一类混合单调算子的不动点定理

合集下载

格空间中混合单调算子的不动点定理

Ａｃｉｅｅｎ型向量格．ｒｈｍｄａ
收稿日期：２１．６ｌ０００一８基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７１９；苏省２１年研究生科研创新计划（Ｘ１ＳＯ７）１９１７）江００Ｃ０－３Ｚ
作者简介：孙洁（９７）女，江苏宿迁人，硕士研究生，１８．，研究方向为非线性泛函分析．
格Ｅ的序区间形式为［，］＝｛ ∈ Ｅ， ≤ ≤ ：的任何集合，中 ≤ ，， ∈ Ｅ．：｝其２
定义４若Ｅ为向量格，对于 ∈ Ｐ，若对于Ｖｎ∈ Ｎ，，Ｙ∈ Ｅ，有 ≤ ）＝：０则称Ｅ为，＞＝，
（ｉｉ）如果Ｙ∈ Ｘ满足 ≤ ＹＶ ∈ Ｄ，，就有 ≤ Ｙ．
则称是Ｄ的上确界，为ｚ：ｓｐ类似的可以定义下确界ｉｆ记ｕＤ．ｎＤ．
定义２设是一个半序集．果对ＶＹ∈ Ｘ，如，都存在ｓｐ，｝ｉｆＹ，ｕ｛Ｙ和ｎ｛｝则称是一个格．，
染病模型研究有着广泛的应用．因此，国内外研究成果不断涌现｜］国内外在研究各种非线性问题时大１．。
都使用了两个基本条件，即连续性条件和紧性条件．文利用半序方法（序由锥Ｐ导出）在非常弱的本半，紧陛条件 —— 格拟可分和格列紧条件下，得到了不动点定理．在格空间中，种格拟可分和格列紧是很这容易被满足的．我们把算子Ａ表为Ａ＝ＢＣ的形式，分别对日和ｃ算子加条件，以得到格混合单调算子可４的不动点．Ｂｎｃ空间中利用锥理论、序方法、调迭代等方法研究混合单调算子．在ａａｈＪ半单而本文是

一类混合单调算子的不动点定理

Ｆｉｅｉｔｔｏｅｓｆｒａｃａｓｏｉｅｍｏｔｎｐｅａｏｓｘｄｐｏｎｈｅｒｍｏｌｓｆｍｘｄｎｏｏｅｏｒｔｒ
ＳＮＱｎ，ＬＡｈｘＵｉｕｆＵＮＳｉａｉ
（ｃｏｌｆＭａｈｍｔａｃｎｅ。ｐＮｏｍｌＵｉｒｔ，ＱＳｈｏｏｔｅａｉｌｉｃｓｃＳｅｒａｎｖｓｙＳａｄｎ２３６Ｃｉａｅｉｈｎｏｇ７１５，ｈｎ）
到了有关混合单调算子、增算子和减算子的新的不动点定理，并给出了此迭代的误差估计，所得结果是某些已知结果的本质改进和推广，更是改进了文献［］８的主要结果，也统一和改进了现有文献的一些结论，本文的结果更便于应用．以下总假设Ｅ是一个实Ｂｎｃａａｈ空间，Ｐ是Ｅ中的正规锥，为锥Ｐ的正规常数，表示Ｅ中的零元 Ⅳ ０素，中半序 ≤ 由锥Ｐ导出，于锥和半序理论参见文献［］设ｕ，。关９．。 ∈Ｅ，。，称Ｄ＝［。１］＝／＜则Ｘ “ ，。３
｛Ｉ戈 ≤ ≤ ｝Ｅ中的序区间．Ｍ为
定义１设非空集ＤＣＥ算子ＡＤ× — 称为混合单调算子，，：Ｄ如果
收文日期：０８０ —３；２０－２１修订日期：０８６０２０－－２０基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７１７；１７１１）曲阜师范大学青年基金资助项目（Ｊ７２ｘ０１）作者简介：孙钦福（９７一）山东高密人，１６，副教授，硕士．研究方向：非线性泛函分析．

混合单调算子的不动点定理及其应用

设‰ ＞，记Ｐ＝｛Ｉ ∈Ｅ，３Ａ（）＞０，（）＞０，ｓ．ｔ．Ａ（）Ｍｏ ≤ ≤ （）ｏ｝，显然ＰＣ
ＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔＴｈｅｏｒｅｍｓｏｆＭｉｘｅｄＭｏｎｏｔｏｎｅＯｐｅｒａｔｏｒｓａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ＬＩＵＣｈｕｎ — ｈａｎ，ＷＡＮＧＪｉａｎ－ｇｕｏ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＱｉｌｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｉｙ，Ｊｉｎａｎ２５００１３，Ｃｈｉｎａ）
李普希斯条件”或者算子的凹凸性来研究的。文中在Ｂａｎａｃｈ空间中不假定算子具有连续性
和紧ｌ生条件的情况下，讨论了混合单调算子Ａ（，Ｙ）
Ｄ ×Ｄ＿ ÷Ｅ：
不动点的存在唯一性，该算子满足其中一个变量具有某种凹凸性，另一个变量满足 “ 序李普希斯条件” 。最后把它运用到非线性积分方程中，改进了相关文献中的相应结果。
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｐａｒｔｉａｌｏｒｄｅｒｍｅｔｈｏｄ，ｓｅｖｅｒａｌｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｔｈｅｏｒｅｍｓｏｆｔｈｅｉｆｘｅｄｐｏｉｎｔｓｏｆｍｉｘｅｄｍｏｎｏｔｏｎｅｏｐｅｒａｔｏｒｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｗｉｔｈｏｕｔａｎｙｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓｏｒｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｉｎｔｈｅＢａｎａｃｈｓｐａｃｅ．Ｔｈｅｔｈｅｏｒｅｍｓａｒｅａｐｐｌｉｅｄｔｏａｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｎｔｅｇｒａｌｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｉｘｅｄｍｏｎｏｔｏｎｅｏｐｅｒａｔｏｒ，０ｃｏｎｃａｖｅｏｐｅｒａｔｏｒ，ｉｆｘｅｄｐｏｉｎｔ，ｏｒｄｅｒＬｉｐｓｃｈｉｔｚｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ

