2012海淀三模数学理试题人大附中
2012海淀三模数学(文)试题(人大附中)
人大附中5月适应性考试数学试卷（文科）第I 卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 一、若集合A ={}33x x -<<，集合{}0B x x =>，则()R A B I ð等于（ ）A ．(]3,0-B ．()0,3C ．()3,0-D ．[0,3) 二、命题“x ∀∈R ，210x +>”的否定是（ ）Ａ.x ∃∈R ，21x +＜ 0 B ．x ∀∈R ，210x +<C. x ∃∈R ，210x +≤ D ．x ∀∈R ，210x +≤三、在等比数列{}n a 中，146a a ⋅=，235a a +=，则该等比数列的公比q =( )A ．2332或B ．2332--或 C ．515--或 D ．2131-或四、下列命题正确的是（ ）A. 22,a b a b <<若则 B. 110,a b a b<<<若 则； C. 函数()423(0)f x x x x=++>的最小值为243+ D. 不等式2(1)(2)0x x --≥的解集为{|2}x x ≥ 五、已知锐角△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若32sin c a C = ，则角A 等于（ ）Ａ．30oB ．60o或120oC ．60oD ．45o六、右面的程序框图，如果输入三个实数,,a b c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）A ．c x >B ．x c >C ．c b >D ．b c >七、已知直线22y x =+经过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点且与双曲线右支交于点P ，过点P 向x 轴引垂线，垂足恰为其右焦点，则双曲线离心率的值为（ ）A2- B ．2 C1 D2八、如图，三棱锥P ABC -的高8PO =，3AC BC ==，30ACB ∠=︒，点,M N 分别在棱BC 和PO 上，且CM x =，2PN x =，则下面的四个图象中，大致描绘了三棱锥N AMC -的体积V 与x ((0,3])x Î的变化关系的是（ ）A B C D第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 九、在复平面内，复数12iz i+=对应的点位于第 象限 十、如图为某几何体的三视图，主视图、左视图、俯视图均为等腰直角三角形，且其中每一条直角边的长均为1，则此几何体的体积是 ．十一、已知点()P x y ，的坐标满足条件41x y y x x +⎧⎪⎨⎪⎩，，，≤≥≥ 则y x 的取值范围是十二、已知向量a =（2，1）， ⋅a b = 10，︱+a b ︱= b =十三、已知函数21(0)()2log (0)xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩，则函数()()1G x f x =-的零点的个数为 ；使函数()f x 的图像位于直线1y =下方的x 的取值范围是 ．十四、若对数列{}n a , 存在常数0T ≥, 使得对于任意*n ∈N ，均有n a T ≤，则称{a n }为有界数列.（1）下列各条件下，数列{}n a 为有界数列的是________________;（写出满足条件的所有数列的序号）① 2n a n =- ② 12n a n =+ ③ 1+n n a a =2 , 11a =（２）若数列{}n a 为有界数列，且满足212n n n a a a +=-+，()10a t t =>，则实数t 的92主视图 左视图取值范围为___________________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 十五、（本小题满分13分）已知函数2()sin(2)2sin ()2f x x x ππ=+++.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间.十六、（本小题满分13分）直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，BAD ADC ∠=∠90=o,222AB AD CD ===．P 为11A B 中点．（Ⅰ）求证：//DP 与平面1ACB ； （Ⅱ）求证：平面1ACB ⊥平面11BB C C1十七、（本小题满分14分）某校对高二600名学生进行了一次“交通安全”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．（Ⅰ）填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）试估计该年级成绩在[70,90)段的有多少人，并估算该年级的平均分．（Ⅲ）若[50,60）和 [60，70）分数段内各有1和2名女生 ，现丛此两分数段内各选一人参加某项培训 ，求选出二人中至少一名女生的概率十八、（本小题共13分）已知函数32() (0)f x ax bx cx a =++≠的定义域为R ，它的图像关于原点对称，且当1x =-时，函数取极值1． （Ⅰ）求,,a b c 的值；（Ⅱ）若12,[1,1]x x ∈-，求证：12|()()|2f x f x -≤； （Ⅲ）设()()ln mf x g x x x=-，（其中m 为常数），试求函数()g x 的单调区间．分组 频数 频率 [50,60) 4 0.08 [60,70) 6 0.12 [70,80) 10 [80,90) [90,100] 14 0.28 合计1.00O50 60 70 80 90100 成绩（分）频率 组距十九、（本小题满分14分）如图，已知动圆（圆心为E ）经过点()1,0A -，且与圆()22:116C x y -+=（C 为圆心）内切.（Ⅰ）求动点E 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设直线():0,0l y kx m k m =+≠>与点E 的轨迹交于P ，Q 两点，（1）若43k =，且以QC 为直径的圆恰过点P ，求此时直线l 的方程； （2）若以PQ 为对角线的菱形的一顶点恰为10,4M ⎛⎫-⎪⎝⎭，求斜率k 的取值范围．二十、（本小题满分13分）如图，下表数阵的每行、每列都是等差数列，,i j a 表示该数表中位于第i 行第j 列的数，（Ⅰ）计算8,5a 的值； （Ⅱ）求,i j a 的计算公式；（Ⅲ）设表中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列{}n b ，是否存在正整数k和m (1k m <<)，使得1,,k m b b b 成等比数列？如果存在,求出,k m ；如果不存在，说明理由.。
北京市中国人民大学附属中学12—13上学期高三数学(理科)模拟考试试卷
人大附中2012届高考适应性练习数学试题(理科)2012.5.27一、选择题1．已知集合2{N 4}A x x =∈<，2{R 230}B x x x =∈--<，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{21<<-x x }D ．{32<<-x x }2．已知复数z 满足z ·(1－i )＝2，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 3．一个几何体的三视图如下，其中主视图和俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是( ) A ．4 B ．8 C ．34D ．38 4．已知向量b a ,满足1=+==b a b a ，则向量b a ,夹角的余弦值为( ) A ．21 B ．－21 C ．23 D ．－23 5．已知数列}{n a 是等差数列，4,843==a a ，则前n 项和n S 中最大的是( ) A ．3S B ．4S 或5S C ．5S 或6SD ．6S6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线方程为x y 2±=，则其离心率为( )A ．5B ．25C ．5或3D ．5或25 7．已知y x ,满足222(1)x y x y y a x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且y x z +=能取到最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．1-<aB ．2≥aC ．21<≤-aD ．1-<a 或2≥a8．已知函数①21)(x x f =，②π()sin 2xf x =，③1ln 21)(+=x x f ，则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是( ) 命题p ：)1(+x f 是偶函数；命题q ：)1(+x f 在(0,1)上是增函数； 命题r ：)(x f 恒过定点(1,1)； 命题s ：21)21(>f ． A ．命题p 、qB ．命题q 、rC ．命题r 、sD ．命题s 、p二、填空题9．5)1(xx -的二项展开式中x 项的系数为__________________________．10．已知直线2)1(:++=x k y l ，圆⎩⎨⎧=+=θθsin 21cos 2:y x C ，则圆心C 的坐标是________；若直线l 与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是________．11．如图，已知PAB 是⊙O 的割线，点C 是PB 的中点，且PA ＝AC ，PT 是⊙O 的切线，TC 交⊙O 于点D ，TC ＝8，CD ＝7，则PT 的长为________________________________．12．如图所示程序框图运行的结果是____________________．13．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 处观测到灯塔A ,B 在一直线上，并与航线成30°角，轮船沿航线前进1000米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45°方向，灯塔B 在北偏东15°方向，则此时轮船到灯C 之间的距离CB 为_______米． 14．若)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对0≥∀x ，总存在正数T ，使得T x f T x f =-+)()(成立，则称)(x f 具有“性质P ”．已知函数)(x g 具有“性质P ”，且)(x g 在[0，T ]上的解析式为)(x g ＝2x ，则(1)常数T ＝__________________________；(2)若当]3,3[T T x -∈时，函数kx x g y -=)(恰有9个零点，则k ＝______． 三、解答题15．(本小题满分13分)已知函数34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f ． (Ⅰ)求函数)(x f 的最大值，并写出相应的x 取值集合；(Ⅱ)令f (α＋3π)＝510，且α(0,π)∈，求tan2α的值．16．(本小题满分14分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，△PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且∠DAB ＝60°，AB ＝2，E 为AD 的中点． (Ⅰ)求证：AD ⊥PB ；(Ⅱ)求二面角A －PD －C 的余弦值；(Ⅲ)在棱PB 上是否存在点F ，使EF ∥平面PDC ？并说明理由．17．(本小题满分13分)如图，某工厂2011年生产的A ,B ,C ,D 四种型号的产品产量用条形图表示，现用分层抽样的方法从中抽取50件样品参加今年五月份的一个展销会． (Ⅰ)问A ，B ，C ，D 型号的产品各抽取了多少件？(Ⅱ)从50件样品中随机抽取2件，求这2件产品恰好是不同型号的产品的概率； (Ⅲ)在50件样品中，从A ，C 两种型号的产品中随机抽取3件，其中A 种型号的产品有X 件，求随机变量X 的分布列和数学期望E (X )． 18．(本小题满分13分)已知函数)1ln(1221)(2+++-=x x mx x f ． (Ⅰ)当23-=m 时，求函数)(x f 的极值点； (Ⅱ)当1≤m 时，曲线)(:x f y C =在点P (0,1)处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求实数m 的范围．19．(本小题满分14分)已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 经过点)23,1(M ，且其右焦点与抛物线x y C 4:22=的焦点F 重合．(Ⅰ)求椭圆1C 的方程；(Ⅱ)直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A 、B 两点，与抛物线2C 相交于C 、D 两点．求CDAB 的最大值．20．(本小题满分13分)已知集合S ＝{1,2,3,...，2011,2012}，设A 是S 的至少含有两个元素的子集，对于A 中的任意两个不同的元素)(,y x y x >，若y x -都不能．．．整除y x +，则称集合A 是S 的“好子集”．(Ⅰ)分别判断数集P ＝{2,4,6,8}与Q ＝{1,4,7}是否是集合S 的“好子集”，并说明理由；(Ⅱ)求集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值；(Ⅲ)设m A A A A ,...,,,321是集合S 的m 个“好子集”，且两两互不包含，记集合i A 的元素个数为),...,2,1(m i k i =，求证：1!(2012)!2012!miii k k =-≤∑中国人民大学附属中学高三模拟考试数学试题(理科)参考答案一、选择题：BAAB BACC 二、填空题： 9．－5；10．(1,0),(－∞，0]； 11．74； 12．10； 13．2500； 14．1，462- 三、解答题：15．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)因为34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f )sin 21(32sin2x x-+= 2分)3π2sin(22cos 32sin+=+=x x x 4分 因为．1)3π2sin(1≤+≤-x所以．)(x f 的最大值为2 6分相应值的集合为π{|4π(Z)}3x x k k =+∈ 7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，2cos 22π21sin 23π)3π(21sin 2)3π(xx x x f =+=++=+．5102cos2=α，所以10102cos =α． 5412cos 2cos 2-=-=αα 10分 又因为)π,0(∈α 所以53cos 1sin 2=-=αα． 43cos sin tan -==ααα． 724tan 1tan 22tan 2-=-=ααα 13分 16．(本小题满分14分)(Ⅰ)证明：连结EB ，在△AEB 中，AE ＝1，AB ＝2，∠EAB ＝60°，∴BE 2＝AE 2＋AB 2－2AE ·AB ·cos60°＝1＋4－2＝3． ∵AE 2＋BE 2＝AB 2， ∴AD ⊥EB 2分∵△PAD 为等边三角形，E 为AB 的中点， ∴AD ⊥PE ． 又EB ∩PE ＝E ． ∴AD ⊥平面PEB ． ∴AD ⊥PB ． 4分 (Ⅱ)∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD，且PE ⊥AD ，∴PE ⊥平面ABCD ， ∴PE ⊥EB ．以点E 为坐标原点，EA ，EB ，EP 为x ，y ，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，则A (1,0,0),B (0,3,0)P (0,0,3),D (－1,0,0),)0,3,1(-==AB DC ．设平面PCD 的一个法向量为),,(z y x n =，则00n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(,,)(0(,,0x y z x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，∴00x x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 令z ＝－1，则3=x ，y ＝1，故)1,1,3(-=n ． 