2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练：专题对点练24 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 Word版
2018年高考数学(理)总复习达标检测(四十三)圆锥曲线的综合问题——定点、定值、探索性问题含答案
高考达标检测（四十三）圆锥曲线的综合问题——定点、定值、探索性问题1．(2017·汕头期末联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点， A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．解：(1)因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(1,0)， 所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8. ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b消去x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0.根据根与系数的关系得y A y B ＝4bk，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B ＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0. 即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0， 解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32. 所以y A y B ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．2．(2017·甘肃张掖一诊)已知椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝25，点P 为椭圆短轴的端点，且△PF 1F 2的面积为2 5.(1)求椭圆的方程；(2)点Q 是椭圆上任意一点，A (45，6)，求|QA |－|QF 1|的最小值； (3)点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，423是椭圆上的一定点，B 1，B 2是椭圆上的两动点，且直线BB 1，BB 2关于直线x ＝1对称，试证明直线B 1B 2的斜率为定值．解：(1)由题意可知c ＝5，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×b ＝25，所以b ＝2，求得a ＝3，故椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)由(1)得|QF 1|＋|QF 2|＝6，F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 那么|QA |－|QF 1|＝|QA |－(6－|QF 2|) ＝|QA |＋|QF 2|－6， 而|QA |＋|QF 2|≥|AF 2|＝5－52＋－2＝9，所以|QA |－|QF 1|的最小值为3.(3)设直线BB 1的斜率为k ，因为直线BB 1与直线BB 2关于直线x ＝1对称， 所以直线BB 2的斜率为－k ，所以直线BB 1的方程为y －423＝k (x －1)，设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y －423＝k x －，x 29＋y 24＝1，可得(4＋9k 2)x 2＋6k (42－3k )x ＋9k 2－242k －4＝0， 因为该方程有一个根为x ＝1，所以x 1＝9k 2－242k －44＋9k 2， 同理得x 2＝9k 2＋242k －44＋9k 2， 所以kB 1B 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k x 1－＋423－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－k x 2－＋423x 1－x 2＝k x 1＋x 2－2kx 1－x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫9k 2－242k －44＋9k 2＋9k 2＋242k －44＋9k 2－2k 9k 2－242k －44＋9k 2－9k 2＋242k －44＋9k2＝26， 故直线B 1B 2的斜率为定值26. 3．(2016·合肥质检)设A ，B 为抛物线y 2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为1，－2， 分别以A ，B 为切点作抛物线的切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P .(1)求点P 的坐标；(2)M 为A ，B 间抛物线段上任意一点，设PM ―→＝λPA ―→＋μPB ―→，试判断λ＋μ是否为定值？如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由．解：(1)由题知A (1,1)，B (4，－2)， 设点P 的坐标为(x p ，y p )，切线l 1：y －1＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝kx －，y 2＝x ，由抛物线与直线l 1相切，解得k ＝12，即l 1：y ＝12x ＋12，同理，l 2：y ＝－14x －1.联立l 1，l 2的方程，可解得⎩⎪⎨⎪⎧x p ＝－2，y p ＝－12，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12. (2)设M (y 20，y 0)，且－2≤y 0≤1. 由PM ―→＝λPA ―→＋μPB ―→得⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋2，y 0＋12＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32＋μ⎝⎛⎭⎪⎫6，－32， 即⎩⎪⎨⎪⎧y 20＋2＝3λ＋6μ，y 0＋12＝32λ－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝y 0＋29，μ＝y 0－29，则λ＋μ＝y 0＋23＋1－y 03＝1，即λ＋μ为定值1.4．(2017·河北质量检测)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为F (c,0)，且a ＞b ＞c ＞0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF ―→|＋|CF ―→|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP ―→2＝4PA ―→·PB ―→成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由椭圆的对称性知|GF ―→|＋|CF ―→|＝2a ＝4， ∴a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32， ∴bc a ＝32，∴bc ＝3， 又a 2＝b 2＋c 2＝4，a ＞b ＞c ＞0， ∴b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件． 故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得 (3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0， ∴Δ＝32(6k ＋3)＞0， ∴k ＞－12.x 1＋x 2＝8kk －3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k2， ∵OP ―→2＝4PA ―→·PB ―→，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5， ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5， 即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5， ∴4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k k －3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4×4＋4k23＋4k2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .。
2018年高考数学(理)二轮复习讲练测专题2.11圆锥曲线中的综合问题(讲)含解析
2018年高考数学（理）二轮复习讲练测热点十一圆锥曲线的综合问题纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1.求轨迹方程求轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等.（1）求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法.（2）讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的取值范围.例1【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P 满足。
(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且。
证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【答案】(1) 。
(2)证明略。
【解析】（2）由题意知。
设,则，。
由得，又由（1）知，故。
所以，即。
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.例2【2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】如图，一张坐标纸上一已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）若直线与轨迹交于两个不同的点，且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围.【答案】 (1) ；(2) .试题解析：（1）折痕为的垂直平分线，则，由题意知圆的半径为，∴，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，∴，∴的轨迹的方程为.（2）与以为直径的圆相切，则到即直线的距离：，即，由，消去，得，∵直线与椭圆交于两个不同点，∴，，设，，则，，，又，∴，∴，设，则，∴，，∵关于在单调递增，∴，∴的面积的取值范围是.2. 圆锥曲线与圆相结合的问题处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如直径对的圆心角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形.利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.例3【2017课标3，理20】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.【答案】(1)证明略；(2)直线的方程为，圆的方程为 .或直线的方程为，圆的方程为 .【解析】所以，解得或 .当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为 .3.定值定点问题（1）求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.（2）证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.例4【2018届河北省唐山市高三上学期期末】已知抛物线：的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线交于不同的两点，直线交于不同的两点，记直线的斜率为.(1)求的取值范围；(2)设线段的中点分别为点，证明：直线过定点.【答案】(1) {k|k＜－2或0＜k＜} (2)见解析【解析】试题分析：（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立方程组，利用判别式求出的一个范围，另外直线的方程为与抛物线方程联立同样又得出的一个范围，两者求交集即得；（2）设，利用韦达定理可得即点坐标，用代替可得点坐标，计算出，得证结论．试题解析：（1）由题设可知k≠0，所以直线m的方程为y＝kx＋2，与y2＝4x联立，整理得ky2－4y＋8＝0，①由Δ1＝16－32k＞0，解得k＜．直线n的方程为y＝－x＋2，与y2＝4x联立，整理得y2＋4ky－8k＝0，由Δ2＝16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2．所以故k的取值范围为{k|k＜－2或0＜k＜}．（2）设A(x 1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．由①得，y1＋y2＝，则y0＝，x0＝－，则M(－，)．同理可得N(2k2＋2k，－2k)．直线MQ的斜率k MQ＝＝，直线NQ的斜率k NQ＝＝＝k MQ，所以直线MN过定点Q(2，0)．例5【2018届河南省商丘市高三上学期期末】在平面直角坐标系中，已知两点，，动点满足，线段的中垂线交线段于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹相交于两点，设点，直线的斜率分别为，问是否为定值？并证明你的结论.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）利用椭圆定义求出点的轨迹的方程；（2）讨论直线的斜率，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程得，利用根与系数关系表示，即可得到定值.试题解析：（Ⅰ）以题意可得：,，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，且所以，所以轨迹的方程为.（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，由，解得，设，.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将代入整理化简，得，依题意，直线与轨迹必相交于两点，设，则，，又，，所以综上得：为定值2.（说明：若假设直线为，按相应步骤给分）4.最值、范围问题求解范围、最值问题的基本解题思想是建立求解目标与其他变量的关系(不等关系、函数关系等),通过其他变量表达求解目标,然后通过解不等式、求函数值域(最值)等方法确定求解目标的取值范围和最值.在解题时要注意其他约束条件对求解目标的影响,如直线与曲线交于不同两点时对直线方程中参数的约束、圆锥曲线上点的坐标范围等.例6【2018届吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联考】已知椭圆的短轴长为，离心率为，点，是上的动点，为的左焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .试题解析：（Ⅰ）依题意得解得∴椭圆的方程是（Ⅱ）设设线段中点为∵∴中点，直线斜率为由是以为底边的等腰三角形∴∴直线的垂直平分线方程为令得∵∴由∴四边形面积当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为.5.探索性问题解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,往往是先假设所求的元素存在,然后再推理论证,检验说明假设是否正确. 其解题步骤为:(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在;若无解则不存在.(3)得出结论.例7【2018届河北省石家庄市高三上学期期末】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点.（1）若以为直径的动圆内切于圆，求椭圆的长轴长；（2）当时，问在轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（1）设的中点为，可得 ,当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即，所以，椭圆长轴长为；（2）先求得椭圆方程为，设直线AB方程为：，联立可得，设根据韦达定理及平面向量数量积公式可得，当即时为定值.试题解析：（Ⅰ）设的中点为M，在三角形中，由中位线得：当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即所以，椭圆长轴长为6.（Ⅱ）由已知，，所以椭圆方程为当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：设由得恒成立设当即时为定值当直线AB斜率不存在时，不妨设当时，为定值综上：在X轴上存在定点，使得为定值【反思提升】1.高考涉及考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不在重复）确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”.在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件式；③转化化归.2.涉及求取值范围的问题时,首先要找到产生范围的几个因素:(1)直线与曲线相交(判别式);(2)曲线上点的坐标的范围;(3)题目中给出的限制条件.其次要建立结论中的量与这些范围中的因素的关系;最后利用函数或不等式求变量的取值范围.3.解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法.几何法是根据已知的几何量之间的相互关系,通过平面几何和解析几何的知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等);代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数,通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决.4.存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.注意以下几点:(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.。
