在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．5．旋转体的侧面积与全面积(1)旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积)．(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式几何体侧面展开图表面积公式圆柱S圆柱＝2πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长圆锥S圆锥＝πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长圆台S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，r′为上底面半径，r为下底面半径，l为侧面母线长球面及球的定义球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合图示及相关概念球心：形成球面的半圆的圆心半径：连接球面上一点和球心的线段直径：连接球面上两点且通过球心的线段大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆7.球的表面积S＝4πR2.思考：等边三角形绕其一边的中线所在直线旋转半周形成的面所围成的几何体是什么几何体？[提示]圆锥．教学小测1．已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为() A．1∶2B．1∶4C．1∶6D．1∶8【答案】B【解析】S1S2＝4πR214πR22＝⎝⎛⎭⎪⎫R1R22＝⎝⎛⎭⎪⎫122＝14.2．圆锥的母线长为10，底面半径为6，则其高等于()A．6B．8C．10D．不确定【答案】B【解析】由圆锥的轴截面可知，圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，所以其高为102－62＝8.3．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为()A．1∶2B．1∶1C．1∶4D．1∶3【答案】B【解析】以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，故S1∶S2＝1∶1，选B.4．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确说法的序号是________．【答案】①【解析】利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．教学案例类型1旋转体的结构特征【例1】判断下列各命题是否正确(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．[解](1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确．(4)错．应为球面．规律方法旋转体的判断问题的解题策略1．准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．2．判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．跟踪训练1．下列命题中正确的是()A．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线【答案】C【解析】A错误，应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体．B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选C.类型2简单组合体的结构特征【例2】一直角梯形ABCD如图所示，分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的大致形状．[思路探究]平面图形旋转⇒旋转体的概念及结构特征．[解]以AB为轴旋转可得到一个圆台；以BC为轴旋转可得到一个圆柱和圆锥的组合体；以CD为轴旋转可得到一个圆台，下底挖去一个小圆锥，上底增加一个较大的圆锥；以AD为轴旋转可得一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．规律方法旋转体的形状判断技巧1．判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．2．在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．跟踪训练2．描述下列几何体的结构特征．[解]图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.类型3旋转体中的计算1．圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？[提示]圆面．2．圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？[提示]分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．3．经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？[提示]因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．4．球的截面是什么？[提示]球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．【例3】一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求圆台的高．[思路探究]作出圆台的轴截面，是一个等腰梯形．[解]圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.又由题意知，腰长为12 cm，所以高AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．母题探究1．将圆台还原为圆锥后，求圆锥的母线长．[解]如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12l＝25，解得l＝20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.2．如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的底面半径．[解]设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则由三角形相似，得R－rR＝342－22，即1－r2＝12，解得r＝1.