平面PAD 的一个法向量为)0,3,0(=．所以cos 53EB n EB n EB n⋅〈⋅〉===⋅．又二面角A －PD －C 为钝角， ∴二面角A －PD －C 的余弦值为55-． (Ⅲ)假设棱PB 上存在点F ，使EF ∥平面PDC ，设F (0,m ,n )，λ=，则：)3,3,0()3,,0(-=-λn m ，∴λλ33,3-==n m ， ∴)33,3,0(λλ-=． ∵EF ∥平面PDC ，∴⊥，即)33,3,0(λλ-·)1,1,3(-＝0． ∴21,0333==+-λλλ， 故当点F 为PB 的中点时，EF ∥平面PDC ．17．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)从条形图上可知，共生产产品有50＋100＋150＋200＝500(件)，样品比为10150050=，所以，A ,B ,C ,D 四种型号的产品分别取,20200101,10100101=⨯=⨯ 15150101,550101=⨯=⨯， 即样本中应抽取A 产品10件，B 产品20件，C 产品5件，D 产品15件 3分(Ⅱ)从50件产品中任取2件共有C250＝1225种方法，2件恰为同一产品的方法数为C210＋C220＋C25＋C215＝350种．所以2件恰好为不同型号的产品的概率为7512253501=-7分 (Ⅲ)依题意，X 的可能取值为0,1,2,3， 8分则P (X ＝0)＝4551031535=C C P (X ＝1)＝45510031525110=CC C P (X ＝2)＝45522531515210=CC C P (X ＝3)＝455120315310=C C 故X 的分布列为12分 所以EX ＝2455120345522524551001455100=⨯+⨯+⨯+⨯13分 18．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)当23-=m 时，)1ln(1243)(2+++--=x x x x f ， 其定义域为(－1,＋∞)， 1分)1(2273)('2+++-=x x x x f 令,0)('=x f 即02732=++x x 2分 解得2,3121-=-=x x ， 3分经检验，函数)(x f 的极值点为31-4分 (Ⅱ)由题设知，点P (0,1)在曲线C 上且1)0('-=f ，切线l 的方程为1+-=x y ，5分于是方程：)1ln(122112+++-=+-x x mx x 即方程0)1ln(212=++-x x mx 在(－1,＋∞)上有且只有一个实数根； 设)1ln(21)(2++-=x x mx x g ，即求m 的取值使得函数)(x g 在(－1,＋∞)上有且只有一个零点 7分因为0)0(=g ，)1(1)1()('2->+-+=x x xm mx x g ， 所以分以下几种情形讨论： ①当m ＝0时，1)('+-=x xx g ，)(x g 在(－1,0)上递增，在(0,＋∞)上递减， 所以，)(x g 在(－1,＋∞)上有且只有一个零点0 8分②当m ＝1时，01)('2≥+=x x x g ，)(x g 在(－1,＋∞)上递增， 所以，)(x g 在(－1,＋∞)上有且只有一个零点0 9分③当m ＜0时，由01)1()('2=+-+=x xm mx x g 得01=x 或112-=m x ，且111-<-m． 当x 变化时，)('x g 和)(x g 变化如下表：故)(x g 在(－1,＋∞)上有且只有一个零点0 10分④当0＜m ＜1时，由01)1()('2=+-+=x xm mx x g 得01=x 或112-=m x ，且011>-m． 当x 变化时，)('x g 和)(x g 变化如下表：因为，0)1ln()(,0)0()(>+==<mm g g m g ， 所以，必存在)2,1(0mm m x -∈，使0)(0=x g ． 故)(x g 在(－1,＋∞)存在两个零点0和0x ，不符合题意 12分综上，m 的取值范围为(－∞,0]∪{1} 13分19．(本小题满分14分)解：(Ⅰ)解法1：由抛物线方程，得焦点F (1,0)，∴c ＝1 1分故1222==-c b a ① 2分 又椭圆C 1经过点M (1,23)， ∴149122=+b a ② 3分 由①②消去2a 并整理，得：099424=--b b ，解得32=b ，或432-=b (舍去)， 4分 从而42=a ，故椭圆的方程为13422=+y x 5分 解法2：由抛物线方程，得焦点F (1,0)，∴c ＝1．∴4)23()11()23()11(22222=+-+++=a ， ∴3,422==b a ，故椭圆的方程为13422=+y x ． (Ⅱ)①当直线l 垂直于x 轴时，则)2,1(),2,1(),23,1(),23,1(--D C B A ， ∴43=CD AB6分 ②当直线l 与x 轴不垂直，设其斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为)1(-=x k y 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得01248)43(2222=-+-+k x k x k 显然01>∆，∴该方程有两个不等的实数根，设),(),,(2211y x B y x A2221222143)3(4,438k k x x k k x x +-=⋅+=+……8分 所以，2122122212214)(1)()(x x x x k y y x x AB -++=-+-=＝2222222243)1(1243)3(16)438(1kk k k k k k ++=+--+⋅+……10分 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得0)42(2222=++-k x k x k 显然02>∆，∴该方程有两个不等的实数根，设),(),,(4433y x D y x C∵k ≠0，∴24342kx x +=+． 由抛物线的定义，得22243)1(4442kk k x x CD +=+=++= 12分∴22222221213333344(1)3444AB k k k CD k k k k +=⋅==<++++（）. 综上，当直线l 垂直于x 轴时，ABCD 取得最大值43. 14分 20．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)由于4－2＝2整除4＋2＝6，所以集合P 不是集合S 的“好子集”；由于4－1＝3不能整除4＋1＝5，7－1＝6不能整除7＋1＝8，7－4＝3不能整除7＋4＝11，所以集合Q 是集合S 的“好子集” 3分(Ⅱ)设集合)...}(,...,,,{21321n n a a a a a a a A <<<=是集合S 的一个“好子集”．令：)1,...,2,1(1-==-+n i b a a i i i ．由于A 是S “好子集”，所以)1,...,2,1(1-=≠n i b i ，从而)1,...,2,1(2-=≥n i b i ． 若存在某个2=i b ，则此时1+i a 与i a 同奇偶，从而2能整除i i a a ++1与A 是S “好子集”矛盾，故：)1,...,2,1(3-=≥n i b i 5分于是：)1(3...1211-≥+++=--n b b b a a n n从而：201112012)1(31=-≤-≤-a a n n 所以：671≤n另一方面：取}2011,2008,...,7,4,1{=A ，此时集合A 有671个元素，且是集合S 的一个“好子集”，故集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值为671 8分(Ⅲ)将S 的2012个元素1,2,3,...,2012作全排列，其不同的排法总数为2012!个；另一方面：将子集i A 的i k 个元素排在前i k 个位置，子集i A 在S 中的补集的元素排在后2012－i k 个位置，即排成),...,,,,...,,(20122121i i k k y y y x x x -，这样的排列共有i k !(2012－i k )!个，它们全包含在全排列2012!中． 10分以下还要说明：以集合S 的m 个“好子集”m A A A A ,...,,,321中的元素排在前ik个位置，以它们对应的在S 中的补集的元素排在后2012－i k 个位置的各个排列中，在题设条件下，没有两个是相同的．不妨设：f i k k ≤，由条件f i A A ,互不包含，所以f i A A ⊄，所以排列),...,,,,...,,(2012'2'1''2'1'i i k k y y y x x x -中的前面i k 个元素不可能与排列),...,,,,...,,(20122121i i k k y y y x x x -中的前面i k 个元素完全相同，否则就有f i A A ⊆而与条件矛盾．故：!2012)!2012(!1≤-∑=i i mi k k 13分。
北京市师大附中2012届高三下学期开学检测 数学(理)试题
北京师大附中2011-2012学年第二学期高三年级开学检测数学试卷（理科）（本试卷共150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设集合{}4,3,2,1=U ，{}05|2=+-∈=p x x U x M ，若{}3,2=M C U ，则实数p 的值为（ ）A. －4B. 4C. －6D. 6 2. 复数ii z +-=22（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知平面向量)3,1(-=a ，)2,4(-=b ，b a λ+与a 垂直，则λ是（ ）A. 1B. 2C. －2D. －14. 若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）A.32 B.34 C. 2 D. 65. 设直线1l 与2l 的方程分别为0111=++c y b x a 与0222=++c y b x a ，则“01221=-b a b a ”是“21//l l ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 下列命题中（ ）①三点确定一个平面；②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③同时垂直于一条直线的两条直线平行；④底面边长为2，侧棱长为5的正四棱锥的表面积为12。
正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 双曲线13622=-yx的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r yx 相切，则r 等于（ ）A.3B. 2C. 3D. 68. 已知集合},,|),{(Z n b na y n x y x A ∈+===，,153,|),{(2+===m y m x y x B}Z m ∈。
若存在实数a ，b 使得∅≠B A 成立，称点),(b a 为“￡”点，则“￡”点在平面区域}144|),{(22≤+=y x y x C 内的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
2012年北京市各区一模试题分类解析(数学理)(3)导数及其应用
三、导数及其应用12.（2012年海淀一模理12）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中'EQ Q P EP Q =-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 . 答案：(10,20)。
18.（2012年海淀一模理18）已知函数21()e()(0)kxf x x x k k-=+-<.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R . 221'()e()e (21)e [(2)2]kxkx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+，即 '()e(2)(1)(0)kxf x kx x k -=--+<.令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=. 当2k =-时，22'()2e (1)0xf x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,)-??. 当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是2(,)k -∞和(1,)-+∞，单调递减区间是2(,1)k-. 当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和(,)k +∞，单调递减区间是(1,)k-. （Ⅱ）当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -. 理由如下：当2k =-时，()f x 无极大值.当20k -<<时，()f x 的极大值为22241()e ()f kk k-=+， 令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）.当2k <-时，()f x 的极大值为e (1)kf k-=-.因为 2e e k-<，1102k <-<， 所以 2e 1e 2k k --<. 因为221e 3e 2--<，所以 ()f x 的极大值不可能等于23e -. 综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -.18.（2012年西城一模理18）已知函数()e (1)axaf x a x=⋅++，其中1-≥a .（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.解：（Ⅰ）当1a =时，1()e (2)x f x x =⋅+，211()e (2)xf x x x '=⋅+-．由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=． （Ⅱ）2(1)[(1)1]()eaxx a x f x a x++-'=，0x ≠． ① 当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+． ② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a +． ③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间． ④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+．18．（2012年东城一模理18）已知函数221()2e 3e ln 2f x x x x b =+--在0(,0)x 处的切线斜率为零．（Ⅰ）求0x 和b 的值；（Ⅱ）求证：在定义域内()0f x ≥恒成立；(Ⅲ) 若函数()()aF x f x x'=+有最小值m ，且2e m >，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）23e ()2e f x x x'=+-.由题意有0()0f x '=即2003e 2e 0x x +-=，解得0e x =或03e x =-（舍去）． 得(e)0f =即2221e 2e 3e ln e 02b +--=，解得21e 2b =-． 证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知2221e ()2e 3e ln (0)22f x x x x x =+-+>，()f x '23e (e)(3e)2e (0)x x x x x x-+=+-=>． 在区间(0,e)上，有()0f x '<；在区间(e,)+∞上，有()0f x '>． 故()f x 在(0,e)单调递减，在(e,)+∞单调递增， 于是函数()f x 在(0,)+∞上的最小值是(e)0f =． 故当0x >时，有()0f x ≥恒成立．解：(Ⅲ) 23e ()()2e a a F x f x x x x-'=+=++(0)x >．当23e a >时，则23e ()2e 2e a F x x x-=++≥，当且仅当x 时等号成立，故()F x 的最小值2e m =2e >，符合题意；当23e a =时，函数()2e F x x =+在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意；当23e a <时，函数23e ()2e a F x x x-=++在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数a 的取值范围2(3e ,)+∞．