江苏省南通市海安中学2017-2018学年高一(创新班)下学期4月月考数学试题
江苏省海安高级中学高一月考(创新班)数学试题Word版含答案
n，那么n//
D．假定m//
，m
n，那么n
6.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，假定b＝2asinB，那么A＝()
°
B．45°
C．60°
D．75°
7．数列
an的前n项和为Sn，且Sn2an
2，那么a2等于(
)
A．4
B．2
C．1
D．－2
8.
函数f(x)的图象以下列图，为了获得函数
未找到引用源。,橱宪產尋呐瞇拥谕闳琼砾层獼緄烂。
错误!未找到引用源。
I〕求a和sinC的值;
〔II〕求的值.
错误!未找到引用源。
2
21.函数fxxaxba，bR．
假定b1，且函数fx有零点，务实数a的取值范围；
(2)
当b1a时，解对于x的不等式fx
0；
(3)
假定正数a，b知足a
4
x1，
，fx
0恒成立，务实数a，b的
界〕.以下四个向量:
铀鳝懸鑾价緇训價窝銮却愾骟辕偬。
uuuuv
uuuv
uuuv
A.
OM1
OA2OB;
B.
uuuuuv
3uuuv
1uuuv
OM2
OA
OB;
4
3
C.
uuuuuv
1uuuv
1uuuvOM3OA来自OB;23
D.
uuuuuv
3uuuv
1uuuv
OM4
OA
OB.
4
5
对于点M1,M2,M3,M4,落在暗影地区内〔不含界限〕的有_____.
出文字说明，证明过程或演算步骤〕
18.如图,在三棱柱ABC
江苏省海安中学2017-2018学年高一4月底月数学试卷(创新班)
阶段检测三 高一 创新班数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．已知复数z 满足(1＋i)z ＝1＋3i(i 是虚数单位)，则|z |= ▲ ． 2．已知向量a (12)=，，b (32)=-，，则()⋅-a a b = ▲ ． 3．集合A ＝{3，2a }，B ＝{a ，b }，且A ∩B ＝{2}，则A ∪B = ▲ ．4．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)= ▲ ． 52π．该圆锥的表面积为 ▲ ．6． 将函数sin 2y x =的图象向左至少平移 ▲ 个单位可得到函数cos 2y x =的图象．7． 若函数2(e )()e 1x xx m f x +=-（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的值为 ▲ ． 8． 设n S 是等差数列{a n }的前n 项的和．若27a =，77S =-，则a 7的值为 ▲ ． 9．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 20＜1，则PF 1＋PF 2的取值范围为 ▲ ．10．在锐角△ABC 中，若tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，则tan tan A C 的值为 ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切，且圆心C在直线l 的上方，则ab 的最大值为 ▲ ．12．已知双曲线()2222100y x a b a b-=>>，的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p = ▲ ． 13．已知实数x ，y 满足2002x y x y +⎧⎪⎨⎪+⎩≥，≥，≤，设{}max 342z x y x y =--，，则z 的取值范围是 ▲ ． （max{}a b ，表示a ，b 两数中的较大数）14．若幂函数()a f x x =(a ∈R )及其导函数()f x '在区间(0，+∞)上的单调性一致(同为增函数或同为减函数)，则实数a 的取值范围是 ▲ ．（第17题）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）如图，在长方形ABCD 中，AB =4，AD =2．M ，N 分别是线段BC ，CD 的中点，P 是长方形ABCD （含边界）内一点． （1）求sin ∠MAN 的值； （2）求MN MP ⋅的取值范围．16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB ∠为二面角P AD B --的平面角． （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若BC ⊥平面PAB ，求证：//AD 平面PBC ．17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：221x y += 与x 轴的两个交点（点B 在点A 右侧），点(20)Q -，， x 轴 上方的动点P 使直线PA ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差 数列．（1）求证：动点P 的横坐标为定值；（2）设直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为S ，T ．ABPD（第16题）。
江苏省海安高级中学2018届高三下学期开学考试数学试题
开始结束输出SYNn < a （第6题）2018届高三阶段检测（四）数学试卷一、填空题．（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置上）1. ?函数()π()sin 24f x x =-的最小正周期为 ▲ ．2. ?某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 ▲ . 3. ?已知复数1252i 69i z z =+=-，（i 是虚数单位），12i z z z =⋅+，则复数z 的摸为 ▲ ．4. ? 分别在集合A ={1，2，3，4}和集合B ={5，6，7，8}中各取一个数相乘，则乘积为偶数的概率为 ▲ ．5. 已知曲线4(0)y x x=<的一条切线斜率为4-，则切点的横坐标为 ▲ ． 6． 如图是计算101121k k =-∑的值的一个流程图，则常数a 的取值范围是 ▲ ．7. 在平面直角坐标系xOy中，?设点的集合{}222()(1)(1)A xy x y a =-+-=，，3(,)4020x B x y x y x y a ⎧⎫⎧⎪⎪⎪=+-⎨⎨⎬⎪⎪⎪-+⎩⎩⎭≤，≤，≥，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8. 若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122e a a a a +=，则1220ln ln ln a a a +++的值为 ▲ ．9. ? 设π02βα<<<，且113cos cos()714ααβ=-=，，则tan β的值为 ▲ ． 10. ?在平面直角坐标系xOy 中，若点(m ，n )在圆224x y +=外，则直线4mx ny +=与椭圆22154y x +=的公共点的个数为 ▲ ．6 7 8 5 5 6 3 4 0 1（第2题）A Q PCNBM D（第16题）11．在等腰梯形ABCD 中，已知AB //DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒．点E 和F 分别在线段BC和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF ⋅的值为 ▲ ．12．设0021m n m n >>+=，，，则224m n mn ++的最大值与最小值之和为 ▲ ．13. ?设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知 函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()()y f x g x =-在区间[]510-，内零点的个数为 ▲ ． 14. ?设函数2()()f x x bx c b c =++∈R ，对任意的x ∈R ，都有()f x '≤()f x 成立．若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22()()()f c f b M c b --≤恒成立，则实数M 的最小值为 ▲ ．二、解答题．（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos sin A B C a b c+=．（1）证明：sin sin sin A B C =；（2）若22265b c a bc +-=，求tan B 的值．16．如图，一个平面与四面体ABCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 分别相交于点M ，N ，P ，Q ，且截面四边形MNPQ 是正方形． （1）求证：AC // 平面MNPQ ；（2）求证：AC BD ⊥，并求异面直线MP 与BD 所成角的值．17．在某商业区周边有两条公路12 l l ，，在点O 处交汇，该商业区为圆心角3π，半径3km 的扇形.现规划在该商业区外修建一条公路AB ，与12 l l ，分别交于A ，B ，要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在12 l l ，上．（1）设km km OA a OB b ==，，，试用a ，b 表示新建公路AB 的长度，求出a ，b 满足的关系式，并写出a ，b 的范围；（2）设AOT α∠=，试用α表示新建公路AB 的长度，并且确定A ，B 的位置，使得新建公路AB的长度最短．18.???在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆T 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为2，椭圆T 上的点到右焦点的距离的最小值为23-． （1）求椭圆T 的方程；（2）设点A ，B 分别是椭圆T 的左右顶点，点Q 是x 轴上且在椭圆T 外的一点，过Q 作直线Oxy QBACDP（第18题）?交椭圆T 于C ，D 两点（异于A ，B ），设直线AC 与BD 相交于点P ，记直线PA ，PB ， ?PQ 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求证：k 3是k 1，k 2的等差中项．19．已知二次函数g （x ）对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--，且()11g =-．令 ()19()ln (0)28f xg x m x m x =+++∈>R ，．（1）求 g (x )的表达式；（2）若0x ∃>使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+，证明:对12[1]x x m ∀∈，，，恒有12|()()| 1.H x H x -<20．下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S ．其特点是每行每列都是等差数列，第i 行第j 列的数记为A ij ．1 4 7 10 13 … 4 8 12 16 20 … 7 12 17 22 27 … 10 16 22 28 34 … 13 20 27 34 41 …… … … …（1）证明：存在常数*C ∈N ，对任意正整数i ，j ，ij A C +总是合数；（2）设?S 中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列{}n b ．试证不存在正整数k 和m (1)k m <<，使得1k m b b b ，，成等比数列； （3）对于（2）中的数列{}n b ，是否存在正整数p 和r?(1150)r p <<<，使得1r p b b b ，，成等差数列．若存在，写出p r ，的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区．．．．．域内．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵11A ⎡=⎢-⎣ 24⎤⎥⎦.求A 的特征值和特征向量.C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为π4θ=（ρ∈R ），曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度.22. 在1 2 3 9，，，，这9个自然数中，任取3个不同的数． （1）求这3个数中至少有1个数是偶数的概率； （2）求这3个数的和为18的概率；（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1 2 3，，，则有两组相邻的数1 2，和2 3，，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望()E ξ．23．设数列{}n a 是等比数列，311232CAmm m a +-=⋅，公比q 是()4214x x+的展开式中的第二项（按x 的降幂排列）．（1）用n ，x 表示数列的通项n a 及前n 项和n S ；（2）若1212C C C nn n n n n A S S S =+++，用n ，x 表示n A ．。
【数学】江苏省南通市海安中学2017-2018学年高一下学期期中考试试题(普通班)(word附答案)
江苏省南通市海安中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题（普通班）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 函数()πsin 23y x =-最小正周期为 ▲ ．2. 已知集合{}2320A x x x =-+>，则A =R ð ▲ ．3. 圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2，则原圆锥的高被截面分成的两段之比为 ▲ ． 4．函数y =的定义域为 ▲ ． 5. 关于x 的不等式211(1)0(1)x x a a a-++<>的解集为 ▲ ． 6. 已知，且，，则的值为 ▲ ． 7. 若函数2(e )()e 1x x x m f x +=-（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的值为 ▲ ．8. 设{a n }*()n ∈N 是等比数列，有下列四个判断：①{a n 2}*()n ∈N 是等比数列；②{}1n n a a +*()n ∈N 是等比数列；③{}1n n a a ++*()n ∈N 是等比数列；④{}lg n a *()n ∈N 是等差数列.其中正确判断的序号是 ▲ .9. 已知向量,a b满足1,2,a b a b ==+=则向量,a b 的夹角为 ▲ ． 10. 如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为 ．11. 设x ，y ，z 均是不为0的实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z z x+的值是 ▲ ．12. 在△ABC 中，已知BC =2，AB AC ⋅ =1，则△ABC 面积的最大值是 ▲ ．() 0 αβ∈π，，()1tan 2αβ-=1tan 5β=-tanα13. 在斜三角形ABC 中，若114tan tan tan A B C+=,则sin C 的最大值为 ▲ ． 14. 设,,a b c 是三个正实数，且()b a b c ac ++=，则ba c+的最大值为 ▲ .二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解关于x 的不等式2260x ax a --<（a ∈R ）.16. （本题满分14分）已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.17．（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，()12n n n S a +=，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有()1122121n n n a b a b a b n +++=-⋅+，求数列n n S b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项．18. （本题满分16分）如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．19. （本题满分16分）已知函数()21f x x mx m =-+-．（1）当[]2,4x ∈时，()1f x -≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）是否存在整数a 、b （其中a 、b 是常数，且a ＜b ），使得关于x 的不等式()a f x b ≤≤的解集为{}x a x b ≤≤？若存在，求出a 、b 的值，若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，31=a ，且)(32*1N ∈-=+n a S n n ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数)(,,k j i k j i <<，已知k i j a a a μλ,6,成等差数列，求正整数μλ,的值； （3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式1121321333n n n n n a b a b a b a b n +--++++=--成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n .【参考答案】一、填空题 1.π2.[1， 2]14.()1 12，5.1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭6.3117.18.①②④9.2π310.15或7511.341514.12二、解答题15. 解： {}0,|23a x a x a >-<<，0,a =∅，{}0,|32a x a x a <<<-.16.解：（1）因为m //n ,所以3sin (sin )02A A A ⋅+-=.所以1cos232022A A --=12cos212A A -=，即 ()πsin 216A -=.因为(0,π)A ∈ , 所以()ππ11π2666A -∈-，. 故ππ2A -=，πA =. （2）由余弦定理，得 224b c bc =+-.又1sin ABC S bc A ∆==， 而222424b c bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤，（当且仅当b c =时等号成立）所以1sin 42ABC S bc A ∆==.当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3A =，故此时△ABC 为等边三角形.17. 解：（1）由12n n n S a +=得1122n n n S a +++=，两式做差得11n n an a n++=，所以324123234,,,123a a a a a a === (11)n n a n a n -=-，叠乘可得,n a n n *=∈N . （2）()1122121n n n a b a b a b n +++=-⋅+，当2n ≥时1122a b a b ++…111(2)21n n n a b n ---=-⋅+，两式做差11(1)2(2)22,2n n n n n a b n n n n --=-⋅--⋅=⋅≥，1n =时，111a b =，满足12n n n a b n -=⋅，所以12,n n n a b n n -*=⋅∈N ，又,n a n n *=∈N ，所以12,n n b n -*=∈N ，所以1(1)(1)222n n nn n n S n n b -++==， 而21111(1)(2)(1)20222n n n n n n n S S n n n n n n b b +++++++-++-=-=≥，得2n ≤， 所以3512412345S S S S S b b b b b <=>>， 所以，当2n =或3n =时数列n n S b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭有最大项为32.18. 解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ)．在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)．AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ＝163sin 2(θ＋60°)－1633 sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23． 答：设计∠AMN 为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．解法二：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． 