即圆柱的底面半径为1.规律方法与圆锥有关的截面问题的解决策略求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解．通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解．巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决．课堂小结1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．球面、球体的区别和联系区别联系球面球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面球面是球体的表面球体球体是几何体，包括球面及所围的空间部分4．处理组合体问题常采用分割思想．5．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．当堂检测1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱．()(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．()(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．()【解析】(1)正确；(2)错误，应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；(3)错误，应是平面与圆锥底面平行．【答案】(1)√(2)×(3)×2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是() A．圆柱B．圆锥C．圆台D．两个圆锥【答案】D【解析】连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．3．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条； ③圆台的母线长大于高； ④两底面圆心的连线是高． 【答案】②③④【解析】圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．4．一个圆锥的母线长为20 cm ，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.【答案】103【解析】如图是圆锥的轴截面， 则SA ＝20 cm ，∠ASO ＝30°， ∴AO ＝10 cm ，SO ＝10 3 cm.5．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径．[解] 设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得 ⎩⎨⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q2. 所以此圆柱的底面半径为Q2.。
高数—春—09—旋转体—教师版
高二数学春季班（教师版）教师日期学生课程编号课型预习课题旋转体教学目标1．掌握圆柱和圆锥的有关概念，理解祖暅原理和图形割补等思想方法；2．会求柱体和锥体的表面积和体积．教学重点1．圆柱、圆锥的有关概念、表面积和体积的计算公式；2．旋转体的有关几何问题．教学安排版块时长1知识梳理10 2例题解析60 3巩固训练30 4师生总结20 5课后练习301、旋转体的概念（1）平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴； （2）圆柱：将矩形ABCD 绕其一边AB 所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱；AB 所在直线叫做圆柱的轴；线段AD 和BC 旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；线段CD 旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；CD 叫做圆柱侧面的一条母线； 圆柱的两个底面间的距离（即AB 的长度）叫做圆柱的高（3）圆锥：将直角三角形ABC （及其内部）绕其一条直角边AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥；AB 所在直线叫做圆锥的轴；点A 叫做圆锥的顶点； 直角边BC 旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； 斜边AC 旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； 斜边AC 叫做圆锥侧面的一条母线；圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高．旋转体知识梳理【性质】根据圆柱的形成过程易知：① 圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；② 圆柱有两个相互平行的底面.【性质】根据圆锥的形成过程易知： ① 圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点；② 每条母线与轴的夹角都相等.（4）球：将圆心为O 的半圆绕其直径AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，把点O 称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径．2、侧面积、表面积和体积圆柱，圆锥的侧面积：=cl=2rl S π圆柱侧，其中r ，c 分别为圆柱的底面半径、周长，l 为母线长； 1=cl=rl 2S π圆锥侧，其中r ，c 分别为圆锥的底面半径、周长，l 为母线长. 圆柱、圆锥的体积2=h=r h V S π圆柱，其中S 为底面积，h 为高，r 为底面半径； 211=h=r h 33V S π圆锥，其中S 为底面积，h 为高，r 为底面半径。
旋转体体积万能公式
旋转体体积万能公式旋转体是指由一个曲线绕某条轴线旋转一周所形成的立体图形。
计算旋转体的体积是数学中的基本问题之一，而旋转体体积万能公式则是用来计算各种不同形状的旋转体体积的通用公式。
一、圆柱体的体积计算公式圆柱体是最简单的旋转体，其体积计算公式为：V = πr²h其中，V表示圆柱体的体积，r表示底面圆的半径，h表示圆柱体的高度。
二、圆锥体的体积计算公式圆锥体是由一个直角三角形绕其斜边所形成的旋转体，其体积计算公式为：V = 1/3πr²h其中，V表示圆锥体的体积，r表示底面圆的半径，h表示圆锥体的高度。