18. （2012年丰台一模理18）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（Ⅱ）当a>0时，函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为-2，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，且1122()+2()+2f x x f x x <恒成立，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）当1a =时，2()3ln f x x x x =-+，1()23f x x x'=-+． …1分 因为(1)0f '=，(1)2f =-， …2分 所以切线方程为 2y =-． ……3分（Ⅱ）函数2()(2)ln f x ax a x x =-++的定义域为(0,)+∞．当a>0时，212(2)1()2(2)ax a x f x ax a x x -++'=-++=(0)x >，4分令()0f x '=，即22(2)1(21)(1)()0ax a x x ax f x x x-++--'===， 所以12x =或1x a=． …5分 当101a<≤，即1a ≥时，()f x 在[1,]e 上单调递增， 所以()f x 在[1,e]上的最小值是(1)2f =-； …6分 当11e a <<时，()f x 在[1,e]上的最小值是1()(1)2f f a<=-，不合题意； 当1e a≥时，()f x 在(1,)e 上单调递减， 所以()f x 在[1,e]上的最小值是()(1)2f e f <=-，不合题意． …7分 综上可得 1a ≥． ……8分（Ⅲ）设()()2g x f x x =+，则2()ln g x ax ax x =-+， ……9分只要()g x 在(0,)+∞上单调递增即可．而2121()2ax ax g x ax a x x-+'=-+=， ……10分当0a =时，1()0g x x'=>，此时()g x 在(0,)+∞单调递增； …11分 当0a ≠时，只需()0g x '≥在(0,)+∞恒成立，因为(0,)x ∈+∞，只要22+10ax ax -≥， 则需要0a >，对于函数22+1y ax ax =-，过定点(0,1)，对称轴104x =>，只需280a a ∆=-≤， 即08a <≤． …12分综上可得 08a ≤≤． …13分18.（2012年朝阳一模理18）设函数2e (),1axf x a x R =∈+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间.解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+. （Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax ax ax x a f x ax x a x x -+'==-+++， …5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减.…6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得1x a <,或1x a +>；由()0f x '<得11x a a-+<<.所以函数()f x 单调递增区间是1(,a -∞和1()a ++∞,单调递减区间. ……9分②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. …10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>x <<；由()0f x '<得x <,或x >.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是1(,a +-∞和1()a +∞,单调递增区间11(a a +-.……12分④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.18.（2012年东城11校联考理18）已知函数：)(ln )1()(R a x ax a x x f ∈-+-= ,x x xe e x x g -+=221)(（1） 当[]e x ,1∈时，求)(x f 的最小值；（2）当1<a 时，若存在[]21,e e x ∈,使得对任意的[]()()212,0,2x g x f x <-∈恒成立，求a 的取值范围.解 ：（1）)(x f 的定义域为),0(+∞, )())(1()(2'R a x a x x x f ∈--=当1≤a 时，[]()()x f x f e x .0,,1'≥∈为增函数，()()a f x f -==11min当e a <<1时，[]()()x f x fa x .0,,1'≤∈为减函数，[]()()x f x f e a x .0,,'≥∈为增函数，()()()1ln 1min -+-==a a a a f x f当e a ≥时，[]()()x f x fe x .0,,1'≤∈为减函数，()()()eaa e e f x f -+-==1min ∴综上 当1≤a 时，()=min x f a -1当e a <<1 时 ，()()1ln 1min -+-=a a a x f 当e a ≥时，()()eaa e x f -+-=1min ……6分(2) 若存在[]21,e e x ∈,使得对任意的[]()()212,0,2x g x f x <-∈恒成立，即 min2min 1)()(x g x f <当1<a 时，由（1）可知，[]21,e e x ∈, ()x f 为增函数，∴()()()ea a e e f x f -+-==1min1，()x x x x e x e xe e x x g -=--+=1)(',当[]0,22-∈x 时()x g x g ,0)('≤为减函数，(),10)(min 2==g x g∴,1)1(<-+-eaa e 122+->e e e a∴)1,12(2+-∈e ee a ………13分18.（2012年石景山一模理18）已知函数2()2ln f x x a x =+.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2222'()2a x a f x x x x+=+= …1分 由已知'(2)1f =，解得3a =-. ……3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞； 5分（2）当0a <时2('()x x f x x=.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞. ……8分 （II ）由22()2ln g x x a x x =++得222'()2ag x x x x=-++，……9分 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，即22220ax x x -++≤在[1,2]上恒成立. 即21a x x≤-在[1,2]上恒成立. …11分令21()h x x x =-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x x x=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …14分18.（2012年房山一模18）已知函数mx x x f -+=)1ln()(．（I ）当1m =时，求函数)(x f 的单调递减区间；（II ）求函数)(x f 的极值；（III ）若函数()f x 在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦上恰有两个零点，求m 的取值范围．解：（I ）依题意，函数()f x 的定义域为()+∞-,1， 当1m =时，()ln(1)f x x x =+-，∴1()11f x x'=-+ ………2分 由()0f x '<得1101x -<+，即01x x-<+ 解得0x >或1x <-， 又1x >-，0x ∴>∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞． ………4分（II ）m xx f -+='11)(，)1(->x （1）0≤m 时，0)(≥'x f 恒成立)(x f 在),1(∞+-上单调递增，无极值. ……6分（2）0>m 时，由于111->-m所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛--11,1m 上单调递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,11m 上单调递减， 从而1ln )11()(--=-=m m mf x f 极大值． …9分 （III ）由（II ）问显然可知，当0≤m 时，()f x 在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦上为增函数，∴在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦不可能恰有两个零点． ………10分当0>m 时，由（II ）问知()=f x 极大值1(1)f m-， 又(0)0f =，0∴为()f x 的一个零点． ……11分∴若()f x 在20,1e ⎡⎤-⎣⎦恰有两个零点，只需22(1)01011f e e m ⎧-≤⎪⎨<-<-⎪⎩ 即222(1)011m e m e⎧--≤⎪⎨<<⎪⎩2211m e ∴≤<- ………13分 （注明：如有其它解法，酌情给分）18．（2012年密云一模理18）已知函数()2axf x x e =．（I ）当1a =时，求()f x 在()(1,1)f 处的切线方程；（II ）求函数()f x 的单调区间；（III ）若()f x 在(1,)+∞单调递增，求a 范围.解：（I ）当 1a =时，()2xf x x e =，()2222'()'()'2(2)x x x x x f x x e x e xe x e x x e =+=+=+()'13f e =，()1f e =，故切线方程为3(1)y e e x -=-，即320ex y e --= …4分 （II ）()222'()'()'2(2)ax ax ax ax ax f x x e x e xe ax e x ax e =+=+=+ …5分（1）当0a =时，()'2f x x =，当0x >时，()'0f x >，当0x <时，()'0f x <， 单调增区间为(0,)+∞，单调减区间为(,0)-∞ …6分当0a ≠时，令()'0f x =，得10x =或22x a =-…7分 （2）当0a >时，20a >-， 当2x a <-时，()'0f x >，当20x a-<<时，()'0f x <，当0x >时，()'0f x >， 单调增区间为2(,)a -∞-，(0,)+∞，单调减区间为2(,0)a- …9分 （3）当a<0时，0<a 2-，当x>a 2-时，f '(x)<0，当0<x<a 2-时，f '(x)>0，当x<0时，f '(x)<0， ∴f(x)的单调增区间是(0, a 2-)，单调减区间是(-∞,0)，(a 2-,+∞) …11分 综上：当0a =时，单调增区间为(0,)+∞，单调减区间为(,0)-∞当0a >时，单调增区间为2(,)a -∞-，(0,)+∞，单调减区间为2(,0)a -当0a <时，f(x)的单调增区间是(0, a 2-)，单调减区间是(-∞,0)，(a 2-,+∞) （III ）由（II ）知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递增，满足条件； 12分 当0a <时，单调增区间为(0, a2-)与f(x)在(1,+∞)单调递增不符…13分 综上：a ≥0 …14分18．（2012年门头沟一模理18）已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-．（Ⅰ）当102a <≤时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()24g x x bx =-+，当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，当2[1,2]x ∈时，12()()f x g x ≥恒成立，求实数b 的取值范围．解：（Ⅰ）2/2211(1)()a ax x a f x a x x x --+--=--= …2分 2[(1)](1)(0)ax a x x x ---=->令/()0f x = 得121,1a x x a-== ………3分 当12a =时，()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞上单减 ……4分 当102a <<时，11a a->， 在(0,1)和1(,)a a-+∞上，有()0f x '<，函数()f x 单减， 在1(1,)a a-上， ()0f x '>，函数()f x 单增 ……6分 （Ⅱ）当14a =时，13a a -=，13()ln 144f x x x x =-+- 由（Ⅰ）知，函数()f x 在(0,1)上是单减，在(1,2)上单增 所以函数()f x 在(0,2)的最小值为1(1)2f =-…………8分 若对任意1(0,2)x ∈，当2[1,2]x ∈时，12()()f xg x ≥恒成立， 只需当[1,2]x ∈时，max 1()2g x ≤-即可 所以1(1)21(2)2g g ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，…………11分 代入解得 114b ≥ 所以实数b 的取值范围是11[,)4+∞． ……13分。
2012年海淀区初三数学一模试卷及答案(word版)
海淀区九年级第二学期期中练习数 学2012.5一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1.23的相反数是（ ） A. 23- B. 23C. 32-D.322.2012年第七届原创新春祝福短信微博大赛作品充满了对龙年浓浓的祝福，主办方共收到原创祝福短信作品41 430条，将41 430用科学记数表示应为（ ） A. 341.4310⨯B. 44.14310⨯C. 50.414310⨯D. 54.14310⨯3.如图点A ，B ，C 在⊙O 上，若40C ∠=︒，则AOB ∠=（ ） A. 20︒ B. 40︒ C. 80︒D. 100︒4.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为偶数的概率为（ ）A.16B.13 C. 14 D. 125.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，点D 在CB 上，DE AB ⊥，若2DE =，4CA =，则DB AB =（ ） A. 14 B. 13C. 12D. 236.将代数式241x x +-化为2()x q p ++的形式，正确的是（ ）A. 2(32)x -+B. 2(52)x +-C. 2(42)x ++D. 2(42)x +-7.北京环保检测中心网公布的2012月3月31日的PM 2.5研究性检测部分数据如下表：时间 0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 20：00 PM 2.5(3/mg m )0.0270.0350.0320.0140.0160.032则该日这6个时刻的PM 2.5的众数和中位数分别是（ ） A. 0.032，0.0295B. 0.026，0.0295C. 0.026，0.032D. 0.032，0.0278.下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（ ）A. B. C.D.二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9.函数13x y x +=-的自变量x 的取值范围是____________. 10.分解因式：34x x -=__________________.O CBAED C BA 150 °hDC11.右图是某超市一层到二层滚梯示意图，其中AB ，CD 分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，150ABC ∠=︒，BC 的长约为12米，则乘滚梯从点B 到C 上升的高度h 约为______米12.在平面直角坐标系xOy 中，正方形111A B C O 、2221A B C B 、3332A B C B ，…，按图中所示的方式放置。
人大附中2012届数学高考适应性练习(三模)试题及答案
数学试题（理科）
一、选择题
1.
