高中数学选修性必修(第一册)复习专题 直线和圆的方程同步练习-人教A版(2019)
第二章 直线和圆的方程 专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
第二章直线和圆的方程专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一第二章直线和圆的方程专题测试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1.（2020·福建高二学业考试）已知直线 $ $l_1\parallell_2$，则实数 $k=$（）。
A。
$-2$B。
$-1$C。
$1$D。
$2$2.（2020·XXX高一月考）直线$l_1:(a-2)x+(a+1)y+4=0$，$l_2:(a+1)x+ay-9=0$ 互相垂直，则 $a$ 的值是（）。
A。
$-0.25$B。
$1$C。
$-1$D。
$1$ 或 $-1$3.（2020·XXX高一月考）直线 $l:(m-1)x-my-2m+3=0$（$m\in R$）过定点 $A$，则点 $A$ 的坐标为（）。
A。
$(-3,1)$B。
$(3,1)$C。
$(3,-1)$D。
$(-3,-1)$4.（2020·广东高二期末）设 $a\in R$，则“$a=1$”是“直线$ax+y-1=0$ 与直线 $x+ay+1=0$ 平行”的（）。
A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件5.（2020·黑龙江高一期末）若曲线 $y=4-x^2$ 与直线$y=k(x-2)+4$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）。
A。
$\left[\frac{3}{4},1\right]$B。
$\left[\frac{3}{4},+\infty\right)$C。
$(1,+\infty)$D。
$(1,3]$6.（2020·XXX高三其他）已知直线 $x+y=t$ 与圆$x+y=2t-t^2$（$t\in R$）有公共点，则 $\frac{t(4-t)}{9}$ 的最大值为（）。
高二数学人教A版选修一《第二章 直线和圆的方程》练习题课件(31页)
∴B3＋1k，0， 由yy＋＝12＝x，kx－3， 得点 C 的横坐标 xC＝3kk－＋21. ∵|BC|＝2|AB|，∴|xB－xC|＝2|xA－xB|， ∴3kk－＋21－1k－3＝21k， ∴3kk－＋21－1k－3＝2k或3kk－＋21－1k－3＝－2k， 解得 k＝－32或 k＝14. ∴所求直线 l 的方程为 3x＋2y－7＝0 或 x－4y－7＝0.
化简得 7x＋y＋22＝0.
高频考点三圆的方程 [例 3] 在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐 标分别为 A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)，经过这三个点的圆记为 M. (1)求 BC 边的中线 AD 所在直线的一般式方程； (2)求圆 M 的方程．
[解] (1)法一：由 B(2,0)，C(0，－4)，知 BC 的中点 D 的 坐标为(1，－2)．
(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程， 依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值．
(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的 一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，从而求 出 D，E，F 的值．
[集训冲关] 1．以线段 AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )
即4b＝－(－b)．
④
由③④联立，解得ab＝ ＝2－，2
或a＝23， b＝2.
经检验此时的 l1 与 l2 不重合，故所求值为
a＝2， b＝－2
或a＝23， b＝2.
[方法技巧] 已知两直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 (1)对于 l1∥l2 的问题，先由 A1B2－A2B1＝0 解出其中的字母值， 然后代回原方程检验这时的 l1 和 l2 是否重合，若重合，舍去． (2)对于 l1⊥l2 的问题，由 A1A2＋B1B2＝0 解出字母的值即可．
人教A版高中数学选修1第二章直线和圆的方程2
第二章 2.2 2.2.3A级——基础过关练1．(2020年大连月考)倾斜角为60°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( ) A．3x－y－1＝0 B．3x－y＋1＝0C．3x－3y－1＝0 D．3x＋3y－1＝0【答案】A【解析】由于直线的倾斜角为60°，故斜率为tan60°＝3，由斜截式求得直线l的方程为y＝3x－1，即3x－y－1＝0．2．若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝( ) A．1 B．3C．4 D．2【答案】D【解析】线段AB的中点为(1,1)，则m＋3－5＝0，即m＝2，故选D．3．若直线2x－y－4＝0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a－b的值为( ) A．6 B．2C．－2 D．－6【答案】A【解析】令y＝0，得x＝2；令x＝0，得y＝－4．所以a＝2，b＝－4，所以a－b＝6．4．直线l过点(－1,2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0【答案】A【解析】设所求直线方程为3x＋2y＋m＝0，代入点(－1,2)得3×(－1)＋2×2＋m＝0，所以m＝－1．故直线l的方程是3x＋2y－1＝0．5．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是( )【答案】C【解析】将l1与l2的方程化为斜截式得y＝ax＋b，y＝bx＋a，根据斜率和截距的符号可得C ．6．已知Rt △ABC 的顶点C (0，－1)，斜边AB 所在直线的方程为3x －2y ＋1＝0，则AB 边上的高所在直线的方程为( )A ．2x －3y ＋3＝0B ．2x ＋3y ＋3＝0C ．3x ＋2y ＋3＝0D ．3x －2y ＋3＝0【答案】B【解析】由题意可得直线AB 的斜率k ＝32，则所求直线方程的斜率k ′＝－23，直线的点斜式方程为y ＋1＝－23x ，即2x ＋3y ＋3＝0．7．(多选)下列说法正确的是( ) A ．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点(3,2) B ．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2 C ．直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角为60°D ．过点(－1,2)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＝0 【答案】ABD【解析】y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )可化为y －2＝a (x －3)，则直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点(3,2)，故A 正确；令x ＝0，则y ＝－2，即直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2，故B 正确；3x ＋y ＋1＝0可化为y ＝－3x －1，则该直线的斜率为－3，即倾斜角为120°，故C 错误；设过点(－1,2)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线的斜率为k ，因为直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，所以k ·12＝－1，解得k ＝－2，则过点(－1,2)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线的方程为y －2＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＝0，故D 正确．故选ABD ．8．在平面直角坐标系Oxy 中，若直线l 1：x －2y －1＝0和直线l 2：2x －ay －a ＝0平行，则常数a 的值为________．【答案】4【解析】当a ＝0时，l 2：x ＝0，显然与l 1不平行；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧1a22＝0，2a 1a 0，解得a ＝4．9．已知点P (－1,1)与点Q (3,5)关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________． 【答案】x ＋y －4＝0【解析】线段PQ 的中点坐标为(1,3)，直线PQ 的斜率k PQ ＝1，所以直线l 的斜率k l ＝－1．所以直线l 的方程为x ＋y －4＝0．10．求m ，n 的值，使直线l 1：y ＝(m －1)x －n ＋7满足： (1)平行于x 轴；(2)平行于直线l 2：7x －y ＋15＝0； (3)垂直于直线l 2：7x －y ＋15＝0． 解：(1)当m ＝1且n ≠7时，l 1平行于x 轴． (2)7x －y ＋15＝0化为斜截式y ＝7x ＋15． 当l 1∥l 2时，m －1＝7且－n ＋7≠15， 所以m ＝8，n ≠－8．(3)当7(m －1)＝－1，即m ＝67，n ∈R 时，l 1⊥l 2．B 级——能力提升练11．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则该直线方程为( ) A ．15x －3y －7＝0 B ．15x ＋3y －7＝0 C ．3x －15y －7＝0 D ．3x ＋15y －7＝0【答案】A【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－A B＝5，A －2B ＋3C ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－5B ，C ＝73B .所以直线方程为－5x ＋y ＋73＝0，即15x －3y －7＝0．12．(多选)(2021年襄阳联考)已知直线l 1：x ＋ay －a ＝0和直线l 2：ax －(2a －3)y ＋a －2＝0，则( )A ．l 2始终过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B ．若l 2在x 轴和y 轴上的截距相等，则a ＝1 C ．若l 1⊥l 2，则a ＝0或a ＝2 D ．若l 1∥l 2，则a ＝1或a ＝－3 【答案】AC【解析】l 2：ax －(2a －3)y ＋a －2＝0化为a (x －2y ＋1)＋3y －2＝0，由x －2y ＋1＝0且3y －2＝0，解得x ＝13，y ＝23，即直线l 2恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，故A 正确；若l 2在x 轴和y 轴上截距相等，则l 2过原点或其斜率为－1，则a ＝2或－a2a －3＝－1⇒a ＝1，故B 错误；若l 1⊥l 2，则1×a ＋a ×(3－2a )＝0，解得a ＝0或2，故C 正确；若l 1∥l 2，则先由1×(3－2a )＝a ×a ，解得a ＝1或－3，再检验当a ＝1时，l 1，l 2重合，故D 错误．故选AC ．13．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是________．【答案】3或5【解析】由两直线平行得，当k －3＝0时，两直线的方程分别为y ＝－1与y ＝32，显然两直线平行，当k －3≠0时，由k －32k －3＝4－k－2，得k ＝5．综上所述，k 的值是3或5． 14．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0，则直线l 经过定点________；若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为______________．【答案】(1，－3) 3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0 【解析】直线l的方程可写为a (x －1)＋x ＋y ＋2＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3，∴直线l 经过定点(1，－3)．当截距为0时，a ＝2，直线l 过原点，直线l 的方程为3x ＋y ＝0．当截距不为0时，a ＋1≠0，且a ≠2．∵直线l 在两坐标轴上的截距相等，∴a －2a ＋1＝a －2，∴a ＋1＝1，∴a ＝0．∴直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0．综上，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0．15．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0．(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围． (1)证明：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35． 而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故l 过第一象限． ∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限． (2)解：如图，直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3．∵l 不经过第二象限，∴a ≥3．。
高中数学选修性必修(第一册)选择性必修1 第二章 直线和圆的方程2.2-2.3节同步练习-人教A版(2019)
直线的方程——两点式、截距式与一般式同步练习（答题时间：40分钟）一、选择题1. 过两点（－2，1）和（1，4）的直线方程为（）A. y＝－x＋3B. y＝x－3C. y＝x＋3D. y＝－x－32. 设A，B是x轴上的不同两点，点P的横坐标为2，|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为，则直线PB的方程是（）A. x＋y－5＝0B. 2x－y－1＝0C. 2y－x－4＝0D. 2x＋y－7＝03. 已知a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点（）A. B.C. D.4. 已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则（）A. b>0，d<0，a<cB. b>0，d<0，a>cC. b<0，d>0，a>cD. b<0，d>0，a<c二、填空题5. 经过P（4，0），Q（0，－3）两点的直线方程是________。
6. 已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过第________象限。
7. 已知直线的一般式方程为2x＋y－4＝0，且点（0，a）在直线上，则a＝__________。
三、解答题8. 已知一个等腰三角形，两腰长是5，底边长是8，建立适当坐标系，求两腰所在的直线的方程。
直线的方程——两点式、截距式与一般式同步练习参考答案1.【答案】C【解析】代入两点式得直线方程＝，整理得y＝x＋3，故选C。
2.【答案】A【解析】直线PA与x轴的交点为（－1，0），则由题意可知PB与x轴的交点为（5，0），且PB与PA的倾斜角互补，又kPA ＝1，∴kPB＝－1，∴直线PB的方程为y＝－（x－5），即x＋y－5＝0，故选A。
3.【答案】D【解析】∵a＋2b＝1，b＝，∴ax＋3y＋＝0，即a＋3y＋＝0，∴∴x＝，y＝－。
故直线必过定点，故选D。
第二章 直线和圆的方程 专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
第二章 直线和圆的方程专题测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·福建高二学业考试）已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ） A ．－2B ．－1C ．0D ．12．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（ ）. A ．-0.25B ．1C ．-1D ．1或-13．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（ ） A ．(3,1)-B ．(3,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)--4．（2020·广东高二期末）设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y -1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件,5．（2020·黑龙江高一期末）若曲线y 与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3]6．（2020·浙江柯城。