因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝y sin α，所以sin α＝34y ，cosα＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋(x 2－xy )4x ＝2x －y 4．cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4，在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ， 即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y 4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4．所以AP 2≤12，即AP ≤23．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． 19. 解：（1）函数()f x 的对称轴为2mx =． ①22m≤，即4m ≤，()f x 在[]2,4上为增函数，()f x 的最小值为3m -， 即31m -≥-，4m ≤；②242m<<，即48m <<，()f x 在[]2,4上的最小值为2(1)4m m --， 即2(1)14m m --≥-，04m ≤≤，∴m 无解． ③42m≥，即8m ≥，()f x 在[]2,4上为减函数，()f x 的最小值为315m -+， 即3151m -+≥-，163m ≤，∴m 无解．综上，4m ≤．（2）假设存在适合题意的整数，则必有min ()a f x ≤（否则，不等式的解集是两个关于对称轴对称的区间的并集），这时的解集为[](),,,f b b a b a b m =⎧⇔⎨+=⎩由()f b b =，得21b mb m b -+-=，即21(1)b b m b --=-，因1b =时此式不成立，故21111b b m b b b --==---，∵,a b Z ∈，∴m a b Z =+∈，故11Z b ∈-，只有11b -=±，当11b -=-时，0,1,1b m a ===，不符合a b <；当11b -=时，min 2,1,1()b m a f x ===-<，符合题意．综上知，存在1,2a b =-=适合题意．20.解：（1）由)(3-2*1N ∈=+n a S n n 得3-221++=n n a S ，两式作差得121-2+++=n n n a a a ， 即)(3*12N ∈=++n a a n n .31=a ，93212=+=S a ，所以)(3*1N ∈=+n a a n n ，0≠n a ，则)(3*1N ∈=+n a a nn ，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以)(3*N ∈=n a n n ；,a b ()a f x b ≤≤（2）由题意i k j a a a 62⋅=+μλ，即ik j 36233⋅⋅=+μλ，所以1233=+--ik i j μλ，其中12j i k i --≥，≥，所以333399j i k i λλμμ--≥≥，≥≥， 123312j i k i λμ--=+≥，所以1,21===-=-μλi k i j ，；（3）由3331123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 得3)1(33211213211-+-=+++++++-+n b a b a b a b a b a n n n n n n ， 3)1(33)(3212112111-+-=++++++--+n b a b a b a b a b a n n n n n n ， 3)1(33)333(32111-+-=--++++n n b a n n n ，所以)333(33)1(333121----+-=+++n n b n n n ，即3631+=+n b n ，所以)(12*1N ∈+=+n n b n ， 又因为331331111=-⋅-=+b a ，得11=b ，所以)(12*N ∈-=n n b n ， 从而)(2121)12(531*2N ∈=-+=-++++=n n n n n T n ，)(3*2N ∈=n n a T n n n当1=n 时3111=a T ；当2=n 时9422=a T ；当3=n 时3133=a T ；下面证明：对任意正整数3>n 都有31<n n a T ，)122(31)3)1((313131)1(2122121211++-⎪⎭⎫⎝⎛=-+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+++++n n n n n n a T a T n n nn n n n n ，当3n ≥时，0)2()1(12222<-+-=++-n n n n n ，即011<-++nnn n a T a T ，所以当3n ≥时，nn a T 递减，所以对任意正整数3>n 都有3133=<a T a T n n ；综上可得，满足等式13n nT a =的正整数n 的值为1和3.。
江苏省海安中学2018-2019年高一数学第二学期月考试卷(含答案)
海安中学2018-2019年高一数学第二学期月考试卷本试卷分填空题和解答题两部分．考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试卷上答题无效．本卷满分160分,考试时间为120分钟． 注意事项：1． 答题前，考生先将自已的姓名、学校、考试号填写在答题卷规定区域内；2． 填空题和解答题均使用0.5毫米的黑色中性签字笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚，作图可用2B铅笔；3． 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 在ABC ∆中，设角,A B 所对边分别为,a b ，若sin cos A Ba b=，则角B = ． 2. 在等差数列{}n a 中，若1120,a =则21S = ． 3. 已知关于x 的不等式11ax x ->0+的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则a ＝________. 4.已知等比数列{}n a 公比0q >，若23a =，23421a a a ++=，则345____.a a a ++= 5. 在ABC ∆中，若a =b =30A =︒，则边c ＝________.6.“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？” 答曰： 盏．7. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .7第题图8. 设动点(),P x y 满足24025000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则52z x y =+的最大值是 ．9. 0a <,0b <,则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为 ． 10. 已知正项等比数列{}n a 满足: 7652a a a =+,若存在两项,m n a a使得14a =,则14m n+的最小值为 ．11．ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，则三角形的 形状为_____________．12．已知圆内接四边形ABCD 中，2,6,4,AB BC AD CD ====则四边形ABCD 的面积为________． 13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若nnS S 2)(*∈N n 是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列{}n C 是首项为1C ，公差为d （0≠d ）的等差数列，且数列{}n C 是“和等比数列”，则d 与1C 的关系式为_________________．14.已知圆心角为120°的扇形AOB 的半径为1，C 为弧AB 的中点，点D ，E 分别在半径OA ，OB 上．若222269CD CE DE ++=，则OD OE +的最大值是________．二、解答题（本大题共6小题，满分90分） 15. （本题满分14分)解关于x 的不等式()()221200ax a x a -++<>.16.（本题满分14分)在ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，cos b B 是cos a C ，cos c A 的等差中项． (1)求B 的大小；(2)若a c +=，2b =，求ABC ∆的面积．17.（本题满分15分)对任意函数(),f x x D ∈，可按流程图构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端再输出21()x f x =,并且依此规律继续下去.现定义42()1x f x x -=+. (1)若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ， 请写出数列{}n x 的所有项；(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（3）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足：对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的 取值范围.18.（本题满分15分）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足()*nn n a b m N a m=∈+． (1)若1b ，2b ，8b 成等比数列，试求m 的值；(2)是否存在m ，使得数列{}n b 中存在某项1b 满足1b ，4b ，*5()t b t t ∈≥N ，成等差数列？若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由．19．（本题满分16分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。
江苏省南通中学2017-2018学年高一下学期开学数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省南通中学高一（下）开学数学试卷一、填空题1．已知集合A={1，m+2，m2+4}，且5∈A，则m=．2．如果=，那么tanα=．3．己知α（0≤α≤2π）的终边过点（sin，cos），则α=．4．设向量，满足||=2，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为．5．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}．若A∪B=R，求实数a 的取值范围．6．已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），，且函数f（x）是偶函数，则θ的值为．7．求函数y=的值域．8．函数f（x）=asinx+bxcosx﹣2ctanx+x2，若f（﹣2）=3，则f（2）=．9．若a2x=﹣1，则等于．10．已知函数f（x）对任意的实数满足：f（x+3）=﹣，且当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f=x+a有且只有两不相等实数根，则实数a的取值范围为．12．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的心．13．下列命题中，正确的序号是．①y=﹣2cos（π﹣2x）是奇函数；②若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；③x=﹣是函数y=3sin（2x﹣）的一条对称轴；④函数y=sin（﹣2x）的单调减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）14．已知实数a＞0，方程有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数a的取值范围．二、解答题15．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．16．已知向量=（cosλθ，cos（10﹣λ）θ），=（sin（10﹣λ）θ，sinλθ），λ、θ∈R．（1）求+的值；（2）若⊥，求θ；（3）若θ=，求证：∥．17．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，﹣3），点P的横坐标为14，且，点Q是边AB上一点，且．（1）求实数λ的值与点P的坐标；（2）求点Q的坐标；（3）若R为线段OQ上的一个动点，试求的取值范围．18．如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB 是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD=2x，梯形ABCD的周长为y．（1）求出y关于x的函数f（x）的解析式；（2）求y的最大值，并指出相应的x值．19．已知函数f（x）=为奇函数．（1）求实数m的值；（2）用定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为单调减函数；（3）若关于x的不等式f（x）+a＜0对区间[1，3]上的任意实数x都成立，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）•f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．2015-2016学年江苏省南通中学高一（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．已知集合A={1，m+2，m2+4}，且5∈A，则m=3或1．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】利用元素与集合的关系确定m即可．【解答】解：因为5∈A，所以m+2=5或m2+4=5，解得m=3，或m=±1．验证知，当m=﹣1时，A={1，1，5}，此时集合A不成立．所以m=3或1．故答案为：3或1．2．如果=，那么tanα=2．【考点】三角函数的化简求值．【分析】化简已知条件代入事情表达式化简求解即可．【解答】解：=，可得sinα=2cosα，那么tanα=2．故答案为：2．3．己知α（0≤α≤2π）的终边过点（sin，cos），则α=．【考点】任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．【分析】利用任意角的三角函数，直接求出α的正切值，再求α．【解答】解：锐角α终边上的一点P坐标是（2sin2，﹣2cos2），tanα==tan=﹣，点（sin，cos）在第四象限．所以α=．故答案为：．4．设向量，满足||=2，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为（﹣4，﹣2）．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】要求向量的坐标，我们可以高设出向量的坐标，然后根据与的方向相反，及||=2，我们构造方程，解方程得到向量的坐标．【解答】解：设=（x，y），∵与的方向相反，故=λ=（2λ，λ）（λ＜0）又∵||=2，∴5λ2=20解得λ=﹣2则=（﹣4，﹣2）．故答案为（﹣4，﹣2）．5．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}．若A∪B=R，求实数a 的取值范围．【考点】并集及其运算．【分析】根据不等式的性质求解集合，利用集合的并集关系即可得到结论．【解答】解：若a=1，则集合A=R，满足条件A∪B=R，若a＞1，则A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}={x|x≥a或x≤1}，要使A∪B=R，则a﹣1≤1，即a≤2，此时1＜a≤2，若a＜1，则A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}={x|x≥1或x≤a}，要使A∪B=R，则a﹣1≤a，即﹣1≤0，恒成立，此时a＜1，综上a≤2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2]．6．已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），，且函数f（x）是偶函数，则θ的值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先对函数关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的奇偶性求出结果．【解答】解：f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）=2（）=当（k∈Z）即：由于：所以：当k=0时，θ=故答案为：7．求函数y=的值域．【考点】函数的值域．【分析】利用分式函数的性质以及转化法进行求解即可．【解答】解：方法一：y===3﹣，∵x2+2≥2，∴0＜≤，0＜≤，﹣≤﹣＜0，3﹣≤3﹣＜3，即≤y＜3，即函数的值域为[，3）．方法二：由y=得yx2+2y=3x2﹣1，即（3﹣y）x2=2y+1，当y=3时，方程等价为0=7，不成立，则y≠3，∴x2=≥0，得≤y＜3，即函数的值域为[，3）．8．函数f（x）=asinx+bxcosx﹣2ctanx+x2，若f（﹣2）=3，则f（2）=5．【考点】正切函数的奇偶性与对称性；函数的值．【分析】由函数性质、三角函数性质得到asin2+2bcos2=2ctan2=1，由此能求出f（2）．【解答】解：∵f（x）=asinx+bxcosx﹣2ctanx+x2，f（﹣2）=3，∴f（﹣2）=asin（﹣2）﹣2bcos（﹣2）﹣2ctan（﹣2）+（﹣2）2=﹣asin2﹣2bcos2+2ctan2+4=3，∴asin2+2bcos2=2ctan2=1，∴f（2）=asin2+2bcos2+4=5．故答案为：5．9．若a2x=﹣1，则等于2﹣1．【考点】有理数指数幂的运算性质．【分析】先化简，然后代入a2x=﹣1，即可求出结果．【解答】解：=因为a2x=﹣1，所以故答案为：10．已知函数f（x）对任意的实数满足：f（x+3）=﹣，且当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f=f（x），求出函数的周期，由解析式和周期性依次求出f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再求和，最后运用周期性求f（1）+f（2）+…+f的值即可．【解答】解：由题意知，f（x+3）=﹣，则f（x+6）=﹣=f（x），∴f（x+6）=f（x），且函数f（x）的周期6，∵﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0，f（5）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1，而2016÷6=336故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 016）=336×（f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6））=336，故答案为：336．11．设函数，方程f（x）=x+a有且只有两不相等实数根，则实数a的取值范围为[3，4）．【考点】函数的图象；函数与方程的综合运用．【分析】首先判断出在（0，+∞）函数f（x）为周期函数，画出函数图形．依据直线y=x+a 与函数f（x）的交点分析得出答案．【解答】解：∵x＞0时，f（x）=f（x﹣1）∴当x＞0时，f（x）是周期函数，周期为1设x＜1，则x﹣1＜0，f（x）=f（x﹣1）=21﹣（x﹣1）=22﹣x即x＜1，f（x）=22﹣x做出函数图象如下图方程f（x）=x+a有且只有两不相等实数根，只要直线y=x+a介于图中两直线之间即可．依f（x）=22﹣x可求出A点坐标为（0，4），B点坐标为（1，4）∵A，B两点均为虚点∴3≤a＜4故答案为[3，4）．12．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的内心．【考点】三角形五心；向量的线性运算性质及几何意义．【分析】理解的含义，是∠BAC的平分线上的向量，即可解答本题．【解答】解：由于O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，即P在∠BAC的平分线上，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心．故答案为：内13．下列命题中，正确的序号是①③④．①y=﹣2cos（π﹣2x）是奇函数；②若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；③x=﹣是函数y=3sin（2x﹣）的一条对称轴；④函数y=sin（﹣2x）的单调减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】①由y=﹣2cos（π﹣2x）=2sin2x，得出y是定义域R上的奇函数；②举例说明命题错误即可；③x=﹣时函数y取得最值，即得x=﹣是函数y的一条对称轴；④化简函数y，求出函数y的单调减区间即可．