三、球体的体积计算公式球体是由一个圆绕其直径所形成的旋转体，其体积计算公式为：V = 4/3πr³其中，V表示球体的体积，r表示球的半径。
四、圆环体的体积计算公式圆环体是由两个同心圆之间的区域绕其中一个圆的直径所形成的旋转体，其体积计算公式为：V = π(R² - r²)h其中，V表示圆环体的体积，R表示外圆的半径，r表示内圆的半径，h表示圆环体的高度。
五、其他旋转体的体积计算公式除了上述常见的旋转体，还有一些其他形状的旋转体，它们的体积计算公式如下：1. 半圆球冠的体积计算公式：V = 1/6πh(3a² + h²)其中，V表示半圆球冠的体积，a表示底面圆的半径，h表示半圆球冠的高度。
2. 椭球体的体积计算公式：V = 4/3πabc其中，V表示椭球体的体积，a、b、c分别表示椭球的三个轴长。
3. 抛物体的体积计算公式：V = 1/2πa²h其中，V表示抛物体的体积，a表示抛物线的参数，h表示抛物体的高度。
总结：旋转体体积万能公式是用来计算各种不同形状的旋转体体积的通用公式。
通过应用这些公式，我们可以准确地计算出各种旋转体的体积，为解决实际问题提供了便利。
在实际应用中，我们可以根据旋转体的形状选择合适的公式进行计算，从而得到准确的结果。
高中数学第1章立体几何初步1_1_1简单旋转体学案北师大版必修2
1．1 简单旋转体1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．( )(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．( )(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ( )(4)圆柱的任意两条母线相互平行．( )(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包括球的表面，还包括球面包围的空间．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√(5)√题型一旋转体的结构特征【典例1】给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．其中说法正确的是________．[思路导引] 根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．[解析] ①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③正确，圆台的上下底面半径、母线及高构成一个直角梯形，母线长大于高；④不正确，圆柱夹在两个不平行于底面的截面间的几何体不是旋转体；⑤正确，如图(2)所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[答案] ①②③⑤(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[针对训练1] 下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析] ②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.[答案] C题型二旋转体的有关计算【典例2】已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm、2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求这个圆台的母线长．[思路导引] 圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径．因此可以考虑用轴截面解答．[解] 如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.由A′O′AO＝SA′SA，得SA′＝A′O′AO·SA＝12×12＝6(cm)，于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)，故这个圆台的母线长为6 cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．[针对训练2] 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长________cm.[解析] 如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.[答案] 91．关于下列几何体，说法正确的是( )A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台[解析] 图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．[答案] D2．下列命题正确的个数为( )①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．A．1 B．2 C．3 D．4[解析]3．球的直径有( )A．一条 B．两条 C．三条 D．无数[解析] 经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．[答案] D4．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．[解析] 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．[答案] ②③④课后作业(一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[解析] 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以答案选B.[答案] B2．下列说法不正确的是( )A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．[答案] C3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A ．10B ．12C ．20D ．15[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B.[答案] B4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r ＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°. [答案] C5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( ) A ．