2018年高考数学理二轮复习教师用书：第1部分 重点强化专题 专题5 第13讲 圆锥曲线中的综合问题 含答案 精品
第13讲 圆锥曲线中的综合问题题型1 圆锥曲线中的定值问题(对应学生用书第43页)■核心知识储备………………………………………………………………………·解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[类题通法] 定值问题的常见方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． ■对点即时训练………………………………………………………………………·已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－6，0)，e ＝22.图131(1)求椭圆C 的方程；(2)如图131，设R (x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．[解] (1)由题意得，c ＝6，e ＝22，解得a ＝23， ∴椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(2)由已知，直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，且与圆R 相切， ∴|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2，化简得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－4＝0， 同理，可得(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－4＝0，∴k 1，k 2是方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0的两个不相等的实数根，∴x 20－4≠0，Δ＞0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4.∵点R (x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 2012＋y 206＝1，即y 20＝6－12x 20，∴k 1k 2＝2－12x 20x 20－4＝－12.(3)|OP |2＋|OQ |2是定值18.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x x 212＋y26＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝121＋2k 21y 21＝12k211＋2k21，∴x 21＋y 21＝＋k 211＋2k 21， 同理，可得x 22＋y 22＝＋k 221＋2k 22. 由k 1k 2＝－12，得|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝＋k 211＋2k 21＋＋k 221＋2k 22＝＋k 211＋2k 21＋12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫－12k 121＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 12＝18＋36k 211＋2k 21＝18.综上：|OP |2＋|OQ |2＝18.■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 3)题型2 圆锥曲线中的最值、范围问题(对应学生用书第44页)■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．解决圆、圆锥曲线范围问题的方法(1)圆、圆锥曲线自身范围的应用，运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围． (2)参数转化：利用引入参数法转化为三角函数来解决．(3)构造函数法：运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识． 2．求最值的方法(1)代数法：设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值．注意灵活运用配方法、导数法、基本不等式法等．(2)几何法：若题中的条件与结论有明显的几何特征和意义，则考虑利用图形的几何性质来解决．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】 如图132，已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．图132(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).【导学号：07804094】[解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2＞0. ①设M 为AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2，代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2. ②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.[类题通法]在研究直线与圆锥曲线位置关系时，常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程，再根据根与系数的关系，用设而不求，整体代入的技巧进行求解.易错警示：在设直线方程时，若要设成y ＝kx ＋m 的形式，注意先讨论斜率是否存在；若要设成x ＝ty ＋n 的形式，注意先讨论斜率是否为0.■对点即时训练………………………………………………………………………·如图133，点F 1为圆(x ＋1)2＋y 2＝16的圆心，N 为圆F 1上一动点，且F 2(1,0)，M ，P 分别是线段F 1N ，F 2N 上的点，且满足MP →·F 2N →＝0，F 2N →＝2F 2P →.图133(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过点F 2的直线l (与x 轴不重合)与轨迹E 交于A ，C 两点，线段AC 的中点为G ，连接OG 并延长交轨迹E 于点B (O 为坐标原点)，求四边形OABC 的面积S 的最小值． [解] (1)由题意，知MP 垂直平分F 2N ， 所以|MF 1|＋|MF 2|＝4.所以动点M 的轨迹是以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点的椭圆， 且长轴长为2a ＝4，焦距2c ＝2， 所以a ＝2，c ＝1，b 2＝3. 轨迹E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，G (x 0，y 0)． 设直线AC 的方程为x ＝my ＋1，与椭圆方程联立， 可得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，所以y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m2.由弦长公式可得|AC |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝＋m 24＋3m2，又y 0＝－3m 4＋3m 2，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋3m2，－3m 4＋3m 2.直线OG 的方程为y ＝－3m 4x ，与椭圆方程联立得x 2＝164＋3m 2，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋3m 2，－3m 4＋3m 2.点B 到直线AC 的距离d 1＝4＋3m 2－11＋m 2， 点O 到直线AC 的距离d 2＝11＋m2. 所以S 四边形OABC ＝12|AC |(d 1＋d 2)＝613－1＋3m2≥3，当且仅当m ＝0时取得最小值3. ■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 1、T 4)题型3 圆锥曲线中的探索性问题(答题模板)(对应学生用书第45页)圆锥曲线中的存在性(探索性)问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否存在．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．(2015·全国Ⅰ卷T20、2015·全国Ⅱ卷T20) ■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题】 (本小题满分12分)(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a a ＞交于M ，N 两点.①(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程②；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ③？说明理由． [审题指导]或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).2分又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，④C 在点(2a ，a )处的切线方程为 y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.4分y ＝x 24在＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0或ax ＋y ＋a ＝0.⑤6分(2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 8分故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2⑥＝2kx 1x 2＋a －b x 1＋x 2x 1x 2＝k a ＋ba.[阅卷者说][类题通法] 1．定点问题的解法：(1)直线过定点：化为y －y 0＝k (x －x 0)， 当x －x 0＝0时与k 无关．(2)曲线过定点：利用方程f (x ，y )＝0对任意参数恒成立得出关于x ，y 的方程组，进而求出定点．2．存在性问题的解题步骤：一设：设满足条件的元素(点、直线等)存在；二列：用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组；三解：解方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线等)存在；否则，元素(点、直线等)不存在．■对点即时训练………………………………………………………………………·已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得EA →2＋EA →·AB →为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.【导学号：07804095】[解] (1)由e ＝63，得c a ＝63，即c ＝63a ， ① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且该圆与直线2x －2y ＋6＝0相切， 所以a ＝|6|22＋－22＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k x －，得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1x 2＝12k 2－61＋3k2.根据题意，假设x 轴上存在定点E (m,0)，使得EA →2＋EA →·AB →＝(EA →＋AB →)·EA →＝EA →·EB →为定值，则EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2)＝m 2－12m ＋k 2＋m 2－1＋3k2，要使上式为定值，即与k 无关，只需3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，解得m ＝73，此时，EA →2＋EA →·AB →＝m 2－6＝－59，所以在x 轴上存在定点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59.■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 2) 三年真题| 验收复习效果 (对应学生用书第46页)1．(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程．(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.∴动圆圆心M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0， 于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．2．(2016·全国Ⅰ卷)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．[解] (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ， 所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4， 所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3. 所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1， 所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN || PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．。
全国2018年高考数学第2轮复习 专题五 解析几何 第四讲 大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 文
[演练冲关] 3．(2017·惠州调研)已知椭圆C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦
点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A1， 22在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不 同交点M，N时，能在直线y＝53上找到一点P，在椭圆C上 找到一点Q，满足―PM→＝―N→Q ？若存在，求出直线的方 程；若不存在，说明理由．
[演练冲关] 1．如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛
物线E上的点A(2,1)作斜率分别为k1，k2的
直线，分别交抛物线E于B，C两点．
(1)求抛物线E的标准方程和准线方程；
(2)若k1＋k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点． 解：(1)设抛物线E的标准方程为x2＝ay，a>0， 将A(2,1)代入得，a＝4. 所以抛物线E的标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1. (2)证明：由题意得，直线AB的方程为y＝k1x＋1－2k1， 直线AC的方程为y＝k2x＋1－2k2，
(1)证明：由于 F 在线段 AB 上，故 1＋ab＝0. 设 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2，则 k1＝1a＋－ab2＝aa2－－abb＝1a＝－aab＝－b＝－b－1－01＝k2.
22 所以 AR∥FQ. (2)设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0)， 则 S△ABF＝12|b－a||FD| ＝12|b－a|x1－12，S△PQF＝|a－2 b|.
[解] (1)如图，由已知得M(0，t)，P 2t2p，t .又N为M关于 点P的对称点，故N tp2，t，
故直线ON的方程为y＝pt x， 将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2pt2.因此H 2pt2，2t. 所以N为OH的中点，即||OOHN||＝2.