衢州二中高三其他）已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289C ．329D ．3277．（2020·广东高一期末）若两平行直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=则m +n ＝（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．2-8．（2020·北京市第五中学高三其他）过直线y ＝x 上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．（2020·江苏省苏州第十中学校高一期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+ 10．（2020·江苏徐州.高一期末）已知直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的是（ ）A ．若12l l //，则m =-1或m =3B ．若12l l //，则m =3C ．若12l l ⊥，则12m =-D ．若12l l ⊥，则12m =11．（2020·江苏扬州.高一期末）已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．（2020·江苏省江阴高级中学高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2) B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=第II 卷（非选择题）三、填空题(每题5分，共20分）13．（2020·湖南张家界。
人教A版高中数学选修第一册同步练习2.5.1 直线与圆的位置关系 A基础练(原卷版)
2.5.1直线与圆的位置关系 -A 基础练一、选择题1．（2020·全国高二课时练习）直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．（2020山东泰安实验中学高二期中）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切,则实数m 等于（ ）A 或B ．C ．-D ．-3.直线y=kx+3被圆x 2+y 2-6y=0所截得的弦长是 ( )A.6B.3C.2√6D.84．（2020福建莆田一中高二期中）已知圆22(1)(1)2x y a ++-=-截直线20x y ++=所得弦的长度为4,则实数a =（ ）A ．-2B ．-4C ．-6D ．-85．（多选题）（2020辽宁盘锦二中高二期中）在同一直角坐标系中,直线y=ax+a 2与圆(x+a )2+y 2=a 2的位置不可能为( )6．（多选题）（2020山东泰安一中高二期中）若过点A (3,0)的直线l 与圆(x -1)2+y 2=1有公共点,则直线l 的斜率可能是( )A.-1B.-√33C.13D.√2二、填空题7．（2020福建三明二中高二期中）过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为______. 8.过点P (3,5)引圆(x -1)2+(y -1)2=4的切线,则切线长为 .9．（2020·浙江下城杭州高级中学高二期中）圆22230x y y ++-=的半径为______．若直线y x b =+与圆22230x y y ++-=交于两点,则b 的取值范围是______．10.（2020山西师大附中高二期中）如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m 后,水面宽为 m .三、解答题11．（2020·江西赣州三中高二期中）已知圆()22:15C x y +-=,直线():10l mx y m m R -+-=∈． （1）判断直线l 与圆C 的位置关系;（2）设直线l 与圆C 交于A,B 两点,若直线l 的倾斜角为120°,求弦AB 的长．12.已知两点O (0,0),A (6,0),圆C 以线段OA 为直径,(1)求圆C 的方程;(2)若直线l 1的方程为x -2y+4=0,直线l 2平行于l 1,且被圆C 截得的弦MN 的长是4,求直线l 2的方程.。
新教材高考数学第二章直线和圆的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册
章末复习一、两直线的平行与垂直 1．判断两直线平行、垂直的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2. (2) 若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况)2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养． 例1 (1)已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－a ＋13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，C (2－2a ，1)，D (－a ，0)四点，若直线AB 与直线CD 平行，则a ＝________.答案 3解析 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a3，当2－2a ＝－a ，即a ＝2时，k AB ＝－23，CD 的斜率不存在．∴AB 和CD 不平行；当a ≠2时，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a.由k AB ＝k CD ，得－a 3＝12－a，即a 2－2a －3＝0.∴a ＝3或a ＝－1.当a ＝3时，k AB ＝－1，k BD ＝0＋13－3＝－19≠k AB ，∴AB 与CD 平行．当a ＝－1时，k AB ＝13，k BC ＝1＋134＝13，k CD ＝1－04－1＝13，∴AB 与CD 重合．∴当a ＝3时，直线AB 和直线CD 平行．(2)若点A (4，－1)在直线l 1：ax －y ＋1＝0上，则l 1与l 2：2x －y －3＝0的位置关系是________． 答案 垂直解析 将点A (4，－1)的坐标代入ax －y ＋1＝0， 得a ＝－12，则12·l l k k ＝－12×2＝－1，∴l 1⊥l 2. 反思感悟 一般式方程下两直线的平行与垂直：已知两直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且C 1B 2－C 2B 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.跟踪训练1 (1)已知直线l 1：ax －3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 答案 －3(2)已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，若l 1∥l 2，则m ＝________. 答案 －1解析 因为直线x ＋my ＋6＝0与(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m m －2＝0，2m ≠6m －2，解得m ＝－1.二、两直线的交点与距离问题1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养．例2 (1)若点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，则实数a 的值为( )A ．－1B ．5C ．－1或5D ．－3或3答案 C解析 ∵点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，∴|1－a ＋1|2＝322，即|a －2|＝3，解得a ＝－1或a ＝5，∴实数a 的值为－1或5.(2)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解 设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 反思感悟跟踪训练2 (1)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为( ) A ．2 3 B. 2 C ．2 2 D.322答案 D解析 根据a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，可得a ＋b ＝－1，ab ＝－2， ∴a ＝1，b ＝－2或a ＝－2，b ＝1，∴|a －b |＝3， 故两条直线之间的距离d ＝|a －b |2＝32＝322.(2)已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0,4)到直线l 的距离为2，则这样的直线l 的条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即直线l 过点(1,2)．设点Q (1,2)，因为|PQ |＝1－02＋2－42＝5＞2，所以满足条件的直线l 有2条．故选C.方法二 依题意，设经过直线l 1与l 2交点的直线l 的方程为2x ＋3y －8＋λ(x －2y ＋3)＝0(λ∈R )，即(2＋λ)x ＋(3－2λ)y ＋3λ－8＝0.由题意得|12－8λ＋3λ－8|2＋λ2＋3－2λ2＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或185，代入得直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0，故选C.三、直线与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养． 例3 已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0. (1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长． (1)证明 直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)， 由点斜式可知，直线恒过点P (4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交． (2)解 圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－－64－3＝3，所以直线l 的斜率为－13，则2m ＝－13，所以m ＝－16.在Rt△APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5. 所以|AB |＝2|AC |2－|PC |2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.反思感悟 直线与圆问题的类型(1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得．(2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解． 跟踪训练3 已知圆C 关于直线x ＋y ＋2＝0对称，且过点P (－2, 2)和原点O . (1)求圆C 的方程；(2)相互垂直的两条直线l 1，l 2都过点A (－1, 0)，若l 1，l 2被圆C 所截得的弦长相等，求此时直线l 1的方程．解 (1)由题意知，直线x ＋y ＋2＝0过圆C 的圆心，设圆心C (a ，－a －2)． 由题意，得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a 2＋(－a －2)2， 解得a ＝－2.因为圆心C (－2,0)，半径r ＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝4.(2)由题意知，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0， 设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，所以l 1：y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，l 2：y ＝－1k(x ＋1)，即x ＋ky ＋1＝0.由题意，得圆心C 到直线l 1，l 2的距离相等， 所以|－2k ＋k |k 2＋1＝|－2＋1|k 2＋1，解得k ＝±1， 所以直线l 1的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0. 四、圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． 2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养． 例4 已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0. (1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．解 (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2,2)，r 1＝13；C 2(4，－2)，r 2＝13.因为|C 1C 2|＝－2－42＋2＋22＝213＝r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0，即3x －2y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.反思感悟 两圆的公共弦问题(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练4 (1)已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ， B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________． 答案 x ＋y －3＝0解析 AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2. 又C 1(3,0)，C 2(0,3)， 所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0.(2)已知圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2y －4＝0. ①求证：两圆相交；②求两圆公共弦所在直线的方程．①证明 圆C 1的方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆C 2的方程可化为x 2＋(y －1)2＝5， ∴C 1(2，－1)，C 2(0,1)，两圆的半径均为5， ∵|C 1C 2|＝2－02＋－1－12＝22∈(0,25)，∴两圆相交．②解 将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程， (x 2＋y 2－4x ＋2y )－(x 2＋y 2－2y －4)＝0，即x －y －1＝0.1．(2019·天津改编)设a ∈R ，直线ax －y ＋2＝0和圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0相切，则a 的值为________． 答案 34解析 由已知条件可得圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(2,1)，半径为2，由直线和圆相切可得|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34. 2．(2017·北京改编)在平面直角坐标系中，点A 在圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0上，点P 的坐标为(1，0)，则||AP 的最小值为________． 答案 1解析 x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y －2)2＝1， 圆心坐标为C (1,2)，半径长为1. ∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上，∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.3．(2017·天津改编)已知点C 在直线l ：x ＝－1上，点F (1,0)，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A . 若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠FAC ＝120°， 所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3， 所以点C 的纵坐标为 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.4．(2019·江苏改编)如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径)．规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA .规划要求：线段PB ，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C ，D 为垂足)，测得AB ＝10，AC ＝6，BD ＝12(单位：百米)．(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；(2)在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由． 解 (1)如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H .以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为BD ＝12，AC ＝6，所以OH ＝9，直线l 的方程为y ＝9，点A ，B 的纵坐标分别为3，－3. 因为AB 为圆O 的直径，AB ＝10， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝25.从而A (4,3)，B (－4，－3)，直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为－43，直线PB 的方程为y ＝－43x －253.所以P (－13,9)，|PB |＝－13＋42＋9＋32＝15.所以道路PB 的长为15(百米)．(2)①若P 在D 处，取线段BD 上一点E (－4,0)，则EO ＝4<5， 所以P 选在D 处不满足规划要求．②若Q 在D 处，连接AD ，由(1)知D (－4,9)，又A (4,3)， 所以线段AD ：y ＝－34x ＋6(－4≤x ≤4)．在线段AD 上取点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，154，因为|OM |＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1542<32＋42＝5，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径． 因此Q 选在D 处也不满足规划要求． 综上，P 和Q 均不能选在D 处．。