8 B.8π C.4π D.2π[解析] 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面面积为8π.[答案] B6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．[解析] 作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13， ∴r ＝1. [答案] 17．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________． [解析] 设球心到平面的距离为d ，截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，∴r ＝1.设球的半径为R ，则R ＝d 2＋r 2＝2，故球的直径为2 2.[答案] 2 2 8．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体； ②球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ③球的直径是球面上任意两点间的连线； ④用一个平面截一个球，得到的是一个圆． 其中正确的序号是________．[解析] 球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确． [答案] ①②9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径. [解] 设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q2.所以此圆柱的底面半径为Q2.10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，∴圆锥的底面圆的直径为12，∴半径R＝6，∴圆锥的底面圆的面积S＝πR2＝36π，圆锥的高h＝122－62＝6 3.应试能力等级练(时间25分钟)11．下面说法正确的是( )A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形[解析] 平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A错误，C正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B、D都不正确．故选C.[答案] C12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )[解析] 截面图形应为图C所示的圆环面．[答案] C13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[解析] 外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．[答案] B14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm 2.[解析] 如图所示，过球心O 作轴截面，设截面圆的圆心为O 1，其半径为r .由球的性质，OO 1⊥CD .在Rt △OO 1C 中，R ＝OC ＝5，OO 1＝4，则O 1C ＝3，所以截面圆的面积S ＝π·r 2＝π·(O 1C )2＝9π.[答案] 9π15．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;(2)当x 为何值时，S 最大？[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r ＝6－x 3， ∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6， ∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。
立体几何的旋转体特性 → 空间几何的旋转体特性
立体几何的旋转体特性→ 空间几何的旋转体特性立体几何的旋转体特性介绍在立体几何中，旋转体是一种常见的几何体，它通过绕一个轴线旋转而生成。
旋转体具有一些独特的特性，这使得它们在几何学中具有重要的地位。
旋转轴线旋转体的形成依赖于一个旋转轴线。
该轴线可以是直线或曲线。
当轴线是直线时，我们可以通过绕着轴线旋转一个平面图形来形成旋转体。
当轴线是曲线时，我们可以通过将一个曲线图形绕着轴线旋转来形成旋转体。
旋转面积旋转体的旋转面积是指旋转体的表面积。
对于已知的平面图形，我们可以通过旋转来计算旋转体的表面积。
通常，旋转面积与旋转体的高度和形状有关。
旋转体积旋转体的旋转体积是指旋转体所包含的空间体积。
通过旋转一个具有已知面积的平面图形，我们可以计算旋转体的体积。
与旋转面积类似，旋转体积也与旋转体的高度和形状有关。
旋转体的特性旋转体具有以下几个重要的特性：1. 对称性：旋转体具有旋转轴线对称性。
这意味着旋转体的两侧是相同的，并且对称于旋转轴。
2. 单位体积：对于某些旋转体，单位体积的体积和表面积是固定的。
这意味着无论旋转体的大小如何，它们的单位体积是相同的。
3. 稳定性：旋转体具有一定的稳定性。
由于旋转体的对称性和形状，它们在一些情况下更加稳定，比如堆叠和平衡。
应用领域旋转体的特性在许多领域中都有广泛的应用，包括工程、建筑、物理学和生物学等。
在工程和建筑中，旋转体的特性可以用于设计各种物体和结构。
在物理学和生物学中，旋转体的特性可以帮助我们理解物体的行为和性质。
结论立体几何中的旋转体具有独特的特性，包括对称性、单位体积、稳定性等。
它们在几何学中有着重要的地位，并在许多应用领域发挥着重要作用。
通过研究旋转体的特性，我们可以更好地理解和应用几何学的知识。
旋转体绕y轴旋转一周的侧面积公式
标题：探索旋转体绕y轴旋转一周的侧面积公式一、引言在几何学中，旋转体是指一个图形围绕某一轴线旋转而形成的立体图形。
而当旋转体围绕y轴旋转一周时，我们往往需要计算其侧面积。
本文将深入探讨旋转体绕y轴旋转一周的侧面积公式，以及其相关的理论和应用。
二、理论基础1. 旋转体侧面积的定义旋转体的侧面积是指该旋转体侧面的总表面积。
在几何学中，旋转体绕y轴旋转一周形成的侧面可以看作无数个微小的矩形，它们的宽度非常小，但是当宽度趋近于零时，这些微小矩形的和就可以逼近旋转体侧面的总面积。
2. 计算方法为了计算旋转体绕y轴旋转一周的侧面积，我们可以使用定积分的方法。
根据定积分的定义，我们可以将旋转体的侧面分割成无数微小的矩形，然后对每一个微小矩形的面积进行求和，即可得到旋转体侧面的总面积。
三、公式推导现在，让我们来推导旋转体绕y轴旋转一周的侧面积公式。
假设我们有一个函数y=f(x)，将其绕y轴旋转一周，我们可以得到旋转体的侧面积公式如下：\[ S = 2\pi\int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx \]其中，a和b是函数y=f(x)在x轴上的两个交点，f'(x)表示f(x)的导数。