2018年高考理数考前20天终极冲刺攻略： 圆锥曲线 含答案
核心考点解读——圆锥曲线椭圆（II）双曲线（I）抛物线（II）直线与圆锥曲线（II）1.从考查题型来看，涉及本知识点的选择题、填空题常结合圆锥曲线的定义及其简单几何性质，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过建立代数方程求解.解答题中则常综合考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系等.2.从考查内容来看，主要考查圆锥曲线的方程，以及根据方程及其相应图形考查简单几何性质，重点是椭圆及抛物线的简单几何性质的综合应用，注重运算求解能力的考查.3.从考查热点来看，直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的热点，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过直线方程与圆锥曲线方程的联立，结合椭圆、双曲线、抛物线的定义考查与之有关的问题，重点突出考查运算的能力，体现了数形结合的思想.1.椭圆(1)椭圆的定义：平面上到两定点错误!未找到引用源。
的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点错误!未找到引用源。
的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记做错误!未找到引用源。
.定义式：错误!未找到引用源。
.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.(2)椭圆的标准方程：焦点在错误!未找到引用源。
轴上，错误!未找到引用源。
；焦点在错误!未找到引用源。
轴上，错误!未找到引用源。
.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道错误!未找到引用源。
之间的大小关系和等量关系：错误!未找到引用源。
.(3)椭圆的图形及其简单几何性质i)图形焦点在错误!未找到引用源。
轴上焦点在错误!未找到引用源。
轴上ii)标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆错误!未找到引用源。
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轴，对称中心：原点错误!未找到引用源。
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【配套K12】2018年高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题5平面解析几何突破点12圆锥曲线的定
突破点12 圆锥曲线的定义、方程、几何性质[核心知识提炼]提炼1 圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝ca＝1－b 2a 2； ②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝ca＝1＋b 2a2. (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ；焦点坐标F 1(－c,0)，F 2(c,0)；②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ab x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c )．(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝±2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±p 2，0，准线方程为x ＝∓p 2；②抛物线x 2＝±2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±p 2，准线方程为y ＝∓p2.提炼2 弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长斜率为k 的直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2或|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2|y 1－y 2|＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2.(2)抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；③1|FA |＋1|FB |＝2p；④以弦AB 为直径的圆与准线相切．[高考真题回访]回访1 圆锥曲线的定义与方程1．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．x 24－y 2＝1 [法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， ∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.] 2．(2013·全国卷Ⅰ改编)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则C 的方程为________．x 24＋y 23＝1(x ≠－2) [由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M 、N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．]回访2 圆锥曲线的重要性质3．(2017·全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)C [由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2. 故选C.]4．(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34B [不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋yb＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.]回访3 弦长问题5．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12B [抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴椭圆中c ＝2，又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12， 从而椭圆方程为x 216＋y 212＝1.∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3， 由图象可知|AB |＝2|y A |＝6. 故选B.]热点题型1 圆锥曲线的定义、标准方程题型分析：圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填空的形式考查，解题时分两步走：第一步，依定义定“型”，第二步，待定系数法求“值”．【例1】(1)(2017·哈尔滨模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )【导学号：04024108】A.x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1(2)(2016·通化一模)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B ．3 C.52 D ．2(1)D (2)B [(1)根据题意画出草图如图所示，不妨设点A 在渐近线y ＝b ax 上． 由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2.又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a x 上，∴b a＝tan 60°＝ 3. 又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D.(2)如图所示，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ ||PF |＝34，过点Q 作QM ⊥l 垂足为M ，则MQ ∥x 轴，所以|MQ |4＝|PQ ||PF |＝34，所以|MQ |＝3，由抛物线定义知|QF |＝|QM |＝3.][方法指津]求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”1．定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． 2．计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)．[变式训练1] (1)(2016·郑州二模)经过点(2,1)，且渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( )【导学号：04024109】A.x 2113－y 211＝1 B.x 22－y 2＝1 C.y 2113－x 211＝1 D.y 211－x 2113＝1(2)(2017·衡水模拟)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为( ) A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 (1)A (2)D [(1)设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由题意知|－2|k 2＋1＝1，解得k ＝±3，则双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧22a 2－12b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝113，b 2＝11，故选A.(2)由题意得|PA |＝|PB |，∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2，∴点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2，∴动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1，故选D.]热点题型2 圆锥曲线的几何性质题型分析：圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点和热点，其中求圆锥曲线的离心率是最热门的考点之一，建立关于a ，c 的方程或不等式是求解的关键．【例2】(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32(2)(2017·合肥二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为e .P 是椭圆上一点，满足PF 2⊥F 1F 2，点Q 在线段PF 1上，且F 1Q →＝2QP →.若F 1P →·F 2Q →＝0，则e 2＝( ) A.2－1 B ．2－ 2C ．2－ 3D.5－2(1)D (2)C [(1)因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D.(2)由PF 2⊥F 1F 2可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，不妨设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，又由F 1Q →＝2QP →得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 3，2b 23a ，则F 1P →·F 2Q →＝⎝⎛⎭⎪⎫2c ，b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3，2b 23a ＝－4c 23＋2b 43a 2＝0，整理得b 4＝2a 2c 2，(a 2－c 2)2＝2a 2c 2，整理得c 4－4a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－4e 2＋1＝0，又椭圆离心率0＜e ＜1，解得e 2＝2－3，故选C.] [方法指津]1．求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值． 2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[变式训练2] (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2(2)(名师押题)已知椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )【导学号：04024110】A.22B ．2－ 3 C.5－2D.6－ 3(1)A (2)D [(1)法一：如图，因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca＝ 2.法二：如图，因为MF 1⊥x 轴，所以|MF 1|＝b 2a.在Rt △MF 1F 2中，由sin ∠MF 2F 1＝13得tan ∠MF 2F 1＝24. 所以|MF 1|2c ＝24，即b 22ac ＝24，即c 2－a 22ac ＝24，整理得c 2－22ac －a 2＝0， 两边同除以a 2得e 2－22e －1＝0. 解得e ＝2(负值舍去)． (2)设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m . 由椭圆的定义可知△F 1AB 的周长为4a ， ∴4a ＝2m ＋2m ，m ＝2(2－2)a . ∴|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a .∵|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，∴4(2－2)2a2＋4(2－1)2a2＝4c2，∴e2＝9－62，e＝6－ 3.]。
圆锥曲线中的最值与范围问题-专题突破
以F→M·F→N＝|F→M||F→N|cos∠NFM＝|F→M||F→N|
→ |FN| →
＝|F→N|2＝
|FM|
|F→M|2－|M→N|2＝|F→M|2－1.由抛物线的定义，得|F→M|＝|MQ|，则由图可得|MQ|
的最小值即抛物线顶点 O 到准线 x＝2 的距离，即|MQ|min＝2，所以 (F→M·F→N)min＝(|F→M|2－1)min＝(|MQ|2－1)min＝3.故，y2)，F34，0，联立 xy＝2＝m3yx＋，t，得 y2－3my－3t＝0，所以由根与系数的关 系得 y1y2＝－3t，从而 x1x2＝y321×y322＝y13y22＝－33t2＝ t2，又由 OA⊥OB，可知O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝t2－3t＝0，
目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
解析
10．(2024·江西红色十校高三联考)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)
的焦距为 2 3，离心率为 23，过 C 上一点 P 分别作与 l1：y＝2x 和 l2：y
＝－2x 平行的直线，交直线 l2，l1 于 M，N 两点，则线段 MN 长度的最 大值为( )
圆锥曲线中的最值与范围问题
高考 概览
圆锥曲线中的最值与范围问题是解析几何中的重要题型，也是高 考的重点，综合性强，题目难度较大，常考题型为选择题、填空 题、解答题，分值为5分、12分
1.会利用圆锥曲线的定义、几何性质将最值转化，结合平面几何
中的定理、性质及图形的直观性求解
考点 2．能利用圆锥曲线的几何性质或利用已知条件或隐含的不等关
答案 解析
5．已如 P(3，3)，M 是抛物线 y2＝4x 上的动点(异于顶点)，过 M 作圆 C： (x－2)2＋y2＝4 的切线，切点为 A，则|MA|＋|MP|的最小值为____3____．
高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)完整版.doc
专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。
设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
解得。
∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN 的长为15. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4-【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222=MN t t k t t t t -=-+， 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+--()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，由()221{ 143y k x x y =-+=，消元得()22223484120k x k x k +-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x k k x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=- ()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 24y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ；（2）求证： OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =- ()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u v u u u v， ∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++u u u v u u u v，()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-， ∴OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为6,右焦点为(2,0).(1)求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 3【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OA ⊥OB 知x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m ) (k x 2+m )=(1+k 2) x 1x 2+k m (x 1+x 2)=0 代入,得4 m 2=3 k 2+3原点到直线AB 的距离231m d k ==+ ， 当AB 的斜率不存在时, 11x y = ,可得, 13x d == 依然成立.所以点O 到直线的距离为定值32. 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x y b a a b-=>>渐近线方程为3y x =， O 为坐标原点，点(3,3M 在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q 为双曲线上不同两点，点O 在以PQ 为直径的圆上，求2211OPOQ+的值．【答案】（Ⅰ）22126x y -=；（Ⅱ） 221113OP OQ+=. 【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M 的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OP OQ ⊥，可设出直线,OP OQ 的方程，代入双曲线方程求得点,P Q 的坐标可求得221113OPOQ+=。
18第一部分 板块二 专题五 解析几何 第4讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题)
解 假设存在常数 λ 使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|成立，则 λ＝|A1B|＋|C1D|. 由题意知，l1，l2的斜率存在且均不为零， 设l1的方程为y＝kx＋1， 则由yx＝2＝k4xy＋，1， 消去 y 得 x2－4kx－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
(2)若过F的直线交抛物线C于不同的两点A，B(均与P不重合)，直线PA，PB分别 交抛物线的准线l于点M，N.试判断以MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.