新教材人教A版高中数学选择性必修第一册 第二章直线和圆的方程 课后练习及章末检测 含解析
第二章直线和圆的方程课后练习及章末检测2.1.1倾斜角与斜率 ........................................................................................................ - 1 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定................................................................................. - 6 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 10 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 14 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 20 -2.3.1 2.3.2两条直线的交点坐标两点间的距离公式............................................... - 25 -2.3.3 2.3.4点到直线的距离公式两条平行直线间的距离....................................... - 30 -2.4.1圆的标准方程 ...................................................................................................... - 35 -2.4.2圆的一般方程 ...................................................................................................... - 40 -2.5.1直线与圆的位置关系........................................................................................... - 44 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................... - 50 -2.1.1倾斜角与斜率一、选择题1．过点A(－3，2)与点B(－2，3)的直线的倾斜角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．60°A[因为斜率k＝3－2－2－(－3)＝1，所以倾斜角为45°.]2.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2D[由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，且l2比l3的倾斜角大，∴k1<k3<k2.] 3．若点A(－1，－2)，B(4,8)，已知AB的方向向量为(1，k)，则实数k的值为()A ．12B ．－12C ．2D ．－2C [AB 的方向向量坐标为(4＋1,8＋2)，即(5,10)．又(1，k )也是AB 的方向向量，∴k ＝105＝2.]4．设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°D [根据题意，画出图形，如图所示．A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过图形可知：当0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.]5．如果直线l 过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D ．(0,3]B [如图，经过(1,2)和(0,0)的斜率k ＝2，若l 不通过第四象限，则0≤k ≤2.故选B.]二、填空题6．设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若直线P A的斜率k P A是直线PB 的斜率k PB的2倍，则点P的坐标为________．(－5,0)[设P(x,0)，由条件k P A＝2k PB，则8－3－x＝2×142－x，解得x＝－5，故P(－5,0)．]7．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线P A的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．(3,0)或(0,3)[由题意知k P A＝－1，若P点在x轴上，则设P(m,0)，则0－2 m－1＝－1，解得m＝3；若P点在y轴上，则设P(0，n)，则n－20－1＝－1，解得n＝3，故P点的坐标为(3,0)或(0,3)．]8．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是________．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[由k＝2a－(1＋a)3－(1－a)＝a－1a＋2＞0得a＞1或a＜－2.]三、解答题9．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．[证明]∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，∴k AB＝－7－(－1)－2－1＝2，k AC＝－3－(－1)0－1＝2.∴k AB＝k AC.∵直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A，∴直线AB与直线AC为同一直线．故A，B，C三点共线．10．已知直线l的倾斜角α的范围是45°≤α≤135°，求直线l的斜率k的范围．[解]分类讨论：当α＝90°时，l的斜率不存在；当45°≤α＜90°时，l的斜率k＝tan α∈[1，＋∞)；当90°＜α≤135°时，l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1]．∴l的斜率不存在或斜率k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．11．(多选题)若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中错误的是()A ．若α1＜α2，则两直线的斜率：k 1＜k 2B ．若α1＝α2，则两直线的斜率：k 1＝k 2C ．若两直线的斜率：k 1＜k 2，则α1＜α2D ．若两直线的斜率：k 1＝k 2，则α1＝α2ABC [当α1＝30°，α2＝120°，满足α1＜α2，但是两直线的斜率k 1＞k 2，选项A 说法错误；当α1＝α2＝90°时，直线的斜率不存在，无法满足k 1＝k 2，选项B 说法错误；若直线的斜率k 1＝－1，k 2＝1，满足k 1＜k 2，但是α1＝135°，α2＝45°，不满足α1＜α2，选项C 说法错误；若k 1＝k 2说明斜率一定存在，则必有α1＝α2，选项D 正确．]12．将直线l 向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为( )A ．54B ．45C ．－54D ．－45C [设点P (a ，b )是直线l 上的任意一点，当直线l 按题中要求平移后，点P 也做同样的平移，平移后的坐标为(a ＋4，b －5)，由题意知，这两点都在直线l 上，∴直线l 的斜率为k ＝b －5－b a ＋4－a＝－54.] 13．(一题两空)直线l 经过点(－1,0)，倾斜角为150°，若将直线l 绕点(－1,0)逆时针旋转60°后，得到直线l ′，则直线l ′的倾斜角为________，斜率为________．30° 33 [如图所示．∵直线l 的倾斜角为150°，∴绕点(－1,0)逆时针旋转60°后，所得直线l ′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°， 斜率k ＝tan α＝tan 30°＝33.]14．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的斜率的取值范围为________．(－∞，－1]∪[3，＋∞) [如图，要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角介于直线PB 与直线P A 的倾斜角之间．当直线l 的倾斜角为钝角时，∵直线P A 的斜率为－1－42＋3＝－1，∴k ∈(－∞，－1]，当l 的倾斜角为锐角时，又直线PB 的斜率为－1－22－3＝3，∴k ∈[3，＋∞)．故k ∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．]15．已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)．(1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的取值范围．[解] (1)由斜率公式得k AB ＝1－11－(－1)＝0， k BC ＝3＋1－12－1＝3，k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33. 倾斜角的取值在区间[0°，180°)范围内，∵tan 0°＝0，∴直线AB 的倾斜角为0°.∵tan 60°＝3，∴直线BC 的倾斜角为60°.∵tan 30°＝33，∴直线AC 的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕点C 旋转，当直线CD 由CA 逆时针转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.2.1.2两条直线平行和垂直的判定 一、选择题 1．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直D [设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则有k 1·k 2＝－1，从而直线l 1与l 2垂直．]2．若过点A (2，－2)，B (5,0)的直线与过点P (2m,1)，Q (－1，m )的直线平行，则m 的值为( )A ．－1B ．17C ．2D ．12B [k AB ＝0－(－2)5－2＝23，∵AB ∥PQ ，∴m －1－1－2m＝23， 解得m ＝17.]3．已知直线l 1和l 2互相垂直，且都过点A (1,1)，若l 1过原点O (0,0)，则l 2与y 轴交点的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(0,1)D ．(1,0)B [由条件知，k l 1＝1－01－0＝1，∵l 1⊥l 2，∴k l 2＝－1.∴l 2的方程为y －1＝－1×(x －1)，令x ＝0，y ＝2.故l 2与y 轴交点坐标为(0,2)．]4．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形C [如图所示，易知k AB ＝－1－12－(－1)＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32，由k AB ·k AC ＝－1，知三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形．]5．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形B [先画出四边形ABCD 的大致图形，如图所示，由斜率公式得k BC ＝k AD ＝0，k AB ＝k CD ＝－34，所以四边形ABCD 为平行四边形．]二、填空题6．已知直线l 1的倾斜角为60°，直线l 2的斜率k 2＝m 2＋3－4，若l 1∥l 2，则m 的值为________．±2 [由题意得m 2＋3－4＝tan 60°，解得m ＝±2.]7．已知△ABC 中，A (0,3)，B (2，－1)，E ，F 分别是AC 、BC 的中点，则直线EF 的斜率为________．－2 [根据三角形的中位线定理，得EF ∥AB ，∴k EF ＝k AB ＝3－(－1)0－2＝－2.] 8．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为________时，AB ⊥CD .(－9,0) [设点D (x,0)，因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0， 所以直线CD 的斜率存在．则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1，所以4·－2－0－1－x＝－1，解得x ＝－9.] 三、解答题9.如图，在▱OABC 中，O 为坐标原点，点C (1,3)．(1)求OC 所在直线的斜率；(2)过点C 作CD ⊥AB 于点D ，求直线CD 的斜率．[解] (1)由斜率公式得k OC ＝3－01－0＝3.∴OC 所在直线的斜率为3. (2)因为OC ∥AB ，∴k OC ＝k AB .又CD ⊥AB ，∴k CD ·k AB ＝3k CD ＝－1.∴k CD ＝－13.故直线CD 的斜率为－13.10．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？[解] (1)设点D 坐标为(a ，b )，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝6，所以D (－1,6)． (2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， 所以k AC ·k BD ＝－1，所以AC ⊥BD ，所以▱ABCD 为菱形．11．(多选题)下列说法正确的有( )A ．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行B ．若l 1∥l 2，则k 1＝k 2C ．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直D ．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行AD [根据平行的判断，A 正确，但B 不一定正确，因为有可能斜率均不存在；根据垂直的判断，当一条直线斜率不存在，另一条斜率为零时，两直线才垂直，故C 不正确，D 正确．]12．已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别是k 1，k 2，k 3，其中l 1∥l 2，且k 1，k 3是方程2x 2－3x －2＝0的两根，则k 1＋k 2＋k 3的值是( )A ．1B ．32C ．72D ．1或72D [由k 1，k 3是方程2x 2－3x －2＝0的两根，解方程得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝－12，k 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝2，k 3＝－12.又l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，所以k 1＋k 2＋k 3＝1或72.]13．