在这个公式中，\[ \sqrt{1 + (f'(x))^2} \]表示微小矩形的宽度，f(x)表示微小矩形的高度，因此乘积\[ f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} \]表示微小矩形的面积。
整个定积分的结果则表示了旋转体侧面的总面积。
四、实际应用旋转体绕y轴旋转一周的侧面积公式在实际中有着广泛的应用，特别是在工程、物理学和建筑等领域。
通过计算旋转体的侧面积，我们可以更准确地分析和设计旋转体相关的结构和装置，从而提高工程效率和质量。
五、个人观点和总结在学习和理解旋转体绕y轴旋转一周的侧面积公式时，我认为对基本的数学知识和几何学原理有着深入的理解是非常重要的。
旋转体标注方法
旋转体标注方法
1.直径标注：适用于圆柱体和圆锥体等具有直径的旋转体。
直径标注表示旋转体的直径，通常使用符号“Ø”与数值标注在旋转体的截面上。
2.高度标注：适用于圆柱体和圆锥体等具有高度的旋转体。
高度标注表示旋转体的高度，通常使用符号“H”与数值标注在旋转体的侧面或顶部。
3.锥角标注：适用于圆锥体和圆台等具有锥角的旋转体。
锥
角标注表示旋转体的锥顶角度，通常使用符号“α”与数值标注在旋转体的侧面。
4.圆心标注：适用于圆形旋转体。
圆心标注表示旋转体的圆
心位置，通常使用符号“C”与坐标数值标注在旋转体的截面上。
5.螺纹标注：适用于螺纹连接的旋转体，如螺母和螺栓。
螺
纹标注表示旋转体的螺纹规格和参数，通常使用标准的螺纹符
号标注在旋转体的侧面或截面上。
旋转体绕x轴旋转一周的体积公式
旋转体绕x轴旋转一周的体积公式旋转体绕x轴旋转一周的体积公式是高中数学中的一道常见问题，它常常被用于解决相关的三维几何问题。
在这篇文章中，我们将对这个公式的的定义、导出方法以及应用进行详细的介绍。
1. 旋转体绕x轴旋转一周的定义旋转体绕x轴旋转一周的定义是指，将一个平面图形绕着x轴旋转一周，所形成的立体图形就称为旋转体。
一般来说，如果平面图形旋转后所生成的旋转体是一个真实的几何实体，而不是空洞或者叠在一起的三维图形，则我们称这个平面图形为可旋转的。
在这种情况下，我们可以计算出旋转体绕x轴旋转一周的体积公式。
2. 旋转体绕x轴旋转一周的体积公式的导出方法要计算旋转体绕x轴旋转一周的体积公式，我们可以运用微积分知识，将整个旋转体分成无数个微小的立体图形，然后进行积分求和。
以一个平面图形为例，如下图所示：当图形旋转一周后，我们将其分成若干个小的立体图形，如下图所示：每一个小的立体图形可以看作是一个小的圆柱体，它的截面面积为x轴上的微小变化dx，高度为原图形上对应点的函数值y。
因此，每一个小圆柱体的体积可以用以下公式表示：dV = πy^2dx将所有的小圆柱体的体积累加起来，即可得到整个旋转体的体积：V = ∫baf(x)2πx dx其中，a和b是图形的横坐标的范围。
f(x)表示在x 轴上对应点的函数值。
因此，上式等于将所有小圆柱体的体积相加起来，即：V = ∫baf(x)2πx dx = ∫bapiy^2dx这就是计算旋转体绕x轴旋转一周的体积公式的导出方法。
3. 旋转体绕x轴旋转一周的应用旋转体绕x轴旋转一周的体积公式被广泛应用于物理、工程和数学等领域。
在物理中，该公式可以用于计算一些环形物体的体积，例如圆环、管道和旋转式加热器等。
在工程中，该公式可以用于设计一些需要进行旋转或者挤压的金属结构，例如机械零件和汽车引擎中的各个部分。
旋转体的计算
旋转体的计算旋转体是在数学中经常出现的一个概念，它由一个曲线或者曲面绕着某个轴旋转而成。
对于旋转体的计算，我们可以通过几何方法或者积分方法进行求解。
下面将介绍一些常见的旋转体计算方法。
一、旋转体的体积计算对于一个曲线绕着x轴旋转一周所得到的旋转体，其体积可以通过以下公式进行计算：V = π * ∫[a,b] (f(x))^2 dx其中，a和b为曲线与x轴的交点，f(x)为曲线的方程。
这个公式可以通过将曲线分成无穷多个微小的圆柱体，并对其进行求和得到。
同样地，对于一个曲线绕着y轴旋转一周所得到的旋转体，其体积可以通过以下公式计算：V = π * ∫[c,d] (g(y))^2 dy其中，c和d为曲线与y轴的交点，g(y)为曲线的方程。
二、旋转体的表面积计算旋转体的表面积计算可以通过以下公式进行求解：A = 2π * ∫[a,b] f(x) * √(1 + (f'(x))^2) dx其中，a和b为曲线的范围，f(x)为曲线的方程，f'(x)为曲线的导数。
对于一个曲线绕着y轴旋转一周所得到的旋转体，其表面积可以通过以下公式进行计算：A = 2π * ∫[c,d] g(y) * √(1 + (g'(y))^2) dy其中，c和d为曲线的范围，g(y)为曲线的方程，g'(y)为曲线的导数。
三、例题演示假设有一个半径为r的圆形，我们希望计算其绕着x轴旋转一周所得到的旋转体的体积和表面积。
已知圆的方程为x^2 + y^2 = r^2。
体积的计算：V = π * ∫[-r,r] (r^2 - x^2) dx= π * [r^2 * x - (x^3)/3] |[-r,r]= π * [r^3 - (-r^3)/3]= (4/3)π * r^3表面积的计算：A = 2π * ∫[-r,r] (r * √(1 + (x/r)^2)) dx= 2π * [r^2 * ln(x + √(x^2 + r^2))] |[-r,r]= 2π * [r^2 * (ln(2r) - ln(r))]= 2π * r^2 * ln(2)结论：对于绕着x轴旋转一周的圆形，其体积为(4/3)π * r^3，表面积为2π * r^2 * ln(2)。
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请在讲义上指出两个旋转体的轴、母线，思考它们的高如何表示？
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圆柱的性质
Q1圆柱有多少条母线？它们的位置关系怎样？
• (1)圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；
Q2圆柱几个底面？它们的位置关系怎样？
• (2)圆柱有两个相互平行的底面；
圆柱
圆锥
半圆 球
1．旋转体的概念
•平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的
一条定直线旋转而形成的几何体叫旋转体，该定直线叫 做旋转体的轴．
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圆柱
圆锥
圆柱定义：如图，将矩形 ABCD（及其内部）绕其一条边 AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱.