【解答】解：对于①，y=﹣2cos（π﹣2x）=2sin2x，是定义域R上的奇函数，命题正确；对于②，α，β是第一象限角，且α=390°＞β=30°，则sinα=sinβ，原命题错误；对于③，x=﹣时，函数y=3sin（2x﹣）=3sin（2×（﹣）﹣）=3取得最大值，∴x=﹣是函数y=3sin（2x﹣）的一条对称轴，命题正确；对于④，函数y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣），令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴y=sin（﹣2x）的单调减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），命题正确；综上，正确的命题序号是①③④．故答案为：①③④．14．已知实数a＞0，方程有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数a的取值范围．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的零点．【分析】根据条件确定方程在x≤1时有且仅有1个实根，然后根据二次函数的图象和性质，确定a的取值范围即可．【解答】解：设比较大的根为x1，则x1＞3，此时由=log3x＞log33=1，即a，即a．∵方程有且仅有两个不等实根，∴当x≤1时，方程有且仅有1实根，即﹣x，在x≤1时，只有一个根．∴x，设g（x）=x，（x≤1），函数的对称轴为x=a，若a≥1，∵g（0）=，∴此时满足g（1）≤0，（图1）即g（1）=1﹣2a+≤0，∴7a2﹣32a+16≤0，解得，∴此时1≤a≤4，．若0＜a＜1，∵g（0）=，∴此时满足g（1）＜0，即g（1）=1﹣2a+＜0，∴77a2﹣32a+16＜0，解得，∴此时，∴，又a，∴，即实数a的取值范围是，故答案为：．二、解答题15．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．【考点】正弦函数的定义域和值域；平面向量数量积的运算；单位圆与周期性；两角和与差的余弦函数．【分析】（Ⅰ）根据三角函数的定义和题意求出cosα，sinα的值，再由两角差的余弦公式展开后代入求值；（Ⅱ）根据向量的数量积坐标运算和条件代入，利用两角和正弦公式进行化简，根据α的范围和正弦函数的性质求出值域．【解答】解：（Ⅰ）∵点Q的坐标是，∴．∴=．（Ⅱ）===．∵α∈[0，π），则，∴．故f（α）的值域是．16．已知向量=（cosλθ，cos（10﹣λ）θ），=（sin（10﹣λ）θ，sinλθ），λ、θ∈R．（1）求+的值；（2）若⊥，求θ；（3）若θ=，求证：∥．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；平行向量与共线向量．【分析】（1）由向量的数量积的坐标表示可求||，||，代入即可求解（2）由⊥，利用向量数量积的性质的坐标表示可得cosλθ•sin（10﹣λ）θ+cos（10﹣λ）θ•sinλθ=0，整理可求θ（3）要证明∥，根据向量平行的坐标表示，只要证明cosλθ•sinλθ﹣cos（10﹣λ）θ•sin[（10﹣λ）θ]=0即可【解答】解：（1）∵||=，||=（算1个得1分）||2+||2=2，…（2）∵⊥，∴cosλθ•sin（10﹣λ）θ+cos（10﹣λ）θ•sinλθ=0∴sin（（10﹣λ）θ+λθ）=0，∴sin10θ=0…∴10θ=kπ，k∈Z，∴θ=，k∈Z…（3）∵θ=，cosλθ•sinλθ﹣cos（10﹣λ）θ•sin[（10﹣λ）θ]=cos•sin﹣cos（﹣）•sin（﹣）=cos•sin﹣sin•cos=0，∴∥…..…..17．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，﹣3），点P的横坐标为14，且，点Q是边AB上一点，且．（1）求实数λ的值与点P的坐标；（2）求点Q的坐标；（3）若R为线段OQ上的一个动点，试求的取值范围．【考点】平面向量的综合题．【分析】（1）先设P（14，y），分别表示，然后由，建立关于y的方程可求y．（2）先设点Q（a，b），则可表示向量，由，可得3a=4b，再由点Q在边AB上可得①②，从而可解a，b，进而可得Q的坐标．（3）由R为线段OQ上的一个动点可设R（4t，3t），且0≤t≤1，则有分别表示，，由向量的数量积整理可得，利用二次函数的知识可求取值范围．【解答】解：（1）设P（14，y），则，由，得（14，y）=λ（﹣8，﹣3﹣y），解得，所以点P（14，﹣7）．（2）设点Q（a，b），则，又，则由，得3a=4b①又点Q在边AB上，所以，即3a+b﹣15=0②联立①②，解得a=4，b=3，所以点Q（4，3）．（3）因为R为线段OQ上的一个动点，故设R（4t，3t），且0≤t≤1，则，，，，则=，故的取值范围为．18．如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB 是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD=2x，梯形ABCD的周长为y．（1）求出y关于x的函数f（x）的解析式；（2）求y的最大值，并指出相应的x值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）作OH，DN分别垂直DC，AB交于H，N，连结OD，求出OH，又在直角△AND 中，进一步求出AD，从而求出梯形ABCD的周长y与x间的函数解析式，根据AD＞0，AN ＞0，CD＞0可求出定义域；（2）利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．【解答】解：（1）作OH，DN分别垂直DC，AB交于H，N，连结OD．由圆的性质，H是中点，设OH=h，h=．又在直角△AND中，AD===2，∴y=f（x）=AB+2AD+DC=4+2x+4，其定义域是（0，2）；（2）令t=，则t∈（0，），且x=2﹣t2，∴y=4+2•（2﹣t2）+4t=﹣2（t﹣1）2+10，当t=1，即x=1时，y的最大值是10．19．已知函数f（x）=为奇函数．（1）求实数m的值；（2）用定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为单调减函数；（3）若关于x的不等式f（x）+a＜0对区间[1，3]上的任意实数x都成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）根据函数的奇偶性求出m的值即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）问题转化为a＜﹣f（x）对区间[1，3]上的任意实数x都成立，求出f（x）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】（1）解：∵f（﹣x）=﹣f（x），∴=﹣，解得：m=1；（2）证明：f（x）=1+，设0＜x1＜x2，∵f（x1）﹣f（x2）=﹣=，又1＜2x1＜2x2，2x1﹣1＞0，2x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，∴＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在（0，+∞）递减；（3）解：∵f（x）+a＜0对区间[1，3]上的任意实数x都成立，∴a＜﹣f（x）对区间[1，3]上的任意实数x都成立，∵f（x）在（0，+∞）递减，∴f（x）在[1，3]递减，∴f（x）的最大值是f（1）=3，∴﹣f（x）的最小值是﹣3，∴a＜﹣3．20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）•f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】奇偶性与单调性的综合；二次函数的性质．【分析】（1）根据函数为偶函数，f（﹣x）=f（x）对任意实数x恒成立，即|﹣x﹣a|=|x﹣a|任意实数x成立，去绝对值然后比较系数，可得a=0；（2）分三种情况加以讨论：当a＞0时，将方程f（x）=g（x）两边平方，得方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，构造新函数h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，通过讨论h（x）图象的对称轴方程和顶点坐标，可得0＜a＜﹣1；当a＜0时，用同样的方法得到﹣1＜a＜0；而当a=0时代入函数表达式，显然不合题意，舍去．最后综合实数a的取值范围；（3）F（x）=f（x）•g（x）=ax|x﹣a|，根据实数a与区间[1，2]的位置关系，分4种情况加以讨论：①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），根据函数的单调增的性质，可得y=F（x）的最大值为F（2）=4a﹣2a2；②当1＜a≤2时，化成两个二次表达式的分段函数表达式，其对称轴为，得到所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，最大值决定于F（1）与F（2）大小关系．因此再讨论：当时，y=F（x）的最大值为F（2）=4a﹣2a2；当时，y=F（x）的最大值为F（1）=a2﹣a；③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax），图象开口向下，对称轴，恰好在对称轴处取得最大值：；④当a＞4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax），图象开口向下，对称轴，在区间[1，2]上函数是增函数，故最大值为F（2）=2a2﹣4a．最后综止所述，可得函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值的结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x﹣a|为偶函数，∴对任意的实数x，f（﹣x）=f（x）成立即|﹣x﹣a|=|x﹣a|，∴x+a=x﹣a恒成立，或x+a=a﹣x恒成立∵x+a=a﹣x不能恒成立∴x+a=x﹣a恒成立，得a=0．…（2）当a＞0时，|x﹣a|﹣ax=0有两解，等价于方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，即（a2﹣1）x2+2ax﹣a2=0在（0，+∞）上有两解，…令h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，因为h（0）=﹣a2＜0，所以，故0＜a＜1；…同理，当a＜0时，得到﹣1＜a＜0；当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．综上可知实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．…（3）令F（x）=f（x）•g（x）①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），对称轴，函数在[1，2]上是增函数，所以此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2．②当1＜a≤2时，，对称轴，所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，F（1）=a2﹣a，F（2）=4a ﹣2a2，1）若F（1）＜F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2；2）若F（1）≥F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为a2﹣a．③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax）对称轴，此时，④当a＞4时，对称轴，此时．综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值…2016年12月1日。
数学---江苏省海安高级中学2017-2018学年高一上学期中期考试试题(创新班)
江苏省海安高级中学2017-2018学年高一上学期中期考试数学试题（创新班）一、填空题1．已知集合{}1221A m =--，，，集合{}22B m =，，若B A ⊆，则实数m ． 2．函数()πcos 3y x =+的最小正周期为 ．3．已知幂函数()f x 的图象经过点124⎛⎫⎪⎝⎭，，则()=f x ．4．函数()f x =的定义域为 . 5．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为π4，则这条弧所在的扇形面积为 2cm .6．已知向量(()11AP PB ==，uu u r uu r ，则AP uu u r 和AB uu u r的夹角等于 ． 7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[02]x ∈，时， 2()log (1)f x x =+，则(2010)(2011)f f -+的值为 ．8．函数5()2sin(π)(0)6f x x ωω=>+的图象如图所示，若5AB =，则()f x 在[20162019]，上的单调增区间为 ．9．在等比数列{}n a 中，公比51421156q a a a a >-=-=，，，则3=a ．10．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1， D 是边BC 上一点， 2DC BD =uuu r uu u r ， 则AD BC ⋅u u u r u u u r＝ ．11．已知x y ∈R ，，且222x y x y +=≠，，则()()2211x y x y ++-的最小值是 ．12．在数列{}n a 中，21010a =，1n n a a n +-≤，221n n a a n +-+≥，则20182018a 的值为 ．13．已知函数()[]sin ππlg πx x f x x x ⎧∈-⎪=⎨>⎪⎩，，，，，，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是 ．14．若△ABC 的内角A B C ，，满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ． 二、解答题15．已知集合{}3A x x =<，{}(1)(21)0B x x m x m m =-+--<∈R ，. （1）若m =3，求()A B R ðI ；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围.16．在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13. （1）求sin A 的值；（2）设AC △ABC 的面积．17．已知数列{}n a 满足13a =，*112(2)n n a n n -=-∈N ，≥,数列{}n b 满足*1()n n b n =∈N ．（1）求证数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 中的最大项和最小项．18．设向量a ()33cos sin 22θθ=，，b()cos sin 22θθ=-，，其中π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.（1）求a b a b⋅+的最大值和最小值； （2）若ka b kb +=-，求实数k 的取值范围.19．如图，公园内有一块边长为2a 的正三角形ABC 空地，拟改建成花园，并在其中建一直道DE 方便花园管理. 设D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE 均分三角形ABC 的面积.（1）设AD =x （x a ≥），DE =y ，试将y 表示为x 的函数关系式；（2）若DE 是灌溉水管，为节约成本，希望其最短，DE 的位置应在哪里？ 若DE 是参观路线，希望其最长，DE 的位置应在哪里？20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 与n B ，对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-． （1）若212n A n b ==，，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =． ①当12b =时，求数列{}n nb 的前n 项和n C ； ②是否存在两个整数,s t (1)s t <<，使11s ts tA A AB B B ，，成等差数列？若存在，求出s t ，的值，若不存在，请说明理由．【参考答案】1．1 2． 3． 4．π2x-5.2π6.π47．1 8． 9. 4 10. 11. 1 12. 100913.(π,10)15. 解：（1）当m =3时，， 而，于是，所以 （2）若，则，解得 若，由得 解得.综上得实数m 的取值范围是. 16．解：（1）由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π， 得B ＝π2－2A , 0<A <π4.故sinB ＝cos2A ，即1－2＝，.（2）由(1)得 又由正弦定理，得所以 17．解：（1）由得又，所以是以为首项，1为公差的等差数列；[2018,2019]83-{}(2)(7)0(27)B x x x =--<=，()33A =-，(][)33A =-∞-+∞R ，，ð()[)37.A B =R ，ðB =∅121m m -=+ 2.m =-B ≠∅B A ⊆23133213m m m ≠-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，≤≤，≤≤，21m -<≤[]21-，2sin A 13sin A =sin sin()cos 2C A A π=+==sin sin BC ACA B=BC =1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅⋅=*112(2)n n a n n a -=-≥∈N ，*112()n n a n a +=-∈N 1111111111121n n n n n nb b a a a a ++-=-=-=-----152b =-{}n b 52-（2）因为， 所以．时数列单调递减且，时数列单调递减且，所以数列的最大项为，最小项为.18．解：（1）a ·b.||2cos a b θ+=== .于是2cos 22cos 11cos 2cos 2cos 2cos a b a b θθθθθθ⋅-===-+ .因为，所以. 故当即时，a b a b ⋅+取得最小值； 当即时，a b a b⋅+取得最大值. （2）由ka b kb +=-得2|||ka b a kb +=-因为，所以.不等式 解得或， 故实数k 的取值范围是.19．解：（1）因为DE 均分三角形ABC 的面积，所以，即.在△ADE 中，由余弦定理得.因为，所以 解得 17(1)2n b b n n =+-=-1211n n a =+=+13n ≤≤{}n a 1n a <4n ≥{}n a 1n a >{}n a 43a =31a =-()()3333cos sin cos sin cos cos sin sin cos222222222θθθθθθθθθ=⋅-=-=，，π0θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1cos 1θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1cos 2θ=π3θ=12-cos 1θ=0θ=12π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1cos 212θ-≤≤211124k k +-⇔≤≤22(1)044104k k k k k ⎧+⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩≥，≤，22k +≤1k =-{}221⎡-+-⎣ 21(2)2xAE a =22a AE x=y =0202AD a AE a ≤≤，≤≤202202x a a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，≤≤，2a x a ≤≤故y 关于x 的函数关系式为. （2）令，则，且设. 若，则所以在上是减函数. 同理可得在上是增函数.于是当即时，，此时DE //BC ，且 当或即x =a 或2a 时，，此时DE 为AB 或AC 上的中线.故当取且DE //BC 时，DE 最短；当D 与B 重合且E 为AC 中点，或E 与C 重合且D 为AB 中点时，DE 最长.20．解：（1）因为，所以 即故，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以（2）①依题意，即，， 又因为，所以，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以， ，，错位相减得 所以②由题意，所以，由①得，，)2y a x a =≤≤2t x =224a t a ≤≤y =()4224()4a f t t t a a t⎡⎤=+∈⎣⎦，22122a t t a <≤≤()()4121212124()()0t t t t a f t f t t t ---=>()f t 222a a ⎡⎤⎣⎦，()f t 2224a a ⎡⎤⎣⎦，22t a =x min y =.AD 2t a =24t a =max y =AD =2n A n =221,1(1),n 2n n a n n =⎧=⎨--≥⎩21n a n =-111()12n n n n b b a a ++-=-={}n b 21132(1)1222n B n n n n n =⋅+⋅⋅-⋅=+112()n n n n B B b b ++-=-112()n n n b b b ++=-12n n b b +=12b =0n b ≠12n nb b +={}n b 2n n b =12312+22+32++2n n C n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅2341212+22+32++(1)22n n n C n n +=⨯⨯⨯⋅⋅⋅-⋅+⋅1231112+2+2++22222n n n n n C n n +++-=⋅⋅⋅-⋅=--⋅1(1)22n n C n +=-⋅+10B ≠10b ≠112n n b b -=1(21)n n n a B b ==-11(22)n n A b n +=--所以， 假设存在两个整数，使成等差数列， 即成等差数列， 即即，因为， 所以，即 令，则，所以递增， 若，则，不满足，所以， 代入得， 当时，显然不符合要求；当时，令，则同理可证递增，所以， 所以不符合要求.所以，不存在正整数，使成等差数列. 111(22)2(21)21n n n n n A b n n B b +--==---,s t (1)s t <<11,,s ts tA A AB B B 11,,212121s t s t ---121212121s t s t=+---212121s t s t =+--1121t t+>-2121ss>-221s s <+(s)221(2,)s h s s s *=--≥∈N (1)(s)220s h s h +-=->(s)h 3s ≥(s)h(3)10h ≥=>221s s <+2s =121212121st s t=+---2310t t --=(3)t ≥3t =4t ≥()231(3,)t t t t t ϕ*=--≥∈N ()t ϕ()(4)30t ϕϕ≥=>,s t 11,,s ts tA A AB B B。