关于一些混合单调算子的不动点定理及推广的开题报告

关于一些混合单调算子的不动点定理及推广的开题报告一、选题背景：在函数论中，不动点是一个很有用的概念。

各种算子的不动点定理也是函数论的重要构成部分。

然而，一些特殊的算子如混合单调算子的不动点定理及其推广研究较少，这也成了本文选题的一个重要原因。

混合单调算子属于混合型算子，可以看作是把单调算子与非单调算子混合起来。

它的研究在优化、数学物理等领域有着广泛的应用。

二、研究目的：本文旨在探讨混合单调算子的不动点定理及其推广，在相关领域对混合单调算子的研究作一定的补充。

三、研究内容：1、不动点定理的基本定义和原理2、混合单调算子的定义及性质3、混合单调算子的一些特征4、混合单调算子的拓展及其不动点定理推广5、混合型算子及其应用四、研究方法：综合运用多种数学工具和方法，如拓扑学、泛函分析、非线性分析等。

五、研究意义：1、丰富和完善函数论中算子的不动点定理2、提高混合单调算子的理论应用价值3、为混合型算子在优化、数学物理等领域的研究提供理论基础六、预期成果：通过对混合单调算子的研究，得到一些混合型算子的新的不动点定理及推广，具有一定的理论创新和实际应用价值。

七、研究难点：混合单调算子比较复杂，其中一些性质难以证明，需要运用多种数学方法解决问题。

八、研究计划：1、确定研究方向和问题。

2、查阅相关文献，深刻理解混合单调算子及其不动点定理的基本概念和原理。

3、分析混合型算子的特征及混合单调算子的拓展。

4、运用适当的工具和方法对混合单调算子的不动点定理和推广进行研究。

5、总结研究成果，撰写论文。

九、研究前景：混合型算子在应用中很常见，其研究有助于推进优化、数学物理等领域的发展，同时也有助于推进函数论及其相关领域的理论研究。

一类新型“增”算子的不动点定理及应用

使
Ａ
，＝＝、
面一Ｕ（Ｖ）Ｘ（一Ｉｏｏ（为正规常数）ｎ或ｌｌ１）ｌ —ｕｌＮＶＪ，当Ｅ为Ｉ型空间。Ｉ
证Ａｏｖ
先证Ａ有最大不动点。设（１成立，由（）２有札＝Ｕ＋ｗＡｖ —Ｕ）Ｕ，Ｖｙ）１、（）１Ｏ（ｏＯＯｌｏ１１＝（）ｏ—Ｕ）０＋一，Ｖ一１一（ｕＯ，ｌＡ一
ｓｐｕ）ｕ｛。显然，在Ｉ型空间，有下界的减列ｆ｝有下确界＝ｉｆｖ｝ｎ｛，且有Ａｃｉｄｓｒｈｍｅｅ原
理［成立。９】
称Ｅ为Ｉ型空间。若Ｅ为实ＢｎｃＩａａｈ空间且具有正规锥。在本文中，设Ｅ既为Ｉ型也为Ｉ型空间，札，ｎ∈Ｅ，札Ｉ０Ｖｎ＜Ｖ。ｎ
ＸＸ则Ａ存在唯－；动点（ｏ－Ｖ
几］几］
Ｃ）ｏ，对于迭代
∈
∈
＋￣（ｖｚＡ一Ｕ）＂４＝ＡＶ ∈（，）ｎ＝０１２ｎ，－１ｖ，０１，，，
有误差估计
１
ｌ
使
、＝＝，
｛＜￣－当（ｎＵ …一１（Ｏ－ｖ）），０
收稿日期：０５９０．作者简介：颜一２（９０２０ — —７０Ｌ１３年生），，男，教授研究方向：非线性算子理论
维普资讯
９０４
Ｔ
程
数
学
学
报
第２卷４
若Ａ除满足（１或（２外，还满足下列条件之一ｙ）ｙ）一
２
“ ”算子增

混合单调算子的不动点定理

维普资讯
第３期
孙钦福，：等混合单调算子的不动点定理
７
则｛｝｛都收敛于ｚ且有误差估计式，Ｙ｝，ｆＩｚＩＮＬ＋ＭＩ。ｚｌ一ｌ≤ ｌｚＩｌＩＩ一。Ｉ，ＩＹ
பைடு நூலகம்
【ＩＮＩ＋Ｍ ”ｌ。。．Ｉ一ｚｌｌＹ ≤ ＬｌＩＩ一ｚＩｌＹ１
证明（ｉ利用数学归纳法验证）
Ｘｎ１≤ ｚ－ ≤ Ｙ ≤ ｙ－，／１２ …．．１Ｙ一，，（）１
事实上，＝１时， ” 由条件（得Ｉ）
维普资讯
第３３卷第３期
２００７年７月
阜
师
范
大
学
Ｖｏ．３Ｎｏ３１３．
ｏＱｕｕＮｏｍａｆｆｒｌ
Ｊｌ０７ｕｙ２０
混合单调算子的不动点定理
孙钦福 ①，栾世霞①，薛妮娜②
ｚ ≤ Ａ（ｏｙ）Ｊ（ — ｚ）一ｚ ≤ Ａ（ｏｙ）Ａ（ｏｚ）＝ｙ ≤ Ｙ，ｏｘ，ｏ一ｏ０１ｘ，ｏ ≤ ｙ，ｏｌｏ
式（）立．１成假设 ” 一是时式（）１成立，有即
ＸＪ１≤ ｚｒ－－＾≤ Ｙ＾≤ 卜１，
＊
收稿日期：０６０ — ６２０ — ６０
基金项目：国家自然科学基金（０７０５；曲阜师范大学青年基金资助项目（ｊ５３１４１７）ｘ００）作者简介：钦福，，９７，副教授；主要研究方向：线性泛函分析．孙男１６一非