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圆锥的性质
•
请类比圆柱的性质进行提问，并得到相关结论
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例题1
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Q3圆柱的轴经过那几个点？圆柱的高可以同哪条线段表示？
• (3)上下底面圆心的连线垂直圆柱的底面；
Q1圆柱的截面可能有几种？有哪些特征？
• (4)三个截面的性质——平行于底面的截面是与底面全等的圆面； • 轴截面是一个以上、下底面圆的直径和母线所组成的矩形； • 平行于轴线的截面是一个以上、下底的圆的弦和母线组成的矩形．
柔力球立旋转体的步骤
柔力球立旋转体的步骤引言柔力球是一种由弹性材料制成的手指玩具，它可以通过手指的运动和协调来完成各种花式动作。
其中，柔力球立旋转体是一项非常具有挑战性和观赏性的技巧。
本文将介绍柔力球立旋转体的步骤，并提供详细的操作指导。
步骤一：准备工作在进行柔力球立旋转体之前，需要准备一个适合自己手指大小和灵活度的柔力球。
确保柔力球表面没有杂物或污垢，并在使用前清洁双手，以免影响操作。
步骤二：基础姿势1.将柔力球放在平坦的桌面上，用食指和中指握住柔力球两侧。
2.将拇指放在柔力球顶部，以稳定姿势。
步骤三：起始动作1.用食指和中指向外推动柔力球，使其开始旋转。
2.同时用拇指轻轻向下按压顶部，以保持旋转速度。
步骤四：调整速度和方向1.通过调整推动力度和拇指的按压程度，控制柔力球的旋转速度。
2.若要改变旋转方向，可以稍微改变推动的角度或拇指的按压位置。
步骤五：保持平衡1.在柔力球旋转时，保持手指的稳定和协调。
2.需要通过微调手指的力度和位置，以保持柔力球在空中平衡旋转。
步骤六：尝试花式动作1.当掌握了基础的立旋转体技巧后，可以尝试一些花式动作，如：–连续旋转：尝试使柔力球连续地进行多次旋转。
–变换手指：在柔力球旋转时，将它从一个手指上移至另一个手指上。
–单手操作：只使用一只手进行立旋转体，并尝试保持平衡和流畅性。
–多个柔力球：同时使用两个或更多个柔力球进行立旋转体，并进行协调操作。
步骤七：练习与提高1.柔力球立旋转体需要不断练习和磨练技巧才能达到熟练水平。
2.可以通过每天坚持练习一定的时间，并逐渐增加难度和复杂度来提高自己的技巧。
结论柔力球立旋转体是一项具有挑战性和观赏性的技巧。
通过按照上述步骤进行操作，我们可以逐步掌握柔力球立旋转体的技巧，并通过不断练习和尝试花式动作来提高自己的水平。
希望本文能对柔力球爱好者们有所帮助！。
张宇18讲旋转体体积公式推导
张宇18讲旋转体体积公式推导摘要：一、旋转体的定义和性质二、旋转体体积公式的推导1.绕x 轴旋转的体积公式2.绕y 轴旋转的体积公式三、举例说明四、总结正文：一、旋转体的定义和性质旋转体是由一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面，该定直线叫做旋转体的轴。
封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体。
旋转体具有以下性质：1.旋转体具有一个旋转轴，即曲线所在的平面内的一条定直线。
2.旋转体的表面由一个旋转曲面和两个底面组成。
3.旋转体的体积等于旋转曲面的面积乘以旋转的高度。
二、旋转体体积公式的推导我们可以通过积分的方法来推导旋转体的体积公式。
假设一个曲线C 围绕x 轴旋转，形成一个旋转体。
我们可以将旋转体分割成无数个无限小的圆柱，每个圆柱的体积为dV = πr^2dx，其中r 表示圆柱的半径，x 表示圆柱的高度。
将所有圆柱的体积相加，即可得到旋转体的体积公式。
1.绕x 轴旋转的体积公式设曲线C 的方程为y = f(x)，那么围绕x 轴旋转一周后形成的旋转曲面的方程为：(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2其中，(x0, y0) 是旋转中心的坐标，r 是旋转半径。
将y = f(x) 代入上式，得到：(x - x0)^2 + (f(x) - y0)^2 = r^2对上式进行积分，即可得到绕x 轴旋转的体积公式：V = ∫[0, 2π] ∫[f(x) - r, f(x) + r] dx dx= ∫[0, 2π] [f(x) * (f(x) + r) - (f(x) - r) * (f(x) - r)] dx dx= 2 ∫[0, 2π] f(x) * dx dx= 2 * ∫[0, 2π] f(x)^2 dx2.绕y 轴旋转的体积公式同理，当曲线C 围绕y 轴旋转时，我们可以将x 轴坐标设为常数c，得到绕y 轴旋转的体积公式：V = ∫[0, c] ∫[f(x) - r, f(x) + r] dy dx= ∫[0, c] [f(x) * (f(x) + r) - (f(x) - r) * (f(x) - r)] dy dx= 2 ∫[0, c] f(x) * dx= 2 * ∫[0, c] f(x)^2 dx三、举例说明假设有一个曲线C 的方程为y = x^2，围绕x 轴旋转一周，形成一个旋转体。