江苏省海安中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷(普通班)
2017～2018学年度第二学期期中考试高一数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1． 函数()πsin 23y x =-最小正周期为 ▲ ． 2. 已知集合{}2320A x x x =-+>，则A =R ð ▲ ．3. 圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2，则原圆锥的高被截面分成的两段之比为 ▲ ．4． 函数y =的定义域为 ▲ ． 5. 关于x 的不等式211(1)0(1)x x a a a-++<>的解集为 ▲ ． 6. 已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ． 7. 若函数2(e )()e 1x x x m f x +=-（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的值为 ▲ ． 8. 设{a n }*()n ∈N 是等比数列，有下列四个判断：①{a n 2}*()n ∈N 是等比数列；②{}1n n a a +*()n ∈N 是等比数列；③{}1n n a a ++*()n ∈N 是等比数列；④{}lg n a *()n ∈N 是等差数列.其中正确判断的序号是 ▲ .9. 已知向量,a b 满足1,2,2),a b a b ==+=则向量,a b 的夹角为▲ ． 10. 如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为 ．11. 设x ，y ，z 均是不为0的实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z +的值是 ▲ ． 12. 在△ABC 中，已知BC =2，AB AC ⋅ =1，则△ABC 面积的最大值是 ▲ ．13. 在斜三角形ABC 中，若114tan tan tan A B C+=,则sin C 的最大值为 ▲ ． 14. 设,,a b c 是三个正实数，且()b a b c ac ++=，则b a c +的最大值为 ▲ . 二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）解关于x 的不等式2260x ax a --<（R a ∈）16. （本题满分14分）已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin A A =+，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.17．（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，()1n n n S a +=，*n ∈N ．。
江苏省南通中学2017-2018学年高一下学期开学数学试卷 Word版含解析
江苏省南通中学2017-2018学年高一下学期开学数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．1．已知全集S={1，2，3，4，5}，且A∩B={2}，（∁S A）∩B={1，4}，则B=．2．函数的定义域为．3．已知向量=（3，﹣2），=（﹣2，1），=（﹣12，7），若=m+n，m，n∈R，则m+n=．4．若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=．5．将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，可得到函数的图象，则φ的最小值为．6．设α是第二象限角，其终边上一点为，且，则sinα的值为．7．函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω等于．8．设实数，a=lnx，b=e lnx，，则a，b，c的大小关系为．（用“＜”连接）．9．在△ABC中，，，其中x为实数．若△ABC为直角三角形，则x=．10．已知||=4，||=6，|+|=8，则+与﹣的夹角的余弦值为．11．已知函数，若且，则cos2x0=．12．已知D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且，．设CD与BE相交于点F，，则实数λ=．13．若函数f（x）=3ax2+（3﹣4a）x﹣4的零点总在（0，2）内，则实数a的取值范围是．14．已知函数恰有两个不同零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．设A={x|ax﹣2＞0}，B={x|x2﹣4x+3＞0}．（1）若A∩B=A，求实数a的取值范围；（2）若A∩∁R B≠∅，求实数a的取值范围．16．已知||=1，||=．（1）若与的夹角为60°，求|3﹣|；（2）若⊥（﹣），求与的夹角的大小．17．（1）若，，，，；（2）若，，α，β都是锐角，求2α+β的值．18．（16分）已知．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；（2）若函数y=f（2x）﹣a在区间上恰有两上零点x1，x2，求tan（x1+x2）的值．19．（16分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．（1）求函数f（x）的解析式及其值域；（2）设x0是方程f（x）=4﹣x的解，且x0∈（n，n+1），n∈Z，求n的值；（3）若存在x≥1，使得（a+x）f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．20．（16分）已知f（x）=ax2﹣2x﹣1（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）如果对于任意给定的正数a都有一个最大的正数g（a），使得任意x∈[0，g（a）]，不等式|f（x）|≤2恒成立，求g（a）的解析式以及g（a）的最大值．江苏省南通中学2017-2018学年高一下学期开学数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．1．已知全集S={1，2，3，4，5}，且A∩B={2}，（∁S A）∩B={1，4}，则B={1，2，4}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据全集S，以及A与B的交集，A补集与B的交集确定出B即可．解答：解：∵全集S={1，2，3，4，5}，A∩B={2}，∁S A∩B={1，4}，∴B={1，2，4}，故答案为：{1，2，4}．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．函数的定义域为（0，1]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：直接由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立取交集即可得到答案．解答：解：要使函数有意义，则，解得：0＜x≤1．∴原函数的定义域为（0，1]．故答案为：（0，1]．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的取值范围，是基础题．3．已知向量=（3，﹣2），=（﹣2，1），=（﹣12，7），若=m+n，m，n∈R，则m+n=1．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件，平面向量坐标的运算可得，解方程组即可得到m，n 的值，从而求出m+n=1．解答：解：向量=（3，﹣2），=（﹣2，1），=（﹣12，7），∴m+n=（3m﹣2n，﹣2m+n），∵=m+n，∴（﹣12，7）=（3m﹣2n，﹣2m+n），∴，解得，∴m+n=1，故答案为：1．点评：本题考查平面向量的坐标运算，解方程组等知识，属于基础题．4．若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=﹣6．考点：带绝对值的函数；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：根据函数f（x）=|2x+a|关于直线对称，单调递增区间是[3，+∞），可建立方程，即可求得a的值．解答：解：∵函数f（x）=|2x+a|关于直线对称，单调递增区间是[3，+∞），∴∴a=﹣6故答案为：﹣6点评：本题考查绝对值函数，考查函数的单调性，解题的关键是确定函数的对称轴，属于基础题．5．将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，可得到函数的图象，则φ的最小值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先对函数关系式进行平移变换，然后利用对应相等求出结果．解答：解：将将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到：y=sin[2（x+φ）]=sin （2x+2φ）得到函数的图象．即：2φ+2kπ=解得：φ=2kπ+（k∈Z）当k=0时，故答案为：点评：本题考查的知识点：函数图象的平移变换符合左加右减的性质及相关的运算问题．6．设α是第二象限角，其终边上一点为，且，则sinα的值为．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：首先判断m＜0，根据三角函数的坐标法定义，得到关于m的等式，求出符合条件的m，再求sinα．解答：解：由已知得到P到原点的距离为，由三角函数的定义得到cosα=，α是第二象限角，解得m=，所以sinα=；故答案为：．点评：本题考查了三角函数的坐标法定义，属于基础题．7．函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω等于．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数f（x）=2sinωx在上单调递增，可得0＜ω≤2，结合在上的最大值是，可得sin（ω）=，进而求出ω值．解答：解：∵函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，∴0＜ω≤2且sin（ω×）=解得ω=故答案为：点评：本题考查的知识点是正弦型函数的单调性，三角函数的值，其中根据已知分析出ω的范围是解答的关键．8．设实数，a=lnx，b=e lnx，，则a，b，c的大小关系为a＜b＜c．（用“＜”连接）．考点：指数函数的图像与性质；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得﹣1＜a＜0，＜b＜1，1＜c＜e，从而可得答案．解答：解：∵x∈（，1），a=lnx即﹣1＜a＜0；又b=e lnx为增函数，∴＜b＜1；=lnx为减函数，∴1＜c＜e，∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题．9．在△ABC中，，，其中x为实数．若△ABC为直角三角形，则x=或4．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由向量垂直和数量积的关系分类讨论可得x的方程，解方程可得．解答：解：∵在△ABC中，，，∴=﹣=（x﹣2，4），∴当A为直角时，=2x﹣3=0，解得x=；当B为直角时，•=2x﹣4﹣4=0，解得x=4；当C为直角时，=x（x﹣2）+12=0，方程无解．综上可得x=或4．故答案为：或4点评：本题考查数量积与向量的垂直关系，涉及分类讨论的思想，属基础题．10．已知||=4，||=6，|+|=8，则+与﹣的夹角的余弦值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知首先求出，的数量积以及差的模，然后利用数量积公式求+与﹣的夹角的余弦值．解答：解：由已知||=4，||=6，|+|=8，得到=6，=2，所以则+与﹣的夹角的余弦值为：===；故答案为：．点评：本题考查了平面向量的模的运算、数量积公式的运用；关键是求出两个向量的数量积以及差的模．11．已知函数，若且，则cos2x0=．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cosx+sinx，由，可得sinx0+cosx0=，两边平方解得：sin2x0=，由，可得2x0∈（0，），从而可求cos2x0=的值．解答：解：∵=cosx+sinx，又∵，即：sinx0+cosx0=，∴两边平方可得：1+sin2x0=，解得：sin2x0=，∵，∴2x0∈（0，），∴cos2x0===．故答案为：．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，同角三角函数关系式的应用，二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．12．已知D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且，．设CD与BE相交于点F，，则实数λ=6．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据条件存在实数k：=，同理存在实数μ：，从而由平面向量基本定理得，这样便可解出，从而便得出λ=6．解答：解：如图，根据条件：；D，F，C三点共线，∴==；∴；同理，B，F，E三点共线，∴=；∴；解得；∴；∴；∴λ=6．故答案为：6．点评：考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．13．若函数f（x）=3ax2+（3﹣4a）x﹣4的零点总在（0，2）内，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣）∪{0}．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：通过讨论a=0和a≠0两种情况，从而综合得到结论．解答：解：①a=0时，f（x）=3x﹣4，令f（x）=0，显然x=在（0，2）内，成立；②a≠0时，f（x）=3ax2+（3﹣4a）x﹣4=（3x﹣4）（ax+1），令f（x）=0，得：x=，或x=﹣，∴只需0＜﹣＜2即可，解得：a＜﹣，综上：a的范围是：，故答案为：（﹣∞，﹣）∪{0}．点评：本题考查了函数的零点问题，考查二次函数的性质，是一道基础题．14．已知函数恰有两个不同零点，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）．考点：函数零点的判定定理．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：令f（x）=0可得x=0为一个根，由题意可得+a|x|=0只有一个根，即有﹣=|x|（x﹣2）只有一个根．作出函数函数y=g（x）的图象，将直线y=﹣平移，即可得到a的不等式，解得a的范围．解答：解：令f（x）=0可得x=0为一个根，由题意可得+a|x|=0只有一个根，即有﹣=|x|（x﹣2）只有一个根．设g（x）=|x|（x﹣2）=，作出函数y=g（x）的图象，将直线y=﹣平移，可得当﹣＞0或﹣＜﹣1，直线和函数y=g（x）的图象只有一个交点．解得a＜0或0＜a＜1．则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）．点评：本题考查函数的零点的判断，考查函数和方程的转化思想的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．设A={x|ax﹣2＞0}，B={x|x2﹣4x+3＞0}．（1）若A∩B=A，求实数a的取值范围；（2）若A∩∁R B≠∅，求实数a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算；交集及其运算．专题：集合．分析：（1）求出不等式x2﹣4x+3＞0的解集B，由A∩B=A得A⊆B，对a进行分类讨论，分别根据集合间的包含关系求出a的取值范围，最后再并在一起；（2）由补集的运算求出∁R B，对a进行分类讨论，分别根据A∩∁R B≠∅求出a的取值范围，最后再并在一起．解答：解：（1）由x2﹣4x+3＞0，得x＜1或x＞3，所以B={x|x＜0或x＞3}．因为A∩B=A，所以A⊆B，当a=0时，A=∅，满足题意；当a＞0时，，所以，解得，所以；当a＜0时，，显然满足A⊆B综上：a的取值范围是；（2）由（1）得，C R B={x|1≤x≤3}，且A∩∁R B≠∅，当a=0时，A=∅，不满足题意；当a＞0时，，所以，解得；当a＜0时，，显然不满足A∩∁R B≠∅，综上可得，a的取值范围是．点评：本题考查集合的混合运算，集合间的包含关系的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．16．已知||=1，||=．（1）若与的夹角为60°，求|3﹣|；（2）若⊥（﹣），求与的夹角的大小．考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：（1）直接由向量模的平方等于向量的平方，展开后代入数量积公式得答案；（2）设出与的夹角，由⊥（﹣）得其数量积为0，然后求得与的夹角的余弦值，则与的夹角可求．解答：解：（1）∵||=1，||=，且与的夹角为60°，∴|3﹣|====；（2）设a、b的夹角为θ，∵⊥（﹣），∴•（﹣）=，∴，∵0≤θ≤π，∴．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，关键是对公式的运用，是中档题．17．（1）若，，，，；（2）若，，α，β都是锐角，求2α+β的值．考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sin（+α）、sin（﹣）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]的值．（2）先利用二倍角的正切公式求得tan2α的值，再利用两角和的正切公式求得tan（2α+β）的值，可得2α+β的值．解答：解：（1）∵，，∴，，又，，∴，，∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=+=．（2）∵tanα，tanβ∈（0，1），又α，β是锐角，∴，∴，，∴，又∵，∴．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角的正切公式的应用，属于中档题．18．（16分）已知．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；（2）若函数y=f（2x）﹣a在区间上恰有两上零点x1，x2，求tan（x1+x2）的值．