混合单调算子不动点的存在唯一性

Ｐ一（－∈ Ｅ且存在（，（）０使得ｚ｝ｚ）ｚ＞
（矗ｚ≤ （ｈ．ｚ） ≤ ｚ）｝
容易看出ＰｃＰ显然，．对任意的Ｌ ∈Ｐｚ，与ｋ＞０，
有＋ ∈Ｐ，ｚ∈Ｐ忌且存在，＞Ｏ使得ｚ ≤ ≤
了一些研究．混合单调算子对非线性泛函分析、分变方法、线性微分方程和非线性积分方程的研究有非重大意义，已广泛地应用于工程技术、天技术、并航生物化学、生态学和经济学等许多领域中，其是对尤核物理研究及传染病模型研究极为重要．因此有关混合单调算子的研究激起了众多学者的浓厚兴趣．在应用中，们通常需要研究有关混合单调算子的人不动点的存在唯一性问题．国内外已有不少这方面
设Ｅ为一实Ｂｎｃａａｈ空间，Ｐ是Ｅ的一个非空
闭凸子集．果Ｐ满足如下两个条件如
设ＤＣＥ．是ＤＸＤ（Ｅ×Ｅ．算子Ａ：于二二设Ｄ×
Ｄ— Ｅ．
（如果由（ｌＹ）（２）ｌ，２Ｙ ∈ 工）ｚ，１ ≤ Ｌ，，，ｚ，。ｚ２ｌ
维普资讯
第２４卷第４期
２００８年８月
德州学院学报
ＪｕｎａｆＤｅｈｕＵｎｖｒｉｙｏｒｌｏｚｏｉｅｓｔ
Ｖｏ．４，．１２ＮＯ４Ａｕ．，０８ｇ２０

随机混合单调算子的不动点及应用

随机混合单调算子的不动点及应用近年来，随机混合单调算子（randomized monotone operator，简称RMO）在多学科中都受到越来越多的关注。

RMO提供了一种便捷的方法来构建复杂的运算子，用以解决多种实际问题。

在本文中，我们主要讨论RMO所拓展出的不动点理论，以及它们在实际中的应用。

首先，RMO是一种由随机混合的单调算子序列组成的复杂的运算器。

RMO的构造方法由核心的单调算子组成，该算子具有以下性质： 1）它具有保持低于给定输入的作用：如果输入的值低于给定的输入值，则该算子将其保持不变；2）在多维空间中，它具有保持低于所有给定输入值的作用：如果某个给定输入值比较低，则该算子将向低于该输入值的方向移动； 3）它还具有一定的稳定性：即不管输入怎样，该算子都会保持相同的结果。

简而言之，RMO是一种特殊的单调算子，其构成由其核心算子和混合到该算子中的其它算子构成。

RMO能够在多维空间中构建复杂的运算子，从而解决多种复杂的实际问题。

其次，RMO拓展出的不动点理论是一种新兴的数学理论，可以用来描述RMO中的某种性质。

不动点理论主要引入一种概念叫作不动点，不动点是指在给定条件下RMO中单调算子保持稳定并不发生任何变化的状态。

不动点的存在可以帮助我们更好地理解RMO的特性，从而指导我们利用它解决问题。

最后，RMO的不动点理论已经在多种实际应用中得到了成功的应用。

例如，该理论可以用来解决多元函数的最优解问题。

在机器学习领域，该理论可以用来优化神经网络的参数调整，从而提高模型的准确性。

此外，RMO的不动点理论还可以用来解决图像处理中的各种问题，以及计算机视觉领域中的特征提取和图像分类等问题。

综上所述，RMO的不动点理论受到了越来越多的关注，其中RMO 的构造方法可以构建出复杂的运算器，而不动点理论可以帮助我们理解该运算器的特性。

此外，RMO的不动点理论也在解决多种实际问题方面取得了良好的效果。

未来，RMO的不动点理论在多个领域都有望取得更大的进步和发展，为解决复杂的实际问题提供有效的方法。

Banach空间中一类混合单调算子的新不动点定理

（ｅａＩｅｔｆｔ．ｈｎｑａｈｒＣｌｇ，ｌＪｕ４６Ｏ，２ｓａｇｉＬｂｒ。ｙＭｄ１Ｓｈ０，ａｇｉ４６０，ｈａＤｐＪｎｎ０Ｍａｓａｇｉｔｈｕｃｅｓ０。ｅｓａ鹊ｉ７ｏ０Ｃｎ；．ｌＩｑａｏａｒｉｄｃｏ１Ｓｎｑｕ７０ｏｃｉ）ｌ１１１１ｕｔｅｈｎ
任何假定，利用锥理论迭代技巧，明了不动点的存在唯一性，给出了迭代序列收敛于解的误差估计，进和推广了文证并改
１预备知识
本文总假设Ｅ为实Ｂｎｃａａｈ空问，表示Ｅ中的零元，非空闭凸集ｐ［Ｅ是Ｅ中的锥，Ｅ中半序“ ≤” 由锥Ｐ导出，设， ∈Ｅ且。，Ｄ＝［。］ ≤ 用 “ ，表示Ｅ中的序区间．
Ｂｎｃａａｈ空间中一类混合单调算子的新不动点定理
徐华伟王申林，
（．商丘师范学院数学系，１河南商丘４６０；．商丘市实验中学，７００２河南商丘４６ｏ）７００
摘
结果．
要：运用锥理论与非对称迭代方法，得到了Ｂｎｃａａｈ空间不具有连续性和紧性条件的混合单调算子的不动
Ａｂｓｒｔ：ｓｎｈ０ｅｔｅｒｎｈｅａｙｔａｃＢｙｕｉｇｔｅｃｎｈ０ｙａｄｔｓｍｍｅｒｈｎｅｈｔ０ｆｔｋｉｇｔｅｐａｅ０，ｔ０ｔｉｈａ — ｔｙｃａｇｓｔｅｍｅｈｄ０ｎｈｌｃｆｉｂａｎｓｔｔＢａａｎｃｐｃｏｓｎｏｖｎｔｎｃｔｃｎｉｕｔｇｔｎｒｅｔｔＶｘｓｅｃｎｑｅｓｔｔｐｅａｏｆａｈｓａｅｄｅｔｈａｅｍｏｏ０ｉｉｙ，ｏｔｎｉｙ，ｅｔｇｕｇｎ０ｍ０ｅｅｉｔｎｅｕｉｕｎｅｓａｂｉｗｏ０ｒｔｒ０ｉｔｒ，ｎｏｉｅｎｈｎｇｓｉｔｏｕｉｇｔｒａｇｎｅｔａｎｉｉｈｒｏｓｉｔｈｔｉ０ｖｄ，ａｍ— ｅｍｓａｄｐｒＶｄｓａｄｃａｅｎｒｄｃｎｏａｒｎｅａｄｒｓｒｉｔｎｔｅｅｒｒｅｔｍａｅｔａｓｓｌｅｈｓｉｐｅｎｐｌｒｚｄｓｍｅｋｎｗｎｒｓｌｓｗｈｃｘｔｅｄｌｐｅａ０ｑｔｎｉｅｕｔｒｃｉｅｍｖｄａｄｐｏｕａｉｅｏｏｃｕｔｉｈｍｉｈｕｌｏｒｔｒｅｕａｉｎｒｓｌｅｅｖｄ．０ＫｅｒｙｗＯｄｓ：０ｎｒｉｌ０ｄｒｎｍｉｅｎｔｎｅｏｅａｏｆｘｄｐｉｔｃｎｅａｄｐａｔｒｅｉｇ；ｘｄｍ００ｏｐｒｔｒ；ｉｅｏｎａ