(一题两空)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)，若l 1∥l 2时，a 的值为________，若l 1⊥l 2时，a 的值为________．1或6 3或－4 [l 1∥l 2时，2－a a －1－3＝a ＋2－2－2－1， 解得a ＝1或a ＝6，经验证均符合题意，当l 1⊥l 2时，2－a a －4×a －3＝－1，解得a ＝3或a ＝－4，经验证均符合题意．]14．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，给出下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD .其中正确的是________．(把正确选项的序号填在横线上)①④ [∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD .故①④正确．]15．某矩形花园ABCD 内需要铺两条笔直的小路，已知AD ＝50 m ，AB ＝30 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，则在线段BC 上找到一点M ，使得两条小路所在直线AC 与DM 相互垂直．[解] 如图所示，以点B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．由AD ＝50 m ，AB ＝30 m ，可得C (50,0)，D (50,30)，A (0,30)．设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM ，且直线AC ，DM 的斜率均存在，所以k AC ·k DM ＝－1，所以30－00－50·30－050－x＝－1，解得x ＝32，即BM ＝32 m 时，两条小路所在直线AC 与DM 相互垂直．2.2.1直线的点斜式方程一、选择题1．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为( )A ．60°，2B ．120°，2－ 3C ．60°，2－ 3D ．120°，2B [由方程y －2＝－3(x ＋1)得y ＝－3x ＋2－3，∴斜率k ＝－3，在y 轴上的截距为2－3，倾斜角为120°.]2．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1B [由于两条直线平行，∴a ＝2－a ，解得a ＝1，验证知适合条件．]3．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )A B C DC [A 中，y ＝ax ，a ＞0，y ＝x ＋a 的图象错误；B 中，y ＝ax ，a ＞0，y ＝x ＋a 的图象错误；D 中，y ＝ax ，a ＜0，y ＝x ＋a 的图象错误．]4．经过点(0，－1)且与直线2x ＋3y －4＝0平行的直线方程为( )A ．2x ＋3y ＋3＝0B ．2x ＋3y －3＝0C ．2x ＋3y ＋2＝0D ．3x －2y －2＝0A [∵直线2x ＋3y －4＝0的斜率为－23，与直线2x ＋3y －4＝0平行的直线的斜率也为－23，∴经过点(0，－1)且斜率为－23的直线，其斜截式方程为y ＝－23x －1，整理得2x ＋3y ＋3＝0，故选A.]5．直线y ＝2x ＋1绕着其上一点(3,4)，逆时针旋转90°后得到直线l ，则直线l 的点斜式方程为( )A ．y －4＝2(x －3)B ．y －4＝12(x －3) C ．y －4＝－12(x －3)D ．y －4＝－2(x －3)C [逆时针旋转90°即与y ＝2x ＋1垂直，由于y ＝2x ＋1的斜率为2，则所求直线的斜率为－12，又因过点(3,4)，故直线方程为y －4＝－12(x －3)．]二、填空题6．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________．y ＝－3x ＋2 [∵直线y ＝－3x －4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3.又截距为2，∴由斜截式方程可得y ＝－3x ＋2.]7．直线l 的方向向量为(1,3)，且在y 轴上的截距为－2的斜截式方程为________．y ＝3x －2 [由于直线l 的方向向量为(1,3)，也就是直线的斜率为k ＝3，又因直线在y 轴上的截距为－2，故方程为y ＝3x －2.]8．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的点斜式方程是________．y －(－3)＝3(x －2) [∵直线y ＝13x 的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)．] 三、解答题9．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(3，－1)；(2)在y轴上的截距是－5.[解]∵直线y＝－3x＋1的斜率k＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝3 3.(1)∵所求直线经过点(3，－1)，斜率为3 3，∴所求直线方程是y＋1＝33(x－3)．(2)∵所求直线的斜率是33，在y轴上的截距为－5，∴所求直线的方程为y＝33x－5.10．根据条件写出下列直线方程的斜截式．(1)经过点A(3,4)，在x轴上的截距为2；(2)斜率与直线x＋y＝0相同，在y轴的截距与直线y＝2x＋3的相同．[解](1)法一：易知直线的斜率存在，设直线方程为y＝k(x－2)，∵点A(3,4)在直线上，∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8，∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.法二：由于直线过点A(3,4)和点(2,0)，则直线的斜率k＝4－03－2＝4，由直线的点斜式方程得y－0＝4×(x－2)＝4x－8，∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.(2)因为直线x＋y＝0的方程可化为y＝－x，斜率为－1，又直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3，所以所求直线方程的斜截式为y ＝－x ＋3. 11．(多选题)下列说法正确的有( )A ．若直线y ＝kx ＋b 经过第一、二、四象限，则(k ，b )在第二象限B ．直线y ＝ax －3a ＋2过定点(3,2)C ．过点(2，－1)斜率为－3的点斜式方程为y ＋1＝－3(x －2)D ．斜率为－2，在y 轴截距为3的直线方程为y ＝－2x ±3.ABC [A 中，直线y ＝kx ＋b 经过第一、二、四象限，则k ＜0，b ＞0，∴(k ，b )在第二象限，正确．B 中，直线可写为y －2＝a (x －3)，所以直线过定点(3,2)，正确．C 中根据点斜式方程知正确．D 中，由斜截式方程得y ＝－2x ＋3，故D 错误．]12．在等腰三角形AOB 中，|AO |＝|AB |，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)D [由条件知，直线AO 与AB 的倾斜角互补，斜率互为相反数，∴k AO ＝3，k AB ＝－3，由点斜式方程得y －3＝－3(x －1)．]13．(一题两空)若直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1，那么直线过定点________，若当－3＜x ＜3时，直线l 上的点都在x 轴上方，则实数k 的取值范围是________．(－2,1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1 [由y ＝kx ＋2k ＋1得y －1＝k (x ＋2)，由直线的斜截式方程知，直线过定点(－2,1)．又设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若－3＜x ＜3，直线l 上的点都在x 轴上方， 则需满足⎩⎨⎧ f (－3)≥0，f (3)≥0，即⎩⎨⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1.]14．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且与x ，y 轴交点的横、纵坐标之和为56的直线l 的方程为________．y ＝－23x ＋13 [由题意知，直线l 的斜率为－23，设其方程为y ＝－23x ＋b ，分别令x ＝0，y ＝0，得直线在y ，x 轴上的截距分别为b ，32b ，则b ＋32b ＝56， 解得b ＝13，故直线l 的方程为y ＝－23x ＋13.]15．已知直线l 过点(1,0)，且与直线y ＝3(x －1)的夹角为30°，求直线l 的方程．[解] ∵直线y ＝3(x －1)的斜率为3，∴其倾斜角为60°，且过点(1,0)．又直线l 与直线y ＝3(x －1)的夹角为30°，且过点(1,0)，由图可知，直线l 的倾斜角为30°或90°.故直线的方程为x ＝1或y ＝33(x －1).2.2.2直线的两点式方程一、选择题1．已知点A (1,1)，B (3,5)，若点C (―2，y )在直线AB 上，则y 的值是( ) A ．―5B ．2.5C ．5D ．―2.5A [点A (1,1)，B (3,5)，直线AB 的方程为：y －1＝5－13－1(x －1)， 即2x ―y ―1＝0，点C (―2，y )在直线AB 上，得―4―y ―1＝0，解得y ＝―5. 故选A.]2．已知△ABC 三顶点A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0A [点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0.]3．两条直线x m －y n ＝1与x n －ym ＝1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的( )A B C DB [x m －y n ＝1在两轴上的截距分别为m ，－n ；直线x n －ym ＝1在两轴上的截距分别为n ，－m ；所以符合题意的就是B.]4．过点P (1,3)，且与x 、y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0A [设方程为x a ＋yb ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝6，1a ＋3b ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝6.故所求的直线方程为：3x ＋y －6＝0.]5．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy ( ) A ．无最小值，且无最大值 B ．无最小值，但有最大值 C ．有最小值，但无最大值 D ．有最小值，且有最大值D [线段AB 的方程为x 3＋y 4＝1(0≤x ≤3)，∴y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 3，∴xy ＝4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 3＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3.∴当x ＝32时，xy 取最大值3；当x ＝0或x ＝3时，xy 取最小值0.] 二、填空题6．直线x 4－y3＝－1在两坐标轴上的截距之和为________．－1 [方程可化为x －4＋y3＝1，∴在x 轴和y 轴上的截距分别为－4和3，故－4＋3＝－1.]7．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________． 3x ＋2y －6＝0 [因为过点(0,3)，所以直线在y 轴上的截距为3，又截距之和为5，即在x 轴上的截距为2，由截距式方程得x 2＋y3＝1即3x ＋2y －6＝0.]8．直线l 过点P (－1,2)，分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为________．2x －y ＋4＝0[设A (x,0)，B (0，y )．由P (－1,2)为AB 的中点，∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02＝－1，0＋y2＝2，∴⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝4.由截距式方程得l 的方程为x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0.] 三、解答题9．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．[解] (1)设C (x ，y )，∵A (－1,2)，B (4,3) ∴AC 的中点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y ＋22BC 的中点坐标为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋42，y ＋32，又AC 中点在y 轴上且BC 中点在x 轴上， ∴x ＝1，y ＝－3，故C (1，－3)． (2)由(1)可知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，由截距式方程得x 52＋y－12＝1，整理得MN 的方程为2x －10y －5＝0.10．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．[解] 法一：由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1)，令x ＝0，得y ＝－m 4；令y ＝0，得x ＝－m 3，所以－m 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝73，解得m ＝－4.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.法二：由题意，直线l 不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ≠0，b ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－34，a ＋b ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0. 11．(多选题)下列说法正确的是( ) A ．不经过原点的直线都可以表示为x a ＋yb ＝1B．若直线与两轴交点分别为A、B且AB的中点为(4,1)则直线l的方程为x8＋y2＝1C．过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2D．直线3x－2y＝4的截距式方程为x43＋y－2＝1BCD[A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；B中，AB的中点为(4,1)，那么A(8,0)，B(0,2)的直线方程为x8＋y2＝1，故B对；C中过原点时，直线为y＝x，不过原点时直线为x＋y＝2，故C对；D中，方程3x－2y＝4可化为x 4 3＋y－2＝1，故D对．]12.已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图所示，则()A．若c＞0，则a＞0，b＞0B．若c＞0，则a＜0，b＞0C．若c＜0，则a＞0，b＜0D．若c＜0，则a＞0，b＞0D[由ax＋by＋c＝0，得斜率k＝－ab，直线在x，y轴上的截距分别为－ca，－cb.由题图，k＜0，即－ab＜0，∴ab＞0.∵－ca＞0，－cb＞0，∴ac＜0，bc＜0.若c＜0，则a＞0，b＞0；若c＞0，则a＜0，b＜0.]13．(一题两空)若A(2,5)，B(4,1)，则直线AB的方程为________；设直线AB 与两坐标轴的交点为A、B且点P(x，y)在线段AB上，则xy的最大值为________．2x＋y－9＝0818[由两点式得y－15－1＝x－42－4整理为2x＋y－9＝0.又P(x，y)在AB上，。
人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (20)(含答案解析)
18．一条斜率不为0的直线 ，令 ，则直线l的方程可表示为 .现光线沿直线l射到x轴上的点 ，反射后射到y轴上的点 ，再经反射后沿直线 射出.若 和 中 和y的系数相同，则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
19．已知曲线C的方程为 ，圆 ，则（）
A．C表示一条直线
B．当 时，C与圆M有3个公共点
（2）已知点P（a，b），过P点分别作两圆切线，若切线长相等，求a，b关系；
（3）是否存在定点M（m，n），使过点M有无数对相互垂直的直线l1，l2满足l1⊥l2，且它们分别被圆O、圆O1所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M；若不存在，请说明理由．
【答案与解析】
1．D
【解析】
先把面积表示出来，判断出 最小时，四边形 的面积最小，从而求出当PC⊥直线 时，求出 ，即可求得.