2012.5.27
已知集合 A= x ∈ N | x 2 < 4 ，B＝ x ∈ R | x 2 − 2 x − 3 < 0 ，则 A I B ＝（ B ） A. {－1，0，1} C. { x | −1 < x < 2} B. {0，1} D. { x | −2 < x < 3} B. 1 − i C. −1 + i D. −1 − i
3 . 5
……………………………13 分
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16. (本小题满分 14 分) 如图所示，在四棱锥 P − ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，△ PAD 为等边三角形， 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，且∠ DAB =60°, AB = 2 ， E 为 AD 的中点. （Ⅰ）求证： AD ⊥ PB ； （Ⅱ）求二面角 A − PD − C 的余弦值； （Ⅲ）在棱 PB 上是否存在点 F ，使 EF ∥平面 PDC ？并说明理由． 16. （Ⅰ）证明：连结 EB，在△AEB 中，AE=1，AB=2， ∠ EAB =60°，
P ( X = 2) =
2 1 3 C10 C5 C10 225 120 ， ( ) = P X = 3 = = 3 3 455 C15 C15 455
故 X 的分布列为 P X 0 1 2 3
10 455
பைடு நூலகம்
100 455
225 455
120 455
……………………………12 分 ………………………13 分
1 2
1 ． 2
B．命题 q、r C．命题 r、s D．命题 s、p
2012-2013北京市海淀区高三数学一模试题和答案
2012-2013北京市海淀区高三数学一模试题和答案海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为2()2cos )f x x x =--22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin 2)x x =-+- (2)分2= 12sin 2x x -+cos22x x = ………………4分π= 2sin(2)6x + ………………6分所以πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==………………7分 9． 0 10． 14 11.24512．3, 13．491a <≤ 14． 2,(21,2), Z k k k -∈所以 ()f x 的周期为2π2π= π||2T ω== ………………9分 （II ）当ππ[,]63x ∈-时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当π6x =-时，函数取得最小值π()16f -=- ………………11分 当π6x =时，函数取得最大值π()26f = ………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人 ………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯= ………………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………7分 （Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20 ………………8分2621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为………………11分 所以1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865………………13分17.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点，所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥ ………………1分 又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥ ………………2分 又PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ………………3分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥ ………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM =………………5分 在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =120CDA ∠=，所以DM =:3:1BM MD = ………………6分 在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，PB =所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，y所以(4,0,0),(0,0,4)B C D P由（Ⅱ）可知，(4,DB=为平面PAC的法向量………………10分4)PC=-，(4,0,4)PB=-设平面PBC的一个法向量为(,,)n x y z=,则n PCn PB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240440x zx z⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令3,z=则平面PBC 的一个法向量为(3,3,3)n=………………12分设二面角A PC B--的大小为θ，则7cosn DBn DBθ⋅==⋅所以二面角A PC B--………………14分18. 解：（I）因为2()ln,f x x ax bx=++所以1()2f x ax bx'=++………………2分因为函数2()lnf x x ax bx=++在1x=处取得极值(1)120f a b'=++=………………3分当1a=时，3b=-，2231()x xf xx-+'=，'(),()f x f x随x的变化情况如下表：………………5分所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，）单调递减区间为1(,1)2………………6分(II)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………7分 因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分 当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得 而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =- ………………11分当11e 2a ≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a上单调递增 所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a<=<矛盾 ………………12分 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾综上所述，12a e =-或 2a =-.………………13分 1９.（本小题满分14分） 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，因为a =，2c a =，所以1c =， 所以1b =. 所以椭圆C ：2212x y += ………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩ 所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122212x x k =-+ ………………6分ABGH所以AB==………………7分点M0）到直线l的距离d=则GH=………………9分显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y kx=就是y轴，矛盾，所以要使AG BH=，只要AB GH=所以222228(1)24()121k krk k+=-++22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k krk k k k k k+++=+==+++++++………………11分当0k=时，r=………………12分当0k≠时，242112(1)2(1)31322rk k=+<+=++又显然24212(1)2132rk k=+>++,<综上，r≤<………………14分20.解：（Ⅰ）因为x∆+=3(,y x y∆∆∆为非零整数）故1,2x y∆=∆=或2,1x x∆=∆=，所以点P的相关点有8个………………2分又因为22()()5x y ∆+∆=，即221010()()5x x y y -+-= 所以这些可能值对应的点在以0P上 ………………4分（Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合则 1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=，1-1221100()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y--=-+-++-+-+= 即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------ 两式相加得 1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*） 因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以n 一定为偶数 ………………8分（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =，依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=，因为0n i i T x===∑012n x x x x ++++112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆ 121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆………………10分因为有3i i x y ∆∆=+，且 i i x y ∆∆，为非零整数，所以当2i x ∆=的个数越多，则 T 的值越大，而且在123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆ 这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大 而当i y ∆取值为1或1-的次数最多时，i x ∆取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当 100n =时，令所有的i y ∆都为1，i x ∆都取2，则1012(12100)10201T =++++=. 当100n >时，若*2(50,)n k k k =>∈N ，此时，i y ∆可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ∆可都取2，()S n 达到最大 此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++.若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ∆=,其余的i y ∆中有49k -个1-，49k +个1.相应的，对于i x ∆，有1n x ∆=,其余的都为2，则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+当50100n ≤<时，令 1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+-((100)(99)1)n n +-+-+2205100982n n +-= 综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数. ………………13分。
2012届北京市海淀区高三期末数学理科试题(WORD精校版)
北京市海淀区2012届高三上学期期末考试试题数 学（理）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数52i=+ ( ) （A ）2i - （B ）21i 55+ （C ）105i - （D ）105i 33- （2）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点.那么=EF（A ）1123AB AD-（B ）1142AB AD+（C ）1132AB DA+（D ）1223AB AD-（3）若数列{}n a 满足：119a =，13(*)n n a a n +=-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9（4）已知平面α，β，直线l ，若αβ^，l αβ= ，则（A ）垂直于平面β的平面一定平行于平面α （B ）垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α （C ）垂直于平面β的平面一定平行于直线l （D ）垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直（5）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+ R 的部分图象如图所示，那么(0)f = （ ）（A ）12-（B）2-（C ）1- （D）-（6）执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（7）已知函数2()cos sin f x x x =+，那么下列命题中假命题．．．是 （ ） （A ）()f x 既不是奇函数也不是偶函数 （B ）()f x 在[,0]π-上恰有一个零点（C ）()f x 是周期函数 （D ）()f x 在(,2π5π)6上是增函数（8）点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是 （ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）直线 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）51)的展开式中2x 的系数是 . （用数字作答）（10）若实数,x y 满足40,20,250,x y x y x y ì+- ïïï-- íïï+- ïïî则2z x y =+的最大值为 .（11）抛物线2x ay =过点1(1,)4A ，则点A 到此抛物线的焦点的距离为 .甲城市 乙城市（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C ：22(1)2x y -+=，过点(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:3的两段圆弧，则直线l 的方程为 . （14）已知正三棱柱'''ABC A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为 ；最小正周期为 .8,3π说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，sin 3B =. （Ⅰ）求cos A 及sinC 的值； （Ⅱ）若2b =，求ABC ∆的面积.9 0 8 7 7 3 1 2 4 72 2 0 4 7侧（左）视图正（主）视图(16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. （Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.(17)（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90ABC ? ，2AB PB PC BC CD ====，平面PBC ^平面ABCD .（Ⅰ）求证：AB ^平面PBC ；（Ⅱ）求平面PAD 和平面BCP 所成二面角（小于90°）的大小； （Ⅲ）在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？若存在，求PMPB的值；若不存在，请说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数.PABC D(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.(19)（本小题满分14分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1),Q 为椭圆C 的左顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.(20)（本小题满分14分）已知集合{1,2,3,,}(*)M n n = N ，若集合12{,,,}(*)m A a a a M m =臀N ，且对任意的b M Î，存在,(1)i j a a A i jm 危＃，使得12i j b a a λλ=+（其中12,{1,0,1}λλ?），则称集合A 为集合M 的一个m 元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由； ①{1,5}A =，{1,2,3,4,5}M =；②{2,3}A =，{1,2,3,4,5,6}M =.（Ⅱ）若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：(1)m m n + ；（Ⅲ）若集合A 为集合{1,2,3,,19}M = 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A .参考答案及评分标准 2012．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案ADBDCABD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）5 （10）7 （11）54（12）乙，乙（13）(1)3y x =+或(1)3y x =-+ （14）8；3π注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分因为sin B =， 所以11cos 1233A =-?. ………………………………………3分 由题意可知，(0,)2B πÎ.所以cos B =………………………………………5分因为sin sin 22sin cos A B B B ===.………………………………………6分 所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+=. ………………………………………8分 （Ⅱ）因为sin sin b aB A=，2b =， ………………………………………10分=.所以3a =. ………………………………………11分所以1sin 29ABC S ab C ∆==. ………………………………………13分 (16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则()23!15!10P A ⨯==. ………………………………………4分 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.………………………………………5分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3. ………………………………………6分()24!205!5P X ⨯===， ()323!315!10P X ⨯⨯===，()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯===，()23!135!10P X ⨯===. ………………………………………10分随机变量X 的分布列为：因为 01231510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以 随机变量X 的数学期望为1. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 90ABC? ，所以 AB BC ⊥. ………………………………………1分 因为 平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，AB Ì平面ABCD ，所以 AB ^平面PBC . ………………………………………3分 （Ⅱ）解：取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB PC =， 所以 PO BC ⊥.因为 平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，PO Ì平面PBC ， 所以 PO ^平面ABCD . ………………………………………4分 如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．不妨设2BC =.由 直角梯形ABCD 中2AB PB PC BC CD ====可得P ，(1,1,0)D -，(1,2,0)A .所以(1,DP =- ，(2,1,0)DA =.设平面PAD 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.DP DAìï?ïíï?ïî m m所以(,,)(1,0,(,,)(2,1,0)0,x y z x y z ìï?=ïíï?ïî即0,20.x y x y ìï-+=ïíï+=ïî 令1x =，则2, y z =-=-所以(1,2,=--m . ………………………………………7分取平面BCP 的一个法向量n ()0,1,0=. 所以cos ,⋅==m n m n m n . 所以 平面ADP 和平面BCP 所成的二面角（小于90°）的大小为4π. ………………………………………9分 （Ⅲ）解：在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面PAD ，此时12PM PB =. 