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圆柱、圆锥观察下面几何体，它们有什么共同的特点或生成规律？1. 圆柱（柱体）2. 圆锥（锥体）3． 圆柱、圆锥有关概念：轴： 底面： 侧面： 母线： 轴截面：4.圆柱、圆锥的表示方法：（用轴表示）5.圆柱、圆锥、性质(1)圆柱(2)圆锥课堂练习：1 下列命题正确的有______个A.以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴、旋转所得的几何体是圆锥B.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线C.圆锥的轴截面是所有过母线的截面中面积最大的2 圆柱的高为5cm ，底面半径为6cm,则这个圆柱的截面的对角线长____________3 高为8cm ，底面半径为5cm 的圆柱内，一个平行于圆柱的轴的截面是正方形，求截面到轴的距离.4 圆锥的高为cm 2，母线与轴的夹角为30，求圆锥的母线长以及圆锥轴截面的面积5 已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45角，则截线椭圆的焦距为6 已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ,求此圆柱的底面半径.圆柱的侧面展开图： 性质：1 用一张面积为900cm 2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径为______。
2 如图所示，已知圆柱的高为80cm ，底面半径为10cm ，轴截面上有两点P 、Q ，PA ＝40cm ，B 1Q ＝30cm ，则圆柱侧面上P 、Q 两点的最短距离是_____。
A 1B 1 P AB圆锥的侧面展开图 性质：１、一个圆锥形零件的母线长为a ，底面的半径为r ，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积2 已知：在ABC Rt ∆中，90C ∠=︒，13AB cm =，5BC cm =，求以AB 为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。
3 已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径都为3米，高都为4米.它们两者的侧面积相差多少？侧面积的比值为多少？4 底半径为r ，母线长为l 的圆锥，侧面展开图中心角θ= .5 已知圆锥母线与轴线成30o，则其侧面的面积为__________6 圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，从A 绕柱面到另一端C 最矩距离是3、一个圆锥的高为2,母线与轴的夹角为30o,求圆锥的母线长以及圆锥的轴截面面积.圆柱与圆锥的体积(柱体锥体体积公式)1 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为4，求圆锥的体积.2 已知圆柱的侧面展开图面积为S ，底面半径为c ，求圆柱的体积3 如果一个圆柱的底面不变，要是它的体积扩大为原来的5倍，则它的高应该扩大为原来的 倍。
4 已知一个圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，求该圆柱的体积。
5 已知圆柱的侧面展开图面积为S ，底面半径为r ，求圆柱的体积。
6 圆柱的侧面展开图的对角线长为l ，它与母线成α角，求圆柱的体积。
7 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为4，求圆锥的体积。
8、已知圆锥的体积是π12cm 3，底面半径等于3cm 。
（1）求该圆锥的高；（2）求该圆锥的侧面积。
11、如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径. （1）求证：1BP A P ⊥；（2）若圆柱1OO 的体积V 为12π，2OA =， 120AOP ∠=︒，求异面直线1A B 与AP 所成的角。
1A 1A1.球的定义2.球中的有关概念3.球的表示方法：4.球的简单性质1我国首都北京靠近北纬40，求北纬40 纬线的长度．2 A B 、为球面上相异两点，则通过A B 、所作的大圆个数为（ ） A 、1个 B 、无数个 C 、一个也没有 D 、1个或无数个3 已知球的两个平行截面的面积分别是58ππ和，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这球的半径为 .4 半径是13cm 的球面上有A 、B 、C 三点，并且12AB BC CA cm ===，试求圆心到经过这三点的截面的距离.5已知正方体的棱长为a ，分别求出它的内切球、外接球及与各棱都相切的球半径. 球面距离1．位于同一纬度线上两点的球面距离已知B A ,两地都位于北纬45，又分别位于东经30和60，设地球半径为R ，求B A ,的球面距离．2 位于同一经线上两点的球面距离求东经57线上，纬度分别为北纬68和38的两地B A ,的球面距离．（设地球半径为R ）3位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离A 地位于北纬 30，东经 60，B 地位于北纬 60，东经 90，求B A ,两地之间的球面距离6把地球看成球体,它上面有两个城市位于同一经度圈上,它们的纬度分别是北纬22°和40°, 则它们的地面距离等于地球半径的( ) A. 12 B. 13 C. 12π D.10π7地球上A B 、两点都在北纬45o圈上，A B 、的球面距离为3R π，A 在东经30o 线上，求点B 的位置及A B 、两点间的纬度圈上的圆弧长度.球的表面积和体积（公式）1 圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求球的体积与圆柱体积之比，证明球的表面积等于圆柱的侧面积.2 一个气球的半径扩大2倍，那么它的表面积、体积分别扩大多少倍？3 一个正方体的内切球的体积为V ，求正方体的棱长。