解 以MN为直径的圆一定过点F，理由如下： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设直线AB的方程为x＝my＋1(m∈R)，代入抛物线C：y2＝4x， 化简整理得y2－4my－4＝0， 则yy11＋y2＝y2＝－44m，，
例 1 (2019·济南模拟)已知抛物线 C1：y2＝2px(p>0)与椭圆 C2：x42＋y32＝1 有一个相同的
焦点，过点A(2,0)且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对 称点为M. (1)求抛物线C1的方程；
解 由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为(1,0)， 所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
例3 (2019·济南模拟)设M是抛物线E：x2＝2py(p>0)上的一点，抛物线E在点M处 的切线方程为y＝x－1. (1)求E的方程；
解 方法一 由xy2＝＝x2－py1，， 消 y 得 x2－2px＋2p＝0.
由题意得Δ＝4p2－8p＝0，
因为p>0，所以p＝2.
故抛物线E：x2＝4y.
方法二 设 Mx0，2xp20 ，
由(1)知P(4,4)， 所以直线 PA 的方程为 y－4＝xy11－－44(x－4)＝myy1－1－43(x－4)， 令 x＝－1 得 y＝4mm－y15－y31＋8，即 M－1，4mm－y15－y31＋8，
高考数学(理)二轮专题练习：解析几何(含答案)
解析几何1．直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为[0，π)． (2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC . [问题1] (1)直线的倾斜角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？ (2)直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________． 答案 (1)错 (2)[0，π6]∪[5π6，π)2．直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋yb ＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．[问题2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________． 答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝03．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [问题3] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________．答案152613 4．两直线的平行与垂直①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.特别提醒：(1)A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2、A 1A 2≠B 1B 2、A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线．[问题4] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合． 答案 －1 12 m ≠3且m ≠－1 35．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，只有当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆．[问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 答案 －16．直线、圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交；d >r ⇔相离；d ＝r ⇔相切． (2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则①当|O 1O 2|>r 1＋r 2时，两圆外离；②当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；③当|r 1－r 2|<|O 1O 2|<r 1＋r 2时，两圆相交；④当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切；⑤当0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2|时，两圆内含．[问题6] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆的位置关系为________．答案 内切7．对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”，抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．在抛物线的定义中必须注意条件：Fl ，否则定点的轨迹可能是过点F 且垂直于直线l 的一条直线．[问题7] 已知平面内两定点A (0,1)，B (0，－1)，动点M 到两定点A 、B 的距离之和为4，则动点M 的轨迹方程是________． 答案 x 23＋y 24＝18．求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．(1)椭圆标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)；焦点在y 轴上，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．(2)双曲线标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)；焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(4)抛物线标准方程焦点在x 轴上：y 2＝±2px (p >0)； 焦点在y 轴上：x 2＝±2py (p >0)．[问题8] 与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，且过点(－3,23)的双曲线方程为________．答案 4x 29－y 24＝19．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切．在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长 |P 1P 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，则(1)焦半径|CF |＝x 1＋p 2；(2)弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；(3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[问题9] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．答案 54解析 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.易错点1 直线倾斜角与斜率关系不清致误例1 已知直线x sin α＋y ＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是__________． 错解 由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，直线的倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，34π.找准失分点 直线斜率k ＝tan β(β为直线的倾斜角)在[0，π)上是不单调的且不连续． 正解 由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，当－1≤k <0时，倾斜角的变化范围是⎣⎡⎭⎫34π，π；当0≤k ≤1时，倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤0，π4. 故直线的倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π 易错点2 忽视斜率不存在情形致误例2 已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．错解 直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t， 直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1， 解得t ＝－1.找准失分点 (1)盲目认为两直线的斜率存在，忽视对参数的讨论．(2)忽视两直线有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直这一情形． 正解 方法一 (1)当l 1，l 2的斜率都存在时，由k 1·k 2＝－1得，t ＝－1. (2)若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直，综上t ＝－1或t ＝1.方法二 l 1⊥l 2⇔(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0⇔t ＝1或t ＝－1. 答案 －1或1易错点3 忽视“判别式”致误例3 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点A (1,1)能否作直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 错解1 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为 y ＝k (x －1)＋1.代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0， 设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k (k －1)k 2－2＝1，解得k ＝2， 故所求直线方程为2x －y －1＝0.错解2 设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1①x 22－y222＝1 ②式①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)③因为A (1,1)为线段PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2 ④y 1＋y 2＝2 ⑤将式④、⑤代入式③，得x 1－x 2＝12(y 1－y 2)．若x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.所以符合题设条件的直线的方程为2x －y －1＝0.找准失分点 没有判断直线2x －y －1＝0与双曲线是否相交． 正解1 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为 y ＝k (x －1)＋1.代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得，(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0， 由Δ＝4k 2(k －1)2－4(2－k 2)(2k －3－k 2)>0， 解得k <32.设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k (k －1)k 2－2＝1，解得k ＝2>32， 故不存在被点A (1,1)平分的弦．正解2 设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1①x 22－y222＝1 ②式①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)③因为A (1,1)为线段PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2 ④y 1＋y 2＝2 ⑤将式④、⑤代入式③，得x 1－x 2＝12(y 1－y 2)．若x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.所以直线l 的方程为2x －y －1＝0， 再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1x 2－y 22＝1，得2x 2－4x ＋3＝0.根据Δ＝－8<0，所以所求直线不存在．1．(2014·安徽)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3 答案 D解析 方法一 如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B . 由题意知|OP |＝2，OA ＝1， 则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.故D. 方法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，π3]．2．(2014·广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等答案 A解析 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A.3．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)与曲线x 2＋y 2＝|m －n |无交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，1 B.⎝⎛⎭⎫0，32 C.⎝⎛⎭⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎫0，22解析 由于m 、n 可互换而不影响，可令m >n ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2m ＋y 2n ＝1，x 2＋y 2＝m －n ，则x 2＝2m ·n －m 2n －m ，若两曲线无交点，则x 2<0，即m <2n ，则e ＝ m －nm< m －m 2m ＝22， 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知点F 1、F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是()A ．0B ．1C ．2D ．2 2 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)， PF →2＝(1－x 0，－y 0)．∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2，∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1.∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.5．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2 答案 C解析 ∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′， 设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4， ∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.6．(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.7．一直线过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－32，且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，则此弦所在的直线方程为________．答案 x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0解析 ①当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3， 代入x 2＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4. 所以弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．②当斜率k 存在时，设所求直线方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0.由已知，弦心距|OM |＝52－42＝3， 所以|k ·0－0＋3k －32|k 2＋1＝3，解得k ＝－34，所以此直线方程为y ＋32＝－34(x ＋3)，即3x ＋4y ＋15＝0.所以所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2. 整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 向其一条渐近线作垂线，垂足为M ，已知∠MFO＝30°(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________． 答案 2解析 由已知得点F 的坐标为(c,0)(c ＝a 2＋b 2)， 其中一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则|MF |＝bca 2＋b 2＝b ， 由∠MFO ＝30°可得|MF ||OF |＝b c ＝cos 30°＝32，所以c 2－a 2c ＝32，所以e ＝ca＝2.10．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________． 答案52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm3b －a)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bm a ＋3b)，所以AB 的中点C 坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2， 所以e ＝c a ＝52.。
2018版全国高考数学第2轮复习 第一篇 求准提速 基础小题不失分 第16练 圆锥曲线的定义、方程与性质 文
解析 答案
16.在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为 A，B，则直线AB恒过定点_(_0_，__2_)_.
11 12 13 14 15 16
解析 答案
明辨是非 易错易混专项练
1.若点 O 和点 F(－2，0)分别为双曲线ax22－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点， 点 P 为双曲线右支上的任意一点，则O→P·F→P的取值范围为
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析 答案
4.(2016·浙江)已知椭圆 C1：mx22＋y2＝1(m＞1)与双曲线 C2：nx22－y2＝1(n＞0) 的焦点重合，e1，e2 分别为 C1，C2 的离心率，则
√A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1
C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜1 解析 由题意可得m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2， ∵m＞0，n＞0，故m＞n.
除以a或a2得到关于e的方程求e.