理由如 下： ………………………………………10分 取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN . 则 MN ∥PA ，12AN AB =. 因为 2AB CD =，NMPABCD所以 AN CD =. 因为 AB ∥CD ，所以 四边形ANCD 是平行四边形. 所以 CN ∥AD .因为 , MN CN N PA AD A == ，所以 平面MNC ∥平面PAD . ………………………………………13分 因为 CM Ì平面MNC ，所以 CM ∥平面PAD . ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由2()e ()xf x x ax a =+-可得2'()e [(2)]xf x x a x =++. ………………………………………2分 当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………5分 （Ⅱ） 令2'()e ((2))0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………6分 当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以 方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根.………………………………………8分当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2((2))ea f a +-+=. ………………………………………10分 因为 函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数， 且当x a ≥-时，有()f x e ()aa a -≥->-. ………………………………………11分所以 要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]e a a a ++-. ……………………………………13分 (19)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222a b c =+.由题意可知：1b =，2c a =. ………………………………………2分 所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ……………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-. 由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即6464(,), (,)5555A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.………………………………………5分则直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-. 因为 1AQ BQ k k ⋅=-， 所以 AQ BQ ^.所以 2AQB π∠=. ………………………………………6分 （ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5y k x k =+≠.由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为 点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>. 21222122240,25100144100.25100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………8分 因为 1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+ ，116()5y k x =+，226()5y k x =+，所以 1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+ 2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k =++++++ 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+++-++=++. 所以 QA QB ⊥.所以 QAB ∆为直角三角形. ………………………………………11分 假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA QB =取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ^.记点6(,0)5-为N . 另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520M x x k k x k k+==-=-++， 所以 点M 的纵坐标266()5520M M ky k x k=+=+. 所以 222221016666(,)(,)520520520520k k k QM NMk k k k+? ++++222601320(520)k k += +. 所以 QM 与NM不垂直，矛盾.所以 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.………………………………………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）①{1,5}A =不是{1,2,3,4,5}M =的一个二元基底.理由是 1212315(,{1,0,1})λλλλ棺+孜-；②{2,3}A =是{1,2,3,4,5,6}M =的一个二元基底. 理由是 11213,21203,30213=-????? ， 41212,51213,61313=????? .………………………………………3分 （Ⅱ）不妨设12m a a a <<< ，则 形如10i j a a ? (1)ij m ＃ 的正整数共有m 个； 形如11ii a a ? (1)im ＃的正整数共有m 个；形如11i j a a ? (1)ij m ? 的正整数至多有2mC 个； 形如(1)1i j a a -? (1)ij m ? 的正整数至多有2mC 个. 又集合{1,2,3,,}M n = 含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底. 故22m m m m C C n +++ ，即(1)m m n + . ………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知(1)19m m + ，所以4m ³.当4m =时，(1)191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设1234{,,,}A a a a a =为{1,2,3,,19}M = 的一个4元基底， 不妨设1234a a a a <<<，则410a ³. 当410a =时，有39a =，这时28a =或7.如果28a =，则由1109,198,1899,18108=-=-=+=+，与结论*矛盾. 如果27a =，则16a =或5.易知{6,7,9,10A =和{5,7,9,10}A =都不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾. 当411a =时，有38a =，这时27a =，16a =，易知{6,7,8,11}A =不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾.当412a =时，有37a =，这时26a =，15a =，易知{5,6,7,12}A =不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾.当413a =时，有36a =，25a =，14a =，易知{4,5,6,1A =不是{1,2,3,,1M = 的4元基底，矛盾. 当414a =时，有35a =，24a =，13a =，易知{3,4,5,1A =不是{1,2,3,,M = 的4元基底，矛盾.当415a =时，有34a =，23a =，12a =，易知{2,3,4,1A =不是{1,2,3,,1M = 的4元基底，矛盾. 当416a =时，有33a =，22a =，11a =，易知{1,2,3,16}A =不是{1,2,3,,M = 的4元基底，矛盾.当417a ³时，A 均不可能是M 的4元基底.当5m =时，M 的一个基底{1,3,5,9,16}A =；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，m 的最小可能值为5. ………………………………………14分。
2012海淀高三上学期理科数学期末试卷B版(带答案)
2012海淀高三上学期理科数学期末试卷B版（带答案）海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2013.1 本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数化简的结果为 A. B. C.D. 2.已知直线（为参数）与圆（为参数），则直线的倾斜角及圆心的直角坐标分别是 A. B. C. D. 3.向量 , 若 ,则实数的值为A. B. C. D. 4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的为，则输出的的值分别为 A. B. C. D. 5.如图，与圆相切于点，直线交圆于两点，弦垂直于 . 则下面结论中，错误的结论是Ａ. ∽ B. C. D. 6.数列满足（且），则“ ”是“数列成等差数列”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 用数字组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为 A. B. C. D. 8. 椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 以为渐近线且经过点的双曲线方程为______.10.数列满足且对任意的，都有，则的前项和 _____. 11. 在的展开式中，常数项为______.(用数字作答) 12. 三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_________. 13. 点在不等式组表示的平面区域内，若点到直线的最大距离为，则14. 已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上运动，且（），记点的轨迹的长度为，则 ______________;关于的方程的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数，三个内角的对边分别为 . （I）求的单调递增区间；（Ⅱ）若，求角的大小.16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表: A型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 5 10 30 35 15 3 2 B型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 14 20 20 16 15 10 5（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由. 17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，是中点. （I）求证：平面；（II）若棱上存在一点，满足，求的长；（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. （本小题满分13分）已知函数（I）当时,求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间.19. （本小题满分14分）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点 . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知为原点，求证：为定值.20. （本小题满分13分）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为. (Ⅰ)已知函数，若且，求实数的取值范围；(Ⅱ)已知，且的部分函数值由下表给出，求证：；(Ⅲ)定义集合请问：是否存在常数，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准 2013．1 说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A B D A C D 9． 10． 11.12． 13． 14．二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I）因为………………6分又的单调递增区间为，所以令解得所以函数的单调增区间为，………………8分(Ⅱ) 因为所以，又，所以，所以………………10分由正弦定理把代入，得到………………12分又，所以，所以………………13分16.（本小题满分13分）解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为这辆汽车是A型车的概率为0.6 ………………3分（II）设“事件表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为天”，“事件表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为天”，其中则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为………………5分………………7分该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为………………9分（Ⅲ）设为A型车出租的天数，则的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 0.05 0.10 0.30 0.35 0.15 0.03 0.02设为B型车出租的天数，则的分布列为1 4 5 6 7 0.14 0.20 0.20 0.16 0.15 0.10 0.05 (12)分一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的方差,综合分析，选择A 类型的出租车更加合理. ………………13分17.（本小题满分14分） (I) 连接交于点，连接因为为正方形，所以为中点，又为中点，所以为的中位线，所以..................2分又平面，平面所以平面 (4)分（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系所以设，所以，因为，所以，解得，所以………………8分（Ⅲ）因为，设平面的法向量为，则有，得，令则，所以可以取，………………10分因为平面 ,取平面的法向量为………………11分所以………………13分平面与平面所成锐二面角的余弦值为………………14分 18. （本小题满分13分）解：当时，，………………2分又，，所以在处的切线方程为………………4分（II）当时，又函数的定义域为所以的单调递减区间为………………6分当时，令，即，解得………………7分当时，，所以，随的变化情况如下表：无定义 0 极小值所以的单调递减区间为，，单调递增区间为………………10分当时，所以，随的变化情况如下表：0 无定义极大值所以的单调递增区间为，单调递减区间为，………………13分 19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）将代入，得所以抛物线方程为，焦点坐标为………………3分（Ⅱ）设，，，法一：因为直线不经过点，所以直线一定有斜率设直线方程为与抛物线方程联立得到，消去，得：则由韦达定理得：………………6分直线的方程为：，即，令，得………………9分同理可得：………………10分又，所以..................13分所以，即为定值..................14分法二：设直线方程为与抛物线方程联立得到，消去，得：则由韦达定理得：..................6分直线的方程为：，即，令，得..................9分同理可得： (10)分又， (12)分所以，即为定值………………13分20. （本小题满分14分）解：（I）因为且，即在是增函数，所以………………1分而在不是增函数，而当是增函数时，有，所以当不是增函数时，综上，得………………4分(Ⅱ) 因为，且所以，所以，同理可证，三式相加得所以..................6分因为所以而，所以所以 (8)分(Ⅲ) 因为集合所以，存在常数，使得对成立我们先证明对成立假设使得，记因为是二阶比增函数，即是增函数. 所以当时，，所以所以一定可以找到一个，使得这与对成立矛盾………………11分对成立所以，对成立下面我们证明在上无解假设存在，使得，则因为是二阶增函数，即是增函数一定存在，，这与上面证明的结果矛盾所以在上无解综上，我们得到，对成立所以存在常数，使得，，有成立又令，则对成立，又有在上是增函数，所以，而任取常数，总可以找到一个，使得时，有所以的最小值为0 ………………13分。
人大附中2012届初三第二学期数学练习2
2012.3．30.考生须知须知 1．本试卷共8页，共五道大题，页，共五道大题，2525个小题，满分120分,考试时间90分钟分钟. .2．试题答案一律书写在答题纸上．试题答案一律书写在答题纸上. . 3-x 某学校课外兴趣小组为了了解所在学校的学生对体育运动的爱好情况，设计了四种不同图1 7．英语口语比赛中，要从35名参加比赛的学生中，录取前18名学生参加复赛．李迎同学知道了自己的分数后，想判断自己能否进入复赛，只需要再知道参赛的35名同学分数的名同学分数的 A ．最高分数．最高分数 B ．平均数．平均数 C ．众数．众数 D ．中位数．中位数8． 矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，E 从B 点出发在BA 边上，沿BA 方向以每秒1个单位的速度运动，F 到B 点距离为1，且点F 与点E 同时出发，以相同的速度沿BC 方向运动，设矩形EBFG 的面积为y ，则y 与运动时间x 之间的函数关系图象是之间的函数关系图象是二、填空题（本题共16分，每小题4分．）9．若关于x 的一元二次方程的一元二次方程 052=+-m x x 有实数根有实数根, , , 则则m 的取值范围是的取值范围是 . . 1010．若圆锥的底面半径为．若圆锥的底面半径为6cm 6cm，高为，高为8cm 8cm，则这个圆锥的侧面积是，则这个圆锥的侧面积是，则这个圆锥的侧面积是 cm cm 2.1111．如图，直线．如图，直线y=k 1x 与双曲线xk y 2=交于A 、B 两点，那么点B 的坐标是_______. 12.3012.30°角的直角△°角的直角△°角的直角△ABC ABC 中，∠中，∠B=30B=30B=30°，∠°，∠°，∠BAC=90BAC=90BAC=90°，°，°，AC=1AC=1AC=1，，............,,32211BCA A AB A A BC AA ^^^，第2个三角形的面积为个三角形的面积为 ；第；第2012个三角形的面积为个三角形的面积为 ；；题号 1 2 3 4 5 6 7 8 题号答案答案题号 9 10 11 12 题号答案答案2-图7 1717．已知关于．已知关于x 的方程x 2＝（＝（22m ＋2）x －（m 2＋4m －3）中的m 为不小于0的整数，并且它的两实根的符号相反，求m 的值，并解方程．的值，并解方程．1818．．已知：已知：如图如图8，梯形ABCD 中，中，AD AD AD∥∥BC BC，，∠B=90B=90°，°，°，AD=DC=2AD=DC=2AD=DC=2，，∠ADC=120ADC=120°，°，°，求梯形求梯形ABCD 的周长的周长. .四、解答题（本题共20分，第19题4分，第20题５分，第21题6分，第22题5分．） 19.19.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与直线与直线 y= -2x y= -2x 关于y 轴对称，直线l 与反比例函数xk y =的图象的一个交点为M(3, m), M(3, m), 试确定反比例函数的解析式．试确定反比例函数的解析式．试确定反比例函数的解析式．20. 20. 现从我市区近期卖出的不同面积的商品房中现从我市区近期卖出的不同面积的商品房中现从我市区近期卖出的不同面积的商品房中 随机抽取随机抽取1000套进行统计，并根据结果绘出套进行统计，并根据结果绘出 如图所示的统计图，请结合图中的信息，如图所示的统计图，请结合图中的信息，如图所示的统计图，请结合图中的信息， 解答下列问题：解答下列问题：解答下列问题：(l (l）卖出面积为）卖出面积为110-130m 2，的商品房有，的商品房有套，并在右图中补全统计图；套，并在右图中补全统计图；套，并在右图中补全统计图； (2(2）从图中可知，卖出最多的商品房约占全部）从图中可知，卖出最多的商品房约占全部）从图中可知，卖出最多的商品房约占全部 卖出的商品房的卖出的商品房的卖出的商品房的 %; %;(3(3）假如你是房地产开发商，根据以上提供的信息，你）假如你是房地产开发商，根据以上提供的信息，你会多建住房面积在什么范围内的住房？为什么？会多建住房面积在什么范围内的住房？为什么？图8 2121．如图，以等边△．如图，以等边△ABC 边为直径的半圆⊙O 交AC 、BC 于D 、E ，过D 做DF ⊥BC 于F ，FH ⊥AB 于H ，（1）猜想DF 与圆的位置关系，并证明你的结论；与圆的位置关系，并证明你的结论； （2）若AC 的长为4，求四边形DOHF 的周长．的周长．2222．小明用多种方法，把．小明用多种方法，把3030°角对的边为°角对的边为1的直角三角形纸片，裁剪成四个等腰三角形纸片（无剩余），他在图1中画出了一种剪裁方法，中画出了一种剪裁方法， （1）填空：③号三角形纸片周长为）填空：③号三角形纸片周长为= = = ；；（2）请你在图2、图3、图4中帮小明再画出三种剪裁方法；中帮小明再画出三种剪裁方法；（3）在小明的所有裁剪方法中，剪裁出的面积最大的等腰三角形纸片面积为剪裁出的面积最大的等腰三角形纸片面积为 ；；五、解答题（本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分．）23. 函数c bx x y ++-=21（0³x ）的图象经过点M （1，0）、N （3，0），交y 轴于C 点，顶点为A ，（1）则C 点坐标为点坐标为 C （ ， ）； （2）函数n mx ax y ++=22与c bx x y ++-=21的图象关于x 轴对称，顶点为B ，P 为1y 上一点，且△上一点，且△PCM PCM 的面积和四边形AMBN 的面积相等，求P 点到y 轴的距离；轴的距离； （3）若直线3-+=p kx y 过C 点，且与1y 、2y 共有3个交点，直接写出k 的取值范围.24．已知：已知：平行四边形平行四边形ABCD ，∠C=60°，AB=a ，BC=b ，以AD 、BD 为边作等边△ADE 和△BDF ，（1）除等边△ADE 和△BDF 外，还有外，还有 是等边三角形；是等边三角形； （2）若△BEG 面积比△CGD 面积大2433a ，a 与b 的关系为的关系为 ； （3）图中△ABH 、△BEG 和△DHF 之间的面积关系是什么，说明理由．之间的面积关系是什么，说明理由．为；7+上一动点，求。