混合单调算子耦合不动点的迭代求法及其应用

扛ｂＣＲ’ ＞Ｐ１］（．，６
。
规锥．Ｐｌ则对，且
Ｅ】｛（：一ＥＩ＝￡，Ｈ强可测，）
山＜ ∞ ｝范数＋在
令［司＝（Ｅ强测，（＜ｌ，｛）Ｉ可且Ｊｔｄ＋，：￡Ｉ）ｔ∞ ｌｌｕｌ
山西大同大学学报（自然科学版）
２０年０８
一Ｅ满足：对几乎一切ｔ有（ ∈ 圹）则 “￡，，（在）上强可测．中表示弱收敛．其引理２设在Ｅ若中范数ｌ于Ｉ川中，ｊ虽
则Ｅ中的全序子集上的弱拓扑强于上的。一范数拓扑．
下为一Ｂｎｃａａｈ空间．
Ｉ（ｌ＝ｘＩ（ｌｌｔｌｍａｔｌｕ）ｃ．ｌ）ｕ ‰ 下也为一线性赋范空间，照上述方式同样可由Ｅ按
令ＣＥ＝ｕ），Ｉ在，连续Ｊ则ｃＬＥ在］ｌｑ： — 上，［ｌ范数
Ｉ（ｌｍａＩ（ｌＩｔｌ】ｔｔ／￣）＝【ｕ）
导出一个半序５；中的一个锥称为正规的，若存在
常数ＡＯ对任给ＹＥ当＞， ∈
ｓ）有Ｉｌ，时，ｌｌｘ－＜
ＡｌｌＰｉ规的充要条件是：ｌｌ锥ｙ；ＥＥ中任何序区间＝Ｅ ≤ ｙ ∈ ｌｌ有界．Ｅ中半序导出Ｃ，明中半有［，
者为逐点次连续算子）．引理３设
。
ｆ半序Ｂｎｃ）是ａａｈ空间，在若
中，范数隅于Ｉ则必存在常数Ｃ０使得对＞，
任意Ｅ，都有
Ｉ￣ＣＩｌＩｌｘ（）２

Banach空间一类混合单调集值算子不动点定理及其应用

存在常数Ｎ＞０使得ＶＹ ≤ ，，，ＥＥ，≤ 都有ｌｌ ≤ＮＩｌ其中Ｎ叫做Ｐ的正规常数．ＤｅＥ，集ｌ，Ｉ设称合Ｄ有最大元，如果存在３７ＥＤ，使对任意ＹＥＤ，有 ≤ ．
定义１设Ｘ，＿８ｙ为Ｅ的子集，Ｘ≤ｙ，称如果对任意ＥＸ，在Ｙ存 ∈Ｙ，使 ≤Ｙ．定义２１设Ｘ为半序集，是Ｘ的子集，Ｍ一２［］ＭＡ：是一个集值算子，如果对任意 ∈Ｍ， ∈Ｍ，Ｙ
ｎｃａｈ空间中的一类混合单调集值算子不动点定理，应用到一阶集值方程中，广了文献Ｅ３并推８中相应结
果．
设Ｅ是实Ｂｎｃａａｈ空间，Ｐ是Ｅ中的非空闭凸集，Ｐ为Ｅ的一个锥，果ｉｘ∈Ｐ，≥ ０则妇 ∈ 称如），Ｐ；）ｚ∈Ｐ，ｉ若ｉ一 ∈Ｐ，则一００（表示Ｅ中零元）给定Ｅ的一个锥Ｐ后，Ｐ中引入半序关系 “ ” ．在 ≤ ：对ＥＥ， ∈Ｅ，Ｙ若 — ∈Ｐ，称 ≤ＹＥ在该半序下成为一个Ｂｎｃ则．ａａｈ空间．们称Ｐ为正规的，我如果
是非空闭值的．
收稿日期；０７１－８２０ — ２２
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７１７；州师范大学研究生科研创新计划基金资助项目（８Ｌ０９１６１６）徐０ＹＢ１）作者简介：志林（９０）男，苏沭阳人，士研究生，谢１８一，江硕主要从事非线性泛函分析和中学数学解题研究．