6.已知 A 是双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左顶点，F1，F2 分别为左、右 焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF1F2 的重心，若G→A＝λP→F1，则双曲线 的离心率为
A.2
√B.3
C.4
D.与λ的取值有关
解析 因为G→A＝λP→F1，所以G→A∥P→F1，
6 7 8 9 10
解析 答案
考点三 圆锥曲线的综合
方法技巧 圆锥曲线范围，最值问题的常用方法 (1)定义性质转化法：利用圆锥曲线的定义性质进行转化，根据平面几何 中的结论确定最值或范围. (2)目标函数法：建立所求的目标函数，将所求最值转化为函数最值解决. (3)条件不等式法：找出与变量相关的所有限制条件，然后再通过解决不 等式(组)求变量的范围.
2018年理数真题分类训练专题13 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题【原卷版】
第三章解析几何专题13 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题【压轴综述】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解定点、定值、定直线问题.一、定点问题1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.二、定值问题1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.2. 定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算三、定直线问题定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．【压轴典例】例1.（2017·全国高考真题（理））已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，，P 4（1C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.例2.（2019·全国高考真题（文））已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程. 例3．（2019·全国高考真题（文））已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．例4.（2017新课标全国Ⅱ文理）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u ru u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .例5.（2018·北京高考真题（理））已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r，求证：11λμ+为定值．例6. （2019·全国高考真题（理））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 例7.（2019·北京高考真题（文））已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.例8. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点1F 与抛物线24y x =的焦点重合，原点到过点()(),0,0,A a B b -的直线距离是7（1）求椭圆C 的方程（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，过1F 作1PF 的垂线与直线l 交于点Q ，求证：点Q 在定直线上，并求出定直线的方程【压轴训练】1．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．2．（2016·北京高考真题（理））已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.3．（2017·全国高考真题（文））在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.4．（2018·湖南宁乡一中高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12F F 、，该椭圆的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线2y x =+相切.（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为()0k k ≠的直线l 与x 轴，椭圆C 顺次交于,,(P Q R P 点在椭圆左顶点的左侧）且121RF F PFQ ∠=∠，求证：直线l 过定点；并求出斜率k 的取值范围. 5．（2019·湖北高考模拟（理））已知动点P 到直线:2l x =-的距离比到定点(1,0)F 的距离多1. （1）求动点P 的轨迹E 的方程（2）若A 为（1）中曲线E 上一点，过点A 作直线l 的垂线，垂足为C ，过坐标原点O 的直线OC 交曲线E 于另外一点B ，证明直线AB 过定点，并求出定点坐标.6．（2019·贵州高三开学考试（文））已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为1(3,0)F -，且C 经过点1(3,)2P .（1）求C 的方程；（2）设C 与y 轴的正半轴交于点D ，直线l ：y kx m =+与C 交于A 、B 两点（l 不经过D 点），且AD BD ⊥.证明：直线l 经过定点，并求出该定点的坐标.7．（2019·江西高三月考（文））在平面直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,0Q F -，动点P 满足PQ OF PF •=u u u r u u u r u u u r（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过点F 的直线与E 交于,A B 两点，记直线,QA QB 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k +为定值.8．（2019·河北高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为22，焦距为2，抛物线()2:20M y px p =>的准线经过C 的左焦点F .（1）求C 与M 的方程；（2）直线l 经过C 的上顶点且l 与M 交于P ，Q 两点，直线FP ，FQ 与M 分别交于点D （异于点P ），E （异于点Q ），证明：直线DE 的斜率为定值. 9．（2020·浙江高三月考）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的焦距为23，且过点(2,0)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点(0,1)B ，设P 为椭圆C 上位于第三象限内一动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值，并求出该定值．10．（2019·安徽高三开学考试（理））如图，已知()1,0A -、()10B ,，Q 、G 分别为ABC △的外心，重心，//QG AB .（1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）是否存在过()0,1P 的直线L 交曲线E 于M ，N 两点且满足2MP PN =u u u r u u u r，若存在求出L 的方程，若不存在请说明理由.11．（2019·河南高三月考（文））已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（I ）求证：MAB ∆是直角三角形；（II ）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.12．（2019·湖南雅礼中学高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，上顶点为B ，过F 的直线l 交椭圆C 于P 、Q .当P 与B 重合时，APF ∆与AQF ∆的面积分别为332、93.（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上找一点M ，当l 变化时，MP MQ ⋅u u u r u u u u r为定值.13．（2019·广东广雅中学高三开学考试（文））在平面直角坐标系xOy 中，过定点()0,C p 作直线与抛物线()220x py p =>相交于A 、B 两点．（1）已知1p =，若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ∆面积的最小值；（2）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．14．（2019·浙江高三学业考试）如图，直线10l x ty -+=:和抛物线2:4C y x =相交于不同两点A ，B .（I ）求实数t 的取值范围；（Ⅱ）设AB 的中点为M ，抛物线C 的焦点为F ．以MF 为直径的圆与直线l 相交于另一点N ，且满足||22||MN MF =，求直线l 的方程． 15．（2019·四川高三月考（理））已知抛物线28x y =，过点04M （，）的直线与抛物线交于,A B 两点，又过,A B 两点分别作抛物线的切线，两条切线交于P 点. （1）证明：直线,PA PB 的斜率之积为定值； （2）求PAB △面积的最小值16．（2019·江苏高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆C ：22221(0)43x y t t t-=>的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F .过点A 且斜率为k （0k >）的直线交椭圆C 于另一点P .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若12k =，求22PA PB的值； （3）设直线l :2x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BO 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上.。
2018年高考数学(理科)专题突破——解析几何 圆锥曲线中的热点问题 Word版 含答案
圆锥曲线中的热点问题【考点梳理】1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.2.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m ).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.3.存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.(3)得出结论.【题型突破】题型一、圆锥曲线中的最值、范围【例1】如图所示，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围.【解析】(1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p 2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1.∵AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0. 故y A y B ＝－4，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t . 又直线AB 的斜率为2t t 2－1， 故直线FN 的斜率为－t 2－12t ，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t .∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t . 设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得2t t 2－m ＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1， 于是m ＝2t 2t 2－1＝2＋2t 2－1，∴m ＜0或m ＞2. 经检验知，m ＜0或m ＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).【类题通法】求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.【对点训练】已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【解析】(1)设F(c，0)，由条件知，2c＝233，得c＝ 3.又ca＝32，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为x24＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将y＝kx－2代入x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>34时，x1，2＝8k±24k2－34k2＋1.从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2|＝4k2＋1·4k2－34k2＋1.又点O到直线PQ的距离d＝2k2＋1.所以△OPQ的面积S△OPQ ＝12d·|PQ|＝44k2－34k2＋1.设4k2－3＝t，则t>0，S△OPQ ＝4tt2＋4＝4t＋4t.因为t＋4t≥4，当且仅当t＝2，即k＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝72x－2或y＝－72x－2.题型二、圆锥曲线中的定值问题【例2】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.【解析】(1)解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知A (2，0)，B (0，1).设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4.当x 0≠0时，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2). 令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2， 从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1， 从而|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1. 所以|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4.综上，|AN |·|BM |为定值.【类题通法】1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.。
精编2018年高考数学理科专题突破练习题(6)圆锥曲线定点定值最值范围探索性问题和答案