， ，
又 ，所以 ，所以 ．
故选：C．
关键点点睛：本题考查圆上两动点 与直线上动点 间的“距离”的最小值问题，解题关键是取 中点 ，把 用 表示，这样 两动点转化为一个动点 ，求得 点轨迹，利用直线与圆的位置关系求解即可．
圆 的圆心坐标为 ，
该圆心到原点的距离为 ，半径为 ，
要想圆 上存在点 ，使得 ，
说明圆 和圆 有公共点，
因此有 ，因为 ，所以 ，
故选：B
关键点睛：把问题转化为两个圆有公共点是解题的关键.
8．C
【解析】
取 中点 ，求出 点轨迹方程， ，转化求 点到直线 上点的距离的最小值，由此计算可得．
设 是 中点，因为 ，所以 ，即 在以原点为圆心， 为半径的圆上，
选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (20)
一、单选题
人教A版高中数学选修第一册同步练习第二章 直线和圆的方程(复习小结)A基础练(详细解析版)
第二章 直线和圆的方程（复习小结）（A 基础练）一、选择题1．（2020北京大兴区高二期中）圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-= 【正确答案】D【详细解析】设圆的方程为()()2211(0)x y m m -+-=>,且圆过原点,即()()220101(0)m m -+-=>,得2m =,所以圆的方程为()()22112x y -+-=.故选D.2．（2020广东揭阳三中高二期中）经过圆2220x x y ++=的圆心C,且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ） A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0【正确答案】C【详细解析】圆2220x x y ++=的圆心C 为（-1,0）,而直线与x+y=0垂直,所以待求直线的斜率为1, 设待求直线的方程为y=x+b,将点C 的坐标代入可得b 的值为b=1,直线的方程为x -y+1=0．故选 C 3．（2020莆田一中高二月考）平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是（ ） A ．2x+y+5=0或2x+y ﹣5=0 B ．2x+y+=0或2x+y ﹣=0 C ．2x ﹣y+5=0或2x ﹣y ﹣5=0 D ．2x ﹣y+=0或2x ﹣y ﹣=0【正确答案】A【详细解析】设所求直线方程为2x+y+b=0,则,所以=,所以b=±5,所以所求直线方程为:2x+y+5=0或2x+y ﹣5=0,故选A ．4．（2020山西师大附中高二月考）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点,则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【正确答案】A【详细解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以11222OABS ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.5．（多选题）（2020·江苏省如皋中学高二期中）下列说法中正确的是（ ） A ．若两条直线互相平行,那么它们的斜率相等B ．方程()()()()211211x x y y y y x x --=--能表示平面内的任何直线C ．圆22240x y x y ++-=的圆心为()1,2-,D ．若直线()2320t x y t -++=不经过第二象限,则t 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】BD【详细解析】对于A ,若两条直线均平行于y 轴,则两条直线斜率都不存在,A 错误; 对于B ,若直线不平行于坐标轴,则原方程可化为112121y y x x y y x x --=--,为直线两点式方程;当直线平行于x 轴,则原方程可化为1y y =;当直线平行于y 轴,则原方程可化为1x x =;综上所述:方程()()()()211211x x y y y y x x --=--能表示平面内的任何直线,B 正确; 对于C ,圆的方程可整理为()()22125x y ++-=,则圆心为()1,2-,C 错误;对于D ,若直线不经过第二象限,则23022t t -⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩,解得:302t ≤≤,D 正确.故选:BD . 6．（多选题）（2020·江苏常熟中学高二期中）已知圆O :224x y +=和圆M :224240x y x y +-++=相交于A 、B 两点,下列说法正确的是（ ） A ．两圆有两条公切线 B ．直线AB 的方程为24y x =+C ．线段ABD ．所有过点A 、B 的圆系的方程可以记为()()()222244240,1x y x y x y R λλλ+-++-++=∈≠-【正确答案】ABC【详细解析】A. 因为圆O :224x y +=和圆M :224240x y x y +-++=相交于A 、B 两点,所以两圆有两条公切线,故正确;B. 圆O :224x y +=和圆M :224240x y x y +-++=的方程相减得:24y x =+,所以直线AB 的方程为24y x =+,故正确;C. 圆心O 到直线AB 的距离为:d ==,所以线段AB 的长为AB ===故正确; D. 因为,1R λλ∈≠-,所以2222404240x y x y x y ⎧+-=⎨+-++=⎩恒成立,即过AB 两点,方程可化为2242440111x y x y λλλλλλ-+-++=+++,而()22224244416401111λλλλλλλλ-+⎛⎫⎛⎫-+-=> ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭+恒成立,所以方程()()()222244240,1x y x y x y R λλλ+-++-++=∈≠-表示圆,但此圆系不包括圆M ,故不正确.故正确答案为:ABC 二、填空题7.（2020全国高二课时练）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1, 则a = . 【正确答案】43-【详细解析】由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=,所以圆心为(1,4),因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,1=,解得43a =-.8．（2020湖北黄石高二期中）如图,已知圆C 与x 轴相切于点,与y 轴正半轴交于两点A,B （B 在A的上方）,且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准方程为_________;（Ⅰ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________． 【正确答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+-=;（Ⅰ）1-． 【详细解析】设点C 的坐标为00(,)x y ,则由圆C 与x 轴相切于点知,点C 的横坐标为1,即01x =,半径0r y =．又因为2AB =,所以222011y +=,即02y r ==,所以圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y -+-=,令0x =得:(0,21)B +．设圆C 在点B 处的切线方程为(21)y kx -+=,则圆心C 到其距离为:222121k d k -++==+,解之得1k =．即圆C 在点B 处的切线方程为(21)y x =++,于是令0y =可得21x =--,即圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为12--,故应填22(1)(2)2x y -+-=和12--．9．（2020山东泰安一中高二期中）若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是 ． 【正确答案】4【详细解析】依题意得OO 1＝5,且△OO 1A 是直角三角形,S △OO 1A ＝12·2AB ·OO 1＝12·OA·AO 1,因此AB ＝11225OA AO OO ⋅⋅＝＝4.10．（2020江西九江五中高二月考）已知,AC BD 为圆O:224x y +=的两条互相垂直的弦,且垂足为M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为______.【正确答案】5【详细解析】222114()52224AC BD OM S AC BD +=⋅≤==,当AC=BD=2时,最大面积为2152=． 三、解答题11．（2020全国高二课时练）在平面直角坐标系中,曲线与162+-=x x y 坐标轴的交点都在圆C 上, （1）求圆C 的方程;（2）如果圆C 与直线0=+-a y x 交于A,B 两点,且OB OA ⊥,求a 的值。
人教A版高中数学选修第一册同步练习第二章 直线和圆的方程(复习小结)B提高练(详细解析版)
第二章 直线和圆的方程（复习小结）（B 提高练）一、选择题1．（2020重庆四中高二期中）设,A B 为直线y x =与圆221x y +=的两个交点,则AB =（ ）A ．1BCD ．2【正确答案】D【详细解析】直线与圆的交点弦长可由两种方法得到:①求出圆心(0,0)到直线的距离0d ==,所以直径2AB =②直线与圆联立方程,由弦长公式12AB x =-来求得2AB =.故选D.2．（2020湖南衡阳五中高二月考）设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点,Q 是直线x ＝－3上的动点,则|PQ |的最小值为 ( )A ．6B ．4C ．3D ．2 【正确答案】B【详细解析】当PQ 所在直线过圆心且垂直于直线x ＝－3时,|PQ|有最小值,且最小值为圆心(3,－1)到直线x ＝－3的距离减去半径2,即最小值为4,故选B.3．（2020全国高二课时练）已知直线l :10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则||AB =（ ） A ．2B．C ．6D．【正确答案】C【详细解析】直线l 过圆心,所以1a =-,所以切线长2(4)14(4)216AB =-+-⨯-++=.4．（2020山东泰安一中高二月考）一条光线从点()2,3--射出,经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切,则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或53B ．35或32C ．23-或23D ．43-或34- 【正确答案】D【详细解析】由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点()2,3-,设反射光线所在直线的斜率为k ,则反射光线所在直线方程为:()32y k x +=-,即:230kx y k ---=. 又因为光线与圆相切,()()22321x y ++-=所以1=,整理:21225120k k ++=,解得:43k =-,或34k =-,故选D ． 5．（多选题）（2020·江苏建邺高二期中）以下四个命题表述正确的是（ ） A ．直线()4120mx y m R +-=∈恒过定点()0,3B ．圆C :2228130+--+=x y x y 的圆心到直线4330x y -+=的距离为2 C ．圆1C :2220x y x ++=与圆2C :224840x y x y +--+=恰有三条公切线D ．两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=的公共弦所在的直线方程为:260x y ++= 【正确答案】AC【详细解析】对于A 选项,当0x =时3y =,所以直线过定点()0,3,故A 选项正确.对于B 选项,圆C 的圆心为()1,4,到直线4330x y -+=的距离为412315-+=,所以B 选项错误.对于C 选项,圆1C 的圆心为()1,0-,半径为11r =;圆2C 的圆心为()2,4,半径为24r =.125r r ==+,所以两圆外切,故恰有三条公切线,故C 正确.对于D 选项,由22224402120x y x y x y x ⎧++-=⎨++-=⎩两式相减并化简得260x y -+=,所以D 选项错误.综上所述,正确的选项为AC.故选:AC6.（多选题）（2020山东枣庄高二月考）已知,P Q 分别为圆M :22(6)(3)4x y 与圆N :22(4)(2)1x y ++-=上的动点,A 为x 轴上的动点,则||||AP AQ +的值可能是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【正确答案】CD【详细解析】圆22N (4)(2)1x y ：,关于x 轴对称的圆为圆'22N (4)(2)1x y ：,则+AP AQ 的最小值为'22121053553MN ,又()38,9∈,故选:CD .二、填空题7．（2020·天津高考真题）已知直线80x -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =,则r 的值为_________． 【正确答案】5【详细解析】因为圆心()0,0到直线80x +=的距离4d ==,由||AB =6=解得=5r ．8．（2020辽宁盘锦四中高二期中）设点M （0x ,1）,若在圆O:221x y +=上存在点N,使得∠OMN=45°,则0x 的取值范围是________. 