考点：正弦函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．专题：计算题．分析：利用三角公式化简函数f（x）=2sin（）（1）结合正弦函数的性质，把2x看成y=sinx中的“x“分别求解（2）代入可得y=2sin（），换元t=，从而可得y=2sint，，结合正弦函数的图象可求解答：解（1）=═sin（2x﹣120°）cos（2x﹣120°）=2sin（2x﹣60°）∴f（x）的最大值为2，此时，即（2）令，∵，∴设t1，t2是函数y=2sint﹣a的两个相应零点（即）由y=2sint图象性质知t1+t2=π，即∴点评：本题综合考查了两角和与差的三角公式、二倍角公式、三角函数的最值（最值的求解一般是整体思想），利用正弦函数的图象求解值的问题，体现了函数中的数形结合的数学思想在解题中的运用．19．（16分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．（1）求函数f（x）的解析式及其值域；（2）设x0是方程f（x）=4﹣x的解，且x0∈（n，n+1），n∈Z，求n的值；（3）若存在x≥1，使得（a+x）f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的对称性即可求函数f（x）的解析式及其值域；（2）根据函数和方程之间的关系进行求解即可；（3）构造函数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．解答：解：（1）若x＜0，则﹣x＞0，则当﹣x＞0时，f（﹣x）=2﹣x．∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=2﹣x=﹣f（x），则f（x）=﹣2﹣x，x＜0，当x=0时，f（0）=0，则…3分值域为（﹣∞，﹣1）∪{0}∪（1，+∞）．…5分（2）令显然x=0不是方程f（x）=4﹣x的解．当x＜0时，g（x）=﹣2﹣x+x﹣4＜0，∴方程f（x）=4﹣x无负数解．…7分当x＞0时，g（x）=2x+x﹣4单调递增，所以函数g（x）至多有一个零点；…8分又g（1）=﹣1＜0，g（2）=2＞0，由零点存在性原理知g（x）在区间（1，2）上至少有一个零点．…9分故g（x）的惟一零点，即方程f（x）=4﹣x的惟一解x0∈（1，2）．所以，由题意，n=1．…10分（3）设h（x）=2﹣x﹣x，则h（x）在[1，+∞）上递减．∴．…13分当x≥1时，f（x）=2x，不等式（a+x）f（x）＜1，即a＜2﹣x﹣x．∴当时，存在x≥1，使得a＜2﹣x﹣x成立，即关于x的不等式（a+x）f（x）＜1有不小于1的解．…16分．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，函数与方程以及利用函数的单调性求函数的值域问题，综合考查函数的性质．20．（16分）已知f（x）=ax2﹣2x﹣1（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）如果对于任意给定的正数a都有一个最大的正数g（a），使得任意x∈[0，g（a）]，不等式|f（x）|≤2恒成立，求g（a）的解析式以及g（a）的最大值．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据二次函数的图象和性质，结合已知中函数的解析式，易求出f（x）的最小值；（2）如果对于任意给定的正数a都有一个最大的正数g（a），使得任意x∈[0，g（a）]，不等式|f（x）|≤2恒成立，即﹣2≤f（x）≤2，分段求出g（a）的解析式，进而可得g（a）的最大值．解答：解：（1）∵f（x）=ax2﹣2x﹣1，a＞0，∴；（2）∵|f（x）|≤2，∴﹣2≤f（x）≤2，1°若，g（a）为f（x）=﹣2的小根，则：ax2﹣2x+1=0，∴=，此时函数为增函数，故g（a）＜g（1）=12°若，g（a）为f（x）=2的大根，则：ax2﹣2x﹣1=2，∴ax2﹣2x﹣3=0，∴=，此时函数为减函数，故g（a）≤g（1）=3，故（a）的最大值为3．点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数解析式的求法，函数的最值及其几何意义，难度中档．。
数学-江苏省南通市海安中学2017-2018学年高一4月底月考试题
江苏省南通市海安中学2017-2018学年高一4月底月考数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．不等式1xx +＜0的解集为 ▲ ．2．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，| a |=2，| b ，则a ·b = ▲ ． 3．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则B ＝ ▲ ．4. 设U =R ，{}|1A x x =<，{}|B x x m =>，若U A B ⊆ð，则实数m 的范围是 ▲ ． 5．在等比数列{a n }中已知661=+n a a ，12811=⋅-n a a ，2q =，则n S = ▲ ．6．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间+∞[0,）上是单调增函数，若(1)(lg )f f x <，则x 的取值范围为 ▲ ．7．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于 ▲ ． 8．已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝x ＋2y ，则x ＋y 的最小值为 ▲ ．9．已知正数数列{a n }对任意p ，q ∈N *，都有p q p q a a a +=，若2a ＝4，则9a ＝ ▲ ． 10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝ ▲ ．11．若关于x 的不等式220ax x a -+<的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12． 2cos10tan 20cos 20oo o-= ▲ ． 13．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2AD ＝1，AC ＝3，且∠CAB ＝π6，∠BAD ＝2π3，设AC AB AD λμ=+，则λ＋μ＝ ▲ ．14．已知a n ＝3n ，b n ＝3n ，n ∈N *，对于每一个k ∈N *，在a k 与a k ＋1之间插入b k 个3得到一个数列{c n }．设T n 是数列{c n }的前n 项和，则所有满足T m ＝3c m ＋1的正整数m 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)如图，在平面四边形ABCD中，AD CD ABD＝60°，∠ADB＝75°，∠ADC ＝120°．(1)求BD的长；(2)求△ABC的面积．16．（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．17．（本题满分14分）已知函数1()41xf x a=++是奇函数.(1)求实数a的值；(2)设函数1()11()2g x f x =-+，对于任意的12,x x ∈R ，试比较12()()2g x g x +与12()2x x g +的大小.18．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，()21a m m =≠-，前n 项和n S 满足1111(2)n n n n S a a +=-≥. (1)求3a (用m 表示）；(2)求证：数列{}n S 是等比数列；19．(本题满分16分)如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是π6ECF ∠=，点E ，F 在直径上，且π6ABC ∠=．(1)若的长；(2)设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．20．（本题满分16分）已知数列的前项和满足：，数列满足：对任意有a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n . (1)求数列与数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，证明：当时，．AB CE =AE ACE α∠={}n a n n S 21)n n S a =-（{}n b *n N ∈1(1)22n n +=-⋅+{}n a {}n b nn nb C a ={}n C n n T 6n ≥21n n T -<【参考答案】一、填空题 1. (－1，0)2. 33. π64. 1m <5. 1266. 1(0)(10)10⋃+∞，，7. －2 8. 3＋2 29. 51210. π411. +⎫∞⎪⎪⎣⎭12. 313. 414.3二、解答题15. 解：（1）在△ABD 中，AD ∠ABD ＝60°，∠ADB ＝75°，∠BAD ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理得sin 45sin 60BD =，所以BD ＝2． （2）解法一：在△BCD 中，BD ＝2，因为∠BDC ＝∠ADC －∠ADB ＝120°－75°＝45°， CD由余弦定理得BC 2＝22＋2－＝2，所以BC 所以△BCD 为等腰直角三角形，所以∠DBC ＝45°，∠ABC ＝60°＋45°＝105°．在△ABD 中，AD ，∠ABD ＝60°，∠ADB ＝75°，由正弦定理得sin 75AB = ，所以AB 1．△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×sin105°＝22+．解法二：在△ABD 中，AD ，BD ＝2，∠ADB ＝75°，所以△ABD 的面积S 1＝12AD ·BD ·sin ∠ADB ＝32+． 又△ACD 的面积S 2＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝32，△BCD 的面积S 3＝1．所以△ABC 的面积S ＝S 1＋S 3－S 2＝22． 16. 解：(1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2. 17. 解：(1)1()41x f x a =++是奇函数且定义域为R ， 则12a =-，经检验，函数()f x 为奇函数.(2) ()4xg x =，有1212()()4422x x g x g x ++=，12122()42x x x x g ++= 则121212121222212122()()4422222(22)()4022222x x x x x x x x x x g x g x x x g +++++-⨯⨯--=-==≥ 故有12()()2g x g x +≥12()2x x g +.18. 解：（1）令2n =，则223111S a a =-，将11a =， 2a m =代入，有31111m m a =-+，解得23a m m =+.（2）由1111(2)n n n n S a a +=-≥，得11111n n n n nS S S S S -+=---，化简得211n n n S S S -+=， 又0n S ≠，∴数列{}n S 是等比数列.19. 解：（1）连结，已知点在以为直径的半圆周上，所以为直角三角形， 因为，，所以，，在中由余弦定理，且，解得或， （2）因为，，所以，所以， 在中由正弦定理得：，所以，在中，由正弦定理得：，所以 ，AC C AB ABC ∆8AB =6ABC π∠=3BAC π∠=4AC =ACE ∆2222cos CE AC AE ACAE A =+-CE 213164AE AE =+-1AE =3AE =2ACB π∠=6ECF π∠=ACE α∠=[0,]3π∈362AFC A ACF πππππαα⎛⎫∠=-∠-∠=--+=- ⎪⎝⎭ACF ∆sin sin cos sin()2CF AC AC AC A CFA παα===∠-CF =ACE ∆sin sin sin()3CE AC ACA AEC πα==∠+sin()3CE α=+若产生最大经济效益，则的面积最大，， 因为，所以 所以当时，取最大值为，此时该地块产生的经济价值最大．20.解：（1）当时，，所以， 当时，，所以数列是以，公比的等比数列，通项公式为.由题意有，得.当时，，于是得故数列的通项公式为．（2）证明：==，所以=，错位相减得=，所以，即， 下证：当时，， 令=，==当时，，即当时，单调减，又， 所以当时，，即，即当时，. CEF ECF SD 1312sin 2sin()cos 2sin(2)33ECF S CE CF ECF ππααα∆=⋅∠==++[0,]3πα∈0sin(2)13πα+≤≤=3παECF SD1n =1112(1)S a a ==-12a =1n >112()n n n n n a S S a a --=-=-{}n a 12a =2q =2()nn a n N *=∈11a b =2(11)222-⋅+=11b =2n ≥n n a b =1122()n n a b a b a b +++ 112211()n n a b a b a b ---+++ 1(1)22n n -⎡⎤=-⋅+-⎣⎦(2)22n n ⎡⎤-⋅+=⎣⎦2nn ⋅n b n ={}n b n b n =()n N *∈n T 1212n n b b b a a a +++ 212222n n +++ 12n T 23112222n n ++++ 12n T 231111122222n n n +++++- 2n T =-22n n +2n T -=22n n +6n ≥(2)12nn n +<()f n (2)2n n n +(1)()f n f n +-1(1)(3)(2)22n n n n n n ++++-2132n n +-2n ≥(1)()0f n f n +-<2n ≥()f n (6)1f <6n ≥()1f n <(2)12nn n +<6n ≥21n n T -<。
江苏省海安高级中学2017-2018学年高一(创新班)下学期期中考试数学试题(考试版)
考试范围：必修一、平面几何选讲；考试时
了高中数学必修一、平面几何选讲等内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内
．设集合则
．函数
．已知函数满足，则函数
．已知对应的映射，若集合
B
．若
则
与；②与
③与；④
y=f(x)的图象经过点，则函数
．已知则
．函数
．某班46名学生中，有篮球爱好者
．已知函数在上的最小值为则①若函数是一个定义在上的函数，则函数是奇函数；
②函数
③函数的图象可由的图象向右平移
④函数在区间上既有最大值，又有最小值；
⑤对于定义在上的函数，若存在R，，则函数
则上述正确命题的序号是
．已知函数，，其中，，且的取得最小值时值相同，则实数对
A={x |．
，求；
=R
上的偶函数上是单调递增函数
在
，求
商场以高于成本价的价格（标价）出售
果商场要获得最大利润的
．已知是定义在上的偶函数，且时，
，
（2
）求函数的表达式；
（3）判断并证明函数在区间上的单调性.
19．在直角三角形ABC 中，，它的内切圆分别与边，，相切于点，，，联结，与内切圆相交于另一点，联结，，，，已知，求证：（1）；（2）。
20．已知二次函数的图象过点（1，13），且函数
是偶函数.
（1）求的解析式；
（2）已知,，求函数在[，2]上的最大值和最小值；
（3）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.。
江苏省海安中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学
2017～2018年度第二学期期中学业质量监测高一创新班数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}2320A x x x =-+>，则A =R ð ▲ ．2． 设i 是虚数单位，若复数z 满足)1()1(i i z -=+，则复数z 3. 函数y 的定义域为 ▲ ．4． 若()π1sin 123α+=，则()7πcos 12α+的值为 ▲ .5. 已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan β=-，则tan α的值为 ▲ ． 6. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为 ▲ ．7． 由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成 ▲ 个没有重复数字的四位偶数． 8. 用数学归纳法证明：“11123+++…121n n +<-即2111n k n k -=<∑，其中2n ≥，且*n ∈N ”时，第一步需验证的不等式为：“ ▲ ．”9． 已知函数()f x x b =+有且只有一个零点，则实数b 的取值范围是 ▲ . 10．设x ，y ，z 均是不为0的实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y，1z 成等差数列，则x z z x+的值是 ▲ ．11．设,x y 满足约束条件0,0,210,x x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤≤≥则目标函数z xy =的取值范围为 ▲ ．12. 如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F ．若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE 的长为▲________13. 设函数)(x f 在R 上存在导数)('x f ,对任意的R x ∈上()f x 'x >.若a a f a f 22)()2(-≥--,则实数a 的取值范围 ▲ ． 14．设,,a b c 是三个正实数，且()b a b c ac ++=，则ba c+的最大值为 ▲ . 二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，点F 在棱1CC 上，且1EF C D ⊥．求证：（1）直线1A E ∥平面1ADC ； （2）直线EF ⊥平面1ADC ．16.（本题满分14分）已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.ABCDE A 1 B 11C 1 F （第15题）(第12题)17. （本题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于,A B 两点，且2AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧，直线,PA PB 与直线4x =交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于,E F ，求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值．18．(本小题满分16分)如图，一个角形海湾AOB ，∠AOB ＝2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一 如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中⌒PQ ＝l ； 方案二 如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD ＝l ；（1）求方案一中养殖区的面积S 1 ；（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S 2＝l 24tan θ；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．llAOBAOB图1QP AOBC D图2（第18题）2θ2θ 2θ19．（本小题满分16分）已知函数32()f x ax bx cx b a =-++- (a > 0，b ，c ∈R )． （1）设0c =．①若a b =，()f x 在0x x =处的切线过点(1，0)，求0x 的值； ②若a b >，求()f x 在区间[0 1]，上的最大值； （2）设()f x 在1x x =，2x x =两处取得极值，求证：11()f x x =，22()f x x =不同时成立．20．（本小题满分16分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，31=a ，且)(32*1N ∈-=+n a S n n ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数)(,,k j i k j i <<，已知k i j a a a μλ,6,成等差数列，求正整数μλ,的值； （3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式3331123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 成立.求满足等式31=n n a T 的所有正整数n .参考答案1.【答案】[1，2]2.【答案】13.【答案】()1 12，4.【答案】1-5.【答案】3116.【答案】 x 24－y 212＝17.【答案】116 8.