专题突破练(6) 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( ) A.p2 B ．p C ．2p D ．无法确定 答案 C解析 当弦AB 垂直于对称轴时|AB |最短，这时x ＝p2，∴y ＝±p ，|AB |min＝2p .2．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．9 答案 D解析 注意到P 点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F ′(4,0)，于是由双曲线定义得|PF |－|PF ′|＝2a ＝4，故|PF |＋|PA |＝2a ＋|PF ′|＋|PA |≥4＋|AF ′|＝9，当且仅当A 、P 、F ′三点共线时等号成立．3．直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率k 1，k 2满足k 1k 2＝2，则l 一定过点( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(－1,3)D ．(－2,0) 答案 A解析 设直线l 的方程为x ＝my ＋b ，联立直线和抛物线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，整理得y 2－2my －2b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1y 2＝－2b ，y 1＋y 2＝2m ，故x 1x 2＝(my 1＋b )·(my 2＋b )＝m 2y 1y 2＋mb (y 1＋y 2)＋b 2＝－2bm 2＋2bm 2＋b 2＝b 2.因为k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－2b b 2＝23，解得b ＝－3，故l 的横截距为定值－3，即l 一定过点(－3,0)．4．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，即P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．6 2 D ．7＋ 2 答案 C解析 解法一：设Q (x ，y )，－1≤y ≤1.因为圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为T (0,6)，半径r ＝2， 则|QT |＝x 2＋y －2＝－y2＋y －2＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋50≤52，当y ＝－23时取等号，所以|PQ |max ＝52＋2＝6 2.故选C.解法二：设Q (10cos θ，sin θ)，圆心为M ，由已知得M (0,6)， 则|MQ |＝10cos θ－2＋θ－2＝10cos 2θ＋sin 2θ－12sin θ＋36 ＝－9sin 2θ－12sin θ＋46 ＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋232＋50⎝ ⎛⎭⎪⎫当sin θ＝－23时取等号，故|PQ |max ＝52＋2＝6 2.5．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是，那么直线PA 1的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 答案 B解析 解法一：设P (x ，y )，直线PA 1，PA 2的斜率分别为k 1，k 2，易知A 1(－2,0)，A 2(2,0)，则有k 1k 2＝y x ＋2·y x －2＝y 2x 2－4＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 24x 2－4＝－34，因为－2≤k 2≤－1，所以k 1>0且－2≤－34k 1≤－1，即1≤34k 1≤2，解得38≤k 1≤34.故选B.解法二：设直线PA 2的斜率为k 2，令k 2＝－1，则直线PA 2的方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程并整理得7x 2－16x ＋4＝0，解得x 1＝2，x 2＝27，从而可得点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，于是直线PA 1的斜率k 1＝127－027＋2＝34.同理，令k 2＝－2，可得k 1＝38.结合选项知，选项B 正确． 6．已知A ，B 为抛物线y 2＝2px (p >0)上的两动点，F 为其焦点，且满足∠AFB ＝60°，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线，垂足为N ，|MN |＝λ|AB |，则λ的最大值为( )A ．1 B.233 C.33D ．2解析 过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为D ，C ，因为M 为线段AB 的中点，BC ∥AD ，所以|MN |＝12(|BC |＋|AD |)，又因为|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |，所以|MN |＝12(|BF |＋|AF |)，又|MN |＝λ|AB |，所以2λ|AB |＝|AF |＋|BF |，两边平方得4λ2|AB |2＝|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF |，即4λ2＝|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF ||AB |2.在△ABF 中，由余弦定理得|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |·cos60°，即|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－|AF ||BF |，所以4λ2＝|AB |2＋3|AF ||BF ||AB |2，由|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－|AF ||BF |≥2|AF ||BF |－|AF ||BF |＝|AF ||BF |，故|AB |2≥|AF ||BF |，所以4λ2＝|AB |2＋3|AF ||BF ||AB |2≤|AB |2＋3|AB |2|AB |2＝4，因为λ>0，所以0<λ≤1，故λ的最大值为1.故选A.二、填空题7．已知双曲线的中心在原点，右顶点为A (1,0)，点P 在双曲线的右支上，点M (m,0)到直线AP 的距离为1，若AP 的斜率为k 且|k |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1－233∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤233＋1，3解析 直线AP 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0，即kx －y －k ＝0，由|mk －k |1＋k 2＝1，得|m －1|＝1＋1k 2.∵|k |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3， ∴233≤|m －1|≤2， 解得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1－233∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤233＋1，3.8．过抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作与直线x ＋2＝0相切的圆，这些圆必过一定点，则定点的坐标是________．答案 (2,0)解析 抛物线的焦点为F (2,0)，准线l 的方程为x ＝－2，即x ＋2＝0，又抛物线上任意一点到F 与到准线l 的距离相等，所以这些圆一定过焦点F (2,0)．9．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．答案 6解析 由题意，得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 204.因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6.三、解答题10．已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点M (2,2)，C 在点M 处的切线交x 轴于点N ，直线l 1经过点N 且垂直于x 轴．(1)求线段ON 的长；(2)设不经过点M 和N 的动直线l 2：x ＝my ＋b 交C 于点A 和B ，交l 1于点E ，若直线MA ，ME ，MB 的斜率依次成等差数列，试问：l 2是否过定点？请说明理由．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点M (2,2)，得22＝4p ，故p ＝1，抛物线C 的方程为y 2＝2x .C 在第一象限的图象对应的函数解析式为y ＝2x ，则y ′＝12x，故C 在点M 处的切线斜率为1，切线的方程为y －2＝1(x －2)．令y ＝0，得x ＝－2，所以点N 的坐标为(－2,0)，故线段ON 的长为2. (2)l 2恒过定点(2,0)，理由如下： 由题意可知直线l 1的方程为x ＝－2. 因为l 2与l 1相交，所以m ≠0.由l 2：x ＝my ＋b ，令x ＝－2，得y ＝－b ＋2m ，故E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－b ＋2m .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x 消去x ，得y 2－2my －2b ＝0，则y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝－2b .直线MA 的斜率为y 1－2x 1－2＝y 1－2y 212－2＝2y 1＋2，同理，直线MB 的斜率为2y 2＋2，直线ME 的斜率为2＋b ＋2m 4.因为直线MA ，ME ，MB 的斜率依次成等差数列， 所以2y 1＋2＋2y 2＋2＝2×2＋b ＋2m 4＝1＋b ＋22m，即y 1＋y 2＋y 1＋y 2＋y 1y 2＋4＝1＋4－y 1y 2y 1＋y 2＋y 1y 2＋4＝1＋b ＋22m，整理得b ＋22m －b ＋2＝b ＋22m.因为l 2不经过点N ，所以b ≠－2，所以2m －b ＋2＝2m ，即b ＝2， 故l 2的方程为x ＝my ＋2，即l 2恒过定点(2,0)．11． 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其离心率e ＝12，过椭圆E 内一点P (1,1)的两条直线分别与椭圆交于点A ，C 和B ，D ，且满足AP →＝λPC →，BP →＝λPD →，其中λ为实数．当点C 恰为椭圆的右顶点时，对应的λ＝57.(1)求椭圆E 的方程；(2)当λ变化时，k AB 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．解 (1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，即14a 2＝c 2，所以b 2＝34a 2.因为C (a,0)，λ＝57成立，所以由AP →＝λPC →，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5a 7，127， 将其代入椭圆方程中，得－5a2a ＋12249×4a2＝1，解得a ＝2，所以a ＝2，b ＝3，所求椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，由AP →＝λPC →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋λx 3＝1＋λ，y 1＋λy 3＝1＋λ.同理⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋λx 4＝1＋λ，y 2＋λy 4＝1＋λ.将A ，B 的坐标代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋4y 21＝12，3x 22＋4y 22＝12，两式相减得，3(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即3(x 1＋x 2)＋4(y 1＋y 2)k AB ＝0. 同理，3(x 3＋x 4)＋4(y 3＋y 4)k CD ＝0.因为AP →＝λPC →，BP →＝λPD →，所以AB ∥CD ，所以k AB ＝k CD ，所以3(x 3＋x 4)＋4(y 3＋y 4)k AB ＝0，所以3λ(x 3＋x 4)＋4λ(y 3＋y 4)k AB ＝0，所以3(x 1＋λx 3＋x 2＋λx 4)＋4(y 1＋λy 3＋y 2＋λy 4)k AB ＝0，即6(1＋λ)＋8(1＋λ)k AB ＝0，所以k AB ＝－34为定值．12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，已知点N (2，m )为抛物线C 上一点，且|NF |＝4.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 过点F 交抛物线于不同的两点A ，B ，交y 轴于点M ，且MA →＝aAF →，MB →＝bBF →，a ，b ∈R ，对任意的直线l ，a ＋b 是否为定值？若是，求出a ＋b 的值；否则，说明理由．解 (1)因为|NF |＝4，由抛物线的定义知x N ＋p2＝4，即2＋p2＝4，所以p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)显然直线l 的斜率存在且一定不等于零，设其方程为x ＝ty ＋2(t ≠0)，则直线l 与y 轴交点为M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－2t .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋2，y 2＝8x消去x 得y 2－8ty －16＝0， 所以Δ＝(－8t )2－(－64)＝64(t 2＋1)>0，y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝－16. 由MA →＝aAF →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋2t ＝a (2－x 1，－y 1)，所以a ＝x 12－x 1＝－ty 1＋2ty 1＝－1－2ty 1，同理可得b ＝－1－2ty 2，a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2ty 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2ty 2＝－2－y 1＋y 2ty 1y 2＝－2＋16t16t＝－1.所以a ＋b 为定值－1.13．在空间中，取直线l为轴，直线l与l′相交于O点，夹角为30°，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．已知直线l∥平面α，l与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ.在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系．