2012海淀高三上学期理科数学期末试卷B版(带答案)
2012海淀高三上学期理科数学期末试卷B版（带答案）海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2013.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.复数化简的结果为A.B.C.D.2.已知直线（为参数）与圆（为参数），则直线的倾斜角及圆心的直角坐标分别是A.B.C.D.3.向量,若,则实数的值为A.B.C.D.4.某程序的框图如图所示,执行该程序，若输入的为，则输出的的值分别为A.B.C.D.5.如图，与圆相切于点，直线交圆于两点，弦垂直于.则下面结论中，错误的结论是Ａ.∽B.C.D.6.数列满足（且），则“”是“数列成等差数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.用数字组成数字可以重复的四位数,其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A.B.C.D.8.椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是A.B.C.D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.以为渐近线且经过点的双曲线方程为______.10.数列满足且对任意的，都有，则的前项和_____.11.在的展开式中，常数项为______.(用数字作答)12.三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_________.13.点在不等式组表示的平面区域内，若点到直线的最大距离为，则14.已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上运动，且（），记点的轨迹的长度为，则______________;关于的方程的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数，三个内角的对边分别为.（I）求的单调递增区间；（Ⅱ）若，求角的大小.16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，是中点.（I）求证：平面；（II）若棱上存在一点，满足，求的长；（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知函数（I）当时,求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间.19.（本小题满分14分）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知为原点，求证：为定值.20.（本小题满分13分）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.(Ⅰ)已知函数，若且，求实数的取值范围；(Ⅱ)已知，且的部分函数值由下表给出，求证：；(Ⅲ)定义集合请问：是否存在常数，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准2013．1说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案ACABDACD9．10．11.12．13．14．二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I）因为………………6分又的单调递增区间为，所以令解得所以函数的单调增区间为，………………8分(Ⅱ)因为所以，又，所以，所以………………10分由正弦定理把代入，得到………………12分又，所以，所以………………13分16.（本小题满分13分）解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为这辆汽车是A型车的概率为0.6………………3分（II）设“事件表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为天”，“事件表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为天”，其中则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为………………5分………………7分该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为………………9分（Ⅲ）设为A型车出租的天数，则的分布列为12345670.050.100.300.350.150.030.02设为B型车出租的天数，则的分布列为145670.140.200.200.160.150.100.05………………12分一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天.从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的方差,综合分析，选择A类型的出租车更加合理.………………13分17.（本小题满分14分）(I)连接交于点，连接因为为正方形，所以为中点，又为中点，所以为的中位线，所以………………2分又平面，平面所以平面………………4分（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系所以设，所以，因为，所以，解得，所以………………8分（Ⅲ）因为，设平面的法向量为，则有，得，令则，所以可以取，………………10分因为平面,取平面的法向量为………………11分所以………………13分平面与平面所成锐二面角的余弦值为………………14分18.（本小题满分13分）解：当时，，………………2分又，，所以在处的切线方程为………………4分（II）当时，又函数的定义域为所以的单调递减区间为………………6分当时，令，即，解得………………7分当时，，所以，随的变化情况如下表：无定义极小值所以的单调递减区间为，，单调递增区间为………………10分当时，所以，随的变化情况如下表：无定义极大值所以的单调递增区间为，单调递减区间为，………………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将代入，得所以抛物线方程为，焦点坐标为………………3分（Ⅱ）设，，，法一：因为直线不经过点，所以直线一定有斜率设直线方程为与抛物线方程联立得到，消去，得：则由韦达定理得：………………6分直线的方程为：，即，令，得………………9分同理可得：………………10分又，所以………………13分所以，即为定值………………14分法二：设直线方程为与抛物线方程联立得到，消去，得：则由韦达定理得：………………6分直线的方程为：，即，令，得………………9分同理可得：………………10分又，………………12分所以，即为定值………………13分20.（本小题满分14分）解：（I）因为且，即在是增函数，所以………………1分而在不是增函数，而当是增函数时，有，所以当不是增函数时，综上，得………………4分(Ⅱ)因为，且所以，所以，同理可证，三式相加得所以………………6分因为所以而，所以所以………………8分(Ⅲ)因为集合所以，存在常数，使得对成立我们先证明对成立假设使得，记因为是二阶比增函数，即是增函数.所以当时，，所以所以一定可以找到一个，使得这与对成立矛盾………………11分对成立所以，对成立下面我们证明在上无解假设存在，使得，则因为是二阶增函数，即是增函数一定存在，，这与上面证明的结果矛盾所以在上无解综上，我们得到，对成立所以存在常数，使得，，有成立又令，则对成立，又有在上是增函数，所以，而任取常数，总可以找到一个，使得时，有所以的最小值为0………………13分。
2012届海淀区高三年级二模试题数学理
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理科）2012.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若sin cos 0θθ<，则角θ是 （A ）第一或第二象限角 （B ）第二或第三象限角 （C ）第三或第四象限角 （D ）第二或第四象限角 （2）已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是 （A ）0x ∀∈R ，021x ≠ （B ）0x ∀∉R ，021x ≠ （C ）0x ∃∈R ，021x ≠（D ）0x ∃∉R ，021x ≠（3）直线11x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的倾斜角的大小为（A ）4-π （B ）4π （C ）2π（D ）34π （4）若整数,x y 满足1,1,3,2x y x y y ìïïï- ïïï+íïïïï£ïïî则2x y +的最大值是 （A ）1（B ）5（C ）2 （D ）3（5）已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D）（6）为了得到函数2log y =2log y x =的图象上所有的点的（A ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度（C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度（D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（A ）203（B ）43（C ）6 （D ）4（8）点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ∆的周长有最小值4+；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于14的概率是_________．（10）已知1021012311(1)x a a x a x a x +=++++ . 若数列123,,,,(111,)k a a a a k k ＃ Z 是一个单调递增数列，则k 的最大值是 . （11）在ABC ∆中，若120A ? ，5c =，ABC ∆的面积为，则a = .（12）如图，O 的直径AB 与弦CD 交于点P ，7, 5, 15CP PD AP ===，则DCB Ð＝______.俯视图主视图B（13）某同学为研究函数()1)f x x=＃的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()AP PF f x +=. 请你参考这些信息，推知函数()f x 的图象的对称轴是 ；函数()4()9g x f x =-的零点的个数是 .（14）曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹. 则曲线C 与y 轴交点的坐标是 ；又已知点(,1)B a （a 为常数），那么PB PA +的最小值()d a = .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知公差不为０的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346S a =+，且1413,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1{}nS 的前n 项和公式. (16)（本小题满分14分）如图所示，PA ^平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，30CBA ? ，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在 AB 上，且OM ∥AC ．（Ⅰ）求证：平面MOE ∥平面P AC ； （Ⅱ）求证：平面P AC ^平面PCB ；（Ⅲ）设二面角M BP C --的大小为θ，求cos θ的值．(17)（本小题满分13分）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A ,B 两个项目可供选择： (1)投资A 项目一年后获得的利润X 1(万元)的概率分布列如下表所示：MEBOCAPEFAB C DP且X 1的数学期望E (X 1)=12；(2)投资B 项目一年后获得的利润X 2(万元)与B 项目产品价格的调整有关， B 项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p (0< p <1)和1-p . 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数X (次)与X 2的关系如下表所示：（Ⅱ）求X 2的分布列；（Ⅲ）若E (X 1)< E (X 2)，则选择投资B 项目，求此时 p 的取值范围.(18)（本小题满分13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(-在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=- 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分14分）已知函数21()ln()(0)2f x a x a x x a =--+<. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+； （Ⅲ）当45a =-时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=都有21()()f x f x m -≥成立，求实数m 的最大值.（本题可参考数据：99ln 20.7,ln 0.8,ln 0.5945≈≈≈）(20)（本小题满分13分）将一个正整数n 表示为12(*)p a a a p +++ N 的形式，其中*i a ÎN ，1,2,,i p = ，且p a a a ≤≤≤ 21，记所有这样的表示法的种数为)(n f （如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故5)4(=f ）. （Ⅰ）写出)5(),3(f f 的值，并说明理由；（Ⅱ）对任意正整数n ，比较)1(+n f 与)]2()([21++n f n f 的大小，并给出证明； （Ⅲ）当正整数6≥n 时，求证：134)(-≥n n f ．海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准 2012．05一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）12（10）６ （11 （12）45° （13）12x =；2 （14）(0,±； 1.41,4, 1.41,2, 1 1.a a a a a a ìï? ïïï+-<?íïï--<<ïïïî或注：（13）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为0d ¹.因为346S a =+， 所以11323362da a d 创+=++. ① ……………………………………3分因为1413,,a a a 成等比数列，所以2111(12)(3)a a d a d +=+. ② ……………………………………5分 由①，②可得：13,2a d ==. ……………………………………6分 所以21n a n =+. ……………………………………7分 （Ⅱ）由21n a n =+可知：2(321)22n n nS n n ++ ==+.……………………………………9分所以11111()(2)22n S n n n n ==-++. ……………………………………11分 所以123111111n nS S S S S -+++++11111111111()2132435112n n n n =-+-+-++-+--++ 21111135()212124(1)(2)n nn n n n +=+--=++++. 所以数列1{}n S 的前n 项和为2354(1)(2)n n n n +++.……………………………………13分(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以 OE ∥PA . ……………………………………1分 因为 PA Ì平面PAC ，OE Ë平面PAC ，所以 OE ∥平面P AC . ……………………………………2分因为 OM ∥AC ， 因为 AC Ì平面PAC ，OM Ë平面PAC ，所以 OM ∥平面P AC . ……………………………………3分因为 OE Ì平面MOE ，OM Ì平面MOE ，OE OM O = ，所以 平面MOE ∥平面P AC . ………………………………………5分（Ⅱ）证明：因为 点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以 90ACB? ，即BC AC ⊥.因为 PA ^平面ABC ，BC Ì平面ABC ， 所以PA BC ⊥. ……………………………………7分因为 AC Ì平面PAC ，PA Ì平面PAC ，PA AC A = ，所以 BC ^平面PAC . 因为 BC Ì平面PBC ，所以 平面P AC ^平面PCB . ……………………………………9分 （Ⅲ）解：如图，以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 因为 30CBA? ，2PA AB ==，所以2cos30CB =?1AC =.延长MO 交CB 于点D . 因为 OM ∥AC ，所以131, 1,2222MD CB MD CD CB ^=+===. 所以 (1,0,2)P ，(0,0,0)C，B，3(22M . 所以 (1,0,2)CP =，CB =.设平面PCB 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.CP CBìï?ïíï?ïî m m所以(,,)(1,0,2)0,(,,)0,x y z x y z ì?ïïíï?ïî即20,0.x z ì+=ïïíï=ïî 令1z =，则2,0x y =-=.所以 (2,0,1)=-m . ……………………………………12分同理可求平面PMB 的一个法向量n ()=.……………………………………13分 所以 1cos ,5⋅==-⋅m n m n m n . 所以 1cos 5θ=. ………………………………………14分(17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得：0.41,11120.41712.a b a b ++=⎧⎨+⨯+=⎩解得：0.5,0.1a b ==. ……………………………………3分 （Ⅱ）X 2 的可能取值为4.12,11.76,20.40.()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-，()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-，()220.40(1)P X p p ==-.所以X 2的分布列为:（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：()222 4.12(1)11.76(1)20.40(1)E X p p p p p p ⎡⎤=-++-+-⎣⎦211.76p p =-++. ……………………………………11分因为E (X 1)< E (X 2)，所以21211.76p p <-++. 所以0.40.6p <<.当选择投资B 项目时，p 的取值范围是()0.4,0.6.……………………………………13分(18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意知：1c =.根据椭圆的定义得：22a =，即a = ……………………………………3分 所以 2211b =-=.所以 椭圆C 的标准方程为2212x y +=. ……………………………………4分 （Ⅱ）假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716QA QB ⋅=- 恒成立.当直线l 的斜率为0时，(A B .则7,0)(,0)16m m ?=-. 解得 54m =. ……………………………………6分 当直线l的斜率不存在时，(1,A B .由于557(1,(1,424216+?-?，所以54m ?. 下面证明54m =时，716QA QB ⋅=- 恒成立.……………………………………8分显然 直线l 的斜率为0时，716QA QB ⋅=- .当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .由221,21x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=. 显然0∆>.1221222,21.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïíïï=-ïï+ïî……………………………………10分 因为 111x ty =+，221x ty =+， 所以 112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -?=--+2121211(1)()416t y y t y y =+-++ 2221121(1)24216t t t t t =-+++++ 22222172(2)1616t t t --+=+=-+. 综上所述：在x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB ⋅=- 恒成立.