【答案】111223++<9.【答案】{}(2-10.【答案】341511.【答案】1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12.13.【答案】(,1]-∞14.15. 证明：（1）连结ED ，因为D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，所以1B E BD ∥且1B E BD =，所以四边形1B BDE 是平行四边形，…………………2分 所以1BB DE ∥且1BB DE =，又11BB AA ∥且11BB AA =， 所以1AA DE ∥且1AA DE =，所以四边形1AA ED 是平行四边形，…………………4分 所以1A E AD ∥，又因为11A E ADC ⊄平面，1AD ADC ⊂平面，所以直线1A E ∥平面1ADC ．…………………………………………………7分（2）在正三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥，又ABC △是正三角形，且D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，……………9分 又1,BB BC ⊂平面11B BCC ，1BB BC B = ， 所以AD ⊥平面11B BCC ，又EF ⊂平面11B BCC ，所以AD EF ⊥，……………………………………11分 又1EF C D ⊥，1,C D AD ⊂平面1ADC ，1C D AD D = ，所以直线EF ⊥平面1ADC ．…………………………………………………14分16. 解：（1）因为m //n ,所以3sin (sin )02A A A ⋅+-=. ……………2分所以1cos232022A A -+-=，12cos212A A -=， ………3分即 ()πsin 216A -=. ……………………………………4分因为(0,π)A ∈ , 所以()ππ11π2666A -∈-，. ……………………5分 故ππ262A -=，π3A =. ………………………………………7分（2）由余弦定理，得 224b c bc =+-. …………………………………8分又1sin 2ABC S bc A ∆==， ………………………………9分 而222424b c bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤，（当且仅当b c =时等号成立） ……11分所以1sin 42ABC S bc A ∆===. ………………………12分 当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3A =，故此时△ABC 为等边三角形. …14分17. 解：（1）由题意可得，1b =，c e a ==2分得22134a a -=， 解24a =， 椭圆C 的标准方程为2214x y +=.…………………4分 （2）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-，同理得直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 线段MN 的中点04(4,)y x ，…………………………………………………………8分 所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-，令0y =， 则2220200164(4)(1)y x x x -+=-， 因为220014x y +=，所以 2020114y x -=-， 所以28(4)50x x -+-=， 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解， 所以0850x ->，解得08(,2]5x ∈．………………………………………………12分设交点坐标12(,0),(,0)x x，则12||x x -=0825x <≤）， 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2．………………………………………14分18. 解：（1）设OP ＝r ，则l ＝r ·2θ，即r ＝l2θ，所以 S 1＝12lr ＝l 24θ，θ∈(0，π2)． ……………………………4分(2)设OC ＝a ，OD ＝b ．由余弦定理，得l 2＝a 2＋b 2－2ab cos2θ，所以l 2≥2ab －2ab cos2θ． ……………………………………6分 所以ab ≤l 22(1－cos2θ)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．所以S △OCD ＝12ab sin2θ≤l 2sin2θ4(1－cos2θ)＝l 24tan θ，即S 2＝l 24tan θ． ………………8分(3)1S 2－1S 1＝4l 2(tan θ－θ)，θ∈(0，π2)，． ………………………………10分令f (θ)＝tan θ－θ，则f '(θ)＝(sin θ cos θ)'－1＝sin 2θcos 2θ． ……………12分当θ∈(0，π2)时，f '(θ)＞0，所以f (θ)在[0，π2)上单调增，所以，当θ∈(0，π2)，总有f (θ)＞f (0)＝0．所以1S 2－1S 1＞0，得S 1＞S 2．答：为使养殖区面积最大，应选择方案一．(没有作答扣一分) …………16分19. 解：（1）当0c =，0a >时，32()f x ax bx b a =-+-，[]0 1x ∈，， ①若a b =，则32()f x ax ax =-，从而2000()32f x ax ax '=-，故()f x 在0x x =处的切线方程为()3200y ax ax --= ()200032()ax ax x x --，将点(1，0)代入上式并整理得，()2001x x -=()000(1)32x x x --，解得00x =或01x =； …… 5分 ②若a b >，则由()22()32303b f x ax bx ax x a '=-=-=得，0x =或213b x a=<，若0b ≤，则()0f x '≥，所以()f x 为[]0 1x ∈，上的增函数，从而()f x 的最大 值为(1)0f =； …… 7分 若0b >，列表：所以()f x 的最大值为(1)0f =，综上，()f x 的最大值为0； …… 10分 （2）证明：假设存在实数a ，b ，c ，使得11()f x x =与22()f x x =同时成立， 不妨设12x x <，则1()f x <2()f x ，因为1x x =，2x x =（12x x <）为()f x 的两个极值点， 所以212()323()()f x ax bx c a x x x x '=-+=--(a >0)，因为[]12 x x x ∈，时，()0f x '≤，所以()f x 为区间[]12 x x ，上的减函数， 从而1()f x >2()f x ，这与1()f x <2()f x 矛盾，故假设不成立，即不存在实数a ，b ，c ，使得11()f x x =与22()f x x =同时成立． …… 16分20.解：（1）由)(3-2*1N ∈=+n a S n n 得3-221++=n n a S ，两式作差得121-2+++=n n n a a a ， 即)(3*12N ∈=++n a a n n . ………………………………………………………2分 31=a ，93212=+=S a ，所以)(3*1N ∈=+n a a n n ，0≠n a ，则)(3*1N ∈=+n a a nn ，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以)(3*N ∈=n a n n ； …………………………………………4分 （2）由题意i k j a a a 62⋅=+μλ，即i k j 36233⋅⋅=+μλ， 所以1233=+--i k i j μλ，其中12j i k i --≥，≥，所以333399j i k i λλμμ--≥≥，≥≥， ……………………6分123312j i k i λμ--=+≥，所以1,21===-=-μλi k i j ，； …………………8分（3）由3331123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 得3)1(33211213211-+-=+++++++-+n b a b a b a b a b a n n n n n n ， 3)1(33)(3212112111-+-=++++++--+n b a b a b a b a b a n n n n n n ， 3)1(33)333(32111-+-=--++++n n b a n n n ，所以)333(33)1(333121----+-=+++n n b n n n ，即3631+=+n b n ，所以)(12*1N ∈+=+n n b n ， ……………………10分 又因为331331111=-⋅-=+b a ，得11=b ，所以)(12*N ∈-=n n b n ，从而)(2121)12(531*2N ∈=-+=-++++=n n n n n T n ， )(3*2N ∈=n n a T n n n 当1=n 时3111=a T ；当2=n 时9422=a T ；当3=n 时3133=a T ；……………………………12分 下面证明：对任意正整数3>n 都有31<n n a T ， )122(31)3)1((313131)1(2122121211++-⎪⎭⎫⎝⎛=-+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+++++n n n n n n a T a T n n nn n n n n …14分当3n ≥时，0)2()1(12222<-+-=++-n n n n n ，即011<-++nnn n a T a T ， 所以当3n ≥时，n n a T 递减，所以对任意正整数3>n 都有3133=<a T a T n n ； …………15分综上可得，满足等式31n n a T 的正整数n 的值为1和3. ………………………………16分。
江苏省海安高级中学2017-2018学年高一上学期中期考试
江苏省海安高级中学2017-2018学年度第一学期期中考试高一数学（创新班）试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{}1221A m =--，，，集合{}22B m =，，若B A ⊆，则实数m ▲ ． 2．函数()πcos 3y x =+的最小正周期为 ▲ ．3．已知幂函数()f x 的图象经过点124⎛⎫⎪⎝⎭，，则()=f x ▲ ．4．函数()f x 的定义域为 ▲ . 5．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为 ▲ 2cm . 6．已知向量(()11AP PB ==，uu u r uu r ，则AP uu u r 和AB uu u r的夹角等于 ▲ ． 7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[02]x ∈，时， 2()log (1)f x x =+，则(2010)(2011)f f -+的值为 ▲ ．8．函数5()2sin(π)(0)6f x x ωω=>+的图象如图所示，若5AB =，则()f x 在[20162019]，上的单调增区间为 ▲ ． 9．在等比数列{}n a 中，公比51421156q a a a a >-=-=，，，则3=a ▲ ． 10．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1， D 是边BC 上一点， 2DC BD =uuu r uu u r， 则AD BC ⋅uuu r uu u r＝ ▲ ．11．已知x y ∈R ，，且222x y x y +=≠，，则()()2211x y x y ++-的最小值是 ▲ ．12．在数列{}n a 中，21010a =，1n n a a n +-≤，221n n a a n +-+≥，则20182018a 的值为 ▲ ． 13．已知函数()[]sin ππlg πx x f x x x ⎧∈-⎪=⎨>⎪⎩，，，，，，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是 ▲ ．14．若△ABC 的内角A B C ，，满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请（第8题）在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合{}3A x x =<，{}(1)(21)0B x x m x m m =-+--<∈R ，. （1）若m =3，求()A B R ðI ；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围.16．在△ABC 中，C －A ＝2π，sin B ＝13. （1）求sin A 的值；（2）设AC ABC 的面积．17．已知数列{}n a 满足135a =，*112(2)n n a n n a -=-∈N ，≥,数列{}n b 满足*1()1n n b n a =∈-N ． （1）求证数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 中的最大项和最小项．C(第19题)18．设向量a ()33cos sin 22θθ=，b ()cos sin θθ=-，，其中π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （1）求⋅+a b a b的最大值和最小值；（2）若k k +=-a b b ，求实数k 的取值范围.19．如图，公园内有一块边长为2a 的正三角形ABC 空地，拟改建成花园，并在其中建一直道DE方便花园管理. 设D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE 均分三角形ABC 的面积. （1）设AD x （x a ≥），DE y ，试将y 表示为x 的函数关系式； （2）若DE 是灌溉水管，为节约成本，希望其最短，DE 的位置应在哪里？ 若DE 是参观路线，希望其最长，DE 的位置应在哪里？20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 与n B ，对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-． （1）若212n A n b ==，，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =．①当12b =时，求数列{}n nb 的前n 项和n C ；②是否存在两个整数,s t (1)s t <<，使11s ts tA A AB B B ，，成等差数列？若存在，求出s t ，的值，若不存在，请说明理由．参考答案【填空题答案】1．1 2．π 3．2x - 4． 5.2π 6.4π 7．18．[2018,2019]9. 4 10.83- 11. 1 12. 100913.(),10π【解答题答案】15. 【解】（1）当m =3时，{}(2)(7)0(27)B x x x =--<=，， ………………………2分而()33A =-，，于是(][)33A =-∞-+∞R ，，ð，…………………………4分所以()[)37.A B =R ，ð…………………………6分（2）A B A B A =⇔⊆ .若B =∅，则121m m -=+，解得2.m =- …………………………8分若B ≠∅，由B A ⊆得23133213m m m ≠-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，≤≤，≤≤， 解得21m -<≤.…………………………12分 综上得实数m 的取值范围是[]21-，. …………………………14分 16．【解】（1）由C －A ＝2π和A ＋B ＋C ＝π， 得B ＝2π－2A ,0<A <4π. …………………………4分 故sin B ＝cos2A ，即1－22sin A ＝13，sin A =. …………………………7分（2）由(1)得sin sin()cos 2C A A π=+==. ………………10分又由正弦定理sin sin BC ACA B=，得BC =， …………………………12分所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅⋅=…………………………14分17．【解】（1）由*112(2)n n a n n a -=-≥∈N ，得*112()n na n a +=-∈N1111111111121n n n n n nb b a a a ++-=-=-=----- ………………………4分又152b =-，所以{}n b 是以52-为首项，1为公差的等差数列 (6)分（2）因为17(1)2n b b n n =+-=-， 所以1211n n a =+=+． (9)分13n ≤≤时数列{}n a 单调递减且1n a <，4n ≥时数列{}n a 单调递减且1n a >所以数列{}n a 的最大项为43a =，最小项为31a =-. ………………………14分18．【解】（1）a ·b ()()3333cos sin cos sin cos cos sin sin cos222222222θθθθθθθθθ=⋅-=-=，，. ……2分2cos θ+a b .于是2co 1c 2cθθθθθθ⋅-===-+a b a b …………………………4分 因为π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以1c o s 12θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. …………………………6分 故当1cos 2θ=即π3θ=时，⋅+a b a b 取得最小值1-；当cos 1θ=即0θ=时，⋅+a b a b 取得最大值12.…………………………8分（2）由k k +=-a b b 得222221312cos23(1)6cos2cos24k k k k k k k kθθθ++=-⇔++=+-⇔=a b a b . ……………11分因为π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以1cos 21θ-≤≤.不等式211124k k +-⇔≤≤22(1)044104k k k k k ⎧+⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩≥，≤，解得22k ≤1k =-， 故实数k 的取值范围是{}221⎡-+-⎣ . …………………………16分19．【解】（1）因为DE 均分三角形ABC 的面积，所以21(2)2xA E a=，即22a AE x=. …………………………2分 在△ADE 中，由余弦定理得y =…………………………4分因为0202AD a AE a ≤≤，≤≤，所以202202x a a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，≤≤， 解得2a x a ≤≤ 故y 关于x 的函数关系式为)2y a x a =≤≤. …………………………6分 （2）令2t x =，则224a t a ≤≤，且y =设()4224()4a f t t t a a t⎡⎤=+∈⎣⎦，. …………………………8分 若22122a t t a <≤≤，则()()4121212124()()0t t t t a f t f t t t ---=>所以()f t 在222a a ⎡⎤⎣⎦，上是减函数. 同理可得()f t 在2224a a ⎡⎤⎣⎦，上是增函数. ………………11分于是当22t a =即x时，min y ，此时DE //BC，且.AD = ……………………13分当2t a =或24t a =即x =a 或2a时，max y =，此时DE 为AB 或AC 上的中线. …………15分故当取AD 且DE //BC 时，DE 最短；当D 与B 重合且E 为AC 中点，或E 与C 重合且D 为AB 中点时，DE 最长. …………………………16分20．【解】（1）因为2n A n =，所以221,1(1),n 2n n a n n =⎧=⎨--≥⎩即21n a n =- ……………………2分故111()12n n n n b b a a ++-=-=，所以数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2112(22n B n =⋅ ……………………4分 （2）①依题意112()n n n n B B b b ++-=-，即112()n n n b b b ++=-，12n n b b +=， 又因为12b =，所以0n b ≠，所以12n nb b +=， 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以2n n b =， ………………………6分12312+22+32++2n n C n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅，2341212+22+32++(1)22n n n C n n +=⨯⨯⨯⋅⋅⋅-⋅+⋅，错位相减得 1231112+2+2++22222n n n n n C n n +++-=⋅⋅⋅-⋅=--⋅所以1(1)22n n C n +=-⋅+ ……………………10分②由题意10B ≠，所以10b ≠，由①112n n b b -=得1(21)n n n a B b ==-，11(22)n n A b n +=--， 所以111(22)2(21)21n n n n n A b n n B b +--==---， ……………………12分 假设存在两个整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列， 即11,,212121s ts t---成等差数列，即121212121s t s t=+--- 即212121s t s t =+--，因为1121t t+>-，所以2121ss>-，即221s s <+ 令(s)221(2,)s h s s s *=--≥∈N ，则(1)(s)220s h s h +-=->，所以(s)h 递增， 若3s ≥，则(s)h(3)10h ≥=>，不满足221s s <+，所以2s =，……………………14分 代入121212121s ts t=+---得2310t t --=(3)t ≥， 当3t =时，显然不符合要求；当4t ≥时，令()231(3,)t t t t t ϕ*=--≥∈N ，则同理可证()t ϕ递增，所以()(4)30t ϕϕ≥=>， 所以不符合要求. 所以，不存在正整数,s t ，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列. ……………………16分。