(1)求双曲线Γ的方程；(2)在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为22的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P，过点P作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M，N，试证明线段MN的长为定值，并求出这个定值．解(1)如图，设O′为双曲线的中心，则轴l与平面α的距离为|OO′|＝2，A为双曲线的一个顶点，∠AOO′＝60°，所以|O′A|＝2 3.在轴l 上取点C ，使得|OC |＝43，过C 作与轴l 垂直的平面，交圆锥面得到圆C ，圆C 与双曲线相交于D ，E 两点．设DE 的中点为B ，易知|CB |＝2，|CD |＝4，可得|BD |＝23，从而可知双曲线的实半轴长为23，且过点(23，43)．设双曲线的标准方程为y 212－x 2b 2＝1，将点(23，43)代入方程得b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 212－x 24＝1.(2)证明：在条件(1)下，显然双曲线Γ的两切线PM ，PN 都不垂直x 轴． 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，令过点P 的切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝k (x －x 0)＋y 0，由⎩⎨⎧y ＝k x －x 0＋y 0，y 212－x24＝1消去y ，得(k 2－3)x 2－2k (kx 0－y 0)x ＋(kx 0－y 0)2－12＝0，由Δ＝0，化简得(x 20＋4)k 2－2x 0y 0k ＋(y 20－12)＝0.令PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝y 20－12x 20＋4，由点P (x 0，y 0)在圆Γ′上，得x 20＋y 20＝8，得y 20－12x 20＋4＝－1，∴k 1k 2＝－1.所以PM ⊥PN ，线段MN 是圆Γ′的直径，为定值，|MN |＝4 2.14. 如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，O 是坐标原点，|OF |＝5，过F 作OF 的垂线交椭圆于P 0，Q 0两点，△OP 0Q 0的面积为453.(1)求该椭圆的标准方程；(2)若直线l 与上、下半椭圆分别交于点P ，Q ，与x 轴交于点M ，且|PM |＝2|MQ |，求△OPQ 的面积取得最大值时直线l 的方程．解 (1)由已知条件，|P 0F |＝S △OP 0Q 0|OF |＝4535＝43， 易知|P 0F |＝b 2a ，从而b 2a ＝43.又c ＝|OF |＝5，即a 2－b 2＝5，因此a 2－43a －5＝0，解得a ＝3或a ＝－53，又因为a >0，故a ＝3，从而b ＝2. 故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (m,0)，由题意知y 1>0，y 2<0，并可设直线l ：x ＝ty ＋m (t ≠0)，代入椭圆方程得ty ＋m 29＋y 24＝1，即(4t 2＋9)y 2＋8tmy ＋4(m 2－9)＝0.由题意可知|m |<3，Δ>0，从而y 1＋y 2＝－8tm4t 2＋9，y 1y 2＝m 2－4t 2＋9.由|PM |＝2|MQ |，得y 1－y 2＝|PM ||MQ |＝2，即y 1＝－2y 2，因此y2＝－(y1＋y2)＝8tm4t2＋9，y1y2＝－2y22，故m2－4t2＋9＝－2⎝⎛⎭⎪⎫8tm4t2＋92，从而m2＝4t2＋94t2＋1，所以S△OPQ＝12|OM||y1－y2|＝12|m||－3y2|＝12|t|m24t2＋9＝12|t|4t2＋1＝124|t|＋1|t|≤3，当且仅当4|t|＝1|t|，即t＝±12时，等式成立，此时m2＝4×14＋94×14＋1＝5，所以m＝± 5.因为y2＝8tm4t2＋9，且y2<0，所以tm<0，故满足题意的直线l的方程为x＝12y－5或x＝－12y＋ 5.。
高考数学(理)二轮专题复习突破精练对点练24-圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题对点练24 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2017吉林白山二模,理22)已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为x=-1,直线l与抛物线相交于不同的A,B两点.(1)求抛物线的标准方程;(2)如果直线l过抛物线的焦点,求错误!未找到引用源。
的值;(3)如果错误!未找到引用源。
=-4,直线l是否过一定点,若过一定点,求出该定点;若不过一定点,试说明理由.解(1)已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为x=-1,∴错误!未找到引用源。
=1,p=2.∴抛物线的标准方程为y2=4x.(2)设l:my=x-1,与y2=4x联立,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=4m,y1y2=-4,∴错误!未找到引用源。
=x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=-3.(3)假设直线l过定点,设l:my=x+n,联立错误!未找到引用源。
得y2-4my+4n=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=4m,y1y2=4n.由错误!未找到引用源。
=-4=(m2+1)y1y2-mn(y1+y2)+n2=n2+4n,解得n=-2,∴l:my=x-2过定点(2,0).2.(2017吉林三模,理20)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=nx(n>0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点的距离为错误!未找到引用源。
,曲线C在点P处的切线交x轴于点Q,直线l1经过点Q且垂直于x轴.(1)求线段OQ的长;(2)设不经过点P和Q的动直线l2:x=my+b交曲线C于点A和B,交l1于点E,若直线PA,PE,PB 的斜率依次成等差数列,试问:l2是否过定点?请说明理由.解(1)由抛物线上的点P(2,t)到焦点的距离为错误!未找到引用源。
,得2+错误!未找到引用源。
,所以n=2,则抛物线方程为y2=2x,所以曲线C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=错误!未找到引用源。
【精品提分练习】新课标广西高考数学二轮复习专题对点练24圆锥曲线中的定点定值与存在性问题201812242110
专题对点练24 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=-1相切.(1)求圆心M的轨迹方程;(2)动直线l过点P(0,-2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC 恒过定点.2.已知椭圆Γ:+y2=1(a>1)与圆E:x2+-=4相交于A,B两点,且|AB|=2,圆E交y轴负半轴于点D.(1)求椭圆Γ的离心率;(2)过点D的直线交椭圆Γ于M,N两点,点N与点N'关于y轴对称,求证:直线MN'过定点,并求该定点坐标.3.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,圆C:x2+y2-2ax+a2-4=0,直线l与抛物线E交于A,B两点,与圆C 切于点P.(1)当切点P的坐标为时,求直线l及圆C的方程;(2)当a=2时,证明:|FA|+|FB|-|AB|是定值,并求出该定值.4.设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(a∈R),已知当a=1时,动圆N过点M且与直线x=-1相切,记动圆N的圆心N的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)当a>2时,若直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)(y0>0),且l与以定点M为圆心的动圆M也相切,当动圆M的面积最小时,证明:M,P两点的横坐标之差为定值.5.已知椭圆M:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.(1)求椭圆M的方程;(2)若圆N:x2+y2=r2上斜率为k的切线l与椭圆M相交于P,Q两点,OP与OQ能否垂直?若能垂直,请求出相应的r的值;若不能垂直,请说明理由.6.已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且△AOB的面积为.(1)求椭圆的方程;(2)直线y=2上是否存在点Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.专题对点练24答案1.(1)解∵动点M到直线y=-1的距离等于到定点C(0,1)的距离,∴动点M的轨迹为抛物线,且=1,解得p=2,∴动点M的轨迹方程为x2=4y.(2)证明由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x2,y2).联立-化为x2-4kx+8=0,Δ=16k2-32>0,解得k> 或k<-.∴x1+x2=4k,x1x2=8.直线AC的方程为y-y2=--(x+x2),又y1=kx1-2,y2=kx2-2,∴4k-4k(kx2-2)=(kx1-kx2)x+kx1x2-k,化为4y=(x1-x2)x+x2(4k-x2),∵x1=4k-x2,∴4y=(x1-x2)x+8,令x=0,则y=2,∴直线AC恒过一定点(0,2).2.(1)解由题意得A,B两点关于y轴对称,设x B=,则圆心E到AB的距离为1, ∴y B=,∴B,代入椭圆方程得=1,解得a2=4,∴e=.(2)证明设M(x1,y1),N(x2,y2),N'(-x2,y2).圆E交y轴负半轴于点D,当直线MN斜率存在时,设其方程为y=kx--消去y得(1+4k2)x2-4kx-3=0.∴x1+x2=,x1x2=-,直线MN'的方程y-y1=-(x-x1),依据椭圆的对称性,若直线MN'过定点,定点一定在y轴上,令x=0,y=y1----=-2.当直线MN斜率不存在时,直线MN'的方程为x=0,显然过点(0,-2).综上,直线MN'过定点(0,-2).3.(1)解由圆(x-a)2+y2=4,则圆心(a,0),半径为2,将P代入圆方程,解得a=2或a=-,∴圆的方程为(x-2)2+y2=4或+y2=4,当a=2,圆心C(2,0),则直线CP的斜率k=--=-,由直线l的斜率为-,则直线l的方程y--,整理得4y-3x-4=0;当a=-,圆心C-,则直线CP的斜率k=---,由直线l的斜率为-=-,则直线l的方程y-=--,整理得20y+15x-44=0,综上可知,直线l方程为4y-3x-4=0,圆C的方程为(x-2)2+y2=4,或直线l方程为20y+15x-44=0,圆C 的方程为+y2=4;(2)证明当a=2时,圆C的方程(x-2)2+y2=4,当l垂直于x轴时,则x=4,A(4,4),B(4,-4),∴|FA|=|FB|=5,|AB|=8,∴|FA|+|FB|-|AB|=2;当l不垂直于x轴时,设直线l:y=kx+b(k≠0),直线l与圆C相切,则=2,则4kb+b2=4,结合图象知kb<b(图略).则整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,由Δ=(2kb-4)2-4k2b2=-16kb+4(4kb+b2)=4b2>0,x1+x2=--,x1x2=,|AB|=-=----===,由抛物线的性质可知|FA|+|FB|=x1+x2+p=x1+x2+2,∴|FA|+|FB|=--+2,∴|FA|+|FB|-|AB|=--+2-=2,∴|FA|+|FB|-|AB|是定值,定值为2.4.(1)解因为圆N与直线x=-1相切,所以点N到直线x=-1的距离等于圆N的半径,所以点N到点M(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等.所以点N的轨迹为以点M(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,所以圆心N的轨迹方程,即曲线C的方程为y2=4x.(2)证明由题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-y0=k(x-x0),--由得y2-y-kx0+y0=0,又=4x0,所以y2-y-+y0=0.因为直线l与曲线C相切,所以Δ=1-k-=0,解得k=.所以直线l的方程为4x-2y0y+=0.动圆M的半径即为点M(a,0)到直线l的距离d=.当动圆M的面积最小时,即d最小,而当a>2时,d=≥ -.当且仅当=4a-8,即x0=a-2时取等号,所以当动圆M的面积最小时,a-x0=2,即当动圆M的面积最小时,M,P两点的横坐标之差为定值.5.解 (1)依题意椭圆M:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.得c=,e=,可得a=2,则b=1,故椭圆的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m,∵直线l与圆x2+y2=1相切,∴=r,即m2=r2(k2+1).①由可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=64k2-16m2+16>0,∴m2<4k2+1,可得r2<4.令P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,若OP与OQ能垂直,则=x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,(1+k2)--+m2=0,整理得5m2-4(k2+1)=0,把①代入得(k2+1)(5r2-4)=0,∴r=,满足r2<4,∴OP与OQ能垂直.6.解 (1)∵椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且△AOB的面积为,∴c,ab=,∴a=2,b=,∴椭圆方程为=1.(2)假设直线y=2上存在点Q满足题意,设Q(m,2),当m=±2时,从点Q所引的两条切线不垂直.当m≠±2时,设过点Q向椭圆所引的切线的斜率为k,则l的方程为y=k(x-m)+2,代入椭圆方程,消去y,整理得(1+2k2)x2-4k(mk-2)x+2(mk-2)2-4=0,∵Δ=16k2(mk-2)2-4(1+2k2)[2(mk-2)2-4]=0,∴(m2-4)k2-4mk+2=0.设两条切线的斜率分别为k1,k2,=-1,则k1,k2是方程(m2-4)k2-4mk+2=0的两个根,∴k1k2=-解得m=±,点Q坐标为(,2)或(-,2).∴直线y=2上两点(,2),(-,2)满足题意.。
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专题对点练24圆锥曲线中的定点、定值与
存在性问题
1.(2017吉林白山二模,理22)已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为x=-1,直线l与抛物线相交于不同的A,B两点.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)如果直线l过抛物线的焦点,求的值;
(3)如果=-4,直线l是否过一定点,若过一定点,求出该定点;若不过一定点,试说明理由.解(1)已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为x=-1,∴=1,p=2.