随机混合单调算子的随机不动点定理

。
Ｆｂｅ．２０８０
… …
ｏｎ
．
文章编号：０３２４（０８０－０００ｉ０－８３２０）１７—４０
随机混合单调算子的随机不动点定理
赵巧玲，郝建丽
（商丘师范学院数学系，河南商丘４６０７００）摘要：利用Ｍａｎ迭代技巧，讨论了不具有紧性条件的随机混合单调算子方程的随机不动点的存在唯一性，并给出了ｎ
维普资讯
第３卷第１４期
西版学１ＪｍａｆＳ０ｔｗｅｓ南民族ｓ大ｙｆ学报ｉ自然ｅ学ｔｒｌＳｃｅｃｄｉｉｎｏｕｌｏｕｈｔＵｎｖｒｉｏｉｅｔｒＮａｔａｌｉＮａｕａｉｎｅＥｔｉｓｔ１ｏ
迭代序列收敛于解的误差估计，所得结果是某些已知结果本质改进和推广．
关键词：ｎＭａｎ迭代；随机混合单调算子；随机不动点；正规锥中图分类号：２５Ｏ１．１文献标识码：Ａ
１引言
设（＆，）Ｑ，Ｐ是—个完备的概率空间，Ｅ是可分的Ｂｎｃ空间或Ｐｌｈａａｈｏｓ空间（ｉ即可分完备度量空间）是，￡
下列条件：
（）在Ｑ可函 ∈０）使（Ｑ有ｉ存上测数（）（１得Ｖ），，，１ ∈
ＡｏＶ）Ａｏ，ｐ（（一）ｏ（，一（，Ｖ（），，）１Ｖ）Ｖ；
（ｉ）ｏ（）ｏ）Ａｏ１，ｏ，ＡｏＶ，ｏ１— （）ｏ）ｉ＋ａｏ（一ｏ（，ｏＶ）（，１）；ｂｏ（一０，Ｖ．ｇｏ．ｏｇＶ其中可测函数（）（）【，，且（）＋６（＋ｐ（＜１（，（ ∈ ０１１６１）））（１（）（）．则ＡｏＸ在［，０中有唯一随机不动点）１）１）（，，）ｖ］

混合单调算子不动点存在唯一性定理及其应用

混合单调算子不动点存在唯一性定理及其应用许绍元【摘要】研究一类具有某种凹凸性的混合单调算子,不要求紧性与连续性,利用半序方法和单调迭代技巧,得到了混合单调算子的若干新不动点定理,改进了混合单调算子某些相应结果.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(032)001【总页数】3页(P11-13)【关键词】锥与半序;混合单调算子;不动点【作者】许绍元【作者单位】赣南师范学院数学与计算机科学学院,江西,赣州,341000【正文语种】中文【中图分类】O177.91混合单调算子是一类十分重要的非线性算子,广泛存在于非线性微分方程和积分方程的研究中,见文献[1-7].设E是实Banach空间,θ是E的零元,P是E中的锥,≤是由锥P导出的半序,即对任意x,y∈E,x≤y当且仅当yx∈P.关于锥与半序的理论见文献[1].设D⊂E,若算子A(x,y):D×D→E关于x是增的,关于y是减的,即对任意xi,yi∈D(i=1,2),x1≤x2,y2≤y1,蕴涵A(x1,y1)≤A(x2,y2),则称A为混合单调的[2].若存在x∈D,使A(x,x)=x,则称x为A在D中的不动点.设e>θ,记Pe={x∈E|∃λ,μ>0,使得λe≤x≤μe}.定理1设P是实Banach空间E中的正规锥,A:Pe×Pe→Pe是混合单调算子.若对任意x∈Pe,存在函数φ:(0,1)→(0,1]使得对∀t∈(0,1),x∈Pe,有:(ⅰ)t<φ(t)2;(ⅱ)A(tx,t-1x)≥φ(t)A(x,x),A(t-1x,tx)≤[φ(x)]-1A(x,x);(ⅲ)φ=φ(t)在关于t∈(0,1)左下半连续并且满足那么算子A在Pe中有唯一不动点x＊,且对∀x0,y0∈Pe,序列xn=A(xn-1,yn-1),yn=A(yn-1,xn-1),都有xn→x＊,yn→x＊(n→∞).于是,根据A的混合单调性,由归纳法有根据(ⅱ)和A的混合单调性有显然,对∀t∈(0,1)有t<φ(t)2.故由定理1即知推论1结论成立.注1当0≤α<时,推论1去掉了文献[3]中定理3.1上下解条件“∃u0,v0∈,u0≤v0使得u0≤A(u0,v0),A(v0, u0)≤v0”以及条件“A(θ,v0)≥εA(v0,u0)”,因此推论1改进了文献[3]定理3.1的结果.下面利用文中的主要结果研究一类无界域上的非线性积方程.考虑下列非线性积分方程:注2文献[3]中定理3.1的方法依赖于上下解,从而不能得到结论1.故文中有关结果是文献[3]的有益补充.【相关文献】[1] GUO Da-jun,LA KSHM IKANTHAM V.Nonlinear Problem s in Abstract Cones[M].Boston and New York:Academic Press.Inc.,1988.[2] GUO Da-jun,LA KSHM IKANTHAM V.Coup led Fixed Points of Nonlinear Operators w ith App lications[J].Nonlinear Analysis,TMA.,1987,11(5):623-637.[3] 吴焱生,李国祯.混合单调算子不动点存在唯一性定理及其应用[J].数学学报,2003,46(1):161-166.[4] 许绍元,曾超益,朱传喜.φ凹-(-ψ)凸混合单调算子不动点存在惟一性及其应用[J].数学学报,2005,48(6):1 055 -1 064.[5] 张庆政.一类非紧算子与不动点的存在唯一性[J].数学研究与评论,1999,19(3):617-620.[6] 赵增勤.半序线性空间混合单调映射不动点存在唯一性[J].系统科学与数学,1994,19(2):217-224.[7] 张志涛.混合单调算子的不动点定理及其应用[J].数学学报,1998,41(6):1 121-1 126.。