【正确答案】[1,1]-【详细解析】由题意知:直线MN 与圆O 有公共点即可,即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可,如图,过OA ⊥MN,垂足为A,在Rt OMA ∆中,因为∠OMN=45,所以sin 45OA OM =1≤,解得OM 因为点M （0x ,1）,所以OM =≤解得011x -≤≤,故0x 的取值范围是[1,1]-.9．（2020·南京市秦淮中学高二期中）已知直线l :mx ﹣y ＝1,若直线l 与直线x +m （m ﹣1）y ＝2垂直,则m 的值为_____,动直线l :mx ﹣y ＝1被圆C :x 2﹣2x +y 2﹣8＝0截得的最短弦长为_____．【正确答案】0或2;．【详细解析】由题意,直线mx ﹣y ＝1与直线x+m （m ﹣1）y ＝2垂直,所以m×1+（﹣1）×m （m ﹣1）＝0,解得m ＝0或m ＝2;动直线l:mx ﹣y ＝1过定点（0,﹣1）,圆C:x 2﹣2x+y 2﹣8＝0化为（x ﹣1）2+y 2＝9,圆心（1,0）到直线mx ﹣y ﹣1＝0=所以动直线l:mx ﹣y ＝1被圆C:x 2﹣2x+y 2﹣8＝0截得的最短弦长为=．故正确答案为0或2; ．10．（2020山东菏泽三中高二月考）在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值为__________．【正确答案】43【详细解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0,整理得:（x -4）2+y 2=1,即圆C 是以（4,0）为圆心,1为半径的圆;又直线y=kx -2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,∴只需圆C ′:（x -4）2+y 2=4与直线y=kx -2有公共点即可．设圆心C （4,0）到直线y=kx -2的距离为d,2d =≤即3k 2≤4k,∴0≤k≤43,故可知参数k 的最大值为43. 三、解答题11.（2020山东泰安实验中学高二期末）已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C :(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ,N 两点． (1)求k 的取值范围;(2)若OM ON ⋅＝12,其中O 为坐标原点,求|MN |. 【详细解析】（1）由题意可得,直线l 的斜率存在, 设过点A （0,1）的直线方程:y=kx+1,即:kx -y+1=0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2,3）,半径R=1．1=,解得:12k k ==．故当4433k <<,过点A （0,1）的直线与圆C:()()22231x y -+-=相交于M,N 两点． （2）设M ()11,x y ;N ()22,x y ,由题意可得,经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1,代入圆C 的方程()()22231x y -+-=, 可得()()2214170kxk x +-++=,∴()121222417,11k x x x x k k++==++, ∴()()()2212121212212411111k k y y kx kx k x x k x x k ++=++=+++=+, 由2121221248·121k k OM ON x x y y k++=+==+,解得 k=1, 故直线l 的方程为 y=x+1,即 x -y+1=0．圆心C 在直线l 上,MN 长即为圆的直径．所以|MN|=212．（2020湖北襄阳高二月考）如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆,且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A 位于点O 正北方向60 m 处,点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸),tan ∠BCO=43.（1）求新桥BC 的长;（2）当OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 【详细解析】（1） 如图,以,OC OA 为,x y 轴建立直角坐标系,则(170,0)C ,(0,60)A由题意43BC k =-,直线BC 方程为4(170)3=--y x ．又134AB BC k k =-=,故直线AB 方程为3604y x =+, 由4(170)3{3604y x y x =--=+,解得80{120x y ==,即(80,120)B ,所以150BC ==()m ;（2）设OM t =,即(0,)M t (060)t ≤≤,由（1）直线BC 的一般方程为436800+-=x y ,圆M 的半径为36805t r -=,由题意要求80,{(60)80,r t r t -≥--≥,由于060t ≤≤,因此36805t r -=6803313655t t -==-, ∴313680,5{3136(60)80,5t t t t --≥---≥∴1035t ≤≤,所以当10t =时,r 取得最大值130m ,此时圆面积最大．。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第二章直线和圆的方程 直线的交点坐标与距离公式
点的坐标为______.
[解析]∵直线 : + − = 与 : + ( − ) + − = 相交于点，且
+ − = ,
⊥ ，∴ × + × ( − ) = ，解得 = ，联立方程ቊ
易得
− = ,
解如图,由1 : − 4 + 5 = 0,2 : 2 + − 8 = 0,联
立得交点(3,2),
由1 : − 4 + 5 = 0,4 : 2 + + 1 = 0,联立得交点
(−1,1),
由2 : 2 + − 8 = 0,3 : − 4 + 14 = 0，联立得交
点(2,4),
又点到1 : − 4 + 5 = 0的距离
=
|2−4×4+5|
||
9 17
=
,
17
12 +(−4)2
= (3 + 1)2 + (2
− 1)2 = 17,
故▱ = || × = 17 ×
9 17
17
= 9.
4.（多选题）已知点(1,4)到直线： + − 1 = 0的距离为3,则实数等于
() AB
3
A.0B. C.3D.2
4
[解析]因为点到直线的距离 =
所以 = 或 =
.
|+−|
+
= ,
5.两条平行直线3 + 4 − 12 = 0与 + 8 + 11 = 0间的距离为() C
+ − = ,
= ,
人教A版高中数学选修第一册同步练习2.5.1 直线与圆的位置关系 B提高练(详细解析版)
2.5.1直线与圆的位置关系 -B 提高练一、选择题1．（2020上海高二课时练习）若直线2ax by +=与圆221x y +=有两个不同的公共点,那么点(,)b a 与圆224x y +=的位置关系是（ ）．A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定【正确答案】A【详细解析】因为直线2ax by +=与圆221x y +=有两个公共点,1<,即2<,因为点(,)b a 与224x y +=,圆224x y +=的半径为2,所以点P 在圆外.故选:A ．2．（2020湖南衡阳二中高二月考）已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）A ．12-B ．1C ．2D ．12【正确答案】C【详细解析】设过点(2,2)P 的直线的斜率为k ,则直线方程(22)y k x -=-,即220kx y k -+-=,由于和圆相切,=得12k =-,由于直线220kx y k -+-=与直线10ax y -+=,因此112a -⨯=-,解得2a =,故正确答案为C.3.直线x+y+2=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆(x -2)2+y 2=2上,则△ABP 面积的取值范围是( ) A .[2,6] B .[4,8] C .[√2,3√2] D .[2√2,3√2]【正确答案】A【详细解析】设圆心到直线AB 的距离d=√2=2√2.点P 到直线AB 的距离为d'.易知d -r ≤d'≤d+r ,即√2≤d'≤3√2.又AB=2√2,∴S △ABP =12·|AB|·d'=√2d',∴2≤S △ABP ≤6.4．（2020全国高二课时练习）点P 在直线2100x y ++=上, PA ,PB 与圆224x y +=分别相切于A ,B 两点, O 为坐标原点,则四边形P AOB 面积的最小值为 （ ） A ．24 B ．16C ．8D ．4【正确答案】C 【详细解析】分析:因为切线PA ,PB 的长度相等,所以四边形PAOB 面积为APO ∆的面积的2倍．因为PA AO ⊥, 所以要求四边形PAOB 面积的最小值,应先求PA 的最小值．当||OP 取最小值时,PA 取最小值．||OP 的最小值为点P 到直线2100x y ++=的距离d ==因为圆224x y +=的圆心坐标为(0,0)O ,半径为2r．进而可求切线PA 的长度的最小值,4=．可求四边形PAOB 面积的最小值APO 1S=2S =2|PA||AO|=42=82∆⨯⨯⨯⨯．5．（多选题）（2020·江苏连云港高二期末）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC ,AB ＝AC ＝4,点B (－1,3),点C (4,－2),且其“欧拉线”与圆M :222(3)x y r -+=相切,则下列结论正确的是（ ）A ．圆M 上点到直线30x y -+=的最小距离为B ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为C ．若点（x ,y ）在圆M 上,则x +的最小值是3-D ．圆22(1)()8x a y a --+-=与圆M 有公共点,则a 的取值范围是[1-+ 【正确答案】ACD【详细解析】由AB ＝AC 可得△ABC 外心、重心、垂心均在线段BC 的垂直平分线上,即△ABC 的“欧拉线”即为线段BC 的垂直平分线,由点B (－1,3),点C (4,－2)可得线段BC 的中点为31,22⎛⎫⎪⎝⎭,且直线的BC 的斜率32114BC k +==---,所以线段BC 的垂直平分线的斜率1k =,所以线段BC 的垂直平分线的方程为1322y x -=-即10x y --=,又圆M :222(3)x y r -+=的圆心为()3,0,半径为r ,所以点()3,0到直线10x y --=r ==,所以圆M :22(3)2x y -+=,对于A 、B,圆M 的圆心()3,0到直线30x y -+=的距离d ==所以圆上的点到直线30x y -+=的最小距离为=最大距离为=故A 正确,B 错误;对于C,令z x =+即0x z -=,当直线0x z +-=与圆M 相切时,圆心()3,0到直线的距离为32z-=,解得3z =+3z =-则x +的最小值是3-,故C 正确;对于D,圆22(1)()8x a y a --+-=圆心为()1,a a +,半径为若该圆与圆M 有公共点,则≤≤即()222218a a ≤-+≤,解得11a -≤≤+故D 正确.故选:ACD.6.（多选题）（2020江苏省响水中学高二月考）在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为2240x y x +-=.若直线()1y k x =+上存在一点P ,使过P 所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k 的取可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】AB【详细解析】222240(2)4x y x x y +-=∴-+=,P 所作的圆的两条切线相互垂直,所以P ,圆点C,两切点构成正方形=PC 即22(2)8x y -+=,P 在直线()1y k x =+上,圆心距d =≤,计算得到k -≤≤,故正确答案选AB 二、填空题7．（2020全国高二课时练习）直线l 与圆22240(3)x y x y a a ++-+=<相交于A,B 两点,若弦AB 的中点为()23C -，,则直线l 的方程为____________. 【正确答案】50x y -+=【详细解析】由圆的方程可得,圆心为(1,2)-,所以111k ==--',故直线l 的斜率为1k =,所以直线方程为32y x -=+,即50x y -+=,故填50x y -+=.8．（2020·浙江温州高二月考）已知k ∈R ,则直线:10l kx y ++=过定点__________;若直线:10l kx y ++=与圆222x y r +=恒有公共点,则半径r 的取值范围是__________.【正确答案】()0,1- [)1,+∞【详细解析】将直线10kx y ++=化简为点斜式,可得1y kx =--,∴直线经过定点(0,1)-,且斜率为k -．即直线10kx y ++=过定点()k R ∈恒过定点(0,1)-．l 和圆222:C x y r +=恒有公共点,1r ∴,即半径r 的最小值是1,故正确答案为:(0,1)-;[)1,+∞．9．（2020·上海高二课时练习）若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,P Q 两点,且120POQ ︒∠=（其中O为原点）,则k 的值为__________.【正确答案】 【详细解析】取PQ 的中点为E ,连接OE ,则OE PQ ⊥.因为120POQ ∠=︒,故60POE ∠=︒,所以12OE =,又直线l 的方程为:10kx y -+=,12=,故k = 10.