∴抛物线的标准方程为y2=4x.
(2)设l:my=x-1,与y2=4x联立,得y2-4my-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=4m,y1y2=-4,
∴=x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=-3.
(3)假设直线l过定点,设l:my=x+n,
联立得y2-4my+4n=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=4m,y1y2=4n.
由=-4=(m2+1)y1y2-mn(y1+y2)+n2=n2+4n,解得n=-2,
∴l:my=x-2过定点(2,0).
2.(2017吉林三模,理20)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=nx(n>0)在第一象限内的点P(2,t)到
焦点的距离为,曲线C在点P处的切线交x轴于点Q,直线l1经过点Q且垂直于x轴.
(1)求线段OQ的长;
(2)设不经过点P和Q的动直线l2:x=my+b交曲线C于点A和B,交l1于点E,若直线P A,PE,PB 的斜率依次成等差数列,试问:l2是否过定点?请说明理由.
解(1)由抛物线上的点P(2,t)到焦点的距离为,得2+,所以n=2,
则抛物线方程为y2=2x,所以曲线C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=,则y'=.故曲线C在点P处的切线斜率k=,切线方程为y-2=(x-2).
令y=0得x=-2,所以点Q(-2,0),故线段OQ=2.
(2)由题意知l1:x=-2,因为l2与l1相交,所以m≠0.
设l2:x=my+b,令x=-2,得y=-,故E,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x得y2-2my-2b=0,则y1+y2=2m,y1y2=-2b,直线P A的斜率为,
同理直线PB的斜率为,直线PE的斜率为.
因为直线P A,PE,PB的斜率依次成等差数列,
所以=2,即,
因为l2不经过点Q,所以b≠-2.
所以2m-b+2=2m,即b=2.
故l2:x=my+2,即l2恒过定点(2,0).
3.(2017江西九江二模,理20)
已知椭圆C:=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,F1,F2为椭圆的左、
右焦点.M为椭圆上任意一点,△MF1F2面积的最大值为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C上的任意一点N(x0,y0),从原点O向圆N:(x-x0)2+(y-y0)2=3作两条切线,分别交椭圆于A,B两点.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出其值;若不是,请说明理由.
解(1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0),由题意可得c=2,
△MF1F2面积的最大值为4,可得当M位于椭圆短轴端点处时取得最大值.
即有b·2c=4,解得b=2,a2=b2+c2=4+8=12,
则椭圆方程为=1;
(2)证明:设直线OA:y=k1x,OB:y=k2x,A(x1,y1),B(x2,y2),
设圆N:(x-x0)2+(y-y0)2=3的切线方程为y=kx,
则有,整理得(-3)k2-2x0y0k+-3=0,k1+k2=,k1k2=≠3),
又因为=1,所以可求得k1k2==-,
将y=k1x代入椭圆方程x2+3y2=12,
得,则,同理可得,所以
|OA|2+|OB|2==16.所以
|OA|2+|OB|2的值为定值16.
4.(2017辽宁沈阳三模,理20)已知定直线l:y=x+3,定点A(2,1),以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)椭圆的弦AP,AQ的中点分别为M,N,若MN平行于l,则OM,ON斜率之和是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.
解(1)设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
椭圆C过点A,所以4m+n=1,①
将y=x+3代入椭圆方程化简得(m+n)x2+6nx+9n-1=0,
因为直线l与椭圆C相切,
所以Δ=(6n)2-4(m+n)(9n-1)=0,②
解①②可得m=,n=,所以椭圆方程为=1.
(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),
则有M,N,
由题意可知l∥MN,所以k l=k MN=1,设直线MN的方程为y=x+t,
代入椭圆方程并化简得3x2+4tx+2t2-6=0,
由题意可知③
k OM+k ON=,
通分后可变形得到k OM+k ON
=,
将③式代入分子k OM+k ON
=
==0,
所以OM,ON斜率之和为定值0.〚导学号16804221〛5.(2017陕西渭南二模,理20)已知P,Q是椭圆E:=1(a>b>0)上关于原点O对称的任意
两点,且点P,Q都不在x轴上.
(1)若D(a,0),求证:直线PD和QD的斜率之积为定值;
(2)若椭圆长轴长为4,点A(0,1)在椭圆E上,设M,N是椭圆上异于点A的任意两点,且AM⊥AN,
问直线MN是否过一个定点?若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
解(1)由题意可知P(m,n),则Q(-m,-n),
由=1,则n2=b2,由D(a,0),则k PD·k QD==-,
故直线PD和QD的斜率之积为定值.
(2)直线MN过定点,理由如下:
由2a=4,a=2,b=1,则椭圆方程为+y2=1,
当直线MN的斜率k=0时,则M,N,直线MN的方程为y=-,
当直线斜率存在,且k≠0,则直线MN的方程:y=kx+t,M(x1,y1),N(x2,y2),
则整理得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,x1+x2=-,x1x2=,
由AM⊥AN,则=0,(1+k2)x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=0,
则(1+k2)×+k(t-1)+(t-1)2=0,
整理得5t2-2t-3=0,解得t=-或t=1(舍去),
则直线MN的方程为y=kx-,且直线MN恒过点,
综上可知:直线MN过定点.〚导学号16804222〛6.(2017河北邯郸二模,理20)已知F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆G:=1(0<b<a<3)的左、右
焦点,点P(2,)是椭圆G上一点,且|PF1|-|PF2|=a.
(1)求椭圆G的方程;
(2)设直线l与椭圆G相交于A,B两点,若,其中O为坐标原点,判断O到直线l的距离
是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
解(1)由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a.
由|PF1|-|PF2|=a,
∴|PF1|=a=3|PF2|,
则=3,化简得c2-5c+6=0,
由c<a<3,∴c=2,则|PF1|=3a,
则a=2,b2=a2-c2=4,
故椭圆的标准方程为=1;
(2)由题意可知,直线l不过原点,设A(x1,y1),B(x2,y2),
①当直线l⊥x轴,直线l的方程为x=m(m≠0),且-2<m<2,
则x1=m,y1=,x2=m,y2=-,
由,∴x1x2+y1y2=0,
即m2-=0,解得m=±,
∴直线l的方程为x=±,
故原点O到直线l的距离d=.
②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+n,
则消去y整理得(1+2k2)x2+4knx+2n2-8=0,x1+x2=-,x1x2=,则
y1y2=(kx1+n)(kx2+n)=k2x1x2+kn(x1+x2)+n2=.
由,∴x1x2+y1y2=0,∴=0,
整理得3n2-8k2-8=0,即3n2=8k2+8,①
则原点O到直线l的距离d=,
∴d2=,②
将①代入②,则d2=,∴d=,
综上可知:点O到直线l的距离为定值.〚导学号16804223〛。