……………………………………13分(19)（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(,)a +∞.2(1)'()1a x a xf x x x a x a-++=-+=--. ……………………………………1分令'()0f x =，0x =或+1x a =.当10a -<<时，+10a >，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(0,1)a +，单调递减区间是(,0)a 和(1,)a ++ .……………………………………3分当1a =-时，2'()01x f x x -=≤+. 所以，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+ . ……………………………………4分 当1a <-时，+10a <，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)a +，单调递减区间是(,1)a a +和(0,)+ .……………………………………5分（Ⅱ）证明：当12(ln21)0a -<<-<时，由（Ⅰ）知，()f x 的极小值为(0)f ，极大值为(1)f a +.因为(0)ln()0f a a =->，2211(1)(1)(1)(1)022f a a a a +=-+++=->，且()f x 在(1,)a ++ 上是减函数，所以()f x 至多有一个零点. ……………………………………7分 又因为211(2)ln 2[2(ln 21)]022f a a a a a a +=--=---<， 所以 函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+.……………………………………9分（Ⅲ）解：因为412(ln 21)5-<-<-， 所以 对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=由(Ⅱ)可知：1[0,1)x a ∈+，20(1,]x a x ∈+，且21x ≥. ……………………………………10分 因为 函数()f x 在[0,1)a +上是增函数，在(1,)a ++ 上是减函数， 所以 1()f x (0)f ≥，2()f x (1)f ≤. ……………………………………11分 所以 12()()(0)(1)f x f x f f -?. 当45a =-时，1(0)(1)ln()12a f f a a -=--=491ln 542->0. 所以 12()()(0)(1)0f x f x f f -?>. ……………………………………13分所以 21()()f x f x -的最小值为491(0)(1)ln 542f f -=-. 所以 使得21()()f x f x m -≥恒成立的m 的最大值为491ln 542-. ……………………………………14分(20)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以3)3(=f ．因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，所以7)5(=f ． ……………………………………3分 （Ⅱ）结论是)1(+n f )]2()([21++≤n f n f . 证明如下：由结论知，只需证).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f因为21≥+n ，把1+n 的一个表示法中11a =的1a 去掉，就可得到一个n 的表示法；反之，在n 的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个1n +的表示法，即1+n 的表示法中11a =的表示法种数等于n 的表示法种数，所以)()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a ¹的表示法数，)1()2(+-+n f n f 是2n +的表示法中11a ¹的表示法数．同样，把一个11a ¹的1+n 的表示法中的p a 加上1， 就可得到一个11a ¹的2n +的表示法，这样就构造了从11a ¹的1+n 的表示法到11a ¹的2+n 的表示法的一个对应.所以有).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f ……………………………………9分 （Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知：当正整数6m ³时，()(1)(1)(2)(6)(5)f m f m f m f m f f --?--吵- .又,7)5(,11)6(==f f 所以 ()(1)4f m f m -- . * 对于*式，分别取m 为n ,,7,6 ，将所得等式相加得)5(4)5()(-≥-n f n f .即134)(-≥n n f ． ……………………………………13分。
北京市海淀区2012届高三上学期期末考试数学(理)试题解析(教师版)
【试题总体说明】本套试卷严格按照2011年北京卷的高考题进行命制，题目难度适当，创新度较高。
所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。
如选择题2,4；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查；（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；如选择题3,7.（4）深入探究2011高考试题，精选合适的试题进行改编；如填空题9,11.（5）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色．如填空题13和解答题20等；（6）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
如17题。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数52i( )（A ）2i （B ）21i 55 （C ）105i （D ）105i 33【答案】A 【解析】55(2)5(2)2.2(2)(2)5i i i i i i --===-++-故选A.（3）若数列{}n a 满足：119a ，13(*)n n a a n +=-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 【答案】B 【解析】113,3,{}n n n n n a a a a a +--=-∴-=-∴以19为首项，以-3为公差的等差数列，19(1)(3)223.n a n n ∴=+-⨯-=-设前n 项和最大，故有1022301922,,,,7.0223(1)033n n a n n n N n a n +≥-≥⎧⎧∴∴≤≤∈∴=⎨⎨≤-+≤⎩⎩故答案为B 。
（4）已知平面α，β，直线l ，若αβ，l αβ，则（A ）垂直于平面β的平面一定平行于平面α （B ）垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α （C ）垂直于平面β的平面一定平行于直线l （D ）垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直 【答案】D【解析】A 错，如墙角的三个平面不满足；B 错，缺少条件直线应该在平面β内；C 错，直线l 也可能在平面内。
[vip专享]2012海淀三模理综试题(人大附中)
![[vip专享]2012海淀三模理综试题(人大附中)](https://img.taocdn.com/s3/m/6af9515f6c175f0e7cd137c6.png)
10. E 是非金属性最强的元素，M 是 E 的气态氢化物，在固定体积的密闭容器中，气 体 M 存在如下关系：xM(g) Mx(g)，反应物和生成物的物质的量随时间的变化 关系如图。下列说法正确的是（ ） A M 的沸点比同主族下一周期元素的气态氢化物沸点低
B．该反应的百分比学方程式是 2HF HF 2
7. 下列关于物质性质的认识错误的是 A．油脂在空气中完全燃烧转化为水和二氧化碳 B．浓硝酸、浓硫酸均能将木炭氧化成二氧化碳 C． Na 、 C 、S 都能直接与氧气反应，生成两种相应的氧化物
D．蔗糖、麦芽糖的分子式都是 C12H22O11 ，二者互为同分异构体
23WOR1DWO---RDWwOorRdDw1ordword
6. 近期陆续曝光了一些制药企业为了谋求暴利，用经生石灰处理过的皮革废料，熬 制成工业明胶，制成药用胶囊。下列说法错误的是 A．工业明胶是一种从动物的结缔或表皮组织中的胶原部分水解出来的蛋白质， 其制备过程中因混有杂质，经常显现出鲜艳的颜色，因此可以将其作为食品添 加剂中的着色剂使用 B．此次曝光出的毒胶囊中有大家熟悉的阿莫西林胶囊。阿莫西林是一种最常用的 青霉素类广谱抗生素。病人在使用青霉素前一定要进行皮试 C．皮革在工业加工时，要使用含铬的鞣制剂，因此往往会造成铬含量的严重超标。 重金属铬可使人体内的蛋白质变性 D．生石灰与水的反应产物俗称熟石灰，其在工业生产上有很多用途，如治理酸 性废水、制取漂白粉等
3 “” 2 413“” 2 1 5
“”
8. 下列化学用语表述一定正确的是
A．甲醛的电子式： B．用铜电极做盐酸溶液的电解实验： 2H 2Cl电解H2↑+C l 2 ↑
C．溴乙烷与氢氧化钠水溶液共热： C2H5Br
OH
海淀区人大附中2012-2013学年度第二学期期末初一年级数学练习 (1)
海淀区人大附中2012-2013学年度第二学期期末初一年级数学练习 (1)人大附中2012-2013学年度第二学期期末初一年级数学练习班级姓名学号说明：本练习共四道大题30道小题，共8页，满分100分，考试时间90分钟；请在密封线内填写个人信息，请将答案全部作答在答题纸．．．．．．．．．．．．相应的位置上．．．．．．.一、选择题：（每小题3分，共36分）1．不等式30x-<的解集是（）.A．3x<-B．3x>-C．3x<D．3x> 2．若2a<，则下列不等式不成立的是（）.A．24a<B．2a-<-C．35a+<D．42a-<-3．如图，已知AB AC=，要使得ABE ACD≅△△，需添加的一个条件不能是（）.A．BE CD=B．AD AE=C．B C=∠∠D．AEB ADC=∠∠FCEADB4．三角形三边长分别为10，15和m ，则m 的取值范围是（ ）.A ．525m <<B ．727m <<C ．7m >D ．27m <5．如图，有一块三角形玻璃，不小心摔碎成三块（图中①、②、③），现在要去玻璃店配一块完全一样的三角形玻璃，较省事的办法是（ ）.A ．带①、②去B ．带①去C ．带②去D ．带③去6．如图，线段AB CD 、相交于点E 且互相平分，则下列说法不一定正确的是（ ）.A ．AB =∠∠ B ．A D =∠∠C ．AC BD =D ．AC DB ∥7．若点()213P m m ++，在第三象限，则m 的取值范围是（ ）.A ．3m >-B ．12m <- C ．3m <- D ．132m -<<- 8．如图，Rt ABC △，90C =∠°，BD 为角平分线，若点D 到AB 边的距离是2，①②③D BD A A D C B则CD 的长度是（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．69．若方程组2213x y m x y m +=1-⎧⎨+=+⎩的解满足10x y -<+<，则m 的取值范围是（ ）.A ．312m -<<-B ．302m -<< C ．512m -<<- D ．502m -<< 10．如图，ABC △中，AC BC =，D 是CA 延长线上一点，AE CB ∥，若40EAD =∠°，则EAB ∠的大小是（ ）. A ．110° B ．80° C ．70° D ．55°11．某广场地面在某一点处是由4个正多边形镶嵌而成，其中恰好有两个正方形和一个正三角形，则另一个正多边形的边数是（ ）.A ．六B ．八C ．三D ．四12．如图，ABC △是等边三角形，点D 是AC 延长线上一点，以BD 为边作等边BDE △，以下说法：①AB CE ∥；②CBD CDB =∠∠；③AD CE =；④CE BD ⊥；⑤CBD CED =∠∠；⑥BEC BDC =∠∠. E B CA D AB E其中一定正确的是（）.A．①②③④⑥B．①③④⑤⑥C．①③④⑥D．①③⑤⑥二、填空题：（每空2分，共22分）13．用不等式表示“x的一半与5的和是负数”：.14．不等式250x+≥的负整数解是.15．若不等式31x a<+的解集在数轴上表示如图，则a的值是.16．如图，ABC△的周长为13cm，5cmAB=，若AB边的垂直平分线DE交AC边于点E，则BEC△的周长等于cm.17．一个多边形从一个顶点出发可引3条对角线，这个多边形的边数是.18．如图，ABC△中，50BAC=∠°，AB BC=，D是CB延长线上一点，E是AB边上一点，若35D=∠°，则DEB∠等于. CBE DACD E A19．若不等式20ax -<的解集是2x >-，则a 的值是 .20．若关于x 的不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集是11x -<<，则2a b +的值是 .21．在平面直角坐标系中，点()03A -，、()21B -，、()30C ，，O 为坐标原点，若ABO △与以D C O 、、为顶点的三角形全等，则点D 的坐标为 .22．分别以ABC △的两边AB AC 、为边，向ABC △外作正多边形，如图①、图②、图③，分别作的是正三角形、正四边形、正五边形，连结BE CD 、相交于点O ；如图④，AB AD 、是以AB 为边向ABC △外所作正n （n 为正整数）边形的一组邻边；AC AE 、是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边.BE CD 、的延长相交于点O .图①中BOC =∠ ；图④中BOC =∠°（用含n 的式子表示）. 图① 图② 图③ 图④F DO E G H F D O E G I CB BC ED OEA B三、解答题：（每题5分，共20分）23．解不等式21132x x +--<，并在数轴上表示出解集.24．解不等式()()23313114x x x -++⎧⎪⎨->⎪⎩≤，并写出它的整数解.25．如图，AC CF ∥，DE BF ∥，AC DB =.求证：ADE CBF ≅△△.26．有两条交叉的笔直公路（如图中的OM ON 、），两个小区A B 、分别位于公路ON 的两侧，某投资者打算修建一个大型购物中心C ，希望这个购物中心到这两条公路的距离相等，并且到这两个小区的距离也相等，请利用直尺和圆规在图中作出购物中心C 的位置.（不写作法，保留作图痕迹）E F B D C AN结论：如图即为所求.四、解答题：（第27、30题各6分，第28、30题各5分，共22分）27．列方程（组）或不等式（组）解决实际问题：下表是某商场某两天销售A B、两种商品的账目记录表：（1）请求出A B、两种商品的销售单价；（2）若A商品进价为10元/件，B商品进价为6元/件，某天共卖出两种商品50件，且两者总利润不低于220元，则这天至多销售A商品多少件？模仿上面的解题方法，求下列不等式的解集：（1）()()2110x x -+<；（2）1032x x +<-.30．已知：等边ABC △中，两条角平分线的交点为O .（1）如图①，求证：OA OB =；（2）如图②，若60MON =∠°，M N 、分别在AB AC 、边上.求证：AM MN CN +=；（3）如图③，若60MON =∠°，M 在BA 的延长线上，N 在AC 上，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请给出AM MN CN 、、满足的数量关系并加以证明.C B O O N A MC B NMA OC B A图①图②图③。
2012海淀三模数学(理)试题(人大附中)
中国人民大学附属中学高三模拟考试数学试题（理科）2012．5 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|4A x x=∈<N，{}2|230B x x x=∈--<R，则A B=I（）、A．{}101-，，B．{}01，C．{}|12x x-<<D．{}|23x x-<<2.已知复数z满足()12z i⋅-=，其中i为虚数单位，则z=（）A．1i+B．1i-C．1i-+D．1i--3.一个几何体的三视图如下，其中主视图和俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（）A．4B．8 C．43D．834.已知向量a br r，满足1a b a b==+=r r r r，则向量a br r，夹角的余弦值为（）A．12B．12-C3D．3 5.已知数列{}n a是等差数列，38a=，44a=，则前n项和nS中最大的是（）A．3S B．4S或5S C．5S或6SD．6S6.已知双曲线()2222100x ya ba b-=>>，的渐近线方程为2y x=±，则其离心率为（）A5B5C53D．5 57.已知x y，满足()2221x yx yy a x⎧-⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，且z x y=+能取到最小值，则实数a的取值范围是（ ） A ．1a <- B ．2a ≥ C ．12a -<≤D ．1a <-或2a ≥ 8.已知函数：①()12f x x =，②()πsin2x f x =，③()1ln 12f x x =+．则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（ ）命题():1p f x +是偶函数； 命题():1q f x +在()01，上是增函数； 命题():r f x 恒过定点()11，； 命题11:22s f ⎛⎫> ⎪⎝⎭． A ．命题p 、q B ．命题q 、r C ．命题r 、sD ．命题s 、p第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题中横线上． 9. 51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中x 项的系数为 ．10.已知直线():12l y k x =++，圆2cos 1:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩，则圆心C 的坐标是 ；若直线l 与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是 ．11.如图，已知PAB 是O ⊙的割线，点C 是PB 的中点，且PA AC =，PT 是O ⊙的切线，TC 交O ⊙于点D ，8TC =，7CD =，则PT 的长为 ．12.如图所示程序图运行的结果是 ．13.一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 观测到灯塔A B ，在一直线上，并与航线成30︒角．轮船沿航线前进1000米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45︒方向，灯塔B 在北偏东15︒方向．则此时轮船到灯塔B 的距离CB 为 米．14.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对0x ∀≥，总存在正常数T ，使得()T f x +()T f x =+成立，则称()f x 满足“性质P ”．已知函数()g x 满足“性质P”，且()g x 在[]0T ，上的解析式为()2g x x =，则常数T = ；若当[]3T 3T x ∈-，时，函数()y g x kx =-恰有9个零点，则k = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()22sin cos 23sin 3444x x xf x =-+．⑴ 求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 取值集合；⑵ 令π103f a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且()0πα∈，，求tan2α的值．16.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，PAD △为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且602DAB AB ∠=︒=，，E 为AD 的中点．⑴ 求证：AD PB ⊥；⑵ 求二面角A PD C --的余弦值；⑶ 在棱PB 上是否存在点F ，使EF ∥平面PDC ？并说明理由．17.（本小题满分13分）如图，某工厂2011年生产的A B C D ，，，四种型号的产品产量用条形图表示，现用分层抽样的方法从中抽取50件样品参加今年五月份的一个展销会．⑴ 问A B C D ，，，型号的产品各抽取了多少件？⑵ 从50件样品中随机抽取2件，求这2件产品恰好是不同型 号的产品的概率；⑶ 在50件样品中，从A C ，两种型号的产品中随机抽取3件，其中A 种型号的产品有X 件，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．18.（本小题满分13分）已知函数()()2121ln 12f x mx x x =-+++．⑴ 当32m =-时，求函数()f x 的极值点；⑵ 当1m ≤时，曲线():C y f x =在点()01P ，处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求实数m 的范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>经过点312M ⎛⎫⎪⎝⎭，，且其右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合．⑴ 求椭圆1C 的方程；⑵ 直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A B ，两点，与抛物线2C 相交于C D ，两点．求AB CD的最大值．20.（本小题满分13分） 已知集合{}12320112012S =L ，，，，，，设A 是S 的至少含有两个元素的子集，对于A 中任意两个不同的元素()x y x y >，，若x y -都不能．．．整除x y +，则称集合A 是S 的“好子集”．⑴ 分别判断数集{}2468P =，，，与{}147Q =，，是否是集合S 的“好子集”，并说明理由；⑵ 求集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值； ⑶ 设123m A A A A L ，，，，是集合S 的m 个“好子集”，且两两互不包含，记集合i A 的元素个数为()12i k i m =L ，，，，求证：()1!2012!2012!mi i i k k =⋅-∑≤。