江苏省海安高级中学2017-2018学年准高一下学期期中考试数学试题(创新班)(解析版)
2017-2018学年度第二学期期中考试2018级创新实验班数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．．1. 设集合则________．【答案】【解析】分析：由并集的定义，把A、B中的元素合并在一起即得.详解：由题意.故答案为.点睛：本题考查集合的并集运算，属于基础题.2. 函数的定义域为________．【答案】【解析】分析：使函数式有意义即可，即且.详解：由题意，解得，故答案为.点睛：本题考查求函数定义域，属于基础题.函数定义域是使函数式有意义的自变量的取值集合，即分母不为0，二次（偶次）根式下被开方数非负，0次幂的底数不为0，另外对数函数，正切函数对自变量也有要求.3. 已知函数满足，则函数=_____．【答案】【解析】分析：用换元法，令，然后代入可得.详解：令，则，代入可得，即，故答案为.点睛：本题考查求函数解析式，可用凑配法求解，属于基础题.求解析式的常用方法有待定系数法，换元法，凑配法，方程组思想等等.4. 已知对应是集合A到集合B的映射，若集合，则集合A=_______．【答案】【解析】分析：由象的集合，令等于B中的每一个元素，解得，即为集合A中的元素.详解：由得，由得，由得，∴，故答案为.5. 设A={x| 1＜x＜4}，B={x| x-a＜0}，若A B，则a的取值范围是________．【答案】【解析】分析：化简集合B，然后根据子集的概念得出的不等式即可.详解：由题意，∵，∴.故答案为.点睛：本题考查集合的包含关系，解题时可根据关系在数轴上表示出集合A，B，从而得出的不等关系，解得的范围.6. 如图所示的V enn图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合.若R ,则A#B=______．【答案】【解析】分析：根据V enn图，图中阴影部分实质是详解：，故答案为.点睛：V enn图是集合中的一个重要概念，一种重要方法，一定要掌握集合的运算与V enn图的表示方法，基础是掌握交、并、补运算的V enn图表示，由此可用集合的运算表示出图中各个阴影部分.7. 下列各组函数是同一函数的是_________．①与；②与；③与；④与；【答案】③④【解析】分析：看两个函数的定义域是否相同，再化简对应法则（即解析式），看对应法则是否相同.详解：①中两函数定义域相同，但，对应法则不同；②中两函数定义域相同，但，对应法则不同；③中定义域都是，对应法则都是，是同一函数；④是两函数定义域都是，对应法则也相同，是同一函数.故答案为③④.点睛：函数的定义域中有三要求：定义域、值域、对应法则，一般是三要素相同的两个函数都是同一函数，当然根据值域的定义，只要定义域相同，对应法则相同，则值域也相同，故只要考虑这两个要素即可.8. 若函数y=f(x)的图象经过点，则函数y=f(-x)+1的图象必定经过的点的坐标是________．【答案】（-1,4）【解析】分析：把中的作为中的进行计算.详解：设，则，此时，即的图象过点，故答案为．点睛：本题考查抽象函数问题，解决此类问题的思想方法是整体思想，整体代换，本题中中的与中的相当，从而只要令即可.9. 已知则的值为__________．【答案】【解析】分析：把用表示，考虑立方和公式，可先求出的值．详解：题意，∴，∴，故答案为．点睛：本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．10. 函数的单调递减区间为_______．【答案】和【解析】分析：把函数进行常数分离，然后与函数比较可得．详解：，定义域是，∴单调减区间为和．故答案为和．点睛：函数可分离常数为：，这样的单调区间是和，但是增区间还是减区间与及的正负有关．11. 某班46名学生中，有篮球爱好者23人，足球爱好者29人，同时爱好这两项运动的人最多有m人，最少有n人，则m-n =______．【答案】17【解析】因为某班46名学生中，有篮球爱好者23人，足球爱好者29人，同时爱好这两项运动的人最多有人，最少有人，则由集合的交集的韦恩图可知，=17，故答案为17.12. 已知函数且在上的最小值为则的最大值为________．【答案】1【解析】分析：先确定的单调性，求得，再根据的性质求解．详解：，当时，，；当时，是减函数，，显然；当时，是增函数，，显然；综上，的最大值为1.故答案为1.点睛：本题考查函数的单调性与最值问题，要求函数最值可以先确定函数的单调性，若在区间是单调递增，则；若在区间是单调递减，则．13. 下列命题：①若函数是一个定义在R上的函数，则函数是奇函数；②函数是偶函数；③函数的图象可由的图象向右平移2个单位得到；④函数在区间上既有最大值，又有最小值；⑤对于定义在R上的函数，若存在R，，则函数不是奇函数.则上述正确命题的序号是________．.【答案】①③【解析】分析：对每一个命题进行判断，①②⑤利用奇偶性定义，③利用图象变换，④利用单调性．故答案为①③．点睛：具有奇偶性的函数有一个必要条件是函数的定义域关于原点对称，因此确定奇偶性时，可选定义域，如果定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也不是偶函数．而并不能保证函数一定不是奇函数，这里主要是，可举一反例说明，如函数（）既是奇函数也是偶函数．14. 已知函数，，其中R，Z，且取得最大值时的值与取得最小值时值相同，则实数对组成的集合A为__________．【答案】【解析】分析：由二次函数的性质，通过配方得出函数取最值时的值．详解：时，无最值或者，不合题意，在时，且，∴，∵，∴，，，，∴，故答案为．点睛：本题考查二次函数的性质，二次函数只有在顶点处取得最值，因此可通过配方得出，但要注意是取最大值，因此有，否则易出错，另外是一个不定方程，有无数解，但利用整数的知识及二次函数的性质可得，从而才能求出结论．二、解答题：本大题共5小题，共计80分．请在答题纸指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，求证过程或演算步骤．15. 已知集合A={x |}，．（1）若a=1，求；（2）若=R，求实数a的取值范围．【答案】(1)(-3,-1);(2)-1≤a≤3 .【解析】分析：（1）由绝对值的性质和解二次不等式得出集合A、B，再由交集定义可得；（2）得出集合A、B后，可在数轴上表示出来，分析得出的不等关系.详解：（1）当时，，.∴．（2），，且=R，∴，∴a的取值范围是-1≤a≤3 .点睛：本题考查集合的运算，解题时还要掌握绝对值的性质以及一元二次不等式的求解，属于基础题．16. 定义在实数集R上的偶函数在上是单调递增函数.(1)试判断并证明在上的单调性；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：根据单调性的定义，设，则有，再由己知条件可证；（2）根据偶函数性质，把不等式化为，再由单调性求解．详解：(1)在是单调减函数设，则，∵在是单调增函数∴又∵是偶函数，∴∴在是单调减函数.（2）由是偶函数，，又是上的单调增函数∴∴为所求的取值范围.点睛：若函数是增函数，则，若是偶函数，则在和上的单调性相反，因此此时函数不等式要先变形为，再由单调性去掉函数符号“”．17. 商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/ 件，商场以高于成本价的价格（标价）出售. 问：（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？【答案】(1)羊毛衫的标价应定为每件200元;(2)商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.【解析】试题分析：（1）设出函数的解析式，确定利润函数，利用配方法，即可求出最大利润和羊毛衫的标价；（2）利用商场要获得的最大利润的，建立方程，即可求得结论．试题解析：（1）设购买人数为人，羊毛衫的标价为每件元，利润为元，则，，由题意，得，即，∴，∴（），∵，∴时，，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．（2）解：由题意得，，解得或，所以，商场要获取最大利润的，每件标价为250元或150元．考点：函数的实际应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到二次函数的解析式的求解、一元二次函数的配方法的应用，一元二次方程的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，解答中利用题设条件，求得函数的解析式是解答的关键，同时注意仔细审题、认真运算也是一个重要的方面，属于基础题．18. 已知是定义在上的偶函数，且时，．（1）求，；（2）求函数的表达式；（3）判断并证明函数在区间上的单调性.【答案】(1);(2);(3)见解析.【解析】分析：（1）直接代入解析式计算；（2）设，利用及函数为偶函数可求得；（3）用单调性的定义，设，判断的正负即可得.详解：（1）.（2）设因为函数f(x)为偶函数，所以有既所以.（3）设∵∴∴∴f(x)在为单调减函数.点睛：判断或证明函数的单调性，一般都是利用单调性定义，即在定义域内设，计算，化简变形为积的形式，然后判断其正负，得和的大小.19. 在直角三角形ABC中，，它的内切圆分别与边，，相切于点，，，联结，与内切圆相交于另一点，联结，，，，已知，求证：（1）；（2）。
江苏省海安中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题(创新班)(精编含解析)
2017～2018年度第二学期期中学业质量监测高一创新班数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合，则______.【答案】[1，2]【解析】分析：根据一元二次不等式，求解集合，再利用补集的运算即可求解．详解：由集合或，所以，即．点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．2. 设是虚数单位，若复数满足，则复数的模=______.【答案】1【解析】分析：利用复数的运算法则，以及模的计算公式，即可求解．详解：由，则，所以．点睛：本题主要考查了复数的运算法则和复数模的计算，其中熟记复数的运算公式和模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3. 函数的定义域为______.【答案】【解析】分析：根据函数的解析式，得到解析式有意义所满足的条件，即可求解函数的定义域．详解：由函数可知，实数满足，即，解得，即函数的定义域为．点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，其中根据函数的解析式得到满足条件的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．4. 若，则的值为______.【答案】【解析】分析：根据三角函数的诱导公式，即可求解对应的函数值．详解：由，则．点睛：本题主要考查了三角函数的诱导公式的应用问题，其中熟记三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5. 已知，且，，则的值为______.【答案】【解析】分析：利用两角和与差的正切函数公式，即可化简求值．详解：由，则．点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中把角转化为和熟记两角和与差的正切公式是解答的关键，着重考查了转化意识和推理、运算能力．6. 已知双曲线的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为______.【答案】【解析】分析：先由双曲线的渐近线方程为，易得，再由抛物线的焦点为，可得双曲线，最后根据双曲线的性质列出方程组，即可求解的值，得到双曲线的方程．详解：由双曲线的渐近线方程为，得，因为抛物线的焦点坐标为，得，又由，联立可得，所以双曲线的方程为．点睛：本题主要考查了双曲线和抛物线的标准方程及其几何性质的应用，其中熟记圆锥曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．7. 由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数．【答案】156【解析】分析：可分当末位为和末位不为两种情况分类讨论，再根据分类计数原理求得结果．详解：可分为两类：（1）当末位为时，可以组成个；（2）当末位是或时，则首位有四种选法，中间可以从剩余的个数字选取两个，共可以组成种，由分类计数原理可得，共可以组成个没有重复数字的四位偶数．点睛：本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理的应用，着重考查了分类的数学思想方法，对于数字问题是排列中常见到的问题，条件变换多样，把排列问题包含数字问题时，解答的关键是看清题目的实质，注意数列字的双重限制，即可在最后一位构成偶数，由不能放在首位．8. 用数学归纳法证明：“…即，其中，且”时，第一步需验证的不等式为：“______.”【答案】【解析】分析：由题意时，，即可得到第一步需要验证的不等式．详解：由题意可知，当时，，所以第一步需验证的不等式为“”．点睛：本题主要考查了数学归纳法的应用，其中熟记数学归纳法的基本步骤是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．9. 已知函数有且只有一个零点，则实数b的取值范围是______.【答案】【解析】分析：函数有零点是函数图象的交点，利用函数和的图象，即可求出参数的取值范围．详解：由题意，函数有一个零点，即函数和的图象只有一个交点，如图所示，直线与半圆相切的直线方程为，又过点的直线为，所以满足条件的的取值范围是或，即．点睛：本题主要考查了函数零点的应用问题，其中解答中把函数有零点转化为函数图象得交点是解答的关键，着重考查了转化与化归思想和数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力．10. 设x，y，z均是不为0的实数，9x，12y，15z成等比数列，且，，成等差数列，则的值是______. 【答案】【解析】试题分析：由于成等比数列，，得，又因为成等差数列，，，.考点：等差数列和等比数列的性质.11. 设满足约束条件则目标函数的取值范围为______.【答案】【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中,因此当时过点C时，取最大值1，当时与直线相切时取最小值，当时，综上目标函数的取值范围为考点：线性规划12. 如图，在△ABC中，边BC的四等分点依次为D，E，F．若，则AE的长为______.【答案】【解析】分析：用和表示出得出，在根据和的关系计算，从而得到的长．详解：因为,所以，所以所以，因为，所以,所以，所以，所以，所以，所以，即．点睛：本题考查了平面向量的基本定理，及平面向量的数量积的运算问题，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式、向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．13. 设函数在上存在导数,对任意的有,且在上.若,则实数的取值范围______.【答案】【解析】令，所以，则为奇函数 . 时，，由奇函数性质知：在R上上递增 .则实数的取值范围是点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等14. 设是三个正实数，且，则的最大值为______.【答案】．【解析】分析：由已知条件可得是方程的正根，求出，打入变形化简利用基本不等式，即可求解．详解：由，所以，所以是方程的正根，所以，所以，当且仅当等号成立，所以的最小值为．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 如图，在正三棱柱中，已知，分别为，的中点，点在棱上，且．求证：（1）直线∥平面；（2）直线平面．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要利用平几知识，如本题利用平行四边形性质：连结，可先证得四边形是平行四边形，进而证得四边形是平行四边形，即得，（2）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，经多次转化论证，而在寻找线线垂直时，不仅可利用线面垂直转化，如由平面，得，而且需注意利用平几中垂直条件，如本题中利用正三角形性质得试题解析：（1）连结，因为，分别为，的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，…………………2分所以且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，…………………4分所以，又因为，，所以直线平面．…………………………………………………7分（2）在正三棱柱中，平面，又平面，所以，又是正三角形，且为的中点，所以，……………9分又平面，，所以平面，又平面，所以，……………………………………11分又，平面，，所以直线平面．…………………………………………………14分考点：线面平行判定定理，线面垂直判定与性质定理【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16. 已知向量与共线，其中A是△ABC的内角．（1）求角的大小；（2）若BC=2，求△ABC面积的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状.【答案】（1）（2）△ABC的面积最大值,等边三角形.【解析】分析：（1）由，得，利用三角恒等变换的公式，求解，进而求解角的大小；（2）由余弦定理，得和三角形的面积公式，利用基本不等式求得，即可判定当时面积最大，得到三角形形状．详解：（1）因为m//n,所以.所以，即，即.因为, 所以.故，.（2）由余弦定理，得又，而，（当且仅当时等号成立）所以.当△ABC的面积取最大值时，.又，故此时△ABC为等边三角形点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.17. 已知椭圆：（）的离心率为，椭圆与轴交于两点，且．（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上的一个动点，且点在轴的右侧，直线与直线交于两点，若以为直径的圆与轴交于，求点横坐标的取值范围及的最大值．【答案】（1）（2） 2试题解析：（1）由题意可得，，，得，解得，椭圆的标准方程为.（2）设，，，所以，直线的方程为，同理得直线的方程为，直线与直线的交点为，直线与直线的交点为，线段的中点，所以圆的方程为，令，则，因为，所以，所以，因为这个圆与轴相交,该方程有两个不同的实数解，所以，解得．设交点坐标，则（），所以该圆被轴截得的弦长为最大值为2．考点：直线与圆位置关系，两直线交点18. 如图，一个角形海湾AOB，∠AOB＝2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l（l为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中＝l；方案二如图2，围成三角形养殖区OCD，其中CD＝l；（1）求方案一中养殖区的面积S1；（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S2＝；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）为使养殖区面积最大，应选择方案一．【解析】分析：（1）设，利用弧长公式得，再利用扇形的面积公式，即可求解；（2）设，由余弦定理和基本不等式得，再利用三角形的面积公式，即可证得；（3）由（1）（2）得，令，求得，求得函数的单调性，得，得，作出相应的选择．详解：解：（1）设OP＝r，则l＝r·2θ，即r＝，所以S1＝lr＝，θ∈(0，)．(2)设OC＝a，OD＝b．由余弦定理，得l2＝a2＋b2－2abcos2θ，所以l2≥2ab－2abcos2θ．所以ab≤，当且仅当a＝b时“＝”成立．所以S△OCD＝absin2θ≤＝，即S2＝．(3)－＝(tanθ－θ)，θ∈(0，)，．令f(θ)＝tanθ－θ，则f '(θ)＝()'－1＝．当θ∈(0，)时，f '(θ)＞0，所以f(θ)在[0，)上单调增，所以，当θ∈(0，)，总有f(θ)＞f(0)＝0．所以－＞0，得S1＞S2．答：为使养殖区面积最大，应选择方案一．(没有作答扣一分)点睛：本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式，及导数在函数中的综合应用，其中正确理解题意，利用扇形的弧长公式和面积公式建立函数关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．19. 已知函数(a > 0，b，c)．（1）设．①若，在处的切线过点(1，0)，求的值；②若，求在区间上的最大值；（2）设在，两处取得极值，求证：，不同时成立．【答案】（1）①或②0（2）见解析【解析】（1）根据题意，在①中，利用导数的几何意义求出切线方程，再将点代入即求出的值，在②中，通过函数的导数来研究其单调性，并求出其极值，再比较端点值，从而求出最大值；（2）由题意可采用反证法进行证明，假设问题成立，再利用函数的导数来判断函数的单调性，证明其结果与假设产生矛盾，从而问题可得证.试题解析：（1）当时，.①若，则，从而，故曲线在处的切线方程为.将点代入上式并整理得，解得或.②若，则令，解得或.（ⅰ）若，则当时，，所以为区间上的增函数，从而的最大值为.（ii）若，列表：所以的最大值为.综上，的最大值为0.（2）假设存在实数，使得与同时成立.不妨设，则.因为，为的两个极值点，所以.因为，所以当时，，故为区间上的减函数，从而，这与矛盾，故假设不成立.既不存在实数，，，使得，同时成立.点睛：此题主要考查了有关函数导数的几何意义、以及导数在判断函数单调性、求函数的最值等方面的知识和运算技能，属于中高档题型，也是高频考点.利用导数求函数单调区间的一般步骤：1.确定函数的定义域；2.求导数；3.在函数的定义域内解不等式和；4.根据3的结果确定函数的单调区间.20. 已知是数列的前n项和，，且．（1）求数列的通项公式；（2）对于正整数，已知成等差数列，求正整数的值；（3）设数列前n项和是，且满足：对任意的正整数n，都有等式成立.求满足等式的所有正整数n.【答案】（1）（2）（3）1和3.【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义判断，最后根据等比数列通项公式求结果，（2）根据等差数列化简得，再根据正整数限制条件以及指数性质确定不定方程正整数解，（3）先根据定义求数列通项公式，再根据等差数列求和公式求，根据数列相邻项关系确定递减，最后根据单调性求正整数解.试题解析：（1）由得，两式作差得，即.，，所以，，则，所以数列是首项为公比为的等比数列，所以；（2）由题意，即，所以，其中，，所以，，，所以，，；（3）由得，，，，所以，即，所以，又因为，得，所以，从而，，当时；当时；当时；下面证明：对任意正整数都有，，当时，，即，所以当时，递减，所以对任意正整数都有；综上可得，满足等式的正整数的值为和.。