（2020湖北襄阳三中高二月考）如图,正方形ABCD 的边长为20米,圆O 的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上,若线段PQ 与圆O 有公共点,则称点Q 在点P 的“盲区”中,已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动,同时,点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动,则在点P 从A 移动到D的过程中,点Q 在点P 的盲区中的时长约 秒(精确到0.1). 【正确答案】4.4【详细解析】以点O 为坐标原点,建立如下图所示的平面直角坐标系,可设点P (-10,-10+1.5t ),Q (10,10-t ), 可得出直线PQ 的方程y -10+t=20-2.5t 20(x -10),圆O 的方程为x 2+y 2=1,由直线PQ 与圆O 有公共点,可得|2.5t -202-t+10|√1+(20-2.5t 20)≤1,化为3t 2+16t -128≤0,解得0≤t ≤8√7-83,而8√7-83≈4.4,因此,点Q 在点P 的盲区中的时长约为4.4秒.三、解答题11．（2020·上海市金山中学高二期末）如图,某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计）,A 岛在O 岛的北偏东45︒方向距O 岛,B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点,O的正东方向为x 轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系.圆C 经过O 、A 、B 三点.（1）求圆C 的方程;（2）若圆C 区域内有未知暗礁,现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处,正沿着北偏东45︒行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险? 【详细解析】（1）如图所示,(40,40)A 、(20,0)B ,设过O 、A 、B 三点的圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,得:222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩, 解得20D =-,60E =-,0F =,故所以圆C 的方程为2220600x y x y +--=, 圆心为(10,30)C ,半径r =,（2）该船初始位置为点D ,则(20,D --, 且该船航线所在直线l 的斜率为1,故该船航行方向为直线l:200x y -+-,由于圆心C 到直线l的距离d ==<,故该船有触礁的危险.12．（2020全国高二课时练习）已知圆M 过C (1,﹣1),D (﹣1,1)两点,且圆心M 在x +y ﹣2=0上. （1）求圆M 的方程;（2）设P 是直线3x +4y +8=0上的动点,P A ,PB 是圆M 的两条切线,A ,B 为切点,求四边形P AMB 面积的最小值. 【详细解析】（1）设圆M 的方程为:()()()2220x a y b r r -+-=>,根据题意得222222(1)(1)1(1)(1)1202a b r a a b r b a b r ⎧-+--==⎧⎪⎪--+-=⇒=⎨⎨⎪⎪+-==⎩⎩,故所求圆M 的方程为:()()22114x y -+-= （2）如图四边形PAMB 的面积为PAM PBM S S S ∆∆=+ 即()12S AM PA BM PB =+ 又2,AM BM PA PB ===,所以2S PA =,而PA =,即S =因此要求S 的最小值,只需求PM 的最小值即可,PM 的最小值即为点M 到直线3480x y ++=的距离所以min34835PM++==,四边形PAMB 面积的最小值为=.。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第二章 直线和圆的方程 圆的方程
C.( + 2)2 + ( − 3)2 = 53D.( − 2)2 + ( + 3)2 = 13
[解析]∵点(, −)，(, −)，
∴ || =
( − ) + (− + ) = ，即圆的半径 = .又圆心为(, −)，
( − 8)2 + 2 = 36( ≠ 0)
_________________________.
[解析]设点(, )( ≠ ),
则点( , ).
∵点(, ),且边上的中线长为3,
∴
(
−
) +( ) =
,即( − ) + = ( ≠ ).
范围为(−∞, ) ∪ (, +∞),故选D.
5.若点(3,0)是圆 2 + 2 − 8 − 4 + 10 = 0内一点，则过点(3,0)的最长的弦所在
的直线方程是() C
A. + − 3 = 0B. − − 3 = 0C.2 − − 6 = 0D.2 + − 6 = 0
圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线 = 过圆心,故B正确；
圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线 + − = 过圆心,故C正确；
圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线 − + = 不过圆心,故D不正确.
(0,10)
7.已知点(1, −1)在圆( + 2)2 + 2 = 的外部,则实数的取值范围是_______.
人教A版高中数学选择性必修第一册课后习题 第2章 直线和圆的方程 2.4.1 圆的标准方程
2.4 圆的方程2.4.1 圆的标准方程课后训练巩固提升A组1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别为( )A.(-2,3),1B.(2,-3),3C.(-2,3),√2D.(2,-3),√2答案:D2.已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外解析:∵(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P在圆内.答案:C3.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的标准方程是( )A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52解析:设该直径的两个端点分别为P(a,0),Q(0,b),则点A(2,-3)是线段PQ 的中点,故P(4,0),Q(0,-6),圆的半径r=|PA|=√(4-2)2+32=√13.所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.答案:A4.已知圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称,则k的值为( )A.2B.-2C.1D.-1解析:由题意知圆心(1,1)在直线y=kx+3上,则k=-2.答案:B5.若点P(2,-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则AB所在直线的方程是( )A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0解析:由题意知圆心C的坐标为(1,0).由圆的几何性质,知AB⊥CP,∵k CP=-1,∴k AB=1.∴AB所在直线的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.答案:A6.与圆(x-2)2+(y+3)2=16同圆心,且过点P(-1,1)的圆的标准方程是 . 解析:圆(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标为(2,-3). 设所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=r 2.由点P(-1,1)在圆上,得(-1-2)2+(1+3)2=r 2,解得r 2=25. 故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 答案:(x-2)2+(y+3)2=257.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴的交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的标准方程是 .解析:由题意得线段AB 的中点(-2,32)为圆的圆心,直径|AB|=5.故以(-2,32)为圆心,52为半径的圆的标准方程为(x+2)2+(y -32)2=254.答案:(x+2)2+(y -32)2=2548.若点P(1,-1)在圆x 2+y 2=r 的外部,则实数r 的取值范围是 .解析:由题意得12+(-1)2>r,即0<r<2,故r 的取值范围是(0,2). 答案:(0,2)9.已知点A(1,2)和圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a 2,试分别求满足下列条件的实数a 的取值范围: (1)点A 在圆的内部;(2)点A 在圆上; (3)点A 在圆的外部. 解:(1)∵点A 在圆的内部,∴(1-a)2+(2+a)2<2a 2,即2a+5<0,解得a<-52.故a 的取值范围是(−∞,−52).(2)将点A(1,2)的坐标代入圆的方程,得(1-a)2+(2+a)2=2a 2,解得a=-52,故a的值为-52.(3)∵点A 在圆的外部,∴(1-a)2+(2+a)2>2a 2, 即2a+5>0,解得a>-52,且a≠0.故a 的取值范围是(−52,0)∪(0,+∞).10.求过O(0,0),M(1,1),N(4,2)三点的圆的标准方程,并求这个圆的半径和圆心坐标及圆的标准方程.解:由题意得线段OM 的中点坐标为(12,12),直线OM 的斜率为1,则线段OM的垂直平分线的斜率为-1,于是,线段OM 的垂直平分线的方程为y-12=-(x -12),即x+y-1=0.① 同理,可得线段ON 的垂直平分线的方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.② 联立①②,解得x=4,y=-3,即圆心坐标为(4,-3),又圆过O(0,0),进而求得圆的半径r=5.因此,圆的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25.B 组1.函数y=√9-x 2的图象是( ) A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线D.一个半圆弧解析:因为y=√9-x 2可化为x 2+y 2=9(y≥0), 所以y=√9-x 2的图象是一个半圆弧. 答案:D2.过P(2,2),Q(4,2)两点,且圆心在直线x-y=0上的圆的标准方程是( )A.(x-3)2+(y-3)2=2B.(x+3)2+(y+3)2=2C.(x-3)2+(y-3)2=√2D.(x+3)2+(y+3)2=√2解析:由题意得,线段PQ 的垂直平分线方程为x=3. 由{x =3,x -y =0,得{x =3,y =3.所以,圆心坐标为(3,3),半径r 满足r 2=(3-2)2+(3-2)2=2. 故所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=2. 答案:A3.以(a,1)为圆心,且圆心到直线2x-y+4=0与直线2x-y-6=0的距离均等于半径的圆的标准方程为( ) A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y 2=5D.x 2+(y-1)2=5解析:因为两条平行直线2x-y+4=0与2x-y-6=0间的距离d=|-6-4|√5=2√5,所以所求圆的半径r=√5.由题意,圆心在直线2x-y-1=0上,将(a,1)代入可得a=1,即圆心为(1,1). 所以,所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5. 答案:A4.已知圆O:x 2+y 2=1,点A(-2,0)和点B(2,a),从点A 观察点B,要使视线不被圆O 挡住,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(-1,+∞) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-∞,-4√33)∪(4√33,+∞)D.(-∞,-4)∪(4,+∞)解析:如图,在Rt △AOC 中,由|OC|=1,|AO|=2,可得∠CAO=30°.在Rt △BAD 中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可得BD=4√33,再由图直观判断,故选C. 答案:C5.已知圆C 经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x 轴上,则圆C 的标准方程为 .解析:设圆心坐标为(a,0),则√(a -5)2+(-1)2=√(a -1)2+(-3)2,解得a=2.所以,圆心坐标为(2,0),半径为√10. 所以,圆C 的标准方程为(x-2)2+y 2=10. 答案:(x-2)2+y 2=106.已知直线l:x4+y3=1与x 轴、y 轴分别相交于点A,B,O 为坐标原点,则△AOB 内切圆的标准方程为 . 解析:设△AOB 内切圆的圆心为M(m,m),则半径为m. 由题意得A(4,0),B(0,3),则|OA|=4,|OB|=3,|AB|=5. 由等面积法,得12×3×4=12×(3+4+5)×m,解得m=1.所以,△AOB 内切圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1. 答案:(x-1)2+(y-1)2=17.若圆C 经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,求当半径最小时圆的标准方程.解法一:设圆心坐标为(a,-2a+3),则圆的半径r=√(a -0)2+(-2a +3-0)2=√5a 2-12a +9=√5(a -65)2+95.当a=65时,r min =3√55. 故所求圆的标准方程为(x -65)2+(y -35)2=95.解法二:如图所示,圆的半径的最小值即为原点O 到直线y=-2in =|0+0-3|√22+12=3√55. 设圆心坐标为(a,-2a+3),则√(a -0)2+(-2a +3-0)2=3√55,解得a=65,即圆心坐标为(65,35).故所求圆的标准方程为(x -65)2+(y -35)2=95.8.已知x,y 满足x 2+(y+4)2=4,求√(x +1)2+(y +1)2的最大值与最小值. 解:设点P(x,y),A(-1,-1),则点P 在圆C:x 2+(y+4)2=4上,其中圆心C(0,-4),半径r=2.P,A 两点间的距离|PA|=√(x +1)2+(y +1)2.因为(-1)2+(-1+4)2>4,所以点A(-1,-1)在圆外.而|AC|=√(0+1)2+(-4+1)2=√10,所以|PA|=√(x+1)2+(y+1)2的最大值为|AC|+r=√10+2,最小值为|AC|-r=√10-2.。