2012年海淀区高三一模数学试卷及答案(理科).doc
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科）2012.04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}1A x x =>，{}B x x m =<，且AB =R ，那么m 的值可以是（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （2）在等比数列{}n a 中，14358a a a a ==，，则7a =（A ）116（B ）18 （C ）14（D ）12（3）在极坐标系中，过点3(2,)2π且平行于极轴的直线的极坐标方程是 （A ）sin 2ρθ=- （B ）cos 2ρθ=- （C ）sin 2ρθ= （D ）cos 2ρθ=（4）已知向量=(1)=(1)x x ，a b ，，-，若2-a b 与b 垂直，则=a（A（B（C ）2 （D ）4 （5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）48（7）已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <- （8）在正方体''''ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45°的点P 的个数为（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数2i1ia +-在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a = . （10）过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . （11）若1tan 2α=，则cos(2)απ2+= . （12）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中'EQ Q P EP Q =-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .（13）如图，以ABC ∆的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF AB ^于点F ，3AF BF =，22BE EC ==，那么CDE Ð= ，CD = .（14）已知函数1,,()0,,x f x x ìÎïï=íïÎïîR Q Q ð则 （ⅰ）(())f f x = ； （ⅱ）给出下列三个命题：FEDCBAA'B'C'D'ABCD①函数()f x 是偶函数； ②存在(1,2,3)i x i ?R ，使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i =为顶点的三角形是等腰直角三角形；③存在(1,2,3,4)i x i?R ，使得以点(,())(1,2,3,4)i i x f x i =为顶点的四边形为菱形.其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ， C 成等差数列.（Ⅰ）若b =3a =，求c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最大值.(16)（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ^，4,2AB AD CD ===，PA ^平面A B C D ，4PA =.（Ⅰ）设平面PAB平面PCD m =，求证：CD //m ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC，求PQPB的值．(17)（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；PDCBA（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）(18)（本小题满分13分）已知函数21()e()(0)kxf x x x k k-=+-<.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P 为椭圆G 的上顶点，且145PF O ∠=︒. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示.（ⅰ）证明：120m m +=;（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.(20)（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =. （Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对（P ，Q ），满足,P Q AB ⊆，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科）参考答案及评分标准 2012．04一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）2 （10）43200x y --= （11）45-（12）(10,20)（13）60°13（14）1 ①③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为,,A B C 成等差数列， 所以2B A C =+. 因为A B C ++=π， 所以3B π=. ………………………………………2分因为b =3a =，2222cos b a c ac B =+-，所以2340c c --=. ………………………………………5分所以4c =或1c =-（舍去）. ………………………………………6分（Ⅱ）因为23A C +=π， 所以2sin sin()3t A A π=-1sin sin )22A A A =+11cos22()22A A -=+11sin(2)426A π=+-. ………………………………………10分 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<.所以当262A ππ-=，即3A π=时，t 有最大值34.………………………………………13分(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明： 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . ………………………………………2分 因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB平面PCD m =，所以CD //m . ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为AP ^平面ABCD ，AB AD ^，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P，(0,D，(2,C .………………………………………5分所以(4,BD =-，(2,AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥.因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC .………………………………………9分（Ⅲ）解：设PQPBλ=（其中01λ＃），(,,)Qxyz ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以 PQ PB λ=.所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.所以 4,0,44,x y z λλì=ïïï=íïï=-+ïïî即(4,0,44)Q λλ-+.所以(42,44)CQ λλ=---+. ………………………………………11分 由（Ⅱ）知平面PAC的一个法向量为(4,BD =-.………………………………………12分因为 sin cos ,CQ BD CQ BD CQ BDθ×=<>=×，所以3=. 解得 7[0,1]12λ=∈. 所以 712PQ PB =. ………………………………………14分(17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以 0.0125x =. ………………………………………2分（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=， ………………………………………4分因为6000.1272⨯=，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.………………………………………6分（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………7分由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭.所以的分布列为：812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（或1414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1. ………………………………………13分(18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R . 221'()e()e (21)e [(2)2]kxkx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+，即 '()e(2)(1)(0)kxf x kx x k -=--+<. ………………………………………2分令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=. 当2k =-时，22'()2e (1)0xf x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,)-??. ………………………………………3分 当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)k -∞和(1,)-+∞，单调递减区间是(,1)k-.………………………………………5分当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和2(,)k +∞，单调递减区间是2(1,)k-.………………………………………7分（Ⅱ）当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -. 理由如下：当2k =-时，()f x 无极大值.当20k -<<时，()f x 的极大值为22241()e ()f kk k-=+， ………………………………………8分令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）.………………………………………9分当2k <-时，()f x 的极大值为e (1)kf k-=-.………………………………………10分因为 2e e k-<，1102k <-<， 所以 2e 1e 2k k --<. 因为221e 3e 2--<， 所以 ()f x 的极大值不可能等于23e -. ………………………………………12分 综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -.………………………………………13分(19)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.因为1(1,0)F -，145PF O ∠=︒，所以1b c ==.所以 2222a b c =+=. ………………………………………2分所以 椭圆G 的标准方程为2212x y +=. ………………………………………3分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .（ⅰ）证明：由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=.则2218(21)0k m ∆=-+>，1122211224,1222.12km x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………5分 所以||AB ====同理||CD =. ………………………………………7分 因为 ||||AB CD =,所以=.因为 12m m ≠，所以 120m m +=. ………………………………………9分 （ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d ,则d =.因为 120m m +=， 所以d =………………………………………10分所以||S AB d =⋅=2221121k m m -++=≤=（或S == 所以 当221212k m +=时， 四边形ABCD 的面积S取得最大值为 ………………………………………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.………………………………………3分（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X ，①若a C Î且a X Ï，则(({})()C a r d C X a C a r d C X ∆=∆-；②若a C Ï且a X Ï，则(({})C a r d C X a C a r d C X∆=∆+. 所以 要使()()Card X A Card X B ∆+∆的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ∆+∆的值；集合X 不能含有A B 之外的元素.所以 当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………8分 （Ⅲ）因为 {()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-，所以 A B B A ∆=∆.由定义可知：()()()A B A B f x f x f x ∆=⋅.所以 对任意元素x ，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅.所以 ()()()()A B C A B C f x f x ∆∆∆∆=.所以 ()()A B C A B C ∆∆=∆∆.由 ()()P A Q B A B ∆∆∆=∆知：()()P Q A B A B ∆∆∆=∆. 所以 ()()()()()P Q A B A B A B A B ∆∆∆∆∆=∆∆∆. 所以 P Q ∆∆∅=∅.所以 P Q ∆=∅，即P Q =.因为 ,P Q A B ⊆，所以 满足题意的集合对（P ，Q ）的个数为72128=.………………………………………14分。
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中国人民大学附属中学高三模拟考试
数学试题（理科）
2012．5
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1.
已知集合{}2|4A x x =∈<N ，{}
2|230B x x x =∈--<R ，则A B =（ ）、
A ．{}101-，，
B ．{}01，
C ．{}|12x x -<<
D ．{}|23x x -<<
2.
已知复数z 满足()12z i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z =（ ）
A ．1i +
B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i --
3.
一个几何体的三视图如下，其中主视图和俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（ ）
A ．4
B ．8
C ．
4
3
D ．83
4.
已知向量a b ，满足1a b a b ==+=，则向量a b ，夹角的余弦值为（ ） A ．
12 B ．1
2
-
C
D ．
5.
已知数列{}n a 是等差数列，38a =，44a =，则前n 项和n S 中最大的是（ ）
A ．3S
B ．4S 或5S
C ．5S 或6S
D ．6S
6.
已知双曲线()22
22100x y a b a b
-=>>，的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为
（
）
A
B
C
D
．7.
已知x y ，满足()2221
x y x y y a x ⎧-⎪
+⎨⎪-⎩
≥≤≥，且z x y =+能取到最小值，则实数a 的取值范围是
（ ） A ．1a <- B ．2a ≥ C ．12a -<≤
D ．1a <-或2a ≥ 8.
已知函数：①()1
2
f x x =，②()πsin
2x f x =，③()1
ln 12
f x x =+．则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（ ）
命题():1p f x +是偶函数； 命题():1q f x +在()01，上是增函数； 命题():r f x 恒过定点()11，； 命题11:22
s f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．
A ．命题p 、q
B ．命题q 、r
C ．命题r 、s
D ．命题s 、p
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题中横线上．
9. 5
1x ⎫⎪⎭的二项展开式中x 项的系数为 ．
10.
已知直线():12l y k x =++，圆2cos 1:2sin x C y θθ
=+⎧⎨=⎩，则圆心C 的坐标是 ；若
直线l 与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是 ．
11.
如图，已知PAB 是O ⊙的割线，点C 是PB 的中点，且PA AC =，PT 是O ⊙的切线，TC 交O ⊙于点D ，8TC =，7CD =，则PT 的长为 ．
12.
如图所示程序图运行的结果是 ．
13.
一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 观测到灯塔A B ，在一直线上，并与航线成30︒角．轮船沿航线前进1000米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45︒方向，灯塔B 在北偏东15︒方向．则此时轮船到灯塔B 的距离CB 为 米．
14.
若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对0x ∀≥，总存在正常数T ，使得()T f x +()T f x =+成立，则称()f x 满足“性质P ”．
已知函数()g x 满足“性质P”，且()g x 在[]0T ，上的解析式为()2g x x =，则常数
T = ；若当[]3T 3T x ∈-，时，函数()y g x kx =-恰有9个零点，则
k = ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.
（本小题满分13分）
已知函数()22sin cos 444
x x x
f x =-
⑴ 求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 取值集合；
⑵ 令π3f a ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭()0πα∈，，求tan 2α的值．
16.
如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，PAD △为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且602DAB AB ∠=︒=，，E 为AD 的中点．
⑴ 求证：AD PB ⊥；
⑵ 求二面角A PD C --的余弦值；
⑶ 在棱PB 上是否存在点F ，使EF ∥平面PDC ？并说明理由．
17.
（本小题满分13分）
如图，某工厂2011年生产的A B C D ，，
，四种型号的产品产量用条形图表示，现用分层抽样的方法从中抽取50件样品参加今年五月份的一个展销会．
⑴ 问A B C D ，，
，型号的产品各抽取了多少件？ ⑵ 从50件样品中随机抽取2件，求这2件产品恰好是不同型
号的产品的概率；
⑶ 在50件样品中，从A C ，
两种型号的产品中随机抽取3件，其中A 种型号的产品有X 件，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．
18.
（本小题满分13分）
已知函数()()21
21ln 12f x mx x x =-+++．
⑴ 当3
2
m =-时，求函数()f x 的极值点；
⑵ 当1m ≤时，曲线():C y f x =在点()01P ，
处的切线l 与C 有且只有一个公共
点，求实数m 的范围．
19.
（本小题满分14分）
已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>经过点312M ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，，且其右焦点与抛物线
22:4C y x =的焦点F 重合．
⑴ 求椭圆1C 的方程；
⑵ 直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A B ，两点，与抛物线2C 相交于C D ，两点．求AB CD
的最
大值．
20.
（本小题满分13分）
已知集合{}12320112012S =，，，，，，设A 是S 的至少含有两个元素的子集，对于A 中任意两个不同的元素()x y x y >，，若x y -都不能．．．整除x y +，则称集合A 是S 的“好子集”．
⑴ 分别判断数集{}2468P =，，，与{}147Q =，，是否是集合S 的“好子集”，并说明理由；
⑵ 求集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值； ⑶ 设123m A A A A ，，，，是集合S 的m 个“好子集”，且两两互不包含，记集合i A 的元素个
数为()12i k i m =，
，，，求证：()1!2012!2012!m
i i i k k =⋅-∑≤。