第14讲.反证法与同一法.目标预备班

反证法反证法是一种间接证法．为了证明某个命题的正确性，先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的目的，这种方法就是反证法．反证法的逻辑根据是“排中律”：对于同一思维对象，所作的两种互相对立的判断只能一真一假、反证法就是通过证明结论的反面不真而肯定结论为真的一种证明方法．用反证法证明一个命题的正确性的步骤，大体上分为：（1）反设：假设结论的反面成立；（2）归谬：由反设及原命题的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾；（3）结论：否定反设，肯定原命题正确．按照反设所涉及到的情况的多少，反证法可分为归谬反证法与穷举反证法．1．若结论的反面只有一种情形，那么，反设单一，只须驳倒这种情形，便可达到反证的目的．这叫归谬反证法．2．若结论的反面不只一种情形，那么，要将各种情形一一驳倒，才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法．【例1】设)0是一次函数()0y ax b a=+≠上一点，试证y ax b=+的图象至多只能通过一个有理点（横坐标和纵坐标都是有理数的点）．夯实基础知识导航板块一反证法14反证法与同一法【解析】将x =，0y =代入y ax b =+，得b =，于是(y a x =，设()0y ax b a =+≠的图象上有两个不同的有理点()11x y ，、()22x y ，，则1x 、1y 、2x 、2y 都是有理数，且((1122y a x y a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去a，变形得122121x y x y y y --因为12x x ≠，则12y y ≠，所以上式左端是有理数，它不可能等于无理数，故()0y ax b a =+≠的图象至多只能通过一个有理点．【备选】 求证:平面上任意两个不同的整点到点P 的距离都不相等． 【解析】 假设结论不成立，则平面上两个不同的整点(,)A a b 、(,)B c d （其中a 、b 、c 、d 都是整数）使得AP BP =．由22AP BP =可得2222((((a b c d -+-=-+-，即22222(2(a c b d a b c d --+--，从而22222228()12()8()(()a c b d a c b d a b c d -+-+--=+--，进而可得22222228()(()8()12()a c b d a b c d a c b d --+------， 因此()()0a c b d --=．⑴ 若0a c -=，则0b d -=，从而a c =，b d =，A 、B 重合． ⑵ 同理，若0b d -=，A 、B 重合．习题1. 若0a ≠，则关于x 的方程0ax b +=的解是唯一的．【解析】 因为0a ≠，则bx a=-是0ax b +=的一个解，假设0ax b +=的解不是唯一的，不妨设1x 、2x 都是0ax b +=的解，这里12x x ≠，则 10ax b += ①20ax b += ②①-②得 ()120a x x -=由于12x x ≠，所以120x x -≠，则0a =，这与0a ≠矛盾． 故若0a ≠，则x 的方程0ax b +=的解是唯一的．【点评】证明的第一行是说明解的存在，在这种情况下，结论“解是唯一的”的否定是“至少有两个解”，但本题的反设是“若1x 、2x （12x x ≠）是0ax b +=的解”，其实，这里省去了“只要有两个不同的解，就能导出矛盾，当然不可以有更多的不同的解”的推理．【例2】 平面上有一点P 及ABC △，若PB PC AB AC +>+，求证：点P 在ABC △外部． 【解析】 假设点P 不在ABC △外部，则有如下几种可能：⑴ 若点P 在BC 边上（如下左图）．由PB PC BC AB BC +=<+，与已知矛盾，所以点P 不可能在BC 边上． ⑵ 若点P 在AC （或AB ）边上（不包括端点）（如下中图），则PB AB AP <+所以PB PC AB AP PC AB AC +<++=+与已知矛盾，所以点P 不可能在AC （或AB ）边上．P CB AAB CPDAB CP⑶若P与A重合，显然PB PC AB AC+=+，与已知矛盾，故点P不可能是A点．⑷若点P在ABC△内（如上页右图），延长BP交AC于D，则AB AD BP PD+>+①PD DC PC+>②①+②得AB AD PD DC BP PD PC+++>++即AB AC PB PC+>+，与已知矛盾，所以点P不在ABC△内．由以上⑴～⑷知，点P必在ABC△外．习题2.如右图，在凸四边形ABCD中，若AB BD AC CD++≤，求证：AB AC<．DCBA【解析】设AB AC≥，则ACB ABC∠∠≥，因为ABCD是凸四边形，所以BCD ACB∠>∠，ABC DBC∠>∠，则B C D D B C∠>∠，于是BD CD>，故A B B D A C C D+>+，与已知条件矛盾，因此，AB AC<得证．习题3.在同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a与b相交，c a⊥，d b⊥，则c与d也相交．【解析】假设c d∥，因为a c⊥，所以a d⊥，又因为b d⊥，所以a、b平行，这与已知条件a 与b相交矛盾，故c与d也相交．【例3】在四边形ABCD中，OA OC=，ABC ADC∠=∠，求证：ABCD是平行四边形．【解析】若OB OD=，则显然ABCD是平行四边形．