若球与正方体的各棱相切，则正方体的棱长是多少？巩固练习：1 圆轴截面是直角三角形的圆锥底面半径为r ，则其轴截面的面积为_________2 圆锥的母线长为cm 2，轴截面为等边三角形，则其轴截面面积为___________3 圆柱的侧面展开图是一个长为8cm ,宽为4cm 的矩形,求圆柱轴截面的面积.4 给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行.其中正确的命题个数共有( ) A. 1个 B. 2个 C . 3个 D. 4个5 以两条直角边为34cm cm 和的直角三角形旋转而形成的圆锥，其底面积为 2cm ，母线长为 cm .6 一个圆锥的底面半径为2cm ,高为6cm ,在其中有一个高为 x cm 的内接圆柱. ⑴用x 表示圆柱的轴截面面积S ;⑵当x 为何值时, S 最大?7 边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相当顶点G 的最短距离是 .8一个圆柱形水池的底面半径为4米，池深1.2米.在池的内壁与底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ 9设圆柱和圆锥的底面半径都是r, 高是h, 若要使圆柱侧面积小于圆锥侧面积,则有 ( ) A.不存在这种可能 B.hC.3r ＜hr D.h＜3r 10 将半径为3的半圆围成一个圆锥的侧面，此圆锥底面半径为11 一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π，则这个圆锥底面圆的半径为_________ 12 已知圆锥的侧面积为8πcm 2, 侧面展开图的圆心角为450,则该圆锥的母线长为_______ 13 有一个半径为5的半圆，将它卷成一个圆锥的侧面，求圆锥的高. 14圆柱的侧面展开图的对角线长为l ，它与母线成α角，求圆柱的体积。
15如果一个圆柱的高不变，要是它的体积扩大为原来的5倍，则它的底面半径应该扩大为原来的 倍。
圆柱侧面展开图是一个边长为2的正方形，求其体积16如图，已知点P 在圆柱O 的直径.（1）求证：1BP A P ⊥；（2）若圆柱1OO 的体积V 为12π，2OA =， 120AOP ∠=︒，求异面直线1A B 与AP 所成的角。
16 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;1A 1A(2)在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线31B A 与53B A 所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示） 1 若地球半径为6370km ，求1）地球经线的长。
2）北纬600纬线的长. 2 已知球面上三点A B C 、、，且6,8,10,A B B C A C ===经过A B C 、、三点的截面圆圆心与球心O 的距离为12，求球O 的半径.3 用平面α截半径为R 的球，截面到球心的距离为2R，则截面圆面积为 . 4 已知球的半径为10cm ，若它的一个截面圆的面积是236 cm π，则球心与截面圆圆心的距离是 . 5 已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为68ππ和，则这两平行平面间的距离为 .6 设地球的半径为,R 在纬度为α的纬度圈上有A B 、两点，若这两地的纬线圈上的弧长为cos R πα，则A B 、两地之间的距离为（ ）. R B.Rsin C.R D.R(-2)A ππααπα7地球的北纬60o圈上有A B 、两点，它们的经度差是180o，问A B 、两点沿纬度圈的距离是A B 、球面距离的多少倍？8 如图所示，A B C 、、是半径为1的球面上的三点，B C 、两点间的球面距离为π，点A 与B C 、两点间的球面距离均为2π，且球心为.O 求： ⑴AOB BOC ∠∠、的大小； ⑵球心到截面ABC 的距离.9 已知正方体外接球的半径是2,那么正方体的棱长等于 .10半径为R 的球面上一点M ，引三条两两垂直的弦MA MB MC 、、，则222MA MB MC ++等于 （ ）2. R A 2. 2R B 2. 4R C 2. 12RD 1 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为6cm ，求这个球的表面积和体积。
2. 如果球的体积是V 球，它的外切圆柱的体积是V 圆柱，外切等边圆锥的体积是V 圆锥，求这三个几何体体积之比.3. 如图，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积体积。
4. 求正三棱柱的外接圆柱体体积与内切圆柱体积之比.5. 已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4, 求此球的表面积和体积.。