混合单调算子的不动点定理

，
其中
＝
。
（）３
则算子Ａ在［，】１，上有唯一不动点．。而且对任意初值（，） “ ，】１，】如下的迭代序列 ∈［。＇ ×【。Ｖ，１３。１０，
＝一，１，Ａ（ｌｙ一）＝ｌ２ … ，，
Ｙ＝Ａ（，一）ｎ＝１２ … １，，，
混合单调算子是郭大钧于１８年在文献［］９７１中引入的，有关这类算子不动点及相关性质研究一直倍受国内外很多学者的关注，已有许多很深刻的结果（２１］．并见［ — ０）作为处理非线性问题重要工具之一的迭代逼近方法，特别是对于在适当的偏序条件下的非线性单调算子问题，迭代方法的应用显示出极好的效果，例如文献［１就解决了两类带有一定凹凸性的混合单调算子正不动点的存在、１］唯一性问题．本文在借鉴文献［１所用方法的基础上，１］对更一般的混合单调算子的不动点的存在和唯一性进行了讨
率的刻画．定理１设Ｅ是Ｂｎｃ间，ａａｈ空Ｐ是Ｅ的正规锥，为Ｐ的正规常数，ＰＸＰ为混合单调算子并且满 Ⅳ Ａ：
足：
（）存在 “ ， ∈Ｐ，＜Ｉ使得ｉ００＜
／＜３，ｏ／１ ≤Ａ（ｏＩ）Ａ１，ｏ ≤ ０，００Ｕ，，（０ “ ））ｏ３
结合Ａ的混合单调性及（）（）（）（１，１）有１，２，９，１）（３
ｕ＋＝（）ｌＡＭ，
≥Ａｔ）（ｎ，Ｖ
≥ｇ（）（，）＋２ｔ）（）】ｔＡｇ（Ａ， ≥ｇ（）（，ｕ）２ｔ），）ｌ￡Ａ＋ｇ（Ａ（

关于不动点和不动点集的若干定理

不动点是指某一迭代函数的固定点，即对于某个函数f(x)，若存在一个数x0使得f(x0)=x0，则称x0为函数f(x)的不动点。

不动点集是指所有不动点的集合。

关于不动点和不动点集的若干定理如下：
1.单调迭代定理：如果函数f(x)是单调的，且对于任意x均有|f'(x)|<1，
则函数f(x)有唯一不动点。

2.拉格朗日不动点定理：对于函数f(x)，若存在一个不动点x0使得
f(x0)=x0，则x0必定是函数f(x)的拉格朗日不动点。

3.不动点的收敛性定理：如果函数f(x)的不动点集有限，则该函数的
迭代序列必定收敛。

4.不动点的稳定性定理：如果函数f(x)的不动点集有限，则该函数的
不动点必定是稳定的。

以上是关于不动点和不动点集的若干定理。

这些定理在数学和计算机科学等领域有广泛的应用，例如在数值分析中，可以利用不动点定理解决方程组的求解问题；在机器学习中，可以利用不动点集的收敛性
定理来控制学习算法的迭代次数；在图像处理中，可以利用不动点的稳定性定理来保证图像处理算法的稳定性等。

总的来说，不动点和不动点集是数学中重要的概念，它们在许多领域有广泛的应用，对我们解决实际问题具有重要的意义。

一类单调算子的新不动点定理

一类单调算子的新不动点定理王维娜;薛西锋【摘要】利用单调迭代法、数学归纳法以及序差距的性质，在半序Banach 空间中探究不具有紧性、连续性以及任何凹凸性的单调算子不动点存在以及惟一性问题，得出其新不动点定理，这些结果对相关结论进行了推广，使其适用范围更广，同时将该结论应用于求解Volterra型积分方程组问题中。