若OB OD≠，不妨设OB OD>，则在OB上取点'B，使得'OB OD=，连结''AB B C、，则四边形'AB CD 是平行四边形，则'ADC AB C ABC∠=∠>∠，矛盾！探索提升故ABCD 是平行四边形．习题4. 已知在四边形ABCD 和''''A B C D 中，''AB A B =，''BC B C =，''CD C D =，''DA D A =，且AB CD ∥，''''B C D A ∥．证明：这两个四边形都是平行四边形．【解析】 显然，若AB CD =则结论成立．否则，不妨设AB CD >，BC DA >．如图，在线段BA 上截取BE CD =，连结DE ； 则四边形EBCD 是平行四边形，DE BC =． 同样，在线段''B C 上截取'''B F A D =， 则'''A B FD 是平行四边形，'''D F A B =．那么'''''AB CD AE ED AD BC AD B C A D FC -=>-=-=-=，'''''''D F C D A B C D AB CD >-=-=-，矛盾!即两个四边形均是平行四边形．【例4】 G 是ABC △的重心，若AB GC ACGB +=+，则AB AC =．BB【解析】 若AB AC ≠，不妨设AB AC >，通过倍长中线可得CAG BAG ∠>∠，作点C 关于AG 的对称点'C ，则由“8字模型”，''AB GC AC GB +>+， 可得AB GC AC GB +>+，矛盾！故AB AC =．【例5】 试证明雷米欧司—斯坦纳定理：内角平分线相等的三角形是等腰三角形．非常挑战FEDCB A【解析】 如图，若AB AC >，则一方面， ACB ABC ∠>∠，DCB EBC ∠>∠，在DBC △和EBC △中，CD BE =，BC CB =于是BD CE > ……① 另一方面，作DBEF □，则BE DF =，又BE CD = ∴FDC △为等腰三角形，其中DF DC = ∴FCD DFC ∠=∠，而ABE ACD ∠<∠∴EFC ECF ∠>∠，从而EC EF BD >= ……② 综合①、②，矛盾．【备选】 设凸五边形ABCDE 的各边相等，并且A B C D E ∠∠∠∠∠≥≥≥≥，求证：此五边形是正五边形．【解析】 假设A E ∠>∠，那么在BAE △和AED △中，由BAE AED ∠>∠可得BE AD >；因此，在ABD △和EBD △中，由BE AD >可得BDE ABD ∠>∠．另外，由BC CD =可得BDC CBD∠=∠，结合BDE ABD ∠>∠可得CDE CBA ∠>∠，而这与已知条件B D ∠≥∠矛盾．所以A E ∠≤∠，结合已知条件可得A B C D E ∠=∠=∠=∠=∠，得证．本题中，多次使用了“两边对应相等的两个三角形中，夹角越大，则第三边也越大；反之亦然”这一定理．板块二 同一法同一法在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法是间接证法的一种．当要证明某种图形具有某种特性而不易直接证明时，使用此法往往可以克服这个困难．用同一法证明的一般步骤是:(1)不从已知条件入手，而是作出符合结论特性的图形； (2)证明所作的图形符合已知条件；(3)推证出所作图形与已知为同一图形．【例6】 在等腰ABC △中，AB AC =，36A ∠=︒，D 是AC 上的一点，满足AD BC =；求证：（1）ABD CBD ∠=∠；（2）BD BC =．【解析】 由点D 的唯一性，利用同一法可以轻松解决问题．【例7】 在ABC △中，D 是BC 边上一点，40B ∠=︒，30BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．【解析】 在BC 所在直线上找点'C ，使得'AC AB =，连结'AC则'40C ∠=︒，70ADC ∠=︒，那么'70DAC ∠=︒，由此''DC AC AB DC ===，即C 、'C 重合．所以40C ∠=︒．知识导航探索提升习题5. 在ABC △中，D 是BC 边上一点，42B ∠=︒，27BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．【解析】 说明：答案为42︒；题目可进一步变成“在ABC △中，D 是BC 边上一点，B α∠=，BAD β∠=，32180αβ+=︒，AB CD =，求C ∠”．【备选】 在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B C ∠+∠=︒，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：()12EF BC AD =-．【解析】 延长BA 、CD 交于点P ，连结PF 交AD 于点'E ，利用线束定理容易证明'E 即为AD 的中点，那么E 、'E 重合，则1122EF PF PE BC AD =-=-，得证．【例8】 在ABC △中，AD 是角平分线，I 是AD 上一点，且1902BIC BAC ∠=︒+∠，则I 为ABC △的内心．【解析】 设'I 为三角形的内心，显然'I 必在AD 上，且1'902BI C BAC ∠=︒+∠．若点I 在'AI 上，易得1902BIC BAC ∠<︒+∠；若点I 在'I D 上，易得1902BIC BAC ∠>︒+∠．所以，点I与点'I 重合，即I 为三角形的内心．习题6. 如图，I 是ABC △的BAC ∠的角分线上一点，直线MN 过点I ，与A B A C 、边分别交于点M N 、，且ABI NIC ∠=∠，ACI MIB ∠=∠．求证：I 是ABC △的内心．非常挑战【解析】1180902BIC MIB NIC BAC∠=︒-∠-∠==︒+∠，结合上题结论可知，I是ABC△的内心．。