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直线与圆重难点提分宝典（一）同步练习（答题时间：40分钟）一、选择题1. 过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A. 2x＋y－5＝0B. 2x＋y－7＝0C. x－2y－5＝0D. x－2y－7＝02. 已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为（x＋a）2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是（）A. {1，－1，3，－3}B. {5，－5，3，－3}C. {1，－1}D. {3，－3}3. 圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A. 或－B. 或－C. D.二、填空题5. 直线l：kx－y＋k＋1＝0与圆x2＋y2＝8交于A，B两点，且|AB|＝4，过点A，B分别作l的垂线与y轴交于点M，N，则|MN|=________。
6. 若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________。
7. 已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆（x－2）2＋（y－3）2＝8相外切，则圆C的方程为________________。
8. 已知直线l：x＋ay－1＝0（a∈R）是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴。
过点A（－4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________。
三、解答题**9. 据气象台预报，在S岛正东300公里的A处形成一个台风中心，并以每小时40公里的速度向西北方向移动，在距台风中心250公里以内的地区将受其影响。
问从现在起，经过______小时台风将影响S岛，持续时间________小时。
直线与圆重难点提分宝典（一）同步练习参考答案1.【答案】B【解析】∵过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点（3，1）在圆（x－1）2＋y2＝r2上，∵圆心与切点连线的斜率k＝＝，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2（x－3），即2x＋y－7＝0。
故选B。
2. 【答案】A【解析】由题意得两圆的圆心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，解得a＝3或a＝－3或a＝1或a＝－1，所以a的所有取值构成的集合是{1，－1，3，－3}。
3. 【答案】C【解析】圆的方程化为（x＋1）2＋（y＋2）2＝8，圆心（－1，－2）到直线距离d＝＝，半径是2，结合图形可知有3个符合条件的点。
4. 答案】B【解析】因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得＝1，所以a＝±。
5.【答案】8【解析】|AB|＝4为圆的直径，所以直线AB过圆心（0，0），所以k＝－1，则直线l的方程为y＝－x，所以两条垂线的斜率均为1，倾斜角45°，结合图象易知|MN|＝2××2＝8。
6.【答案】8【解析】圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1（0，0），半径r1＝1，圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4的圆心为C2（3，－4），半径r2＝2，∴|C1C2|＝5。
又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8。
7.【答案】（x＋1）2＋y2＝2【解析】由题意知圆心C（－1，0），其到已知圆圆心（2，3）的距离d＝3，由两圆相外切可得R＋2＝d＝3，即圆C的半径R＝，故圆C的标准方程为（x＋1）2＋y2＝2。
8.【答案】6【解析】由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，则圆心C（2，1）满足直线方程x＋ay－1＝0，所以2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以A点坐标为（－4，－1）。
从而|AC|2＝36＋4＝40。
又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36。
即|AB|＝6。
9.【答案】2；6. 6【解析】以A为原点，AS所在直线为x轴建立坐标系如图。
则S（－300，0）以S为圆心，250为半径的圆的方程为。
由题意台风中心从A处以每小时40公里的速度向西北方向移动。
故台风中心的移动轨迹为射线y＝－x（x≤0），据题意可知，距台风中心250公里以内地区将受其影响。
即台风中心移动到线段MN上时，S岛受其影响。
由得，，N（x1，y1），M（x2，y2）则AN≈79. 8；AM≈344. 4；≈2；≈8. 6。
直线与圆重难点提分宝典（二）同步练习（答题时间：40分钟）一、选择题1. 已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是（）A. 相切B. 相交C. 相离D. 不能确定2. 直线ax＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，则圆的半径最大时，a的值是（）A. 1B. －1C. ±1D. a可为任意非零实数3. 与圆x2＋y2＋2y＋1＝0相切，且在两坐标轴上截距相等的直线的条数为（）A. 2B. 3C. 4D. 64. 圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0与圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条5. 当a为任意实数时，直线ax－y－2（a＋1）＝0恒过定点M，则以M为圆心并且与圆N：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相外切的圆的方程是（）A. （x＋2）2＋（y＋2）2＝9B. （x－2）2＋（y＋2）2＝9C. （x－2）2＋（y－2）2＝16D. （x－2）2＋（y＋2）2＝16**6. 已知点P（x，y）是直线kx＋y＋4＝0（k>0）上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k 的值为（）A. 3B.C. 2D. 2二、填空题7. 已知圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0（a＜0）的圆心在直线x－y＋＝0上，且圆C上的点到直线x＋y＝0的距离的最大值为1＋，则a2＋b2的值为。
8. 已知P（x，y）为圆（x－2）2＋y2＝1上的动点，则|3x＋4y－3|的最大值为________。
9. 已知直线l：ax－3y＋12＝0与圆M：x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，且∠AMB＝，则实数a＝________。
10. 已知两点A（0，－3），B（4，0），若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为__________。
11. 设A为圆C：（x＋1）2＋y2＝4上的动点，PA是圆C的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是____________。
三、解答题**12. 设AB是圆x 2＋y2＝1的一条直径，以AB为直角边，B为直角顶点逆时针方向作等腰直角三角形ABC，当AB变动时，求C点的轨迹。
直线与圆重难点提分宝典（二）同步练习参考答案1.【答案】A【解析】由已知得C：（x－1）2＋（y－m）2＝4，即圆心C（1，m），半径r ＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心（1，m）在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2. 由圆心C（1，2）到直线x＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r 知，直线x＝－1与圆C相切。
故选A。
2.【答案】C【解析】由题意得，圆心（0，0）到直线ax＋y＋2＝0的距离等于半径r，即＝r。
由基本不等式，得r≤＝，当且仅当a4＝1，即a＝±1时取等号。
故选C。
3.【答案】B【解析】圆的标准方程为x2＋（y＋）2＝1，设切线方程为y＝kx＋m，则＝1，整理得（＋m）2＝k2＋1，又因为切线在两坐标轴上的截距相等，所以m＝－，联立方程得，解得或所以切线方程为y＝±x或y＝－x－2，切线共有3条4.【答案】B【解析】C1（－2，2），r1＝2，C2（2，5），r2＝4，|C1C2|＝＝5，r 2－r1<|C1C2|<r1＋r2，圆C1与圆C2相交，故选B。
5.【答案】B【解析】y＋2＝a（x－2），即圆心为M（2，－2）。
又由（x＋1）2＋（y－2）2＝4，得圆心为N（－1，2），半径为2。
由|MN|＝r＋2，得＝5＝r＋2，即r＝3。
所以所求圆的方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝9，故选B。
6.【答案】D【解析】圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为（0，1），半径r＝1。
由圆的性质，知S四边形PACB＝2S△PBC。
∵四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值为1，则rd min ＝1（d是切线长），∴d min＝2。
∵圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离就是PC的最小值，∴|PC|min＝＝＝。
∵k>0，∴k＝2。
故选D。
7.【答案】3【解析】解析：易知圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝1，所以圆心为（a，b），由圆心在直线x－y＋＝0上，可得a－b＋＝0，即b＝（a＋1）①。
圆C上的点到直线x＋y＝0的距离的最大值d max＝1＋＝＋1，得|a＋b|＝2 ②。
由①②得 |2a＋1|＝2，又a＜0，所以a＝－，a2＋b2＝a2＋3（a＋1）2＝3。
8.【答案】8【解析】法1：设t＝3x＋4y－3，即3x＋4y－3－t＝0。
由圆心（2，0）到直线3x＋4y－3－t＝0的距离d＝≤1，解得－2≤t≤8。
所以|3x＋4y－3|max＝8。
法2：令x=2+cosθ，y=sinθ，则，即|3x＋4y－3|max＝8。
9.【答案】±【解析】直线l的方程可变形为y＝ax＋4，所以直线l过定点（0，4），且该点在圆M上。
圆的方程可变形为x2＋（y－2）2＝4，所以圆心为M（0，2），半径为2。
如图，因为∠AMB＝，所以△AMB是等边三角形，且边长为2，高为，即圆心M到直线l的距离为，所以＝，解得a＝±。
10.【答案】【解析】x2＋y2－2y＝0可化为x2＋（y－1）2＝1，则圆C为以（0，1）为圆心，1为半径的圆。
如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝，又|AB|＝＝5，所以△ABP的面积的最小值为×5×＝。
11.【答案】（x＋1）2＋y2＝5【解析】圆心C（－1，0），半径r＝2，则|PC|＝＝＝。
则动点P的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，故P点的轨迹方程为（x＋1）2＋y2＝5。