江苏省海安高级中学2017-2018学年高一上学期中期考试数学(创新班)试题Word版含答案
江苏省海安高级中学2017-2018学年度第一学期期中考试高一数学（创新班）试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{}1221A m =--，，，集合{}22B m =，，若B A ⊆，则实数m ▲ ．2．函数()πcos 3y x =+的最小正周期为 ▲ ． 3．已知幂函数()f x 的图象经过点124⎛⎫⎪⎝⎭，，则()=f x ▲ ．4．函数()f x =的定义域为 ▲ . 5．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为 ▲ 2cm . 6．已知向量(()11AP PB ==，uu u r uu r ，则AP u u u r 和AB u u u r的夹角等于 ▲ ．7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[02]x ∈，时， 2()log (1)f x x =+，则(2010)(2011)f f -+的值为 ▲ ．8．函数5()2sin(π)(0)6f x x ωω=>+的图象如图所示，若5AB =，则()f x 在[20162019]，上的单调增区间为 ▲ ．9．在等比数列{}n a 中，公比51421156q a a a a >-=-=，，，则3=a ▲ ．10．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1， D 是边BC 上一点， 2DC BD =uuu r uu u r ， 则AD BC ⋅uuu r uu u r＝ ▲ ．11．已知x y ∈R ，，且222x y x y +=≠，，则()()2211x y x y ++-的最小值是 ▲ ．12．在数列{}n a 中，21010a =，1n n a a n +-≤，221n n a a n +-+≥，则20182018a 的值为 ▲ ． 13．已知函数()[]sin ππlg πx x f x x x ⎧∈-⎪=⎨>⎪⎩，，，，，，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是 ▲ ．14．若△ABC 的内角A B C ，，满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请（第8题）在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合{}3A x x =<，{}(1)(21)0B x x m x m m =-+--<∈R ，. （1）若m =3，求()A B R ðI ；（2）若A B A =，求实数m 的取值范围.16．在△ABC 中，C －A ＝2π，sin B ＝13. （1）求sin A 的值；（2）设AC ，求△ABC 的面积．17．已知数列{}n a 满足135a =，*112(2)n n a n n a -=-∈N ，≥,数列{}nb 满足*1()1n n b n a =∈-N ．（1）求证数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 中的最大项和最小项．C(第19题)18．设向量a ()33cos sin 22θθ=，，b ()cos sin 22θθ=-，，其中π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （1）求⋅+a b a b的最大值和最小值；（2）若k k +=-a b b ，求实数k 的取值范围.19．如图，公园内有一块边长为2a 的正三角形ABC 空地，拟改建成花园，并在其中建一直道DE方便花园管理. 设D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE 均分三角形ABC 的面积. （1）设ADx （x a ≥），DE y ，试将y 表示为x 的函数关系式； （2）若DE 是灌溉水管，为节约成本，希望其最短，DE 的位置应在哪里？ 若DE 是参观路线，希望其最长，DE 的位置应在哪里？20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 与n B ，对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-． （1）若212n A n b ==，，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =．①当12b =时，求数列{}n nb 的前n 项和n C ；②是否存在两个整数,s t (1)s t <<，使11s ts tA A AB B B ，，成等差数列？若存在，求出s t ，的值，若不存在，请说明理由．参考答案【填空题答案】1．1 2．π 3．2x - 4．(0 5.2π 6.4π 7．18．[2018,2019]9. 4 10.83- 11. 1 12. 100913.(),10π【解答题答案】15. 【解】（1）当m =3时，{}(2)(7)0(27)B x x x =--<=，， ………………………2分而()33A =-，，于是(][)33A =-∞-+∞R ，，ð， …………………………4分所以()[)37.A B =R ，ð…………………………6分（2）A B A B A =⇔⊆.若B =∅，则121m m -=+，解得2.m =- …………………………8分若B ≠∅，由B A ⊆得23133213m m m ≠-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，≤≤，≤≤， 解得21m -<≤.…………………………12分 综上得实数m 的取值范围是[]21-，. …………………………14分 16．【解】（1）由C －A ＝2π和A ＋B ＋C ＝π， 得B ＝2π－2A ,0<A <4π. …………………………4分 故sin B ＝cos2A ，即1－22sin A ＝13，sin A =. …………………………7分（2）由(1)得sin sin()cos 2C A A π=+==. ………………10分又由正弦定理sin sin BC ACA B=，得BC =， …………………………12分所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅⋅=…………………………14分17．【解】（1）由*112(2)n n a n n a -=-≥∈N ，得*112()n na n a +=-∈N1111111111121n n n n n nb b a a a a ++-=-=-=----- ………………………4分又152b =-，所以{}n b 是以52-为首项，1为公差的等差数列 (6)分（2）因为17(1)2n b b n n =+-=-， 所以121127n n a b n =+=+-． (9)分13n ≤≤时数列{}n a 单调递减且1n a <，4n ≥时数列{}n a 单调递减且1n a >所以数列{}n a 的最大项为43a =，最小项为31a =-. ………………………14分18．【解】（1）a ·b ()()3333cos sin cos sin cos cos sin sin cos 222222222θθθθθθθθθ=⋅-=-=，，. ……2分2cos θ+a b .于是2co 1c 2c θθθθθθ⋅-===-+a b a b …………………………4分 因为π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以1c o s 12θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. …………………………6分 故当1cos 2θ=即π3θ=时，⋅+a b a b 取得最小值12-；当cos 1θ=即0θ=时，⋅+a b a b 取得最大值12.…………………………8分（2）由k k +=-a b b 得222221312cos 23(1)6cos 2cos 24k k k k k k k kθθθ++=-⇔++=+-⇔=a b a b . ……………11分因为π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以1cos 212θ-≤≤. 不等式211124k k +-⇔≤≤22(1)044104k k k k k ⎧+⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩≥，≤，解得22k ≤1k =-， 故实数k 的取值范围是{}221⎡-⎣. …………………………16分19．【解】（1）因为DE 均分三角形ABC 的面积，所以21(2)2xA E a=，即22a AE x=. …………………………2分 在△ADE 中，由余弦定理得y =…………………………4分因为0202AD a AE a ≤≤，≤≤，所以202202x a a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，≤≤， 解得2a x a ≤≤ 故y 关于x 的函数关系式为)2y a x a =≤≤. …………………………6分 （2）令2t x =，则224a t a ≤≤，且y =设()4224()4af t t t a a t⎡⎤=+∈⎣⎦，. …………………………8分若22122a t t a <≤≤，则()()4121212124()()0t t t t a f t f t t t ---=>所以()f t 在222a a ⎡⎤⎣⎦，上是减函数. 同理可得()f t 在2224a a ⎡⎤⎣⎦，上是增函数. ………………11分于是当22t a =即x =时，min y =，此时DE //BC，且.AD = ……………………13分当2t a =或24t a =即x =a 或2a时，max y =，此时DE 为AB 或AC 上的中线. …………15分故当取AD 且DE //BC 时，DE 最短；当D 与B 重合且E 为AC 中点，或E 与C 重合且D 为AB 中点时，DE 最长. …………………………16分20．【解】（1）因为2n A n =，所以221,1(1),n 2n n a n n =⎧=⎨--≥⎩即21n a n =- ……………………2分故111()12n n n n b b a a ++-=-=，所以数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2112(22n B n =⋅ ……………………4分 （2）①依题意112()n n n n B B b b ++-=-，即112()n n n b b b ++=-，12n n b b +=， 又因为12b =，所以0n b ≠，所以12n nb b +=， 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以2n n b =， ………………………6分12312+22+32++2n n C n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅，2341212+22+32++(1)22n n n C n n +=⨯⨯⨯⋅⋅⋅-⋅+⋅，错位相减得 1231112+2+2++22222n n n n n C n n +++-=⋅⋅⋅-⋅=--⋅所以1(1)22n n C n +=-⋅+ (1)0分②由题意10B ≠，所以10b ≠，由①112n n b b -=得1(21)n n n a B b ==-，11(22)n n A b n +=--， 所以111(22)2(21)21n n n n n A b n n B b +--==---， ……………………12分假设存在两个整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列， 即11,,212121s ts t---成等差数列， 即121212121s t s t=+--- 即212121s t s t =+--，因为1121t t+>-，所以2121s s >-，即221ss <+ 令(s)221(2,)s h s s s *=--≥∈N ，则(1)(s)220s h s h +-=->，所以(s)h 递增， 若3s ≥，则(s)h(3)10h ≥=>，不满足221s s <+，所以2s =，……………………14分 代入121212121s t s t =+---得2310tt --=(3)t ≥， 当3t =时，显然不符合要求；当4t ≥时，令()231(3,)t t t t t ϕ*=--≥∈N ，则同理可证()t ϕ递增，所以()(4)30t ϕϕ≥=>， 所以不符合要求. 所以，不存在正整数,s t ，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列. ……………………16分。
江苏省海安高级中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(创新班)(解析版)
江苏省海安高级中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题（创新班）一、选择题（每题5分，共50分）1.）A. B. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合交集运算性质即可解得.故选A【点睛】本题主要考察集合的运算性质,属于基础题.2.）A. 1B. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算性质,分别求出m,n,然后求解复数的模.故选D【点睛】本题考察复数运算性质和复数模的计算,属于基础题,解题时要准确计算.3.）A. -1）B. （-1C. -1）D.【答案】B【解析】【分析】然后利用向量平行的条件判断即可.故选B【点睛】本题考察向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.4.）A.C.【答案】D【解析】【分析】x换为x-.化解为故选D【点睛】本题考察三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x按要求变换.5.设实数）A. B. D.【答案】C【解析】【分析】先画出可行域的几何图形,z的几何意义(直线在y轴上的截距)求出z的范围.【详解】如图:,由图可知在A(1,2)处取得最大值3,在点B(-1,0)处取得最小值-1;故选C【点睛】本题主要考查线性规划问题中的截距型问题,属于基础题型,解题中关键是准确画出可行域,再结合z 的几何意义求出z的范围.6.）A.C.【答案】C【解析】【分析】,则有f(-1)=f(1),可解得a=1,单调递减,在区间单调递增,故自变量距离0越远函数值越大,即可求解.所以f(-1)=f(1),解得a=1单调递减,故选C【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性和单调性的应用,属于中等难度题目,解题中关键是利用偶函数的性质求解a的值,其次是利用偶函数的单调性比较大小(先减后增,离原点越远函数值越大,先增后减,离原点越远越小).7.C x轴不重合的直线l交圆A、B两点，点A在点M与点B之间。
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江苏省南通市海安中学2017-2018学年高一(创新班)
下学期4月月考数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、填空题
1. 已知复数z满足(1＋i)z＝1＋i(i是虚数单位)，则|z|＝________.
2. 已知向量，，则______.
3. 集合____________________．
4. 已知函数y＝的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是
，则＝________.
5. 一个高为的圆锥，底面周长为.该圆锥的表面积为______.
6. 将函数的图象向左至少平移______个单位可得到函数的
图象.
7. 若函数（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数的值为
_______．
8. 设是等差数列的前项的和,若则的值为
__________．
9. 已知圆：的两焦点为，，点满足，
则的取值范围为______.
10. 在锐角△中，若，，依次成等差数列，则
的值为_______．
11. 在平面直角坐标系中，若直线l：与圆C：
相切，且圆心C在直线l的上方，则的最大值为______.
12. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_________.
13. 已知实数x，y满足设，则z的取值范围
是______.（表示a，b两数中的较大数）
14. 若幂函数（）及其导函数在区间上的单调性
一致（同为增函数或同为减函数），则实数a的取值范围是______.
二、解答题
15. 在长方形中，，.M，N分别是线段，的中
点，P是长方形（含边界）内一点.
（1）求的值；
（2）求的取值范围.
16. 如图，在四棱锥中，为二面角的平面角.
（1）求证：平面平面；
（2）若平面，求证：平面.
17. 如图，在平面直角坐标系中，A，B是圆O：与x轴的两个交点（点B在点A右侧），点，x轴上方的动点P使直线，，
的斜率存在且依次成等差数列.
（1）求证：动点P的横坐标为定值；
（2）设直线，与圆O的另一个交点分别为S，T.求证：点Q，S，T三点共线.
18. 如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道的长为，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离.D为海湾一侧海岸线上
的一点，设（），点D对跑道的视角为.
（1）将表示为x的函数；
（2）求点D的位置，使取得最大值.
19. 设数列的前n项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求；
（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.
20. 已知函数.
（1）过点（e是自然对数的底数）作函数图象的切线l，求直线l的方程；
（2）求函数在区间（）上的最大值；
（3）若，且对任意恒成立，求k的最大值.（参考数据：，）。