%In order to explore the existence and uniqueness of monotone operator without compactness,con-tinuity, and any convex conditions fixed points in partially ordered Banach space, the paper uses the monotone iterative method and mathematical induction as well as the properties of the sequence gaps. Then we obtained the new fixed point theorems of it. The results obtained generalize the related conclusion, so that it can be widely applicable scope, Meanwhile the conclusion is applied to solve the problem for Volterra integral equation group.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】7页(P292-298)【关键词】单调算子;正规锥;不动点;序差对;序差距【作者】王维娜;薛西锋【作者单位】西北大学数学学院，陕西西安 710127;西北大学数学学院，陕西西安 710127【正文语种】中文【中图分类】O177.91对于单调算子不动点的研究,现已有许多的结果[1-8].有些文献在研究单调算子不动点时,要求单调算子具有某种紧性或连续性或凹凸性,文献[1]利用序差的性质及数学归纳法,文献[2-7]运用锥理论知识和单调迭代技巧,文献[8]采用与以往大不相同的假设和迭代格式均研究了不具有以上条件而满足其他某些条件的单调算子的不动点存在惟一性问题.本文在半序Banach空间中引入序差对和序差距的概念,利用单调迭代法、数学归纳法以及序差距的性质,去掉单调算子的紧性、连续性以及凹凸性,在更广泛的条件下,得到半序Banach空间中单调算子的新不动点定理,同时将其结论应用于求解Volterra型积分方程组的问题中,使其求解更加简便.设E是Banach空间,P是E中的一个锥[3].定义1.1 锥P是正规的,若存在常数N>0,使得θ≤x≤y⇒∥x∥≤N∥y∥,且称满足条件的最小正数N为P的正规常数.定义1.2 P是E中的锥,θ≤u≤v,对于h∈P,若∃M>0,使得v≤Mh,则令称a−b为u和v的h-序差,并且记dh(u,v)=a−b.定义1.3 设a−b,c−d分别为u和v,r和s的h-序差,即dh(u,v)=a−b,dh(r,s)=c−d,则(dh(u,v),dh(r,s))为序差对.定义1.4 称序差对(dh(u,v),dh(r,s))到(0,0)点的距离为序差距,并且记为定义1.5 设E是半序空间[3],在E×E中定义新的半序关系:若x1≤x2,y1≥y2,则记(x1,y1)≤(x2,y2).引理1.1 设E是Banach空间,P为E中一个锥,则E×E在定义1.5的半序下是半序空间.证明 (i)∀(x1,y1)∈E×E,都有x1≤x1,y1≥y1,即(x1,y1)≤(x1,y1).(ii)若(x1,y1)≤(x2,y2),且(x2,y2)≤(x3,y3),则有故有x1≤x3,y1≥y3,即(x1,y1)≤(x3,y3).(iii)若(x1,y1)≤(x2,y2),且(x2,y2)≤(x1,y1),则有故有x1=x2,y1=y2,即(x1,y1)=(x2,y2).由(i),(ii),(iii)可知E×E在定义1.5的半序下是半序空间.引理1.2 设B,C:[u0,v0]→E均为增算子,令A(x,y)=(Bx,Cy),则A在≤下是增算子;若B,C:[u0,v0]→E均为减算子,则A(x,y)=(Bx,Cy)在≤是减算子.证明对任意x1,x2,y1,y2∈[u0,v0],若(x1,y1)≤(x2,y2),即x1≤x2,y1≥y2,又因为B,C 为增算子,所以Bx1≤Bx2,Cy1≥Cy2,故有则A为增算子.若B,C均为减算子,当(x1,y1)≤(x2,y2)时,有Bx2≤Bx1,Cy2≥Cy1,即则A为减算子.定理2.1 设P是E中的锥,θ≤u≤v,θ≤r≤s,h∈P,且∃M,L>0,使得v≤Mh, s≤Lh,那么,(i)(ii)d(dh(u,v),dh(r,s))=0,则u=v,r=s.(iii)若θ≤u1≤u≤v,θ≤r1≤r≤s,则(iv)证明 (i)因为dh(u,v)≥0,dh(r,s)≥0,所以又因为dv(u,v)≤1,ds(r,s)≤1,所以(ii)因为要使等式成立,需满足dh(u,v)=0,且dh(r,s)=0.又因为dh(u,v)=0,则u=v;dh(r,s)=0,则r=s,故有u=v,r=s.(iii)因为当θ≤u1≤u≤v,θ≤r1≤r≤s时,有所以得证.所以又因为∀k∈[0,1],有dv(kv,v)=1−k,ds(ks,s)=1−k,所以得证.定理2.2 设P是E中的正规锥,为增算子,其中B,C:[u0,v0]→E均为增算子,且满足下列条件:则A在[u0,v0]×[u0,v0]中有惟一不动点(x∗,y∗),且对任意的初值x0,y0∈[u0,v0],迭代序列xn=Bxn−1,yn=Cyn−1(n=1,2,………),必有xn→x∗,yn→y∗.证明令由条件(i),以及B,C是增算子可知,由条件(ii),取k∈(0,1),可得所以,当n→∞时,即∀ε>0,∃N>0,使得当n>N时,有:令由(3)式可得:由P的正规性,以及(4)式可得:所以由(1)和(2)式可得:由(2)和(6)式可知,由P的正规性,以及(5)式得故{xn},{yn}都是Cauchy列.故存在(x∗,y∗)∈[u0,v0]×[u0,v0],使得由(2)和(7)式可知,则再证惟一性.设又存在使则由B,C的单调增性及数学归纳法知:由(8)式可知0=x∗,0=y∗.故A在[u0,v0]×[u0,v0]中的不动点是惟一的.显然对任意的初值(x0,y0)∈[u0,v0]×[u0,v0],迭代序列xn=Bxn−1,yn=Cyn−1(n=1,2,………)必有xn→x∗,yn→y∗.定理2.3 设P是E中的正规锥,θ≤u0≤v0,A(x,y)=(Bx,Cy):[u0,v0]×[u0,v0]→E×E 为减算子,其中B,C:[u0,v0]→E均为减算子,且满足下列条件:(i)u0≤Bu0,Bv0≤v0,u0≤Cu0,Cv0≤v0;(ii)∀x,y,z,w∈[u0,v0],若x≤y,z≤w,则则A在[u0,v0]×[u0,v0]中有惟一不动点(x∗,y∗),且对任意的初值x0,y0∈[u0,v0],迭代序列xn=Bxn−1,yn=Cyn−1(n=1,2,………),必有xn→x∗,yn→y∗.证明令H(x,y)=A2(x,y)=(B2x,C2y),易验证H:[u0,v0]×[u0,v0]→E×E为增算子,且∀x,y,z,w∈[u0,v0],若x≤y,z≤w,由条件(ii)可知:故定理2.2的条件(i),(ii)均满足,所以定理2.3的结论成立.研究Volterra型积分方程组解的问题:其中,k(t,s)在[0,1]×[0,1]上非负连续,f1(t,u),f2(t,v)在[0,1]×R上非负且分别关于u,v 单调递增.设定理3.1 在以上条件下,方程组解的问题(9)有惟一的恒正解:并且若(x0,y0)为初始点作迭代序列:则(un(t),vn(t))在P×P上一致收敛于(u∗(t),v∗(t)).证明∀(u,v)∈P×P,令设A(u,v)(t)=(Bu(t),Cv(t)).由假设条件易知:P×P→E×E满足定理2.3的条件(i),(ii).则该定理的结论成立.【相关文献】[1]栾辉.非紧非连续单调算子新不动点定理[J].南昌工程学院学报,2012,31(6):5-7.[2]吴焱生.一类非紧非连续增算子新不动点定理及其应用[J].赣南师范学院学报,2004(6):14-16.[3]孙经先.非线性泛函分析及应用[M].北京:科学出版社,2008.[4]张金清,孙经先.一个非连续增算子不动点定理及其应用[J].应用数学学报,2001,24(1):34-43.[5]Wu Y S,Li G Z.On the fi xed point existence and uniqueness theorems of mixed operators monotone operators and application[J].A.M.S.,2003,46(1):161-166.[6]Hong S H.Fixed point for mixed monotone multivalued operators in Banach spaces with applications[J]. J.Math.Anal.Appl.,2008,337:333-342.[7]郭大钧.非线性分析中的半序方法[M].济南:山东科学技术出版社,2000.[8]颜苏平,王申林,黄翔.一类新型混合单调算子的不动点定理及在工程科技中的应用[J].纯粹数学与应用数学, 2010,26(3):403-408.。

一类单调算子的不动点定理

一类单调算子的不动点定理
郭亚梅;王恒斌
【期刊名称】《安阳师范学院学报》
【年(卷),期】2006(000)005
【摘要】用正规锥的性质和上下解方法,构造出了一组柯西序列,从而得到一类单调算子的不动点定理,并给出了收敛误差估计,改进推广了文献[4-6]中的结果.
【总页数】2页(P12-13)
【作者】郭亚梅;王恒斌
【作者单位】安阳师范学院,数学系,河南,安阳,455002;安阳师范学院,数学系,河南,安阳,455002
【正文语种】中文
【中图分类】O151
【相关文献】
1.一类三元反向混合单调算子不动点定理及其应用 [J], 谢卢梦;薛西锋
2.一类单调算子的新不动点定理 [J], 王维娜;薛西锋
3.一类具有凹凸性的混合单调算子的公共不动点定理 [J], 朱奋秀
4.Banach空间一类新反向混合单调算子的不动点定理 [J], 王大鹿
5.一类单调算子不动点定理的推广 [J], 宋娜娜;崔艳兰;杨鹏
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

左秀会，张斐然
（丘师院数学系，商河南商丘４６０）７００
［摘
要］运用锥理论与迭代方法，论了在较弱条件下一类混合单调算子的不动点的存在唯一性，得讨所
结果是某些已有结果的本质改进和推广．
有文献的一些结果．
１预备知识
设Ｅ是Ｂｎｃａａｈ空间，。ＥＥ且 “ ＜．Ｄ一［。］ “，。。用 “ ，表示实Ｂｎｃａａｈ空间Ｅ中的序区间，表
示Ｅ中的零元素．
定义称二元算子Ａ：Ｄ×Ｄ— Ｅ为混合单调算子，如果Ａ（）Ｄ内对每一个固定的ｙＥＤ关于ｚ，在是增的，每一个固定的ＥＤ关于ｙ是减的．对如果Ａ（，）ｒｘｙ一Ｌ和Ａ（，）， ∈Ｄ， ∈Ｄ，点对（，）ｙ一ｙｙ则ＹＤ．中最大与最小的意义是：任何Ａ的藕合不动点（ｙＥＤ×Ｄ，其对，）一有 ≤ ≤ 和 ≤
≤ ．同时我们有
一
ｌｕ，ｉｍ，
Ｙ一ｌｍｖｉ，
其中一Ａ（一，一）一Ａ（一，一）（１２３ … ）ｌ１，ｌ１一，，，．
事实上，当一１时，由条件（）（）ｉ，１式及Ａ是混合单调算子，们有ｉ我
“ ≤ Ａ（。Ｖ）１Ａ（，ｏ一１，即 “ ≤ “ ≤ ≤ ，０ “ ，Ｏ一“ ≤ 。 “ ） ≤ ００１】０
郭大钧及ＬｋｈｋｎｈｍＶⅢ 提出，已有许多讨论混合单调算子的文献并得到了一批好的结ａｓｍｉａｔａ现
果］本文进一步研究混合单调算子的不动点的存在唯一性，明了一些新的不动点定理，广了现，证推
则算子Ａ在［。］ “ ，。中有唯一不动点ｚ，且迭代序列而
“ ＋１Ａ（，），一 “ ＋ｌＡ（，）， — “ 一０，２， … １，３，（１）
都收敛于ｚ．
证运用归纳法易证
“ ≤ “ ≤ “ ≤ … ≤ “ ≤ ・・０ｌｚ・≤ ≤ … ≤ ≤ １２ ≤ ０．（）２
个藕合不动点．设Ｐ是Ｅ中的锥，ｓ是Ｅ中的一个子集．对ｓ中的任一全序序列｛）都存在｛）子列｛）若，的
及 ∈ Ｅ，得使；，称ｓ是Ｅ中的拟弱紧集．则
己
设Ｐ是Ｅ中的锥，）Ｅ中的任一单增序列，存在 ∈Ｅ，｛为并使得ｚ ≤ ≤ …≤ ≤ …≤ 如果。．
（）“ ≤ Ａ（０，），０，０ ≤ ０；ｉ０ “ ０Ａ（ “）
（ｉｉ）Ａ｛Ｄ×Ｄ）拟弱紧集，Ａ是次连续算子；是且
（ｉｉ）存在Ｏ＜１使得Ａ（ｚ一Ａ（）（ｉ＜ａ，，）ｚ， ≤ａ —ｚ， ∈Ｄ， ≤ ，）ｚ，ｚ
［稿日期］２０ —１１收０６０ —６
［金项目］河南省教育厅自然科学基金资助项目（０７１０７基２０１０２）
维普资讯
３４
大学数学
第２４卷
２主要结果
定理１设Ｐ是实Ｂｎｃａａｈ空间Ｅ中正规锥，Ｄ×Ｄ— Ｅ是混合单调算子，满足：Ａ：且
［键词］锥与半序；合单调算子；动点关混不［图分类号］０１７９中７．１［献标识码］Ａ文［文章编号］１７ —４４２０）１０３ —３６２１５（０８０ —０３０
混合单调算子是一类重要的算子，泛存在于非线性积分方程和微分方程的研究中．１８广自９７年由
此时存在 ∈Ｅ，使得＾ｒ一。）则称Ｐ是弱正则锥．＿（二。，和，蕴含有Ａ（，）Ａ（）其中２，，ｚ，，ｇｚ，．
在实Ｂｎｃａａｈ空间Ｅ中，果ｚ如引理１
均属于Ｅ，么我们称算子Ａ是弱连续算子．那设Ｐ是实Ｂｎｃａａｈ空间Ｅ中正规锥，Ｄ×Ｄ— Ｅ是混合单调算子，得 “ ≤Ａ（。）Ａ：使。 “，，。Ａ（。）。同时Ａ｛ “ ，。 ≤ ，Ｄ×Ｄ）拟弱紧集，Ａ是次连续算子，么Ａ有一个藕合不动点（，）是且那ｙ
维普资讯
第２４卷第１期
２００８年２月
大学数学
ＣｏＩＩＥＧＥＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ
Ｖｏ．４。＿．１１ｔ２ＮｏＦｅ２８ｂ．００
一
类混合单调算子的不动点定理